01matrix

Országok listájaHungaryKodolányi János FőiskolaTurizmus-vendéglátásOperációkutatás01matrix

Lengyel Ferenc
lengyelf@uranos.kodolanyi.hu http://informatika.kodolanyi.hu

Operációkutatás
1. mátrixok

Mátrix




Táblázatosan elrendezett számok Téglalap alakban

0 2 1 4 6 - 1 8 5 2 5 - 2 - 3 7 1 0 3

jelölések


Aláhúzott nyomtatott nagybet Indexben a sorok és az oszlopok száma (méret) Az egyes számok is jelölhetk: kisbet, indexben a sor és oszlop száma (pozíció)

A4,3

a1,1 a 2,1 = a3,1 a4,1

a1, 2 a2 , 2 a3, 2 a4 , 2

a1,3 a2 , 3 a3,3 a4 , 3

Nevezetes mátrixok




Nullmátrix: minden eleme 0 Négyzetes mátrix: ugyanannyi sor, mint amennyi oszlop

fátló

1 2 3 4

2 3 4 3 4 1 4 2 1 1 1 3

Nevezetes mátrixok




Egységmátrix: négyzetes, a fátlóban 1, a többi helyen 0 Háromszög mátrix: négyzetes, a fátló alatt vagy felett csupa 0 szerepel

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Mj: A valós számok tekinthetk 1x1-es mátrixnak is!

Nevezetes mátrixok


Ha a mátrix csak egy sorból vagy csak egy oszlopból áll: vektor

3 2 a= - 5 1

b = [ 2 8 7]
*

Nevezetes mátrixok


Összegz vektor: minden eleme 1

1 1 1= 1 1

Mveletek mátrixokkal


Transzponálás
­ A sorok és oszlopok felcseréldnek

B 2,3

1 2 3 = 4 5 6

B

* 3, 2

1 4 2 5 = 3 6

Mveletek mátrixokkal


Összeadás
­ Csak akkor, ha a két mátrix mérete megegyezik ­ Az azonos pozícióban lev számokat összeadjuk

[1

2] + [ 3 4] = [1 + 3 2 + 4] = [ 4 6]

Mveletek mátrixokkal


Kivonás
­ Csak akkor, ha a két mátrix mérete megegyezik ­ Az azonos pozícióban lev számokat kivonjuk

[4

5] - [ 2 1] = [ 4 - 2 5 - 1] = [ 2 4]

Mveletek mátrixokkal


Számmal szorzás
­ Minden számot végigszorzunk

2 3 1 4 2 =

4 6 2 8

Mveletek mátrixokkal


Két mátrix szorzata
­ Csak akkor, ha az els mátrix oszlopszáma megegyezik a második mátrix sorszámával

Am ,n · Bn ,k = Cm ,k
ci , j =



n

l= 1

ai ,l · bl , j

Két mátrix szorzata

1 0 2 - 1 3 5

1 0 - 1 0 2 - 1 1 0 3 4 2 1

=???

Két mátrix szorzata
1 0 -1 0 - 2 1 1 0 3 4 2 1

1 0 2 7 8 3 2 - 1 3 5 20 17 14 5
1*1=1 2*3=6 1+0+6= 0*2=0 0+0+8=

Két mátrix szorzata

1 0 2 - 1 3 5

1 0 - 1 0 2 - 1 1 0 3 4 2 1

=

7 8 3 2 20 17 14 5

Mveletek tulajdonságai


Összeadás
­ ­ ­ ­ Felcserélhet: A+B=B+A Csoportosítható: (A+B)+C=A+(B+C) Létezik nulla: azonos méret nullmátrix Mindenkinek van ,,ellentettje", akivel összeadva megkapjuk a nullát

Mj: ez tulajdonképpen nem is új mvelet, csak a valós összeadás sokszor megismételve

Mveletek tulajdonságai


Szorzás
­ Felcserélhet?
A méretek fordítva nem is biztos, hogy megfelelk Négyzetes mátrixoknál jók a méretek, elvégezhet a szorzás, de más lesz az eredmény


­ Nem felcserélhet: ABBA

Mveletek tulajdonságai


Szorzás
­ Csoportosítható?


Igen, bizonyítható, de mi csak elhisszük

­ Csoportosítható: A(BC)=(AB)C

Mveletek tulajdonságai


Szorzás
­ Létezik ,,egy"?
Ha ,,egy"-gyel szorzunk, nem változik az érték A négyzetes mátrixoknál létezik az ,,egy": egységmátrix


­ Létezik ,,egy": AE=EA=A

Mveletek tulajdonságai


Szorzás
­ Van mindenkinek ,,reciproka"?




Ha egy számot a reciprokával szorzunk: egyet kapunk Csak a négyzetes mátrixnak lehet ,,reciproka", de ott sincs mindenkinek Valós szám esetén mindenkinek van reciproka, kivéve a nullát Ez gond! Ha van, akkor az viszont mindkét irányból jó!

­ Nincs mindenkinek ,,reciproka"!


Mveletek tulajdonságai


Szorzás
­ Probléma:
Ha AB=0, akkor A=0 vagy B=0? A valós számoknál ez igaz volt Mátrixok esetében ez nem igaz Léteznek olyan nem nulla mátrixok, amelyek szorzata nulla lesz...


Mveletek tulajdonságai


Szorzás
­ Mégis mire jó:
Egyszerbb írásmód ,,gyorsabb" számolás


példa
Alkatrészek

a I. termék 2 II. termék 1 III. termék 2
költség

b 3 3 4

c 0 5 1

d 2 2 0

darab

80 40 0
Mennyi az egyes termékek önköltségi ára? Mennyi alkatrész szükséges?

100 132 120 98

példa
2 1 2 3 3 4 0 5 1 2 2 0 80 40 0
100 132 120 98

2 3 T= 0 2

1 2 3 4 5 1 2 0

80 40 p= 0

100 132 k= 120 98

példa
2 3 T= 0 2 1 2 3 4 5 1 2 0

80 40 p= 0
200 360 T· p= 200 240

A négyféle alkatrészbl ennyire van szükség:

példa
100 2 132 3 T= k= 0 120 2 98
1 2 3 4 5 1 2 0

Az egyes termékeknek ennyi az önköltségi ára:

k · T = [ 792 1292 848]
*

példa
2 1 100 3 3 132 T= k= 0 5 120 2 2 98 2 4 1 0

80 40 p= 0
k · T · p = [115040]
*

Ennyibe kerül a gyártás:

Gyakorló feladatok


Fellner Diána Kinga: Operációkutatás példatár
­ 1. fejezet
6, 7, 8 10, 11abc, 13




Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

11.05-2 16 a1 algebra alkotmányjog anyagok assembly baudelaire cisco deklaratív programozás elosztás építésszervezés i. fejlődéslélektan földrajz földtudomány gazdasági magánjog gazdaságszociológia gazdaságtörténelem halál házi doga helyi társadalom hull intézményi gyakorlat kereskedelem kidolgozott anyag kidolgozott tétel kidolgozott tételek költségszámítás különleges épszerk makroökonómia marketing2 mechanika3 zh munka oktatói kiadott anyag órai anyag öregedés polgári jog prácser tamás pszichoszexuális fejlődés rugó sejt szám számítás szociálpolitika topográfia tőzsde trendszámítás villamos gépek vízlágyítás vizsgazárthelyi