070611 - megoldással

Országok listájaHungaryBudapesti Műszaki FőiskolaNeumann János Informatikai Főiskolai KarMérnök informatikusMatematika SzigorlatVizsgák070611 - megoldással

Matematika szigorlat, M´rn¨k informatikus szak I. 2007. j´n. 11. e o u
Megold´kulcs o 1. Adott az f (x) =
3x + 6 f¨ggv´ny. u e (x - 2)2 13 p

(a) V´gezzen teljes f¨ggv´nyvizsg´latot! e u e a 3 z´rushely: x = -2 e y-tengelyen a metszet: f (0) = 2 f nem p´ros, nem p´ratlan, nem periodikus, mert 1db z´rushelye van a a e
x

Mo.: Df = R \ {2}

lim

3x + 6 = 0+ 2 (x - 2)

x-

lim

3x + 6 = 0- 2 (x - 2)

x2

lim

3x + 6 = (x - 2)2

f (x) =

f f

x < -6 -6 -6 < x < 2 2 2 < x - 0 + - lok. min.

-3(x + 6) = 0 x = -6 (x - 2)3

f -nek az x = -6 helyen lok´lis minimuma van, aminek ´rt´ke: f (-6) = - a e e f (x) = 6(x + 10) = 0 x = -10 (x - 2)4

3 16

f f



x < -10 -10 -10 < x < 2 2 2 < x - 0 + + infl.

A grafikon:
y

2 1 -6 -2 -1 x 6

Rf = -

3 , 16

(b) Sz´molja ki a f¨ggv´nygrafikon, a grafikonhoz az x0 = 1 pontban h´zhat´ 7 p a u e u o ´rint egyenes ´s az x-tengely ´ltal k¨zrez´rt korl´tos s´ esz ter¨let´t! e o e a o a a ikr´ u e Mo.: 4 Az ´rint egyenes egyenlete: e(x) = f (1) + f (1)(x - 1) = 21x - 12 e(x) = 0 x = e o 7 3x + 6 3 12 Felhaszn´ljuk tov´bb´, hogy a a a = + (x - 2)2 x - 2 (x - 2)2
1 1

t=
-2

3x + 6 dx- (x - 2)2

(21x-12) dx = 3 ln |x - 2| -

4/7

12 x-2

1

-2

-

21x2 - 12x 2

1

4/7



(9 - ln 64) - (1, 9285) 2, 912 megj.: a
21x2 2 1

- 12x

4/7

´rt´k egy olyan der´ksz¨g h´romsz¨g ter¨letek´nt is sz´molhat´, e e e o u a o u e a o

amelynek a k´t befog´ja 3/7 ill. 9 hossz´. e o u

2. Adott a k¨vetkez h´rom s´ a h´romdimenzi´s t´rben: o o a ik a o e
S1 : 3x - y - z = 1 S2 : 2x - 3y + z = -1 S3 : 5x + 2y - 4z = 6 (a) Van-e k¨z¨s pontja a h´rom s´ o o a iknak? Ha igen, hat´rozza meg az ¨sszeset, a o 7p ha nincs, indokolja meg, mi´rt nincs! e Mo.: Megoldjuk a line´ris egyenletrendszert (az egy¨tthat´m´trix oszlopvektorait a1 , a2 , a u o a a3 -mal, az egyenletek jobboldal´n ´ll´ sz´mokb´l k´pzett vektort b-vel jel¨lve): a a o a o e o a1 e1 e2 e3 a1 a2 a3 b a2 a3 b a1 a2 a3 b a1 a2 a3 b

3 -1 -1 1 2 -3 1 -1 5 2 -4 6 a1 a2 1 0 0 a3

1 2 -2 2 a1 e2 2 -3 1 -1 e3 5 2 -4 6 b a1 a2 1 0 0 a3 b

1 2 -2 2 0 -7 5 -5 0 -8 6 -4 a1 a2 a3 b 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 5 6

1 2 -2 2 a1 a2 0 1 -1 -1 e3 0 -8 6 -4

0 0 4 1 -1 -1 0 -2 -12

0 0 4 a1 1 -1 -1 a2 a3 0 1 6

Kaptuk: a h´rom s´ a iknak egyetlen k¨z¨s pontja van: M (4, 5, 6) o o 1 -1 -1 3 (b) ´ fel a nullvektort a 2 , -3 , 1 , -1 vektorok Irja 6 -4 2 5 nem-trivi´lis line´ris kombin´ci´jak´nt! a a a o e Mo.: Mivel b = 4a1 + 5a2 + 6a3 , ebbl pl.: 4a1 + 5a2 + 6a3 - b = 0 o 3 -1 -1 1 a a (c) Hat´rozza meg a 2 -3 1 -1 m´trix rangj´t! a 5 2 -4 6 Mo.: Az (a)-beli elj´r´sb´l ad´dik: = 3 aa o o (d) Adjon meg egy olyan v vektort, amely merleges az S1 s´ o ikra ´s e koordin´t´inak szorzata 1! aa

6p

4p

3p

Mo.: Mivel az S2 s´ egy norm´lvektora: nS2 (3, -1, -1), ez´rt a keresett v vektorra ik a e 1 3 1 1 v = (3, -1, -1) = (3, -, -) ad´dik. Ebbl: = , v = , - , - . o o 3 3 3 3 3 3 3 3

3. Tekints¨k az A = {1, 2, 3, 4, 5} ´s B = {1, 2, 3} halmazokat! u e
(a) Hat´rozza meg az al´bbi ´rt´keket:1 a a e e Mo.: |P (A × B)| = 215 = 32768 |P (A B)| = 22 = 4 4p

|P (A) × P (B)| = 25 · 23 = 256

|P (A) P (B)| = 25 - 23 = 24

(b) Hat´rozza meg az f : A B f¨ggv´nyek sz´m´t! a u e a a 3p Mo.: A f¨ggv´nyeket k´nyelmesen megsz´molhatjuk a k¨vetkezk´ppen: egy k´t-oszlopos u e e a o o e e t´bl´zatba foglaljuk, hogy egy f¨ggv´ny az egyes A-beli elemekhez mit rendel B-bl: a a u e o A 1 2 3 4 5 B bi1 bi2 bi3 bi4 bi5

A bal oldali oszlopban A elemei szerepelnek sorbarendezve, a jobb oldali oszlopban B elemei tetszlegesen, ism´tld´s megenged´s´vel. Azt kell megsz´molnunk, hogy a o e o e ee a 2. oszlopba h´nyf´lek´ppen tudjuk B elemeit tetszlegesen, ism´tld´s megenged´s´vel a e e o e o e ee be´ irni, azaz hogy 3 elembl h´nyf´lek´ppen tudunk 5-hossz´ sorozatokat k´sz´ o a e e u e iteni, ha ism´tl´s megengedett. e e i Ez V3,5 = 35 = 243 - f´lek´ppen lehets´ges. e e e (c) ´ fel algebrai alakban azokat a z komplex sz´mokat, amelyekre Irja a Mo.: Az egyetlen megold´s: z = 1 + j a (d) Tekints¨k a fenti B halmazon ´rtelmezett S1 ´s S2 homog´n bin´ris rel´ci´kat, ameu e e e a a o lyekre xS1 y , ha x + y < 5 x xS2 y , ha Z y i. Hat´rozza meg az al´bbi halmazokat elemeik felsorol´s´val: a a aa Mo.: S1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} S2 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 3)} S2 S1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} = S1 ii. D¨ntse el, hogy a reflex´ szimmetrikus, antiszimmetrikus, tranzit´ o iv, iv tulajdons´gok k¨z¨l melyek teljes¨lnek az S1 ´s S2 rel´ci´kra! a o u u e a o S1 : szimmetrikus S2 : reflex´ antiszimmetrikus, tranzit´ iv, iv
1

3p

Re(z) A , Im(z) B ´s |z| 2 e

3p

2p

P (X) az X halmaz hatv´nyhalmaz´t jel¨li. a a o

4. (a) Vizsg´lja meg, hogy a {0, 1, 3} halmaz z´rt-e az 4 ill. 4 mveletekre!2 a a u
Mo.: A halmaz 4 -re nem z´rt, pl. mert 1 4 1 = 2 {0, 1, 3}; a / A halmaz 4 -re z´rt. a

2p

(b) Legyen (F6 ; ) a szab´lyos hatsz¨g forg´scsoportja a szok´sos kompoz´ o mvelettel. a o a a ici´ u A hatsz¨g cs´csait jel¨lj¨k A , B , C , D ,E , F -fel, a hatsz¨g k¨z´ppontj´t O-val. o u o u o o e a i. Adja meg az O k¨z´ppont´, pozit´ ir´ny´ 120 -os forgat´st o e u iv a u a t´bl´zatos ´s ciklikus ´ asm´ddal! a a e ir´ o Mo.: A B C D E F C D E F A B ii. Teljes¨l-e az u (ADC) (EB) (F ) = (ADCE)(BF ) (A)(CEF B)(D) egyenls´g? oe Mo.: Igen. iii. Vizsg´lja meg, hogy izomorf-e a D3 di´dercsoport ´s F6 , azaz d¨ntse el, 2 p a e e o hogy (D3 ; ) (F6 ; ) teljes¨l-e!3 u = Mo.: A k´t csoport nem izomorf: F6 ciklikus csoport, D3 viszont nem. e (c) Tekints¨k a val´s sz´mok halmaz´t a szok´sos ¨sszead´s ´s szorz´s u o a a a o a e a mveletekkel: (R ; + , ·) u Tov´bb´ tekints¨nk egy elsrend nyelvet, amelyben a a u o u az individuumv´ltoz´k: x, y a o adott k´t k´tv´ltoz´s f¨ggv´nyjel: f , g e e a o u e adott egy k´tv´ltoz´s predik´tumjel: P . e a o a Adjon meg egy olyan interpret´ci´t, amelyben formaliz´lhat´ a k¨vetkez kijelent´s: a o a o o o e Az (R ; + , ·) strukt´r´ban mindk´t mvelet idempotens. u a e u Formaliz´lja a kijelent´st ´s hat´rozza meg logikai ´rt´k´t a megadott interpret´ci´ban! a e e a e e e a o Mo.: Legyen U = R f (x, y) = x + y g(x, y) = x · y P xy : x = y A kijelent´s formaliz´lva: x (P f (x, x)x P g(x, x)x) e a A kijelent´s a fenti interpret´ci´ban: hamis. (Pl.: 2 + 2 = 2) e a o 5p = (ACE)(BDF ) 2p 2p

2 3

4 a modulo 4 ¨sszead´st, 4 a modulo 4 szorz´st jel¨li o a a o D3 a szab´lyos h´romsz¨g egybev´g´s´gainak halmaza a a o a oa

5. (a) Lehetnek-e egy egyszer gr´f foksz´mai: 1,2,3,3,4,5 ? u a a
Mo.: Igen, ld.:

2p

(b) Tekints¨k a k¨vetkez G gr´fot: u o o a

i. H´ny k¨r van G-ben? a o 2p Mo.: 6 db ii. Legfeljebb h´ny ´l hagyhat´ el belle, hogy m´g ¨sszef¨gg maradjon? 2 p a e o o e o u o Mo.: 8 pont´ ¨sszef¨gg gr´fban 7 a minim´lis ´lsz´m, ´ azt kapjuk, hogy u o u o a a e a igy legfeljebb 4 ´l hagyhat´ el. (Ekkor a marad´k gr´f egy fagr´f.) e o e a a iii. Be lehet-e h´zni egy ´lt ugy, hogy a gr´f egyszer maradjon ´s u e ´ a u e ne nj¨n a kromatikus sz´m? oo a 2p

(Azaz: bv´ o ithet-e G ´lhalmaza egy elemmel ugy, hogy az ´ kapott G egyszer gr´ffal o e ´ igy u a (G) = (G ) teljes¨lj¨n?) u o

Mo.: Igen. (G) = 3, ´s az al´bbi G gr´fra szint´n (G ) = 3. (Ld. egy e a a e sz´ es´t a p, k, s sz´ inez´ e inekkel.)
p s p k p k G* p k

iv. Elhagyhat´-e G-bl egy ´l ugy, hogy azzal cs¨kkenjen a kromatikus sz´m? 2 p o o e ´ o a Mo.: Igen. Az al´bbi G gr´fnak 2 a kromatikus sz´ma: a a a
p k p k p k G** p k

(c) Melyek izomorfak az al´bbi gr´fok k¨z¨l? a a o u

2p

G1

Mo.: G2 G3 =

G2

G3

G4

6. (a) Hat´rozza meg az al´bbi integr´lokat! a a a
Mo.: i. ii. x2 ex dx = x2 ex - 2xex + 2ex + C 1 2 2 xex dx = ex + C 2 (parci´lis integr´l´ssal) a aa

8p

(g (x) · f (g(x)) alakra hozhat´ integrandus) o 7p

(b) Igazolja az al´bbi egyenls´get! a oe


k=2

2 = 2 + 2k k



k=0

(0, 4)k 2

Mo.: A bal oldal (parci´lis t¨rtekre bont´ssal): a o a
2 = 2 k=2 k + 2k k=2

1 1 - k k+2

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 - + - + - + - +... = + = 2 4 3 5 4 6 5 7 2 3 6

A jobb oldal (m´rtani sor): e 1 1 5 1 10 (0, 4)k = · · = 4 = 2 2 1 - 10 2 6 6 k=0


A k´t sor¨sszeg teh´t megegyezik. e o a

(c) Hat´rozza meg az al´bbi differenci´legyenlet ´ltal´nos megold´s´t! a a a a a aa y - y = 2 Mo.: Y - Y = 0 Y = C1 + C2 ex yp = Ax
yp = A yp = 0

5p

(rezonancia!)

0 - A = 2 A = -2 y = Y + yp = C1 + C2 ex - 2x yp = -2x



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

15 2. óra 3. óra 4.óra 5. gyak a mű adóellenőrzés aggregált kínálat analízis dolgozat anglia ásvány- és kőzettan atkinson beruházási függvény biomérnöki biotermék civil szervezetek economic policy épületfizika érzékelő eu agrárpolitikája évszámok fizkém fizkémgyak folyami duzzasztómű genetika géptan gyak hónolás hőtan hulladékkezelés információ kiefer ferenc környezetgazdaságtan közigazgatástörténet kultúra laskay gábor nyelvművelés objektum orientált pdf példák political science reklámelmélet és gyakorlat rézsűállékonyság rushdie tankönyv témák ter.védelem tulajdonjog vállalat helye védett területek