Novák Ágnes - Vektrok algebra

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekNovák Ágnes - Vektrok algebra

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vektoralgebra ­eladás fóliák Elméleti anyag ­tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok ©Bércesné Novák Ágnes Források, ajánlott irodalom: Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, 1971, 1989,.. Scharnitzki Viktor: Vektoralgebra és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, 1989. Bércesné Novák Ágnes-Hosszú Ferenc-Pentelényi Pál-Rudas Imre: Matematika, BDMF, 1994.

©Bércesné Novák Ágnes

1

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vektoralgebra
1. Vektor: irányított szakasz (síkban, térben)

D

A' C B'

A B
E F

Kérdések: Jelölések Egyenlség szabad vektorok Párhuzamosság Hossz (abszolút érték) Egységvektor Nullvektor ­ iránya

©Bércesné Novák Ágnes

2

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Mveletek vektorokkal
Összeadás: - nyílfolyam-módszer: eltolás, a második vektor kezdpontját az els végpontjába, és így tovább... Összegvektor: az els vektor kezdpontjából az utolsó vektor végpontjába mutató vektor. (Két vektor esetén paralelogramma módszernek) b a a+ a+ b a a a+ b a

b a inverze a

Összeadás tulajdonságai: (0.Zárt: összeadás eredménye is vektor ) 1. Kommutatív (ld. ábra): a+b=b+a 2. Létezik egységelem: a+0=a 3. Létezik inverz (ellentett) elem: a+(a inverze) =0

©Bércesné Novák Ágnes

3

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Összeadás tulajdonságai (folytatás): 4. Asszociatív: (a+b) +c = a+(b+c) b a+b (a+b) +c b a a+b b+c (a+b) +c = a+(b+c) c c a b b+c a+(b+c) c

a

©Bércesné Novák Ágnes

4

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Kivonás értelmezése: inverz elem hozzáadása, inverz elem jelölése x+b=a vektoregyenletet x-re megoldva: x+b+(b inverze)=a+(b inverze) x+0= a+(b inverze) Jelölés (számokkal összhangban): a+(-b)= a ­ b=x a+(-b) b-b -b a a+(-b) b a a a

a+b

b a+(-b)=x

b

a x+b=a

©Bércesné Novák Ágnes

5

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Összeadás tulajdonságai (összefoglalás): (- zárt) - asszociatív - létezik egység - létezik inverz CSOPORT

(- zárt) - asszociatív - létezik egység - létezik inverz - kommutatív

KOMMUTATíV CSOPORT

A kommutatív csoportot Abel csoportnak is hívjuk. Feladat: Mondjunk példát más halmazra, melynek elemei adott mveletre nézve csoportot alkotnak
©Bércesné Novák Ágnes 6

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

a.) Számot vektorral: számmal való szorzás ( a) Szorzás b.) Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat, angolul: dot product, (ab) c.) Vektort vektorral-eredménye vektor, neve: vektoriális (vagy kereszt)szorzat, angolul cross product ( a x b)

Megjegyzés: A fenti szorzások közül algebrai értelemben csak a c.) nevezhet mveletnek. (Miért?)

©Bércesné Novák Ágnes

7

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Számmal való szorzás / Vektor szorzása számmal: a a 3a Def.: R, a ·a a vektor a a -a

-a

-a -3a

-a

0, a-val egyirányú, hossza: |a|=|a| (ismételt összeadás)

<0, a-val ellentétes irányú, hossza: |a|=||·|a| (a inverzének, ellentettjének ismételt összeadása) Lemma: ab R a=b Biz.: Tegyük fel hogy (Tfh.) ab a = |a| ea és b= |b| ea Ezekbl: a=|a| (1/|b| (|b| ea))= |a| (1/|b|)b, a=b, = |a| /|b| Tfh. R a=b, akkor a párhuzamosság a definícióból közvetlenül adódik.

©Bércesné Novák Ágnes

8

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Tulajdonságok: 1. a=a 2. µ(a)=(µ )a (definícióból közvetlenül adódik) 3. (+µ)a=a+µa (definícióból közvetlenül adódik) 4. (a+b)= a+b (ld. alábbi ábra) Ábra: 4. (a+b)= a+b, ábra: =2 eset

a+b b a+b b a 2a

2(a+b) 2b

a
©Bércesné Novák Ágnes

9

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Skalárszorzat (bels szorzat) vektor·vektor=szám (DOT product, INNER product) Def.: a·b=abcos, ahol a vektorok által bezárt szög, 0180°. Két vektor által bezárt szög (a kisebb!): Speciális esetek: a·a=aacos(a,a)= a2, Következmény: a·a>0, ha a0, és a·a=0 akkor és csak akkor, ha a=0. Ezt a tulajdonságot úgy mondjuk, hogy a skalárszorzat pozitív definit. Ha a egységvektor, akkor a·a=1. Ha a és b egységvektorok, a·b=cos. Ezek koordináta rendszertl független eredmények!!

©Bércesné Novák Ágnes

10

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

A skalárszorzat geometriai jelentése: e ­ egységvektor a·e=a·e·cos=a· cos=x

x: az a vektor e-re vett eljeles merleges vetületének hossza.
x cos= a x=acos

a e

x
Megjegyzés: A geometriai jelentés a definícó egyszer következménye.

©Bércesné Novák Ágnes

11

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

A skalárszorzat tulajdonságai: 1 . Kommutatív: a·b=b·a 2. NEM asszociatív: (a·b)·ca·(b·c), ugyanis: Bal oldal=szám · c =(c-vel párhuzamos vektor) Jobb oldal= a · szám (a-val párhuzamos vektor) 3. (a·b)=(a)·b=a·(b) Biz.: Nyilvánvaló, ha =0, akkor az azonosság fennáll. Továbbá a kommutativitás miatt elegend a (a·b)=(a)·b azonosság bizonyítása. BALOLDAL: (a·b)= (abcos) JOBBOLDAL: (a)·b= ( abcos)= (abcos), ha > 0. Ha <0, akkor = (-1) , emmiatt elegend a = (-1) eset tárgyalása: BALOLDAL: (-1)(a·b) = (-1)abcos JOBBOLDAL: (-1a)·b=(-1) abcos(180-)=(-1)abcos

©Bércesné Novák Ágnes

12

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

4. Disztributív: a·(b+c)=a·b+a·c Biz.: a·(b+c)=a·b+a·c e· (b+c)=e·b+e·c /· ea·e=a ·e(b+c)=(e)·b+(e)·c

b+c b e e·b e·(b+c)

c

e·c

©Bércesné Novák Ágnes

13

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Tétel: a·b=0 ab (milyen koordináta rendszerben?) Biz.: Ha a·b=0 akkor ab: Haa0 ésb0, akkor a·b·cos(a,b)=0 cos(a,b)=0(a,b)=90° Ha valamelyik vektor nullvektor, annak iránya tetszleges, így a merlegesség teljesül. Ha ab akkor a·b=0 a·b·cos90°=0 cos(a,b)=0 (a,b)1=90° vagy (a,b)2=270°, de mivel a megállapodás szerint a kisebb szöget tekintjük, ezért a két vektor 90°-os szöget zár be Ha a két vektor merlegessége oly módon biztosított, hogy legalább egyikük nullvektor, akkor a 0 def. alapján a=0 vagyb=0, tehát a·b=0

©Bércesné Novák Ágnes

14

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

A skalárszorzat általános tulajdonságai A skalárszorzat a V x V halmazon (ahol V vektortér) értelmezett, kétváltozós valós függvény, (nem mvelet!) amely az alábbi, 1.-4. tulajdonságokkal rendelkezik. Minden olyan függvény, amely ennek eleget tesz, skalárszorzat-nak nevezhet. Skalárszorzat: V x VR A skalárszorzat egy másik, szokásos jelölése: s(x, y) 1. s(x, x)0, s(x, x) =0 - szám x=0 ­vektor pozitív definit tulajdonság 2. s(x, y) =s(x, y) kommutatív tulajdonság 3. s( x, y) = s(x, y) lineáris 4. s(x, y+z)=s(x,y)+s(x,z) lineáris A skalárszorzat egy másik, szokásos jelölése: 1. 0, =0x=0 (pozitív definit) 2. = (kommutatív) 3. < x, y >= (lineáris ) 4. =+ (lineáris )
©Bércesné Novák Ágnes 15

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

A 3.-4. linearitás a következképpen is megfogalmazható: =+µ A vektoralgebrában a skalárszorzatot := xycos(x,y) függvénnyel adtuk meg, és bizonyítottuk a fenti tulajdonságokat. Ezen definíció alapján bebizonyítható a következ tétel (ld. e jegyzet 28. oldalán): Az i, j, k ortonormált bázisra vonatkoztatott koordinátákkal (a 3 dimenziós térben) a skalárszorzat: := x y cos(x,y)= a b
n i =1 i i

A := a b is lehetett volna a definíciója a skalárszorzatnak, azonban így az eredeti fizikai
i =1 i i

n

jelentése elsikkadt volna. Magasabb dimenziós vektorterekben azonban a definíció lehetsége éppen fordított, szög geometriai értelmezhetetlensége miatt éppen a skalárszorzat segítségével lehet a szög fogalmát kialakítani.

©Bércesné Novák Ágnes

16

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Tétel (Vektorok felbontása síkban): Ha adott a síkban két nem párhuzamos vektor (a és b), akkor minden más c síkbeli vektor felbontható a és b vektorokkal párhuzamos összetevkre: c=a+b, ahol ,R A felbontás egyértelm.

©Bércesné Novák Ágnes

17

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Biz.: felbonthatóság: A c vektorkezdpontján át húzzunk a-val, végpontján át b-vel (vagy fordíva) párhuzamos egyeneseket. Mivel a és b nem párhuzamosak, ezért M-ben metszik egymást. a b c A c M B

mivel AM a R AM = a

mivel MB b R MB = b , és c= AM + MB =a+b

©Bércesné Novák Ágnes

18

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Tétel (Vektorok felbontása síkban): Ha adott a síkban két nem párhuzamos vektor (a és b), akkor minden más c síkbeli vektor felbontható a és b vektorokkal párhuzamos összetevkre: c=a+b, ahol ,R. A felbontás egyértelm. Biz.: Egyértelmség:
c=1a+1b c=2a+2b 0=(2-1)a+(1-2)b

0 0 Mivel a nem párhuzamos b-vel, így számszorosaik sem párhuzamosak, ezért számszoroaik összege nem lehet nulla a jobb oldalon. Tehát a és b együtthatói egyenlk nullával: 1=2 és 1=2

©Bércesné Novák Ágnes

19

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Definíció: a és b lineáris kombinációja: c=a+b { a,b}, ha a nem párhuzamos b-vel, akkor függetlenek. Maximális számú független vektor bázist alkot. Késbb részletesen tárgyaljuk.. , az { a,b}bázisra vonatkoztatott koordináták.

©Bércesné Novák Ágnes

20

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Tétel (Vektorok felbontása térben): Ha adott a térben három, nem egysíkú, páronként nem párhuzamos vektor, a, b, c, akkor bármely d térbeli vektorhoz van olyan ,,R, amelyekre igaz, hogy d=a+b+c. Ez a felbontás egyértelm. Biz.: c' S' T D d' c 1. d talppontján, T-n át az S síkkal S' síkot rajzolunk. 2. c nem párhuzamos a-val és b-vel, tehát a d végpontjában c-vel húzott egyenes D-ben döfi S'-t. 3. D-bl T-be mutató vektor legyen d'. d c b a S a d' d=d'+c'=(a+b)+ c, hiszen d' egy síkban van a-val és b-vel, így az elz tétel miatt felírható azok lineáris kombinációjaként.
21

b

©Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Bázis: A térben bármely 3, nem egysíkú, páronként nem párhuzamos vektor független. Maximális számú független vektor bázist alkot. Késbb részletesen tárgyaljuk. Például: Ha a, b, c, a tér egy bázisa, az elz tétel értelmében bármely d vektorra: d=a+b+c. A jobb oldalon álló kifejezés az a, b, c vektorok egy lineáris kombinációja. Az , , számokat a d vektor a, b, c bázisra vonatkoztatott koordinátáinak nevezzük. Ha a bázisvektorok sorrendjét rögzítjük, a lineáris kombinációt rövidíthetjük a következ számhármassal: [, ,].

©Bércesné Novák Ágnes

22

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Speciális bázisok: Ortogonális: Normált: Ortonormált: a vektorok páronként merlegesek a vektorok egységnyi hosszúak ortogonális és normált, szokásos jelölése 3 dimenzióban: i, j, k (Descartes), jobbrendszer: k

j i
©Bércesné Novák Ágnes 23

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vektormveletek, ha a vektorok koordinátáikkal adottak Összeadás: megfelel koordinátákat összeadjuk Biz.: X=b1 + b2 + b3 Y=b1 + b2 + b3 x+y= (b1 + b2 + b3)+(b1 + b2 + b3)= = (b1 + b1)+ (b2 + b2) +(b3+ b3)= (+ )b1+ (+ )b2 +(+ )b3= x+y=(+ )b1+ (+ )b2 +(+ )b3 VEKTOR ÖSSZEADÁS + SZÁMOK ÖSSZADÁSA+

©Bércesné Novák Ágnes

24

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Számmal való szorzás: koordinátánként szorozzuk a számmal Biz.: HF

Kivonás: Megfelel koordinátákat kivonjuk Biz.: HF

©Bércesné Novák Ágnes

25

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vektormveletek, ha a vektorok koordinátáikkal adottak Összeadás: a+b y b1 b2 b1 X=b1+b2 Y= b1+b2 b1 x b2 b2

x+y=b1+b2+ b1+b2=(b1+ b1) + (b2+b2) x+y=(+ )b1+ (+)b2 VEKTOROK ÖSSZEADÁSA: koordinátánként Milyen koordinátarendszerben igaz e szabály?
©Bércesné Novák Ágnes 26

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Mveletek koordinátás alakban,

ORTONORMÁLT BÁZISBAN

A koordináták szemléltetésére animáció: http://www.usd.edu/~jflores/MultiCalc02/WebBook/Chapter_13/Graphics/Chapter13 _1/DemoHtml13_1/13.1coorsys.htm

©Bércesné Novák Ágnes

27

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Mveletek koordinátás alakban, Uu., mint általános bázisban: a=a1i+a2j+a3k xi+yj+zk

ORTONORMÁLT BÁZISBAN b=b1i+b2j+b3k

a=(a1i+a2j+a3k)=(a1)i+(a2)j+(a3)k a+b=a1i+b1i+a2j+b2j+a3k+b3k=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k

a+b a a1 a1+b1
©Bércesné Novák Ágnes

b

b2 a2 b1

a2+b2

28

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Skalárszorzat kiszámítása ORTONORMÁLT BÁZISban Animáció: http://www.falstad.com/dotproduct/ (mind a piros, mind a kék vektort a végénél fogva lehet mozgatni, jobb fels sarokban leolvasható minden számadat. A piros vektor vetülete látható a kék vektoron.) http://magnus.poly.edu/~mleung/java/vectors/dproduct/dproduct.html

©Bércesné Novák Ágnes

29

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Skalárszorzat kiszámítása ORTONORMÁLT BÁZISban A skalárszorzat értéke függ a bázistól. Tétel: Legyenek i, j, k páronként merleges egységvektorok, amelyek jobbrendszert alkotnak. (Descartes). A felbontási tétel szerint ekkor: a=a1i+a2j+a3k b=b1i+b2j+b3k

a·b = aibi
i =1

3

Alkalmazva a skalárszorzat disztributív tulajdonságát: a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)=a1i·b1i+a1i·b2j+a1i·b3k+ a2j·b1i+ a2j·b2j+a2j·b3k+ a3k·b1i+a3k·b2j+a3k·b3k=a1b1+a2b2+a3b3

©Bércesné Novák Ágnes

30

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Felhasználása: I. Fizika, pl. W=F·s II. Vetületek (Pl. fizikában is erk felbontása) a= ab+ am a am ab b

eb
ab = (a. eb ) eb ab = (hossz) irány

©Bércesné Novák Ágnes

31

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

III. Sík normálvektoros egyenlete Animáció: http://www.usd.edu/~jflores/MultiCalc02/WebBook/Chapter_13/Graphics/Chapter13 _5/DemoHtml13_5/13.5%20LinesAndPlanes.htm

©Bércesné Novák Ágnes

32

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

IV. Sík normálvektoros egyenlete n az S sík normálvektora (n a síkra merleges)

P0 · p0 n p

S P

P 0 (x0, y0, z0) ­ a sík tartópontja (tetszleges, de rögzített) P(x, y, z) ­ a sík tetszleges pontja, futópont S egyenlete: n · P0P = 0, hiszen merleges vektorok P0 P = p - p0

©Bércesné Novák Ágnes

33

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Példa: n(1,2,3) p0(4,5,6), P0 P= (x-4), (y-5), (z-6)

x P(x,y,z) (x-4)·1+(y-5)·2+(z-6)·3=0 Rendezve: 1x+2y+3z-4-10-18=0

(1)x+(2)y+(3)z=32 Általában az Ax+By+Cz=D lineáris egyenlet egy A, B, C, normálvektorú sík egyenletének tekinthet. Típusfeladatok: 1. Koordinátáival adott a sík 3 pontja. Adja meg a sík egyenletét! 2. Adott 4 pont. Hogyan lehet eldönteni, hogy egysíkúak-e?

©Bércesné Novák Ágnes

34

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vektoriális szorzat: vektor×vektor=vektor (CROSS product) a×b=a·b·sin(a,b)·e hossz==a·b·sin(a,b) e=1 ae, be a×b e Érdekes ez az animáció: http://www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html (Megjegyzés: az a és b vektorokat lehet mozgatni az egérrel, a c vektorral lehet forgatni az ábrát) a,b,e jobbrendszert alkot(a-hüvelyk-,b-mutató-,e-középsujj)

©Bércesné Novák Ágnes

35

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

A vektoriális szorzat geometriai jelentése:

a×b m=b·sin alap: a e b m


a a x b =a·b·sin=Terület = (alap·magasság)

©Bércesné Novák Ágnes

36

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Fontosabb vektoriális szorzatok: i×i=0 i×j=k j×j=0 j×k=i k×k=0 k×i=j i×k=-j , stb. A vektoriális szorzat tulajdonságai: a×b=-b×a antikommutatív (a×b)×ca×(b×c) (nem asszociatív) (a+b)×c=(a×c)+(b×c) a×(b+c)=(a×b)+(a×c) kétoldali disztributivitás
k

Jobbrendszert alkot és merleges, így nem lehet más, mint a 3. vektor.

i

j

©Bércesné Novák Ágnes

37

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vektoriális szorzat kiszámítása ORTONORMÁLT BÁZISban Tétel: Ha a=(a1i+a2j+a3k) b=(b1i+b2j+b3k) adottak, akkor

a×b =

i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3

=

ia b

2

a3 b3

2

-j a b

1

a3 b3

1

+k a b

1

1

a2 b2

©Bércesné Novák Ágnes

38

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

a×b=(a1i×b1i)+(a1i×b2j)+(a1i×b3k)+ (a2j×b1i)+(a2j×b2j)+(a2j×b3k)+ (a3k×b1i)+(a3k×b2j)+(a3k×b3k) Felhasználva az elzleg kiszámított vektoriális szorzatokat, és alkalmazva a disztributivitást (kiemelés): a×b=i(a2b3-a3b2)-j(a1b3-a3b1)+k(a1b2-a2b1) = i a b
2

a3 b3

2

-j a b

1

a3 b3

1

+k a b

1

1

a2 b2

=

i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3

(Determináns)

©Bércesné Novák Ágnes

39

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Determinánsok kiszámítása a kifejtési TÉTEL szerint (nem definíció, késbb biz.): 1 x 1: a1 = a1 2× 2: Sor szerinti kifejtés: a sor minden elemét megszorozzuk a hozzá tartozó (eljeles) aldeterminánssal és az így kapott számokat összeadjuk.
1 1

Adott elemhez tartozó (eljeles) aldetermináns: Az elem sorát és oszlopát elhagyva újabb determinánst kapunk. Eljele a sakktábla szabály szerint.
a11 Pl. els sor szerint kifejtve: a 2 1 a12 = a11 a 2 2 - a 21 a12 a 22

3 x 3: Sor szerinti kifejtés: a sor minden elemét megszorozzuk a hozzá tartozó (eljeles) aldeterminánssal és az így kapott számokat összeadjuk.

©Bércesné Novák Ágnes

40

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Tétel: a×b=0ab Biz.: 1) aba×b=0 Ha a két vektor egymással párhuzamos, akkor a bezárt szög 0 vagy , és így a sin(a,b)=0, tehát a×b=0. 2) a×b=0ab Ha a és b vektoriális szorzata 0, akkor a a×b=a·b·sin(a,b)=0 A jobb oldalon álló nullvektor kétféleképpen állhat el. Vagy sin(a,b)=0, és ekkor a bezárt szög =0° vagy a két vektor párhuzamos. A másik eset, hogy a vagy b legalább egyike nullvektor. Nullvektor iránya tetszleges, így a párhuzamosság fennáll.

©Bércesné Novák Ágnes

41

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vegyes szorzat Definíció: Az (a x b ) ·c szorzatot vegyes szorzatnak nevezzük. Geometriai jelentés: c m

e legyen a x b-vel || egységvektor, tehát merleges az a és b vektorok síkjára a×b: alapterület , a×b (|a×b|·e) · c = (alapterület · magasság)= eljeles térfogat magasság

©Bércesné Novák Ágnes

42

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Az eljel a paralelepipedon elhelyezkedését (attól függen + vagy -, hogy a c vektor ugyanabba a térfélbe mutat-e, mint az a x b) adja meg, a szám pedig a térfogat mérszámát.

©Bércesné Novák Ágnes

43

PPKE ITK

Diszkrét matematika és algebra

Vegyes szorzat kiszámítási módja ortonormált bázis esetén Tétel: Ha a=(a1i+a2j+a3k) b=(b1i+b2j+b3k) c= (c1i+c2j+c3k) adottak, akkor (a x b) · c= =
c1 a1 b1 c2 a2 b2 c3 a a3 = c1 2 b2 b3 a3 a - c2 1 b3 b1 a3 a + c3 1 b3 b1 a2 b2

Biz.: a×b=i(a2b3-a3b2)-j(a1b113-a3b1)+k(a1b2-a2b1)= i j k a1 a2 a3 ·c=(i a b b1 b2 b3 =
a3 b3

2

2

-j a b

1

1

a3 b3

+k a b

1

a2 b2

1

) · (c1i+c2j+c3k)= c1 a b

2

2

a3 b3

- c2 a b

1

1

a3 b3

+ c3 a b

1

a2 b2

=

1

c1 c2 c3 a1 a2 a3 b1 b2 b3

©Bércesné Novák Ágnes

44



Hasonló témájú dokumentumok

Novák Ágnes - Vektorterek

- 2008-01-24 09:06:25

Vizsga zh 2008-01-04

- 2008-01-24 00:48:02

Novák Ágnes - Lineáris leképzések

- 2008-01-24 09:05:25

Szigeti oldalán található jegyzet

- 2008-01-24 00:27:51

Novák Ágnes - Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség,

- 2008-01-24 09:07:29

Pótzh 2007-12-13 Bcsop.

- 2008-01-24 09:15:26

Diszkrét Matematika I. példatár 2003 György-Kárász-Sergyán-Vajda-Záborszky

- 2008-01-24 00:53:59

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Online ZH, vizsga kidolgozás! Mi is ez? Ha feltöltesz egy régi ZH-t/vizsgát, a dokumentum oldalán Hozzászólást lehet írni. Megírhatod például, hogy "szerintem a 3-as feladat megoldása ez: "... Ha hiba van benne, más hallgató egy új hozzászólásban ezt jelezheti.

1. 1.óra 15 2. óra altér alternatív energiaforrások analízis dolgozat biogeográfia civilizáció csoport dns egyiptom élettan épszerk 5 épületszerkezetek feladatgyűjtemény fémek fizika 1 fólia frei otto gyakorló feladatok halász gábor házi illeték jogi és államigazgatási alapismeretek kidolgozott magyar gótika mechanika modern mri műemlékvédelem nemzeti kisebbség neveléstörténet pdf pénzügy piac pszichó puska román sejttan szocioógia talajtan tartály témák természet természet földrajz vállalat vám vázlat világirodalom 2.