050622, 060110, 060117, 060530 - megoldással
Országok listája
HungaryBudapesti Műszaki FőiskolaNeumann János Informatikai Főiskolai KarMérnök informatikusMatematika SzigorlatVizsgák050622, 060110, 060117, 060530 - megoldással
2007.11.29 11:48:24
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2005. jún. 22.
1. Legyen f : R R, f (x) = x ln x. 5 pont
a) Határozza meg az f függvény széls értékhelyeit és széls értékeit! o o Megoldás: 1 f (x) = 1 + ln x zérushelye . Pl. második derivált vizsgálatával igazolható, e 1 1 hogy ez minimumhely és f = - a minimum érték. e e b) Számítsa ki a lim f (x) és lim f (x) határértékeket! +
x x0
5 pont =
1 lim x1 x0+ - 2 x
Megoldás: lim x ln x =
x±
x0+
lim x ln x = lim +
x0
ln x
1 x
= lim -x = 0 +
x0
L'Hospital
c) Írja fel az f függvény értékkészletét! 1 Rf = - , e d) Adja meg a D f R f x | f (x) 0 halmazt és ábrázolja is számegyenesen! 1 - , 0 [1, [ e
-1 0 1 2 3 4
2 pont
6 pont
2. Adott az a(1; 2; 5), b(-1; 3; 2), c(2; 9; 17), d(1; 7; 12) vektorrendszer. a) Összefügg -e ez a vektorrendszer? o Megoldás: Igen, mert legfeljebb 3 db háromdimenziós vektor alkothat lineárisan független rendszert. b) Számítsa ki a vektorrendszer rangját! Megoldás: [a, b, c, d] = 2. c) Adja meg azokat az egységvektorokat, amelyek a-ra is és b-re is mer legesek! o Megoldás: a × b = -11i - 7j + 5k. 11 7 5 ±ea×b , ,± 195 195 195 4 pont 6 pont 8 pont 2 pont
d) Írja fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét, amelynek irányvektora a és átmegy a P(2; -1; 5) ponton! Megoldás: x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 5 + 5t 3. z5 + 32 = 0 a) Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazán! Az eredményt trigonometrikus és exponenciális alakban adja meg! Megoldás: z = 2 cos(36 + k · 72 ) + j sin(36 + k · 72 ) , 2k illetve z = 2 · e( 5 + 5 ) j ahol k {0; 1; 2; 3; 4} b) Határozza meg a gyökök szorzatát! Megoldás: Az abszolút értékek összeszorzódnak, ezért |z0 · z1 · z2 · z3 · z4 | = 25 = 32. Az irányszögek összeadódnak, így 36 + 36 + 4 · 72 arg (z0 · z1 · z2 · z3 · z4 ) = · 5 = 900 . 2 z0 · z1 · z2 · z3 · z4 = 32(cos 900 + j sin 900 ) = 32(cos 180 + j sin 180 ) = -32 c) Igaz-e, hogy az egyenlet gyökeinek halmaza csoportot alkot a komplex számok szorzására nézve? Megoldás: Nem, mert a {z0 , z1 , z2 , z3 , z4 } halmaz nem zárt a m veletre. u pl.: z0 · z4 = 4
6 pont a helyes bázistranszformáció, 2 pont a helyes válasz.
5 pont
6 pont
4 pont
4.
f : R2 R ;
f (x; y) = x2 y - xy2 8 pont
a) Határozza meg f parciális deriváltjait és az = 30 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (2; 1) pontban! Megoldás:
fx (x; y) = 2xy - y2 , f y (x; y) = x2 - 2xy, 3 3 f (P0 ) = fx (P0 ) cos + f y (P0 ) sin = 2 fx (P0 ) = 3, f y (P0 ) = 0
b) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben a függvény zérushelyeit! Megoldás:
y
5 pont
x
c) Számítsa ki f kett s integrálját a o T = (x; y) R2 | 0 x 2; 0 y 1 tartományon! Ábrázolja a T tartományt! Megoldás:
1 2
8 pont
y
T
f x, y dT =
1
1 x 1 2
=
0
x y x y - 3 2
1
3
0 0 2 2 2 0
x2 y - xy2 dx dy =
1 0
dy = = 2 3
8 y - 2y2 dy = 3
4y2 2y3 - = 3 3
0
5.
a) Mikor nevezünk egy numerikus sort konvergensnek? Megoldás: Egy numerikus sort konvergensnek nevezünk, ha részletösszegeinek sorozata konvergens. b) Milyen x valós számokra konvergens az 1 + Megoldás: A mértani sor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele, hogy 1 q < 1 teljesüljön. Tehát < 1, azaz |x| > 1, azaz a konvergenciatartomány x ]-, -1[ ]1, [. c) Határozza meg az el z függvénysor összegfüggvényét! o o Megoldás: 1 x = , 1 x-1 1- x 1 1 1 + 2 + 3 + . . . függvénysor? x x x
3 pont
5 pont
5 pont
tehát az összegfüggvény: S : ]-, -1[ ]1, [ R,
S (x) =
x x-1
6.
a) Mikor nevezünk két egyszer gráfot izomorfnak? u Megoldás: Legyen a G1 és G2 egyszer gráfok csúcsainak halmaza V1 , illetve V2 . G1 és G2 u izomorf, ha létezik olyan : V1 V2 bijekció, amelyre teljesül, hogy a, b V1 esetén a akkor és csak akkor szomszédos b-vel G1 -ben, ha (a) szomszédos (b)-vel G2 -ben. b) Vannak-e izomorf gráfok a következ ábrán? Ha igen melyek azok? o
G1 G2 G3
4 pont
9 pont
G4
G5
Megoldás: G1 izomorf G3 -mal és G2 izomorf G5 -tel.
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. jan. 10.
1. Legyen f : R R, f (x) = x2 ln x. 5 pont
a) Határozza meg az f függvény széls értékhelyeit és széls értékeit! o o Megoldás: 1 f (x) = x (2 ln x + 1) zérushelye . Pl. második derivált vizsgálatával igazole 1 1 ható, hogy ez minimumhely és f = - a minimum érték. e 2e b) Számítsa ki a lim f (x) és lim f (x) határértékeket! +
x x0
5 pont = lim +
x0 1 x
Megoldás: lim x ln x =
x
2
x0
lim x ln x = lim + +
x0
2
ln x
1 x2
- x23
= lim - +
x0
x2 =0 2
L'Hospital
c) Írja fel az f függvény értékkészletét! Rf = - 1 , 2e
2 pont
d) Adja meg a D f R f x | f (x) 0 halmazt és ábrázolja is számegyenesen! - 1 , 0 [1, [ 2e
-1 0 1 2 3 4
6 pont
2. Adott az a(1; 2; 5), b(-1; 3; 2), c(2; 9; 17), d(1; 7; 12) vektorrendszer. a) Összefügg -e ez a vektorrendszer? o Megoldás: Igen, mert legfeljebb 3 db háromdimenziós vektor alkothat lineárisan független rendszert. b) Számítsa ki a vektorrendszer rangját! Megoldás: [a, b, c, d] = 2. c) Adja meg azokat az egységvektorokat, amelyek a-ra is és b-re is mer legesek! o Megoldás: a × b = -11i - 7j + 5k. 11 7 5 ±ea×b , ,± 195 195 195 4 pont 6 pont 8 pont 2 pont
d) Írja fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét, amelynek irányvektora a és átmegy a P(2; -1; 5) ponton! Megoldás: x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 5 + 5t 3. z5 + 243 = 0 a) Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazán! Az eredményt trigonometrikus és exponenciális alakban adja meg! Megoldás: z = 3 cos(36 + k · 72 ) + j sin(36 + k · 72 ) , 2k illetve z = 2 · e( 5 + 5 ) j ahol k {0; 1; 2; 3; 4} b) Határozza meg a gyökök szorzatát! Megoldás: Az abszolút értékek összeszorzódnak, ezért |z0 · z1 · z2 · z3 · z4 | = 35 = 243. Az irányszögek összeadódnak, így 36 + 36 + 4 · 72 arg (z0 · z1 · z2 · z3 · z4 ) = · 5 = 900 . 2 z0 · z1 · z2 · z3 · z4 = 243(cos 900 + j sin 900 ) = 32(cos 180 + j sin 180 ) = -243 c) Igaz-e, hogy az egyenlet gyökeinek halmaza csoportot alkot a komplex számok szorzására nézve? Megoldás: Nem, mert a {z0 , z1 , z2 , z3 , z4 } halmaz nem zárt a m veletre. u pl.: z0 · z4 = 4
6 pont a helyes bázistranszformáció, 2 pont a helyes válasz.
5 pont
6 pont
4 pont
4.
f : R2 R ;
f (x; y) = x2 y2 - xy 8 pont
a) Határozza meg f parciális deriváltjait és az = 30 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (2; 1) pontban! Megoldás:
f y (x; y) = 2x2 y - x, 3 f (P0 ) = fx (P0 ) cos + f y (P0 ) sin = 3 +1 2 fx (x; y) = 2xy2 - y, fx (P0 ) = 3, f y (P0 ) = 6
b) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben a függvény zérushelyeit! Megoldás:
y
5 pont
x
c) Számítsa ki f kett s integrálját a o T = (x; y) R2 | 0 x 2; 0 y 1 tartományon! Ábrázolja a T tartományt! Megoldás:
2 1
8 pont
y
T
f x, y dT =
2
1 x 1 2
=
0 3
x2 y3 xy2 - 3 2
2 2 0
0 0 1
x2 y2 - xy dy dx =
2 0
dx =
0
x2 x - dx = 3 2
=
x x - 9 4
=-
1 9
5.
a) Mikor nevezünk egy numerikus sort konvergensnek? Megoldás: Egy numerikus sort konvergensnek nevezünk, ha részletösszegeinek sorozata konvergens. b) Milyen x valós számokra konvergens az 1 - Megoldás: A mértani sor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele, hogy 1 q < 1 teljesüljön. Tehát - < 1, azaz |2x| > 1, tehát a konvergenciatar2x 1 1 tomány -, - , . 2 2 c) Határozza meg az el z függvénysor összegfüggvényét! o o Megoldás: 1 1-
1 - 2x
3 pont
1 1 1 + 2 - 3 + . . . függvénysor? 2x 4x 8x
5 pont
5 pont
=
2x , 2x + 1 1 1 , R, 2 2 S (x) = 2x 2x + 1
tehát az összegfüggvény: S : -, -
6.
a) Adjon meg egy szükséges és elégséges feltételt arra, hogy a G gráfnak létezik zárt Euler-sétája. Megoldás: A G gráfnak akkor és csak akkor van zárt Euler-sétája, ha összefügg és minden o csúcsának fokszáma páros. b) Adja meg a következ gráfok egy Hamilton-körét vagy Hamilton-útját, ha leo hetséges. Ha a gráfnak nincs sem Hamilton-köre sem Hamilton útja, indokolja meg, hogy miért nincs!
G1 G2
4 pont
9 pont
Megoldás: A G1 gráfnak van Hamilton-köre.
G1
Természetesen Hamilton-útja is van: Ha a Hamilton-kör egy tetsz leges élét elo hagyjuk, a gráf egy Hamilton-útját kapjuk. A G2 gráfnak nincs Hamilton-köre, de Hamilton-útja van:
G2
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. jan. 17.
1. Legyen f : [0, [ R, f (x) = e1- x . 5 pont
a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Megoldás: 1 . Mivel a deriváltfüggvény az értelmezési tartomány min2x den pontjában negatív, f szigorúan monoton csökken . o f (x) = e1-
x
· -
b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény?
5 pont
Megoldás: Mivel f szigorúan monoton csökken ezért injektív, de nem szürjektív, mert pl. o nem vesz fel negatív értékeket. Így f nem lehet bijektív sem. c) Jelölje R f az f függvény értékkészletét! Sorolja fel az R f Z ×{0, e, } halmaz elemeit! Megoldás: {(1, 0) , (1, e) , (1, ) , (2, 0) , (2, e) , (2, )} d) Adjon meg egy bijektív leképezést a [0, [ és ]0, 1] halmazok között! Megoldás: Pl. g : [0, [ ]0, 1] , 2. a) Definiálja a [0, [ R, Megoldás: Az f : [0, [ R,
0 0
3 pont
5 pont
g (x) = e-x f (t) függvény Laplace-transzformáltját! 3 pont
f (t) függvény Laplace-transzformáltján az F (s) =
f (t) e-st dt függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya azon s számok f (t) e-st dt Laplace-integrál konvergens. 5 pont
halmaza, amelyre az
b) Adja meg az f (t) = 1 + 2t + t2 + te-t függvény Laplace-transzformáltját! Megoldás: L f (t) = 1 2 2 1 + 2+ 3+ s s s (s + 1)2 s (s2 1 függvény inverz Laplace-transzformáltját! + 1)
c) Határozza meg az F (s) = Megoldás: L-1 s (s2
6 pont
1 = 1 - cos t + 1)
d) Oldja meg az y + y = x differenciálegyenletet Laplace-transzformációval az y (0) = 2 kezdeti feltétel mellett! Megoldás: 1 s2 1 2 ¯ y= 2 + s (s + 1) s + 1 1 1 3 ¯ y= + 2- s+1 s s -x y = 3e + x - 1 ¯ ¯ s y - 2y + y = 3. a) Számítsa ki az1 + j + j2 + j3 + . . . + j2006 összeg értékét algebrai alakban! Megoldás: 1 + j + j2 + j3 + . . . + j2006 = j2004 + j2005 + j2006 = j b) Határozza meg az el z pontban meghatározott összeg harmadik gyökeit! Az o o eredményt írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban! Megoldás:
2k cos (30 + k · 120 ) + j sin (30 + k · 120 ) = e j( 6 + 3 ) , ahol k {0, 1, 2} .
10 pont
5 pont
6 pont
c) Igaz-e, hogy az el z pontban kapott harmadik gyökök csoportot alkotnak a o o komplex számok szorzására nézve? Megoldás: Nem, mert a három köbgyökb l álló halmaz nem zárt a m veletre. o u 4. a) Mely x R értékekre konvergens a
n=0
4 pont
(-1)n x2n függvénysor?
5 pont
Határozza meg a függvénysor összegfüggvényét! Megoldás: A függvénysor egy -x2 hányadosú mértani sor, amely -x2 < 1 -1 < x < 1 1 esetén konvergens, összegfüggvénye S : ]-1, 1[ R, S (x) = . 1 + x2 b) Írja fel az f (x) = arctg x függvény MacLaurin-sorát! Megoldás: Az el z pontban szerepl függvénysor integrálásával: o o o arctg x =
n=0
5 pont
(-1)n
x2n+1 2n + 1
c) Írja fel predikátumlogikai formulával a következ állítást: Egy Leibniz-típusú o numerikus sor akkor és csak akkor konvergens, ha általános tagja a 0-hoz tart. Megoldás: Legyen U a numerikus sorok halmaza (alaphalmaz), L, N és K pedig U-n értelmezett predikátumok a következ jelentéssel: o Lx : x Leibniz-típusú numerikus sor. Nx : x olyan numerikus sor, amelynek általános tagja 0-hoz tart. Kx : x olyan numerikus sor, amely konvergens. Az állítás: x : Lx (Nx Kx). d) Írja fel az el z pontbeli állítás tagadását, kvantor(ok), továbbá , és ¬ jelek o o felhasználásával! Megoldás: x : ¬ ¬Lx (Nx Kx) (¬Nx ¬Kx) =
5 pont
5 pont
= x : Lx (¬Nx ¬Kx) (Nx Kx) 5 pont
5.
b) Definiálja a sajátvektor és a sajátérték fogalmát! Megoldás:
a) Írja fel az xy sík y-tengelyre vonatkozó tükrözésének és az origó középpontú 30 -os elforgatásának egymásután alkalmazásával kapott síkbeli transzformáció mátrixát! - 3 -1 2 2 Megoldás: 1 3 -2 2
3 pont
Egy lineáris transzformáció sajátvektora a lineáris tér olyan 0-vektortól különböz vektora, amelynek képe az eredeti vektor konstansszorosa. (Amely páro huzamos az eredeti vektorral.) A sajátérték az a szám, amellyel a sajátvektort megszorozva annak képét kapjuk. c) Van-e sajátvektora az a) részben megadott (összetett) transzformációnak? Megoldás: Nincs, mert a 0 vektort kivéve a sík vektorainak képe nem párhuzamos az eredeti vektorral. 5 pont
6.
a) Igazolja, hogy egy egyszer gráfban a pontok fokszámainak összege mindig u páros. Megoldás: Tekintsünk egy tetsz leges egyszer gráfot és gondolatban töröljük az összes o u élét. Ekkor minden pont fokszáma 0, tehát a fokszámok összege is 0. Egyenként tegyük vissza az (eredeti) éleket a gráfba. Minden él visszatevésekor két pont fokszáma fog 1-gyel megnövekedni, a többi pont fokszáma változatlan. Tehát minden él visszatételekor 2-vel n a fokszámok összege. Mivel a 0 páros és mino dig 2-vel azaz párossal változik a fokszámok összege ezért miután az összes élet visszatettük a fokszámok összege csak páros lehet. b) Hány éle van egy n pontú teljes gráfnak? Van-e olyan teljes gráf, amelynek kétszer annyi éle van, mint pontja? Megoldás: Az n pontú teljes gráf éleinek száma pontok számának, ha gráf. n n (n - 1) = . Ez akkor kétszerese a 2 2
5 pont
5 pont
n-1 = 2, azaz n = 5, tehát van a feltételnek megfelel o 2
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. máj. 30.
1. Legyen f : [0, [ R, f (x) = x2 x . +1 5 pont
a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! Megoldás: f (x) = (x2 + 1)2 1 - x2 . x=0 × min. 0 0
1 2
f (x) f (x)
1
b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény?
Megoldás: Nem injektív, mert a 0-nál nagyobb, de 1 -nél kisebb értékeket kétszer is felveszi 2 1 (pl. az 1 - et az x = 2 - 3 és x = 2 + 3 helyeken is. Nem szürjektív, mert R f = 0, 2 R. 4 Nem bijektív. c) Milyen számot írhatunk a helyébe, hogy az f függvény [a, [ halmazra vonatkozó lesz kítése invertálható legyen? Adja meg az inverz függvényt egy konkrét u a esetén! Megoldás: 8 pont
a 1 esetén invertálható, mert az [1, [ intervallumon szigorúan monoton csökken . o Pl. Ha a = 1, akkor az inverz függvény: 1 1 + 1 - 4x2 f¯: D f¯ = 0, [1, [ , f¯ (x) = 2 2x 2. a) Definiálja a [0, [ R, Megoldás: Az f : [0, [ R, f (t) függvény Laplace-transzformáltján az
f (t) függvény Laplace-transzformáltját!
3 pont
F (s) =
0
f (t) e-st dt
függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya azon s számok halmaza, amelyre az
f (t) e-st dt Laplace-integrál konvergens. 5 pont
0
b) Adja meg az f (t) = t + e2t + tet - sin 2t + et cos 2t függvény Laplacetranszformáltját! Megoldás:
L f (t) =
1 1 1 2 s-1 - 2 + + + 2 2 s s - 2 (s - 1) s + 4 (s - 1)2 + 4
c) Határozza meg az F (s) = máltját! Megoldás: L-1
s2 + 3s + 3 függvény inverz Laplace-transzfor(s - 2) (s2 + 9)
6 pont
s2 + 3s + 3 = e2t + sin 3t (s - 2) (s2 + 9)
3. Vezessük be az = cos 2 + j sin 2 jelölést. 3 3 a) Számítsa ki a z = + 2 + 3 + . . . + 2006 összeg értékét algebrai alakban! Megoldás: A tagok hármasával ismétl dnek és 3 egymást követ tag összege 0. o o 2005 2006 2 Így z = + = + = -1. b) Határozza meg az el z pontban meghatározott összeg harmadik gyökeit! Az o o eredményt írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban! Megoldás:
2k cos (60 + k · 120 ) + j sin (60 + k · 120 ) = e j( 3 + 3 ) , ahol k {0, 1, 2} .
5 pont
6 pont
c) Igaz-e, hogy az el z pontban kapott harmadik gyökök csoportot alkotnak a o o komplex számok szorzására nézve? Megoldás: Nem, mert a három köbgyökb l álló halmaz nem zárt a m veletre. o u 4. Jelöljük a valós, konvergens számsorozatok halmazát K-val!
4 pont
a) Igaz-e, hogy (K; +, ·) gy r , ha + és · a sorozatok közötti szokásos öszeadást és 10 pont uu szorzást jelenti? Megoldás: Igen, minden feltétel teljesül. (A hallgatóknak a feltételeket a megoldásban részletezniük kell.) b) Értelmezzük a K halmazon az R relációt a következ képpen: an R bn akkor o és csak akkor, ha a1 b1 . Igaz-e, hogy R parciális rendezési reláció K-n? Megoldás: Nem. Ugyanis ha an és bn olyan sorozatok, amelyek els tagja egyenl (a1 = o o b1 ), de egyébként a két sorozat nem azonos, akkor an R bn és bn R an , de an bn , tehát a reláció nem antiszimmetrikus. 5 pont
c) Írja fel predikátumlogikai formulával a következ állítást: Ha két valós numerio kus sorozat mindegyike konvergens, akkor összegük is konvergens. Megoldás: Legyen S a valós numerikus sorozatok halmaza (alaphalmaz). H az S-en értelmezett predikátum a következ jelentéssel: Hx : x konvergens. o f az S halmazon értelmezett kétváltozós függvény: f x, y = x + y Az állítás: xy Hx Hy H f x, y . d) Írja fel az el z pontbeli állítás tagadását, kvantor(ok), továbbá , és ¬ jelek o o felhasználásával! Megoldás: xy¬ Hx Hy H f x, y 5. = xy Hx Hy ¬H f x, y
5 pont
5 pont
a) Van-e olyan hatpontú gráf, amelyben a fontok fokszámai rendre: 1, 2, 2, 3, 3, 4? Megoldás: Nem, mert a fokszámok összege nem lehet páratlan. b) Van-e olyan páros gráf, amelyben a pontok fokszámai rendre: 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4 Megoldás: Páros gráfban a csúcsok halmaza két részhalmazra bontható (A és B) úgy, hogy mindegyik él két különböz halmazbeli csúcsot köt össze. Ezért az A-beli csúo csok fokszámainak összege egyenl kell legyen a B-beli csúcsok fokszámainak o összegével, azaz (P) = (P) = 11. Ez azonban nem lehetséges, mert minden pont fokszáma páros. Tehát nincs a feltételnek eleget tev páros gráf. o c) Van-e zárt, illetve nyitott Euler-sétája az ábrán látható gráfnak? Van-e Hamiltonköre?
PA PB
2 pont
4 pont
7 pont
Jelölje S a valós numerikus sorozatok halmazát. Használja az x, y individuumváltozókat, a H predikátumjelet és az f függvényjelet, továbbá a szokásos logikai és segédjeleket!
Megoldás: Sem zárt sem nyitott Euler-sétája nincs, mert 6 db páratlanfokú pontja van. Hamilton-köre van.
6. Adott az f : R2 R,
f x, y = x2 y függvény. 5 pont
a) Határozza meg az f függvény = 30 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (-1, 2) pontban! Megoldás:
f (P0 ) = fx (P0 ) cos + f y (P0 ) sin = 2xy P cos 30 + x2 P sin 30 = 0 0 1 = -2 3 + 2 -2, 964.
b) Számítsa ki a függvény kett s integrálját a T = o tartományon! Megoldás:
3 2 3
x, y | -1 x 2, 1 y 3
3
10 pont
f x, y dT =
T 1 -1
x ydxdy =
1
2
x3 y 3
2
3
dy =
-1 1
3y2 3ydy = 2
= 12.
1
Hasonló témájú dokumentumok
- 2007-11-29 11:58:55
- 2007-11-29 11:57:16
- 2007-11-29 11:53:39
- 2007-11-29 12:00:22
- 2007-11-29 11:57:57
- 2007-11-29 11:52:15
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Szavazz a feltöltött dokumentumokra az alapján, hogy mennyire volt számodra használható vagy épp használhatatlan (mondjuk azért, mert tele van hibával). A dokumentumok a szavazataitok alapján sorrendeződnek így hosszútávon a legjobb pontokat kapó dokumentumok lesznek a lista elején. Csak a saját szakod dokumentumaira szavazhatsz.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
