lineáris transzformáció

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGépészmérnöki és Informatikai KarProgramtervező informatikusDiszkrét MatematikaJegyzeteklineáris transzformáció

13. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK

13.1 Lineáris leképezés és mátrixa

R esetén

Definíció.

A : Rn Rn leképezést lineáris leképezés nek nevezzük, ha bármely x, y Rn és bármely

(x + y) = (x) + (y) (x) = (x)

(azaz additív), (azaz homogén).

Használjuk a lineáris operátor, és a lineáris transzformáció elnevezéseket is. Hogyan lehet megadni egy lineáris leképezést? Legyen b1 , . . . , bn az Rn egy bázisa, akkor tetszoleges x Rn -t véve, az y = (x) Rn eloállíthatók
n

y

= y 1 b1 + · · · + y k bn =
i=1 n

y i bi

x = x1 b1 + · · · + xn bn =
j=1

xj bj

alakban, így linearitása miatt
n

yi bi = y = (x) =

n

xj bj =

n

n

n

n



n

aij xj bi

(1)
i=1

xj (bj ) =
j=1 j=1

xj
i=1

aij bi =
i=1

j=1

j=1

ahol felhasználtuk azt, hogy minden j = 1, . . . , n-re (bj ) a b1 , . . . , bn báziselemek lineáris kombinációja, azaz
n

(bj ) =
i=1

aij bi .

Összehasonlítva a bi vektorok együtthatóit (1)-ben kapjuk, hogy
n

(2)

yi =
j=1

aij xj

(i = 1, . . . , n).

Az x, (x) = y Rn vektorokat oszlopvektorként kezelve, az x1 y1 a11 . . . x = . , A := . y = . , . . . xn yn an1 jelölésekkel a (2) összefüggést

... . . . ...

a1n . . . ann

y = A x alakba írhatjuk, ahol a jobboldalon mátrixszorzás áll.

xának nevezzük.

Definíció.

A (2)-vel megadott A = (aij ) (n-edrendu kvadratikus) mátrixot a lineáris leképezés mátri-

(2)-bol látható, hogy az A mátrix j -edik oszlopában a (bj ) képvektornak a b1 , . . . , bn bázisra vonatkozó koordinátái állnak. Világos, hogy az összes : Rn Rn lineáris leképezések és a hozzájuk rendelt A Mn×n mátrixok közötti
n

(3)

A

(A = (aij ), ahol (bj ) =
i=1

aij bi )

leképezés bijektív, minden lineáris leképezéshez egyetlen n-edrendu A mátrix tartozik, és minden ilyen mátrix egyetlen lineáris leképezést határoz meg. Sot, ez a bijektív leképezés megorzi a mátrixmuveleteket is.
1

2

Ha , : Rn Rn lineáris leképezések, úgy összegüket, számszorosukat és kompoziciójukat az alábbi módon értelmezzük: ( + )(x) := (x) + (x) (x Rn ), ()(x) := (x) ( R, x Rn ), ( )(x) := ((x)) (x Rn ).
Tétel.

[a (3) leképezés tulajdonságai] Tetszoleges , : Rn Rn lineáris leképezések esetén

A+ A A

= A + A = A = A A

a (3) leképezés megtartja az összeadást, a (3) leképezés megtartja az számmal való szorzást, a (3) leképezés a kompoziciót szorzatba viszi át.

Továbbá : Rn Rn akkor és csakis akkor bijektív, ha A invertálható. Bizonyítás. A megfelelo tulajdonságok ellenorzése.
Hogyan változik egy lineáris leképezés mátrixa egy új bázisra való áttéréskor?
Tétel.

Legyen b1 , . . . , bn és b1 , . . . , bn az Rn tér két bázisa, és
A = (aij ),
ahol ahol
n

(bj ) =
i=1 n

aij bi

A = (aij ),

(bj ) =

i=1

aij bi

a : Rn Rn lineáris leképezés mátrixai. Akkor van olyan S = (sij ) Mn×n invertálható mátrix, hogy
(4)

A = S -1 A S.

Bizonyítás. Mivel b1 , . . . , bn bázis így
n

(5)

bj =
i=1

sij bi

(j = 1, . . . , n)

alkalmas sij (i, j = 1, . . . , n) együtthatókkal. A bi vektorok is egyértelmuen kombinálhatók a b1 , . . . , bn báziselemekbol, így a (5) lineáris egyenletrendszer egyértelmuen megoldható bi -kre, ezért a Cramer szabály miatt az S := (sij ) mátrix determinánsa nem nulla, S invertálható. (Vigyázat, most (5)-ben bi , bj vektorok, de a Cramer szabály most is alkalmazható!)

linearitása és (5) miatt
n n n n n

(bj ) =
i=1

sij (bi ) =
i=1

sij
k=1

aki bk

=
k=1 i=1

aki sij

bk ,

másrészt aij denícióját és (5)-öt használva
n n n n n

(bj ) =
i=1

aij bi =
i=1

aij
k=1

ski bk

=
k=1 i=1

ski aij

bk .

Összehasonlítva bk együtthatóit a két kifejezésben kapjuk, hogy
n n

aki sij =
i=1 i=1

ski aij

(j, k = 1, . . . , n)

amit A S = SA vagy

A = S -1 A S
amint állítottuk.

3
13.2 Sajátértékek és sajátvektorok

Definíció. Legyen A egy n × n-es mátrix. A R számot A sajátértékének nevezzük, ha van olyan nullától különbözo x Rn vektor, melyre

(6)

Ax = x

teljesül. Az x vektort A ( sajátértékhez tartozó) sajátvektorának nevezzük. Megjegyezzük, hogy a denícióban az x = 0 megszorítás azért kell, mert 0 = A0 = 0 minden R mellett teljesül. A (6) egyenletet az A mátrix sajátérték-egyenletének nevezzük. Írjuk át a sajátérték-egyenletet (7)

(A - E)x = 0

alakba, ahol E az n × n-es egységmátrix. Egy lineáris homogén egyenletrendszert kaptunk, melynek az x sajátvektor nemtriviális megoldása. Ilyen nemtriviális megoldás pontosan akkor van, ha a rendszer együttható mátrixának determinánsa zérus, azaz, ha (8)

|A - E| = 0.

A (8) egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének (vagy sajátérték-egyenletének) nevezzük. Az |A-E| determinánst kifejtve egy -ben n-edfokú polinomot kapunk. Ennek zérushelyei (azaz a (8) egyenlet megoldásai) adják A sajátértékeit. A sajátértékhez tartozó sajátvektorok az (7) lineáris homogén rendszer nemtriviális megoldásai.
Példák.

0 0 6 A = 1/2 0 0 0 1/3 0 mátrix valós sajátértékeit és a megfelelo sajátvektorokat.
2. Határozzuk meg egy tetszoleges diagonális mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

1. Határozzuk meg az



13.3 Mátrixok diagonalizációja

Definíció. Egy n × n-es A mátrixot diagonalizálható nak nevezünk, ha van olyan invertálható n × n-es S mátrix és egy D diagonális mátrix, melyekre S -1 AS = D teljesül.

Diagonális mátrixokra használni fogjuk a

D = diag(1 , . . . n ) :=

1 0 . . . 0

0 2 . . . 0

... ... .. . ...

0 0 . . . n



jelölést is. A diagonalizálás elonye az, hogy ekkor (az elozo egyenloséget balról S -vel majd jobbról S -1 -gyel szorozva kapjuk, hogy) A = SDS -1 . Innen A2 = (SDS -1 )(SDS -1 ) = SD(S -1 S)DS -1 = SDDS -1 = SD2 S -1 és hasonlóan folytatva, indukcióval kapjuk, hogy

Ak = SDk S -1

(k N)

4

sot, ha p() =

m k=1

ak k egy polinom, akkor
m m m

p(A) =
k=1

ak Ak =
k=1

ak SDk S -1 = S
k=1

ak Dk

S -1 = Sp(D)S -1 .

Ha D = diag(1 , . . . n ), akkor

p(D) = diag(p(1 ), . . . p(n ))
azaz csak a diagonálisban változik a mátrix. Ennek segítségével a p(A) mátrix is viszonylag egyszeruen meghatározható.
Tétel.

Ha A, S n × n-es mátrixok, S invertálható, akkor az A és S -1 AS mátrixok sajátértékei megegyeznek.

Bizonyítás. A két mátrix karakterisztikus polinomjai megegyeznek, ugyanis
|S -1 AS - E| = |S -1 AS - S -1 (E)S| = |S -1 (A - E)S| = |S -1 ||A - E||S| = |A - E|.

Tétel.[a diagonalizálhatóság kritériuma] Egy n × n-es A mátrix akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha van n lineárisan független sajátvektora, x1 , . . . , xn . Ekkor

S -1 AS = diag(1 , . . . n ) =

1 0 . . . 0

0 2 . . . 0

... ... .. . ...

0 0 . . . n



ahol az S mátrix oszlopvektorai rendre x1 , . . . , xn , a 1 , . . . , n számok pedig a hozzájuk tartozó sajátértékek. Bizonyítás. Ld. Sydsæter Hammond: Matematika közgazdászoknak, 455-456. Nem minden mátrix diagonalizálható! Nincs a diagonalizálhatóságra könnyen ellenorizheto szükséges és elegendo feltétel. Ha az n × n-es A mátrixnak n különbözo sajátértéke van, akkor A diagonalizálható. Ez elegendo, de nem szükséges feltétel.
13.4 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok

Definíció.

Egy n × n-es A mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha A = A, ortogonális nak nevezünk, ha

A A = E.
Egy mátrix akkor és csakis akkor szimmetrikus, ha elemei a foátlóra nézve szimmetrikusak. Egy mátrix akkor és csakis akkor ortogonális, ha bármelyik sor(oszlop)vektorának önmagával való belso szorzata 1 minden más sor(oszlop)vektorával való belso szorzata pedig 0. Ortogonális ,mátrix invertálható, és inverze a mátrix transzponáltja. Ugyanis A A = E -ból transzponálással

A A=E=E
ami mutatja, hogy

= (A A) = A (A ) = A A A-1 = A .

Definíció.

Két (Rn -beli) vektort akkor mondunk ortogonális nak, ha belso szorzatuk zérus.

Azaz x, y Rn ortogonálisak pontosan akkor, ha x, y = 0. Így azt is mondhatjuk, hogy egy mátrix akkor és csakis akkor ortogonális, ha sor(oszlop)vektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak.

5
Definíció.

egységvektorok.

Az Rn tér egy bázisát ortonormált bázis nak nevezzük, ha vektorai páronként ortogonális

Azaz a b1 , . . . , bn bázis akkor és csakis akkor ortonormált ha

bi , b j =
Tétel.

1 ha i = j, 0 ha i = j,

(i, j = 1, . . . , n).

Ha b1 , . . . , bn és b1 , . . . , bn az Rn tér két ortonormált bázisa, : Rn Rn egy lineáris leképezésés A = (aij ), A = (aij ) e leképezés mátrixai a megfelelo bázisokra nézve, akkor a
A = S -1 A S

transzformációs képletben szereplo S mátrix ortogonális. Bizonyítás. Mivel bj =
n

sij bi
i=1 n

(j = 1, . . . , n), így
n n n n

bi , b j =
k=1

ski bk ,
l=1

slj bl =
k=1 l=1

ski slj bk , bl =
k=1

ski skj .

Itt

bi , b j

= E egységmátrix, ezért eredményünk E=S S

alakba is írható, ami mutatja, hogy S ortogonális.

akkor

Tétel.[szimmetrikus

mátrixok sajátértékei és sajátvektorai] Legyen A egy n × n-es szimmetrikus mátrix,

· A sajátértékei mind valós számok, · A különbözo sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak.

Bizonyítás. Az elso állítás igazolása megtalálható pl. Kozma László: Matematikai alapok, 142-143-ban. A második állítás igazolása: eloször igazoljuk, hogy tetszoleges (nem feltétlenül szimmetrikus)A mátrix és x, y Rn (oszlop)vektorok esetén
Ax, y = x, A y
Ugyanis, ha A = (aij ) és

x1 . x = . , . xn
így
n

n





y1 . y = . , . yn





a1j xj
j=1

,

Ay =

n

a1j yj
j=1

,

akkor

Ax =

n j=1

. . .

n j=1

. . .

anj xj

anj yj



n

aij xj yi =

n

n

Ax, y =
i=1

aij xj yi ,
i=1 j=1

j=1

és
n

xi

n

aji yj =

n

n

x, A y =
i=1

aji xi yj .
i=1 j=1

j=1

Megcserélve a második összegben az i és j indexeket, láthatjuk, hogy a fenti két összeg egyenlo. Speciálisan, szimmetrikus A mátrix esetén

Ax, y = x, Ay
Ha most Ax = x, Ay = µy és x, y = 0, = µ, akkor

(x, y Rn ).

Ax, y = x, y = x, y ,

6

és

x, Ay = x, µy = µ x, y ,
amibol

x, y = µ x, y ,
ezért x, y = 0 amint állítottuk.
Tétel.[szimmetrikus

vagy ( - µ) x, y = 0

U -1 AU = diag(1 , . . . n ) ahol 1 , . . . , n az A sajátértékei, az U mátrix i-edik oszlopa pedig a i -hez tartozó sajátértéke (i = 1, . . . , n).

ortogonális U mátrix, amelyre

mátrixok spektráltétele] Legyen A egy n×n-es szimmetrikus mátrix, akkor létezik olyan

Bizonyítás. Ld. Sydsæter Hammond: Matematika közgazdászoknak, 458-459.
13.5 Kvadratikus függvények

Definíció.

Legyen A = (aij ) Mn×n , akkor · a F (x, y) := Ax, y (x, y Rn ) függvényt bilineáris függvény nek nevezzük, · a Q(x) := Ax, x (x Rn ) függvényt kvadratikus függvény nek nevezzük.

. Szokás Ax, y -t bilineáris formának, Ax, x -et kvadratikus formának nevezni. Bilineáris függvény mindkét változójaban lineáris. Korábbi számításunkat felhasználva kapjuk, hogy
n n

Q(x) = Q(x1 , . . . , xn ) =
i=1 j=1

aij xi xj ,

Mivel xi xj = xj xi így felteheto, hogy A szimmetrikus mátrix. Emlékeztetünk arra, hogy a többváltozós szélsoértékszámításban már találkoztunk kvadratikus függvényekkel. Azt mondtuk, hogy · a Q : Rn R kvadratikus függvény pozitív denit, ha Q(x) > 0 minden x Rn , x = 0 esetén, · a Q : Rn R kvadratikus függvény negatív denit, ha Q(x) < 0 minden x Rn , x = 0 esetén, · a Q : Rn R kvadratikus függvény indenit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is. Most azzal foglalkozunk, hogy hogyan lehet eldönteni azt hogy Q : Rn R pozitív, negatív, vagy indenit? Láttuk, hogy A szimmetrikus lévén diagonizálható, azaz

U -1 AU = D = diag(1 , . . . n )
ahol 1 , . . . , n az A sajátértékei, U ortogonális. Innen

A = U DU -1 = U DU
ezért x = U x jelöléssel
n

Q(x) = Ax, x = U DU x, x = DU x, U x = Dx , x =
i=1

i xi2 .

Utóbbi alakot, ahol csak négyzetek szerepelnek, Q kanonikus alakjának nevezzük. Ennek segítségével azonnal belátható a következo Tétel.[kritérium kvadratikus függvény denitségére] A szimmetrikus A = (aij ) Mn×n mátrixszal képezett

Q(x) := Ax, x

(x Rn )

kvadratikus függvény akkor és csakis akkor

7

· pozitív denit, ha A összes sajátértéke pozitív, · negatív denit, ha A összes sajátértéke negatív, · indenit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is.
A sajátértékek kiszámítása nélkül is eldöntheto Q denitsége.
Tétel.[kritérium kvadratikus függvény denitségére] Legyen A = (aij ) Mn×n szimmetrikus mátrix, és legyen k (k = 1, . . . , n) az A mátrix bal felso k × k-s sarokmátrixának determinánsa, azaz

1 = a11 ,

2 =

a11 a21

a12 a22

,

3 =

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

...

n = |A|

(k -katnak mondjuk az A mátrix sarokfominorjai), akkor
Q(x) := Ax, x (x Rn )

kvadratikus függvény akkor és csakis akkor · pozitív denit, ha k > 0 ha k = 1, . . . , n, · negatív denit, ha (-1)k k > 0 ha k = 1, . . . , n.



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

3. előadás alapozás dehumanizáció értekezés a módszerről eu eu logisztika fogalmak fogaskerék fogyasztóvédelem gamf fizika vizsga gépelemek globális logisztika görögország gyakorló feladatok hulladékkezelés igaz józsef java jogfosztás kant keringés kifejtés kiválasztás kollokvium komplex korreláció középkori európa különleges épületszerkezetek malinowski mechanika 2 megoldások meteo munka öko 1 pavic pol.komm rejtett dimenziók reneszánsz segédlet sejttan statisztika i. tengely termelésmenedzsment topográfia toxikológia ttk vállalati pénzügyek vallás vízlágyítás vizsga vizsgazárthelyi