Novák Ágnes - Vektorterek

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekNovák Ágnes - Vektorterek

PPKE ITK VEKTORTÉR Vektortér

Algebra és diszkrét matematika

A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett mvelet van definiálva, és amelyre nézve kommutatív csoportot alkot. T legyen tetszleges kommutatív test. A V (nemüres) halmazt vektortérnek nevezzük a T test felett, ha definiálható olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya T x V, értékkészlete V, és a következ tulajdonságokkal rendelkezik: - Bármely , µ T és vV esetén: (+µ)v=v+µv - Bármely T és v, uV esetén: (u+v)=u+v - Bármely , µ T és vV esetén: (µ)v=(µv) - Bármely vV esetén: 1v=v, ahol 1 a T test (szorzásra vonatkozó) egységeleme (azaz amellyel minden T-re 1=1=).

A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem mvelet). Megjegyzés: Ebben a fejezetben aláhúzással jelöljük a vektorokat. Példák valós számok fölötti vektorterekre: - sík vektorai: geometriai és rendezett pár értelemben is, a szokásos összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós (racionális) számok teste felett. - tér vektorai: geometriai és rendezett hármas értelemben is, a szokásos összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós (racionális) számok teste felett. - n×m-es mátrixok, speciálisan: 1 x n ­es sorvektorok, n x 1-es oszlopvektorok a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós (racionális) számok teste felett.

©Bércesné Novák Ágnes

1

PPKE ITK VEKTORTÉR

Algebra és diszkrét matematika

a 0 - az alakú 2 x 2-es mátrixok, ahol aR, a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós a a (racionális) számok teste felett.
- az egyetlen elemet, a 0 vektort tartalmazó halmaz a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkot a valós (racionális) számok teste felett. Minden test tekinthet önmaga feletti vektortérnek.

- legfeljebb n-edfokú polinomok R felett A definíció következményei: 1. Bármely T ­re 0=0, ahol 0 a V halmazbeli összeadás inverze Biz.: Freud 4.1.2 tétel (99. old.) v+0=v / (v+0)= v, baloldal felbontva: v+0=v Mindkét oldalhoz (v) inverz elemét, (v)-1-et hozzáadva: v+(v)-1+0=v+(v)-1 0 +0=0 0=0 2. Bármely vV-re 0v=0, ahol 0 a T testbeli összeadás egységeleme. Biz.: v=(+0)v=v+0v Elször a testbeli + egységelem definícióját, aztán a vektortér definíciójában megkövetelt vegyes disztributív szabályt alkalmaztuk. Mindkét oldalhoz (v) inverz elemét, (v)-1-et hozzáadva: v+(v)-1 = v+(v)-1+0v 0 = 0 + 0v=0v

©Bércesné Novák Ágnes

2

PPKE ITK VEKTORTÉR

Algebra és diszkrét matematika

3. Bármely vV-re, (-1)v=v-1, ahol (-1) a T testbeli szorzás egységelemének az összeadásra vonatkozó inverze, v-1 pedig a vektortérben a v vektor összeadásra vonatkozó inverze. Biz.: 0=((-1)+1)v a 2. állítás miatt 0= (-1)v+1v=(-1)v+v a vektortér vegyes disztributivitási szabálya miatt, valamint az 1v=v kikötése miatt. Másrészt 0=v-1+v a 0 definíciója miatt. Mindkét oldalhoz v inverz elemét, v-1-et hozzáadva: v-1 =(-1)v+v +v-1 v-1 =(-1)v+0 v-1 =(-1)v 4. Ha v=0, , T, vV akkor vagy =0, vagy v=0 Biz.: Ha 0, akkor -nak létezik a szorzásra vonatkozó inverze a T testben, legyen ez -1. v=0 mindkét beszorozva -1-gyel, -1v=-10 Baloldal=1v=v, ahol 1 a tesbeli szorzás egységeleme Jobboldal=0 az 1. következmény miatt. Def.: A T test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli vektormveletekre (pontosabban ezeknek a mveleteknek a W-re történ megszorításaira) nézve. Példák altérre: 1. síkvektorok halmazatérvektorok halmaza 2. Elbbi példában, ha a síkvektorokat (x, y, 0) számhármasokkal (x, y R), a térvektorokat (x, y, z) számhármasokkal (x, y, z R) pedig reprezentáljuk, akkor a 0 harmadik elemmel rendelkez rendezett számhármasok vektortere altere az általános alakú számhármasoknak. 3. (a, b, c), ahol , a, b, cR, alakú számhármasok a valós számtest felett, ha az összeadást megfelel elemenként definiáljuk, a számmal való szorzást pedig elemenkénti szorzással (biz. késbb).

©Bércesné Novák Ágnes

3

PPKE ITK VEKTORTÉR

Algebra és diszkrét matematika

4. Az

a 0 alakú valós elem mátrixok alteret alkotnak az a a

a 0 b c alakú valós elem mátrixok vektorterében, amelyek alteret alkotnak

a b az alakú valós elem mátrixok vektorterében a valós (racionális) számok teste felett. c d

5. Minden vektortérben a {0} altér. Jelölés: R x R x....x R=Rn, spec.: R x R=R2, R x R x R=R3 Megjegyzés: R2 és R3 lényegében azonos (pontosabban izomorf, ld. késbb) a sík illetve a tér vektoraival. Feladatok: 1. Általánosítsa a 2. példát rendezett szám n-esekre! 2. Milyen általánosítás tehet a 3. példával kapcsolatban?

©Bércesné Novák Ágnes

4

PPKE ITK VEKTORTÉR

Algebra és diszkrét matematika

Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha: (i) u, vWu+vW (ii) vW, TvW teljesül. Megjegyzés: Ha a vektortér egy részhalmazáról be akarjuk látni, hogy egyben altér is, elegend azt bizonyítani, hogy a vektorok összeadása és a skalárral való szorzás nem vezet ki a részhalmazból. Biz.: A kommutativitás, asszociativitás, disztributív szabályok általános érvények, így azokat nem kell bizonyítani. Kérdéses lehet az egység (vektor) és az inverz(vektor) létezése. Ezeket a tétel feltételei biztosítják, hiszen 0 T esetén bármely vW-re 0v=0, ami (ii) miatt W-beli. Hasonlóan, -1T-re a (ii) feltétel miatt, és a fent bizonyított 3. következmény miatt (­1)v=v-1 , vagyis minden W-beli elem +-ra vonatkozó inverze is W-beli. Igazoljuk a fenti, altérre vonatkozó példák helyességét!

©Bércesné Novák Ágnes

5



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

3.óra 5. gyakorlat 7. a1 alapozás alternatív energiaforrások andragógia anyagok bencze brit töri deindividuáció deklaratív programozás diák diasor dm doc feladat feladatgyűjtemény fizika 1 fogalomtár formanyomtatvány gazdjog gepalap gyökerek hallgatoi anyag hulladékkezelés informatika kántor anita kidolgozott kérdések kidolgozott kiskérdések ma marx médiakutatás nemzetközi marketing összefoglaló példatár prog1 pszichológia standardizálás szellemi tulajdon szénhidrát szervezeti tanulás és kutatásmódszertan társ.st. torlódási hely tőzsde tulajdonjog valszám vám vizsgasor