Lineáris transzformációk

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzetekLineáris transzformációk

6. fejezet

Lineáris transzformációk invariáns alterei
Ennek a fejezetnek az a célja, hogy a véges dimenziós vektorterek lineáris transzformációit jellemezzük. Milyen jellemzésre gondolunk? A 2-dimenziós valós térben olyan lineáris transzformációkról, mint a nyújtás, tükrözés, elforgatás, vetítés és párhuzamos anitás jól kialakult elképzelésünk van. Nagyobb dimenziójú terekben persze nem várhatjuk, hogy egy lineáris transzformáció hatását ugyanúgy lássuk mint a síkon, de arra törekedhetünk, hogy meg tudjuk mondani azok hatását a tér szemléltetheto alterein. Tehát a vektortér altereit használhatjuk a vizsgált lineáris transzformációk jellemzésére. Persze ehhez csak olyan alterek alkalmasak, amelyeknek vektorai a transzformáció során az altérben maradnak. Ezek a vizsgált lineáris transzformációra nézve invariáns alterek. Ha az egész vektorteret fel tudjuk bontani olyan invariáns alterek direkt összegére, amelyeken már tudjuk a lineáris transzformáció hatását, akkor a transzformációt ismertnek mondhatjuk. Kiderül, hogy szoros kapcsolat van a lineáris transzformációk polinomjainak faktorizációi és a tér invariáns altereinek direkt összegére való felbontása között. Ehhez a fejezethez tartozik a lineáris transzformációk kanonikus alakjainak a tárgyalása is.

6.1. Invariáns alterek, transzformációk polinomjai
Mint azt a fejezet bevezetojében említettük a lineáris transzformációkat úgy kívánjuk jellemezni, hogy felbontjuk a teret olyan alterek direkt összegére, amelyen a lineáris transzformáció hatásáról már jó elképzelésünk van. Az ilyen altereknek a lineáris transzformációra nézve zártnak kell lennie, tehát az altér elemeinek képe az altérben kell maradjon. A lineáris transzformációra vonatkozó zártság fogalmát az alábbi denícióban rögzítettük.

158

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

6.1 Deníció Legyen V egy F test feletti vektortér és A lineáris transzformációja V -nek. A V vektortér egy M alterét A-ra nézve invariánsnak (zártnak) mondjuk, ha minden v M -re az A(v) képvektor is M -ben van. Jelekkel: A(M ) M. Hangsúlyoznunk kell, hogy azt nem követeltük meg a denícióban, hogy M minden eleme eloálljon valamely V -beli vektor képeként, és azt sem, hogy ha egy w vektor A(w) képe M -ben van, akkor w-nek is M -ben kell lennie, csupán azt, hogy az M -beli vektorok képe M -ben kell maradjon. A rövidség kedvéért sokszor az A-ra nézve invariáns alterekre az A-invariáns jelzovel hivatkozunk. Idonként nem igazán logikusan ugyan, de röviden a vektortér A-invariáns altere kifejezés helyett azt mondjuk, hogy az A invariáns altere. Ha M egy A-invariáns altere a V vektortérnek, akkor A mátrixa ezt tükrözi egy olyan bázisban, amely M egy bázisának kiegészítésével keletkezett. Valóban, ha V = {x1 , . . . , xr , xr+1 , . . . , xn } olyan bázisa V -nek, hogy az {x1 , . . . , xr } részrendszer M -nek bázisa, akkor A mátrixa ebben a bázisban

AV =

A11 0

A12 A22

alakú, ahol A11 az A M -re való leszukítésének r × r-es mátrixa az {x1 , . . . , xr } bázisban, 0 n - r × r-es nullmátrix és A12 , illetve A22 r × n - r-es, illetve n - r × n - r-es mátrixok. Jegyezzük meg, hogy ha N = lin(xr+1 , . . . , xn ) is Ainvariáns altér akkor és csak akkor az A12 mátrix-blokk is nullmátrix és ekkor az A11 0 AV = 0 A22 mátrixra azt mondjuk, hogy az A11 és A22 mátrixok direkt összege. Fontos megjegyeznünk, hogy ha M egy A-invariáns altér, akkor nem biztos, hogy létezik A-invariáns kiegészítoje. Mindenesetre, ha V két A-invariáns M és N alterének direkt összege, akkor azt mondjuk, hogy az (M, N ) pár redukálja A-t. Tetszoleges A lineáris transzformációnak nyilván invariáns altere a zérusaltér, ker(A), im (A) és maga a V vektortér. Kevésbé triviális A-invariáns altereket kaphatunk a következo konstrukcióval: választunk egy tetszoleges v V vektort, majd képezzük a {v, A(v), A2 (v), . . .} vektorok által generált alteret, amelyet lin(v, A)-val fogunk jelölni. Ha V ndimenziós, akkor a {v, A(v), A2 (v), . . . An (v)} vektorrendszer biztosan lineárisan összefüggo, hiszen n + 1 vektort tartalmaz, és még az is igaz, hogy ha Ak (v) (1 k n) kifejezheto a v, A(v), . . . , Ak-1 (v) vektorok lineáris kombinációjaként, akkor minden pozitív egész m-re az Ak+m (v) is eloállítható, mint a v, A(v), . . . , Ak-1 (v) vektorok lineáris kombinációja. Az állítás m szerinti teljes indukcióval könnyen igazolható. Valóban, ha
k-1

A (v) =
i=0

k

i Ai (v) ,

6.1. INVARIÁNS ALTEREK, TRANSZFORMÁCIÓK POLINOMJAI

159

akkor
k-1 k-2 k-1

Ak+1 (v) =
i=0

i Ai+1 (v) =
i=0 k-1

i Ai+1 (v) + k-1
i=0

i Ai (v)

=

= k-1 0 v +
i=1

(i-1 + k-1 i )Ai (v) ,

tehát m = 1-re igaz az állítás. Ha m - 1 1-re
k-1

Ak+m-1 (v) =
i=0

i Ai (v) ,

akkor az
k-1 k-2 k-1

Ak+m (v) =
i=0

i Ai+1 (v) =
i=0 k-1

i Ai+1 (v) + k-1
i=0

i Ai (v)

=

= k-1 0 v +
i=1

(i-1 + k-1 i )Ai (v) ,

számolással kapjuk, hogy Ak+m (v) is kifejezheto a v, A(v), . . . , Ak-1 (v) vektorok lineáris kombinációjaként. Így lin(v, A) = lin v, A(v), . . . , Ak-1 (v) . Tulajdonképpen ezért használjuk a lin(v, A) jelölést. Nem nehéz belátnunk, hogy lin(v, A) az a legszukebb A-invariáns altér, amely a v vektort tartalmazza. Tekintve, hogy egy vektortér lineáris transzformációi nemcsak vektorteret alkotnak, de lineáris transzformációk szorzata is lineáris transzformáció, és így egy lineáris transzformáció nemnegatív egész kitevos hatványainak lineáris kombinációja is a tér lineáris transzformációja, bármely A L(V ) esetén a

p(A) = 0 A0 + 1 A + · · · + k Ak
polinom is lineáris transzformációja V -nek. Könnyen igazolható, hogy az A és p(A) transzformációk szorzata független a tényezok sorrendjétol. Ezt ismerve, meg tudjuk mutatni, hogy a p(A) transzformáció magtere és képtere is A-invariáns altér. Valóban, ha v ker(p(A)), azaz p(A)(v) = 0, akkor p(A)(A(v)) = A(p(A)(v)) = A(0) = 0, tehát A(v) ker(p(A)). Hasonlóan, ha v im (p(A)), azaz létezik olyan w V , amelyre p(A)(w) = v , akkor p(A)(A(w)) = A(p(A)(w)) = A(v), igazolva, hogy A(v) im (p(A)) is teljesül. Utóbbi példánk sugallja, hogy szükségünk lesz a lineáris transzformációk polinomjaira, azok invariáns altereinek konstruálásakor.

6.1.1. Minimálpolinom
Egy p(t) F[t] polinom nemcsak F F alakú függvények értelmezéséhez használható, de minden olyan algebrai struktúra önmagába való leképezéseinek deniálásához is, amelyben összeadás és szorzás van értelmezve és amelynek az

160

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

F test operátortartománya. Ilyen egy F feletti V vektortér lineáris transzformációinak L(V ) tere is és persze az F elemeibol képzett dim V × dim V típusú mátrixok Fdim V ×dim V tere is, amely mint jól tudjuk izomorf L(V )-vel, és a mátrixok szorzását úgy értelmeztük, hogy minden : L(V ) Fdim V ×dim V
izomorf leképezés felcserélheto a szorzás muvelettel is. Minden A L(V ) lineáris transzformációhoz a p(t) = 0 + 1 t + · · · + n tn polinom segítségével hozzárendelhetjük a V vektortér

p(A) = 0 A0 + 1 A + · · · + n An
lineáris transzformációját és hasonlóan minden A Fdim V ×dim V mátrixhoz egy

p(A) = 0 A0 + 1 A + · · · + n An Fdim V ×dim V
mátrixot. Látható, hogy a p(A) lineáris transzformáció az A lineáris transzformáció hatványainak lineáris kombinációja, és hasonlóan a p(A) mátrix a A mátrix hatványainak lineáris kombinációja. A lineáris transzformációk és mátrixaik vektorterének izomorája biztosítja, hogy egy A lineáris transzformáció bármely p(t) polinomjának mátrixa valamely rögzített bázisban megegyezik az A transzformáció A mátrixának p(A) polinomjával. Nem nehéz belátni, hogy egy lineáris transzformáció (mátrix) polinomjaira igazak a következo számolási szabályok: ha

p(t) + q(t) = r(t)
akkor illetve

és és és

p(t) · q(t) = s(t) , p(A) · q(A) = s(A) , p(A) · q(A) = s(A).

p(A) + q(A) = r(A) p(A) + q(A) = r(A)

Mivel a polinomok szorzása kommutatív, egy lineáris transzformáció (egy mátrix) két polinomjának szorzata is független a tényezok sorrendjétol. Azt mondjuk, hogy az A lineáris transzformáció (egy A mátrix) gyöke a p(t) polinomnak, ha p(A) = 0 (p(A) = 0). Egy lineáris transzformáció pontosan akkor gyöke egy p(t) polinomnak, ha mátrixa gyöke annak. Minthogy egy lineáris transzformációnak különbözo bázisokban különbözo, egymáshoz hasonló mátrixai vannak azonnal kapjuk, hogy hasonló mátrixok ugyanazoknak a polinomoknak a gyökei. Ezt az eredményt persze közvetlenül is megkaphatjuk, gyelembe véve, hogy ha B invertálható mátrix, akkor minden p(t) polinomra

p(B-1 AB) = B-1 p(A)B .
Ezek az észrevételek lehetové teszik, hogy feladatok numerikus megoldásakor lineáris transzformációk polinomjai helyett a transzformációk valamely bázisra vonatkozó mátrixainak polinomjaival számolhassunk.

6.1. INVARIÁNS ALTEREK, TRANSZFORMÁCIÓK POLINOMJAI

161

A következokben állításainkat csak a lineáris transzformációk polinomjaira mondjuk ki, azzal az elorebocsátott megjegyzéssel, hogy azok átfogalmazhatók a mátrixok polinomjaira is. Ha V n-dimenziós F feletti vektortér, akkor minden A L(V ) gyöke valamely F[t]-beli nem-zéró polinomnak, hiszen dim L(V ) = n2 lévén az

A0 = I, A, . . . , An

2

n2 +1 elemu lineáris transzformáció rendszer lineárisan összefüggo, így van olyan nem-triviális lineáris kombinációjuk, hogy 0 A0 + 1 A + · · · + n2 An = 0 .
Akkor a
2

p(t) = 0 + 1 t + · · · + n2 tn

2

nem-zéró polinom olyan, amelynek A gyöke. Nyilvánvaló, hogy ha A gyöke egy p(t) = 0 + 1 t + · · · + m tm m-edfokú polinomnak, akkor gyöke az 1/m · p(t) ugyancsak m-edfokú normált polinomnak is. 6.2 Deníció Azt a legkisebb fokszámú nem azonosan nulla normált polinomot, amelynek A gyöke, az A transzformáció minimálpolinomjának nevezzük. Minden lineáris transzformáció minimálpolinomja egyértelmuen meghatározott, hiszen ha mA (t) és mA (t) is minimálpolinomja egy A transzformációnak, akkor A gyöke az mA (t) - mA (t) polinomnak is, holott mA (t) - mA (t) foka kisebb mint mA (t) fokszáma, ellentmondva mA (t) értelmezésének. 6.3 Állítás Az A lineáris transzformáció minimálpolinomja osztója minden olyan polinomnak, amelynek A gyöke.
Bizonyítás. Legyen f (t) tetszoleges olyan polinom, amelynek az A transzformáció gyöke, azaz f (A) = 0. Végezzünk maradékos osztást,

f (t) = h(t)mA (t) + r(t) ahol 0 deg r(t) < deg mA (t).
Helyettesítve az A transzformációt, kapjuk, hogy

0 = f (A) = h(A)mA (A) + r(A) = r(A) ,
ami csak akkor lehet igaz, ha r(t) 0 , mert A nem lehet gyöke egyetlen mA (t) fokszámánál alacsonyabb fokú nem-zéró polinomnak sem. Ezzel állításunkat igazoltuk. 2 Az alábbi tétel egy lineáris transzformáció invariáns altereinek dimenziójáról nyújt felvilágosítást.

162

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

6.4 Tétel Legyen V n-dimenziós F test feletti vektortér. (1) Ha az A L(V ) lineáris transzformáció mA (t) F[t] minimálpolinomjának van k -ad-fokú irreducibilis faktora, akkor van a V vektortérben k -dimenziós Ainvariáns altér. (2) Ha p(t) egy k -ad-fokú irreducibilis faktora az A minimálpolinomjának, akkor ker(p(A)) k -dimenziós A-invariáns altér, vagy k -dimenziós A-invariáns alterek direkt összege.
Bizonyítás.

(1) Jelölje mA (t) az A minimálpolinomját és legyen az mA (t) = p(t)q(t) szorzatként való eloállításban p(t) k -ad-fokú irreducibilis tényezo. A ker(p(A)) altér invariáns A-ra nézve. Legyen v = 0 egy tetszoleges vektora ker(p(A))-nak (ilyen van, mert különben már a q(t) polinomnak gyöke lenne A). Meg fogjuk mutatni, hogy lin(v, A) k -dimenziós A-invariáns altere ker(p(A))nak, következésképpen V -nek is. Tekintsük a {v, A(v), . . . An (v)} vektorrendszert. Ez nyilvánvalóan lineárisan összefüggo rendszer. Legyen m( n) az a legnagyobb pozitív egész, amelyre a {v, A(v), . . . , Am-1 (v)} vektorrendszer még lineárisan független, azaz Am (v) már kifejezheto a v, A(v), . . . , Am-1 (v) vektorok Am (v) = 0 v + 1 A(v) + · · · + m-1 Am-1 (v)

lineáris kombinációjaként. Az

s(t) = -0 - 1 t - · · · - m-1 tm-1 + tm
polinomra tehát teljesül, hogy s(A)(v) = 0 , de az m számra tett kikötésünk alapján állíthatjuk, hogy m-nél alacsonyabb fokú nem-zéró polinomja A-nak a v vektort nem transzformálja a nullvektorba. Mivel v eleme volt ker(p(A))-nak, tehát p(A)(v) = 0 , ezért

m = deg s(t) deg p(t) = k .
Maradékos osztást végezve a p(t) és s(t) polinomokkal, kapjuk, hogy

p(t) = h(t)s(t) + r(t)
és így

és

0 deg r(t) < deg s(t) = m ,

p(A) = h(A)s(A) + r(A) .
Akkor

0 = p(A)(v) = h(A)s(A)(v) + r(A)(v) = r(A)(v) ,

és ebbol következik, hogy r(t) 0 és p(t) = h(t)s(t) . Mivel feltevésünk szerint p(t) irreducibilis, a h(t) polinom csak konstans polinom lehet, ezért s(t) és p(t) fokszáma egyenlo, tehát k = m . A lin(v, A) = lin v, A(v), . . . , Ak-1 (v) altér tehát k -dimenziós és A-invariáns. (2) A második állítás igazolása: ker(p(A)) két különbözo nem-zéró v és w vektorára lin(v, A)-nak és lin(w, A)-nak vagy csak a nullvektor a közös elemük, vagy egyenlok. Ugyanis ha x lin(v, A) lin(w, A) nem-zéró vektor, akkor

6.1. INVARIÁNS ALTEREK, TRANSZFORMÁCIÓK POLINOMJAI

163

amint azt az (1) állítás bizonyításában láttuk az {x, A(x), . . . , Ak-1 (x)} vektorrendszer lineárisan független, és mind lin(v, A)-nak, mind lin(w, A)-nak részrendszere azok A-invarianciája miatt. Mivel

dim lin(v, A) = dim lin(w, A) = k
azt is kapjuk, hogy az {x, A(x), . . . , Ak-1 (x)} vektorrendszer mind lin(v, A)-nak, mind lin(w, A)-nak bázisa, és így lin(v, A) = lin(w, A) . Ezek után ker(p(A)) direkt összegre való felbontása a következoképpen történhet: választunk egy nem-zéró v1 ker(p(A)) vektort és képezzük a lin(v1 , A) alterét. Ha ker(p(A)) \ lin(v1 , A) nem-üres, akkor választunk belole egy v2 vektort és képezzük a lin(v1 , A) lin(v2 , A) 2 · k -dimenziós alterét ker(p(A))-nak. Ha ez még valódi altér, akkor választhatunk

v3 ker(p(A)) \ lin(v1 , A) lin(v2 , A)
vektort és képezzük a lin(v1 , A) lin(v2 , A) lin(v3 , A) alteret, és így tovább. ker(p(A)) véges dimenziós volta biztosítja, hogy létezik olyan r 1 egész, hogy

ker(p(A)) \ lin(v1 , A) · · · lin(vr , A) = ,
és akkor az eljárás befejezodik. Hangsúlyoznunk kell, hogy erosen kihasználtuk, hogy amennyiben egy x ker(p(A)) x = 0 vektor eleme valamely lin(y, A) ker(p(A)) altérnek, akkor lin(x, A) = lin(y, A), amibol már következik, hogy ha

vi lin(v1 , A) · · · lin(vi-1 , A) ,
akkor lin(vi , A) lin(v1 , A) · · · lin(vi-1 , A) = {0} .

Ugyanis, ha egy nem-zéró x vektorra

x lin(vi , A)

lin(v1 , A) · · · lin(vi-1 , A),
i-1 j=1

akkor egyrészt lin(vi , A) = lin(x, A) teljesül, másrészt x = lin(vj , A) j = (1, . . . , i - 1). Ekkor viszont
i-1

wj ,

wj

A (x) =
j=1

t

At (wj ) lin(v1 , A) · · · lin(vi-1 , A)

is teljesül minden t(= 1, . . . , k - 1)-re, azaz

vi lin(x, A) lin(v1 , A) · · · lin(vi-1 , A),

164

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

ellentmondva a vi lin(v1 , A)· · · lin(vi-1 , A) feltételnek. Ezzel a bizonyítást befejeztük. 2 Ismert, hogy minden valós együtthatós irreducibilis polinom legfeljebb másodfokú, míg minden komplex együtthatós irreducibilis polinom legfeljebb elsofokú. Így az elozo tétel értelmében a véges dimenziós valós vektorterek minden lineáris transzformációjának van legfeljebb 2-dimenziós, a komplex vektorterek lineáris transzformációinak pedig 1-dimenziós invariáns altere.

6.2. Sajátértékek és sajátvektorok
Ebben a pontban a vektorterek 1-dimenziós invariáns altereit vizsgáljuk. Legyen az F test feletti V vektortérnek A L(V ) lineáris transzformációja. Ha az A mA (t) minimálpolinomjának F gyöke, akkor mivel t - nyilván irreducibilis tényezoje mA (t)-nek a 6.4 tétel szerint a ker(A-I) 1-dimenziós A-invariáns altér, vagy 1-dimenziós A-invariáns alterek direkt összege. 6.5 Deníció Az A lineáris transzformáció minimálpolinomjának az F testben lévo gyökeit, az A sajátértékeinek nevezzük. Ha sajátértéke A-nak, akkor a ker(A - I) altér minden nem-zéró s vektorát az A lineáris transzformáció sajátvektorának hívjuk. Magára a ker(A - I) altérre gyakran a -hoz tartozó sajátaltér néven hivatkozunk. A ker(A - I) sajátaltér dimenzióját a sajátérték geometriai multiplicitásának nevezzük. 6.1 Megjegyzés Hangsúlyoznunk kell, hogy ha A egy F test feletti V vektortér lineáris transzformációja, akkor nem biztos, hogy van sajátértéke, hiszen nem biztos, hogy minimálpolinomjának van gyöke F-ben. Másrészt, ha F algebrailag zárt, akkor minden A L(V ) (V = {0}) lineáris transzformációnak van sajátértéke és sajátvektora. A sajátaltér tetszoleges s vektorára

A(s) = (A - I)(s) + s = s
teljesül. Másrészt, ha A - I szinguláris transzformációja V -nek, akkor van nem-zéró v vektor ker(A - I)-ben. Az mA (t) minimálpolinomnak a t - F[t] elsofokú polinommal való maradékos osztását végezve

mA (t) = q(t)(t - ) +
adódik, hiszen a maradék csak 0-ad-fokú, azaz skalár lehet. Akkor az

mA (A) = q(A)(A - I) + I

6.2. SAJÁTÉRTÉKEK ÉS SAJÁTVEKTOROK

165

transzformációval

0 = mA (A)(v) = q(A)(A - I)(v) + I(v) = v ,
amibol kapjuk, hogy = 0, azaz t - osztója mA (t)-nek. De akkor mA () = 0 , azaz gyöke a minimálpolinomnak. A 6.4 tétel kiegészítve a fenti észrevétellel a következo állítást verikálja: 6.6 Tétel Ha V az F test feletti vektortér és A lineáris transzformációja, akkor az A minimálpolinomjának a F skalár pontosan akkor gyöke, azaz pontosan akkor sajátértéke A-nak, ha az A - I L(V ) lineáris transzformáció szinguláris. A 6.6 tételbol azonnal adódik: 6.7 Következmény Egy lineáris transzformációnak pontosan akkor sajátértéke a 0, ha a transzformáció szinguláris. Sok esetben használhatók a következo észrevételek: 6.8 Állítás (a) Az A L(V ) lineáris transzformációnak akkor és csak akkor sajátértéke, ha transzponáltjának sajátértéke. (b) Az M pontosan akkor A-invariáns altere V -nek, ha annullátora M A invariáns altere V -nek. (c) Ha az A L(V ) lineáris transzformációnak sajátértéke, akkor tetszoleges p(t) F[t] polinomra a p(A) lineáris transzformációnak sajátértéke p(), és ha 1 A invertálható, akkor az A-1 lineáris transzformációnak sajátértéke .
Bizonyítás.

Az (a) állítás annak a következménye, hogy egy lineáris transzformáció és transzponáltjának egyenlo a rangja és mivel

(A - I) = A - I ,
az A - I lineáris transzformáció pontosan akkor szinguláris, ha az A - I lineáris transzformáció szinguláris. (b) Legyen v tetszoleges vektora M -nek és y tetszoleges lineáris funkcionál M ból. Ekkor [v, A (y)] = [A(v), y], így ha A(v) M, akkor A (y) M és fordítva, ha A (y) M , akkor A(v) M is teljesül és éppen ezt kellett igazolnunk. (c) Az A lineáris transzformációnak pontosan akkor sajátértéke, a 6.6 tétel szerint, ha van olyan s(= 0) V vektor, hogy A(s) = s . Ekkor A2 (s) = A(A(s)) = A(s) = A(s) = 2 s , és könnyen igazolható teljes indukcióval, hogy minden k természetes számra Ak (s) = k s teljesül. Ekkor viszont bármely p(t) = 0 + 1 t + · · · + k tk F[t] polinomra

p(A)(s) = (0 I + 1 A + · · · + k Ak )(s) = 0 s + 1 A(s) + · · · + k Ak (s) =

166

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

0 s + 1 s + · · · + k k s = p()s,
igazolva állításunkat, hogy p() sajátértéke a p(A) transzformációnak. Az utolsó állítás következik az

s = A-1 (A(s)) = A-1 (s) = A-1 (s)
egyenloségbol, mert a 6.7 következmény alapján = 0 és így

A-1 (s) =

1 s.

Az alábbi példa azt mutatja be, hogy a 6.6 tétel hogyan használható egy lineáris transzformáció sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározására. 6.1 Példa Határozzuk meg a 3-dimenziós valós V vektortér azon A lineáris transzformációjának sajátértékeit és sajátvektorait, amely a tér egy V = {v1 , v2 , v3 } bázisának vektorait rendre az A(v1 ) = v2 + v3 , A(v2 ) = v1 + v3 , A(v3 ) = v1 + v2 vektorokba viszi! rixai
Megoldás.

Az A, 0 1 A= 1

illetve az A - I transzformációk V bázisra 1 1 - 1 1 - 0 1 és A - E = 1 0 1 1

vonatkozó mát 1 1 -

Állapítsuk meg, hogy a paraméter mely értékei esetén lesz az A - E mátrix szinguláris. Az elemi bázistranszformációs technika most is alkalmazható, hiszen kérdésünk úgy is felteheto, hogy a paraméter milyen értékei mellett van nem-triviális megoldása az A - E együttható-mátrixú homogén lineáris egyenletrendszernek. Az ismeretlenekre bevezetve a 1 , 2 , 3 jelölést a

1 v1 v2 v3 -
1 1

2 1 - 1

3 v1 - 1 1 - v3 1

2 1- - 1+
2

3 1+ 1 - - 1

táblázatokból leolvashatjuk, 1 2 3

hogy = -1 esetén a -1 -1 2 0 · = 1 3 0 1

koordináta vektorú vektor nem-triviális megoldás, ha a 2 , 3 szabadon választható skalárok közül legalább az egyik nem nulla. Például az -1 -1 és s2 = 0 s1 = 1 1 0

6.2. SAJÁTÉRTÉKEK ÉS SAJÁTVEKTOROK

167

koordináta vektorú lineárisan független vektorok a transzformáció = -1 sajátértékéhez tartozó sajátvektorai. Visszatérve a táblázathoz, látható, hogy ha = -1, akkor további báziscsere hajtható végre és kapjuk a

3 v1 1 2
táblázatot, miszerint = 2 esetén alakja 1 2 = 3

2 + - 2 1- -1
is van nem-triviális megoldás, amelynek

1 1 · 3 (3 = 0) . 1

Így a = 2 sajátérték, és egy ehhez tartozó sajátvektor koordináta vektora az 1 s3 = 1 . 1 A feladathoz nem tartozik ugyan, de érdemes meghatározni az A transzformáció mátrixát a sajátvektorok alkotta

S = {s1 = -v1 + v2 , s2 = -v1 + v3 , s3 = v1 + v2 + v3 }
bázisban. Mivel A(s1 ) = -s1 , A(s2 ) = -s2 és -1 0 0 -1 AS = 0 0

A(s3 ) = 2 · s3 , kapjuk, hogy 0 0 2

diagonális mátrix, amelynek diagonálisában éppen az A sajátértékei vannak. A fenti példában azt láttuk, hogy a vizsgált lineáris transzformáció sajátvektorai bázisát alkották a vektortérnek, és ebben a bázisban a lineáris transzformáció mátrixa diagonális mátrix lett. Ez általánosan is igaz, nevezetesen: 6.9 Tétel Ha az n-dimenziós F test feletti V vektortér A L(V ) lineáris transzformációjának sajátvektoraiból álló S = {s1 , . . . , sn } vektorrendszer bázis, akkor az A mátrixa az S bázisban diagonális mátrix, melynek diagonálisában éppen az egyes sajátvektorokhoz tartozó sajátértékek vannak. Jelöljék az egyes sajátvektorokhoz tartozó sajátértékeket rendre 1 , . . . , n . Akkor, tekintve, hogy
Bizonyítás.

A(si ) = i si

(i = 1, . . . , n) ,

168 kapjuk, hogy

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

A(si )S =

0 . . . 0 i 0 . . . 0

,

ahol éppen az i-edik koordináta i , a többi pedig zéró. Mivel az A lineáris transzformáció AS mátrixának i-edik oszlopa éppen A(si )S minden i(= 1, . . . , n)-re,

AS =

1 0 . . . 0

0 2 . . . 0

... 0 ... 0 . .. . . . . . . n



amint állítottuk. Egy vektortér olyan lineáris transzformációját, amelynek sajátvektorai generálják a teret, tehát mátrixa diagonalizálható, egyszeru , vagy más elnevezéssel diagonalizálható lineáris transzformációnak hívjuk. Megjegyzendo, hogy az egyáltalán nem biztos, hogy a különbözo sajátvektorok különbözo sajátértékekhez tartoznak, amint az 6.1 példa is mutatta, (a -1 sajátértékhez két egymástól lineárisan független sajátvektor tartozott). Másrészt viszont igaz, hogy különbözo sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan független rendszert alkotnak. Ezt az állítást fogalmaztuk meg a következo tételben. 6.10 Tétel Ha a V vektortér A lineáris transzformációjának 1 , . . . , k különbözo sajátértékei, akkor a hozzájuk tartozó s1 , . . . , sk sajátvektorok lineárisan független rendszert alkotnak.
Bizonyítás. A különbözo sajátértékek száma szerinti teljes indukcióval igazoljuk az állítást. Ha k = 1, akkor a sajátvektor nem nullvektor lévén lineárisan független egy elemu rendszer. Tegyük fel, hogy a 1 , . . . , k-1 különbözo sajátértékekhez tartozó sajátvektorok {s1 , . . . , sk-1 } rendszere lineárisan független és legyen k az eddigiektol különbözo sajátérték és sk a hozzátartozó sajátvektor. Indirekt tegyük fel, hogy
k-1

(a)

sk =
i=1

i si ,

azaz, hogy az {s1 , . . . , sk-1 , sk } vektorrendszer már lineárisan összefüggo. Ha alkalmazzuk az A transzformációt az (a) egyenlettel adott sk vektorra, akkor

6.3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK REDUKÁLÁSA

169

azt kapjuk, hogy
k-1 k-1

(b)

k sk = A(sk ) =
i=1

i A(si ) =
i=1

i i si .

Így az (a) egyenlet k -szorosát kivonva a (b) egyenletbol
k-1

0=
i=1

i (i - k )si

adódik. Ez lehetetlen, hiszen sk = 0 (mert sajátvektor), ezért az i skalárok valamelyike nem-nulla. Másrészt a sajátértékek különbözosége miatt a i - k , (i = 1, . . . , k - 1) skalárok is különböznek nullától és az indukciós feltevés szerint az {s1 , . . . , sk-1 } rendszer lineárisan független volt. Ez az ellentmondás abból az indirekt feltevésbol eredt, hogy az {s1 , . . . , sk-1 , sk } vektorrendszer lineárisan összefüggo. Tehát lineárisan független kell legyen és éppen ezt kellett igazolnunk. Ha egy n-dimenziós V vektortér A lineáris transzformációjának n különbözo sajátértéke van, akkor A egyszeru. Ez a feltétel elegendo, de nem szükséges, amint azt a 6.1 példa is mutatta.

6.3. Lineáris transzformációk redukálása
Ebben a pontban a vektorterek lineáris transzformációira nézve invariáns alterek direkt összegére való felbontásaival foglalkozunk. Vizsgálatainkban kihasználjuk, hogy amint azt látni fogjuk szoros kapcsolat van egy A lineáris transzformáció minimálpolinomjának faktorai és a tér A-invariáns alterei között. A következo tételben arra mutatunk rá, hogy milyen kapcsolat van egy A lineáris transzformáció minimálpolinomjának faktorai és a tér A-invariáns alterek direkt összegére való felbontása között. 6.11 Tétel Legyen V F feletti véges dimenziós vektortér és A L(V ) lineáris transzformációja. Ha az A transzformáció mA (t) minimálpolinomja a relatív prím p(t) és q(t) polinomok szorzata, akkor

V = ker p(A) ker q(A) ,

tehát V A-invariáns altereinek direkt összege.
Bizonyítás.

Azt már láttuk, hogy bármely p(t) polinomra ker p(A) A-invariáns altere V -nek. Így már csak azt kell megmutatnunk, hogy a ker p(A) és ker q(A) alterek egyetlen közös eleme a nullvektor és azt, hogy V minden vektora egy ker p(A)-beli és egy ker q(A)-beli vektor összege.

170

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

Legyen u ker p(A) ker q(A). Mivel p(t) és q(t) relatív prímek, legnagyobb közös osztójuk az 1 eloállítható 1 = f (t)p(t) + g(t)q(t) alakban. Ebbe a polinom egyenletbe helyettesítve az A transzformációt kapjuk, hogy

I(= 1 · A0 ) = f (A)p(A) + g(A)q(A) .
Ekkor

u = I(u) = f (A)p(A)(u) + g(A)q(A)(u) = 0, u eleme mind ker p(A)-nak, mind ker q(A)-nak. Meg kell még mutatnunk, hogy tetszoleges V -beli vektor egy ker p(A)-beli és egy ker q(A)-beli vektor összege. Ismét az I(= 1 · A0 ) = f (A)p(A) + g(A)q(A)
egyenletet használva kapjuk, hogy tetszoleges v V vektorra

v = I(v) = (f (A)p(A))(v) + (g(A)q(A))(v)

(6.1)

teljesül. Tekintettel arra, hogy q(A)(f (A)p(A)(v)) = f (A)(mA (A)(v)) = 0 és p(A)(g(A)q(A)(v)) = g(A)(mA (A)(v)) = 0 , azt mutatja, hogy f (A)p(A)(v) ker q(A) és g(A)q(A)(v) ker p(A) , a v vektor (6.1) egyenloség szerinti vektorok összegére való felbontása éppen a kívánt eloállítás. Ezzel a tétel bizonyítása teljes. 2 Érdemes megvizsgálni az A transzformáció mátrixát V egy olyan bázisában, amely ker p(A) és ker q(A) egyegy bázisának egyesítése. Legyen V = {v1 , . . . , vr } bázisa ker p(A)-nak és W = {w1 , . . . , ws } bázisa ker q(A)-nak. Az A mátrixa a V {v1 , . . . , vr , w1 , . . . , ws } bázisában

A=

A1 0

0 A2

alakú, ahol A1 r × r típusú és A2 s × s típusú mátrixok, és minden más eleme Anak nulla. Tehát ekkor, az A mátrix az A1 és A2 mátrixok direkt összege. Az, hogy az A mátrixa ilyen alakú ebben a bázisban egyszeruen abból adódik, hogy
r

A(vi ) =
j=1

ij vj (i = 1, . . . , r)

és

s

A(wk ) =
=1

k w ( = 1, . . . , s) ,

mert ker p(A) és ker q(A) A-invariáns alterek. A 6.11 tétel általánosíthatósága érdekében megmutatjuk, hogy

6.3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK REDUKÁLÁSA

171

6.12 Állítás Ha mA (t) = p(t)q(t) az A L(V ) minimálpolinomjának relatív prím, normált tényezokre való felbontása, akkor p(t) a minimálpolinomja az A transzformáció ker p(A)-ra való leszukítésének és hasonlóan q(t) a minimálpolinomja az A ker q(A)-ra való leszukítésének.
Bizonyítás.

Ha az A transzformáció ker p(A)-ra való leszukítésének a p(t) fokszámánál alacsonyabb fokú s(t) lenne a minimálpolinomja, akkor az s(t)q(t) polinomnak is gyöke lenne az A transzformáció, holott az s(t)q(t) polinom foka kisebb, mint az mA (t) minimálpolinom foka. Ennek igazolására használjuk ki, hogy a 6.11 tétel szerint minden v V felírható

v = x + y (x ker p(A) , y ker q(A))
összegként. (Lásd a (6.1) egyenletet!) Alkalmazva az s(A)q(A) lineáris transzformációt v -re, kapjuk, hogy

(s(A)q(A)(v) = s(A)q(A)(x) + s(A)q(A)(y) = 0 ,
mert s(A)(x) = 0 miatt az elso tag is és q(A)(y) = 0 miatt a második tag is a zéróvektor. Ez viszont csak úgy lehet igaz minden v V -re, ha s(A)q(A) = 0 . Teljesen hasonló érveléssel kapható, hogy q(t) minimálpolinomja az A transzformáció ker q(A)-ra való leszukítésének, és ezzel a bizonyítás kész. 2 A 6.11 tétel és a 6.12 állítás alapján igaz az alábbi 6.13 Következmény Ha az A L(V ) lineáris transzformáció minimálpolinomja felbontható

mA (t) = p1 (t) · p2 (t) · · · · · pr (t)

páronként relatív prím normált polinomok szorzatára, akkor a V vektortér az A-invariáns ker p1 (A), ker p2 (A), . . . , ker pr (A) altereinek direkt összege.
Ekkor az A mátrixa abban a bázisban, amely az egyes ker pi (A) direkt összeadandók bázisainak egyesítése A1 0 . . . 0 0 A ... 0 2 A= . . . . .. . . . . . .

V = ker p1 (A) ker p2 (A) · · · ker pr (A)

0

0

...

Ar

alakú. Az Ai az A transzformáció ker pi (A)-ra való leszukítésének a mátrixa.

172

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

Mint tudjuk bármely F[t]-beli polinom, tehát egy tetszoleges F test feletti véges dimenziós V vektortér egy A lineáris transzformációjának mA (t) minimálpolinomja is felbontható páronként relatív prím irreducibilis polinomok pozitív egész kitevos hatványainak

mA (t) = (p1 (t))m1 · · · · · (pr (t))mr
szorzatára. A 6.13 következmény biztosítja, hogy akkor a V vektortér is felbomlik V = ker pm1 (A) · · · ker pmr (A) r 1

A-invariáns altereinek direkt összegére. A könnyebb követhetoség érdekében vezessük be a következo jelöléseket: ker pmi (A) = Vi (i = 1, . . . , r) , i
és a pi (A) transzformáció Vi -re való leszukítését jelölje Bi . Tehát Bi a Vi vektortérnek a lineáris transzformációja, éspedig olyan, hogy mi -edik hatványa a zéró transzformáció. Az ilyen lineáris transzformációkat nilpotens transzformációknak nevezzük. Ha B egy nilpotens transzformáció, akkor azt a legkisebb m pozitív egész kitevot, amelyre B m = 0 a B nilpotencia fokának nevezzük, és azt mondjuk, hogy B m-ed-fokban nilpotens. Meg fogjuk mutatni, hogy amennyiben az irreducibilis pi (t) polinom fokszáma ki , akkor a Vi vektortér dimenziója nem kisebb, mint ki · mi . Ezt az állítást fogalmaztuk meg az alábbi tételben. 6.14 Tétel Ha az A L(V ) lineáris transzformáció minimálpolinomja pm (t) , ahol p(t) k -ad-fokú irreducibilis polinom, akkor V dimenziója legalább k · m . tor, hogy p
Bizonyítás.
m-1

Mivel A minimálpolinomja pm (t) , biztosan van olyan v V vek(A)(v) = 0 . Meg fogjuk mutatni, hogy a

v, A(v), . . . , p(A)(v), (p(A)A)(v), . . . , . . .. . . . . . pm-1 (A)(v), (pm-1 (A)A)(v), . . . ,

Ak-1 (v), (p(A)Ak-1 )(v), . . . m-1 k-1 (p (A)A )(v)

vektorrendszer lineárisan független. Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy a
m-1 k-1

ij (pi (A)Aj )(v) = 0
i=0 j=0

(6.2)

lineáris kombinációban van nem-zéró együttható. Legyen ( 0) az a legkisebb index, amelyre van olyan j , hogy j = 0 . Alkalmazva a (6.2) vektor egyenlet mindkét oldalára a pm- -1 (A) transzformációt, azt kapjuk, hogy
m-1 k-1 i=0 j=0 k-1 j=0

pm-

-1

(A)

ij (pi (A)Aj )(v) =

j (pm-1 (A)Aj )(v) = 0 ,

6.3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK REDUKÁLÁSA

173

(mert i < esetén ij = 0, míg i > esetén pm- +i-1 (A) = 0) és van olyan j index, hogy j = 0 . Ez viszont lehetetlen, mert a pm-1 (A)(v) = 0 vektor benne van a p(A) transzformáció magterében és p(t) irreducibilis k -ad-fokú polinom, ennélfogva a

pm-1 (A)(v), A pm-1 (A)(v) , . . . , Ak-1 pm-1 (A)(v)
vektorrendszer lineárisan független, amint azt a 6.4 tétel bizonyítása során láttuk. Az ellentmondás abból az indirekt feltevésbol származott, hogy a (6.2) lineáris kombinációban van nem-nulla ij együttható. Ezzel igazoltuk, hogy V -nek van m · k elemu lineárisan független vektorrendszere, következésképpen dimenziója legalább m · k . Az éppen bebizonyított tételnek van egy érdekes következménye. Azt láttuk, hogy egy n-dimenziós V vektortér minden A L(V ) lineáris transzformációja gyöke valamely legfeljebb n2 fokú polinomnak. Ezt az eredményt lényegesen élesíteni lehet, ami a fokszámot illeti. 6.15 Következmény Ha V n-dimenziós vektortér, akkor bármely A lineáris transzformációjának minimálpolinomja legfeljebb n-ed-fokú. Az A minimálpolinomja felbontható páronként relatív prím irreducibilis polinomok pozitív egész kitevos hatványainak
Bizonyítás.

mA (t) = (p1 (t))m1 · · · · · (pr (t))mr
szorzatára. A V vektortér ennek megfeleloen felbomlik

V = ker(pm1 (A)) · · · ker(pmr (A)) r 1
direkt összegre. Bevezetve a deg pi (t) = ki (i = 1, . . . , r) jelöléseket, az elozo tétel alapján azt kapjuk, hogy

deg mA (t) = m1 · k1 + · · · + mr · kr dim ker(pm1 (A)) + · · · + dim ker(pmr (A)) = dim V = n . r 1
Ez ideig nem mutattunk arra példát, hogy egy lineáris transzformáció minimálpolinomját hogyan határozhatjuk meg. Most, hogy már tudjuk, hogy egy n-dimenziós V vektortér minimálpolinomja legfeljebb n-ed-fokú lehet, kevesebb számolással járó feladat példát adni egy transzformáció minimálpolinomjának meghatározása. 6.2 Példa Tekintsük a 3-dimenziós valós V vektortér azon A lineáris transzformációját, amely a tér egy V = {v1 , v2 , v3 } bázisának vektorait rendre az A(v1 ) = v1 + v2 + v3 , A(v2 ) = v1 + v2 és A(v3 ) = v1 vektorokba viszi. Határozzuk meg az A minimálpolinomját!

174
Megoldás.

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

A megoldás lényege az, hogy az A leheto legkisebb kitevos hatványát kell megtalálnunk, amely kifejezheto az alacsonyabb kitevoju hatványok lineáris kombinációjaként. Kihasználva, hogy L(V ) izomorf a 3 × 3 típusú mátrixok terével, a számításokat végezhetjük az A hatványainak a V bázisra vonatkozó mátrixaival. Ezek 1 0 0 1 1 1 A0 = 0 1 0 A = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 3 2 1 6 5 3 A2 = 2 2 1 A3 = 5 4 2 1 1 1 3 2 1

Annak érdekében, hogy használhassuk az elemi bázistranszformációs technikát, a mátrixok terében rögzítjük az M3×3 = {Eij (i, j = 1, 2, 3)} bázist, ahol Eij az a 3 × 3-as mátrix, amelynek i-edik sorának j -edik eleme 1, minden más eleme pedig nulla és a fenti mátrixok e bázisra vonatkozó koordináta vektoraival számolunk, amelyek egyszeruen a mátrixok elemeinek oszlopba rendezésével kaphatók.

E11 E12 E13 E21 E22 E23 E31 E32 E33

A0 A A 2 1 1 3 0 1 2 0 1 1 0 1 2 1 1 2 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1

A3 6 E11 5 E12 3 E13 5 E21 4 E22 2 E23 3 E31 2 E32 1 A0

A A2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 A3 0 0 0 0 0 2 1 0 -1

A3 5 5 3 5 3 2 3 2 1

E11 E12 E13 E21 E22 E23 A E32 A0

A2 A3 1 2 E11 1 2 E12 0 0 E13 1 2 E21 0 0 E22 A2 1 2 A 1 3 E32 1 2 A0 1 1

Az utolsó táblázatból kiolvasható, hogy A3 = 2A2 + A - A0 , vagy átrendezés után A3 - 2A2 - A + A0 = 0 , amibol kapjuk, hogy a minimálpolinom mA (t) = t3 - 2t2 - t + 1 . 2

6.3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK REDUKÁLÁSA

175

Amint a példából is kiderül, sajnos a módszer hátránya, hogy viszonylag kicsi dimenziójú vektorterek esetén is igen nagyméretu, a dimenzióval négyzetesen növekvo komponensu vektorokkal kell dolgoznunk, ami még számítógép alkalmazása mellett is kényelmetlenné válhat, minthogy általában a tömbök mérete korlátozott. Az alábbiakban néhány nagyon egyszeru állításra támaszkodva bemutatunk egy másik lehetséges módszert a minimálpolinom meghatározására, ami nem feltétlen jár ugyan kevesebb számolással, de a dimenzióval egyenlo komponensu vektorokkal dolgozhatunk. A módszert alátámasztó állítások a következok: 6.16 Állítás Legyen V az F test feletti vektortér és A lineáris transzformációja. Tetszoleges nem-zéró v V vektorra legyen pv (t) F[t] az a minimális fokszámú normált polinom, amelyre pv (A)(v) = 0 . Akkor pv (t) osztója az A mA (t) minimálpolinomjának.
Bizonyítás.

Maradékos osztást végezve, azt kapjuk, hogy és

mA (t) = q(t)pv (t) + r(t)
Az egyenletbe A-t helyettesítve

0 deg r(t) < deg pv (t) .

mA (A) = q(A)pv (A) + r(A)
adódik az A megfelelo polinomjaira. Alkalmazva az mA (A) transzformációt a v vektorra, azt kapjuk, hogy

0 = mA (A)(v) = q(A)pv (A)(v) + r(A)(v) = r(A)(v) ,
ami a pv (t) polinom fokszámára tett kikötésünk szerint csak akkor teljesülhet, ha r(t) 0 , és ezzel igazoltuk az állítást. 2 6.17 Tétel Legyen az F test feletti V vektortér egy bázisa V = {v1 , . . . , vn } és A L(V ). Minden vi V bázisvektorhoz legyen pi (t) F[t] az a minimális fokszámú normált polinom, amelyre pi (A)(vi ) = 0 . Akkor az A mA (t) minimálpolinomja a p1 (t), . . . , pn (t) polinomok normált legkisebb közös többszöröse.
Bizonyítás. Jelölje k(t) a pi (t) (i = 1 . . . , n) polinomok normált legkisebb közös többszörösét, és legyen v V tetszoleges vektor. Akkor

v = 1 v1 + · · · + n vn ,
és

k(A)(v) = 1 k(A)(v1 ) + · · · + n k(A)(vn ) = 0 ,
mert minden i(= 1, . . . , n)-re

k(t) = qi (t)pi (t) ,

176 és így

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

k(A)(vi ) = qi (A)pi (A)(vi ) = 0 .

Tehát A gyöke a k(t) polinomnak. Mivel mindegyik pi (t) osztója mA (t)-nek, k(t) is osztója mA (t)-nek a legkisebb közös többszörös deníciója értelmében. Másrészt a minimálpolinom minden olyan polinomnak osztója, amelynek A gyöke, ezért mA (t) | k(t) is fennáll. Így, minthogy mindkét polinom normált, k(t) = mA (t) , amint állítottuk. 2 A 6.17 tétel alkalmazását illusztrálandó, bemutatunk egy példát minimálpolinom meghatározásra. 6.3 Példa Legyen V 3-dimenziós valós vektortér és az V = {v1 , v2 , v3 } bázisának vektorait vigye az A lineáris transzformáció az A(v1 ) = v1 + 2v2 , A(v2 ) = v1 - v2 és A(v3 ) = -v1 + v3 vektorokba. Határozzuk meg az A minimálpolinomját! Eloször meghatározzuk a v1 vektort a nullvektorba képezo minimális fokszámú polinomját A-nak. Mivel

A2 (v1 ) = A(v1 ) + 2A(v2 ) = v1 + 2v2 + 2(v1 - v2 ) = 3v1 ,
azonnal kapjuk, hogy

p1 (t) = t2 - 3 .

Tekintve, hogy a V bázisban A, A2 , illetve p1 (A) = A2 - 3I mátrixai 1 1 -1 3 0 -2 A = 2 -1 0 A2 = 0 3 -2 0 0 1 0 0 1 és

0 0 -2 A2 - 3E = 0 0 -2 0 0 -2



azonnal látható, hogy p2 (t) = p1 (t), de p1 (A)(v3 ) = 0 . Az is kiolvasható, hogy A2 (v3 ) = -2v1 - 2v2 + v3 . Az utóbbi felhasználásával azonnal kapjuk, hogy

A3 (v3 ) = -2A(v1 ) - 2A(v2 ) + A(v3 ) = -2(v1 + 2v2 ) - 2(v1 - v2 ) + (-v1 + v3 ) = -5v1 - 2v2 + v3 .
a V bázisra vonatkozó koordináta vektorokkal dolgozva határozzuk meg a p3 (t) polinomot. Nem szabad elfeledjük, hogy a v3 vektort a bázisban kell hagyjuk az elemi bázistranszformációknál!

Av3 v1 v2 v3 -1 0 1

A2 v 3 -2
-2 1

A3 v 3 -5 -2 1 v1 A (v3 ) v3
2

Av3
-1 0 1

A3 v3 A(v3 ) -3 A2 (v3 ) 1 v3 0

A3 v3 3 1 -3

6.4. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KANONIKUS ALAKJAI

177

Az utolsó táblázatból kiolvasható, hogy A3 (v3 ) = A2 (v3 ) + 3A(v3 ) - 3v3 , amit átrendezve, azt kapjuk, hogy A3 (v3 ) - A2 (v3 ) - 3A(v3 ) + 3v3 , tehát

p3 (t) = t3 - t2 - 3t + 3 = (t2 - 3)(t - 1) .
Most könnyen megállapíthatjuk, hogy p3 (t) a három polinom legkisebb közös többszöröse, és így az A transzformáció minimálpolinomja. 6.2 Megjegyzés Fel kell hívjuk az olvasó gyelmét arra, hogy ha valamely bázisvektort a lineáris transzformációnak csak a tér dimenziójával egyenlo fokszámú polinomja képezi a nullvektorba, akkor az biztosan a transzformáció minimálpolinomja, hiszen annak foka nem nagyobb a tér dimenziójánál, így nincs szükség a további bázisvektorokat a nullvektorba képezo transzformáció polinomok meghatározására. Például, ha az elozo példában eloször a v3 vektor polinomját határoztuk volna meg, azonnal megkaptuk volna a transzformáció minimálpolinomját.

6.4. Lineáris transzformációk kanonikus alakjai
Ebben a részben algebrailag zárt testek feletti vektorterek lineáris transzformációinak speciális alakjait vizsgáljuk. A speciális alak a lineáris transzformációk mátrixára vonatkozik, azaz olyan bázisok létezését igazoljuk, amelyben a lineáris transzformáció mátrixa speciális alakú.

6.4.1. Háromszög alak
Azt fogjuk igazolni, hogy minden algebrailag zárt test feletti V vektortér A L(V ) lineáris transzformációjához található olyan bázisa a térnek, amelyben A mátrixa háromszög alakú, azaz a mátrix fodiagonálisa alatti minden elem nulla. A következo tétel biztosítja az állítást 6.18 Tétel Ha A az n-dimenziós V vektortér egy lineáris transzformációja, akkor vannak olyan M0 , M1 , . . . , Mn A-invariáns alterei V -nek, hogy (1) dim Mi = i, (i = 0, 1, . . . , n), (2) {0} = M0 M1 . . . Mn-1 Mn = V .
Bizonyítás.

V dimenziója szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk a tételt. Ha V dimenziója 0, vagy 1, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz. Tegyük fel, hogy n-1dimenziós vektortér esetén az állítás igaz, és legyen most dim V = n. Mivel V algebrailag zárt test feletti vektortér, így duálisa is. Ezért az A transzponáltjának minimálpolinomja elsofokú tehát irreducibilis polinomok szorzata. Ezért a 6.4 tétel szerint van V -nek 1-dimenziós A - invariáns M altere. Az M annullátora a 2.47 tétel szerint V -nek n - 1-dimenziós altere. Legyen Mn-1 = M . Ekkor Mn-1 A-invariáns altér a 6.8 állítás (b) pontja szerint, ezért A-t Mn-1

178

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

lineáris transzformációjának tekinthetjük és az indukciós feltevés szerint Mn-1 nek vannak olyan A-invariáns M0 , M1 , . . . , Mn-2 alterei, amelyekre (i) dim Mi = i (i = 0, 1, . . . , n - 2), és (ii) M0 M1 . . . Mn-2 Mn-1 . Az Mn = V altérrel kiegészítve a fenti alterek rendszerét az (1) és (2) feltételeknek eleget tevo A-invariáns alterek sorozatához jutunk. Építsük fel V egy bázisát a következoképpen: Legyen x1 az M1 altér bázisa, majd kihasználva, hogy M1 M2 vegyünk egy olyan x2 M2 vektort, hogy {x1 , x2 } bázisa legyen M2 -nek, majd olyan x3 M3 vektort, hogy {x1 , x2 , x3 } bázisa legyen M3 -nak és így tovább. Így egy olyan V = {x1 , x2 , . . . , xn } vektorrendszert kapunk, amely bázisa V -nek és minden i (1 i n)-re {x1 , . . . , xi } bázisa Mi -nek. Tekintettel arra, hogy minden i-re Mi A-invariáns altér A(xi ) lin({x1 , . . . , xi }). Ezért A mátrixa a V bázisban 11 12 13 . . . 1n 0 22 23 . . . 2n 0 33 . . . 3n AV = 0 . . .

0

0

0

. . . nn

háromszög alakú, a mátrix fodiagonálisa alatt minden elem nulla. Ebbol látható, hogy minden i (1 i n)-re az A - ii I lineáris transzformáció szinguláris, hiszen az Mi alteret az alacsonyabb dimenziójú Mi-1 altérbe képezi, tehát az A sajátértékei éppen a A fodiagonálisában lévo ii skalárok.

6.4.2. Nilpotens transzformációk
Azt láttuk, hogy ha egy A lineáris transzformáció minimálpolinomjának p(t) irreducibilis faktora m-szeres multiplicitású, akkor p(A)-nak a B leszukítése az A-invariáns ker pm (A) altérre m-ed-fokban nilpotens. Ezért célszeru a nilpotens transzformációkat kicsit részletesebben vizsgálni. 6.19 Tétel Legyen B m-ed-fokban nilpotens lineáris transzformációja a W vektortérnek. (1) Ha v olyan vektora W -nek, hogy B m-1 (v) = 0 , akkor a

{B m-1 (v), . . . , B(v), v}

vektorrendszer lineárisan független, (2) van olyan B -invariáns W1 altere W -nek, hogy W = lin(v, B) W1 , és (3) W ezen direkt felbontásában szereplo alterek izomorától eltekintve egyértelmuen meghatározottak.
Bizonyítás.

Az (1) állítás igazolása. Van W -nek olyan v vektora, amelyre B m-1 (v) = 0 , mert különben B nilpotencia foka legfeljebb m - 1 lehetne. Iga-

6.4. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KANONIKUS ALAKJAI

179

zolandó, hogy a {B m-1 (v), . . . , B(v), v} vektorrendszer lineárisan független. Legyen
m-1 i=0

i B i (v) = 0 .
Ha ebben a lineáris kombinációban lenne nem-nulla skalár együttható, és mondjuk j (0 j m - 1) a legkisebb indexu nem-zéró együttható, akkor
m-1

B m-j-1
i=0

i B i (v)

= j B m-1 (v) = 0 ,

ellentmondana a B m-1 (v) = 0 feltételnek. Ezért 0 = 1 = . . . = m-1 = 0 kell teljesüljön, s ez igazolja a {B m-1 (v), . . . , B(v), v} vektorrendszer lineáris függetlenségét. A tétel (2)-es állítását a B nilpotencia foka szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha m = 1 , akkor W tetszoleges nem-zéró vektora játszhatja v szerepét, és azt kiegészítve W bázisává, a kiegészíto vektorrendszer által generált W1 B invariáns altérrel W = lin(v) W1 . Tegyük fel, hogy m - 1-ed-fokban nilpotens transzformációkra az állítás igaz. Az im (B) W -nek B -invariáns altere, amelyre való leszukítése B -nek m-1-ed-fokban nilpotens, ezért az indukciós feltevés szerint, van olyan W0 B -invariáns altér, hogy im (B) = lin(B(v), B) W0 . Fel kell hívjuk az olvasó gyelmét arra, hogy im (B) direkt összegként való eloállításában az elso tagot a képtérbol való lineárisan független {B m-1 (v), . . . , B(v)} vektorrendszer generálja. Legyen W 0 = {w W | B(w) W0 } . Nyilvánvalóan W 0 altere W -nek, hiszen a lineáris kombináció képzésre zárt, és invariáns B -re nézve. Megmutatjuk, hogy lin(v, B) W 0 generálja az egész W vektorteret. Tekintsünk egy tetszoleges x W vektort. Mivel B(x) im (B) , eloállítható
m-1

B(x) =
i=1

i B i (v) + w,

w W0

alakban, amit átalakíthatunk és a
m-2

B(x) = B
i=0

i+1 B i (v)

+w

kifejezést kapjuk. Ebbol, átrendezéssel nyerjük, hogy
m-2

B

x-
i=0

i+1 B i (v)

= w.

Így, W 0 értelmezése alapján, az következik, hogy
m-2

x-
i=0

i+1 B i (v) W 0 ,

180
m-2

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

és mivel i=0 i+1 B i (v) lin(v, B) , ezzel igazoltuk, hogy W tetszoleges x vektora eloállítható egy lin(v, B)-beli és egy W 0 -beli vektor összegeként. Sajnos lin(v, B) W 0 tartalmazhat nem-zéró vektort, ezért nem választhatjuk egyszeruen W 0 -t W1 -nek. Ugyanakkor, ha

x lin(v, B) W0 ,

akkor B(x) lin(B(v), B) W0 ,

amibol következik, hogy B(x) = 0 . Ekkor viszont x csak a B m-1 (v) skalárszorosa lehet és ezért x lin(B(v), B) W0 = {0} is teljesül, tehát x = 0 . Az tehát igaz, hogy lin(v, B) W0 = {0}. Mivel lin(v, B) W 0 és W0 diszjunkt alterei W 0 -nak, W 0 egy bázisát megkaphatjuk úgy, hogy a lin(v, B) W 0 altér valamely V bázisának és W0 egy W bázisának egyesítését további w1 , . . . , w vektorokkal egészítjük ki. Legyen

W1 = lin(W {w1 , . . . , w }) .
Ekkor nyilvánvalóan

W = lin(v, B) W1

teljesül, így csupán az szorul még bizonyításra, hogy W1 is invariáns B -re nézve. Ez abból következik, hogy mivel W0 W1 W 0 , a W1 -beli vektorokat a B transzformáció W0 -ba képezi, ami az indukciós feltevés szerint B -invariáns altér. (3) Nem nehéz belátni azt sem, hogy ha v W egy másik olyan vektor, hogy ~ lin(~, B) is m-dimenziós, akkor W = lin(~, B) W1 direkt összegre bontásában v v szereplo B -invariáns W1 altér izomorf W1 -gyel. Ez egyszeruen abból a ténybol adódik, hogy lin(v, B) és lin(~, B) dimenziója egyenlo, nevezetesen m és így v dim W1 és dim W1 dimenziója is egyenlo, márpedig azonos test feletti egyenlo dimenziójú vektorterek izomorfak. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Ha az elozo tételben igazolt felbontást tovább folytatjuk, most már a W1 vektorteret amelyre való leszukítése B -nek nyilván m1 ( m)-ed-fokban nilpotens eloállítjuk W1 = lin(v1 , B)W2 direkt összegként, majd W2 -t bontjuk hasonlóan tovább, aztán W3 -t és így tovább. Véges lépésben el kell jussunk egy Wr B -invariáns altérhez, amely már lin(vr , B) alakú. Ezt fogalmaztuk meg az alábbi tételben. 6.20 Tétel (1) Ha B m-ed-fokban nilpotens lineáris transzformációja a véges dimenziós W vektortérnek, akkor vannak olyan (m )m1 . . . mr pozitív egész számok és v0 , v1 , . . . , vr W vektorok, hogy a

B m-1 (v0 ), . . . , B(v0 ), v0 B m1 -1 (v1 ), . . . , B(v1 ), v1 . . .. . . . . . mr -1 B (vr ), . . . , B(vr ), vr

6.4. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KANONIKUS ALAKJAI

181

vektorrendszer W -nek bázisa és
W = lin(v0 , B) lin(v1 , B) · · · lin(vr , B) .
(2) Az (m )m1 . . . mr pozitív egész számok sorrendtol eltekintve egyértelmuen meghatározottak a W vektortérre és a B nilpotens transzformációra jellemzok. Figyelemre méltó a B mátrixa a fenti tételben adott bázisban. A B mátrix majdnem minden eleme nulla, csak közvetlenül a fodiagonális felett vannak rendre m - 1, m1 - 1, . . . , mr - 1 1-esekbol álló láncok, és mindegyik ilyen láncot egy 0 követ.

6.4.3. A Jordan-féle kanonikus alak
Ha a V vektortér F operátortartománya algebrailag zárt test, akkor mivel minden F[t]-beli polinom elsofokú irreducibilis polinomok pozitív egész kitevos hatványainak szorzata bármely A L(V ) lineáris transzformáció minimálpolinomja mA (t) = (t - 1 )m1 · · · · · (t - r )mr alakú, ahol 1 , . . . , r F . Ekkor az 6.13 következmény szerint

V = ker ((A - 1 I)m1 ) · · · ker ((A - r I)mr )
a vektortér megfelelo direkt összegre való felbontása. Az A - i I transzformációnak a Wi = ker((A - i I)mi ) altérre való leszukítése mi -ed-fokban nilpotens. A 6.20 tétel értelmében minden i(= 1, . . . , r)-re, léteznek olyan (mi0 )mi1 . . . mis pozitív egész számok és vi0 , vi1 , . . . , vis Wi vektorok, hogy a

(A - i I)mi0 -1 (vi0 ), . . . , (A - i I)mi1 -1 (vi1 ), . . . , . . . mis -1 (A - i I) (vis ), . . . ,
vektorrendszer Wi -nek bázisa és

(A - i I)(vi0 ), vi0 (A - i I)(vi1 ), vi1 . .. . . . (A - i I)(vis ), vis

Wi = lin(vi0 , (A - i I)) lin(vi1 , (A - i I)) · · · lin(vis , (A - i I)) .
Vegyük észre, hogy most a lin(vij , (A - i I)) (j = 0, . . . , s) alterek invariánsak nemcsak A - i I -re, de A-ra nézve is. Az A transzformáció Wi -re való leszukítésének Ai mátrixa a fenti bázisban különösen érdekes. Mivel minden j(= 0, . . . , s)-re

A((A - i I)k )(vij ) = = ((A - i I)k+1 )(vij ) + i ((A - i I)k (vij ) ha 0 k < mij - 1, i ((A - i I)k (vij ) ha k = mij - 1

182

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

6.3 Megjegyzés Érdemes felgyelni, arra a tényre, hogy az

(A - i I)mi0 -1 (vi0 ), (A - i I)mi1 -1 (vi1 ), . . . , (A - i I)mis -1 (vis )

vektorok az A lineáris transzformáció i sajátértékéhez tartozó ker(A - i I) sajátaltér bázisát alkotják.
Így az Ai mátrix fodiagonálisában mindenütt a i skalár található, közvetlenül felette pedig mi0 - 1, mi1 - 1, . . . , mis - 1 hosszúságú egyesekbol álló láncok melyeket egyegy 0 választja el egymástól, és a mátrix minden más eleme nulla. Tehát i 1 0 ··· 0 0 0 ··· ··· 0 0 0 ··· ··· 0 0 i 1 · · · 0 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 . .. . . . .. . . . .. . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · i 1 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 0 0 ··· 0 i 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 i 1 0 ··· 0 0 0 ··· ··· 0 0 0 · · · · · · 0 0 i 1 · · · 0 0 0 · · · · · · 0 . . .. . . . .. . . . .. . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ai = . . .. . . . .. . . . .. . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · i 1 0 0 · · · · · · 0 0 0 ··· ··· 0 0 0 ··· 0 i 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 i 1 0 ··· 0 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 0 i 1 · · · 0 . . .. . . . .. . . . .. . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · i 1

0

0

···

···

0

0

0

···

···

0

0

0

···

0

i

Véve a V vektortér azon bázisát amely minden (i = 1, . . . , r)-re a Wi alterek fentiekben leírt bázisainak egyesítése, abban az A transzformáció A mátrixa az Ai (i = 1, . . . , r) mátrixok direkt összege, tehát olyan mátrix, amelynek fodiagonálisában a 1 , . . . , r skalárok állnak, a i pontosan dim ker((A - i I)mi ) = mi0 + mi1 + · · · + mis -szer, a fodiagonális felett elhelyezkedo elemek pedig egyesekbol álló láncok, melyeket egyegy zéró választ el egymástól, és a mátrix minden más eleme nulla. Ez az A lineáris transzformáció mátrixának Jordanféle kanonikus alakja. Hangsúlyoznunk kell, hogy a 6.19 tétel (3)-as állítása biztosítja, hogy egy lineáris transzformáció Jordanféle kanonikus alakú mátrixa kizárólag a transzformációtól függ. Erre azért kell felhívjuk az olvasó gyelmét, mert numerikus meghatározásakor a transzformáció mátrixát használjuk mind a minimálpolinom megkeresésére, mind a vektortér direkt összegre bontásához, és mint tudjuk a transzformáció mátrixa attól függ, hogy a tér mely bázisára vonatkozik. Azonban bármely két mátrixa egy lineáris transzformációnak hasonló és hasonló

6.4. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK KANONIKUS ALAKJAI

183

mátrixok minimálpolinomjai egyenlok, továbbá hasonló együttható-mátrixú homogén lineáris egyenletrendszerek megoldásterei izomorfak. 6.4 Példa Határozzuk meg a 3-dimenziós komplex W vektortér A lineáris transzformációjának Jordanféle kanonikus alakú mátrixát, ha a W = {w1 , w2 , w3 } bázisban a mátrixa 0 -3 -2 1 AW = 1 -1 -1 3 1
Megoldás.

Eloször A minimálpolinomját keressük meg. A w1 vektort 0-ba képezo minimális fokszámú normált polinomja A-nak: p1 (A) = A2 + 2A + I. Hasonlóan w2 -t a a p2 (A) = A2 - A - 2I, míg a w3 -at a p3 (A) = A3 - 3A - 2I transzformáció képezi 0- ba. Innen azt kapjuk, hogy A minimálpolinomja, azaz p1 (t) = (t + 1)2 , p2 (t) = (t + 1)(t - 2) és p3 (t) = (t + 1)2 (t - 2) legkisebb közös többszöröse: mA (t) = (t + 1)2 (t - 2). Ennek megfeleloen W = ker (A + I)2 ker(A - 2I). Az A + I transzformáció W1 = ker (A + I)2 -re való leszukítése most 2-od-fokban nilpotens. Megoldva az (A + I) · x = 0 homogén lineáris egyenletrendszert, megadjuk az 1 sajátértékhez tartozó egyik sajátvektort: -1 s1 = -1 , 1

majd keresünk olyan v vektort, amelyet az A + I transzformáció éppen s1 re képez. Ez megoldása lesz az (A + I) · x = s1 egyenletrendszernek. Az egyenletrendszer általános megoldása: 1 -1 -1 xW = 2 = 0 + -1 · , C. 3 0 1 A bázismegoldást választva, v = -w1 . Az {s1 = (A + I)(v), v} vektorrendszer bázisa W1 = ker (A + I)2 -nek. Ugyancsak megoldva az (A - 2I) · x = 0 homogén lineáris egyenletrendszert, azt kapjuk, hogy

ker(A - 2I) = {x | x = (-w1 + w3 ), C} 1-dimenziós és a -w1 + w3 vektor a 2 sajátértékhez tartozó sajátvektor generálja. A J = {(A + I)(v), v, -w1 + w3 } vektorrendszer tehát bázisa W -nek és mivel (A(A + I))(v) = (A + I)2 (v) - (I(A + I))(v) = -(A + I)(v), A(v) = (A + I)(v) - v,

184 illetve

6. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK INVARIÁNS ALTEREI

A(-w1 + w3 ) = 2(-w1 + w3 ), -1 1 0 = 0 -1 0 . 0 0 2

az A mátrixa a J bázisban

AJ

Mivel (A + I)(v) = s1 = -w1 - w2 + w3 és v = -w1 , ezért a W bázist a J bázisba vivo B lineáris transzformációra -1 -1 -1 0 , BW = -1 0 1 0 1 így a Jordanféle kanonikus alakú mátrix megkapható AW -bol BW -vel való konjugálással is, azaz AJ = B-1 AW BW . W Az elozoekben bemutatott konstrukcióból azt is kiolvashatjuk, hogy egy A transzformáció Jordanféle kanonikus alakú mátrixa pontosan akkor diagonális mátrix, ha minden i(= 1, . . . , r)-re mi0 = 1, vagyis ha az A transzformáció minimálpolinomjának minden gyöke egyszeres multiplicitású. Ekkor a (t - i ) gyöktényezohöz tartozó ker(A - i I) direkt összeadandó az 1-dimenziós lin(vi0 , A - i I) = lin(vi0 ), . . . , lin(vis , A - i I) = lin(vis )

A-invariáns alterek direkt összege. Ez az eredmény karakterizálja a diagonalizálható transzformációkat, ezért fontosságára való tekintettel az alábbi tételben rögzítjük:
6.21 Tétel Legyen V az F test feletti vektortér és A L(V ). Az A lineáris transzformáció diagonalizálhatóságának szükséges és elegendo feltétele, hogy A minimálpolinomja felbontható legyen különbözo F[t]-beli elsofokú polinomok szorzatára. 6.4 Megjegyzés A Jordan-féle kanonikus alak létezéséhez fel kellett tennünk, hogy a vektortér operátortartománya algebrailag zárt test. Erre azonban csak azért volt szükség, hogy a vektortér bármelyik lineáris transzformációjának minimálpolinomja elsofokú irreducibilis polinomok hatványainak szorzata legyen!



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

18 2008_12_17 aldous huxley alkotmányjog állattan apoptózis b1 bácsó sándor barokk bibó bodlaki tamás bűnperek civilizáció dm építésszervezés i. esszék függvényelemzés füst gén hónolás hull írásművelés kaffka kereskedelem keringés konfiguraciokonformacio. környezet és társadalom közigazgatás alapintézményei lm görbe mágia magyar barok matek 1 mazzag éva mintavizsga modern monopólium növényrendszertan numerikus pénzügyek prax szentmiklóssy szív szótár tájékoztató termelésmenedzsment üzleti terv vállalkozási ismeretek vegyes szakjog vízlágyítás vörösmarty