070522, 070605 - megoldással

Országok listájaHungaryBudapesti Műszaki FőiskolaNeumann János Informatikai Főiskolai KarMérnök informatikusMatematika SzigorlatVizsgák070522, 070605 - megoldással

Matematika szigorlat javítókulcs, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 22.
1. Legyen f : - , R, 4 4 f (x) = 1 . cos x 5 pont

a) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyik igaz f -re? Megoldás: Egyik sem: · Nem injektív, mert pl. x = - -ben ugyanazt az értéket veszi fel, mint x = 4 4 ben. (2 pont) · Nem szürjektív, mert nem minden valós számot vesz fel függvényértékként. (Pl. nem vesz fel negatív számot.) (2 pont) · Mivel nem injektív és nem szürjektív, bijektív sem lehet. (1 pont) b) Határozza meg a függvény széls értékhelyeit és széls értékeit! o o Megoldás: Minimumhelye x = 0-ban van, minimumértéke f (0) = 1 (2 pont) Maximumhelyei x = ± , maximumértéke f ± = 2. (3 pont) 4 4 c) Írja fel az f függvény görbéjéhez húzható m = Megoldás:
sin Az m = f (x) = cos2xx = 2 egyenlet egyetlen megoldása f értelmezési tartományán 3 2 sin x = 1 x = . (3 pont) e : y - 3 = 2 x - . (2 pont) 2 6 3 6

5 pont

2 meredekség érint egyenletét! u o 3

5 pont

d) Igazolja alkalmas bijekció megadásával, hogy a függvény értelmezési tartománya és értékkészlete ekvivalens halmazok. Megoldás: 2-2 Pl. a : - , 1, 2 , (x) = 2 x + 2+1 bijektív leképezés a két 4 4 2 halmaz között.

3 pont

2. Adott az a(1, 2, 4), b(1, -3, 2), c(0, 5, 2), d(5, -5, 14) vektorrendszer. a) Összefügg -e ez a vektorrendszer? o Megoldás: Igen, mert legfeljebb 3 db háromdimenziós vektor alkothat lineárisan független rendszert. b) Írja fel a c és d vektorokat az a és b lineáris kombinációjaként, ha lehetséges! Megoldás: c = a - b, d = 2a + 3b. 6 pont 8 pont 2 pont

c) Adja meg azokat az egységvektorokat, amelyek a-ra is és c-re is mer legesek! o Megoldás: a × c = -16i - 2j + 5k. 16 2 5 ±ea×c , ,± 285 285 285

d) Melyek azok a vektorok, amelyek hossza 3 egység és az a, illetve b vektorok mindegyikével vett skaláris szorzatuk 0. Megoldás: 48 6 15 Két ilyen vektor van: ±3ea×c , ,± 285 285 285 3. z4 + 5z2 + 4 = 0 a) Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazán! Adja meg az eredményt mindhárom alakban! Megoldás: z1 z2 z3 z4 = j = cos 90 + j sin 90 = e j 2 3 = - j = cos 270 + j sin 270 = e j 2 = 2 j = 2 cos 90 + j sin 90 = 2e j 2 3 = -2 j = 2 cos 270 + j sin 270 = 2e j 2


4 pont

5 pont

b) Határozza meg a z1 z2 + z1 z3 + z1 z4 + z2 z3 + z2 z4 + z3 z4 kifejezés értékét, ha z1 , z2 , z3 és z4 a fenti egyenlet gyökei! Megoldás: z1 z2 + z1 z3 + z1 z4 + z2 z3 + z2 z4 + z3 z4 = 5 c) Igaz-e, hogy az egyenlet gyökeinek halmaza csoportot alkot a komplex számok szorzására nézve? Megoldás: Nem, mert a {z1 , z2 , z3 , z4 } halmaz nem zárt a m veletre, pl. z1 · z1 = -1. u


6 pont

4 pont

6 pont a helyes bázistranszformáció, 2 pont a helyes válasz.

4.

f : R2 R,

f (x, y) = x2 y + xy2 8 pont

a) Határozza meg f els rend parciális deriváltjait és az = 45 -os szöghöz taro u tozó iránymenti deriváltját a P0 (1, 2) pontban! Megoldás:
fx (x, y) = 2xy + y2 , f y (x, y) = x2 + 2xy, 13 2 f (P0 ) = fx (P0 ) cos + f y (P0 ) sin = 2 fx (P0 ) = 8, f y (P0 ) = 5

b) Írja fel a függvényt ábrázoló felület P0 ponthoz tartozó érint síkjának egyenletét! o Megoldás: n (8, 5, -1), f (P0 ) = 6, tehát az egyenlet: 8x + 5y - z = 12. c) Számítsa ki f kett s integrálját a o T = (x, y) R2 | 0 x 1, 0 y 2 tartományon! Ábrázolja a T tartományt! Megoldás:
y
2 1

5 pont

8 pont

2 1 x 1
T 2

f x, y dT =
0 0

x2 y + xy2 dx dy =
2

=
0

x3 y x2 y2 + 3 2

1

dy =
0 0

y y2 y2 y3 + dy = + 3 2 6 6

2

=2
0

5.

a) Mikor nevezünk egy numerikus sort Leibniz-típusú sornak és mi az ilyen sorok konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele? Megoldás: Egy váltakozó el jel numerikus sort Leibniz-típusúnak nevezünk, ha tagjainak o u abszolút értéke monoton csökken. (2 pont) Egy Leibniz-típusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha általános tagja 0-hoz tart. (1 pont) b) Milyen x valós számokra konvergens az 1 - Megoldás: A mértani sor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele, hogy 1 1 q < 1 teljesüljön. Tehát - = < 1, azaz |x| > 1, azaz a konvergenciatarx x tomány ]-, -1[ ]1, [. c) A numerikus sorok U halmazán tekintsük a következ predikátumokat: o Px : x pozitív tagú, Kx : x konvergens, Ax : x abszolút konvergens. Döntse el, hogy az alább megfogalmazott kijelentés igaz-e vagy hamis! Formalizálja a kijelentést a fenti jelöléseket használva! Írja fel a tagadását szöveggel és formalizálva úgy, hogy a tagadás nem kezd dhet negációval! o Ha egy numerikus sor pozitív tagú és konvergens, akkor abszolút konvergens is. Megoldás: Az állítás igaz. Formalizálva: x ((Px Kx) Ax) Tagadása: x (Px Kx ¬Ax), azaz Van olyan pozitív tagú numerikus sor, amely konvergens, de nem abszolút konvergens. 1 1 1 + 2 - 3 + . . . függvénysor? x x x

3 pont

5 pont

5 pont

6.

a) Mikor nevezünk két egyszer gráfot izomorfnak? u Megoldás: Legyen a G1 és G2 egyszer gráfok csúcsainak halmaza V1 , illetve V2 . G1 és G2 u izomorf, ha létezik olyan : V1 V2 bijekció, amelyre teljesül, hogy a, b V1 esetén a akkor és csak akkor szomszédos b-vel G1 -ben, ha (a) szomszédos (b)-vel G2 -ben. b) Izomorf-e a következ két gráf? o

4 pont

4 pont

Megoldás: Igen, mindkett egy 7 hosszúságú kör. o c) Határozza meg a következ G gráf kromatikus számát! o 5 pont

Megoldás: Mivel a gráfnak van háromszög részgráfja, (G) 3. Három színnel a gráf valóban kiszínezhet , tehát (G) = 3. o
3

1

2

2

1

3

Matematika szigorlat javítókulcs, Mérnök informatikus szak I. 2007. jún. 5.
1. a) Mikor nevezünk egy egyváltozós valós függvényt monoton növeked nek, illetve o szigorúan monoton növeked nek? o Megoldás: Az f : D f R (D f R) függvényt monoton növeked nek nevezzük, ha o x1 , x2 D f és x1 < x2 esetén f (x1 ) f (x2 ). Ha x1 , x2 D f és x1 < x2 esetén f (x1 ) < f (x2 ) is teljesül, akkor f szigorúan monoton növeked . o b) Mit mondhatunk monotonitás szempontjából az f (x) = arctg (1 - x) függvényr l? Az értelmezési tartományának melyik pontjában a legnagyobb f válo tozásának mértéke? Megoldás: 1 f (x) = - mindenütt negatív, így f szigorúan monoton csökken. 1 + (1 - x)2 A csökkenés mértéke ott a legnagyobb, ahol f (x) maximális, azaz x = 1-ben. c) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyik igaz az f : R R, f (x) = arctg (1 - x) függvényre vonatkozóan? Megoldás: Injektív, nem szürjektív, nem bijektív. d) Van-e olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya nagyobb számosságú, mint az értékkészlete? Van-e olyan függvény, amelynek értékkészlete nagyobb számosságú, mint az értelmezési tartománya? Megoldás: Igen, pl. az f : R R, f (x) = c ( R) konstans függvény értelmezési tartománya végtelen (kontinuum számosságú) halmaz, míg értékkészlete véges (egyelem ). u Ilyen függvény nincs, hiszen az értékkészlet minden y eleméhez tartozik az értelmezési tartomány legalább egy x eleme amelyre f (x) = y és az értékkészlet különböz elemeihez különböz os tartozik. o o 5 pont 5 pont 3 pont

5 pont



Növekedésének vagy csökkenésének mértéke

2. Jelöljük az y - 6y + 8y = 0 differenciálegyenlet megoldásainak halmazát M-mel. a) Adja meg az M halmazt. Megoldás: M = f : R R | f (x) = C1 e2x + C2 e4x , C1 R, C2 R b) Igazolja, hogy az (M; +, ·) struktúra lineáris tér, ha + a függvények összeadásá- 10 pont nak, · pedig a függvények valós számmal való szorzásának jele. Megoldás: · Az M halmaz zárt a + m veletre, hiszen A1 e2x + A2 e4x + B1 e2x + B2 e4x = u 2x (A1 + B1 ) e + (A2 + B2 ) e4x . · A függvényösszeadás kommutatív. · A függvényösszeadás asszociatív. · Az azonosan 0 függvény eleme az M halmaznak és a függvényösszeadás neutrális eleme. · Az M halmaz minden C1 e2x + C2 e4x eleméhez tartozik az M halmaz egy másik -C1 e2x - C2 e4x eleme, amellyel összeadva a neutrális elemet kapjuk. · · · · · R szám és f M esetén f M is teljesül. R szám és f1, f2 M esetén f1 + f2 = f1 + f2. , µ R számok és f M esetén + µ f = f + µ f . , µ R számok és f M esetén µ f = µ f . f M esetén 1 · f = f 3 pont

c) Hány dimenziós a fenti lineáris tér? Adja meg a lineáris tér egy bázisát. Megoldás: Két dimenziós. Egy lehetséges bázis pl. e2x , e4x d) Értelmezzük a lineáris transzformációt a következ képpen: : M M, f o f . Írja fel a transzformáció mátrixát a c) pontban megadott bázisban. Megoldás: A e2x , e4x bázisban a transzformációmátrix: A = 2 0 0 4

2 pont

5 pont

3.

a) Oldja meg a z3 = 8 egyenletet a komplex számok halmazán! Adja meg az eredményt mindhárom alakban! Megoldás: z0 = 2 = 2 0 + j sin 0 = 2e j·0 cos 2 z1 = -1 + 3 j = 2 cos 120 + j sin 120 = 2e j 3 4 z2 = -1 - 3 j = 2 cos 240 + j sin 240 = 2e j 3 b) Csoport-e az el z egyenlet gyökeinek halmaza a m veletre nézve, ha zi z j = o o u zi z j ? 2 Megoldás: Igen, teljesül a zártság és az asszociativitás, z0 = 2 egységelem, z0 inverze önmaga, z1 és z2 pedig egymás inverzei. c) u = 3 + 2 j. Ábrázolja a Gauss-féle számsíkon azon z komplex számok halmazát, amelyre i) |z - u| < 2 ii) |z| > |u| Megoldás:
képzetes

5 pont

6 pont

4 pont

képzetes

2

u valós 3

2

u valós 3

4.

f : R2 R,

f (x, y) = 9 - x2 - y2 3 pont

a) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben azon pontok halmazát, amelyre f (x, y) 0 teljesül. Megoldás: Origó középpontú, 3-egység sugarú zárt körlap.
y 3 2 1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3

b) Írja fel a függvényt ábrázoló felület P0 (1, 1) ponthoz tartozó érint síkjának o egyenletét! Megoldás: n (2, 2, 1), f (P0 ) = 7, tehát az egyenlet: 2x + 2y + z = 11. c) Számítsa ki f függvényt ábrázoló felület és az xy sík által meghatározott forgási paraboloid térfogatát! Megoldás: A forgási paraboloid az xz síkbeli z = 9 - x2 parabola z-tengely körüli meg forgatásával származtatható. Ennek pozitív x-ekhez tartozó része az x = 9 - z összefüggéssel írható le. A keresett térfogat:
9

5 pont

6 pont

V=
0

z2 (9 - z) dz = 9z - 2

9

=
0

81 127, 23 2

d) Számítsa ki f kett s integrálját a o T = (x, y) R2 | -3 x 3, -3 y 3 tartományon! Megoldás:
3

7 pont

f x, y dT =
T 3 -3

=
-3

x3 9x - - xy2 3



3

9 - x2 - y2
3 3

-3

dx dy =

dy =
-3 -3

36 - 6y2 dy = 36y - 2y3

3 -3

= 108

5.

a) Mit mond ki a majoráns-kritérium? Megoldás: Ha egy pozitív tagú numerikus sor majoráns sora konvergens, akkor az eredeti sor is konvergens. b) Határozza meg a Megoldás: A függvénysor egy 0-körüli hatványsor, aminek konvergenciasugarát meghatán+1 cn rozhatjuk pl. a hányadoskritériummal: r = lim cn+1 = lim 2nn · 2 = 2. Az x = 2, n+1
n n k=0 k k x 2k

3 pont

függvénysor konvergenciatartományát!

5 pont

illetve x = -2 pontokban a függvénysorba helyettesítve a c) Írja fel az f (x) = Megoldás: e = x2 = x2 · e-2x = x2 · 2x e x +3=3+ e2x
2 k=0 k=0 x k=0



k, illetve



(-1)k k

k=0

k=0

divergens sorokat kapjuk, tehát a keresett konvergenciatartomány ]-2, 2[. x2 + 3 függvény MacLaurin-sorát! e2x 5 pont

xk k!
k=0

(-2x)k = k!
2

(-1)k

2k xk+2 k!

(-1)k

2x k!

k k+2

2x3 4x4 8x5 =3+x - + - + ... 1! 2! 3!

6.

a) Milyen kapcsolat van egy gráf éleinek száma és a csúcsainak fokszámai között? Megoldás: A gráf csúcsainak fokszámait összeadva az élek számának kétszeresét kapjuk: (c) = 2e.

4 pont

cV

b) Van-e a következ gráfnak zárt, illetve nyitott Euler-sétája? Van-e Hamilton-köre o és Hamilton-útja?

5 pont

Megoldás: Sem zárt, sem nyitott Euler sétája nincs, mert kett nél több (12 db) páratlan fokú o pontja van. Nincs Hamilton köre, mert annak 25 pontja és 25 éle volna. Azonban a megadott gráfban egy kört bejárva vízszintesen is és függ legesen is páros számú lépést o kellene tenni, tehát a gráfban csak páros hosszúságú kör van. Hamilton-útja van a gráfnak, ezek közül egyet láthatunk a következ ábrán: o

c) Rajzolja fel azt a fát, amelynek Prüfer-kódja (666511). Megoldás:
5

4 pont

1

6

8

7

2

3

4



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

1. óra 11.12-2 5. előadás 5. óra alkotmány altér anyag articulation beadandó biokémia család diasor durkheim eloadas ember etnográfia falusi turizmus fizkém gazdaságtan gazdföci halál hálótervezés információ inverz és összetett függvény kafka kérdések kik kis jános könyv közig levelező máté eörs matek megtakarítás mezőgazdaság minőség pápai pénzügy i. politológia pszichológia román sportjog szár szocializáció szte-btk dr. simon józsef termelésmenedzsment üzleti etika vállalkozás villanytan viszonyszám