valószínűségszámítás

Országok listájaHungaryDebreceni EgyetemKözgazdaságtudományi KarGazdálkodási és menedzsmentStatisztika I.Jegyzetekvalószínűségszámítás

Val´sz´ us´gsz´m´ as o in e a it´
http://mobidiak.inf.unideb.hu/~papgy/esemeny.pdf

F´li´k: o a
http://mobidiak.inf.unideb.hu

Pap Gyula DE Informatikai Int´zet e papgy@inf.unideb.hu
1

1. V´letlen k´ erletek, e is´ esem´nyalgebr´k e a
Val´sz´ us´ge v´letlen esem´nyeknek van o in e e e V´letlen esem´ny: e e

· nem tudjuk elre megmondani, hogy bek¨o o vetkezik-e, vagy sem

· v´letlen jelens´gekkel, v´letlen kimenetel e e e u k´ erletekkel kapcsolatosak is´

2

P´ld´k: e a

· Mins´gellenrz´s: n term´kbl kiv´lasztao e o e e o a nak m darabot (m n), ´s megsz´molj´k, e a a hogy h´ny selejtes van; lehets´ges kimenea e telek: az := {0, 1, 2, . . . , m} halmaz elemei

· Hagyom´nyos lott´: megjel¨l¨nk 5 sz´mot a o ou a 90-bl, ´s megsz´moljuk, hogy h´ny tal´lao e a a a tunk van; lehets´ges kimenetelek: az := e {0, 1, 2, 3, 4, 5} halmaz elemei · Rag´lyos fertz´s terjed´se, csapad´kmenya o e e e nyis´g alakul´sa, szeizmogr´f mozg´sa, sore a a a hossz´s´g alakul´sa p´nzt´rakn´l, szerenu a a e a a csej´t´kok, tzsdei ´ringadoz´sok a e o a a
3

Elemi esem´nyek: a k´ erlet lehets´ges kimee is´ e netelei Esem´nyt´r: e e jel¨l´s: oe az elemi esem´nyek halmaza; e

Esem´ny: az esem´nyt´r r´szhalmazai; jel¨l´s: e e e e oe A Ha az elemi esem´ny k¨vetkezett be, e o ´s A, akkor az A esem´ny bek¨vetkezett, e e o ha pedig A, akkor az A esem´ny nem e k¨vetkezett be o Biztos esem´ny: amely mindig bek¨vetkezik; e o be lehet azonos´ itani az halmazzal Lehetetlen esem´ny: amely sohasem k¨vete o kezik be; be lehet azonos´ itani az ures hal¨ mazzal
4

Logikai mveletek esem´nyekkel: u e · Minden A esem´nnyel kapcsolatban tee kinthetj¨k az A ellentett (komplementer) u esem´ny´t: pontosan akkor k¨vetkezik be, e e o amikor az A esem´ny nem k¨vetkezik be; e o jel¨l´se: A oe · Az A ´s B esem´nyek osszege (uni´ja) e e ¨ o az az esem´ny, amely pontosan akkor k¨e o vetkezik be, amikor az A ´s B esem´nyek e e k¨z¨l legal´bb az egyik bek¨vetkezik; jel¨o u a o o l´se: A + B vagy A B e · Az A ´s B esem´nyek szorzata (metszete) e e az az esem´ny, amely pontosan akkor k¨e o vetkezik be, amikor az A ´s B esem´nyek e e mindegyike bek¨vetkezik; jel¨l´se: A · B o oe vagy A B
5

· Az A ´s B esem´nyek k¨l¨nbs´ge az az e e uo e esem´ny, amely pontosan akkor k¨vetkezik e o be, amikor az A esem´ny bek¨vetkezik, a e o B esem´ny pedig nem; jel¨l´se: A - B vagy e oe A\B · Az A ´s B esem´nyek szimmetrikus dife e ferenci´ja az az esem´ny, amely akkor k¨a e o vetkezik be, amikor az A ´s B esem´nyek e e k¨z¨l pontosan egy k¨vetkezik be; jel¨l´se: o u o oe A B · Azt mondjuk, hogy az A ´s B esem´nyek e e kiz´rj´k egym´st (diszjunktak), ha egya a a szerre nem k¨vetkezhetnek be o · Azt mondjuk, hogy az A esem´ny maga e ut´n vonja a B esem´nyt, ha az A esem´ny a e e bek¨vetkez´se eset´n mindig bek¨vetkezik o e e o a B esem´ny is; jel¨l´se: A B e oe
6

´ e Erv´nyesek a k¨vetkez osszef¨gg´sek: o o ¨ u e · kommutativit´s: A + B = B + A, a A·B =B·A · asszociativit´s: A + (B + C) = (A + B) + C, a A · (B · C) = (A · B) · C · idempotencia: A + A = A, A · A = A · disztributivit´s: A·(B+C) = (A·B)+(A·C), a A + (B · C) = (A + B) · (A + C) · de Morgan-f´le azonoss´gok: e a A + B = A · B, · A-B =A·B
7

A·B =A+B

· A

B = (A - B) + (B - A)

· A ´s B kiz´rj´k egym´st akkor ´s csak akkor, e a a a e ha A · B = · A B akkor ´s csak akkor, ha A · B = A, e illetve akkor ´s csak akkor, ha A + B = B, e illetve akkor ´s csak akkor, ha B A e · A = A, = , = , A=-A A + = A, A·=A

· A + A = , A + = ,

A · A = , A · = ,

8

Esem´nyalgebra: esem´nyek olyan A hale e maza, mely tartalmazza a biztos esem´nyt, ´s e e z´rt a komplementerk´pz´sre ´s az uni´k´pz´sre a e e e o e e P´ld´ul osszes r´szhalmazainak A := 2 e a ¨ e rendszere -algebra: olyan esem´nyalgebra, mely z´rt a e a megsz´ml´lhat´ uni´k´pz´sre a a o o e e

9

P´ld´k: e a

1. Egy p´nzdarab feldob´sa eset´n e a e = {fej,´ as}. ir´ De lehet a fejhez a 0, az ´ ashoz pedig az ir´ 1 sz´mot hozz´rendelni, ´s ´ = {0, 1}. a a e igy Nyilv´n a A = 2 = , {0}, {1}, . Ekkor az elemi esem´nyek sz´ma: || = 2, e a az osszes esem´nyek sz´ma pedig |2| = 4. ¨ e a

10

2. n-szer dobva egy p´nzdarabbal: e = { = (a1, a2, . . . , an) : ai = 0 vagy 1}.
n

Ekkor || = 2n, |2| = 22 . Ha n darab egyforma p´nzdarabot egyidben dobunk e o fel, akkor is lehet ugyanezt az esem´nyteret e tekinteni, hiszen a k´ erlet kimenetel´t nem is´ e v´ltoztatja meg, ha megsz´mozzuk a p´nza a e darabokat. De lehet csak a megk¨l¨nb¨zuo o tethet kimenetelekre szor´ o itkozni: ezek sz´a ma n + 1. Az els esem´nyt´r ´ltal´ban o e e a a alkalmasabb, mert p´ld´ul szab´lyos p´nze a a e darab eset´n az elemi esem´nyek egyforma e e es´lyek! e u

11

3. Egy zs´kban n k¨l¨nb¨z sz´ u goly´ van. a u o o o in o Kih´zunk ezek k¨z¨l k darabot; n´gy leu o u e hets´g van aszerint, hogy visszatev´ssel o e e vagy visszatev´s n´lk¨l h´zunk (az ut´bbi e e u u o esetben k n sz¨ks´ges), ´s aszerint, hogy u e e a sorrend sz´m´ vagy nem sz´m´ Ez a a it a it. k´ erlet ekvivalens azzal a k´ erlettel, amikor is´ is´ n rekeszbe helyez¨nk el k t´rgyat; az elbbi u a o n´gy lehets´g annak felel meg, hogy egy e o e rekeszbe t¨bb t´rgy is ker¨lhet vagy csak o a u egy, illetve a t´rgyak meg vannak k¨l¨na uo b¨ztetve, vagy nem. o

12

· Ha n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l h´zunk visszauo o o o u u tev´s n´lk¨l ugy, hogy a sorrend sz´m´ e e u ´ a it, ´s kih´zzuk az osszes n elemet (ami aze u ¨ zal ekvivalens, hogy n elemet sorba´ll´ a itunk; ezeket permut´ci´knak nevezz¨k), akkor a o u a lehets´gek sz´ma o e a n! := 1 · 2 · · · · · n,

hiszen az els h´z´sn´l m´g n lehets´g o u a a e o e van, a m´sodikn´l n - 1, stb., ´s ezek szora a e zata adja az eredm´nyt. e · Ha n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l k elemet h´zunk uo o o o u u visszatev´s n´lk¨l (ahol k n) ugy, hogy e e u ´ a sorrend sz´m´ (ezeket ism´tl´s n´lk¨li a it e e e u vari´ci´knak nevezz¨k), akkor a lehets´a o u o e gek sz´ma a n(n - 1) · · · (n - k + 1),

amit az elzh¨z hasonl´ gondolatmeneto o o o tel bizony´ ithatunk.
13

· Ha n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l k elemet h´zunk uo o o o u u visszatev´ssel ugy, hogy a sorrend sz´m´ e ´ a it (ezeket ism´tl´ses vari´ci´knak nevezz¨k), e e a o u akkor a lehets´gek sz´ma o e a nk , hiszen minden h´z´sn´l n lehets´g van. u a a o e

· Ha n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l k elemet h´zunk uo o o o u u visszatev´s n´lk¨l (ahol k n) ugy, hogy a e e u ´ sorrend nem sz´m´ (ezeket ism´tl´s n´la it e e e k¨li kombin´ci´knak nevezz¨k), akkor a u a o u lehets´gek sz´ma o e a n(n - 1) · · · (n - k + 1) n! n = , := k k! (n - k)! k!

hiszen a megfelel ism´tl´s n´lk¨li vari´cio e e e u a okat ugy lehet megkapni, hogy a kih´zott ´ ´ u k elemet az osszes lehets´ges m´don sor¨ e o barakjuk; ezek sz´ma pedig mindig k!. a
14

· Ha n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l k elemet h´zunk uo o o o u u visszatev´ssel ugy, hogy a sorrend nem sz´e ´ a m´ (ezeket ism´tl´ses kombin´ci´knak it e e a o nevezz¨k), akkor a lehets´gek sz´ma u o e a n+k-1 , k amit ugy lehet bel´tni, hogy a k´ erlet ki´ a is´ meneteleihez egy´rtelmen hozz´ lehet rene u a delni egy olyan sorozatot, mely n-1 darab egyesbl ´s k darab null´b´l ´ll, ´s ugy o e a o a e ´ kell ´rtelmezni, hogy az els egyesig lev e o o null´k sz´ma (ami 0 is lehet) jelenti az els a a o fajta elembl h´zottak sz´m´t, az els ´s o u a a o e m´sodik egyes k¨z´ ´ null´k sz´ma jelenti a o e irt a a a m´sodik fajta elembl h´zottak sz´m´t, a o u a a stb.; az ilyen nulla­egy sorozatok sz´ma a pedig nyilv´n a n+k-1 , k hiszen azt kell megmondani, hogy az n + k - 1 hely k¨z¨l melyik k helyre ker¨lj¨n o u u o nulla.
15

4. Adva van n k´rtya; ezeket osztjuk sz´t k a e j´t´kos k¨z¨t ugy, hogy sorban n1, n2, . . . , a e o o ´ nk k´rty´t kapjanak, ahol n1 + n2 + · · · + a a nk = n, ´s az egy j´t´koshoz ker¨l lapok e a e uo sorrendje nem sz´m´ (ezeket ism´tl´ses a it e e permut´ci´knak nevezz¨k). Ekkor az esea o u m´nyt´r elemeinek sz´ma e e a || = n! , n1 ! n 2 ! · · · n k !

hiszen a k´rty´k n! sz´m´ permut´ci´it a a a u a o ugy lehet ezekbl a leoszt´sokb´l megkapni, ´ o a o hogy az egy j´t´koshoz ker¨lt n1, n2, . . . , a e u nk k´rty´t tetszleges sorrendbe helyezz¨k. a a o u 5. Addig dob´lunk egy ´rm´vel, m´ az els a e e ig o fejet siker¨l el´rni. Ekkor u e = {f, if, iif, iiif, . . . , i}, ahol i azt a lehets´ges kimenetelt jel¨li, e o amikor csak ´ ast dobunk a v´gtelens´gig. ir´ e e
16

2. Val´sz´ us´g o in e
n v´letlen, f¨ggetlen k´ erletetet hajtunk v´gre e u is´ e A : esem´ny e kn(A) : A gyakoris´ga; (ah´nyszor A bek¨v.) a a o v´letlen mennyis´g; lehets´ges ´rt´kei: 0, 1, . . . , n e e e e e A relat´ gyakoris´ga: n(A) := iv a kn(A) n

Tapasztalat: egy A esem´ny relat´ gyakoe iv ris´ga egyre kisebb kileng´sekkel ingadozik egy a e sz´m k¨r¨l midn n­et n¨velj¨k; ezt nevezz¨k a o u o o u u A val´sz´ us´g´nek o in e e

17

Tulajdons´gai: a · 0 n(A) 1 tetszleges A A eset´n, o e

· n() = 0, n() = 1 · ha A ´s B egym´st kiz´r´ esem´nyek, akkor e a a o e n(A B) = n(A) + n(B) · ha A1, A2,. . . p´ronk´nt egym´st kiz´r´ak, a e a a o akkor n

j=1

Aj =



j=1

n(Aj )

· n(A) = 1 - n(A) ha A A, · ha A B, akkor n(A) n(B)

(De ezek a tulajdons´gok nem f¨ggetlenek.) a u
18

Val´sz´ us´gi mez: (, A, P), ahol o in e o · egy nem¨res halmaz (az esem´nyt´r); u e e · A 2 az bizonyos r´szhalmazaib´l e o ´ll´ -algebra (az esem´nyek); a o e · P : A R olyan lek´pez´s, melyre e e (a) 0

P(A)

1 tetszleges A A eset´n, o e

(b) P() = 1, (c) ha A1, A2, . . . A p´ronk´nt diszjunka e tak, akkor

(Ezt a tulajdons´got -additivit´snak a a nevezz¨k). u
19

P





j=1

Aj =



j=1

P(Aj ).

Tulajdons´gai: a · P() = 0

(hiszen ha P() > 0 volna, akkor (c)-ben A1 = A2 = . . . = v´laszt´ssal ellenta a mond´sra jutn´nk) a a

· Ha A1, A2, . . . , An A p´ronk´nt diszjunka e tak, akkor

Ezt a tulajdons´got v´ges additivit´snak a e a nevezz¨k; ugy bizony´ u ´ ithat´, hogy (c)-t alo kalmazzuk An+1 = An+2 = . . . = eset´re, e ´s alkalmazzuk azt, hogy P() = 0. e · P(A) = 1 - P(A)

P



n j=1

Aj =



n

P(Aj ).
j=1

a igy (hiszen = A A diszjunkt felbont´s, ´ 1 = P() = P(A A) = P(A) + P(A))
20

· Ha A B, akkor

P(A)

P(B),

P(B \ A) = P(B) - P(A).

Ezt a tulajdons´got monotonit´snak nea a vezz¨k; ugy lehet bel´tni, hogy A B eset´n u ´ a e B = A (B \ A) diszjunkt felbont´s, ez´rt a e

P(B) = P(A) + P(B \ A)
· tetszleges A, B A eset´n o e

P(A).

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B),
hiszen A B = A \ (A B) B \ (A B) (A B) diszjunkt felbont´s, ez´rt a e A B B miatt AB A ´s e

P(A B) = P(A) - P(A B)

+ P(B) - P(A B) + P(A B).
21

· tetszleges A, B, C A eset´n o e

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C),
hiszen

P (A B) C
´s e

= P(A B) + P(C) - P (A B) C ,

P (A B) C = P (A C) (B C) = P(A C) + P(B C) - P (A C) (B C) ,
ahol (A C) (B C) = A B C.

22

Diszkr´t val´sz´ us´gi mez: v´ges vagy e o in e o e megsz´ml´lhat´an v´gtelen, azaz a a o e = {1, 2, . . . , N } vagy = {1, 2, . . .}

alak´, ´s A = 2. u e

Ekkor tetszleges A A esem´ny el´ll az o e oa A=
i : i A

{i}

diszjunkt felbont´s alakj´ban, ´ a a igy

P(A) =
i : iA

P({i}).

Ez´rt el´g megadni az elemi esem´nyek vae e e l´sz´ us´geit, a pi := P({i}) (i = 1, 2, . . .) o in e sz´mokat ahhoz, hogy tetszleges esem´ny vaa o e l´sz´ us´g´t ki tudjuk sz´molni. o in e e a
23

Nyilv´n sz¨ks´ges az, hogy ezek a {p1, p2, . . .} a u e sz´mok nemnegat´ a ivak legyenek ´s osszeg¨k 1 e ¨ u legyen, hiszen pi =
i i

Ekkor azt mondjuk, hogy {p1, p2, . . .} eloszl´st a alkotnak. Ha = {1, 2, . . . , N } ´s e 1 p1 = p 2 = . . . = p N = , N akkor

P({i}) = P {i} = P() = 1.
i





P(A) =
vagyis
i : i A

pi =

1 |A| 1= , N i : A N i

P(A) =

kedvez kimenetelek sz´ma o a . osszes kimenetelek sz´ma ¨ a
24

P´ld´k: e a

1. K´t ´rm´t feldobva mennyi annak a val´e e e o sz´ us´ge, hogy egy fej ´s egy ´ as legyen in e e ir´ az eredm´ny? e Ekkor a k´t ´rm´t megk¨l¨nb¨ztetve az e e e uo o = {ff, fi, if, ii} esem´nyteret kapjuk, amelyben a kimenee telek egyforma val´sz´ us´gek, ´ az o in e u igy A = {fi, if} esem´ny val´sz´ us´ge e o in e

P(A) =

1 2 = 4 2

25

2. Mennyi a val´sz´ us´ge, hogy egy n tag´ o in e u t´rsas´gban van legal´bb k´t olyan szem´ly, a a a e e akiknek ugyanakkor van a sz¨let´snapja? u e (Feltessz¨k, hogy a sz¨knap nem lehet.) u o o Nyilv´n n > 365 eset´n (a ,,skatulya-elv" a e miatt) ez biztos esem´ny, ´ ekkor a val´e igy o sz´ us´g 1. in e Ha pedig n 365, akkor az ellentett esem´nnyel sz´molva e a

P(A) = 1 -
=1-

365 · 364 · · · (365 - n + 1) 365n 365! (365 - n)! · 365n ha ha ha ha n = 16 n = 22 n = 23 n = 40
26



0.284 0.476

0.507

0.891

Val´sz´ us´gek geometriai kisz´m´ asi m´dja o in e a it´ o Rk ,,minden pont egyenl val´sz´ us´g", azaz o o in e u egy A r´szhalmaz val´sz´ us´ge A m´re o in e e t´k´vel ar´nyos, vagyis e e a µ(A) P(A) = , µ() ahol µ az illet halmaz m´rt´k´t jel¨li: o e e e o

· k = 1 eset´n osszhossz, e ¨ · k = 2 eset´n ter¨let, e u · k = 3 eset´n t´rfogat. e e
27

P´lda: Egy egys´gnyi hossz´s´g´ szakaszt k´t, e e u a u e tal´lomra kiv´lasztott ponttal h´rom szakaszra a a a bontunk fel. Mennyi annak a val´sz´ us´ge, o in e hogy a h´rom szakaszb´l h´romsz¨get lehet a o a o szerkeszteni? Jel¨lje a k´t, tal´lomra kiv´lasztott pont hely´t o e a a e x, y [0, 1]. A k´t pont tal´lomra val´ kiv´lasze a o a t´s´t ugy ´rtelmezz¨k, hogy annak a val´sz´ ua a ´ e u o in s´ge, hogy az (x, y) pont a [0, 1]×[0, 1] n´gyzet e e valamely r´szhalmaz´ba esik, a r´szhalmaz tee a e r¨let´vel ar´nyos. A keresett val´sz´ us´g ez´rt u e a o in e e annak a halmaznak a ter¨lete, melynek pontu jaira fenn´llnak a k¨vetkez egyenltlens´gek: a o o o e 0 < x < y < 1, x < 1 - x, vagy 0 < y < x < 1, y < 1 - y, 1 - x < x, 1 - y < y,

y-x<1-y+x

x - y < 1 - x + y,
28

azaz 1 0
29

3. Felt´teles val´sz´ us´g e o in e
Tekints¨k az A ´s B esem´nyeket. u e e Hogyan defini´ljuk az A esem´ny felt´teles a e e val´sz´ us´g´t a B felt´tel mellett (azaz ha o in e e e tudjuk, hogy a B esem´ny bek¨vetkezett) ? e o n f¨ggetlen k´ erletet v´gz¨nk u is´ e u kn(B) alkalommal k¨vetkezik be a B esem´ny o e ezen esetekben kn(AB) alkalommal k¨vetkezik o be egy´ttal az A esem´ny is u e ´ Igy az A esem´ny felt´teles relat´ gyakoe e iv ris´ga azon felt´tel mellett, hogy B bek¨a e o vetkezik kn(A B) n(A B) n(A | B) := = . kn(B) n(B)
30

Mivel a n(B) ´s n(A B) relat´ gyakoris´gok e iv a a P(B) illetve P(A B) val´sz´ us´gek k¨r¨l ino in e o u gadoznak, ez´rt term´szetes az A esem´nynek e e e a B esem´nyre vonatkoz´ felt´teles val´sz´ ue o e o in s´g´t a e e

P(A | B) :=

P(A B) P(B)

k´plettel ´rtelmezni, hacsak P(B) > 0. e e

31

P´ld´k: e a 1. Mennyi a val´sz´ us´ge, hogy egy k´tgyero in e e mekes csal´dban mindk´t gyerek fi´, ha a e u tudjuk, hogy · az idsebb gyerek fi´; o u · legal´bb az egyik gyerek fi´ ? a u Ekkor az esem´nyt´r e e melynek elemei egyform´n 1/4 val´sz´ ua o in s´gek. Legyen e u A := {mindk´t gyerek fi´} = {FF}, e u B1 := {az idsebb gyerek fi´} = {FF, FL}, o u B2 := {legal´bb az egyik gyerek fi´} a u = {FF, FL, LF}. = {FF, FL, LF, LL},

Nyilv´n A B1 = A B2 = {FF}, ´ a igy

P(A | B1) = 1/2,

P(A | B2) = 1/3.
32

2. Bridzsn´l oszt´skor 2 ´szt kapott valaki. e a a Mennyi a val´sz´ us´ge, hogy a m´sik 2 o in e a ´sz a partner´n´l van? a e e Az osszes leoszt´sok sz´ma ¨ a a 52! , 4 (13!) ezek egyforma val´sz´ us´gek. Ezekbl o in e u o 39! 4 48 · · 2 11 (13!)3 olyan leoszt´s van, melyn´l az els j´t´kos a e o a e 2 ´szt kap, ´s ezek k¨z¨tt pedig a e o o 26! 4 48 37 · · · 2 11 11 (13!)2 olyan leoszt´s van, melyn´l a m´sik 2 ´sz a a e a a partner´n´l van. Teh´t a keresett felt´teles e e a e val´sz´ us´g o in e
4 26! · 48 · 37 · (13!)2 2 11 11 2 . = 48 4 39! 19 2 · 11 · (13!)3
33

Persze lehetne olyan esem´nyteret v´lasztani, e a amelyn´l sz´m´ a lapok sorrendje; ekkor az e a it || = 52! sz´m´ elemi esem´ny ujra egyenl a u e ´ o val´sz´ us´g, de ekkor a kedvez esetek sz´o in e u o a m´n´l is figyelembe kell venni a lapok sorrendj´t! a a e Ezt az eredm´nyt ugy is meg lehet kapni, hogy e ´ mivel az els j´t´kosnak m´r kiosztottak 2 ´szt, o a e a a ´ az a k´rd´s, hogy a m´sik 2 ´szt a lehets´ges igy e e a a e 39 egyenl val´sz´ us´g helyre kiosztva menyo o in e u nyi annak a val´sz´ us´ge, hogy mind a kett o in e o a partner 13 lapja k¨z´ ker¨l? Ekkor az osszes o e u ¨ esetek sz´ma 39 , a kedvez esetek sz´ma a o a 2 igy e pedig 13 , ´ az eredm´ny 2
13 2 39 2

12 · 13 2 = = . 38 · 39 19

(Hasonl´ m´don annak a val´sz´ us´ge, hogy a o o o in e 26 partnern´l 1 ´sz van: 3·19 , annak a val´sz´ us´ge e a o in e 25 pedig, hogy a partnern´l nincs ´sz: 3·19 .) e a
34

Nyilv´n P(A B) = P(A)P(B | A) a ´ltal´nos´ asa: a a it´ L´ncszab´ly: a a

melynek

hacsak P(A1 A2 · · · An-1) > 0.

P(A1 A2 · · · An) = P(A1) · P(A2 | A1) · P(A3 | A1 A2) · . . . · P(An | A1 A2 · · · An-1),

Bizony´ as. Az ´ll´ as igaz n = 1 eset´n. it´ a it´ e Tegy¨k fel, hogy igaz n = k­ra. Mivel u

ez´rt e

P(Ak+1 | A1 A2 · · · Ak ) P(A1 A2 · · · Ak Ak+1) , = P(A1 A2 · · · Ak ) P(A1 A2 · · · Ak Ak+1) = P(A1 A2 · · · Ak ) × P(Ak+1 | A1 A2 · · · Ak ),

amibl az indukci´s feltev´st haszn´lva kapjuk o o e a az ´ll´ ast n = k + 1-re. a it´
35

P´lda: H´zzunk ki a 32 lapos magyar k´rty´b´l e u a a o h´rmat visszatev´s n´lk¨l. Mennyi a val´sz´ ua e e u o in s´ge, hogy az els ´s a harmadik kih´zott lap e o e u piros, a m´sodik pedig nem az? a Jel¨lje Ai (i = 1, 2, 3) azt az esem´nyt, hogy o e az i-edik h´z´s eredm´nye piros. Ekkor u a e 8 1 P(A1) = = , 32 4 24 P(A2 | A1) = , 31

7 , P(A3 | A1 A2) = 30 ´ igy 1 24 7 7 · · = . 4 31 30 155 Persze lehetne haszn´lni azt az esem´nyteret a e is, amely az els h´rom kih´zott lapb´l ´ll a o a u o a sorrendet is figyelembe v´ve; ekkor e

P(A1 A2 A3) =

´s a kimenetelek egyenl val´sz´ us´gek. Mivel e o o in e u a kedvez esetek sz´ma 8 · 24 · 7, ´ a keresett o a igy 7 8 · 24 · 7 = . val´sz´ us´g o in e 32 · 31 · 30 155
36

|| = 32 · 31 · 30,

Teljes esem´nyrendszer: az esem´nyt´r mege e e sz´ml´lhat´ diszjunkt felbont´sa, azaz esem´a a o a e nyek A1, A2, . . . v´ges vagy v´gtelen sorozata, e e melyek egym´st p´ronk´nt kiz´rj´k, ´s osszea a e a a e ¨ g¨k az eg´sz esem´nyt´r, vagyis u e e e Ai Aj = ha i = j, ´s Ai = . e i Egy teljes esem´nyrendszer esem´nyei k¨z¨l e e o u mindig pontosan egy k¨vetkezik be, ´s o e

P(Ai) = 1.
i

37

Teljes val´sz´ us´g t´tele: o in e e Ha az A1, A2, . . . pozit´ val´sz´ us´g esem´iv o in e u e nyek teljes esem´nyrendszert alkotnak, akkor e tetszleges B esem´nyre o e

P(B) =
i

P(B | Ai) · P(Ai).

Bizony´ as. Nyilv´n it´ a B = (B Ai)
i

diszjunkt felbont´s, hiszen a B = B = B (Ak ) = (B Ak ),
k k

´s i = j eset´n e e (B Ai) (B Aj ) = B Ai Aj = ,
i

amibl a o

ugyanis Ai Aj = . Ez´rt P(B) = e

P(B Ai),

osszef¨gg´s felhaszn´l´s´val kapjuk az ´ll´ ast. ¨ u e aa a a it´
38

P(B Ai) = P(B | Ai) · P(Ai)

P´lda: H´rom g´p csavarokat gy´rt. e a e a A selejt ar´nya a · az els g´pn´l 1 %, o e e · a m´sodikn´l 2 %, a a · a harmadikn´l 3 %. a Az osszterm´k ¨ e · 50 %-´t az els g´p, a o e · 30 %-´t a m´sodik, a a · 20 %-´t a harmadik a ´ll´ a itja el. Mi a val´sz´ us´ge annak, hogy az o o in e osszterm´kbl v´letlenszeren v´lasztott csavar ¨ e o e u a selejtes? Jel¨lje B azt az esem´nyt, hogy selejtet h´zunk, o e u Ai (i = 1, 2, 3) pedig azt, hogy a kih´zott u csavar az i-edik g´pen k´sz¨lt. Ekkor nyilv´n e e u a

P(B|A1) = 0.01, P(B|A2) = 0.02, P(B|A3) = 0.03,
´ igy

P(A1) = 0.5, P(A2) = 0.3, P(A3) = 0.2,

P(B) = 0.01·0.5+0.02·0.3+0.03·0.2 = 0.017.
39

Bayes­formula: Ha A ´s B pozit´ val´e iv o sz´ us´g esem´nyek, akkor in e u e

P(A | B) =

P(A) · P(B | A) . P(B)

e Bizony´ as. P(A | B) = P(AB) ´s P(AB) = it´ P(B) P(A) · P(B | A). Bayes­t´tel: Ha az A1, A2, . . . pozit´ val´e iv o sz´ us´g esem´nyek teljes esem´nyrendszert in e u e e alkotnak ´s P(B) > 0, akkor e

P(Ai | B) =
j

P(Ai) · P(B | Ai) . P(B | Aj ) · P(Aj )

Bizony´ as. A Bayes­formul´t alkalmazva it´ a

P(Ai) · P(B | Ai) . P(B) Ezut´n a teljes val´sz´ us´g t´tele alapj´n a o in e e a P(Ai | B) = P(B) =
j

P(B | Aj ) · P(Aj ).

40

P´lda: Mennyi a felt´teles val´sz´ us´ge az e e o in e elz p´ld´ban annak, hogy az els, m´sodik, o o e a o a illetve harmadik g´pen gy´rtott´k a kiv´lasztott e a a a csavart azon felt´tel mellett, hogy az selejtese nek bizonyult?

P(A1 | B) =

0.01 · 0.5 5 = , 0.017 17

P(A2 | B) =
6 . 17

6 17

P(A3 | B) =

41

4. F¨ggetlens´g u e
Akkor tartunk k´t esem´nyt f¨ggetleneknek egye e u m´st´l, ha az egyik bek¨vetkez´s´vel kapcsoa o o e e latos inform´ci´ nem v´ltoztatja meg a m´sik a o a a esem´ny bek¨vetkez´s´nek es´ly´rl alkotott e o e e e e o v´lem´ny¨nket. e e u Ez´rt pozit´ val´sz´ us´g A ´s B esem´nyeket e iv o in e u e e akkor nevez¨nk f¨ggetleneknek, ha u u

teljes¨l. u

P(A | B) = P(A),

P(B | A) = P(B)

Mindk´t felt´tel a P(AB) = P(A)· P(B) osszee e ¨ f¨gg´ssel ekvivalens. Ennek akkor is van ´rtelme, u e e ha A vagy B val´sz´ us´ge 0. Ez´rt az ´ltal´nos o in e e a a defin´ o a k¨vetkez: ici´ o o Azt mondjuk, hogy az A ´s B esem´nyek e e f¨ggetlenek, ha u

P(A B) = P(A) · P(B).
42

Az biztos esem´ny ´s az lehetetlen e e esem´ny minden esem´nytl f¨ggetlen. e e o u Ha A ´s B f¨ggetlenek, akkor A ´s B, A ´s B, e u e e valamint A ´s B is f¨ggetlenek. e u Azt mondjuk, hogy az A1, A2, . . . esem´nyek e p´ronk´nt f¨ggetlenek, ha k¨z¨l¨k b´rmely a e u o uu a k´t esem´ny f¨ggetlen. e e u Azt mondjuk, hogy az A1, A2, . . . esem´nyek e (teljesen) f¨ggetlenek, ha tetszleges i1, i2, u o . . . , ik k¨l¨nb¨z indexekre uo o o

P(Ai1 Ai2 · · · Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · · P(Aik ).
Lehets´ges, hogy p´ld´ul h´rom esem´ny p´e e a a e a ronk´nt f¨ggetlenek, de nem (teljesen) f¨ggete u u lenek.
43

5. Val´sz´ us´gi v´ltoz´k o in e a o
(, A, P) val´sz´ us´gi mez o in e o Val´sz´ us´gi v´ltoz´: : R o in e a o Val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´: : Rk o in e a o

44

 diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´, ha az e o in e a o
X := {() : } ´rt´kk´szlet v´ges vagy megsz´ml´lhat´an v´ge e e e a a o e telen, azaz X = {x1, x2, . . .} alak´ u

{ : () = xi} n´ ohalmaz: azon elemi iv´ esem´nyek halmaza, melyekn´l az xi ´rt´ket e e e e veszi fel
Ez´rt { : () = xi} A, i = 1, 2 . . . kell e

eloszl´sa: p (xi), i = 1, 2 . . ., ahol a
p (xi) := P{ = xi} := P({ : () = xi}) Nyilv´n a p (xi) 0, i = 1, 2 . . ., ´s e
i

p (xi) = 1,

hiszen az { : () = xi}, i = 1, 2 . . . esem´e nyek teljes esem´nyrendszert alkotnak. e
45

P´ld´k: e a

1. K´t kock´t dobva a dobott sz´mok osszee a a ¨ g´t jel¨lje . e o Ekkor diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´; e o in e a o lehets´ges ´rt´keinek halmaza: e e e X = {2, 3, . . . , 12}, eloszl´sa: a
k - 1 36

ha 2 ha 7

k k

7, 12.

P{ = k} =

13 - k

36

46

2. Binomi´lis eloszl´s. a a n f¨ggetlen k´ erlet u is´ A esem´ny, p := P(A) e A gyakoris´ga: := kn(A) a diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´; e o in e a o lehets´ges ´rt´keinek halmaza: e e e X = {0, 1, 2, . . . , n}, eloszl´sa a

P{ = k} =

n k p (1 - p)n-k , k

melyet n­edrend p param´ter binou e u mi´lis eloszl´snak nevez¨nk. a a u

47

3. Negat´ binomi´lis eloszl´s. iv a a A esem´ny, p := P(A) e Addig v´gz¨nk f¨ggetlen k´ erleteket, am´ e u u is´ ig A elsz¨r bek¨vetkezik. o o o := az ehhez sz¨ks´ges k´ erletek sz´ma; u e is´ a lehets´ges ´rt´keinek halmaza: e e e X = {1, 2, . . . , },

eloszl´sa: k = 1, 2, . . . eset´n a e

´ igy

P{ = k} = p · (1 - p)k-1, P{ = } = 1 - P{ < }
=1-
k=1

P{ = k}
(1 - p)k-1 = 0.

=1-p

k=1

Ekkor eloszl´s´t elsrend p paraa a o u m´ter negat´ binomi´lis eloszl´snak e u iv a a nevezz¨k. u
48

4. Hipergeometrikus eloszl´s. a Egy urn´ban M piros ´s N - M fekete a e goly´ van (M < N ). Visszatev´ssel h´zunk o e u n goly´t. Jel¨lje a kih´zott piros goly´k o o u o sz´m´t. Ekkor lehets´ges ´rt´keinek a a e e e halmaza X = {0, 1, . . . , n}, ´s e n P{ = k} = k

M n-k M k , 1- N N teh´t eloszl´sa n-edrend M/N paraa a u m´ter binomi´lis eloszl´s. e u a a

Ha visszatev´s n´lk¨l h´zunk ki n goly´t e e u u o (n N ), ´s megint jel¨li a kih´zott piros e o u goly´k sz´m´t, akkor olyan k ´rt´keket o a a e e vehet fel, melyre teljes¨l 0 k n, k M , u ´s n - k N - M , tov´bb´ e a a

P{ = k} =

M k

N -M n-k . N n

Ekkor eloszl´s´t (M, N - M, n) paa a ram´ter hipergeometrikus eloszl´snak e u a nevezz¨k. u
49

4. Poisson eloszl´s. a Mazsol´s kal´csot s¨t¨nk; 1000 gramm t´sza a u u e t´ba n = 50 darab mazsol´t tesz¨nk. a a u Egy szelet s´lya 25 gramm, teh´t N = 40 u a szelet k´sz¨l. Minden mazsola egyforma e u val´sz´ us´ggel ker¨lhet bele b´rmely szeo in e u a letbe, ´s a mazsol´k egym´st´l f¨ggetlen¨l e a a o u u ,,mozognak". Jel¨lje egy kiv´lasztott o a szeletbe ker¨l mazsol´k sz´m´t. Lehets´uo a a a e ges ´rt´keinek halmaza X = {0, 1, . . . , 50}, e e eloszl´sa a 50 P{ = k} = k 1 k 1 50-k , 1- 40 40

teh´t eloszl´sa n-edrend 1/N paraa a u m´ter binomi´lis eloszl´s. e u a a Mi t¨rt´nik, ha n¨velj¨k a t´szta mennyio e o u e s´g´t? Ha n mazsol´t haszn´lunk fel 20 · n e e a a gramm t´szt´ba, akkor N = 20·n/25 szelet e a k´sz¨l, ´ a binomi´lis eloszl´s param´tere e u igy a a e
50

pn := 1/N = /n, ahol := 5/4 az egy szeletre ´tlagosan jut´ mazsol´k sz´ma. Eka o a a kor
k n k n-k = e-, lim p (1 - pn) n k n k! hiszen

n k pn(1 - pn)n-k k n-k n(n - 1) · · · (n - k + 1) k 1- = k! n n 1 k - 1 k n-k = 1- ··· 1 - 1- . n n k! n Ha egy val´sz´ us´gi v´ltoz´ lehets´ges o in e a o e ´rt´kei a nemnegat´ eg´sz sz´mok ´s k = e e iv e a e 0, 1, . . . eset´n e k - P( = k) = e , k! ahol > 0, akkor azt mondjuk, hogy eloszl´sa param´ter Poisson­ a e u eloszl´s. a
51

Tetszleges o eset´n e

: R val´sz´ us´gi v´ltoz´ o in e a o { : () [a, b]} A

kell minden [a, b] R intervallumra; ehhez pontosan az kell, hogy { : () < x} A teljes¨lj¨n tetszleges x R eset´n u o o e Defin´ o: A : R lek´pez´s val´sz´ ici´ e e o ins´gi v´ltoz´, ha tetszleges x R eset´n u e a o o e { : () < x} A. Ekkor az F : R [0, 1], F (x) := P{ < x} f¨ggv´nyt (kumulat´ u e iv) eloszl´sf¨ggv´a u e ny´nek nevezz¨k. e u

52

T´tel. Egy F : R [0, 1] f¨ggv´ny akkor e u e ´s csak akkor lehet eloszl´sf¨ggv´nye valamely e a u e : R val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha o in e a o (a) F monoton n¨vekv, o o (b) F balr´l folytonos, o (c)
x-

lim F (x) = 0,

x+

lim F (x) = 1.

Bizony´ as. Tegy¨k fel, hogy F valamely it´ u val´sz´ us´gi v´ltoz´ eloszl´sf¨ggv´nye. o in e a o a u e (a) Ha x1 x2, akkor

{ : () < x1} { : () < x2} miatt F (x1) = P{ < x1}

P{ < x2} = F (x2).

53

(b) Azt kell megmutatni, hogy ha akkor F (xn) F (x). Tekints¨k a u { < x} = { < x1}{x1 < x2}{x2 diszjunkt felbont´st. Ez alapj´n a a

xn x, < x3}. . .

P{ < x} = P{ < x1} + P{x1
azaz + P{x2

< x2 } < x3 } + · · · ,

F (x) = F (x1) + (F (x2) - F (x1)) hiszen a miatt P {a V´g¨l e u b eset´n e + (F (x3) - F (x2)) + · · ·

{a

< b} = { < b} \ { < a}

< b} = P { < b}-P { < a} = F (b)-F (a).
n-1

F (x) = F (x1) + lim
n

n

k=1

(F (xk+1) - F (xk ))
n

= F (x1) + lim (F (xn) - F (x1)) = lim F (xn).
54

P´ld´k: e a 1. Ha : R diszkr´t val´sz´ us´gi v´le o in e a toz´ X = {x1, x2, . . .} lehets´ges ´rt´kekkel o e e e ´s P{ = xi} (i = 1, 2, . . .) eloszl´ssal, akkor e a eloszl´sf¨ggv´nye egy olyan balr´l folytonos a u e o l´pcssf¨ggv´ny, melynek az ugr´shelyei ´ppen e o u e a e az x1, x2, . . . pontok, ´s az ugr´s nagys´ga az e a a xi pontban P{ = xi}, ugyanis ekkor F (x) = P{ < x} =
i : xi
P{ = xi}.

2. Ha a [0, 1] intervallumon v´lsztunk v´a e letlenszeren egy pontot ugy, hogy egy u ´ A [0, 1] r´szhalmazba es´s val´sz´ us´ge az e e o in e illet r´szhalmaz m´rt´k´vel ar´nyos, akkor o e e e e a eloszl´sf¨ggv´nye nyilv´n a u e a F (x) =
0

x 1

ha x 0, ha 0 < x 1, ha x > 1.

Ekkor a val´sz´ us´gi v´ltoz´t egyenletes o in e a o eloszl´s´nak nevezz¨k a [0, 1] intervallumon. a u u
55

(, A, P) val´sz´ us´gi mez o in e o : R val´sz´ us´gi v´ltoz´ o in e a o Ha l´tezik olyan e melyre F (x) =
x -

f : R [0, ) f (t) dt,

f¨ggv´ny, u e

x R,

akkor az f f¨ggv´nyt a srs´gf¨ggv´u e u u e u e ny´nek nevezz¨k. (Nem egy´rtelmen defini´lt!) e u e u a Ha a < b, akkor

P{a

< b} = F (b) - F (a) =

b a

f (t) dt.

Ha az f srs´gf¨ggv´ny folytonos az x R u u e u e pontban, akkor F (x) = f (x). P´lda: Ha egyenletes eloszl´s´ a e a u intervallumon, akkor az f (x) =
1 0

[0, 1]

ha 0 x 1 egy´bk´nt e e
56

f¨ggv´ny srs´gf¨ggv´nye ­nek u e u u e u e

T´tel. Egy f : R [0, ) f¨ggv´ny akkor e u e ´s csak akkor lehet srs´gf¨ggv´nye valamely e u u e u e : R val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha o in e a o
-

f (t) dt = 1.

Bizony´ as. Ha f valamely val´sz´ us´gi it´ o in e v´ltoz´ srs´gf¨ggv´nye, akkor a o u u e u e
-

f (t) dt = lim

x

Ha

- f (t) dt = 1, akkor az F :

x -

f (t) dt = lim F (x) = 1. x

R [0, 1],

F (x) :=

x

f¨ggv´ny monoton n¨vekv, folytonos ´s u e o o e
x-

-

f (t) dt

lim F (x) = 0,

x+

lim F (x) = 1, : R

ez´rt eloszl´sf¨ggv´nye valamely e a u e val´sz´ us´gi v´ltoz´nak. o in e a o

57

P´ld´k: e a 1. Ha egyenletes eloszl´s´ a [0, 1] intera u vallumon, akkor a srs´gf¨ggv´nye u u e u e f (x) =
1 0

ha 0 x 1, egy´bk´nt. e e

2. Ha a val´sz´ us´gi v´ltoz´ srs´gf¨ggo in e a o u u e u v´nye e 1 - (x-m) f (x) = xR e 22 , 2 alak´, ahol m R, > 0, akkor azt mondu juk, hogy norm´lis eloszl´s´ (m, 2) a a u param´terekkel. Az, hogy - f (x) dx = e 1, abb´l k¨vetkezik, hogy o o
- -x2/2 dx e 2
2

= =





- - 2 0 0

-(x2+y 2)/2 dx dy e -r 2/2 dr re r= r=0
58

d

-r 2/2 = 2 -re

= 2.

3. Exponenci´lis eloszl´s. a a Jel¨lje a val´sz´ us´gi v´ltoz´ egy rao o in e a o dioakt´ atom ´lettartam´t. Ez rendelkezik iv e a az ugynevezett or¨kifj´ tulajdons´ggal: ´ ¨ o u a ha t, h > 0, akkor vagyis annak ellen´re, hogy tudjuk, hogy az e atom m´r meg´lt t idt, a m´g h´tralev a e o e a o ´lettartam eloszl´sa ´ppen olyan, mint a e a e teljes ´lettartam eredeti eloszl´sa. Mivel e a t + h, t} , P{ t + h | t} = P{ t} ´s P{ t + h, t} = P{ t + h}, ez´rt e e a G(t) := P{ t} t´l´l´si f¨ggv´nyre uee u e teljes¨l u

P{

t + h|

t} = P{

h},

P{

G(t + h) = G(h). G(t) Be lehet l´tni, hogy ha G folytonos, akkor a l´tezik olyan > 0, hogy e G(t) = e-t ha t > 0.
59

Ez´rt eloszl´sf¨ggv´nye e a u e F (x) =
0 1 - e-x

ha x 0, ha x > 0

alak´, ahol > 0. Ezt az eloszl´st u a param´ter exponenci´lis eloszl´snak nee u a a vezz¨k. Van srs´gf¨ggv´nye: u u u e u e f (x) =
0 e-x

ha x 0, ha x > 0.

Boml´si ´lland´: a a o 1 lim P{t < t + h | h0 h = lim

t}

1 (1 - e-h) = , h0 h ami azt jelenti, hogy kis h > 0 idtartam o eset´n P{t < t + h | t} h, azaz a e h idtartam alatti leboml´s val´sz´ us´ge o a o in e h-val ar´nyos, ´s az ar´nyoss´gi t´nyez . a e a a e o
60

Felez´si id alatt azt a T idtartamot e o o ´rtj¨k, amennyi id alatt 1 val´sz´ us´ggel e u o o in e 2 bomlik el egy radioakt´ atom; ekkor ugyaiv nis a radioakt´ anyagnak k¨zel´ oleg fele iv o it bomlik el. Mivel 1 = P{ < T } = F (T ) = 1 - e-T , 2 ´ igy ln 2 T = , ez´rt a felez´si id ford´ e e o itottan ar´nyos a a boml´si ´lland´val. a a o

61

Val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´: o in e a o azaz = (1, . . . , k ),

: Rk ,

ahol i : R, i = 1, . . . , k val. v´ltoz´k; a o eloszl´sf¨ggv´nye: F : Rk R, a u e F (x1, . . . , xk ) := P{1 < x1, . . . , k < xk } Egy F : R2 R f¨ggv´ny akkor ´s csak u e e akkor eloszl´sf¨ggv´nye valamely = (1, 2) a u e val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´nak, ha o in e a o 1. F (y1, y2)-F (x1, y2)-F (y1, x2)+F (x1, x2) tetszleges x1 y1 ´s x2 y2 eset´n; o e e 2. F balr´l folytonos mindk´t v´ltoz´j´ban; o e a oa 3.
x1-

0

lim

F (x1, x2) =
x1+ x2+

x2-

lim

F (x1, x2) = 0,

lim

F (x1, x2) = 1.

62

Ha (, ) diszkr´t val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´, e o in e a o akkor persze ´s is diszkr´t val´sz´ us´gi e e o in e v´ltoz´k. a o Jel¨lje lehets´ges ´rt´keit x1, x2, . . ., az o e e e lehets´ges ´rt´keit pedig y1, y2, . . .. Ekkor e e e (, ) lehets´ges ´rt´keinek halmaza e e e X = {(xi, yj ) : i, j = 1, 2, . . .}. Ha ismerj¨k (, ) eloszl´s´t, azaz a u a a

val´sz´ us´geket, akkor ki tudjuk sz´molni o in e a ´s eloszl´s´t is: e a a

P{ = xi, = yj }



P{ = xi} = P{ = yj } =

j

P{ = xi, = yj }, P{ = xi, = yj }.

i

Ezeket (, ) peremeloszl´sainak (vagy mara gin´lis eloszl´sainak) nevezz¨k. a a u
63

P´ld´k: e a 1. Polinomi´lis eloszl´s. a a n f¨ggetlen k´ erlet u is´ e A1, A2, . . . , Ar teljes esem´nyrendszer, pi := P(Ai) (ekkor p1 + p2 + · · · + pr = 1) Ai gyakoris´ga: i := kn(Ai) a = (1, 2, . . . , r ) diszkr´t val´sz´ us´gi e o in e vektorv´ltoz´; ´rt´kk´szlete: a o e e e X = {(k1, k2, . . . , kr ) Zr : ki 0, k1 + k2 + · · · + kr = n},

eloszl´sa a

P{1 = k1, 2 = k2, . . . , r = kr }
n! k k p11 p22 . . . pkr , = r k1!k2! . . . kr ! melyet n­edrend (p1, p2, . . . , pr ) parau m´ter polinomi´lis eloszl´snak nevez¨nk. e u a a u Peremeloszl´sai binomi´lis eloszl´sok: a a a n! k P{i = ki} = pi i (1 - pi)n-ki . ki!(n - ki)!
64

2. Egy urn´ban r k¨l¨nb¨z sz´ u goly´ van, a u o o o in o igy az i-edik sz´ ol Ni, i = 1, 2, . . . , r, ´ inb osszesen N := N1+N2+· · ·+Nr goly´ van. ¨ o Visszatev´ssel h´zunk n goly´t. Jel¨lje e u o o i az i-edik sz´ ol h´zott goly´k sz´m´t. inb u o a a Ekkor = (1, 2, . . . , r ) lehets´ges ´rt´e e e keinek halmaza X = {(k1, k2, . . . , kr ) Zr : ki eloszl´sa a

0, k1 + k2 + · · · + kr = n},

P{1 = k1, 2 = k2, . . . , r = kr }
n! N1 k 1 N2 k 2 Nr k r = ··· , k1!k2! . . . kr ! N N N teh´t eloszl´sa n-edrend a a u Nr N1 N2 , ,..., N N N param´ter polinomi´lis eloszl´s. e u a a
65

3. Polihipergeometrikus eloszl´s. a Ha visszatev´s n´lk¨l h´zunk ki n goly´t e e u u o (n N ), ´s megint i jel¨li az i-edik e o sz´ ol h´zott goly´k sz´m´t, akkor = inb u o a a (1, 2, . . . , r ) olyan (k1, k2, . . . , kr ) ´re t´keket vehet fel, melyekre minden i = e 1, 2, . . . , r eset´n teljes¨l 0 ki Ni, ´s e u e k1 + k2 + · · · + kr = n, tov´bb´ a a

P{1 = k1, 2 = k2, . . . , r = kr }
=
N1 k1 N2 r · · · Nr k k2 . N n

Ekkor eloszl´s´t (N1, . . . , Nr , n) paraa a m´ter polihipergeometrikus eloszl´se u a nak nevezz¨k. u Peremeloszl´sai hipergeometrikus eloszl´sok: a a

P{i = ki} =

Ni ki

N -Ni n-ki . N n
66

Ha l´tezik olyan e melyre F (x1, . . . , xk ) =

f : Rk [0, )
x1 -

f¨ggv´ny, u e

...

xk -

f (t1, . . . , tk ) dt1 . . . dtk

teljes¨l minden (x1, . . . , xk ) Rk pontban, u akkor az f f¨ggv´nyt srs´gf¨ggv´ny´nek u e u u e u e e nevezz¨k. Nyilv´n u a

P{ai
=
a1

i
b1

bi, i = 1, . . . , k}
bk ak

...

f (t1, . . . , tk ) dt1 . . . dtk ,

st tetszleges B Rk (Borel-halmaz) eset´n o o e

P{(1, . . . , k ) B}
= tov´bb´ ha a a akkor
B

··· F

f (t1, . . . , tk ) dt1 . . . dtk , folytonosan differenci´lhat´, a o k F (x1, . . . , xk ) x1 . . . xk

f (x1, . . . , xk ) =

.
67

F¨ggetlens´g u e A ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´kat akkor e o in e a o nevezz¨k f¨ggetleneknek, ha tetszleges x, y u u o R eset´n e

azaz F, (x, y) = F (x)F (y).

P{ < x, < y} = P{ < x}P{ < y}

Ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ x1, x2, . . . e o in e a o lehets´ges ´rt´kekkel ´s diszkr´t val´sz´ us´gi e e e e e o in e v´ltoz´ y1, y2, . . . lehets´ges ´rt´kekkel, akkor a o e e e i, j

ekvivalens ´s f¨ggetlens´g´vel. e u e e

P{ = xi, = yj } = P{ = xi}P{ = yj }

Ha l´tezik (, )-nak f, srs´gf¨ggv´nye, e u u e u e akkor f, (x, y) = f (x)f (y), x, y R is ekvivalens a f¨ggetlens´ggel. u e Hasonl´an lehet ´rtelmezni t¨bb val´sz´ us´gi o e o o in e v´ltoz´ f¨ggetlens´g´t. a o u e e
68

Konvol´ci´ u o Ha a ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k f¨ggetlenek, e o in e a o u akkor azt mondjuk, hogy + eloszl´sa a a ´s eloszl´s´nak konvol´ci´ja. e a a u o P´ld´k: e a

1. Ha ´s f¨ggetlen diszkr´t val´sz´ us´gi e u e o in e v´ltoz´k, ´s a lehets´ges ´rt´keik eg´sz sz´a o e e e e e a mok, akkor a { + = k} =


j=-

({ = j} { = k - j})

diszjunkt felbont´s alapj´n a a

P{ + = k} =

j=-

P{ = j}P{ = k - j}.

69

P´ld´ul ha ´s f¨ggetlen binomi´lis e a e u a eloszl´s´ak (n1, p) illetve (n2, p) param´tea u e rekkel, akkor ezek konvol´ci´ja ism´t binomi´lis u o e a eloszl´s, m´gpedig (n1+n2, p) param´terekkel, a e e ugyanis

P{ = i} = P{ = j} =
alapj´n a

n1 i p (1 - p)n1-i, i n2 j p (1 - p)n2-j , j

i = 0, 1, . . . , n1 j = 0, 1, . . . , n2

P{ + = k}
=
i,j : i+j=k

n n1 i p (1 - p)n1-i 2 pj (1 - p)n2-j j i n1 i n2 j

= pk (1 - p)n1+n2-k =

i,j : i+j=k

n1 + n 2 k p (1 - p)n1+n2-k . k
70

2. Ha a ´s f¨ggetlen val´sz´ us´gi v´le u o in e a toz´knak l´teznek az f ´s f srs´go e e u u e f¨ggv´nyei, akkor u e F+ (x) = P{ + < x} =
u+v
f, (u, v) du dv

=
u+v
f (u)f (v) du dv
x-u -

= alapj´n a

f (v) dv f (u) du

f+ (x) = F+ (x) =
-

f (u)f (x - u) du.

71

P´ld´ul ha 1 ´s 2 f¨ggetlen norm´lis e a e u a 2 2 eloszl´s´ak (m1, 1 ) illetve (m2, 2 ) paa u ram´terekkel, akkor ezek konvol´ci´ja ism´t e u o e 2 2 norm´lis eloszl´s, m´gpedig (m1 +m2, 1 +2 ) a a e param´terekkel, ugyanis e fi (u) = alapj´n a f1+2 (x) 1 = - 21

(u-m1 )2 - 2 2 1 e

1 2i

(u-mi )2 - 2 2 i e

1 22

(x-u-m2 )2 - 2 2 2 e

du

=

1
2 2 2 1 + 2

e

-

(x-m1 -m2 )2 2( 2 + 2 ) 1 2 .

72

Ha a ´s f¨ggetlen val´sz´ us´gi v´ltoz´ke u o in e a o nak l´teznek az f ´s f srs´gf¨ggv´nyeik, e e u u e u e akkor F· (x) = P{ · < x} =
u·v
f, (u, v) du dv f (u)f (v) du dv
0 - x/u

=
u·v
=

f (v) dv f (u) du f (v) dv f (u) du

+

0

x/u -

73

alapj´n a f· (x) = F· (x) =
0 -

- u

1 x f f (u) du u u f x f (u) du u du.

+

1 0

1 x = f (u)f u - |u|


74

6. V´rhat´ ´rt´k a o e e
Tekints¨nk egy : R diszkr´t val´sz´ uu e o in s´gi v´ltoz´t x1, . . . , xN lehets´ges ´rt´kekkel e a o e e e ´s P{ = xk }, k = 1, . . . , N eloszl´ssal. e a n f¨ggetlen k´ erlet u is´ Ak := { = xk } relat´ gyakoris´ga iv a kn(Ak ) P(Ak ), n ez´rt kn(Ak ) n· P(Ak ), vagyis az xk ´rt´ket e e e k¨r¨lbel¨l n · P{ = xk } esetben kapjuk, ´ a o u u igy megfigyelt ´rt´kek ´tlaga k¨r¨lbel¨l e e a o u u
N 1 N xk · P{ = xk }. xk · n · P{ = xk } = n k=1 k=1

75

Ha : R diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ e o in e a o x1, x2, . . . lehets´ges ´rt´kekkel ´s P{ = xk }, e e e e k = 1, 2, . . . eloszl´ssal, akkor az a

E :=
k

xk · P{ = xk }

mennyis´get a v´rhat´ ´rt´k´nek nevezz¨k, e a oe e e u amennyiben ez a sor abszol´t konvergens, azaz u
k

|xk | · P{ = xk } < .

Ha : R egy abszol´t folytonos vau l´sz´ us´gi v´ltoz´, melynek srs´gf¨ggv´nye o in e a o u u e u e f : R [0, ), akkor az

E :=



mennyis´get a v´rhat´ ´rt´k´nek nevezz¨k, e a oe e e u amennyiben ez az improprius integr´l abszol´t a u konvergens, azaz
-

-

xf (x) dx

|x|f (x) dx < .
76

P´ld´k: e a 1. Ha binomi´lis eloszl´s´ (n, p) param´a a u e terekkel, akkor

P{ = k} =
n

n k p (1 - p)n-k k

ha k = 0, 1, . . . , n, ez´rt e n! k· E = pk (1 - p)n-k k!(n - k)! k=0 = np (n - 1)! pk-1(1 - p)n-k (k - 1)!(n - k)! k=1
n-1 n

= np = np.

(n - 1)! p (1 - p)n-1- !(n - 1 - )! =0

Teh´t p´ld´ul ha egy p > 0 val´sz´ us´g a e a o in e u A esem´nyre elv´gz¨nk n f¨ggetlen mege e u u figyel´st, akkor a gyakoris´g v´rhat´ ´rt´ke e a a oe e E(kn(A)) = np.
77

2. Ha egy egys´gnyi oldal´ n´gyzetben v´lasze u e a tunk egyenletes eloszl´s szerint egy pontot, a ´s jel¨li a pontnak a legk¨zelebbi oldalt´l e o o o val´ t´vols´g´t, akkor eloszl´sf¨ggv´nye o a a a a u e F (x)
0

ha x

0
1 2

= P{ < x} =

1 - (1 - 2x)2
1 4 - 8x 0

ha 0 < x ha x > 1

ez´rt a srs´gf¨ggv´nye e u u e u e f (x) = ha 0 x
1 2

egy´bk´nt, e e

´ a v´rhat´ ´rt´ke igy a o e e

E =

1/2 0

x(4 - 8x) dx

x=1/2 1 2 - 8 x3 = . = 2x 3 6 x=0
78

3. Az A ´s B j´t´kosok a k¨vetkez j´t´kot e a e o o a e j´tsz´k. Felv´ltva dobnak egy szab´lyos a a a a ´rm´t; A kezd, ´s az nyer, akinek elsz¨r e e e o o siker¨l fejet dobnia. Az els dob´sn´l 2­2 u o a a forintot tesznek be, ´s minden dob´s eltt e a o dupl´zz´k a t´tet, azaz ha az n-edik doa a e b´sra siker¨l fejet dobni ´s n p´ratlan, a u e a akkor A nyer 2n forintot B-tl, ha pedig o n p´ros, akkor B nyer 2n forintot A-t´l. a o Mennyi az A illetve B j´t´kos v´rhat´ a e a o nyerem´nye? e Jel¨lje az A j´t´kos nyerem´ny´t (mely o a e e e pozit´ ha A nyer, ´s negat´ ha A iv, e iv, vesz´ it). Ekkor lehets´ges ´rt´kei 2, e e e -4, 8, -16, . . . ´s e

1 1 P{ = 2} = , P{ = -4} = , . . . 2 4 Mivel 1 1 1 2 · + 4 · + 8 · + · · · = 1 + 1 + 1 + · · · = , 2 4 8 ´ igy v´rhat´ ´rt´ke nem l´tezik! a o e e e
79

4. Legyen olyan val´sz´ us´gi v´ltoz´, melyo in e a o nek srs´gf¨ggv´nye u u e u e 1 . f (x) = 2) (1 + x Ezt az eloszl´st Cauchy-eloszl´snak nea a vezz¨k. u Mivel |x| dx 2) - (1 + x x = 2 lim dx K 0 (1 + x2 )
x=K 1 2) ln(1 + x = 2 lim K 2 x=0 K

= 2 lim = ,

1 ln(1 + K 2) K 2

ez´rt -nek nem l´tezik v´rhat´ ´rt´ke. e e a o e e
80

Tulajdons´gok a
Homog´n: ha val´sz´ us´gi v´ltoz´ ´s c e o in e a oe R, akkor Bizony´ as: ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ it´ e o in e a o x1, x2, . . . lehets´ges ´rt´kekkel, akkor e e e

E(c · ) = c · E .

E(c · ) =

k

c · xk · P{ = xk } = c · E .

Ha abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ u o in e a o f srs´gf¨ggv´nnyel ´s c = 0, akkor a c · u u e u e e val´sz´ us´gi v´ltoz´ srs´gf¨ggv´nye o in e a o u u e u e x 1 , f |c| c ugyanis c · eloszl´sf¨ggv´nye a u e fc· (x) =
P < x c Fc· = P{c · < x} = P > x c
x

ha c > 0, ha c < 0,

´ igy

x f dx = cxf (x) dx = c·E . E(c·) = c - - |c|
81

Addit´ ha ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k, iv: e o in e a o akkor

E( + ) = E + E .
Bizony´ as: ha ´s diszkr´t val´sz´ us´gi it´ e e o in e v´ltoz´k x1, x2, . . . illetve y1, y2, . . . lehets´ges a o e ´rt´kekkel, akkor + lehets´ges ´rt´kei e e e e e xi + y j , ´ igy i, j = 1, 2, . . . ,

E( + ) =
i, j

(xi + yj ) · P{ = xi, = yj } xi

=
i

j

P{ = xi, = yj } P{ = xi, = yj }
yj P{ = yj }

+
j

yj
i

=
i

xiP{ = xi} +

j

= E + E .
82

Ha ´s abszol´t folytonos val´sz´ us´gi e u o in e v´ltoz´k f illetve f srs´gf¨ggv´nnyel, a o u u e u e akkor + srs´gf¨ggv´nye u u e u e f+ (z) = ´ igy
- - -

f (u)f (z - u) du, f (u)f (z - u) du dz
-

E( + ) =
=

z

-

f (u)


zf (z - u) dz du,

ahol z = u - v helyettes´ essel it´


ez´rt e

-

zf (z-u) dz =
-

-

(u+v)f (v) dv = u+E ,

E( + ) =

f (u)(u + E ) du = E + E .

83

Line´ris: ha ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k a e o in e a o ´s a, b R, akkor e

E(a + b) = aE + bE.
Bizony´ as: it´

E(a + b) = E(a) + E(b) = aE + bE.
Pozit´ funkcion´l: ha iv a sz´ us´gi v´ltoz´, akkor in e a o nemnegat´ val´iv o

E

0.

Bizony´ as: ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ it´ e o in e a o x1, x2, . . . nemnegat´ lehets´ges ´rt´kekkel, iv e e e akkor

E =
k

xk · P{ = xk }

0.

Ha abszol´t folytonos nemnegat´ val´sz´ u iv o ins´gi v´ltoz´ f srs´gf¨ggv´nnyel, akkor u e a o u u e u e f (x) = 0 ha x 0, ez´rt e

E =

-

xf (x) dx =

0

xf (x) dx

0.
84

Monoton: ha

, akkor

E
Bizony´ as: it´ tov´bb´ a a - 0

E .
miatt

E( - )

0,

E( - ) = E + (-1) = E - E .
Abszol´t ´rt´k: u e e |E| Bizony´ as: it´ tonit´sb´l a o -||

E||.
|| alapj´n a monoa

E - ||
ahol E - || = -E||.

E

E||,

Konstans v´rhat´ ´rt´ke: Ha () = c mina oe e den eset´n ahol c R, akkor E = c. e
85

F¨ggetlen val´sz´ us´gi v´ltoz´k szorzat´u o in e a o a nak v´rhat´ ´rt´ke: Ha ´s f¨ggetlenek, a oe e e u akkor

E() = E · E .
Bizony´ as: ha ´s diszkr´t val´sz´ us´gi it´ e e o in e v´ltoz´k x1, x2, . . . illetve y1, y2, . . . lehets´ges a o e ´rt´kekkel, akkor · lehets´ges ´rt´kei e e e e e xi · y j , ´ igy i, j = 1, 2, . . . ,

E() =
i, j

xi · yj · P{ = xi, = yj } xi · yj · P{ = xi} · P{ = yj } xi · P{ = xi} · yj · P{ = yj }

=
i, j

=
i

j

= E · E .
86

Ha ´s abszol´t folytonos val´sz´ us´gi e u o in e v´ltoz´k f illetve f srs´gf¨ggv´nnyel, a o u u e u e akkor · srs´gf¨ggv´nye u u e u e f· (z) = ´ igy z 1 f (u)f u - |u|


du,

E( · ) =

-

z

z 1 f (u)f u - |u|

du dz dz du,

z ahol u = v helyettes´ essel it´

1 z = f (u) zf u - |u| - -

z zf u - ez´rt e



du = u|u|

vf (v) dv = u|u|E ,

E( · ) = E

-

uf (u) du = E · E .

87

Cauchy-Schwartz egyenltlens´g: o e

E||

E 2 E 2 .

Bizony´ as: tetszleges R eset´n it´ o e

E || - ||
azaz

2

0,

2E 2 - 2E|| + E 2 ´ a diszkrimin´nsa nem pozit´ igy a iv: 4 E||
2

0,

- 4E 2 E 2

0.

88

Val´sz´ us´gi v´ltoz´ f¨ggv´ny´nek v´rhat´ o in e a o u e e a o ´rt´ke: e e Legyen g : R R. Ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ x1, x2, . . . e o in e a o lehets´ges ´rt´kekkel, akkor e e e

E g() =
k

g(xk ) · P{ = k}.

Ha abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ u o in e a o f srs´gf¨ggv´nnyel, akkor u u e u e

E g() =

-

g(x) · f (x) dx.

89

Variancia=sz´r´sn´gyzet: o a e var := E ( - E)2 . M´s jel¨l´s: D2. a oe Kisz´mol´sa: a a var = E 2 - 2 E + (E)2 = E( 2) - (E)2,

= E( 2) - 2 · E · E + (E)2

´ ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ igy e o in e a o x1, x2, . . . lehets´ges ´rt´kekkel, akkor e e e var =
k

ha pedig abszol´t folytonos val´sz´ us´gi u o in e v´ltoz´ f srs´gf¨ggv´nnyel, akkor a o u u e u e var =
-

x2 · P{ = k} - k



k

2 xk · P{ = k} ,

x2f (x) dx -

-

xf (x) dx

2

.
90

Tulajdons´gok a
Eltol´sinvari´ns: ha val´sz´ us´gi v´ltoz´ a a o in e a o ´s c R, akkor e var( + c) = var . Bizony´ as: it´ var( + c) = E ( + c) - E( + c) = E ( - E)2 = var . Homog´n: ha val´sz´ us´gi v´ltoz´ ´s c e o in e a oe R, akkor var(c · ) = c2 · var . Bizony´ as: it´ var(c · ) = E (c · ) - E(c · )
2 2

= c2 · E ( - E)2 = c2 · var .
91

Add´ os k´plet: ici´ e var( + ) = var + 2 cov(, ) + var , ahol cov(, ) := E ( - E)( - E) a ´s kovarianci´ja. e a Bizony´ as: it´ var( + ) = E ( + ) - E( + )
2 2

= E ( - E ) + ( - E )

= E ( - E)2 + 2E ( - E)( - E) + E ( - E)2 = var + 2 cov(, ) + var .

92

F¨ggetlen val´sz´ us´gi v´ltoz´k osszeg´u o in e a o ¨ e nek varianci´ja: Ha ´s f¨ggetlenek, a e u akkor var( + ) = var + var . Bizony´ as: it´ cov(, ) = E - E - E + E E = E() - E E, ´s a f¨ggetlens´g miatt e u e

E() = E E,
´ igy cov(, ) = 0.

93

P´lda: Legyen standard norm´lis eloszl´s´, e a a u azaz norm´lis eloszl´s´ (0, 1) param´terekkel. a a u e Ekkor 2 1 E = x · e-x /2 dx 2 -
x=L 1 -x2/2 lim -e = 0, = 2 K- x=K L+

2 ) = 1 E(

2 -

2 e-x2/2 dx x -x2/2 -xe L K x=L x=K

1 lim = K- 2
L+

+

-x2/2 dx e

2 1 = e-x /2 dx = 1, 2 -

var = E( 2) - E

2

= 1.
94

Ha pedig norm´lis eloszl´s´ (m, 2) paraa a u m´terekkel, akkor el´ll e oa =·+m alakban ahol standard norm´lis eloszl´s´, a a u hiszen = -m alapj´n eloszl´sf¨ggv´nye a a u e -m
E = · E + m = m,
var = 2 · var = 2.
95

Korrel´ci´s egy¨tthat´: a o u o cov(, ) corr(, ) := . var · var Ha corr(, ) = 0 azaz cov(, ) = 0, akkor azt mondjuk, hogy ´s korrel´latlanok. e a Ha corr(, ) > 0 akkor pedig azaz cov(, ) > 0,



´s e



pozit´ ivan korrel´ltak, ha a azaz cov(, ) < 0,

corr(, ) < 0

akkor ´s negat´ e ivan korrel´ltak. a Ha ´s f¨ggetlenek, akkor ´s kore u e rel´latlanok, de ez ford´ a itva ´ltal´ban nem igaz, a a azaz lehet konstru´lni olyan , val´sz´ us´gi a o in e v´ltoz´kat, melyek korrel´latlanok, de nem f¨ga o a u getlenek.
96

P´lda: legyen a (, ) val´sz´ us´gi vektorv´le o in e a toz´ egyenletes eloszl´s´ a (-1, 0), (0, -1), o a u (0, 1) ´s (1, 0) pontokon, azaz e

P{ = -1, = 0} = P{ = 0, = -1}
= P{ = 0, = 1} = P{ = 1, = 0} = Ekkor E = E = 0 ´s E() = 0 miatt e cov(, ) = E() - E · E = 0, azaz ´s e remeloszl´sok a

1 . 4

korrel´latlanok, viszont a pea 1 P{ = 0} = , 2

1 P{ = -1} = P{ = 1} = , 4

1 1 P{ = -1} = P{ = 1} = , P{ = 0} = , 4 2 ez´rt ´s f¨ggetlenek, hiszen p´ld´ul e e u e a 1 P{ = 1, = 0} = , 4 1 P{ = 1}·P{ = 0} = . 8
97

Tulajdons´gok: a szimmetrikus: cov(, ) = cov(, ), biline´ris: a cov

n m

corr(, ) = corr(, )

a i i ,
i=1 j=1

varianci´val val´ kapcsolat: a o var = cov(, ) T´tel: e |corr(, )| 1,

b j j =



n

m

aibj cov(i, j )
i=1 j=1

´s |corr(, )| = 1 akkor ´s csak akkor, ha e e valamely a = 0 ´s b val´s sz´mokkal e o a

P{ = a · + b} = 1
teljes¨l; itt a > 0 illetve a < 0 aszerint, hogy u corr(, ) = 1 illetve corr(, ) = -1.
98

Bizony´ as. it´ A Cauchy-Schwartz egyenltlens´g alapj´n o e a |cov(, )| = E(( - E)( - E))

E ( - E)( - E) E( - E)2 · E( - E)2
= ´ igy |corr(, )| Legyen tov´bb´ a a - E ~ := , var - E := ~ . var 1. var · var ,

~2 = E 2 = 1. ~ Nyilv´n E = E = 0 ´s E a ~ e ~ ~ (Ez´rt var = var = 1; ezeket , illetve e ~ standardiz´ltj´nak nevezz¨k.) a a u
99

~~ Ha corr(, ) = 1, akkor E( ) = 1, ´ igy ~ ~ ~ ~ ez´rt P{( - )2 = 0} = 1, ´ e igy P{ = } = 1, azaz - E - E P = = 1, var var vagyis var ( - E ) = 1. var ~ ~ ~~ ~2 E ( - )2 = E - 2E( ) + E 2 = 0, ~

P = E +

~~ Ha corr(, ) = -1, akkor E( ) = -1, ´ igy ~ ~ ~~ ~2 E ( + )2 = E + 2E( ) + E 2 = 0, ~ ~ ~ igy P{ = -~} = 1, ez´rt P{( +~)2 = 0} = 1, ´ e azaz - E - E P = 1, = - var var vagyis var ( - E ) = 1. var
100

P = E -

 val´sz´ us´gi v´ltoz´, k N o in e a o k­adik momentum: E( k ) k­adik centr´lis momentum: E ( - E )k a k­adik abszol´t momentum: E ||k u k­adik abszol´t centr´lis momentum: u a

E | - E |k
Teh´t E az els momentum, var pedig a a o m´sodik (abszol´t) centr´lis momentum a u a

ferdes´g: e

E ( - E )3 E ( - E )2

3/2

cs´csoss´g: u a

E ( - E )4 E ( - E )2

2
101

Ha a, b R ´s a = 0, akkor ´s a + b e e ferdes´ge, illetve ´s a + b cs´csoss´ga e e u a megegyezik. P´lda: Legyen standard norm´lis eloszl´s´. e a a u Ekkor E = 0, var = 1,
3 ) = 1 E( 4 ) = 1 E(

2 - 2 -

3 e-x2/2 dx = 0, x 4 e-x2/2 dx x

x= 1 2 e-x2/2 -3x = 2 x=- 2 3 x2e-x /2 dx = 3E( 2) = 3, + 2 - ez´rt a ferdes´ge 0, cs´csoss´ga 3. e e u a

Ha pedig norm´lis eloszl´s´ (m, 2) paraa a u m´terekkel, akkor e ahol standard norm´lis eloszl´s´, ez´rt a a u e ferdes´ge 0, cs´csoss´ga 3. e u a
102

= · + m,

Azt mondjuk, hogy az m R sz´m medi´nja a a a val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha o in e a o

P{ < m}

1 , 2

P{ > m}

1 . 2

Legyen q (0, 1). A cq R sz´m q ­kvana tilise a val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha o in e a o

P{ < cq }
´ it´ All´ as: legyen

q,

P{ > cq }

1 - q.

a := inf x R : P{ > x} b := sup x R : P{ < x}

1-q , q .

Ekkor a b, ´s egy c R sz´m akkor ´s csak e a e akkor q­kvantilise ­nek, ha a c b. a Szokt´k csak az a+b sz´mot tekinteni a q­ a 2 kvantilisnek. Interkvartilis: c3/4 - c1/4
103

Ha az F (x) = q egyenletnek van megold´sa de csak egy, akkor a -1 ez az F (q) megold´s az egyetlen q­kvantilis. a Speci´lisan, ha az F eloszl´sf¨ggv´ny folytoa a u e nos ´s szigor´an monoton n¨vekv, akkor az e u o o F (x) = q egyenlet egyetlen megold´sa az egyetlen a kvantilis. q­

Ha az F (x) = q egyenletnek nincs megold´sa, a akkor egyetlen q­kvantilis van, m´gpedig az e a sz´m, ahol az F f¨ggv´ny ´tugorja a q a u e a sz´mot. a Ha az F (x) = q egyenletnek t¨bb megold´sa o a van, akkor ezek az (a, b] vagy [a, b] intervallumba es sz´mok, ´s a q­kvantilisek ´ppen o a e e az [a, b] intervallum pontjai.
104

M´dusz: o Ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ x1, x2, . . . e o in e a o lehets´ges ´rt´kekkel, akkor az xi sz´m m´e e e a o dusza ­nek, ha xi­t a legnagyobb val´sz´ o ins´ggel veszi fel, azaz u e

P{ = xi} = sup P{ = xk }.
k

Ha abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ u o in e a o f srs´gf¨ggv´nnyel, akkor az x sz´m u u e u e a m´dusza ­nek, ha x glob´lis maximumhelye o a a srs´gf¨ggv´nynek, azaz u u e u e f (x) = sup f (y).
yR

105

7. Fontos eloszl´sok a
Bernoulli­eloszl´s a A esem´ny, p := P(A) e
1

diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´; e o in e a o lehets´ges ´rt´kei: 0 ´s 1, eloszl´sa e e e e a

:= k1(A) =

ha A bek¨vetkezik, o ha A nem k¨vetkezik be o

0

P{ = 1} = p,

P{ = 0} = 1 - p.

Ezt az eloszl´st p param´ter Bernoulli­ a e u eloszl´snak nevez¨nk. Nyilv´n a u a

E = p · 1 + (1 - p) · 0 = p, E( 2) = p · 12 + (1 - p) · 02 = p,
var = E( 2) - (E )2 = p - p2 = p(1 - p).
106

Binomi´lis eloszl´s a a n f¨ggetlen k´ erlet u is´ A esem´ny, p := P(A) e A gyakoris´ga: := kn(A) a diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´; e o in e a o lehets´ges ´rt´keinek halmaza: e e e eloszl´sa a X = {0, 1, 2, . . . , n},

i :=

1 0

P{ = k} =
egy´bk´nt e e

n k p (1 - p)n-k k

ha A bek¨v. az i­edik alkalommal, o

Ekkor = 1 +· · ·+n, ´s 1, . . . , n f¨ggetlen, e u p param´ter Bernoulli­eloszl´s´ak. Ez´rt e u a u e

E = E 1 + · · · + E n = np,
var = var 1 + · · · + var n = np(1 - p). M´dusza: (n + 1)p , ´s m´g o e e is, ha (n + 1)p eg´sz sz´m. e a (n + 1)p - 1
107

Hipergeometrikus eloszl´s a Egy urn´ban M piros ´s N - M fekete goly´ a e o van (M < N ). Visszatev´s n´lk¨l h´zunk ki e e u u n goly´t (n N ), ´s jel¨li a kih´zott piros o e o u goly´k sz´m´t. Ekkor olyan k ´rt´keket o a a e e vehet fel, melyre teljes¨l 0 k n, k M , ´s u e n - k N - M , eloszl´sa a

P{ = k} =
i :=
1 0

M k

N -M n-k . N n

ha az i­edik goly´ piros, o egy´bk´nt e e

Ekkor = 1 + · · · + n, ´s a 1, . . . , n e val´sz´ us´gi v´ltoz´k M/N param´ter Bero in e a o e u ¨ noulli­eloszl´s´ak, DE NEM FUGGETLENEK! a u P´ld´ul i = j eset´n e a e

P{i = 1, j = 1} =

M (M - 1) , N (N - 1) M . N
108

P{i = 1} = P{j = 1} =

Nyilv´n a

E = E 1 + · · · + E n = n ·
var = cov(, ) = cov
n n

M , N
n



n

i ,
i=1 j=1

j



=
i=1 j=1 n

cov(i, j )

=
i=1

var i + 2
1 i
cov(i, j ),

ahol var i = M M 1- . N N

109

Mivel i = j eset´n e M (M - 1) , P{i = 1, j = 1} = N (N - 1)

P{i = 0, j = 0} =

(N - M )(N - M - 1) , N (N - 1) M (N - M ) , N (N - 1)

P{i = 1, j = 0} = P{i = 0, j = 1}
= ez´rt e

M (M - 1) P{i · j = 1} = P{i = 1, j = 1} = , N (N - 1)

P{i · j = 0} = 1 -

azaz i · j is Bernoulli­eloszl´s´, ´ a u igy

M (M - 1) , N (N - 1)

E(ij ) =

M (M - 1) , N (N - 1)
110

amibl o cov(i, j ) = E(ij ) - E E M (M - 1) M 2 M (N - M ) - 2 = 2 . = N (N - 1) N N (N - 1) var = n · =n· M (N - M ) M - (n2 - n) 2 N N (N - 1) M M · 1- N N · N -n . N -1

V´g¨l e u

111

Negat´ binomi´lis eloszl´s: iv a a A esem´ny, p := P(A), melyre 0 < p < 1. e := az A els bek¨vetkez´s´hez sz¨ks´ges o o e e u e f¨ggetlen k´ erletek sz´ma; u is´ a lehets´ges ´rt´kei: 1, 2, . . . , , e e e eloszl´sa: P{ = } = 0, ´s a e V´rhat´ ´rt´ke: a o e e

P{ = k} = p · (1 - p)k-1, E =
k=1

k = 1, 2, . . . .
k=1

k · p(1 - p)k-1 = p


kq k-1,

ahol q := 1 - p, ´s e
k=1

kq k-1 =



k=1

(q k ) = =

k=0

qk



= ´ igy

1 1-q

1 , 2 (1 - q)

1 1 E = p · = . (1 - q)2 p
112

Hasonl´an o

E( 2) =

k=1

k2 · p(1 - p)k-1 kq k-1 + pq
k=1

=p ahol
k=1

k=1

k(k - 1)q k-2,


k(k - 1)q k-1 = =



k=1

(q k ) = =

k=0

qk

´ igy

1 1-q

2 , 3 (1 - q)

E( 2) =
V´g¨l e u

1 2-p 2 = . + pq · 3 2 p (1 - q) p 2-p 1 1-p - 2= . 2 2 p p p
113

var =

Legyen := - 1. Ekkor lehets´ges ´rt´kei: 0, 1, 2, . . ., e e e eloszl´sa: a ¨ o Or¨kifj´ tulajdons´g: u a

P{ = k} = p · (1 - p)k ,
k + | k} = P{ k} = },

k = 0, 1, 2, . . . . k, = 0, 1, 2, . . . k+ , P{ k}


ugyanis

P{

P{
ahol P{

k + | k+ ,
j=k

P{

k}

k} = P{

k + }, ´s e p · (1 - p)j

P{

k} =

P{ = j} =

j=k

´ val´ban igy o

p · (1 - p)k = (1 - p)k , = 1 - (1 - p) (1 - p)k+ k} = = P{ k (1 - p) }.
114

P{

k + |

Poisson­eloszl´s: a k - e , P{ = k} = k! ahol > 0.


k = 0, 1, . . . ,

k - k E = k· e = e- k! (k - 1)! k=0 k=1

+1 = e-e = , = e- ! =0


k - E( 2) = e k2 · k! k=0 k - e = k + k(k - 1) · k! k=0 k = + e- (k - 2)! k=2 = + e-


+2 = + 2 , ! =0

var = + 2 - 2 = .
115

Egyenletes eloszl´s az {1, 2, . . . , N } a mazon: 1 k = 1, 2, . . . , N. P{ = k} = , N

hal-

N

E =
k=1

k·

1 N (N + 1) N +1 = = , N 2N 2 1 N

E( 2) =
= =

N k=1

k2 ·

N (N + 1)(2N + 1) 6N (N + 1)(2N + 1) , 6

(N + 1)(2N + 1) (N + 1)2 - var = 6 4 N2 - 1 = . 12
116

Egyenletes eloszl´s az [a, b] intervallumon: a r´szintervallumba es´s val´sz´ us´ge a r´szine e o in e e tervallum hossz´val ar´nyos. a a Eloszl´sf¨ggv´nye: a u e
0

ha x ha a ha x

a, x b. b,

F (x) = P{ < x} =

Abszol´t folytonos, srs´gf¨ggv´nye: u u u e u e 1 f (x) = b - a 0


x-a b - a 1

ha x [a, b], egy´bk´nt. e e

Ekkor = a + (b - a) · ahol egyenletes eloszl´s´ a [0, 1] intervallumon, hiszen a u -a P{ < y} = P < y = P{ < a + (b - a)y} b-a =
0

ha y

0, y

y

ha 0 ha y

1,

1

1.
117

Nyilv´n a y2 1 E = y dy = = , 2 y=0 2 0
1 y=1

y3 1 2 dy = 2) = y E( = , 3 y=0 3 0
1

y=1

var = ez´rt e

1 1 1 - = , 3 4 12 b-a a+b = , 2 2

E = a + (b - a)E = a +

(b - a)2 . var = (b - a)2var = 12

118

Exponenci´lis eloszl´s: a a abszol´t folytonos, srs´gf¨ggv´nye u u u e u e f (x) = ahol > 0.
0

ha x < 0, ha x 0,

-x e
0

E =

x · e-x dx. h (x) = e-x

Parci´lis integr´l´ssal a aa g(x) := x, v´laszt´ssal a a g (x) = 1, ´ igy
-x x= + e-x dx E = -xe x=0 0

h(x) = -e-x,

1 -x x= 1 = - e = . x=0
119

Hasonl´an o

E( 2) =

0

x2 · e-x dx

2 e-x x= + 2 xe-x dx = -x x=0 0

2 -x dx = 2 , = x · e 0 2 1 1 2 var = 2 - 2 = 2 .

120

Norm´lis eloszl´s: a a abszol´t folytonos, srs´gf¨ggv´nye u u u e u e 1 - (x-m) f (x) = e 22 , 2 ahol m R, > 0.
2

xR

E = m,

var = 2,

ferdes´ge 0, cs´csoss´ga 3. e u a Eloszl´sf¨ggv´nye: a u e
x 1 - (u-m) x R. F (x) = e 22 du, - 2 Tov´bb´ = · + m, ahol standard a a norm´lis eloszl´s´, azaz param´terei m = 0, a a u e = 1 ´ eloszl´sf¨ggv´nye igy a u e x 2 1 (x) := F (x) = e-u /2 du, x R, 2 - melynek ´rt´kei t´bl´zatokban megtal´lhat´k. e e a a a o
121 2

T¨bbdimezi´s norm´lis eloszl´s: o o a a Legyen m Rk ´s Rk×k szimmetrikus e pozit´ szemidefinit m´trix, azaz = , ´s iv a e x x > 0 tetszleges x Rk \ {0} eset´n. o e Ekkor -1, ´s az f : Rk R, e (2)k/2det() f¨ggv´ny pozit´ ´s u e iv e
Rk

f (x) :=

1

-1 e-(x-m) (x-m)/2 1/2

f (x) dx = 1,

ez´rt van olyan = (1, . . . , k ) val´sz´ us´gi e o in e vektorv´ltoz´, melynek f srs´gf¨ggv´nye. a o u u e u e Ennek az eloszl´s´t (m, ) param´ter nora a e u m´lis eloszl´snak nevezz¨k. a a u Jel¨l´se: Nk (m, ). oe Bel´that´, hogy i norm´lis eloszl´s´ (mi, i,i) a o a a u param´terekkel, ´s e e

E i = m i ,

cov(i, j ) = i,j .
122

Ha k = 2, akkor
2 var 1 cov(1, 2) 1 = = cov(1, 2) var 2 1 2 2 2 ahol 1 := var 1, 2 := var 2 ´s e







1 2
2 2



:= corr(1, 2) =

2 2 Ekkor det() = (1 - 2)1 2 , ´ igy ´s e

cov(1, 2) . var 1 · var 2


= ±1,

-1 =

- 1 2 1 2 det() - 12 1

1 2 1



2 2

1 = 2 1- - 1 2

- 1 2
1 2 2



,

123

ez´rt e (x - m) -1(x - m)
2 2

=

i=1 j=1

(xi - mi)(-1)i,j (xj - mj )

1 (x1 - m1)2 2 (x1 - m1)(x2 - m2) = - 2 2 1- 1 2 1 (x2 - m2)2 + . 2 2 V´g¨lis a srs´gf¨ggv´ny e u u u e u e f (x1, x2) = g(x1 - m1, x2 - m2), ahol g(y1, y2) = 1 212 1 - 2
2 2 y1 y2 2 y 1 y2 1 - + 2 · exp 2 2(1 - 2) 1 1 2 2
124

.

Szintg¨rb´k: o e ez´rt e

f (x1, x2) = c,

ahol

c R,

(x1 - m1)2 2 (x1 - m1)(x2 - m2) - 2 1 2 1 (x2 - m2)2 = C, + 2 2 ahol C := - ln 2c12 1 - 2 . Ezek ellipszisek, melyeknek a k¨z´ppontja o e (m1, m2), tengelyeik pedig p´rhuzamosak a koordin´taa a tengelyekkel. (Magasabb dimenzi´ban a szintfel¨letek ellipo u szoidok.)

125

Tulajdons´gok: a Ha Nk (c, D) ´s a R , B R ×k , akkor e a + B N a + Bc, BDB Ha Nk (m, ), akkor = m + B, ahol Nk (0, I), ´s B Rk×k olyan, hogy e B·B = . .

Ha Nk (m , ) ´s Nk (m , ) f¨ge u getlenek, akkor + Nk (m + m , + ). Ha = (1, . . . , k ) ´s = (1, . . . , ) olyanok, e hogy (, ) norm´lis eloszl´s´, akkor ´s a a u e pontosan akkor f¨ggetlenek, ha korrel´latlanok, u a azaz cov(i, j ) = 0 tetszleges i = 1, . . . , k ´s j = 1, . . . , o e eset´n. e
126

8. Nagy sz´mok t¨rv´nyei a o e
Markov­egyenltlens´g: o e Ha a val´sz´ us´gi v´ltoz´ nemnegat´ o in e a o iv, akkor tetszleges > 0 eset´n o e

P{

}

E .

Bizony´ as: ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´lit´ e o in e a toz´ x1, x2, . . . lehets´ges ´rt´kekkel, akkor o e e e

E =
k

xk · P{ = xk }

k : xk

xk · P{ = xk } }.


k : xk

P{ = xk } = · P{

Ha abszol´t folytonos nemnegat´ val´sz´ u iv o ins´gi v´ltoz´ f srs´gf¨ggv´nnyel, akkor u e a o u u e u e f (x) = 0 ha x 0, ez´rt e

E =


0

xf (x) dx



xf (x) dx }.
127

f (x) dx = · P{

Csebisev­egyenltlens´g: o e Tetszleges val´sz´ us´gi v´ltoz´ ´s > 0 o o in e a o e eset´n e var P{| - E| } . 2 Bizony´ as: A Markov­egyenltlens´get alkalit´ o e mazva

P{| - E|

} = P{( - E)2

2 } var = 2 .

E ( - E)2
2

128

Bernoulli-f´le nagy sz´mok t¨rv´nye e a o e n f¨ggetlen k´ erlet u is´ A esem´ny, p := P(A) e A gyakoris´ga: kn(A) a Ekkor tetszleges > 0 eset´n o e
n

lim P

kn(A) -p n

= 0.

Szimbolikusan: kn(A) P - p ha n , n melyet sztochasztikus konvergenci´nak nea vez¨nk. u

129

Mivel kn(A) = 1 + · · · + n, ahol 1, . . . , n f¨ggetlen p param´ter Bernoulli­eloszl´s´ak, u e u a u ez´rt ez a t´tel speci´lis esete a k¨vetkeznek. e e a o o Nagy sz´mok gyenge t¨rv´nye a o e Legyenek 1, 2, . . . p´ronk´nt korrel´latlan, a e a azonos eloszl´s´ val´sz´ us´gi v´ltoz´k, mea u o in e a o lyeknek v´ges a m´sodik momentumuk. Ekkor e a tetszleges > 0 eset´n o e
n

lim P

1 + · · · + n - E 1 n

= 0.

Szimbolikusan: 1 + · · · + n P - E1 n

ha n .

130

Bizony´ as: it´ Legyen Sn := 1 + · · · + n, n N. Nyilv´n a Sn E n Sn var n 1 n E k = E 1 , = n k=1

1 var 1 1 n = 2 var Sn = 2 var k = , n n k=1 n ez´rt a Csebisev­egyenltlens´get alkalmazva e o e

P

Sn - E 1 n



var 1 0, n2

ha n .

131

A bizony´ as alapj´n a Bernoulli­f´le nagy sz´it´ a e a mok t¨rv´ny´vel kapcsolatban azt kapjuk, hogy o e e

P

kn(A) -p n



p(1 - p) , 2 n

´ p´ld´ul ha azt akarjuk el´rni, hogy egy szaigy e a e b´lyos ´rm´t dob´lva a fejek sz´m´nak relat´ a e e a a a iv gyakoris´ga legal´bb 0.95 val´sz´ us´ggel 0.1­ a a o in e n´l kevesebbel t´rjen el a val´sz´ us´gtl, akkor e e o in e o a fentiek alapj´n a

P

kn(A) 1 - n 2

0, 1

´ a k¨vetelm´ny biztosan teljes¨l, ha igy o e u

1 , 2·n 4 · 0.1

1 0.05, azaz n 500, 4 · 0.12 · n vagyis az ´rm´vel legal´bb 500-szor kell dobni. e e a (Ez egy meglehetsen durva k¨zel´ es.) o o it´

132

Mivel kn(A) binomi´lis eloszl´s´, m´gpedig a a u e

P{kn(A) = k} =

n k p (1 - p)n-k k

ha k = 0, 1, . . . , n, ez´rt a Bernoulli­f´le nagy e e sz´mok t¨rv´nye azzal ekvivalens, hogy a o e n k p (1 - p)n-k 1, k ha n .

k k : n -p <

Nagy sz´mok ers t¨rv´nye a o o e Legyenek 1, 2, . . . teljesen f¨ggetlen, azonos u eloszl´s´ val´sz´ us´gi v´ltoz´k, melyeknek l´a u o in e a o e tezik a v´rhat´ ´rt´k¨k. Ekkor a o e e u + · · · + n P n 1 lim = E1 = 1. n

133

9. Centr´lis hat´reloszl´s­t´telek a a a e
Jel¨lje m, 2 az (m, 2) param´ter norm´lis o e u a eloszl´s srs´gf¨ggv´ny´t, azaz a u u e u e e 1 - (x-m) e 22 , m, 2 (x) := 2
2

x R.

Lok´lis hat´reloszl´s­t´tel a a a e n f¨ggetlen k´ erlet u is´ A esem´ny, p := P(A) e A gyakoris´ga: kn(A) a Legyen (n) o a n=1 egy olyan val´s sz´msorozat, melyre
n

lim n-2/3n = 0.

Ekkor sup

k : |k-np| n

P{kn(A) = k} -1 0 np,np(1-p) (k)

ha n .
134

Jel¨lje a standard norm´lis eloszl´s eloszo a a l´sf¨ggv´ny´t: a u e e
x 1 -u2/2 du. (x) := e 2 -

Moivre­Laplace­t´tel e n f¨ggetlen k´ erlet u is´ A esem´ny, p := P(A) e A gyakoris´ga: kn(A) a Ekkor

k (A) - np n P sup [a, b) - a
- ((b) - (a)) 0 ha n .
135

Ez´rt ha egy szab´lyos ´rm´t dob´lunk, akkor e a e e a a fejek sz´m´nak relat´ gyakoris´g´ra tetsza a iv a a o leges a > 0 eset´n ´rv´nyes e e e
n

lim P

kn(A) 1 a a - - , n 2 2 n 2 n

= (a) - (-a) = 2(a) - 1. Mivel a 2(a) - 1 = 0.95, 2 n a = 0.1

osszef¨gg´sekbl a 1.96 ´s n 96 ad´dik, ¨ u e o e o ´ igy

P

kn(A) 1 - n 2

0, 1 0.95

ha n 96,

teh´t el´g k¨r¨lbel¨l 96-szor dobni egy szab´a e o u u a lyos ´rm´vel ahhoz, hogy a fejek sz´m´nak ree e a a lat´ gyakoris´ga legal´bb 0.95 val´sz´ us´ggel iv a a o in e 0.1-n´l kevesebbel t´rjen el a val´sz´ us´gtl. e e o in e o
136

A Moivre­Laplace t´telbl k¨vetkezik, hogy spee o o ci´lisan a
k (A) - np n < x = (x), lim P n np(1 - p)

x R.

Ez a t´tel speci´lis esete a k¨vetkeznek. e a o o Centr´lis hat´reloszl´s­t´tel a a a e Legyenek 1, 2, . . . teljesen f¨ggetlen, azonos u eloszl´s´ val´sz´ us´gi v´ltoz´k, melyeknek v´a u o in e a o e ges a m´sodik momentumuk. Legyen a Sn := 1 + · · · + n, n N. x R.

Ekkor
n

lim P

Sn - E S n < x = (x), var Sn

Szimbolikusan: Sn - E S n D - N (0, 1) var Sn ha n .
137

10. A statisztik´ban haszn´latos a a fontos eloszl´sok a

138

Ha 1, 2, . . . , k f¨ggetlen, standard norm´lis u a eloszl´s´ val´sz´ us´gi v´ltoz´k, akkor a u o in e a o
2 2 2 2 := 1 + 2 + · · · + k k a u eloszl´s´t 2 ­eloszl´snak nevezz¨k, melynek a a k szabads´gi foka k. a

Szemifaktori´lis: a n!! :=

n(n - 2)(n - 4) . . . 1, n(n - 2)(n - 4) . . . 2,

ha n p´ratlan, a ha n p´ros. a

a u e u u e A 2­eloszl´s abszol´t folytonos, ´s srs´gk f¨ggv´nye u e f2 (x) =
k

0,

ha x

0,

ck x(k-2)/2 e-x/2,

ha x > 0,

ahol

ck :=

1 2 · (k - 2)!! ,

ha k p´ratlan, a ha k p´ros. a
139

1 , 2 · (k - 2)!!

Speci´lisan a f2 (x) =
1

0, 0,

ha x 2x e-x/2,

0,

1

ha x > 0, 0,

ha x

f2 (x) =
2

1 -x/2 e ,

2

ha x > 0, ha x 0,

f2 (x) =
3

0,

Teh´t a 2­eloszl´s megegyezik az 1/2 paa a 2 ram´ter exponenci´lis eloszl´ssal. e u a a

x -x/2 e , 2

ha x > 0.

E(2) = k, var(2) = 2k. k k
a o A 2­eloszl´s m´dusza k 0
k - 2

ha k

2,

ha k = 1.
140

Bizony´ as: it´ Nyilv´n 2 eloszl´sf¨ggv´nye a a u e 1
2 F2 (x) = P{2 < x} = P{1 < x} 1
1

=

0,

Ha x > 0, akkor P(|1| < x) = P(- x < 1 < x)


P{| | < x}, 1

ha x

0,

ha x > 0.

ahol

x 1 -u2/2 du = G(x), = e 2 - x

y 2 2 e-u /2 du. G(y) := 2 0 Ez´rt x > 0 eset´n e e 1 f2 (x) = F2 (x) = G ( x) 1 2 x 1

=

2 -x/2 1 1 e-x/2. e = 2 x 2x
141

Tov´bb´ 2 srs´gf¨ggv´nye a a 2 u u e u e f2 (x) =
2

-

0, x 1 = e-y/2 0 2y

f2 (y)f2 (x - y) dy
1 1

ha x 1 2(x - y) e-(x-y)/2 dy,

0,

ha x > 0.

Teh´t ha x > 0, akkor a 1 -x/2 x e f2 (x) = 2 2 0 1 -x/2 1 = e 2 0

dy y(x - y) dz z(1 - z)
0

= c · e-x/2,

ahol y = xz helyettes´ est hajtottunk v´gre. it´ e A c konstans abb´l hat´rozhat´ meg, hogy o a o 1=
-

f2 (x) dx = c
2

e-x/2 dx = 2c.

Teh´t v´g¨lis a e u f2 (x) =
2

0,

ha x

0,

1 e-x/2 ,

2

ha x > 0.
142

Az ´ltal´nos eset teljes indukci´val bizony´ a a o ithat´. o Ha feltessz¨k, hogy az ´ll´ as igaz k­ra, akkor u a it´ f2 = (x) =
x 0 -
k+1

f2 (y)f2 (x - y) dy
k 1

ck y (k-2)/2 e-y/2c1(x - y)-1/2e-(x-y)/2 dy 0. Ez´rt e

ha x > 0, ´s f2 (x) = 0, ha x e k+1 ha x > 0, akkor f2
k+1

(x) = c1ck e-x/2
1 0

x 0

y (k-2)/2(x - y)-1/2 dy

= c1ck e-x/2

(xz)(k-2)/2[x(1 - z)]-1/2x dz

= dk+1x(k-1)/2e-x/2, ahol dk+1 abb´l hat´rozhat´ meg, hogy o a o 1= f 2 (x) dx - k+1
0

= dk+1

x(k-1)/2e-x/2 dx.
143

Mivel Ik+1 :=
0

x(k-1)/2 e-x/2 dx
x= x=0

= x(k-1)/2(-2)e-x/2 dx + (k - 1)
0

x(k-3)/2e-x/2 dx

=(k - 1)Ik-1, ´ igy Ik+1 e amibl c1 = 1/ 2 ´s c2 = 1/2 figyelemo bev´tel´vel azt kapjuk, hogy e e dk+1 = ck+1. dk+1 = 1 = 1 d = k-1 , (k - 1)Ik-1 k-1

144

o in e a o Ha ´s 2 f¨ggetlen val´sz´ us´gi v´ltoz´k e k u a standard norm´lis, illetve 2­eloszl´ssal, akkor a k

tk :=

2/k k

eloszl´s´t tk ­eloszl´snak (Student­eloszl´sa a a a nak) nevezz¨k, melynek szabads´gi foka k. u a A tk ­eloszl´s srs´gf¨ggv´nye a u u e u e ftk (x) = ck x2 +1 k
(k+1)/2

,

ahol

ck :=

(k - 1)!! k · (k - 2)!! , (k - 1)!!

ha k p´ratlan, a ha k p´ros. a

2 k · (k - 2)!! Speci´lisan a ft1 (x) =

,

1 1 . , ft2 (x) = 2 + 1) 2 + 2)3/2 (x (x Teh´t a t1­eloszl´s megegyezik a Cauchy­ a a eloszl´ssal. a
145

Lemma: Legyenek ´s abszol´t folytonos, f¨ggetlen e u u val´sz´ us´gi v´ltoz´k f illetve f srs´go in e a o u u e f¨ggv´nnyel. Ekkor / abszol´t folytonos, u e u ´s srs´gf¨ggv´nye e u u e u e f/ (x) =
-

|v|f (xv)f (v) dv.

Bizony´ as. Nyilv´n / eloszl´sf¨ggv´nye it´ a a u e F/ (x) = P(/ < x) =
u/v
f, (u, v) du dv

=

0



+ ez´rt e

xv - xv 0

f (u)f (v) du dv f (u)f (v) du dv,

-

f/ (x) = F/ (x) =

0 -

(-v)f (xv)f (v) dv


+

0

vf (xv)f (v) dv.
146

Bizony´ as: it´ Elsz¨r meghat´rozzuk o o a v´ny´t: e e F
k

a u 2/k eloszl´sf¨ggk

(x) = P( 2/k < x) k 2/k =
0,

ha x

0,

Teh´t ha x > 0, akkor F a ami deriv´lhat´: a o F

P(2 < kx2), k

ha x > 0. (x) = F2 (kx2),
k

(x) = 2kxf2 (kx2), k 2/k
k

2/k k

u e u u e 2/k abszol´t folytonos, ´s srs´gez´rt e k f¨ggv´nye u e f
2/k k 2 )(k-2)/2 e-kx2/2 (x) = 2kxck (kx 2/k k

ha x > 0, ´s f e ha x > 0, akkor f
2/k k

(x) = 0 ha x

0. Ez´rt e

k/2 c xk-1 e-kx2/2 . (x) = 2k k
147

Ebbl a Lemma felhaszn´l´s´val o aa a ftk (x) = =
-

|v|f (xv)f

2/k k

(v) dv

2 2 2 1 v e-x v /22kk/2ck v k-1e-kv /2 dv 0 2

2kk/2ck k -(x2+k)v 2/2 = v e dv 0 2
2 dy yk 2kk/2ck e-y /2 = 0 (x2 + k)k/2 2 (x2 + k)1/2 ck = , (k+1)/2 2 x +1 k ahol 2ck k e-y 2/2 dy. y ck = 2k 0 e Ha k = 1, akkor c1 = 1/ 2 ´s

0

2 2 ye-y /2 dy = -e-y /2

y= y=0

= 1,

´ igy c1 = 1/, ez´rt ft1 (x) = e

1 . 2 + 1) (x
148

Ha k = 2, akkor c2 = 1/2 ´s e
0
2 y 2e-y /2 dy

´ igy c2 = (1/2)3/2, ez´rt e ft2 (x) = Tov´bb´ k a a felbont´ssal a
0

y2 1 -y 2/2 dy = e = 2 2 - 2

2 , 2

1 (x2 + 2)3/2

.

2 eset´n parci´lis integr´l´ssal e a aa
k-1 · ye-y 2 /2 y 2 2 -e-y /2 = ye-y /2

alapj´n a

k e-y 2/2 dy = -y k-1 e-y 2/2 y

y= y=0 k-2 e-y 2/2 dy y

+ (k - 1) = (k - 1)



0

0

2 y k-2e-y /2 dy,

ugyanis L'Hospital szab´llyal bebizony´ a ithat´, o hogy
y
2 lim y k-1e-y /2 = 0. 149

Ha k

3 p´ratlan, akkor a
0 k e-y 2/2 dy y 0
2 ye-y /2 dy

= (k - 1)(k - 3) . . . 2 = (k - 1)!!, amibl o ck = Ha k
0

2 2k

·

4 p´ros, akkor a

2 y k e-y /2 dy

(k - 1)!! (k - 1)!! . = 2 · (k - 2)!! k · (k - 2)!!

= (k - 1)(k - 3) . . . 3 0 = (k - 1)!! 2/2, amibl o 2



2 e-y 2/2 dy y

(k - 1)!! 2/2 (k - 1)!! ck = · . = 2 · (k - 2)!! 2k 2 k · (k - 2)!!
150

u o in e a o Ha 2 ´s 2 f¨ggetlen val´sz´ us´gi v´ltoz´k k e a 2­, illetve 2­eloszl´ssal, akkor k

Fk, :=

2/k k 2 /

eloszl´s´t Fk, ­eloszl´snak nevezz¨k, melynek a a a u szabads´gi fokai k ´s . a e Az Fk, ­eloszl´s srs´gf¨ggv´nye a u u e u e
0,

ha x k k
(k-2)/2

0,

fFk, (x) =

x
(k+ )/2

ahol

ck, :=

k · (k + - 2)!! · (k - 2)!! ( - 2)!! ,

ck, ·

,

ha x > 0,

x+1

ha k ´s e

p´ratlan, a

k · (k + - 2)!! , 2 · (k - 2)!! ( - 2)!!

egy´bk´nt. e e
151

Bizony´ as: it´ Elsz¨r meghat´rozzuk 2 /n eloszl´sf¨ggv´o o a a u e n ny´t: e F2 /n(x) = P(2 /n < x) n
n

= P(2 < nx) = F2 (nx), n F2 /n(x) = nf2 (nx), ez´rt e n n 2 /n abszol´t folytonos, ´s srs´gf¨ggv´nye u e u u e u e n f2 /n(x) =
n

ami deriv´lhat´: a o
0,

n

Ebbl a Lemma felhaszn´l´s´val o aa a fFk, (x) = =
0 -

ncn(nx)(n-2)/2 e-nx/2 ,
k

ha x 0, ha x > 0.

|v|f2/k (xv)f2/ (v) dv
/2 v ( -2)/2 e- v/2 dv

vck kk/2(xv)(k-2)/2 e-kxv/2c
0

= ck c kk/2 /2x(k-2)/2 2 = ck c kk/2 /2

v (k+ -2)/2 e-(kx+ )v/2 dv

(k+ )/2 x(k-2)/2 y (k+ -2)/2e-y dy. (kx + )(k+ )/2 0
152

Ha k +
0

p´ratlan, akkor parci´lis integr´l´ssal a a aa

y (k+ -2)/2e-y dy k+ 3 1/2 -y y e dy, - 2 ... 2 2 0
u

k+ -1 = 2 ahol


2 e-u /2u du 0 0 2 2 u2 -u2/2 e = du = . 2 2 2 - 2 Ha k + p´ros, akkor a

y 1/2e-y dy =

0

y (k+ -2)/2 e-y dy
k+ - 2 ...1 e-y dy, 2 0 0

k+ -1 = 2 ahol

e-y dy = 1.

153

11. Felt´teles eloszl´s, e a felt´teles v´rhat´ ´rt´k, e a o e e felt´teles variancia e

154

A esem´ny, P(A) > 0 e Ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ x1, x2, . . . e o in e a o lehets´ges ´rt´kekkel, akkor ­nek az A­ra e e e vonatkoz´ felt´teles eloszl´sa: o e a

P{ = xk | A}, E(|A) :=
k

k = 1, 2, . . . ,

felt´teles v´rhat´ ´rt´ke: e a o e e xk · P{ = xk | A}

amennyiben ez a sor abszol´t konvergens, azaz u
k

|xk | · P{ = xk | A} < ,

felt´teles varianci´ja: e a var(|A) := E ( - E(|A))2|A = E( 2|A) - E(|A) =
k 2 2 k

x2 · P{ = xk | A} - k

xk · P{ = xk | A}
155

.

P´lda: e Feldobunk k´t szab´lyos dob´kock´t. Mi a e a o a dobott sz´mok elt´r´s´nek felt´teles eloszl´sa a e e e e a azon felt´tel mellett, hogy a dobott sz´mok e a osszege ¨ ? Jel¨lje a dobott sz´mokat ´s . o a e {2, 3, . . . , 12} ´s e Nyilv´n a

P( + = ) =

-1 36 13 -

ha 2 ha 7

7, 12.

36 Tov´bb´ a |-| lehets´ges ´rt´kei 0,1,2,3,4,5. a a e e e

156

P(| - | = 0 | + = 2) = 1, P(| - | = 1 | + = 3) = 1, 1 P(| - | = 0 | + = 4) = , 3 2 P(| - | = 2 | + = 4) = , 3 1 P(| - | = 1 | + = 5) = , 2 1 P(| - | = 3 | + = 5) = , 2 1 P(| - | = 0 | + = 6) = , 5 2 P(| - | = 2 | + = 6) = , 5 2 P(| - | = 4 | + = 6) = . 5

157

Egy tetszleges val´sz´ us´gi v´ltoz´nak az o o in e a o A­ra vonatkoz´ felt´teles eloszl´sf¨ggv´nye o e a u e F|A(x) := P{ < x | A},
x -

x R.

Ha l´tezik olyan f|A f¨ggv´ny, melyre e u e F|A(x) = f|A(u) du

teljes¨l tetszleges x R eset´n, akkor az u o e f|A f¨ggv´nyt ­nek az A­ra vonatkoz´ u e o felt´teles srs´gf¨ggv´ny´nek nevezz¨k. e u u e u e e u Ekkor ­nek az A­ra vonatkoz´ felt´teles o e v´rhat´ ´rt´ke a o e e

E(|A) :=

-

x · f|A(x) dx

amennyiben ez az integr´l abszol´t konvergens, a u azaz
-

|x| · f|A(x) dx < ,

158

felt´teles varianci´ja: e a var(|A) := E ( - E(|A))2|A = E( 2|A) - E(|A) =
- 2 2

x2 · f|A(x) dx -

-

x · f|A(x) dx

.

159

P´lda: e Legyen standard norm´lis eloszl´s´, ´s A := a a u e { 0}. Ekkor P(A) = 1/2, ´s e F|A(x) = =
0

P(0 < x) P( > 0)
< x) ha x 0, ha x > 0.

Ha x > 0, akkor teh´t a 2 x -u2/2 F|A(x) = e du. 0 Megjegyz´s: ha := ||, akkor e F (x) = F|A(x), x R.

2P(0

160

(, ) abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ u o in e a o f, srs´gf¨ggv´nnyel u u e u e

felt´teles srs´gf¨ggv´nye az e u u e u e felt´telre n´zve: e e
f| (x|y) :=
f, (x, y)

= y

ahol f az srs´gf¨ggv´nye. u u e u e

f (y) 0

ha f (y) = 0, ha f (y) = 0,

felt´teles eloszl´sf¨ggv´nye az e a u e felt´telre n´zve: e e
F| (x|y) :=
x -

= y

f| (u|y) du,

felt´teles v´rhat´ ´rt´ke az = y fele a o e e t´telre n´zve: e e E(| = y) :=
-

x · f| (x|y) dx,
161

 felt´teles varianci´ja az = y felt´telre e a e n´zve: e
var(| = y) := E ( - E(| = y))2| = y = E( 2| = y) - =
-

E(| = y)

2

x2 · f| (x|y) dx -

-

2

x · f| (x|y) dx

.

regresszi´s g¨rb´je az felt´telre n´zve: o o e e e
az y E(| = y) f¨ggv´ny. u e

Ez minimaliz´lja az E (-f ())2 mennyis´get, a e azaz ha f : R R olyan f¨ggv´ny, hogy u e E f ()2 < , akkor

E ( - E(|))2

E ( - f ())2 .

162

P´lda: e Ha (, ) norm´lis eloszl´s´ val´sz´ us´gi veka a u o in e torv´ltoz´ ´s var() > 0, akkor a o e

E( | = y) = E +

cov(, ) (y - E), var()

azaz a regresszi´s g¨rbe egy egyenes. o o Tov´bb´ felt´teles eloszl´sa az = y a a e a felt´telre vonatkoz´an norm´lis eloszl´s, m´ge o a a e pedig N Teh´t a (cov(, ))2 var( | = y) = var() - , var() ami nem f¨gg y­t´l! u o
163

(cov(, ))2 . E( | = y), var() - var()

Teljes v´rhat´ ´rt´k t´tele (teljes esem´nya oe e e e rendszerre vonatkoz´lag) o Ha az A1, A2, . . . pozit´ val´sz´ us´g eseiv o in e u m´nyek teljes esem´nyrendszert alkotnak, e e val´sz´ us´gi v´ltoz´ ´s E|| < , akkor o in e a o e

E() =
k

E( | Ak ) · P(Ak ).

Bizony´ as. Legyen diszkr´t val´sz´ us´gi it´ e o in e v´ltoz´ x1, x2, . . . lehets´ges ´rt´kekkel. Ekkor a o e e e
k

E( | Ak ) · P(Ak )
k j j

= =
k

xj P{ = xj | Ak } · P(Ak ) xj P({ = xj } Ak )
k

=
j

xj

P({ = xj } Ak )

=
j

xj P{ = xj } = E.

Abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ u o in e a o eset´n a bizony´ as hasonl´an v´gezhet el. e it´ o e o
164

P´lda: e Szab´lyos dob´kock´val addig dobunk, m´ az a o a ig els 6­os megjelenik. o := az ehhez sz¨ks´ges dob´sok sz´ma u e a a Ak := az els dob´s k o a
6

E =
k=1

E( | Ak ) · P(Ak )

Mivel

E( | Ak ) =
ez´rt e

1 + E 1

ha k

5,

ha k = 6,

E =
amibl o

1 1 + 5(1 + E ) , 6

E = 6.
165

Teljes v´rhat´ ´rt´k t´tele (val´sz´ us´gi a o e e e o in e v´ltoz´ra vonatkoz´lag) a o o Ha (, ) abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´lu o in e a toz´ f, srs´gf¨ggv´nnyel ´s E|| < , o u u e u e e akkor

E() =
Bizony´ as. it´

-

E( | = y) · f (y) dy.

-

E( | = y) · f (y) dy
-

= = =

- - -

xf| (x|y) dx · f (y) dy f, (x, y) dy dx

x

-

xf (x) dx = E .
166

Teljes val´sz´ us´g t´tele (val´sz´ us´gi v´lo in e e o in e a toz´ra vonatkoz´lag) o o Ha abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ u o in e a o f srs´gf¨ggv´nnyel ´s B esem´ny, akkor u u e u e e e

P(B) =
ahol

-

P(B | = y) · f (y) dy,
B | = y).


P(B | = y) := E(

167



Hasonló témájú dokumentumok

valószínűségszámítás

- 2008-01-29 19:28:04

gazdasági matematika

- 2009-06-19 09:14:39

valószínűségszámítás

- 2008-01-29 19:28:04

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Szavazz a feltöltött dokumentumokra az alapján, hogy mennyire volt számodra használható vagy épp használhatatlan (mondjuk azért, mert tele van hibával). A dokumentumok a szavazataitok alapján sorrendeződnek így hosszútávon a legjobb pontokat kapó dokumentumok lesznek a lista elején. Csak a saját szakod dokumentumaira szavazhatsz.