Novák Ágnes - Struktúrák (röv.összefoglalás)

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekNovák Ágnes - Struktúrák (röv.összefoglalás)

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

1. Algebrai alapok: Mvelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) mveleten egy H×H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,bH elempárhoz egyértelmen hozzárendel egy H-beli elemet. Melyek mveletek az alábbiak közül? -3, ., R, Z, C-ben? - mátrix->determináns->szám -sík egybevágósági transzformációinak halmazában a kompozíció - skalárszorzat - vektoriális szorzat -vegyes szorzat Def.: Egy H-n értelmezett * mvelet asszociatív, ha bármely a,b,cH-ra a*(b*c)=(a*b)*c teljesül. Példa:
© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Mátrixok szorzása asszociatív, de nem kommutatív Def.: Egy H-n értelmezett * mvelet kommutatív, ha bármely a,bH-ra a*b=b*a teljesül.

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Def.: Bal oldali egységelemnek egy olyan ebH elemet nevezünk, amelyre minden aH-val eb*a=a teljesül. Def.: Jobb oldali egységelemnek egy olyan ejH elemet nevezünk, amelyre minden aH-val a*ej=a teljesül. Def.: Az eH elem egyégelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden aH-ra e*a=a*e=a. Def.: Összeadás esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük, és 0-val jelöljük. Példák: Az alábbiak közül melyik mvelet, komm., asszoc, egységelemes, inverzelemes? - páros számok/páratlan számok: +,-,* - N és nulla halmazban: max (x, y), min(x,y), legkisebb-közös-többszörös(x,y)

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

- sík eltolásai, sík forgatásai adott, rögzített pont körül

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Def.: Az aH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan abH elemet értünk, amelyre ab-1*a=e. Def.: Az aH elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan ajH elemet értünk, amelyre a* aj-1=e. Def.: Az aH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1H elem, amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a-1*a= a*a-1=e. Tétel: Legyen értelmezve H--n egy asszociatív mvelet. Ha a kétoldali inverzek léteznek, akkor ab=aj=a-1 (az inverz kétoldali és egyértelm) Biz.: ab-1=ab-1*e=ab-1* (a*aj-1)= (ab-1*a) *aj-1=a j-1

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Def.: Csoport: Egy G nemüres halmazt csoportnak nevezünk, ha értelmezve van G-n egy asszociatív mvelet, létezik egységelem és minden elemnek van inverze. (0. a,bG és a*bG, zártság, a mvelet definíciójából következik!!!) 1. (a*b)*c=a*(b*c) 2. Létezik eG, e*a=a minden a-ra 3. létezik a-1G, és minden aG esetén igaz, hogy a-1*a=e ( Ha 4. a*b=b*a, akkor kommutatí, vagy Abel-csoport)

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Példák csoportra: sík-tér egybevágósági transzformációi vektorok + egész számok + racionális számok + valós számok + n×m-es mátrixok +, {{-1,1},·} Tétel: a, x, yG-re, (a*x=a*y) x=y (x*a=y*a) x=y (G mert lehet, hogy G nem kommutatív!) Biz.: x=e*x=ab-1*a*x= ab-1*a*y=e*y=y A másodikat ehhez hasonlóan, hf. Tétel: a, x, yG ax=bx=(ab-1)b, illetve (xa=bx=b(aj-1) Biz .: x=e*x= ab-1*(a*x)= ab-1 b. A másikat ehhez hasonlóan hf.

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Def.: Egy T legalább kételem halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha: Értelmezve van T-n két mvelet ­ egyiket összeadásnak, másikat szorzásnak hívjuk. Az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje. A szorzás asszociatív és kommutatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik ( a szorzásra vonatkozó, azaz multiplikatív) inverze. bármely a, b, c T-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül. Ezeket a tulajdonságokat szokás testaxiómáknak is nevezni. Az elnevezésben a ,,kommutatív" jelz a szorzás kommutativitására utal. Ha a szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestrl beszélünk. Példák: -Q, R, C, a+bV2, 2x2 mátrixok közül az aik=0, kivéve a22=x alakúak

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Def.: A V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk a T test felett, ha az alábbi kikötések, ún. vektortéraxiómák teljesülnek: A V halmazon értelmezve van egy összeadás nev mvelet, bármely u,v V elempárhoz egyértelmen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u+v-vel jelöllünk. Az összeadás kommutatív csoport. A T test és a V halmaz között értelmezve van a skalárral való szorzás (miért nem mvelet?) az alábbi módon: bármely T és uV elempárhoz egyértelmen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u-val jelölünk. (Mvelet ez?) Bármely , µ T és vV esetén: (+µ)v=v+µv Bármely T és v, uV esetén: (u+v)=u+v Bármely , µ T és vV esetén: (µ)v=(µv) Bármely vV esetén: 1v=v, ahol 1 a T test egységeleme (azaz amellyel minden T-re 1=1=).

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Pl.:sík, tér vektorai, n×m-es mátrixok A vektortéraxiómák következményei: a mveletek általános tulajdonságaiból azonnal következik, hogy a nullvektor (0) és minden vektornak az ellentettje egyértelm elvégezhet a kivonás, azaz bármely u, vV vektorhoz egyértelmen létezik olyan wV vektor, amelyre v+w=u, ezt w=u-v-vel jelöljük. az összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt a többtagú összegek esetén a zárójelek elhagyhatók, és a tagok sorrendje is tetszlegesen átírható. 0.v=0, 0=0 (bizonyítás is kell!)

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Def.: Egy T test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli vektormveletekre (pontosabban ezeknek a mveleteknek a W-re történ megszorításaira) nézve. Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha: · u, vWu+vW · vW, TvW. Def: Csoport-részcsoport? Félcsoport: egyetlen mvelet, asszociatív

© Bércesné Novák Ágnes

STRUKTÚRÁK (rövid összefoglaló)

Def.: Egy R nemüres halmazt gyrnek nevezünk, ha · értelmezve van R-en két mvelet ­ az egyiket összeadásnak, a másikat szorzásnak hívjuk, · az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje, · a szorzás asszocatív, · bármely a,b,c R ­re a*(b+c)=a*b+a*c és (b+c)*a=b*a+c*a teljesül. Példák: - n x n-es mátrixok gyrje a szokásos + és . mveletekre - a páros számok (kommutatív) gyrje a szokásos + és . mveletekre

© Bércesné Novák Ágnes



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

00 1.óra 10. 2008/2009-1 algoritmus áltkém articulation barokk biotermékek dinamika elte ttk épszerk iii. éptöri ii eu agrárpolitikája feladatok feladatsor filológia fogalomtár fogyasztás földalatti tartály gazdaságpszichológia görögország házi doga inverz és összetett függvény jegyzet képletek kiefer ferenc kis jános kodolányi - levelező kollokvium kötődés középkori európa méretezés mpiac órai anyag pol.s. polg.jog polgár rézsűállékonyság számítógép architektúrák szervezes szivattyú tanirodai topográfia ügyvitel üzleti kommunikáció választások vállalati pénzügyek víz vizsgazárthelyi