070111 - megoldással

Országok listájaHungaryBudapesti Műszaki FőiskolaNeumann János Informatikai Főiskolai KarMérnök informatikusMatematika SzigorlatVizsgák070111 - megoldással

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2007. jan. 17.
1. Legyen f : R+ R, f (x) = x ln x. 5 pont

a) Határozza meg az f függvény széls értékhelyeit és széls értékeit! o o Megoldás: 1 f (x) = 1 + ln x zérushelye . Pl. második derivált vizsgálatával igazolható, e 1 1 hogy ez minimumhely és f = - a minimum érték. e e b) Számítsa ki a lim f (x) és lim f (x) határértékeket! +
x x0

5 pont = lim +
x0 1 x

Megoldás: lim x ln x =
x

x0+

lim x ln x = lim +
x0

ln x
1 x

- x12

= lim -x = 0 +
x0

L'Hospital

c) Írja fel az f függvény értékkészletét! Megoldás: 1 Rf = - , e d) Írja fel az A B halmaz hatványhalmazát, ha A = n | n - 3 D f , n Z és B = x | f (x) < 10, x D f . Megoldás: A = {n | n 4, n N},

2 pont

6 pont

A B = {4, 5},

P (A B) = {, {4} , {5} , {4, 5}}

2. Adott az a(1, 2, 5), b(-1, 3, 2), c(2, 9, 17), d(1, 7, 12) vektorrendszer. a) Összefügg -e ez a vektorrendszer? o Megoldás: Igen, mert legfeljebb 3 db háromdimenziós vektor alkothat lineárisan független rendszert. b) Írja fel a c és d vektorokat az a és b lineáris kombinációjaként, ha lehetséges! Megoldás: c = 3a + b, d = 2a + b. 6 pont 8 pont 2 pont

c) Adja meg azokat az egységvektorokat, amelyek a-ra is és c-re is mer legesek! o Megoldás: a × c = -11i - 7j + 5k. 11 7 5 ±ea×c , ,± 195 195 195

d) Írja fel annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos a-val és c-vel és illeszkedik a P(1, 3, -2) pontra! Megoldás: 11x + 7y - 5z = 42 3. z5 + 32 = 0 a) Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazán! Az eredményt trigonometrikus és exponenciális alakban adja meg! Megoldás: z = 2 cos(36 + k · 72 ) + j sin(36 + k · 72 ) , 2k illetve z = 2 · e( 5 + 5 ) j ahol k {0; 1; 2; 3; 4} b) Határozza meg a gyökök szorzatát! Megoldás: Az abszolút értékek összeszorzódnak, ezért |z0 · z1 · z2 · z3 · z4 | = 25 = 32. Az irányszögek összeadódnak, így 36 + 36 + 4 · 72 arg (z0 · z1 · z2 · z3 · z4 ) = · 5 = 900 . 2 z0 · z1 · z2 · z3 · z4 = 32(cos 900 + j sin 900 ) = 32(cos 180 + j sin 180 ) = -32 c) Igaz-e, hogy az egyenlet gyökeinek halmaza csoportot alkot a komplex számok szorzására nézve? Megoldás: Nem, mert a {z0 , z1 , z2 , z3 , z4 } halmaz nem zárt a m veletre. u pl.: z0 · z4 = 4


4 pont

5 pont

6 pont

4 pont

6 pont a helyes bázistranszformáció, 2 pont a helyes válasz.

4.

f : R2 R ;

f (x; y) = x2 y - xy2 8 pont

a) Határozza meg f parciális deriváltjait és az = 45 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (1, 2) pontban! Megoldás:
fx (x; y) = 2xy - y2 , f y (x; y) = x2 - 2xy, 3 2 f (P0 ) = fx (P0 ) cos + f y (P0 ) sin = - 2 fx (P0 ) = 0, f y (P0 ) = -3

b) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben a függvény zérushelyeit! Megoldás:
y

5 pont

x

c) Számítsa ki f kett s integrálját a o T = (x; y) R2 | 0 x 1, 0 y 2 tartományon! Ábrázolja a T tartományt! Megoldás:
y
2 1

8 pont

2 1 x 1
T 2

f x, y dT =
0 0

x2 y - xy2 dx dy =
2

=
0

x3 y x2 y2 - 3 2

1

dy =
0 0

y y2 y2 y3 - dy = - 3 2 6 6

2

0

=-

2 3

5.

a) Mikor nevezünk egy numerikus sort konvergensnek? Megoldás: Egy numerikus sort konvergensnek nevezünk, ha részletösszegeinek sorozata konvergens. b) Milyen x valós számokra konvergens az 1 + Megoldás: A mértani sor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele, hogy 1 q < 1 teljesüljön. Tehát < 1, azaz |x| > 1, azaz a konvergenciatartomány x ]-, -1[ ]1, [. c) Tekintsük a következ állítást: o Ha ez a sor pozitív tagú, akkor ha korlátos, akkor konvergens. Formalizálja az állítást kijelentéslogikai eszközökkel, majd írja fel a tagadását és a kontrapozícióját formalizálva és szavakkal is. Megoldás: p : a sor pozitív tagú, q : a sor korlátos, r : a sor konvergens. Állítás: p q r p q r Tagadás: p q ¬r, Ez a sor pozitív tagú, korlátos és nem konvergens. Kontrapozíció: ¬r ¬p ¬q , Ha ez a sor nem konvergens, akkor nem pozitív tagú vagy nem korlátos. vagy ¬ q r ¬p, Ha ennek a sornak a korlátosságából nem következik, hogy konvergens, akkor a sor nem pozitív tagú. 1 1 1 + 2 + 3 + . . . függvénysor? x x x

3 pont

5 pont

5 pont



Ne felejtse el megadni a jelöléseit.

6.

a) Mikor nevezünk két egyszer gráfot izomorfnak? u Megoldás: Legyen a G1 és G2 egyszer gráfok csúcsainak halmaza V1 , illetve V2 . G1 és G2 u izomorf, ha létezik olyan : V1 V2 bijekció, amelyre teljesül, hogy a, b V1 esetén a akkor és csak akkor szomszédos b-vel G1 -ben, ha (a) szomszédos (b)-vel G2 -ben. b) Vannak-e izomorf gráfok a következ ábrán? Ha igen melyek azok? o
G1 G2 G3

4 pont

9 pont

G4

G5

Megoldás: G1 , G3 és G5 páronként izomorfak, továbbá G2 izomorf G4 -gyel.



Legalább egy esetben bizonyítson!



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

03.04/2 2 eloadas 2004 2011 3.óra 4. a1 atkinson balázs jános barokk biztonságpolitika éghajlat érzékelő evolúció gazdaság globális logisztika hla hull jegyzetek juhász képek kiállítás kölcsey költségszámítás középkor közpolitika lophotrochozoa magvas növények magyar premodern máté eörs montázs munkaerőpiac objektum orientált önköltség pót prezentáció statisztika stilisztika szervezeti magatartás szociolingvisztika szótár talajtan tanulás település topográfia tulajdonjog vállalat vállalatgazdaságtan vegyes piacgazdaság villamosságtan