Novák Ágnes - Lineáris leképzések

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekNovák Ágnes - Lineáris leképzések

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Lineáris leképezések A lineáris leképezés olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete vektortér, és a következ

tulajdonságokkal rendelkezik: Legyen ez a függvény L : V W u, v V , k R , (a) L(u + v) = L(u ) + L(v) . (b) L(ku) = kL(u ) .

Ha V=W, akkor a leképezést lineáris transzformációnak hívjuk.

Az L (u ) vektor az u vektor képe. (Az L (u ) vektor se az u vektor)

.

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 1

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Példák:
3 2 1. Vetítés: L : R R

L
L lineáris leképezés:

x y = x y . z

(a)

u1 v1 u = u2 , v = v2 , u3 v3

u1 v1 u1 + v1 = u1 + v1 = u1 + v1 = L u + L v = L(u) + L(v) L(u + v) = L u2 + v2 . 2 2 u + v u2 + v2 u2 v2 u v 3 3 3 3

(b)

kR,
u1 ku1 ku1 u1 L(ku ) = L ku2 = = k = kL u 2 = kL(u ) . u 2 u ku ku2 3 3

2. Nyújtás:

L1 : R 3 R 3
u1 u 2 u3 u1 = r u 2 = ru , r > 1 . u3

L 1 (u ) = L 1

3 3 Zsugorítás: L2 : R R

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 2

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

L 2 (u ) = L 2


u1 u 2 u3



u1 = r u 2 = ru , 0 < r < 1 u3

L 1 és L 2

lineáris transformációk.

3. Forgatások:

(x , y )
' '



( x, y )


x u = r = u . x = r cos ( ), y = r sin ( ) . y
x ' = r cos( + ) = r cos( ) cos( ) - r sin ( )sin ( ) y ' = r sin ( + ) = r sin ( ) cos( ) + r cos( )sin ( )
.



x ' = x cos ( ) - y sin ( y ' = x sin ( ) + y cos

) ( )

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 3

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT



x ' cos ( ) - sin ( ) x ' = y sin ( ) cos ( ) y .

L : R2 R2
u cos ( ) L (u ) = L 1 = u 2 sin ( )
L is lineáris transzformáció

- sin ( ) u 1 cos ( ) u 2 .

4. A legyen m× n mátrix.

L : Rn Rm
u1 u1 u u 2 2 L (u ) = L = A M = Au M u u n n

is lineáris transzformáció
n (a) u, v R ,

L(u + v) = A(u + v) = Au + Av = L(u) + L(v) .
(b)

kR,
L(ku ) = A(ku ) = k ( Au ) = kL(u ) .

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 4

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Példa: (vetítés)

L : P2 P , L a2 x 2 + a1 x + a0 = (a2 + a1 )x + a0 , 1

(

)

Pn az összes polinom, melynek foka n . Bizonyítsa be,
hogy L lineáris leképezés!

2 2 (a) u = a2 x + a1x + a0 , v = b2 x + b1x + b0 legyenek P2 -beli

polinomok

L(u + v) = L (a2 + b2 )x2 + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) = [(a2 + a1 )x + a0 ] + [(b2 + b1 )x + b0 ] = L(u ) + L(v)
(b)

= [(a2 + b2 ) + (a1 + b1 )]x + (a0 + b0 )

(

) )

= L a2 x2 + a1x + a0 + L b2 x2 + b1x + b0 .

(

) (

kR,

L(ku) = L k a2 x2 + a1x + a0 = L ka2 x2 + ka1x + ka0 = (ka2 + ka1 )x + ka0 = k[(a2 + a1 )x + a0 ] = kL a2 x2 + a1x + a0

(( (

)) (

)

= kL(u )

)

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 5

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Példa:

L : Pn Pn , L a deriválás,

L x2 = 2x .
L lineáris leképezés-e?

( )

n n-1 n n-1 (a) u = an x + an=1x +L+ a0 , v = bn x + bn-1x +L+ b0 Pn ,

L(u + v) = L (an +bn )xn +(an-1 +bn-1 )xn-1 +L+(a0 +b0 )

= nan xn-1 +(n -1)an-1xn-2 +L+ a1 + nb xn-1 +(n -1)bn-1xn-2 +L+b1 n = L(u) + L(v)
(b) k R ,

= n(an +bn )xn-1 +(n -1)(an-1 +bn-1 )xn-2 +L+(a1 +b1 )

(

)

[

= L an xn + an-1xn-1 +L+ a0 + L bn xn +bn-1xn-1 +L+b0

(

) (

][

)

]

.

L(ku) = L kan xn + kan-1xn-1 + L+ ka0

= nkan xn-1 + (n -1)kan-1xn-2 + L+ ka1 = k nan xn-1 + (n -1)an-1xn-2 + L+ a1 = kL an xn + an-1xn-1 + L+ a0 = kL(u )

(

)

[

(

)

]

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 6

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Példa:

L : R3 R2
L u1 u 2 u3 u 1u 2 = u3 .

Igaz-e., hogy L lineáris leképezés? NEM, mert

u1 v1 u = u2 , v = v2 , (a) u3 v3
u1 + v1 (u + v )(u + v ) u u + u v +u v + v v L(u + v) = Lu2 + v2 = 1 1 2 2 = 1 2 1 2 2 1 1 2 u3 + v3 u + v u3 + v3 3 3 u1 v1 u1u2 + v1v2 u1u2 v1v2 = + = L u2 + L v2 = L(u) + L(v) u3 + v3 u3 v3 u3 v3

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 7

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Fontos:
L :V W

L(0V ) = 0W ,

0V

a vektor összeadás egységeleme V-ben,
0W

másképpem nullelem V-ben, és egységeleme, a nullelem W-ben.

a vektor öszeadás

L(u - v) = L(u) - L(v) .
A lineáris kombináció megrzdik: v1 , v2 ,K, v k V

c1 , c2 ,K, ck R esetén:
L(c1v1 + c2v2 + L+ ck vk ) = c1L(v1 ) + c2 L(v2 ) + L+ ck L(vk ) .
Ha V n-dimenziós vetortér S = {w1 , w2 ,K, wn } V egy

bázisa. Minden kombinációja a

u

V, akkor

L (u ) a lineáris
képeinek:

bázisvektorok

L(w1 ), L(w2 ),K, L(wn ) (azonban e képvektortok nem
biztos, hogy bázist alkotnak!).

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 8

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Egy-egyértelm leképezések, magtér (Kernel) és képtér (Range, Image)

Definíció:

Egy-egyértelm

leképezés

(kölcsönösen

egyértelm, bijekció)

L :V W

minden

v1 , v 2



V,

ha

v1 v2 akkor

L(v1 ) L(v2 ) (vagy, ami ezzel ekvivalens: L(v1 ) = L(v2 ) - bl
következik

v1 = v2 ).

Példa:

x x - y L = y x + y . Döntse el, hogy L bijekció-e?

Megoldás:
x x v1 = 1 , v 2 = 2 y1 y2

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 9

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

x - y x - y2 L(v1 ) = L(v2 ) 1 1 = 2 x1 -y1 = x2 -y2 x1 + y1 x2 + y 2

x1 + y1 = x2 + y2

2 x1 = 2 x 2 x1 = x 2 y1 = y 2 .
v
1

=

x y

1 1

=

x y

2 2

= v

2

.

Tehát e leképezés bijekció (egy-egy értelm).

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 10

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Magtér: Az
L :V W lineáris leképezés magtere,

ker (L ) , a V
vektora a W

azon részhalmaza, amelynek minden v nullelemére képzdik L (v ) = 0 .

Példa:

u1 1 2 3 u1 L(u ) = L u 2 = Au = 4 5 6 u 2 . u 7 8 9 u 3 3

ker (L ) =?

Megoldás:

ker (L )

u1 azon u = u2 vektorok összessége, amelyre: u3

L (u ) = Au = 0
Tehát egyenletrendszer megoldása.

.

ker (L ) az Au = 0 homogén lineáris

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 11

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Az elnevezés helyes, Biz.:

ker (L ) valóban altér:

v1 , v2 ker(L ) , L(v1 ) = L(v 2 ) = 0 . Alkalmazzuk a tanult
tételt, miszerint akkor altér valamely részhalmaz, ha mind a vektorok összeadására (+), mind a skalárral való szorzásra nézve zárt (és fordítva):

1. L(v1 + v2 ) = L(v1 ) + L(v2 ) = 0 + 0 = 0 v1 + v2 ker(L ) . 2. L(kv1 ) = kL(v1 ) = k 0 = 0, k R kv1 ker(L ) .

Mikor bijekció valamely leképezés? Tétel:

A

L :V W

lineáris

leképezés

akkor

és

csak

akkor

egy-egyértelm, ha

Ker (L ) = {0 }

Bizonyítás:

:

HA L bijekció, akkor

L (0 ) = 0 -bl következik, hogy

az egyetlen vektor V-ben, aminek képe a 0 W-ben a 0 v-ben:
L (0 ) = 0 .
__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 12

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

:

Ha

ker (L ) = {0 } : Tf., hogy van két olyan vektor, u és

v, amelyek képe nem különbözik:

L(u ) = L(v ) .
Akkor:

L(u - v ) = L(u ) - L(v ) = 0

vagyis

e

vektorok

különbsége benne van a magtérben

ker (L ) = {0 } ,

u - v = 0 u = v - a két vektor egyenl

Megjegyzések (praktikusak):

HA L : R n R n lin. Leképezést a mátrix-szorzás segítségével definiáljuk: L(x ) = Ax , akkor a következk ekvivalensek:

ker (L ) = {0 } .

Ax = 0 Ax = b

-nek csak a triviális megoldása van. -nek minden b -re egyértelm megoldása van. bijekció

L(x) = Ax

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 13

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Képtér:
L :V W , ezen L leképezés képtere a W azon részhalmaza,

Im (L ) , amelyek valamely V-beli vektor képei: w Im (L ) , ha létezik
v

V hogy L (v ) = w

Ha a képtér azonos W-vel, vagyis leképezést ráképezésnek nevezzük.

Im (L ) = W , akkor a

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 14

PPKE ITK

ALGEBRA ÉS DISZKRÉT MAT

Az elnevezés, képtér, helyes, a halmaz valóban altér:
L :V W ,

Im (L ) altere W-nek.

Bizonyítás:

L(0) = 0 , 0 Im (L ) , a képtér sosem üres. Minden

w1 , w2 Im(L ) , található olyan L(v1 ) = w1, L(v2 ) = w2 .

v1 , v 2

V

hogy:

1.

L(v1 + v2 ) = L(v1 ) + L(v2 ) = w1 + w2 így L(kv1 ) = kL(v1 ) = kw , k R . 1

w1 + w2 Im(L )

hiszen v1 + v2 V . 2. Emmiatt
kw1 Im(L )

hiszen kv1 V

__________________________________________________________________________________ © Bércesné Novák Ágnes 15



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

2006-os zh 2009. május 21. 2011 ábra adó algebra állampolgárság általános kémia áramlás bibó bioetika biotermék bogarak cserépedény diák diszkrét matematika ember európai civilizációk eredete fólia freud gazdföci gótika iii inflog jogképesség kibernetika koaguláció komplex kormány kosztolányi környezet és társadalom környezetgazdaságtan közgazdaságtan leon festinger levelező magyar premodern marketing marketing tétel matek házi 1 megoldások 1 mit tudtak a régiek montesquieu pénzügyek prezentáció pricing strategies program pszichó rugó speech sounds stat szellemi tulajdon szigetelés