gazdasági matematika 2

Országok listájaHungaryDebreceni EgyetemKözgazdaságtudományi KarGazdálkodási és menedzsmentGazdasági Matematika II.gazdasági matematika 2

T´telek ´s defin´ ok val´sz´ us´gsz´m´ asb´l e e ici´ o in e a it´ o A defin´ okat (D), a t´teleket (T) jel¨li ici´ e o A legfontosabb defin´ okat ´s t´teleket jel¨li ici´ e e o

(D) Biztos esem´ny: amely mindig bek¨vetkezik; egy (, A, P) val´sz´ us´gi mez eset´n be lehet azoe o o in e o e nos´ itani az r´szhalmazzal. e (D) Lehetetlen esem´ny: amely sohasem k¨vetkezik be; egy (, A, P) val´sz´ us´gi mez eset´n be lehet e o o in e o e azonos´ itani az r´szhalmazzal. e (D) Ellentett esem´ny: Az A ellentett (komplementer) esem´nye: az az esem´ny, mely pontosan e e e akkor k¨vetkezik be, amikor az A esem´ny nem k¨vetkezik be; jel¨l´se: A; egy (, A, P) val´sz´ us´gi o e o oe o in e mez eset´n be lehet azonos´ o e itani az \ A r´szhalmazzal. e (D) Esem´nyek uni´ja: Az A ´s B esem´nyek ¨sszege (uni´ja): az az esem´ny, amely pontosan e o e e o o e akkor k¨vetkezik be, amikor az A ´s B esem´nyek k¨z¨l legal´bb az egyik bek¨vetkezik; jel¨l´se: o e e o u a o oe A + B vagy A B; egy (, A, P) val´sz´ us´gi mez eset´n be lehet azonos´ o in e o e itani az A B r´szhalmazzal. e (D) Esem´nyek metszete: Az A ´s B esem´nyek szorzata (metszete): az az esem´ny, amely pontosan e e e e akkor k¨vetkezik be, amikor az A ´s B mindegyike bek¨vetkezik; jel¨l´se: A · B, vagy AB, vagy o e o oe A B; egy (, A, P) val´sz´ us´gi mez eset´n be lehet azonos´ o in e o e itani az A B r´szhalmazzal. e (D) Esem´nyek k¨ l¨nbs´ge: Az A ´s B esem´nyek k¨ l¨nbs´ge: az az esem´ny, amely pontosan akkor e uo e e e uo e e k¨vetkezik be, amikor az A esem´ny bek¨vetkezik, a B esem´ny pedig nem; jel¨l´se: A - B vagy o e o e oe A \ B; egy (, A, P) val´sz´ us´gi mez eset´n be lehet azonos´ o in e o e itani az A \ B r´szhalmazzal. e (T) A logikai m veletek tulajdons´gai: u a · kommutativit´s: a · asszociativit´s: a · idempotencia: · disztributivit´s: a · de Morgan-f´le azonoss´gok: e a · k¨l¨nbs´g: uo e A + B = B + A, A · B = B · A. A + (B + C) = (A + B) + C, A · (B · C) = (A · B) · C. A + A = A, A · A = A. A · (B + C) = (A · B) + (A · C), A + (B · C) = (A + B) · (A + C). A + B = A · B, A · B = A + B. A - B = A · B.

(D) Egym´st kiz´r´ esem´nyek: Azt mondjuk, hogy az A ´s B esem´nyek diszjunktak (kiz´rj´k a a o e e e a a egym´st), ha egyszerre nem k¨vetkezhetnek be. a o (T) Egym´st kiz´r´ esem´nyek jellemz´se: Az A ´s B esem´nyek akkor ´s csak akkor diszjunktak, a a o e e e e e ha A · B = . (D) Egy esem´ny maga ut´n von egy m´sikat: Azt mondjuk, hogy az A esem´ny maga ut´n e a a e a vonja a B esem´nyt (vagyis B k¨vetkezik A-b´l), ha az A esem´ny bek¨vetkez´se eset´n mindig e o o e o e e bek¨vetkezik a B esem´ny is; jel¨l´se: A B. o e oe (T) A k¨vetkez ´ll´ asok ekvivalensek: o o a it´ · A B; · A B; · B A; 1

· B A. (D) Esem´nyalgebra: Egy esem´nyt´r bizonyos esem´nyeibl ´ll´ A rendszert esem´nyalgebr´e e e e o a o e a nak nevez¨nk, ha tartalmazza a biztos esem´nyt, ´s z´rt a komplementerk´pz´sre ´s a v´ges uni´k´pu e e a e e e e o e z´sre. (Egy esem´nyalgebra z´rt a k¨l¨nbs´gk´pz´sre ´s a v´ges metszetk´pz´sre is.) e e a uo e e e e e e e (D) -algebra: Egy esem´nyalgebr´t -algebr´nak nevez¨nk, ha z´rt a megsz´ml´lhat´ uni´k´pz´sre. e a a u a a a o o e e (Egy -algebra z´rt a megsz´ml´lhat´ metszetk´pz´sre is.) a a a o e e (D) Permut´ci´: Amikor n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l h´zunk visszatev´s n´lk¨l ugy, hogy a sorrend a o uo o o o u u e e u ´ sz´m´ ´s kih´zzuk az ¨sszes n elemet, ami azzal ekvivalens, hogy n elemet sorba´ll´ a it, e u o a itunk, akkor ezeket a sorba´ll´ asokat permut´ci´knak nevezz¨k; ezek sz´ma a it´ a o u a n! := 1 · 2 · · · · · n. (D) Ism´tl´s n´lk¨ li vari´ci´: Legyenek k ´s n pozit´ eg´szek ugy, hogy k e e e u a o e iv e ´ n. Amikor n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l k elemet h´zunk visszatev´s n´lk¨l ugy, hogy a sorrend sz´m´ akkor a kapott uo o o o u u e e u ´ a it, sorozatokat ism´tl´s n´lk¨ li vari´ci´knak nevezz¨k; ezek sz´ma e e e u a o u a n(n - 1) · · · (n - k + 1) = n! . (n - k)!

(D) Ism´tl´ses vari´ci´: Legyenek k ´s n pozit´ eg´szek. Amikor n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l e e a o e iv e uo o o o u k elemet h´zunk visszatev´ssel ugy, hogy a sorrend sz´m´ akkor a kapott sorozatokat ism´tl´ses u e ´ a it, e e vari´ci´knak nevezz¨k; ezek sz´ma a o u a nk . (D) Ism´tl´s n´lk¨ li kombin´ci´: Legyenek k ´s n pozit´ eg´szek ugy, hogy k n. Amikor n e e e u a o e iv e ´ k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l k elemet h´zunk visszatev´s n´lk¨l ugy, hogy a sorrend nem sz´m´ akkor a uo o o o u u e e u ´ a it, kapott halmazokat ism´tl´s n´lk¨ li kombin´ci´knak nevezz¨k; ezek sz´ma e e e u a o u a n k := n(n - 1) · · · (n - k + 1) n! = . k! (n - k)! k!

(D) Ism´tl´ses kombin´ci´: Legyenek k ´s n pozit´ eg´szek. Amikor n k¨l¨nb¨z elem k¨z¨l k e e a o e iv e uo o o o u elemet h´zunk visszatev´ssel ugy, hogy a sorrend nem sz´m´ akkor a kapott halmazokat ism´tl´ses u e ´ a it, e e kombin´ci´knak nevezz¨k; ezek sz´ma a o u a n+k-1 . k (D) Ism´tl´ses permut´ci´: Amikor n olyan elem k¨z¨l h´zunk visszatev´s n´lk¨l, melyek k¨z¨tt e e a o o u u e e u o o n1 , n2 , . . . , nr megk¨l¨nb¨ztethetetlen van (persze n1 +n2 +· · ·+nr = n) ugy, hogy a sorrend sz´m´ uo o ´ a it, ´s kih´zzuk az ¨sszes n elemet, ami azzal ekvivalens, hogy ezeket az elemeket sorba´ll´ e u o a itjuk ugy, hogy ´ a megk¨l¨nb¨ztethetetlen elemek felcser´l´se nem sz´m´ akkor ezeket a sorba´ll´ asokat ism´tl´ses uo o ee a it, a it´ e e permut´ci´knak nevezz¨k; ezek sz´ma a o u a n! . n1 ! n2 ! · · · nr ! (D) Val´sz´ us´gi mez: (, A, P) h´rmas, ahol o in e o a · egy nem¨res halmaz (az esem´nyt´r); u e e · A 2 az bizonyos r´szhalmazaib´l ´ll´ -algebra (az esem´nyek rendszere); e o a o e · P : A R olyan lek´pez´s, melyre e e 1. P(A) [0, 1] tetszleges A A eset´n, o e 2. P() = 1, 3. ha A1 , A2 , . . . A p´ronk´nt diszjunktak, akkor a e


P
j=1

Aj

=
j=1

P(Aj ).

(Ezt a tulajdons´got -additivit´snak nevezz¨k). a a u 2

Az esem´nyt´r elemeit elemi esem´nyeknek nevezz¨k; ezek a k´ erlet/megfigyel´s lehets´ges e e e u is´ e e kimeneteleit reprezent´lj´k; k¨z¨l¨k pontosan egy k¨vetkezik be v´letlenszeren. Az A 2 a a o uu o e u algebra elemeit pedig esem´nyeknek nevezz¨k. Ha az elemi esem´ny k¨vetkezik be, akkor e u e o · azok az A , A A esem´nyek k¨vetkeznek be, melyekre teljes¨l A; e o u · azok az A , A A esem´nyek pedig nem k¨vetkeznek be, melyekre A. e o Egy A esem´ny eset´n a P(A) sz´mot az A val´sz´ us´g´nek, a P : A R lek´pez´st pedig e e a o in e e e e val´sz´ us´geloszl´snak nevezz¨k. o in e a u (T) A val´sz´ us´geloszl´sok tulajdons´gai: o in e a a · P() = 0. · Ha A1 , A2 , . . . , An A p´ronk´nt diszjunktak, akkor a e
n n

P
j=1

Aj

=
j=1

P(Aj ).

Ezt a tulajdons´got v´ges additivit´snak nevezz¨k. a e a u · P(A) = 1 - P(A). · Ha A B, azaz A B, akkor P(A) P(B), P(B \ A) = P(B) - P(A).

Ezt a tulajdons´got monotonit´snak nevezz¨k. a a u · Tetszleges A, B A eset´n o e P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). · Tetszleges A, B, C A eset´n o e P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C). (D) Diszkr´t val´sz´ us´gi mez: Az (, A, P) val´sz´ us´gi mez diszkr´t, ha v´ges vagy mege o in e o o in e o e e sz´ml´lhat´an v´gtelen, azaz a a o e = {1 , 2 , . . . , N } vagy = {1 , 2 , . . .} alak´, ´s A az ¨sszes r´szhalmaz´b´l ´ll, azaz A = 2 . u e o e a o a (T) Val´sz´ us´gek kisz´mol´sa diszkr´t val´sz´ us´gi mezben: Tetszleges A A esem´ny el´ll o in e a a e o in e o o e oa az A= {i }
i : i A

diszjunkt felbont´s alakj´ban, ´ a a igy P(A) =
i : i A

P({i }).

(D) Egyenletes eloszl´s v´ges halmazon: Legyen (, A, P) olyan diszkr´t val´sz´ us´gi mez, ahol a e e o in e o = {1 , 2 , . . . , N }. A P : A [0, 1] val´sz´ us´geloszl´s egyenletes, ha az elemi esem´nyek egyenl val´sz´ us´gek, o in e a e o o in e u azaz 1 P({1 }) = P({2 }) = . . . = P({N }) = . N

3

(T) Val´sz´ us´gek kisz´m´ asa v´ges halmazon egyenletes eloszl´s eset´n: o in e a it´ e a e P(A) =
i : i A

P({i }) =

1 N

1=
i : i A

|A| , N

ahol |A| az A halmaz elemsz´m´t jel¨li, vagyis a a o P(A) = kedvez kimenetelek sz´ma o a . o ¨sszes kimenetelek sz´ma a

Ez a val´sz´ us´g kisz´m´ as´nak klasszikus k´plete. o in e a it´ a e (D) Egyenletes eloszl´s Rk v´ges m´rt´k r´szhalmazain: Legyen (, A, P) olyan val´sz´ us´gi a e e e u e o in e mez, ahol Rk v´ges m´rt´k (Borel-) halmaz, azaz () < , ahol az illet halmaz o e e e u o m´rt´k´t jel¨li: e e e o · k = 1 eset´n ¨sszhossz, e o · k = 2 eset´n ter¨let, e u · k = 3 eset´n t´rfogat, e e vagyis () :=


dt1 . . . dtk :=
-

...
-

1 (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk < ,

ahol

1 az halmaz indik´torf¨ggv´nye, vagyis a u e 1 (t) :=
1 ha t , 0 ha t .

A P : A [0, 1] val´sz´ us´geloszl´s egyenletes az halmazon, ha ,,minden pont egyenl es´ly", o in e a o e u azaz egy A r´szhalmaz val´sz´ us´ge A m´rt´k´vel ar´nyos, vagyis e o in e e e e a P(A) = (A) . ()

Ez a val´sz´ us´gek geometriai kisz´m´ asi m´dja. o in e a it´ o (D) Felt´teles val´sz´ us´g: Az A esem´ny felt´teles val´sz´ us´ge a B felt´tel mellett (azaz ha e o in e e e o in e e tudjuk, hogy a B esem´ny bek¨vetkezett) e o P(A | B) := hacsak P(B) > 0. (T) L´ncszab´ly: a a P(A1 A2 · · · An ) = P(A1 ) P(A2 | A1 ) P(A3 | A1 A2 ) · · · P(An | A1 A2 · · · An-1 ), hacsak P(A1 A2 · · · An-1 ) > 0. (D) Teljes esem´nyrendszer: Az esem´nyt´r megsz´ml´lhat´ diszjunkt felbont´sa, azaz esem´nyek e e e a a o a e e e a a e a a e o e A1 , A2 , . . . v´ges vagy v´gtelen sorozata, melyek egym´st p´ronk´nt kiz´rj´k, ´s uni´juk az eg´sz esem´nyt´r, vagyis e e Ai Aj = ha i = j, ´s e Ai = .
i

P(A B) , P(B)

(T) Teljes val´sz´ us´g t´tele: Ha az A1 , A2 , . . . pozit´ val´sz´ us´g esem´nyek teljes esem´nyrendszert o in e e iv o in e u e e alkotnak, akkor tetszleges B esem´nyre o e P(B) =
i

P(B | Ai ) · P(Ai ).

4

(T) Bayes-formula: Ha A ´s B pozit´ val´sz´ us´g esem´nyek, akkor e iv o in e u e P(A | B) = P(A) · P(B | A) . P(B)

(T) Bayes-t´tel: Ha az A1 , A2 , . . . pozit´ val´sz´ us´g esem´nyek teljes esem´nyrendszert alkotnak e iv o in e u e e ´s P(B) > 0, akkor e P(Ai ) · P(B | Ai ) P(Ai | B) = . P(B | Aj ) · P(Aj )
j

(D) Esem´nyek f¨ ggetlens´ge: Azt mondjuk, hogy az A ´s B esem´nyek f¨ ggetlenek, ha e u e e e u P(A B) = P(A) · P(B). (D) Esem´nyek p´ronk´nti f¨ ggetlens´ge: Azt mondjuk, hogy az A1 , A2 , . . . esem´nyek p´ronk´nt e a e u e e a e f¨ ggetlenek, ha k¨z¨l¨k b´rmely k´t esem´ny f¨ggetlen. u o uu a e e u (D) Esem´nyek (teljes) f¨ ggetlens´ge: Azt mondjuk, hogy az A1 , A2 , . . . esem´nyek (teljesen) e u e e f¨ ggetlenek, ha tetszleges i1 , i2 , . . . , ik p´ronk´nt k¨ l¨nb¨z indexekre u o a e uo o o P(Ai1 Ai2 · · · Aik ) = P(Ai1 ) P(Ai2 ) · · · P(Aik ). (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ ´s annak eloszl´sf¨ ggv´nye: Ha (, A, P) val´sz´ us´gi mez, akkor a o in e a oe a u e o in e o : R lek´pez´s val´sz´ us´gi v´ltoz´, ha tetszleges x R eset´n { : () < x} A. e e o in e a o o e Ekkor az F : R [0, 1], F (x) := P{ < x} f¨ggv´nyt (kumulat´ eloszl´sf¨ ggv´ny´nek nevezz¨k. u e iv) a u e e u (T) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ eloszl´sf¨ ggv´ny´nek jellemz´se: Egy F : R [0, 1] f¨ggv´ny akkor o in e a o a u e e e u e ´s csak akkor lehet eloszl´sf¨ggv´nye valamely : R val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha e a u e o in e a o 1. F monoton n¨vekv, o o 2. F balr´l folytonos, o 3.
x-

lim F (x) = 0,

x+

lim F (x) = 1.

(T) Val´sz´ us´g kisz´mol´sa eloszl´sf¨ ggv´ny seg´ eg´vel: Ha a, b R, a < b, akkor o in e a a a u e its´ e P{a < b} = F (b) - F (a).

(D) Diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´: A : R val´sz´ us´gi v´ltoz´ diszkr´t, ha lehets´ges e o in e a o o in e a o e e ´rt´keinek halmaza, a {() : } ´rt´kk´szlet megsz´ml´lhat´. e e e e e a a o (T) Diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ eloszl´sf¨ ggv´ny´nek alakja: Egy diszkr´t val´sz´ us´gi e o in e a o a u e e e o in e v´ltoz´ eloszl´sf¨ggv´nye olyan l´pcss f¨ggv´ny, mely a lehets´ges ´rt´kekn´l ugrik, ´s az ugr´s a o a u e e o u e e e e e e a nagys´ga az illet ´rt´k val´sz´ us´ge. Ha a lehets´ges ´rt´keinek halmaza X := {x1 , x2 , . . . }, a o e e o in e e e e akkor F (x) = P{ = xi }, x R.
{i : xi
(D) Egyenletes eloszl´s v´ges halmazon: Legyen N pozit´ eg´sz. Valamely : R val´sz´ us´gi a e iv e o in e v´ltoz´ egyenletes eloszl´s´ az {1, 2, . . . , N } halmazon, ha a lehets´ges ´rt´kei {1, 2, . . . , N }, a o a u e e e ´s az ezekhez tartoz´ val´sz´ us´gek e o o in e P{ = k} = 1 , N k = 1, 2, . . . , N.

(D) Bernoulli-eloszl´s: Legyen p [0, 1]. Valamely : R val´sz´ us´gi v´ltoz´ p param´ter a o in e a o e u Bernoulli-eloszl´s´ , ha a lehets´ges ´rt´kei {0, 1}, ´s az ezekhez tartoz´ val´sz´ us´gek a u e e e e o o in e P{ = 1} = p, 5 P{ = 0} = 1 - p.

(D) Binomi´lis eloszl´s: Legyen n pozit´ eg´sz ´s p [0, 1]. Valamely : R val´sz´ us´gi a a iv e e o in e v´ltoz´ (n, p) param´ter binomi´lis eloszl´s´ , ha a lehets´ges ´rt´kei {0, 1, 2, . . . , n}, ´s az a o e u a a u e e e e ezekhez tartoz´ val´sz´ us´gek o o in e P{ = k} = n k p (1 - p)n-k , k k = 0, 1, 2, . . . , n.

(D) (Elsrend ) negat´ binomi´lis eloszl´s: Legyen p [0, 1]. Valamely : R val´sz´ us´gi o u iv a a o in e v´ltoz´ (elsrend ) p param´ter negat´ binomi´lis eloszl´s´ , ha a lehets´ges ´rt´kei {1, 2, . . .}, a o o u e u iv a a u e e e ´s az ezekhez tartoz´ val´sz´ us´gek e o o in e P{ = k} = p · (1 - p)k-1 , k = 1, 2, . . .

(D) Hipergeometrikus eloszl´s: Legyenek n, K ´s L pozit´ eg´szek. Valamely : R a e iv e val´sz´ us´gi v´ltoz´ (n, K, L) param´ter hipergeometrikus eloszl´s´ , ha a lehets´ges ´rt´kei o in e a o e u a u e e e olyan k eg´szek, melyekre teljes¨l 0 e u k n, k K ´s n - k e L, ´s az ezekhez tartoz´ e o val´sz´ us´gek o in e K L k n-k P{ = k} = . K +L n (D) Poisson eloszl´s: Legyen > 0. Valamely : R val´sz´ us´gi v´ltoz´ param´ter a o in e a o e u Poisson eloszl´s´ , ha a lehets´ges ´rt´kei {0, 1, 2, . . .}, ´s az ezekhez tartoz´ val´sz´ us´gek a u e e e e o o in e P{ = k} = k - e , k! k = 0, 1, 2, . . .

(D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ s r s´gf¨ ggv´nye: Ha (, A, P) val´sz´ us´gi mez, : R val´sz´ us´gi o in e a o u u e u e o in e o o in e u e v´ltoz´, ´s l´tezik olyan f : R [0, ) f¨ggv´ny, melyre a o e e
x

F (x) =
-

f (t) dt,

x R,

ahol F a eloszl´sf¨ggv´nye, akkor az f f¨ggv´nyt a s r s´gf¨ ggv´ny´nek nevezz¨k. (Nem a u e u e u u e u e e u egy´rtelmen defini´lt!) e u a (D) Abszol´ t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´: A : R val´sz´ us´gi v´ltoz´ abszol´ t folyu o in e a o o in e a o u tonos, ha van srs´gf¨ggv´nye. uue u e (T) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ s r s´gf¨ ggv´ny´nek jellemz´se: Egy f : R [0, ) f¨ggv´ny akkor o in e a o u u e u e e e u e ´s csak akkor lehet srs´gf¨ggv´nye valamely : R val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha e uue u e o in e a o


f (t) dt = 1.
-

(T) Val´sz´ us´g kisz´m´ asa s r s´gf¨ ggv´ny seg´ eg´vel: Ha a, b R, a < b, akkor o in e a it´ u u e u e its´ e
b

P{a St minden B R (Borel-) halmaz eset´n o e

< b} =
a

f (t) dt.



P{ B} =
B

f (t) dt :=
-

f (t)1B (t) dt,

ahol

1B a B indik´torf¨ggv´nye, azaz a u e 1B (t) :=
1 ha t B, 0 ha t B.

Speci´lisan: tetszleges x R eset´n P{ = x} = 0. a o e 6

(T) Eloszl´sf¨ ggv´ny ´s s r s´gf¨ ggv´ny kapcsolata: Ha abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ a u e e u u e u e u o in e a o x F eloszl´sf¨ggv´nnyel ´s f srs´gf¨ggv´nnyel, akkor minden x R eset´n F (x) = - f (t) dt, a u e e uue u e e ´s minden olyan x R pontban, ahol f folytonos, teljes¨l F (x) = f (x). e u (D) Egyenletes eloszl´s intervallumon: Legyenek a, b R, a < b. a Valamely val´sz´ us´gi v´ltoz´ egyenletes eloszl´s´ az [a, b] intervallumon, ha az o in e a o a u 1 ha a x b, f (x) = b - a 0 egy´bk´nt e e f¨ggv´ny srs´gf¨ggv´nye -nek. Eloszl´sf¨ggv´nye: u e uue u e a u e 0 ha x a, x - a ha a < x F (x) = b-a 1 ha x > b. : R

b,

(D) Norm´lis eloszl´s: Legyenek m R, > 0. Valamely : R val´sz´ us´gi v´ltoz´ a a o in e a o norm´lis eloszl´s´ (m, 2 ) param´terekkel, ha az a a u e f (x) = f¨ggv´ny srs´gf¨ggv´nye -nek. u e uue u e (D) Exponenci´lis eloszl´s: Legyen > 0. a a ram´ter exponenci´lis eloszl´s´ , ha az e u a a u f (x) = Valamely : R val´sz´ us´gi v´ltoz´ o in e a o pa(x-m)2 1 e- 22 , 2

xR

0 e-x

ha x 0, ha x > 0

f¨ggv´ny srs´gf¨ggv´nye -nek. Eloszl´sf¨ggv´nye: u e uue u e a u e F (x) = 0 1 - e-x ha x 0, ha x > 0.

(D) Val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ ´s annak eloszl´sf¨ ggv´nye: Ha (, A, P) val´sz´ us´gi mez, o in e a oe a u e o in e o e e o in e a o ´s k pozit´ eg´sz, akkor a (1 , . . . , k ) : Rk lek´pez´s val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´, ha e iv e i : R, i = 1, . . . , k val´sz´ us´gi v´ltoz´k. Ekkor az F1 ,...,k : Rk [0, 1], o in e a o F1 ,...,k (x1 , . . . , xk ) := P{1 < x1 , . . . , k < xk } f¨ggv´nyt (kumulat´ eloszl´sf¨ ggv´ny´nek nevezz¨k. u e iv) a u e e u (D) Val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ s r s´gf¨ ggv´nye: Ha (, A, P) val´sz´ us´gi mez, (1 , . . . , k ) : o in e a o u u e u e o in e o Rk val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´, ´s l´tezik olyan f1 ,...,k : Rk [0, ) f¨ggv´ny, melyre o in e a o e e u e
x1 xk

F1 ,...,k (x1 , . . . , xk ) =
-

...
-

f1 ,...,k (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk ,

(x1 , . . . , xk ) Rk ,

ahol F1 ,...,k a (1 , . . . , k ) eloszl´sf¨ggv´nye, akkor az f1 ,...,k f¨ggv´nyt a (1 , . . . , k ) s r a u e u e u u s´gf¨ ggv´ny´nek nevezz¨k. (Nem egy´rtelmen defini´lt!) e u e e u e u a (D) Abszol´ t folytonos val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´: A (1 , . . . , k ) : Rk val´sz´ us´gi veku o in e a o o in e torv´ltoz´ abszol´ t folytonos, ha van srs´gf¨ggv´nye. a o u uue u e (T) Val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ s r s´gf¨ ggv´ny´nek jellemz´se: Egy f : Rk [0, ) f¨ggv´ny o in e a o u u e u e e e u e akkor ´s csak akkor lehet srs´gf¨ggv´nye valamely : Rk val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´nak, ha e uue u e o in e a o


...
- -

f (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk = 1.

7

(T) Val´sz´ us´g kisz´m´ asa s r s´gf¨ ggv´ny seg´ eg´vel: Ha ai , bi R, ai < bi , i = 1, . . . , k, o in e a it´ u u e u e its´ e akkor
b1 bk

P{ai

i

bi , i = 1, . . . , k} =
a1

...
ak

f1 ,...,k (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk .

St minden B Rk (Borel-) halmaz eset´n o e P{(1 , . . . , k ) B} =
B

f1 ,...,k (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk ...
- -

:=

f1 ,...,k (t1 , . . . , tk )1B (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk .

e Speci´lisan: tetszleges (x1 , . . . , xk ) Rk eset´n P{1 = x1 , 2 = x2 , . . . , k = xk } = 0. a o (T) Eloszl´sf¨ ggv´ny ´s s r s´gf¨ ggv´ny kapcsolata: Ha (1 , . . . , k ) abszol´t folytonos val´sz´ us´gi a u e e u u e u e u o in e v´ltoz´ F1 ,...,k eloszl´sf¨ggv´nnyel ´s f1 ,...,k srs´gf¨ggv´nnyel, akkor minden (x1 , . . . , xk ) Rk a o a u e e uue u e eset´n e x x
1 k

F1 ,...,k (x) =
-

...
-

f1 ,...,k (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk ,

´s minden olyan (x1 , . . . , xk ) Rk pontban, ahol f1 ,...,k folytonos, teljes¨l e u f1 ,...,k (x1 , . . . , xk ) = k F1 ,...,k (x1 , . . . , xk ) = 1 . . . k F1 ,...,k (x1 , . . . , xk ). x1 . . . xk

(D) Val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ peremeloszl´sai / margin´lis eloszl´sai: Valamely (1 , . . . , k ) vao in e a o a a a l´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ peremeloszl´sai / margin´lis eloszl´sai a 1 , . . . , k koordin´t´inak o in e a o a a a aa eloszl´sai. a (D) Diszkr´t val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´: A (1 , . . . , k ) : Rk val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ e o in e a o o in e a o diszkr´t, ha lehets´ges ´rt´keinek halmaza, a {(1 (), . . . , k ()) : } ´rt´kk´szlet megsz´ml´lhat´. e e e e e e e a a o (T) Diszkr´t val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ peremeloszl´sainak kisz´m´ asa: Ha ´s lehets´ges e o in e a o a a it´ e e ´rt´kei x1 , x2 , . . ., illetve y1 , y2 , . . ., akkor ´s eloszl´sa e e e a P{ = xi } =
j

P{ = xi , = yj },

P{ = yj } =
i

P{ = xi , = yj }.

(D) Polinomi´lis eloszl´s: Legyenek n, r pozit´ eg´sz ´s p1 , . . . , pr [0, 1], p1 + p2 + · · · + a a iv e e pr = 1. Valamely (1 , . . . , r ) : Rr val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ (n, p1 , . . . , pr ) param´ter o in e a o e u polinomi´lis eloszl´s´ , ha lehets´ges ´rt´kei olyan (k1 , k2 , . . . , kr ) nemnegat´ eg´sz koordin´t´j´ a a u e e e iv e aau vektorok, melyekre k1 + k2 + · · · + kr = n, ´s az ezekhez tartoz´ val´sz´ us´gek e o o in e P{1 = k1 , 2 = k2 , . . . , r = kr } = Peremeloszl´sai binomi´lis eloszl´sok: a a a P{i = ki } = n! pki (1 - pi )n-ki . ki !(n - ki )! i n! pk 1 pk 2 . . . p k r . r k1 !k2 ! . . . kr ! 1 2

(D) Polihipergeometrikus eloszl´s: Legyenek n, r ´s N1 , . . . , Nr pozit´ eg´szek. Valamely a e iv e (1 , . . . , r ) : Rr val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ (n, N1 , . . . , Nr ) param´ter polihipergeometo in e a o e u rikus eloszl´s´ , ha a lehets´ges ´rt´kei olyan (k1 , k2 , . . . , kr ) eg´sz koordin´t´j´ vektorok, melyekre a u e e e e aau minden i = 1, 2, . . . , r eset´n teljes¨l 0 ki Ni , ´s k1 + k2 + · · · + kr = n, ´s az ezekhez tartoz´ e u e e o val´sz´ us´gek o in e N1 N2 r · · · Nr k . P{1 = k1 , 2 = k2 , . . . , r = kr } = k1 k2 N
n

Peremeloszl´sai hipergeometrikus eloszl´sok: a a P{i = ki } =
Ni ki N -Ni n-ki N n

.

8

(D) Abszol´ t folytonos val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ peremeloszl´sainak kisz´m´ asa: Ha a (, ) u o in e a o a a it´ abszol´t folytonos val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ f, srs´gf¨ggv´nnyel, akkor a , illetve val´sz´ us´gi u o in e a o uue u e o in e v´ltoz´knak is l´tezik srs´gf¨ggv´ny¨k, m´gpedig a o e uue u e u e


f (x) =
-

f, (x, y) dy,

f (y) =
-

f, (x, y) dx.

(D) Egyenletes eloszl´s Rk v´ges m´rt´k r´szhalmazain: Legyen B Rk olyan (Borel-) halmaz, a e e e u e melyre


(B) :=
B

dt1 . . . dtk :=
-

...
-

1B (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk < .

Valamely (1 , . . . , k ) : Rk val´sz´ us´gi v´ltoz´ egyenletes eloszl´s´ a B halmazon, ha az o in e a o a u 1 ha x B, 1 1B (x1 , . . . , xk ) = (B) f1 ,...,k (x1 , . . . , xk ) = (B) 0 egy´bk´nt e e f¨ggv´ny srs´gf¨ggv´nye (1 , . . . , k )-nak. u e uue u e (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´k f¨ ggetlens´ge: A o in e a o u e f¨ ggetleneknek, ha tetszleges x, y R eset´n u o e ´s e val´sz´ us´gi v´ltoz´kat akkor nevezz¨k o in e a o u

P{ < x, < y} = P{ < x} P{ < y}, azaz F, (x, y) = F (x)F (y). (T) Diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´k f¨ ggetlens´ge: Ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ x1 , x2 , . . . e o in e a o u e e o in e a o lehets´ges ´rt´kekkel ´s diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ y1 , y2 , . . . lehets´ges ´rt´kekkel, akkor ´s e e e e e o in e a o e e e e f¨ggetlens´ge azzal ekvivalens, hogy u e i, j P{ = xi , = yj } = P{ = xi } P{ = yj }.

(T) Abszol´ t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´k f¨ ggetlens´ge: Ha (, ) abszol´t folytonos val´sz´ us´gi u o in e a o u e u o in e vektorv´ltoz´ f, srs´gf¨ggv´nnyel, akkor ´s f¨ggetlens´ge azzal ekvivalens, hogy a o uue u e e u e x, y R f, (x, y) = f (x)f (y).

(D) Diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ v´rhat´ ´rt´ke: Ha a : R diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ e o in e a o a oe e e o in e a o lehets´ges ´rt´kei x1 , x2 , . . ., akkor v´rhat´ ´rt´ke e e e a oe e E :=
k

xk · P{ = xk }, |xk | · P{ = xk } < .

amennyiben ez a sor abszol´t konvergens, azaz u

k

(D) Abszol´ t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ v´rhat´ ´rt´ke: Ha : R abszol´t folytonos u o in e a o a oe e u val´sz´ us´gi v´ltoz´ f : R [0, ) srs´gf¨ggv´nnyel, akkor v´rhat´ ´rt´ke o in e a o uue u e a oe e


E :=
-

x f (x) dx,
-

amennyiben ez az integr´l abszol´t konvergens, azaz a u

|x|f (x) dx < .

(T) A v´rhat´ ´rt´k tulajdons´gai: Ha ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k ´s a, b R, akkor a oe e a e o in e a o e · E(a ) = a E (homogenit´s) a · E( + ) = E + E (additivit´s) a · E(a + b ) = a E + b E (linearit´s) a · ha ´s f¨ggetlenek, akkor E() = E · E e u · ha · ha , akkor E 0, akkor E E (monotonit´s) a 0 (pozitivit´s) a 9

· | E | · E ||

E || E 2 E 2 (Cauchy-Schwartz egyenltlens´g) o e

(T) Diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ f¨ ggv´ny´nek v´rhat´ ´rt´ke: Ha a : R diszkr´t vae o in e a o u e e a oe e e e l´sz´ us´gi v´ltoz´ lehets´ges ´rt´kei x1 , x2 , . . ., ´s g : R R, akkor o in e a o e e e E g() =
k

g(xk ) · P{ = xk },

amennyiben ez a sor abszol´t konvergens. u (T) Abszol´ t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ f¨ ggv´ny´nek v´rhat´ ´rt´ke: Ha : R u o in e a o u e e a oe e abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ f : R [0, ) srs´gf¨ggv´nnyel, ´s g : R R, akkor u o in e a o uue u e e


E g() =
-

g(x) · f (x) dx,

amennyiben ez az improprius integr´l abszol´t konvergens. a u (T) Diszkr´t val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ f¨ ggv´ny´nek v´rhat´ ´rt´ke: Ha a : R diszkr´t e o in e a o u e e a oe e e val´sz´ us´gi v´ltoz´ lehets´ges ´rt´kei x1 , x2 , . . ., az : R diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ leo in e a o e e e e o in e a o hets´ges ´rt´kei y1 , y2 , . . ., ´s g : R2 R, akkor e e e e E g(, ) =
k

g(xk , y ) · P{ = xk , = y },

amennyiben ez a sor abszol´t konvergens. u (T) Abszol´ t folytonos val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ f¨ ggv´ny´nek v´rhat´ ´rt´ke: Ha (, ) : u o in e a o u e e a oe e R abszol´t folytonos val´sz´ us´gi vektorv´ltoz´ f, : R2 [0, ) srs´gf¨ggv´nnyel, ´s u o in e a o uue u e e g : R2 R, akkor


E g(, ) =
- -

g(x, y) · f, (x, y) dx dy,

amennyiben ez az improprius integr´l abszol´t konvergens. a u (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ varianci´ja / sz´r´sn´gyzete: Ha : R olyan val´sz´ us´gi v´ltoz´, o in e a o a o a e o in e a o hogy E v´ges, akkor varianci´ja e a var := D2 := E ( - E )2 , (T) Variancia / sz´r´sn´gyzet kisz´mol´sa: o a e a a var = E( 2 ) - (E )2 , ´ ha diszkr´t val´sz´ us´gi v´ltoz´ x1 , x2 , . . . lehets´ges ´rt´kekkel, akkor igy e o in e a o e e e
2

var =
k

x2 k

· P{ = k} -
k

xk · P{ = k}

,

ha pedig abszol´t folytonos val´sz´ us´gi v´ltoz´ f srs´gf¨ggv´nnyel, akkor u o in e a o uue u e
2

var =
-

x2 f (x) dx -
-

xf (x) dx

.

(T) Variancia / sz´r´sn´gyzet tulajdons´gai: Ha ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k ´s a R, akkor o a e a e o in e a o e · var( + a) = var (eltol´sinvariancia) a · var(c · ) = c2 · var (homogenit´s) a · ha ´s f¨ggetlenek, akkor var( + ) = var + var (additivit´s) e u a

10

(D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´k kovarianci´ja: Ha ´s olyan val´sz´ us´gi v´ltoz´k, hogy E( 2 ) < o in e a o a e o in e a o ´s E( 2 ) < , akkor ´s kovarianci´juk e e a cov(, ) := E ( - E )( - E ) (T) Val´sz´ us´gi v´ltoz´k ¨sszeg´nek varianci´ja: Ha ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k, akkor o in e a o o e a e o in e a o var( + ) = var + 2 cov(, ) + var (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´k korrel´ci´s egy¨ tthat´ja: Ha ´s olyan val´sz´ us´gi v´ltoz´k, o in e a o a o u o e o in e a o hogy 0 < var < ´s 0 < var < , akkor ´s korrel´ci´s egy¨ tthat´ja e e a o u o corr(, ) := cov(, ) . var · var

(D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´k korrel´latlans´ga: A ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k korrel´latlanok, o in e a o a a e o in e a o a ha corr(, ) = 0, azaz cov(, ) = 0. (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´k pozit´ / negat´ korrel´lts´ga: Legyenek ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k. o in e a o iv iv a a e o in e a o Ha corr(, ) > 0 azaz cov(, ) > 0, akkor ´s pozit´ e ivan korrel´ltak, ha pedig a corr(, ) < 0 akkor ´s negat´ e ivan korrel´ltak. a (T) A kovariancia tulajdons´gai: a · var = cov(, ) · Ha ´s val´sz´ us´gi v´ltoz´k, akkor e o in e a o cov(, ) = cov(, ), corr(, ) = corr(, ) (szimmetria) azaz cov(, ) < 0,

· Ha 1 , . . . , n ´s 1 , . . . , m val´sz´ us´gi v´ltoz´k ´s a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm R, akkor e o in e a o e
n m n m

cov
i=1

ai i ,
j=1

bj j

=
i=1 j=1

ai bj cov(i , j )

(bilinearit´s) a

(T) A korrel´ci´s egy¨ tthat´ tulajdons´gai: a o u o a · corr(, ) = corr(, ), · | corr(, )| 1, · | corr(, )| = 1 akkor ´s csak akkor, ha valamely a = 0 ´s b val´s sz´mokkal P{ = a· +b} = 1 e e o a teljes¨l; itt a > 0 illetve a < 0 aszerint, hogy corr(, ) = 1 illetve corr(, ) = -1. u (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ momentumai: Legyen val´sz´ us´gi v´ltoz´, k pozit´ eg´sz. Ekkor o in e a o o in e a o iv e · k-adik momentuma: E( k ) · k-adik centr´lis momentuma: E ( - E )k a · k-adik abszol´ t momentuma: E ||k u · k-adik abszol´ t centr´lis momentuma: E | - E |k u a (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ ferdes´ge: o in e a o e E ( - E )3 (E [( - E )2 ])
3/2

.

11

(D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ cs´ csoss´ga: o in e a o u a E ( - E )4 (E [( - E )2 ])
2

- 3. A cq R sz´m q-kvantilise a a 1 - q.

(D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ kvantilisei: Legyen q (0, 1). o in e a o val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha o in e a o P{ < cq } q, ´s e

P{ > cq }

(D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ medi´nja: A c R sz´m medi´nja a val´sz´ us´gi v´ltoz´nak, ha c o in e a o a a a o in e a o 1 -kvantilise -nek. 2 (D) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ interkvartilise: A c R sz´m interkvartilise a o in e a o a v´ltoz´nak, ha c = c3/4 - c1/4 , ahol c1/4 ´s c3/4 1 -, illetve 3 -kvantilise -nek. a o e 4 4 (T) Val´sz´ us´gi v´ltoz´ kvantiliseinek kisz´m´ asa: o in e a o a it´
-1 · Ha az F (x) = q egyenletnek van megold´sa de csak egy, akkor ez az F (q) megold´s az a a egyetlen q-kvantilis.



val´sz´ us´gi o in e

· Ha az F (x) = q egyenletnek nincs megold´sa, akkor egyetlen q-kvantilis van, m´gpedig az a a e sz´m, ahol az F f¨ggv´ny ´tugorja a q ´rt´ket. a u e a e e · Ha az F (x) = q egyenletnek t¨bb megold´sa van, akkor a megold´shalmaz az (a, b] vagy [a, b] o a a intervallum, ´s a q-kvantilisek ´ppen az [a, b] intervallum pontjai. e e

12



Hasonló témájú dokumentumok

Egyelőre még egyetlen hasonló témájú file sincs feltöltve a rendszerbe

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Add hozzá azokat a tantárgyakat a saját tárgyakhoz, melyeket aktuálisan hallgatsz a félév során. Így megkapod mások üzeneteit akik tantárggyal kapcsolatban írnak, illetve Te magad is írhatsz ezzel kapcsolatban. Írhatsz naptári bejegyzést, kitöltheted a tantárgyi adatlapját és egy tárgy lapján látod azokat a hallgatókat akik szintén felvették ebben a félévben a tárgyat.

19. század 2. 2008 2008/2009-1 2010 3. előadás államháztartás architektúra beruházási függvény biológia cserépedény de-avk etnográfia fejlődéslélektan fogyasztói hálótervezés információs társadalom internet intézményi gyakorlat jogi alapismeretek juhász kamatláb kérdések keringés kis jános környezeti számvitel környezetvédelem közigazgatás labor marketing mechanika3 zh megtakarítás montázs mpiac nemzetközi gazdaságtan objektum orvosi kémia pavic stilisztika sűrűség szervetlen szociális jog tanári jegyzet település termelés tolsztoj vegyipari vízép xls vizsga vorlesung