Novák Ágnes - Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség,

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekNovák Ágnes - Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség,

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Vektorok által generált altér, lineáris összefüggség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió
Ebben a részben általánosítjuk a térbeli vektorokra már megismert hasznos fogalmakat. A legfontosabb, hogy bármely vektortérben le tudjuk irni, meg tudjuk adni a vektorokat valamilyen módon. Ez a mód a koordinátázás lesz. Látni fogjuk azonban, hogy nem minden vektorrendszer (koordinátarendszer) alkalmas erre, ugyanis vannak olyanok, amelyekre vonatkozóan nem lenne egyértelm a koordinátázás, ezek nyilván hasznavehetetelenek. Tehát elször meg kell fogalmaznunk, milyen tulajdonságúnak kell lennie azoknak a vektoroknak, amelyekkel a többit le szeretnénk írni. Emiatt van szükség a címben említett fogalmakra. Az itt említett problémákat elször példákon illusztráljuk.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Definíció:

v1,v2,K vk vektorok lineáris kombinációja c1v1 + c2 v2 , A
,

+ L+ ck vk
c1,c2,Kck T, ,

, ahol c1,c2,Kck T.

, Azt mondjuk, hogy a v vektor a v1,v2 ,K vk lineáris kombinációja, ha amelyekkel v = c1v1 + c2v2 + L+ ck vk
(T az a test, amely fölötti vektortérrl van szó.)

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa:
1 0 0 1 e1 = 0 , e 2 = 1 , e 3 = 0 , v = 2 3 1 0 0
.

0 0 1 1 v = 2 = 1 0 + 2 1 + 3 0 = 1e1 + 2e 2 + 3e3 , 1 0 0 3

A v vektor tehát az e1 , e2 , e3 vektorok lineáris kombinációja. Ez az elállítás itt egyértelm, ez azonban más alapvektorok esetében nincsen mindig így. Ezt a rendszert szokás i, j, k rendszernek , vagy kanonikus bázisnak is nevezni. Az e fejezetben elmondottakat 3 dimenzióban már vettük, ismétlésképpen nézzük meg a térbeli felbontási tételt.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Tétel (Vektorok felbontása térben-volt): Ha adott a térben három, nem egysíkú, páronként nem párhuzamos vektor, a, b, c, akkor bármely d térbeli vektorhoz van olyan ,,R, amelyekre igaz, hogy d=a+b+c. Ez a felbontás egyértelm. Biz.: d talppontján, T-n át az S síkkal S' síkot rajzolunk. c nem párhuzamos a-val és b-vel, tehát a d végpontjában c-vel húzott egyenes Dben döfi S'-t. c' S' T D d' c' 1. D-bl T-be mutató vektor legyen d'. d c' b b a
S

a

d'

d=d'+c'=(a+b)+ c, hiszen d' egy síkban van a-val és b-vel, így az elz tétel miatt felírható azok lineáris kombinációjaként.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: Már láttuk, hogy pl. a 2 x 2-es mátrixok a szokásos mátrix összeadásra és valós számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a való számok teste felett. Igy e térben a ,,vektorok" a 2 x 2-es mátrixok. Tekintsük itt az alábbi ,,vektorokat":
0 2 - 1 3 - 2 0 0 8 v1 = , v2 = , v3 = , v= 1 0 1 2 1 3 2 1

Írjuk fel a v vektort a v1, v2, v3 vektorok lineáris kombinációjaként! Megoldás:
0 8 0 2 -1 3 - 2 0 v= = 1 + 2 + (-1) = v1 + 2v2 - v3 . 2 1 1 0 1 2 1 3

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: Lineáris egyenletrendszer értelmezhet (oszlop)vektorok lineáris kombinációjaként:
1 0 - 1 x1 1 Ax = 2 1 0 x 2 = 1 = b . 3 2 1 x3 1

A megoldás:

2 x = - 3 1

,

ami azt jelenti, hogy

2 1 0 - 1 1 A- 3 == 2 2 - 3 1 + 1 0 = 1 = b 1 3 2 1 1 1 = 2oszlop1 ( A) - 3oszlop 2 ( A) + oszlop 3 ( A) = 1 = b 1

Az egyenletrendszert nem mátrix-szorzásként, értelmeztük, hanem a mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként. Tehát a b vektor az együtthatómátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja. Ez egyben azt is mutatja, ha van megoldás, akkor a b vektor eláll az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, ha nincsen megoldás, nem létezik ilyen lineáris kombináció sem.
© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: Irjuk fel a
4 v = 5 5

vektort a következ vektorok lineáris kombinációjaként!
-1 3 1 v1 = 2, v2 = 1 , v3 = 3 . 4 2 3

Megoldás:
az

3 - 1 1 4 v = 5 = c1 2 + c2 1 + c3 3 = c1v1 + c2 v2 + c3 v3 2 4 3 5
.

alábbi lineáris egyenletrendszert kell megoldani:
c1 1 - 1 3 c1 4 A c 2 = 2 1 3 c 2 = 5 . c 3 3 4 2 c3 5

c1 = -2t + 3, c2 = t -1, c3 = t, t R . A v vektor végtelen kombinációjaként.
© Bércesné Novák Ágnes

v = (- 2t + 3)v1 + (t -1)v2 + tv3 , t R
a megadott vektorok lineáris

sokféleképpen

állítható

el

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

3 v = - 4 vektort a következ vektorok lineáris kombinációjaként: Példa: Állítsuk el a - 6
1 -1 1 v1 = 2, v2 = -1, v3 = 4 . 3 - 2 5

Megoldás:

c1 1 3 1 - 1 1 v = - 4 = c1 2 + c2 - 1 + c3 4 = c1v1 + c2 v2 + c3v3 A c 2 = 2 , c3 3 - 6 3 - 2 5


- 1 1 c1 3 - 1 4 c 2 = - 4 - 2 5 c3 - 6

Ennek a lineáris egyenletrendszernek nincsen megoldása

v

nem állítható el a v1, v2 , v3 vektorok lineáris kombinációjaként.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Definíció: A v1 , v2 ,K, vk vektorok által generált altér ezen vektorok összes lineáris kombinációja: v1 , v2 ,K, vk = {c1v1 + c2 v2 + L + ck vk | c1 , c2 ,K , ck R} E definíció helyes, ugyanis valamely vektorok halmaza akkor és csak akkor altér, ha bármely halmazbeli vektor számszorosa is halmazbeli, és bármely két halmazbeli vektor összege is halmazbeli. Ez a definícióból könnyen adódik (hf.)

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: Vizsgáljuk meg a következ vektorok (kanonikus bázis) által generált alteret!
0 0 1 0 , e = 1 , e = 0 , e1 = 2 3 1 0 0

.

Megoldás:
e1 , e2 , e3 c1 = c1e1 + c2 e2 + c3e3 = c2 | c1 , c2 , c3 R = R 3 c3

Az eredmény nem meglep, hiszen a térbeli felbontási tételbl is adódik.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa:
1 1 1 v1 = 2 , v 2 = 0 , v 3 = 1 . 0 2 1

Igaz-e, hogy Megoldás:

v, v2 , v3

= R3?

a v = b R 3 , léteznek olyan c1 , c 2 , c 3 valós számok, hogy Ha igen, akkor minden c
a 1 1 1 v = b = c1 2 + c 2 0 + c3 1 = c1v1 + c 2 v 2 + c3 v3 . c 1 2 0

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

1 1 1c1 a 2 0 1c = b 2 . vagyis: 1 2 0c3 c
A megoldás (egyértelm, a, b, c paraméterekkel mindegyik együttható kifejezhet):

c1 =

4a -b - 2c - 2a + 2b + c a -b + c , c2 = , c3 = . 3 3 3

4 a - b - 2c - 2a + 2b + c a -b+c v= v 2 + v3 . v1 + 3 3 3
Tehát minden R -beli vektor felírható a v1 , v 2 , v3 vektorok lineáris kombinációjaként, tehát az egész tér eláll. (a lineáris kombináció itt is egyértelm, összhangban a térbeli felbontási tétellel)
3

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Generátorrendszer: vektorok olyan rendszere, amelyek lineáris kombinációjaként a vektortér minden eleme eláll. Példa: R3-ban minden 3 páronként nem párhuzamos, nem egysíkú vektor generátorrendszert alkot. Ezt illusztrálják a fenti példák is. Feladat: Adja meg a 2 x 2-es mátrixok egy generátorrendszerét!

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa:
1 1 -1 g 1 = , g 2 = , g 3 = vektorok az R2 egy generátorrendszerét alkotják! Igazoljuk, hogy a 1 -1 -1

Megoldás: Azt kell bizonyítani, hogy bármely lineáris kombinációjaként.
a 1 1 -1 b = 1 1 + 2 -1 + 3 -1 ,

a b

vektor felírható a g1, g2, g3 vektorok

a 1 0 -1 1 1 -1 a 1 1 -1 a 1 1 -1 = vagyis 1 -1 -1 b 0 -2 0 b - a = 0 1 0 1 (a - b) = 0 1 0 2

1 ( a + b) 2 tehát 1 ( a - b) 2

1 = (a + b) + 3 , 2 = (a - b), 3 tetszleges. 2 2

1

1

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Legyen 3 = 2 , ekkor például az
3 = - 1 = 2, 2 = -
1 1 2 2 1 1 1 1 1 - 1 = 2 - + 2 1 2 - 1 2 - 1
1 1 g2 + g3 2 2

1

1 2

vektor a következképpen írható fel:

sokféleképpen
1

írható fel bármely

R2 -

v = 2g1 -

beli vektor a g1 , g 2 , g 3 lineáris kombinációjaként.

Legyen 3 = - 2 1 = 1, 2 = - 2
1 1 1 1 1 - 1 2 = 11 - 2 - 1 - 2 - 1 1 1 v = 1g 1 - g 2 + g 3 2 2

1

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

1 1 , Példa: Igazoljuk, hogy az 1 - 1 vektorok R2 egy generátorrendszerét alkotják!
Megoldás: 1 1 + 2 - 1 = b , elzhöz hasonlóan:
1 1 a

1 + 2 = a 1 - 2 = b

1 =

1 (a + b ) 2 1 2 = (a - b ) 2

Ez esetben a felírás egyértelm! (Függetlenek a vektorok.)

Példa: i, j rendszerre mit mondhatunk? És i, j, k ­ra?

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Konklúzió: bizonyos generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációja egyértelmen állítja el a tér vektorait, bizonyosak pedig nem. Ennek kritériuma az ún. lineáris függetlenség . A lineáris függetlenség, lineáris összefüggség fogalmak a vektorok egymással való kapcsolatát fejezik ki. A függetlenség azt biztosítja, hogy a független vektorok közül egyik sem fejezhet ki a többi lineáris kombinációjával, míg az összefügg vektorok közül legalább egyik kifejezhet a többi lineáris kombinációjával. Definíció: (Lineáris összefüggés (LÖF):
n

v1 , v 2 ,K, v n vektorok lineárisan összefüggk, ha a

v
i =1 i

i

= 0 lineáris kombinációban

i, i 0 .
(vagyis 1 v 1 + 2 v 2 nem nulla. )

+ K + i v i + K + n v n = 0

úgy, hogy egyik tag, az i-dik,

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: LÖF síkban: 1. eset 2. 1 a + 2 b = 0 / tegyük 1 a = - 2 b - 1 a=b 2

/

1

fel, hogy

2 0

2

Síkban két vektor akkor és csak akkor összefügg, ha párhuzamosak. (Ekkor egymás lineáris kombinációjaként elállíthatók)

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

2. eset Most legyen a nem párhuzamos b -vel, és a, b, c lineárisan összefügg:
1 a + 2 b + 3 c = 0
Csak úgy lehet lineárisan összefügg, ha 3 0 , ui, ha például 2 0 lenne 1 a + 2 b + 0c = 0 -ban 2 0 miatt

a

és b lineárisan összefügg lenne, vagyis párhuzamos.

1 a + 2 b + 3 c = 0 c=- 1 a- 2 b 3 3

c kifejezhet

a -val és b -vel!

Síkban tehát, ha 3 vektor összefügg, akkor legalább az egyik kifejezhet a többi lineáris kombinációjaként. Tétel (síkbeli felbontási tétel más megfogalmazása): Síkban bármely három vektor lineárisan összefügg.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: LÖF TÉRBEN a.) b.)
1a + 2b = 0 i 0 a || b

1a + 2b + 3c = 0

TFF. Hogy a nem párhuzamos b, akkor

3 0

c = * a + * b 1 2
Ekkor a vektorok egysíkúak, és egyik kifejezhet a másikkal. Tfh. 1 0 vagy 2 0 ugyanaz mondható el. c.)

1 0 2 0 3 0 lenne, akkor bármely d vektorra:
1a + 2 b + 3c + 4 d = 0 a térbeli felbontási tételt kaptuk

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Definíció:: Lineáris függetlenség (FGTLEN)

v 1 , v 2 ,...v n lineárisan független, ha

v
i =1

n

i i

= 0 csak úgy lehetséges,ha

i i = 0
Tétel: Ha v1,v2,...,vn LÖF, tetszleges vektort hozzávéve, továbbra is LÖF marad. Biz.: 1v1+ 2v2+...+ ivi+...+ nvn+ n+1vn+1=0
LÖF volt , iv úgy , hogy


i =1

n

Ezt vesszük hozzá

ivi=0

LÖF,def.-nek eleget tesz ivi miatt ha n+1=0-t választjuk, hiszen i 0-val LÖF teljesül

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Kérdés: Hány vektort szabad hozzávenni, hogy még LÖF maradjon? Tétel: Ha v1,v2,...,vn FGTLEN, tetszleges vektort elhagyva FGTLEN marad. Biz.: Elzre visszavezetjük, tfh. a FGTLEN rendszerbl már elhagytunk egy vektort, és az így kapott rendszer, LÖF. Az elz tétel szerint, ha ehhez a LÖF rendszerhez hozzáveszünk egy vektort, a rendszer LÖF marad. Tehát akkor az eredeti is LÖF lenne, ami ellentmondás.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Tétel: v1,v2,...,vn A.CS.A LÖF, ha i, hogy vi= kvk (legalább egy vektor a többivel kifejezhet)
n k =1 k i

a.) Ha LÖF, akkor vi = kvk
k =1 k i

n

1v1+ 2v2+...+ ivi+...+ nvn+ n+1vn+1=0 1v1+ 2v2+...+ nvn+ n+1vn+1= -ivi,
n
n k =1 k i

i hogy

i0

vi= k/ivk LÖF.

b.)

Ha

v i = k v k v1 , v 2 , K , v i , K , v n
k =1 k i

Ugyanis: v i = 1 v1 + K + i -1 v i -1 + i +1 v i +1 + K + n v n

0 = 1 v1 + K + i -1 v i -1 + (-1) v i + i +1 v i +1 + K + n v

i 0

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Tétel:

v 1 , v 2 , K , v n függetlenek, és v n +1 -et hozzávéve lineárisan összefüggk lesznek, akkor
kifejezhet:

v n +1

v n+1 = i v i
i =1

n

.

1 v1 + 2 v 2 + K + n v n + n+1 v n+1 = 0
Független volt Ezt vettük hozzá.

0

i, i 0 , mert most lineárisan összefügg. Ha i n lenne, akkor (vagyis n +1 = 0 ), akkor

v
i =1 i

n

i

+ n +1 v n +1 = i v i = 0 és
i =1

n

i 0 ,

ami azt jelentené, hogy

v 1 , v 2 , K , v n lineárisan összefügg lenne, ellentmondás!

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Tehát

n +1 0 .
n k = - v k = k v k n +1 k =1 k =1 n
n

v n +1

Tétel: A

v = i v i
i =1

elállítás akkor és csak akkor egyértelm, ha v 1 , v 2 , K , v n lineárisan

független rendszer.

Bizonyítás: (,,visszafelé")
Tegyük fel, hogy

v1 , v 2 ,K, v n
n n i =1 i =1

független rendszer. Ekkor egyértelm v elállítása.

Indirekt módon: v = i vi = i vi
0 = v - v = ( i - i )v i , mivel
i =1 n

v i független, ( i - i ) = 0

i -re:

i - i = 0 i = i

egyértelm.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Bizonyítás: (,,oda") Ha a felírás egyértelm, akkor v 1 , v 2 , K , v n független.
Indirekt módon: Tegyük fel, hogy v 1 , v 2 , K , v n lineárisan összefügg, elzek szerint:

i

v i = k v k
k =1 k i

n

vi = De akkor: v = k v k -ba
n k =1


k =1 k i

n

k

vk

-t írva

v

egy másik, különböz felírását kapnánk,

ami ellentmond

v

egyértelm felírásának.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: Három dimenzióban, tegyük fel, hogy egyik vektor a másik kett lineáris kombinációja:

v 2 = 1 v1 + 2 v 2
Ekkor:

v = 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 = ( 1 + 1 )v 1 + 0v 2 + ( 3 + 3 )v 3
Két különböz lineáris kombináció létezik,

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Ism.: Definíció: Lineáris függetlenség

v 1 , v 2 ,...v n

lineárisan független, ha

v
i =1

n

i i

= 0 csak úgy lehetséges,ha

i = 0 i

Függetlenség síkban:

1a + 2 b = 0 1 = 2 = 0 vagyis ha Pl.: 1 0 és 2 0 , akkor a lineáris kombináció sosem lehet NULLA!

(paralelogramma szabály ­ az átló sosem nulla hosszúságú, ha az oldalak nem azok!) a || b

Függetlenség térben: a || b ,

a || c

a, b, c

,

b || c

1a + 2 b + 3c = 0 a parallelepipedon nem elfajuló

nem egysíkúak

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa: összefügg-e a alábbi vektorrendszer:
1 1 1 , -1 ?

Megoldás:

1 v1 + 2 v 2 = 0 Miként állítható el a 0 ?
1 + 2
1 1 1 0 = - 1 0

1 + 2 = 0 1 - 2 = 0 1 = 2 = 0
Csak triviális megoldás létezik, ezért függetlenek.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Definíció: A lineárisan független vektorokból álló generátorrendszert bázisnak nevezzük.
A bázisnak tehát két fontos tulajdonsága van: - a bázisvektorok lineárisan függetlenek - minden vektor eláll a bázisvektorok lineáris kombinációjaként

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Példa:

1 0 1 1 , 1 , 0 Bizonyítsuk be, hogy az vektorok az R3 egy bázisát alkotják. 0 1 1
Megoldás: Els tul.: függetlenség
1 0 1 0 1 1 + 2 1 + 3 0 = 0 0 1 1 0

1 + 3 = 0 1 + 2 = 0 2 + 3 = 0
2 3 = 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0

( A paralelepipedon térfogata0, csak akkor, ha a vektorokat ,,0-szor" vesszük.) Második tul.: Minden vektor elállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként (hf).

3 = 0 2 = 0 = 1 Csak triviális megoldása van, tehát független rendszer.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Megjegyzés: A megoldásból kitnik, hogyha det(A)=0, ahol A a vektorokat mint oszlopokat tartalmazza, akkor van triviálistól különböz megoldás, vagyis, akkor összefügg a vektorrendszer.
Az elzekbl láttuk, hogy egy vektorrendszer akkor és csak akkor FGTLEN, ha bármely más vektor EGYÉRTELMEN írható fel az elemek lineáris kombinációjaként. Ezért a vektortér vektorait a bázisok segítségével reprezentálhatjuk (máskülönben az elállítás nem lenne egyértelm)

Definíció:

Ha a

vi

vektorok bázist alkotnak, akkor a v = k v k lineáris kombinációban a
k =1

n

k valós számokat a v vektor

vi

bázisra vonatkoztatott koordinátáinak nevezzük.

Amennyiben megállapodunk a vektorok felírási sorrendjében, akkor a vektor egy rendezett szám n-esel reprezentálható.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Tétel: Bármely vektortérben a bázisok elemszáma egyenl. Bizonyítás: A kicserélési tétel szerint, bármely független vektorrendszer elemei kicserélhetk egy adott generátorrendszer elemeivel úgy, hogy független rendszert kapunk. A bázis független vektorokból álló generátorrendszer.
Mivel a bázis generátorrendszer is: FGETLEN legyen Bázis1, elemszáma n1, a GEN.rsz. legyen Bázis2, elemszáma n2 Ekkor n2n1 FGETLEN legyen Bázis2 elemszáma n2 ­ GEN. rsz. Legyen Bázis1, elemszáma n1, Ekkor n1 n2. Ez csak úgy lehetséges, ha n1=n2.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

KICSERÉLÉSI TÉTEL: Az f1, ... fn független vektorokból álló rendszer bármely fi vektorához a g1 , ..., gj generátorrendszerbl található olyan gk vektor, amellyel fi ­t kicserélve a f1, ... fi-1, gk, fi+1, ... fn
rendszer is független

Bizonyítás: f1, ... fn FGETLEN, akkor fi-hez van olyan gk, amire kicserélve fi-t FGETLEN marad:
Ugyanis ha pl. f1-hez nem lenne egyik gi sem jó, akkor minden egyes gi-re:

g1 f2, ...fn LÖF g2 f2, ... fn LÖF
...

g1 : f2, ... fn-nel kifejezhet: g1 = 1k f k
k =2 n

n

g2 : f2, ... fn-nel kifejezhet: g 2 = 2 k f k
k =2 n

gj f2, ... fn LÖF

ge : f2, ... fn-nel kifejezhet: g j = jk f k
k =2

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

vagyis a gi -k helyébe f2, ... fn-k lineáris kombinációját írhatjuk.

Mivel gi-kel vektor kifejezhet, így f1 is: f1 = 1g1 + ... jgj, de a gi-k ki vannak fejezve fk-kal, ezért f1 is ki van fejezve a többi fk-val, tehát az fk vektorok összefüggk lennének. Ez ellentmondás. Következmény: f1, ... fi-1, gk,fi+1, ... fn g1, ...gj j n , vagyis a generátorrendszer elemszám mindig nagyobb, vagy egyenl, mint a független vektorokból álló rendszer elemeinek száma.
Mivel a bázis generátorrendszer is: FGETLEN legyen Bázis1, elemszáma n1, a GEN.rsz. legyen Bázis2, elemszáma n2 Ekkor n2n1 FGETLEN legyen Bázis2 elemszáma n2 , GEN. rsz. Legyen Bázis1, elemszáma n1, Ekkor n1 n2. Ez csak úgy lehetséges, ha n1=n2.

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Következmények: - N dimenziós térben bármely n db FGETLEN vektor bázis. - N dimenziós térben bármely n+1 db vektor LÖF. Definíció: A vektortér dimenzióján bázisának elemszámát értjük. (A definíció helyes, hiszen minden bázisnak ugyanannyi eleme van az elz tétel szerint.) Feladatok: A fentebb szerepl példákban több vektorrendszer található. Válasszuk ki közülük a generátorrendszereket, bázisokat, adjuk meg a generált tér dimenzióját. Típusfeladatok: - adott vektorok generátorrendszert alkotnak-e? - adott vektorok bázist alkotnak-e? - adott vektorok függetlenek-e? - adott vektorokkal másik adott vektor kifejezhet-e? - adott vektornak mik a koordinátái egy bázisra vonatkozóan? - adott vektort többféleképpen kifejezni löf generátorrendszer elemeivel

© Bércesné Novák Ágnes

PPKE ITK VEKTORTÉR II:

Algebra és diszkrét matematika

Összefoglalás
E fejezetben láttuk, hogy minden vektortér felfogható bizonyos vektorok generátumaként. E vektorok összessége a generátorrendszer. Ez azt jelenti, hogy a tér minden vektora elállítható a generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjával. Ha a generátorrendszer vektorai lineárisan függetlenek, akkor minden más vektor egyértelmen áll el ezek lineáris kombinációjaként. Ezért az ilyen, független vektorokból álló generátorrendszereket megkülönböztetésül bázisnak nevezzük. A bázisvektorok lineáris kombinációjaként elállított vektorok koordinátái a lineáris kombinációban szerepl skalárok. A koordináta tehát mindig valamely elre rögzített bázisra vonatkozik. A bázisok elemszáma egyenl, ez a szám a vektortér dimenziója.

© Bércesné Novák Ágnes



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

11 11.05-1 7. gyakorlat antroptöri articulation biztosítás csavar diák épületszerkezetek etnikai kisebbség fogalmak fogyasztói gazdasági matematika globális logisztika ideális elegy integrálás intézményi gyakorlat ítéletlogika jegyzet kéri bálint kollokvium közgazdaságtan fő áramlata lengéstan magyar barok marás matematika szigorlat mindennapok kémiája móricz munkaerő művelődéstörténet órai előadás outsourcing öko 1 paulovics pénzügyek pol.komm politológia prof. dr. héjj andreas sejtbiosz stilisztika szám szervezeti magatartás szótár tanári jegyzet tb nemzetközi természetvédelem torlódási hely vergilius word zárthelyi