060530, 060613, 060621 - megoldással
Országok listája
HungaryBudapesti Műszaki FőiskolaNeumann János Informatikai Főiskolai KarMérnök informatikusMatematika SzigorlatVizsgák060530, 060613, 060621 - megoldással
2007.11.29 11:52:15
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. máj. 30.
1. Legyen f : [0, [ R, f (x) = x2 x . +1 5 pont
a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Megoldás: f (x) = (x2 + 1)2 1 - x2 . x=0 × min. 0 0
1 2
f (x) f (x)
1
b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény?
Megoldás: Nem injektív, mert a 0-nál nagyobb, de 1 -nél kisebb értékeket kétszer is felveszi 2 1 (pl. az 1 - et az x = 2 - 3 és x = 2 + 3 helyeken is. Nem szürjektív, mert R f = 0, 2 R. 4 Nem bijektív. c) Milyen számot írhatunk a helyébe, hogy az f függvény [a, [ halmazra vonatkozó lesz kítése invertálható legyen? Adja meg az inverz függvényt egy u konkrét a esetén! Megoldás: 8 pont
a 1 esetén invertálható, mert az [1, [ intervallumon szigorúan monoton csökken . o Pl. Ha a = 1, akkor az inverz függvény: 2 ¯: D f¯ = 0, 1 [1, [ , f¯ (x) = 1 + 1 - 4x f 2 2x 2. a) Definiálja a [0, [ R, Megoldás: Az f : [0, [ R, f (t) függvény Laplace-transzformáltján az
f (t) függvény Laplace-transzformáltját!
3 pont
F (s) =
0
f (t) e-st dt
függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya azon s számok halmaza, amelyre az
f (t) e-st dt Laplace-integrál konvergens.
0
b) Adja meg az f (t) = t + e2t + tet - sin 2t + et cos 2t függvény Laplacetranszformáltját! Megoldás: 1 1 1 2 s-1 L f (t) = 2 + - 2 + + 2 s s - 2 (s - 1) s + 4 (s - 1)2 + 4 c) Határozza meg az F (s) = máltját! Megoldás: L-1
5 pont
s2 + 3s + 3 függvény inverz Laplace-transzfor(s - 2) (s2 + 9)
6 pont
s2 + 3s + 3 = e2t + sin 3t (s - 2) (s2 + 9)
3. Vezessük be az = cos 2 + j sin 2 jelölést. 3 3 a) Számítsa ki a z = + 2 + 3 + . . . + 2006 összeg értékét algebrai alakban! Megoldás: A tagok hármasával ismétl dnek és 3 egymást követ tag összege 0. o o 2005 2006 2 Így z = + = + = -1. b) Határozza meg az el z pontban meghatározott összeg harmadik gyökeit! Az o o eredményt írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban! Megoldás:
2k cos (60 + k · 120 ) + j sin (60 + k · 120 ) = e j( 3 + 3 ) , ahol k {0, 1, 2} .
5 pont
6 pont
c) Igaz-e, hogy az el z pontban kapott harmadik gyökök csoportot alkotnak a o o komplex számok szorzására nézve? Megoldás: Nem, mert a három köbgyökb l álló halmaz nem zárt a m veletre. o u 4. Jelöljük a valós, konvergens számsorozatok halmazát K-val!
4 pont
a) Igaz-e, hogy (K; +, ·) gy r , ha + és · a sorozatok közötti szokásos öszeadást és 10 pont uu szorzást jelenti? Megoldás: Igen, minden feltétel teljesül. (A hallgatóknak a feltételeket a megoldásban részletezniük kell.) b) Értelmezzük a K halmazon az R relációt a következ képpen: an R bn akkor o és csak akkor, ha a1 b1 . Igaz-e, hogy R parciális rendezési reláció K-n? Megoldás: Nem. Ugyanis ha an és bn olyan sorozatok, amelyek els tagja egyenl (a1 = o o b1 ), de egyébként a két sorozat nem azonos, akkor an R bn és bn R an , de an bn , tehát a reláció nem antiszimmetrikus. 5 pont
c) Írja fel predikátumlogikai formulával a következ állítást: Ha két valós nuo merikus sorozat mindegyike konvergens, akkor összegük is konvergens. Megoldás: Legyen S a valós numerikus sorozatok halmaza (alaphalmaz). H az S-en értelmezett predikátum a következ jelentéssel: Hx : x konvergens. o f az S halmazon értelmezett kétváltozós függvény: f x, y = x + y Az állítás: xy Hx Hy H f x, y . d) Írja fel az el z pontbeli állítás tagadását, kvantor(ok), továbbá , és ¬ jelek o o felhasználásával! Megoldás: xy¬ Hx Hy H f x, y 5. = xy Hx Hy ¬H f x, y
5 pont
5 pont
a) Van-e olyan hatpontú gráf, amelyben a fontok fokszámai rendre: 1, 2, 2, 3, 3, 4? Megoldás: Nem, mert a fokszámok összege nem lehet páratlan. b) Van-e olyan páros gráf, amelyben a pontok fokszámai rendre: 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4 Megoldás: Páros gráfban a csúcsok halmaza két részhalmazra bontható (A és B) úgy, hogy mindegyik él két különböz halmazbeli csúcsot köt össze. Ezért az A-beli csúo csok fokszámainak összege egyenl kell legyen a B-beli csúcsok fokszámainak o összegével, azaz (P) = (P) = 11. Ez azonban nem lehetséges, mert minden pont fokszáma páros. Tehát nincs a feltételnek eleget tev páros gráf. o c) Van-e zárt, illetve nyitott Euler-sétája az ábrán látható gráfnak? Van-e Hamiltonköre?
PA PB
2 pont
4 pont
7 pont
Jelölje S a valós numerikus sorozatok halmazát. Használja az x, y individuumváltozókat, a H predikátumjelet és az f függvényjelet, továbbá a szokásos logikai és segédjeleket!
Megoldás: Sem zárt sem nyitott Euler-sétája nincs, mert 6 db páratlanfokú pontja van. Hamilton-köre van.
6. Adott az f : R2 R,
f x, y = x2 y függvény. 5 pont
a) Határozza meg az f függvény = 30 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (-1, 2) pontban! Megoldás:
f (P0 ) = fx (P0 ) cos + f y (P0 ) sin = 2xy P cos 30 + x2 P sin 30 = 0 0 1 = -2 3 + 2 -2, 964.
b) Számítsa ki a függvény kett s integrálját a T = o tartományon! Megoldás:
3 2 3
x, y | -1 x 2, 1 y 3
3
10 pont
f x, y dT =
T 1 -1
x ydxdy =
1
2
x3 y 3
2
3
dy =
-1 1
3y2 3ydy = 2
= 12.
1
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. jún. 13.
1. Legyen f : R \ {1} R, f (x) = e x-1 . 5 pont
x+1
a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Megoldás: < 0. (x - 1)2 A függvény a ]-, 1[ és ]1, [ intervallumok mindegyikén szigorúan monoton csökken, de nem monoton. b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény? Megoldás: Injektív (ex és Nem bijektív.
x+1 x-1
f (x) = e x-1 ·
x+1
-2
5 pont
is injektív). Nem szürjektív(pl. negatív értékeket nem vesz fel).
c) Írja fel a függvénygörbe x0 = 2 abszcisszájú pontjához tartozó érint egyenletét! o Megoldás: y0 = f (x0 ) = e3 , m = f (x0 ) = -2e3 , az érin egyenlete: y = -2e3 x + 5e3 . o 2. Adottak az A(3, 2, 4), B(8, 1, 3), C(4, 3, 2) pontok.
5 pont
a) Írja fel az ABC sík egyenletét! Megoldás: #» #» #» #» AB(5, -1, -1), AC(1, 1, -2), AB × AC = 3i + 9j + 6k, S : x + 3y + 2z = 17. b) Legyen a : R3 R3 lineáris transzformáció mátrixa 1 0 1 M= 0 1 1 0 4 1 1 0 1 3 7 0 1 1 · 2 = 6 0 4 1 4 12
6 pont
n(1, 3, 2)
3 pont
Határozza meg az A pont (A) képét! Megoldás:
Tehát A (7, 6, 12).
c) Határozza meg a b) pontban megadott lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! Megoldás: 1- 0 1 0 1- 1 = 0 karakterisztikus egyenlet megoldásai: 0 4 1- 1 = 1, 2 = -1, 3 = 3. Az ezeknek megfelel sajátvektorok rendre: o u v t u v 0 vR u R, t R, -2u 2v 0 A
8 pont
3. Hányféleképpen lehet kitölteni egy lottószelvényt , ha a) csak hárommal osztható számot jelölünk meg; Megoldás: 30 = 142 506 5
4 pont
b) két páros és három páratlan számot jelölünk meg; Megoldás: 45 45 · = 14 048 100 2 3
6 pont
c) a legnagyobb és a legkisebb megjelölt szám különbsége 50? Megoldás: 40 · 49 = 736 960 3
8 pont
4. Jelölje U a P0 R2 egy környezetében értelmezett R2 R függvények halmazát. Vezessük be a következ predikátumokat: o · Px : x mindkét változója szerint parciálisan differenciálható P0 -ban; · Tx : x totálisan differenciálható P0 -ban; · Fx : x folytonos P0 -ban. Használjuk továbbá az f x, y = x + y jelölést. Írja le szöveggel a következ formulák által megfogalmazott állításokat és döntse el, hogy igazak-e o vagy sem! a) xy Fx Fy F f x, y Megoldás: Ha két kétváltozós függvény mindegyike folytonos P0 -ban, akkor az összegük is folytonos P0 -ban. (Igaz.)
4 pont
ötöslottó: 90 számból 5-öt kell megjelölni
b) x Tx (Fx Px) Megoldás: Ha egy kétváltozós függvény totálisan differenciálható a P0 pontban, akkor ott folytonos és mindkét változója szerint parciálisan differenciálható. (Igaz) c) xy P f x, y T f x, y Megoldás: Minden P0 egy környezetében értelmezett kétváltozós függvényhez található egy ugyancsak P0 egy környezetében értelmezett kétváltozós függvény úgy, hogy összegük akkor és csak akkor totálisan differenciálható, ha mindkét változója szerint parciálisan differenciálható. (Igaz, pl. választhatjuk y-nak az x függvény -1-szeresét.) 5. a) Egy körmentes gráf csúcsainak száma 2006, éleinek száma 1848. Hány komponensb l áll a gráf? o Megoldás: A komponensek száma: 2006 - 1848 = 158. b) Határozza meg a következ síkgráf kromatikus számát! o
4 pont
6 pont
2 pont
6 pont
Megoldás: (G) 4, mert a kisebbik szabályos ötszög egy páratlan hosszú kör, amelynek színezéséhez legalább 3 szín szükséges, és kell egy negyedik szín a középs o ponthoz. A négyszíntétel miatt ennél nagyobb nem lehet a kromatikus szám, tehát (G) = 4. c) Rajzolja le azt a fát, amelynek Prüfer-kódja (2, 7, 7, 4, 2, 2, 4, 3, 7) Megoldás:
3 4 8 2 11 1 10 9 5 6 7
6 pont
6.
a) Döntse el, hogy az alábbi numerikus sorok konvergensek vagy divergensek! i) 1 1 1 1 + + + ...+ + ... (3n - 2) (3n + 1) 1 · 4 4 · 7 7 · 10
3 pont
Megoldás:
1 konvergens sor. Tehát n=1 n (n + 1) a majoráns kritérium értelmében a sor konvergens. 1 1 1 1 ii) + + ...+ + + ... 3 pont 2·3 3·4 1·2 n (n + 1) Ez egy pozitív tagú sor, melynek majoránsa a Megoldás: 1 pozitív tagú divergens sor. Tehát a min=1 n + 1 noráns kritérium értelmében a sor divergens. Ennek a sornak minoránsa a
b) Határozza meg a Megoldás:
(x + 3)n függvénysor konvergenciatartományát! n2 n=1
8 pont
Használjuk a hatványsorokra vonatkozó gyökkritériumot: 1 n r = lim = lim n2 = 1. Tehát a függvénysor konvergens a ]-4, -2[ inn n |cn | n tervallum pontjaiban. (-1)n Az intervallum végpontjaiban külön vizsgálat szükséges: Mivel a és 2 n=1 n 1 numerikus sorok konvergensek, ezért a függvénysor konvergenciatar2 n=1 n tománya a [-4, -2] intervallum. c) Az f (x) = cos x függvény Maclaurin-sorának felhasználásával közelítjük a cos 18 értékét. Hány tagot kell felhasználni a sorból, hogy három tizedesjegyre pontos közelítést kapjunk? Írja fel a közelít értéket! o Megoldás: x2 x4 x6 cos x = 1 - + - + . . .. Mivel a sor váltakozó el jel , ezért a közelítés hio u 2! 4! 6! báját az els fel nem használt tag abszolút értékével becsülhetjük. A szög értéke o x2n 2n 18 = , tehát = 2n < 5 · 10-4 -nek kell teljesülnie. Az egyen(2n)! 10 10 · (2n)! l tlenség már n = 2 esetén teljesül (ekkor az baloldal 0, 000406), tehát az els o o 2 két tag megfelel közelítést biztosít: cos 18 = 1 - o 0, 951. 200 8 pont
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. jún. 21.
1. Legyen f (x) = x2 - 1 . x 2 pont
a) Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Megoldás: D f = R \ {0} b) Írja fel a függvény els és második deriváltfüggvényét! o Megoldás: f (x) =
6 pont
x2 + 1 x2
f (x) = -
2 x3 6 pont
c) Számítsa ki a következ határértékeket: o
x
lim f (x) = lim f (x) = - lim f (x) = - lim f (x) =
x- x0+ x0-
d) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a füg- 5 pont gvény? Megoldás: Nem injektív (minden valós értéket kétszer vesz fel). Szürjektív. Nem bijektív. 2. Adottak az A(2, 2, 5), B(5, 1, 3), C(4, -3, 2) pontok. 3 pont
a) Számítsa ki az ABC háromszög kerületét! Megoldás: #» #» #» AB(3, -1, -2), BC(-1, -4, -1), CA(-2, 5, 3) #» #» #» k = AB + BC + CA = 14 + 18 + 38 14, 15. b) Határozza meg az ABC háromszög legnagyobb szögét! #» #» BC · BA -3 Megoldás: cos = # » # » = -0, 189 100, 9. BC · BA 14 · 18
4 pont
c) Írja fel az ABC háromszög síkjának az egyenletét! Megoldás: i j k #» #» AB × AC = 3 -1 -2 = -7i + 5j - 13k 2 -5 -3 S : 7x - 5y + 13z = 69 d) Rajta van-e a P (17, -3, -5) pont az AB egyenesen? Megoldás: #» #» #» Igen, mert OP = OB + 4AB 3. Jelölje H a 100-nál nem nagyobb pozitív páros számok halmazát. a) Hányféleképpen lehet H elemei közül 4-et kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje is számít? Megoldás: 50 · 49 · 48 · 47 = 5 527 200 b) Hányféleképpen lehet H elemei közül 4-et kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít? Megoldás: 50 = 230 300 4
6 pont
4 pont
4 pont
4 pont
c) Értelmezzük a (H; R) relációt a következ képpen: xRy : x - y osztható 3-mal. o Igazolja, hogy R ekvivalencia-reláció és adja meg az ekvivalencia-osztályokat! Megoldás: A reláció homogén, bináris. Reflexív, mert x H : 3 | x - x = 0, szimmetrikus, mert x, y H : 3 | x - y 3 | y - x, tranzitív, mert x, y, z H esetén ha 3 | x - y és 3 | y - z, akkor 3 | x - y + y - z = (x - z). Három ekvivalencia-osztály van: H0 = {x H | x osztható 3-mal}, H1 = {x H | x 3-mal osztva 1 maradékot ad.}, H2 = {x H | x 3-mal osztva 2 maradékot ad.}. 4. Legyen f : R2 R, f x, y = x2 e y
8 pont
a) Számítsa ki az f függvény = 45 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (1, 0) pontban! Megoldás:
fx (P0 ) = 2xe y |P0 = 2, f y (P0 ) = x2 e y P = 1, 0 3 2 f (P0 ) = fx (P0 ) cos + f y (P0 ) sin = 2, 12 2
6 pont
b) Írja fel a függvényt ábrázoló felület érint síkjának egyenletét a P0 pontban! o Megoldás: n (2, 1, -1), z0 = 1, S : 2x + y - z = 1
6 pont
c) Határozza meg az f függvény kett s integrálját a o T = x, y | 1 x 2, 0 y 2 tartományon! Megoldás:
2 2 2 2
8 pont
f x, y dT =
T 1 0
x2 e y dydx =
1
x2 e y dx =
0 1
2
x2 e2 - 1 dx = = 7 e2 - 1 14, 9 3
=
x e -1 3
3
2
2
1
5. Vizsgáljuk a következ két gráfot: o
G1
G2 6 pont
a) Melyik gráfnak van zárt, illetve nyitott Euler-sétéja a fentiek közül? Megoldás: A G1 gráfnak van zárt Euler-sétája, mert összefügg és minden pono tjának a fokszáma páros. A G2 gráfnak sem zárt, sem nyitott Euler-sétája nincs, mert négy páratlan fokú pontja van. b) A fenti két gráf közül melyik síkgráf? Megoldás: G1 az egyik Kuratowski-gráf (teljes ötgráf), tehát nem síkgráf. G2 síkgráf, hiszen felrajzolható a következ képpen is: o
6 pont
G2
c) Rajzolja le azt a fát, amelynek Prüfer-kódja (5, 4, 9, 8, 5, 4, 4) Megoldás:
4
6 pont
5
2 1 3
9
8
7
6
6. Határozza meg az y + 4y = 13e3x differenciálegyenlet megoldását az y(0) = 1, y (0) = 5 kezdeti feltételek mellett! I. Megoldás: Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x, yp = e3x , y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e3x , y0 = sin 2x + e3x II. Megoldás: ¯ y= s2 + 2s - 2 1 2 = + 2 y0 = sin 2x + e3x 2 + 4) (s - 3) (s s-3 s +4
10 pont
Hasonló témájú dokumentumok
- 2007-11-29 11:57:57
- 2007-11-29 12:00:22
- 2007-11-29 11:53:39
- 2007-11-29 11:58:55
- 2007-11-29 11:57:16
- 2007-11-29 11:48:24
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Küldj üzenetet a szakod vagy évfolyamod összes hallgatója számára. Hasznos lehet ha választ keresel egy kérdésre, vagy mindenkivel tudatni akarsz egy információt. Ehhez használd az Üzeneteken belül a baloldali dobozban az Üzenet írását.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
