Pillangóhatás

Országok listájaHungaryEötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi KarKémiaMintázatok Kialakulása Nemlineáris Kémiai és Biológiai RendszerekbenJegyzetekPillangóhatás

Egy választott címszó kifejtése:
A pillangóhatás










Írta: Nagy Dániel


EHA: NADPACT.ELTE
Szak: Kémia BSC.
Email cím: kelat89@gmail.com

Budapest, 2009. május


Mint minden nagy felfedezés ez is egy véletlennel kezdQdött. Edward Lorenz a MIT (Massachusetts Institute of Technology) egyik meteorológiai kutatója készítetett egy idQjárás szimulációs programot. A program egy képzeletbeli bolygó idQjárását képezte le egy pár szimulált adatból. A program semmilyen véletlenszerqséget nem használt, tehát ha ugyanazon kezdQ értékeket állítottak be rajta, akkor mindig ugyanaz a folyamat ment végbe. Ezzel Edward Lorenz-nek sikerült elég gyorsan akár több hónapnyi idQjárást is szimulálnia.
1961. telén E. Lorenz egy régebbi szimulációt akart megismételni. Bevitte hát a kiértékelési papírokon található kezdQértékeket és elindította a programot. Amikor a gép befejezte a szimulációt, azt tapasztalta, hogy a kezdeti idQpont után néhány hónappal már olyan eltérések vannak, mintha valaki csak véletlenszerqén választaná ki az értékeket. Az eltérést a következQ grafikonon láthatjuk:


A grafikon vízszintes tengelyén az idQ, míg a függQleges tengelyén egy valamilyen idQjárást meghatározó jellemzQ értékek vannak ábrázolva. Jól látható, hogy kiinduláskor csak kis mértékben térnek el az értékek, amelyek késQbb már teljes rendezetlenségbe, káoszba torkollanak. A kutató hamar rá jött a hibára: az ok, ami az eltérést okozta az volt, hogy a gép a papírra az elsQ három tizedes jegyet írta ki, míg igazából a gép hat tizedes jeggyel számolt. Egy ilyen apró kezdeti eltérés akkora változásokat képes okozni, hogy emiatt az idQjárást soha nem lehet nagy idQtávlatokra elQre jelezni. Az eltérés a kezdeti érték érzékenységét mutatja.

Miért is fontos Lorenz-nek ez a felfedezése? Bebizonyosodott általa, hogy egyszerq köznapi formulákkal lehetséges nagyon bonyolult viselkedésq folyamatok leírása. Ez a jelenség késztette híres beszédére Edward Lorenz-et, amelyet így kezdett: Képes-e egy pillangó brazíliai szárnycsapása Texasban tornádót kiváltani?
Lorenz késQbb is az idQjáráshoz hasonló viselkedésq, úgynevezett kaotikus rendszerek után kutatott. Felfedezett egy érdekes mechanikai rendszert, amelynek viselkedése nagyon különös.

A folyadék a kerék tengelye felett ömlik egyenletesen a kerékre úgy, hogy mindig csak az éppen felül levQ edény töltQdik. Az edények alján a folyadék egy, a beömléshez képest kis keresztmetszeten kiürülhet. (Tekintsük úgy, hogy az edények alján kifolyó folyadék nem kerülhet bele az alatta levQ edényekbe.) Ha a folyadék lassan ömlik be, az edény kiürülése miatt nem keletkezik elegendQ hajtónyomaték a kerék megindulásához (annak ellenére sem, hogy a felül lévQ edény nem pont a kerék tengelye felett áll). Növelve a beömlés mennyiségét, a felsQ edény annyira megtelik, hogy megindul a forgás, amely állandósulhat is bizonyos beömlési sebességek esetén. Tovább növelve a beömlést, a kerék forgási sebessége elérhet egy akkora értéket, amelynél már nincs elég idQ az edények kiürüléséhez, a forgás szabálytalanná és kaotikussá válik, miközben a forgás iránya többször is megfordul. A kerék szögsebessége az idQ függvényében:


A vízi kerék mozgását a tudósnak egy viszonylag egyszerq egyenletrendszerrel sikerült leírnia:
dx/dt = 10(y  x)
dy/dt =  xz + 28x  y
dz/dt = xy  (8/3)z

Így lehetQvé vált a rendszer számítógépes szimulációja, amely érdekes eredményt hozott. Lorenz a megoldásként kapott számhármasokat egy háromdimenziós koordináta rendszerben ábrázolta:

Ez a függvény mind a matematikusok, mind pedig a káoszelmélettel foglalkozók szimbólumává vált. Ezen alakzat értelmezéséhez viszont be kell vezetni néhány új fogalmat:
A topologikus entrópia (jele: h) a rendszerben levQ periodikus pályák számáról ad információt. Kaotikus rendszerekben minél hosszabb periodikus pályákat keresünk, annál több periodikus pályát fogunk találni, melynek összefüggése a topologikus entrópiával:

 INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/7/7/8/77807ddfba21c1941a1ceb1667a156a2.png" \* MERGEFORMATINET 

ahol Nm jelöli az m hosszúságú periodikus pályák számát [db].
Kaotikus rendszerekben két tetszQlegesen választott, egymáshoz közeli kezdQhelyzetbQl indított pálya tipikusan exponenciálisan távolodik egymástól a fázistérben. A távolodás mértékét a lokális Ljapunov-exponens jellemzi:

”rn = ”r0e»(r)n ,

ahol ”rn a két kiválasztott kezdQpontból indított pályák távolsága
n idQlépéssel az indítás után,
»(r) pedig a lokális Ljapunov-exponens, ami függ attól,
hogy honnan választottuk a két kezdQpontot.

A legnagyobb Ljapunov-exponens határozza meg a kezdQfeltételekre való érzékenységet (pl. az idQjárás elQrejelzésének alkalmazásánál is). Kaotikus rendszerekben a mozgás hosszú idQ után egy bonyolult geometriájú alakzaton, különös attraktoron zajlik. Ilyen az elQbbi ábra is.

A kaotikus viselkedés tehát bonyolult geometriai struktúrák felbukkanásával jár. Ezt a bonyolult struktúrát a fraktáldimenzióval lehet jellemezni. Fedjük le a fázistérben keletkezQ alakzatot azonos méretq dobozokkal , amelyek oldalainak hossza µ. Az alakzat lefedéséhez N(µ) darab doboz kell. A lefedéshez szükséges dobozok száma természetesen függ a dobozok méretétQl, ennek az összefüggésnek a matematikai alakja:

 INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/b/8/c/b8c1717e5ebe0659205a2d58d0d3b461.png" \* MERGEFORMATINET 

ahol D0 a dimenziók mennyisége.

Hagyományos alakzatoknál a dimenzió szokásos egész számú értékei 1, 2, 3 lehetnek, például egy négyzetre D0 = 2, kockánál D0 = 3 adódik. A kaotikus rendszerekben felbukkanó különös attraktorok esetében azonban, az így definiált dimenzió nem egész szám lesz, ami azt fejezi ki, hogy az alakzat pl. többet lefed a síkból, mint egy egyszerq görbe, de mégsem fed le teljesen egy területet. Tehát Lorenz szimbolikus ábrája tulajdonképpen szintén nem egész számú dimenzióval rendelkezik, hanem 2,06 dimenziós.

Ez elsQ hallásra szokatlannak tqnik, de más példákon keresztül bemutatva értelmezhetQvé válik. Ilyen például a Sierpinski-szQnyeg, melynek elQállításánál egy olyan négyzetbQl indulunk ki, melyet gondolatban kilenc egyenlQ részre osztunk fel. Ennek eltávolítjuk a középsQ kilencedét, majd a maradék nyolc darab kilenced rész mindegyikének is eltávolítjuk a közepét, és így tovább& a végtelenségig:




A Sierpinski-szQnyeg háromdimenziós megfelelQje a Menger-szivacs:

Ez lényegében egy olyan test, amelynek felszíne végtelen, a térfogata viszont nulla. Ennek a dimenziója 2,7268. EbbQl látszik, hogy a törtdimenzióval rendelkezQ testek megfoghatatlanok. Az ilyen testeket hívjuk fraktáloknak, melyek definíció szerint olyan önhasonló , végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhetQ (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlQdés tapasztalható.
Végül léteznek olyan kaotikus rendszerek, melyek szabad szemmel is igen jól megfigyelhetQek, ilyen például a folyadékáramban közlekedQ szemcsék rendszere. Áramló közegek mozgása, illetve a bennük sodródó részecskék, szennyezQdések viselkedése igen bonyolult lehet. Még, ha az áramlás maga nem turbulens is, a benne sodródó részecskék mozgása kaotikus lehet. Az áramlás a benne sodródó részecskéket szálas, fonalas alakzatokba rendezi, ahogy azt könnyen ellenQrizhetjük, ha egy csésze kávéban lassan tejszínt kevergetünk. Az egymáshoz közeli szemcséket az áramlás hatására létrejövQ kaotikus keveredés messzire sodorja egymástól, a kezdeti cseppet megnyújtja, miközben bonyolult alakzatokba hajtogatja. Ez a nyújtás és hajtogatás minden kaotikus rendszerek sajátja (és folyadékáramokban szabad szemmel is megfigyelhetQ).

Ezek alapján láthatjuk, hogy a pillangóhatás nem más, mint a kezdeti értékekre való érzékenység, s lényegében ezzel a ténnyel magyarázható, hogy a kaotikus rendszerek csak kis mértékben jelezhetQek elQre. Ahhoz, hogy pontos elQrejelzést kapjunk végtelen sok és pontos adatra lenne szükség. Mennyire jelentQs ez? A pillangóhatás felfedezése egyben a káosz felfedezését is jelentette, amely a XX. század harmadik forradalmasító tudományos vívmánya Einstein relativitás elmélete és Heisenberg kvantummechanikája mellett.

Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

00 5. előadás 7. ady anyagszerk bencze csokonai descartes direkt ea elektro elemzés élete épszerk 3 épterv filozófiai antropológia fizika 1 frei otto gyep növényzet hla információs társadalom irodalomesztétika jogi alaptan jogszabályok juhász kántor anita kassák kéregedzés kiefer ferenc környezet középkori európa makroökonómia növényrendszertan nyelvművelés órai dia ökológia preromán prog.terv pszichológia rezgéstan speech sounds szalay luca szervetlen technika település tengely tűzjelző vér vezgazd vizsgapéldák