Kalkulus 2 - Lajkó Károly

Országok listájaHungaryDebreceni EgyetemInformatikai KarProgramtervező informatikusKalkulus 2.Kalkulus 2 - Lajkó Károly

´ ´ Lajko Karoly

Kalkulus II.

Debreceni Egyetem ´ ´ Matematikai es Informatikai Intezet 2003

1

´ ´ c Lajko Karoly lajko @ math.klte.hu Amennyiben hib´t tal´l a jegyzetben, k´rj¨k jelezze a szerznek! a a e u o

A jegyzet dvi, pdf ´s ps form´tumban let¨lthet a k¨vetkez c´ ol: e a o o o o imr http://riesz.math.klte.hu/~lajko/jegyzet.html

Ez a jegyzet AMS-TEX-ben k´sz¨lt e u Szed´s ´s t¨rdel´s: Kov´cs L´szl´ e e o e a a o

2

´ TARTALOMJEGYZEK
I. Vektorterek, Euklideszi terek, metrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 1. Vektort´r, euklideszi t´r ´s metrikus t´r fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . 5. e e e e 2. Az Rn euklideszi t´r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. e 3. Rn ´s metrikus t´r topol´gi´ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. e e o a Feladatsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. II. A Riemann-integr´l ´ltal´nos´ asa ´s alkalmaz´sa . . . . . . . . . . 13. a a a it´ e a 1. Korl´tos v´ltoz´s´ f¨ggv´nyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. a a au u e 2. Riemann-Stieltjes integr´l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. a 3. G¨rb´k ´ o e ivhossza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 4. G¨rbementi integr´l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. o a Feladatsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. III. Sorozatok Rn -ben ´s metrikus t´rben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. e e 1. Alapfogalmak ´s kapcsolatuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. e 2. Sorozatok ´s mveletek, illetve rendez´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. e u e 3. R´szsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. e 4. Cauchy-sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. IV. T¨bbv´ltoz´s ´s vektor´rt´k f¨ ggv´nyek o a o e e e u u e folytonoss´ga, hat´r´rt´ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. a a e e 1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 2. Folytonoss´g fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. a 3. Folytonoss´g ´s mveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. a e u 4. Folytonoss´g ´s topologikus fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. a e 5. A hat´r´rt´k fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. ae e 6. Hat´r´rt´k ´s mveletek illetve egyenltlens´gek . . . . . . . . . . . . . . . 35. ae e e u o e 7. A hat´r´rt´k ´s a folytonoss´g kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. ae e e a V. A t¨bbv´ltoz´s f¨ ggv´nyek differenci´lsz´m´ asa . . . . . . . . . . . . 37. o a o u e a a it´

3

1. Tov´bbi line´ris algebrai elismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. a a o 2. A differenci´lhat´s´g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. a oa 3. Ir´nymenti ´s parci´lis deriv´lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. a e a a 4. Differenci´l´si szab´lyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. aa a 5. K¨z´p´rt´kt´telek ´s k¨vetkezm´nyeik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48. o e e e e e o e 6. Magasabbrend deriv´ltak, Young ´s Taylor t´tele . . . . . . . . . . . . . 50. u a e e 7. Lok´lis sz´ls´rt´k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. a e oe e 8. Inverzf¨ggv´ny-t´telek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. u e e 9. Implicit f¨ggv´nyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. u e 10. Felt´teles sz´ls´rt´k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. e e oe e Feladatsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. VI. Riemann-integr´l Rk -ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. a 1. Riemann-integr´l t´gl´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. a e a 2. Riemann-integr´l korl´tos Rn -beli halmazon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. a a 3. Jordan-m´rhet halmazok Rn -ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. e o 4. Integr´ltranszform´ci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79. a a o Feladatsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. VII. Differenci´legyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. a 1. Differenci´legyenlet fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. a 2. Kezdeti ´rt´k probl´ma vagy Cauchy-feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. e e e 3. Elemi uton megoldhat´ differenci´legyenlet-t´ ´ o a ipusok. . . . . . . . . . . . .90. 4. Egzisztencia-t´telek Cauchy-feladatokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. e 5. Magasabbrend line´ris differenci´legyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . 102. u a a Feladatsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.

4

I. VEKTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK
1. Vektort´r, euklideszi t´r ´s metrikus t´r fogalma e e e e
1. Defin´ o. Legyen adott egy V halmaz (elemeit vektoroknak nevezz¨k). ici´ u Tegy¨k fel, hogy ´rtelmezve van k´t mvelet: u e e u ­ a vektorok ¨sszead´sa, melyet x, y V -re x + y , o a ­ a skal´rral val´ szorz´s, melyet x V R eset´n a o a e x jel¨l. o V -t e k´t mvelettel vektort´rnek, (vagy line´ris t´rnek) nevezz¨k, ha e u e a e u x, y, z V, , µ R eset´n e 1) x + y = y + x (kommutativit´s), a 2) x + (y + z) = (x + y) + z (asszociativit´s), a 3) 0 V, x + 0 = x (nullelem l´tez´se), e e 4) x V, - x V, x + (-x) = 0 (inverzelem l´tez´se), e e 5) 1 · x = x , 6) (µx) = (µ)x , 7) ( + µ)x = x + µx, (x + y) = x + y (disztributivit´s). a 2. Defin´ o. Ha V egy vektort´r, akkor a , : V × V R f¨ggv´nyt ici´ e u e skal´ris, vagy belsszorzatnak nevezz¨k, ha x, y, z V , µ R eset´n a o u e 1) x, y = y, x , 2) x + y, z = x, z + y, z , 3) x, y = x, y , 4) x, x 0, x, x = 0 x = 0 teljes¨l. u 3. Defin´ o. Egy V vektorteret, rajta egy skal´ris (vagy bels) szorzattal, ici´ a o belsszorzatt´rnek, vagy (n´ha csak val´s ´rt´k skal´ris szorzat eset´n) o e e o e e u a e euklideszi t´rnek nevez¨nk. e u 4. Defin´ o. Ha V belsszorzatt´r, akkor az x V vektor hossz´n, vagy ici´ o e a . euklideszi norm´j´n az x = aa x, x sz´mot ´rtj¨k. a e u

5

1. T´tel. Az e 1) 2) 3)

euklideszi norm´ra teljes¨l: a u x 0, x = 0 x = 0, xV , x = || x x V, R , x+y x + y x, y V .

Bizony´ as. Gyakorlaton. it´ Megjegyz´s: Minden az 1)-3) tulajdons´got teljes´ o e a it v´nyt norm´nak nevez¨nk V -n. e a u . : V R f¨ggu

5. Defin´ o. Ha V belsszorzatt´r (vagy euklideszi t´r) akkor az x, y V ici´ o e e . vektorok euklideszi t´vols´g´n a d(x, y) = x - y sz´mot ´rtj¨k ´s azt a a a a e u e mondjuk, hogy a d : V × V R f¨ggv´ny t´vols´g, vagy metrika V -ben. u e a a 2. T´tel. A e 1) 2) 3) V -beli euklideszi t´vols´gra teljes¨l: a a u d(x, y) 0 , d(x, y) = 0 x = y , x, y V , d(x, y) = d(y, x) x, y V , d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z V .

Bizony´ as. A norma tulajdons´gai alapj´n egyszer, gyakorlaton. it´ a a u 6. Defin´ o. Legyen X egy nem¨res halmaz. Ha ´rtelmezve van egy ici´ u e d : X × X R f¨ggv´ny az u e 1) d(x, y) 0 , d(x, y) = 0 x = y , x, y X , 2) d(x, y) = d(y, x) x, y X , 3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X tulajdons´gokkal, akkor azt mondjuk, hogy d metrika X-en ´s X-et metrikus a e t´rnek nevezz¨k. Jel¨l´s: (X, d). e u oe . . Megjegyz´s: R a d(x, y) = |x-y|, m´ a V euklideszi t´r a d(x, y) = x-y e ig e metrik´val metrikus t´r. a e 7. Defin´ o. Legyen (X, d) metrikus t´r. Az a X r (> 0) sugar´ ny´ ici´ e u ilt . g¨mbk¨rnyezet´n a K(a, r) = {x X | d(x, a) < r} halmazt ´rtj¨k. o o e e u 8. Defin´ o. Legyen (X, d) metrikus t´r. H X korl´tos, ha H = vagy ici´ e a H = eset´n r R, hogy x, y H-ra d(x, y) r. e . Ekkor a diam H = sup{d(x, y) | x, y H} sz´mot H ´tm´rj´nek nevezz¨k. a a eoe u 6

Megjegyz´s: Egyszeren bel´that´, hogy H X (H = ) pontosan akkor e u a o korl´tos, ha a X r R, hogy d(x, a) < r x H eset´n. a e

2. Az Rn euklideszi t´r e
. 1. Defin´ o. Legyen R1 = R, ´s ha n N-re m´r Rn ´rtelmezett, akkor ici´ e a e . n Rn+1 = R × R. Rn elemeit (x1 , . . . , xn )-nel jel¨lj¨k ´s rendezett val´s sz´m o u e o a n-eseknek nevezz¨k, ahol u (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ) x1 = y1 , . . . , xn = yn . . Ha x = (x1 , . . . , xn ) Rn , akkor az xi -ket az x koordin´t´inak, Rn elemeit aa pontoknak, vagy vektoroknak is nevezz¨k. u n . 1 Szok´sos az Rn = R×· · ·× R jel¨l´s is ´s azt is mondjuk, az Rn R ¨nmag´val a oe e o a vett n-szeres Descartes-szorzata. 2. Defin´ o. Legyen adott az Rn halmaz ´s ´rtelmezz¨k benne az ¨sszeaici´ e e u o d´s ´s skal´rral val´ szorz´s mvelet´t a e a o a u e . . x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), illetve x = (x1 , . . . , xn ) szerint, ha x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) Rn R . 1. T´tel. Rn a most ´rtelmezett k´t mvelettel vektort´r (vagy line´ris e e e u e a t´r). e Bizony´ as. A vektort´r 1)-7) tulajdons´gai egyszeren ellenrizhetk. A it´ e a u o o n . 1 nullelem: 0 = (0, . . . , 0) . 2. T´tel. Ha x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) Rn , ugy e ´ . x, y = x1 y1 + · · · + xn yn skal´ris (vagy bels) szorzat Rn -ben. a o Bizony´ as. A belsszorzat 1)-4) tulajdons´g´nak ellenrz´s´vel. it´ o a a o ee 3. T´tel. Ha x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) Rn , akkor az e . x = . x, x =
n i=1

x2 , i

. . illetve d(x, y) = x - y = 7

n

i=1

(xi - yi )2

szerint defini´lt norma, illetve t´vols´g (metrika) teljes´ a norma, illetve a a a iti metrika tulajdons´gait. a Bizony´ as. Egyszer (feladat). it´ u Megjegyz´sek: e 1. A 2., 3. t´telben defini´lt skal´ris (bels) szorzattal, norm´val, illetve e a a o a t´vols´ggal (metrik´val) Rn euklideszi t´r, euklideszi norm´val ´s metria a a e a e k´val. (Rn , d)-t n-dimenzi´s euklideszi t´rnek is nevezik. a o e . 2. Ha n = 1, ugy a d(x, y) = |x - y| (x, y R) t´vols´ggal (R1 , d) = (R, d) ´ a a metrikus t´r, hiszen d teljes´ a metrika 3 tulajdons´g´t. e iti a a 3. Az a Rn pont (vektor) r sugar´ ny´ g¨mbk¨rnyezete a u ilt o o . K(a, r) = {x Rn | d(x, a) < r} halmaz, ahol d az Rn -beli euklideszi t´vols´g. a a 4. A korl´toss´g ´s az ´tm´r fogalma (Rn , d)-ben ugyanaz mint (X, d)-ben. a a e a eo Igaz tov´bb´, hogy H (Rn , d) korl´tos, ha r R, H K(0, r) a a a (azaz x < r x H).

3. Rn ´s metrikus t´r topol´gi´ja e e o a
Az (Rn , d) konkr´t ´s az (X, d) absztrakt metrikus terekben egy a (Rn , d) e e (X, d) vektor, pont vagy elem r > 0 sugar´ ny´ g¨mbk¨rnyezet´n a u ilt o o e K(a, r) = {x Rn X | d(x, a) < r} halmazt ´rtett¨k, ahol a e u . . d(x, a) = x - a =
n

i=1

(xi - ai )2

Rn -beli, vagy pedig a 2.6. defin´ oban szerepl 1.-3. tulajdons´g´ d(x, a) ici´ o a u metrika szerepel. Ha sz¨ks´ges a megk¨l¨nb¨ztet´s, akkor szok´s a dRn , u e uo o e a illetve dX jel¨l´s is az Rn , illetve X-beli t´vols´gra (metrik´ra). oe a a a 1. Defin´ o. Legyen adott E (Rn , d) (X, d) halmaz. Azt mondjuk, ici´ hogy ­ x E bels pontja E-nek, ha K(x, r), hogy K(x, r) E; o 8

­ x Rn X k¨ls pontja E-nek, ha bels pontja CE-nek u o o (azaz K(x, r), K(x, r) E = ); ­ x Rn X hat´rpontja E-nek, ha nem bels ´s nem k¨ls pontja a oe u o (azaz K(x, r)-re K(x, r) E = K(x, r) CE = ). A bels pontok halmaz´t E belsej´nek, a hat´rpontok halmaz´t E hat´r´o a e a a aa nak nevezz¨k. u 2. Defin´ o. Az E (Rn , d) (X, d) halmazt ny´ ici´ iltnak nevezz¨k, ha u minden pontja bels pont; z´rtnak nevezz¨k, ha CE ny´ o a u ilt. 1. T´tel. Az (Rn , d) (X, d) metrikus terekben igazak a k¨vetkezk: e o o 1) Rn X ny´ halmazok, ilt 2) ny´ halmazok egyes´ ese ny´ ilt it´ ilt, 3) v´ges sok ny´ halmaz metszete ny´ e ilt ilt, illetve 4) Rn X z´rt halmazok, a 5) z´rt halmazok metszete z´rt, a a 6) v´ges sok z´rt halmaz egyes´ ese z´rt. e a it´ a 3. Defin´ o. Legyen adott E (Rn , d) (X, d). Az x0 Rn X pontot ici´ az E halmaz torl´d´si pontj´nak nevezz¨k, ha K(x0 , r) (Rn X-beli) o a a u k¨rnyezet tartalmaz x0 -t´l k¨l¨nb¨z E-beli pontot, azaz (K(x0 , r)\{x0 }) o o uo o o E = . x0 E izol´lt pontja E-nek, ha nem torl´d´si pontja, azaz K(x0 , r), hogy a o a (K(x0 , r)\{x0 }) E = . E torl´d´si pontjainak halmaz´t szok´s E -vel o a a a jel¨lni. o 2. T´tel. Az E (Rn , d) (X, d) z´rt, ha E E (azaz tartalmazza e a minden torl´d´si pontj´t). o a a 3. T´tel (Bolzano-Weierstrass). S Rn korl´tos v´gtelen halmaze a e nak l´tezik torl´d´si pontja. e o a Megjegyz´s: A t´tel metrikus t´rben ´ltal´ban nem igaz. e e e a a 4. Defin´ o. Ny´ halmazok egy {o } rendszere az S Rn X halmaznak ici´ ilt egy ny´ lefed´se, ha S o . ilt e


9

5. Defin´ o. A K Rn X halmaz kompakt, ha minden ny´ lefed´s´bl ici´ ilt ee o kiv´laszthat´ v´ges sok halmaz, mely lefedi K-t. a o e 4. T´tel. e A) (Heine-Borel) Egy K Rn halmaz kompakt, ha korl´tos ´s a e z´rt. a B) Ha K (X, d) kompakt, akkor korl´tos ´s z´rt. a e a 6. Defin´ o. Az (X, d) metrikus t´r ¨sszef¨gg, ha nem l´tezik X-nek ici´ e o u o e olyan nem¨res o1 , o2 ny´ r´szhalmaza, hogy o1 o2 = ´s o1 o2 = X. u ilt e e A H (= ) X ¨sszef¨gg X-ben ha (H, d) ¨sszef¨gg metrikus t´r. (A o u o o u o e d metrika H × H-ra val´ leszk´ es´t is d-vel jel¨lj¨k, ´s (H, d) val´ban o u it´ e o u e o metrikus t´r.) e 5. T´tel. (Rn , d) ¨sszef¨gg. e o u o

10

Feladatsor
1) Bizony´ itsa be az 1.1. t´telt. e 2) Bizony´ itsa be az 1.2. t´telt. e 3) Bizony´ be, hogy H R Rn X korl´tos, ha a R Rn X itsa a ´s r > 0, hogy H K(a, r). e 4) Bizony´ be, hogy Rn a benne ´rtelmezett ¨sszead´ssal ´s skal´rral val´ itsa e o a e a o szorz´ssal vektort´r. a e 5) Adottak az x = (1, 5, 5) , y = (-2, 2, 3) R3 -beli vektorok, hat´rozza meg a 1 az x + y, x - y, 3x - y vektorokat. 2 6) Bizony´ itsa be a 2.2. t´telt. e 7) Bizony´ itsa be a 2.3. t´telt. e 8) Bizony´ itsa be, hogy (Rn , d), illetve (X, d)-beli ny´ k¨rnyezetek ny´ ilt o ilt halmazok. 9) Legyen A = {(x, y) | x, y (0, 1) ; x, y Q} R2 . Hat´rozza meg A a torl´d´si pontjait, hat´rpontjait. Vizsg´lja meg, hogy A ny´ vagy z´rt o a a a ilt, a halmaz-e? 10) Legyen H Rn (n 2) ´s Hi (i = 1, . . . , n) a H elemeinek i-edik e koordin´t´ib´l ´ll´ halmaz. Bizony´ aa o a o itsa be, hogy H korl´tos, ha a Hi korl´tos (R, d)-ben. a 11) Bizony´ be, hogy egy metrikus t´r minden v´ges r´szhalmaza kompakt. itsa e e e

11

12

´ II. A RIEMANN-INTEGRAL ´ ´ ´ ´ ALTALANOS´ ASA ES ALKALMAZASA IT ´
1. Korl´tos v´ltoz´s´ f¨ ggv´nyek a a a u u e
1. Defin´ o. Legyen f : [a, b] R adott f¨ggv´ny, ici´ u e . P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} [a, b] egy feloszt´sa. A a (1) . V (f, [a, b], P ) =
n-1

|f (xk+1 ) - f (xk )|
k=0

o ¨sszeget az f f¨ggv´ny ([a, b] feletti) P feloszt´shoz tartoz´ vari´ci´j´nak u e a o a oa nevezz¨k. u 2. Defin´ o. Legyen f : [a, b] R adott, P az [a, b] egy tetszleges felici´ o oszt´sa, akkor a a
n-1

(2)

V (f, [a, b]) = sup V (f, [a, b], P ) = sup
P P k=0

|f (xk+1 ) - f (xk )|

sz´mot az f f¨ggv´ny [a, b] feletti teljes (tot´lis) v´ltoz´s´nak (vari´ci´a u e a a aa a o j´nak) nevezz¨k. a u 3. Defin´ o. Az f : [a, b] R f¨ggv´ny korl´tos v´ltoz´s´ [a, b]-n, ha ici´ u e a a au (3) teljes¨l. u 1. T´tel. Ha f : [a, b] R monoton, akkor korl´tos v´ltoz´s´. e a a au Bizony´ as. Ha p´ld´ul f monoton n¨vekv, P egy feloszt´sa [a, b]-nek, it´ e a o o a akkor f (xk+1 ) - f (xk ) 0 k-ra, ´ igy
n-1

V (f, [a, b]) < +

V (f, [a, b], P ) =
k=0

(f (xk+1 ) - f (xk )) = f (b) - f (a)

P -re ,

ez´rt V (f, [a, b]) = f (b) - f (a) < +, amit bizony´ e itani kellett. 13

2. T´tel. Ha f : [a, b] R korl´tos v´ltoz´s´, akkor korl´tos. e a a au a Bizony´ as. Legyen x [a, b] tetszleges, P = {a, x, b} az [a, b] egy feloszit´ o t´sa, akkor a V (f, [a, b], P ) = |f (x) - f (a)| + |f (b) - f (x)| < V (f, [a, b]) < + , ´ |f (x) - f (a)| < V (f, [a, b]), azaz igy f (a) - V (f, [a, b]) < f (x) < f (a) + V (f, [a, b]) , ami adja f korl´toss´g´t. a a a Megjegyz´s: Egy folytonos f¨ggv´ny nem felt´tlen¨l korl´tos v´ltoz´s´. e u e e u a a au 3. T´tel. Ha f, g : [a, b] R korl´tos v´ltoz´s´ f¨ggv´nyek, akkor e a a au u e f + g, f - g, f · g : [a, b] R korl´tos v´ltoz´s´ak. Tov´bb´ g > 0 a a au a a f is korl´tos v´ltoz´s´. a a au ( R) eset´n e g Bizony´ as. P´ld´ul F = f + g-re it´ e a |F (xk+1 ) - F (xk )| = |f (xk+1 ) + g(xk+1 ) - f (xk ) - g(xk )| |f (xk+1 ) - f (xk )| + |g(xk+1 ) - g(xk )| , ´s ez´rt (1) miatt e e V (F, [a, b], P ) V (f, [a, b], P ) + V (g, [a, b], P ) , amibl (2) miatt o V (F, [a, b]) V (f, [a, b]) + V (g, [a, b]) < + k¨vetkezik, ami adja az ´ll´ ast. o a it´ A m´sik k´t ´ll´ as hasonl´an bizony´ a e a it´ o ithat´. o 4. T´tel. Ha f : [a, b] R adott f¨ggv´ny, c [a, b] tetszleges, akkor e u e o (4) teljes¨l. u K¨vetkezm´nyek: o e 1. f : [a, b] R akkor ´s csak akkor korl´tos v´ltoz´s´ [a, b]-n, ha korl´tos e a a au a v´ltoz´s´ [a, c]-n ´s [c, b]-n. a au e 2. Ha f : [a, b] R olyan, hogy monoton az [a, a1 ], [a1 , a2 ], . . . , [an-1 , b] intervallumokon, akkor korl´tos v´ltoz´s´ [a, b]-n. a a au 14 V (f, [a, b]) = V (f, [a, c]) + V (f, [c, b])

5. T´tel (Jordan). Az f : [a, b] R f¨ggv´ny akkor ´s csak akkor e u e e korl´tos v´ltoz´s´ [a, b]-n, ha l´teznek g, h : [a, b] R monoton f¨ggv´nyek, a a au e u e hogy f = g - h.

2. Riemann-Stieltjes integr´l a
1. Defin´ o. Legyenek f, g : [a, b] R korl´tos f¨ggv´nyek, ici´ a u e . P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} [a, b] egy tetszleges feloszt´sa, tk [xk-1 , xk ] o a tetszleges. A o
n

(f, g, P ) =
k=1

f (tk ) · [g(xk ) - g(xk-1 )]

sz´mot az f f¨ggv´ny P feloszt´shoz, ´s a tk (k = 1, . . . , n) ´rt´kekhez a u e a e e e tartoz´, g-re vonatkoz´ Riemann-Stieltjes integr´lk¨zel´ o ¨sszeg´nek neo o a o it o e vezz¨k. u 2. Defin´ o. Az f f¨ggv´ny Riemann-Stieltjes integr´lhat´ a g f¨ggv´nyre ici´ u e a o u e vonatkoz´an [a, b]-n, ha [a, b] Pn norm´lis feloszt´ssorozat´hoz tartoz´ o a a a o (f, g, Pn ) Riemann-Stieltjes integr´lk¨zel´ o ¨sszegsorozat konvergens. a o it o E sorozatok (egy´bk´nt k¨z¨s) hat´r´rt´k´t, a e e o o ae e e
n

. b lim (f, g, Pn ) = f dg
a

b

= f (x)dg(x)
a

sz´mot az f f¨ggv´ny g-re vonatkoz´ Riemann-Stieltjes integr´lj´nak nea u e o a a vezz¨k [a, b]-n. u Megjegyz´s: Ha g(x) = x (x [a, b]), f : [a, b] R korl´tos,akkor a e a Riemann-Stieltjes integr´l a Riemann-integr´lt adja. a a
b b b b a b a

1. T´tel. Ha f1 dg, e
a a

f2 dg =
a

(f1 + f2 )dg = f1 dg + f2 dg.

Bizony´ as. A defin´ o k¨zvetlen felhaszn´l´s´val. it´ ici´ o aa a
b b b b a b a

2. T´tel. Ha f dg1 , e
a a

f dg2 =
a

f d(g1 + g2 ) = f dg1 + f dg2 .

Bizony´ as. A defin´ o alapj´n. it´ ici´ a 15

b

b a

b

3. T´tel. Ha f dg ´s k, l R = e e
a

(kf )d(lg) = kl f dg.
a

Bizony´ as. A defin´ o alapj´n. it´ ici´ a
b c b b c a b c

4. T´tel. Ha a < c < b ´s f dg, e e
a a

f dg,
c

f dg =
a

f dg = f dg+ f dg.

Bizony´ as. A defin´ o alapj´n. it´ ici´ a
b b

5. T´tel (parci´lis integr´l´s). Ha az e a aa l´tezik, akkor a m´sik is ´s e a e
b a b a a

f dg ´s e
a

gdf integr´lok egyike a

f dg + gdf = f · g

b a

.

6. T´tel. Ha f, g : [a, b] R, f folytonos, g korl´tos v´ltoz´s´, akkor e a a au
b


a

f dg ´s e
b

f dg M · V (g, [a, b]), ha |f | M .
a

b

7. T´tel. Ha f, g : [a, b] R, f ´s g folytonos, akkor f dg ´s e e e
a b a b

f dg = f (x)g (x) dx .
a

3. Defin´ o. Legyenek f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn , g : [a, b] R adott ici´ f¨ggv´nyek. Az f vektor´rt´k f¨ggv´nynek a g (skal´r ´rt´k) f¨ggv´nyre u e e e u u e a e e u u e vonatkoz´ Riemann-Stieltjes integr´lj´n [a, b] felett az o a a
b a b

. f dg =

b a

b

f1 dg, . . . , fn dg
a

Rn

vektort ´rtj¨k, ha az fi dg integr´lok l´teznek. e u a e
a

16

4. Defin´ o. ici´ Legyenek f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn , g = (g1 , . . . , gn ) : [a, b] Rn adott f¨ggv´nyek. Az f vektor´rt´k f¨ggv´nynek a g vektor´rt´k f¨ggv´nyre u e e e u u e e e u u e vonatkoz´ Riemann-Stieltjes integr´lj´n [a, b] felett az o a a
b a b

. f dg =

n

b

fi dgi
i=1 a

sz´mot ´rtj¨k, ha az a e u
a

fi dgi integr´lok l´teznek. a e

Megjegyz´sek: e 1. Ha a 3. defin´ oban g(x) = x, x [a, b], akkor az ici´ b b . b f = ( f1 , . . . , fn ) Rn vektor az f vektor´rt´k f¨ggv´ny Riemann-integr´lja [a, b] felett, ha az e e u u e a
b a a a

fi (i = 1, . . . , n) Riemann-integr´lok l´teznek. a e
a b

2. Az f dg t´ u Riemann-Stieltjes integr´lra a paragrafus 1-5. ´s 7. t´telei ipus´ a e e v´ltoztat´s n´lk¨l, m´ a 6. t´tel kis v´ltoztat´ssal ´tvihet. a a e u ig e a a a o 3. Newton-Leibniz-t´tel Legyenek f , F : [a, b] Rn olyanok, hogy f e . Riemann-integr´lhat´, ´s F = (F1 , . . . , Fn ) = f , akkor a o e
b a

f = F (b) - F (a) .
a

Bizony´ as: it´
b a b a b a

f = ( f1 , . . . , fn ) = (F1 (b) - F1 (a), . . . , Fn (b) - Fn (a)) = = (F1 (b), . . . , Fn (b)) - (F1 (a), . . . , Fn (a)) = F (b) - F (a) 4. Legyen f : [a, b] Rn Riemann-integr´lhat´, akkor f is az, ´s a o e
b b

f
a a

f .

17

3. G¨rb´k ´ o e ivhossza
1. Defin´ o. Az f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn folytonos f¨ggv´nyt ici´ u e Rn -beli g¨rb´nek nevezz¨k. [a, b]-t param´ter-intervallumnak, f -t a g¨rbe o e u e o egy param´terel´ll´ as´nak nevezz¨k. f (a) ´s f (b) a g¨rbe kezd, illetve e oa it´ a u e o o v´gpontjai. Ha f (a) = f (b), akkor f z´rt g¨rbe. Ha f k¨lcs¨n¨sen egy´re a o o o o e telm, akkor ´ u ivnek nevezz¨k. u 2. Defin´ o. f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn sima g¨rbe, ha f folytonosan ici´ o . n differenci´lhat´ (azaz f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] R folytonos) ´s a o e
n

fi 2 (t) > 0
i=1

(t [a, b])

teljes¨l. u 3. Defin´ o. Az f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn g¨rbe k´pe a ici´ o e = {(f1 (t), . . . , fn (t)) | t [a, b]} halmaz. (A k´pet ­ n´ha jel¨l´sben is ­ azonos´ e e oe itjuk a g¨rb´vel.) egy o e pontja az f g¨rbe t¨bbsz¨r¨s pontja, ha (legal´bb k´t) t, t [a, b], hogy o o oo a e f (t) = f (t ) Megjegyz´sek: e 1. A G = {(x, y) R2 | x2 + y 2 = 1} egys´gk¨r egy param´teres el´ll´ asa e o e oa it´ az f = (cos, sin) : [0, 2] R2 f¨ggv´ny. Bel´that´, hogy az egys´gk¨r u e a o e o sima, z´rt g¨rbe. a o 2. Ha a, b Rn , a = 0 adott vektorok, akkor az . E = {at + b = (a1 t + b1 , . . . , an t + bn ) Rn , t R} ponthalmazt a b-n ´thalad´ a ir´ny´ n-dimenzi´s egyenesnek nevezz¨k. a o a u o u (A t at + b Rn , t R lek´pez´s az egyenes egy param´teres el´ll´ e e e oa it´sa.) a 3. Legyen x, y Rn ´s x = y. Az {x + t(y - x) | t [0, 1]} Rn halmazt az e x-et ´s y-t ¨sszek¨t n-dimenzi´s szakasznak nevezz¨k. (Term´szetesen e o oo o u e . . d(x, y) = x - y =
n i=1

. . (xi - yi )2 , d(x, 0) = x = 18

n i=1

x2 ). i

4. Defin´ o. Legyen f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn egy g¨rbe ici´ o P = {a = t0 , t1 , . . . , tm = b} [a, b] egy feloszt´sa, |f (ti ) - f (ti-1 )| az f (ti ) a ´s f (ti-1 ) pontokat ¨sszek¨t szakasz hossza. Az e o oo
m

(f , P ) =
i=1

f (ti ) - f (ti-1 )

sz´mot az f g¨rb´be a P feloszt´sa eset´n be´ t¨r¨ttvonal hossz´nak neveza o e a e irt o o a z¨k. (Bel´that´, hogy ha P1 P2 , akkor (f , P1 ) (f , P2 ).) u a o 5. Defin´ o. Az f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn g¨rbe rektifik´lhat´, ha ici´ o a o az { (f , P ) | P tetszleges feloszt´sa [a, b]-nek} halmaz korl´tos. Az ekkor o a a l´tez e o (f ) = sup{ (f , P )} = (f , [a, b])
P

sz´mot az f g¨rbe ´ a o ivhossz´nak nevezz¨k. a u Megjegyz´sek: e 1. Az ´ ivhossz nem f¨gg a g¨rbe param´terel´ll´ as´t´l. u o e oa it´ a o 2. Az x, y Rn pontokat ¨sszek¨t szakasz ´ o oo ivhossza x - y . 3. Ha f : [a, b] Rn g¨rbe, c [a, b], f rektifik´lhat´ [a, b]-n, ugy o a o ´ (f , [a, b]) = (f , [a, c]) + (f , [c, b]) . (Makai I.: Differenci´lsz´m´ as I., 88-89. oldal) a a it´ Fontos a k¨vetkez: o o T´tel. Legyen f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] Rn sima g¨rbe, akkor rektie o fik´lhat´, ´s ´ a o e ivhossza
b b n

(f , [a, b]) =
a

f (t) dt =
a i=1

fi 2 (t) dt .

K¨vetkezm´nyek: o e 1. Legyen g : [a, b] R folytonosan differenci´lhat´ f¨ggv´ny, akkor az a o u e f = (f1 , f2 ) : [a, b] R2 (f1 (t) = t, f2 (t) = g(t), t [a, b]) a g gr´fj´nak (grafikonj´nak) egy param´teres el´ll´ asa, melyre a a a e oa it´ 19

f (t) = (1, g (t)) teljes¨l, ´ ha G jel¨li a g ´ltal adott g¨rb´t, akkor u igy o a o e ´ ivhossz´ra a
b

(G) =
a

1 + g 2 (t) dt

k¨vetkezik (1)-bl. o o 2. Tekints¨k az f = (cos, sin) : [0, 2] R2 egys´gk¨rt. u e o Legyen s (0, 2], f s : [0, s] R2 f [0, s]-re val´ leszk´ ese. Ekkor f s o u it´ az egys´gk¨r egy ´ e o ive. (1)-bl j¨n, hogy o o
s

(f s ) =

sin2 (t) + cos2 (t) dt = 1 dt = s
0

s

0

az egys´gk¨r adott ´ enek hossza. Ha s = 2, akkor (f ) = 2 az e o iv´ egys´gk¨r ker¨lete. Ez adja, hogy a mi -nk megegyezik a k¨z´piskol´s e o u o e a vel. s-t a P0 OPs sz¨g ´ ert´k´nek nevezz¨k. A 360 -os sz¨g ´ ert´ke o ivm´ e e u o ivm´ e 2. 3. f r = (f1 , f2 ) : [0, 2] R2 , f1 (t) = r · cos t, f2 (t) = r · sin t (t [0, 2]) az orig´ k¨z´ppont´ r sugar´ k¨r. (1)-bl j¨n, hogy o o e u u o o o
2

(f r ) =

r2 sin2 (t) + r2 cos2 (t) dt =

2

r dt = 2r .
0

0

4. G¨rbementi-integr´l o a
Defin´ o. Legyen g = (g1 , . . . , gn ) : [a, b] Rn adott g¨rbe, ici´ o f : g([a, b]) Rn vektorf¨ggv´ny, hogy f = (f1 , . . . , fn ). Az f f¨ggv´ny u e u e o a a oe u e g g¨rbementi-integr´lj´n (jel¨l´se f ) az f g : [a, b] Rn f¨ggv´ny g-re
g

vonatkoz´ [a, b] feletti Riemann-Stieltjes integr´lj´t ´rtj¨k (ha l´tezik), azaz o a a e u e . b f = (f g) dg =
g a n b

(fi g) dgi .
i=1 a

1. T´tel. Ha g rektifik´lhat´ [a, b]-n, f folytonos g([a, b])-n, akkor l´tezik e a o e az f f¨ggv´ny g g¨rbementi integr´lja. u e o a 20

Bizony´ as. Felhaszn´ljuk, hogy ha g rektifik´lhat´, akkor a gi f¨ggv´nyek it´ a a o u e ´ mivel fi g : [a, b] R folytonos f¨ggv´ny, gi korl´tos v´ltoz´s´ak. Igy a a au u e korl´tos v´ltoz´s´ a a au
b b

=
a

(fi g) dgi

(i = 1, . . . , n) =
a

(f g) dg , azaz
g

f .

2. T´tel. Ha f ´s (f g)(x) M , akkor e e
g g

f M · (g).

Bizony´ as. it´ . f =
g b a

. (f g) dg =

n

b

n

b

(fi g) dgi
i=1 a n b i=1 a

(fi g) dgi

M·
i=1 a

1 dgi M · (g) .

3. T´tel. Ha g folytonos [a, b]-n, f folytonos g([a, b])-n, akkor e
n b

f=
g i=1 a

(fi g)(x)gi (x) dx .

Bizony´ as. it´ . b . f = (f g)dg =
g a n b n b

(fi g) dgi =
i=1 a i=1 a

(fi g)(x)gi (x) dx .

Tov´bbi tulajdons´gok: a a 1. Additivit´s f -re, illetve a g g¨rb´re. a o e P´ld´ul legyen g = g 1 g 2 ´s e a e
gi

f (i = 1, 2) =
g

f=

2 i=1 g i

f.

2. Ha g ir´ny´ a itott g¨rbe, -g az ellent´tes ir´ny´ as´, akkor o e a it´ u
-g

. f = - f.
g

21

Megjegyz´sek: 1. R2 -beli g¨rb´k eset´n a k¨vetkez jel¨l´sek szok´sosak: e o e e o o oe a g-re: f -re: f -re:
g g

g(t) = (x(t), y(t))
b

(t [a, b]) ; ((x, y) g([a, b])) ;

f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y))

b . f = P (x(t), y(t)) dx(t) + Q(x(t), y(t)) dy(t) = a a

. . = P dx + Q dy = (P dx + Q dy)
g g g

Ilyenkor
g

P dx-et a g g¨rbementi abszcissza szerinti, o
g

Q dy-t a g g¨rbeo

menti ordin´ta szerinti g¨rbementi-integr´lnak nevezz¨k, illetve azt a o a u mondjuk, hogy (P dx + Q dy) a (P, Q) f¨ggv´nyp´r g g¨rbementi inu e a o
g

tegr´lja. a 2. R3 -beli g¨rb´kre: o e g(t) = (x(t), y(t), z(t))
b g a b

(t [a, b]) ; ((x, y, z) g([a, b])) ;
b a

f (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

f = P (x(t), y(t), z(t)) dx(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) dy(t)+ . . + R(x(t), y(t), z(t)) dz(t) = P dx + Q dy + R dz =
a g g g

. = (P dx + Q dy + R dz) .
g

Ut´bbit a (P, Q, R) f¨ggv´nyh´rmas g g¨rbementi integr´lj´nak is neveo u e a o a a zik.

22

Feladatsor
1) Korl´tos v´ltoz´s´ak-e az al´bbi f¨ggv´nyek: a a au a u e f1 (x) = sin2 x 2) Legyen f (x) = 1 (x [0, 1])
1

(x [0, ]);

f2 (x) = x3 - 3x + 4

(x [0, 2]).

´s e

g(x) =

0 , x [0, 1 ) 2
1 1 , x [ 2 , 1]

.

Bizony´ itsa be, hogy
0 2

f dg.

3) Hat´rozza meg a
-1

x5 d(|x|3 ) ´rt´k´t. e e e


4) Legyen g(x) = sin x (x [0, ]). Hat´rozza meg a
0

x dg(x)-et.
1

5) Legyen g(x) = e|x| (x [-1, 1]). Hat´rozza meg a 6) Hat´rozza meg az al´bbi g¨rb´k ´ a a o e ivhossz´t: a f (t) = (3 cos t, 3 sin t, 2t) g(t) = t,
3 2 3 3 2t , 2t

x dg(x)-et.
-1

(t [0, 2]) ; (t [0, 2]) ; f -et, ha:
g (x2 + x3 , 1

7) Sz´m´ a itsa ki az al´bbi g¨rbementi integr´lokat, azaz a o a

x1 x3 , x1 x2 ); ­ g(t) = (t2 , 2t, t) (t [0, 1]), f (x1 , x2 , x3 ) = ­ g a (2, 0, 1) ´s (2, 0, 4) pontokat ¨sszek¨t ir´ny´ e o o o a itott egyenes szakasz, f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 , -3x2 , x3 );

23

24

´ III. SOROZATOK Rn-BEN ES ´ METRIKUS TERBEN
1. Alapfogalmak ´s kapcsolatuk e
1. Defin´ o. Egy f : N Rk (X, d) f¨ggv´nyt Rk (X, d)-beli sorozatici´ u e nak nevez¨nk. A sorozat n-edik tagj´t f (n), an , xn (vagy m´s) jel¨li. u a a o A sorozat elemeinek halmaz´ra az {an } vagy {xn } (vagy m´s) jel¨l´st a a oe haszn´lunk. Mag´t a sorozatot az an , vagy xn (vagy m´s) szimb´lummal a a a o jel¨lj¨k. o u 2. Defin´ o. (korl´toss´g) Az xn ici´ a a {xn } korl´tos. a Rk (X, d)-beli sorozat korl´tos, ha a

3. Defin´ o. (konvergencia) Az xn Rk (X, d)-beli sorozat konvergens, ici´ ha x Rk (X, d), hogy > 0 eset´n n() N, hogy n n()-ra e (n N) d(x, xn ) = x - xn < teljes¨l. Az x Rk (X, d) sz´mot u a (vektort, elemet) xn hat´r´rt´k´nek nevezz¨k. Azt, hogy xn konvergens ae e e u ´s hat´r´rt´ke x, ´ jel¨lj¨k: lim xn = x vagy xn x. e ae e igy o u
n

Megjegyz´sek: e 1. A k¨rnyezet fogalm´t felhaszn´lva a konvergencia un. k¨rnyezetes" defio a a ´ o " n´ oj´t kapjuk: az xn sorozat konvergens, ha x Rk (X, d), hogy ici´ a K(x, )-hoz n() N, hogy n n()-ra xn K(x, ) teljes¨l. u 2. Egyszeren bel´that´, hogy xn x K(x, )-re xn K(x, ) u a o legfeljebb v´ges sok n N kiv´tel´vel. e e e 4. Defin´ o. (divergencia) Az xn Rk (X, d)-beli sorozat divergens, ha ici´ nem konvergens, azaz ha x eset´n > 0 (K(x, )), hogy n() N-re e n n(), hogy d(x, xn ) ( xn K(x, )). / 1. T´tel (a hat´r´rt´k egy´rtelm s´ge). Ha xn Rk (X, d)-beli e a e e e u e konvergens sorozat, akkor egy hat´r´rt´ke van (azaz xn a ´s xn b = ae e e a = b). Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., III.1., 1. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ 25

2. T´tel (konvergencia ´s korl´toss´g). Ha az xn e e a a sorozat konvergens, akkor korl´tos. a Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., III.1., 2. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´

(Rk (X, d)-beli)

4. T´tel. Az xn Rk -beli sorozat konvergens ´s hat´r´rt´ke x Rk , e e ae e ha xn = (x1n , . . . , xkn ) jel¨l´ssel az x1n , . . . , xkn (´gynevezett koordin´oe u a ta) sorozatok konvergensek ´s az x = (x1 , . . . , xk ) jel¨l´ssel xin xi e oe (i = 1, . . . , k). ´ Pelda: Hat´rozza meg az a n+1 1 , 2 3n + 2 n + 1 sorozat hat´r´rt´k´t! ae e e

2. Sorozatok ´s m veletek, illetve rendez´s e u e
Defin´ o. Ha xn ´s yn Rk -beli sorozatok, R tetszleges, akkor az ici´ e o . . xn + yn = xn + yn ; xn = xn szerint defini´lt sorozatokat az adott sorozatok ¨sszeg´nek illetve -szoroa o e s´nak nevezz¨k. a u T´tel. Legyen xn ´s yn Rk -beli sorozat, R tetszleges, hogy xn x e e o ´s yn y, akkor xn + yn ´s xn konvergensek ´s xn + yn x + y, e e e xn x. Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., III.2., 1. t´tel bizony´ asa (az a) r´szben az it´ a e it´ e abszol´t´rt´k helyett Rk -beli euklideszi norm´t kell ´ ue e a irni).

3. R´szsorozatok e
1. Defin´ o. Legyen an Rk (X, d)-beli sorozat. Ha : N N ici´ szigor´an monoton n¨vekv ´s bn = a(n) , akkor bn -t az an r´szsorou o o e e zat´nak nevezz¨k. a u 26

1. T´tel. Ha az an konvergens ´s hat´r´rt´ke a akkor bn r´szsorozae e ae e e t´ra bn a teljes¨l. a u Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., III.3., 1. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ Megjegyz´s: A t´tel megford´ asa nem igaz, de ha egy sorozat k´t disze e it´ e junkt r´szsorozatra bonthat´, melyek hat´r´rt´ke ugyanaz, akkor az a soroe o ae e zatnak is hat´r´rt´ke. ae e 2. T´tel (Bolzano-Weierstrass-f´le kiv´laszt´si t´tel). Ha az an e e a a e Rk -beli sorozat korl´tos, akkor l´tezik konvergens r´szsorozata. a e e Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., III.3., 2. t´tel bizony´ asa (a R helyett it´ a e it´ a Rk -t kell ´ irni).

4. Cauchy-sorozatok
1. Defin´ o. Az an Rk (X, d)-beli sorozatot Cauchy-sorozatnak neici´ vezz¨k, ha > 0 eset´n n() N, hogy p, q n() (p, q N) eset´n u e e d(ap , aq ) < . T´tel (Cauchy-f´le konvergencia krit´rium). e e e Az xn Rk -beli sorozat konvergens, ha Cauchy-sorozat. ((X, d)-ben a a ´ltal´ban csak az igaz, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat). Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., III.3., 4. t´tel bizony´ asa (x R helyett it´ a e it´ x Rk -t, R helyett Rk -t kell ´ irni). 2. Defin´ o. Az (X, d) metrikus teret teljesnek nevezz¨k, ha benne minici´ u den Cauchy-sorozat konvergens. Megjegyz´s: Rk teljes metrikus t´r. e e

27

28

¨ ´ ´ ´ ´ ´ IV. TOBBVALTOZOS ES VEKTORERTEKU ¨ ´ ´ FUGGVENYEK FOLYTONOSSAGA, ´ ´ ´ HATARERTEKE
1. Alapfogalmak
1. Defin´ o. Az f : E (X, d) R, f : E (X, dX ) (Y, dY ), t´ u ici´ ipus´ f¨ggv´nyeket val´s ´rt´k, illetve metrikus teret metrikus t´rbe k´pez f¨ggu e o e e u e e o u v´nynek nevezz¨k. e u 2. Defin´ o. Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny korl´tos, ha f (E) ici´ u e a korl´tos. a Az f : E (X, d) R f¨ggv´ny alulr´l (fel¨lrl) korl´tos, ha f (E) alulr´l u e o u o a o (fel¨lrl) korl´tos. u o a A sup f (E), inf f (E) sz´mokat az f pontos fels, illetve pontos als´ korl´tj´nak a o o a a (supremum´nak, illetve infimum´nak) nevezz¨k E-n. a a u 3. Defin´ o. Ha az f : E (X, d) R f¨ggv´ny eset´n l´tezik x1 , x2 E, ici´ u e e e hogy sup f (E) = f (x1 ), inf f (E) = f (x2 ) , akkor azt mondjuk, hogy f -nek l´tezik abszol´t maximuma, illetve minie u muma E-n. Az f : E (X, d) R f¨ggv´nynek az x0 E-ben helyi u e (lok´lis) maximuma, illetve minimuma van, ha l´tezik K(x0 , ), hogy x a e K(x0 , ) E-re f (x) f (x0 ), illetve f (x) f (x0 ) teljes¨l. u

2. Folytonoss´g fogalma a
1. Defin´ o. Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny az x0 E pontban ici´ u e folytonos, ha > 0-hoz () > 0, hogy x E, dX (x, x0 ) < () eset´n e dY (f (x), f (x0 )) < . Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny folytonos az A E halmazon, ha u e A minden pontj´ban folytonos. a

29

Megjegyz´sek: e 1. Speci´lisan az f : E (Rn , d) (Rm , d) f¨ggv´ny az x0 E pontban a u e folytonos, ha > 0-hoz () > 0, hogy x E, x - x0 Rn < () eset´n f (x) - f (x0 ) Rm < . e 2. Megfogalmazhat´ az ugynevezett k¨rnyezetes v´ltozat is: o ´ o a Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny az x0 E pontban folytonos, ha u e KY (f (x0 ), )-hoz KX (x0 , ()), hogy x E, x KX (x0 , ()) = f (x) KY (f (x0 ), ). 3. A folytonoss´g pontbeli (lok´lis) tulajdons´g, amely glob´liss´ tehet. a a a a a o 1. T´tel (´tviteli elv). Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny akkor, e a u e ´s csak akkor folytonos az x0 E pontban, ha minden x0 -hoz konverg´l´ e ao E-beli xn sorozat eset´n az f (xn ) (Y, dY )-beli sorozat konvergens ´s e e lim f (xn ) = f (x0 ).
n

Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., V.2., 1. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ Megjegyz´s: A folytonoss´g itt megadott ekvivalens megfogalmaz´s´t soe a aa rozatos vagy Heine-f´le defin´ oj´nak nevezik. e ici´ a 2. T´tel. Az f : E (X, d) Rm (f = (f1 , . . . , fm ), fi : E R e (i = 1, . . . , m)) f¨ggv´ny folytonos az x0 E-ben ha az fi f¨ggv´nyek u e u e mindegyike folytonos x0 -ban. Bizony´ as. Az ´tviteli elv ´s a sorozatokn´l kimondott t´tel seg´ eg´vel it´ a e a e its´ e nyilv´nval´. a o 2. Defin´ o. Az f : E R (Y, d) f¨ggv´ny balr´l (jobbr´l) folytonos ici´ u e o o az x0 E pontban, ha az f (-, x0 ] E-re (illetve [x0 , +) E-re) val´ o leszk´ ese folytonos x0 -ban. u it´ Megjegyz´sek: e 1. A defin´ o adja, hogy f balr´l (illetve jobbr´l) folytonos x0 -ban, ici´ o o ha > 0-hoz () > 0, x E, x0 - () < x x0 (illetve x0 x < x0 + ()) eset´n d(f (x0 ), f (x)) < . e 2. Megfogalmazhat´ a sorozatos v´ltozat is. o a 30

3. T´tel. Az f : E R (Y, d) f¨ggv´ny folytonos az x0 -ban, ha e u e ott jobbr´l ´s balr´l is folytonos. o e o 4. T´tel (jeltart´s). Ha az f : E (X, d) R f¨ggv´ny folytonos az e a u e x0 E-ben ´s f (x0 ) = 0, akkor K(x0 , ) (X, d), hogy e x K(x0 , ) E, akkor sign f (x0 ) = sign f (x). Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., V.2., 3. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ 3. Defin´ o. Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny egyenletesen folytoici´ u e nos az E1 E halmazon, ha > 0 () > 0, x, y E1 , dX (x, y) < () eset´n dY (f (x), f (y)) < . e

3. Folytonoss´g ´s m veletek a e u
1. T´tel. Ha az f, g : E (X, d) Rn f¨ggv´nyek folytonosak az x0 Ee u e ben, akkor az f + g ´s f ( R) is folytonosak x0 -ban. e Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., V.3., 1. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ 2. T´tel. Ha az f, g : E (X, d) R f¨ggv´nyek folytonosak az x0 Ee u e f ben, akkor az f · g ´s g(x) = 0 (x E) eset´n e e is folytonos x0 -ban. g 3. T´tel (az ¨sszetett f¨ ggv´ny folytonoss´ga). Legyenek (X, dX ), e o u e a (Y, dY ), (Z, dZ ) metrikus terek; f : E X Y, g : f (E) Y Z adott f¨ggv´nyek. Ha f folytonos az x0 E pontban, g folytonos az y0 = f (x0 )u e ban, akkor a h = g f f¨ggv´ny folytonos az x0 -ban. u e Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., V.3., 3. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´

4. Folytonoss´g ´s topologikus fogalmak a e
1. T´tel (a folytonoss´g topologikus megfelelje). e a o Az f : (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny akkor, ´s csak akkor folytonos X-en, u e e ha B (Y, dY ) ny´ halmazra f -1 (B) = {x X | f (x) B} ny´ ilt ilt (X, dX )-ben. 31

2. T´tel (kompakts´g ´s folytonoss´g). Legyen E (X, dX ) kompakt e a e a halmaz, f : E (Y, dY ) folytonos f¨ggv´ny E-n, akkor f (E) kompakt u e (Y, dY )-ban. (R¨viden: kompakt halmaz folytonos k´pe kompakt.) o e Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., V.4., 1. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ K¨vetkezm´ny: o e 1. Ha Y = Rn = f (E) korl´tos ´s z´rt. a e a 2. Ha Y = R, akkor f felveszi E-n az abszol´t minimum´t ´s maximum´t u a e a (mert sup f (E) ´s inf f (E) is eleme f (E)-nek, ha f (E) z´rt ´s term´szee a e e tesen korl´tos). a 3. T´tel (kompakts´g ´s egyenletes folytonoss´g) (Heine). e a e a Legyen E (X, dX ) kompakt halmaz, f : E (Y, dY ) folytonos f¨ggv´ny u e E-n, akkor f egyenletesen folytonos E-n. (R¨viden: kompakt halmazon o folytonos f¨ggv´ny egyenletesen folytonos.) u e 4. T´tel (¨sszef¨ ggs´g ´s folytonoss´g). e o u o e e a Legyen f : (X, dX ) (Y, dY ) folytonos f¨ggv´ny, E X ¨sszef¨gg, akkor u e o u o f (E) is az. 5. T´tel (Bolzano). Legyen E (X, d) ¨sszef¨gg, f : E R folytonos e o u o f¨ggv´ny. Ha c, d f (E), c < d, akkor (c, d) f (E) (azaz f k´t ´rt´k u e e e e k¨z¨tt minden k¨zbens ´rt´ket felvesz). o o o oe e

5. A hat´r´rt´k fogalma a e e
1. Defin´ o. Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´nynek az x0 E ici´ u e pontban hat´r´rt´ke, ha A Y , hogy > 0 () > 0, ae e x E, 0 < dX (x, x0 ) < () = dY (f (x), A) < .
xx0

A-t az f f¨ggv´ny x0 -beli hat´r´rt´k´nek nevezz¨k, ´s lim f (x) = A vagy u e ae e e u e f (x) A, ha x x0 jel¨l´seket haszn´ljuk. oe a 32

Megjegyz´sek: e 1. Speci´lisan az f : E (Rn , d) (Rm , d) f¨ggv´nyn´l x - x0 a u e e f (x) - A Rm ´ irhat´. o
Rn



2. Megfogalmazhat´ a k¨rnyezetes v´ltozat is: o o a Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´nynek az x0 E pontban u e hat´r´rt´ke, ha A Y , hogy KY (A, )-hoz KX (x0 , ()), ae e x KX (x0 , ())\{x0 }, x E eset´n f (x) KY (A, ). e 3. A hat´r´rt´k l´tez´se pontbeli tulajdons´g. ae e e e a 4. Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´nynek az x0 (X, dX )-ben nem u e l´tezik hat´r´rt´ke, ha x0 E , vagy x0 E ´s A Y, > 0, e ae e / e () > 0 eset´n x E, x KX (x0 , ())\{x0 }, f (x) KY (A, ). e / 5. A hat´r´rt´k (ha l´tezik) egy´rtelmen meghat´rozott (ez indirekt biae e e e u a zony´ assal ­ hasonl´an, mint a sorozatokn´l ­ egyszeren bel´that´). it´ o a u a o 2. Defin´ o. Legyen f : E R (Y, d) adott f¨ggv´ny ´s az x0 torl´d´si ici´ u e e o a pontja [x0 , +) E ((-, x0 ] E))-nek. Az f f¨ggv´nynek az x0 -ban u e jobb- (vagy bal-) oldali hat´r´rt´ke, ha ae e A Y, > 0 () > 0, x E, x0 < x < x0 + () (vagy x0 - () < x < x0 ) = dY (f (x), A) < . A-t f jobb (illetve bal) oldali hat´r´rt´k´nek nevezz¨k x0 -ban, ´s a ae e e u e
xx0 +0

lim

f (x) = A = f (x0 + 0)

vagy

xx0 -0

lim

f (x) = A = f (x0 - 0)

jel¨l´st haszn´ljuk. oe a Megjegyz´sek: e 1. A defin´ o a leszk´ es fogalm´nak haszn´lat´val is megfogalmazhat´ ici´ u it´ a a a o (hasonl´an a folytonoss´ghoz). o a 2. A k¨rnyezetes ´tfogalmaz´s is megadhat´. o a a o 3. K¨nnyen bel´that´ a k¨vetkez: o a o o o Legyen f : E R (Y, d) adott f¨ggv´ny ´s az x0 torl´d´si pontja u e e o a [x0 , +)E (-, x0 ]E-nek. Az f f¨ggv´nynek x0 -ban akkor, ´s csak u e e akkor l´tezik hat´r´rt´ke, ha l´tezik f (x0 - 0) ´s f (x0 + 0) ´s f (x0 - 0) = e ae e e e e = f (x0 + 0) = A (f hat´r´rt´ke x0 -ban). ae e 33

3. Defin´ o. Az f : E (X, dX ) R f¨ggv´nyek x0 E -ben a ici´ u e hat´r´rt´ke + (vagy -), ha K-hoz (K) > 0, x E, 0 < ae e < d(x, x0 ) < (K) eset´n f (x) > K (vagy f (x) < K). e Megjegyz´sek: e 1. A defin´ o k¨rnyezetekkel is megfogalmazhat´. ici´ o o 2. A + (vagy -) egyoldali hat´r´rt´kk´nt is megfogalmazhat´. ae e e o 4. Defin´ o. Legyen E R fel¨lrl (alulr´l) nem korl´tos halmaz, ici´ u o o a f : E (Y, d) adott f¨ggv´ny. Az f f¨ggv´nynek + (vagy -)-ben u e u e l´tezik hat´r´rt´ke, ha A Y, > 0 M R, x E x > M e ae e (x < M ) eset´n d(f (x), A) < . Ekkor A-t f + (vagy -)-beli e hat´r´rt´k´nek nevezz¨k, ´s r´ a lim f (x) = A lim f (x) = A jel¨l´st ae e e u e a oe haszn´ljuk. a
x+ x-

2. T´tel (´tviteli elv). Az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´nynek az e a u e x0 E pontban akkor, ´s csak akkor hat´r´rt´ke, ha x0 -hoz konverg´l´ e ae e ao xn : N E\{x0 } sorozat eset´n lim f (xn ) = A. e
n

Bizony´ as. Ugy, mint a folytonoss´gn´l, csak az ottani KY (f (x0 ), ) helyett it´ ´ a a KY (A, )-t ´s az x0 -beli folytonoss´g helyett x0 -beli hat´r´rt´ket kell mone a ae e dani. 3. T´tel. Az f : E (X, d) Rn (f = (f1 , . . . , fn ), fi : E R) e f¨ggv´nynek, akkor ´s csak akkor l´tezik hat´r´rt´ke az x0 E -ben, ha az u e e e ae e fi f¨ggv´nyeknek l´tezik hat´r´rt´ke x0 -ban. u e e ae e Bizony´ as. it´ Az ´tviteli elv ´s az Rn -beli sorozatokra vonatkoz´ t´telek alapj´n. a e o e a

34

6. Hat´r´rt´k ´s m veletek illetve egyenltlens´gek a e e e u o e
1. T´tel. Legyenek f, g : E (X, d) R adott f¨ggv´nyek, hogy az e u e x0 E -ben lim f (x) = A lim g(x) = B, akkor
xx0 xx0

a) b) c)

xx0

lim (f + g)(x) = lim [f (x) + g(x)] = A + B ;
xx0

xx0 xx0

lim (f )(x) = lim f (x) = A ,
xx0 xx0

( R C) ;

lim (f · g)(x) = lim [f (x) · g(x)] = A · B ;

f f (x) A d) lim (x) = lim = , ha g = 0, B = 0 . xx0 xx0 g(x) g B Bizony´ as. Az ´tviteli elv ´s a sorozatokra vonatkoz´ megfelel t´telek it´ a e o o e alapj´n. a Megjegyz´s: a) ´s b) Rn -beli ´rt´k f¨ggv´nyrekre is megfogalmazhat´ ´s e e e e u u e oe bizony´ ithat´. o 2. T´tel. Ha f : E (X, d) R ´s x0 E , akkor ha e e 1 = 0 (f = 0) ; a) lim |f (x)| = + = lim xx0 xx0 f (x) 1 b) lim f (x) = 0 = lim = + (f = 0) ; xx0 xx0 |f (x)| Bizony´ as. Az ´tviteli elv ´s a sorozatokra vonatkoz´ megfelel t´telek it´ a e o o e alapj´n. a 3. T´tel. Legyenek f, g, h : E (X, d) R adott f¨ggv´nyek ´s x0 E , e u e e akkor, ha a) lim f (x) = A lim g(x) = B K(x0 , ), f (x) g(x)
xx0 xx0

b) c)

x [K(x0 , )\{x0 }] E = A B ; lim f (x) = A lim g(x) = B A < B = K(x0 , ),
xx0 xx0

f (x) < g(x) x [K(x0 , )\{x0 }] E ; K(x0 , ), f (x) h(x) g(x) x [K(x0 , )\{x0 }] E lim f (x) = lim g(x) = A = lim h(x) = A .
xx0 xx0 xx0

Bizony´ as. Az ´tviteli elv ´s a sorozatokra vonatkoz´ megfelel t´telek it´ a e o o e alapj´n. a 35

4. T´tel (az ¨sszetett f¨ ggv´ny hat´r´rt´ke). Legyenek adottak az e o u e a e e (X, dX ), (Y, dY ) ´s (Z, dZ ) metrikus terek, x0 X ´s y0 Y , tov´bb´ e e a a f : X\{x0 } Y \{y0 }, g : Y \{y0 } Z f¨ggv´nyek, hogy u e lim f (x) = y0 lim g(y) = A
xx0 yy0

=

lim (g f )(x) = A .
xx0

Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., VI.2., 4. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´

7. A hat´r´rt´k ´s a folytonoss´g kapcsolata a e e e a
T´tel. Legyen f : E (X, dX ) (Y, dY ) adott f¨ggv´ny ´s x0 X, e u e e x0 X . f folytonos x0 -ban, ha lim f (x) = f (x0 ).
xx0

Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., VI.3. fejezet t´tel´nek bizony´ asa. it´ a e e it´ Defin´ o. Ha az f : E (X, dX ) (Y, dY ) f¨ggv´ny nem folytonos az ici´ u e x0 E pontban, akkor azt mondjuk, hogy x0 f -nek szakad´si helye, vagy a hogy f -nek x0 -ban szakad´sa van. a Ha f : E R (Y, dY ) adott f¨ggv´ny ´s x0 E 0 (x0 bels pont Eu e e o ben), ´s x0 szakad´si helye f -nek, tov´bb´ lim f (x) = f (x0 + 0) e a a a kad´sa van. Ha m´g f (x0 - 0) = f (x0 + 0), akkor azt mondjuk, hogy a a e szakad´s megsz¨ntethet. a u o Ha f -nek x0 -ban szakad´sa van ´s az nem elsfaj´, akkor azt m´sodfaj´ a e o u a u szakad´snak nevezz¨k. a u
xx0 -0

lim

f (x) = f (x0 - 0), akkor azt mondjuk, f -nek x0 -ban elsfaj´ szao u

xx0 +0

36

¨ ´ ´ ¨ ´ V. A TOBBVALTOZOS FUGGVENYEK ´ ´ IT ´ DIFFERENCIALSZAM´ ASA
1. Tov´bbi line´ris algebrai elismeretek a a o
A Vektorterek, euklideszi terek, metrikus terek" c´ u fejezet´ben defiim e " ni´ltuk a vektorteret, a skal´ris szorzatot, vektorok euklideszi norm´j´t, a a aa vektorok euklideszi t´vols´g´t, illetve ezekhez kapcsol´dva, speci´lisan az a a a o a Rn euklideszi teret. 1. Defin´ o. n-szer m sz´m egy ici´ a a11 . . . . A= . . an1 . . . a1m . . = (aij )n×m . anm

alak´ elrendez´s´t n × m-es m´trixnak, az aij sz´mokat a m´trix elemeinek u ee a a a nevezz¨k. Ha n = m, akkor n´gyzetes (kvadratikus) m´trixr´l besz´l¨nk. u e a o eu Az n × m t´ u m´trixban a sz´mokat n sorba ´s m oszlopba helyezt¨k ipus´ a a e u el. Azt a t´nyt, hogy egy sz´m az A m´trix i-edik sor´ban ´s j-edik osze a a a e lop´ban van az indexei fejezik ki, ´ aij jel¨li (az els a sor-, a m´sodik az a igy o o a oszolpindex). K´t m´trix azonos t´ u, ha soraik ´s oszlopaik sz´ma is megegyezik. e a ipus´ e a K´t m´trix egyenl, ha azonos t´ uak ´s az egym´snak megfelel helyen e a o ipus´ e a o l´v elemeik egyenlek. e o o Megjegyz´sek: e 1. Az 0 . A=. . 0 ... ... 0 . . . 0

m´trixot null-m´trixnak nevezz¨k (azaz, ha aij = 0). a a u 2. Az a11 . . A = . a1m 37 ... ... an1 . . . anm

m´trixot az A m´trix transzpon´lt m´trix´nak nevezz¨k. (A a a a a a u az A sorai, A sorai A oszlopai.)

oszlopai

3. Ha A kvadtratikus m´trix, akkor az a11 , . . . , ann sz´mok A fdiagon´lis´t a a o a a alkotj´k. a 4. Ha a kvadratikus m´trix fdiagon´lis´ban csupa 1 ´ll, a t¨bbi eleme pedig a o a a a o nulla, akkor egys´gm´trixr´l besz´l¨nk: e a o eu 1 ... 0 . .. . E=. . . . . 0 ... 1 2. Defin´ o. Ha A = (aij )n×m , B = (bij )n×m adott m´trixok, akkor ici´ a o ¨sszeg¨k az a C n × n-es m´trix, melyre u a . . C = A + B = (aij + bij )n×m = (cij )n×m . Az A = (aij )n×m m´trix R skal´rral val´ szorzata a a a o . A = (aij )n×m m´trix. a Az n × m-es m´trixok e k´t mveletre n´zve vektorteret alkotnak. a e u e 3. Defin´ o. Az A = (aik )n×m ´s a B = (bkj )m×p m´trixok szorzata az a ici´ e a C n × p t´ u m´trix, melyben ipus´ a cij = azaz . . . A · B = C = (cij )n×p =
m k=1 m

aik bkj ,

k=1

aik bkj
n×p

.

1. T´tel. A m´trixszorz´s fontosabb tulajdons´gai: e a a a A · (B · C) = (A · B) · C, A · (B + C) = A · B + A · C, (A) · B = (A · B) = A · (B), (´ltal´ban: A · B = B · A). a a 38 (A + B) · C = A · C + B · C,

Az 1 × n t´ u m´trixot sorm´trixnak, m´ az n × 1 t´ ut oszlipus´ a a ig ipus´ opm´trixnak nevezz¨k. Az a u (x1 , . . . , xn ) (x1 . . . xn ) ´s e x1 . (x1 , . . . , xn ) . . xn k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm megfeleltet´sek line´ris izomorfi´t adnak Rn valao o o e u e a a mint az 1×n, illetve n×1 t´ u m´trixok vektorterei k¨z¨tt. A k¨vetkezkipus´ a o o o o ben Rn elemeit, ha m´st nem mondunk, oszlopm´trixokkal reprezent´ljuk. a a a 4. Defin´ o. Az A kvadratikus m´trix invert´lhat´, ha l´tezik olyan X ici´ a a o e m´trix, melyre a AX = X A = E (ha A n × n t´ u, akkor l´tezik n × n t´ u egys´gm´trix). X-et az A ipus´ e ipus´ e a inverz m´trix´nak nevezz¨k. a a u 2. T´tel. Ha A invert´lhat´, akkor csak egy inverze van. (Ha A invert´le a o a hat´, ugy inverz´t A-1 jel¨li, erre AA-1 = A-1 A = E teljes¨l.) Ha A o ´ e o u invert´lhat´, ugy inverze is az ´s (A-1 )-1 = A. Ha A ´s B invert´lhat´, a o ´ e e a o akkor (AB)-1 = B -1 A-1 . Ha A invert´lhat´, ugy (A )-1 = (A-1 ) . a o ´ 5. Defin´ o. Egy A = (aij )n×n kvadratikus m´trixhoz rendelj¨nk hozz´ ici´ a u a egy val´s sz´mot ugy, hogy: o a ´ ­ minden sorb´l kiv´lasztunk pontosan egy elemet ugy, hogy minden o a ´ oszlopb´l is ki legyen v´lasztva pontosan egy elem, o a ­ ezen elemeket ¨sszeszorozzuk ´s pozit´ vagy negat´ eljellel l´tjuk el o e iv iv o a aszerint, hogy a kiv´lasztott elemek (amennyiben sorindexeik term´a e szetes sorrendben vannak) oszlopindexeinek permut´ci´j´ban az ina oa verzi´k (felcser´lt elemek) sz´ma p´ros vagy p´ratlan. o e a a a ­ a tagokat minden lehets´ges m´don k´pezve ¨sszeadjuk. e o e o Az ´ kapott D sz´mot az (aij )n×n m´trix determin´ns´nak nevezz¨k igy a a a a u ´s e a11 . . . a1n . . . = |A| D= . . . an1 . . . ann jel¨lj¨k (n-edrend determin´ns). o u u a 39

Megjegyz´sek: e 1. D =
k1 ,...,kn

(-1)I a1k1 · . . . · ankn , ahol I a k1 , . . . , kn permut´ci´ban l´v a o e o

inverzi´k sz´ma. Az ¨sszeg n! tagot tartalmaz. o a o 2. P´ld´k: e a a11 a21 a12 = a11 a12 - a12 a21 a22 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 =? a33

3. Egy determin´ns aik elem´hez tartoz´ aldetermin´nson azt az Aik n - 1a e o a edrend determin´nst ´rtj¨k, mely az eredetibl az i-edik sor ´s a k-adik u a e u o e oszlop elhagy´s´val ad´dik, ell´tva a (-1)i+k eljellel. aa o a o 3. T´tel. Egy A = (aij )n×n m´trix determin´nsa rendelkezik az al´bbi e a a a tulajdons´gokkal: a 1) Ha valamelyik sor´ban (oszlop´ban) csupa 0 van, akkor D = 0. a a 2) a11 . . . a1n . . . . a11 . . . a1n . . . . . ai1 . . . ain = . . . . . . . an1 . . . ann . . an1 3) a11 . . . ai1 + bi1 . . . an1 4) 5) 6) ... ... ... a1n . . . a11 . . . ... ... ... a1n . . . a11 . . . ... ... ... a1n . . . bin . . . ann ... ann

ain + bin = ai1 . . . . . . ann an1

ain + bi1 . . . . . . ann an1

Ha k´t sor´t felcser´lj¨k ´rt´ke (-1)-szeres´re v´ltozik. e a e u e e e a Ha k´t sor megegyezik, ´rt´ke 0. e e e ´ e Ert´ke nem v´ltozik, ha egyik sor´hoz hozz´adjuk egy m´ik sor´t, a a a a a vagy annak t¨bbsz¨r¨s´t. o ooe ´ e 7) Ert´ke nem v´ltozik, ha sorait ´s oszolpait felcser´lj¨k. a e e u 8) D =
n

aik Aik (kifejt´si t´tel). e e 40

k=1

Mindezek megfogalmazhat´k sorok helyett oszlopokra is. o Bizony´ as. A defin´ o alapj´n. it´ ici´ a 4. T´tel (determin´nsok szorz´st´tele). K´t ugyanolyan rend kvade a a e e u ratikus m´trix determin´ns´nak szorzata egyenl a szorzatm´trix detera a a o a min´ns´val: a a |A · B| = |A| · |B| 5. T´tel. Ha az A kvadratikus m´trix invet´lhat´, akkor a determin´nsa e a a o a nem 0 (azaz A regul´ris m´trix). a a Bizony´ as. A invert´lhat´, ´ l´tezik az A-1 inverze, melyre A · A-1 = E. it´ a o igy e ´ a szorz´st´tel miatt Igy a e 1 = |E| = |A · A-1 | = |A| · |A-1 | , amibl |A| = 0 k¨vetkezik. o o 6. T´tel. Ha |A| = 0 (azaz A regul´ris), akkor invert´lhat´ ´s A-1 ine a a o e verz´re: e A11 A21 . . . An1 1 A12 A22 . . . An2 1 . A-1 = . = . . |A| (Aji )n×n |A| . . A1n A2n ... Ann teljes¨l, ahol Aij az A = (aij )n×n m´trix aij elem´hez tartoz´ adjung´lt u a e o a aldetermin´ns. a Bizony´ as. K¨nnyen bel´that´, hogy it´ o a o
n

ajs Ais = ij |A| ,
s=1

ahol ij = =
n×n

1 0

j=i, j=i.

Ezut´n m´r a a AA-1 =



1 aij Akj |A| j=1
-1

n

1 (ik |A|) = (ik )n×n = E |A|

k¨vetkezik, azaz A o

az A inverze. 41

6. Defin´ o. Az A : Rn Rm lek´pez´st (transzform´ci´t) line´risnak ici´ e e a o a nevezz¨k, ha u A(x + y) = A(x) + A(y), A(x) = A(x), x, y Rn , x Rn , R

teljes¨l. u Az A : Rn Rm line´ris lek´pez´sek ¨sszess´g´t szok´s L(Rn , Rm )-mel a e e o e e a jel¨lni. o Legyen A m × n-es m´trix, ugy az a ´ . A(x) = A · x (x Rn ) szerint ´rtelmezett lek´pez´s (transzform´ci´) A : Rn Rm t´ u line´ris e e e a o ipus´ a lek´pez´s (transzform´ci´). e e a o M´sr´szt b´rmely A : Rn Rm line´ris lek´pez´s a e a a e e A(x) = A · x (x Rn , A m × n-es m´trix) a alakba ´ irhat´. o ´ b´rmely A : Rn Rm line´ris lek´pez´s azonos´ Igy a a e e ithat´ egy A m × n-es o m´trixszal. a 7. Defin´ o. Ha A L(Rn , Rm ), akkor az ici´ . A = sup { Ax }
x 1

sz´mot az A line´ris lek´pez´s norm´j´nak nevezz¨k. a a e e aa u 7. T´tel. A norma fontosabb tulajdons´gai: e a Ax A BA B x ; A ; A < +; A = || A ; (A L(Rn , Rm ), B L(Rm , Rk )).

A+B A + B ;

42

2. A differenci´lhat´s´g a o a
A tov´bbiakban olyan f : D Rn Rm t´ u f¨ggv´nyekkel foglalkoa ipus´ u e zunk, ahol D ny´ halmaz Rn -ben ´s f = (f1 , . . . , fm ), ahol f1 , . . . , fm az f ilt e komponens f¨ggv´nyei. Rn ´s Rm elemeit is oszlopm´trixokkal reprezent´lu e e a a juk (ha m´st nem mondunk). a 1. Defin´ o. Azt mondjuk, hogy az f : D Rn Rm f¨ggv´ny difici´ u e ferenci´lhat´ az x0 D pontban, ha l´tezik egy A L(Rn , Rm ) line´ris a o e a lek´pez´s, hogy e e (1)
xx0

lim

. Ekkor f (x0 ) = A az f f¨ggv´ny x0 -beli differenci´lh´nyadosa, m´ u e a a ig . df (x0 , x - x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) az f x0 -beli els differenci´lja. o a Megjegyz´s: Ha f : D Rn R t´ u f¨ggv´ny, ugy f (x) = A = e ipus´ u e ´ (a1 . . . an ) 1 × n-es sorm´trix, m´ az els differenci´l a a ig o a
n

f (x) - f (x0 ) - A(x - x0 ) x - x0 Rn

Rm

=0.

d f (x0 , x - x0 ) =
i=1

ai (xi - x0i )

sz´m. a 1. T´tel. Ha az 1. defin´ oban (1) az A = A1 ´s A = A2 eset´n is teljes¨l, e ici´ e e u ugy A1 = A2 (azaz a differenci´lh´nyados egy´rtelmen meghat´rozott). ´ a a e u a 2. T´tel. Az f : D Rn Rm f¨ggv´ny differenci´lhat´ az x0 D e u e a o pontban, ha a) l´tezik A L(Rn , Rm ) line´ris lek´pez´s ´s : D Rn Rm e a e e e f¨ggv´ny, hogy u e (2) ´s lim e
xx0

f (x) - f (x0 ) = A(x - x0 ) + (x) (x) = 0. x - x0 43

vagy b) l´tezik A L(Rn , Rm ) line´ris lek´pez´s ´s : D Rn Rm e a e e e f¨ggv´ny, hogy u e (3)
xx0

f (x) - f (x0 ) = A(x - x0 ) + (x) x - x0 ´s lim (x) = (x0 ) = 0. e

Bizony´ as. it´ A) Rendez´s ´s abszol´t´rt´k k´pz´se ut´n (2) ´s (3) is adja (1) tele e ue e e e a e jes¨l´s´t. ue e B) (1)-bl a hat´r´rt´k defin´ oja ´s tulajdons´gai miatt kapjuk a) ´s b) o ae e ici´ e a e ´s ´ (2) ´s (3) teljes¨l´s´t. e igy e ue e 3. T´tel. Ha az f : D Rn Rm f¨ggv´ny differenci´lhat´ az x0 D e u e a o pontban, akkor ott folytonos is. Bizony´ as. Elegend megmutatni, hogy it´ o ()
xx0

lim

f (x) - f (x0 ) = 0.

Az elz t´tel b) r´sze adja, hogy l´tezik A L(Rn , Rm ) line´ris lek´pez´s, o o e e e a e e ´s : D Rn Rm f¨ggv´ny, hogy lim (x) = (x0 ) = 0 ´s e u e e
xx0

f (x) - f (x0 ) = A(x - x0 ) + (x) x - x0 A(x - x0 ) + (x) x - x0 A

x - x0 .

x - x0 + (x)

A kapott egyenltlens´gbl x x0 hat´r´tmenettel kapjuk ()-ot. o e o aa Megjegyz´s: A t´tel megford´ asa ´ltal´ban nem igaz. P´ld´ul az e e it´ a a e a xy (x, y) = (0, 0), x2 + y 2 f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0) f¨ggv´ny folytonos a (0, 0) pontban, de nem differenci´lhat´. u e a o 4. T´tel. Az f = (f1 , . . . , fm ) : D Rn Rm f¨ggv´ny differenci´le u e a hat´ az x0 D pontban, ha az fi (i = 1, . . . , m) f¨ggv´nyek differenci´lhao u e a t´k x0 -ban, tov´bb´ f (x0 )i = fi (x0 ). o a a 44

3. Ir´nymenti ´s parci´lis deriv´lt a e a a
1. Defin´ o. Legyen f : D Rn Rm , x0 D ´s e Rn ( e = 1) ici´ e adott. A f (x0 + te) - f (x0 ) . De f (x0 ) = lim t0 t ´rt´ket, ha l´tezik, az f f¨ggv´ny x0 -beli e ir´nymenti differenci´lh´nyadoe e e u e a a a s´nak nevezz¨k. a u 1. T´tel. Ha az f : D Rn Rm f¨ggv´ny differenci´lhat´ az x0 D e u e a o pontban, akkor e Rn ir´nymenti deriv´ltja l´tezik ´s a a e e De f (x0 ) = f (x0 ) · e . Bizony´ as. Az elz paragrafus 2. t´tel´nek b) r´sz´t x = x0 + te, it´ o o e e e e A = f (x0 ) mellet haszn´lva a f (x0 + te) - f (x0 ) 1 = [f (x0 )(x0 + te - x0 ) + (x0 + te)|t|] = t t |t| = f (x0 ) · e + (x0 + te) t k¨vetkezik (|t| < eset´n ­ alkalmas mellett), ami t 0 hat´r´tmenettel o e aa adja az ´ll´ ast. a it´ Megjegyz´s: A t´tel megford´ asa ´ltal´ban nem igaz. e e it´ a a 2. Defin´ o. Ha f = (f1 , . . . , fm ) : D Rn Rm , x0 D ´s ici´ e ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), akkor a fj . (x0 ) = Dei fj (x0 ) xi (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m) sz´mokat, ha l´teznek az f j-edik kompoa e nensf¨ggv´nye i-edik v´ltoz´ja szerinti parci´lis deriv´ltjainak nevezz¨k x0 u e a o a a u ban. Di fj (x0 ) = . Megjegyz´s: Ha j (t) = fj (x01 , . . . , x0i-1 , t, x0i+1 , . . . , x0n ) (|t| < ), e akkor Di fj (x0 ) = j (x0i ) . 45
i

2. T´tel. Ha az f = (f1 , . . . , fm ) : D Rn Rm f¨ggv´ny az x0 D e u e pontban differenci´lhat´, akkor Di fj parci´lis deriv´lt l´tezik ´s a o a a e e f (x0 ) = (Di fj (x0 ))m×n Bizony´ as. it´ Az elz paragrafus 4. t´tele adja, hogy b´rmelyik fj differenci´lhat´ x0 -ban o o e a a o . ´s akkor az elz t´tel szerint e-re, ´ ei -re is Dei fj (x0 ) = Di fj (x0 ). e o o e igy Tov´bb´: a a . . f (x0 ) = (fj (x0 ))m×1 ´s [fj (x0 )]i = fj (x0 ) · ei = Dei fj (x0 ) = Di fj (x0 ) e miatt kapjuk f (x0 ) el´ll´ as´t is. oa it´ a 3. T´tel. Ha az f = (f1 , . . . , fm ) : D Rn Rm f¨ggv´ny b´rmely e u e a parci´lis deriv´ltja l´tezik az x0 D egy K(x0 , ) k¨rnyezet´ben ´s folytoa a e o e e nosak x0 -ban, akkor f differenci´lhat´ x0 -ban. a o A 2. ´s 3. t´tel felhaszn´l´s´val egyszeren bizony´ e e aa a u ithat´ a k¨vetkez: o o o 4. T´tel. Ha f : D Rn Rm adott f¨ggv´ny, akkor a k¨vetkez e u e o o a it´ ´ll´ asok ekvivalensek: a) Di fj (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m) l´tezik ´s folytonos D-n. e e b) f differenci´lhat´ D-n ´s f : D L(Rn , Rm ) folytonos D-n. a o e Az egyv´ltoz´s f¨ggv´nyek differenci´lhat´s´g´nak fogalma ´s az elbbi a o u e a oa a e o t´tel alapj´n term´szetes a k¨vetkez: e a e o o 3. Defin´ o. Azt mondjuk, hogy az f : D Rn Rm f¨ggv´ny folytoici´ u e nosan differenci´lhat´ D-n, ha a o a) f differenci´lhat´ ´s f folytonos D-n, a oe vagy b) Di fj l´tezik ´s folytonos D-n e e teljes¨l. u

46

4. Differenci´l´si szab´lyok aa a
1. T´tel. Ha az f, g : D Rn Rm , : D R f¨ggv´nyek diffee u e f renci´lhat´k x0 D-ben, akkor az f + g, f, a o ( = 0) f¨ggv´nyek is u e differenci´lhat´k ´s a o e (f + g) (x0 ) = f (x0 ) + g (x0 ), (f ) (x0 ) = f (x0 ) (x0 ) + (x0 )f (x0 ), f teljes¨l. u Bizony´ as. A defin´ o alapj´n p´ld´ul az els esetben az it´ ici´ a e a o (f + g)(x) - (f + g)(x0 ) - (f (x0 ) + g (x0 ))(x - x0 ) x - x0 f (x) - f (x0 ) - f (x0 )(x - x0 ) g(x) - g(x0 ) - g (x0 )(x - x0 ) + x - x0 x - x0 egyenltlens´gbl, x x0 hat´r´tmenettel j¨n az ´ll´ as. o e o aa o a it´ 2. T´tel (az ¨sszetett f¨ ggv´ny differenci´lhat´s´ga). e o u e a o a Ha f : D Rn Rm , g : E f (D) Rm Rk olyan, hogy f differenci´lhat´ x0 D-ben ´s g differenci´lhat´ f (x0 )-ban, akkor az a o e a o F = g f : D Rk f¨ggv´ny differenci´lhat´ x0 -ban ´s u e a o e ¨ (OD) F (x0 ) = g (f (x0 )) · f (x0 ) . (D ´s E ny´ halmazok ´s (OD)-ben m´trixok szorz´sa szerepel.) e ilt e ¨ a a Megjegyz´sek: e ¨ 1) Ha k = 1, akkor (OD) alakja F (x0 ) = (D1 F (x0 ) . . . Dn F (x0 )) = D1 f1 (x0 ) . . . . . = D1 g f (x0 ) . . . Dm g f (x0 ) . 47 Dn f1 (x0 ) . . . D1 fm (x0 ) . . . Dn fm (x0 ) (x0 ) = (x0 )f (x0 ) - f (x0 ) (x0 ) 2 (x0 )

´s akkor p´d´ul e e a Dj F (x0 ) =
m k=1

Dk g f (x0 ) · Dj fk (x0 ) .

2) Ha k = 1, n = 1, akkor F (t) = g(f1 (t), . . . , fm (t)), F (x0 ) =
m F Dj g f (x0 ) fj (x0 ) . (x0 ) = t j=1

3. T´tel. Legyen f : D Rn Rn , x0 D, f (x0 ) = y0 . Tegy¨k e u fel, hogy g az y0 egy k¨rnyezet´t Rn -be k´pez f¨ggv´ny, hogy g(y0 ) = x0 o e e o u e ´s g(f (x)) = id(x) x K(x0 , ). Ha f differenci´lhat´ x0 -ban ´s g e a o e differenci´lhat´ y0 -ban, akkor a o g (y0 ) = (f (x0 ))-1 (Itt (f (x0 ))-1 az f (x0 ) m´trix inverz´t jel¨li.) a e o Megjegyz´s: Ha egy f differenci´lhat´ f¨ggv´nynek l´tezik differenci´lhae a o u e e a t´ inverze, akkor sz¨ks´gk´ppen f (x) nem szingul´ris m´trix. o u e e a a

5. K¨z´p´rt´kt´telek ´s k¨vetkezm´nyeik o e e e e e o e
A k¨vetkezkben az egyv´ltoz´s f¨ggv´nyekre ismert Lagrange-f´le k¨o o a o u e e o z´p´rt´kt´tel felhaszn´l´s´val mondunk ki, illetve bizony´ e e e e aa a itunk be hasonl´ o t´ u t´teleket. ipus´ e 1. T´tel. Ha az f : D Rn R f¨ggv´ny differenci´lhat´ a D (ny´ e u e a o ilt) halmazon ´s D tartalmazza az x0 ´s x0 + h v´gpont´ [x0 , x0 + h]-val jel¨lt e e e u o szakaszt, akkor l´tezik c = x0 + t0 h (0 < t0 < 1) pont ezen a szakaszon, e hogy f (x0 + h) - f (x0 ) = f (c) · h . Bizony´ as. A it´ . (t) = f (x0 + th) (t [0, 1])

szerint defini´lt f¨ggv´ny az ¨sszetett f¨ggv´ny differenci´lhat´s´g´ra voa u e o u e a oa a natkoz´ t´tel miatt differenci´lhat´ ´s o e a oe (t) = f (x0 + th) · h 48 (t [0, 1])

Tov´bb´ teljes´ az egyv´ltoz´s Lagrange-t´tel felt´teleit a [0, 1] intervala a iti a o e e lumon, ´ t0 (0, 1) (´s ´ c = x0 + t0 h), hogy igy e igy f (x0 + h) - f (x0 ) = (1) - (0) = (t0 ) · 1 = f (c) · h . 2. T´tel. Legyen D Rn ny´ ´s konvex halmaz (azaz x1 , x2 D = e ilt e [x1 , x2 ] D). Ha f : D R differenci´lhat´ D-n ´s M R, hogy a o e f (x) M ( x D), akkor |f (x) - f (y)| M x - y teljes¨l. u Bizony´ as. Legyen x, y D (konvex) = [x, y] D, ´ az 1. t´tel miatt it´ igy e (x = x0 ´s y = x0 + h mellett) c (x, y), hogy e f (x) - f (y) = f (c)(x - y) , melybl o |f (x) - f (y)| = |f (c)(x - y)| f (c) x-y M x-y k¨vetkezik tetszleges x, y D eset´n, amit bizony´ o o e itani kellett. K¨vetkezm´ny: Ha a 2. t´tel felt´telei mellett m´g f (x) = 0 (x D) is o e e e e teljes¨l, akkor f (x) = c (x D). u 3. T´tel. Ha az f : K(x0 , ) Rn R f¨ggv´ny Di f (i = 1, . . . , n) e u e parci´lis deriv´ltja l´tezik, akkor h Rn , 0 < h < eset´n l´teznek a a e e e c1 , . . . , cn K(x0 , ) vektorok, hogy () f (x0 + h) - f (x0 ) =
n i=1

( x, y D)

Di f (ci )hi

(h = (h1 , . . . , hn )).

K¨vetkezm´ny. Ha az f : D Rn R f¨ggv´ny Di f parci´lis deo e u e a riv´ltja l´tezik ´s korl´tos valamely K(x0 , ) D k¨rnyezetben, akkor f a e e a o folytonos x0 -ban. Bizony´ as. A 3. t´tel miatt () teljes¨l, melybl it´ e u o |f (x0 + h) - f (x0 )| =
n i=1 n i=1

Di f (ci )hi M

|hi |

h <

k¨vetkezik (ha |Di f (ci )| M i = 1, . . . , n). o 49

Ebbl pedig, felhaszn´lva, hogy h 0-b´l hi 0 is k¨vetkezik ( i-re) o a o o kapjuk, hogy lim |f (x0 + h) - f (x0 )| = 0 ,
h0

ami adja, hogy
xx0

lim f (x) = f (x0 )

´s ´ (mivel x0 torl´d´si pontja ´s pontja is D-nek) f folytonos x0 -ban. e igy o a e Megjegyz´s: A k¨vetkezm´ny igaz f = (f1 , . . . , fm ) : D Rn Rm e o e t´ u f¨ggv´nyekre is, ha Di fj l´tezik ´s korl´tos valamely ipus´ u e e e a K(x0 , ) D-ben. Ekkor fj folytonoss´ga teljes¨l x0 -ban (a k¨vetkeza u o m´ny miatt). Ugyanakkor az fj -k x0 -beli folytonoss´ga adja az e a f = (f1 , . . . , fm ) f¨ggv´ny folytonoss´g´t is x0 -ban. u e a a

6. Magasabbrend deriv´ltak, Young ´s Taylor t´tele u a e e
1. Defin´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : D Rn R f¨ggv´ny k´tszer ici´ u e e differenci´lhat´ az x0 D-ben, ha a o ­ > 0, hogy f differenci´lhat´ K(x0 , ) D-n, a o ­ a Di f (i = 1, . . . , n) f¨ggv´nyek differenci´lhat´k x0 -ban. u e a o Ekkor (a kor´bbiak szerint) l´teznek a Dj (Di f ) (i, j = 1, . . . , n) parci´lis a e a deriv´ltak x0 -ban ´s a a e Dj (Di f )(x0 ) = Dj Di f (x0 ) = Dij f (x0 ) = = 2f (x0 ) = fxi xj (x0 ) xj xi

sz´mokat az f f¨ggv´ny x0 -beli m´sodrend, i-edik ´s j-edik v´ltoz´ szerinti a u e a u e a o parci´lis deriv´ltjainak nevezz¨k. a a u Ha D1 D jel¨li azon x-ek halmaz´t, ahol Dj Di f (x), akkor o a Dj Di f : D1 R az f i-edik ´s j-edik v´ltoz´ szerinti m´sodrend parci´lis e a o a u a deriv´lt f¨ggv´nye D1 -en. a u e

50

Megjegyz´sek: e 1) Defini´lhat´k a magasabbrend parci´lis deriv´ltak is: a o u a a Ha adott i1 , . . . , ir-1 -re Di1 . . . Dir-1 f (= Di1 ...ir-1 f ) K(x0 , )-n, akkor . Di1 ...ir f (x0 ) = Dir (Di1 ...ir-1 f )(x0 ) az f f¨ggv´ny i1 , . . . , ir v´ltoz´k szerinti r-edrend parci´lis deriv´ltja x0 u e a o u a a ban. Ha i1 = i2 = · · · = ir = k, ugy ´ . r Dk f = Dk . . . Dk f a k-adik v´ltoz´ szerinti r-edrend tiszta" parci´lis deriv´ltat jel¨li. a o u a a o " 2) Mivel f = (D1 f, . . . , Dn f ), ´ a k´tszeri differenci´lhat´s´g fogalma igy e a oa ekvivalens a k¨vetkezvel: o o ­ > 0, hogy f differenci´lhat´ K(x0 , )-n, a o ­ f differenci´lhat´ x0 -ban. a o . f (x0 ) = (f ) (x0 )-t f x0 -beli m´sodik deriv´ltj´nak nevezz¨k. a a a u 2. Defin´ o. Azt mondjuk, hogy az ici´ f = (f1 , . . . , fm ) : D Rn Rm f¨ggv´ny k´tszer differenci´lhat´ az u e e a o x0 D pontban, ha az f1 , . . . , fm f¨ggv´nyek k´tszer differenci´lhat´k x0 u e e a o ban ´s e f (x0 ) = (f1 (x0 ), . . . , fm (x0 )). 3. Defin´ o. Azt mondjuk, hogy az f : D Rn R f¨ggv´ny r-szer ici´ u e (r 2) differenci´lhat´ x0 -ban, ha a o ­ > 0, hogy f r - 1-szer differenci´lhat´ K(x0 , )-n, a o ­ a Di1 . . . Dir-1 f (1 i1 , . . . , ir-1 n) r - 1-edrend parci´lis deu a riv´lt f¨ggv´nyek differenci´lhat´k x0 -ban. a u e a o Ez ekvivalens azzal, hogy f (r-1) x0 egy k¨rnyezet´ben ´s ez differenci´lo e e a hat´ x0 -ban. o 4. Defin´ o. Azt mondjuk, hogy az f : D Rn R f¨ggv´ny k´tszer ici´ u e e folytonosan differenci´lhat´ x0 D-ben, ha a D1 f, . . . , Dn f f¨ggv´nyek a o u e differenci´lhat´k az x0 valamely K(x0 , ) D k¨rnyezet´ben ´s a a o o e e (Di f ) = (D1 Di f . . . Dn Di f ) f¨ggv´nyek folytonosak x0 -ban. u e 51 (i = 1, . . . , n)

Ez pontosan azt jelenti, hogy f differenci´lhat´ K(x0 , )-ban ´s f differena o e ci´lhat´ ´s deriv´ltja folytonos x0 -ban. a oe a (Hasonl´an defini´lhat´ a f¨ggv´ny r-szer folytonos differenci´lhat´s´ga is.) o a o u e a oa Gyakran" igaz adott f¨ggv´nyre, hogy Dk Dj f = Dj Dk f , vagyis az ugyu e ´ " nevezett vegyes parci´lisok megegyeznek, de van ellenp´lda is. a e Most egy elegend felt´telt adunk a vegyes parci´lisok egyenls´g´re. o e a oe e 1. T´tel (Young). Legyen f : D Rn R az a D pontban k´tszer e e differenci´lhat´, akkor a o Dk Dj f (a) = Dj Dk f (a) 1 k, j n eset´n. e Megjegyz´s: A t´tel ´ltal´nos´ e e a a ithat´ f : D Rn R, x0 D-ben r-szer o differenci´lhat´ f¨ggv´nyekre, ekkor a o u e Di1 ...ir f (x0 ) = Dj1 ...jr f (x0 ) (i1 , . . . , ir ) (j1 , . . . , jr ) r-tag´, term´szetes sz´mokb´l ´ll´ sorozatra, u e a o a o melyek egym´sb´l ´trendez´ssel keletkeznek (1 ik , js n). a o a e 5. Defin´ o. Az f : D Rn Rm , x0 D-ben differenci´lhat´ f¨ggv´ny ici´ a o u e x0 -beli, az x - x0 megv´ltoz´shoz tartoz´ els differenci´lj´n a a a o o a a . df (x0 , x - x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) (x - x0 D) . f¨ggv´nyt ´rtj¨k. Ha h = x - x0 , ugy u e e u ´ . df (x0 , h) = f (x0 )h az x0 -beli, h megv´ltoz´shoz tartoz´ els differenci´lja f -nek. Ez minden a a o o a olyan x-re ´rtelmezhet, ahol f (x), ekkor e o df (x, h) = f (x)h f x-beli, h-hoz tartoz´ els differenci´lja. o o a Ha m = 1, x - x0 = h = (h1 , . . . , hn ), akkor f x-beli, h-hoz tartoz´ els o o differenci´lja a . n df (x, h) = fxi (x)hi
i=1

alak´, ha f (x) = (fx1 (x) . . . fxn (x)). u 52

6. Defin´ o. Legyen f : D Rn R, x0 D olyan, hogy f (r) (x0 ) ici´ . (f r-szer differenci´lhat´ x0 -ban). Ekkor d1 f (x, h) = df (x, h) f x-beli, ha o r-1 hoz tartoz´ els differenci´lja. Ha d f (x, h) az f x-beli, h-hoz tartoz´ o o a o (r - 1)-edik differenci´lja ´rtelmezett valamely K(x0 , )-n, akkor f x0 -beli, a e h-hoz tartoz´ r-edik differenci´lj´n a r¨gz´ o a a o itett h mellett x f¨ggv´nyek´nt u e e tekintett dr-1 f f¨ggv´ny els differenci´lj´t ´rtj¨k x0 -ban, azaz u e o a a e u . dr f (x0 , h) = 2. T´tel. Legyen f : D R e pontban, akkor dr f (x0 , h) =
n n i=1

(dr-1 f )xi (x0 )hi .

R r-szer differenci´lhat´ az x0 D a o fxi1 ...xir (x0 )hi1 . . . hir

n

i1 ,...,ir =1

(ami r-edrend forma az fxi1 ...xir (x0 ) egy¨tthat´kkal). u u o 3. T´tel. Ha f : D Rn R r-szer differenci´lhat´ D-n, akkor az e a o F (t) = f (x+th) f¨ggv´ny minden olyan t R-re, amelyre x+th D, r-szer u e differenci´lhat´ ´s a oe F (r) (t) = dr f (x + th, h). 4. T´tel (Taylor-formula). Legyen f : D Rn R, x D ´s f (r +1)e e szer differenci´lhat´ az [x, x + h] D szakaszon, akkor (0, 1), hogy a o (TF) f (x + h) = f (x) + df (x, h) dr f (x, h) dr+1 f (x + h, h) + ··· + + 1! r! (r + 1)! F (t) = f (x + th)

Bizony´ as. Tekints¨k az it´ u F : [0, 1] R , f¨ggv´nyt. F a f (r + 1)-szeri differenci´lhat´s´ga miatt (r + 1)-szer diffeu e a oa renci´lhat´ ´s az elbbi t´tel miatt a oe o e () F (i) (t) = di f (x + th, h) (i = 1, . . . , r + 1) t [0, 1]-re. ´ F teljes´ az egyv´ltoz´s Taylor-t´tel felt´teleit, ez´rt t0 = 0 t = 1 Igy iti a o e e e eset´n (0, 1), hogy e F (1) = F (0) + F (0) F (r) (0) r F (r+1) () r+1 1 + ··· + 1 + 1 , 1! r! (r + 1)! 53

ami () miatt adja a (TF)-et.

7. Lok´lis sz´ls´rt´k a e oe e
Ismeretes a k¨vetkez: akkor mondjuk, hogy az f : D Rn R f¨ggo o u v´nynek az x0 D pontban lok´lis maximuma (minimuma) van, ha > 0, e a hogy x K(x0 , ) = f (x) f (x0 ) (f (x) f (x0 )). Az egyv´ltoz´s esethez hasonl´an igaz a k¨vetkez: a o o o o 1. T´tel (a lok´lis sz´ls´rt´k 1. sz¨ ks´ges felt´tele). e a e oe e u e e Ha f : D Rn R, x0 D (ny´ ilt), f differenci´lhat´ x0 -ban ´s f -nek a o e lok´lis sz´ls´rt´ke van x0 -ban, akkor f (x0 ) = 0. a e oe e Bizony´ as. Ha f -nek lok´lis sz´ls´rt´ke van x0 -ban, akkor K(x0 , ) D, it´ a e oe e hogy f (x) f (x0 ) (f (x) f (x0 )) x K(x0 , ), ´ ha e ( e = 1) tetszleges Rn -ben ´s |t| < , akkor igy o e f (x0 + te) - f (x0 ) 0 ( 0), ´ f x0 -beli differenci´lhat´s´ga miatt a 3.1. t´tel adja, hogy igy a oa e f (x0 )e = De f (x0 ) = lim
t0

f (x0 + te) - f (x0 ) t

0 ( 0), 0 ( 0),

ha t 0 + 0 ha t 0 - 0 ,

ami csak ugy lehets´ges, ha f (x0 )e = 0, melybl e tetszleges volta miatt ´ e o o j¨n, hogy f (x0 ) = 0. o 2. T´tel (a lok´lis sz´ls´rt´k 2. sz¨ ks´ges felt´tele). e a e oe e u e e Ha az f : D Rn R f¨ggv´nynek lok´lis sz´ls´rt´ke van x0 D-ben ´s u e a e oe e e fxi (x0 ), akkor fxi (x0 ) = 0. Bizony´ as. Ha f -nek x0 -ban lok´lis sz´ls´rt´ke van, ugy a it´ a e oe e ´ (t) = f (x01 , . . . , x0i-1 , t, x0i+1 , . . . , x0n ) f¨ggv´nynek is t = x0i -ben, ´ fxi (x0 ) = (x0i ) = 0. u e igy 54

A 6. fejezet 2. t´tele r = 2 eset´n adja, hogy az f : D Rn R f¨ggv´ny e e u e x0 -beli h = (h1 , . . . , hn )-hez tartoz´ 2. differenci´lja, ha f (x0 ) o a d2 f (x0 , h) =
n i,j=1

fxi xj (x0 )hi hj ,

ahol a Young-t´tel miatt fxi xj (x0 ) = fxj xi (x0 ) is teljes¨l. A m´sodik diffee u a renci´l teh´t ekkor a hi -k kvadratikus form´ja. Line´ris algebr´b´l ismert, a a a a a o hogy egy q(h1 , . . . , hn ) = kvadratikus forma ­ pozit´ definit, ha q > 0 h = (h1 , . . . , hn ) = (0, . . . , 0) , iv ­ negat´ definit, ha q < 0 h = (h1 , . . . , hn ) = (0, . . . , 0) , iv ­ indefinit, ha felvesz pozit´ ´s negat´ ´rt´keket is. iv e iv e e Tov´bb´ ­ Sylvester t´tele szerint ­ egy kvadratikus forma pozit´ a a e iv, illetve negat´ definit, ha a iv 1 = a11 , a 2 = 11 a21 a12 , . . . , n = a22 a11 . . . an1 ... a1n . . .
n i,j=1

aij hi hj

(aij = aji )

. . . ann

ugynevezett bal fels sarokdetermin´nsok pozit´ ´ o a ivak, illetve v´ltakozva nea gat´ ivak ´s pozit´ e ivak. Ezen fogalmak, a Taylor-t´tel ´s a differenci´lhat´s´g defin´ oja alapj´n e e a oa ici´ a bizony´ ithat´ a k¨vetkez: o o o 3. T´tel (a lok´lis sz´ls´rt´k elegend felt´tele). e a e oe e o e Ha az f : D Rn R f¨ggv´ny k´tszer differenci´lhat´ az x0 D u e e a o pontban, tov´bb´ f (x0 ) = 0 ´s d2 f (x0 , h) pozit´ (negat´ definit, akkor a a e iv iv) x0 -ban f -nek szigor´ lok´lis minimuma (maximuma) van. u a Megjegyz´sek: e 1) A t´tel felt´telei mellett i > 0 (i = 1, . . . , n) eset´n szigor´ lok´lis e e e u a minimuma, (-1)i i > 0 (i = 1, . . . , n) eset´n szigor´ lok´lis maximuma e u a van f -nek x0 -ban. 55

2) Ha d2 f indefinit, akkor az elbbi bizony´ as mutatja, hogy f -nek nincs o it´ sz´ls´rt´ke x0 -ban (az adott felt´telek mellett). e oe e e

8. Inverzf¨ ggv´ny-t´telek u e e
A 4. fejezet 3. t´tele ut´n megjegyezt¨k, hogy egy differenci´lhat´ e a u a o f : D Rn Rn (D ny´ f¨ggv´ny differenci´lhat´ inverz´nek l´tez´s´hez ilt) u e a o e e ee sz¨ks´ges, hogy f (x) m´trixa nem szingul´ris, ami a line´ris algebr´b´l u e a a a a o tanultak szerint azt is adja, hogy det f (x) = 0. Megmutatjuk, hogy folytonosan differenci´lhat´ f¨ggv´nyek eset´n a fela o u e e t´tel ­ legal´bbis lok´lisan ­ el´gs´ges is. e a a e e 1. Defin´ o. Az f : D Rn Rn lek´pez´st (f¨ggv´nyt) regul´risnak ici´ e e u e a nevezz¨k, ha folytonosan differenci´lhat´ ´s u a oe D1 f1 (x) . . det f (x) = . D1 fn (x) ... Dn f1 (x) . . =0 . (x D) .

. . . Dn fn (x)

2. Defin´ o. Az f : D Rn Rn lek´pez´st (f¨ggv´nyt) lok´lisan ici´ e e u e a invert´lhat´nak nevezz¨k D-n, ha x0 D eset´n K(x0 , r) D, hogy a o u e f |K(x0 ,r) (f leszk´ ese K(x0 , r)-re) invert´lhat´ f¨ggv´ny. u it´ a o u e 1. T´tel (a lok´lis invert´lhat´s´g elegend felt´tele). e a a o a o e Legyen f : D Rn Rn regul´ris lek´pez´s (f¨ggv´ny), akkor lok´lisan a e e u e a invert´lhat´ D-n a o 2. T´tel (az inverz f¨ ggv´ny folytonoss´ga). Ha az f : D Rn Rn e u e a f¨ggv´ny (D ny´ regul´ris ´s k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm D-n, akkor u e ilt) a e o o o e u a) f (D) ny´ Rn -ben; ilt b) az f f¨ggv´ny g : f (D) D inverz f¨ggv´nye folytonos. u e u e 3. T´tel (az inverz f¨ ggv´ny regularit´sa). Ha az f : D Rn Rn e u e a f¨ggv´ny (D ny´ regul´ris ´s k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm D-n, akkor a u e ilt) a e o o o e u g : f (D) D inverz f¨ggv´nye regul´ris. u e a 56

Az elz h´rom t´tel eredm´nyeinek ¨sszefoglal´sa a k¨vetkez: o o a e e o a o o 4. T´tel (inverzf¨ ggv´ny-t´tel). Ha az f : D Rn Rn f¨ggv´ny a e u e e u e D ny´ halmazon regul´ris, akkor lok´lisan invert´lhat´ ´s a lok´lis inverzek ilt a a a oe a regul´risak, azaz x0 D eset´n U ´s V ny´ r´szhalmaza Rn -nek, hogy a e e ilt e x0 U D, f (U ) = V , tov´bb´ f k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm U -n, a g = f -1 a a o o o e u f¨ggv´ny folytonosan differenci´lhat´ V -n, ´s det g = 0 V -n. u e a o e Bizony´ as. it´ Az 1. t´tel adja f lok´lis invert´lhat´s´g´t D-n, ´ x0 D eset´n l´tezik e a a oa a igy e e K(x0 , ) = U D ny´ halmaz, hogy f k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm U -n. A 2. ilt o o o e u t´tel miatt az f (U ) = V halmaz ny´ Rn -ben, m´ 3. t´tel miatt a g = f -1 e ilt ig e lok´lis inverz regul´ris V -n. a a Megjegyz´s: Az f : D Rn Rn f¨ggv´ny lok´lis invert´lhat´s´g´t ugy e u e a a oa a ´ is fogalmazhatjuk, hogy az y = f (x) egyenlet, illetve az y = (y1 , . . . , yn ) = (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn )) = f (x) miatt ad´d´ o o yi = fi (x1 , . . . , xn ) (i = 1, . . . , n) egyenletrendszer megoldhat´ x1 , . . . , xn -re az y1 , . . . , yn f¨ggv´ny´ben (ha o u e e x0 D-re x ´s y az x0 ´s y0 = f (x0 ) el´g kis k¨rnyezet´ben vannak). e e e o e

9. Implicit f¨ ggv´nyek u e
Defin´ o. Legyenek D1 Rk ´s D2 Rn ny´ halmazok ´s ici´ e ilt e f = (f1 , . . . , fn ) : D = D1 × D2 Rk+n Rn adott f¨ggv´ny (f¨ggv´nyrendszer). u e u e A g = (g1 , . . . , gn ) : D1 Rn f¨ggv´nyt (f¨ggv´nyrendszert) az u e u e (1) (1') (2) f (x, y) = 0 (x = (x1 , . . . , xk ), y = (y1 , . . . , yn )) (i = 1, . . . , n) egyenlet (illetve az fi (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yn ) = 0 f (x, g(x)) = 0 57 egyenletrendszer) megold´s´nak nevezz¨k, ha aa u (x D1 )

teljes¨l. Ekkor a g = (g1 , . . . , gn ) f¨ggv´nyt (f¨ggv´nyrendszert) az (1) u u e u e egyenlet ´ltal adott implicit f¨ggv´nynek (f¨ggv´nyrendszernek) szok´s nea u e u e a vezni. (Ha k = n = 1, ugy az f ´s a g f¨ggv´ny f : D R2 R, illetve ´ e u e g : D1 R R t´ u.) ipus´ Fontos k´rd´sek: e e ­ Mikor l´tezik implicit f¨ggv´ny? e u e ­ Mit mondhatunk (alkalmas felt´telek mellett) az implicit f¨ggv´ny e u e differenci´lhat´s´g´r´l? a oa ao Jel¨l´sek: oe ­ Ha f = (f1 , . . . , fn ) : D Rm Rn differenci´lhat´, ugy a o ´ . f . (f1 , . . . , fn ) = . f = x (x1 , . . . , xm ) ­ Ha f : D Rk+n Rn (D = D1 × D2 ny´ ilt), akkor . f f f = x y (x = (x1 , . . . , xk ), y = (y1 , . . . , yn )).

Megjegyz´s: Az implicit f¨ggv´ny meghat´roz´s´n´l egy n egyenletbl e u e a aa a o a o ´ll´ k + n ismeretlenes egyenletrendszert oldunk meg ugy, hogy az utols´ n ´ o ismeretlent fejezz¨k ki az els k-val (az egyszers´g kedv´´rt). u o ue ee 1. T´tel. Legyen f : D = D1 × D2 Rk+n Rn (D1 ´s D2 ny´ e e ilt) differenci´lhat´ f¨ggv´ny. Tegy¨k fel, hogy l´tezik az (1) egyenlet ´ltal a o u e u e a adott (2)-t teljes´ o g : D1 Rn differenci´lhat´ implicit f¨ggv´ny. Akkor it a o u e (ID1) illetve ha a (ID2) teljes¨l. u Bizony´ as. Ha l´tezik differenci´lhat´ g, ugy legyen it´ e a o ´ . . k+n h, H : D1 R , h(x) = (x, g(x)), H(x) = f (h(x)) = f (x, g(x)), 58 f f (x, g(x)) + (x, g(x)) · g (x) = 0, x y f n × n-es m´trix nem szingul´ris az (x, g(x)) pontban, akkor a a y g (x) = - f (x, g(x)) y
-1

f (x, g(x)) x

akkor egyr´szt H(x) = 0 (x D1 ) m´sr´szt (az ¨sszetett f¨ggv´ny differene a e o u e ci´l´si szab´lya miatt): aa a f f Ik (h(x)) (h(x)) · = g (x) x y f f (x, g(x)) + (x, g(x)) · g (x) = x y f azaz (ID1) teljes¨l. Ha pedig u (x, g(x)) nem szingul´ris, ugy (ID1)-et a ´ y -1 f (x, g(x)) -gyel balr´l szorozva, rendez´s ut´n kapjuk (ID2)-t is. o e a y 0 = H (x) = f (h(x)) · h (x) = 2. T´tel (implicitf¨ ggv´ny-t´tel). Legyen f : D Rk+n Rn olyan e u e e f folytonosan differenci´lhat´ f¨ggv´ny, hogy (a, b) D, det a o u e (a, b) = 0 y f (azaz (a, b) nem szingul´ris). Akkor K(a, r) Rk ´s egy egy´rtelmen a e e u y n meghat´rozott, folytonos g : K(a, r) R f¨ggv´ny, hogy g(a) = b ´s a u e e f (x, g(x)) = 0 (x K(a, r)) (azaz az (1) ´ltal meghat´rozott, (2)-t teljes´ o a a it implicit f¨ggv´ny K(a, r)-en). Tov´bb´ g folytonosan differenci´lhat´. u e a a a o

10. Felt´teles sz´ls´rt´k e e oe e
Defin´ o. Legyen f : D Rk+n R, h = (h1 , . . . , hn ) : D Rn . Az f ici´ f¨ggv´nynek az x0 D (D ny´ pontban a u e ilt) h(x) = 0 (h1 (x) = · · · = hn (x) = 0) felt´tel mellett felt´teles lok´lis sz´ls´rt´ke van, ha e e a e oe e ­ h(x0 ) = 0 (h1 (x0 ) = · · · = hn (x0 ) = 0) ´s e ­ > 0, x K(x0 , ) h(x) = 0 f (x) f (x0 ) (f (x) f (x0 )) teljes¨l. u T´tel (a felt´teles lok´lis sz´ls´rt´k sz¨ ks´ges felt´tele). Legyen e e a e oe e u e e f : D Rk+n R, h = (h1 , . . . , hn ) : D Rn . Ha az f f¨ggv´nynek u e 59

az x0 D (D ny´ pontban a h(x) = 0 felt´tel mellett felt´teles lok´lis ilt) e e a sz´ls´rt´ke van, tov´bb´ f ´s h folytonosan differenci´lhat´k az x0 egy e oe e a a e a o k¨rnyezet´ben, akkor o e ­ vagy a Dj hi (x0 ) sa z´rus e ­ vagy i R (i = 1, . . . , n) sz´mok, hogy a a F : D R, F (x) = f (x) +
n i=1 n×(k+n)

m´trix minden n-edrend aldetermin´na u a

i hi (x)

f¨ggv´ny minden parci´lis deriv´ltja z´rus x0 -ban, azaz u e a a e Dj F (x0 ) = 0 (j = 1, . . . , k + n).

Megjegyz´s: A t´tel szerint a lehets´ges felt´teles sz´ls´rt´k helyek mege e e e e oe e hat´roz´s´hoz a a aa n Dj f (x) + i Dj hi (x) = 0 j = 1, . . . , k + n i=1 hi (x) = 0 i = 1, . . . , n k + 2n egyenletbl ´ll´ k + 2n ismeretlenes (x1 , . . . , xk+n , 1 , . . . , n ) egyeno a o letrendszert kell megoldani.

60

Feladatsor
1) Sz´m´ a itsa ki az al´bbi f¨ggv´nyek parci´lis deriv´ltjait: a u e a a f1 (x, y) = x4 + y 4 - 4x2 y 2 f2 (x, y) = log(x2 + y 2 ) y f3 (x, y) = arctg x x+y f4 (x, y) = arctg 1 - xy x f5 (x, y) = x2 + y 2 f6 (x, y) = x · sin(x + y) f7 (x, y) = cos x2 y 1 x2 + y 2 + z 2 x y
z y x

((x, y) R2 ); (x2 + y 2 = 0); ((x, y) D =?); ((x, y) D =?); (x2 + y 2 = 0); ((x, y) R2 ); (y = 0); (x2 + y 2 + z 2 = 0); (x, y, z > 0); (x, y, z > 0); (x, y, z > 0).

f8 (x, y, z) = f9 (x, y, z) =

z

f10 (x, y, z) = xy f11 (x, y, z) = x 2) Bizony´ itsa be, hogy az f (0, 0) = 0,

3) 4) 5) 6)

1 (x, y R) x2 + y 2 szerint ´rtelmezett f¨ggv´ny a (0, 0) pontban parci´lisan differenci´lhat´, e u e a a o illetve differenci´lhat´. a o 1 1 Sz´m´ ki az f (x, y) = x2 + y 2 ((x, y) R2 ) f¨ggv´ny e = , a itsa u e 2 2 ir´nymenti deriv´ltj´t. a a a Milyen e ir´nyhoz l´tezik az f (x, y) = 3 xy ((x, y) R2 ) f¨ggv´nynek a a e u e (0, 0)-ban ir´nymenti deriv´ltja? a a Legyen f : R2 R, f (x1 , x2 ) = x1 x2 , sz´m´ a itsa ki f ir´nymenti dea riv´ltj´t az a = (a1 , a2 ) pontban az e = (1, 0) vektor szerint. a a Legyen f : Rn Rm , f (x) = B · x + b, ahol B egy m × n-es m´trix ´s a e b Rm . Bizony´ itsa be, hogy f differenci´lhat´ ´s f (x) = B. a oe f (x, y) = (x2 + y 2 ) · sin 61

7) Legyen

x2 y x4 + y 2 f (x, y) = 0



(x, y = (0, 0)) (x, y) = (0, 0)

.

Bizony´ be, hogy f -nek (0, 0)-ban l´tezik b´rmely ir´nymenti deriv´ltitsa e a a a ja, de nem differenci´lhat´. a o 8) Milyen e-re l´tezik Def (0, 0)? L´tezik-e D1 f (0, 0) ´s D2 f (0, 0)? Differene e e ci´lhat´-e f (0, 0)-ban? Folytonos-e f (0, 0)-ban? Ha: a o xy ­ f (0, 0) = 0, f (x, y) = 2 , (x, y) = (0, 0); x + y2 ­ f (x, y) = |xy| 2 . x2 + 2x2 + 3x2 1 2 3 ((x1 , x2 , x3 ) R3 )
1

9) Mely pontban differenci´lhat´ az a o f (x1 , x2 , x3 ) = f¨ggv´ny? u e

10) Bizony´ be, hogy az f (x, y) = |xy| f¨ggv´ny differenci´lhat´ (0, 0)-ban, itsa u e a o de nem folytonosan differenci´lhat´ (0, 0) b´rmely k¨rnyezet´ben. a o a o e 11) L´tezik-e Dxy f (0, 0) ha e f (0, 0) = 0, 2xy , (x, y) = (0, 0) . x2 + y 2 12) Bizony´ be, hogy Dxy f = Dyx f , ha f -et a k¨vetkez k´pletek valameitsa o o e lyike ´rtelmezi: e x f (x, y) = x2 - 2xy - 3y 2 ; f (x, y) = arccos . y f (x, y) = 13) Legyen f : R2 R2 , f (r, ) = (r cos , r sin ) a) sz´m´ a itsa ki f -t ´s det f -t, e b) sz´m´ a itsa ki az S = [1, 2] × [0, ] k´p´t f -re. e e 14) Legyen f : R3 R3 , f ( , , ) = ( cos sin , sin sin , cos ) a) sz´m´ a itsa ki f -t ´s det f -t, e b) hat´rozza meg az S = [1, 2] × [0, ] × [0, ] halmaz k´p´t f -re. a e e 2 2 15) ´ fel az al´bbi f¨ggv´nyekre vonatkoz´ Taylor-formul´t (adott a pontIrja a u e o a ban, adott r N rendig): ­ f (x1 , x2 ) = xx2 1 ((x1 , x2 ) R+ × R), 62 a = (1, 1), r = 2;

­ f (x1 , x2 , x3 ) = x3 + x3 + x3 - 3x1 x2 x3 1 2 3 a = (1, 1, 1), r = 4. 16) ´ fel x - 1 ´s y - 2 polinomjak´nt az Irja e e x3 + 3x2 y 2 + 2xy 2 + y 3 polinomokat.

((x1 , x2 , x3 ) R3 )

illetve x2 y 2 - 2xy 3 + 3x2 y

17) Vizsg´lja a lok´lis sz´ls´rt´ket az al´bbi f¨ggv´nyekre: a a e oe e a u e f (x, y) = x2 + xy + y 2 - 3ax - 3by , f (x, y) = x3 + y 3 - 3axy , f (x1 , x2 ) = x2 - x2 , 1 2 f (x1 , x2 ) = x3 - 3x1 x2 , 1 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 , 18) Legyen f : R2 R3 , g : R3 R2 , f (x1 , x2 ) = (e2x1 +x2 , 3x2 - cos x1 , x2 + x2 + 2), 1
2 2 g(y1 , y2 , y3 ) = (3y1 + 2y2 + y3 , y1 - y3 + 1).

(x, y) R2 , a, b R ; (x, y) R2 , a > 0 ; (x1 , x2 ) R2 ; (x1 , x2 ) R2 ; (x1 , x2 , x3 ) R3 .

a) Ha F (x) = g(f (x)), ugy hat´rozza meg F (0)-t. ´ a b) Ha G(y) = f (g(y)), ugy hat´rozza meg G (0)-t. ´ a 19) Legyen f : R2 R2 , f (r, ) = (r cos , r sin ). Bizony´ be, hogy ha D = (0, 1) × (0, b) R2 , akkor f nem szingul´ris itsa a D-n, de f k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm D-n, ha b < 2. o o o e u 20) Legyen f : R2 R, f (x, y) = x2 + y 2 - 5. a) Az (a, b) = (1, 2) pont teljes´ az f (x, y) = 0 egyenletet, D1 f (1, 2) = 0, iti D2 f (1, 2) = 0, ´ az egyenlet lok´lisan megoldhat´ b´rmelyik v´ltoz´igy a o a a o ra (a m´sik f¨ggv´ny´ben). Keressen olyan y = g(x) megold´st, mely a u e e a egy´rtelm ´s olyat, mely nem egy´rtelm az x = 1 egy k¨rnyezet´ben. e ue e u o e b) A ( 5, 0) pont is teljes´ az f (x, y) = 0 egyenletet. L´tezik-e a 5iti e nek egy k¨rnyezete, melyre az f (x, y) = 0 egyenlet megoldhat´ y-ra x o o f¨ggv´ny´ben? u e e 21) Legyen f : R2 R, f (x, y) = x2 - y 3 , akkor f (0, 0) = 0. L´tezik-e a e 0-nak olyan k¨rnyezete, melyen f (x, y) = 0 megoldhat´ y-ra x f¨ggv´o o u e ny´ben? Differenci´lhat´-e a kapott f¨ggv´ny x = 0-ban? e a o u e 63

22) Megoldhat´-e az o x2 - x2 x3 = 0 1 3x3 - x2 - 2x3 = 0 1 egyenletrendszer x2 -re ´s x3 -ra az x1 f¨ggv´ny´ben az x1 = 1 pont egy e u e e k¨rnyezet´ben? o e 23) Keresse meg f sz´ls´rt´khelyeit a h = 0 felt´telre, ha e oe e e a) f (x1 , x2 ) = x1 + 2x2 , c) f (x1 , x2 ) = x2 + x1 x2 + x2 , 1 2 e) f (x, y, z) = xyz , f) f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 , h(x1 , x2 ) = x2 + x2 - 1 ; 1 2 h(x1 , x2 ) = x2 + x2 - 1 ; 1 2 h(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 - 3 ; h1 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 - 1 ; h2 (x, y, z) = x + 2y + 3z . 24) Hat´rozza meg az al´bbi f¨ggv´nyek maximum´t ´s minimum´t: a a u e a e a a) b) f (x, y) = x4 - y 4 , f (x, y) = (x + 3)2 + y 2 , (x, y) D = {(x, y) | x2 + y 2 1}; (x, y) D = {(x, y) | x2 + y 2 4}. b) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 - x2 + 2x3 , h(x1 , x2 , x3 ) = x2 + x2 + 2x2 - 2 ; 1 2 3

64

´ VI. RIEMANN-INTEGRAL Rk-BAN
1. Riemann-integr´l t´gl´n a e a a) Riemann-integr´l fogalma t´gl´n a e a
A Riemann-integr´l fogalma (´s ebbl ereden tulajdons´gai is) az Rn a e o o a t´gl´in (intervallumain) szoros anal´gi´t mutat az f : [a, b] R t´ u e a o a ipus´ f¨ggv´nyekre fel´p´ u e e itett Riemann-integr´llal. a A tov´bbiakban legyen Q = [a1 , b1 ]×· · ·×[an , bn ] Rn egy t´gla, vagy na e dimenzi´s intervallum (ahol az [ai , bi ] R (i = 1, . . . , n) intervallumokat Q o komponens-intervallumainak nevezz¨k), m´ f : Q R korl´tos f¨ggv´ny. u ig a u e 1. Defin´ o. A Q = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] t´gla m´rt´k´n (t´rfogat´n) a ici´ e e e e e a . V (Q) = (b1 - a1 ) · . . . · (bn - an ) val´s sz´mot ´rtj¨k. (Speci´lisan ez n = 1-re egy val´s intervallum hossza, o a e u a o n = 2-re egy t´glalap ter¨lete.) e u 2. Defin´ o. Ha Q = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] adott t´gla, ugy a ici´ e ´ P = P1 ×· · ·×Pn halmazt Q egy feloszt´s´nak nevezz¨k, ha j = 1, . . . , n-re aa u Pj az [aj , bj ] intervallum egy (kor´bban m´r defini´lt) feloszt´sa, azaz a a a a Pj = {xji | aj = xj0 < xj1 < · · · < xjkj = bj } . Ha j-re Iji = [xji-1 , xji ] (i = 1, . . . , kj ) jel¨li az [aj , bj ] komponenso intervallum Pj ´ltal meghat´rozott r´szintervallumait, akkor a a a e Ti1 ...in = I1i1 × · · · × Inin t´gl´kat (ahol i1 = 1, . . . , k1 ; . . . ; in = 1, . . . , kn ) e a a Q t´gla P feloszt´s ´ltal meghat´rozott r´szt´gl´inak (r´szintervallumaie a a a e e a e nak), m´ a ig P = sup {diam Ti1 ...in }
i1 ,...,in

sz´mot (ahol diam Ti1 ...in a Ti1 ...in t´gla ´tm´rje) a P feloszt´s finoms´g´a e a eo a a a nak nevezz¨k. u 3. Defin´ o. Legyen P 1 ´s P 2 Q k´t feloszt´sa. P 2 finom´ asa (tov´bbici´ e e a it´ a oszt´sa) P 1 -nek, ha P 1 P 2 . A P = P 1 P 2 halmazt a P 1 ´s P 2 a e feloszt´sok egyes´ es´nek (illetve P 1 P 1 P 2 ´s P 2 P 1 P 2 miatt a it´ e e k¨z¨s finom´ as´nak) nevezz¨k. o o it´ a u 65

4. Defin´ o. ici´ teljes¨l. u Megjegyz´sek: e

P k norm´lis feloszt´ssorozata Q-nak, ha lim P k = 0 a a
k

1) Ha P = P1 × · · · × Pn =

P

2

=

n k=1

Pk

2

,

Pk P .

k k 2) Ha P k = P1 ×· · ·×Pn , ugy P k norm´lis, ha Pik (i = 1, . . . , n) ´ a norm´lis. a

3) P 1 P 2 Pi1 Pi2 (i = 1, . . . , n). 4) Q =
i1 ,...,in

Ti1 ...in .

5. Defin´ o. Legyen Q Rn t´gla, f : Q R korl´tos f¨ggv´ny, P a Q ici´ e a u e egy feloszt´sa ´s Ti1 ...in e feloszt´s r´szt´gl´i, tov´bb´ a e a e e a a a . . mi1 ...in = inf {f (x)} Mi1 ...in = sup {f (x)}
xTi1 ...in xTi1 ...in

(ezek f korl´toss´ga miatt l´teznek). a a e A . s(f, P ) = mi1 ...in V (Ti1 ...in ) , . O(f, P ) = S(f, P ) - s(f, P ) =

. S(f, P ) =

Mi1 ...in V (Ti1 ...in ) ,

(Mi1 ...in - mi1 ...in )V (Ti1 ...in )

sz´mokat az f f¨ggv´ny P feloszt´shoz tartoz´ als´, fels, illetve oszcill´ci´s a u e a o o o a o o ¨sszegeinek, m´ tetszleges ti1 ...in Ti1 ...in pontokra a ig o . (f, P ) = f (ti1 ...in )V (Ti1 ...in ) sz´mot az f f¨ggv´ny P feloszt´shoz ´s ti1 ...in pontokhoz tartoz´ integr´la u e a e o a k¨zel´ o ¨sszeg´nek nevezz¨k, ahol az ¨sszegz´s kiterjed a Q t´gla P ´ltal o it o e u o e e a meghat´rozott ¨sszes r´szt´gl´j´ra. a o e e aa 1. T´tel. Ha f : Q R korl´tos f¨ggv´ny, akkor e a u e a) P ´s (f, P )-re: s(f, P ) (f, P ) S(f, P ); e b) P 1 P 2 -re: s(f, P 1 ) s(f, P 2 ), S(f, P 1 ) S(f, P 2 ); c) P 1 , P 2 -re: s(f, P 1 ) S(f, P 2 ). 66

6. Defin´ o. Legyen f : Q R korl´tos f¨ggv´ny. Az ici´ a u e . . . . ¯ I = Q f = sup{s(f, P )} I = Q f = inf {S(f, P )} P ¯ P (l´tez) sz´mokat az f f¨ggv´ny Q feletti als´, illetve fels Darboux-intege o a u e o o r´lj´nak nevezz¨k. a a u 2. T´tel. Legyen f : Q R korl´tos f¨ggv´ny, akkor e a u e ¯ ¯ ¯ I, I R ´s I I, 0 I - I O(f, P ). e ¯ ¯ ¯ Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., IX.2., 2. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ P´ld´k: e a ¯ 1) Ha f (x) = k (x Q) = I = I. ¯ 2) Ha f (x) = 1 , x Q x koordin´t´ja racion´lis. aa a 0 , x Q egy´bk´nt, e e

¯ akkor I = I. ¯ 7. Defin´ o. Az f : Q R korl´tos f¨ggv´ny Riemann-integr´lhat´ Q-n, ici´ a u e a o ¯e ha I = I ´s ezt a k¨z¨s ´rt´ket az f f¨ggv´ny Q t´gla feletti Riemanno o e e u e e ¯ oe a integr´lj´nak nevezz¨k, ´s r´ az I, f , vagy f (x)dx jel¨l´seket haszn´la a u e a
Q Q

juk. Megjegyz´sek: e 1) Az elz 1. p´lda f¨ggv´nye Riemann-integr´lhat´. o o e u e a o 2) L´tezik nem Riemann-integr´lhat´ f¨ggv´ny (a 2. p´lda f¨ggv´nye). e a o u e e u e

b) A Darboux-t´tel ´s k¨vetkezm´nyei e e o e
Darboux-t´tel. Ha f : Q R (Q Rn t´gla) korl´tos f¨ggv´ny, akkor e e a u e > 0-hoz () > 0, hogy Q P feloszt´s´ra, melyre P < (), aa ¯ S(f, P ) - I < ´s e I - s(f, P ) < ¯ teljes¨l. u 67

A Darboux-t´tel k¨vetkezm´nye. Ha f : Q R korl´tos f¨ggv´ny, e o e a u e akkor a) Q P k norm´lis feloszt´ssorozat´ra a a a k k ¯ lim s(f, P ) = I , lim S(f, P ) = I , k k ¯ ¯ lim O(f, P k ) = I - I ; ¯

k

b) Q P k norm´lis feloszt´ssorozat´ra 1 (f, P k ) ´s 2 (f, P k ) a a a e integr´lk¨zel´ o ¨sszegsorozatok, hogy a o it o ¯ lim 1 (f, P k ) = I , lim 2 (f, P k ) = I . k k ¯

c) A Riemann-integr´lhat´s´g krit´riumai ´s a oa e e elegend felt´telei o e
1. T´tel. Az f : Q R f¨ggv´ny akkor ´s csak akkor Riemann-integr´lhae u e e a t´ Q-n, ha I R, hogy > 0-hoz () > 0, hogy olyan P feloszt´s´ra o aa Q-nak, melyre P < (), |(f, P ) - I| < teljes¨l (f, P )-re. u 2. T´tel. Az f : Q R korl´tos f¨ggv´ny akkor ´s csak akkor Riemanne a u e e integr´lhat´ Q-n, ha P k norm´lis feloszt´ssorozathoz tartoz´ a o a a o (f, P k ) integr´lk¨zel´ o ¨sszegsorozat konvergens. a o it o 3. T´tel (Riemann-krit´rium). Az f : Q R korl´tos f¨ggv´ny akkor e e a u e ´s csak akkor Riemann-integr´lhat´ Q-n, ha > 0 eset´n P feloszt´sa e a o e a Q-nak, hogy O(f, P ) = S(f, P ) - s(f, P ) < . Bizony´ as. Mint val´sban, csak [a, b] helyett Q-t ´ it´ o irunk. (L´sd Kalkulus I., a IX.4., 3. t´tel bizony´ asa.) e it´ 4. T´tel. Az f : Q R korl´tos f¨ggv´ny akkor ´s csak akkor Riemanne a u e e integr´lhat´ Q-n, ha Q P k norm´lis feloszt´ssorozata eset´n O(f, P k ) a o a a e nullsorozat. 68

5. T´tel. f : Q R folytonos f¨ggv´ny Riemann-integr´lhat´. e u e a o Bizony´ as. Mint val´sban, csak it´ o helyett -t haszn´lunk. (L´sd a a b-a V (Q) Kalkulus I., IX.4., 5. t´tel bizony´ asa.) e it´ Defin´ o. Az A Rn halmazt Lebesgue szerint nullm´rt´knek nevezz¨k ici´ e e u u Rn -ben, ha > 0-ra megsz´ml´lhat´ sok Q1 , . . . , Qn , . . . t´gla, hogy a a o e


A
n=1

Qn

´s e

n=1

V (Qn ) < .

6. T´tel (Lebesgue-krit´rium). Az f : Q R korl´tos f¨ggv´ny akkor e e a u e ´s csak akkor Riemann-integr´lhat´, ha egy Lebesgue szerint nullm´rt´k e a o e e u Rn -beli halmazt´l eltekintve folytonos. o 7. T´tel. Ha az f : Q1 R f¨ggv´ny Riemann-integr´lhat´ ´s e u e a oe Q2 Q1 ( Rn ) is t´gla, ugy f Q2 Riemann-integr´lhat´ Q2 -n. e ´ a o 8. T´tel (az integr´l additivit´sa t´gl´ra). Legyenek Q1 , Q2 Rn e a a e a olyan t´gl´k, hogy nincs k¨z¨s bels pontjuk ´s Q = Q1 Q2 is t´gla e a o o o e e (azaz van k¨z¨s lapjuk). Ha az f : Q R korl´tos f¨ggv´ny Riemanno o a u e integr´lhat´ Q1 -en ´s Q2 -n, akkor Q-n is ´s a o e e f=
Q Q1

f+
Q2

f.

Megjegyz´s: A t´telbl k¨vetkezik, hogy ha egy Q t´gl´t k¨z¨s bels pont e e o o e a o o o n´lk¨li Q1 , . . . , Qk r´szt´gl´kra bontunk, hogy Q = e u e e a
k i=1

Qi ´s az f : Q R e

f¨ggv´ny Riemann-integr´lhat´ Qk -n, akkor Riemann-integr´lhat´ Q-n is u e a o a o ´s e
k

f=
Q i=1 Qi

f .

Ut´bbi igaz als´, illetve fels Darboux-integr´lokra is. o o o a

69

d) A Riemann-integr´l mveleti tulajdons´gai, a u a egyenltlens´gek, k¨z´p´rt´kt´telek o e o e e e e
1. T´tel. Ha az f, g : Q R korl´tos f¨ggv´nyek Riemann-integr´lhat´k, e a u e a o p, q R tetszleges konstansok, akkor a (p · f + q · g) : Q R f¨ggv´ny is o u e Riemann-integr´lhat´ ´s a oe (p · f + q · g) = p · f + q · g
Q Q Q

Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., IX.6., 1. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ 2. T´tel. Ha f : Q R Riemann-integr´lhat´, akkor f 2 is, tov´bb´ ha e a o a a 1 c > 0, hogy |f (x)| c x Q, akkor is Riemann-integr´lhat´. a o f 3. T´tel. Ha az f, g : Q R f¨ggv´nyek Riemann-integr´lhat´k, akkor e u e a o f f · g is, tov´bb´ ha c > 0, hogy |g(x)| > c x Q-ra, ugy is Riemanna a ´ g integr´lhat´. a o Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., IX.6., 3. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ 4. T´tel. Ha f : Q R Riemann-integr´lhat´ f¨ggv´ny, akkor |f | is e a o u e Riemann-integr´lhat´. a o 5. T´tel. Ha f, g : Q R korl´tos f¨ggv´nyek ´s f g, akkor e a u e e
Q

f

Q

g

Q

f

Q

g. g.
Q

Ha tov´bb´ f, g Riemann-integr´lhat´k, akkor a a a o
Q

f

Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., IX.7., 1. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ 6. T´tel. Legyen f : Q R Riemann-integr´lhat´, akkor e a o f |f | .
Q Q

Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., IX.7., 2. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ 70

7. T´tel (k¨z´p´rt´kt´tel). Legyenek f, g : Q R Riemann-integr´le o e e e e a hat´k, tov´bb´ o a a m f (x) M , akkor m g f ·g M g .
Q Q Q

0 g(x)

(x Q),

Bizony´ as. L´sd Kalkulus I., IX.7., 3. t´tel bizony´ asa. it´ a e it´ K¨vetkezm´nyek: o e 1. Legyen f : Q R Riemann-integr´lhat´, m f M , akkor a o 1 f M . m V (Q) Q Bizony´ as. A 7. t´telbl g 1 v´laszt´ssal, it´ e o a a
Q

1 = V (Q) miatt j¨n az ´ll´ as. o a it´

2. Ha f : Q R folytonos f¨ggv´ny, akkor c Q, hogy u e 1 f . f (c) = V (Q) Q

e) Az integr´l kisz´m´ asa (a Fubini-t´tel) a a it´ e
C´l: Az n-dimenzi´s t´gla feletti integr´l kisz´m´ as´nak visszavezet´se e o e a a it´ a e alacsonyabb dimenzi´j´ integr´lokra, az ugynevezett ism´tl´ses (szukceszou a ´ e e sz´ integr´l´ssal. iv) aa . T´tel (Fubini). Legyen Q = A × B Rn , ahol A Rk , B Rm t´gl´k. e e a Legyen f : Q R korl´tos f¨ggv´ny, melyet f (x, y) alakban ´ a u e irunk, ha x A y B. x A eset´n tekints¨k az e u . . ¯ I(x) = f (x, y) ´s e I(x) = yB f (x, y) yB ¯ 71

als´ ´s fels integr´lokat. oe o a ¯ Ha f , akkor az I, I : A R f¨ggv´nyek Riemann-integr´lhat´k ´s u e a o e ¯ Q f=
Q xA yB

f (x, y) =
xA

yB

f (x, y) .

A Fubini-t´tel k¨vetkezm´nyei: e o e 1) Legyen Q = A × B (A Rk , B Rm t´gl´k), f : Q R korl´tos e a a f¨ggv´ny. u e Ha f ´s x A-ra e f (x, y), vagy y B-re f (x, y), akkor
Q yB xA

f=
Q xA yB

f (x, y)

vagy
Q

f=
yB xA

f (x, y) .

teljes¨l. u 2) Ha A = [a, b] R, B = [c, d] R, f : Q = [a, b] × [c, d] R korl´tos a f¨ggv´ny, hogy u e . b d f= f (x, y) dxdy
Q a c

´s e x [a, b] vagy

d

f (x, y) dy
c b

y [c, d] akkor
b d


a

f (x, y) dx

b

d

f (x, y) dxdy =
a c a c

f (x, y) dy

dx

vagy
b d d b

f (x, y) dxdy =
a c c a

f (x, y) dx

dy

teljes¨l, azaz a ketts integr´l k´tszeres ism´telt (val´s Riemann) integr´llal u o a e e o a sz´m´ a ithat´. o 72

3) Legyen Q = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] Rn t´gla, f : Q R folytonos e f¨ggv´ny, akkor u e f=
Q b1 a1 b2 a2

···

bn an

f (x1 , . . . , xn )dxn

···

dx1

2. Riemann-integr´l korl´tos Rn -beli halmazon a a
Defin´ o. Legyen S Rn korl´tos halmaz, f : S R korl´tos f¨ggv´ny, ici´ a a u e tov´bb´ fS : Rn R olyan, hogy a a fS (x) =
n

f (x) , x S 0 , x CS . fS ´s e
Q

Legyen Q R olyan t´gla, hogy S Q. e Az f f¨ggv´nyt Riemann-integr´lhat´nak mondjuk S felett, ha u e a o az
S

. f=
Q

fS

sz´mot az f f¨ggv´ny S feletti Riemann-integr´lj´nak nevezz¨k. a u e a a u Megjegyz´s: Az itt defini´lt integr´l f¨ggetlen Q megv´laszt´s´t´l. e a a u a aao T´tel (az integr´l tulajdons´gai). Legyen S Rn korl´tos halmaz, e a a a f, g : S R korl´tos f¨ggv´nyek. a u e a) Ha f ´s g Riemann-integr´lhat´ S felett, akkor f + µg is, ´s e a o e (f + µg) =
S S

f +µ g
S

(, µ R).

b) Ha f ´s g Riemann-integr´lhat´ S felett ´s f (x) g(x) (x S) = e a o e f g. c) Ha f Riemann-integr´lhat´ S felett, akkor |f | is Riemann-integr´la o a hat´ ´s oe
S S S

f
S

|f |.

d) Legyen T S. Ha f 0 S-en ´s Riemann-integr´lhat´ T -n ´s S-en, e a o e akkor f f .
T S

73

e) Ha f Riemann-integr´lhat´ az S1 ´s S2 felett, akkor Riemann-intega o e r´lhat´ S1 S2 ´s S1 S2 felett is ´s a o e e f=
S1 S2 S1

f+
S2

f-
S1 S2

f

Bizony´ as. P´ld´ul: it´ e a a) Mivel (f + µg)S = fS + µgS , ´ a 1/d, 1. t´tel ´s a defin´ o miatt igy e e ici´ . (f + µg) = (f + µg)S = (fS + µgS ) =
S Q

=
Q

. fS + µ gS =
Q S

Q

f +µ
S

g.

b) fS gS ´s az 1/d, 5. t´tel miatt e e . f = fS
S Q Q

. gS =
S

g

K¨vetkezm´nyek: o e 1. Ha S Rn , fi : S R, (i = 1, . . . , k) korl´tos f¨ggv´nyek, melyek a u e Riemann-integr´lhat´k S felett, akkor a o r´lhat´ ´s a oe
k S i=1 k i=1

i fi (i R) is Riemann-integfi .
S

i f i =

k i=1

i

2. Legyenek Si Rn (i = 1, . . . , k) korl´tos halmazok, tov´bb´ a a a f:
k i=1

Si R Riemann-integr´lhat´ Si -n, akkor f Riemann-integr´lhat´ a o a o
k i=1

az S =

Si halmazon. Ha m´g az is igaz, hogy i = j-re Si Sj Lebesgue e
k i=1 Si

szerint nullm´rt´k Rn -ben, akkor e e u f=
S

f .

Bizony´ as. Ha k = 2, akkor az ´ll´ as j¨n e)-bl, mert a felt´tel miatt it´ a it´ o o e f = 0 is igaz.
S1 S2

´ Altal´ban pedig teljes indukci´val bizony´ a o itunk. 74

3. Jordan-m´rhet halmazok Rn -ben e o
1. Defin´ o. Legyen S Rn korl´tos halmaz. Ha az f (x) = 1 (x Rn ) ici´ a konstans f¨ggv´ny Riemann-integr´lhat´ S-en, akkor azt mondjuk, hogy S u e a o Jordan-m´rhet Rn -ben ´s az e o e . mJ (S) = 1
S

sz´mot S Jordan-m´rt´k´nek nevezz¨k. a e e e u Megjegyz´sek: e 1) Ha S = Q Rn egy t´gla, akkor e . mJ (Q) = 1 = V (Q) ,
Q

azaz egy Q t´gla Jordan-m´rt´ke ´ppen a kor´bban defini´lt t´rfogata. e e e e a a e 2) A Jordan-m´rhets´g ´s Jordan-m´rt´k fogalm´t szeml´letesebb´ teszi a e oe e e e a e e k¨vetkez gondolatmenet: o o . . ­ mJ (S) = 1 = 1S , ahol Q Rn t´gla ´s S Q. ´ S m´rhets´ge e e Igy e oe
S Q

azzal ekvivalens, hogy
Q

1S =

Q

1S , 1 , xS 0 , x CS

azaz az 1S : Rn R, 1S (x) =

f¨ggv´ny (S karakterisztikus f¨ggv´nye) als´ ´s fels Darboux-integu e u e oe o r´lja megegyezik, tov´bb´ S Jordan-m´rt´ke ez a k¨z¨s ´rt´k. a a a e e o o e e . . ­ 1 = sup{s(1S , P )} ´s e 1 = inf {S(1S , P )} Q S Q S ahol P a Q t´gla egy tetszleges feloszt´sa. e o a ­ Ugyanakkor . s(1S , P ) = V (Ti1 ...in ) = j(S, P ), illetve S(1S , P ) = ahol
P P

. V (Ti1 ...in ) = J(S, P ),

´s e



olyan i1 . . . in -ekre val´ ¨sszegz´st jelent, hogy oo e

x Ti1 ...in = x S 0 (bels pont S-ben), o 75

illetve Ti1 ...in (S Bd S) = 0 teljes¨l. u ´ j(S, P ) ´s J(S, P ) az S halmazt, adott feloszt´s eset´n bel¨lrl, Igy e a e u o illetve k´ ulrl k¨zel´ o (egym´shoz csatlakoz´ ´s k¨z¨s bels pont iv¨ o o it a o e o o o n´lk¨li) t´gl´k t´rfogatainak ¨sszegei. e u e a e o Nyilv´n igaz, hogy: 0 j(S, P ) J(S, P ) m(Q) (a s ´s S megfelel a e o tulajdons´gai miatt). a ­ A kor´bbiak miatt a . . . 1 = sup{s(1S , P )} = sup{j(S, P )} = mJ (S), Q S
P

illetve
Q

. . . 1S = inf {S(1S , P )} = inf{J(S, P )} = m (S) J
P

is teljes¨l, ahol az mJ (S) ´s m (S) sz´mokat az S halmaz bels ´s u e a oe J k¨ls Jordan-m´rt´keinek szok´s nevezni. u o e e a Tov´bb´ 0 mJ (S) m (S) m(Q) ´s mJ (S) ´s m (S) ´rt´ke a a e e e e J J nem f¨gg a Q t´gla megv´laszt´s´t´l. u e a aao ­ Mindezek alapj´n ugy is fogalmazhatunk, hogy egy S Rn korl´tos a ´ a halmaz akkor ´s csak akkor Jordan-m´rhet, ha e e o . mJ (S) = m (S) = mJ (S) J ´s ezt az mJ (S) sz´mot az S halmaz Jordan-m´rt´k´nek nevezz¨k. e a e e e u 3) Ha Q0 a Q Rn t´gla belseje, akkor Q0 Jordan-m´rhet ´s e e oe mj (Q0 ) = mJ (Q) Bizony´ as. Ha Q = [a1 , a2 ] × · · · × [an , bn ] ´s (el´g kicsi) > 0-ra it´ e e Q = [a1 + , b1 - ] × · · · × [an + , bn - ] , akkor Q Q0 Q

teljes¨l, ami a kor´bbiak (az 1. megjegyz´s, a Jordan-m´rt´k defin´ oja, az u a e e e ici´ integr´l tulajdons´gai) miatt adja, hogy a a
n i=1

(bi - ai - 2) = mJ (Q ) =
Q

1Q

Q

1Q

Q0

1Q0



Q0

1Q0

Q

1Q =
Q

1Q = mJ (Q).

76

Ebbl pedig 0 hat´r´tmenettel j¨n, hogy o aa o mJ (Q0 ) = amit bizony´ itani kellett. 1. T´tel. Az S Rn korl´tos halmazra mJ (S) = 0 akkor ´s csak akkor, e a e ha > 0-ra v´ges sok S-et lefed z´rt t´gla (vagy z´rt kocka), hogy e o a e a Jordan-m´rt´k¨k ¨sszege kisebb, mint . e e u o 2. T´tel. Az S Rn korl´tos halmaz akkor ´s csak akkor Jordan-m´rhet e a e e o ha mJ (Bd S) = 0. 3. T´tel. e a) Ha S Jordan-m´rhet, akkor mJ (S) 0. e o b) Ha S1 ´s S2 Jordan-m´rhet, S1 S2 , akkor mJ (S1 ) mJ (S2 ). e e o c) Ha S1 ´s S2 Jordan-m´rhet, akkor S1 S2 ´s S1 S2 is az, tov´bb´ e e o e a a mJ (S1 S2 ) = mJ (S1 ) + mJ (S2 ) - mJ (S1 S2 ) teljes¨l. u Bizony´ as. A Jordan-m´rt´k defin´ oja ´s az integr´l elz fejezetbeli b), it´ e e ici´ e a o o d), e) tulajdons´ga adja az ´ll´ ast. a a it´ K¨vetkezm´ny: Ha S1 ´s S2 Jordan-m´rhet, k¨z¨s bels pont n´lk¨li o e e e o o o o e u halmazok, akkor mJ (S1 S2 ) = 0, ´ igy mJ (S1 S2 ) = mJ (S1 ) + mJ (S2 ) , melybl teljes indukci´val a Jordan-m´rt´k v´ges additivit´sa, azaz o o e e e a mJ
k i=1 k i=1 Q0

1Q0 =

Q0

1Q0 = mJ (Q)

Si

=

mJ (Si )

is k¨vetkezik, ha Si -k (i = 1, . . . , k) p´ronk´nt k¨z¨s bels pont n´lk¨li o a e o o o e u halmazok. Megjegyz´sek: e 1) Bizony´ ithat´, hogy a Jordan-m´rt´k transzl´ci´ (eltol´s) -invari´ns, azaz o e e a o a a egy S Jordan-m´rhet halmaz S eltoltj´ra igaz, hogy mJ (S ) = mJ (S). e o a 2) A Jordan-m´rt´k teh´t egy nemnegat´ v´gesen addit´ mozg´sinvarie e a iv, e iv, a a ´ns m´rt´k, melyn´l az egys´gkocka m´rt´ke egy. e e e e e e 77

Egy f : [a, b] R nemnegat´ Riemann-integr´lhat´ f¨ggv´ny Riemanniv, a o u e integr´lj´nak geometriai (m´rt´kelm´leti) tartalm´ra mutat a k¨vetkez: a a e e e a o o 4. T´tel. Ha f : [a, b] R nemnegat´ Riemann-integr´lhat´ f¨ggv´ny, e iv, a o u e akkor az . S = {(x, y) | x [a, b], y [0, f (x)]} R2 halmaz Jordan-m´rhet ´s e oe
b

mJ (S) =
a

f (x)dx

(a Riemann-integr´l megadja a g¨rbe alatti halmaz Jordan-m´rt´k´t). a o e e e K¨vetkezm´nyek: o e 1. A t´tel felt´telei mellett az f gr´fja, a Gr f halmaz Jordan-m´rhet ´s e e a e oe Jordan-m´rt´ke 0. e e 2. Ha f : [a, b] R folytonos f¨ggv´ny [a, b]-n, akkor Gr f Jordan-m´rhet u e e o ´s mJ Gr f = 0. e 2. Defin´ o. Legyen K Rn-1 kompakt ´s m´rhet halmaz, ici´ e e o , : K R folytonos f¨ggv´nyek, hogy (x) (x) (x K). Az u e S = {(x, t) | x K, (x) t (x)} halmazt egyszer tartom´nynak nevezz¨k Rn -ben. u a u Bizony´ ithat´ a k¨vetkez: o o o 5. T´tel. Az S Rn egyszer tartom´ny kompakt ´s Jordan-m´rhet e u a e e o Rn -ben. 6. T´tel (a Fubini t´tel egyszer tartom´nyra). Legyen S egyszer e e u a u tartom´ny, f : S R folytonos f¨ggv´ny, akkor f integr´lhat´ S-en ´s a u e a o e
t=(x)

(F)
S

f=
xK t=(x)

f (x, t)

.

78

4. Integr´ltranszform´ci´ a a o
Az egyv´ltoz´s f¨ggv´nyek Riemann-integr´lj´n´l ismert a helyettes´ eses a o u e a a a it´ integr´l´s t´tele: aa e Legyen g : [a, b] [c, d] folytonosan differenci´lhat´ f¨ggv´ny, hogy a o u e c = g(a), d = g(b), f : [c, d] R folytonos f¨ggv´ny, akkor u e
b g(b)

(1)
a

f (g(x))g (x)dx =
g(a)

f (t)dt.

Ha g szigor´an monoton [a, b]-n (azaz a fentieken t´l az is teljes¨l, hogy u u u g (x) = 0, x [a, b]), ugy a = g -1 (c) ´s b = g -1 (d) (ha g n¨vekv), vagy ´ e o o a = g -1 (d) ´s b = g -1 (c) (ha g cs¨kken) teljes¨l. ´ (1) ´ e o o u Igy irhat´ a o
d g -1 (d)

f (x)dx =
c g -1 (c)

f (g(t))g (t)dt ,

vagy
d g -1 (d)

f (x)dx = -
c g -1 (c)

f (g(t))g (t)dt

alakba, ami egy¨ttesen a u
d b

f (x)dx =
c a

f (g(t))|g (t)|dt

alakba ´ irhat´ (´s ekkor g lehet n¨vekv vagy cs¨kken is). o e o o o o C´l: A t´tel ´ltal´nos´ asa, amikor f n-v´ltoz´s val´s ´rt´k f¨ggv´ny, g e e a a it´ a o o e e u u e pedig Rn Rn t´ u transzform´ci´, el´g j´ tulajdons´gokkal. ipus´ a o e o a K´rd´s: e e a) milyen g f¨ggv´nyt kell helyettes´ u e iteni a r´gi" v´ltoz´ hely´re, azaz e a o e " milyen g transzform´ci´val vezess¨nk be uj v´ltoz´kat, a o u ´ a o b) az intervallumok helyett milyen r´szhalmazait tekinthetj¨k Rn -nek, e u c) s v´g¨l, hogy f (g(x))-et, |g (x)| helyett, mivel kell szorozni? e u A kor´bbiakn´l sokkal nehezebb ´s hosszadalmasabb az elbbi k´ anala a e o iv´ " maknak" megfelel k¨vetkez ´ltal´nos´ as bizony´ asa. o o o a a it´ it´ 79

T´tel (integr´ltranszform´ci´). e a a o Legyen G Rn ny´ halmaz, g : G Rn folytonosan differenci´lhat´, ilt a o hogy det g (x) = 0 ( x G) (azaz regul´ris lek´pez´s) ´s k¨lcs¨n¨sen a e e e o o o egy´rtelm lek´pez´s. Ha E G ¨sszef¨gg, m´rhet ´s kompakt halmaz, e u e e o u o e oe m´ f : g(E) R Riemann-integr´lhat´ f¨ggv´ny, akkor az (f g)| det g | ig a o u e f¨ggv´ny Riemann-integr´lhat´ az E halmazon ´s u e a o e (I­T)
E

(f g)| det g | =
g(E)

f .

Megjegyz´sek: e 1) (I­T) ´ irhat´ a o f (x)dx =
g(E) E

f (g(t))| det g (t)|dt

alakba (ahol x = (x1 , . . . , xn ), t = (t1 , . . . , tn )), vagy A = g(E) mellett (ahol az elz paragrafus 9. t´tele ´s annak k¨vetkezm´nye miatt A = g(E) o o e e o e m´rhet, kompakt ´s ¨sszef¨gg is) e o e o u o f (x)dx =
A g -1 (A)

f (g(t))| det g (t)|dt .

2) A t´tel akkor is igaz, ha csak f Riemann-integr´lhat´s´g´t tessz¨k fel. e a oa a u Illetve e mellett csak E kompakts´g´t ´s m´rhets´g´t k¨vetelj¨k meg. a a e e oe e o u 3) Igaz az integr´ltranszform´ci´ t´tel´nek k¨vetkez alakja is: a a o e e o o Legyen G Rn ny´ halmaz, g : G Rn folytonosan differenci´lhat´ G-n, ilt a o ¯ E olyan Jordan-m´rhet halmaz, hogy E E G ´s g|E 0 injekt´ Ha e o e iv. f : g(E) R Riemann-integr´lhat´, akkor (f g)| det g | ´s a o e
E

(I­T)
E

(f g)| det g | =
g(E)

f

teljes¨l. u 4) Ha f = 1 (´s g-re az eredeti, vagy a m´dos´ e o itott felt´telek teljes¨lnek), e u akkor mJ g(E) = | det g | .
E

5) Ut´bbiak adj´k a Jordan-m´rt´k transzl´ci´ (illetve mozg´s) invariano a e e a o a ci´j´t. aa 80

6) A t´tel adja, hogy ha g : Rn Rn line´ris lek´pez´s, det g = 0 ´s e a e e e E Rn kompakt ´s m´rhet halmaz, akkor g(E) szint´n kompakt ´s e e o e e m´rhet, tov´bb´ e o a a mJ g(E) = | det g |mJ E . 7) Az integr´ltranszform´ci´ (ahogy val´sban is) az adott integr´l kisz´a a o o a a m´ as´nak egy eszk¨ze (m´dszere), melynek r´v´n esetleg jobb" f¨ggv´nyt it´ a o o e e u e " kell integr´lni alkalmasabb" g -1 (A) = E tartom´nyon. a a " ´ Altal´nos utmutat´s nincs arra, hogy mikor milyen helyettes´ est kell a ´ a it´ alkalmazni, de (az egyv´ltoz´s esethez hasonl´an) tudunk tippeket" adni. a o o " P´ld´k: e a 1) Legyen A = g(E) = {(x, y | x, y > 0, x2 + y 2 < a2 )}. Sz´m´ a itsuk ki a x2 y 2 dxdy integr´lt. a
A

Megold´s: V´lasszuk g-t a a a g(r, ) = (r cos , r sin ) pol´r-transzform´ci´nak. a a o det g = cos -r sin =r sin r cos

Tov´bb´ g az E = {(r, ) | 0 < r < a, 0 < < } ny´ t´glalapot k´pezi a a ilt e e 2 az A halmazba k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm m´don ´s det g = r > 0 is teljes¨l o o o e u o e u E-n.
g
2

a g(E) E a x a x

´ Igy x2 y 2 dxdy =
A E

(r cos )2 (r sin )2 · r drd = r (cos · sin ) drd = 81
3 2
2

a 0

=

[0,a]×[0, ] 2

0

r3 sin 4 2 dr d

2

Az ut´bbi integr´l´s pedig m´r nem t´l neh´z. Itt egy k¨rcikk alak´ taro aa a u e o u tom´ny helyett egy t´glalapon kell integr´lni ´s a f¨ggv´ny sem bonyol´dott a e a e u e o el tuls´gosan. a 2) Sz´m´ a itsuk ki a
S

sin

x2 + y 2 dxdy integr´lt, ha a

S = {(x, y) | 2 x2 + y 2 4 2 } . Megold´s: Alkalmazzuk most is a g(r, ) = (r sin , r sin ) pol´r-transzfora a m´ci´t. Ez most az a o E = {(r, ) | r 2, 0 2} z´rt t´glalapot k´pezi az S halmazba, det g = r > 0 ´s majdnem" k¨lcs¨a e e e o o " n¨sen egy´rtelm m´don (hol a baj"?), de akkor is igaz, hogy o e u o " sin x2 + y 2 dxdy = (sin r) · r drd =
S E 2 2

=

r sin r drd =
0

r sin r dr d

[,2]×[0,2]

´s ez ut´bbi integr´l m´dszeresen" sz´m´ e o a o a ithat´. Most egy k¨rgyr alak´ o o uu u " tartom´ny helyett j¨tt az egyszerbb t´glalap ´s a f¨ggv´ny is kedvezbb a o u e e u e o lett sz´munkra. a Megjegyz´s: Ha az eredeti tartom´ny k¨rgyrcikk, akkor gondolhatunk e a o uu a pol´r-transzform´ci´ra. a a o 3) Sz´m´ a itsa ki az xy = a2 , xy = 2a2 , y=x, y = 2x (x, y > 0) g¨rb´kkel hat´rolt tartom´ny Jordan-m´rt´k´t. o e a a e e e Megold´s: Az adott S tartom´ny most: a a
y

S

x

82

A tanultak szerint mJ (S) =
S

1dydy, ha az
S

1 l´tezik. A hat´rol´ e a o

g¨rb´k egyenletei azt sugallj´k", hogy olyan g transzform´ci´ kell, melynek o e a a o " inverz´t az e y (x, y > 0) () t = xy , s= x y szerint g -1 (x, y) = (xy, x ) (x, y > 0) adja. g-t a () egyenletrendszer egy´rtelm e u t x= , y = ts (t, s > 0) s megold´sa miatt pedig a a g(t, s) = t , ts s (t, s > 0)

transzform´ci´ adja. a o K¨nnyen ellenr´ o o izhet, hogy ez az o E = {(t, s) | a2 t 2a2 , 1 s 2} t´glalapot k´pezi S-re k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm m´don ´s e e o o o e u o e t 1 - 2 s3 = 1 > 0 det g (t, s) = 2 ts 2s 1 s 1 t 2 t 2 s ´ teljes¨l E-n. Igy u mJ (S) =
S 2a2 a2 2 1 1 2s ds

1 dxdy =
E

1·

1 dtds = 2s ln 2 dt = a2 ln 2 .

2a2

dt =
a2

4) Legyen S = {(x, y, z) | x, y > 0, x2 + y 2 + z 2 < a2 }. Sz´m´ a itsuk ki a x2 z dxdydz
S

integr´lt. a Megold´s: Alkalmazzuk a a . g(r, , ) = (r sin cos , r sin sin , r cos ) 83

t´rbeli pol´r transzform´ci´t. Most det g = r2 sin > 0 (ahogy ezt m´r e a a o a sz´moltuk). g (ahogy ez k¨nnyen bel´that´) az a o a o E = {(r, , ) | 0 < r < a, 0 < < , 0 < < /2} halmazt k¨lcs¨n¨sen egy´rtelm m´don k´pezi le S-re. o o o e u o e
g
2

z E = g(S) S

a r



x

y

´ Igy x2 z dxdydz =
S E

(r sin cos )2 (r cos )2 r2 sin drdd = r6 sin3 cos2 cos2 drdd ,

=
(0,a)×(0,)×(0, ) 2

ami a Fubini-t´tellel sz´m´ e a ithat´. o

84

Feladatsor
k k 1) Legyen P k = P1 × · · · × Pn a Q Rn t´gla egy feloszt´ssorozata. e a k Bizony´ be, hogy P itsa norm´lis, ha Pik (i = 1, . . . , n) norm´lis. a a

2) Legyenek P 1 ´s P 2 a Q Rn t´gla feloszt´sai. Bizony´ e e a itsa be, hogy P 1 P 2 Pi1 Pi2 (i = 1, . . . , n). 3) Legyen Q = [0, 1] × [0, 1], f : Q R, Hat´rozza meg a 4) Ha A =
n=1 Q

f (x, y) = xy .

f ´s e

Q

f ´rt´k´t. e e e

Ai ´s Ai Rn (i N) nullm´rt´k halmazok Rn -ben, akkor e e e u

A is nullm´rt´k Rn -ben. e e u 5) Vizsg´lja meg, hogy l´teznek-e az al´bbi integr´lok. Ha igen, ugy hat´a e a a ´ a rozza meg ´rt´k¨ket. e e u a) x y dxdy ; b) xexy dxdy ;
[0,1]×[0,1] [0,1]×[-1,0]

6) Sz´m´ a itsa ki az al´bbi integr´lokat: a a a) (x2 + y 2 ) dxdy, ha S az y = x, y = x + a, y = 0, y = 3a egyenesekkel hat´rolt tartom´ny; a a b) (x2 + y 2 ) dxdy, ha S = {(x, y) | x2 + y 2 a, a > 0}; S c) (x2 + y) dxdy, ha S = {(x, y) | 0 x 1, x2 y x};
S S

f)
S

ex
S

2

+y 2

dxdy, ha S = {(x, y) | x2 + y 2 R2 , R > 0};

g)

(x2 +y 2 +z 2 ) dxdydz, ha S = {(x, y, z)|x2 +y 2 +z 2 R2 , R > 0}.

7) Sz´m´ ki az al´bbi g¨rb´kkel hat´rolt tartom´nyok Jordan-m´rt´k´t: a itsa a o e a a e e e 5 a) xy = a2 , x + y = a (a > 0); 2 b) y 2 = 2px + p2 , y 2 = -2qx + q 2 (p, q > 0); 8) Sz´m´ a itsa ki az al´bbi felt´telekkel hat´rolt testek Jordan-m´rt´k´t: a e a e e e a) z = 1 + x + y , z = 0 , x + y = 1 , x = 0 , y = 0; b) x + y + z = a , x2 + y 2 = R2 , x = 0 , y = 0 , z = 0 (a > R 2); 85

86

´ VII. DIFFERENCIALEGYENLETEK
1. Differenci´legyenlet fogalma a
Jel¨lj¨n y a tov´bbiakban egy keresett f¨ggv´nyt, y(x) ennek a helyettes´ esi o o a u e it´ ´rt´k´t x-ben. Legyen f : D R2 R adott, ekkor a e e e (1.1) y = f (x, y) illetve y (x) = f (x, y(x)) egyenlet elsrend k¨z¨ns´ges explicit differenci´legyenletnek szok´s neo u o o e a a vezni. ´ Altal´nosabban: a 1. Defin´ o. Legyen D Rn+1 , f : D R folytonos f¨ggv´ny (ahol D ici´ u e egy tartom´ny). Az a (1.2) y (n) = f x, y, y , . . . , y (n-1) egyenletet n-edrend k¨z¨ns´ges explicit differenci´legyenletnek nevezz¨k, u o o e a u ennek speci´lis esete n = 1-re a (1.1) elsrend k¨z¨ns´ges explicit differena o u o o e ci´legyenlet. a Az y : I R (ahol I R intervallum) f¨ggv´ny megold´sa (1.2)-nek I-n, u e a ha 1) y n-szer differenci´lhat´, a o 2) x, y(x), . . . , y (n-1) (x) D, x I, 3) y (n) (x) = f x, y(x), . . . , y (n-1) (x) , x I teljes¨l. u Tov´bbi ´ltal´nos´ as: a a a it´ 2. Defin´ o. Legyen F : D Rn+2 R adott folytonos f¨ggv´ny. A ici´ u e (1.3) F x, y, y , . . . , y (n) = 0 egyenletet k¨z¨ns´ges n-edrend differenci´legyenletnek nevezz¨k. o o e u a u Az y : I R f¨ggv´ny megold´sa a (1.3) differenci´legyenletnek az I interu e a a vallumon, ha 1) y n-szer differenci´lhat´, a o 2) x, y(x), . . . , y (n) (x) D, x I, 3) F x, y(x), . . . , y (n) (x) = 0 x I teljes¨l. u 87

Megjegyz´s: Ha (1.2), illetve (1.3)-ban f , illetve F az y, y , . . . , y (n-1) , e illetve y, y , . . . , y (n) v´ltoz´inak line´ris f¨ggv´nye, akkor a (1.2), illetve a o a u e (1.3) differenci´legyenlet line´ris, egy´bk´nt nemline´ris. a a e e a 3. Defin´ o. Legyen D Rn+1 tartom´ny, f = (f1 , . . . , fn ) : D Rn ici´ a folytonos f¨ggv´ny. A u e (1.4) (1.4 ) y = (y1 , . . . , yn ) = f (x, y) = f (x, y1 , . . . , yn ) yi = fi (x, y1 , . . . , yn ) (i = 1, . . . , n) egyenletrendszert, amely az alakba is ´ irhat´, elsrend k¨z¨ns´ges (n ismeretlen f¨ggv´nyt tartalmaz´) o o u o o e u e o explicit differenci´legyenlet-rendszernek nevezz¨k. a u Az y = (y1 , . . . , yn ) : I Rn f¨ggv´ny (f¨ggv´nyrendszer) a (1.4) (illetve u e u e (1.4 )) differenci´legyenlet-rendszer megold´sa I-n, ha a a 1) y (illetve az yi -k) differenci´lhat´(k), a o 2) x, y(x) = x, y1 (x), . . . , yn (x) D x I, 3) y (x) = f (x, y(x)) (illetve yi (x) = fi x, y1 (x), . . . , yn (x) i = 1, . . . , n) x I teljes¨l. u

2. Kezdeti ´rt´k probl´ma vagy Cauchy-feladat e e e
1. Defin´ o. Legyen D Rn+1 tartom´ny, f : D R folytonos f¨ggv´ny, ici´ a u e (x0 , y01 , . . . , y0n ) D r¨gz´ o itett. A (2.1) y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n-1) ), y (i) (x0 ) = y0i+1 (i = 0, . . . , n - 1) probl´m´t egy n-edrend explicit k¨z¨ns´ges differenci´legyenletre vonate a u o o e a koz´ kezdeti ´rt´k probl´m´nak vagy Cauchy-feladatnak nevezz¨k (ez n = 1o e e e a u re y = f (x, y), y(x0 ) = y0 alak´). u Az y (i) (x0 ) = y0i+1 (i = 0, . . . , n - 1) kik¨t´seket kezdeti felt´teleknek oe e nevezz¨k. u ´ Az y : I R f¨ggv´ny megold´sa (2.1) (n-KEP)-nek, ha u e a 1) y n-szer differenci´lhat´, a o 2) x, y(x), . . . , y (n-1) (x) D x I, 3) y (n) (x) = f x, y(x), . . . , y (n-1) (x) x I, 88

4) y (i) (x0 ) = y0i+1 teljes¨l. u

(i = 0, . . . , n - 1)

Megjegyz´s: Hasonl´ a helyzet a nem explicit esetben is, e o F : D Rn+2 R f¨ggv´nnyel. u e 2. Defin´ o. Legyen D Rn+1 tartom´ny, f = (f1 , . . . , fn ) : D Rn ici´ a folytonos f¨ggv´ny, (x0 , y0 ) = (x0 , y01 , . . . , y0n ) D adott pont. A u e (2.2) y = f (x, y), y(x0 ) = y0 (y = (y1 , . . . , yn )) probl´m´t egy differenci´legyenlet-rendszerre vonatkoz´ kezdeti ´rt´k probe a a o e e l´m´nak vagy Cauchy-feladatnak nevezz¨k. e a u ´ Az y = (y1 , . . . , yn ) : I Rn f¨ggv´ny megold´sa a (2.2) (DER-KEP)-nek, u e a ha 1) y differenci´lhat´, a o 2) x, y(x) = x, y1 (x), . . . , yn (x) D x I, 3) y (x) = f x, y(x) x I, 4) y(x0 ) = y0 teljes¨l. u T´tel (´tviteli elv). Legyen D Rn+1 tartom´ny, f : D R folytonos e a a f¨ggv´ny, (x0 , y01 . . . , y0n ) = (x0 , y0 ) D r¨gz´ u e o itett. ´ Az y : I R f¨ggv´ny akkor ´s csak akkor megold´sa a (2.1) (n-KEP)-nek u e e a I-n, ha az y, y , . . . , y (n-1) vektorf¨ggv´ny (f¨ggv´ny n-es) megold´sa a u e u e a y1 = y2 . . . () yi (x0 ) = y0i (i = 1, . . . , n) y n-1 = yn yn = f (x, y1 , . . . , yn )

´ (DER-KEP)-nek I-n. ´ Megjegyz´s: Az ´tviteli elv lehetv´ teszi, hogy (n-KEP) feladatok megolde a o e ´ hat´s´g´t (DER-KEP) megoldhat´s´g´ra vezess¨k vissza. oa a oa a u

89

3. Elemi uton megoldhat´ ´ o differenci´legyenlet-t´ a ipusok a) Szepar´bilis differenci´legyenletek a a
Defin´ o. Legyenek f : [a, b] R, g : [c, d] R (g = 0) adott folytonos ici´ f¨ggv´nyek. Az u e (SZ) y = f (x)g(y) differenci´legyenletet szepar´bilis (sz´tv´laszthat´ v´ltoz´j´) differenci´la a e a o a ou a egyenletnek nevezz¨k. u T´tel. Az y : [a, b] [c, d] differenci´lhat´ f¨ggv´ny akkor ´s csak akkor e a o u e e megold´sa (SZ)-nek, ha a y x 1 (SZMo) dt y (x) = f (t)dt g(t)
y0 x0

x, x0 [a, b]; y, y0 [c, d] teljes¨l. u Bizony´ as. f ´s 1/g folytonosak, ´ az it´ e igy
x

. F (x) =
x0 y

f (t)dt + C1 1 dt + C2 g(t)

x, x0 [a, b] ,

. G(y) =
y0

y, y0 [c, d]

szerint defini´lt F : [a, b] R, G : [c, d] R f¨ggv´nyekre F = f, G = a u e 1/g teljes¨l. u a) Ha y teljes´ (SZMo)-t, akkor iti G y(x) = F (x) + C G y(x) · y (x) = F (x) azaz y (x) = f (x)g y(x) 90 x [a, b] x [a, b] , x [a, b] , ami y, F, G differenci´lhat´s´ga miatt adja, hogy a oa

teljes¨l, teh´t y megold´sa (SZ)-nek. u a a b) Ha y megold´sa (SZ)-nek, akkor a f (x) = y (x) g y(x) (x [a, b])

´s a helyettes´ eses integr´l´s t´tele miatt x, x0 [a, b] eset´n e it´ aa e e
x x

f (t)dt =
x0 x0

y (t) dt = g y(t)

y

1 dt y (x) g(t)

y0 =y(x0 )

k¨vetkezik, azaz (SZMo) teljes¨l. o u Megjegyz´sek: e 1. A t´tel szerint y(x0 ) = y0 is teljes¨l, ´ az y = f (x)g(y), y(x0 ) = y0 e u igy kezdeti ´rt´k probl´ma megold´s´t kaptuk meg. e e e aa 2. A k¨vetkez form´lis m´dszert gyakran haszn´lj´k: o o a o a a dy dy (SZ) - = f (x)dx - = g(y) g(y)

f (x)dx

(),

amibl kapjuk (SZ) megold´s´t. Az (x0 , y0 ) ponton ´thalad´ megold´so aa a o a hoz ugy kell megv´lasztani az integr´ci´s konstansokat, hogy a () egyen´ a a o ls´g teljes¨lj¨n x = x0 , y = y0 mellett. Ez teljes¨l, ha oe u o u
y

y0

dt = g(t)

x

f (t)dt ,
x0

ami adja, hogy y teljes´ (SZMo)-t. iti 3. Vizsg´lhat´ olyan eset is, amikor valamilyen y0 [c, d]-re g(y0 ) = 0 a o (ekkor y(x) = y0 nyilv´n megold´s, de lehetnek m´s megold´sok is). a a a a

b) V´ltoz´ban homog´n differenci´legyenletek a o e a
T´tel. Legyen f : [c, d] R adott folytonos f¨ggv´ny, y : [a, b] R olyan, e u e hogy 0 [a, b] ´s y [a, b]-n ´s y(x)/x [c, d]. / e e 91

y akkor ´s csak akkor megold´sa [a, b]-n a e a y (VH) y =f x v´ltoz´ban homog´n differenci´legyenletnek, ha az a o e a u : [a, b] R f¨ggv´ny megold´sa [a, b]-n az u e a u = szepar´bilis differenci´legyenletnek. a a Bizony´ as. Nyilv´nval´. it´ a o f (u) - u x . y(x) u(x) = x

c) Az y = f

ax + by + c x + y +

differenci´legyenlet a

­ Ha c = = 0, akkor a c´ imben egy (VH) t´ u egyenlet szerepel, mondjuk ipus´ f : R R t´ u adott folytonos f¨ggv´ny eset´n. ipus´ u e e ­ Ha a b = a - b = 0,

azaz ha

a b = = , illetve a = , b = , akkor a c´ imben szerepl o egyenlet ´tmegy az a y = g(x + y + ) u(x) = x + y(x) +

alakba, melyet az helyettes´ essel az it´ u = + y = + g(u) alakba ´ irhatunk, ami egy speci´lis (SZ) egyenlet. a ­ Ha a b =0, 92

akkor az

ax + by + c = 0 x + y + = 0

line´ris egyenletrendszernek pontosan egy , megold´sa van. a a Ekkor bel´that´ (igen egyszeren), hogy az a o u y:HR ( H, x H x + y + = 0) / f¨ggv´ny akkor ´s csakis akkor megold´sa H-n az ´ltal´nos differenci´lu e e a a a a egyenletnek, ha a : H R, (t) = y(t + ) - (x) = F differenci´legyenletnek, ahol a F (z) = f a + bz + z . (x) x H = {t | t + H} f¨ggv´ny megold´sa az u e a

d) Elsrend line´ris differenci´legyenletek o u a a
Defin´ o. Legyenek f, g : [a, b] R adott folytonos f¨ggv´nyek, ici´ u e y : [a, b] R differenci´lhat´ ismeretlen f¨ggv´ny. A a o u e (LIH) (LH) y = f (x)y + g(x) y = f (x)y differenci´legyenletet elsrend line´ris inhomog´n, m´ az a o u a e ig differenci´legyenletet elsrend line´ris homog´n differenci´legyenletnek a o u a e a nevezz¨k. u T´tel. Az y : [a, b] R f¨ggv´ny akkor ´s csak akkor megold´sa (LIH)-nek, e u e e a ha c R, hogy (LIHMo) y(x) = cyH (x) + yP (x) (x [a, b]), ahol yH : [a, b] R az (LH) differenci´legyenlet sehol el nem tn, a u o yP : [a, b] R pedig (LIH) egy (partikul´ris) megold´sa. Tov´bb´, ha a a a a 93

x0 [a, b] r¨gz´ o itett, akkor x [a, b] eset´n e (H)
x

yH (x) = exp
x0

f (t)dt ,

(P)

x yP (x) = g( ) exp x0
x

x

f (t)dt d =
x

= exp
x0

f (t)dt

·
x0

g( ) exp -
x0

f (t)dt d .

e) Egzakt differenci´legyenletek a
Defin´ o. Legyen D R2 tartom´ny, P, Q : D R adott f¨ggv´nyek. ici´ a u e Az (E) P (x, y) + Q(x, y)y = 0 egyenletet egzaktnak nevezz¨k, ha az f = (P, Q) : D R2 f¨ggv´nynek u u e l´tezik primit´ f¨ggv´nye, azaz l´tezik F : D R differenci´lhat´ f¨ggv´ny, e iv u e e a o u e hogy F = f, azaz D1 F = P ´s D2 F = Q e teljes¨l. u Megjegyz´s: (E)-t szok´s az e a (E ) alakban is ´ irni. T´tel. Az (E) egzakt differenci´legyenletnek az y : I R differenci´lhat´ e a a o f¨ggv´ny (melyre (x, y(x)) D, ha x I) akkor ´s csak akkor megold´sa u e e a I-n, ha c R, hogy (EMo) F (x, y(x)) = C (x I), ahol F az f = (P, Q) f¨ggv´ny primit´ f¨ggv´nye. u e iv u e P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

94

Bizony´ as. it´ a) Legyen y (EMo) alak´, akkor az ¨sszetett f¨ggv´ny differenci´l´si szau o u e aa b´lya szerint a D1 F (x, y(x)) + D2 F (x, y(x))y (x) = 0 (x I) k¨vetkezik, ami D1 F = P ´s D2 F = Q-val adja, hogy y megold´sa (E)o e a nek. b) Ha y teljes´ (E)-t I-n ´s (E) egzakt, akkor iti e 0 = D1 F (x, y(x)) + D2 F (x, y(x))y = teljes¨l, ami adja (EMo)-t. u d F (x, y(x)) dx (x I)

Megjegyz´sek: e 1. Ha f = (P, Q) : D R2 olyan, hogy D ugynevezett csillagszer tar´ u tom´ny, f folytonosan differenci´lhat´ (azaz P ´s Q is), tov´bb´ D2 P = a a o e a a D1 Q D-n, akkor l´tezik f = (P, Q)-nak primit´ f¨ggv´nye. Ha (x0 , y0 ) e iv u e egy csillagk¨z´ppont ´s g : [a, b] D olyan szakaszonk´nt sima g¨rbe, o e e e o mely az (x0 , y0 )-t (x, y)-nal k¨ti ¨ssze, akkor ez a primit´ f¨ggv´ny az o o iv u e
(x,y)

F (x, y) =
g

f=
(x0 ,y0 )

f

integr´lf¨ggv´ny. a u e . 2. Az 1) megjegyz´s felt´telein t´l teljes¨lj¨n, hogy g(t) = (x(t), y(t)) folytoe e u u o nosan differenci´lhat´ (g(a) = (x0 , y0 ), g(b) = (x, y)), akkor a g¨rbementi a o o integr´l kisz´m´ as´ra vonatkoz´ ismert t´tel alapj´n, ha g -1 , ugy a a it´ a o e a ´
g -1 (x,y) g -1 (x,y)

F (x, y) =
a

P (x(t), y(t))x (t)dt +
a

Q(x(t), y(t))y (t)dt .

3. Ha D t´glalap vagy k¨rlap, akkor b´rmely r¨gz´ e o a o itett (x0 , y0 )-b´l b´rmely o a (x, y) D el´rhet a tengelyekkel p´rhuzamos t¨r¨ttvonal ment´n, p´le o a oo e e d´ul: a 95

(x, y)

(x, y)

(x0 , y0 )

D

(x0 , y0 )

D

A folytonos vonalra: g(t) = g 1 (t) g 2 (t) = (x1 (t), y 1 (t)) (x2 (t), y 2 (t)) , ahol x1 (t) = t y 1 (t) = y0 ´ igy F (x, y) =
x0

t [x0 , x],
x

x2 (t) = x y 2 (t) = t
y

t [y0 , y],

P (t, y0 )dt +
y0

Q(x, t)dt .

A szaggatott vonalra (hasonl´an): o
x y

F (x, y) =
x0

P (t, y)dt +
y0

Q(x0 , t)dt .

4. F (x, y) ut´bbi k´t alakj´ban szok´s az els integr´lban t x, a m´soo e a a o a a dikban t y haszn´lata is. a 5. Az (E) egzakt egyenlet (x0 , y0 )-on ´thalad´ megold´s´t C = 0 mellett a o aa kapjuk. 6. Az y = f (x)g(y) (g = 0) szepar´bilis egyenlet egzakt differenci´legyena a let.

f) Integr´l´ szorz´ keres´se ao o e
Defin´ o. Ha y teljes´ (E)-t ´s µ : D R (µ = 0) f¨ggv´ny, hogy a ici´ iti e u e (µP, µQ) f¨ggv´nynek l´tezik primit´ f¨ggv´nye, azaz a u e e iv u e () µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 96

differenci´legyenlet egzakt, akkor µ-t az (E) egyenlet integr´l´ szorz´j´nak a ao oa (Euler-multiplik´tor´nak) nevezz¨k. a a u Megjegyz´sek: e 1. Ha l´tezik integr´l´ szorz´, ugy ((E) ´s () ekvivalenci´ja miatt) (E) e ao o ´ e a megold´sa visszavezethet a () egzakt differenci´legyenlet megold´s´ra. a o a aa 2. Integr´l´ szorz´t az al´bbi m´don kereshet¨nk: ao o a o u D2 µP = D1 µQ Qµx - P µy = (Py - Qx )µ , melybl ha µ = µ((x, y)) (pl. (x, y) = x vagy y vagy x + y . . . ) o Q illetve µ () Py - Qx = µ() Qx - P y k¨vetkezik, ami adja, hogy o µ() = exp ha
Py -Qx Qx -P y

dµ dµ x - P y = (Py - Qx )µ , d d

Py - Qx ()d , Qx - P y

az f¨ggv´nye. u e

4. Egzisztencia-t´telek Cauchy-feladatokra e
´ a) Egzisztencia ´s uniciti´s t´tel (DER-KEP)-re e a e ´ Igen fontos a (DER-KEP) probl´ma k¨vetkez ´tfogalmaz´sa (visszavezee o oa a t´se integr´legyenlet-rendszerre): e a
Lemma. Az y : I Rn differenci´lhat´ f¨ggv´ny akkor, ´s csak akkor a o u e e megold´sa az a

´ (DER-KEP)

y = f (x, y) ,

y(x0 ) = y0 97

(x, y) D Rn+1

probl´m´nak, ha folytonos megold´sa az e a a
x

(IER)

y(x) = y0 +
x0

f (t, y(t))dt

integr´legyenlet-rendszernek. (Itt f : D Rn folytonos f¨ggv´ny.) a u e Bizony´ as. it´ ´ a) Ha y : I Rn megold´sa (DER-KEP)-nek, akkor a y (x) = f (x, y(x))
x

(x I).

f ´s y folytonoss´ga adja, hogy f (x, y(x)) folytonos I-n, ´ l´tezik az e a igy e f (t, y(t))dt
x0

integr´l ´s a e y(x) = y0 +

x

f (t, y(t))dt
x0

(x I),

ahol y(x0 ) = y0 , azaz teljes¨l (IER). u b) Ha y : I Rn folytonos megold´sa (IER)-nek I-n, akkor f (x, y(x)) a folytonoss´ga miatt a
x

f (t, y(t))dt
x0

differenci´lhat´ ´s deriv´ltja f (x, y(x)), m´sr´szt (IER) adja, hogy y difa oe a a e ferenci´lhat´ ´s y (x) = f (x, y(x)) (x I), tov´bb´ (IER) szerint y(x0 ) = a oe a a ´ x0 is igaz, ebbl pedig k¨vetkezik, hogy y megold´sa (DER-KEP)-nek. o o a

´ Megjegyz´s: A lemma miatt (DER-KEP) megoldhat´s´ga ´s a megole oa e d´s egy´rtelms´ge (egzisztencia ´s unicit´s) egyet jelent (IER) megolda e ue e a hat´s´g´val ´s a megold´s egy´rtelms´g´vel. oa a e a e ue e
T´tel (Picard-Lindel¨f egzisztencia ´s unicit´s t´tel). e o e a e Legyen G1 Rn ny´ halmaz, I = [a, b] R, D = I × G1 , f : D Rn ilt folytonos f¨ggv´ny, hogy l´tezik L > 0, hogy u e e f (x, y1 ) - f (x.y2 )
Rn

< L y1 - y2 98

Rn

( (x, y1 ), (x, y2 ) D),

azaz Lipschitz-tulajdons´g´ D-n. Legyen tov´bb´ x0 I ´s y0 G1 a u a a e r¨gz´ o itett. Akkor > 0, hogy az

´ (DER-KEP)

y = f (x, y),

y(x0 ) = y0

Cauchy-feladatnak az I1 = I [x0 - , x0 + ] intervallumon l´tezik megole d´sa ´s az egy´rtelm. a e e u Megjegyz´sek: e

´ 1. A t´tel felt´telei mellet a (DER-KEP) megold´s´t az e e aa
x

. y0 (x) = y0 ,

. yk (x) = y0 +
x0

f (t, yk-1 (t))dt (k = 1, 2, . . . ; x I1 )

szerint defini´lt yk f¨ggv´nysorozat hat´rf¨ggv´nye adja. a u e a u e Az elj´r´st Picard-f´le szukcessz´ approxim´ci´nak nevezz¨k. aa e iv a o u 2. n = 1 mellett az elsrend explicit differenci´legyenletre vonatkoz´ o u a o Cauchy-feladatra vonatkoz´ Picard-f´le egzisztencia ´s unicit´s t´telt kapo e e a e juk. 3. Egy p´lda: A e

´ (KEP)

y = xy,

y(0) = 1
x

Cauchy-feladatnak megfelel integr´legyenelet: o a (IE) Ekkor
x

y(x) = 1 +
0

ty(t)dt

y0 (x) = 1,
2

y1 (x) = 1 +
0

tdt = 1 + 1 k!

x2 ,... 2
k

yk (x) = 1 +

x 1 + 2 2!

x 2

2

2

+ ··· +

x2 2

,...,

´ ´s yk (x) exp(x2 /2) egyenletesen, ´ (KEP) megold´sa: e igy a
y(x) = exp x2 2 99 (x R).

´ b) (L-DER-KEP) megoldhat´s´ga oa
Legyenek gij , i : I R (i, j = 1, . . . , n) adott folytonos f¨ggv´nyek, u e akkor
n

yi =
j=1

gij (x)yj + i (x),

yi (x0 ) = y0i

(i = 1, . . . , n)

egy line´ris differenci´legyenlet-rendszerre vonatkoz´ Cauchy-feladat, mely a a o az y1 1 . . y = . , = . , g = (gij )n×n . . yn jel¨l´ssel az oe n

´ (L-DER-KEP)
alakba is ´ irhat´. o Ez ekvivalens az

y = g(x)y + (x),

y(x0 ) = y0

x

(L-IER)

y(x) = y0 +
x0

g(t) y(t) + (t) dt

integr´legyenlet-rendszerrel. a Legyen D = I × Rn , akkor az f : D Rn+1 Rn , . f (x, y) = g(x)y + (x)

folytonos f¨ggv´nyre (x, y 1 ), (x, y 2 ) D eset´n u e e f (x, y 1 ) - f (x, y 2 ) = g(x)(y 1 - y 2 ) =
n

=
i=1

n j=1

2 1 gij (x)(yj

-

2 yj )

nK y 1 - y 2 = L y 1 - y 2

´ teljes¨l, azaz Lipschitz-tulajdons´g´, ´ az (L-DER-KEP) megoldhat´ ´s u a u igy oe a megold´s egy´rtelm I1 I-n. a e u

100

´ c) (n-KEP) megoldhat´s´ga oa ´ T´tel (egzisztencia ´s unicit´s t´tel (n-KEP)-re). e e a e Legyen G1 Rn ny´ halmaz, I = [a, b] R, D = I × G1 , f : D R ilt folytonos f¨ggv´ny, hogy L > 0, hogy u e
f (x, y 1 ) - f (x, y 2 ) < L y 1 - y 2 ((x, y 1 ), (x, y 2 ) D), azaz Lipschitz-tulajdons´g´ D-n. Legyen tov´bb´ x0 I, y0 G1 r¨ga u a a o z´ itett. Akkor > 0, hogy az

´ (n-KEP)

y (n) = f (x, y, . . . , y (n-1) ),

y (i) (x0 ) = y0i+1

(i = 0, . . . , n-1) Cauchy-feladatnak az I1 = I [x0 -, x0 +] intervallumon l´tezik megold´sa ´s az egy´rtelm. e a e e u

´ K¨vetkezm´ny ((L-n-KEP) megoldhat´s´ga). o e o a Legyenek a1 , . . . , an , b : I R folytonos f¨ggv´nyek, x0 I, y0 Rn u e r¨gz´ o itett. Akkor az ´ (L-n-KEP)
y (n) = a1 (x)y (n-1) + · · · + an (x)y + b(x) y (i) (x0 ) = y0i+1 (i = 0, . . . , n)

Cauchy-feladatnak egy ´s csak egy megold´sa van I-n. e a

´ d) Egzisztenciat´tel (DER-KEP)-re e
T´tel (Cauchy-Peano egzisztencia t´tel). Legyen D Rn+1 tartoe e m´ny f : D Rn folytonos f¨ggv´ny, (x0 , y0 ) D. Akkor az a u e y = f (x, y), y(x0 ) = y0 |y| differenci´legyena Cauchy-feladatnak l´tezik megold´sa. e a (De nem felt´tlen¨l egy´rtelm, l´sd p´ld´ul az y = e u e u a e a letre vonatkoz´ Cauchy-feladatot.) o

101

5. Magasabbrend line´ris differenci´legyenletek u a a a) Az n-edrend line´ris homog´n u a e differenci´legyenletek ´ltal´nos elm´lete a a a e
1. Defin´ o. Legyenek ai : I R (i = 1, . . . , n) adott folytonos f¨ggici´ u v´nyek. A e
n

(Hn D)

y (n) +
i=1

ai (x)y (n-i) = 0

egyenletet n-edrend line´ris homog´n differenci´legyenletnek nevezz¨k. u a e a u Egyszer sz´mol´ssal bizony´ u a a ithat´ a k¨vetkez t´tel: o o o e 1. T´tel. Ha az y1 , . . . , yk : I R f¨ggv´nyek megold´sai (Hn D)-nek I-n, e u e a akkor c1 , . . . , ck R eset´n az e
k

y=
i=1

ci yi

f¨ggv´ny is megold´s I-n. u e a 2. Defin´ o. (Line´ris f¨ggs´g ´s f¨ggetlens´g) ici´ a u oe e u e Az y1 , . . . , yk : I R f¨ggv´nyek line´risan f¨ggek I-n, ha l´tezik u e a u o e c1 , . . . , ck R ( ()
i=1 k i=1

c2 > 0) konstansrendszer, hogy i
k

ci yi (x) = 0

(x I).

y1 , . . . , yk : I R line´risan f¨ggetlenek, ha () csak ugy teljes¨l, ha ci = a u ´ u 0 (i = 1, . . . , k). 3. Defin´ o. Az y1 , . . . , yn : I R n - 1-szer differenci´lhat´ f¨ggv´nyek ici´ a o u e Wronski-determin´nsa: a y1 y2 ... yn ... yn y2 y1 . W = W (y1 , . . . , yn ) = . . . y1
(n-1)

y2

(n-1)

...

yn

(n-1)

102

1. T´tel (Liouville-formula). Ha az y1 , . . . , yn : I R f¨ggv´nyek e u e megold´sai (Hn D)-nek I-n ´s x0 I adott, akkor a e x W (x) = W (y1 (x), . . . , yn (x)) = W (x0 ) exp -
x0

a1 (t)dt .

1. K¨vetkezm´ny. (Hn D) egy y1 , . . . , yn megold´srendszer´nek o e a e Wronski-determin´nsa vagy 0, vagy sehol sem 0. a 4. Defin´ o. (Alaprendszer) Az y1 , . . . , yn : I R f¨ggv´nyek (Hn D) ici´ u e alaprendszer´t alkotj´k, ha megold´sai annak ´s line´risan f¨ggetlenek. e a a e a u 3. T´tel. y1 , . . . , yn : I R akkor, ´s csak akkor alaprendszere (Hn D)-nek, e e ha yi (i = 1, . . . , n) megold´s I-n, ´s W (x) = 0. a e 4. T´tel ((Hn D) ´ltal´nos megold´sa). Legyen y1 , . . . , yn : I R e a a a (Hn D) alaprendszere I-n, akkor (Hn D) y : I R megold´sa a
n

y(x) =
i=1

ci yi (x)

(x I)

alak´, ahol c1 , . . . , cn R konstansok. u Bizony´ as. Ha y1 , . . . , yn (Hn D) alaprendszere, akkor W (x0 ) = 0 x0 I. it´ Ha y : I R egy tetszleges megold´sa (Hn D)-nek, akkor legyen c1 , . . . , cn o a a
n

()
i=1

ci yi (x0 ) = y (j) (x0 )

(j)

(j = 0, . . . , n - 1)

egyenletrendszer (W (x0 ) = 0 miatt l´tez) megold´sa, akkor a e o a . (x) =
n

ci yi (x)
i=1

(x I)

f¨ggv´ny olyan megold´sa (Hn D)-nek I-n, melyre teljes¨lnek a u e a u (j) (x0 ) = y (j) (x0 ) (j = 0, . . . , n - 1) kezdeti felt´telek () miatt. e ´ ´ ´s y ugyanazon (Hn D)-re vonatkoz´ (n-KEP) megold´sai, ez´rt megIgy e o a e 103

egyeznek, azaz
n

y(x) = (x) =
i=1

ci yi (x)

(x I),

amit bizony´ itani kellett. Megjegyz´sek: e 1. Az ´ltal´nos megold´shoz ´ el´g az alaprendszert meghat´rozni. a a a igy e a 2. Bel´that´, hogy alaprendszer mindig l´tezik. a o e 3. Az alaprendszer meghat´roz´s´ra nincs ´ltal´nos m´dszer. a aa a a o 5. T´tel (D'Alembert-f´le foksz´mcs¨kkent elj´r´s). e e a o o a a Legyen y1 : I R (y1 = 0) megold´sa az a (H2 D) y + a1 (x)y + a2 (x)y = 0 differenci´legyenletnek. Az y : I R f¨ggv´ny akkor, ´s csak akkor a u e e megold´sa (H2 D)-nek, ha az a u:IR f¨ggv´ny megold´sa az u e a (H1 D) u + a1 (x) + 2 y1 (x) y1 (x) u=0 . u= y y1

differenci´legyenletnek. ´ (H2 D) ´ltal´nos megold´sa a Igy a a a y = cy1 = cy1 exp - a1 (x) + 2 y1 (x) y1 (x) dx dx =

1 exp - 2 y1 (x)

a1 (x)dx dx .

104

b) Konstansegy¨tthat´s line´ris homog´n u o a e differenci´legyenletek a
Defin´ o. Ha (Hn D)-ben ici´ ai (x) = ai R akkor a kapott
n

(x I),

(KHn D)

y (n) +
i=1

ai y (n-i) = 0

egyenletet n-edrend konstansegy¨tthat´s line´ris homog´n differenci´lu u o a e a egyenletnek nevezz¨k. u (KHn D) karakterisztikus polinomja: (KP) . P () = n +
n

ai n-i ,
i=1

m´ karakterisztikus egyenlete: ig
n

(KE)

n +
i=1

ai n-i = 0.

T´tel. Ha 1 , . . . , k R p1 , . . . , pk ( N)-szeres (k¨l¨nb¨z) gy¨kei e uo o o o (KHn D) karakterisztikus egyenlet´nek, hogy p1 + · · · + pk = n, akkor e x e 1 , xe1 x , . . . , xp1 -1 e1 x . . (AR) . k x e , xek x , . . . , xpk -1 ek x alaprendszere (KHn D)-nek. . Ha p´ld´ul 1 = + i, 2 = - i i = -1 ugynevezett konjug´lt e a ´ a komplex gy¨kei (KE)-nek, hogy p1 = p2 = p-szeresek, akkor (AR) els k´t o o e sora helyett ex cos x, xex cos x, . . . , xp-1 ex cos x ex sin x, xex sin x, . . . , xp-1 ex sin x szerepel. (Hasonl´ a helyzet a tov´bbi komplex gy¨k¨k eset´n is.) o a o o e

105

K¨vetkezm´ny. Az o e (KH2 D) (KE2 ) y + a1 y + a2 y = 0 2 + a1 + a2 = 0 karakterisztikus egyenlete a m´sodfok´ a u egyenlet, ´ ha ennek gy¨kei: igy o a) 1 , 2 R, 1 = 2 , akkor (KH2 D) ´ltal´nos megold´sa a a a y = c1 e1 x + c2 e2 x ; b) 1 = 2 = 0 R, akkor (KH2 D) ´ltal´nos megold´sa a a a y = c1 e0 x + c2 x e0 x ; c) 1 = + i, 2 = - i (, R), akkor (KH2 D) ´ltal´nos a a megold´sa a y = c1 cos x + c2 sin x ex .

c) n-edrend line´ris inhomog´n differenci´legyenletek u a e a
Defin´ o. Legyenek ai , b : [a, b] R (i = 1, . . . , n) adott folytonos f¨ggici´ u v´nyek, akkor az e
n

(IHn D)

y (n) +
i=1

ai (x)y (n-i) = b(x)

differenci´legyenletet n-edrend line´ris inhomog´n differenci´legyenletnek a u a e a nevezz¨k. u 1. T´tel. Legyen yp partikul´ris megold´sa (IHn D)-nek. Az y akkor, ´s e a a e csak akkor megold´sa (IHn D)-nek, ha az a yH : I R, yH (x) = y(x) - yp (x) szerint defini´lt f¨ggv´ny megold´sa az (IHn D)-bl k´pzett (Hn D)-nek. a u e a o e Bizony´ as. it´ a) Ha y ´s yp megold´sai (IHn D)-nek, akkor az y-ra ´s yp -re fel´ e a e irt 106

(IHn D)-t kivonva egym´sb´l a o
n

(y - yp )(n) +
i=1

ai (x)(y - yp )(n-i) = 0

. ad´dik, azaz y - yp = yH val´ban megold´sa (Hn D)-nek. o o a b) Ha yp megold´sa (IHn D)-nek ´s yH megold´sa (Hn D)-nek, akkor a k´t a e a e . egyenlet ¨sszead´sa adja, hogy y = yH + yp is megold´sa (IHn D)-nek. o a a K¨vetkezm´ny. Ha yp (IHn D) egy partikul´ris megold´sa, y1 , . . . , yn o e a a pedig (Hn D) alaprendszere, akkor (IHn D) ´ltal´nos megold´sa a a a
n

y=
i=1

ci yi + yp .

Hogyan hat´rozhat´ meg yp ? a o 2. T´tel (a konstansvari´l´s m´dszere (IHn D)-re). Ha y1 , . . . , yn e aa o az (IHn D)-bl k´pzett (Hn D) alaprendszere ´s a ci : I R (i = 1, . . . , n) o e e f¨ggv´nyek kiel´g´ a u e e itik (C)
n i=1

ci (x)yi (x) = 0 (j = 0, . . . , n - 2),
n

(j)

n i=1

ci (x)yi

(n-1)

(x) = b(x)

egyenletrendszert I-n, akkor (P) yp : I R, . yp (x) = ci (x)yi (x)
i=1

megold´sa (IHn D)-nek. a Megjegyz´sek: e e a 1. (C) c1 , . . . , cn -re egy inhomog´n line´ris egyenletrendszer, melynek determin´nsa a Wronszki-determin´ns, melyre W (x) = 0 (I-n). a a 2. (IH2 D) eset´n e (IH2 D) y + a1 (x)y + a2 (x)y = b(x), c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) = 0 c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) = b(x) 107 ´s ha y1 , y2 alaprendszer, akkor (C) e (C )

alak´. Ebbl pedig u o 0 y2 (x) b(x) y2 (x) b(x)y2 (x) c1 (x) = =- ; W (x) W (y1 , y2 ) illetve c1 (x) = - b(x)y2 (x) dx; W (y1 , y2 ) c2 (x) = b(x)y1 (x) dx W (y1 , y2 ) (x I). b(x)y1 (x) , W (y1 , y2 )

c2 (x) =

k¨vetkezik. Tov´bb´ ezen c1 ´s c2 f¨ggv´nyekkel a partikul´ris megold´s o a a e u e a a yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x)

d) Line´ris differenci´legyenlet-rendszerek a a
1. Defin´ o. Legyenek gij , i : I R (i, j = 1, . . . , n) folytonos f¨ggv´ici´ u e nyek. A
n

(LIHDER)

yi +
j=1

gij yj = i (x)

(i = 1, . . . , n),

. . . illetve az (y1 , . . . , yn ) = y, (1 , . . . , n ) = , (gij )n×n = g jel¨l´sekkel a oe (LIHDER ) y + g(x)y =

egyenletrendszert line´ris inhomog´n differenci´legyenlet-rendszernek, a e a m´ az ig (LHDER) y + g(x)y = 0

egyenletrendszert line´ris homog´n differenci´legyenlet-rendszernek neveza e a z¨k. u Megjegyz´sek: e 1. (LIHDER), illetve (LHDER) megold´sainak meghat´roz´sa visszavezeta a a het az n-edrend line´ris differenci´legyenletek elm´let´re. o u a a e e 2. Ugyanakkor ¨n´ll´ elm´let is kidolgozhat´, mely szoros anal´gi´t mutat o a o e o o a az n-edrend line´ris differenci´legyenletek elm´let´vel. u a a e e 108

Feladatsor
1) Adjuk meg az al´bbi g¨rbeseregek differenci´legyenlet´t: a o a e y = ecx ; y = (x - c)3 ; y = cx3 ; y = sin(x + c) . 2) Oldjuk meg az al´bbi szepar´bilis differenci´legyeneleteket, illetve a r´juk a a a a vonatkoz´ kezdeti´rt´k probl´m´kat: o e e e a y = e2x - x (x + 1)y = -xy xyy = y2 + 1
2

y = 2x , (x - 1)y + 2xy = 0 ,
2

y(1) = 4 y(0) = 1

y - xy 2 = 2xy y = y cos x

y(1) = 0 1 xy + y = y 2 , y(1) = 2 y = (1 + y 2 ) ln x , y(1) = 0

y = 3 3 y2 ,

3) Oldjuk meg a k¨vetkez line´ris differenci´legyenleteket: o o a a xy - 2y = 2x4 1 y + y tg x = sin x x2 y + xy + 1 = 0 xy + (x + 1)y = 3x2 e-x (2x + 1)y = 4x + 2y x(y - y) = ex y = 2x(x2 + y) xy + 2y = sin(x)

4) Oldjuk meg a k¨vetkez egzakt differenci´legyenleteket: o o a (2x + 3x2 y)dx + (x3 - 3y 2 )dy = 0 (2x + y)dx + (x - 2y)dy = 0 1 x - y =0 y y2 2x x-y + y =0 (x + y)3 (x + y)3 2xydx + (x2 - y 2 )dy = 0 e-y dx - (2y + xe-y )dy = 0 y dx + (y 3 + ln x)dy = 0 x

109

5) A kor´bbiakra visszavezet´ssel oldjuk meg az al´bbi differenci´legyenlea e a a teket: (x + 2y)dx - xdy = 0 (x - y) + (x + y)y = 0 y 2 - 2xy + x2 y = 0 2x3 y = y(2x2 - y 2 ) y 2 + x2 y = xyy xy = y - xe x xy - y = x tg x xy = x2 - y 2 + y 2x + y + 1 + (4x + 2y - 3)y = 0 x - y - 1 + (y - x + 2)y = 0 2x - 4y + 6 + (x + y - 3)y = 0 (x + 4y)y = 2x + 3y - 5 y =2 y+2 x+y-1
2
y y

(x2 + y 2 + x)dx + ydy = 0 (x2 + y 2 + y)dx - xdy = 0 xy 2 (xy + y) = 1 y 2 dx - (xy + x3 )dy = 0 y- 1 x 1 dx + dy = 0 y

xydx = (y 3 + x2 y + x2 )dy (2x2 y 2 + y)dx - (x3 y - x)dy = 0 6) Az al´bbi feladatokban vizsg´lja meg, hogy a megadott f¨ggv´nyek line´a a u e a risan f¨ggetlenek-e: u a) b) c) f1 (x) = x + 2 , f1 (x) = sin(x) , f1 (x) = 1 , f2 (x) = x - 2 f2 (x) = cos(x) f2 (x) = x , 110 (x R); (x R); (x R);

f3 (x) = x2

d) e)

f1 (x) = ex , f1 (x) = x ,

f2 (x) = e2x , f2 (x) = e ,
x

f3 (x) = e3x f3 (x) = xe
x

(x R); (x R).

7) Hat´rozza meg az al´bbi differenci´legyenletek ´ltal´nos megold´s´t: a a a a a aa a) (2x + 1)y + 4xy - 4y = 0 , b) y - 2(1 + tg (x))y = 0 , c) y - y tg(x) + 2y = 0 , d) xy - y - xy + y = 0 ,
2

ha y1 (x) = x ismert; y1 (x) = tg(x) ismert; y1 (x) = sin(x) ismert; ismert.

ha ha

ha y1 (x) = x , y2 (x) = ex

8) Adja meg az al´bbi differenci´legyenletek ´ltal´nos megold´s´t: a a a a aa a) x(x - 1)y - xy + y = 0 ; b) xy + 2y - xy = 0 ; c) (3x3 + x)y + 2y - 6xy = 0 . 9) Oldja meg az al´bbi differenci´legyenleteket: a a y + y - 2y = 0 ; y - 4y + 5y = 0 ; y - 8y = 0 ; y - 2y + y = 0 ; y
(5)

y + 4y + 3y = 0 ; y + 2y + 10y = 0 ; y (4) - y = 0 ; 4y + 4y + y = 0 ; =0;

y - 2y = 0 ; y + 4y = 0 ; y (6) + 64y = 0 ;

- 6y

(4)

+ 9y

(3)

y (5) - 10y (3) + 9y = 0 ; y - 3y + 3y - y = 0 ; y - 3y + 2y = 0 .

y (4) + 2y + y = 0 ; y (4) - 5y + 4y = 0 ;

10) Oldja meg az al´bbi differenci´legyenleteket: a a y - 2y - 3y = e4x ; y - y = 2ex - x2 ; y - 3y + 2y = sin(x) ; y - 3y + 2y = cos(x) ; 111 y + y = 4xex ; y + y - 2y = 3xex ; y - 5y + 4y = 4x2 e2x ; y - 4y + 8y = e2x + sin(2x) ;

y + y = x sin(x) ; y + 4y + 3y = ch(x) ; y +y = 1 ; sin(x)

y + y = sin(x) + x cos(x) ; ex y - 2y + y = ; x y + 4y = 2 tg(x) ;

(3x3 + x)y + 2y - 6xy = 4 - 12x2 . 11) Hat´rozza meg az al´bbi Cauchy-feladatok megold´s´t: a a aa a) b) c) d) e) y -y =0 , y - 2y + y = 0 , y + y = 4e , y - 2y = 2e , y + y = 2x - ,
x x

y(0) = 3 , y(0) = 4 ,

y (0) = -1 , y (0) = -3 ;

y (0) = 1 ;

y(2) = 1 , y(1) = -1 , y(0) = 0 ,

y (2) = -2 ; y (1) = 0 ; y() = 0 .

12) Oldja meg az al´bbi differenci´legyenlet-rendszereket: a a a) y1 - y1 + y2 = 0 y2 + 4y1 - y2 = 0 , b) y1 + y1 - 8y2 = 0 y2 - y1 - y2 = 0 , y1 - y2 = ex y2 - y1 = x2 .

y1 - y1 + y2 - y3 = 0 y - y1 - y2 + y3 = 0 c) 2 y3 - 2y1 + y2 = 0 ,

d)

112



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

10.16-2 14. a munkapiac xii fej0001 1eloadas 2004 2008_12_17 ábra adatbázis ady arc architektúra b1 bűnperek citrátkör definíciók diplomadolgozat evolúció filozófiatörténet freud gyakorló feladatok hla info jogszabályok juhász kant koaguláció környezetvédelmi mikrobiológia lemezszegélyek logisztika metafora minőség minőségügy montesquieu móricz mpiac munkaerő ókori kelet operációs rendszerek politikai szociológia politológia posztmodern rendszerek szocializáció teszt tulajdonjog urbán vállalatgazdaságtan vegyes piacgazdaság vegyes szakjog vergilius vizuális antropológia alapfogalmai