Novák Ágnes - Komplex számok
Országok listája
HungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekNovák Ágnes - Komplex számok
2008.01.24 09:04:35
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Komplex számok A valós számok körét az iskolában a következképpen építettük fel. Elször a természetes számokat tanultuk. Itt két mvelet volt, az összeadás, és az ismételt összeadás, melyet szorzásnak neveztünk. E két mvelet asszociatív, kommutatív, de egységeleme csak a szorzásnak van, az 1, inverz elem pedig egyik mveletre sem létezik. Ezen elemek, ti,. az összeadás egysége, összeadásra és szorzásra vonatkozó inverz keresése vezetett összeadás esetében az egész számokhoz. Az egész számok körében a + egysége a nulla, az inverz pedig mindegyik számnak az ellentettje. Ezen új számok, az egész számok inverze és a nulla a természetes számokkal együtt alkotják az egész számokat. Ezt úgy is meg lehet fogalmazni, hogyha az ellentett elem hozzáadását mveletként értelmezzük, és kivonásnak nevezzük, akkor a kivonás ,,kivezet " a természetes számok körébl. Eleinte ezen új számoknak sem volt világos a létjogosultsága, felfedezésükkor ezeket sem tekintették igazi, létez számoknak. Hasonló törekvés a szorzás esetében a racionális számokhoz vezet, ugyanis a szorzás már meglév egységére vonatkozó inverz elem keresése a törtek, mint számok hozzávételét jelenti a már meglév számhalmazhoz. Az elzhöz hasonlóan, ha az inverz elemmel való szorzást mveletként értelmezzük, és osztásnak nevezzük, akkor az mondható, hogy az osztás ,,kivezet" az egész számok körébl. Így jutunk a racionális számokhoz, melyek mindegyike felírható két egész szám hányadosaként. (ratio=arány, hányados) Szokás a számokat számegyenesen is ábrázolni, a síknak két különböz pontját kijelölve, egyiket nullának, másikat egységnek elnevezve, az ezeken áthaladó egyenes az ún. számegyenes. Az eddig említett számok helyét a számegyenesen könny kijelölni, hiszen bármelyik megszerkeszthet pl. a párhuzamos szelk tételének elkalmazásával. Már az ókorban is ismeretes volt azonban, hogy vannak olyan számok, amelyek megszerkeszthetk, és igy rá lehet rajzolni ket a számegyenesre, de nem tudták ket mégsem definiálni.. Ilyen szám pl. a 2 . Ezt a számot könnyen meg tudták szerkeszteni, hiszen ez az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza. Hasonlóan könny bármely p , ahol p prím, alakú szám megszerkesztése is, pl. a derékszg háromszögre vonatkozó magassságtétel segítségével. Tehát, ezeknek a számoknak megvan a helye a számegyenesen, noha, mint késbb kiderült, nem irhatók fel két egész szám hányadosaként. Az ókorban ennek felfedezése olyan nagy vihart kavart, hogy titokban próbálták tartani az erre vonatkozó eredményeket. Ha a négyzetgykvonást egyváltozós mveletnek éretelmezzük, fentieket úgy is ki lehet fejezni, hogy a gyökvonás mvelete ,,kivezet" a racionális számok körébl. Ezeket az új számokat elnevezték irracionális számoknak, megkülönböztetésül a racionális számoktól. Ha a számkör bvítésének eddigi menetét nézzük, a recept egyszer: azokat az objektumokat, ,,valamiket", amiket valamilyen mvelet (illetve ,,inverz " mvelet) végrehajtásakor kapunk, azokat számokként kezeljük, és hozzávesszük a már meglév számainkhoz. Az analízis fejldésével kiderült, hogy minden (irracionális) szám értelmezhet valamely sorozat határértékeként. Ennek egyik példája az e szám, amely szintén irracionális. Bebizonyítható az analízis eszközeivel az is, hogy nincs üres hely a számegyenesen, a racionális és irracionális számok azt teljesen lefedik.
Ha azonban a gyökvonás ,,mveleténél" maradunk, e számkörünk még mindig nem teljes: negatív számokból nem tudunk négyzetgyököt vonni. Ráadásul, a harmadfokú egyenlet gyökeinek keresésekor kiderült, hogy van létjogosultsága azoknak a számoknak, aminknek a négyzete negatív szám lenne. De ha vannak ilyen számok, azok nem lehetnek a fentiek értelmében a számegyenesen. Ezért a további bvítéskor kilépünk az ún. számsíkra, vagy másképpen az R2 lineáris tér geometriai interpretációjába. Mivel ezen új számkörben várhatóan a számpároknak a bevezetend szorzás újszer volta miatt más tulajdonságai is lesznek, nem R2-vel, hanem C-vel jelöljük az új számhalmazt. Olyan struktúrát szeretnénk konstruálni, amely a valós számokat is tartalmazza. Késbb kiderül, hogy az alább bevezetett mveletek ezt teljesítik, és az új számok mindazt tudják, amit a valós számok. Tehát, az összeadásnak és szorzásnak nevezett mveletekre az új számok testet kell hogy alkossanak. Legyen C a valós számpárok halmaza: C={(a,b):a,bR}. C-n értelmezünk két mveletet: egy összeadás és egy szorzás nevt. A szokásos módon, + és . jelekkel jelöljük ezeket. Összeadás (a,b),(c,d)C : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) C. Feladat: igazolja, hogy a C-beli számok e mveletre nézve csoportot alkotnak! Megoldás: egység: (0,0), inverz: (-a, -b), a többi tul. A valós számok + tulajdonságaiból jön, hiszen a+c, és b+d is valós számok. A + egységét a szokásos módon NULL-elemnek, az inverz elemet a szokásos módon ellentettnek is nevezzük. Szorzás (a,b),(c,d)C , (a,b)·(c,d)=(ac-bd,ad+bc) a, b, c,d R. Feladat: igazolja, hogy a C-beli számok e mveletre nézve csoportot alkotnak, ha a (0,0) nullelemet nem számítjuk bele a halmazba! (Útmutatás: a definícókat reprezentáló egyenletrendszereket kell megoldani.) Megoldás: egység: (1,0), inverz: (a, b) (
a -b , 2 ) =(1,0) 2 a + b a + b2
2
Feladat: bizonyítsa be, hogy az így definiált + és . eleget tesz a disztributív szabálynak:
(a,b){(c,d)+(e,f)}= {(a,b)(c,d)}+ {(a,b) (e,f)}.
Következmény: C testet alkot.
További tulajdonságok:
Nullelem szorozva bármivel a nullelem: (0,0)·(a,b)=(0a-0b,0b+0a)=(0,0) Az egységelem (1,0) ellentettje (-1,0). Bármely (a,b) elemre (-1,0)·(a,b)=(-a,-b) az (a,b) elem ellentettje.
Feladat: Bizonyítsa be, hogy az (a,0) alakú párok, részstruktúrát, résztestet alkotnak!
A következ tétel azt állítja, hogy az új számkör valóban tartalmazza a valós számokat, mégpedig részstruktúraként.
Tétel: Az (a,0) számpárok és a valós számok között egy-egy értelm, mvelettartó leképezés létesíthet: Bizonyítás:
(a,0)C a R (a,0)+((b,0)=(a+b, 0), egység (0,0) 0 (a,0)((b,0)=(ab, 0), egység (1,0) 1
Tétel: (a,b)=(a,0)·(1,0)+(b,0)·(0,1)
(1,0) neve valós egység, valós megfelelje 1. (0,1) neve képzetes egység, i-vel jelöljük. Ekkor C minden eleme a+bi alakban írható, ahol a és b valós számok. (a, b) = a+bi Ez a komplex szám algebrai, másképpen kanonikus alakja. Ez indokolja a ,,komplex" szám elnevezést is: összetett szám, nem tudunk egy tisztán valós számot egy tisztán képzetessel összeadni, az eredmény összetett, komplex. Az ilyen alakú számokkal ugyanúgy számolhatunk, mint a valósokkal, csak i2 helyére kell (-1)-et helyettesíteni. .
Példák:
Összeadás: z1=a+bj; z2=c+dj; z3=a+bj+c+dj=(a+c)+(b+d)j * (1+2j)+(0+j)=(1+0)+(2+1)j=1+3j *(1-2j)+(-1-3j)=(1-1)+(-2-3)j=-5j
* (5+2j)+(3+0j)=(5+3)+(2+0)j=8+2j
Szorzás:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)·(c+di)=ac+adi+bic+bidi=ac+(ad+bc)i+bdi2= (ac-bd)+(ad+bc)i=((ac-bd),(ad+bc)), valóban a szorzás definícióját kaptuk. * (1+2j)·(0+j) =(1·0-2·1)+(1·1+2·0)j=-2+j * (1+0j)·(2+0j) =1·2=2 vagy =(1·2-0·0)+(1·0+0·2)j=2+0j=2 *(2+j)·(3+2j)=(2·3-1·2)+(2·2+1·3)j=(6-2)+(4+3)=4+7j
Osztás:
z -1 =
1 a -b i = 2 + 2 2 z a + b a + b2 z1 a + bi (a + bi) (c - d i) (a + bi) (c - d i) (a + bi) (c - d i) = = = 2 = 2 2 = , ezért z 2 c+di (c+di) (c - d i) c - (di) 2 c +d
ac + bd bc - ad + 2 2 i c 2 +d 2 c +d
1 + 2 j (1 + 2 j )(- j ) - j - 2 j 2 2 - j = = = = 2- j * 0+ j j (- j ) - j2 1
* *
5+ 2 j 5+ 2 j 5 2 = = + j 3+ 0 j 3 3 3 2 + j (2 + j )(3 - 2 j ) (6 + 2) + (3 - 4) j 8 1 = - j = = 3+ 2 j 9+4 13 13 13
Definíció
A z=a+bi komplex szám konjugáltja a z = a - bi komplex szám.
Feladatok: Bizonyítsa be, hogy:
a.) z = z
b.) z1 - z 2 = z1 - z2 z z c.) 1 = 1 z 2 z2 d .) z n = z n
Definíció
A z=a+bi komplex szám abszolút értéke z = a 2 + b 2 .
Feladat:
Bizonyítsa be, hogy
z = a 2 + b 2 = zz ( 0 )
A komplex szám abszolút értéke, éppúgy, mint a valós számoké, geometriailag értelmezhet. Ehhez azonban két számegyenes kell, hiszen tudjuk, hogy a valós számegyenes már ,,tele" van számokkal. Az (a,b) számpár természetes geometriai értelmezése a számsík a,b koordinátájú pontjai, ahol két, egymásra merleges számeegyenesünk van, közös (0,0) ponttal. Az egyik a valós tengely, a szokásos számegyenes, a másik az ún. képzetes, vagy imaginárius tengely, ahol i a képzetes, másképpen imaginárius egység. (Azonosítható a j egységvektorral is, gyakran mszaki könyvekben j-vel jelölik a képzetes egységet, ennek ez az oka.). Ezzel az értelmezéssel úgy a való, mint a komplex számok körében is, az abszolút érték a nullától mért távolsága a valós, iletve komplex számnak. Tulajdonképpen az (a,b) vektort a z=a+bi komplex számmal azonosítjuk.
A komplex szám trigonometrikus alakja: =argz, a z komplex szám ún. argumentuma, a valós tengelytl mért pozitív irányszög, 0<=<=2, r=|z|: a=r cos b=r sin z=r(cos+isin)
Komplex számok egyenlsége:
z1=r1(cos1+isin1) és z2=r2(cos2+isin2) akkor z1=z2 r1=r2 és 1=2 (+2k)
Mveletek trigonometrikus alakban:
z1z2= r1r2{(cos1cos2-sin1sin2)+i(sin1cos2+cos1sin2)}= szorzat r1r2{(cos(1+2)+sin(1+2)i (Két szög összegének sinusára és cosinusára vonatkozó képletet alkalmazva)
Szorzat abszolút értéke az abszolút értékeke szorzata, argumentuma az argumentumok összege. Következmény: Moivre-tétel:
zk=rk(cos k+isin k),
Feladat: Adjon képletet a háromszoros szögek sinusára, cosinusára egyszeres szögek szöggfüggvényeivel! Útmutatás: Legyen z=cos+isin alakban adott. Emelje harmadik hatványra a számot a binomiális tétel felhasználásával. Az így kapott komplex szám valós, illetve képzetes része egyenl a Moivre képlettel kapott (háromszoros szöget tartalmazó) komplex szám valós, illetve képzetes részével. Fogalmazza meg szavakban is az alábbi eredményeket:
z1 r1 = cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2 ) hányados z 2 r2
z = r ( cos ( - ) + i sin ( - ) ) konugált
1 1 = ( cos ( - ) + i sin ( - ) ) reciprok z r
A trigonometriai alakban felírt z=r(cos+isin) komplex szám összes n-ik gyökei: + 2k + 2k n z = n r cos + i sin ( k = 0,1,K , n - 1) n n Ha ezeket a számokat a komplex számsíkon ábrázoljuk, akkor ezek egy n r sugarú, origó középpontú körön helyezkednek el. Szabályos n-szög csúcsai.
Példa:
3
-8
-8 = 8 ( cos + isin )
3
+ 2 k + 2 k 3 o o o o -8 = 3 8 cos + i sin = -8 cos ( 60 + k120 ) + isin ( 60 + k120 ) 3 3
8=2
3
k = 0 z0 = 2 cos ( 60o ) + isin ( 60o ) k = 1 z1 = 2 cos ( 60o + 120o ) + isin ( 60o + 120o ) = -2 o o o k = 2 z2 = 2 cos ( 60 + 2 120 ) + isin ( 60 + 2 120o )
Feladat:
Adja meg a fenti harmadik egységgyökök algebrai alakját! Ábrázolja a harmadik egységgyököket a komplex számsíkon!
Négyzetgyök vonása Pozitív szám négyzetgyöke:
a = a (cos 0 + isin 0) x 2 = a megoldása : 0o 0o + isin ) = a 2 2 o 0 360o 0o 360o ) + isin( + 1 )) = a (cos180o + isin180o ) = (-1) a 1 = a (cos( + 1 2 2 2 2 Tehát, ha egyenletet oldunk meg, két gyököt kapunk, x = a, x1 = a , x2 = - a
0 = a (cos
Negatív szám négyzetgyöke:
x 2 = a megoldása : a = a (cos180o + i180o ) 180o 180o + isin )=i a 2 2 180o 360o 180o 360o +1 +1 a (cos( ) + isin( )) = 2 2 2 2 a (cos
0 = 1 =
a (cos 270o + isin 270o ) = (-i ) a
x 2 = a megoldása, x1 = i a x2 = -i a , hiszen : (i a ) 2 = (-1) a = (-i a ) 2
Formálisan tehát negatív számból úgy is vonhatunk gyököt, hogy -5 = -1 5 = i 5 , Azonban általában nem igaz, hogy szorzat négyzetgyöke egyenl a négyzetgyökök szorzatával: ab a b pl (-1)(-1) = 1 -1 -1 = i 2 . A négyzetgyök függvényt még bonyolultabb definiálni, mint valós esetben.
Definíció: w( z ) = x + iy = a + bi komplex számokon értelmezett komplex érték függvény értéke az a komplex szám, aminek négyzete a+bi, továbbá vagy x>0, vagy x=0, vagy y>=0.
Fenti példából is látható, hogy a komplex függvények megadása nem egyszer, az egyértékséget körültekinten kell biztosítani. A komplex függvények megadása, tulajdonságainak vizsgálata az analízis témakörébe tartozik.
Definíció: n-ik (komplex) egységgyöknek nevezzük z-t, ha zn=1
Másképpen: az xn-1=0 ún. binom (kéttagú) egyenlet megoldásait n-ik (komplex) egységgyököknek nevezzük.
Jelölés:
2 k 2k + isin ( k = 0,1,K , n - 1) , n n (ugyanis 1=1(cos0+isin0))
k = cos
Tétel: Az összes n. egységgyök eláll az els; 1 = cos
2 2 + isin egységgyök n n
hatványaiként.
Biz.: n. gyök képlete Feladat: Adja meg a negyedik egységgyököket, és számítsa ki 1 hatványait!
Tétel: Az n. egységgyökök csoportot alkotnak a szokásos komplex számok szorzására nézve
2 2 2 2 + isin(k + l ) ) n = cos(k + l )n + isin( k + l )n = 1, n n n n egység az 1=1(cos(0/n)+isin(0/n)), inverz ....
Biz: ( k l ) n = (cos(k + l ) Definíció 1: Az az egységgyök, amelynek hatványai az összes többi egységgyököt elállítják, primitiv egységgyök. Feladat: Ellenrizze, hogy a már fentiekben kiszámolt negyedik egységygökök közül melyek a primitív egységgyökök? Definíció 2: Az az egységgyök, amelynek n. hatványa 1, és semmelyik ennél kisebb hatványa nem n.egységgyök, primitiv egységgyök. (n az a legkisebb szám, amire egységgyök. Természetesen n többszöröseire is egységygök) Definíció 3: Az az k n. egységgyök, amelyre k és n relatív prímek, primitív egységgyök. Tétel: A fenti definíciók a primitív egységgyökökre néve ekvivalensek. Biz: (ciklikus) Def 2Def1Def3Def2. (Igy a hat oda-vissza biz. helyett csak 3 kell ) Def 2Def 1:
Legyen n az a legkisebb szám, amire k n. egységgyök Azt kell bizonyítani, hogy minden gyök különböz, ekkor ugyanis pontosan n db van, ami azt jelenti, hogy az összes eláll (egyik gyök mindig az 1). Indirekt, tegyük fel, hogy vannak egyenlk is a hatványok között:, pl.
( k ) j = ( k )l ( k ) j = 1 = ( k ) j -l l ( k )
ami azt jelenti, hogy ( k ) -nak nem az n lenne a legkisebb olyan szám, amire egységgyök.
Def1Def3:
Ha minden gyök eláll, akkor n és k relatív prímek. Tehát minden egységgyök, igy az els is eláll a primitív egységgyök hatványaként:
( k ) j = 1 cos jk 360o 360o 360o 360o + i sin jk = cos1 + isin1 n n n n o o 360 360 jk = + u.360o n n o 360 360o jk - n n = 360o u jk - 1 =n u jk - 1 = nu jk - nu = 1
így, ha lenne k-nak és n-nek közös osztója, akkor az osztója lenne 1-nek is, ami lehetetlen.
Def3Def2:
Azt kell bizonyítani, ha k relatív prím n-hez, akkor k az a legkisebb szám amire k egységgyök. (k. egységgyök). Vagyis, ha k -t j
Egyenletek megoldása a komplex számok körében A másodfokú egyenletekre tanult megoldóképlet komplex számokra is érvényes:
D>0, két különböz valós gyök D=0, egy valós (kétszeres) gyök D<0, két komplex konjugált gyök, ahol D a másdofokú egyenlet diszkriminánsa
Feladat: Bizonyítsa be a D<0 esetet!
Másodfokú egyenletnek multiplicitással számolva pontosan két gyöke van a komplex számok körében. Harmad- és negyedfokú egyenletekre van megoldóképlet, ötödfokú és magasabbfokúra, hacsak nem binom egyenlet, nincsen általános megoldóképlet.
DE BIZONYÍTHATÓ AZ ALGEBRA ALAPTÉTELE, MISZERINT AZ n-EDFOKÚ (n>0) EGYENLETEKNEK MINDIG VAN KOMPLEX GYÖKE!
Más alak: Multiplicitással számolva a gyököket, pontosan n db komplex gyök van.
Egyenletek megoldásához hasznos:
Gyöktényezs alak: Gyökök és együtthatók összefüggése: Ha egy komplex szám gyöke egy egyenletnek, a konjugáltja is. Tehát, ha az egyenlet fokszáma páratlan, mindig van egy valós gyök, hiszen ez egyenl a konjugáltjával.
Hasonló témájú dokumentumok
- 2008-01-24 09:03:23
- 2008-01-24 00:37:39
- 2008-01-24 09:08:44
- 2008-01-24 09:11:10
- 2008-01-24 08:55:34
- 2008-01-24 09:14:53
- 2008-01-24 09:02:31
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Szavazz a feltöltött dokumentumokra az alapján, hogy mennyire volt számodra használható vagy épp használhatatlan (mondjuk azért, mert tele van hibával). A dokumentumok a szavazataitok alapján sorrendeződnek így hosszútávon a legjobb pontokat kapó dokumentumok lesznek a lista elején. Csak a saját szakod dokumentumaira szavazhatsz.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
