040601 - megoldással

Országok listájaHungaryBudapesti Műszaki FőiskolaNeumann János Informatikai Főiskolai KarMérnök informatikusMatematika SzigorlatVizsgák040601 - megoldással

Matematika szigorlat
Informatika I. 2004. június 1.

Javítókulcs.
1. Adottak az A(1, 1, 1), B(-1, 0, 0) és C(1, 3, 2) pontok. a) Írja fel az adott pontok által meghatározott sík egyenletét. 4 pont

M.o.: x + 2y - 4z = -1 b) Határozza meg az A, B,C pontok által meghatározott sík azon egyenesének az egyenletrendszerét, amely az - 4 pont A ponton áthalad és mer leges az AB vektorra. o M.o.: x - 1 = 6t, y - 1 = -9t, z - 1 = -3t. - - - c) Hány dimenziós teret feszítenek ki az AB, AC és BC vektorok?

4 pont

M.o.: A három vektor egy síkban van, valamint nem párhuzamosak. A dimenziószám 2. - - - d) A lineáris transzformáció az i, j és k vektorokat rendre OA, OB, OC vektorokba viszi át. Határozza meg a transzformáció mátrixát. M.o.: 1 -1 1 1 0 3 1 0 2 4 pont

2. Legyen f : D R, f (x) = 1 + ln(x3 + 10), ahol D a legb vebb olyan számhalmaz, melyre f értelmezhet . o o a) Milyen szöget zár be az f függvény görbéjének az x = 1 abszcisszájú pontjához tartozó érint je az y tengellyel? o M.o.: f (1) = 3 . = 74, 75 . 11 4 pont 4 pont

b) Vizsgálja a függvényt monotonitás szempontjából. M.o.: f (x) = noton n . o

3x2 > 0, ha x ] 3 -10, [ A függvény teljes értelmezési tartományán szigorúan mox3 + 10 4 pont

c) Végezzen határértékvizsgálatot a D tartomány határpontjaiban. M.o.:
+ x 3 -10

lim

x = -,

x+

lim x = +. 4 pont

d) Határozza meg azt a tartományt, amelyre f konvex. M.o.: f (x) =

60x - 3x4 3 3 > 0, ha 0 < x < 20. A függvény a 0, 20 tartományban konvex. 3 + 10)2 (x 3 pont

e) Bijektív-e a függvény?1

M.o.: Igen, mert szigorúan monoton n és folytonos függvény, figyelembevéve a D tartomány határpontjaio ban vett határértékeket a függvény minden valós értéket felvesz, a szig. mon. növekedés miatt a leképezés kölcsönösen egyértelm . u f) Van-e a függvénynek inverze? Ha van inverz, határozza meg2 . 3 M.o.: bijektív, tehát van inverz: f -1 : R ] 3 -10, [ , y = ex-1 - 10
mondatban indokolja válaszát. meg az inverzfüggvény értelmezési tartományát és értékkészletét is

Miért? 4 pont

1 Egy

2 Adja

g) Tekintsük a x y (P f (x) f (y) ¬Pxy) logikai formulát, ahol f egy tetsz leges valós egyváltozós függvény, o Px1 x2 predikátum jelentése: x1 = x2 . Írja le szövegesen a formula jelentését és határozza meg a példában szerepl f függvényre a formula logikai o értékét, ha az x és y változók alaphalmaza a valós számok halmaza. h 4 pont

M.o.: Az állítás szerint van az f valós egyváltozós függvény esetében az értelmezési tartománynak két különböz pontja, melyekhez tartozó függvényértékek azonosak, azaz a függvény nem injektív. o A példában szerepl függvény bijektív, tehát az állítás ez esetben hamis. o 3. a) Határozza meg az y + 2y = 6e4x + e-x differenciálegyenlet általános megoldását. 6 pont

M.o.: A d.e. homogén részének általános megoldása:y = ce-2x . Az inhomogén egy partikuláris megoldása (próbafüggvénnyel vagy állandó variálásának módszerével meghatározva): yip = e4x + e-x . Az inhomogén általános megoldás: yi,a = ce-2x + e4x + e-x . b) Határozza meg az el z pontbeli differenciálegyenlet azon partikuláris megoldását, o o melyre y(0) = 4. M.o.: y = 2e-2x + e4x + e-x . c) Van-e az y + y = 2e-2x + 20e4x differenciálegyenletnek olyan megoldása, ami megoldása az el z pontbeli y + 2y = 6e4x + e-x differenciálegyenletnek is? o o 5 pont 3 pont

M.o.: Az els rend de. általános megoldását helyettesítsük be a másodrend de.-be: y + y = 2ce-2x + o u u i,a i,a 20e4x . E függvénynek meg kell egyeznie a másodrend de. jobb oldalával, az egyenl ségb l c = 1 -et u o o kapunk. Az egyetlen közös megoldás, tehát a c = 1-hez tartozó partikuláris megoldás: y = e-2x + e4x + e-x . d) Írjon fel olyan lineáris, állandó egy tthatós, másodrend inhomogén differenciálegyenletet, u u melynek megoldása az y = 3 sin 4x függvény. 4 pont

M.o.: Számoljuk ki pl. a y + 3y kifejezést, ahol y = sin 4x: y + 3y = -48 sin 4x + 36 cos4x. A kapott de. rendelkezik a feladatban elvárt tulajdonságokkal és az y = sin 4x függvény megoldása a de.-nek. 4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Legyen az A × A halmazon az R reláció az alábbi módon definiálva: (a, b) relációban van (c, d)-vel, ha b - a = d - c. a) Határozza meg az A × A halmaz elemeinek számát! M.o.: 81. b) Igazolja, hogy a reláció ekvivalencia-reláció. 4 pont 3 pont

M.o.: Reflexív, mert minden elem (a, b) A × A relációban van önmagával: b - a = b - a. Szimmetrikus, mert, ha [(a, b), (c, d)] R, akkor [(c, d), (a, b)] R. E tulajdonság az egyenl ség szimmeo triatulajdonságából következik. Tranzitív, mert, ha [(a, b), (c, d)] R és [(c, d), (e, f )] R, akkor [(a, b), (e, f )] R, mivel b-a=d-c=f-e. c) Határozza meg azokat az elemeket, amelyek az (1, 3) elemmel R relációban állnak. M.o.: (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), ..., (7, 9). 4 pont

d) Hány ekvivalencia-osztályba sorolja A × A elemeit az R reláció?

4 pont

M.o.: Az A × A halmaz valamely (a, b) elemével azok az (x, y) elemek vannak egy ekvivalencia-osztályban, amelyekre b - a = y - x. Így ahányféle különböz b - a különbség képezhet , annyi ekvivalencia-osztály o o van. A lehetséges különbségek: -8, -7, -6, ..., -1, 0, 1, 2, ..., 8. Az ekvivalencia-osztályok száma tehát:17. e) Mit nevezünk ekvivalencia-osztálynak? Legfeljebb hány különböz ekvivalencia-osztálya van egy B halmao zon értelmezett R ekvivalencia-relációnak? 4 pont

M.o.: Legyen az R ekvivalencia-reláció az B halmazon értelmezve. A B halmaz elemeit az R reláció ekvivalencia-osztályokba sorolja. Valamely b B elemmel relációban álló elemek Eb halmazát ekvivalenciaosztálynak nevezzük. Mivel minden b B relációban áll önmagával (reflexivitás), így a legtöbb ekvivalencia-osztály akkor van, ha minden elem csak önmagával van relációban. Ekkor az ekvivalencia-osztályok száma megegyezik A elemeinek számával. 5. Legyen f 2 szerint periódikus függvény , és f (x) = - x, ha 0 x + x, ha - x 0 3 pont 5 pont

a) Ábrázolja a függvényt. b) Számolja ki a függvény Fourier sorában szerepl cos 5x függvény együtthatóját. o M.o.: 6. Adott az f : 1
-

f (x) cos 5x dx = f (x, y)

2

0

( - x) cos5x dx =

2 cos5 1 - + 25 25



=
0

4 25

R2

R,

= exy + sin(x + 2y)

kétváltozós függvény.

a) Határozza meg f parciális deriváltjait és az = 45 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (0, 0) pontban. 6 pont

M.o: fx (x, y) = yexy + cos(x + 2y), fy (x, y) = xexy + 2 cos(x + 2y), fx (P0 ) = 1, fy (P0 ) = 2, 2 f45 (P0 ) = fx (P0 ) · cos45 + fy (P0 ) · sin 45 = 3 2, 12. 2

b) Írja fel a z = f (x, y) felület P0 pontjához tartozó értint sík egyenletét. o M.o: z0 = 1, n = (1, 2, -1), S : x + 2y - z = -1

6 pont



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

1-8 14 29 alkotmánytörténet alkszámtech antropológia atom bikém bme cisco csehov deindividuáció dosztojevszkij épszerk épszerk iii. esszék etzs gazdpol gerle jános-féle gyakorló feladatok írányítástechnika kamatláb kántor anita kefo kidolgozott kérdések közig közigazgatás liliidae lineáris lophotrochozoa magvas növények magyar premodern modern nyelvművelés okj oprendszerek órai előadás pszichó segédanyag sejtbiológia szigetelés tanenbaum társadalom történet termelési tényezők tervezés tőke tudomány tulajdonjog valószínűségszámítás vektor