Novák Ágnes - determinánsok

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekNovák Ágnes - determinánsok

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

DETERMINÁNSOK
a11 = a11
a 11 a 21 a 12 = a 11 a 22 - a 12 a 21 a 22

a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22 a33 - a11a23a32 - a12 a21a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - a13a22 a31 a31 a32 a33

© Bércesné Novák Ágnes

1

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

DETERMINÁNSOK Definíció: az n sorba és m oszlopba elrendezett n x m (valós vagy képzetes) számokat tartalmazó táblázatot mátrixnak nevezzük. Definíció (ld. Freud R.: Lineáris algebra): Az n x n ­es mátrixhoz számot rendelhetünk. Ha a hozzárendelt szám az alábbiakban ismertetett szabály szerint történik, akkor ezt a számot az n x n- es mátrix determinánsának nevezzük. Ezt a számot a következképpen képezzük: a mátrix minden sorából és oszlopából pontosan egy elemet választunk, és ezeket összeszorozzuk. Ezt minden lehetséges módon elvégezzük, igy n! db szorzatot kapunk. E szorzatokat + vagy ­ eljellel látjuk el aszerint, hogy a sorindexek természetes sorrendjét követ felírásban az oszlopindexek permutációja páros, vagy páratlan. Az eljellel ellátott szorzatokat összegezve kapjuk a determináns értékét. Képletben: det(A):= ( -1) I ( ) a1 (1) a2 ( 2 ) a3 ( 3) .....an ( n ) Az alábbi bizonyításoknál feltesszük, hogy a determináns elemei valós számok.

© Bércesné Novák Ágnes

2

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A determináns definíciója képletben: det(A)= ( -1) I ( ) a1 (1) a2 ( 2 ) a3 ( 3) .....an ( n ) A jelenti az n x n-es mátrixot, det(A) a hozzárendelt számot, I() jelenti a permutációban szerepl inverziók számát, (1), (2), (3)... (n) az 1, 2, 3, ...n számok egy permutációját. Például: : 1, 3, 2, 5, 4, 6;

(1)=1, (2)=3, (3)=2, (4)=5, (5)=4, (6)=6

© Bércesné Novák Ágnes

3

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Megjegyzések:
a.) Szokás a determináns értékérl beszélni. Ekkor magát a hozzárendelést értjük a determináns szó alatt, és mint a függvénynek is van függvényértéke, úgy a determinánsnak is beszélhetünk (függvény)értékérl. b.) Egy permutáció páros/páratlan, ha az inverziók száma páros/páratlan.

c.) Lemma: Két elem cseréjével a permutációk száma párosról páratlanra, páratlanról párosra változik.

Biz.: Szomszédos elemek cseréjekor ez nyilvánvaló. Két tetszleges elem, x,y cseréjekor, ha k elem állt köztük, k db szomszédos elem cserével y az x jobboldali szomszédja, 1 db cserével y az x helyére kerül, majd az x k db szomszédos elem cserével y helyére vihet. Ez összesen 2k+1 db szomszédos elem cseréje. Mivel minden alkalommal a páros permutációból páratlan, a páratlanból páros keletkezik, ezért az eredményül kapott sorrendben a permutáció paritása megváltozik.

© Bércesné Novák Ágnes

4

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Lemma:

( -1)

I ( )

a1 (1) a2 ( 2 ) a3 ( 3) .....an ( n ) =

(-1) I ( ')+ I ( ) a '(1) (1) a '(2) (2) a '(3) (3) .....a '( n ) ( n )
Bizonyítás:
Az els sorrendbl elemcserékkel bármilyen más sorrend elállítható. Így a tényezk ugyanazok. Mivel két elem cseréjével mindkét indexben az inverziók száma páratlan számmal változik, az I ( ') + I ( ) szám paritása ugyanaz, mint az I ( ) számé, így az eljel is ugyanaz lesz. Tehát a determináns e második, sorok oszlopok szempontjából szimmetrikus formulával is definiálható.

© Bércesné Novák Ágnes

5

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A determináns tulajdonságai
1. A determináns értéke nem változik, ha a fátlóra tükrözzük az elemeit. Következmény : A sorokra kimondott tételek oszlopokra is igazak. 2. Ha a determináns fátlója fölött (alatt) csupa 0 áll, akkor a determináns értéke a fátlóban álló elemek szorzata. 3. Ha a determináns egy sora (egy sorának minden eleme) 0, akkor értéke is 0. 4. Ha a determináns egy sorát egy valós számmal megszorozzuk, értéke is e számszoros lesz. 5. Ha a determináns két sorát felcseréljük, az értéke ( ­1)-szeresére változik. 6. Ha a determináns két sora egyenl, akkor a determináns értéke 0.

© Bércesné Novák Ágnes

6

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

7. Ha a determináns k. sora kéttagú összegekbl áll, akkor a determinánst két determináns összegeként kaphatjuk. Az egyik determináns k. sora az eredeti k. sorában álló összegekbl az els tagokat, a másik az eredeti determináns k. sorában álló összegekbl a második tagokat tartalmazza. 8. A determináns értéke nem változik, ha egyik sorához hozzáadjuk valamely másik sor számszorosát.

© Bércesné Novák Ágnes

7

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

9. Kifejtési tétel: a determináns értékét kapjuk, ha valamely sorának elemeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó eljeles aldeterminánsokkal, és ezeket a szorzatokat összeadjuk. Ezt a determináns a i. sor szerinti kifejtésének nevezzük. Az aik elemhez tartozó Aik minormátrix az eredeti A mátrix i. sorának és k. oszlopának elhagyásával keletkezik. Az Aik minormátrixhoz tartozó determinánst az aik elem aldeterminánsának nevezzük. Ezt eljellel látjuk el, (-1)i+k. Az aldetermináns jele Dik. A kifejtési tétel képletben: az i. sor szerinti kifejtés: n n i+k det( A) = ( -1) aik det( Aik ) = aik Dik k =1 k =1 A k. oszlop szerinti kifejtés hasonlóan:
Tehát Dik= (-1)i+k det(Aik).
det( A) = (-1)
i =1 n i+k n

aik det( Aik ) = aik Dik
i =1

10. Ferde kifejtés
0 = (-1)
k =1 n i+k

aik det( A jk ) = aik D jk
k =1

n

© Bércesné Novák Ágnes

8

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A determináns tulajdonságai
1. A determináns értéke nem változik, ha a fátlóra tükrözzük az elemeit. Következmény : A sorokra kimondott tételek oszlopokra is igazak.

Bizonyítás:
det(A):= ( -1) I ( ) a1 (1) a2 ( 2 ) a3 ( 3) .....an ( n ) A fátlóra tükrözött mátrix determinánsa: det(A*):=

(-1) I ( )+ I ( ) a (1)1a (2)2 a (3)3 .....a ( n ) n = (-1) I ( )+ I ( ) a (1) (1) a (2) (2) a (3) (3) .....a ( n ) ( n )

Miben különböznek a szorzatok? Csak az indexek változtak, de az egyes tényezk értékei változatlanok! A determináns sor/oszopra szimmetrikus definíciójából az eljelek azonossága adódik.

© Bércesné Novák Ágnes

9

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

2. Ha a determináns fátlója fölött (alatt) csupa 0 áll, akkor a determináns értéke a fátlóban álló elemek szorzata.

Bizonyítás: minden sorból és oszlopból kell mindegyik szorzatban szerepelnie egy-egy elemnek. Csak akkor lesz a szorzat 0-tól különböz, ha az els sorból az els elemet választjuk. De akkor a második sorból csak a22 választható (ha nem ezt az elemet választjuk a szorzat 0), és így tovább:
0 a 11 a a 21 22 .. a n1 a n2 0 0 .. .. a 0 0 0 nn = a11a22 ...ann

© Bércesné Novák Ágnes

10

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

2. Ha a determináns egy sora (egy sorának minden eleme) 0, akkor értéke is 0.

Bizonyítás:
Tfh. hogy a k. sor minden eleme 0. Az alábbi definícióban mely elem lesz 0? det(A):= ( -1) I ( ) a1 (1) a2 ( 2 ) ........ak ( k ) .....an ( n )

a a 11 12 a a 21 22 0 0 a n1 a n2

... .... .. ..

a 1n a 2n = 0 0 a nn

© Bércesné Novák Ágnes

11

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Ha a determináns egy sorát egy valós számmal megszorozzuk, értéke is e számszoros lesz.

Bizonyítás:
Tfh. hogy a k. sort szorozzuk a valós számmal. Ekkor det(A):= ( -1) I ( ) a1 (1) a2 ( 2 ) ........ak ( k ) .....an ( n ) , és a beszorzott sorral det(A)= ( -1) I ( ) a 1(1) a 2 ( 2) ........(a k( k ) ).....a n( n ) = ( ( -1) I ( ) a 1(1) a 2( 2 ) ........a k( k ) .....a n( n ) ) = det(A)

Megjegyzés: Az elz tétel ennek speciális esete =0-ra.

© Bércesné Novák Ágnes

12

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Ha a determináns két sorát felcseréljük, az értéke ( ­1)-szeresére változik. Bizonyítás:
det(A):= ( -1) I ( ) a1 (1) a2 ( 2 ) ........ai ( i ) ......ak ( k ) .....an ( n ) Cseréljük fel az i. sort a k. sorral: det(A'):= ( -1) I ( ' ) a1 ' (1) a2 ' ( 2 ) ........ak ' ( k ) ......ai ' ( i ) .....an ' ( n ) A tagok ugyanazok, de a szorzatokban a sorindexek szerinti elrendezésben az oszlopok permutációja ' lett. Mi a különbség és ' között? Két elem cseréjével miként változik az inverziók száma? Az azonos szorzatok eljelérl mit tudunk tehát?

© Bércesné Novák Ágnes

13

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Mi a különbség és ' között?
Minden szorzatban az i. és a k. tényez felcseréldött. Ezért az oszlopindexek sorrendjében is e két elem fel van cserélve.

Két elem cseréjével miként változik az inverziók száma?
Páros számúról páratlan számúra, illetve páratlan számúról páros számúra változik az inverziók száma.

Az azonos szorzatok eljelérl mit tudunk tehát?
A szorzatok eljelét az inverzók száma határozza meg, a páros permutációkat + a pártalanokat ­ eljellel vesszük. Ezek szerint tehát minden egyes szorzat eljele (­1)szeresére változik, de a szorzat abszolút értéke változatlan marad, hiszen két tényez felcserélése a szorzat értékét nem változtatja meg. Ez azt jelenti, hogy a determináns értéke (-1)szeresére változik.

© Bércesné Novák Ágnes

14

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

6. Ha a determináns két sora egyenl, akkor a determináns értéke 0.

Bizonyítás:
Legyen det(A)=D. Cseréljük fel az A mátrix két egyenl sorát. Változik-e az A mátrix? Változhat-e a hozzá tartozó determináns értéke? De az elz tétel miatt a sorcserével (-1) ­ szeresére kell a determináns értékének változnia, vagyis D= - D. Hogyan lehetséges ez?

© Bércesné Novák Ágnes

15

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Változik-e az A mátrix?
Nem, hiszen azonos sorokat cseréltünk.

Változhat-e a hozzá tartozó determináns értéke?
Nem, mert elemei nem változtak.

De az elz tétel miatt a sorcserével (-1) ­ szeresére kell a determináns értékének változnia, vagyis D= - D. Hogyan lehetséges ez?
Csakis úgy, hogy a determináns értéke 0.

© Bércesné Novák Ágnes

16

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

7. Ha a determináns k. sora kéttagú összegekbl áll, akkor a determinánst két determináns összegeként kaphatjuk. Az egyik determináns k. sora az eredeti k. sorában álló összegekbl az els tagokat, a másik az eredeti determináns k. sorában álló összegekbl a második tagokat tartalmazza.

Bizonyítás: Legyen a k. sor az, amelyik a kéttagú összeget tartalmazza. az összegzés tulajdonságai miatt:
det( A ) = ( - 1 ) I ( ) a 1
(1 ) a 2 ( 2 )

........(

bk

(k )

+ c k

(k )

)..... a n

(n)

= c k
( k ) .....

( - 1 ) I ( ) a 1

( 1 ) a 2 ( 2 ) ........

bk

(k )

..... a n

(n)

+

( - 1 ) I ( ) a 1

( 1 ) a 2 ( 2 ) ........

a n

(n)

... a a 11 12 a a .... 21 22 b +c b +c .. 1 1 2 2 .. a a n1 n2
© Bércesné Novák Ágnes

a 1n a 2n b +c n n a nn

a a ... 11 12 a a .... 22 = 21 b b .. 1 2 a a .. n1 n2

a a a ... 1n 11 12 a a a .... 22 2n + 21 b c c .. n 1 2 a a a .. nn n1 n2

a 1n a 2n c n a nn
17

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

8. A determináns értéke nem változik, ha egyik sorához hozzáadjuk valamely másik sor számszorosát. (alább az i.sorhoz adjuk a k.sor -szorosát)
a11 a 21 det( A) = a k1 a l 1 + a k 1 a n1 = det( A) + 0 a12 a 22 ak 2 al 2 + a k 2 an 2 ... ... ... a1n a2n a kn a ln + a kn a nn a11 a 21 = a k1 a l1 a n1 a12 a 22 ak 2 al 2 an2 ... ... ... a1n a2n aln a nn a11 a 21 a12 a 22 ak 2 an2 ... ... ... a1n a2n a11 a 21 a k1 a n1 a12 a 22 ak 2 ak 2 an2 ... ... ... a1n a2n a kn = a kn a nn

a kn + a k1 a n1

a kn = det( A) + a k1

a k 1 a k 2

a kn
a nn

© Bércesné Novák Ágnes

18

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

9. Kifejtési tétel: a determináns értékét kapjuk, ha valamely sorának elemeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó eljeles aldeterminánsokkal, és ezeket a szorzatokat összeadjuk. Ezt a determináns a i. sor szerinti kifejtésének nevezzük. Az aik elemhez tartozó Aik minormátrix az eredeti A mátrix i. sorának és k. oszlopának elhagyásával keletkezik. Az Aik minormátrixhoz tartozó determinánst az aik elem aldeterminánsának nevezzük. Ezt eljellel látjuk el, (-1)i+k. Az aldetermináns jele Dik. A kifejtési tétel képletben: az i. sor szerinti kifejtés: n n i+k det( A) = ( -1) aik det( Aik ) = aik Dik k =1 k =1 A k. oszlop szerinti kifejtés hasonlóan:
Tehát Dik= (-1)i+k det(Aik).
det( A) = (-1)
i =1 n i+k n

aik det( Aik ) = aik Dik
i =1

10. Ferde kifejtés
0 = (-1)
k =1 n i+k

aik det( A jk ) = aik D jk
k =1

n

© Bércesné Novák Ágnes

19

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A kifejtési tétel bizonyítása: a.) Els sora az els elem kivételével 0:
a 11 a 21 a k1 a l1 a n1 0 a 22 a k2 a l2 a n2 ... 0 ... ... 0 a 2n a kn = a 11 a ln a nn a 22 a k2 a l2 a n2 ... ... ... a 2n a kn = a 11 D 11 a ln a nn

b.) Ha az i.sor a k. elem kivételével nem nulla, akkor hány szomszédos sor ill. oszlop cseréjével vihet az i. sor az els sor helyére, és a k. elem a11 helyére? Pl. a 2. sor els eleme nem nulla, a többi nulla, hogyan számítható ki a determináns értéke?

© Bércesné Novák Ágnes

20

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

b.) Ha az i.sor a k. elem kivételével nem nulla, akkor hány szomszédos sor ill. oszlop cseréjével vihet az i. sor az els sor helyére, és a k. elem a11 helyére? Pl. a 2. sor els eleme nem nulla, a többi nulla, hogyan számítható ki a determináns értéke? Az aik elemet k-1 darab szomszédos oszlopcserével és i-1 darab szomszédos sorcserével vihet a11 helyére, így az elz eset áll fenn. (Nem egyszeren felcseréljük az 1. és i.sort, mert akkor nem az aldeterminánst kapnánk!!!)
a11 a21 0 al1 an1 a12 a22 0 al 2 an 2 ... ... aik an1 a2 n a11 ..a1( k -1) a(i -1)2 a(i +1)2 an 2 a1( k + )1 ... a1n a(i -1) n = aik Dik a(i +1) n ann

a 0 = (-1)i + k aik (i -1)1 a(i +1)1 aln an1 ann

© Bércesné Novák Ágnes

21

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

c.) Ha nincsen olyan sor, amelynek elemei egy elem kivételével nullák, akkor bármelyik sor felírható mint az eredeti elem és n -1 db nulla öszege. A determináns pedig felbontható n db olyan determináns összegére, amelyben van egy elem kivételével csupa nulla sor.
a11 a21 ai1 al1 an1 a12 a22 ai 2 al 2 an 2 ... ... aik an1 a2 n ... ain aln ann = a11 a21 a12 a22 ... ... an1 a2 n ... 0 + ... + 0 + ain aln ann =

ai1 + 0 + .. + 0 0 + ai 2 + 0 + .. + 0 0 + 0 + .. + aik + 0 + ... + 0 al1 al 2 an1 an 2

a11 a21 = ai1 al1 an1

a12 a22 0 al 2 an 2

... ... ... 0

an1 a2 n ... 0 aln ann +

a11 a21 0 al1 an1

a12 a22 ai 2 al 2 an 2

... ... 0 ...

an1 a2 n ... 0 aln ann + .. +

a11 a21 0 al1 an1

a12 a22 0.. al 2 an 2

... ... aik ....

an1 a2 n ... 0 aln ann + .. +

a11 a21 0 al1 an1

a12 a22 0.. al 2 an 2

... ...

an1 a2 n ... aln ann

0 ... ain

© Bércesné Novák Ágnes

22

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

a11 a21 ai1 al1 an1
a11 a21 = ai1 al1 an1
n

a12 a22 ai 2 al 2 an 2
a12 a22 0 al 2 an 2

... ... aik

an1 a2 n ... ain aln ann =

a11 a21

a12 a22

... ...

an1 a2 n ... 0 + ... + 0 + ain aln ann =

ai1 + 0 + .. + 0 0 + ai 2 + 0 + .. + 0 0 + 0 + .. + aik + 0 + ... + 0 al1 al 2 an1 an 2
... ... 0 ... an1 a2 n ... 0 aln ann + .. + a11 a21 0 al1 an1 a12 a22 0.. al 2 an 2 ... ... aik .... an1 a2 n ... 0 aln ann + .. + a11 a21 0 al1 an1 a12 a22 0.. al 2 an 2

... ... ... 0

an1 a2 n ... 0 aln ann +

a11 a21 0 al1 an1

a12 a22 ai 2 al 2 an 2
n

... ...

an1 a2 n ... aln ann =

0 ... ain

= ( -1)
k =1

i+k

aik det( Aik ) = aik Dik
k =1

© Bércesné Novák Ágnes

23

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

"Ferde" kifejtés
Ha a determináns kifejtésére vonatkozó képletben az aik sor elemei helyett pl. az alk sor elemeit szorozzuk meg rendre a Dik aldeterminánsokkal, akkor az így kapott szám nulla. Helyes kifejtés: det(A)= a11D11+a12D12+...+a1nD1n Ferde kifejtés: 0= a21D11+a22D12+...+a2nD1n

Bizonyítás(Hf. ált.):

a11 a12 ... a13 a a21 a22 .. a23 = a11 22 a32 a31 a32 .. a33 a11 a12 ... a13 a 22 a 21 a 22 .. a 23 = a 21 a 32 a 31 a 32 .. a 33

a23 a33

- a12

a21 a23 a31 a33

+ a13

a21 a22 a31 a32

a 23 a 33

- a 22

a 21 a 31

a 23 a 33

+ a 23

a 21 a 31

a 22 a 32

© Bércesné Novák Ágnes

24

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Ha az egyenlség jobb oldalán álló kifejezésbl indulunk ki, az ott álló elemeket a következ, két egyenl sorral, tehát 0 értékkel rendelkez determinánsba lehet elrendezni:

a 21 a 21 a 31

a 22 ... a 22 .. a 32 ..

a 23 a 23 = 0 a 33

a11 a12 ... a13 a a 21 a 22 .. a 23 = a 21 22 a 32 a 31 a 32 .. a 33

a 23 a 33

- a 22

a 21 a 31

a 23 a 33

+ a 23

a 21 a 31

a 22 a 32

© Bércesné Novák Ágnes

25



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

10 2004 29 3. gyakorlat ágazati algebra biotermék biztonság c nyelv civilizáció diplomadolgozat ember éptöri 2 etnográfia fenntartható filozófia tételek fogaskerék függvény géntech glikolízis gyakorlódolg hallgatoi anyag helyi társadalom idősorok informatika jogi jogviszony jövedék juhász istván karinthy kérdések környezetgazdaságtan média méhen belüli fejlődés növényrendszertan pénzügyek prezentáció regterv sql szimbólum szociológia társadalom trade tükör vegyipari vezgazd vizsga feladatsor vizsgára vizsgazh zh