070529 - megoldással
Országok listája
HungaryBudapesti Műszaki FőiskolaNeumann János Informatikai Főiskolai KarMérnök informatikusMatematika SzigorlatVizsgák070529 - megoldással
2007.11.29 11:57:57
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Matematika szigorlat, M´rn¨k informatikus szak I. 2007. m´j. 29. e o a
Megold´kulcs o 1. Adott az S : 3x - 6y + 2z = 6 s´ a h´rom dimenzi´s t´rben. ik a o e
3p (a) ´ fel egy tetszleges, az S-re merleges S s´ Irja o o iknak az egyenlet´t! e Mo.: K´t s´ pontosan akkor merleges egym´sra, ha norm´lvektoraik merlegesek. e ik o a a o Keresn¨nk kell egy, az S s´ nS (3, -6, 2) norm´lvektor´ra merleges nS vektort. u ik a a o Ilyen pl.: nS (2, 1, 0). Ezzel a feladat egy megold´sa: S : 2x + y = 0 a 3p (b) Mennyi az S s´ iknak az orig´t´l val´ t´vols´ga? oo o a a Mo.: Az O(0, 0, 0) orig´n ´tmen v(3, -6, 2) ir´nyvektor´ egyenes egyenletrendszere: o a o a u x = 3t y = -6t z = 2t Ezen x , y , z ´rt´keket S egyenlet´be helyettes´ e e e itve megkapjuk az egyenes ´s a s´ M e ik 6 18 -36 12 metsz´spontj´nak koordin´t´tit: 9t+36t+4t = 6 t = e a aa , amibl M o , , . 49 49 49 49 - - Ebbl keresett t´vols´g: OM = o a a 18 49
2
+
-36 49
2
+
12 49
2
=
42 6 = 49 7
4p (c) Az S s´ az x , y , z koordin´tatengelyeket rendre az A , B , C ik a pontokban metszi. Hat´rozza meg az A , B , C pontok ´ltal meghat´rozott h´romsz¨g a a a a o ter¨let´t! u e Mo.: I. mo. S egyenlet´ben a megfelel koordin´t´k hely´re 0-t ´ e o aa e irva kapjuk: i j k - - - - Tov´bb´: AB(-2, -1, 0) , AC(-2, 0, 3) , AB × AC = -2 -1 0 = -3i + 6j - 2k a a -2 0 3 - - AB × AC 9 + 36 + 4 7 = = A keresett ter¨let nagys´ga: T = u a 2 2 2 II. mo. - - 1·2·3 6 Az OABC tetra´der t´rfogata V = e e = 1, az elbb kisz´m´ o a itott OM = 6 7 6 3·V 7 t´vols´g a tetra´der magass´ga: m = . Ebbl T = a a e a o = 7 m 2 1 1 1 (d) Tekints¨k azt a line´ris transzform´ci´t, amelynek m´trixa 0 1 1. 4 p u a a o a 0 0 1 a (c)-ben szerepl A , B , C pontokat rendre az A , B , C pontokba viszi. o Hat´rozza meg az A , B , C pontok ´ltal meghat´rozott h´romsz¨g legnagyobb sz¨g´t! a a a a o o e -1 0 1 1 1 2 2 1 1 1 0 1 1 · 0 = 0 , B = (B) = 0 1 1 · -1 = -1 Mo.: A = (A) = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A(2, 0, 0) , B(0, -1, 0) , C(0, 0, 3).
3 0 1 1 1 0 1 1 · 0 = 3 , azaz A (2, 0, 0) , B (-1, -1, 0) , C (3, 3, 3) . C = (C) = 3 3 0 0 1 - - - - - - - - A B (-3, -1, 0) , A C (1, 3, 3). Az A B , A C vektorok hajl´ssz¨g´t -val jel¨lve: a o e o -6 cos = -0, 435 116 . 10 19 Mivel ez tompasz¨g, a h´romsz¨gnek ez egyben a legnagyobb sz¨ge is. o a o o (megj.: 37, 8 , 27, 2 ) (e) Hat´rozza meg saj´t´rt´keit! a ae e ´ Mo.: Altal´ban egy A m´trixnak megfelel transzform´ci´ saj´t´rt´kei a a a o a o ae e det (A - E) = 0 egyenlet megold´sai. a 1- 1 1 1- 1 = (1 - )3 = 0 = 1 , teh´t a transzform´ci´ a a o Most det 0 0 0 1- egyetlen saj´t´rt´ke az 1. ae e (megj.: a transzform´ci´ m´trix´b´l leolvashat´, hogy (e1 ) = e1 . Ebbl k¨vetkezik, a o a a o o o o hogy az 1 saj´t´rt´khez tartoz´ saj´tvektorok az x-tengellyel p´rhuzamosak.) ae e o a a 4p
2. Tekints¨k az f (x) = x ln2 x egyv´ltoz´s val´s f¨ggv´nyt! u a o o u e
8p (a) V´gezzen teljes f¨ggv´nyvizsg´latot! e u e a Mo.: Df = R+ A f¨ggv´ny egyetlen z´rushelye: x = 1. A grafikon nem metszi az y-tengelyt. u e e Df alapj´n f nem p´ros, nem p´ratlan, nem periodikus. a a a
x
lim x ln2 x = lim x ln2 x = lim + +
x0
x0
2 L'H x = lim 2x = 0+ = lim + 1 x0+ x0 - 2 x 1 f (x) = ln2 x + 2x(ln x) = ln2 x + 2 ln x = ln x(ln x + 2) = 0 x x = 1 vagy x = e-2 0, 135 - f f
ln x L'H = lim 1 x0+ x
2
2(ln x)
1 x = lim (-2(ln x)x) = lim -2 ln x L'H = 1 1 x0+ x0+ - 2 x x
0 < x < e-2 e-2 e-2 < x < 1 1 1
f -nek lok´lis maximuma van az x = e-2 helyen, ´s ennek ´rt´ke: f (e-2 ) = a e e e f -nek lok´lis minimuma van az x = 1 helyen, ´s ennek ´rt´ke: f (1) = 0 a e e e 1 2 1 f (x) = (ln x + 2) + ln x = (ln x + 1) = 0 x = e-1 0, 37 x x x f f
0 < x < e-1 e-1 e-1 < x - 0 + infl.
y 3 2 1 x 1 2 3
A f¨ggv´nygrafikon: u e
Rf = [0, [ (b) Hol metszi a koordin´tatengelyeket a f¨ggv´ny grafikonj´hoz a u e a u oe o az x0 = 1 helyen h´zhat´ ´rint egyenes? e Mo.: Az ´rint egyenes egyenlete: e o y = f ( 1 ) + f ( 1 )(x - 1 ) = e e e y=0x=
2 e 1 e
3p
, x = 0 y = 2. e
+ (-1)(x - 1 ) = -x + e
2 e
Az egyenes a tengelyeket az x =
2 2 ill. y = pontokban metszi. e e 5p
(c) Sz´molja ki a f¨ggv´nygrafikon ´s az x-tengely k¨z¨tti s´ esz a u e e o o ikr´ ter¨let´t az [1, e] intervallumon! u e Mo.: Parci´lis integr´l´ssal: a aa x2 2 ln x - x ln x dx = 2
2
x2 2 x2 x2 x ln x dx = ln x - ln x + +C 2 2 4
Felhaszn´lva, hogy a f¨ggv´ny nemnegat´ az ´rtelmez´si tartom´ny´n, a keresett a u e iv e e a a ter¨let nagys´ga: u a
e
t=
1
x2 x2 x2 2 ln x - ln x + x ln x dx = 2 2 4
2
e
=
1
1 e2 e2 e2 - + - 0-0+ 2 2 4 4
=
e2 - 1 1, 597 4
2p (d) Megold´sa-e az f (x) f¨ggv´ny az xy - y = ln x differenci´legyenletnek? a u e a Mo.: Behelyettes´ essel: it´ xy - y = x(ln2 x + 2 ln x) - (x ln2 x) = x ln2 x + 2x ln x - x ln2 x = 2x ln x = ln x, teh´t a f (x) nem megold´sa a differenci´legyenletnek. a a
k=1
(e) D¨ntse el, hogy a o
k ln2 k numerikus sor konvergens-e!
k=1
3p
Mo.: A sor ´ltal´nos tagj´t ak -val jel¨lve: a a a o
k
lim ak = lim k ln2 k = = 0
k
k ln2 k divergens.
3. (a) Hat´rozza meg az y + 2xy = 2e-x2 differenci´legyenletnek az y(1) = a a
kezdeti felt´telt kiel´g´ o partikul´ris megold´s´t! e e it a aa Hat´rozza meg a differenci´legyenletnek az y + 2xy = 0 a a differenci´legyenlettel k¨z¨s megold´sait! a o o a Mo.: Y + 2xY = 0 Y = Ce- k (x) = 2 yp = 2xe
-x2 2x dx
2
2 e
5p 2p
= Ce-x
2
yp = k(x)e-x
k(x) = 2x
2 2
y = Y + yp = Ce-x + 2xe-x y(1) = C 2 2 + = e e e
C=0
2
A kezdeti felt´telt kiel´g´ o partikul´ris megold´s: yp = 2xe-x e e it a a
2
Az y + 2xy = 0 differenci´legyenlet megold´sai y = C1 e-x alak´ak. a a u Az y + 2xy = 2e-x differenci´legyenlet megold´sai y = C2 e-x + 2xe-x alak´ak. a a u A k´t egyenletnek nincsen k¨z¨s megold´sa. e o o a 6p (b) Hat´rozza meg (a tanult m´dszerek valamelyik´vel) az y + 4y + 3y = 9 a o e differenci´legyenletnek az y(0) = 0 , y (0) = 1 kezdeti felt´teleket kiel´g´ o a e e it yp partikul´ris megold´s´t! a aa 2p Sz´molja ki ezzel a f¨ggv´nnyel a lim yp hat´r´rt´ket! a u e ae e
x
2 2 2
Mo.: I. mo. Y + 4Y + 3Y = 9 2 + 4 + 3 = 9
yp = 0
1,2 =
1 = -1 2 = -3
yp = 0
Y = C1 e-x + C2 e-3x yp = A A=3 yp = 3 y = Y + yp = C1 e-x + C2 e-3x + 3 y = -C1 e-x - 3C2 e-3x y(0) = C1 + C2 + 3 = 0 y (0) = -C1 - 3C2 = 1
C1 = -4 ,
C2 = 1
A kezdeti felt´teleket kiel´g´ o partikul´ris megold´s: yp = -4e-x + e-3x + 3 e e it a a
II. mo. s2 y - sy(0) - y (0) + 4(sy - y(0)) + 3y = y= 3 4 1 s+9 = - + s(s + 1)(s + 3) s s+1 s+3 9 s
A kezdeti felt´teleket kiel´g´ o yp partikul´ris megold´s: e e it a a yp = 3 - 4e-x + e-3x A k´rd´ses hat´r´rt´k: e e ae e
x
lim yp = lim (3 - 4e-x + e-3x ) = 3 + 0 + 0 = 3
x
u a 4. Tekints¨k az c d alak´ m´trixokat, ahol a, b, c, d {0, 1, 2, . . . , 9}. u (a) i. H´ny a Mo.: ii. H´ny a Mo.: iii. H´ny a Mo.: iv. H´ny a Mo.: ilyen m´trix van? a 4 10 = 10000 olyan van ezek k¨z¨tt, amelyben szerepel a 0? o o 4 4 10 - 9 = 3439 olyan van, amelyben pontosan h´rom elem egyenl? a o 4 · 10 · 9 = 360 olyan van, amelyben pontosan k´t elem egyenl? e o
4 2
a b
3p 1p 1p 1p 1p
· 10 · 9 · 8 = 4320
(b) Jel¨lj¨k M -mel a fenti m´trixok halmaz´t, azaz legyen o u a a M= 9 9 0 1 1 0 0 0 ,..., , , 9 9 0 0 0 0 0 0 .
v. H´ny olyan van, amelyben a legnagyobb elem a 2-es? a Mo.: 34 - 24 = 65
Tekints¨k a k¨vetkez, az M halmazon ´rtelmezett S homog´n bin´ris rel´ci´t: k´t u o o e e a a o e M -beli A , B m´trixra ASB, ha A - B M . (A - B a k´t m´trix k¨l¨nbs´ge.) a e a uo e i. Ekvivalencia-rel´ci´-e S? a o Mo.: Nem, mert pl. nem szimmetrikus: 1 1 0 0 0 0 1 1 M. / - M , de - 1 1 0 0 0 0 1 1 9 8 ii. Mely A elemekre igaz, hogy AS ? 8 9 pl. Mo.: Ezek az elemek a k¨vetkezk: o o 9 8 9 8 9 9 9 9 , , , 8 9 9 9 8 9 9 9 iii. Igaz-e, hogy |DS | = |RS | Mo.: Igen: DS = RS = M iv. Adjon meg k´t M -beli elemet, amelyek semelyik sorrendben e nem ´llnak rel´ci´ban egym´ssal! a a o a Mo.: Pl. 0 1 1 0 ´s e 0 0 0 0 6p 1p 1p 1p
1p
(c) Tekints¨k a k¨vetkez, M -en ´rtelmezett T1 , T2 , T3 rel´ci´kat: u o o e a o AT1 B ha detA detB AT2 B ha detA = detB AT3 B ha detA < detB
D¨ntse el, hogy a reflex´ szimmetrikus, antiszimmetrikus, tranzit´ tulajdons´gok o iv, iv a k¨z¨l melyek teljes¨lnek az egyes rel´ci´kra. V´lasz´t ebben az esetben nem kell ino u u a o a a dokolnia!
Mo.: T1 : reflex´ tranzit´ iv, iv T2 : reflex´ szimmetrikus, tranzit´ iv, iv T3 : antiszimmetrikus, tranzit´ iv ´ (d) Ertelmezz¨k az M halmazon az + mveletet a k¨vetkezk´ppen: u u o o e a b a b b b a1 a2 + 1 2 = 1 10 1 2 10 2 a3 10 b3 a4 10 b4 b3 b4 a3 a4 Igazolja, hogy az (M ; +) strukt´ra csoport! u Mo.: A mveleti z´rts´g ad´dik M defin´ oj´b´l. u a a o ici´ a o Az asszociativit´s k¨vetkezik a m´trix¨sszead´s ´s a modulo 10 ¨sszead´s asszociaa o a o a e o a tivit´s´b´l. aa o 0 0 Egys´gelem: e 0 0 a a a1 a2 inverze: 1 2 , ahol ai 10 ai = 0 a3 a4 a3 a4 i = 1, 2, 3, 4 3p
, ahol 10 a sz´mok modulo 10 ¨sszead´sa. a o a
(Tulajdonk´ppen teh´t + a m´trixok modulo 10 ¨sszead´sa.) e a a o a
5. Tekints¨k az A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} halmazt. u
(a) Legyen a parci´lis rendez´si rel´ci´ az A halmazon ´rtelmezve a k¨vetkezk´ppen: a e a o e o o e a b, ha lnko(a, b) = a 3p 2p 2p 2p
(lnko(a, b) az a ´s b elemek legnagyobb k¨z¨s oszt´j´t jel¨li.) e o o oa o
i. Rajzolja fel a rel´ci´ Hasse-diagramj´t! a o a ii. Bizony´ be, hogy a rel´ci´ egy korl´tos h´l´! itsa a o a ao iii. Mely elemeknek van komplementuma? Hat´rozza meg ezen a elemek komplementumait! iv. R´szh´l´-e H = {1, 2, 3, 12, 18, 36} ? e ao Mo.: A rel´ci´ Hasse-diagramja: a o
36 12 4 2 1 6 3 18 9
Van legkisebb elem : 1 Van legnagyobb elem : 36 B´rmely k´t elemnek van infimuma : inf(x, y) = lnko(x, y) a e B´rmely k´t elemnek van szupr´muma : sup(x, y) = lkkt(x, y) a e e H nem r´szh´l´, pl. mert sup(2, 3) = 6 H e ao /
Korl´tos h´l´. a ao
Az 1, 4, 9, 36 elemeknek van komplementuma: 1 = 36 , 4 = 9 , 9 = 4 , 36 = 1 (b) D¨ntse el, hogy gyr-e a fenti A halmazzal tekintett (A; lnko, lkkt) strukt´ra! 2 p o uu u Mo.: A strukt´ra nem gyr: (A; lnko) nem csoport: a halmaz ugyan z´rt a mveletre, u uu a u ami asszociat´ ´s kommutat´ egys´gelem is van: a 36, de a 36-on k´ ul egy elemnek iv e iv; e iv¨ sincsen inverze. (c) Tekints¨k a rel´ci´ Hasse-diagramj´t mint gr´fot. (A gr´f pontjai A elemei, ´lei a u a o a a a e Hasse-diagram ´lei.) e i. P´ros-e ez a gr´f? a a ii. Van-e a gr´fban Euler-bej´r´s? a aa iii. H´ny ´le van a gr´f komplementer-gr´fj´nak? a e a a a 2p 2p 2p
Mo.: A gr´f p´ros, mert 2-sz´ a a inezhet, ld. els ´bra. (Ez alapj´n, ha akarjuk, felrajo oa a zolhatjuk a szok´sos "p´ros gr´f alakban" - ld. m´sodik ´bra.) a a a a a
p k p k p p k 2 3 12 18 k p 1 4 6 9 36
Nincsen benne Euler-bej´r´s, mert 4 darab p´ratlan-fok´ pontja van. aa a u 9 Komplementer-gr´fj´nak ´lsz´ma: 2 - 12 = 24 a a e a
6. Tekints¨k a k¨vetkez k´t numerikus sorozatot: u o o e
an = 3 1 + j 4 4
n
bn = Re (cos 45 + j sin 45 )n
(a) Hat´rozza meg a k¨vetkez hat´r´rt´keket: a o o ae e
n
lim an =
1p 1p 1p 1p
n
lim bn = lim (an + bn ) = lim (an · bn ) =
n
n
3 1 Mo.: Vegy¨k ´szre, hogy u e + 4 j = 1 (cos 30 + j sin 30 ) 4 2 m´sr´szt, hogy {bn } elemei 8-as peri´dusokban ism´tldnek: a e o e o 2 2
an =
1 n , 2
Ezek alapj´n: a
n
,0,-
2 2
, -1 , -
1 n 2
2 2
,0,
2 2
, 1,
2 2
, ...
lim an = lim
n
=0 (5db torl´d´si pont) o a
n n n
lim bn nem l´tezik e
lim (an + bn ) nem l´tezik e lim (an · bn ) = 0 ({bn } korl´tos ´s lim an = 0) a e
n
(b) Formaliz´lja az al´bbi kijelent´seket, majd d¨ntse el, a a e o hogy helyes-e a k¨vetkeztet´s! o e
7p
A1 : Ha van elk´pzel´sem a sz´msorozatokr´l ´s szeretem a matekot, akkor tudom, mi e e a o e az, hogy konvergencia. A2 : Ha nem szeretem a matekot, akkor vagy tudom, mi az, hogy konvergencia, vagy ugy teszek, mintha szeretn´m a matekot. ´ e A3 : Pontosan akkor teszek ugy, mintha szeretn´m a matekot, ha nincs elk´pzel´sem a ´ e e e sz´msorozatokr´l. a o Konkl´zi´ : Szeretem a matekot, vagy ugy csin´lok, mintha szeretn´m a matekot. u o ´ a e Formaliz´l´skor alkalmazza a k¨vetkez jel¨l´seket: aa o o oe p: q: r: s: van elk´pzel´sem a sz´msorozatokr´l e e a o szeretem a matekot tudom, mi az, hogy konvergencia ugy teszek, mintha szeretn´m a matekot ´ e
Mo.: I. mo. A1 A2 A3 K : | (p q) r| = 1 : | ¬q (r s)| = 1 : | s ¬p| = 1 : | q s| = 0 |p| = 1 |q| = 0 |r| = 1 |s| = 0
A k¨vetkeztet´s nem helyes, mert a |p| = 1 , |q| = 0 , |r| = 1 , |s| = 0 ´rt´kel´s mellett a o e e e e premissz´k igazak, a konkl´zi´ hamis. a u o II. mo. p 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 q 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 r 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 s A1 A2 A3 K 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1
A k¨vetkeztet´s nem helyes, mert a |p| = 1 , |q| = 0 , |r| = 1 , |s| = 0 ´rt´kel´s mellett a o e e e e premissz´k igazak, a konkl´zi´ hamis, ld.: *-gal jelzett sor. a u o
Hasonló témájú dokumentumok
- 2007-11-29 11:53:39
- 2007-11-29 11:57:16
- 2007-11-29 11:58:55
- 2007-11-29 11:52:15
- 2007-11-29 11:48:24
- 2007-11-29 12:00:22
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Szavazz a feltöltött dokumentumokra az alapján, hogy mennyire volt számodra használható vagy épp használhatatlan (mondjuk azért, mert tele van hibával). A dokumentumok a szavazataitok alapján sorrendeződnek így hosszútávon a legjobb pontokat kapó dokumentumok lesznek a lista elején. Csak a saját szakod dokumentumaira szavazhatsz.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
