Kalkulus 1. példatár - Lajkó Károly

Országok listájaHungaryDebreceni EgyetemInformatikai KarProgramtervező informatikusKalkulus 1.JegyzetekKalkulus 1. példatár - Lajkó Károly

Ä

à ÖÓÐÝ

à РÙÐÙ× Áº Ô Ð

Ø Ö

ÑÓ

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö

Ä

à ÖÓÐÝ
Ø Ö

à РÙÐÙ× Áº Ô Ð

ÑÓ
ËÇÊÇ

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö
ÌË Þ ÊÃ Ë Ì

× Á×ØÚ Ò

Ä

à ÖÓÐÝ

à РÙÐÙ× Áº Ô Ð

Ø Ö

ÔÖÓ Ö ÑÓÞ

× ÔÖÓ Ö ÑØ ÖÚ Þ ÐÐ Ø Ò

Ñ Ø Ñ Ø

Ù×

ÑÓ

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö

ÓÔÝÖ ÓÔÝÖ

Ø
Ä Ø
Ð

à ÖÓÐÝ ØÖÓÒ Ù× ÞÐ ×

ÑÓ

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö

ÑÓ
¼½¼

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö
Ö
Ò Ý Ø Ñ ÁÒØ Þ Ø Ö
Ò¸ È º ½¾ º Ò ºÙÒ º Ù

ÁÒ ÓÖÑ Ø ØØÔ »»ÑÓ

Ñò Ñò × ÔÖÓ

Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ ×
Ð ×Þ ÖÞ

Ö

×Þ Ð Ò

ÓÒ Ð Ø ÐØ

Ø º Å Ò Øº

Ò

Ý

й

×ÞÒ Ð ×
×

ÑÓ ÁýÃ Ò×Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ´ÁÃÌ ¸ ÇÅ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ¸ Ð Ò Ö
× ÔÓÖØ Ð ×ÞÓ ØÚ Ö ´ÁÌ
Ö Ø Ò ×Þ Ðغ

Ð Þ Ø × Ö ×

ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò

¹¼¼¿ ¿»¾¼¼¿µ Ÿ ¼»¾¼¼¿µ

Ø

Ì ÖØ ÐÓÑ
Áº À ÐÑ ÞÓ ¸ Ö Ð
À ÐÑ ÞÓ Ê Ð
Ý ÓÖÐ ´Ð Ð Ú ÒÝ Ô Þ × ØÓ

ÝÞ
¸ Ú ÒÝ ºººººººººººººººººººººººººº
½¾ ½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¿½ ¿ ¿ ¿ ¼ ¼ µ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ÁÁº ËÞ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ú Ð × ×Þ ÑØ ×Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ò Þ × ´ ×× ÓÖÐ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò× µ

R¹

Ò ºººººººººººººººººººººººººººººººº

R R

Ø Ð Ý

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ØÓ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ØÓÔÓÐ

ÁÁÁº ËÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð Ô Ó ËÓÖÓÞ ØÓ ÐÑ × Ô
×ÓÐ ØÙ ¸ ÐÐ ØÚ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººº Ö Ò Þ × ººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººº × ÑòÚ Ð Ø Ê ×Þ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ Ù
ݹ×ÓÖÓÞ ØÓ

Æ Ú Þ Ø × ×ÓÖÓÞ ØÓ

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

Áκ ËÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð Ô Ó ÃÓÒÚ Ö ÅòÚ Ð Ø Ì Þ Ý ÓÖÐ ÐÑ Ò
×ÓÖÓ Ð ØÓ × Ð ÔØ Ø Ð ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¼ ½ ¿ ¿ ¿ Ö Ø Ö ÙÑÓ Ð ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

× Ø ÖØ

κ
Ð Ô Ó Ý

Ú ÒÝ
ÐÑ ¸ Ð ÓÐÝØÓÒÓ×× ÓÖÐ

ÓÐÝØÓÒÓ××
ØÓ

ººººººººººººººººººººººººººººººº
ºººººººººººººººººººººººººººººº

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº Ý ÒÐ Ø × ÓÐÝØÓÒÓ×× ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

Ì

ÊÌ

ÄÇÅÂ

Ã

ÎÁº
Ð Ô Ó ËÞ Ý ÓÖÐ

Ú ÒÝ
ÐÑ × Ð ÐÝ

Ø Ö ÖØ
× Ø Ø Ð ¸ ÐÐ ØÚ ¸ ÑÓÒÓØÓÒ ØÓ

ºººººººººººººººººººººººººººººººº
Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ú ÒÝ ºººººººººººººººººº ¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

À Ø Ö ÖØ

× ÑòÚ Ð Ø

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼

ÎÁÁº ÐÑ
Ý ÓÖÐ

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ Ú ÒÝ×ÓÖÓ ¸ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð ØÓ

½½½

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾

ÎÁÁÁº
Ö Ò
Ö ÒØ Ö Ò
Ö Ò
Ú ÒÝ Å × Ã Þ Ô ÖØ Ö Ò
Ý ÓÖÐ

Ö Ò
Ð×Þ Ñ Ø × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÒÝ Ð Ð Ø × Ø × ¸ Ö Ú ÐØ Ó׸ Ö Ò
× ÑòÚ Ð Ø Ö Ò
Ð Ð Ø × ¸ Ö Ò
Ð ÒÝ Ó׸

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿ Ø × × ÑòÚ Ð Ø ´ØÓÚ Ð Ñ

е º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ö Ò ò Ø Ø Ð Ð Ð Ø ØÓ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ¾ ¸ Ì ÝÐÓÖ¹ÔÓÐ ÒÓѸ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú ÒÝ Ú Þ× Ð Ø ººººººººººººººººººººººººººººº ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¼

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

ÁÖÓ ÐÓÑ

ÝÞ

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

¾¼

Áº

À ÐÑ ÞÓ ¸ Ö Ð
½º½º Ð
Å ÓР׺

Þ Ø

¸
A, B
Ø Ø×Þ Ð ×

Ú ÒÝ
× ÐÑ ÞÓ ¸ Ý

À ÐÑ ÞÓ
غ
ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý

A=B
À ×



AB

B A.
Ý Ð

×Þ Ö ÒØ À

A = B¸ Ø Ò x B
Ú Ø

Ò Ñ

AB
Ú Ú Ý Ý

×

ÞÓÒÓ×

A ×B Ð Ñ Ñ Ý ÞÒ ¸ Ñ ¸ Ó y B × Ø Ò y A Ú Ø Þ ¸ Ñ ÐÝ Þ ¸ Ó Ý A B × B A Ø Ð × Ðº B A Ø Ð × Ð × ÐØ ××Þ ¸ Ó Ý A = B ´ Þ A
ÓÖ × µ¸ ÓÖ Ó Ý Ó Ý Ò ¸

xA
Ò

×

B

Ð Ñ

Ú Ø

ÞÒ ¸

x A¸ y B¸
ÐÐ ÒØ Ø ÞÓÒÝ Ø×

x B¸ / y A¸ /
Ó Ý

Ý

Þ ÖØ

ÐØ Ú ××

A B¸ BA к Ì Ø A = Bº
Ø Ø×Þ Ð × ÐÑ ÞÓ ¸ ÓÖ

½º¾º Ð

غ

A, B, C

A B = B A,
´ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø ×µ¸

AB =BA (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) (A\B) C = (A C)\B,

(A B) C = A (B C),
´ ××ÞÓ
Ø Ú Ø ×µ¸

A (B C) = (A B) (A C),
´ ×ÞØÖ ÙØ Ú Ø ×µ¸

A\(B C) = (A\B) (A\C), A B = B A B, A\B = A B.

A\B = A\(A B),

A\(B C) = (A\B) (A\C), A B = B B A,

½¼

Áº À

ÄÅ

Çø Ê

Äý

Á

ø

Î

Æ

Ã

Å

ÓÐ

׺

x A B x A Ú Ý x B x B Ú Ý x A x Ò
B A¸ Þ ÖØ Þ A B × B A ÐÑ ÞÓ Ð Ñ ÞÓÒÓ× ¸ Ý ×Þ Ö ÒØ A B = B Aº x A B x A × x B x B × x A x B A¸ ÐÑ ÞÓ Ð Ñ Ñ Ý ÞÒ ¸ Ý AB = B Aº Þ Þ Þ AB × B A x (A B) C x A B Ú Ý x C (x A Ú Ý x B) Ú Ý x C x A Ú Ý (x B Ú Ý x C) x A Ú Ý x B C x A (B C)¸ Ý Þ (A B) C × A (B C) ÐÑ ÞÓ Ð Ñ Ñ Ý ÞÒ ¸ Ø Ø (A B) C = A (B C)º x (A B) C x A B × x C (x A × x B) × x C x A × (x B × x C) x A × x B C x A (B C)¸ Ý Þ (A B) C × A (B C) ÐÑ ÞÓ Ð Ñ Ñ Ý ÞÒ ¸ Þ ÖØ (A B) C = A (B C)º x A (B C) x A Ú Ý x B C x A Ú Ý (x B × x C) (x A Ú Ý x B) × (x A Ú Ý x C) x A B × x A C x (A B) (A C)¸ Ø Ø Þ A (B C) × (A B) (A C) ÐÑ ÞÓ Ð Ñ Ñ Ý ÞÒ ¸ Ý A (B C) = (A B) (A C)º x A (B C) x A × x B C x A × (x B Ú Ý x C) (x A × x B) Ú Ý (x A × x C) x A B Ú Ý x A C x (A B) (A C)¸ Ý Þ A (B C) × (A B) (A C) ÐÑ ÞÓ Ð Ñ Ñ Ý ÞÒ ¸ Þ ÖØ A (B C) = (A B) (A C)º x A \ B = x A × x B = x A × x A B = x / / A \ A B¸ Ñ ¸ Ó Ý A\B A\AB y A\AB = y A × y AB = y A × y B = y A\B ¸ / / Ý A \ A B A \ Bº
Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ × Ø Ð × Ð × Ô Ú Ú Ð Ò× ÞÞ Ð¸ Ó Ý

A \ B = A \ A Bº x (A \ B) C x A \ B × x C (x A × x B) / × x C (x A × x C) × x B x A C × / x B x (A C) \ B ¸ Ý Þ (A \ B) C × (A C \ B) ÐÑ ÞÓ / Ð Ñ ÞÓÒÓ× ¸ Þ ÖØ (A \ B) C = (A C) \ B º x A \ (B C) x A × x B C x A × (x B Ú Ý / / x C) (x A × x B) Ú Ý (x A × x C) x A \ B / / / Ú Ý x A \ C x (A \ B) (A \ C)¸ Ñ ÞÓÒÒ Ð ¸ Ó Ý A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)º

À

ÄÅ

ÇÃ

½½

x A \ (B C) x A × x B C x A × (x B × / / x C) (x A × x B) × (x A × x C) x A \ B × / / / x A\C x (A\B)(A\C) = A\(B C) = (A\B)(A\C)º À A B = B¸ ÓÖ x A¸ Ó Ý x B ´Ñ ÖØ / ÓÖ x A B × x B Ñ ØØ A B = B Ð ÒÒ µ = x A × Ø Ò x B ¸ Þ Þ A B º / ÓÖ x B = A B B ¸ Ñ ×Ö ×ÞØ x B À A B × x A B¸ ÒÝ ÐÚ Ò ¸ Ó Ý x A B = B A B ¸ Ñ ÐÝ ¸ Ó Ý A B = Bº
Þ ÙØÓÐ× Ø ÐÐ Ø × ÞÓÒÝ Ø × Ø ¸ Ó Ý Þ ÓÐÚ × Ö ÞÞÙ º ÓÖ

½º¿º Ð

غ

ÞÓÒÝ Ø×

A, B X ¸ = X,

A A = X,
Å ÓР׺

A B = A B,

A A = ,

A B = A B.

X = ,

A = A,

x X x A Ú Ý x A ´ × Ô Ö×Þ x X) x A Ú Ý / x A x A A¸ Þ ÖØ A A × X Ð Ñ ÞÓÒÓ× ¸ Ý A A = X º Ì Ý Ð¸ Ó Ý x X ¸ Ó Ý x A A = x A × x X \ A = / x A × x A¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ×¸ Ý Þ A A ÐÑ ÞÒ Ò Ò
× Ð Ñ ¸ Ý A A = º = X ¸ X = ¸ A = A ÐÐ Ø ×Ó ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º x A B x X × x A B x X × (x A / / x B) (x X × x A) × (x X × x B) x A / / / x B x A B ¸ × Þ ¸ Ó Ý A B = A Bº x A B x X × x A B x X × (x A Ú / / x B) (x X × x A) Ú Ý (x X × x B) x A Ú / / / x B x A B ¸ Ý A B = A B º
× ×

Ý Ý

½º º Ð
Þ Ð

غ

ÅÙØ ××

Ñ

¸

Ó Ý Ý Ø Ð

ÐÐ

ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö¸

× ÐÒ

{Ai | i I} CX
iI

Ý

X

ÐÑ Þ Ö ×Þ

ÐÑ ¹

CX
iI
ÅÓÖ Ò¹ Ð

Ai

=
iI

CX Ai ;
Ó º

Ai

=
iI

CX Ai

ÞÓÒÓ××

½¾

Áº À

ÄÅ

Çø Ê

Äý

Á

ø

Î

Æ

Ã

Å

ÓÐ

׺

x CX (

iI

Ai ) x X
× Ñ

×

x /

iI
Þ

Ai x X
Ð× ÐÑ Þ

×

(x Ai /
غ ×

Ö¹

Ñ ÐÝ i I) (x X CX Ai ¸ i I x

x Ai ) i I x CX Ai
Ý ÒÐ × ×

ÖÑ ÐÝ

iI

x CX (
ÅÓÖ

Ai )

iI


ÞÓÒÓ××

x X


x /

Ai
iI iI


Ñ

x X

i¸

x Ai i I ¸ x CX Ai x /
Ò¹ Ð

CX Ai ¸

Ñ ×Ó

ÊÐ
½º º Ð
µ µ
µ µ µ µ µ µ

´Ð
Ó Ý

Ô Þ× µ
A, B
×

غ

ÅÙØ ××

Ñ

¸

C

Ø Ø×Þ Ð

×

ÐÑ ÞÓ ¸

ÓÖ

A × B = A = Ú Ý B = , (A B) × C = (A × C) (B × C) , A × (B C) = (A × B) (A × C) , (A B) × C = (A × C) (B × C) , A × (B C) = (A × B) (A × C) , (A\B) × C = (A × C)\(B × C) , A × (B\C) = (A × B)\(A × C) , B C = A × B A × C .
׺

Å

ÓÐ

µ

µ

µ

µ

A×B = (x, y) A×B x A Ú Ý y B A = Ú Ý B = º (x, y) (AB)×C x AB × y C (x A Ú Ý x B) × y C (x A × y C) Ú Ý (x B × y C) (x, y) A×C Ú Ý (x, y) B ×C (x, y) (A×C)(B ×C)¸ Ñ Þ ÐÐ Ø ×غ (x, y) A×(B C) x A × y B C x A × (y B Ú Ý y C) (x A × y B) Ú Ý (x A × y C) (x, y) A×B Ú Ý (x, y) A × C (x, y) (A × B) (A × C)¸ × Þ Þ ÐÐ Ø ×غ (x, y) (A B) × C x A B × y C (x A × x B) × y C (x A × y C) × (x B × y C) (x, y) A × C × (x, y) B × C (x, y) (A × C) (B × C)¸ Þ Ô Þ
ÐÐ Ø ×غ ÞÓÒÝ Ø × Þ Ð Ú Ð Ò Ð º

µ

Ê

Äý

Á

à ´Ä

Ã

È

Ë

õ

½¿

µ

µ µ

(x, y) (A \ B) × C x A \ B × y C (x A × x B) × / y C (x A × y C) × (x B × y C) (x, y) A × C / × (x, y) B × C (x, y) (A × C) \ (B × C)¸ Ñ / Þ ÐÐ Ø ×غ
ÞÓÒÝ Ø × Þ Ð Ú Ð ÞÓÒÓ× º Ó Ý × ÐØ Ø Ð Ñ

xA

×

ÐÐ Ø ×غ

ØØ y B ¸ y B = x A ÞÓÒÝ Ø× ¸

y C º Å ×Ö ×ÞØ (x, y) A × B y C (x, y) A × C ¸ Ñ Þ F A×B (F
-1 -1
Ý Ö Ð
¸ ÓÖ

½º º Ð
Å ÓР׺

غ

Ó Ý

DF -1 = RF ,

RF -1 = DF ,

)

=F ,

F

-1

(B) = DF .

F ¸ F -1 ¸ DF -1 × RF Ò
Ñ ØØ y B ¹Ö y DF -1 x A¸ (y, x) F -1 x A¸ (x, y) F ¸ Ó Ý DF -1 × RF ÐÑ ÞÓ Ð Ñ ÞÓÒÓ× ¸ Ø Ø y RF ¸ Ñ DF -1 = RF º
Ñ ×Ó Ý ÒÐ × Ò
Ñ Ò
Ñ ÞÓÒÝ Ø × Ø Ð × Ò ×ÓÒÐ º

F -1 F -1

-1 )-1 × (F

×Þ Ö ÒØ

(x, y) F ¸ -1 (B)¸ F -1 × D F F F
Ñ Ø

ÖÑ ØØ

(x, y) (F -1 )-1
ÐÑ Þ

Ý ÒÐ ×

(y, x)
غ

-1

(B) = x A | y B, (y, x) F -1 =
ÐÐ Øغ

= {x A | y B, (x, y) F } = DF , A¸ B ¸ C ÓØØ ÐÑ ÞÓ ¸ F A × B -1 = F -1 G-1 º Ó Ý (G F )
×

ÞÓÒÝ Ø Ò

½º º Ð
Ö Ð
Å ÓÐ

غ
׺

Ä

Ý Ò ¸

º

ÞÓÒÝ Ø×

G B ×C

½º º Ð
Þ Ö Ò
Å ÓÐ

-1 GF × Þ ÒÚ ÖÞ Ö Ð
Ò
Ñ ØØ (z, x) (GF ) (x, z) F G y B ¸ (x, y) F ¸ (y, z) G y B ¸ (y, x) F -1 ¸ (z, y) G-1 (z, x) F -1 G-1 ¸ Ñ Þ ÐÐ Ø ×غ

غ

Ä

Ý Ò Øº

x¸ y ¸ z

Ð Ò

Þ

Ð Ñ

¸

××Þ × Ô Ö
Þ × Ö Ð
׺

Ð × Ö Ò

Þ ×Ø

Þ

A

ÐÑ ÞÓÒ¸ Ñ

A = {x, y, z}º
Ú Ð ××ÞÙ

Ù Þ

Ñ Þ Ð

Þ

R

Ö ×Þ

ÐÑ Þ

A Ô Ö
Ð × Ö º A × A¹Ø

Ò

Þ × ¸ ÐÐ ØÚ Ú Ø Þ Ø

Ö Ò

Þ × Ö Ð
Ð ÑÔ Ö

Ð Þ Ø

Ð ÓØ

A×A

ÞÓÒÝÓ×

x y z x (x, x) (x, y) (x, z) y (y, x) (y, y) (y, z) z (z, x) (z, y) (z, z)

½

Áº À

ÄÅ

Çø Ê

Äý

Á

ø

Î

Æ

Ã

Ô Ö ÓÞ Ý Þ

Ò
×Þ Ö ÒØ R A × A Ô Ö
Ð × Ö Ò Þ × ´ Ðк (x, x), (y, y), (z, z) R Ø Ð × Ð ´Ð º à РÙÐÙ× Áº Á»¾º Þ × A¹Òº À × R0 = {(x, x), (y, y), (z, z)} Ô Ö
Ð × Ö Ò Ø Ð Þ Ø ÒÒÑ Ö Ð ÑÔ Ö Þ Ð

Ö Ò Þ Ø Ø

Þ × µ Ö Ð
º Ò
ÓÞÞ Ú ××Þ ÖÓÑ Ö Ò

Ö µµ

Þ ØØ ¸

ÖÑ ÐÝ

R1 = {(x, x), (y, y), (z, z), (x, y)} , R3 = {(x, x), (y, y), (z, z), (x, z)} , R5 = {(x, x), (y, y), (z, z), (y, z)} ,
ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Þ Ð Ð × Ý ×ÓÖ Ò Ú Ò Ô Ö
Ö Ð
Ð Ð Ð × Ö Ò Ñ Ò Ò Ð Ú Ý Ù

R2 = {(x, x), (y, y), (z, z), (y, x)} , R6 = {(x, x), (y, y), (z, z), (z, y)}
Þ ×Ø Ý Ñ Þ Ø Ý ÒÐ Ò

R4 = {(x, x), (y, y), (z, z), (z, x)} ,

Ö Ð
À Ù

A¹Òº
×Þ Ø ÒÝÞ Ý Þ ÙØÓÐ× Ð ÑÔ ÖÖ Ð Ø¸ Ý Ø Þ Ð ÑÔ Ö¹ Ð Þ Ø¹

Ri (i = 1, . . . , 6)

Ý Ó×ÞÐÓÔ

ÔÓØØ ½¾ Ö Ð

R10 = R1 (z, y);
Ö Ð
Î ´ × Ð¸ Ð ÑÔ Ö × Ô Ö
Þ Ú Ð¸ Ð × Ö Ò Ó Ý

R7 = R1 (x, z);

R11 = R2 (z, x);
Þ ×Ø Ò ÖÖ ¸ Ð

R8 = R2 (y, z);

R12 = R3 (y, z)
×Þ Ø ÓÒ× Ý Ý ÒÐ Ø Øµ¸

R9 = R3 (y, z);

A¹Òº
Ø Ý Ù Ý Þ Ð Þ Ø Ø Ð × Ð Ý Þ Ý Ò Ó Ý ØÖ ÒÞ Ø Ú ØÙÐ

Rk (k = 7, . . . , 12)
Ý Ð Ò

Ö Ð

ÔÓØØ ½¾ Ö Ð

Ð ÑÓ×Ø ×

R16 = R9 (x, y);
Ö Ð
Þ ÙØÓÐ× × Ô Ö
Ð × Ö Ò Ö Ò Ø Ö Ð

R13 = R7 (y, z);

R14 = R8 (x, z);

R17 = R9 (y, x);
Ò

R18 = R14 (z, x)

R15 = R7 (z, y);

Þ ×Ø

Þ × ×

A¹Òº A¹Òº

Ú ÒÝ
½º º Ð
ÓÖ

غ

ÞÓÒÝ Ø× Ø ¸

ÒÚ ÖØ Ð

x, y A

× Ø Ò

Þ f: A B x, y A, x = y × f (x) = f (y) = x = y µº ¸ Ó Ý Ñ Ò Ò

Ú ÒÝ Ø Ò

ÓÖ

×
× ´Ú Ý

f (x) = f (y)

Î

Æ

Ã

½

Å

ÓÐ

׺

µ Ä

µ

f ÒÚ A, x = y ¸ (z, x) f -1
Ý Ò

½º½¼º Ð
×
Å

Ø º Þ ÐÐ Ø ×× Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò Ø Ý Ð¸ Ó Ý x, y . f (x) = f (y)¸ Ý z = f (x) = f (y) B × Ø Ò -1 ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ -1 × (z, y) f ÒÒ ¸ Ó Ý f Ú Òݺ -1 Ì Ý Ð¸ Ó Ý x, y A, x = y × Ø Ò f (x) = f (y)º À (z, x1 ) f -1 ¸ × (z, x2 ) f ÓÖ (x1 , z) f × (x2 , z) f ¸ Þ Þ f (x1 ) = f (x2 )¸ Ý -1 × ÐØ Ø Ð Ñ ØØ x1 = x2 ¸ Ø Ø f Ú Òݸ Ø Ø f ÒÚ ÖØ Ð Ø º ÖØ Ð Ó Ý

غ
×

Ú Òݸ

ÓÖ y1 , y2 B C ¸ Ó Ý ÓР׺ À (x, z1 ) g f × (x, z2 ) g f ¸ (x, y1 ) f, (y1 , z1 ) g × (x, y2 ) f, (y2 , z2 ) gº f Ú Òݸ Ý y1 = y2 ¸ g × Ú Òݸ Ý z1 = z2 Ú Ø Þ ¸ Ø Ø gf Ú Òݺ Ý (x, z) g f = y, (x, y) f × (y, z) g = À z = (g f )(x)¸ y, y = f (x), z = g(y) = z = g(f (x))¸ Ñ Ð Ø ÐÐ Ø × Ò Ñ ×Ó Ö ×Þ Øº

Ä Ý Ò f A×B × g B×C x Dgf ¹Ö (g f )(x) = g(f (x))º

Ú ÒÝ

º

ÓÖ

gf

½º½½º Ð
Ú ÒÝ

غ
×

Á

ÞÓÐ

¸

Ó Ý

f -1 g-1 º
Å ÓР׺

Rf = B, Rg = C ¸
ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ÓÖ ØØ Ú Ø ´Ð º ½º

f : A B, g : B C ÒÚ ÖØ Ð Ø -1 = ÓÖ g f ÒÚ ÖØ Ð Ø × (g f )
× Ð Ø

(g f )(x) = (g f )(y)¸ g ÒÚ ÖØ Ð Ø × Ñ ØØ f ÒÚ ÖØ Ð Ø × Ñ gf Ú ÒÝ Ñ ØØ
Ð Ø Ñ ×Ó Ö ×Þ

Þ ½º½¼º

Dgf = Df , Rgf = C º À x, y A Ð Ø Ñ ØØ g(f (x)) = g(f (y))¸ Ñ º Рص ¸ Ó Ý f (x) = f (y)¸ × Ú Ø Þ ¸ Ó Ý x = y¸ Ý Þ ½º º Ð
Ø º Þ Þ ½º º Ð Ø Ð¸ ×Þ Ò

ÒÚ ÖØ Ð

½º½¾º Ð
ÓÒ Ñ Ú Ð
Å

g B×C
ÞÓÒÝ Ø×

Ö Ð

º Ý Ò

f A × B,

غ
¸

Ä

Ó Ý

f :AB

Ú Òݸ

C, D Aº

f (C D) = f (C) f (D), f (C D) f (C) f (D).
ÓÐÝ Ò Ú ÒÝØ º × Ö ×Þ

Ò
Ð Ô Ò ÓР׺ Ô ÐÑ Þ Þ × y f (C D) x (C D), y = f (x) ( x C, y = f (x)) Ú Ý ( x D, y = f (x)) y f (C) Ú Ý y f (D) y f (C) f (D)¸ × Þ Þ Ð× ÐÑ Þ Ý ÒÐ × Øº y f (C D) = x (C D), y = f (x) = ( x C, y = f (x)) × ( x D, y = f (x)) = y f (C) × y f (D) = y f (C) f (D)¸ Ñ Ð Ú Ø Þ Ñ ×Ó Ý ÒÐ ØÐ Ò× º

f (C) f (D)¹Ò

C, D Df

ÐÑ ÞÓ

ظ

Ó Ý

f (C D)

½

Áº À

ÄÅ

Çø Ê

Äý

Á

ø

Î

Æ

Ã

Ä

Ý Ò C = {a1 , a2 } , D = {a2 , a3 } , B = {b1 , b2 } , f = {(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b1 )} (f : A = C D B)¸ ÓÖ f (C) = ÓÖ {b1 , b2 }¸ f (D) = {b1 , b2 } = f (C) f (D) = {b1 , b2 }¸ Ù Ý Ò C D = {a2 } Ñ ØØ f (C D) = {b2 }º ÓÖ f (C D) f (C) f (D)¸ f (C D) = f (C) f (D)º

½º½¿º Ð
ÞÓÒÝ Ø×

غ
¸

Ä

Ý Ò

Ó Ý

f :AB

Ú ÒÝ

×

C, D B º

f -1 (C D) = f -1 (C) f -1 (D) ; f -1 (C D) = f -1 (C) f -1 (D).
Å ÓР׺

x f -1 (C D) f (x) (C D) f (x) C Ú Ý f (x) D x f -1 (C) Ú Ý x f -1 (D) x f -1 (C) f -1 (D)¸ Ñ
Þ Ð× Ý ÒÐ × Øº

x D) f (x) (C D) f (x) C × f (x) D Ò
x f -1 (C) × x f -1 (D) x f -1 (C) f -1 (D)¸ Ñ
×Þ Ö ÒØ Ñ ×Ó Ý ÒÐ × Øº

f -1 (C

½º½ º Ð
ÓÖ

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

f :AB idB f = f.

Ý

Ú Òݸ

f idA = f ,
Å

ÓР׺ f, idA , idB , Ò
× Þ ½º½¼º Ð Ø Ñ ØØ RidA = A = Df ¸ Þ ÖØ Df idA = Df ¸ Ñ ×Ö ×ÞØ (f idA )(x) = f (idA (x)) = f (x)¸ Ú Ý × Þ f idA × f Ú ÒÝ Ø Ñ Ø ÖÓÞ Ö Ò Þ ØØ Ð ÑÔ ¹

ÖÓ

ÐÑ Þ

Ý ÒÐ ¸

Ý

Þ

Þ

Ð×

Ý ÒÐ ×

º

Ñ ×Ó

Ý ÒÐ ×

×ÓÒÐ

Ò

ÞÓÒÝ Ø

Ø º

½º½ º Ð
ÓÖ µ µ
µ

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

f : A B

ÒÚ ÖØ Ð

Ø

Ú Òݸ

f -1 f = idA ; (f f -1 )(y) = y f -1 ÒÚ ÖØ Ð Ø

y Rf
× ÒÚ ÖÞ

´ Þ Þ

Rf = B ¸

Ý

f

º

f f -1 = idB ) ;

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

½

Å

ÓÐ

׺

Þ ×Ñ ÖØ ØØ Ý

µ

Rf = Df -1 Ñ x = f -1 (y)¸
Þ Ý Ò

µ Ä

. y Rf × x = f -1 (y)º f ÒÚ (f f -1 )(y) = f (f -1 (y)) = f (x) = y ¸
ÐÐ Ø × Ñ × Þ ½º ÒÚ ÖÞ Ð Ö ×Þ ×º Ø ÖÑ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ý ÒÐ × ´Ñ ÖØ Ñ ÒÚ ÖÞ

Ý ÒÐ ×

. Df -1 f = A = DidA º Ä Ý Ò x A × y = f (x)¸ (f -1 f )(x) = f -1 (f (x)) = f -1 (y) = x = idA (x)º
غ ÖØ Ð Ñ Ø ¸ Ý

Ò

Ø

×

Þ ½º½¼º

Ð

ØÓØ

Ð

×ÞÒ ÐÚ

ÓÖ Þ

f (x) = y º
Ú Ø Þ

ÓÖ µ

Ð ÒÝ ÐÚ Ò

µ

ØØ

-1 ÝÖ ×ÞØ f

(f -1 )-1 = f ¸ Þ f Ú Òݵ¸

Ñ

¸

Ó Ý

Ñ ×Ö ×ÞØ

f -1

fº

Ý ÓÖÐ
½º Ä Ý Ò

Ð

ØÓ

¾º

¿º

º

º

º

X Ý ÓØØ ÐÑ Þ × A, B, C X º ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý ´ ÑÔÓØ Ò
µ µ AA = A , AA = A µ A (A B) = A , A (A B) = A
µ A = A × A = µ A = B CX A = CX B µ A AB × AB A µ A B CX B CX A µ A \ B = A CX B µ (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) µ (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) µ (A \ B) C = (A C) \ (B C) C = º A × B Ò Ñ Ö × ÐÑ ÞÓ º ÅÙØ ×× Ñ ¸ Ó Ý Ä Ý Ò A × B = B × A A = B º A, B, C, D ÓØØ ÐÑ ÞÓ ¸ F A × B, G B × C Ä Ý Ò H C × Dº ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý H (G F ) = (H G) F º Ä Ý Ò A Ý ÐÑ Þ¸ f A × A Ö Ð
º ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý f = f -1 f f -1 º Ä Ý Ò f A×B × g B×C Ú ÒÝ º ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý µ Dgf Df ¸ µ Dgf = Df Rf Dg ¸
µ g f = Rf Dg = º Ú ÒÝ × C, D Aº Á ÞÓÐ ¸ Ó Ý Ä Ý Ò f : A B f (C) \ f (D) f (C \ D)º

×

½

Áº À

ÄÅ

Çø Ê

Äý

Á

ø

Î

Æ

Ã

º Ä

º

Ý Ò f : A B Ú ÒÝ × C, D B º f -1 (C \ D) = f -1 (C) \ f -1 (D)º Ú Òݸ A, B X Ä Ý Ò f : X Y Ó Ý µ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

×

C, D Y º

ÞÓÒÝ Ø×

¸

º Ä

A B = f (A) f (B)¸ -1 (C) f -1 (D)º µ C D = f Ý Ò f : X Y Ú Òݸ A X -1 (f (A))¸ µ A f -1 (B)) B º µ f (f
ÙÒ Ò ×Þ × × × Ð Ò × Ð Ý Ò µ µ

×

B Yº
ÖÖ ¸

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

ÐØ Ø ÐØ

Ó Ý

Ý ÒÐ ×

Ø Ð

¹

½¼º Ä

×Þ Öº Á

ÞÓÐ

A X¸ f : X Y
¸ Ó Ý

ÐÐ ØÚ Ú

BY ÐÑ ÞÖ º Òݸ {A X| }

Ò Ñ Ö ×

ÐÑ ÞÖ Ò ¹

f(


A ) =


f (A )¸ f (A )º

Ú Òݸ Ó Ý ¸

f(

Ý Ò

A )
Ñ

½½º Ä µ µ

×Þ Öº ÅÙØ ××

f :X Y A ) =


{A Y | }

Ò Ñ Ö ×

ÐÑ ÞÖ Ò ¹

f -1 ( f -1 (


f -1 (A )¸


A ) =


f -1 (A )º

ÁÁº

ËÞ ÑÓ
¾º½º Ð
Å ÓР׺

Þ Ø

Ú Ð × ×Þ ÑØ ×Ø
غ
Ä Ý Ò

xy = 0
µ À

x, y Rº

ÅÙØ ××

Ñ Ú

¸

Ó Ý Ý


Ñ

x=0
Ø × Þ

y = 0.
×Þ ÐÝØ Ð ×Þ¹

x = 0¸

ÓÖ

Ø ×Ø Ü

Ý×Þ Öò× Ø ×

Ò ÐÚ

y = 0¹Ö ×ÓÒÐ Ì Ø xy = 0¸
µ Ì Ý Ð¸ ØÓØØ ×Þ Ö ÒØ

0 · y + 0 = 0 · y = (0 + 0)y = 0 · y + 0 · y = 0 · y = 0 .
Ô Ù ¸ Ó Ý x · 0 = 0º x = 0 Ú Ý y = 0º x = 0¸ xy = 0¸ ÓÖ Ø ×Ø Ò

Ó Ý

Ü

Ñ

×

ÑÓ×Ø

ÞÓÒÝ ¹

À ×ÓÒÐ Ý

Ò y = 0, xy = 0 = x = 0º xy = 0 = x = 0 Ú Ý y = 0 º

0 = x-1 0 = x-1 (xy) = (x-1 x)y = 1 · y = y

¾º¾º Ð
Å ÓР׺

غ

ÞÓÒÝ Ø× Ñ

¸ ×

Ó Ý ¾º½º

xR
Ð Ø Ñ

× Ø Ò ØØ

-x = (-1)xº

Ø ×Ø Ü ×

x + (-x) = 0
Ñ ¸ Ó Ý

x + (-1)x = 1x + (-1)x = (1 + (-1))x = 0 · x = 0 , x + (-x) = x + (-1)x ,

×

Ð

Þ

Ý×Þ Öò× Ø × ×Þ

ÐÝ Ñ

ØØ

Ú Ø ¸

Þ Ó Ý

Ð

Ø

ÐÐ Ø × º

¾º¿º Ð

غ

Ä

Ý Ò

-(x + y) = (-x) + (-y) = -x - y, (-x)(-y) = xy -(xy) = (-x)y = x(-y),
½

x, y Rº

ÞÓÒÝ Ø×

¾¼

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

´×Ô
Å ÓÐ

Ð × Ò
׺

(-1)(-1) = 1µº
Ø ×Ø Ü Ñ Ø¸ ÚÓÒ × Ò
Ø × Þ Ð Þ Ø Ð ØÓØ

Ð

×ÞÒ ÐÚ

-(x + y) = (-1)(x + y) = (-1)x + (-1)y = (-x) + (-y) = -x - y ¸
Ñ Þ Ð× Ý ÒÐ × Øº

(-x)y + xy = (-x + x)y = 0 · y = 0
Ý ÖØ ÐÑò× Ø ×µ¸ Ó Ý

ÑÙØ Ø

´

Ð

×ÞÒ ÐÚ

Þ

ÒÚ ÖÞ

xy

Ø Ú ÒÚ ÖÞ Ö -(xy) = (-x)y Ú Ø Þ º -(xy) = x(-y) Ý ÒÐ × Ù Ý Ò Ý ÞÓÒÝ Ø Þ Ð × -(-x) = x Ý ÒÐ × Ñ ØØ

Ø º

(-x)(-y) = -(x(-y)) = -(-(xy)) = xy ,
Ñ Ô Ù ¸ Ó Ý ÖÑ Ý ÒÐ × Ø¸ Ñ ÐÝ Ð

(-1)(-1) = 1º
Ý Ò

x = -1, y = -1
¸ Ó Ý

× Ø Ò

¾º º Ð
Å ÓР׺

غ

Ä

x, y, u, v Rº
××ÞÓ

ÞÓÒÝ Ø×

(x + y) + (u + v) = (x + u) + (y + v) = (x + v) + (y + u) . +
ÑòÚ Ð Ø Ø Ú Ø × Ø × ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø × Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ

(x + y) + (u + v) = ((x + y) + u) + v = (x + (y + u)) + v = = (x + (u + y)) + v = ((x + u) + y) + v = (x + u) + (y + v) = = (x + u) + (v + y) = ((x + u) + v) + y = (x + (u + v)) + y = = (x + (v + u)) + y = ((x + v) + u) + y = (x + v) + (u + y) = = (x + v) + (y + u) ,
Ñ Þ ÐÐ Ø ×غ

¾º º Ð
Å ÓР׺

غ

Ä

Ý Ò

x, y, u, v Rº
××ÞÓ
Ø Ú Ø × Ø

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

(xy)(uv) = (xu)(yv) = (xv)(yu) .
×ÞÓÖÞ × × ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø × Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ

(xy)(uv) = ((xy)u)v = (x(yu))v = (x(uy))v = = ((xu)y)v = (xu)(yv) , (xy)(uv) = (xy)(vu) = ((xy)v)u = (x(yv))u = (x(vy))u = = ((xv)y)u = (xv)(yu) ,
× Þ Þ ÐÐ Ø ×غ

Î

Ä

Ë Ë

ýÅÌ

ËÌ

¾½

¾º º Ð
Å ÓÐ

غ
׺ 
ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

(x - y) + (u - v) = (x + u) - (y + v) = (x - v) + (u - y) .
¾º º Ð Ø Ò ÐÚ ÞÞ Þ ×ÞÒ Ð Ù ÚÓÒ × ØÙÐ ÓÒ× Ø¸ Ú Ð Ñ ÒØ

x, y, u, v R¸

ÓÖ

× Ô Ð

ظ × ÙÐ

y -y, v -v
¾º¿º Ð

ÐÝ ØØ × Ø ¹ ÓÖ

ØÓظ

(x - y) + (u - v) = (x + (-y)) + (u + (-v)) = (x + u) + ((-y) + (-v)) = = (x + u) + (-(y + v)) = (x + u) - (y + v)
Ý ÒÐ × ×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Þ Þ Ø ×Ø Ü Ø º ¸ Ó Ý ÞÓÒÝ Ø× Ú Ø Þ º Ñ ×

¾º º Ð
Å ÓР׺

غ

À

x, y R, x = 0, y = 0¸ (xy)-1 º

(xy)-1 = (x-1 )(y -1 ) ,
ÐØ Ø Ð Ô Ù ¸ Ñ Ó Ý ØØ Ð ×ÞÒ ÐÚ

1 1 1 · = . x y xy
Ñ Ø × ¾º º Ð ØÓØ

(xy)(xy)
Ñ Þ Þ ÒÚ ÖÞ ×

-1

= 1 = 1 · 1 = (x · x-1 )(y · y -1 ) = (xy)(x-1 y -1 ) ,
ÐÝ Ñ Ý ÒÐ × ØØ Ð Òº Ý Ð ×× Ø ÖØ Ø Ø ÖØØ Ð Þ ÐÐ Ø ×غ Ñ ×Ó Ý ÒÐ ×

Ý×Þ Öò× Ø × ×Þ Ö
ÔÖÓ

¾º º Ð
×ÞÓÖÞ × ×Þ
Å ÓР׺

غ

À

ÐÝ

x, y, u, v R × u = 0, v = 0¸ x y xy ظ Ó Ý º · = u v uv
Ó× ØÙÐ ÓÒ× Ø¸ ¾º º

ÒÝ

× ¾º º

Ð

ØÓ

Ø

Ð

×ÞÒ ÐÚ

xy x y · = (xu-1 )(yv -1 ) = (xy)(u-1 v -1 ) = (xy)(uv)-1 = , u v uv
Ñ Þ ÐÐ Ø ×غ

¾º º Ð
××Þ

غ
× Ò

Ä ×Þ

Ý Ò

ÐÝ Ø¸

x, y, u, v R, y = 0, v = 0º
Ó Ý

ÞÓÒÝ Ø×

Ø ÖØ

xv + yu x u + = . y v yv
Å ÓР׺

Þ

Ü

Ñ

ظ

¾º º

× ¾º º

Ð

ØÓ

Ø

×

ÒÝ

Ó×

Ò

Ø

×ÞÒ ÐÚ

xv + yu = (xv + yu)(yv)-1 = (xv + yu)(y -1 v -1 ) = yv = (xv)(y -1 v -1 ) + (yu)(y -1 v -1 ) = = (xy -1 )(vv -1 ) + (yy -1 )(uv -1 ) = x u x u = ·1+1· = + , y v y v

¾¾

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

Ñ

Þ

ÐÐ Ø ×غ

¾º½¼º Ð
Å ÓР׺

غ
m¹Ö

ÞÓÒÝ Ø× ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò¸ ÓÖ

¸ Ø Ð Ø

Ó Ý ×

n, m N
¸

× Ø Ò

n+m N
Ñ ×

×

nm Nº
Ò
× Ø Ò Ù

Ò Ù

Ø ×Ø Ü

N

×

Ø×

Ú Ð

ÞÓÒÝ Ø Ù

ÐÐ Ø ×غ

nN × Ø n + m N¸
ÐÚ Ð Ô Ò ÑÓ×Ø

ÞÓÒÝ ØÓØØ ¸ ÓÖ



Ö

m = 1¸ Ý n + 1 Nº Ì Ý Ð¸ Ó Ý n N n + (m + 1) = (n + m) + 1 Nº Ý Ø Ð × Ò Þ Ø ØØ n N × Ø Ò m N¹Ö n + m Nº
ÐÐ Ø ×Ø × Ð ×ÞÒ ÐÚ ¸ ×ÓÒÐ Ò Ñ ÒØ Ð¸ Ð Ý Ñ Ó Ý Ð

n N¹Ö nm N¸
ÐÐ Ø × Øº

m = 1¸ ÓÖ n · 1 = n Nº Ì n(m + 1) = nm + n N Ø Ð × Ð¸
Ñ Ø¸ ¸ Ó Ý

m N¹Ö
Ø Ñ ×

¾º½½º Ð
Å ÓР׺

غ
Z

ÅÙØ ×× Ò

x, y Z
Ð ÓÖ

× Ø Ò Ø

x + y, x - y, xy Zº
Ø × × Ø ×Ø Ü Ñ ¹

¾º¿º¸ ¾º º¸ ¾º½¼º

ÐÐ Ø ×

Ø Ó Ý

Ð

×ÞÒ ÐÚ

ÞÓÒÝ ØÙÒ º À

x = m1 - n 1 , y = m2 - n 2 ¸ ÓÖ x + y = (m1 - n1 ) + (m2 - n2 ) = (m1 + m2 ) - (n1 + n2 ) Z x - y = (m1 - n1 ) - (m2 - n2 ) = (m1 + n2 ) - (m2 + n1 ) Z xy = (m1 - n1 )(m2 - n2 ) = [m1 + (-n1 )] · [m2 + (-n2 )] = = [m1 (m2 + (-n2 ))] + [(-n1 )(m2 + (-n2 ))] = = [m1 m2 + m1 (-n2 )] + [(-n1 )m2 + (-n1 )(-n2 )] = = [m1 m2 + n1 n2 ] + [-(m1 n2 + n1 m2 )] = Ð Ø = (m1 m2 + n1 n2 )- (m1 n2 + n1 m2 ) Z¸ Ñ ÐÝ

x, y Z¸

m1 , n 1 N

m2 , n 2 N ¸

ÐÐ Ø ×

غ

¾º½¾º Ð
×

غ
Q

Ä ÓÖ

y = 0¸
ÓР׺

Ý Ò x, y Qº x Q Ø Ð × Ðº y ظ ÓÖ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

x + y, x - y, xy Q
Ñ Ø ×ÞÒ Ð Ù

Å

Ò
Òº

Ð

ØÓ

Ø

×

Ø ×Ø Ü

ÞÓÒÝ Ø × À Ó

x, y Q¸ ÓÖ ´ Ò
×Þ Ö Òص p1 , p2 , q1 , q2 Z, q1 = 0, q2 = 0¸ p2 p1 , y= ¸ Ý Ý x = q1 q2 p1 p2 p1 q 2 + p2 q 1 x+y = + = Q ´ ×Þ Ò p1 q2 + p2 q1 Z, q1 q2 q1 q2 q1 q2 Z, q1 q2 = 0µ
ØÓÚ ÐÐ Ø ×Ó ×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º

Î

Ä

Ë Ë

ýÅÌ

ËÌ

¾¿

¾º½¿º Ð

غ

Ä

Ý Ò

x, y R ; n, m Nº (xy) = x y , x y
n n n n

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

=

xn yn

(

y = 0),

xn xm = xn+m , (xn )m = xnm .
Å ÓР׺

Ì Ð

× Ò Ù

Ú Ð

ÞÓÒÝ ØÙÒ ¸

xn

Ò

Ø

×

¾º º

Ð

ØÓØ Ð¸

×

. . n = 1¹Ö (xy)1 = xy = x1 y 1 Ñ ØØ Þ Þ Ð× Ý ÒÐ × º Ì Ý n n n Ó Ý (xy) = x y ¸ ÓÖ . (xy)n+1 = (xy)n (xy) = (xn y n )(xy) = (xn x)(y n y) = xn+1 y n+1 ,
× Þ × Ø Òº Ñ ×Ó ÖÑ Þ Ø Øغ ÓÖ ÞÓÒÓ×× ÞÓÒÓ×× ×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º Ø Ð × Ò Ù
ÐÚ Ð Ô Ò Þ Ð× ÞÓÒÓ×× ÓØ

Ð

×ÞÒ ÐÚ

nN

m = 1

× Ø Ò Þ

xn xm = xn+m ¸ ÓÖ x(n+m)+1 = xn+(m+1) º
ÖÑ Ò Ý ÞÓÒÓ×× ÞÓÒÓ×× ÓØ

ÓÞ Ð Ý Ò n N Ø Ø×Þ Ð × Ò Ö ¹ xn x1 = xn x = xn+1 Þ ÐÐ Ø ×غ À xn xm+1 = xn (xm x) = (xn xm )x = xn+m x = ÞÓÒÝ Ø × Ô ¸ Ø Ð × Ø Òº Þ Ð Þ ÞÓÒÝ Ø× ×ÓÒÐ º ¸ Ó Ý × Ò Ù
ÐÚ ×Þ Ö ÒØ

n, m N
ÞÓÒÝ Ø ×

¾º½ º Ð
n 0
Å ÓÐ

غ
n n

Ä

Ý Ò

=
׺

= 1,

k, n N, k nº n n = , k n-k
×ÞÒ ÐÚ Þ Ð×

n n + k-1 k
Ø

=

n+1 . k

n k
Þ

Ò

Ø

Ð

ÐÐ Ø × ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º

n n + k-1 k

=

Ý ÒÐ ×

×ÓÖ

n! n! + = (k - 1)!(n - (k - 1))! k!(n - k)! n!(n + 1) n!k + n!(n - k + 1) = = = k!(n - (k - 1))! k!((n + 1) - k)! (n + 1)! n+1 = = k k!((n + 1) - k)!
ÖÑ ÞÓÒÓ×× Óغ

¾

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

¾º½ º Ð

غ

Ä

Ý Ò

x, y R, n Nº
n i=0

ÞÓÒÝ Ø× ´ ÒÓÑ

¸

Ó Ý

(x + y)n =
Å ÓР׺ Ì Ð

n i n-i xy i
Ø Þ ×

Ð × Ø Ø Ðµº

× Ò Ù
×

Ú Ð

ÞÓÒÝ ØÙÒ ¸ ¾º½ º

Ø ×Ø Ü Ð

Ñ Ð

ظ

Þ

ÞÓ

Ð ×Þ Ö¹

Ñ ÞØ ØÓØØ ×Þ ÑÓÐ × ×Þ Þ

(x + y)1 = x + y
×ÓÒÐ Ø × Þ

1 1 i=0 i

ÐÝÓ

ØÓØ

×ÞÒ ÐÚ º Ý ÒÐ ×

n = 1¹Ö
××Þ ¹ ¸ Ý

xi y n-i = x1 + y 1 = x + y
ÐÐ Ø × Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò

ÐÐ Ø ×غ À

n

n N¹Ö

(x + y) =

n+1

= (x + y) (x + y) =
i=0 n i=0

n

n i n-i (x + y) = xy i

n i=0

n i+1 n-i x y + i
n-1 i=0

n i n+1-i xy = i
n i=1

= =

n n+1 x + n

n i+1 n-i x y + i
n k=1

n i (n+1)-i n n+1 xy + y = i 0

n + 1 n+1 x + n+1
n

n xk y (n+1)-k + k-1

+
k=1

n k (n+1)-k n + 1 n+1 x y + y = k 0

= =

n + 1 n+1 x + n+1 n + 1 n+1 y + 0
n+1

n k=1 n k=1

n n + k-1 k

xk y (n+1)-k +

n + 1 n+1 y = 0

n + 1 k (n+1)-k n + 1 n+1 x y + x = k 0

=
i=0
Þ

n + 1 i (n+1)-i xy , i
Ø

ÐÐ Ø × Ø

n + 1¹Ö

×

Þ¸ ×

ÓÖ Ñ Ò

Ò

nN

× Ø Ò ×

Þº

Ê

Æ

Ë ´

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

õ

R¹

Æ

¾

Ê Ò Þ × ´ Ý ÒÐ ØÐ Ò×
¾º½ º Ð
µ µ
µ µ µ µ µ

µ R¹ Ò
ÓÖ

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

x, y, z, u, v R¸

µ µ µ µ е ѵ

x < y = x + z < y + z ; 0 < x = -x < 0 ; x < 0 = 0 < -x ; 0 < x 0 < y = 0 < xy ; 0 < x2 x2 = 0 ; 0 < 1 ; 0 < x y < 0 = xy < 0 ; x < 0 y < 0 = 0 < xy ; 1 0 < xy 0 < x = 0 < y ; 0 < ; x x y z u = x + z y + u ; x < y z u = x + z < y + u ; (0 x 0 y = 0 x + y; 0 < x 0 y = 0 < x + y); x < y 0 < z = xz < yz; x < y z < 0 = yz < xz; 0 < y < x 0 < z < v = yz < xv ; 0 < x < y n N = 0 < xn < y n ; 1 1 0 < x < y = 0 < < ; y x n N = n 1 ; k Z × Ø Ò l Z , Ó Ý k < l < k+1 .
׺

Å

ÓÐ

µ

µ
µ

µ

µ

x < y = x y = x + z y + z º À x + z = y + z ÚÓÐÒ ¸ Ý x=y Ò ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ×¸ Ý x + z < y + zº µ¹Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ Ôк 0 < x = 0 + (-x) < x + (-x) = -x < 0º 0 < x 0 < y = 0 x 0 y = 0 xy º À 0 = xy ¸ ÓÖ 0 = x 0 = y ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ×¸ Ý 0 < xy º 2 2 À x = 0 = x = 0; 0 < x¸ ÓÖ 0 · 0 < x · x¸ Þ Þ 0 < x ; 2 ¸ Þ Þ 0 < x2 º À x < 0 = 0 < -x = 0 · 0 < (-x) · (-x) = x x = 1 = 0 < 12 = 1º 0 < x y < 0 = 0 < x 0 < -y = 0 < -(xy) = xy < 0;
Ñ × ÐÐ Ø × ×ÓÒÐ Ò ÞÓÐ Ø º

µ À

µ

y 0 Ð ÒÒ ¸ Ý xy = 0 xy < 0 ÒÒ ¸ Ñ ÐÐ 1 1 1 0 ´ ×Ô
Ð × × Ø Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ºµ

ÒØÑÓÒ

׺

À

ÞÓÒÝ Ø Ò Þ ÐÐ Ø ×غ

¾

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

µ À

µ

µ

x < y¸ ÓÖ 0 = -x + x < -x + y ¸ Ý 0 < z Ñ ØØ 0 < (-x + y)z = -xz + yz = xz < (xz + (-xz)) + yz = xz < yz º Þ ÐÐ Ø × Ñ × Ö ×Þ × ×ÓÒÐ ¸ ×Þ Ò z < 0 0 < -z º y < x 0 < z = yz < xz × z < v 0 < x = xz < xv º Ð Ô Ú Ø Þ ¸ Ó Ý yz < xv º n = 2¹Ö ´ Þ Ð Þ ÐÐ Ø × Ñ Øص x2 = x · x < y · y = y 2 ¸ n N¹Ö n < yn¸ n+1 = x · xn < y · y n = y n+1 ¸ Ñ x Ý x < y Ñ ØØ Ô x
Þ ÐÐ Ø ×غ

µ

1 1 0 < x < y = 0 < x , 0 < y º Ì Ý 1 1 ´0 < x < y Ñ Øص 1 = x · x < y · y = 1¸ Ñ
Þº

и

Ó Ý

0 <
׸

1 x

ÐÐ ÒØÑÓÒ

1 y¸ Ý 0 <

ÓÖ

1 y

<

1 x
ÓÖ Þ

е 
n = 1¸ ÓÖ 1 1 1 > 0 Ñ ØØ k + 1 1
ÐÐ Ø ×غ

Þº ×

Ì Þ¸

Ý Ñ Þ

и

Ó Ý

Ò Ù

×

n = k¹Ö k 1¸
Ü Ñ Ñ ØØ

ѵ 
¾º½ º Ð
µ µ
Å ÓÐ

Ð Ø ÞÒ k, l Z , k < l < k + 1¸ l - k N = l - k 1 = l 1 + k¸

ÓÖ

Ñ ¸

l - k Z 0 < l - k =
ÐÐ ÒØÑÓÒ ×º Ó Ý

غ Ä Ý Ò x, y Rº |x| y -y x y , |x| < y -y < x < y º
׺

ÞÓÒÝ Ø×

Þ ÓÒ×

×ÞÓÐ Ø ÖØ Ø Ð

Ò
×ÞÒ ÐÚ

Ø

×

Þ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ñ

¹

×Ñ ÖØ ØÙÐ µ À

|x| y ¸ ÓÖ x |x| × -x |x| ¸ Ó Ý x y × -x y ¸ Þ Þ -y x¸ Þ Ð -y x y Ú Ø Þ º À -y x y ¸ ÓÖ 0 x¹Ö x y × |x| = x = |x| y , -y x¹ Ð ÔÓØØ -x y Ý ÒÐ ØÐ Ò× × Þ |x| = -x x < 0¹Ö ¸ Ó Ý |x| y ¸ Ý x R × Ø Ò |x| y º µ À ×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø ´ ÐÝ ØØ <¹ Ø ÖÙÒ µº . ¾º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý Þ R¹ Ð d(x, y) = |x - y| (x, y R) Ø ÚÓÐ× Ö d(x, y) 0 , d(x, y) = d(y, x) , d(x, y) d(x, z) + d(y, z) Ø Ð × Ðº
Å ÓР׺

Þ Ø Ð

×ÞÓÐ Ø ÖØ ×ÞÒ ÐÚ

ØÙÐ

ÓÒ×

Ø

×

Ø ×Ø Ü

Ñ

Ð

Ô
×ÓÐ ØÓ×

Ð

ØÓ

d(x, y) = |x - y| 0¸ d(x, y) = |x - y| = | - (y - x)| = |y - x| = d(y, x)¸ d(x, y) = |x- y| = |(x- z)+ (z - y)| |x- z|+ |z - y| = |x- z|+ |y - z| = d(x, z) + d(y, z)
ÐÐ Ø × Ò Øº

Ê

Æ

Ë ´

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

õ

R¹

Æ

¾

¾º½ º Ð
Ò µ µ
µ µ
Å ÓÐ

غ
Þ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

Þ

R¹

Ð

K(x0 , r)

ÖÒÝ Þ ØÖ

Ø Ð

× Ð¹

Ú Ø

x0 R × r > 0¸ ÓÖ x0 K(x0 , r)¸ x0 R , r > 0 × x K(x0 , r)¸ ÓÖ > 0¸ Ó Ý K(x, ) K(x0 , r)¸ x, y R , x = y ¸ ÓÖ r > 0¸ Ó Ý K(x, r) K(y, r) = ¸ x0 R , r > 0¸ ÓÖ K(x0 , r) =]x0 - r, x0 + r[º
׺

µ µ

d(x0 , x0 ) = |x0 - x0 | = |0| = 0 < r Þ ÐÐ Ø ×غ Ä Ý Ò = r - d(x, x0 )º À y K(x, )¸ Þ Þ d(y, x) < ¸
¾º½ º Ð Ø ÖÑ ÐÐ Ø × Ñ ØØ ´ ÖÓÑ×Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò×

ÓÖ µ

µ

µ

¾º¾¼º Ð

d(y, x0 ) d(y, x) + d(x, x0 ) < + d(x, x0 ) = r ¸ Ý K(x, ) K(x0 , r)º Ø Ø y K(x0 , r)¸ 1 d(x, y)º À Ð Ø ÞÒ y K(x, r)K(y, r)¸ Ý ´ Ä Ý Òr = ÖÓÑ×Þ ¹ 2 Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ µ d(x, y) d(x, z) + d(z, y) < r = d(x, y) Ú Ø ÞÒ ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ×¸ Þ ÖØ K(x, r) K(y, r) = º ÖÒÝ Þ Ø Ò
¸ ¾º½ º × ¾º½ º Ð ØÓ Ð Ô Ò x K(x0 , r) |x - x0 | < r -r < x - x0 < r x0 - r < x < x0 + r x ]x0 - r, x0 + r[ Þ ÐÐ Ø ×غ

nN, xR
Ý ÒÐ ×
Å ÓÐ

Ø ´ ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× µº
×

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

x -1¸
× Ð¸

ÓÖ

(1 + x)n 1 + nx . n=1
Ú Ý


Þ

Ø Ð

x = 0º
Þ¸ ÓÖ

׺ Ì Ð

× Ò Ù

Ú Ðº Þº À

n = 1¹Ö

ÐÐ Ø × ÒÝ ÐÚ Ò

n¹Ö

(1+x)n+1 = (1+x)n (1+x) (1+nx)(1+x) = 1+nx+x+nx2 1+(n+1)x ,
Ý Þ Þ ÐÐ Ø × Ñ Ò Ö Ò Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÖ ÐÐ Ø × Ý×Þ Öòº ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý Þº Ý ÒÐ × ÚÓÒ Ø ÓÞ

1+x0

Ñ

ØØ

¾º¾½º Ð
×

a1 , . . . , an R+ ¸

Ø´

Ù
ݹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× µº
ÓÖ

nN

Ý ÒÐ ×

a1 + . . . + an . . = An , Gn = n a1 · . . . · an n Ø Ð × Ð¸ a1 = a2 = · · · = an º

¾

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

Å

ÓÐ

׺ Ì Ð

× Ò Ù
Þ

Ú Ðº Þº ×

n=1
Ì Ý

× Ø Ò Ð¸

ÐÐ Ø × ÒÝ ÐÚ Ò

Ó Ý

Gn-1 An-1

= ¸

a1 = a2 = · · · = an-1 º

Å Ú Ð

An =

1 an n-1 [(n - 1)An-1 + an ] = An-1 + = n n n · An-1 1 an - = An-1 1 + n · An-1 n
Ý ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ð ×ÞÒ Ð × Ú Ð

×

an 1 - > -1 n · An-1 n

(An )n = (An-1 )n 1 + (An-1 )n

an 1 n - n · An-1 n an - 1 = (An-1 )n-1 · an 1+ An-1 an - 1 = 0º An-1 an = a1 (= a2 = · · · =

(Gn-1 )n-1 · an = a1 · . . . · an-1 · an = (Gn )n ,
Ñ ¸ Ó Ý

Gn An
Ð × Ü

×

Ý ÒÐ × Þ Ñ ÞØ ØØ


Þ

Ú Ò¸ Ó Ý

a1 = · · · = an-1 ¹ Ø = an-1 )º Þ Ò Ù

×ÞÒ ÐÚ Ñ

Ð ÒØ ¸ ÐÐ Ø ×

Þº

¾º¾¾º Ð
Ä Ý Ò

x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn R¸
n 2

Ø´

Ù
ݹ ÙÒÝ ÓÚ×Þ ¹Ë
Û ÖÞ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× µº
ÓÖ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý

n

n

xi y i
i=1
Å ÓР׺ Ä



x2 i
i=1 n i=1

2 yi .

Ý Ò

f : R R, f (t) =
n

(xi t+yi )2 ¸
2 yi . À n n i=1

ÓÖ

n

f (t) =
i=1
ÓÖ Ä Ý Ò Þ

x2 t2 +2 i > 0º

i=1 n i=1

f (t) 0 t R
Þ Þ

×

xi yi t+
i=1 n
Þº À

x2 = 0 ´ i
n
×

xi = 0µ¸
ÓÖ

n

ÐÐ Ø × ÒÝ ÐÚ Ò

i=1

x2 i

i=1

x2 = a, 2 i
2

xi yi = b
i=1

i=1

2 yi = c¸
× Ø Ò Þ

f (t) = at2 + bt + c = a t + b2 - 4ac 0¸
Ñ Þ Ð

b 2a

-

b2 - 4ac º f (t) 0 t R 4a
Ð ×ÞÒ Ð × Ú Ð



Ð Ð ×

ÐÐ Ø ×غ

R

Ì

ÄÂ

ËË

¾

R

Ø Ð ××
Ó Ý

¾º¾¿º Ð
Ñ ÞÖ
Å ÓÐ

sup A
׺ 
غ

ÞÓÒÝ Ø× Ý ÖØ ÐÑòº

¸

AR

Ò Ñ Ö ×¸

Ð ÐÖ Ð

ÓÖÐ ØÓ×

й

Ñ Ôк

< ×
ØØ ÓÖ

, R¸ Ó Ý = supA, = supA¸ × × Ø Ð × Ð¸ Ñ
× = × Ø Ø Ò < Ú Ø ÞÒ µº

ÓÖ

supA
× Ð

Ò
Ø ´ ×Þ Ò

Ò Ø Ð

¾º¾ º Ð
Ò x A¸
ÓРŠ׺

غ
×
× Ó Ý

ÞÓÒÝ Ø×

¸ ´ Þ Þ

Ó Ý

ÓÖ ÔÓÒØÓ×

Ð×

A(= ) R
ÓÖÐ Ø ¸ Ò Ñ

Ð ÐÖ Ð Ð× Ð×

ÓÖÐ ØÓ× × ÓÖРصº

ÐÑ Þ¹

ÓÖÐ Ø

x>-
Ð×

> 0¹Ö -
Ò
Ð× ÓÖÐ Ø Ø Ð

> 0¹Ö

ÔÓÒØÓ×

ÓÖÐ Ø ÓÖ

×ÞÒ ÐÚ º

A¹Ò × > 0¹Ö - (< ) Ò Ñ Ð× ÓÖРظ Ñ ¸ Ó Ý x A¸ Ó Ý x > - º Ð× ÓÖÐ Ø A¹Ò × > 0 × Ø Ò x A, x > - ¸ ÓÖ À Ø Ý Ð¸ Ó Ý R¸ Ó Ý Ð× ÓÖÐ Ø A¹Ò × < º . Ý ÐØ Ø Ð Ñ ØØ x A¸ Ó Ý x > - = À = - > 0¸ Ý A ÖÑ ÐÝ Ð× ¸ ÐÐ ÒØÑÓÒ × Ò ÞÞ Ð¸ Ó Ý Ð× ÓÖРغ ÓÖÐ Ø Ö Ðи Ó Ý Ø Ð × Ð Òº Ì Ø ÔÓÒØÓ× Ð× ÓÖÐ Ø A¹Ò º
Ä Ý Ò

= supA¸



¾º¾ º Ð
Å ÓÐ

sup A
׺ 
غ
×

Ä

Ý Ò

sup B ¸

A, B R ÓÐÝ Ò¸ Ó Ý A B º ÓÖ sup A sup B º
×× Ð Ð Þ ÓÖ Ý

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

= sup A, = sup B × Þ ÐÐ Ø . Ó Ý < ¸ ÓÖ = - > 0 Ñ ÐÐ ØØ Þ sup A) x A¸ Ó Ý x > - = º Í Ý Ò Ø Ð × Ð¸ Þ ÖØ x > ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÒÒ ¸ Ó
Ðи Ó Ý Ø Ð × Ð Ò¸ Þ Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÑ ÞÖ ÓÖÐ Ø ÐÐ Øغ

ÐÐ ÒØ Ø

Ò

ÐØ ××Þ

¸

Ð Ø Ñ ØØ ( = A B Ñ ØØ x B × = sup B º Ì Ø

¾º¾ º Ð
ÐÑ ÞÒ
Å

غ Ð Ø Þ

ÔÓÒØÓ×

AR

Ð×

. sup A¸ ÓÖ -A = {x | - x A} × inf(-A) = - sup Aº

ÓР׺ À = sup A¸ ÓÖ x A¹Ö x º À x -A¸ ÓÖ -x A¸ Ý -x ¸ Þ Þ - x Ø Ð × Ð¸ Ø Ø - Ð× ÓÖÐ Ø -A¹Ò º × Ð× ÓÖÐ Ø -A¹Ò ¸ ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò - Ð× ÓÖÐ Ø A¹ À Ø Ø×Þ Ð Ò × Ö - ¸ Þ Þ - Ø Ð × Ðº Þ ´ Ò
×Þ Ö Òص ¸ Ó Ý inf(-A) = - = - sup Aº

A, B R sup A sup(A + B) = sup A + sup B º
À ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý

¾º¾ º Ð

غ

× ×

A + B = {x + y |x A, y B}¸ sup B ¸ ÓÖ sup(A + B) ×

ÓÖ

¿¼

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

ÓР׺ sup A × sup B Ò
Ñ ØØ x A, y B × Ø Ò x sup A, y sup B ¸ Ý x + y sup A + sup B ¸ Ø Ø sup A + sup B Ð× ÓÖÐ Ø A + B ¹Ò ¸ Ñ ´R Ø Ð ×× Ñ Øص ¸ Ó Ý sup(A + B)º À > 0 ÓØØ ¾º¾ º Ð ØÓØ × Ð ×ÞÒ ÐÚ x0 A, y0 B ¸ Ó Ý x0 > sup A - , y0 > sup B - ¸ Þ Þ x0 + y0 > sup A + sup B - ¸ Ñ Ð 2 2 ´ Ö ×ÞÒ ÐÚ ¾º¾ º Ð Ø ÐÐ Ø × Øµ Ô Ù ¸ Ó Ý sup A + sup B ÔÓÒØÓ× Ð× ÓÖÐ Ø A + B ¹Ò º Å

¾º¾ º Ð
Ñ ÞÓ
Å ÓР׺

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

H1 =
Þ

1 n

×ÙÔÖ ÑÙÑ Ø Ò

× Ò ÑÙÑ Øº Ø ×

|n N
ØÙÐ

×

H2 =]0, 1[ {2}
ÓÒ× Ø ×ÞÒ ÐÚ

й

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

À

Ú Ð × ×Þ Ñ¸

n N¸

Ý Ý

0<

1 0 < < n¸ inf H1 = 0º > 0 Ø Ø×Þ 0 > -¸ ÐÐ n N¸

Þ Þ

Ñ Ú Ð N Ð ÐÖ 1 < = - 0º n

1 ¸ n

Ý

0

Ð×

ÓÖÐ Ø Ð Ò Ñ Þ ´

H1 ¹Ò
ÓÖÐ ØÓ× ¾º¾ º Ð

º À

>0Ø n N¸ Ó
Ø Ñ Øص

Ø×Þ Ð Ý ¸

×

Ó Ý

À

ÓÖ Ð ØÚ ×¸

n 1¸
ÓÖ

¾º¾ º Ð
n

> 0 Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ðµº Ë Þ Ý ØØ ´ ¾º¾ º Ð Ø ×Þ Ö Òص ¸ Ó Ý sup H1 = 1º 0 Ð× ÓÖÐ Ø H2 ¹Ò ¸ Ñ ÖØ x ]0, 1[¹Ö 0 < x Ø Ð × Ð × 0 < 2 × Þ Ð Ò 1 < 1 + 1 = 2¸ Ñ Þ Ð¸ Ó Ý ´ ×Þ Ò 0 < 1 ×Ñ Öظ Ñ 0 < 2µº À > 0 Ú Ð × ×Þ Ñ¸ Ý ¹ Ñ Ú Ð ]0, []0, 1[ Ò Ñ Ö × ¹ x H2 ¸ ÓÖРظ Ý H2 ÖÑ ÐÝ Ð× ÓÖÐ Ø × ¸ Ó Ý x < ¸ Þ Þ Ò Ñ Ð× Ø 0 ÔÓÒØÓ× Ð× ÓÖРغ Ú Ý Ý ÒÐ 0¹Ú к Ì ÆÝ ÐÚ Ò x H2 ¹Ö x 2¸ Þ ÖØ 2 Ð× ÓÖÐ Ø H2 ¹Ò º 2 H2 ¸ Ý Ý Ø Ø×Þ Ð × Ð× ÓÖÐ Ø H2 ¹Ò ¸ ÓÖ 2 ¸ Ý sup H2 = 2º

1 1¸ Ý 1 Ð× n x = 1 H1 ¹Ö 1 > 1 - ´
Þ Þ

ÓÖÐ Ø ×Þ Ò Þ

H1 ¹Ò

º

À

Ú Ú Ð Ò×

xy = n x n y, n x ny Ø Ð ×
ÓР׺

غ

Á
n

ÞÓÐ

¸

x y

=

nx , ny

Ó Ý

m

x, y R+ ; n, m N × k Z¹Ö n n x = mn x, xk = ( n x)k × x y
Ø × ØÚ ÒÝÓÞ × ÞÓÒÓ×× Ø Ð ×Þ¹

к Ý Ò

Å

Þ

n¹

Ò ÐÚ

. . x = a, n y = b x = an , y = bn = xy = an bn = (ab)n Þ Ð× ÞÓÒÓ×× Óغ ab = n xy ¸ × Þ
ØÓÚ ÞÓÒÓ×× Ó ×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º

n

R
À ØÙÐ

ÌÇÈÇÄ

ÁýÂ

¿½

n

x
ÓÒ×

( n y)n
Ø Ð ÞÞ Ð

ÐÐ Ø ×× × Ð

( n x)n ( n y)n x y º n Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò Ø Ý Ð¸ Ó Ý x > n yº x > y Ú Ø Þ ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ×¸
Ñ ØØ Øº Ð Ø ÙØÓÐ× ÐÐ Ø × Ø ×º

n

y¸

ÓÖ

Þ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

´¾º½ º

Ð

Ø À

Òµ

ÞÓÒÝ ØÓØØ

Ð Ô

x y¸

Ý
×

( n x)n > n x ny

ÓÖ

Þ

ÞÓÒÝ ØÓØØÙ

R

ØÓÔÓÐ
ÞÓÒÝ Ø× × Ò Ñ Þ Öظ × Ò Ñ ÒÝ Ðظ ¸ Ó Ý ÒÝ ÐØ Þ ÖØ

¾º¿¼º Ð
µ µ
µ
Å ÓÐ

غ

Ä

Ý Ò

]a, b[ , ]a, +[ [a, b] , [a, +[ ]a, b] × [a, b[ Ò
׺

a, b R, a < bº
× × Ñ ÒÝ ÐØ

] - , a[ ] - , a]

× Ò Ñ Þ Öغ

µ

Ó Ý x0 ]a, b[ × Ø Ò r > 0, K(x0 , r) ]a, b[º r = inf {x0 - a, b - x0 }¸ ÓÖ ¾º½ º Ð Ø µ Ö ×Þ Ñ ØØ x K(x0 , r) × Ø Ò x < x0 + r x0 + (b - x0 ) = b × x > x0 - r x0 - (x0 - a) = a¸ Þ Þ x ]a, b[¸ Ý K(x0 , r) ]a, b[º À x0 ]a, +[ . Ú Ý x0 ] - , a[¸ ÓÖ r = |a - x0 | × Ø Ò K(x0 , r) ]a, +[¸ ÐÐ ØÚ K(x0 , r) ] - , a[¸ Ñ ¸ Ó Ý Þ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ × ÒÝ ÐØ º Þ a R Ú Ð × ×Þ Ñ ÒÝ ÐÚ Ò ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Ñ Ò Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ r b¸ ÐÐ ØÚ ´ ×Þ Ò Ôк r > 0¹Ö K(a, r)]a, b[= K(a, r) = ¸ K(a, r)]a, b[=]a, b[= ¸ a < r µ¸ aÒ Ñ Ð Ñ Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ Å ÑÙØ Ø Ù ¸ Ä Ý Ò × Ñ¸ Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò ØÓÖÐ º × × ÔÓÒØ ¸ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ñ ÐÑ ÞÒ ¸ Þ ÖØ Ò Ñ Þ ÖØ

µ

CR ]a, b[=] - , a[]b, +[ , CR [a, +[=] - , a[ Ò
× Ð Ø µ ]a, +[¸ Ý Þ ÖØ ÐÑ Þ
×Þ Ö ÔÐ Ý Ôк ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Þ ÖØ Ð ÐÑ ÞÓ º ÐÑ Þ¸ Ñ ÖØ Ú Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ × Ñ ÒÝ ÐØ

Ö ×Þ Ð×

CR ] - , a] =
Ñ ØØ Þ ÔÓÒØ Ù Ñ ´Ñ ÖØ Ð Ð

ØØ

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ
µ

r > 0 K(a, r)¹
µº Ò Ñ ÒÝ Ðظ Ñ ÖØ × ÔÓÒØ Ò ¸ ÞÓÒÝ Ø Ø ÖÓÞÞ ×

]a - r, a[
Ò Ñ Þ

a Ò Ñ ]a, a + r[ Ò
× Ò Ñ º

Ñ Ö ×Þ

]a, b]
ØÓÖÐ

b

Ð×

ÔÓÒØ ÐÑ ÞÒ

× Þ Öظ Ñ ÖØ

Þ

a

Ò Ñ ÔÓÒØ Ø Ù Ñ

À ×ÓÒÐ

[a, b[¹Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ

ÐÐ Ø ×Ø ×º ÐÑ Þ Ð× ¸

¾º¿½º Ð
Ø Ö¸

غ Ð× ¸ ØÓÖÐ

× ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ

H =]-1, 1]{3} ]4, 5[[7, 8]
Ò ÐÑ Þ Øº

¿¾

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

Å

ÓÐ

׺

H Ð× ÔÓÒØ Ò H 0 ¹Ö x ] - 1, 1[
Ú ÐÐÙÑÓ Ó Ý ÒÝ ÐØ

Ú

ÐÑ

K(x, r) H º
ÞØ ÔÓÒØ

Å × ÓÖ º

H 0 =] - 1, 1[]4, 5[]7, 8[ ÐÑ Þº x Ý x ]4, 5[ Ú Ý x ]7, 8[ Ø Ð × Ð¸ Þ Ò ÒØ Ö¹ ÞÓ ¸ Ý r, K(x, r) Ö ×Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ¸ × Ý Ð× ÔÓÒØ Ò Ñ Ð Ø Þ {1, 7, 8} ÐÑ Þ Ð Ñ ¸
ÐÑ Þ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ Ñ ÓÒ Ð Ø Ø Ù ¸ Ò Ñ Ð×

H ¹Ò

H Ø ÖÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ H = {-1, 1, 3, 4, 5, 7, 8} ÐÑ Þº È Ð ÙÐ 1 H ¸ Ñ ÖØ K(1, r) × Ø Ò K(1, r)] - 1, 1[= × K(1, r) CH = º H Ø Ð Ñ Ö ×ÓÒÐ ÞÓÒÝ Ø ×º =]-, -1[]1, 3[]3, 4[]5, 7[]8, +[ H Ð× ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ H Ð Ñ Ú Ð ÐÑ Þº H Ò Ð× ÔÓÒØÓ ¸ Ñ ÖØ Ð× ÔÓÒØ CH ¹Ò ´ ¹ H ¹ÓØ Ò Ð Ú Ð Ñ ÐÝ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ð Ñ µº R \ H ×Þ Ò x H 0 × H Ð Ñ º Ð Ñ Ô Ñ Ö Ú Þ× ÐØ H H ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ H = [-1, 1] [4, 5] [7, 8] ÐÑ Þº Ð Ñ H Ú Ð Ò ØÓÖÐ × ÔÓÒØÓ ´Ñ ÖØ Ð× ¸ Ú Ý Ø ÖÔÓÒØ H¹ Ð Ñ Ò Ñ ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Ò µº Ý×Þ Öò Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý R\ H H ¹Ò º H ¹Ò Ý ØÐ Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Ò 3 Ú Ð × ×Þ Ñº 3 ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒظ Ù Ý Ò × 3 H × 3 H ¸ Ñ ÖØ K(3, 1) H = {3}¸ Ý K(3, 1)¹ Ò Ò Ò
× 3¹Ø Ð / Ð Ò Þ ÔÓÒØ H ¹Ò º H Ñ × Ð Ñ Ò Ñ Ð Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒظ Ñ ÖØ ÞÓ
ØÓÖÐ × ÔÓÒØÓ º

¾º¿¾º Ð
ÔÓÒØ Øº
Å ÓР׺

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

QR

Ð× ¸

Ø Ö¸

Ð× ¸ ØÓÖÐ

×

× ÞÓÐ ÐØ

Q¹Ò

x0 Q × r > 0¹Ö K(x0 , r)¹ Ò Ú ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ Ñ¸ Ý K(x0 , r) Qº Q = R¸ Ñ ÖØ x R × r > 0¹Ö K(x, r)¹ Ò Ú Ò Q¹ Ð ¸ ÐÐ ØÚ CQ¹
Ò Ò
× Ð× ÔÓÒØ ¸ Ñ ÖØ ´ ÖÖ
ÓÒ Ð ×µ ×Þ Ñ ×º

Ò

Ð

Q¹Ò Ò Ò
× Ð× ÔÓÒØ ¸ Ñ ÖØ K(x0 , r)¹ Ò Ú Ò Q¹Ò Ð Ñ º = R¸ Ñ ÖØ x R × r > 0 × Ø Ò K(x , r)¹ Ò Ú Ò Q¹ РРѺ Q 0 0 Q¹Ò Ò Ò
× ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ¸ Ñ ÖØ Þ Ð ×Þ Ö ÒØ x0 Q ØÓÖÐ ÔÓÒØ Q¹Ò º

×

R

ÌÇÈÇÄ

ÁýÂ

¿¿

¾º¿¿º Ð
Þ Öغ
Å ÓР׺

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

ZÞ

ÖØ

× Ò Ñ ÒÝ Ðظ

QÒ

Ñ ÒÝ ÐØ

× Ò Ñ

À

x0 R \ Z ¸ ÓÖ z Z¸ Ó Ý x0 ]z, z + 1[¸ Ñ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ¸ Ð× ÔÓÒØ R \ Z¹Ò ¸ Þ ÖØ Ý K(x0 , r) ]z, z + 1[ R \ Z¸ Þ Þ x0 R \ Z = CR Z ÒÝ ÐØ × ÓÖ Ò
×Þ Ö ÒØ Z Þ ÖØ ÐÑ Þº Z Ò Ñ ÒÝ Ðظ Ñ ÖØ K(z, r)¹ Ò Ú Ò ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ Ñ¸ Ý K(z, r) Zº À x0 Q × r > 0 Ø Ø×Þ Ð ×¸ Ý K(x0 , r)¹ Ò Ú Ò ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ Ñ¸ Ý x0 Ò Ñ Ð× ÔÓÒØ Q¹Ò º Þ ÖØ K(x0 , r) Q¸ Q = R Ñ ØØ Q Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ ÖÖ
ÓÒ Ð × ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Ø¸ Ý
Ò Ñ Þ Öغ

¾º¿ º Ð
Ô
Å

غ
Ý

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

H =

1 n

غ
ÓР׺

|n N {0}
ÓÖÐ ØÓ×

ÐÑ Þ

Óѹ

ÓÖ Ð Ø Ø Ðµº

HR 0<

ÐÑ Þ


Ñ

ÓÑÔ

ظ

× Þ ÖØ ´À

Ò ¹

H H 0
´

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ

ÓÖÐ ØÓ×µº Þ Öظ ØÓÖÐ ×Þ Ò × Ñ Ò ÔÓÒØ

1 n

×

n1

ØØ

1 1 n

´Ø

Ø

ÐÙÐÖ Ð

×

Ð ÐÖ Ð ×

Ò ØÓÖÐ

× ÔÓÒØ ¸ Ñ ÖØ ÓÖÐ ØÓ×

Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º

H ¹Ò

r > 0¸
ÐÑ Þµ¸

Ý

N

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

Þ ÖØ ×

1 1 < x0 < ¸ Þ Þ x0 H, 0 < x0 < 1¸ / ÓÖ n N, n+1 n 1 1 1 1 x0 ] , [ ÒÝ ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ × Ý K(x0 , r) ] , [¸ Ñ ÐÝ Ò n+1 n n+1 n Ò Ò
× H ¹ РРѸ Ý x0 Ò Ñ ØÓÖÐ × ÔÓÒغ 1 Î Ð Þ |n N H ÐÑ Þ Ð Ñ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ H ¹Ò ¸ Ñ ÖØ n 1 1 ¸ Þ Þ Ý×Þ Öò Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý rn > 0¸ Ó Ý K( , rn ) H = n n 1 1 K( , rn ) Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ ¹Ø Ð Ð Ò Þ H ¹ Ð Ð Ñ Øº n n
À Ô

1 K(0, r)º H ¹Ò Ò Ò
× n0 R, x0 < 0¸ ÐÐ ØÚ x0 > 1¸ K(x0 , r) H = º

n 0 N¸ Ó 1 0< º À

Ý ØØ

n0 >

1 r

Ñ × ØÓÖÐ ÓÖ

ÔÓÒØ

Ù Ý Ò ×

. r = |x0 |¸

ÐÐ ØÚ

. r = x0 - 1

x0

Ú Ð ×ÞØ ×× Ð

¿

ÁÁº Ë

ýÅÇÃ

Ý ÓÖÐ
½º Ä ¾º ¿º Ý Ò

Ð
¸

ØÓ
Ó Ý

º

º

x -x x º = = y y -y xv - yu x u Ä Ý Ò x, y, u, v R, y = 0, v = 0º Á ÞÓÐ ¸ Ó Ý - = º y v yv ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý n N¸ ÓÖ -n N¸ ØÓÚ / n, m N, n = m × Ø Ò n - m N¸ Ú Ý m - n Nº x n n n n ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý x, y R × n, m Z × Ø Ò (xy) = x y , = y xn y = 0 ; xn xm = xn+m ; (xn )m = xnm º yn x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn Rº ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ä Ý Ò x, y R, y = 0º
ÞÓÒÝ Ø×

-

n

n

n

(xi + yi
i=1
Å Ò ÓÚ×Þ º ÞÓÒÝ Ø× ¹ ¸ Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ó Ý Øº

)2



x2 i
i=1

+
i=1

2 yi

º

º

º

½¼º À Ø ÖÓÞÞ

ÐÑ ÞÒ Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ× Ð× × ÔÓÒØÓ× ÞA R inf A sup Aº Ä Ý Ò A, B R¸ Ó Ý A Bº ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý inf A × inf B ¸ ÓÖ inf B inf Aº À Þ A R ÐÑ ÞÖ inf A¸ ÓÖ -A = {-x |x A} ÐÑ ÞÒ Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ× Ð× ÓÖÐ Ø × sup(-A) = - inf Aº Ò ÑÒ Ø Ú ×Þ ÑÓ ¸ Ó Ý sup A × sup B ¸ ¹ À A, B R × Ð Ñ ÓÖ Þ AB = {xy |x A, y B} ÐÑ ÞÖ sup(AB) = (sup A)(sup B)º Ð× ÓÖÐ Ø ¸ ÓÖ Ñ

H=
ÐÑ Þ ÔÓÒØÓ× ½½º À Ð× ×

(-1)n 1 -
Ð×

1 n

|n N
غ ÓÖ

× ÔÓÒØÓ×

ÓÖÐ Ø

ÔÓÒØÓ×

A, B R
Ð×

× ÔÓÒØÓ×

sup A, sup B, inf A, inf B ¸
Ð× ÓÖÐ Ø ×

A B ¹Ò

× Ð Ø Þ

sup(A B) = max {sup A, sup B} ; inf(A B) = min {inf A, inf B}º ½¾º Á ÞÓÐ ¸ Ó Ý x, y R+ × r, s Q × Ø Ò (xy)r = xr y r ; x y
r

=

xr ; yr

xr+s = xr xs ;

(xr )s = xrs .

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

¿

½¿º À Ø ÖÓÞÞ ØÓÖÐ ½ º × ÓÒ Ñ Þ Öغ ½ º ½ º ÞÓÒÝ Ø× ÞÓÒÝ Ø×

Ñ

N

´

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÓ Ò ÐÑ Þ Øº ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐØ

ÐÑ Þ µ

Ð× ¸

Ø Ö¸

Ð× ¸

× ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ

R¹

Ò Ú Ú

Ø Ð Ò ×Ó

ÐÑ Þظ Ñ ÐÝ

Ñ Ø×Þ Ø Ò Ñ

Ò Ñ ÒÝ Ðظ ÐÐ ØÚ

Ø Ð Ò ×Ó

ÓÐÝ Ò Þ ÖØ

ÐÑ Þظ Ñ ÐÝ

Ý × Ø ×

¸ ¸

Ó Ý Ñ Ò Ó Ý

HRÚ × ]0, 1[ R Ò Ñ ÓÑÔ
Ò

ÐÑ Þ Øº

ÓÑÔ

غ

ÁÁÁº

ËÓÖÓÞ ØÓ
¿º½º Рغ

Þ Ø

Ð Ô Ó ÐÑ
ÞÓÒÝ Ø× × ¸ Ó Ý Ò׺ Þ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÓÒÚ Ö

×

Ô
×ÓÐ ØÙ
×ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ׸ ×Þ ÓÖ Ò

n n+1

Å

ÓÐ

׺

ÓÖÐ ØÓ××

ÓÞ

ÞØ

ÐÐ Ñ

ÑÙØ ØÒ ¸

Ó Ý

K ( n N)º n n = < 1 n < n + 1 0 < 1 n+1 n+1
Ú Ð ×ÞØ ×× Ð Ò
×Þ Ö ÒØ Ô Ù ×ÓÖÓÞ Ø

K R+ ¸
Ñ

Ó Ý

n n+1

<

Þ¸ Ø Øº Ñ Øظ

Ø

K=1

ÓÖÐ ØÓ××

×Þ Ö ÒØ Å

n+1 n < n2 + 2n < n2 + 2n + 1 0 < 1 n+1 n+2
Ú Ø Þ ×ÓÖÓÞ Ø ×Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÑÙØ Ø Ù ¸ Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö

Ò

× º

Ð Þ 1 Ú Ð × ×Þ Ñ ÓÞº Ä Ý Ò 1 > 0 Ø Ø×Þ Ð × Ú Ð × ×Þ Ñ¸ ÓÖ - 1 R¹ Þ ´Ñ Ú Ð N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ 1 1 ÓÖÐ ØÓ×µ n() N¸ Ó Ý n() > -1¸ Ý n n()¹Ö n > -1 1 n 1 n - (n + 1) 1 < -1 = < = n+1 > n+1 n+1 n+1 n+1 n Ò
¸ Þ Þ > 0 n() N, n n() - 1 < ¸ Ñ n+1 n ×Þ Ö ÒØ ÞØ Ð ÒØ ¸ Ó Ý Þ ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò× × Ø Ö ÖØ n+1 1º ÓÒÚ Ö Ð ÐÖ Ð Ò
Ð × ¸ Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ×

ÓÖÐ ØÓ׺

¿

¿

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

¿º¾º Ð
ÒÓØÓÒ ×
Å ÓР׺

غ
ÓÒÚ Ö

ÞÓÒÝ Ø× Ò׺

¸

Ó Ý

(-1)n+1 n+1

×ÓÖÓÞ Ø

ÓÖÐ ØÓ׸ Ò Ñ ÑÓ¹

(-1)n+1 1 < 1 1 < n + 1 0 < n ´ Ñ = Þµ ¸ Ó Ý n+1 n+1 K = 1 Ñ ÐÐ ØØ ×ÓÖÓÞ ØÙÒ Ø Ð × Ø ×ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ×× Ò Ò
غ 1 1 1 a1 = , a2 = - , a3 = ¸ Þ ÖØ × Ñ an an+1 ¸ × Ñ an an+1 Ò Ñ 2 3 4 Ø Ð × Ð n N × Ø Ò¸ Ý ×ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒº 0º Å ÑÙØ Ø Ù ¸ Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò× × Ø Ö ÖØ 1 (-1)n+1 Ñ Øظ Ñ Ú Ð > 0¹Ö ´ Þ Ð Ð ØØ Ð -0 = n+1 n+1 1 1 ÞÓÒÓ× ÓÒ ÓÐ Ø ×Þ Ö Òص - 1¹ Þ n() N¸ Ó Ý n() > - 1¸ Ý 1 1 1 n n()¹Ö n > - 1 n + 1 > < ¸ Ô Ù ¸ n+1 (-1)n+1 Ó Ý Þ ÐÐ Ø ×Ø ÓÒÚ Ö Ò
Ò
- 0 < ¸ Ñ n+1
×Þ Ö Òغ

¿º¿º Ð
ÒÓØÓÒ
×
Å ÓР׺

غ
Ò

ÞÓÒÝ Ø× × ÓÒÚ Ö

¸ Ò׺

Ó Ý

Þ

1 n!

×ÓÖÓÞ Ø

ÓÖÐ ØÓ׸ ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓ¹

×

1 1 1 1 ¸ Ó Ý Þ = 1 Ý ÒÐ ØÐ Ò× ×ÓÖ n! 1 · 2 · ... · n n n! Ò
×Þ Ö ÒØ ×ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ×× Ø Ð ÒØ º 1 n N¹Ö ¸ Þ Ô 1 1 > n! < n!(n + 1) 1 < n + 1 0 < n n! (n + 1)! ´ Ñ ÒÝ ÐÚ Ò Þ n N¹Ö µ ¸ Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
Ò º ÑÙØ Ø Ù ¸ Ó Ý ×¸ ×ÓÖÓÞ Ø Ý Þ Ø Ö ÖØ 0º 1 1 1 -0 = < n! n! n ÓÖÐ ØÓ׸

Å À Ð

>0

Ø Ø×Þ Ð Ó Ý

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ø

×

ÞØ Þ ÖØ

×ÞÒ ÐÚ ¸

N

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

n() N, n() >

1 ¸

Ä

È

Ç

ÄÅ

Ã

Ë Ã

È

ËÇÄ

ÌÍÃ

¿

n n()¹Ö n >
Ð ÒØ ¸ Ó Ý

1 0º n!

1 1 1 < = - 0 < ¸ n n!

Ñ

ÔÔ Ò

ÞØ

ÓÒÚ Ö ÐÙÐÖ Ð

Ò

Ð ×

Ú Ø

Þ

¸

Ó Ý

×ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ
×

Ò

×

ÓÖÐ ØÓ׺

¿º º Ð
ÑÓÒÓØÓÒ
Å ÓР׺

غ
× Ò Ñ

ÞÓÒÝ Ø× ÓÒÚ Ö

¸ Ò׺

Ó Ý

(-1)n n

×ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ׸ Ò Ñ

À

Ð Ø ÞÒ

ÓÖÐ ØÓ× Ð ÒÒ ¸

K R¸
Ñ

Ó Ý

ÐÐ ÒØÑÓÒ

|(-1)n n| = n < K n N¹Ö
׸ Ý ×ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ¸ Ý Ý Ó Ý Ò Ñ Ø Ð

¸

ÓÖ

N

Ð ÐÖ Ð

ÓÖÐ ØÓ׺ Ø

a1 = -1, a2 = 2, a3 = -3 an an+1 × an an+1 × Ñ¸
À ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö ×¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý

× Ð

×ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒº Þ ×Ñ ÖØ Ø Ø Ð Ñ ÓÒÚ Ö Ò׺ ØØ

n N¹Ö

Ò× Ð ÒÒ ¸

ÓÖÐ ØÓ× Ð ÒÒ ¸

×ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ

¿º º Ð
×
Å ÓÐ

غ
×
׺

ÞÓÒÝ Ø× Ò׺

¸

Ó Ý

Þ

1 n

×ÓÖÓÞ Ø

ÓÖÐ ØÓ׸ ÑÓÒÓØÓÒ

Ò

ÓÒÚ Ö

1 1 = 1 1 n 1 n ´ n n
Ò
Þ Ð× ÐÐ Ø ×غ

Ñ

Þµ Ñ

ØØ

ÓÖÐ ØÓ××

n N¹Ö
× Ò º

1 1 > > 0 0 < n < n + 1 n < n n+1 n + 1 0 < 1 ´ Ñ Þµ ¸ Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
Þ Ð× Ñ Ø ÐÐ Ø × Þ ÚÓÐØ Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò
غ Ó Ý

À

ÑÙØ Ø Ù ¸

inf

1 n

= 0¸
×Þ Ò º

ÞØ ×

Ô Ù ¸ Ñ Ð×

1 n N¹Ö 0 < 0 < 1 ´ n 1 0 Ð× ÓÖÐ Ø Þ ÐÑ ÞÒ n 1 n¹Ö 0 < < Ø Ð × ÐÒ ¸ Ñ n



1 0º n
Þ¸ ¸ Ó Ý Ý Þ

n > 0µ¸ >0

À

ÓÖÐ Ø Ð ÒÒ ¸

Ú Ú Ð Ò×

0<



n<

1

ÐÐ ØÚ

¼

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

1 n< 2 N Ð ÐÖ

Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺

Ð

nN

× Ø Ò¸

ÐÐ ÒØÑÓÒ

×

Ò

ÞÞ Ð¸

Ó Ý

¿º º Ð
n
Å

lim nk = +, lim -nk = -º
n

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

kN

Ö

Þ Ø ØØ ×Þ ÑÖ

ÓР׺ ÐÐ Ð ØÒ ¸ Ó Ý K R+ ¹Ö n(K) N, n n(K)¹Ö nk > K º N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׸ Ý K R+ ¹Ö n(K) N¸ Ó Ý n(K) > k K ¸ k Ý n n(K)¹Ö n > K ¸ Þ Þ nk > K ¸ × ÞØ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø Ò º

Ñ ×

ÐÐ Ø × Ø Ð

× Ò

×ÓÒÐ ¸

Ò

ÞÓÒÝ Ø

Ø º

¿º º Ð
Å ÓР׺

غ
ÞØ

ÞÓÒÝ Ø×

Ó Ý

k NÖ
Ó Ý

Þ Ø ØØ ×Þ ÑÖ

n

lim

k

n = +º
Ó Ý

n n(K)¹Ö Þ¸ Ó Ý N Ð ÐÖ k Ó Ý n(K) > K ¸
ÐÐ Ø ×غ

ÐÐ ÑÓ×Ø k n > Kº
Ð Ò Ñ Ý

Ð ØÒ ¸

K R+ ¹Ö n(K) N¸

ÓÖÐ ØÓ× ¸ Ó Ý K R+ ¹Ö n(K) N¸ n n(K)¹Ö n > K k k n > K ¸ × Þ Þ

ËÓÖÓÞ ØÓ
¿º º Ð
Å ÓР׺

× ÑòÚ Ð Ø ¸ ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ ×
¸ Ó Ý

غ
Ð

ÞÓÒÝ Ø× ×ÞÒ ÐÚ

n

lim

3 3n + 1 =- º -2n + 3 2

1 3+ 3n + 1 n = 3 -2n + 3 -2 + n
Ý ÒÐ × Ø¸ Þظ ÓÒ× Ó Ý Ó

n
Ø

ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ

lim 3 = 3, lim (-2) = -2, lim
n
Ô Ù ¸ Ó Ý

n

1 = 0 n

×

1 1 lim 3 + lim 3+ 3 3+0 3n + 1 n n n = n = lim =- . = lim 3 1 n n -2n + 3 -2 + 0 2 -2 + lim (-2) + 3 lim n n n n

¿º º Ð

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

100n = 0º n n2 + 1 lim

ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

Ê

Æ

Ë

½

Å

ÓÐ

׺

Ð

×ÞÒ ÐÚ

100n = n2 + 1

100 n 1 1+ 2 n
× ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ× Ó¹

Ý ÒÐ × Ø Ô Ù ¸

ظ

Þظ Ó Ý

Ó Ý

1 = 0, lim 1 = 1 n n n lim

100n lim 2 = lim n n + 1 n

100 100 lim n n n = 1 1 1+ 2 lim 1 + 2 n n n 1 2 n-1 + 2 + ··· + 2 n n n2

=

0 =0. 1

¿º½¼º Ð
غ
Å ÓÐ

غ

ËÞ Ñ Ø×

Þ

×ÓÖÓÞ Ø

Ø Ö ÖØ ¹

׺ Á×Ñ Ö Ø ×¸

Ó Ý

1 + 2 + ··· + n - 1 =

(n - 1)n ¸ 2

Ý

Þ

2 n-1 1 + 2 + ··· + n - 1 1 + 2 + ··· + = = 2 2 n n n n2 1 1- (n - 1)n n-1 n = = = 2n2 2n 2
Ý ÒÐ × ×ÓÖ¸ Þ ×Ñ ÖØ Ø Ö ÖØ × ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ× Ó Ñ ØØ

n

lim

2 n-1 1 + 2 + ··· + 2 n n n2

= lim

1-

n

1 n =1 . 2 2

¿º½½º Ð
Ø Ö ÖØ
Å ÓÐ

غ
Þ

ËÞ Ñ Ø×

Þ

غ
׺

1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1)

×ÓÖÓÞ Ø

¹

1 1 1 = - k(k + 1) k k+1

¾

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ý ÒÐ ×

Ñ

ØØ

1 1 1 + + ··· + = 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 1 - - + + ··· + = 1 2 2 3
Ñ ¸ Ó Ý

1 1 - n-1 n = lim 1-

=1- 1 n

1 , n

n

lim

1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1)

n

=1.

¿º½¾º Ð
n n
ÓÐ

lim a1n = a1 , . . . , lim akn = ak ¸
n
Š׺

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

ÓÖ

k N
n

Ø Ø×Þ Ð

× Ò Ö

Þ Ø ØØ

×

lim (a1n + · · · + akn ) = a1 + · · · + ak , lim (a1n · · · akn ) = a1 · · · ak º
ÞÓÒÝ Ø ×Ø ×Ö Ð¸ Ó

k¹Ö
Þ

ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÐ Ø × Þ¸ Ó Ý Þ ´

Ø Ð

× Ò Ù
ÞØ Þ

Ú Ð Ú ÐÑ Ð Ø

ÞÞ

º

Þ Ì

××Þ Ý

k = 2¹Ö Ý k - 1¹Ö
n

Ó Ý

Ò Ø ÒÙÐØÙ µº

lim (a1n + · · · + a(k-1)n ) = a1 + · · · + ak-1

ÓÖ

n

lim (a1n + · · · + akn ) = lim [(a1n + · · · + a(k-1)n ) + akn ] =
n

= lim (a1n + · · · + a(k-1)n ) + lim akn =
n n

= (a1 + · · · + ak-1 ) + ak = a1 + · · · + ak .
×ÞÓÖÞ ×Ö ÞÓÒÝ Ø × ×ÓÒÐ º

¿º½¿º Ð
ÓÖ

k N Ö Þ Ø Øظ an ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ó Ý an a¸ ak ak º n À an 0 × an a 0¸ ÓÖ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý k an k aº À k Z Ö Þ Ø Øظ an ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ó Ý an > 0 × an a > 0¸ ÓÖ k k ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý an a º ׸ an ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ó Ý an > 0 × an a > 0¸ ÓÖ À r Q Ø Ø×Þ Ð r ar º ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý an
Ä Ý Ò ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý
Å ÓР׺

غ

À

ak = an · · · an ¸ Ý n ¿º½¾º Ð ØÓØ a1n = · · · = akn = an Ñ × Ø lim ak = lim (an · · · an ) = ak º n k N¸
n
Ý

Ð

×ÞÒ ÐÚ ¸ Ô Ù

Ó Ý Ð

ÐÐ ØØ

an a
Ø Ð×

× ÐÐ Ø ¹

n

ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

Ê

Æ

Ë

¿

À

an 0 × an 0¸ ÓÖ k an 0º Þ Ñ ÑÙØ Ø Ù ¸ Ó Ý > 0 n() N, n n()¹Ö k an - 0 = k an < º k k À > 0 ÓØظ Ý k an < an < º an 0 Ñ ØØ ¹ ÓÞ k a < a - 0 < k k n() N¸ Ó Ý n n()¹Ö an < n n ¸ × ÞØ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø Ò º k ÓÖ k an aº ÀÓ Ý Þ Ø Ð × Ð Ò¸ ÞØ ÐÐ À an 0 × an a > 0¸ k a - k a < º Ñ ÑÙØ ØÒ ¸ Ó Ý > 0 n() N, n n()¹Ö n a a a an a > 0 Ñ ØØ = ¹Ö N, n n1 > 0¹ ÓÞ n1 2 2 2 a an > ¸ Ý 2 k an - k a = ( k an - k a)(( k an )k-1 + ( k an )k-2 k a + · · · + ( k a)k-1 ) k-1 = = ( k an )k-1 + · · · + ( k a) |an - a| |an - a| k-1 < = k-1 k-2 k k k a ) k a ) +( n ( n a + · · · + ( a) k( k a )k-1 2 an a > 0 Ñ ØØ > 0¹Ö k( k a )k-1 > 0¹ ÓÞ 2 n2 (k( k a )k-1 )¸ Ó Ý n n2 (k( k a )k-1 )¹Ö |an - a| < k( k 2 . 2 ÓÖ Ø Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ø ××Þ Ú ØÚ À n() = sup {n1 , n2 }¸ k k a - k a < ¸ Ø aº Ó Ý n n()¹Ö Ø k an n
Í Ý Ò
× À

a k-1 º 2)
Ô Ù ¸

À

À À

an > 0, an a > 0 × k Z¸ Ý ak ak º n k N¸ Ý Þ Ò Ð Ø Ð× Ö ×Þ Ðº 0 0 k = 0¸ ÓÖ an = 1 1 = a Ñ ØØ Þº 1 1 k -k = ak k Z × -k N¸ ÓÖ an = a a-k n
Ý Ö ×Þ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ

Þ Ó Ý

ÐÐ Ø ×غ

Ò

p p ar = an q = ( q an )p ( q a)p = a q = ar n

p Z
Ñ

×

q N¸
Þ
5 2

r =

p ¸ q

Ý

ØØ

Þ

ÐÐ Ø ×º

¿º½ º Ð
Å ÓР׺

غ
Þ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

n

lim

3 2+ n

= 22 =

5



32 = 4 2º
Þ Ð Þ

3 ×ÓÖÓÞ ØÖ an > 0 × an 2 Ø Ð × Ð¸ Ý n 5 Ð Ø º ÐÐ Ø × Ò r = ¹ Ø Ú Ú Ô Ù Þ ÐÐ Ø ×غ 2 ¿º½ º Рغ À an × bn ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ Ó Ý an + an -µ × bn b¸ ÓÖ an + bn + ´ ÐÐ ØÚ -µº an = 2 +

´ ÐÐ ØÚ

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Å

ÓÐ

׺

an + bn + ÞÓÒÝ Ø × ÓÞ Þ ÐÐ Ð ØÒÙÒ ¸ Ó Ý K R¹Ö n(K) N¸ Ó Ý n n(K) × Ø Ò an + bn > K º bn b Ñ ØØ bn ÓÖÐ ØÓ׸ Ý ÐÙÐÖ Ð × ÓÖÐ ØÓ׸ Þ ÖØ k R¸ Ó Ý bn > k º K R¹Ö K - k¹ ÓÞ an + Ñ ØØ n1 (K - k) N¸ Ó Ý n n1 (K - k)¹Ö an > K - kº Ý n Þ Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ K R¹Ö Ð Ý Ò n(K) = n1 (K - k)¸ n(K) × Ø Ò an + bn > (K - k) + k = K ¸ Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ
Þ Ñ × ÐÐ Ø × À ×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º

¿º½ º Ð

an × bn ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ Ó Ý an + ´ ÐÐ an -µ × bn + ´ ÐÐ ØÚ bn -µ¸ ÓÖ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý µ an + bn + ´ ÐÐ ØÚ an + bn -µ¸ µ an · bn +¸
µ c · an + ´ ÐÐ ØÚ c · an -µ¸ c > 0¸ c < 0º µ c · an - ´ ÐÐ ØÚ c · an +µ¸
ÓР׺

غ

ØÚ

Å

µ

ÞØ

ÐÐ

Ð ØÒ ¸

an + bn > K ´ Ðк ÓØØ K R × Ø Ò¸ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ n1 (K) N¸ Ó Ý n n1 (K)¹Ö an > K ´ Ðк an < K µ¸ 2 2 n2 (K) N¸ Ó Ý n n2 (K)¹Ö bn > K ´ Ðк bn < K µ¸ Ý 2 2 n(K) = sup {n1 , n2 }¸ ÓÖ n n(K)¹Ö an +bn > K ´ Ðк an +bn < K µ
Ø Ð × Ð¸ × Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ò ÐÐ Øغ µ ×
µ µ ×ÓÒÐ ÞÓÒÝ Ø µ × µ × Ó Ý Ø ¸ Ø º ÐÐ Ø × Þº Ø Þ Ø Ð Ø ´Ú ×µ Ú Ð ××Þ Ö ¸ ÐÐ ØÚ Ø º

K R¹ an + bn < K µº
Ó Ý

Þ

n(K) N, n n(K)

× Ø Ò

½º Ñ
Ø ´Ú

ÝÞ ×º غ

Ø Ø Ð

×µ Ø ÒÝ Þ × ×ÞÓÖÞ ØÖ ÞÓÒÝ Ø× ¸

× Ò Ù

ÞÓÒÝ Ø

¿º½ º Ð
Å ÓР׺

n2 + 5n + 1 +º
Ó Ý

Ý×Þ Öò Ò Ð

ÞÓÒÝ Ø ØÙÒ

Þ

Ð Þ

Ô Ð

ÐÐ Ø × Øº

n2 +

×

5n + 1 +¸

Ý

¿º½ º Ð
µ À µ

غ Ä Ý Ò an , bn ÓØØ ×ÓÖÓÞ ØÓ º c R+ ¸ Ó Ý bn c Ú × ×Ó n N Ú Ø Ð Ú Ð × an + ´ ÐÐ ØÚ an -µ¸ ÓÖ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý an bn + ´ Ðк an bn -µº À c R, c < 0¸ Ó Ý bn c Ú × ×Ó n N Ú Ø Ð Ú Ð × an + ´ Ðк an -µ¸ ÓÖ an bn - ´ Ðк an bn +µº

ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

Ê

Æ

Ë

Å

ÓÐ

׺

µ Ä

µ

K R ÓØØ × an +º an + Ñ ØØ n1 ( K ) N¸ Ó Ý c n > n1 ( K )¹Ö an > K ¸ ØÓÚ ´ Ñ × ÐØ Ø Ð Ñ Øص n0 N¸ Ó Ý c c n n0 × Ø Ò bn cº Þ Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ ¸ n(K) = sup {n1 , n0 }¸ Ý n N, n n(K)¹Ö an bn > K bn > K ¸ Ñ ¸ Ó Ý an bn +º c À an - = -an + = -(an bn ) = (-an )bn + = an bn -º
Ý Ò ÞÓÒÝ Ø × ×ÓÒÐ º Ð

¾º Ñ
× µ

ÝÞ ×º
ÐÐ Ø × º

Ø

Ð ×Ô

Ð ×

× Ø

ÒØ

¿º½ º

Ð

Ø

µ¸
µ

¿º½ º Ð
n
Å

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

n

lim n3 2 +



n+

lim n2
ÓÐ

1 - n3 - 2 n3
׺ Ä

5 n

= +¸

×

= -º
Ý

Ð À

Ý Ò an = n¸ 5 bn = 2 + n + ¸ Ý n Ø Ñ ØØ Ô Ù Þ

n3 + ´nk +
Ð Ø Ø ¸

Ñ

Øص¸ Ý Þ Ð Þ

Ý×Þ Öò Ò ÐÐ Ø ×غ

Ó Ý

bn > 2¸
Ð Þ Ð

Ñ ×

an = n2 +
ÐÐ Ø ×Ø ×º

×

1 bn = 3 - n3 - 2 -2¸ n P, Q : R R
k l
ÓÐÝ Ò¸ Ó Ý

Ð×

Ý

Þ

Ø

¿º¾¼º Ð

غ

Ä

Ý Ò

P (x) = ak x + ak-1 x Q(x) = bl x + bl-1 x
´ ØÓÚ ÓÐ

k-1

l-1

+ · · · + b0
Ó ¸

+ · · · + a0 , Q l¹
Ó ÔÓÐ ÒÓѸ

À Ø ÖÓÞÞ

aj , bj R × ak bl = 0µ¸ Q(n) = 0 n N¹Ö º
Ñ Þ

Ø

Ø

P k¹

Rn =
×ÓÖÓÞ Ø
Å ÓР׺

P (n) Q(n)

=

ak nk + · · · + a0 bl n l + · · · + b 0

Ø Ö ÖØ

غ

ak-1 ak-1 a0 a0 ak + + ··· + k) + ··· + k n n = nk-l n n Rn = b0 b0 bl-1 bl-1 + ··· + l) + ··· + l nl (bl + bl + n n n n nk (ak +

n N¹Ö

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ä

Ý Ò

cn = nk-l ,
Ø Ö ÖØ ¿º º × ¿º½¾º × Ð

a0 ak-1 + ··· + k n n dn = bl-1 b0 bl + + ··· + l n n ak +
¸ ÐÐ ØÚ Ð Ö Ò Þ × Ô
×ÓÐ Ø Ö Ó Ý ØÓ ×ÞÒ Ð × Ú Ð Ô Ù ¸

(n N) .
ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð ¸

ÑòÚ Ð Ø

n

lim dn =

ak bl
Ø ×

×

Ý Ô Ù

ÓÖ

Ð

ØÓ

ÐÑ Ð Ø

1 , lim cn = 0 , n + ,
Ø Ø Ð Ø Ð

k = l, k < l, k > l.
×ÞÒ ÐÚ Ú Ø Þ Ø

ak , n bl lim Rn = 0¸ lim Rn =
n n n

k=l kl k>l
× ×

lim Rn = +, lim Rn = -,

sign ak = sign bk sign ak = sign bk º

¿º¾½º Ð

غ

ËÞ Ñ Ø×

5n2 + 3n + 2 , n -n2 - n - 1 2n2 + 3n + 2 lim , n -n - 1 -5n2 + 3n + 1 lim n n+1 lim
Ø Ö ÖØ
Å ÓР׺

3n3 + 5n2 + 3n , n 7n4 + 8 -5n3 + 7n + 1 lim , n -n2 - n + 1 lim

غ Þ Ð Þ Ø Ø ÐØ Ð ÐÑ ÞÚ

5 ak 5n2 + 3n + 2 = -5¸ ×Þ Ò k = l = 2, = = -5¸ lim n -n2 - n - 1 bl -1 3n3 + 5n2 + 3n lim = 0¸ Ñ ÖØ k = 3 < l = 4¸ n 7n4 + 8 2n2 + 3n + 2 lim = -¸ Ñ ÖØ k = 2 > l = 1, sign 2 = sign (-1)¸ n -n - 1 -5n3 + 7n + 1 lim = +¸ Ñ ÖØ k = 3 > l = 2, sign (-5) = sign (-1)¸ n -n2 - n + 1

ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

Ê

Æ

Ë

-5n2 + 3n + 1 = -¸ n n+1 lim

Ñ ÖØ

k = 2 > l = 1, sign (-5) = sign 1º lim

¿º¾¾º Ð
Å ÓР׺

غ
n

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

3 = 0º n n + n

lim n = +, lim
×Ñ ÖØ Ø Ø Ð

× Ú Ø

ÓÖ Þ

Þ º

n = + Ñ ØØ lim (n + n) = +¸ n n 1 3 = 0, Ðк lim = 0 Ñ ØØ lim n n + n n n + n
¸ Ó Ý

¿º¾¿º Ð
Å ÓР׺

غ
lim

ÞÓÒÝ Ø×

n 1 n
Ý

lim

1 1 = +º + n
n

1 1 = 0, lim = 0¸ n n n n
Ð Ô Ò ¸ Ó Ý

lim

1 1 + n n

= 0¸

×

Þ

Þ

ÐÑ Ð Ø

Ò Ø ÒÙÐØ Ø Ø Ð

n

lim

1 = lim 1 1 n + n n
¸ Ó Ý

1 n

1 = + . 1 + n n + 10 = 0º +n+3
Ý ¿º¾¼º Ð Ø Ñ ØØ Þ

¿º¾ º Ð
½º Ñ ÓР׺

غ
Þº

ÞÓÒÝ Ø× Ð

n 2n2

lim

Ø ×Þ Ö ÒØ

k = 1, l = 2¸
Ø ¸ Þ

ÐÐ Ø ×
¾º Ñ ÓÐ

׺

Ý×Þ Öò Ò Ó Ý

Ð Ø

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

×Ñ ÖØ ØÙÐ ÒÐ ØÐ Ò×

ÓÒ× ¹ ×ÓÖ

Ø

Ð

×ÞÒ ÐÚ ¸

n 10 × Ø Ò Þ Ú Ø Þ Ý n + 10 n + 10 2n 1 0< 2 < < 2 = , 2 2n + n + 3 2n 2n n 0< n + 10 1 < ¸ 2n2 + n + 3 n
×ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ð × Ø Ý Þ Ö Ò

Þ Þ ×

n 10

× Ø Ò

an = 0 , bn =
Ö¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø¸ Ø

1 n
Ø

cn =

n + 10 2n2 + n + 3 an < cn < bn

(n 10),
¸ Ó Ý

an 0,

bn 0,

Ñ

Ð

Ø

ÐÐ Ø × Øº

¿º¾ º Ð

غ

ÞÓÒÝ Ø×

n

lim

3 = 0º 2n + n

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

½º Ñ

lim 2n = +, lim n = +¸ n 1 3 0 = 0º 2n + n 2n + n
ÓР׺

n

Ý

n

lim (2n+ n) = + =

¾º Ñ

ÓÐ

׺

Ý×Þ Öò Ò

Ð Ø

Ø ¸

Ó Ý

1 1 3 n n 2n + n
× Þ

nN,
Þ Ø¸ ×

1 1 0, 0 n n
Ø Ð × Ø

Ñ

ØØ Ö¹Ø Ø Ð

¸

Ó Ý ÐØ Ø Ð

1 n

,
Ð

1 n
Ú Ø

,
Þ

3 2n + n
Ð Ø

×ÓÖÓÞ ØÓ ÐÐ Ø × º

Ö Ò

Ê ×Þ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸
¿º¾ º Рغ
Î Þ× Ð Þ

Ù
ݹ×ÓÖÓÞ ØÓ
, 1 n+2 , 1 2+3 n 1 n

1 n+3
×ÓÖÓÞ ØÓ

,

1 n!
Ò

,
غ

1 n2 + 1

ÓÒÚ Ö

Å

ÓÐ

׺

Þ

1 n+3

,

1 n!
¸

,
× Ô

n2

1 +1

×ÓÖÓÞ ØÓ

Þ

an =

ÓÒ¹

Ú Ö

Ò× ×ÓÖÓÞ Ø Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø

1 n+3
´

= an+3 ,

1 n!

= an! ,

1 n2 + 1

= an2 +1
Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ Ò

(n) = n + 3, (n) = n!, (n) = n2 + 1 (n N) ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú × : N N.µº
Þ Þ Ð× ÖÓÑ ×ÓÖÓÞ Ø Ø × Ø ÓÒÚ Ö Ò× × Þ Ø Ö ÖØ

¼¸

×Þ Ò

1 n+2

ÖÓÞ Ø Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø

(n) = n2 + 3 ×Þ Ö ÒØ Ò ÐØ 1 1 = an+2 , 2+3 n+2 n 1 0 Ñ ØØ Ø Ö ÖØ ¼º n

+3 ´ÑÓ×Ø : N N



1 n2

×ÓÖÓÞ ØÓ

an =

1 n
ÐÐ ØÚ

1 0º n
Ò× ×Ó¹

ÓÒÚ Ö

(n) = n + 2¸
ÓÖ ¸ Þ ÖØ

×Þ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÓÒÚ Ö Ò×

Ú Òݵ º ÌÓÚ

= an2 +3

Ê

Ë

ËÇÊÇ

ÌÇø

Í

À

¹ËÇÊÇ

ÌÇÃ

¿º¾ º Ð
×ÓÖÓÞ Øº
Å ÓР׺

غ

Î Þ×

Ð

Ñ

¸

Ó Ý

ÓÒÚ Ö

Ò×¹

Þ

an =

1+

1 1 1 + + ··· + 2 3 n
Ò
¸ Ö Ø Ö ÙÑ × Ø× ÓÞ Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ º

Ù
ݹ Ø × Ø Ò

Ð

ÓÒÚ Ö

an ×ÓÖÓÞ n, m n()
Ý Ý ×ÓÖÓÞ Ø Ô Ý Ò Ð Ø Ù ¸ Ä

Ù
ݹØÙÐ

ÓÒ×

Ó Ý ×ÓÖÓÞ ØÙÒ ÓÖ

|an - am | < º ÓÒÚ Ö Ò׸
Ò Ñ

> 0¹
Ù
ݹØÙÐ ÓÒ×

n() N,
º

ÓÒ× º

Ù
ݹØÙÐ

m = 2n¸

|an - am | =

1 1 = + ··· + n+1 2n 1 1 1 1 1 = + ··· + > + ··· + = , n+1 2n 2n 2n 2
× Þ

Ý

×ÓÖÓÞ ØÙÒ ÓÒÚ Ö

=

1 ¸ 2

Ó Ý

Ò Ñ

n() N¹Ö n
Ù
ݹ×ÓÖÓÞ Øº Ë

m = 2n¸
´

Ó Ý

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ

|an - a2n | >
Øص¸

Ó Ý Ò Ñ

1 ¸ 2

Þ Þ

Ò׺

¿º¾ º Ð
Å ÓР׺

غ
ÓÖ ×ÓÖÓÞ Ø

Ù
ݹ×ÓÖÓÞ Ø¹

Þ

an =
Ô Ð

n2

3n +1
Ð

×ÓÖÓÞ Ø Øµ Ù
ݹ Ô Ù ¸ Ð Ó Ý Ò¹

×Þ Ö ÒØ ´Ð × ÓÒÚ Ö Ò× ´

ÙÐ ¿º¾¼º ¼µ¸ Ý

3n 2+1 n


Ø Ö ÖØ

ÓÒÚ Ö

Ö Ø Ö ÙÑ ×Þ Ö ÒØ

Ù
ݹ×ÓÖÓÞ Øº ¸ Ó Ý

¿º¾ º Ð
´ ÐÐ ØÚ Ø Ð
Å

× Ðº
ÓÐ

an -µ¸

غ

ÞÓÒÝ Ø× ÓÖ

an

ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸

Ó Ý ØÚ

bn

Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø Ö

bn + ´ ÐÐ

an + bn -µ
¸

׺ À bn = a(n) , : N N ×Þ ÓÖ (n) n (n N)º À an +¸ ÓÖ K R¹ Þ n(K) N¸ Ó ¸ Ö an > K ¸ Ñ (n) n (n N) Ñ ØØ (n) n(K) Ñ ØØ bn = a(n) > K Ø Ð × Ð¸ × Þ Ó Ý bn +º

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ý

ÓÖ

Ó Ý Ò

n N, n n(K)¹ n n(K) × Ø Ò
×Þ Ö ÒØ ÞØ Ð ÒØ ¸

Ø Ø Ð Ñ ×

ÐÐ Ø ×

×ÓÒÐ Þ

Ò

ÞÓÒÝ Ø

Ø º

¿º¿¼º Ð
n2 + 1

غ

Î Þ×

Ð

(n
Ò

+ 2)5
غ

,

×ÓÖÓÞ ØÓ

ÓÒÚ Ö

-(n2 + n + 3)10 ,



n+1

×

¼

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Å

ÓÐ

׺

n5 ¸ ÐÐ ØÚ -n10 ×ÓÖÓÞ ØÓ Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø 2 + n + 3 (n N), : N N ×Þ ÓÖ Ò ´1 (n) = n + 2¸ ÐÐ ØÚ 2 (n) = n i 5 10 ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú µ¸ ØÓÚ ×Ñ Ö Ø ×¸ Ó Ý n +¸ ÐÐ ØÚ -n 5 +, -(n2 + n + 3)10 -º Ð Ø Ñ ØØ (n + 2) -¸ Ý Þ Ð Þ n ×ÓÖÓÞ Ø Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø ´1 (n) = n + 1¸ ÐÐ ØÚ Ñ × Ø ×ÓÖÓÞ Ø 2 (n) = 2 + 1 (n N), i : N N ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ú Ú µ¸ n Ò n+1 ØÓÚ n +¸ Ý ×ÓÒÐ Ò Ñ ÒØ Ð Ô Ù ¸ Ó Ý 2 + 1 +º +, n ¿º¿½º Рغ Î Þ× Ð n + 1 - n ×ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Øº n = + × lim n + 1 = +¸ ØÓÚ Å ÓР׺ lim
Þ Ð× Ø ×ÓÖÓÞ Ø Þ

n

n

1 ( n + 1 - n)( n + 1 + n) = n+1- n= n+1+ n n+1+ n × lim ( n + 1 + n) = + Ñ ØØ ´ Ð ×ÞÒ ÐÚ Þ ×Ñ ÖØ Ø Ø Ðص Ô n Ó Ý ×ÓÖÓÞ ØÙÒ ÓÒÚ Ö Ò× × n + 1 - n 0º

Ù ¸

Æ Ú Þ Ø × ×ÓÖÓÞ ØÓ
¿º¿¾º Рغ
Ä Ý Ò

n ½µ |a| < 1 × Ø Ò a 0 n n Ú Ö Ò׸ a > 1¹Ö a ¾µ |a| > 1 × Ø Ò a n 1¸ a = -1 × Ø Ò an ¿µ a = 1 × Ø Ò a
Å ÓР׺

a R, an = an

º

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

+
Ú Ö

Ò׺

¿µ ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð º ¾µ À

a > 1¸
n

ÓÖ

Ù
ݹ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ñ

ØØ

n N¹Ö

(a - 1)n · 1 · 1 · · · · 1
Ð Þ Þ Þ Ò¸

na - 1 (a - 1)n + n - 1 = < a, n n
Ó Ý

Ý

an > (a - 1)n > M ¸ ÓÖ À a < -1¸
Ð Ò Þ ÖØ

(a - 1)n < an º

an

an +º
×ÓÖÓÞ Ø ¸

M ¹Ö a2n
Ò Ñ

¸

n n(M ) >
×

M = a-1
Ø

a2n+1
Ò׺

Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø

Þ Ø ÖØ Ò

n Ý a

ÓÒÚ Ö

Æ

Î

Ì

Ë ËÇÊÇ

ÌÇÃ

½

½µ À

|a| < 1 = 1 a

n

1 > 1 = |a| = 1 |a|
n

+ = an =

1 1 a
¸

n

0 n a1

¿º¿¿º Ð
Å ÓР׺

غ

Ä

Ý Ò

a R+ ¸
Ý ÒÐ ØÐ Ò×

ÓÖ Ñ

ÞÓÒÝ Ø×Ù Øظ

Ó Ý

º

a 1¸ a-1 a+n-1 =1+ , 1 a = a · 1 · ··· · 1 n n a-1 n 1 × Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ñ ØØ Ñ 1+ ¸ Ó Ý a 1º n 1 1 1 >1 × Ý = n 1 À 0 < a < 1¸ ÓÖ ¸ Ó Ý n a 1º n a a a ¿º¿ º Рغ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý n n 1 º
Ù
ݹ

n

n

Å

ÓÐ

׺

1
Ñ

n

n=

n



n·


×

1-

2 2 + 1 n n

2 n+n-2 2 2 n · 1 · ··· · 1 =1- + , n n n Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ñ ØØ ¸ Ó Ý n n 1º
ÓÖ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý

¿º¿ º Ð
Å ÓР׺ À

غ

À

a R, a > 1¸
ÓÖ

an =

an 0 n!

º

n a2 ¸

0 < a2n =

×

Ö Ò

Ö¹Ø Ø Ð

Å ×Ö ×ÞØ

(a2 )n = (2n)! 2n · (2n - 1) · · · · · (n + 1) · n! a2 a2 1 1 1 a2 · · ··· · · < < = 2n 2n - 1 n + 1 n! n! n ¸ Ó Ý a2n 0º =

a2n

×

Ö Ò

Ö¹Ø Ø Ð

¿º¿ º Ð

غ

a a2n a = a2n 2n + 1 2n! 2n + 1 n a Ñ ØØ a2n+1 0 × Þ¸ Ý an = 0 n! n n! + º ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý 0 < a2n+1 =

Ø Ð

× Ðº

¾

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Å

ÓР׺ n n! ÑÓÒÓØÓÒ

Ò Ú

Ú ¸ Ñ ÖØ

n n
Ñ

n! <
Þº

n+1

(n + 1)!



n! <

(n + 1)! n! K R¸

n

= (n + 1)n , n n! < K
ÐÐ ÒØÑÓÒ

Kn Ñ ( n N) n! < K n ( n N) 1 < n! n K 0º ÒÒ ¸ Ó Ý n! n × ¸ × Ó Ý Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ× n! ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú n n! +¸ Ñ ÖØ M n(M ) N¸ Ó Ý n n(M )¹Ö n n! n(M ) [n(M )]! > M º

n!

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ

Ð Ø ÞÒ

Ó Ý

¸

Ó Ý

¿º¿ º Ð
Ö
Å ÓР׺

غ

À

Þ Ø ØØ ×Þ ÑÖ º ¿º¿¾º

a R, a > 1¸
Ð Ø ¾º Ö ×Þ Ò

ÓÖ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

nk 0kN an

Ð ØØÙ ¸
k+1

n N¹Ö ¸ Ý Ñ Ú Ð a > 1¹Ö a>1 ×Ø Ð × Ð ¸ Þ n n > nk+1 ( k+1 a - 1)k+1 = k+1 a) > n ( a - 1) = a (
Þ
k+1



Ó Ý

a > 1¹Ö an > n(a-1)
× Þ¸ Ó Ý

(0 <)
Á Ý Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ñ ØØ Ò

nk 1 < . n k+1 a n ( k+1 a - 1)
Þ ÐÐ Ø ×º

¿º¿ º Ð
´À Ø Ö ÖØ
Å ÓР׺

غ
Ø

ÞÓÒÝ Ø× Ð Ð Ð ºµ

¸

Ó Ý

Þ

1+

1 n

n
×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺

e¹Ú

Þ

. an =

1+

1 n
Ø Ð

n
×

. bn = 1 <

1+

an < bn (n N)
Ó Ý

× Ð¸ Ñ ÖØ

1 n 1 1+ n

n+1
×ÓÖÓÞ ØÓ Ö

×

1+
n+1

1 n

n

> 0

¸

1+

1 n

n

<

1+

1 n

n

· 1+

1 n

=

1+

1 n

( n N)

Æ

Î

Ì

Ë ËÇÊÇ

ÌÇÃ

¿

an

ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

Ú ¸ Ñ ÖØ

Ù
ݹ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ñ

ØØ

n+1

1· 1+
Ú Ú Ð Ò×

1 n
Þ

n

1+n 1+ < n+1

1 n

=1+

1 n+1

( n N) ,

Ñ

1+
Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ð¸

1 n
Ñ

n

<
¸

1+

1 n+1

n+1

( n N)

Ó Ý

bn
n+2

ÑÓÒÓØÓÒ
×

Ò ¸ Ñ ÖØ

an < an+1 ( n N)º n n+1

1·

n n+1
Þ

n+1

1 + (n + 1) < n+2
n+2

=

n+1 n+2

( n N) ,
n+2

Ñ

Ú Ú Ð Ò×

n n+1

n+1

<

n+1 n+2 1+



n+1 n

n+1

>

n+2 n+1



Ý

an

ÓÖÐ ØÓ׸

n+2 1 n+1 1 > 1+ = bn+1 . n n+1 < b1 = 4 ( n N)¸ Þ Þ an ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú

bn =
Ý

×

Ð ÐÖ Ð

ÓÒÚ Ö

Ò׺

¿º¿ º Ð
n
ÓÐ Å

lim an = a > 0º
׺

غ

Ä

Ý Ò

an

ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¸ Ó Ý

Ó Ý

ÞÓÒÝ Ø×

n

lim

n

an 0 (n N) an = 1º

×

À

an a > 1¸ ÓÖ n0 N¸ Ó Ý an 1¸ n n0 º ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò 1 n an (n n0 ) × Ù
ݹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ñ ØØ an + n - 1 an - 1 1 n an = n an · 1 · . . . · 1 =1+ (n n0 ) n n an - 1 = 1 × Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ú Ø Þ ¸ Ñ ÐÝ Ð lim 1 = 1, lim 1+ n n n
Ñ ØØ Ô Ù Ð Ø ÐÐ Ø × Ø¸ ÓÖ Ð × Ð¸ Ò Þ × Ø Òº

À

an a < 1¸ 1 1 (n n0 ) Ø an

n 0 N¸
Ñ ¸

Ó Ý

Ó Ý

an 1¸ 1 1 > 1¸ an a

n n0 ¸
× Ð Ð

Þ Þ Ø

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

ÞÓÒÝ Ø × Ò

Ð×

Ö ×Þ

Ñ

ØØ

Ú Ø

Þ

¸

Ó Ý

1 º n a
À

ÞÙØ Ò

n

lim

n a = lim n

1
n

n

1 an

=

1 =a 1 a

1 = n a n
Ò Þ

n

1 an
× Ø

n

1 = a

Ò ×º

an 1¸ ÓÖ Ú Ø Þ Ð ØÒ n n0 N, n n0 an 1 = n an a n a n a n0 N, n n0 an 1 = n an 1 Ú Ø Ð Ò ×Ó Ò¹Ö × an < 1 Ú Ø Ð Ò ×Ó
Ñ

Ò¹Ö ¸

n

lim

n

ØØ

Ø

×Þ ÙÒ Ø Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø Ú Ø Þ º

Ø Ö ÖØ

ÓÖ n a¸

Þ

Ð

¹ ÓÖ

an = 1

ÑÓ×Ø ×

¿º ¼º Ð
Å ÓР׺
n

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

n

2+

3 1º n2
Þ Ð Þ Ð Ø Ñ ØØ

an = 2 + 2+

3 >0 n2
Ñ Ø

×

n

an =

3 1¸ n2
Ä Ý Ò

an 2¸
ÞÓÒÝ Ø Ò

Ý

ÐÐ Øغ

¿º ½º Ð
×ÓÖÓÞ Ø¸

غ
Ó Ý

pn

ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý

Ó Ý

qn -º

pn +

×

qn

ÓÐÝ Ò

n

lim

1+

1 pn

pn

= lim

n

1+

1 qn

qn

=e.

Å

ÓÐ

׺

À Ä Þ À ´

pn = n
Ý Ò

¸ Þ

Ý

ÞØ

¿º¿ º

Ð

Ø Ó Ý

º

nk 1 n

n

Ý Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø ¸ ×ÓÖÓÞ Ø

n

nk +¸
Ý

ÓÖ

1+ eº

1+ pk
×Þ Ò

Ý Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø ¸

1+

1 nk

nk

1 nk

nk

ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ý

Ó Ý

pk > 1

×Þ ÑÓ Ò

nk

Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø ¸

x>1

Ú Ð × ×Þ ÑÖ

pk +¸ ÓÖ Ø ÖÑ ×Þ Ø × nk + × nk pk < nk + 1 n N¸ Ó Ý n x < n + 1µº
× Ó Ý

Æ

Î

Ì

Ë ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Í Ý Ò

ÓÖ

Þ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

×Ñ ÖØ ØÙÐ

ÓÒ×

Ñ

ØØ

1 1 1 < nk pk < nk + 1 nk + 1 pk nk 1 1 1 1 + <1+ 1+ nk + 1 pk nk <
Þ ÙØ

1+ 1+

1 nk + 1

nk

<

1+

1 pk

pk



1+
-1

1 nk

nk +1

1 pk
pk

nk +1 1 1 · 1+ nk + 1 nk + 1 nk 1 1 1+ · 1+ . nk nk
×ÓÖ¸

<

1+

<

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

1+

1 nk

nk

1, 1 + 1 × Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Þ ÐÐ Ø × Ð× Ö pk > 1 ÐØ Ø Ð
× Ø
Ò ÐÐ ò¸ Ñ ÖØ pk + ¸ n0 N¸ Ó Ý n n0 ¹Ö pk > 1ºµ À qk ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ó Ý qk < -1 ´ Þ Þ -qk > 1µ × qk -¸ qn = -|qn | ´|qn | > 1 × |qn | +µ × Ý 1+
´

1 nk

1 nk +1

e, 1 +

1 nk +1

nk +1

e,
×Þ Øº Ó Ý

ÓÖ

1+ =
Ø

1 qn

qn

=
|qn |

1- 1+

1+
Ø

1 |qn | - 1
Ð

1 |qn |

-|qn |

=

=

Ø Ñ ×

ÐÐ Ø ×

1 |qn | - 1
×

|qn |-1

|qn | - 1 |qn | 1+

-|qn |

= e,

Þº

1 |qn | - 1

¿º ¾º Ð

غ

Î Þ×

Ð

Þ

1+

2 n

n

, 1+ 1 n
n2

1+ ,

1 2n

n

, 2n + 3 2n + 5

1-
n+1

1 2n

n

,

×ÓÖÓÞ ØÓ

ÓÒÚ Ö

Ò

غ

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Å

ÓÐ

׺

2 n 1 Þ 1+ = 1+ n n 2 n pn = + Ñ ÐÐ ØØ 2
ÒÒ Ý Ñ ×

n 2

1+
Ó Ý Þ

1
n 2

n 2

Ý ÒÐ ×

×

Þ

Ð Þ

Ð

Ø

¸

1+

1 2n

n

e2 º
n

ÞÓÒÝ Ø ×

1+

2 n

n

= = =

n+2 n 1+ 1+
Ø Òݸ

n

=
n

1 n+1 1 n+1
Ó Ý

n+2 n+1 · n+1 n n 1 = 1+ n 1+ 1 n+1

=

n+1

-1

· 1+

1 n

n

Ý ÒÐ ×

¸ ×

Þ

1+
¸ Þ

1 n

n

e,
×ÓÖÓÞ Ø

1+

1 n+1
Ò×

n+1

e,
× Ø Ö ÖØ Ý ÒÐ × ¸ Ó Ý

1+ e2 º
× Ó Ý

1 n+1

-1

1

Ó Ý

ÓÒÚ Ö

1+

1 2n
Ð

n

=
Ø Ð

1+

1 2n

2n

1+

1 2n

2n

e¸

¿º½¿º

×ÞÒ Ð × Ú Ð

n
Þ

lim

1 1+ 2n

n

= lim

n

1 1+ 2n

2n

=

n

lim

1 1+ 2n

2n

=



e.

1-

1 2n

n

=

1+

1 -2n
Ð ØØ

n

= 1+
ØÓ Ð Ô Ò

1 1 -2n
Ô Ù

-2n

ÞÓÒ ×× ÖÒÓÙÐÐ ¹

Ð

¿º ½

×

¿º½¿ Ñ

Þ

ÐÐ Ø ×غ ×Ö ×ÞØ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

1+

1 n

n2

1+n2 1 1+ n

1 = 1+n¸ Ñ n +º

n2

n + 1 +¸

Ý

Ý×Þ Öò Ò

Ô Ù ¸

Ó Ý

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

Þ

1 1+ 2 n 1 1+ 2 n

n

=
n2

1 1+ 2 n e
×

n2

1 n

=

n

1 1+ 2 n
Ó Ý

n2
Ý ÒÐ × ¸ Ó Ý

an =

n

an 1

¸

1 1+ 2 n

n

1º

2n + 3 2n + 5

n+1

=

1 2n + 5 2n + 3 1 1 1+ n+
n+1

=

1 2 1+ 2n + 3 = 1 1+ n+
3 2 n+1

= 1

=

n+1 3 2

3 n+ 2

1 1+ n+

-1 2 3 2

Ý ÒÐ ×

¸

Ó Ý

1 1+ n+
n+1

n+ 3 2 3 2

e

×

1 1+ n+

1 -2

3 2

1

¸

Ó Ý

n

lim

2n + 3 2n + 5



1 º e

Ý ÓÖÐ
½º Î Þ× Ð

Ð
غ

ØÓ
×ÓÖÓÞ ØÓ ÑÓÒÓØÓ¹

(-1)n · n ,
ÓÖÐ ØÓ×× ¸ ظ

2n + 1 2n + 3
ÓÒÚ Ö Ò

, (-1)n · 0, 999n

Ò Ø × Ø¸ ¾º ÞÓÒÝ Ø×

¿º

º

an +¸ ÓÖ an ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ׸ Ð ÐÖ Ð Ó Ý bn -¸ ÓÖ bn Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ׸ ÐÙÐÖ Ð Ò Ñº an + × n0 N¸ Ó Ý n n0 ¹Ö bn an ¸ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý ÓÖ bn + ÐÐ ØÚ Ó Ý cn - × n0 , n n0 ¹Ö dn cn ¸ ÓÖ dn -º 1 1 1 ×ÓÖÓÞ ØÓ Î Þ× Ð Ñ ¸ Ó Ý Þ 1 + 2 + . . . + 2 , (-1)n + 2 n n
Ò Ñ ÐÐ ØÚ Ù
ݹ×ÞÓÖÞ ØÓ ¹ º

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

º À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ

Ð

×ÓÖÓÞ ØÓ

Ø Ö ÖØ

Ø

1 1 1 + + ... + 1·3 3·5 (2n - 1)(2n + 1) 1+ 2 n
10

,

n + 2003 n2

,

,

2n2 + 3n + 2 5n2 + 2n + 1

,

-2n2 + 5n + 1 3n3 + n2 + 4n + 4 ,

,

-6n4 + 3n2 + 1 4n2 + n + 1

,

n2 + 1 3n2 + 1 - 2n + 1 6n + 1

1 + 2 + ... + n n - n+2 2

,

2n + 3n+1 1 + 3 + 5 + . . . + (2n - 1) 2n+1 + 3n , , , n2 + n 2n + 3n+1 2n+1 + 3n 2n 2 + 3n n n+1- n , , , 2+3 1+ 2 n 3 n+2- n , n2 + 1 - n2 - 1 , n+1- 3n , 0, 9 + 1 n
n

,
n

1, 1 +

1 n

n

,
n-4

1+

1 n+3
n2

n

,

4 1+ n

, n

3n - 2 3n + 5 3n + 2n ,

,
2n

1 1- n

,

n2 - 16 .

ËÓÖÓ
º½º Ð
n=0

Áκ

Þ Ø

Ð Ô Ó ÐÑ
غ
ËÞ Ñ Ø× Þ Ð

× Ð ÔØ Ø Ð
×ÓÖÓ ××Þ Ø

100 · (0, 9) ;
n=1 n=1

n



n=0

1 (-1) n ; 3
n

n=0

1 1 + n n 2 5

;

1 ; (3n - 2)(3n + 1)

n=2

n-1 ; n!
n=0



n+2-2 n+1+ n ;

1 . n!
n

Å

ÓÐ

׺

an
Ò

×ÓÖØ

ÓÒÚ Ö ×ÓÖÓÞ Ø º ÓÑ ØÖ

Ò×Ò

ÑÓÒ Ò×

Ù ¸ ×

Þ

Sn =
k=1

ak
×Þ ÑÓØ

ÝÒ Ú Þ ØØ Ö ×ÞÐ Ø ××Þ ×ÓÖ ××Þ

ÓÒÚ Ö

n

lim Sn = S
Ð ×Ñ ÖØ Ñ



Ò Ú ÞÞ

n=0

100 · (0, 9)n
n

×ÓÖÖ

´

Þ Ô × ÓÐ

ÓÒµ

Sn =
k=0

100 · (0, 9)k = 100 + 100 · 0, 9 + · · · + 100 · 0, 9n = 0, 9n+1 - 1 . 0, 9 - 1
¿º¿¾º ××Þ Ð º ص¸ Ó Ý

= 100 ·
Á×Ñ Ö Ø × ´Ð ×

1000¸

n

lim 0, 9n+1 = 0¸

Ý

Ñ

×ÓÖ

lim Sn =
n

¼

Áκ ËÇÊÇÃ



(-1)n

n=0

1 1 = - n 3 3 n=0

n
× Ý ÓÑ ØÖ ×ÓÖ¸ Ñ ÐÝÖ

n

Sn =
k=0

-

1 3

k

=1-

1 1 1 + + · · · + (-1)n n = 3 32 3

-

1 n -1 3 , 1 - -1 3 3 º 4
× Ò

Ñ ÐÝ

Ð

n

lim

-

1 3

n

=0

Ñ

ØØ

Ô Ù ¸

Ó Ý

S = lim Sn =
n
××Þ

n=0
ØÙÐ

1 1 + n n 2 5
ÓÒ× Øµ

×ÓÖ

× Ø Ò ´

Ð

×ÞÒ ÐÚ

Ú Ð × ×Þ ÑÓ

n

Sn =
k=0

1 1 + k 2k 5

=

1 1 1 1 1 1 + + 2 + ··· + + n = + 2 n 2 5 2 5 2 5 1 1 1 1 1 1 + 2 + ··· + n + + 2 + ··· + n = = 2 2 2 5 5 5 1 n 1 n -1 -1 1 2 1 5 = + , 2 1 5 1 -1 -1 2 5 = 1 2
n

Ñ

n

lim

=0

×

n

lim

1 5

n

=0Ñ

ØØ

¸

Ó Ý

1 5 1+ = º 4 4 1 n=1 (3n - 2)(3n + 1)

×ÓÖÒ Ð¸

S = lim Sn =
n

1 1 1 1 = - (3k - 2)(3k + 1) 3 3k - 2 3k + 1

( k N)

Ä

È

Ç

ÄÅ

Ã

Ë

Ä

ÈÌ

Ì

Ä

Ã

½

Ñ

ØØ

Sn =

1 1 1 1 + + + ··· + = 1 · 4 4 · 7 7 · 10 (3n - 2)(3n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - + + + ··· + = 3 1 4 4 7 7 10 3n - 2 3n + 1 1 1 = 1- , 3 3n + 1
×

=

1 1 = 0 Ñ ØØ Ô Ù ¸ Ó Ý S = lim Sn = º n 3n + 1 3 n-1 1 1 k-1 ×ÓÖÖ ÞÓÒÓ×× Ñ ØØ = - k! (k - 1)! k! n=2 n!
Ð

n

lim

n

Sn =
k=2

1 2 n-1 k-1 = + + ··· + = k! 2! 3! n! + 1 1 - 2! 3! + ··· + 1 1 - (n - 1)! n! =

=

1 1 - 1! 2! 1 , =1- n! 1 =0 n!
Ñ ØØ

Ñ

n

lim

¸

Ó Ý

n=1 n

n+2-2 n+1+ n
n k=1 n

S = lim Sn = 1º
n
Ý×Þ Öò ×Þ ÑÓÐ ×× Ð Ô Ù ¸ Ó Ý

×ÓÖÒ Ð

Sn = = =

k=1 n+2 k=3 n k=3

k+2-2 k-2



n

k+1+
k=1



k=

n+1 k=2

k+
k=1

k=
n k=2

k+ n+1+ n+2-2
n

k - 2 2 - 2 n + 1+

+
k=1

k + 1+ 2 = 1- 2 + n + 2 - n + 1.

¾

Áκ ËÇÊÇÃ

Ð

lim ( n + 2 - n + 1) = n ( n + 2 - n + 1)( n + 2 + n + 1) = = lim n n+2+ n+1 1 (n + 2) - (n + 1) = lim =0 = lim n n n+2+ n+2 n+2+ n+2 2¸ × Þ ×ÓÖ ××Þ º Ñ ØØ ¸ Ó Ý lim Sn = 1 -
Å ÑÙØ Ù ¸ Ó Ý

n 1

an =
ÒÓÑ

1+

1 n
n

n

n=0

n!

×ÓÖ

××Þ

Ñ

Ý Þ

Þ

×ÓÖÓÞ Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ

Ø Ö ÖØ

Ú Ð¸

Ñ Ø

¹Ú Ð

Ð ÐØ Ò º

Ð × Ø Ø ÐØ

an =

1+

1 n

n

=
k=0

n 1 = k nk

1 =1+n· + n 1 =1+1+ 2! 1 + 1- n!
Ý À

n(n - 1) 1 n(n - 1) · · · (n - (n - 1)) 1 + ··· + = 2 2 n n! nn 1 1 1 2 1- + 1- 1- + ···+ n 3! n n 1 1 1 n-1 1 = Sn , ··· 1 - 1 + + + ··· + n n 1! 2! n!
ÓÐÝ Ò¸ Ó Ý

lim an lim Sn º n m N Ö Þ Ø Øظ n N
n

an =

1+

1 n

n

n m¸

ÓÖ

Þ

Ð

Ð

1- 1 n + ··· +
Ó Ý

1+
Ñ Ð

1 1 + 1! 2!

1 m!

1-

1 n

··· 1 -

m-1 n

n

× Ø Ò

Ô Ù ¸

n
Þ Ô ÞÓÒÒ Ð

lim an 1 +
¸ Ó Ý

1 1 1 + + ··· + = Sm . 1! 2! m!

n

lim an lim Sn .
n

Ä

È

Ç

ÄÅ

Ã

Ë

Ä

ÈÌ

Ì

Ä

Ã

¿

ÞØ

ÓÖ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ð

××Þ Ú ØÚ

Ô Ù ¸

Ó Ý

S = lim Sn = lim an = e .
n n
Ð

º¾º Ð

غ
n=1 n=1

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

Þ

×ÓÖÓ

Ú Ö

Ò×



n+1-



n ;

n=1

n

0, 2 ;

1 ; 2n - 1 + 2n + 1
×ÓÖ Ú Ö Ò׸ ÓÒÚ Ö

n=1
Ò Ñ

1 ; n n=1 n+1- n . n
Ò׸ × Ö Þ Þ Ø Ö ÖØ Þ



Å

ÓÐ

׺

an

ÓÒÚ Ö Ú

Sn
µº

Ö ×ÞРع

××Þ



×ÓÖÓÞ Ø

Ò Ñ

n=1

n+1-
n



Ò× ´Ò Ñ Ð Ø Þ

n

×ÓÖ Ò¹

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ

Sn =
k=1



k+1-

k =

=

Ø Ð

× Ð¸

Ò׸

Þ Þ

3 - 2 + ··· + 2- 1 + n+1- n = = n+1-1 Ñ lim n + 1 - 1 = + Ñ ØØ ¸ Ó Ý ×ÓÖ Ò Ñ
n
Ú Ö Ò׺ × ÒÓ× Ø Ú Ø ÓÖ Ò Ø ÒÙÐØ Ò Ñ Ø ÖØ ÞÑ ÒÝ Ñ ×Þ Ö ÒØ ÓÞ¸ Þ ÖØ ÓÒÚ Ö

ÓÒÚ Ö¹

n
Ð

n 0, 2 ×ÓÖÒ Ð an = n 0, 2 n=1 lim n 0, 2 = 1¸ Þ Þ ×ÓÖ ÐØ Ð

ÓÒÚ Ö Ò
×ÓÖ Ö Ø Ö ÙÑ ¾º

n

lim an =
Ù
ݹ Ò׺

0¹

ØØ Ò Ñ

1 n n=1



n¹

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ

1 1 1 Sn = 1 + + + · · · + . n 2 3
à РÙÐÙ× Áº ××Þ ÝÞ Ø Ò × ×Þ Ö ÔÐ

1 n n=1



Ú Ö

Ò× ×ÓÖ

n¹

Ö ×ÞРع

Sn = 1 +

1 1 1 + + ··· + . 2 3 n

Áκ ËÇÊÇÃ

1 1 (n N) Ø Ð × Ð Ô Ù n n Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ø n N × Ø Ò¸ Ñ lim Sn = + Ñ n 1 ×ÓÖ Ú Ö Ò׺ lim Sn = +¸ Ø Ø n n n=1
Ý Ð ×ÞÒ ÐÚ ¸ Ó Ý

Þ ØØ

Sn Sn
¸ Ó Ý

½º Ñ


ÝÞ ×º

Þ

ÐÐ Ø ×

Ñ ÒÓÖ Ò×

Ö Ø Ö ÙÑÑ Ð ×

ÝÓÒÝ Ø

Ø º

1 2n - 1 + 2n + 1 n=1
n

×ÓÖÖ

Sn =
k=1



1 1 1 + + ··· + = = 2n - 1 + 2n + 1 1+ 3 3+ 5 1- 3 3- 5 2n - 1 - 2n + 1 + + ··· + = = 1-3 3-5 (2n - 1) - (2n + 1) 2n + 1 - 1 = , 2 2n + 1 - 1 = + Ñ ØØ Ñ lim ×ÓÖ Ú Ö Ò
غ n 2 n+1- n ×ÓÖ × Ø Ò¸ n n=1 k+1- k k = = >
Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ð

1 = 2k - 1 + 2k + 1

k+1- k k+1+ k k k+1+ k 1 k+1+ = k

=

k

1 > k(k + 1) + k (k N)

1 1 1 = 2(k + 1) 4k (k + 1)(k + 1) + k + 1
×ÞÒ Ð × Ú Ð Ô Ù ¸ Ó Ý

n n 1 1 1 1 k+1- k Sn = = = Sn , 4k 4 k 4 k k=1 k=1 k=1
n

ÃÇÆÎ

Ê

Æ

Á

ÃÊÁÌ

ÊÁÍÅÇÃ

ÓÐ

Sn

n

1 1 lim Sn = + × Þ Sn Sn 4 4 +¸ Ø Ø Ø ÒØ ØØ ×ÓÖ Ú Ö Ò׺

1 n=1 n



Ú Ö

Ò× ×ÓÖ Ò¹

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò×

º ¸ Ó Ý

n

lim Sn =

ÃÓÒÚ Ö Ò
º¿º Ð
× ´ Ú Ö

Ö Ø Ö ÙÑÓ
Þ Ð ×ÓÖÓ Þ Ð Ñ ÐÝ ÓÒÚ Ö Ò¹

غ
Ò×

Î Þ× µ

Ð

Ñ

¸

Ó Ý

1 ; 10n + 3 n=1 1 ; (n + 1) n n=1
n=1
Å ÓÐ





1 ; 3n - 1 n=1




n ; (n + 1)3 n=1
n=1 n=1



n ; (n + 1)2 n=1




1 (-1)n+1 ; n n=1 xn ; n
n=1

1 ; nn

n! ; 5n

n=1

xn ; n2

2n n! ; nn

n=1 3n n! n=1

100n ; n! ; .

nn

1 n=1 10n + 3
××Þ ×ÓÖÓÞ Ø ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð



׺

×ÓÖ ÔÓÞ Ø Ú Ø ÓÖÐ ØÓ׺

¸

Ý



ÓÒÚ Ö

Ò׸

Sn

Ö ×ÞРع

1 1 1 = (k 3) 10k + 3 10k + k 11k
n

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ñ

ØØ

Sn =
k=1
ÓÒÒ Ò ÓÒÚ Ö

1 10k + 1
Ñ ØØ

n k=1

1 1 = 11k 11
Ó Ý Ú Ö

n k=1

1 1 = Sn , k 11
Þ Þ

Ò׸

Sn +
Ú Ø

Ô Ù ¸ ×ÓÖ ×

Þ ×

ÔÔ Ò

Ò׺

Sn +¸

Sn
ØØ

Ò Ñ

1 n=1 3n - 1



×ÓÖ × ÔÓÞ Ø Ú Ø

1 1 (k 1) 3k - 1 3k
n k=1

Ñ

n

Sn =
k=1
Ý

1 3k - 1

n k=1

1 1 = 3k 3
Ø

1 1 = Sn , k 3
Ú Ö Ò׺

Sn +

Ñ

ØØ

Sn +¸

Ø

×ÓÖ

Áκ ËÇÊÇÃ

n 3 n=1 (n + 1)
Ñ ØØ



×ÓÖ ÓÐÝ Ò¸

Ó Ý

0 <

n n+1 1 < = 3 3 (n + 1) (n + 1) (n + 1)2
Ò× ×ÓÖÖ Ð Ø Ð Ö Ø Ö Ùѵ¸ Ý × Ø Þ ××Þ Ò׺ ¹

1 (n + 1)2 n=1
Ö Ø Ö ÙÑ Ð×



ÔÓÞ Ø Ú Ø ÐÐ Ø × Ø ´Ñ Ó Ý

ÓÒÚ Ö ÓÖ Ò×

×ÓÒÐ Ø

ÓÒÚ Ö

Ñ

n 2 n=1 (n + 1) 1 ØØ n=1 4n




ÓÐÝ Ò ×ÓÖ¸ ÔÓÞ Ø Ú Ø

n 1 n = ( n N) 2 2 (n + 1) (n + n) 4n
Ò× ×ÓÖÖ Ð Ø Ð Ö Ø Ö Ùѵ¸ × Ø Ý Þ Ú Ö ××Þ Ò׺ Ñ ØØ ×ÓÖÖ Ð ×ÓÒÐ Ø

Ú Ö

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ ×Ó

ÐÐ Ø × Ø ´Ñ ÒÓÖ Ò× ×ÓÖ¸

1 n=1 (n + 1) n 1
n=1
Ø Ð × Ø

1 1 1 < = 3 ( n N) (n + 1) n n n n2
Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ Òµ Ý × ´ ÓÒÚ Ö Ó Ý ÓÒÚ Ö Ò׺ ÓÖ Ò

n2

3

´

ÓÖ

Ò× ÔÓÞ Ø Ú Ø

Ñ

ÓÖ Ò×

Ö Ø Ö ÙÑÓظ

1 (-1)n+1 ÐÚ ÐØ ×ÓÖ n n=1 1 ×ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ
× n
×ÓÖÓ ÓÒÚ Ö Ò
Ö Ø Ö ÙÑ
n



ÞØ Ñ Ö

Ð ØØÙ µ

Þ

Ò Ñ

×

1 0 n 1 0 n
Ý

× Ø Ð

× Ð¸ Ò׺

Ý

ÐÚ ÐØ

ØØ ×ÓÖÙÒ ×

ÓÒÚ Ö Ñ ØØ

1 n n=1 n n0 N,
Ñ ØØ



×ÓÖÖ ¸

1 nn

=

1 n

q ]0, 1[
Ð Ý

× Ø Ò

n

1 < q nn
Ò׺

n n0 ¸
Ñ ØØ

Ù
ݹ

Ö Ø Ö ÙÑ

ÓÒÚ Ö

100n n=1 n! n n0 ¹Ö


×ÓÖÖ

100 0 n+1

q ]0, 1[

× Ø Ò

n 0 N¸

Ó Ý

100n+1 n + 1 = 100 < q, 100n n+1 n

Ý × Ý

³

Ð Ñ ÓÒÚ Ö

Öع Ò׺

Ð

ÒÝ

Ó×

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ

ØØ

×ÓÖ

×ÞÓÐ Ø

ÓÒÚ Ö

Ò×

ÃÇÆÎ

Ê

Æ

Á

ÃÊÁÌ

ÊÁÍÅÇÃ

n! n n=1 5



×ÓÖÖ ¸

(n + 1)! n+1 5n+1 = > 1, n! 5 5n n > 4¸ xn n=1 n |x| < 1¸
×ÞÓÐ Ø Ý ×ÓÖ ³ Ð Ñ Öع Ñ Ð ØØ Ý Ð ÒÝ
n

Ó×

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ

ØØ

Ú Ö Ý

Ò׺

×ÓÖÒ Ð¸ ÓÖ ÓÒÚ Ö ×ÓÖ

n n1
Ù
ݹ

lim

xn n

|x| = lim = |x|¸ n n n
Ø Ó Ú Ö ÐÑ Þ × Ò׺ × Ø Ò ×ÓÖ Ñ ØØ

Ö Ø Ö ÙÑ ÓÖ

×ÓÖ

Ò׸ Ñ

x=1
ÓÒÚ Ö ËÓÖÙÒ

× Ø Ò

1 n=1 n
Ò׸



|x| > 1¸
Ú Ö Ò× ×ÓÖ¸

x = -1



(-1)n

n=1

1 n

Ò× ×ÓÖº Ø Ø ÓÒÚ Ö



xn

Ú Ö À

2 n=1 n Ý |x| < 1
Ò׸ Ñ

× Ø Ò

n

lim

n

x [-1, 1[º n = 0
Ú Ö Ý Ñ ØØ Ð

lim
µ

n

xn n2
Ò¸

= lim
Ó Ý

n
×ÓÖ

|x| = |x|¸ ( n n)2
×ÞÓÐ Ø ÓÒ¹

× Ø Ò ´

×ÓÒÐ × Ø Ò

Ò Ñ ÒØ

x = 1¸
Ò× ×ÓÖÓ Ø

|x| > 1
ÐÐ ØÚ Ø Ø

x = -1¸

1 n2 n=1
×ÞÓÐ Ø



Ò׺ ×



(-1)n

n=1
ÓÒÚ Ö

1 n2

×ÞÓÐ Ø

ÓÒÚ Ö¹

Ô Ù º Ò× ´ × Ý ÓÒÚ Ö Ò×

ËÓÖÙÒ

x [-1, 1] × Ø Ò |x| > 1¹Ö Ú Ö Ò׺ ×µ¸ Ñ 2n n! ×ÓÖ ´ ×ÞÓРص ÓÒÚ n n=1 n 2n+1 (n + 1)! (n + 1)n+1 lim = lim 2n n! n n n

Ö

Ò

2 n+1 n
ÒÝ Ø

n

= lim

2 1 1+ n
Ø Ó

n

n

=

2 <1 e
к

Ñ

ØØ

Ò

³ ×ÓÖ

Ð Ñ Ú Ö

Öع Ò

Ð

Ó× Ö Ø Ö ÙÑ

ÐÑ Þ ×

n=1

3n n! nn

3n+1 (n + 1)! (n + 1)n+1 lim = lim 3n n! n nn

3 n+1 n

n

= lim

3 1+ 1 n
n

n

=

3 >1 e

Áκ ËÇÊÇÃ

Ñ

ØØ Ù Ý Ò
×

³

Ð Ñ

Öع

Ð

ÒÝ

Ó× Ö Ø Ö ÙÑ

Ø Ó

ÐÑ Þ ×

º

º º Ð
ÓÒÚ Ö Ò×

غ

Î Þ× Ý

Ð

Ñ ×ÞÓÐ Ø

¸

Ó Ý ÓÒÚ Ö

Þ

Ð ¹

×ÓÖÓ

Ú Ö

Ò×

¸

ÐØ Ø Ð × Ò

¸ Ú

Ò×



(-1)n+1

n=1 n=1
Å ÓÐ

2n ; n2



(-1)n

1 (-1)n+1 ; n

n=0

n+1 ; 3n

1 (-1)n+1 . n 3 n=1



׺

(-1)n+1

n=1

2n n2

×ÓÖ

Ú Ö

Ò׸ Ñ ÖØ

(-1)n+2 lim

2n+1 (n + 1)2 = lim 2 2n n n+1 (-1) 2 n
Ð ÒÝ ×ÓÖ Ó× Ö Ø Ö ÙÑ ³ Ð Ñ Ø Ó

n n+1

2

=2>1

´

³

Ð Ñ

Öع

ÐÑ Þ × Ø Ø Ó

Ð

×ÞÒ ÐÚ µº Ñ ØØ ¹


×ÞÓÐ Ø

(-1)n

n=0

n+1 3n

Öع Ö Ø Ö ÙÑ

ÐÑ Þ ×

ÓÒÚ Ö

Ò׸ Ñ ÖØ

(-1)n+1 lim


n+2 3n+1 = lim 1 · n + 2 = 1 < 1 . n+1 n 3 n + 1 3 (-1)n n 3
×ÓÖ ´ Þ Ò׸ Ñ ÖØ Ð Þ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ Òµ ÓÒÚ Ö Ò׸ Ò Ñ

1 (-1)n+1 n n=1
×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö

n=1
´ Þ º¾º Ð Ø Ø Ò

1 1 (-1)n+1 = n n n=1
Ú Ö Ò׺ Ò׺ ÓÒÚ Ö



ÞÓÒÝ ØÓØØ Òµ

×ÓÖ Ø

ÐØ Ø Ð × Ò ×ÓÖ Ú Ö

1 (-1)n+1 n 3 n=1 0



Ò׸ Ñ ÖØ µº

n

31Ñ

ØØ

1 lim (-1)n+1 = n n 3

´× Ø Ò Ñ × Ð Ø Þ

Ø Ö ÖØ

ÅæÎ

Ä

Ì

à ËÇÊÇÃÃ

Ä

ÅòÚ Ð Ø
º º Ð
ÓÖ

×ÓÖÓ
n=1

Ð
ÔÓÞ Ø Ú Ø ÓÖ Ø × ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸

غ
n=1

ÞÓÒÝ Ø× ×ÓÖ ×

¸

Ó Ý Ò׺ Á Þ¹

an

an 2

ÓÒÚ Ö

Ø Ø Ð Ñ

Å

ÓÐ

׺

Ý ÔÓÞ Ø Ú Ø ×ÓÖÓÞ Ø Ò׸ Ý

×ÓÖ

ÓÖ

×
×

ÓÖ

ÓÒÚ Ö

Ò׸

Þ

Sn

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ



ÓÖÐ ØÓ׺

an
ÓÖ

ÓÒÚ Ö

n=1

K R¸
Ý

Ó Ý

n N¹Ö Sn = a1 + · · · + an < K º
¸ ÓÒÚ Ö Ò׺ ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸

Þ Þ

Sn

Sn = a1 2 + · · · + an 2 (a1 + · · · + an )2 < K 2 n N¹Ö
× ÓÖ Ò׺ ÓÖÐ ØÓ׸ Ø ×



an 2

×ÓÖ

n=1
Ø Ø Ð Ñ ×ÓÖ Ú Ö Ò Ñ Þ¸ Ñ ÖØ Ôк

1 n2 n=1 an 2



1 n n=1



º º Ð

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

n=1

×

n=1

bn 2
n=1

ÓÒÚ Ö

Ò×

¸

ÓÖ

n=1
×ÓÖÓ
Å ÓÐ

|an bn | ;
º



(an + bn ) ;

2

n=1

|an | n

×

ÓÒÚ Ö
׺

Ò×

Þ ×

an 2 + bn 2 2
× Ðº Ð Ò Í Ý Ò Ö × ×ÓÖ ×

an 2 bn 2 = |an bn | (n N)
ÓÖ Ò

´ ×Ñ Öص Ò
Øص

Ý ÒÐ ØÐ Ò¹ ´ ¸ Ñ Ð× ÓÒÚ Ö¹ Ó Ý ØØ Ñ ¹ ÐÐ Ø × Ò׸

Ø Ð

an 2
Ö

×

bn
Ð

2

ÓÒÚ Ö Ø Ø Ð Ñ

Ò× ×ÓÖÓ

ÓÑ

ÚÓÒ Ø ÓÞ Þ

an 2 + bn 2 2 n=1

ÓÖ Ð ×Þ Ö ÒØ ÓÖ Þ

ÓÒÚ Ö ×ÓÖظ Þ × Ý

Ò׸ Ñ ÐÝ Þ ××Þ Ò׸

Ý ÒÐ ØÐ Ò× ×ÓÒÐ Ø Ö Ø Ö ÙÑ ×ÞÓÐ Ø



n=1

|an bn |

Ô Ù ¸ ÓÒÚ Ö

Ó Ý Ò× ×º

ÓÒÚ Ö

Þ Þ

an bn
Ý ÒÐ × ÐØ Ø Ø Ð

ÓÒÚ Ö

(an + bn )2 = an 2 + bn 2 + 2an bn (n R) × Þ Ð × ×ÞÒ 2an bn ÓÒÚ Ö Ò
(an + bn )2 ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׺

¸ ¸

an 2 ,
Ó Ý

bn 2

×

¼

Áκ ËÇÊÇÃ

n=1
Ó Ý

an 2
n=1

×

1 ×ÓÖÓ ÓÒÚ 2 n=1 n |a | 1 n an = ×ÓÖ n n=1 n
ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý



Ö

Ò

×

Ð

Ø

Ð×

ÐÐ Ø ×

¸

ÓÒÚ Ö

Ò׺

º º Ð
Ú Ö Ò׺
Å ÓÐ

غ
׺ 
Ý

ÓÒÚ Ö

Ò×

×

Ý

Ú Ö

Ò× ×ÓÖ

××Þ

an
Ñ

ÓÒÚ Ö Ý

Ò× ×º

×

××Þ × ÓÒÚ Ö

ÓÒÚ Ö Ò׸

Ò× Ð ÒÒ ¸ ÐÐ ÒØÑÓÒ

bn =

bn Ú Ö Ò× ×ÓÖÓ [(an + bn ) - an ] Ò

¸

(an + bn ) Ó Ý bn

ÌÞ
º º Ð
×ÞÓ× Ø Þ

× Ø ÖØ
ÒÝ Ó× ÒØ Þ Ð Ú Ø Ð Ò ×Þ ¹

غ

Ö

Ð Ø

Ø

×Þ ×Þ Ñ

× Ø ÖØ

0, 3 ;
Å ÓÐ

0, 25 ;

20, 725 ;

0, 2321 .

׺ Á×Ñ Ö Ø ×¸ Ó Ý x ]0, 1[ Ú Ð × ×Þ Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ö Ø x = an Ð Ò¸ ÓÐ an {0, 1, . . . , 9} × Ò Ñ Ð Ø Þ m N¸ Ó Ý am < 9 n n=1 10 × ak = 9 k N, k > m × Ø Òº ÓÒ Ð Ð º Þ ØØ ×Þ Ö ÔÐ Ú Ø Ð Ò ×ÓÖ ××Þ Ø 0, a1 a2 . . . an . . . Ñ k, l N, ak+n = ak+l+n (n = 0, 1, . . . )¸ ÓÖ ÌÓÚ ¸ 0, a1 . . . ak-1 ak . . . ak+l-1 Ñ ÓÒ Ð ÐØ ×Þ ×ÞÓ× Ø Þ × Ø ÖØÖ Ð ×Þ Ð Ò º y R, y Z¸ / ÓÖ x ]0, 1[ × l Z¸ Ó Ý y = l + x¸ Ý Þ À Ô y = l, a1 a2 . . . an . . . Ð Ð ×Ø ×ÞÒ Ð Ù º



Þ ÖØ

0, 3 =

3 3 = 10n n=1 n=1
n=1





1 10

n

=

3 10

1- =

1 10

=

3 10 10-1 10

=

1 3 = 25 99

0, 25 =

25 = 100n

n=1

25

1 100

n

25 100

1-

1 100

=

25 100 100-1 100

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

½

7 + 20, 725 = 20 + 10

n=1

25 10

1 100

n

= 20 +

7 25 20 · 990 + 7 · 99 + 25 19518 = 20 + + = = 10 990 99 990 321 2 + 0, 2321 = 10 n=1 10 =
ýÐØ Ð Ò

25 7 + 10001 = 10 1 - 100



1 1000

n

=

2 321 1998 + 321 2319 + = = 10 9990 9990 9990

321 2 + 10000 = 1 10 1 - 1000

a1 . . . an , b1 . . . bk = a1 . . . an + = a1 . . . an + b1 . . . bk 10k
n=0

n=1

b1 . . . bk 10nk
n

= b1 . . . bk 10k 1 1 1- k 10 =

1 10k

= a1 . . . an +

(10k - 1)a1 . . . an + b1 . . . bk b1 . . . bk = = 10k - 1 10k - 1 a1 . . . an b1 . . . bk - a1 . . . an = 10k - 1 = a1 . . . an +

Ý ÓÖÐ
½º ËÞ Ñ Ø× Þ Ð ×ÓÖÓ ××Þ Øº

Ð

ØÓ
; 1 ; n(n + 1)(n + 2) n=1




(-1) 3(0, 8) ;
n=1

n

n

n=0

n=0

2 1 + (-1)n n n 3 4
n=1

2n + 1 ; 2 (n + 1)2 n
Þ Ð ×ÓÖÓ

9n2

1 . - 3n - 2
Ò× º

¾º

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

Ú Ö

n=1

n

0, 5 ;

n=1

1 ; 3n + 1



n=1

( n + 3 - n + 2) ;

¾

Áκ ËÇÊÇÃ

¿º

ÓÒÚ Ö Ñ ÐÝ

Ò

Ö Ø Ö ÙÑÓ Ò× ´ Ú Ö

Ð Ú Þ× Ò× µº

Ð

Ñ

¸

Ó Ý

Þ

Ð

×ÓÖÓ

Þ Ð

ÓÒÚ Ö

n=1

1 ; 2n2 + 3



(-1)

n+1

n=1

1 ; 3 n


n=1

2n ; 3n + 4

1 ; n n+1 n=1
n=1 n=1
º Î Þ× × ¸ Ú Ð Ý Ñ ¸ Ó Ý ×ÞÓÐ Ø

2n ; 3n n=1 n ;
n=1



1 ; 2n( n + 1 + n) n=1 (n!)2 ; (2n)!
n=1



n+1- n

(n!)an ; nn

an n ;

n3 (3 + (-1)n )n ; 5n n=1
Þ Ð Ò× ×ÓÖÓ ¹ º Ú Ö Ò× ÓÒÚ Ö

n5 . 2n + 3n n=1
¸ ÐØ Ø Ð × Ò ÓÒÚ Ö Ò¹



(-1)

n+1 2

n=1
º ÞÓÒÝ Ø× ¸

· 3n ; n3

(-1)n ; n+1 n=0
n=1



5 (-1)n+1 2n . 6 n=1
Ø Ú Ø ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸ ÓÖ



Ó Ý

an

Ò ÑÒ

n=1
º



an n
Ñ

×ÓÖ × ÓÐÝ Ò

Þº Ú Ö Ò× ×ÓÖÓ Ø¸ Ñ ÐÝ Ò Ú Ò ÓÒÚ Ö Ò×
×ÓÔÓÖ¹

ÙÒ

ØÓ× ØÓØØ ×ÓÖ º º ÞÓÒÝ Ø× Ú ØØ º ¸ Ó Ý

(-1)n n+1 n=0

Ú Ö Þ Ð Ò׺ Ø Þ

ÐØ Ø Ð × Ò

ÓÒÚ Ö

Ò× ×ÓÖ

ÒÑ

Ú Ð

Ù
ݹ×ÞÓÖÞ Ø ¸ Ó Ý

ÞÓÒÝ Ø×

× Ø ÖØ

Ö
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ º

0, 37 ;

-4, 352 ;

6, 3441 ;

-12, 2335 .

κ

Ú ÒÝ
غ
Î Þ× Ð Ñ

Þ Ø

ÓÐÝØÓÒÓ××
Ð Ô Ó ÐÑ
¸ Ó Ý ÓÖÐ ØÓ× ¹ Þ Ð Ú ÒÝ

º½º Ð

f2 : [0, +[ R, f2 (x) = 5 - x ; 1 f3 : ]0, 100] R, f3 (x) = ; x 2x + 3 ; f4 : ]1, 100[ R, f4 (x) = - x-1 f5 : R R, f5 (x) = ax2 + bx + c (a, b, c R, a = 0) ; f6 : R R,
Ñ

f1 : R R,

f1 (x) = ax + b
2

(a, b R, a = 0) ;

f6 (x) = x2 - 4x + 6 .
ظ Ò ÑÙÑÙ Ú ÒÝ Øº

À Ø ÖÓÞÞ ´
Å

×ÙÔÖ ÑÙÑÙ

ظ Ñ Ü ÑÙÑÙ

ظ Ñ Ò ÑÙÑÙ

Ø

Ð Ø ÞÒ
ÓР׺

µº ý Ö ÞÓÐ

f : E R R ÓÖÐ ØÓ× E ¹Ò¸ K R¸ Ó Ý |f (x)| < K x E º f : E R R Ð ÐÖ Ð ´ ÐÙÐÖ Ðµ ÓÖÐ ØÓ× E ¹Ò¸ K1 (K2 ) R¸ Ó f (x) K1 (f (x) K2 ) x E º ÓÖ ×
× ÓÖ ÓÖÐ ØÓ× E ¹Ò¸ ÐÙÐÖ Ð × Ð ÐÖ Ð Á×Ñ Ö Ø ×¸ Ó Ý f
ÓÖÐ ØÓ׺ Þ¸ Ó Ý Þ × Ø Ò

Ý ×

K -b K ¹Ö x R¸ Ó Ý ax + b > K x > ¸ a > 0¸ a K -b x< ¸ a < 0¸ Þ Ô Þ ¸ Ñ ÖØ R × Ñ Ð ÐÖ Ð¸ × Ñ a Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺ Ý f1 ÒÒ ÞÓÒÝ Ø × ¸ Ó Ý f1 ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׸ ×ÓÒÐ º
¿

R¹

f Ô Ð ÙÐ Ð ÐÖ Ð Ò Ñ x E ¸ Ó Ý f (x) > K º f1 Ú ÒÝ × Ñ Ð ÐÖ Ð¸ ×
Ò¸ Ñ ÖØ

ÓÖÐ ØÓ× Ñ

E ¹Ò

ÞØ

Ð ÒØ ¸

Ó Ý

K R
ÓÖÐ ØÓ×µ

ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ× ´

Ý Ò Ñ

ÐÐ ØÚ ÐÙÐÖ Ð

κ

Î

Æ

Ã

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

Þ Ð ¸ Ó Ý f1 Ò Ñ inf f1 = -, sup f1 = +¸ ØÓÚ

ÓÖÐ ØÓ׺

max f1
y

×

min f1 º

y

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

0

x

0

x

f2 0 x2 ¸
Þ Å Ø Ð

Ú ÒÝ Ñ

Ð ÐÖ Ð

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ × Ðº

K = 5¹Ö

Ô Ð

ÙÐ

ÑÙØ Ø Ù ¸ Þ Ñ Ö
× Þ Þ

x [0, +[¹Ö Ø Ð Ó Ý sup f2 = 5º

5 - x2 5

Ð× ÓÖÐ Ø Ö K 5 ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ ¸ Ó Ý f2 K > 0¹Ö 5 - Ò Ñ Ð× ÓÖРظ Ñ Þ¸ Ñ ÖØ x [0, +[¸ Ó Ý 5 - x2 > 5 - x2 < 0 x < ¸ 1 1 ×Þ Ò 0 Ñ ØØ n0 ( ) N, Ó Ý n n0 ( )¹Ö x = < º n n x = 0 × Ø Ò f (0) = 5 = max f = 5º Ú ÒÝ ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺ Þ Ð Ø Ù ¸ Ó Ý K ¹Ö x Þ f2 [0, +[, 5 - x2 < K º 2 ÓÖ Þ Ð Ñ ØØ x [0, +[¹Ö 5 - x < K º À K > 5¸ 2 < K 5 - K < x2 5 - K < x¸ × À K 5¸ ÓÖ 5 - x ÐÝ Ò x [0, +[ Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ×× Ñ ØØ Ð Ø Þ º Ý inf f2 = - = min f2 º Ì Ø f2 Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺ × Ð¸

y

5

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

5 0

x

Ä

È

Ç

ÄÅ

Ã

Þ Å

f3

Ú ÒÝ

ÐÙÐÖ Ð Ó Ý

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ

ÑÙØ Ø Ù ¸

1 1 x 100
Í Ý Ò

1 1 < x 100 100 , 100 1 + 100
Ì Ø

1 = min f3 º 100 1 0 < x 100¸ Ñ Þ¸ Ø Ø Ð× ÓÖÐ Ø f3 ¹Ò 100 1 + Ò Ñ Ð× ÓÖРظ Ñ ÖØ x ]0, 100[¸ Ó ÓÖ > 0¹Ö 100 1 + 100 100 Ô + = x > < 100¸ ÙØ 100 1 + 100 inf f3 =
Ò Ñ Ö × ÒÝ ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ñ Ò Ò Ò Þ¸ Ð Ñ Ö Þ ¸ Þº Ó Ý

x ]0, 100[¹Ö

1 > 0º x

º Ý

f3

Ñ Ò

K

Ð×

ÓÖÐ Ø

Ö

inf f3 =
Å ×Ö

1 º 100 1 ×ÞØ f3 (100) = ¸ 100

K

1 100

f3

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¸ À

K >

1 ¸ 100

1 º 100 ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ K ¹Ö x ]0, 100[¸ Ó 1 1 1 K µº K ´ ×Þ Ò 100 x 100 1 1 Ý < K 0 < x < < 100¸ x K
Ý

min f3 =

Ý

1 > Kº x 1 K

Ñ

0,



]0, 100[ ÒÝ ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ñ Ò Ò Ð Ñ Ì Ø sup f3 = + = max f3 º
y

Ö

Þº

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

K

1 100 0

1 K

100

x

κ

Î

Æ

Ã

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

ÆÝ ÐÚ Ò À

x > 1¸

f4 (x) = -
ÓÖ

x ]1, +[¸
ÓÖ

5 5 5 > 0 - < 0 -2 - < -2 , x-1 x-1 x-1
Ø Ø ÓÞ ×ÓÒÐ

(2x - 2) + 5 5 2x + 3 =- = -2- x-1 x-1 x-1 x - 1 > 0¸ Ý

(x ]1, +[)º

-2

Ð× Ò

ÓÖÐ Ø Ð Ø Ø ¸

f4 ¹Ò
Ó Ý

º

max f4 ¸
Ø Ð × ÐÒ ¸

Ñ ÖØ Ñ Ð

Ø ØÐ Òº

-2 -

5 = -2 x-1
´ Þ Ð

Ð ÒÒ

sup f4 = -2º 5 ¸ Ý = 0¸ x-1
Ó Ý

Þ Þ

5=0

f4
À

ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ Þ¸ Ý

Þ ÒÝ ÐÚ Ò

K < -2¸ -2 -

K -2

K ¹Ö x ]1, +[¸
Ñ Øصº

-2-

5 < Kº x-1

5 5 5 < K - < K + 2 > -K - 2 x-1 x-1 x-1 x-1 1 5 < 1 < x < 1 + , 5 -K - 2 -(K + 2)
× Ø Þ

×

ÞØ Ø Ð Ý

5 ÒÝ ÐØ K+2 inf f4 = - = min f4 º 1, 1 - ax2 b 2a b + bx + c = a x + 2a 0 = a x + =
2 2
× Ø Ò

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ñ Ò

Ò

Ð Ñ º

f5 (x) = a>0 a x+
×

+
2

4ac - b2 ¸ 4a

Ý

2

b 2a

+

4ac - b2 4ac - b2 (x R) 4a 4a

f5

-b 2a
× Ø Ò

4ac - b2 ¸ 4a

Ý

inf f5 = b 2a
2

4ac - b2 = min f5 4a 4ac - b2 4ac - b2 (x R) 4a 4a

a<0 a x+
×

b 2a

0 = a x +

+

4ac - b2 4ac - b2 -b = max f5 º = ¸ Þ ÖØ sup f5 = 2a 4a 4a f5 a > 0 × Ø Ò Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ K R¹Ö x R¸ b 2 4ac - b2 4ac - b2 a x+ × Ø Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ + > K¸ Ñ K < 2a 4a 4a f5

Ó Ý Ð ¸ Ñ

Ä

È

Ç

ÄÅ

Ã

K

4ac - b2 4a

× Ø Ò

Þ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ú Ú Ð Ò×

Þ

x+

b > 2a
ÙÐ Ø Ð

4ac - b2 K - a 4a2
× Ð ÞÓÒ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

и

Ñ Ô Ð

xR

× Ø Ò¸ Ñ ÐÝÖ

x>

-b + 2a R

4ac - b2 K - , a 4a2
Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺ ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺

ÐÝ Ò Ô À ×ÓÒÐ Ì Ø

Ð Ø Þ Ò Ð Ø Ø

¸

×Þ Ò ¸

Ó Ý

f5 a < 0

× Ø Ò

Þ

Ð Þ

a > 0¹Ö sup f5 = +, max f5 ¸ a < 0¹Ö inf f5 = -, min f5 º f6 (x) = x2 - 4x + 6 = (x - 2)2 + 2 (x R)
Ô Ð Ö ÞÓÒÝ ØÓØØ Ø

Ú ÒÝÒ Ð¸

×ÞÒ ÐÚ

Þ

a = 1 > 0,

b = -4,

c = 6,

b = -2, 2a
×

4ac - b2 =2 4a

Ñ

ØØ

inf f6 = 2 = min f6 , sup f6 = +

max f6 º

º¾º Ð

غ

Î Þ×

Ð

Þ

Ð

Ú ÒÝ

ÑÓÒÓØÓÒ Ø × Ø

f1 : R R, f1 (x) = ax2 + bx + c (a, b, c R, a = 0) ; f2 : R R, f2 (x) = x3 ; f3 : R R, f3 (x) = xn (n N) . x1 , x2

Å ÓР׺ f : E R R ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× Ò µ E ¹Ò¸ E, x1 < x2 × Ø Ò f (x1 ) f (x2 ) (f (x1 ) f (x2 ))º f ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× Ò µ E ¹Ò¸ x1 , x2 E, x1 < x2 × Ø Ò f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 ))º

κ

Î

Æ

Ã

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

b f1 (x) = a x + 2a
À

4ac - b2 (x R)º 4a b a > 0 × x1 , x2 < - , x1 < x2 = 2a b b b 2 x1 + > < x2 + = x1 + 2a 2a 2a + = a x1 + b 2a
2

2

x2 +
2

b 2a

2

=

> a x2 +

b 2a

=
2

= a x1 +

b 2a

2

+

4ac - b2 b > a x2 + 4a 2a = f1 (x1 ) > f1 (x2 )
Ò ÓÖ ´a

+

4ac - b2 = 4a

= f1
À ×ÓÒÐ

×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ø ¸ Ó Ý

-, - > 0µ f1
×Þ

b 2a
ÓÖ

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú

Ò Ð Ø

À

b - , + ÒØ 2a Ô a < 0¸
×Þ ×Þ ÓÖ ÓÖ

ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº ÓÖ Ú Ò

f1 f1

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ò ÑÓÒÓØÓÒ
×

= f2 (x1 ) < f2 (x2 )¸ Ý Þ f2 R¹ Òº n n = f (x ) < Ý x1 < x2 À n Ô Ö ØÐ Ò × x1 , x2 R, x1 < x2 ¸ 3 1 f3 (x2 ) = f3 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú R¹ Òº n n = f (x ) > Ý x1 , x2 0, x1 < x2 × Ø Ò x1 > x2 À n Ô ÖÓ׸ 3 1 f3 (x2 ) = f3 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ] - , 0] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº x1 , x2 0, x1 < x2 × Ø Ò x1 n < x2 n = f3 (x1 ) < f3 (x2 ) Å [0, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº = f3 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú
Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú

x1 , x2 R, x1 < x2 ¹Ö

x1 < x2

3

b -, - 2a ¸ b - 2a , + 3

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

¸

ÆÄ

Ì

Ë

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

ÓÐÝØÓÒÓ×× ¸
º¿º Рغ
Î Þ× Ð Þ Ð

Ý ÒÐ Ø × ÓÐÝØÓÒÓ××
Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×× Ø

f3 (x) = [x]

f1 (x) = |x| 2 x - 4 f2 (x) = x + 2 0
2

(x R) ; , , x = -2 x = -2 (x R); (x R) ;

f4 (x) = ax + bx + c f5 (x) = |x2 - 4| f6 (x) = x
r
Å

(x R) ;

(x R; a, b, c R) ; (x Df6 , r Q) .

ÓР׺ Þ f: E R R Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× x0 E ¹ Ò¸ > 0 () > 0, x E, |x - x0 | < () = |f (x) - f (x0 )| < º f Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Ò¸ x0 E ¸ Ú Ý / > 0, () > 0, x E, |x - x0 | < () = |f (x) - f (x0 )| º

f1 (x) = |x| (x R) Ú ÒÝ x0 R¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ׺ x0 = 0¸ ÓÖ > 0¹Ö () = × Ø Ò x R, |x - 0| < () = = |f (x) - f (0)| = ||x| - |0|| = |x| = |x - 0| < º ÓÖ > 0¹Ö () = min {, |x0 |} × Ø Ò x R À x0 = 0¸ |x-x0 | < () ´sign x = sign x0 Ñ Øص = |f (x)-f (x0 )| = ||x|-|x0 || = |x - x0 | < º Þ f2 Ú ÒÝÖ ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð × Ð¸ Ó Ý
Þ À

f2 (x) = f2
Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ× Ó Ý

x-2 , 0 ,
Ò¸ Ñ ÖØ ÓÖ

x = -2 . x = -2
× Ø Ò

n N,

x0 = -2¹ 1 < () × n

= 1¹Ö () > 0 1 x = -2 + R × Ø Ò n

1 1 - (-2) = < () n n 1 = |f (x) - f (x0 )| = -2 + - 2 - 0 3 > 1 = . n |x - x0 | = -2 +

¼

κ

Î

Æ

Ã

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

À

x0 = -2 Ø Ø×Þ Ð ×¸ Ý f2 ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Ò¸ Ñ ÖØ > 0¹Ö () = min {, |x0 - (-2)|} × x R, Ó Ý |x - x0 | < ()¸ ÓÖ |f (x) - f (x0 )| = |x + 2 - (x0 + 2)| = |x - x0 | <
Ú Ø Þ º

¸

f3

Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ׸ ÓÖ

Ý

x0 Z º f3 (x0 ) = x0 , f3 (x) = x0 - 1¸ x ]x0 - 1, x0 [º 1 = ¹Ö ()¹Ö ¸ x K(x0 , ()) ]x0 - 1, x0 [¸ 2 |f (x) - f (x0 )| = |x0 - 1 - x0 | = 1 > 1 = 2

ÓÖ

Ú Ø À

Þ

º ¸

x0 Z ¸ / ÓÖ z0 Z, z0 < x0 < z0 + 1 × Ý > 0¹Ö () = min {x0 - z, z0 + 1 - x0 }¸ ÓÖ x K(x0 , ())¹Ö |f (x) - f (x0 )| = |z0 - z0 | = 0 < .
Ý

f3

ÓÐÝØÓÒÓ×

Ý×Þ Öò Ò Ò Ñº Á×Ñ Ö Ø ×¸ ØÓÒÓ× ¸ Ø ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ð Ø

x0 Z ¹ /
Ø ¸ Þ

Òº

Ó Ý

x0 Z ¹
×

Ò

f3

Ó

Ö Ð

ÓÐÝØÓÒÓ׸

ÐÖ Ð

Ó Ý Ð×

x0 R¹Ö
Ø Þ

x x2 , x x, x c (x R)
º ÞØ ÓÐÝØÓÒÓ×× Ô Ù ¸ Ð ×ÞÒ ÐÚ Ó Ý Þ

Ú ÒÝ Ö × ÓÑ

ÓÐݹ Ò
¹

× ÑòÚ Ð Ø Ð Ò

Ô
×ÓÐ Ø Ö

Ø Ø ÐØ

f4 Ú ÒÝ × ÓÐÝØÓÒÓ× x0 R¹ Òº 2 - 4| (x R) 2 Þ f5 (x) = |x Ú ÒÝ Þ f (x) = x - 4 (x R) g(x) = |x| (x R) Ñ Ò Ò ØØ ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ Ð g f = f5 Ñ
ÓÒ ××Þ Ø ØØ Ú Òݸ Ý Þ ××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×× ÚÓÒ Ø ÓÞ À À À Ø Ø À Ø Ø Ð Ñ ÓÖ

× ¹

Ö

r = 0¸

× Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ׺ Þ ØØ ´

f 5 x0 R ¹ Ò f6 (x) = 1 (x R)¸
ØØ

ÓÐÝØÓÒÓ׺ Ñ ÓÖ Ñ ØØ

x0 R

r r |x- 0| = |x| < () = r ¸ ÓÖ |f6 (x)- f6 (0)| = |x | = |x| < r = Ú Ø Þ ¸ × Þ f6 ÓÐÝØÓÒÓ×× Ø x0 = 0¹ Òº ××Þ ÞÚ r > 0 (r Q)¸ Ý f6 ÓÐÝØÓÒÓ× [0, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

r > 0 Ø Ø×Þ Ð × Ö
ÓÒ Ð × ×Þ Ñ¸ ÓÖ f6 x [0, +[¹ÓÒ ÖØ ÐÑ ¹ x ] - , 0[¸ Ý
× ÞÓÒÝÓ× r ¹ Ö µº x0 > 0¸ Ý Þ ØÚ Ø Ð ÐÚ × ×ÓÖÓÞ ØÓ Ö Þ Ð Ò ÐÞ ØØ Ø x0 ¹ Òº Ð Ð Ô Ò Ô Ù f6 ÓÐÝØÓÒÓ×× 1 x0 = 0¸ ÓÖ > 0¹Ö () = r Ú Ð ×ÞØ ×× Ð¸ x > 0 ×
1 1

r

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

¸

ÆÄ

Ì

Ë

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

½

À ØØ

r < 0 (r Q)¸
ÒØ ¸

ÓÖ

xr =

x-r = 0 (x ] 0, + [ )¸ Ò Ø ÓÞ ¾º Ø Ø Ð Ñ ØØ f6
Å ÓÖ Ú Ð À Ý ÞÞ ¸

-r Ó Ý x
Ý Ò Ô Ð

ÓÐÝØÓÒÓ×× Þ × Ø

1 (x ] 0, + [ ) x-r ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ] 0, + [
× ÑòÚ Ð Ø Ò × ÓÐÝØÓÒÓ× ×

×

× Ø Ò¸ ØÓÚ Ô
×ÓÐ Ø Ö

-r > 0

Ñ ¹

ÚÓ¹ º

º º Ð
Å ÓÐ

x x R¹Ö ÖØ ÐÑ Þ Ò ÓÐÝØÓÒÓ׺ Ñ ÒØ Þ Ð Ñ ØØ f6 x0 R¹ 1 Ô Ð ÙÐ f6 (x) = (x = 0)¸ Ý f6 x0 = 0¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ׺ xn f6 (x) =

n

Ó Ý

ÙÐ

1 r= n

n = 2k - 1 (k N) Ö Þ Ø Øظ n ØØ × f6 (-x) = - x (x R)¸

x0 ] 0, + [¹Ö

غ

ÞÓÒÝ Ø× Ò ÔÓÒØ

¸

Ó Ý

Ö
ÓÒ Ð × º Ð

Ú ÒÝ

ÖØ ÐÑ Þ ×

Ø Ö¹

ØÓÑ ÒÝÙ
׺

Ñ Ò

Ò ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ

Ö
ÓÒ Ð ×

ÐØ Ð ÒÓ×

R(x) =
× ÓÐÝ Ò

xR
ÓÖ

× Ø Ò Ð

xR

an + an-1 + · · · + a0 Pn (x) = k+b k-1 + · · · + b Qk (x) bk x 0 k-1 x
× Ø Ò Ø× ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ó Ý × ¸ ÓР׸

xn

xn-1

(x DR )
Ð

Qk (x) = 0 ´Ð
ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×

k

Ð Ò

Þ

×Þ Ö ÒØ

Pn (x)

Qk (x) = 0µº Qk (x) Ú

DR )¸ Ý ÓÐÝØÓÒÓ×× R ÓÐÝØÓÒÓ×× Øº

× ÑòÚ Ð Ø

Ô
×ÓÐ Ø Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ

Qk (x) = 0 (x
¾º Ø Ø Ð

º º Ð
Å ÓÐ

f1 (x) = - 2x + 2 (x R) [0, 2[¸ ÐÐ f2 (x) = x3 + 3x2 - 4 (x R) [-1, 1]
׺

غ

Ý ÒÐ Ø × Ò

ÓÐÝØÓÒÓ×

¹

Þ

Ð ØÚ

Ú ÒÝ

x2

[0, +[

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ¸

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

f1 Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ× [ 0, 2 [ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ Ñ f1 (x) = (x - 1)2 + 1 (x R) Ñ ØØ x, y [0, 2[¹Ö

ÖØ

|f1 (x) - f1 (y)| = |(x - 1)2 - (y - 1)2 | = |x - y||x + y - 2| < 2|x - y| , 1 Ý > 0¹Ö () = x, y [0, 2[ × Ú Ð ×ÞØ ×× Ð¸ 2 1 |x - y| < () = = |f1 (x) - f1 (y)| < ¸ Ñ Þ Ý ÒÐ Ø × ÓÐÝØÓ¹ 2
ÒÓ×× Ò
Ñ ØØ ÐÐ Ø ×ÙÒ Øº Ò Ñ

f1
Ó Ä

[0, +[¹ÓÒº Þ ÞØ ÐÐ Ð ØÒ ¸ Ó Ý > 0, () > 0¹Ö x, y [0, +[¸ Ý |x - y| < () = |f1 (x) - f1 (y)| º 1 1 1 , () > 0 Ø Ø×Þ Ð ×º 0 Ñ ØØ n N, Ó Ý < Ý Ò = 2 n n
Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ×

¾

κ

Î

Æ

Ã

ÇÄ

ÌÇÆÇËËý

()º

Ä

Ý Ò

x = n, y = n +

1 ¸ n

ÓÖ

|x - y| =

1 < () = n 1 -1 n
2

f1 (n) - f1 n + = 1 n

1 n

= (n - 1)2 - n + 1 -2 n = 2+

=

2n +

2 1 1 - 2 n n

´

×Þ Ò

2+

ÒÝ ÐÚ Ò Þ

Þµº

1 2 - 1 n2 - 2n + 1 0 (n - 1)2 0¸ 2 n n
Þ ¸ Ø

Ñ

f2
ÓÑ ¸ Ó Ý

Ú ÒÝ Ò
ÓÑÔ

Ö ×

x x3 , x x2 × x 1 ÓÐÝØÓÒÓ× [-1, 1] ÓÑÔ Ø ÐÑ Ý ÓÐÝØÓÒÓ×
ÐÑ ÞÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ

Ú ÒÝ ÞÓÒº

Ð Ò ¹ Þ Ô

Ñ Ú Ð

Ý ÒÐ Ø × Ò

ÓÐÝØÓÒÓ×

f2
Ä

Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ×

[-1, 1]

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

º º Ð
E3 =]2, 3[º
Å ÓР׺

غ

Ý Ò Ø

f (x) =
¹ Þ

ÃÓÑÔ

1 (x ]0, +[)º E1 =]0, 1], E2 = [1, 2], x2 f (E1 ), f (E2 ), f (E3 ) ÐÑ ÞÓ 1 > Kº x2

f
À À

Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ× ÓÖ Ý

Ð ÐÖ Ð

]0, 1]¹

Ò¸ Ñ ÖØ

K 0¸ K > 0¸

1 ÖÑ ÐÝ 0, K Ý f (]0, 1]) Ò Ñ
ÓÑÔ Ø¸ ÓÑÔ

1 x ]0, 1]¹Ö 2 > 0 K Ñ ØØ Þº x 1 1 1 > K > 0 x2 < 0 < x < ¸ 2 x K K
Ð Ñ Ö ÓÖÐ ØÓ׸ Ø Ð × Ðº ÓÑÔ Ø¸ ×Þ Ò

K R x ]0, 1]¸

Ó Ý

Ñ

Þ ÖØ Ò Ñ Ò ¹

ÓÖÐ ØÓ×

× Þ ÖØ ´À

ÓÖ Ð Ø Ø Ðµº ÓÑÔ

A R
Ø ÐÑ Þ¸ Óѹ

f ([1, 2])
Ô Ø

ظ Ñ ÖØ

f
Ô

ÓÐÝØÓÒÓ× Ô

[1, 2]¹Ò¸ [1, 2]
ÓÑÔ Ð Øº ×ÞÒ ÐÚ

ÐÑ Þ ÓÐÝØÓÒÓ× Ø

f

ÓÐÝØÓÒÓ××

× ÑÓÒÓØÓÒ Ø × Ø Ò Ñ Þ ÖØ

Ð Ø

Ø ¸

Ó Ý

1 1 , 9 4
Ð

¸

Ñ

ÓÖÐ ØÓ׸ ص¸ Ý

ÐÑ Þ ´Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ò Ñ ÓÑÔ Øº

f (]2, 3[) = 1 Ôк Þ ØÓÖ¹ 9

× ÔÓÒØ

f (]2, 3[) =

1 1 , 9 4

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

¿

Ý ÓÖÐ
½º Î Þ× Ð Þ Ð Ú ÒÝ ×Þ ÑÓ Ø ´

Ð
ÓÖÐ ØÓ×× Ð Ø ÞÒ

ØÓ
ظ µ Ø ÖÓÞÞ Ñ

sup fi ,

inf fi , max fi , min fi

f1 (x) =

¾º Î Þ×

Ð

Þ

f4 (x) = -x + 4x + 6 (x ] - 1, 2]) ; 3 -1 (x R \ {1}) . f5 (x) = x-1 f1 (x) = x 3 f2 (x) = x 2x f3 (x) = 1 + x2 (x [0, +[) ; (x R) ; (x R)

f3 (x) = |x - 1|
2

4 - x2 f2 (x) = -3 x

(x [-2, 2]) ; (x R) ; (x 0) ;

Ú ÒÝ ¿º Î Þ× Ð

ÑÓÒÓØÓÒ Ø × Øº Þ

f1 (x) = -3x + 4

f4 (x) =

f2 (x) = [2x] 2 x - 9 f3 (x) = x - 3 2

(x R) ; , x=3 , x=3

(x R) ;

;

2x + 1 , x 0 ; x2 - 2x , x > 0 3 2 + xn (x R)
Ú ÒÝ Þ

f5 (x) = lim
Ú ÒÝ º ÓÐÝØÓÒÓ×× Øº

n

Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ×¹

E1 =]0, 1], E2 = [2, 3]

×

1 (x R \ {0}) x2 E3 = [1, +[ ÐÑ ÞÓ ÓÒ
Þ

f (x) =

ÎÁº

Ú ÒÝ
غ
µ Ä Ø ÞÒ ¹ Þ

Þ Ø

Ø Ö ÖØ
Ð Ô Ó ÐÑ ×Ø Ø Ð
Ø Ö ÖØ
µ Ð

º½º Ð

x4

lim (3x - 5) ;
× ÔÓÒØ º

µ

x2 - 9 ; x3 x - 3 lim

x2

lim [x] .

Å

ÓÐ

׺

µ

x0 = 4

ØÓÖÐ

Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò

µ

> 0 () > 0, x R, 0 < |x - 4| < () = |3x - 5 - 7| < º Å Ú Ð Þ ÙØ Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ú Ú Ð Ò× Þ |x - 4| < Ý ÒÐ ØÐ Ò× ¹ 3 и × Þ Ø Ð × Ð¸ () = ¸ Ô Ù Þ ÐÐ Ø ×غ 3 x2 - 9 x2 - 9 lim = 6º x0 = 3 Ð Ñ Þ f : R \ {3} R, f (x) = x3 x - 3 x-3 x2 - 9 Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò º f (x) = x = x + 3¸ x-3 R \ {3} Ñ ØØ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¸ Ó Ý > 0 × Ø Ò () = Ú Ð ×ÞØ ×× Ð¸ x R, 0 < |x - 3| < () = ¸ ÓÖ |(x + 3) - 6| = |x - 3| < ¸ × Þ
Þ ÐÐ Ø ×غ

x4

Þ f : R R, f (x) = 3x - 5 lim (3x - 5) = 7º Þ ÞØ ÐÐ

Ú ÒÝ

ÖØ ÐÑ ¹ Ó Ý

Ð ØÒÙÒ ¸

µ

f : R R, f (x) = [x] Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò º A = 1 Ò Ñ Ø Ö ÖØ º Þ ÞØ ÐÐ Ð ØÒ ¸ Ó Ý > 0, () > 0¹Ö x R, 0 < |x - 2| < ()¹Ö |[x] - 1| > º 1 ()¹Ö x K(2, ()) ]2, 3]¸ Ñ ÐÝÖ [x] = 2¸ Ý Ä Ý Ò = 2 1 |[x] - 1| = 1 > º 2 1 A = 2 × Ñ Ð Ø Ø Ö ÖØ ¸ Ñ ÖØ = ¹Ö () > 0 × Ø Ò x 2

x2

lim [x]

Ø Ö ÖØ

Ò Ñ Ð Ø Þ

º

x0 = 2

ØÓÖÐ

× ÔÓÒØ

Þ

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

K(2, ()) [1, 2[¸

Ñ ÐÝÖ

[x] = 1¸

Ñ ÐÝ

Ð

½º Ñ

A {1, 2} Ú Ð × ×Þ Ñ × Ñ Ð Ø Ø Ö ÖØ ¸ Ñ ÖØ / = min {|A - 1|, |A - 2|}¸ Ý () > 0¹Ö x K(2, ()) [1, 2[¹Ö [x] = 1 = |[x] - A| = |A - 1| º

|[x] - 2| = 1 >

1 2

Ú Ø

Þ

º

ÝÞ ×º

[x] = 2¸ x ]2, 3[¸ Ý > 0¹Ö () = 1 Ú Ð ×ÞØ ×× Ð¸ 0 < |x - 2| < Þ Ð× ÐÐ Ø ×غ 1 = |[x] - 2| = |2 - 2| = 0 < ¸ Ñ [x] = 1¸ x [1, 2[¸ Ý > 0¹Ö () = 1¹ Ø Ú Ð ×ÞØÚ ¸ x [1, 2[ = Ò
×Þ Ö ÒØ Ñ ×Ó ÐÐ Ø ×Ø |[x] - 1| = |1 - 1| = 0 < ¸ × Þ Ô
º



x2+0

lim [x] = 2

×

x2-0

lim [x] = 1º

x0 = 2¹

Ò Ø

Ø Ð Ø Þ ÞÓÒÝ Ø× ¸

Ú ÒÝ Ó Ó Ý µ

¹ ×

ÐÓÐ

Ð

Ø Ö ÖØ

º

º¾º Ð
µ

غ
x2

lim

1 = + ; (x - 2)2
µ

x3

lim

1-

lim

Å

ÓÐ

׺

2 . x1 x - 1
Ó Ý

2 (x - 3)2

= - ;

µ

Þ

ÐÐ Ø × ÓÞ

ÞØ

ÐÐ

Ð ØÒÙÒ ¸ Þ

x0 = 2 ØÓÖÐ

× ÔÓÒØ

f : R \{2} R, f (x) =
¸ Ñ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º ×

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò

1 (x - 2)2
× Ø Ò

Ú ÒÝ

K R¹Ö (K), x R \ {2} 1 > Kº (x - 2)2
À

|x - 2| < (K)

K 0¸

Ý

(K)

¸

×Þ Ò

{2}
À Ñ

× Ø Òº Ý

1 > 0 K x K(2, (K))\ (x - 2)2

K > 0¸
Ð Ò
Ú Ø Ø Ð

1 1 1 > K (x-2)2 < |x-2| < ¸ 2 (x - 2) K K 1 Ú Ð ×ÞØ × Þ ¸ Ó Ý ÓØØ K ¹Ö (K) = K
Ý Þ ÐÐ Ø ×غ ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Þ Ú ÒÝ

× Ð × Ø¸ ×

µ

Þ

ÐÑ Þ¸ Ñ ÐÝÖ ÐÐ Ð ØÒ ¸

2 f (x) = 1 - (x - 3)2
Ó Ý

ÒÝ ÐÚ Ò

3 Eº

E = R \ {3}

K R¹Ö (K) > 0, x E, |x - 3| < () = 1 -

2 < Kº (x - 3)2

Ä

È

Ç

ÄÅ

Ã

Ë Ì

Ì

Ä

Ã

2 < 0 K - 1 Ñ ØØ (K) > 0 º (x - 3)2 3 3 ÓÖ 1 - < K 1 - K < À K < 1¸ 2 (x - 2) (x - 2)2 3 3 Ñ Øظ (K) = (x - 2)2 < |x - 2| < 1-K 1-K 3 3 = ¸ Ý 0 < |x - 2| < (K) = 1 - < K. Ì Ø 1-K (x - 2)2
À

K 1¸

ÓÖ

-

µ

ÐÐ Ø × Þ

Þº

µ

x0 = 1
Ú ÒÝ µ ×

ÒÝ ÐÚ Ò ØÓÖÐ

×

ÔÓÒØ º

Þ

f (x) =
Ó Ý

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò µ Ö ×Þ Þ ×ÓÒÐ Ò Ð Ø

2 (x R \ {1}) x-1

Þ

Ø Ù ¸

x1+0
Ó ¹ × ÐÓÐ Ð

lim

2 = +, x-1
Ø Ö ÖØ ¸ Ó Ý Ð Ò

x1-0
Þ ¸

lim

2 = - . x-1
Ý Þ ÐÐ Ø × Þº

º¿º Ð
µ µ
Å ÓÐ

غ
x+

ÞÓÒÝ Ø×

1 + x2 1 lim k = 0 x+ x
׺

lim

x2

=1;
×

1 =0 x- xk lim

kN

Ö

Þ Ø Øغ

µ

Þ

f (x) =

ÓÖÐ ØÓ׺

x2 (x R) 1 + x2
Ó Ý

Ú ÒÝ

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

ÐÐ Ð ØÒÙÒ ¸

> 0 M (), x R x > M () =
À Ý À

> 1¸ M ()

Ý º

0<

x2 <1 1 + x2

Ñ

ØØ

x2 - 1 < 1 < ¸ 1 + x2

x2 - 1 < º 1 + x2
Ý

x R¸

1 1 x2 - 1 < < 1 + x2 > 2 2 1+x 1+x 1 1- 1- x2 > - 1 x > Ñ Øظ M () = ¸ ÓÖ x2 x > M () = Ò
×Þ Ö ÒØ Þ ÐÐ Ø ×غ - 1 < ¸ × Þ 1 + x2 < 1¸
ÓÖ

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

µ

Ò

×Þ Ö ÒØ Ô Ð

ÙÐ

x+

lim

> 0 M (), x R \ {0} x > M () = > 0¹Ö x > 0¸
Ý

1 - 0 < º xk 1 1 1 1 < k < xk > x > ¸ k k x x 1 1 M () = > 0 Ú Ð ×ÞØ ×× Ð Ô Ù ¸ Ó Ý x > × Ø k
Þ Þ Ø Ð ×ÓÒÐ × Ð Ò ¸ Ò
ÞÓÒÝ Ø Ó Ý º Ø º Þ Ø ØØ

1 = 0¸ xk

Ò

1 - 0 < ¸ xk
Ñ × ÐÐ Ø ×

º º Ð
µ µ
µ µ µ
Å ÓÐ

غ
x+ x+

ÞÓÒÝ Ø×

ÖÑ ÐÝ Ö

lim

xk

= + ;

k N¹Ö

lim -xk = - ; lim xk = +¸ lim lim k k x = + ; x = -¸
ÒØ ØØ Ó Ý ÓÖÐ ØÓ׺ Ô Ö ØÐ Òº Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ô ÖÓ× ×

x- x+ x-
׺

x-

lim xk = -¸

Ô Ö ØÐ Ò

Ø

E = R¸

Ñ ÐÝ

¹

Ð ÐÖ Ð µ

×

ÐÙÐÖ Ð × Ñ

µ

µ

K R M (K) R, x > M (K) = -xk < K º k À K 0¸ ÓÖ M (K) 0 ¸ ×Þ Ò x > M (K) 0 = -x 0 Kº k ÓÖ M (K) = -K × Ø Ò x > k -K xk > -K À K < 0¸ -xk < K ¸ Ý x > k -K = -xk < K º Ý Ò
K R¹Ö Ø Ð × Ðº k Ý x 0 x Rº Ð Ø Ù ¸ Ó Ý À k Ô ÖÓ׸ K R M (K) R, x < M (K) = xk > K ¸ Ñ Ò
×Þ Ö ÒØ
Þ ÐÐ Ø ×غ À

K R M (K) R, x > M (K) = xk > K º k À K 0¸ Ý M (K) > 0 ¸ ×Þ Ò x > M (K) > 0 = x 0 K º k k Ý M (K) = K × Ø Ò x > K xk > K ¸ Ý À K > 0¸ k k > Kº x > K = x +¹ Ò Ú ØØ + Ø Ö ÖØ Ò
Ø Ð × Ð¸ Ý Þ µ ÐÐ Ø × Þº k = -¸ Ò
×Þ Ö ÒØ lim -x
Ð Ø Ù ¸

x+

K < 0¸

ÓÖ

M (K) 0¹Ö x < M (K) 0 = xk 0 > K º

Ä

È

Ç

ÄÅ

Ã

Ë Ì

Ì

Ä

Ã

K 0¸ M (K) = - K × ÓÖ k k Þ ÖØ x < - K = x > K º K R¹Ö Ø Ð × Ðº Ý Ò
k À k Ô Ö ØÐ Ò¸ Ý sign x = sign xº k = -¸ Ò
×Þ Ö ÒØ lim x
À

k

Ø Ò

x < - k K 0 xk > K ¸

x-

µ

µ

K R M (K) R, x < M (K) = xk < K º k ÓÖ M (K) 0 x À K 0¸ ¸ Ñ ÖØ < M (K) 0 = x º k lim x = + (x 0) x+ K R M (K) R, x > M (K) = k x > K º Ý M (K) 0 ¸ Ñ ÖØ x > M (K) 0 = k x > 0 K º À K 0¸ k k À K > 0¸ Ð Ý Ò M (K) = K ¸ Ý x > K > 0 = k x > K º Ý K R¹Ö Ø Ð × Ð Ò
º . k x = - k x¸ È Ö ØÐ Ò k N × Ø Ò x < 0¸ × ÞÙØ Ò µ¹ Þ ×ÓÒÐ Ò
Ô Ù Þ ÐÐ Ø ×غ

º º Ð
µ µ
µ µ

غ
xx0 xx0 xx0 xx0

lim xk = x0 k ¸ kNÖ lim k x = k x0 ¸ kN lim xk = x0 k ¸ lim xr = x0
r¸

Þ Ø Øظ Ö

x0 R ;

Þ Ø Øظ

rQ

kZ

x0 0 ;

× ×

x0 > 0 ; x0 > 0 .
Þ

Å

ÓÐ

׺

Þ

ØÚ Ø Ð

ÐÚ ×Þ Ö ÒØ

Ò

×ÓÖÓÞ ØÖ

x0

ØÓÖÐ

Ø Ö ÖØ ¸ lim f (xn ) = Aº
xx0
× ÔÓÒØ Ú Þ× Ò Ú Þ× Ø Ð Ð º

f: E RR Ú ÒÝÒ xn : N E \ {x0 } x0 ¹ ÓÞ
Þ Ú ÒÝ

ÓÒÚ Ö

x0 E ¹
Ð ¸ Ð Ý ØÓغ

ÐØ

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ ¿º½¿º

Ø Ö ÖØ ÞÓÒÝ Ø × µ Þ Ð

×ÞÒ Ð Ù

×ÓÖÓÞ ØÓ Ò Ð

×Þ Ö ÒØ

xx0

ÖÓÞ ØÖ Ý Þ

xk xk n 0
ÐÐ Ø ×

lim xk = xk 0
× Ð¸ Ñ Ø Ú ×ÞÓÒØ

xn , (xn = x0 ), xn x0 ×Ó¹
ÞÓÒÝ ØÓØØÙÒ ¿º½¿º Ð Ø Ò¸

Ø Ð Þº

¼

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

µ À ×ÓÒÐ

Ò

xx0
Ø Òº

lim

k

x =

k

0), xn x0
¿º½¿º × Ð
µ µ Þ Ý Ù Ý Ò

×ÓÖÓÞ ØÖ

x0 xn , (xn 0, xn = x0 k x k x ¸ Ñ Ø ×Þ ÒØ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØÙÒ n 0
Ð ÐÐ Ø ×Ó Ø Ò Øº ÞÓÒÝ ØÓØØ ØÓÚ Ø ÐÐ Ø × Ð

ØÚ Ø Ð

ÐÚ
µ ×

× µ¹

¿º½¿º

À Ø Ö ÖØ
º º Ð
µ

× ÑòÚ Ð Ø ¸ ÐÐ ØÚ
Ä Ý Ò ÓÖÐ ØÓ׺

Ý ÒÐ ØÐ Ò×
x0 E ¸
Ú Ý

غ
ÓÖ

´ ÐÙÐÖ Ðµ Ò Ñ

f, g : E R R
ÞÓÒÝ Ø× ´Ú ¸ Ý

ÓØظ

E

Ð ÐÖ Ð

Ó Ý × ´Ú × ´Ú × ´Ú

xx0

lim f (x) = +
xx0

lim (f (x) + g(x)) = +
´Ú Ý

-µ -µ -µ

xx0
Ý

lim g(x) = A¸ lim g(x) = A¸ lim g(x) = A¸ -µº
× Ú Ø Ø Ø Ð Ò º × Ø Ò Ò Ú ØØ Ú ÐÐ Ø × ¹ Ø Ð ÞÓÒÝ ØÓØØ

µ

x+
ÓÖ

lim f (x) = +
x+

-µ

x+
Ý

lim (f (x) + g(x)) = +
´Ú Ý

µ

x-
ÓÖ

lim f (x) = +
x-

-µ

x-
Ý

lim (f (x) + g(x)) = +
ØÚ Ø Ð ÐÚ Ú ÐÐ Ø × × Ò Ð × Þ¸ Ý

Å

ÓÐ

׺

Þ Ð

Ò Ú ØØ Ú Ý×Þ Öò Ò

Ø Ð Ò ÞÓÒÝ Ø

Ø Ð Ò Ø ÔÙ× Ð µ ×ÞÒ ÐÚ

Ø Ö ÖØ ØÙÒ

¿º½ º

xx0
À

lim (f (x) + g(x)) = + xn x0 (x0 = xn E) lim (f (xn ) + g(xn )) = +º xn x0 (x0 = xn E)¸ ÓÖ ÐØ Ø lim f (xn ) = + (-) × lim g(xn ) = A¸
n
Ð Ý × Þ ØÚ Ø Ð Ð Ø Þ

n

ÐÚ Ñ ¸

ØØ Ó Ý

n n
µ ×
µ

¿º½ º ÐÚ

lim (f (xn ) + g(xn )) = + (-)¸
×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓØØ Ø º

Þ ÖØ

Þ

ØÚ Ø Ð

ÐÐ Ø ×غ

º º Ð
Ó Ý µ

غ

Ä

Ý Ò

f, g : E R R, x0 E º
×

ÞÓÒÝ Ø×

¸

xx0
µ

c R+ × K(x0 , )¸ Ó Ý g(x) c¸ x K(x0 , ) lim f (x) = + ´Ú Ý -µ¸ ÓÖ lim f (x)g(x) = +
xx0

´ Ðк

-µ
×

xx0
Þ Þ

c R, c < 0 lim f (x) = + ´Ú
ÐÐ Ø ×Ó ÐÐ Ø ×Ó ÝÓÐ Ð

× Ý

K(x0 , )¸ Ó Ý g(x) c¸ x K(x0 , ) -µ¸ ÓÖ lim f (x)g(x) = - ´ Ðк +µº
xx0
Ø Ö ÖØ Ö × Ø Ð × ÐÒ º ÐÐ ØÚ

+¹

Ò¸

-¹

Ò Ú ØØ

Ø Ö ÖØ

Ö

×

Þ

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

½

ÐØ Ø Ð Ó Ý Ôк

Ñ

Ð Ð

Ñ

Ó× Ø × Ú Ð ´K(x0 , ) ´Ú Ý Ý

ÐÝ ØØ

g(x) c > 0¸ x>M x > M ´Ú Ý x < M µ Ø Ð × Ðµº À lim g(x) = + ´ Ðк -µ¸
xx0
׺ Å ÓÐ

x < M µ¸
× Ø ÐÚ Ú Þ¸ Ý

ÐÐ ØÚ ÓÖ ×

M R¹Ø ×ÞÒ ÐÙÒ g(x) c < 0¸
ÐØ Ø Ð Ò Ú ØØ Ú ×ÞÒ Ð Ø Ù Øº Ø Ð Ò

¸

g
Ö

Ø Ð

ÓÖ Ò Ú ØØ Ú

Ò Ñ Ö Ø Ð Ò ÐÐ Ø × Øº

×ÞÒ ÐØ Ø Ö ÖØ

ØÚ Ø Ð ×

×

Ú Ð

Ø Ð Ò Ø

¿º½ º × Ø Ò

ÞÓÒÝ ØÓØØ ÙÐ

µ Ô Ð

xx0

n xn
Þ¸

lim f (xn )g(xn ) = +º
Ý

lim f (x)g(x) = + xn x0 (xn E, xn = x0 )
n
ØØ

c (xn K(x0 , ))¸
Ó Ý

x0 (xn E, xn = x0 ) =
¿º½ º Ð Ø Ñ

lim f (xn ) = +
n

×

lim f (xn )g(xn ) = + =

g(xn )

xx0
ÐÚ

lim f (x)g(x) = +º
Ý Ð Øº Ý ÞÓÒÝ Ø Ø µ Ø º ÐÐ Ø × Þ µ Ö ×Þ ÞÓÒÝ Ø × Ú Ð Ý Þ × ¿º½ º

Ñ × µ Þ Ñ ØÚ Ø Ð ÓÒ

ÐÐ Ø × Ù Ý Ò

ÐÐ Ø ×ÙÒ

º º Ð
Ð ØÚ

غ

Ä

Ý Ò

ÐÙÐÖ Ðµ Ò Ñ

f, g : E R R ÓØظ x0 E ¸ Ú ÓÖÐ ØÓ× × lim f (x) = lim g(x) = +
xx0 xx0
Ý

E

Ð ÐÖ Ð ´ й

´ Ðк

x+

+

lim f (x) = lim g(x) = + ´ Ðк -µ¸ Ú
x+
´ Ðк µ µ
µ µ

x-

lim f (x) = lim g(x) =
x-

-µ¸

Ú

Ý

xx0

-µ¸ ÓÖ lim (f (x) + g(x)) = +

´ ÐÐ ØÚ ´ ÐÐ ØÚ ´ ÐÐ ØÚ

x+

lim (f (x) + g(x)) = + lim (f (x) + g(x)) = +
´ ÐÐ ØÚ ´ ÐÐ ØÚ ´ ÐÐ ØÚ ´ ÐÐ ØÚ ´ ÐÐ ØÚ ´ ÐÐ ØÚ Ò Þ

-µ

-µ -µ c > 0¸ c<0 c > 0¸ c<0 c > 0¸ c < 0º

x- xx0

lim cf (x) = + lim cf (x) = -

-µ¸ +µ¸ -µ¸ +µ¸ -µ¸ +µ¸
ØÚ Ø Ð ØÚ

xx0
µ

x+

lim cf (x) = + lim cf (x) = + lim cf (x) = - lim cf (x) = -
ÞÓÒÝ Ø ×Ó

x+
µ

x-

x-
Å ÓР׺

ÐÚ´

ص¸ Ú Ð Ñ ÒØ

¿º½ º

Ð

ØÓØ

×ÞÒ Ð Ù º µ

xx0

lim (f (x)+g(x)) = + ´ ÐÐ
× Ø Ò

E, xn = x0 )

n+

lim (f (xn ) + g(xn )) = +

-µ

xn x0 (x0 E , xn
´ ÐÐ ØÚ

-µº

¾

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ä

Ý Ò

× ×ÓÖÓÞ Ø¸

x n x0
Ý

´ Þ ÐØ Ø Ð ´ ÐÐ ØÚ

ÓØØ ØÙÐ × Þ Ý

ÓÒ× ØÚ Ø Ð

Ó ÐÚ Ð

Ð

× Ö Ò ¸ Ø Ñ

Ð

Þ µ Ø Ø×Þ Ð ¹

Ó Ý ØØ

n

lim f (xn ) =

n
Ö µ µ ×
µ µ

lim g(xn ) = +
Ð Þ µ Ø ÐÑ ÞÚ µ¹Ú Ð

g(xn )) = +

´ ÐÐ ØÚ Þ Ý Þ

ØÚ Ø Ð Ñ ÓÞ

-µº

-µ¸
ÐÚ Ø

¿º½ º

n+

lim (f (xn ) +

Ô Ù

Þ Ø º ص

µ

ÐÐ Ø ×غ

ÓÒ Þ

ÞÓÒÝ Ø ÐÚ´

×

ÞÓÒÝ Ø × ×ÞÒ Ð Ù º Ä Ý Ò

ØÚ Ø Ð

×

¿º½ º

Ð

Ø
µ

×

µ

ÐÐ Ø ×

º º Ð
R(x) =
Ö
ÓÒ Ð × ÞÓÒÝ Ø× µ µ

غ

ÓØØ

Þ

Pk (x) ak + · · · + a0 = Ql (x) bl xl + · · · + b0
Ú ÒÝ ´Ñ ÐÝ Ó Ý

xk

(k, l N
ÐÝ Ø Ð ÐØ

Ö

Þ Ø ØØ Ñ Ò

ak , bl = 0)
Ò Ú Ð × ×Þ ÑÖ

Ql

Þ ÖÙ×

ÒØÚ

ÖØ ÐÑ Þ Øصº ¸

x+

lim R(x) = lim R(x) = 0¸
x-

k ¸

x+

lim R(x) = lim R(x) =
x-

ak ¸ bl

µ

x+

lim R(x) = lim R(x) =

+, -, +, -,

sign ak = sign bl sign ak = sign bl sign ak = sign bl sign ak = sign bl sign ak = sign bl sign ak = sign bl

k > l;
¸

µ

x-

k-l > 0 k-l > 0

Ô ÖÓ×

x-
Å ÓÐ

lim R(x) =
׺ ÆÝ ÐÚ Ò

-, +,

¸

Ô Ö ØÐ Òº

µ À

k < l¸
º¿º Ð

0 (i, j N)
Ò Ø ÓÞ

ak-1 + · · · + a0 . x = xk-l g(x) R(x) = xk-l bl-1 + · · · + b0 bl + x 1 · g(x)¸ ÓÐ l - k Nº Ý R(x) = l-k x bj 1 ai = 0 × lim i = lim j = Ø µ Ö ×Þ Ñ ØØ lim l-k x+ x x+ x x+ x ak +
× Ø Ð Ñ × Ðº Øص ÓÖ ´ Ø Ö ÖØ × ÑòÚ Ð Ø Ñ Ô
×ÓÐ Ø Ö ÚÓ¹ Ý ØØ

Ø Ø Ð

ak lim g(x) = ¸ x+ bl

x+

lim

1 xl-k

= 0¹Ú

Ð

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

¿

¸

Ó Ý

x+

lim R(x) = 0º
Ù Ý Ò Ý × ÞÓÒÝ Ø Ø º

x-
µ À

lim R(x) = 0
Ý

k = l¸

R(x) = g(x)
x+

Ó Ý Ð ØØÙ

lim g(x) = lim g(x) =
x-

ak , bl

Ý
µ À

Ô Ù

µ

ÐÐ Ø ×غ × º¿º

k > l¸ Ý R(x) = xk-l g(x) k-l = + ´Ð × ÓÖ lim x
x+

k - l Nº
Рص

×

Ñ

Ø Ö ÖØ

ak > 0, lim g(x) = x+ bl < 0,
Ò
Ñ

sign ak = sign bl sign ak = sign bl ,
¸ Ó Ý Ð Ø Þ ×

ØØ

Ë µ ÁØØ

Þ ÒØ

1a k 2 bl , g(x) - 1 ak , 2 bl
º º Ð Ø Ñ ÞØ ØØ Ò Ø Ð ×ÞÒ Ð Ù

x>M x µ и ×

ak >0 bl

M R¸

Ó Ý

×

ak <0. bl

ÐÐ Ø ×غ Ó Ý

x- x-
´Ð ×

lim xk-l = +¸ lim xk-l = -¸
º º Ð

k-l k-l
Þ¸ Ô Ù Ñ ÔÓÒØ

Ô ÖÓ×

Ô Ö ØÐ Òº

Ø
µ Ö ×Þ µº Ó Ý Þ Þ Ð

Ì ÖÑ ×Þ Ø × Ò ÑÓ×Ø × º º Рظ Ñ Ú Ð

x-

lim g(x) =
غ Ú ÒÝ Òµ

ÐÐ Ø ×Ó

ak ¸ bl

Ý

Ö

Ð

ÐÑ Þ

Ø

º½¼º Ð
Ø Ö ÖØ

غ
ص

À Ø ÖÓÞÞ Þ ÓØØ

Ø Ö ÖØ

Ø ´

ÝÓÐ

Ð

x0

Ò ´ÔÓÒØÓ

º½¼º½º
Å ÓÐ

º º Ð Ò Ö ×

f : R R, f (x) = 5x3 + x2 + 2x - 5, x0 = 1º ׺ x0 = 1 ØÓÖÐ × ÔÓÒØ R¹Ò º k = x k (k N)¸ Ý Ð Ø ×Þ Ö ÒØ lim x 0
xx0
× ´ ÓÑ × Ò
Ò Ó Ý ÞØ Ý×Þ Öò Ò

Þ

ÐÝ Ò

Ú ÒÝ

ÞÓÒÝ Ø

Ø Ù µ Ð Ø Þ

Ø Ö ÖØ

x1

lim (5x3 + x2 + 2x - 5) = 3º

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

º½¼º¾º
Å ÓÐ

f : E = R \ {1} R, f (x) =
׺

x0 = 1 E º

x3 - 1 , x0 = 1º x-1 (x E)

f (x) =
× Þ Ð

x3 - 1 (x - 1)(x2 + x + 1) = = x2 + x + 1 x-1 x-1 2 Ñ ØØ lim (x + x + 1) = 3¸ Ý
x1

lim
º½¼º¿º
Å ÓÐ

x3 - 1 = lim (x2 + x + 1) = 3 . x1 x - 1 x1 xm - 1 (m, n N), x0 = 1º xn - 1 (x E) ,
ØØ

f : E = R \ {1} R, f (x) =
׺

f (x) =
Ý Þ Ð

(x - 1)(xm-1 + · · · + 1) xm-1 + · · · + 1 xm - 1 = = n-1 xn - 1 (x - 1)(xn-1 + · · · + 1) x + ··· + 1
× ÒÝ Ó× Ø Ö ÖØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ

x0 = 1 E º

Ø Ø Ð Ñ

lim
º½¼º º
Å ÓÐ

xm

x1 xn

-1 + ··· + 1 m = lim n-1 = . x1 x -1 + ··· + 1 n R, f (x) = 3x2 + x - 1 , x0 = 2º 2x + 1
Þ ÖØ ×ÓÒÐ Ò Ñ ÒØ Ð

xm-1

f: E = R\ -
׺

1 2
x2

lim (3x2 x2

x0 = 2 E º + x - 1) = 12, lim (2x + 1) = 5¸ lim

3x2 + x - 1 12 = . x2 2x + 1 5

x2 - x º½¼º º f : E = [0, +[\ {1} R, f (x) = , x0 = 1º x-1 Å ÓР׺ x0 = 1 E º xE × Ø Ò 3 x2 - x x(( x) - 1) x( x - 1)(x + x + 1) = = = x(x + x + 1) , x-1 x-1 x-1
Ý º º Ð Ø × ÑòÚ Ð Ø

lim
x1

x2

- x = lim x(x + x + 1) = 3 . x1 x-1



ØÙÐ

ÓÒ×

Ó

Ð

×ÞÒ Ð × Ú Ð

Ô Ù ¸

Ó Ý

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

º½¼º º
Å ÓÐ

f : E = R \ {3, 5} R, f (x) =
׺

x0 = 3 E º

x2 - 5x + 6 , x0 = 3º x2 - 8x + 15 (x E)
x3

(x - 2)(x - 3) x-2 x2 - 5x + 6 = = 2 - 8x + 15 x (x - 3)(x - 5) x-5
×

x3

lim x - 2 = 1, lim x - 5 = -2
x3

Ñ

ØØ

Ô Ù ¸

Ó Ý

lim f (x) = -

1 º 2

º½¼º º

x0 = 0º
Å ÓÐ

f : E = R \ {-1, 0, 1} R, f (x) =
׺

x3 - x2 + x - 1 , x0 = 1, x3 - x

1, 0 E º

x2 (x - 1) + (x - 1) (x - 1)(x2 + 1) x2 + 1 x3 - x2 + x - 1 = = = = x3 - x x(x2 - 1) x(x - 1)(x + 1) x(x + 1) x 1 (x + 1) - 1 (1 + x) - x 1 1 1 = + = + =1- + - = x + 1 x(x + 1) x+1 x(x + 1) x+1 x x+1 1 2 =1 + - (x E) , x x+1
Ý

lim
x0

2 1 x3 - x 2 + x - 1 = lim 1 + - 3-x x1 x1 x x x+1 = -1, 1 = +¸ x0+0 x lim
Ý º º Ð

=1.
Ø Ñ ØØ

lim

1-

2 x+1

x3 - x2 + x - 1 = + . x0+0 x3 - x lim 1 = - x0-0 x lim
× º º Ð Ø ÞØ ×¸ Ó Ý

x3 - x2 + x - 1 = - . x0-0 x3 - x lim
Þ Ô

º½¼º º

x3 - x2 + x - 1 º x0 x3 - x x+2 f : E = R \ {3} R, f (x) = , x0 = 3º x-3
¸ Ó Ý

lim

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

x-3+5 5 x+2 = = 1+ ¸ Ý Ð x-3 x-3 x-3 5 5 lim º º Ð Ø = + × lim = -¸ x3+0 x - 3 x3-0 x - 3 5 x+2 = lim 1+ = + lim x3+0 x3+0 x - 3 x-3
Å ÓР׺

f (x) =

×ÞÒ ÐÚ ¸ ¸ Ó Ý

Ó Ý

Ó

ÓÐ

Ð

×


ÐÓÐ Ð Ø Ö ÖØ

x3-0

lim

x+2 º x3 x - 3 1 4 º½¼º º f : E = R\{-2, 2} R, f (x) = - 2 , x0 = 2, x0 = -2º x-2 x -4 Å ÓР׺ -2, 2 E º 4 x+2-4 x-2 1 1 - 2 = = = (x E) , x-2 x -4 (x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) x+2
¸ Ñ ÐÝ Ð Ò Þ ¸ Ý

x+2 5 = lim 1+ x - 3 x3-0 x-3

= -

lim

Ý

1 1 = . x2 x2 x + 2 2 1 1 ÌÓÚ lim lim = +¸ ÐÐ ØÚ = - Ñ ØØ x-2+0 x + 2 x-2-0 x + 2 1 4 4 1 lim - 2 - 2 = +, lim = - , x-2+0 x - 2 x-2-0 x - 2 x -4 x -4 lim = lim
Ñ ÐÝ ¸ Ó Ý

1 4 - 2 x-2 x -4

lim

x-2

1 4 - 2 x-2 x -4

º

º½¼º½¼º
Å ÓР׺

f : E = R \ {0} R, f (x) =
x0

ÓÖ

x0 = 0 E º 2 ×Þ Ö ÒØ lim = (x + 1) = 1º
Ý Ã Ð ÙÐÙ× Áº

x2 + 1 , x0 = 0º x4

x0

lim x4 = 0¸

ÝÞ Ø ÎÁ»¾º

Þ Ø ¾º Ø Ø Ð

×Þ Ö ÒØ

x0
Þ Ð Ð ×ÞÒ ÐÚ

lim

º º

1 1 = lim 4 = + . 4 x0 |x | x
Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ø

Ô Ù ¸

Ó Ý

1 lim f (x) = (x2 + 1) 4 = + . x0 x

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

º½¼º½½º
Å ÓР׺

À

n

Ô

x0 = 0 E º n ÖÓ׸ Ý lim x = 0¸
x0

f : E = R \ {0} R, f (x) =
ÐÐ ØÚ Þ

1 (n N ), x0 = 0º xn
Ð Þ Ð Ø Ò ÑÐ Ø ØØ Ø Ø Ð Ñ ØØ

À

n

Ô Ö ØÐ Ò¸

Ý

x0

lim xn = 0 lim

1 1 = lim n = + . n x0 x x0 |x | lim
Ñ ØØ

1 1 = lim = + , n x0+0 |xn | x0+0 x
Ñ

1 1 1 = lim = lim (-1) n = - . n n x0-0 -|x| x0-0 x0-0 x |x| 1 Ý lim ¸ Ò Ô Ö ØÐ Òº x0 xn 5 2 º½¼º½¾º f : R R, f (x) = 3x - x + 2x + 6, +¹ Òº Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺ Å ÓР׺ f E = R ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ 3x5 - x2 + 2x + 6 Þ f (x) = = R(x) Ö
ÓÒ Ð × Ø ÖØ Ú Òݸ Ñ 1 º º Ð Ø Ð Ð × ×Þ Ö ÒØ a5 = 3, b0 = 1, k = 5, l = 0¸ Ý k > l, sign a5 = sign b0 ¸ Þ ÖØ lim f (x) = +º lim
x
º½¼º½¿º
Å ÓР׺

ÐÝ

Ò

f : R R, f (x) = an
Þ Ð Þ Ð Ø ÓÞ

xn

×ÓÒÐ

+ an-1 xn-1 + · · · + a0 , x0 = +¹
Ò¸ º º Ð Ø Ð

Òº

×ÞÒ Ð × Ú Ð

k = n, l = 0, an = an , b0 = 1, k = n > 0 = lº sign an = sign b0 ¸ an > 0 = lim f (x) = +º
x+ x+

sign an = sign b0 ¸
º½¼º½ º
Å ÓÐ

an < 0 =

lim f (x) = -º
Òº

f : R R, f (x) = an xn + an-1 xn-1 + · · · + a0 , x0 = -¹ ׺ R ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺
Ð Ø Ñ Ó Ý × ÓÒ ÓÐ × Ø Ú ØÚ × º º Ð Ø µ ÐÐ Ø × Ø Ô Ù ¸

Þ

Ð

й

×ÞÒ ÐÚ

n

Ô ÖÓ×

an > 0 an < 0

= =

x- x-

lim f (x) = + ,

lim f (x) = - .

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

n

Ô Ö ØÐ Ò

×

an > 0 an < 0
º½¼º½ º
Å ÓÐ

= =

x- x-

lim f (x) = - ,

lim f (x) = + .
Òº

f : R R, f (x) = (-2x4 + 3x3 - 1), x0 = -¹ ׺ R ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺
Ø Þ Ð Þ Ð Ý Ø ×Ô
Ð × × Ø

Ð

n = 4, a4 = -4 < 0¸
º½¼º½ º

x-

lim f (x) = -º 2x3 - 3x + 6 , x0 = +¹ x2 + x + 1
ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ × Ø
µ Ö ×Þ Ñ ×Þ ØØ ÓÖÐ ØÓ׺ Ò¸ ÐÐ ØÚ

Å

-¹
Ð

Òº
׺

f : R R, f (x) = R
× Ñ º º Ð Ð ÐÖ Ð¸ × Ñ Ø ×Ô

x0 =

ÓÐ

Ø

Ð ×

k = 3 > 2 = l, a3 = 2, b2 = 1, sign a3 = sign b2 ¸ Ý lim f (x) = +¸ Ñ µ Ö ×Þ Ñ ØØ lim f (x) = - ´
x x-
Ô Ö ØÐ Òµº

k-l = 1

º½¼º½ º
Å ÓÐ

ÖØ Ð

׺ R × Ñ ÐÙÐÖ Ð¸ × Ñ x0 = + × x0 = -¹

f : R R, f (x) =

x4 - 3x2 + 2 , x0 = +, x0 = -º 4x4 + 3x2 + 6
Ð ÐÖ Ð Ò Ñ Ò ×º × Ø º Þ Ò º Ð Ø µ Ö ×Þ Ø ×ÞÒ Ð Ø Ù ÓÖÐ ØÓ׸ Ý Ú Þ× Ð Ø Ø Ö¹

Ø

º º

Ð

Ø ×Ô

Ð ×

k = l = 4¸
Ð Ø

Ý

1 lim f (x) = lim f (x) = x+ x- 4
Ð Ø º Þ

ÞÚ ØÐ Ò Ð × Ú Þ×

3 1- 2 + x4 - 3x2 + 2 x f (x) = 4 = 3 4x + 3x2 + 6 4+ 2 + x
Ý ÒÐ × ×

2 x4 6 x4

x+
ÐÐ ØÚ

lim lim

1 1 = lim 2 = 0 , 2 x- x x 1 1 = lim 4 = 0 , 4 x- x x
Ô
×ÓÐ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ñ ØØ

x+
Ú Ð Ñ ÒØ Ô Ù ¸ Ó Ý Ø Ö ÖØ ×

1 lim f (x) = lim f (x) = º x x- 4

ÑòÚ Ð Ø

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

º½¼º½ º

Å

x0 = -º
ÓР׺

f : E = R \ {0} R, f (x) = E = R \ {0} Þ ÓØØ x0 ¹
º º Ð Ò Ñ Òº Ð × × Ø ÓÖÐ ØÓ×

3x2 - x + 2 , x0 = +, 2x3 + x2 + x
ÐÙÐÖ Ð ´k × Ð ÐÖ Ð¸ Ý Ú Þ× Ý ÒÒ Ð Ø µ Ö ×Þ

Ø Ö ÖØ Ð Ñ ØØ

Ø ×

Ø ×Ô

= 2 < 3 = lµ¸

x+

lim f (x) = lim f (x) = 0º
x-
× Þ ÓÐ

ÞÚ ØÐ Ò Ñ

1 3x2 - x + 2 13- x + f (x) = 3 = 1 2x + x2 + x x 2+ + x
Ý ÒÐ × Ð¸ ÐÐ ØÚ Ð¸ Ó Ý

2 x2 1 x2

x+
ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ

lim

1 1 = lim = 0, x x- x
ÓÒ× Î Þ× Ó Ð Ð Þ Ð

x+

lim

1 1 = lim =0, x2 x- x2
º Ø

×ÞÒ Ð × Ú Ð

ÞÓÒÒ Ð

º½½º Ð

غ

a) lim

3

Ø Ö ÖØ

x0

x+1-1 ; x
x+

b) lim

x2

x2 + 2x + 8 ;

c) lim ( x2 + 1 - x).

½¼¼

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Å

ÓÐ

׺

µ

Þ Þ

x 3

x+1-1 Ú ÒÝ E = R \ {0}¹ÓÒ x 2 + ab + b2 ) = a3 - b3 ÞÓÒÓ×× (a - b)(a x+1-1 = x 3

3

ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ð

×

0 Eº

×ÞÒ Ð × Ú Ð

x + 1 - 1 ( 3 x + 1 )2 + 3 x + 1 + 1 = x ( 3 x + 1 )2 + 3 x + 1 + 1 1 = . 3 2+ 3x+1+1 ( x+1 )

h(x) = 3 x + 1 (x R) Ú ÒÝ g(x) = x + 1 (x R) × f (y) = 3 y (y R) Ú ÒÝ h(x) = f (g(x)) (x R) ×Þ Ö ÒØ Ò ÐØ ××Þ Ø ØØ
Ú ÒÝ ¸ ØÓÚ ÓÖ ×Þ Ö ÒØ

x0
Þ ÖØ × ÐÒ × Þ ¸ ××Þ Ø ØØ Ñ ¸

lim (x + 1) = 1, lim
Ú ÒÝ Ó Ý

y1

3

y=

3

1=1,
Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð ÓÒ× Ø Ð Ó ¹ Ø

x0

lim

Ø Ö ÖØ Ö 3 x + 1 = 1¸

ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý

ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ

×ÞÒ ÐÚ

x0
Ú Ø Þ º

lim

3

1 x+1-1 1 = lim = 3 3 x0 ( x + 1)2 + x 3 x+1+1

µ

h(x) = x2 + 2x + 8 (x R) Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ R¸ x0 = 2 ØÓÖÐ × ÔÓÒØ ¸ ØÓÚ h g(x) = x2 + 2x + 8 (x R) Ñ ÐÝÒ . × f (y) = y (y 0) Ú ÒÝ h(x) = f (g(x)) (x R) ×Þ Ö ÒØ Ò ÐØ
××Þ Ø ØØ ÓÖ Ú ÒÝ Þ Ð Ø Ø Ú ÒÝ º ØØ Ñ

lim x2 +2x+8 = 16
x2
Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Þ Ø Ø Ð Ñ

×

y16
ØØ

lim

Ø Ö ÖØ Ú Ø

ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð ×

y = 4¸ Ý Þ ××Þ Ø ØØ lim x2 + 2x + 8 = 4º
x2
Ò¸ × Ý



Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ø Ø Ð Ñ
µ Þ ÖØ

g ÓÐÝØÓÒÓ× x0 = 2¹ Ò¸ f ÓÐÝØÓÒÓ× y0 = g(2) = 16¹ x0 = 2¹ Òº x0 = 2 R ÔÓÒØ × ØÓÖÐ × ÔÓÒØ
¸ Ý Ø Ö ÖØ × ÓÐÝØÓÒÓ×× Ò Ñ

h

ÓÐÝØÓÒÓ×

h

ÖØ ÐÑ Þ × ÚÓÒ Ø ÓÞ ÖØ Ý Ðº Ø Ö¹

Ô
×ÓÐ Ø Ö

x



ØØ

h
Ð

Ø Ö ÖØ

x0 = 2¹
Ú ÒÝ

Ý Þ × Ø Ò

h(2) = 4
ÖØ ÐÑ Þ Øظ

x2

Ú Þ×

+x-x
Ø º

xR

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

½¼½

ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð

x2

( x2 + x - x)( x2 + x + x) +x-x= = x2 + x + x x 1 = = x2 + x + x 1 1+ +1 x 1 x

Ý ÒÐ × ÌÓÚ Ú ÒÝ ×ÞÒ ÐÚ Þ Ø ×

¸

x = 0º 1+
Ö

x+

lim

= 1

×

y1

lim

y =
Ø Ö

1 = 1¸

Ý

Þ

××Þ Ø ØØ × Ø Òµ

Ø Ö ÖØ

ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ø Ø Ð Þ Ø º Ð

×ÞØ × Ø ´x0

= +

x+

lim

1 1+ =1 x
ÓÒ×

Ú Ø Ó

ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ

×ÞÒ ÐÚ



x+

lim ( x2 + x - x) = lim

x+

1 1 = . 2 1 1+ +1 x

º½¾º Ð
f1 (x) =
Ú ÒÝ
Å ÓР׺

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ ×

4x - 5 3x + 2
Ð Þ

x R \ -2 3
× × Ú Þ×Þ ÒØ × Ý ÒÐ Øò ´Ú Ý

f2 (x) =
Ø ´



x+1-
Ð Ø ÞÒ


µº

x (x 0)

×Þ ÑÔØ Ø Þ

x = x0

Ý Ò × ÝÓÐ Ð

f

Ú ÒÝ µ

Ð Ò Þ

× Ú

×Þ ÑÔØ ¹ Ý

Ø

4x - 5 Ú ÒÝ Þ f1 (x) = 3x + 2 2 ÐÑ Þ¸ Ñ ÐÝÒ x0 = - ØÓÖÐ 3

¸

f

Ø Ö ÖØ

Ø Ö ÖØ

x0 ¹

+¸

ÖØ ÐÑ Þ × × ÔÓÒØ

Ø ÖØÓÑ ÒÝ ¸ ØÓÚ

E = R \ -2 3

-º

5 23 4 x- 4 4 4x - 5 = = - 9 , f1 (x) = 2 2 3x + 2 3 3 x+ x+ 3 3
Ñ Ó Ý
2 x- 3 +0

º¾º

Ð

Ø
µ Ö ×Þ Ú Ð¸ ÐÐ ØÚ

º½¼º º

Ð

ØØ Ð

Ý Þ

Ñ

ÓÒ

¸

lim

f1 (x) = - ,

2 x- 3 -0

lim

f1 (x) = + ,

½¼¾

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Þ Þ Ø Å Ò × Ø ×

f1

Ó

ÓÐ Ý Þ

Ð

Ø Ö ÖØ

-º
ÖØ

Ò Ñ × ¸

ÐÝ Ò

x0 = -

2 3

x0 = -
Ý ÒÐ Øò

2 ¹ 3

Ò

-¸
Ð

Ñ ×

ÐÓÐ ×Þ ÑÔØ Ø Ú º

Ð

Ø Ö Ö¹

Ý Ò × Ý

f1 ¹Ò
×

º

Ú ÒÝ Ð ×

ÓÐÝØÓÒÓ׸ ×Þ ÑÔØ Ø

Ø Ö ÖØ Ò Ò
×

ÐÝ ØØ ¹

Þ ÖØ Ñ ×

f1 ¹Ò

Å Ú Ð

5 4- 4x - 5 x =4 = lim lim 2 x+ x+ 3x + 2 3 3+ x
×

´

º º

Ð

Ø

µ Ö

×Þ ÑÔØ Ø Å × Ø ÔÙ× Þ

f1 ¹Ò
Ú ÒÝ

5 4- 4x - 5 x =4 lim = lim 2 x- 3x + 2 x- 3 3+ x 4 ×Þ ×Þ Ö Òص¸ Ý Þ y = Ý ÒÐ Øò 3
º

Ý Ò × Ú Þ×Þ ÒØ ×

×Þ ÑÔØ Ø

f1 ¹Ò
ÓÖ

Ò Ò
׺ Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ý Ò Ñ Ð Ø Ð ×

f2

×Þ ÑÔØ Ø

º Í Ý Ò

x0 E = [ 0, [ ¹

f2 (x) =
× Ñ Ú Ð Ð Ø Å Ú Ð Ý ÓÖ



x+1-
Ø Ö ÖØ Ð Ð Ø Ö Ø

( x + 1 - x)( x + 1 + x) 1 x= = x+1+ x x+1+ x
Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ× ´ ÐÙÐÖ Ð Òµ¸ Ú Þ×¹

f2 f2
º º

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ

+¹
µ Ö ×Þ µ Ö ×Þ Ñ

Òº

×Þ Ö ÒØ ØØ

º º

x+

x = + × lim x + 1 = +¸ x+ x+ lim ( x + x + 1) = +¸ Ú Ð Ô lim

= 0¸ Ú Ø Þ ¸ Ø Ø x+1 1 =0. lim f2 (x) = lim ( x - x + 1) = lim x+ x+ x+ x + x + 1
Ö
ÔÖÓ

x+

lim

x+

1

Þ Ô ×Þ ÑÔØ Ø

¸

Ó Ý º

Þ

y = 0

Ý ÒÐ Øò

Ý Ò × ´ Þ

x

Ø Ò

Ðݵ Ú Þ×Þ ÒØ ×

f2 ¹Ò

º½¿º Ð
×Þ ÑÔØ Ø

غ
غ

À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ

f (x) = x +

1 (x R \ {0}) x

Ú ÒÝ

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

½¼¿

Å

ÓÐ

׺

f

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ ÓÖÐ ØÓ× ×

Ö Ð¸ × Ñ

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

x0

lim f (x) = lim
ÐÐ ØÚ

x0

x+

1 x

Þ E = R \ {0} x0 = 0 E º Ý Ú Þ× ¸

ÐÑ Þ¸ Ñ ÐÝ × Ñ Ð × Ø

ÐÙй

¸

Ñ Ò Ñ Ð Ø Þ ØØ

x0

lim x = 0
× Ðݵ

x0+0

lim

x0-0
Ý º Ð

lim

Ø Ø

-¸ lim
Þ

f ¹Ò

1 = - Ñ x Þ x0 = 0
× ×Þ ÑÔØ Ø

x0+0

lim

x+

1 x

= + yØ
Ò

x0-0
Ð

lim

1 = +¸ x 1 = x+ x
× ×Þ ÑÔ¹

Ý ÒÐ Øò Ò Ò
׺

Ý Ò ×´ Þ

Å ×

x+
Ø Ø

1 x+ x

= +
Ý ÒÐ Øò

×

x-

lim

x+

1 x

= -

Ñ

ØØ Ú Þ×Þ ÒØ ×

×Þ ÑÔ¹

Ò Ò
׺

l(x) = x

Ý Ò ×Ø Ø

ÒØÚ ¸

x+
×

lim (f (x) - l(x)) = lim

x+

x+

1 -x x

= lim

1 =0 x+ x

x-
Ñ ØØ Ô Ù ¸ Ó Ý Þ

lim (f (x) - l(x)) = lim y=x
¸ Ý Ý ÒÐ Øò Ó Ý Ý Ò ×

x-

1 =0 x
×Þ ÑÔØ Ø

f ¹Ò

º ÓÖ ÐÙÐÖ Ð

º½ º Ð
×
× Ú Ý

غ
ÓÖ

ÞÓÒÝ Ø× ×Þ ÑÔØ Ø ÓÖÐ ØÓ×µ¸

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

Ý l(x) = ax + b (x R) Ý Ò × f: E R Ú ÒÝÒ ´Ñ ÐÝÒ Ð E

x+
Ú Ý

lim

f (x) = a, x f (x) =a, x
Ý Ò × Ú Ý

x+

lim (f (x) - ax) = b ;

x-
Å ÓР׺

lim

x-

lim (f (x) - ax) = b .
×Þ Ö ÒØ ÓÖ ×Þ ÑÔØ Ø ¸

Þ

l(x) = ax + b (x R)
× Ðº

Ò

x+
Ø Ð

lim (f (x) - (ax + b)) = 0 f (x) - ax - b = x f (x) b -a- x x

x-

lim (f (x) - (ax + b)) = 0 x = 0¸
Þ ÖØ ÓÖ

Å Ú Ð

f (x) b -a- x x =0
Ú Ý

¸

x+

lim x

x-

lim x

f (x) b -a- x x

=0

½¼

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ðи
×

Ó Ý Ø Ð ÓÖ

× Ð Þ¸

Ò¸

Ñ

x+

lim x = +¸

ÐÐ ØÚ

x-

lim x = -

Ñ

ØØ

x+
× Þ

lim

b f (x) -a- x x a+ b x

=0

Ú

Ý

x-

lim

b f (x) -a- x x
ØØ ¸ Ó Ý

=0

x+

lim

= lim

x-

a+
Ú

b x
Ý

=a lim

Ñ

x+
Ø Ð À × Ðº

lim

f (x) =a x
ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò

x-

f (x) =a x

a

Ñ Ö

ÓØظ

x+
Ø Ð × Ðº Þ Ð

lim (f (x) - ax) = b
Ñ ÓÒ Ñ Ý Ò × Ñ Þ

Ú

Ý

x-

lim (f (x) - ax) = b a
×

ÆÝ ÐÚ Ò

Ø ÖÓÞÓØØ

b

ÐØ Ð

ÓØØ

l(x) = ax + b (x R)

×Þ ÑÔØ Ø º

º½ º Ð
Ú ÒÝ
Å ÓР׺

غ

À Ø ÖÓÞÞ Øº

f (x) =

×Þ ÑÔØ Ø

x2 + 2x - 1 (x R \ {0}) x

¹

Ò Ñ

f E = R \ {0} ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ × Ñ ÐÙÐÖ Ð¸ × Ñ Ð ÐÖ Ð 0 E Ø Ð × Ðº x2 + 2x - 1 x2 + 2x - 1 x0 = 0¹ Ò lim = + × lim = - x0+0 x0-0 x x ´Ð × º º Рصº Ý Þx = 0 Ý Ò × ´ Þ y Ø Ò Ðݵ Ð × ×Þ ÑÔ¹ Ø Ø f ¹Ò º x2 + 2x - 1 x2 + 2x - 1 lim = +¸ lim = - Ñ ØØ Ú Þ×Þ ÒØ × x+ x- x x
ÓÖÐ ØÓ׸ ØÓÚ ×Þ ÑÔØ Ø Ò Ò
׺

x2 + 2x - 1 f (x) x2 + 2x - 1 f (x) = lim = 1 = lim = lim x+ x- x x- x+ x x2 x2 lim
´ Ñ ÌÓÚ Ú Ø Þ º º Ð Ø Ðµº

x+
×

lim (f (x) - x)

= lim

x+

x2 + 2x - 1 -x x x2 + 2x - 1 -x x

= lim

2x - 1 =2 x+ x 2x - 1 =2. x

x-

lim (f (x) - x)

= lim

x-

= lim

x-

À

ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

ø ÁÄÄ

ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ

ÆË

Ã

½¼

Ý

Þ

Ð Þ

Ð

Ø Ñ

ØØ

Þ

f ¹Ò

º Å ×

×Þ ÑÔØ Ø À Ø ÖÓÞÞ

Ò Ò
׺ Ñ

l(x) = x + 2 (x R)
Þ

Ý Ò ×

×Þ ÑÔØ Ø

º½ º Ð
×Þ ÑÔØ Ø
Å ÓР׺

غ
غ

f (x) =

3

6x2 - x3 (x R) 3

Ú ÒÝ

f

ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ú ÒÝ

×Þ Ò ××Þ Ø ØØ

Þ

x 6x2 - x3 (x R)
Ú ÒÝ ¸ ×

×

x

lim

3

6x2 - x3 = -
Ð Ø × Ø

x-

lim

3

Ý

Ð

×

×Þ ÑÔØ Ø

y

y

ÓÐÝØÓÒÓ×

Ò Ò
׺

6x2 - x3 = +
ØØ Ú Þ×Þ ÒØ × ×Þ ÑÔØ Ø × Ò
׺

´Ñ ÐÝÒ

Þ ÓÐÚ × Ö

6x2 - x3 6 f (x) = lim = lim 3 - 1 = -1 x± x± x± x x x 6 - 1 = -1, lim 3 y = -1¸ × Þ Þ ××Þ Ø ØØ ´ ×Þ Ò lim x± x y-1 f (x) = -1µº Ø Ö ÖØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ñ ØØ ¸ Ó Ý lim x± x lim
x±

3

ÞÞÙ µ Ñ

Ú ÒÝ

lim

6x2 - x3 + x = ( 3 6x2 - x3 + x)(( 3 6x2 - x3 )2 - x 3 6x2 - x3 + x2 ) = = lim x± ( 3 6x2 - x3 )2 - x 3 6x2 - x3 + x2 6x2 = lim = 3 x± ( 6x2 - x3 )2 - x 3 6x2 - x3 + x2 6 =2 = lim 2 x± 6 6 3 -1 - 3 -1+1 x x lim
3

3

´

×Þ Ò

x±

6 x

- 1 = -1,
Ð Ø Ñ

x±
ØØ

lim

3

6 x

2

-1
Ó Ý

= 1µº
Þ Ò Ò
׺ Ø

Ð Ô Ý Ò ×

º½ º ×Þ ÑÔØ Ø

Ô Ù ¸

f ¹Ò
Ð Þ Ð

º Å ×

×Þ ÑÔØ Ø Ø Ö ÖØ

l(x) = -x + 2 (x R)

º½ º Ð

غ
lim

Î Þ×

x+
Å ÓР׺ Å Ò

x2 + 1 - x ;
Ø Ø º Ú ÒÝ

x-

lim

x2 + 1 + x . R¸
Ý Ø Ö ÖØ

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ

Ð Ø Þ ×

Ú Þ×

Ð

½¼

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Ý×Þ

Öò Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý x2 + 1 - x > 0 Ñ Ò Ò x > 0¹Ö ( x2 + 1 - x)( x2 + 1 + x) = 0 < x2 + 1 - x = x2 + 1 + x 1 1 . < = 2+1+x 2x x 1 =0 x+ 2x lim
Ô
×ÓÐ Ø Ö Ñ Øظ Ý Ð ×ÞÒ ÐÚ Ø Ø ÐØ Ô Ù ¸ Ø Ö ÖØ Ó Ý ×

¸ ØÓÚ

x+

lim 0 = 0,

Þ

Ý Ò¹

Ð ØÐ Ò×

Ø ÒÙÐØ

x+
ÆÝ ÐÚ Ú Ð

lim ( x2 + 1 - x) = 0 .
Ý Ð Ø Ð× Ö ×Þ Ñ ØØ

x - -x + x2 + 1 + x =
-x+ t+

x-

lim

lim

(-x)2 + 1 - (-x) = t2 + 1 - t = 0

= lim

ËÞ
º½ º Ð
ÞÓ Ø ÔÙ×

×
غ
À Ø ÖÓÞÞ

ÐÝ ¸ ÑÓÒÓØÓÒ
Ñ Þ Ð Ú ÒÝ

Ú ÒÝ
×Þ × ÐÝ Ø ×

غ

x2 - 9 x-3 x3 - 1 f2 (x) = x-1 f3 (x) = [x] f1 (x) = f4 (x) = sign(x) x+2 f5 (x) = x-3 1 f6 (x) = (x - 2)2
Å ÓР׺

(x R \ {3}) ; (x R \ {1}) ; (x R \ {0}) ; (x R \ {3}) ; (x R \ {2}) .
ÓÐÝØÓÒÓ× Ò Ò Ñ Ú ÒÝ ÒÝ ¹

(x R) ;

Þ Ó×

f1
×

Ú ÒÝ

ÓÐÝØÓÒÓ׸

ÖØ ÐÑ Þ Øظ

x - 3 = 0¸

x = 3 ´Ñ ÖØ x = 3µ¸ x = 3¹
× Ú Òº

ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ñ ÖØ Ò Ñ

Ý ØØ ×Þ

Ë

Ã

ýËÁ À

Ä

ø ÅÇÆÇÌÇÆ

Î

Æ

Ã

½¼

Í Ý Ò Ý Ð Ð× Þ

ÓÖ

º½º

Ð

Ø

µ Ö ×Þ

Ñ

ØØ



x2 - 9 x2 - 9 ¸ = lim x3+0 x - 3 x3-0 x - 3 lim
Ø Ö ÖØ Ñ Ý Þ ¸ Þ ÖØ Ø ¸ Ñ ×Ö ×ÞØ Ñ ×Þ ÒØ Ø Ú ÒÝ ÒÝ ÐÚ Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸ ÖØ ÐÑ Þ Øص¸ Ø Ð Ò ÑÓÒ ÓØØ

lim

x2 - 9 = lim (x + 3) = 6¸ x3 x - 3 x3 x0 = 3¹
Ò

Þ Þ Ò

f1

Ó ×

×

ÐÓй ÝÖ ×ÞØ

´ Þ

f2
º½¼º¾º

. f1 (3) = 6 x = 1¸ Ò
×

×Þ Ö ÒØ

×Þ

Ú Ð ×ÞØ ×× Ðµº Ñ ÓÐÝØÓÒÓ×

x0 = 1¹

Ò

´Ñ ÖØ ØØ Ò Ñ

Þ ÖØ ØØ ×Þ ×Þ Ö ÒØ

Ú Òº

(x - 1)(x2 + x + 1) x3 - 1 = lim = lim (x2 + x + 1) = 3, x1 x1 x1 x - 1 x-1 lim
Þ × Þ Ý Ý Ð Þ Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ú ÒÝÖ Ð Ó Ò ÓÒ ¹ ×ÓÒÐ ×Þ ÒØ Ø º½º × Ð× Ø ¸ Ð Ò Ø Ô Ù ×Þ Ø
µ Ö ×Þ ÐÓÐ ×Þ Ó Ý Ð × ¸ Ó Ý ×

f2 ¹Ò

x0 = 1¹
ÑÙØ ØØÙ ¸ ¸ × × ÞÓ Ð×

Ò Ñ

Ð× ¹

Ú Òº Ò Ñ Ó Ý

f3
Ð Ø Þ

x0 = 2¹
Þ ¸ × Ý Ñ ×

Ò

Ø Ö ÖØ Ú Òº

Ð Ò ×Þ

x0 = 2¹

f3 ¹Ò
Ð Ø

ÞÓÒÓ× Ñ Ðݺ

x0 = n (n N)

f3
×Þ Þ

´

Ó Ý ×

ÞØ Ñ Ö ÐÝ

Ð ØØÙ µ

Ò Ò
׺

x0 = n (n N)
Ú ÒÝÒ

× Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸

f4 (x) = sign(x) =
× ÓÖ Þ ÐÝ ÐÑ Ð Ø ´

x0 = 0 ×Þ
Ù Ý Ò Ó Ý

1, x > 0 -1, x < 0
Ò Ú Þ× ÐØ

×Þ Ò ØØ Ò Ñ Ý

ÖØ ÐÑ Þ Øظ Ð Ø ÓÞ

Ý Ò Ñ × ÓÐÝØÓÒÓ×µ¸ ×ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø ¸



x0+0

lim sign(x) = 1
× Ð×

×

x0-0
º

lim sign(x) = -1 ,
× ÐÝ Ò Ò
׺ ¸ Ó Ý

Ý 1 = -1 Ñ ØØ ×Þ x0 = 0¹ Ò Ú ÒÝ Ú ÒÝ x = 3 × Þ f5 ÞØ º½¼º º Ð Ø Ò

ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ø Ò

Þ ÖØ Ñ × ×Þ

ÓÐÝØÓÒÓ׸

x = 3¹

Ò Ò Ñ¸ ØÓÚ

Ð ØØÙ ×

x+2 = + x3+0 x - 3 lim
Þ Þ Ñ ×Ó Þ ÝÓÐ º Ð Ø Ö ÖØ

x+2 = + , x3-0 x - 3 lim
× ¸ Ý ×Þ ×

Ò Ñ Ú

x0 = 3¹

Ò

½¼

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

Þ

f6
Ñ

Ú ÒÝ ØØ º

Ö ×Þ Ñ ×Ó

x = 2 × Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸ x = 2¹ 1 lim ¸ Ó = +¸ Ñ x2 (x - 2)2
Î Þ× Ð Þ Ø Ð Ú ÒÝ

Ò Ò Ñ Ý

×

º¾º Ò

Ð ×Þ

Ø

µ ×

x0 = 2¹

º½ º Ð
Ø Þ µ ÒÚ ÖÞ

غ

ÒÚ ÖØ Ð

Ø ×

Ø

× ´

Ð ¹

ÓÐÝØÓÒÓ××

f1 (x) = xn f2 (x) = x
Å ÓР׺

n

(x [0, +[, n N (x R, n N f1
½º Ð ×Þ ÓÖ

Ö

Þ Ø ØØ )

;

Ô Ö ØÐ Ò)

.

Þ

º¾º Ú ÒÝ

Ð Ö

Ø ×Þ Ö ÒØ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò
Ø

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ØØ Þ

¸

Ý

ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ú Òݸ

× ¿º Ø Ø Ð Ñ ×ÞÒ ÐÚ ÓÖ Þ

ÝÖ ×ÞØ Ð Ø Þ

Þ ÒÚ ÖÞ Ñ ×Ö ×ÞØ À ×ÓÒÐ ÒÚ ÖÞ Ò

f1 -1
Ñ

f1 -1 (x) =
Ú ÒÝ

n

ÒÚ ÖÞ ¸ º

ÓÐÝØÓÒÓ× ÓÒ ÓÐ ×Ó

× ×Þ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

x (x 0) n

f2
Ø × ×Þ

f2

-1

(x) =

Ð Ø Þ × Ø¸ ÓÐÝØÓÒÓ××

ÓÖ

ÑÓÒÓØÓÒ Ø × Øº

x (x R)

Ý ÓÖÐ
½º Ò
Ð Ô Ò Ú Þ× Ð Ñ ¸

Ð
×

ØÓ
¹

Ó Ý Ð Ø ÞÒ

x1
Ø Ö ÖØ ¾º Ò
´Ú Ð Ý

lim (5x + 7)
ÝÓÐ Ð

x3
µº ¸

lim [2x]

Ø Ö ÖØ ÞÓÒÝ Ø×

×ÞÒ Ð × Ú Ð

Ó Ý

x1

lim

2+

1 (x - 1)4

= + ;

x-1

lim

1-

3 (x + 1)2

= - ;

lim
¿º

3 . x2 (x - 2)3
Ò
Ð Ô

Ò

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

1 - x2 = -1 ; x+ 1 + x2 lim

2x2 =2. x- 1 + x2 lim

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

½¼

º À Ø ÖÓÞÞ Þ µ µ ÓØØ

Ñ

Þ

Ð Ò ´ÔÓÒØÓ

Ú ÒÝ Òµ

Ø Ö ÖØ

Ø´

ÝÓÐ

Ð

Ø Ö ÖØ

ص

x0

ÔÓÒØ

f : R R, f : R \ {2} R, f: R\ - 2 3 R,

f (x) = 3x4 + 2x2 - 3x - 2, x0 = -1 ; f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = x5 - 32 , x-2 x3 + x2 + x + 1 , 3x + 2 1-x , x-1 x3 + 8 , x+2 x3 - x2 + x - 1 , x3 - x x-1 , x+3 1 3 - , 1 - x 1 - x3 x0 = 2 ; x0 = 2 ; x0 = 1 ; x0 = -2 ; x0 = -1 ; x0 = -3 ; x0 = 1 ;

µ

µ

f : R \ {1} R, f : R \ {-2} R,

µ

µ µ µ

f : R \ {-1, 0, 1} R, f (x) = f : R \ {-3} R, f : R \ {1} R, f (x) = f (x) =

µ

f : R \ {1} R, f : R \ {-2} R, f : R R, f : R \ {1, 2} R, f : R R, f : R R, f : R R, f : R R,

f (x) =

µ µ е

1 , (x - 1)4 3 f (x) = 1 - , (x + 2)3 4x3 + 3x2 + 2 , -x2 + 3x - 2 -x2 - 2x + 2 , 3x2 + x + 1 2x + 3 , x2 + x + 2 2x + 1 , x2 + 3 1 + x2 - 1 , 2x x+3- 3 , x

x0 = 1 ; x0 = -2 ;

f (x) = -2x4 + 3x2 - 1, x0 = +; , - ; f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = x0 = -, + ; x0 = -; , + ; x0 = -; + ; x0 = +, - ; x0 = 0 ; x0 = 0 .

ѵ ҵ ӵ

Ôµ

Õµ

f : [-3, +[\{0} R, f (x) =

½½¼

ÎÁº

Î

Æ

à 
ÌýÊ

ÊÌ

Ã

º À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ

Ð

Ú ÒÝ

×Þ ÑÔØ Ø

Ø

x+3 f1 (x) = -2x + 4 x2 + 3x + 4 f2 (x) = 2x 2 - 5x + 6 x f3 (x) = x-3 2x + 3 f4 (x) = x2 - 2x - 3 9 f5 (x) = x + x (x - 1)3 f6 (x) = x2
º À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð Ú ÒÝ

(x R \ {2}) ; (x R \ {0}) ; (x R \ {3}) ; (x R \ [-1, 3]) ; (x R \ {0}) ; (x R \ {0}) .
×Þ × ÐÝ Ø × ÞÓ Ø ÔÙ× Ø

- 16 x-2 f2 (x) = [2x] x-1 f3 (x) = x+4 5 f4 (x) = (x + 2)4 f5 (x) = [x] + [-x] f1 (x) = f6 (x) = x - [x]
º Î Þ× Ð Þ Ð Ø Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ××

x4

(x R \ {2}) ; (x R) ; (x R \ {-4}) ; (x R \ {-2}) ; (x R) ; (x R) .
Ø × Ø × ´ Ð Ø Þ µ ÒÚ ÖÞ

ÒÚ ÖØ Ð

f1 (x) = (x - 3)4

f2 (x) = (x + 2)2 f3 (x) = (2x + 3) f4 (x) = (x + 1)
n 3

(x R) ;

(x -2) ; (x R) ; (x R, n N
Ô Ö ØÐ Ò )

.

ÎÁÁº

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ ÐÑ Ú ÒÝ
غ
À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð µ

Þ Ø

Ú ÒÝ×ÓÖÓ ¸
Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò
Ø Ö¹

º½º Ð
ØÓÑ ÒÝ Ø

fn : [0, +[ R¸ fn (x) = n fn : R \ {-1} R, fn (x) =
׺

x+

1 - x n
º

(n N)

µ

xn (n N) 1 + xn
ÐÐ Ñ

Å

ÓÐ

ÞÓÒ

x¹
Ý

××Þ ×× Ò׺

Ø

Ø ÖÓÞÒ ¸ Ñ ÐÝ

Ö

Þ

fn (x) fn (0)

×Þ Ñ×ÓÖÓÞ Ø µ À

ÓÒÚ Ö

x = 0¸ x > 0¸ fn (x) = n

fn (0) = n
Ò׺

1 - 0 n

=



n +¸

Ý

Þ

×Þ Ñ×ÓÖÓÞ Ø À

Ú Ö ÓÖ

=n

1 - x n 1 x+ n - x x+ x+
1 n

= x+ + x x =
ØØ

1 n

+

x = x+

1
1 n

+

, x

Ñ

n

lim

x+

1 n

=



x, lim
Ø Ø Ð

n



x

´ × ¸

×ÓÖÓÞ ØÓ

× ÑòÚ Ð Ø

1 lim fn (x) = x > 0 × n 2 x Ý fn ÔÓÞ Ø Ú Ú Ð × ×Þ ÑÓ 1 (x R+ ) Ú ÒÝ Þº 2 x

Ô
×ÓÐ Ø Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ

µ Ñ Ø Òº

Ó Ý

ÐÑ Þ Ò ÔÓÒØÓÒ

ÒØ

ÓÒÚ Ö

Ð

Þ

f (x) =

½½½

½½¾

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

µ À

|x| < 1¸

ÓÖ ´

Ó Ý

ÞØ Ñ Ö

Ð ØØÙ µ

n

lim xn = 0¸

Þ ÖØ

xn =0. n 1 + xn lim
À À

x = 1¸

Ý

fn (1) =
ÓÖ

1 1 2 2

º

|x| > 1¸ 1 x
Ø Ö

fn (x) =
n

n

1 xn

1 = +1

1
1 n x

+1

×

1 x

< 1

Ñ

ØØ

n
×

lim

= 0¸
¸ Ó Ý Ú ÒÝ

Þ ÖØ

lim fn (x) = 1º
Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø

Þ ÑÙØ Ø

R \ {-1}¹

Ò ÔÓÒØÓÒ

ÒØ

ÓÒÚ Ö

Ò×

º¾º Ð
ÓÒÚ Ö µ µ Ò×

غ

ÞÓÒÝ Ø×

0 , f (x) = 1 , 2 1,
¸ Ó Ý

x ] - 1, 1[ , x=1,
Ý ÒØ .

Þ

Ð

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ

Ý ÒÐ Ø × Ò

fn : R+ R¸ fn (x) = fn : R R, fn (x) =
׺

1 (n N) x+n 1 x2 + 2 (n N) n
Ó Ý Ó Ý

º

Å

ÓÐ

ÞØ

ÐÐ

Ð ØÒÙÒ ¸

> 0¹Ö n() N¸ x R+ ´ Ðк x Rµ ×Þ ÑÖ º µ Ä Ý Ò > 0 Ø Ø×Þ Ð × Ò À f : R+ R, f (x) = 0¸
Ó Ý

f : R+ R n n()

´ Ðк

× Ø Ò

f : R Rµ Ú Òݸ |fn (x) - f (x)| <

ÓØغ ÓÖ

|fn (x) - f (x)| =
Ñ Ø ØØ Ø

1 1 1 -0 = < x+n x+n n
×

×

1 0 n 1 < ¸ n
Þº

n() N, n n() fn
Ý ÒÐ Ø × Ò

ÓÒÚ Ö

Ð

x R+ ¹Ö |fn (x) - f (x)| <
Þ

f (x) = 0 (x > 0)

Ú ÒÝ

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

½½¿

µ À

f : R R, f (x) = |x|¸ |fn (x) - f (x)| = x2 +

ÓÖ

x R¹Ö

1 - |x| = n2 1 - |x| n2 x2 x2 + 1 + |x| n2

x2 + =

1 + 2 + |x| n

=

1 1 1 n2 = = n 1 n n2 x2 + 1 + n|x| x2 + 2 + |x| n 1 0Ñ ´ ×Þ Ò n2 x2 + 1 + n|x| n2 x2 + 1 1 = 1µ¸ Þ ÖØ n > 0¹ ÓÞ n() N, n n()¹Ö |fn (x) - f (x)|
Ñ Ú Ö Ð Ò
×Þ Ö ÒØ Þ ¸ Ó Ý Þ

ØØ

1 < x R, n
Ú ÒÝ Þº ÒÝ×ÓÖ

fn

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø

Ý ÒÐ Ø × Ò

ÓÒ¹

R¹

Ò

º¿º Ð
Ò׸

Ú fn 1 fn : R R, fn (x) = 2 (n N)º x + n2 ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý
׺

غ

f (x) = |x| (x R)

Ý ÒÐ Ø × Ò

ÓÒÚ Ö¹

Å

ÓÐ

|fn (x)| =
Òº

x2

Ï

Ö×ØÖ ×× Ø

Ö Ø Ö ÙÑ

R¹

1 1 2 xR 2 +n n 1 2 + n2 x
Ñ

×

1 n2

×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

Ò׸ ÓÒÚ Ö

Ý Ò¹

Ú ÒÝ×ÓÖ

Ý ÒÐ Ø ×

º º Ð

غ

À Ø ÖÓÞÞ

fn

Ú ÒÝ×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

Ò

Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø¸

fn : R \ {-1} R,
Å ÓР׺ À

fn (x) =
Ý

x (1 + x)n

(n N) .
ÓÒÚ Ö ØØ Ò׺

x = 0¸
Ý

Ý

fn (0) = 0¸ fn (x) =

À ×ÓÖ

x R\{0, -1}¸
Ý

n=1

n=1

x
Ñ

fn (0) ×ÓÖ n 1 Ñ 1+x
ÓÖ

fn

Ú Òݹ ×Þ Ö ÒØ

1 1+x

Ú

Ò×ò Ñ ÖØ Ò ×ÓÖ¸

Ò Ø ÒÙÐØ

½½

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

ÓÖ

×
×

ÓÖ

ÓÒÚ Ö º

Ò׸

1 < 1¸ 1+x
Þ Ð

Þ Þ

|1 + x| > 1¸

ÐÐ ØÚ

x ] - , -2[ ]0, +[
Ý ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò

Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ Þ

º º Ð
Ñ Ø

غ 

E =] - , -2[ [0, +[
ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ ÓÒÚ Ö Ò

ÐÑ Þº ¹ ÒØ ÖÚ ÐÐÙ¹

Ø ÖÓÞÞ

xn n n=1


;

xn n2 n=1 ;
n=1



;

n xn n=1 ;




;

n=1

n!xn

;

xn 2n n=0
Å ÓÐ

nxn

n=1

n(x - 1)n .

xn n=1 n


׺

ØÚ ÒÝ×ÓÖ

× Ø Ò

lim
Ý Ú Ö À ×ÓÖ Ý ³ Ò׸ Ð Ñ Öع Ð

n

xn+1 n + 1 = lim |x| n = |x| , xn n n+1 n
Ö Ø Ö ÙÑ Ú Ö ×ÓÖ Ò׸ Ú Ö Ò׸ Ú Ø Ü Ô ÞÑ ÒÝ ½º Ñ ØØ ØÚ ÒÝ×ÓÖ ÓÒ¹

x = 1¸
ÓÒÚ Ö

|x| < 1
Ý Ò׺

1 n=1 n



×

x = -1¸ [-1, 1[
º

ÓÖ



(-1)n

n=1

1 n

ØÚ ÒÝ×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

Ò

¹ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ

n=1

xn n2

ØÚ ÒÝ×ÓÖÖ

lim
Ý À ØÚ ÒÝ×ÓÖ

n

xn+1 (n + 1)2 = lim |x| xn n n2
ÓÒÚ Ö

n+1 n
Ú Ö

2

= |x| ,
Ò׸ Ý

x = 1¸
Ò׸ Ò׺

Ý Ý

1 2 n=1 n
Ú Þ× ÐØ



Ò׸

|x| < 1¸

×ÓÖ¸ Ñ ØÚ ÒÝ×ÓÖ

x = -1¸

|x| > 1º
n=1

(-1)n

1 n2

×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

[-1, 1]

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ð ×Þ

ÓÒÚ Ö¹

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

½½

n n n=1 x



ØÚ ÒÝ×ÓÖÖ

lim
Ý Þ ´ Ù
ݹ Þ Þ Ý Ð

n

n
Ý Ñ

n n n 1 = , = lim n n |x| x |x|
Ö Ø Ö ÙÑ Ú Ö Ò׸ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ Øص ÓÒÚ Ö Ò׸

1 < 1¸ |x|
À

|x| > 1¸


|x| < 1º
Ý

x = 1¸

n¸

Ñ

n=1
Þ ÖØ ØÚ ÒÝ×ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ý × Ø × º ØÚ ÒÝ×ÓÖ × Ø Ò

x = -1¸
Ò



(-1)n n

×ÓÖ ×

Ú Ö

Ò׺

n=1

Ø ÖØÓÑ ÒÝ

] - , -1[

]1, +[

n=1

n!xn

x R \ {0}¹Ö

n
Ý

lim

(n + 1)!xn+1 = lim (n + 1)|x| = + , n n!xn
ÓÒÚ Ö Ò ×ÓÖ¸ Ò׺ Ý ÓÒÚ Ö Ò׸

x=0 × Ø Ò x n Å Ú Ð Ý Ñ ÖØ = n n=0 2 n=0 2 Þ Þ |x| < 2 Ú Ö Ò׸ |x| > 2º
ØÚ ÒÝ×ÓÖ
×



xn



x < 1¸ 2
Ò׸ Þ ÖØ

x = 2¹Ö
ÓÒÚ Ö



1¸

Ñ

n=0
Ò

x = -2¹Ö



(-1)n

×ÓÖ

Ú Ö

n=0

¹ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ØÚ ÒÝ×ÓÖÖ Ò×

n=1
Ñ ØØ

nxn
ÓÒÚ Ö

] - 2, 2[ º lim n n = 1¸
n
ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ´

Ý ×Þ Ò

Ù
ݹÀ ÓÒÚ Ö

Ñ Ö Ò
×Ù

Ø Ø Ð Ö

1 = 1µº = lim n n
n
ÆÝ ÐÚ Ò Ú Ö Ò× Þ¸ º Ò
Ó Ý

] - 1, 1[

x = 1¹Ö
Ø

n=1

n¸

Ñ

x = -1¹Ö
ÒØ ÖÚ ÐÐÙѺ



(-1)n n

×ÓÖÓ

n=1

ÓÒÚ Ö

Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø

n=1

] - 1, 1[
Ý Ò׸

n(x - 1)n
ÓÒµ

x0 = 1
Ô Ù ¸ Ø Ò Ó Ý ×ÓÖ

Þ ÔÔÓÒØ

ØÚ ÒÝ×ÓÖ¸ Ñ ÐÝÖ ÓÒÚ Ö Þ ÖØ Ò׸ ÓÒÚ Ö

´ Þ

Ð

Ú Ð

ÞÓÒÓ× Ñ

= 1¸
Ú Ö

0 < x < 2º
Ò
Ø ÖØÓÑ ÒÝ

x=0 ×x=2 × ]0, 2[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙѺ

½½

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

º º Ð

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ

Ð

ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ

ÓÒÚ Ö

Ò

×Ù

Ö Ø

n=1 n=0
Å ÓР׺

nn xn ; x2n+1 (2n + 1)! ;

n=1

1+


1 n

n2

xn ; x2n . (2n)!
Ñ Ö Ø Ø Ð Ñ ØØ

(-1)n

n=0

Å Ú Ð

lim n nn = lim n = +¸
n
ØÚ ÒÝ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò

Ý ×Ù Ö

Ù
ݹ
n=1

nn xn
n

= 0º 1+
×Ù Ö

lim
n=1
Ä

1+ 1+ 1 n

1 n
n

n2

= lim 1 + xn
ØÚ ÒÝ×ÓÖ

1 n

n

= lim
Ò

n

1 n

n

=e 1 e
º

Ñ

ØØ

ÓÒÚ Ö

=

Ý Ò

x R \ {0}

Ø Ø×Þ Ð ÓÖ

× Ò Ö

Þ Ø ØØ

×

an =

x2n+1 (2n + 1)!

(n = 0, 1, 2, . . .)¸

|x|2 an+1 = 0, an (2n + 2)(2n + 3)
Ý ³ Ð Ñ ÓÒÚ Ö Öع Ð ÒÝ Ó× Ö Ø Ö ÙÑ Þ Ò
×Ù Ö Ð Ô Ò ØÚ ÒÝ×ÓÖ Ñ Ò Ò

x = 0¹Ö
Þ ÖØ À ×ÓÒÐ ´

Ò׸

Ñ ÒÝ ÐÚ Ò ÓÒÚ Ö Þ

ØÚ ÒÝ×ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ö Ð

x = 0 × Ø Ò ×º = +º 2n x an = (-1)n (n = 0, 1, . . .) (2n)!

Ð Ð ×× Ð

ÐÚ

x=0

Þ Ø ØØ Ú Ð × ×Þ ÑÖ µ

|x|2 an+1 = 0, an (2n + 1)(2n + 2)
ÞÓÒÓ× Ñ ÓÒÚ Ö Ò
ÓÒ ×Ù Ö Ø ¸ ØÚ ÒÝ×ÓÖ Ø ÑÓ×Ø × Ó Ý ÓÒÚ Ö Ò
Ø

Ñ

× Ø Ò ×º

x=0

×

x=0

= +º
× Ø Ò

º º Ð

غ

ÞÓÒÝ Ø×

sh(x) =

exp(x) - exp(-x) exp(x) + exp(-x) ; ch(x) = ; 2 2 exp(x) = sh(x) + ch(x) .

xR

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

½½

Å

ÓÐ

׺

Þ

. exp(x) =

xn . , exp(-x) = n! n=0

Ý ÔÞ ØØ Ð Ò Ö × ÓÑ



(-1)n

n=0

xn n!

×

×ÓÖÓ

ÓÒÚ Ö

Ò×

x R
×Þ ÑÓ

× Ø Ò¸ Ð

×ÓÖÓ Ò Ð Ø ÒÙÐØ Ò
Ù Ö

×Þ Ö ÒØ

=

1 1 , µ = - 2 2

exp(x) - exp(-x) 1 = 2 2 =
Ñ Ø À ×ÓÒÐ ÞÓÒÝ Ø Ò



xn n!

n=0

-

1 2



(-1)n

n=0

xn = n!
n=0

n=0
ÐÐ Øغ

xn 1 1 - (-1)n = 2 2 n!

x2n+1 . = sh(x), (2n + 1)!

ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð

1 xn xn 1 exp(x) + exp(-x) = + (-1)n = 2 2 n=0 n! 2 n=0 n! = x R¹Ö
Ð Ô º





n=0

1 xn 1 + (-1)n = 2 2 n!

n=0

x2n = ch(x) (2n)!

Î

x2n xn x2n+1 + = = exp(x) sh(x) + ch(x) = (2n + 1)! n=0 (2n)! n=0 n! n=0
Ú Ø Þ







xR
ÞÓÒÝ Ø×

× Ø Òº

º º Ð
µ µ
µ

x, y R × Ø Ò cos(x + y) = cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) ch(x + y) = ch(x) ch(y) + sh(x) sh(y) sh(x + y) = sh(x) ch(y) + ch(x) sh(y) exp(x) exp(-x) = 1 ; cos(-x) = cos(x) ; sin(-x) = - sin(x) ; ch(-x) = ch(x) ; sh(-x) = - sh(x) ; sin2 (x) + cos2 (x) = 1 ; ch2 (x) - sh2 (x) = 1º
¸ Ó Ý

غ

½½

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

Å

ÓÐ

׺

µ ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¸

Ó Ý



(-1)n

×

y 2n+1 (-1)n (2n + 1)! n=0

×ÓÖÓ ÒÓÑ

n=0
×ÓÖÓ Ð Ò ×

x2n , (2n)!



(-1)k

n=0
ÓÒÚ Ö

y 2n , (2n)!
Ò× ¸



(-1)n
×ÓÖÓ

n=0
Ý

x2n+1 (2n + 1)!
Ù
ݹ Ø Ø Ð ¸

×ÞÓÐ Ø Ö ØØ

×ÞÓÖÞ Ø Ö ¸ Ú Ð Ñ ÒØ

´ ÐÐ ØÚ

××Þ

Ö µ ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ð × Ø Ø Ð Ñ

cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) = =
n n=0 k=0

(-1)k x2k (-1)n-k y 2n-2k - (2k)! (2n - 2k)! -
n n=0 k=0

(-1)k x2k+1 (-1)n-k y 2n-2k+1 = (2k + 1)! (2n - 2k + 1)!

=1+

l=1

l

(-1)l
k=0

x2k y 2l-2k - (2k)! (2l - 2k)!
l=1 l-1

- =1+
l=1 l

(-1)l-1
k=0

x2k+1 y 2l-(2k+1) = (2k + 1)! (2l - (2k + 1))!

(-1)l
k=0

x2k y 2l-2k + (2k)!(2l - 2k)!
l=1 l-1

+
l=1 n=1 l-1

(-1)

l k=0

x2k+1 y 2l-(2k+1) = (2k + 1)!(2l - (2k + 1))! =

=1+

(-1)l
k=0 n 2n (-1)

x2k+1 y 2l-(2k+1) x2k y 2l-2k + (2k)!(2l - 2k)! (2k + 1)!(2l - (2k + 1))! 2n k 2n-k x y = k


=1+

(2n)!

(-1)n

k=0

n=0

(x + y)2n = (2n)!

= cos(x + y),
× Þ ÔÔ Ò Þ Ð×

× Ø Ø Ð × Ø Ø Ðº ÞÓÒÝ Ø × Þ × ×ÓÒÐ ×Þ ÑÓР׺ Ñ ×Ó µ ÁØØ ×ÓÖÓ

n=0

x2n (2n)!
×ÞÓÐ Ø

,

n=0

y 2n (2n)!
Ò

;
¸

n=0

x2n+1 (2n + 1)!
×ÓÖÓ

y 2n+1 n=0 (2n + 1)!

× ÓÒÚ Ö Ò×

ÓÒÚ Ö

Ù
ݹ×ÞÓÖÞ Ø Ö

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

½½

×ÓÖÓ Þ
µ Ð

××Þ Þ

Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ ×ÓÒÐ

Ø Ø Ð

¸ ØÓÚ Þ

ÒÓÑ ÐÐ Ø ×Ó

Ð ×Ø Ø Ð Øº

Ð

ÐÑ Þ × ¸

×Þ ÑÓÐ ×× Ð Ó Ý

ÃÓÖ

Ò

ÞÓÒÝ ØÓØØÙ ¸

exp(x) exp(y) = exp(x + y) x, y R × Ø Ò¸ Ñ ×Ö ×ÞØ exp(0) = 1 ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¸ Ý exp(x) exp(-x) = exp(x - x) = exp(0) = 1º
ØÚ ÒÝÓÞ ×Ö Ð Ø ÒÙÐØ Ð Ô Ò × ÓÒÚ Ö ×

Ò× ×ÓÖÓ

ÑòÚ Ð Ø

ØÙÐ

ÓÒ¹

. cos(-x) = . sin(-x) = . ch(-x) = . sh(-x) =



(-1) (-1)

2n n (-x)

n=0 n=0 n=0

(2n)!

=



(-1)n


n=0

x2n . = cos(x) ; (2n)! x2n+1 . = - sin(x) ; (2n + 1)!

n

(-x)2n+1 (2n + 1)! =
n=0

=-

(-1)n

n=0

(-x)2n (2n)!

x2n (2n)!


. = ch(x) ;

(-x)2n+1 x2n+1 . = - sh(x) =- (2n + 1)! (2n + 1)! n=0 n=0


cos(0) = 1 + xR

(-1)n

n=1
× Ø Ò

02n+1 = 1¸ (2n + 1)!

Ý

Þ

Ð

Ø

Ð

×ÞÒ ÐÚ

1 = cos(0) = cos(x + (-x)) = cos(x) cos(-x) - sin(x) sin(-x) = = sin2 x + cos2 x . 02n = 1¸ n=1 (2n)!


ch(0) = 1 +

Ý

Þ

Ð

Ø

Ð

×ÞÒ ÐÚ

1 = ch(0) = ch(x + (-x)) = ch(x) ch(-x) + sh(x) sh(-x) =

º º Ð
Ú Ø Þ µ µ
µ

غ

= ch2 (x) - sh2 (x) x R .
ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý Þ

exp : R R

Ú ÒÝÖ

Þ

¹

exp(x) = 0 (x R) ; exp(x) 1 (x 0), 0 < exp(x) < 1 (x < 0) ; lim exp(x) = +, lim exp(x) = 0 ;
x x-
ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

µ ×Þ µ

exp(R) = R+ (Rexp = R+ ) ;

½¾¼

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

µ
Å ÓÐ

exp(r) = er r Q .
׺

µ µ

µ

1 = exp(0) = exp(x + (-x)) = exp(x) exp(-x) Þ ÐÐ Ø ×غ exp(x) 1¸ x0 Ò Ò
к À x < 0 = -x > 0 = exp(x) < 0 Ò Ñ exp(-x) > 1 = exp(x) = [exp(-x)]-1 < 1¸ Ð Ø× ×¸ Ñ ÖØ ÓÖ 0 > exp(-x) exp(x) = exp(0) = 1 Ñ Ð Ø ØÐ Òº exp(x) > x = lim exp(x) = +¸
x+

µ

1 =0 x- x+ x+ exp(x) x1 < x2 = x2 - x1 > 0 = exp(x2 - x1 ) > 1 = exp(x2 ) =exp((x2 - x1 ) + x1 ) = exp(x2 - x1 ) exp(x1 ) > exp(x1 )¸
Ñ

lim exp(x) = lim exp(-x) = lim

Ñ

Þ

ÐÐ Ø ×Ø

µ
µ¹ µ

exp Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×× Ð Ò Þ ÐÐ Ø × 1 exp(1) = = e = p N¹Ö exp(p) = exp(1 + . . . + 1) = n! n=0 = exp(1) . . . exp(1) = ep º 1 , -pN 1 = e-p À -p N Ú Ý p = 0 = exp(p) = º exp(-p) 1 = e0 , p=0 p p q p p = + ... + À p Z × q N = e = exp = exp q q q p p º e q = exp q
Ð × Þ



º½¼º Ð
µ µ
µ µ µ µ

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

Þ

ln

Ú ÒÝÖ

Ø Ð

× Ð

Dln = R+ , Rln = ln(R+ ) = R ;
ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

ln(1) = 0, ln(x) < 0 (0 < x < 1), ln(x) > 0 (x > 1) ; exp(ln(x)) = x (x R+ ), ln(exp(x)) = x (x R) ; ln(xy) = ln(x) + ln(y) (x, y R+ ) ; x ln = ln(x) - ln(y) (x, y R+ ) . y
׺

Å

ÓÐ

. ln = exp-1
Ò
´ × Þ Ø Òݸ Òµ Ø ÒÙÐØ Ó Ý Ú Òݵ ÒÚ ÖÞ Ò

µ

Þ

ln

Dexp = R
ÞÓÒÒ Ð

×

Rexp = R+ ¸
× ÖØ Þ ÐÐ Ø ×غ

Ú Ð Ñ ÒØ ×ÞÐ Ø ¹

Ö Ð

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ö Ð

Ö Ð ´Ã Ð ÙÐÙ× Áº Áº¾º¹

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

½¾½

µ

Þ ×Þ

ln
ÓÖ

Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ ¸ Ý

ÓÐÝØÓÒÓ× ÑÓÒÓØÓÒ º

× ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ö Ø ÒÙÐØ ×Þ Ö ÒØ

exp
ÓÐÝØÓÒÓ×

¹ ×

Ú ÒÝ

Ú ÒÝ

µ

µ µ

. -1 Ñ exp(0) = 1 ¸ Ó Ý ln(1) = 0 ´ln = exp ln ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ¸ Ý ln(x) < ln(1) = 0¸ 0 1º Ò
× Þ ½º½ º Ð Ø µ Ö ×Þ Þ ln µ¹ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ ¸ ÐÐ ØÚ Þ exp Ú ÒÝÖ Ñ ØØ x, y R+ ¹Ö ln(xy) = ln[exp(ln(x)) exp(ln(y))]

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

Øصº

Þ

ÐÐ Ø ×غ
×Ø Ø Ð

ÚÓÒ Ø ÓÞ

= ln[exp[ln(x) + ln(y)]] = ln(x) + ln(y). ln ln 1 y x y = ln 1 = ln(exp(- ln(y)) = - ln(y) Ð exp(ln(y)) 1 1 = ln x = ln(x) + ln = ln(x) - ln(y)º y y

µ

×ÞÒ Ð × Ú Ð

´a

º½½º Ð
R+
µ µ
µ

غ
ÓØص

ÞÓÒÝ Ø× Ú ÒÝÖ

¸ Ø Ð

Ó Ý × ÐÒ

Þ

. expa : R R, expa (x) = exp(x ln a)

µ ×Þ µ µ
Å ÓÐ

expe = exp Dexpa = R, Rexpa = R+ (a = 1) expa (x + y) = expa (x) expa (y) (x, y R)¸ expa (-x) = [expa (x)]-1 (x R)
ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× Ò µ¸ ÓÐÝØÓÒÓ×

a > 1 (0 < a < 1)

expa (r) = ar (r Q)º
׺

µ

ln(e) = 1
Ñ Þ

Ñ Þ

ØØ

ÐÐ Ø ×Ø ×

expe (x) = exp(x ln(e)) = exp(x) (x R)¸
Þ × Ø Ò ×ÞÐ Ø Ð ¸ Ý

µ

y exp(y) Ú ÒÝ xR ×y R ÖØ ÐÑ Þ ØØ ¸ Ý Þ x exp(x ln(a)) = expa (x) Ú ÒÝ ×º ÓÖ g(x) = x ln(a) (x R) Ð Ò Ö × Ú ÒÝ ÖØ À a = 1¸ R¸ Ñ ÐÝ Ø Þ exp Ú ÒÝ ´ ÞÓÒÝ ØÓØØ ×Þ Ö Òص R+ ¹Ö Ô Þ Rexpa = R+ (a = 1) Ú Ø Þ º x x ln(a)

½¾¾

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

µ

Þ

exp

Ú ÒÝ



× ØÙÐ

ÓÒ×

Ø

Ð

×ÞÒ ÐÚ

Ñ ÐÐ Øص

x, y R

´expa

Ò

× Ø Ò

expa (x + y) = exp((x + y) ln(a)) = exp(x ln(a) + y ln(a)) = = exp(x ln(a)) · exp(y ln(a)) = expa (x) expa (y) ,
Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ

expa (-x) = exp(-x ln(a)) =
ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð µ À Ò ÓÖ Þ Þº

1 1 = = [expa (x)]-1 exp(x ln(a)) expa (x) x1 < x2
× Ø Ò

a > 1¸
Ð

ln(a) > 0¸
Ú ÒÝ ×Þ

Ý

x1 ln(a) < x2 ln(a) Ø
× Ñ ØØ

Ð

× Ð¸

Ñ ÐÝ

exp

ÓÖ

ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

expa (x1 ) = exp(x1 ln(a)) < exp(x2 ln(a)) = expa (x2 )
Ú Ø Ò Ú À Ø Ð Þ ¸ × × Ø¸ Þ Ò
×Þ Ö ÒØ Ý Þ Þ

expa
Ð Ú Ð

Ú ÒÝ ×Þ ÞÓÒÓ×

ÓÖ

ÑÓÒÓØÓÒ

0 < a < 1¸
Ô Ù

a > 1º ÓÖ ln(a) < 0¸

ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø¹

µ

x1 < x2 = x1 ln(a) > x2 ln(a) = expa (x1 ) = exp(x1 ln(a)) >exp(x2 ln(a)) = expa (x2 ) Ø Ø expa ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ¸ 0 < a < 1º Ú ÒÝ Þ x x ln(a) (x R) × y exp(y) (y R) Ý Ð Ð ÔÞ ØØ x expa (x) = exp(x ln(a)) ××Þ Ø
ÓÐÝØÓÒÓ׺

ÓÐÝØÓÒÓ× ØØ

¸

Ú ÒÝ ×

µ À

a R+ ¸

Ý

expa (0) = exp(0 · ln(a)) = exp(0) = 1 = a0 ,

×

expa (1) = exp(1 · ln(a)) = exp(ln a) = a = a1 .
Ì Ý Ð¸ Ó Ý

expa (n) = an ¸

ÓÖ

expa (n + 1) = expa (n) expa (1) = an · a = an+1 .
Þ Ò Ù

µ Ö ×Þ × × Þ Ü Ð Ñ Ñ ØØ Ñ Ý ØØ

expa (n) = an

Ñ Ò

Ò

nN

× Ø Òº

expa (-n) =
Ñ Ò Ò

1 1 = n = a-n expa (n) a
Þ Ð Ð Ý ØØ ¸ Ó Ý

az

Ñ Ò

Ò

n N × Ø Ò¸ z Z × Ø Òº

Ñ

expa (z) =

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

½¾¿

À

n N¸ 1 expa n
ØØ ´ Þ

ÓÖ

n

= expa n ·
Ý

1 n 1 n

= expa (1) = a
Ñ Øص

×

expa

1 n

>0

Ñ

n¹

Ò

expa
Ú Ø Ä Þ º Ð Ý Ò Ú

=

n

a = an

1

expa
Ñ ØØ

m n

n

mZ = expa

×

n N¸ ÓÖ m n· = expa (m) = am n

×

expa

m >0 n

Ñ Ð Ø Þ

Ð

Ú Ø

Þ ×

nN

m . m . m = n a = an, n Þ ÐÐ Ø ×¸ Ñ ÖØ Ñ Ò Ò r Q × m m Z¸ Ó Ý r = ¸ Ý n m m expa (r) = expa = a n = ar . n expa
¸ Ó Ý Þ

Ø Ò

º½¾º Ð
×Þ Ö ÒØ µ µ
µ µ µ µ µ Ò

غ
ÐØ

ÞÓÒÝ Ø×

a¹

Ð Ô

ÐÓ

Ö ØÑÙ×

Ú ÒÝÖ

. loga = exp-1 : R+ R (a R+ ) a
Ø Ð × ÐÒ

ln(x) loge = ln, loga (x) = (x R+ , 1 = a R) ln(a) Dloga = R+ , Rloga = R, loga (a) = 1, loga (1) = 0 a > 1 (0 < a < 1) ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× Ò µ¸ expa [loga (x)] = x (x R+ ), loga [expa (x)] = x (x R) loga (xy) = loga (x) + loga (y) (x, y R+ ) logb (x) loga (x) = (x R+ , 1 = a, b R+ ) logb (a) loga (xr ) = r loga (x) (1 = x R+ , r Q)º

½¾

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

Å

µ

. . loge (x) = exp-1 (x) = exp-1 (x) = ln(x) (x R) e Å ×Ö ×ÞØ Ñ Ò Ò x R+ ¹Ö loga (x) = loga (exp(ln(x))) = loga exp = loga expa
Ñ × ÐÐ Ø ×Ø ×º

ÓÐ

׺

Þ

Ð×

ÐÐ Ø ×غ

ln(x) ln(a) ln(a)

=

ln(x) ln(a)

=

ln(x) ln(a)

µ

µ

loga Ò
¸ × Þ Ø Òݸ Ó Ý Dexp = R, Rexp = R+ ¸ a a Dloga = Rexpa = R+ × Rloga = Dexpa = Rº expa (1) = a ¸ Ó Ý loga (a) = 1¸ Ñ expa (0) = 1 Þظ Ó Ý loga (1) = 0º Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× Ò µ¸ a>1 Þ expa (0 < a < 1)¸ Ý ÒÚ ÖÞ loga × ÐÝ Òº
Ò
× Þ ½º½ º Ð Ø ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Þ ÐÐ Ø ×غ

Ó Ý

µ µ

ln(x) + ln(y) . . ln(xy) loga (xy) = = loga (x) + loga (y) (x, y R) = ln(a) ln(a)
ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò × Ø Ò Þº

µ

x R+

ln(x) ln(x) logb (x) ln(b) loga (x) = = = ln(a) ln(a) logb (a) ln(b)
´ Ð ×ÞÒ ÐÚ Þ µ Ö ×Þ Ñ ×Ó ¸ Ó Ý ÐÐ Ø × Øµº ÓØØ

º½¿º Ð
×Þ Ö ÒØ µ µ µ Ò

غ
ÐØ

ÞÓÒÝ Ø×

. f : R+ R, f (x) = xµ = exp(µ ln(x)) µ¹
Ø Ú ò Ú Ð × ØÚ ÒÝ Ú ÒÝÖ Ø Ð × ÐÒ ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ

µR

× Ø Ò

Þ

Rf = R + ¸
ÓÖ

µ ×Þ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

µ = 0 ; Rf = {1}¸
x+

µ=0
Ò µ¸

´
×

µ > 0 (µ < 0)

x0

lim f (x) = 0 ,

lim f (x) = +¸
x+

µ > 0¸ µ<0

x0

lim f (x) = + ,

lim f (x) = 0¸

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

½¾

µ

xµ x = xµ+ , x y
µ

=

xµ , (xµ ) = xµ (x, y R+ , µ, R) yµ

xµ = xµ- , (xy)µ = xµ y µ ¸ x

º

Å

ÓÐ

׺

µ

µ

µ

x µ ln(x) (x R+ ) × y exp(y) (y R) ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ Ú ÒÝ ××Þ Ø Ø Ð ÒØ Ò ÐØ f ÓÐÝØÓÒÓ× ÓÖ Þ x µ ln(x) (x R+ ) Ú ÒÝ ÖØ ×ÞÐ Ø R × À µ = 0¸ ÓÖ exp(R) = R+ ¸ Ó Ý Rf = R + º µ ÓÖ µ ln(x) = 0 (x R)¸ Ý f (x) = x = exp(0) = 1 (x À µ = 0¸ R+ )º ÓÖ Þ ln Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú × Ø × À µ > 0 × x1 < x2 ¸ Ð ×ÞÒ ÐÚ µ ln x1 < µ ln x2 ¸ Ñ ÐÝ Ð Þ exp Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ
Þ Ò Ú × Ñ ØØ Ô Ù ¸ Ó Ý

f (x1 ) = xµ = exp(µ ln(x1 )) < exp(µ ln(x2 )) = xµ = f (x2 ) 1 2 f ×Þ ÓÖ µ<0 × Ø Ò À µ > 0¸
´ Þ ××Þ Ø ØØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÞÓÒÝ Ø × ÓÖ × Øº ×ÓÒÐ º ØÓÚ ÚÓÒ Ø ÓÞ

µ

x0

lim µ ln(x) = -¸
Ø Ö ÖØ Ö

y-

lim exp(y) = 0¸
Ø Ø Ð Ñ Øص

Ñ ÐÝ ¸ Ó Ý

Ú ÒÝ

x0

lim f (x) = 0º
x+
Ô Ù ¸

Å ×Ö ×ÞØ Ñ Øص

lim µ ln(x) = +
Ó Ý

×

y+

lim exp(y) = +¹

Ð ´

×ÓÒÐ

Ó Ó

x+

lim f (x) = +º

µ

µ < 0 × Ø Ò Þ ÐÐ Ø ×Ó ×ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º . . µ x = exp(µ ln(x)) exp( ln(x)) = exp((µ + ) ln(x)) = xµ+ ¸ x xµ . exp(µ ln(x)) = = exp(µ ln(x)) exp(- ln(x)) = x exp( ln(x)) . = exp((µ - ) ln(x)) = xµ- , . (xy) = exp( ln(xy)) = exp((ln(x) + ln(y))) = . = exp( ln(x)) exp( ln(y)) = x y ,

½¾

ÎÁÁº

Î

Æ

ËÇÊÇ

ÌÇø

Î

Æ

ËÇÊÇø

Ä

ÅÁ

Î

Æ

Ã

x y



= exp ln

x y

= exp((ln(x) - ln(y))) = x exp( ln(x)) = , exp( ln(y)) y

= exp( ln(x)) exp(- ln(y)) =

. . (xµ ) = exp( ln(xµ )) = exp(µ ln(x)) = xµ
Þ ÐÐ Ø ×Ó Øº

Ý ÓÖÐ
½º À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ

Ð

ØÓ
2nx (n N) 1 + n 2 xn
ÐØ Ð ÓØØ

fn
¾º

fn : R R, fn (x) =
ÓÒÚ Ö Þ Ò

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø ¸ Ó Ý

Ø ÖØÓÑ ÒÝ Øº

ÞÓÒÝ Ø×

fn : [0, +[ R, fn (x) =
ÓÒÚ Ö Ò׺

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø ¿º ÞÓÒÝ Ø× ¸

Ý ÒÐ Ø × Ò Ó Ý

2nx (n N) 1 + n 2 xn
Ö Ò׸

º

Ú ÒÝ×ÓÖ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ fn (-1)n fn : R+ R, fn (x) = (n N)º x+n À Ø ÖÓÞÞ Ñ Ú ÒÝ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò
Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø¸ fn 1 xn n (n N) µ fn : R \ - R, fn (x) = 2 n + 1 (2x + 1)n x(n + x) n (n = 1, 2, · · · )º µ fn : R R, fn (x) = n Ñ Þ Ð ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ ÓÒÚ Ö Ò
×Ù

º À Ø ÖÓÞÞ ÓÒÚ Ö Ò

Ö Ø ´

Ð

Ø

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Øµ

n=1

nn n x ; n! 3n
¸

n=0

x2n ; (2n)!




(-1)n

n=0

x2n+1 ; (2n + 1)!

+

(-2)n n

xn ;
× Ø Ò

n=1
º ÞÓÒÝ Ø×

xn an + bn n=1

(a, b R+ ).

Ó Ý

a>1

x0
Ñ

lim loga (x) = - ,
× Ø Ò

x+

lim loga (x) = + ,

0 x0

lim loga (x) = + ,

x+

lim loga (x) = -.

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

½¾

º

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý Ñ Ò

Ò

cos(x - y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) ; sin(x) + sin(y) = 2 sin

sin(x - y) = sin(x) cos(y) - cos(x) sin(y) ; sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ; cos(2x) = cos2 (x) - sin2 (x) ;

x, y R

× Ø Ò

º Ò

x+y x-y cos ; 2 2 x-y x+y cos ; cos(x) + cos(y) = 2 cos 2 2 x-y x+y sin ; cos(x) - cos(y) = -2 sin 2 2 1 sin(x) cos(y) = [sin(x + y) + sin(x - y)] ; 2 1 cos(x) cos(y) = [cos(x + y) + cos(x - y)] ; 2 1 sin(x) sin(y) = [cos(x - y) - cos(x + y)] . 2 ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý Þ sh Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ] - , 0]¹ÓÒ¸ ×Þ ÓÖ Ú [0, +[¹ÓÒº

Ú

Ú

ch

Ò ÑÓÒÓØÓÒ

ÎÁÁÁº

Ö Ò
Ð×Þ Ñ Ø ×
Ö Ò
ÒÝ Ó׸ Ö Ò
Ð Ø × ¸ Ö Ò
Ð ÒÝ Ó׸ Ö ÒØ
Ñ Þ ÒÝ Ö Ò

Þ Ø

º½º Ð
ÖØ

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Þ Ø ÖØÓÞ

f : R R, f (x) = x2
Ó× Ø¸

Ú ÒÝ

x0 , x

a) x0 = 1, x = 1, 1 ;
Å ÓР׺

b) x0 = -5, x = -5, 1 .
Ö Ò
ÒÝ Ó×

Þ

x, x0 ¹

ÓÞ Ø ÖØÓÞ

. f (x) - f (x0 ) (x, x0 ) = x - x0
µ Ò
Ð Ô Ò

(x = x0 ).

(1, 1 , 1) =
µ À ×ÓÒÐ Ò

f (1, 1) - f (1) 1, 12 - 12 0, 21 = = = 2, 1 . 1, 1 - 1 1, 1 - 1 0, 1

(-5, 1 , -5) =

f (-5, 1) - f (-5) (-5, 1)2 - (-5)2 = = -5, 1 - (-5) -0, 1 0, 1 · 10, 1 = -10, 1 . = -0, 1
ÑÓÞ ØÐ Ý ××
½¾

s = 10t + 5t2 º
ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò¸

º¾º Ð

غ

Þ

Ý Ò ×ÚÓÒ Ð Ñ Ú

×Ø ××

Ú Ø Ú

Þ Ý

ÔÓÒØ

ÑÓÞ

×

Ý ÒÐ Ø ¹

À Ø ÖÓÞÞ

× Øº

t = 1

t = 0, 1

20 t 20 + t t = 0, 01º Ñ

t = 20¹

ÓÞ Ø ÖØÓÞ

Ô ÐÐ Ò ØÒÝ ×

½¿¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Å

ÓÐ

׺

[t0 , t0 + t]

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ

Ò

Þ

ØÐ

×

××

v [t0 ,t0 +t] =

s(t0 + t) - s(t0 ) 10(t0 + t) + 5(t0 + t)2 - 10t0 - 5t0 2 = = t t 10t0 + 10t + 5t0 2 + 5(t)2 + 10t0 t - 10t0 - 5t0 2 = = t 10t + 10t0 t + 5(t)2 = 10 + 10t0 + 5t . = t v [20,20+t] = 10 + 10 · 20 + 5t = 210 + 5t ,

Ý

ÐÐ ØÚ

v [20,21] = 215,
Ô ÐÐ Ò ØÒÝ × ××

v [20,

20,1]

= 210, 5,

v [20,

20,01]

= 210, 05 .

s(t0 + t) - s(t0 ) = lim (10 + 10t0 + 5t) = 10 + 10t0 t0 t = v(20) = 210 . v(t0 ) = lim
t0

º¿º Ð
Ú ÒÝ

غ
Ø

Î Þ×

Ð

Þ

Ð Ò¸

Ú ÒÝ Ø ÖÓÞÞ

Ö Ò
Ñ

Ð

Ø × Ö Ò

Ø Ð

ÖØ ÐÑ ¹ ÒÝ Ó×

Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝÙ

Ñ Ò

Ò ÔÓÒØ

f1 (x) = f3 (x) =

1 x
3

(x R+ ); x (x R);

f2 (x) =



x

(x 0);

f5 (x) = x2 - 5x + 6 (x R); f7 (x) = |x + 2x|
׺

2

(x R).

f6 (x) = |x - 2| (x R);
ÓÖ Ö Ò
Ð Ø Þ

f4 (x) = 3x + 5 (x R);

Å

ÓÐ

Þ

Ò¸

Ð Ø Þ

f : a, b R
xx0

Ú ÒÝ

x0 a, b

¹

lim

Ú

×

Ø Ö ÖØ Þ

º Ð

f (x) - f (x0 ) . = f (x0 ) x - x0
Ð Ò ÒÝ Ó× Ò Ò Ú ÞÞ º

f (x0 )¹Ø Þ f1

f x0 ¹
Ú ÒÝ

Ö Ò
× Ø Ò Ñ Ò

lim

xx0

1 1 - x x0 x - x0

x0 R+ ¹Ö x0 - x xx0 x - x0 = lim -
xx0

= lim

xx0

1 1 =- 2 , xx0 x0

Á

Ê

Æ

Á

ÀýÆ

Ç˸

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

½¿½

Ý f1 (x ) f1 0

1 = - 2¸ x0

Ö Ò

Ð

Ø

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ö Ò
Ð ÒÝ Ó×

Ñ Ò Ú ÒÝ

Ò ÔÓÒØ Þ

Ò

×

Þ ÖØ

f1 (x) = -
Ú Òݺ Þ

1 (x R+ ) x2

f2

lim



xx0

x - x0 x - x0 = lim = xx0 ( x - x0 )( x + x0 ) x - x0 1 1 x0 = 0 (x0 > 0)¸ = lim = , xx0 x + x0 2 x0
Ö Ò
Ð Ø ¸

Ú ÒÝ

× Ø Ò

Ý

f2

x0
Þ ÖØ

lim



f2

x0 > 0º 1 x- 0 = lim = + , x0 x-0 x
Ø

Ò Ñ Ð

Ö Ò
ÒÝ Ó×

Ð

x0 = 0¹

Òº

Ö Ò

Ú ÒÝ

1 f2 (x) = 2 x f3
× Ø Ò

(x > 0).

lim

3

xx0

3 x - 3 x0 x - 3 x0 = = lim xx0 ( 3 x - 3 x )( 3 x2 + 3 x 3 x + 3 x2 ) x - x0 0 0 0 1 1 = 3 2, x0 = 0¸ = lim 3 3 2 + 3 x x + 3 x2 xx0 3 x0 x 0 0 lim
Ð

3
Ø

x0
Þ ÖØ

f3
Ö Ò

Ö Ò
Ð ÒÝ

x- 30 1 = lim = +. x0 3 x2 x-0 ¸ x0 = 0¸ x0 = 0¹ Ò Ò
Ú ÒÝ

Ѻ

Ó×

f4

× Ø Ò Ñ Ò

Ò

lim

xx0

3x + 5 - (3x0 + 5) 3(x - x0 ) = lim = lim 3 = 3 = f4 (x0 ) , xx0 x - x0 xx0 x - x0

2 1 - 1 3 (x = 0). = = x 3 3 3 x2 x0 R¹Ö
f3 (x)

½¿¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ý

f4 (x) = 3 (x R)º x2 - 5x + 6 - (x2 - 5x0 + 6) 0 = lim xx0 x - x0
Ò ×

f4

Ö Ò

Ð

Ø

Ú ÒÝ

Þ

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ

Ñ Ò

Ò ÔÓÒع

= lim

xx0

= lim (x + x0 - 5) = 2x0 - 5 = f5 (x0 ) xx0
Ý

x2 - x2 - 5(x - x0 ) (x - x0 )(x + x0 - 5) 0 = lim = xx0 x - x0 x - x0
Ñ Ò Ò

x0 R¹Ö

¸

f5

Ñ Ò

Ò ØØ

Ö Ò

Ð

Ø

×

f5 (x) = 2x - 5
À

(x R).

x0 = 2¸ lim
xx0

ÓÖ

|x - 2| - |x0 - 2| x - x0 = lim = 1, xx0 x - x0 x - x0

x0 > 2¸

ÐÐ ØÚ

lim
À

xx0

x0 = 2¸

-x - (-x0 ) |x - 2| - |x0 - 2| = lim = -1, xx0 x - x0 x - x0
ÓÖ

x0 < 2º

ÐÐ ØÚ

|x - 2| - |2 - 2| x-2 = lim = 1, x2+0 x2+0 x - 2 x-2 lim |x - 2| - |2 - 2| -(x - 2) = lim = -1, x2-0 x2-0 x - 2 x-2 lim lim |x - 2| - |2 - 2| . x-2 Ø x0 = 2¹ Ò¸ x0 = 2 1, -1 , 0 x>2 x<2. -2
ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ø×Þ ¸ Ý

Ý

x2

Þ ÖØ ×

f6

Ò Ñ

Ö Ò

Ð

× Ø Ò

Ò¸

f6 (x) =
Þ

f7

Ú ÒÝ

Þ

x¹Ø

Ò

ÐÝØ

×

f7 (x) =

x ] - , -2] [0, +[ x2 + 2x , 2 + 2x) , -(x x ] - 2, 0[ .

Á

Ê

Æ

Á

ÀýÆ

Ç˸

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

½¿¿

À

x0 ] - , -2[ ]0, +[ lim

¸

ÓÖ

xx0
À

x0 ] - 2, 0[

x2 - x2 + 2x - 2x0 |x2 + 2x| - |x2 + 2x0 | 0 0 = lim = 2x0 + 2 . xx0 x - x0 x - x0
¸ ÓÖ

xx0
Ý

lim

Í Ý Ò

f7 (x0 )¸
ÓÖ Ö Ò
Ð

|x2 + 2x| - |x2 + 2x0 | x2 - x2 + 2x - 2x0 0 0 = lim - = -2x0 - 2 . xx0 x - x0 x - x0
Ý×Þ Öò Ò ÒÝ Ó×

x0 = -2, 0º

Ð Ø

Ø ¸

Ó Ý

f7 (-2)

×

f7 (0)º

Ú ÒÝ

f7 (x) =

2x + 2 , -2x - 2 ,
Ñ

x ] - , -2[ ]0, +[ x ] - 2, 0[ .
Ú ÒÝ Ú ÒÝ

º º Ð
µ µ
Å ÓÐ

غ
Þ Þ
׺

À Ø ÖÓÞÞ

f1 (x) = 3x - x2 (x R) f2 (x) = x2 - 4 (x R)
Þ

(1, f1 (1)) ÔÓÒØ (2, f2 (2)) ÔÓÒØ
Ð Ø

Ð Ð

Ö ÒØ Ö ÒØ

ظ غ Ð Ö Ò¹

Ø

Þ

f : a, b R x0 ¹

Ò

Ö Ò

Ú ÒÝ

x0 ¹

y = f (x0 )(x - x0 ) + f (x0 ) (x R)
Ý ÒÐ Øò µ Þ Ð Ð Þ Ý Ò ×º Ð Ø

f5

Ú ÒÝ Ð Ø Ø ¸

Þ

×ÓÒÐ

Ò ´

ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ

ÓÒ×

Ó

×ÞÒ Ð × Ú Ð ×µ

Ó Ý

f1 (x) = 3 - 2x (x R).
Í Ý Ò Ú ÒØ ÓÖ ÑÓ×Ø Ö ÒØ Þ

x0 = 1, f1 (x0 ) = f1 (1) = 2 y = 1(x - 1) + 2 = x + 1

×

f1 (1) = 1¸

Þ ÖØ

Ý Ò ×º µ

f2 (x) = 2x¸ x0 = 2, f (x0 ) = f (2) = 0, f (x0 ) = f (2) = 4 =
Ö ÒØ Þ

Þ

y = 4(x - 2) = 4x - 8
Ý Ò ×º

º º Ð
ÔÓÒØ

غ

À Ø ÖÓÞÞ Ò Þ

Ñ Ô Ö

Þ

ظ Ñ ÐÝ

Ö ÒØ

f (x) = x2 (x R) ÙÞ ÑÓ× Þ y = 6x - 1

Ú ÒÝ

Ö

Ò

ÞÓÒ

Ý ÒÐ Øò

Ý Ò ×× Ðº

½¿

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

f Ö Ò
Ð Ø (x0 , f (x0 )) = (x0 , x0 2 ) ÔÓÒØ
Å ÓР׺

×

Ò Ú Ò

f (x) = 2x (x R)¸
Ö ÒØ ¸ Ñ ÐÝÒ

Ý

ÖÑ ÐÝ

Ý ÒÐ Ø

y = f (x0 )(x - x0 ) + f (x0 ) = 2x0 (x - x0 ) + x0 2 .
Þ ÓÖ Ý ÓÖ Ô Ö ÙÞ ÑÓ× Þ

f (x0 ) = x0 2 = 9º (3, 9) ÔÓÒØ Ò

y = 6x - 1
Ö ÒØ

Ý Ò ×× Ð¸

2x0 = 6¸
Þ

Þ Þ

x0 = 3

×

ÞÓØØ

Ð ×Þ Ô Ö ÙÞ ÑÓ×

ÓØØ

Ý Ò × Ðº

Ö Ò
Ð Ø ×
º º Ð
Ò
Å ÓÐ

× ÑòÚ Ð Ø
Ö Ò
Ð Ø

À

f g
׺

غ

À

f +g
Ö Ò

Ú Ð

Ý Ø

f ·g x0 ¹

x0 ¹
¹

Ò¸

ÓÖ

f

Þ¹

Ò¸

ÓÖ Ð Ø Þ

g (x0 )

x0 ¹

À

f (x) = |x|
Ö Ò
Ð Ø Òº

×

Ñ Ò

g(x) = -|x| (x R)¸ Ò¸ f Ò Ò x0 R ¹

ÓÖ Ñ

(f + g)(x) = 0¸ Ñ Ö Ò
Ð Ø x0 = 0¹

f (x) = |x| × g(x) = 2|x|¸ Ý (f · g)(x) = 2|x|2 = 2x2 ¸ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò x0 R¹ Ò Ö Ò
Ð Ø ¸ Ò Ñ Ð Ø Þ f (0)º 2 2 ÓÖ (f g)(x) = |x| = Ä Ý Ò g(x) = |x| (x R), f (y) = y (y R)¸ (0)º 2 (x R) Ö Ò
Ð Ø Ñ Ò Ò x0 R × Ø Ò¸ Ò Ñ Ð Ø Þ g x
À

º º Ð
½º À
Ð

f : a, b R
Ø ¸ ×

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸ Ö Ò

Ó Ý Ð Ø

x0 ¹

Ò¸

c R¸
ÓÖ

ÓÖ

c·f
׸

×

Ö Ò¹

¾º À

f, g : a, b R g : a, b R

(cf ) (x0 ) = c · f (x0 ). Ö Ò
Ð Ø x0 ¹ Ò¸
Ó Ý

(f - g) (x0 ) = f (x0 ) - g (x0 ). g(x0 ) = 0¸ (x0 ) = -
× Ð Ø Þ

f -g g (x0 )¸

×

¿º À

ÓÐÝ Ò¸

ÓÖ


º À Þ

1 g



g (x0 ) . g2 (x0 )
Ú ÒÝ ÓÖ

x0 a, b x0 ¹
Ò¸

fi : a, b R (i = 1, . . . , n)
¹ Ò¸ ×

i R (i = 1, . . . , n)¸
n i=1

n i=1

Ö Ò

Ð

Ø Ö Ò
Ð Ø

i · f i

×

i · f i



n

(x0 ) =
i=1

i · fi (x0 ).

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

Ã

½¿

º

Þ

f : R R, f (x) =

n k=0

ak · xk (ak R)
n

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

Ø ¸

×

f (x) =
k=1
º

k · ak · xk-1 .
ÔÓÐ ÒÓÑ Ú ÒÝ ×

f : R R, f (x) = Qm (x) = 0) Ö Ò
Ð
Þ
ÓР׺

Pn (x) Qm (x)
Ø

(Pn (x), Qm (x)
Ú Òݺ

Å

½º

xx0

lim

(cf )(x) - (cf )(x0 ) cf (x) - cf (x0 ) = lim = xx0 x - x0 x - x0 f (x) - f (x0 ) = cf (x0 ) = c · lim xx0 x - x0
Ý ÒÐ × Ø ¸ Þ ××Þ Ð Ö Ò
Ð × Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ

Þ ¾º Þ

ÐÐ Ø ×غ

Ø Ø Ð

f - g = f + (-g)
× Þ Ð Þ Ð

c = -1

Ñ ÐÐ ØØ

×ÞÒ Ð × Ú Ð

(f - g) (x0 ) = (f + (-g)) (x0 ) = f (x0 ) + (-g) (x0 ) = = f (x0 ) - g (x0 ).
Ð × Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ¿º Ñ ÒÝ ØØ Ó× Ô Ù ¸ Ö Ò
Ó Ý Ø Ø Ð Ò

f 1

Ñ ÐÐ Øظ

(1) = 0


º Ì

1 g
Ð Ò Ð¸



(x0 ) =

(1) (x0 )g(x0 ) - 1 · g (x0 ) g (x0 ) =- 2 . g2 (x0 ) g (x0 )
Ú Ð Ú Þ Þ ÞÞ Þ º ÐÐ Ø ×غ º Ð ØØ ÓÖÑÙÐ Ú Ð¸ ÓÖ

ÞÓÒÝ Ø ×Ø Ø Ð

× Ò Ù

n = 1¹Ö
Ý

Ð

Ø ½º Ö ×Þ

Ó Ý

k + 1¹Ö
k+1

k 2¹Ö
k

ÐÐ Ø ×



i f i
i=1

(x0 ) =
i=1 k

i f i

(x0 ) + (k+1 fk+1 ) (x0 ) =
k+1 k+1 fk+1 (x0 )
ÐÐ Ø ×º

=
i=1
Ø Ð × Ð¸ Ý Ñ Ò Ò

i fi (x0 ) +
Þ Þ

=
i=1

i fi (x0 )

n N¹Ö

½¿

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

º

Þ ×

Ð Þ

ÐÐ Ø ×Ø

Þ

k = ak-1
Ô Ù ÐÐ Ø ×غ Ð Þ ÒÝ

ÓÒ×Ø Ò×Ó

fk (x) = xk-1 (x R)
Ð Ð ØØ

Ö Ò

Ð

Ø

Ú ÒÝ Ñ

Ð ØØ

ÐÑ ÞÚ ¸

fk (x) = (k - 1)xk-2
Ö Ò
Ö Ð Ø ¸

º

Þ Ý

ÐÐ Ø × Ñ Ó×

Pn (x)

×

Qm (x)
Ð Ø ×

Qm (x) = 0¸
Ø Ø Ð Þ

Ú ÒÝ

Ö Ò

ÚÓÒ Ø ÓÞ

ÐÐ Ø ×غ

º º Ð
Ú ÒÝ Ø µ

غ 
Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ

Ð

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

ÒÝ

Ó×

¹

f1 (x) = 6x5 + 4x4 - 3x2 + 2x + 1 3 f2 (x) = 4x4 + 3x3 - 5x + 7 f3 (x) = 2x + x + 3 x f4 (x) = x(x + 3x - 2) f5 (x) = (x2 + 1) x f6 (x) = (2x2 + 3x + 2)(5x4 + 3x2 - 1)
2

µ

(x R), (x 0), (x R),

(x 0);

(x R),

(x R),

f7 (x) = 2x(3x + 2)(4x - 3) 2x + 3
µ f8 (x) = x+7 5x + 3 f9 (x) = 2 2x + 8 2x f10 (x) = 1 - x2 3 1 f11 (x) = -x7 + 2x5 - 2 - 2x x+1
Å ÓР׺

(x R);

(x = -7), (x R), (x = ±1), (x = 0, -1).
Þظ Ó Ý

µ

Ð

×ÞÒ ÐÚ

º º

Ð

Ø

º

ÐÐ Ø × Ø¸ ØÓÚ

(c) = 0,

(xn ) = nxn-1 , 2 1 ( 3 x) = x- 3 3

1 ( x) = 2 x (x = 0),

(x > 0),

Ô Ù

f1 (x) = 30x4 + 16x3 - 6x + 2 (x R)¸ f2 (x) = 16x3 + 3 3 3x2 - 5 (x R)¸ 2 1 1 f3 (x) = 2 + + x- 3 (x > 0)¸ f3 (0)º 2 x 3

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

Ã

½¿

µ ×Þ

×ÞÓÖÞ Ø ÐÝÓ

Ö Ò
¸

Ð × ×Þ

ÐÝ ¸ ÐÐ ØÚ

Þ

Ð

×ÞÒ ÐØ

Ö Ò

Ð ×

Ó Ý

f4 (x) = (x) (x2 + 3x - 2) + x(x2 + 3x - 2) =

= x2 + 3x - 2 + x(2x + 3) = 3x2 + 6x - 2 (x R), 1 f5 (x) = (x2 + 1) x + (x2 + 1)( x) = 2x x + (x2 + 1) , 2 x (x > 0), f5 (0).
f6 (x) = (2x2 + 3x + 2) (5x4 + 3x2 - 1)+

= (4x + 3)(5x4 + 3x2 - 1)+
f7 (x)

+ (2x2 + 3x + 2)(5x4 + 3x2 - 1) = (x R).

+ (2x2 + 3x + 2)(20x3 + 6x)

= [(2x) (3x + 2) + 2x(3x + 2) ](4x - 3)+ + 2x(3x + 2)(4x - 3) =

= [2x(3x + 2)] (4x - 3) - [2x(3x + 2)](4x - 3) =

= [2(3x + 2) + 2x · 3](4x - 3) + 2x(3x + 2) · 4
µ ÒÝ ×Ñ ÖØ Ó× Ö Ú ÐØ Ö Ò
Ð × ×Þ Ð ÐÝ Ò ¸ ÐÐ ØÚ ÓÖ Ò × Ú ÒÝ ×ÞÒ Ð × Ú Ð

(x R).
Ð ÐÑ ÞÓØØ

f8 (x) =

=
f9 (x) =

=
f10 (x) =

=

(2x + 3) (x + 7) - (2x + 3)(x + 7) = (x + 7)2 2(x + 7) - (2x + 3) (x = 7); (x + 7)2 (5x + 3) (2x2 + 8) - (5x + 3)(2x2 + 8) = (2x2 + 8)2 5(2x2 + 8) - (5x + 3)4x (x R); (2x2 + 8)2 (2x) (1 - x2 ) - 2x(1 - x2 ) (1 - x2 )2 2(1 - x2 ) - 2x(-2x) (x = ±1); (1 - x2 )2

½¿

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

f11 (x) = -(x7 ) + 2(x5 ) - 3

1 1 - = 2x2 x+1 (x + 1) (2x2 ) - - = = -7x6 + 10x4 - 3 - (2x2 )2 (x + 1)2 4x 1 = -7x6 + 10x4 + 3 4 + = 4x (x + 1)2 3 1 = -7x6 + 10x4 + 3 + (x R, x = 0, -1). x (x + 1)2
Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð Ú ÒÝ Ö Ò
Ð ÒÝ Ó× ¹

º º Ð
Ú ÒÝ Ø

غ 
f1 (x) = (2x + 5)20 f2 (x) = x + 4x - 3) f3 (x) = x + x f4 (x) =
3 10

(x R); (x > 0);

(x R);

1 + x2 1 + x4 f5 (x) = 1 + 2 x)4 1 f6 (x) = 2 + 7)3 (5x x f7 (x) = 2+2 x f8 (x) = (5x2 + 2)2 · (2x + 7)3 5 + (6x + 1)3 x f10 (x) = x2 3 (2x2 + 3)2 f9 (x) =
Þ Þ ØØ ×Þ Ö ÔÐ ÑòÚ Ð Ø Ö Ò
е Ú ÒÝ Ú ÒÝ ÔÞ ØØ Ð × Ö ××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ ¸

(x R); (x R+ ); (x R); (x R); (x R); (x R+ ); (x R);
Ú ÒÝ Þ ÖØ ¸ Ú ×ÞÒ ÐÒ Ý Ó ÐÝ Ò Ù ¹ Þ

Å

ÓÐ

׺

Ð ´

Ð Ò

××Þ Ø ØØ

ÚÓÒ Ø ÓÞ

×Ñ ÖØ Ø Ø ÐØ

Ä Ý Ò g : c, d R, f : a, b = g( c, d ) R ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ ¸ Ó Ý g Ö Ò
Ð Ø Þ x0 c, d ¹ Ò¸ f Ö Ò
Ð Ø Þ y0 = g(x0 ) a, b ¹ ÓÖ Þ F = f g Ú ÒÝ × Ö Ò
Ð Ø x0 ¹ Ò¸ × Òº
F (x0 ) = (f g) (x0 ) = f (g(x0 )) · g (x0 ).

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

Ã

½¿

´ ÞØ Ð Ò
×Þ
Þ Ö Ò
Ð

ÐÝÒ
Ø

× Ò Ú ÞÞ ºµ
Ú ÒÝ Ú ÒÝ × Ñ Ò Ø Ò Ð Ø Þ Ð × Ö × Ø Ò¸ Ò

f1 : R R

g(x) = 2x + 5 (x R)
××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ

g( c, d ) = Rµ Ò y R ×
Ú ÒÝ

x R × Ø Ò f (y) = 20y 19 º
ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ð Ø Þ Ì Ð

f (y) = y 20 (y R) ´ c, d = R, a, b = g (x) = 2¸ ÐÐ ØÚ Ñ Ò¹
× Ø Ñ Ò Ø Ò Þ ××Þ Ø ØØ ×

× ÐÒ

Ö Ò

Ø Ø Ð

ÐØ Ø Ð

y0 = g(x0 ) R

Þ ÖØ

x0 R

f1 (x) = f (g(x))g (x) =

= 20(2x + 5)19 · 2 = 40(2x + 5)19 g(x) = x3 + 4x - 3 (x R)
Ú ÒÝ Ð ÔÞ ØØ ØÓÚ × ××Þ Ø ØØ

( x R) . f (y) = y 10 (y R)
Ú Òݸ ÓÐ

f2 : R R
Ö Ò
Ð

Ø

c, d = R, a, b = g( c, d ) = R¸ g (x) = 3x2 + 4 (x R),
Ý Ð Ò
×Þ ÐÝ Ñ ØØ Ñ Ò Ò

f (y) = 10y 9
× Ø Ò

(y R),

xR

f2 (x) = f (g(x))g (x) = 10(x3 + 4x - 3)9 · (3x2 + 4) . f3 : R+ R g(x) = x + x (x 0) × f (y) = y (y 0) Ú ÒÝ Ð ÔÞ ØØ ××Þ Ø ØØ Ú Òݸ ÓÐ c, d = [0, +[, a, b = g [[0, +[] = [0, +[ ´ Ó Ý Þ Ý×Þ Öò Ò Ð Ø Ø µ¸ ØÓÚ

1 g (x) = 1 + , 2 x
×

x>0

1 f (y) = , 2 y
Þ ÖØ Ð Ò
×Þ ÐÝ Ñ ØØ Ñ Ò Ò

y > 0,
× Ø Ò

x>0

f3 (x) = f (g(x))g (x) =

1 2 x+
Ð Ø º



x

1 1+ 2 x

.

x = 0¹ f4

Ò

Ú ÒÝ Ò Ñ

Ö Ò

g(x) =
Ó Ý

Ø Ø Ð ¸

1+ (x R) × f (y) = y 4 1+x f4 (x) = f (g(x)) (x R), ×

x2

(y 0)

Ú ÒÝ

××Þ ¹

½ ¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

c, d = R, g[ c, d ] = g(R) =]0, +[= R+ g (x) = (1 + x2 ) (1 + x4 ) - x2 )(1

´Ñ

ÖØ µº ÌÓÚ

(1 + + = 4 )2 (1 + x 2x(1 + x4 ) - (1 + x2 )4x3 -2x5 - 4x3 + 2x = = (1 + x4 )2 (1 + x4 )2 1 f (y) = 2 y (y R+ ), -2x5 - 4x3 + 2x (1 + x4 )2
Ú ÒÝ

x4 )

(x R)

×

Þ ÖØ

Ð Ò
×Þ

ÐÝ Ñ

ØØ

f4 (x) = f (g(x))g (x) =

1 2 1 + x2 1 + x4

·

(x R).
××Þ Ø Ø Ð ¸

f5

g(x) = 1+2 x (x 0) × f (y) = y 4 (y R) ÓÐ c, d = [0, +[, a, b = g ([0, +[) = [1, +[º 1 g (x) = , x x>0 y 1,

×

Þ ÖØ

Ð Ò
×Þ

ÐÝ Ñ

f (y) = 4y 3 ,
ØØ Ñ Ò Ò

x>0

× Ø Ò

1 f5 (x) = f (g(x))g (x) = 4(1 + 2 x)3 · , x x = 0¹ Ò Ú ÒÝ Ò Ñ Ö Ò
Ð Ø º 2 + 7 (x R) × f (y) = y 3 (y R) g(x) = 5x 1 f6 (x) = (x R)º f (g(x)) F (x) = f (g(x))
Ä Ø Þ Ñ ÐÐ ØØ

x > 0º

g (x) = 10x (x R)


(x R = c, d )
×

( a, b = g(R) = [7, +[),
Ý

F (x) = f (g(x))g (x) = 3(5x + 7) · 10x
Å Ú Ð



f (y) = 3y 2 (y 7)¸
2 2
Þ ÖØ ´ º º Ð

f6 (x) =

1 F (x)

(x R).
Ò

(x R)¸

Ø ×Þ Ö Òص Ñ Ò

xR

× Ø Ò

f6 (x) = -

30x(5x2 + 7)2 30x F (x) =- =- . 2 (x) 2 + 7)6 F (5x (5x2 + 7)4

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

Ë ÅæÎ

Ä

Ì

Ã

½ ½

À

g(x) = x2 + 2 (x R) g (x) = 2x

×

f (y) =

y

(x R),

1 f (y) = 2 y
Ñ ÐÐ ØØ

(y



2)¸

ÓÖ

(y

2).

F (x) = f (g(x)) =
Å Ú Ð

x2 + 2 > 0 (x R)

f7 (x) =

x (x R)º F (x) (x R),

1 x F (x) = f (g(x))g (x) = · 2x = 2+2 2+2 2 x x
Þ ÖØ ´ ÓÖ Ñ Øص

f7 (x) =

(x) F (x)

=
À

F 2 (x) x2 + 1 - x2 (x2 + 2)3

- xF (x) =
×

x2 x2 + 2 - x2 + 2 = = 2+2 x 1 (x R). 2 + 2)3 (x
ÓÖ ¸ ¹

F (x) = (5x2 + 2)2 (x R) f8 (x) = F (x)G(x) (x R)¸
Ö Ò
Ð Ø Ú ÒÝ Ð¸ Ý Ô Ù ¸ Ó Ý

G(x) = (2x + 7)3 (x R)¸ ÓÐ F × G ××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ
ÓÖ

ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð ´Ñ ÐÝ Ø ÑÓ×Ø

Ò Ñ Ö ×ÞÐ Ø Þ Ò µ

F (x) = 2(5x2 + 2)10x
×

(x R) (x R).
Ò

G (x) = 3(2x + 7)2 · 2
Î Ð ´ ×ÞÓÖÞ Ø Ö Ò
Ð × ×Þ ÐÝ

×Þ Ö Òص Ñ Ò



f8 (x)

= F (x)G(x) + F (x)G (x) =





xR

× Ø Ò

= 20x(5x2 + 2)(2x + 7)3 + (5x2 + 2)2 6(2x + 7)2 . 5 x
Ú ÒÝ

f9

Þ

F (x) =

(x R+ )
××Þ ¸

×

G(x) = 5 x2

(6x + 1)3

××Þ Ø ØØ

Þ Þ

f9 (x) = F (x) + G(x) (x R+ )

(x R+ )

F (x) =
×

1 2 1 5 x

(x R+ )º

· -

G (x) =

2 (6x +

1)3

· 3(6x + 1)2 · 6

(x R+ ),

½ ¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Þ ÖØ

f9 (x) = F (x) + G (x) = -

5 2

1 x2 5 x

+9

(6x + 1)2 (6x + 1)3

=

=- f10 (x) = F (x)G(x)



5 1 + 9 6x + 1 2 x3 (x R)¸
ÓÐ

(x R+ ). G(x) =
3

F (x) = x2 ,

(2x2 + 3)2 º

F (x) = 2x

×

G (x) =

1 -2 (2x2 + 3)2 3 · 2(2x2 + 3) · 4x = 3 1 8 = x(2x + 3)- 3 (x R), 3

Ñ

¸

Ó Ý



f10 (x)

= F (x)G(x) + F (x)G (x) = 1 8 = 2x 3 (2x2 + 3)2 + x3 (2x2 + 3)- 3 3

(x R).

Ö Ò
Ð Ø × ¸ Ö Ò
Ð Ø × ÑòÚ Ð Ø ´ØÓÚ ÐÑ Ú ÒÝ
º½¼º Ð
Ñ Þ ØØ
Å ÓÐ

× Ðµ
ÖØ Ð¹

sin, cos, sh, ch
׺

غ

Ù

Ñ

×

ÞÓÒÝ Ø×Ù Ö Ò
Ò

Ñ Ò Ð × ×Þ

Ò Ú Ð × ×Þ ÑÖ ÐÝ Øº

Ú ÒÝ

Ò

×Þ Ö ÒØ Ñ Ò

. sin(x) = . sh(x) =
À

x2n+1 ; (-1) (2n + 1)! n=0
n n=0



x R¹Ö . cos(x) = . ch(x) =



(-1)n

x2n+1 (2n + 1)!

;
Ò
×Ù

n=0 n=0

x2n ; (2n)!

x2n . (2n)!
Þ

n=0

an xn

ØÚ ÒÝ×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

Ö

¸

Ý

. f (x) =

n=0

an xn

(x ] - , [)

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

ÌÇÎ ý

Á

Ä

ÅÁ

Î

Æ

ÃÃ

Ä

½ ¿

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

Ø

×

f (x) =
ÒØ ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ Ö

n=0

nan xn-1
Ý Ñ Ò

(x ] - , [).
Ò

= +¸

sin (x) = cos (x) =




(2n + 1)(-1)n 2n(-1)
n=0

n=0 n=0

x2n . x2n (-1)n = cos(x); = (2n + 1)! n=0 (2n)! = (-1)
n=1

xR

× Ø Ò



2n-1 nx

(2n)!

(-1)n-1

x2n-1 = (2n - 1)!

= (-1)


(-1)n

x2n+1 (2n + 1)!

. = - sin(x);


x2n x2n . (2n + 1) sh (x) = = ch(x); = (2n + 1)! n=0 (2n)! n=0 ch (x) =
n=0

x2n-1 = 2n (2n)!

n=1

x2n-1 = (2n - 1)!
Þ Ð Ö Ò

n=0

x2n+1 . = sh(x). (2n + 1)! tg, ctg, arcsin,

arccos, arctg
Å ÓР׺

º½½º Ð

غ
×

Ñ

×

ÞÓÒÝ Ø× Ú ÒÝ

×ÓÒ

Ò ÐÝ Øº

ÐØ

arcctg

Ð × ×Þ

. sin(x) tg(x) = cos(x) x D1 ¸ Ý ´ tg (x) =

1 (x D1 = R \ {(k + 2 ) | k Z})
ÒÝ Ó× Ö Ò
Ð × ×Þ ÐÝ ×

×

cos(x) = 0¸
Ð Ø Ñ Øص

º½¼º

sin (x) cos(x) - cos2 (x) 1 = (x D1 ); cos2 (x)



sin(x) cos (x)

=

cos2 (x) +

sin (x)

2

cos2 (x)

=

. cos(x) ctg(x) = sin(x)
Þ ÖØ

(x D2 = R \ {k | k Z}), sin(x) = 0

x D2 ¸

ctg (x) =

- sin2 (x) - cos2 (x) cos (x) sin(x) - cos(x) sin (x) = = sin2 (x) sin2 (x) 1 (x D2 ). =- 2 sin (x)

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

- , ¹Ö Ð ×Þò Ø ØØ ÓÐÝØÓ¹ arcsin : [-1, 1] - , Ú ÒÝ 2 2 2 2 Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ ¸ Ñ ÐÝÖ ÒÓ× × ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ sin |[- , ] 2 2 sin (x) = cos(x) = 0¸ x - , ¸ Ý Þ ÒÚ ÖÞ Ú ÒÝ Ö Ò
¹ 2 2 Ð × Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ñ ØØ Ñ Ò Ò y ]-1, 1[ y = sin(x) x - , 2 2
Þ × Ø Ò

arcsin (y) =

1 1 = = sin (arcsin(y)) cos(arcsin(y)) 1 1 = = . 1 - y2 1 - sin2 (arcsin(y))


À

Þ ÖØ

y = ±1¸

Ý Ò Ñ Ð Ø Þ

arcsin (y)

´Ñ

ÖØ µº

1 (x ] - 1, 1[). arcsin (x) = 1 - x2 Þ arccos : [-1, 1] [0, ] Ú ÒÝ cos |[0,] ÓÐÝØÓÒÓ× ÑÓÒÓØÓÒ Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ ¸ Ñ ÐÝÖ cos (x) = - sin(x) = 0¸
Þ ÖØ ×ÓÒÐ Ò Ñ ÒØ Ð Ô Ù ¸ Ó Ý

× ×Þ

ÓÖ

Ò

x ]0, [¸

arccos (y) =

cos (arccos(y))

=-
Þ ÖØ

1 = sin(arccos(y)) 1 1 =- 2 (arccos(y)) 1 - cos 1 - y2 =- arccos (-1)
×

1

y ] - 1, 1[

¸ Ñ

Ò Ñ Ð Ø Þ

arccos (1)º

arccos (x) = -
Þ

arctg : R - , 2 2
Ú ÒÝ

1 1 - x2
Ú ÒÝ

(x ] - 1, 1[ ) . tg |]- , [ 2 2
× ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ ÓÖ Ò

ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

ÒÚ ÖÞ ¸

- , 2 2

1 tg (x) = = 0¸ cos2 (x)

x

¸

Ý

arctg (x) =

1 1 = = 2 1 sin (arctg(x)) + cos2 (arctg(x)) cos2 (arctg(x)) cos2 (arctg(x)) 1 1 . = x - , 2 (arctg(x)) = 1 + x2 1 + tg 2 2

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

ÌÇÎ ý

Á

Ä

ÅÁ

Î

Æ

ÃÃ

Ä

½

Í Ý Ò

Ý

Ð Ø

Ø ¸

Ó Ý

arcctg (x) = -
´Ø Ò Ò× Ò
Ò× Ô Ö ÓÐ Ø

1 ¸ 1 + x2
Ù×Þµ¸

x ]0, [

º

º½¾º Ð
Ô Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐ Ù×Þµ¸ Ù×Þµ¸ Ô Ö ÓÐ
Å ÓР׺

غ
Ù×Þµ

Ñ Þ Ö

th
Ø Ò

Ô Ö ÓÐ Ù×Þµ¸ Ù×Þµ Ð

arsh ´ arth ´ Ö
Ú ÒÝ

×Þ ÒÙ×Þ

Ô Ö ÓÐ × Ú Þ×

cth arch ´ Ö × arcth ´
Ö Ò

´ ÓØ Ò Ö Ð

Ò×

¹ ¹ Ò× Øº

Ó×Þ ÒÙ×Þ ÓØ Ò Ø × Ù

sh
Þ ¸

Ú ÒÝÖ Ó Ý

Þ¸

Ó Ý

sh(x) =

sh(x) = 0 x = 0º
Ò
¸ Ñ Ò Ò

exp(x) - exp(-x) ¸ 2

Ñ ÐÝ

Ð

Ú Ø¹

ch
× ÌÓÚ ¸

Ú ÒÝ Ó Ý

ch(x) = xR

ch(x) = 0

× Ø Òº

exp(x) + exp(-x) 2

ØÙÐ

ÓÒ×

x1 < x2 = sh(x1 ) =

exp(x1 ) - exp(-x1 ) exp(x2 ) - exp(-x2 ) < = 2 2 = sh(x2 ),
º

Þ Þ

sh

×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

Í Ý Ò

ÓÖ

exp(x) - exp(-x) = x+ x+ 2 1 1 = lim exp(x) - lim exp(-x) = + - 0 = +, 2 x+ 2 x+ exp(x) - exp(-x) lim sh(x) = lim = x- x- 2 1 1 lim exp(x) - lim exp(-x) = 0 - (+) = -. = 2 x- 2 x- lim sh(x) = lim sh ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ý Þ Ð ´Ñ ÖØ µ¸ Ó Ý Rsh = Rº ch ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ] - , 0]¹Ò¸ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú [0, +[¹ Ò ´Ñ ÖØ ch (x) = sh(x) Ñ ØØ ch (x) < 0¸ x < 0 ; ch (x) > 0¸ x > 0µº
x+
Þ ¸

lim ch(x) = lim ch(x) = +.
x-
×

ch

ÓÐÝØÓÒÓ××

ch(0) = 1

¸

Ó Ý

Rch = [1, +[

º

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ä

Ý Ò

ÐÐ ØÚ

. sh(x) (x R)¸ th(x) = ch(x) ch(x) = 0 (x R) ¸ Ó

ÓÖ Ý Ñ Ò

sh
Ò

×

ch

Ö Ò
× Ø Ò

Ð

Ø ×

¸

xR

th (x) =

ch2 (x) - sh2 (x) sh (x) ch(x) - sh(x) ch (x) = = ch2 (x) ch2 (x) 1 = 2 . ch (x)
×

th ÓÐÝØÓÒÓ× th(0) = 0, th(x) < 0,
ÆÝ ÐÚ Ò ÌÓÚ

th (x) > 0 Ñ ØØ ×Þ x < 0 ; th(x) > 0¸

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

¸

x > 0º

th(x) =
Ñ ´ Þ

exp(x) - exp(-x) (x R), exp(x) + exp(-x)
ÓÒ× Ñ Øص ¸ Ó Ý

exp
x+

Ú ÒÝ ØÙÐ

exp(x) - exp(-x) = exp(x) + exp(-x) exp(-x) 1- 1-0 exp(x) = 1, = lim = x+ exp(-x) 1+0 1+ exp(x) exp(x) - exp(-x) lim th(x) = lim = x- x- exp(x) + exp(-x) exp(x) -1 0-1 exp(-x) = = -1. = lim x- exp(x) 0+1 +1 exp(-x) lim th(x) = lim
x+
Þ Ä Ó Ý Rth =] - 1, 1[ º ch(x) . Ý Ò cth(x) = (x R \ {0})¸ sh(x) Ô Ù ¸ Ó Ý Ñ Ò Ò x R \ {0} × Ø Ò Ð Ô Ù ¸

ÓÖ

Þ

Ð

ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð

cth (x) = cth
ÑÓÒÓØÓÒ
×

ch (x) sh(x) - ch(x) sh (x) sh2 (x) - ch2 (x) 1 = =- 2 . 2 2 sh (x) sh (x) sh (x)
Þ Ò ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖÞÓÑ ÒÝ Ò ×

ÓÐÝØÓÒÓ×

cth (x) < 0

Ñ

ØØ ×Þ

ÓÖ

Ò

] - , 0[

×

]0, +[

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

ÌÇÎ ý

Á

Ä

ÅÁ

Î

Æ

ÃÃ

Ä

½

Ý×Þ Öò Ò

Ð Ø

Ø ¸

Ó Ý

x+

1 th(x) 1 lim cth(x) = lim x- x- th(x) 1 lim cth(x) = lim x0+0 x0+0 th(x) 1 lim cth(x) = lim x0-0 x0-0 th(x) lim cth(x) = lim
x+
× ×Þ ÓÖ

= 1, = -1, = +, = -.
º Ú ÒÝ Ð Ø Þ

Þ

¸

Ó Ý

. arsh = sh-1 : R Rº Þ arsh Ú ÒÝ ´
ÓÐÝØÓÒÓ× Å Ú Ð
Ð × ×Þ ÓÖ

ÒÚ ÖÞ Ø

sh : R R
Ö

ÓÐÝØÓÒÓ×

Rcth =] - , -1[ ]1, +[
Ô Ö ÓÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ù×Þ Ú ÒÝÒ Ú ÒÝ º

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ò Ú ÞÞ

×Þ ÒÙ×Þ

Ò Ð Ø ÒÙÐØ

×Þ Ö Òص ×Þ ÒØ Ò

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

sh (x) = ch(x) = 0 x R¸ Ý Þ ÒÚ 2 2 × Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ñ ØØ ´ch - sh = 1¹ Ø × 1 1 = = arsh (x) = ch(arsh(x)) sh (arsh(x)) 1 1 = = 1 + x2 1 + sh2 (arsh(x))
ÓÐÝØÓÒÓ× Ó×Þ ÒÙ×Þ × ×Þ ÓÖ ÒÚ ÖÞ Ø Ö Ô Ö ÓÐ Ù×Þ

ÖÞ Ð

Ú ÒÝ ×ÞÒ ÐÚ µ

Ö Ò¹

(x R) .
Ú ÒÝ Ò Ú ÞÞ

Ð Ø Þ

ch |[0,+[ R

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÒÝÒ

. arch = ch |-1 [0,+[ : [1, +[ Rº Þ arch Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ ÓÖ ch (x) = sh(x) > 0¸ Å Ú Ð Ð Ø Þ
Ö Ò
Ð × Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ñ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

º Þ ÒÚ ÖÞ Ú ÒÝ

x > 0¸

Ý

ØØ

arch (x) =

1 1 = = sh(arch(x)) ch (arch(x)) 1 x2 -1 , (x > 1) .
º × ×Þ Ù×Þ ÓÖ

1 ch (arch(x)) - 1
2

=

=
ÞÓÒ

Ò Ò Ñ Ð ØÞ

arch (1)
ÓÐÝØÓÒÓ×

ÒÚ ÖÞ Ø

th : R ] - 1, 1[
Ö Ø Ò

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÒÝÒ Ò Ú ÞÞ º

Ú ÒÝ

Ò×

Ô Ö ÓÐ

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Þ Ò Ú

. arth = th-1 : ] - 1, 1[ R
º Å Ú Ð Ð Ø Þ

Ú ÒÝ

ÓÐÝØÓÒÓ×

× ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ

th (x) =
Ö Ò

1 > 0 ch (x)
2
ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ñ Ò

Ò

x R
ØØ

× Ø Ò¸

Ý

Þ

ÒÚ ÖÞ

Ú ÒÝ

Ð × Ö

Ø Ø Ð Ñ

1 1 = = 2 arth (x) = 1 ch (arth(x)) - sh2 (arth(x)) ch2 (arth(x)) ch2 (arth(x)) = 1 1 = 1 - x2 1 - th (arth(x))
2
ÑÓÒÓØÓÒ
× Ø Þ Ò Ú Þ Ò

(x ] - 1, 1[) .
Ò Ö Ú ÒÝÒ ÓØ Ò Ò×

×

cth ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ ÓÖ Ò ]0, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ Ð
Ù×Þ Ú ÒÝÒ

ÒÚ ÖÞ ¸ Ñ ÐÝ Ø

] - , 0[

Ô Ö¹

. arcth = cth-1 : ]1, +[ ] - , -1[ R \ {0} Þ arcth Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
Å Ú Ð Ð Ø Þ Þ ÒÚ ÖÞ

ÓÐ

×

Ò º

cth (x) = -
Ö Ò

1 <0 sh (x)
2
Ð × Ö

Ñ Ò

Ò

x R \ {0}
ØØ

× Ø Ò¸

Ý

Ú ÒÝ

ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ø Ø Ð Ñ

1 1 arcth (x) = = = 2 1 ch (arcth(x)) - sh2 (arcth(x)) - 2 - sh (arcth(x)) sh2 (arcth(x)) = 1 1 = 1 - x2 1 - cth (arcth(x))
2

(|x| > 1) .

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

ÌÇÎ ý

Á

Ä

ÅÁ

Î

Æ

ÃÃ

Ä

½

º½¿º Ð
Ú ÒÝ Ø

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ

Ð

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

ÒÝ

Ó×

f0 (x) =

x

x x

(x > 0); (x R); ; 2 (x ] - 1, 1[); x 0, (x R);

f1 (x) = 3 sh(x) + 2 sin(x) + cos(x) f2 (x) = 2 tg(x) - 3 ctg(x) f3 (x) = x + 2 arcsin(x) f5 (x) = x sin(x) + x cos(x) f6 (x) = f4 (x) = 3 arctg(x) - 2 arch(x)
2

(x ]1, +[); x - , 2 2

tg(x) x2 + 1 ex + sin(x) f7 (x) = xex 3 f8 (x) = sin (5x + 4) x f9 (x) = 5x + 2 tg 2 2 + 2 + 2ex + 1) f10 (x) = ln( 3x f11 (x) = expa (cos(x )) f12 (x) = loga (x + 1) 2x f13 (x) = arcsin 1 + x2 f14 (x) = sh(2x + 1) ch(3x - 1) f15 (x) = arctg f16 (x) = xx f17 (x) = x
x 2 2

;

(x = 0); (x R); (x ] - , [); (x R); (x R); (x R); (x R); (x R); (x > 0); (x > 0); (x > 0); (x R);

x2

x +1

f18 (x) = xsin(x) f19 (x) = (arctg(x))
x

(x > 0).

½ ¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Å

ÓÐ

׺

Ö Ò
Ð × Ö ÐÝ Ø

Ð × ÑòÚ Ð Ø Ð Ò
×Þ ×ÞÒ Ð Ù º

ØÙÐ ÐÝØ ×

ÓÒ×

ظ

Þ

××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ

Ú ÒÝ ¹

Ö Ò
Ö Ò

ÚÓÒ Ø ÓÞ

Þ ØØ ×Þ Ö ÔÐ

Ð × ×Þ

f0 (x) =

x

x x=
3 1 2 7



x x·x

1 2

1 2

1 2

=

x x

3 2

1 2

1 2

=

7 1 (x > 0). f0 (x) = x- 8 8 f1 (x) = 3 sh (x) + 2 sin (x) + cos (x) =
Ý

= x · x4

= x8 ,

= 3 ch(x) + 2 cos(x) - sin(x) (x R). 2 3 f2 (x) = 2 tg (x) - 3 ctg (x) = . x 0, + 2 2 (x) cos 2 sin (x) 2 f3 (x) = (x) + 2 arcsin (x) = 1 + (x ] - 1, 1[). 1 - x2 3 2 f4 (x) = 3 arctg (x) - 2 arch (x) = - (x > 1), 2 2-1 1+x x f5 (x) = (x sin(x)) + (x2 cos(x)) = tg (x)(x2 + 1) - tg(x)(x2 + 1) = (x2 + 1)2 x2 + 1 - 2x tg(x) cos2 (x) . x - , = 2 + 1)2 (x 2 2 (ex + sin(x)) xex - (ex + sin(x))(xex ) f7 (x) = = (xex )2 (ex + cos(x))xex - (ex + sin(x))(1 · ex + xex ) = (x = 0). x2 e2x f8 (x) = 3(sin2 (5x + 4))(cos(5x + 4)) · 5 (x = 0). 1 x 1 f9 (x) = (5x) + 2 tg = 5+2 (x ] - , [ ). x ·2 2 cos2 2 1 1 6x + 2ex (x R). f10 (x) = 3x2 + 2 + 2ex + 1 2 3x2 + 2
f6 (x) =

= 1 · sin(x) + x cos(x) + 2x cos(x) - x2 sin(x)

(x R).

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Ëý

ÌÇÎ ý

Á

Ä

ÅÁ

Î

Æ

ÃÃ

Ä

½ ½

f11 (x) = exp (cos(x2 )) · cos (x2 ) · (x2 ) = a

= expa (cos(x2 )) ln(a)(- sin(x2 ))(2x) (x R). 1 f12 (x) = log (x2 + 1) · (x2 + 1) = 2 2x (x R). a (x + 1) ln(a)
f13 (x) = arcsin

= 1-

2x 1 + x2 1 2x 1 + x2

·
2

2x = 1 + x2 2(1 + x2 ) - (2x)2 · (1 + x2 )2

(x R).

f14 (x) = (sh(2x + 1)) ch(3x - 1) + (sh(2x + 1))(ch(3x - 1)) =

= 2 ch(2x + 1) ch(3x - 1) + 3 · sh(2x + 1) sh(3x - 1) x 2+1 x 1
x = x2 + 1 1(x2 + 1) - x · 2x · (x2 + 1)2

(x R).

f15 (x) = arctg

·

2 x 1+ x2 + 1 x . f16 (x) = x = exp(x ln(x)) f16 (x)

=

(x R).

=


= exp (x ln(x))(x ln(x)) =
x

x x 1 1 ln(x) + 1 = = x 1 · ln(x) + x · x x 2 (x > 0) = f17 (x) = x x = exp( x ln x) f17 (x) = exp ( x ln x) · ( x ln x) = 1 1 ln x + x · =x x (x > 0). 2 x x f18 (x) = xsin(x) = exp(sin(x) ln(x))
f18 (x)

(x > 0).

(x > 0)


=

= exp (sin(x) ln(x))[sin(x) ln(x)] = = xsin(x) cos(x) ln(x) +


sin(x) (x > 0). x f19 (x) = (arctg(x))x = exp(x ln(arctg(x))) (x > 0)
f19 (x)

=

= exp (x ln(arctg(x))) · (x ln(arctg(x))) = = (arctg(x))x 1 · ln(arctg(x)) + x



1 1 · arctg(x) 1 + x2

(x > 0).

½ ¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Å
º½ º Ð
Ö Ú ÐØ Ø

×
Ñ Þ Ð

ÖÒ ò
Ú ÒÝ

Ö Ú ÐØ
Ð ÖØ Ñ × Ö Ò ò ¹

غ

f1 (x) =

3 x4 f2 (x) = x f3 (x) = x + 1 1 f4 (x) = x 3 , f5 (x) = 2 + 4x f6 (x) = ln(x) f7 (x) = sh(x) f8 (x) = sin(x) f9 (x) = sin2 (x)

(x = 0), (x > 0), (x > -1), (x = 0), x=- (x > 0), (x R), (x R), (x R), (x R+ ), (x R), (x R), (x = 0, 1) 1 x (x = 0), 1 2 ,

f1 (x) =?;

f2 (x) =?; f3 (x) =?; f4 (x) =?; f5 (x) =?; f6 (x) =?; f7 (x) =?; f8 (x) =?; f9 (x) =?; f10 (x) =?; f11
(100) (10) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n)

(n)

f10 (x) = (x2 + 2x + 1) ln(x) f11 (x) = x sh(2x) f12 (x) = x3 sin(3x) 1 f13 (x) = x(1 - x) f14 (x) = 2x2 + x - 1 +

(x) =?;

f12 (x) =?; f13 (x) =?; f14 (x) =? f14 (x) =?,
(n) (4) (10)

(50)

n > 4.

Å

ÓÐ

׺

Þ

f1 (x) =

3 = 3x-4 (x = 0) x4

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

Ø

×

f1 (x) = 3(-4)x-5
Ñ ×Þ ÒØ Ò Ö Ò
Ð Ø ×

(x = 0),

f1 (x) = f1 (x) = 3(-4)(-5)x-6



(x = 0),

Å

Ë

Ê

Æ

æ

ÊÁÎýÄÌ

Ã

½ ¿

ÞØ ÓÐÝØ ØÚ

f1 (x) = f1 (x) = 3(-4)(-5)(-6)x-7
Ú Ø Ì Ð Þ º Ú Ð Ý×Þ Öò Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý Ñ Ò



(x = 0)
Ò

× Ò Ù

Þ

f1 (x) = 3(-4)(-5)(-6) · · · (-(n + 3))x-(n+4) (x = 0). 1 f2 (x) = x = x 2 (x > 0) Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø × 1 1 f2 (x) = x- 2 2 = =
3 1 1 - x- 2 2 2 1 1 3 f2 (x) = f2 (x) = - - 2 2 2

(n)

nN

× Ø Ò

(x > 0)


f2 (x) = f2 (x) =

(x > 0) x- 2
5

(x > 0).

Å

ÑÙØ Ø Ù ¸

Ó Ý Ñ Ò

Ò

f2 (x) = (-1)n-1
ÞÓÒÝ Ø ×Ø

(n)

1 · 3 · · · (2n - 3) - 2n-1 x 2 2n
Ø Ð × Ò Ù
Ú Ð Ú ÞÞ

n N n > 1¹Ö

(x > 0).
º

n¹Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ

n = 2¹Ö
f2 (x) =
¸ Ì Ý Ñ Ø Ñ Ö Ð¸ Ó Ý Ð ØØÙÒ º Þ Þ

1 -3 x 2 22
ÓÖ

n¹Ö

ÐÐ Ø ×¸

n + 1¹Ö

f2

(n+1)

(x) =

(n) f2 (x)

=

2n-1 2n - 1 1 · 3 · · · (2n - 3) · - x- 2 -1 = n 2 2 2(n+1)-1 1 · 3 · · · (2(n + 1) - 3) - 2 = (-1)n x (x > 0), 2n+1

= (-1)n-1

Ñ

Ø Ð

× Ò Ù

ÐÚ

Ð Ô

Ò

¸

Ó Ý

f2 (x) = (-1)n-1
Ø Ð × Ð Ñ Ò Ý Ð Ò ÖÚ Í Ý Ò ÞÓÒÝ Ø

(n)

1 · 3 · · · (2n - 3) - 2n-1 x 2 2n n N, n > 1 Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÖ º
Ø Ù ¸ Ó Ý

(x > 0)

f3 (x)

1 - 1 = (x + 1) 2 2

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

×

2n-1 1 · 3 · · · (2n - 3) (n) (x + 1)- 2 f3 (x) = ( x + 1)(n) = (-1)n-1 n 2 (x > -1) Ñ Ò Ò n N n > 1 Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÖ º 1 = x-1 (x = 0) Þ f4 (x) = Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø × x = =
Ì Ð

f4 (x) = f4 (x) = (-1)(-2)(-3)x-4
Ú Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù ¸ Ó Ý Ñ Ò Ò

f4 (x) = f4 (x) = (-1)(-2)x-3

f4 (x) = (-1)x-2

(x = 0) (x = 0) (x = 0).

× Ò Ù

n = 1¹Ö À n N¹Ö f4
Ø Ð Ý Þ × Ðº Ø Ð Ð

(n) f4 (x)

= (-1)n n! x-(n+1)
Ú Ø Þ ÓÖ

n N¹Ö (x = 0).
¸ Ñ Ø Ñ Ö Ð ØØÙÒ º

f4 (x) = -x-2 (x = 0)
Þ ÓÖÑÙÐ Ò ¸

(n+1)

(x) = f4 (x)

(n)



= (-1)n n! [-(n + 1)]x-(n+1)-1 = (x = 0)
Þ Þ ÐÐ Ø ×º Þ Ð Ú Ð

= (-1)n+1 (n + 1)! x-((n+1)+1)
× Ò Ù
ÐÚ Ð Ô Ò Ñ Ò Ò

ÞÓÒÓ×

3 f5 (x) = = 3(2 + 4x)-1 2 + 4x
Ð Ö ×× Ð ÞÓÒÝ Ø Ø Ù ¸

Ó Ý

x = -1 2

n N¹Ö

Ú ÒÝÖ

f5 (x) = 3 · n! · 4n (2 + 4x)-(n+1)
Ñ Ò Þ

(n)

x=-
Ð Ø ×

1 2

n N¹Ö º f6 (x) = ln(x) (x > 0)
Ò

Ú ÒÝ

Ö Ò

f6 (x) =
Ø Ð Þ Þ × Ðº

1 x f4
(n)

(x > 0)
¹Øº

f4

Ú ÒÝÖ ¸ Ó Ý

Ñ

Ø ÖÓÞØÙ

f6 (x) =
Ñ Ò Ò

(n)

1 x

(n-1)

= (-1)n-1 (n - 1)! · x-n

(x > 0)

nN

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÖ º

Å

Ë

Ê

Æ

æ

ÊÁÎýÄÌ

Ã

½

Þ

f7 (x) = sh(x) (x R)

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

Ø

×

f7 (x) = sh (x) = ch(x)
Ñ Ð

(x R),

=
Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð

f7 (x) = sh (x) = ch (x) = sh(x)
Ò ¸ Ó Ý Ñ Ò Ò

(x R).

xR n n

× Ø Ò Ô Ö ØÐ Ò Ô ÖÓ× Ð Ø ×

sh(n) (x) =
Þ

ch(x) , sh(x) ,
Ú ÒÝ

f8 (x) = sin(x) (x R) = = = =
f8 (x) f8 (x) (4) f8 (x) (5)

Ö Ò

f8 (x) = cos(x)

= = =

f8 (x) = f8 (x)
Ú ÒÝ ×Ñ ØÐ

f8 (x) = - sin(x) f8 (x) = - cos(x) f8 (x) = sin(x) (4)

(x R)

(x R)

(x R) (x R) (x R)

= cos(x)

×

Þ

Ò

Ý

Ð

Ù× Ò¸

Þ Þ

Þ

f9 (x) = sin2 (x) (x R) = = = =

cos(x) - sin(x) (n) sin (x) = - cos(x) sin(x)

, , , ,

n = 4k + 1, n = 4k + 2, n = 4k + 3, n = 4k + 4,
Ú ÒÝ Ö Ò

(k = 0, 1, 2, · · · )

Ð

Ø

×

f9 (x) = 2 sin(x) cos(x) = sin(2x) f9 (x) = f9 (x) = 2 cos(2x) (4)

(x R)

f9 (x) = f9 (x) = -23 cos(2x)

f9 (x) = f9 (x) = -22 sin(2x)

(x R)

(x R) (x R),

(x R)

f9 (x) = f9 (x)

(5)

(4)

= 24 sin(2x)

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ñ

Ð

ÞØ ×

Ø

¸

Ó Ý

sin2 (x)

(n)

Ñ Ò Ä

Ò

Ò Þ¹×Þ Ú ÒÝ ¸

xR

n-1 sin(2x) 2 n-1 2 cos(2x) = n-1 sin(2x) -2 n-1 -2 cos(2x)
× Ø Ò¸ Ñ Ø Ø Ð ÐÝ ×Þ Ö Òظ Ý

, , , ,

n = 4k + 1, n = 4k + 2, n = 4k + 3, n = 4k + 4,
Ú Ð

(k = 0, 1, 2, · · · )
ÞÓÒÝ Ø Ö Ò
ØÙÒ º Ð Ø

× Ò Ù

Ý×Þ Öò Ò Ö

f, g : a, b R n¹×Þ

n

(f · g)(n) (x) =
ÞØ Þ ×ÞÒ Ð Ù Ú Ø

i=0
Þ

n i f (x)g(n-i) (x) i
ÖÓÑ Ú ÒÝÒ Ðº

(x a, b ),

f10 (x) = + 2x + 1) ln(x) (x R+ ) Ú ÒÝ Þ 2 + 2x + 1 (x R ) × g(x) = ln(x) (x R ) f (x) = x Ö + + Ö Ò
Ð Ø Ú ÒÝ ×ÞÓÖÞ Ø ¸ Ñ ÐÝ Ö Ñ Ò Ò x R+ f (0) (x) = f (x) = x2 + 2x + 1, f (x) = 0
Ñ ÓÖ Ñ ØØ ´Ð × ×

(x2

ÒÝ×ÞÓÖ × Ø Ò

f (x) = 2x + 2,

f (x) = 2,

f (n) (x) = 0 f6
(0)
Ú Òݵ

n3, (x R+ )
Ó Ý

g
Ä

(n)

(x) = ln
×

(n)

(x) = (-1)

n-1

g

(0)

(n - 1)!x-n
ÐÑ ÞÚ ¸

(x) = ln

(x) = ln(x)
Ð Ò

Ò Þ¹×Þ

f (n) (x) = 0¸ f10 (x) =
(10)

10 (x2 + 2x + 1)(-1)9 · 9! · x-10 + 0 10 10 + (2x + 2)(-1)8 · 8! · x-9 + 2(-1)7 · 7! · x-8 . 1 2
Þ Ö Ò

ÐÝØ n = 10 Ñ n 3¸ Ô Ù

(x R+ ).
Ð

ÐÐ ØØ Ñ Ò

×ÞÒ ÐÚ ¸

x R+ ¹Ö

Þ f11 (x) = x sh(2x) (x R) Ú ÒÝ g(x) = sh(2x) (x R) Ö ÒÝ×ÞÓÖ ×

f (x) = x (x R)
Ð Ø

× ×ÞÓÖÞ Ø

Ú ÒÝ

f (0) = f (x) = x,
ÐÐ ØÚ Þ

f (x) = 1,

f (n) (x) = 0
Ú Ø ØØ

f7

n 2 (x R),
×Þ Ö Òظ Ñ Ò Ò Ô Ö ØÐ Ò, Ô ÖÓ×

Ú ÒÝ Ú Þ×

Ð Ø Ò Ð

sh(n) (2x) =

2n ch(2x) 2n sh(2x)

x R¹Ö

, ,

n n

.

Å

Ë

Ê

Æ

æ

ÊÁÎýÄÌ

Ã

½

Ý

Ä

Ò Þ¹×Þ

ÐÝ ×Þ Ö ÒØ Ñ Ò

Ò

xR

× Ø Ò

f11

(100)

(x) =

100 100 · x · sh(100) (x) + · 1 · sh(99) (x) = 0 1 f (x) = x3 (x R)
Ð Ø

= 2100 · x · ch(2x) + 100 · 299 · sh(2x). f12 (x) = x3 sin(3x) (x R) Ö ÒÝ×ÞÓÖ (x R) Ñ Ò Ò x R × Ø Ò
× ØÓÚ Ö ¸ × Þ Þ ×

g(x) = sin(3x)
×ÞÓÖÞ Ø ¸ Ñ ÐÝ Ö

Ö Ò

Ú ÒÝ

f (0) (x) = f (x) = x3 ,

f (x) = 3x2 ,

f (x) = 6x, n4,
ÓÒ Ô Ù ¸

f (x) = 6

f (n) (x) = 0
Þ ×ÓÒÐ Ñ

f8

Ú ÒÝ

Ó Ý Ñ Ò

Ò

x R¹

Þ ÖØ

n 3 cos(3x) n -3 sin(3x) (n) (n) g (x) = sin (3x) = -3n cos(3x) n 3 sin(3x)
Ä Ò Þ¹×Þ ÐÝ ×Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ò

, , , ,

n = 4k + 1, n = 4k + 2, n = 4k + 3, n = 4k + 4.
× Ø Ò

xR

f12 (x) =

(50)

50 3 (50) 50 x sin (3x) + 3x2 sin(49) (x)+ 0 1 50 50 + 6x sin(48) (x) + 6 sin(47) (x) = 2 3 50 50 6x · 348 sin(3x) + 6(-347 ) cos(3x). 2 3
Ñ Øظ Þ

= x3 (-350 ) sin(3x) + 50 · 3x2 · 349 cos(3x)+ + f13 (x) =

Ö Ú ÐØ ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ

1 1 1 1 1 = + = - (x = 0, 1) x(1 - x) x 1-x x x-1
ÓÒ× Ø ×

n¹

1 x
×

(10)

= (-1)10 10! · x-11
(10)

(x = 0)

1 x-1

= (-1)10 10! · (x - 1)-11

(x = 1)

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

´Ñ ÐÝ Ò µ

Þ

f4

Ð

Ø Ó Ý

и ÐÐ ØÚ

ÒÒ

Ô Ù ¸

1 x-1

¹Ö

Ú Ð

Ñ

Ó

ÐÑ Þ ×

Ð

(10) (10) 1 (10) 1 1 = - = x(1 - x) x x-1 10! 10! = 11 - (x = 0, 1). x (x - 1)11 1 2 Þ f14 = 2x + x - 1 + Ú ÒÝÖ ´ ÑòÚ Ð Ø × Ö Ú (x = 0) x ×Þ ÐÝÓ Ø ×ÞÒ ÐÚ µ Ñ Ò Ò x R \ {0}¹Ö 2 2·3 1 f14 (x) = 4 + 3 , f14 (x) = - 4 f14 (x) = 4x + 1 - 2 , x x x (n) n n! × f14 = (-1) n+1 , n 4. x

f13 (x) =

(10)

Ð ×

Ã Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð ¸ Ì ÝÐÓÖ¹ÔÓÐ ÒÓѸ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ
º½ º Ð
Ú ÒÝ Ö

غ
Þ

Î Þ×

Ð

Ñ

¸

Ó Ý

Ð

ÐÑ Þ

Ø ¹

ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð

Þ

Ð

ÓØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ

f2 (x) = x - x, 3 f3 (x) = x2 , f4 (x) =
Å

f1 (x) = x2 - 2x - 3,
3

x [0, 1] ;

x [-1, 3] ;

ÓР׺ ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð À f : [a, b] R ÓÐÝØÓÒÓ× [a, b]¹Ò¸ Ö Ò
Ð Ø ]a, b[¹Ò¸ f (a) = f (b)¸ ÓÖ Ð Ø Þ x ]a, b[¸ Ó Ý f (x) = 0º f1 Ö Ò
Ð Ø [-1, 3]¹ÓÒ × Ý ÓÐÝØÓÒÓ× ×¸ ØÓÚ f (-1) = f (3) = 0¸ Þ ÖØ ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Ø ¸ Ý x ] - 1, 3[¸ Ó Ý

x2 , 2-x ,

x [-1, 1] ; 0x1 1
f2 (x) = x3 - x [-1, 1]¹ Ò¸ ØÓÚ
Ø Ð ¸ Þ ÖØ Ð Ø Þ

f1 (x) = 2x - 2 = 0 x = 1 .
Ö Ò
Ð Ø [-1, 1]¹ f (-1) = f (1) = 0¸ x ] - 1, 1[ ¸ Ó Ý Ò¸ Ñ Ý Ø Ð

¸ × ÐÒ

Ó Ý

f2

ÓÐÝØÓÒÓ× ÐØ ¹

ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð

f2 (x)

3 1 x = ± . = 3x - 1 = 0 x = 3 3
2 2

Ã

È

ÊÌ

ÃÌ

Ì

Ä

ø Ì

ÄÇʹÈÇÄÁÆÇŸ Ì

ÄÇʹËÇÊ

½

Þ ×

f3 (x) =
Ö Ö Ò
Ð

3

ÚÓÒ Ø ÓÞ

x2 , x [-1, 1]
Ø Ø Ð Ñ

Ú ÒÝ ´ Þ ÓÐÝØÓÒÓ×

××Þ Ø ØØ Ò¸

Ú ÒÝ

ÓÐÝØÓÒÓ×¹ Ò Ò Ñ

Øص

[-1, 1]¹

x = 0¹

Ý Ò Ñ Ð

Ý Ò Ñ Ø Ð Å À

3 x2 - 3 0 x2 1 lim = lim = lim = +, 3 x0+0 x0 x x0 x-0 x 3 x2 - 3 0 Ø Þ lim Ú × Ø Ö ÖØ º x0 x-0
× ÐÒ ÓÖ ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð º Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ

Ø ¸ Ñ ÖØ

3

ÑÙØ Ø Ù ¸

x = 0¸

x ] - 1, 1[


¸

Ó Ý

f (x) = 0º

f (x) = x 3
×Þ Ò

2

2 1 2 1 = x- 3 = = 0 , 3 3 3x
Ð Ø

2 1 =0 3 3x
Ø ØÐ Òº Ò Ô Ò Ñ × Ö Ò

1=0, f3 º
Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×

Ñ Ð

x = 0¹
Þ

f4 (x) = lim

x2 2-x

, ,

0x1 1
[0, 2]¹Ò¸

Ñ ÒÝ Å À

ØØ Ò Ñ Ð Ø Þ Ó× Ð Ò ¸ ÑÙØ Ø Ù ¸

f4 (x) - f4 (1) x2 - 1 = lim = lim (x + 1) = 2, x1-0 x1-0 x - 1 x1-0 x-1 2-x-1 f4 (x) - f4 (1) = lim = lim (-1) = -1 lim x1+0 x1+0 x1+0 x-1 x-1
f4 (1)
´ ×Þ Ò

1¹

Ò

Ó

¹ ×

ÐÓÐ

Ð

Ö Ò
غ

Ð

¹

Þ µº Ý

Þ ÖØ

f4

Ò Ñ Ø Ð

× Ø ¸

ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð Ó Ý

ÐØ Ø Ð

Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ

x ]0, 1[ x ]1, 2[
Ò Ô

x ]0, 2[

f4 (x) = 0º

f4 (x)
¸ Ý

= 2x = 0

x = 0 ]0, 1[ . /

À

x = 1¹

Ò Ñ Ä Ý Ò

f4 (x) = -1 = 0 .
Ö Ò
Ð Ø

f4 ¸
Þ

Þ Þ Ò Ñ Ð Ø Þ Ö Ò
Ð Ø

f4 (1)º
Ú Òݸ Ð Ó Ý Ð

f (x) = 0 (x ]a, b[ )º Ý Ý Ú Ò ]a, b[ ¹

º½ º Ð

غ

f : ]a, b[ R
ÞÓÒÝ Ø× Òº ¸

ÓÐÝ Ò Ó Ý

f (x) = 0

Ý ÒÐ ØÒ

½ ¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Å

ÓÐ

׺ Ì

Ý

и

Ó Ý Ð Ø Þ ¹Ø Ø Ð Ó Ý

0º
ÓÖ Ð Ø Þ Ø ×

u, v ]a, b[
ÐØ Ø Ð Ø

¸ Þ

u < v¸ [u, v]

Ó Ý

f (u) = f (v) =
Þ ÖØ Þ ÐÐ ¹

Þº

f Ø Ð ×Ø ÊÓÐÐ x ]u, v[ ]a, b[ ¸

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ ׺ Ý

f (x) = 0¸
Ó Ý

Ñ

ÐÐ ÒØÑÓÒ

º½ º Ð
Þ ÖÙ×
Å ÓÐ

غ
Ñ

ÞÓÒÝ Ø×

¸ ÐÝ ×

ÐÝ
׺ 
Þ ØØ Ú Ò Þ ÖÙ×

sin : R R cos : R R Ú

Ú ÒÝ ÒÝÒ

ÖÑ ÐÝ ØÚ º

Ø

× ÓÖ

sin(a) = sin(b) = 0¸ ÓÖ sin Ö Ò¹ [a, b]¹Ò ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð ¸ Þ ÖØ Ð Ø Þ x ]a, b[ ¸ Ó Ý sin (x) = cos(x) = 0¸ Ñ Þ ÐÐ Ø × Ð× Ð Øº À ÑÓ×Ø u, v R, u < v ÓÐÝ Ò¸ Ó Ý cos(u) = cos(v) = 0¸ ÓÖ ÊÓÐÐ ¹ x ]u, v[ ¸ Ó Ý cos (x) = - sin(x) = 0 sin(x) = 0¸ Ø Ø Ð ×Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ
Ð Ø × ØØ Ø Ð × ÐÒ Ñ ×Ó ÐÐ Ø ×Ò Ñ Ð Ð Ð Òº

a, b R, a < b

º½ º Ð
Ú ÒÝ Ö

غ Î Þ×
Þ

Ñ

¸

Ó Ý

Ð

ÐÑ Þ

Ø ¹

Ä

Ö Ò

¹Ø Ø Ð

Þ

Ð

ÓØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ

f1 (x) = f2 (x) =
Å ÓР׺

x+3 , x-4 0 , 1 ,

x [1, 3] ; x [-1, 1[ x=1 [-1, 1]¹
Ò.

f1 (x) =
Ò Ø

x+3 (x = 4) x-4 4 [1, 3] Ñ ØØ f1 / Ö
Ø Ä Ö Ò

Ö Ò
Ò
Ð Ø

Ð

Ø

ÖØ ÐÑ Þ × ×

Ø ÖØÓÑ ÒÝ

Ò¸

Ý × Ð¹

[1, 3]¹ÓÒ

Þ ÖØ ÓÐÝØÓÒÓ× ×º Ì Ð

¹Ø Ø Ð

ÐØ Ø Ð

Ý Ð Ø Þ

x ]1, 3[

¸

Ó Ý

x - 4 - (x + 3) f (3) - f (1) 7 7 , =- =- = 2 2 (x - 4) (x - 4) 3 3-1 Ñ ÓÖ ×
× ÓÖ Ø Ð × Ð¸ (x- 4)2 = 3 x- 4 = ± 3 x = 4 ± 3¸ × x = 4 - 3 ]1, 3[ º f (x) =
Þ

f2 (x) =
Ú ÒÒÝ Ð

0 , 1 ,
Ý ÒÐ ¸ × ÐÒ

x [-1, 1[ , x=1
Ñ Ä Ö Ò
Ö Ò Ð Ò¸ Ñ ÖØ ØØ Ø Ö ÖØ ¹Ø Ø Ð

Ú ÒÝ Ø ¸ Ý

] - 1, 1[ f2
º ×

¹ Ò

Þ

f (x) = 0
Ò Ñ Ô

ÓÐÝØÓÒÓ×

x = 1¹

0¸
ÐØ Ø Ð

ÐÝ ØØ × Ø ×

] - 1, 1[

¹ Ò¸ ÖØ

1º

Ý Ò Ñ Ø Ð

Ã

È

ÊÌ

ÃÌ

Ì

Ä

ø Ì

ÄÇʹÈÇÄÁÆÇŸ Ì

ÄÇʹËÇÊ

½ ½

Þ

ÐÐ Ø ×

× Ñ¸ Ñ ÖØ

f2 (x) = (0) = 0¸

x ] - 1, 1[

¸ Ñ

1-0 1 f (1) - f (-1) = = 2 2 2 = x ] - 1, 1[ ,
Ä Ý Ò Ó Ý

f2 (x) =

f (1) - f (-1) . 2
Ó Ý

º½ º Ð
x+
Å ÓÐ

lim

f (x)

= 0º
Ò

غ

f : [a, +[ R Ö Ò
Ð Ø Ú Òݸ ÞÓÒÝ Ø× ¸ Ó Ý lim [f (x + 1) - f (x)] = 0º
x+
Þ × Ø Ò

׺ Å Ò

Ú ÐÐÙÑÓÒ Ø Ð ÓÐÝØÓÒÓ× ×

× Ø

x [a, +[
Ä Ö Ò Òµ¸

f
Ø ´

Ú ÒÝ ×Þ Ò ¸ Ó Ý

Þ

[x, x + 1]
Ð Ø

ÒØ Ö¹ × Ý

¹Ø Ø Ð

ÐØ Ø Ð

Ö Ò

[x, x + 1]¹

Ý Ð Ø Þ

y ]x, x + 1[

x +¸ ÓÖ y + Ý f (y) 0¸ Þ ÖØ f (x + 1) - f (x) 0¸ x +¸ Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø
À

f (x + 1) - f (x) = f (x + 1) - f (x) = f (y). x+1-x
Þ Ò Ð ÐÐ Øغ Ý ÒÐ × Ñ ØØ

º¾¼º Ð
ÓÐ

غ

ÞÓÒÝ Ø×

¸

Ó Ý

tg(x) > x
׺ Ö Ò

x 0,

2

º

Å

׺ Ä

Ý Ò Ð

Ú ÒÝ

Ö Ò
Ó Ý

x 0,
Ø ¸

Ý Ø Ð

2

Ø Ø×Þ Ð × Ø Ä

[0, x]
¹Ø Ø Ð

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÐØ Ø Ð Ø¸

tg

¹

Þ ÖØ Ð Ø Þ

y ]0, x[¸

tg (y) = 0 Ñ ØØ

1 tg(x) - tg(0) tg(x) = = . 2 (y) cos x-0 x

0 < cos(y) < 1 =

=

1 >1 cos(y) =

=

tg(x) >1 x
Ù
ݹ Ð

tg(x) > x,

1 >1 cos2 (y) . x 0, 2
ÞÓÒÝ Ø× ¸

º¾½º Ð
Ó Ý
Å ÓÐ

sin(x) = 1º lim x0 x
׺

غ

Þ Ô ÖØ

Ø Ø Ð

Ð

×ÞÒ Ð × Ú Ð

Þ Ð Ø

Ö Ò

f (x) = sin(x) × g(x) = x Ú ÒÝ Ñ Ò Ò x R × Ø Ò ¸ f (x) = cos(x), g (x) = 1 = 0¸ Ý Ñ Ò Ò [x, 0] Ú Ý [0, x]

½ ¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ø Ð Ð Ø Þ

× Ø Ý

Ù
ݹ

Ð

Þ Ô ÖØ

Ø Ø Ð

ÐØ Ø Ð

ظ

Þ ÖØ

f (y) g (y)
ÐÐ ØÚ

y ]0, x[

Ú

=

sin(x) - sin(0) sin(x) cos(y) = = = 1 x-0 x sin(0) - sin(x) sin(x) cos(y) = = = 1 0-x x x 0 - 0¸
y0-0
ÓÖ

y ]x, 0[

¸

Ó Ý

f (x) - f (0) g(x) - g(0) f (0) - f (x) g(0) - g(x)

,

f (y) g (y)
À Ý

=

.

x 0 + 0¸

ÐÐ ØÚ

y 0 + 0¸

ÐÐ ØÚ

y 0 - 0¸

y0+0
´ Þ Ý ÒÐ × Ñ

lim cos(y) = lim cos(y) = 1 = lim
Øصº Ñ Þ Ð Ú ÒÝ

sin(x) =1 x0 x 0
ÔÓÒØ Ö Ð Ì ÝÐÓÖ¹

º¾¾º Ð
×ÓÖ Ø

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Å

Ø

f : (p, q) R Ö ÒÝ×ÞÓÖ Ö Ò
Ð Ø Ú ÒÝ a¹ ÓÞ f (k) (a) ÖØÓÞ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ (x - a)k k! k=0 . xn f1 (x) = exp(x) = Ý ÓÒÚ Ö Ò× ØÚ ÒÝ×ÓÖ¸ Ñ ÔÔ Ò Þ exp n=0 n! Ú ÒÝ 0¹ÔÓÒØ Ö Ð Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ º Å × Ñ ÓÒ Þ exp Ú ÒÝ Ö ÒÝ×ÞÓÖ Ö Ò
Ð Ø × Ñ Ò Ò x R¹Ö exp(n) (x) = exp(x) Ñ Ò Ò n N × Ø Ò¸ ØÓÚ exp(0) = 1, (n) (0) = 1¸ Þ ÖØ Ý exp Ò
×Þ Ö ÒØ Þ exp Ú ÒÝ 0¹ÔÓÒØ Ö Ð xn Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Ú Ð Ò ×ÓÖº n=0 n! À ×ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý sin Ú ÒÝ 0¹ÔÓÒØ Ö Ð Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Þ x2n+1 (-1)n ÓÒÚ Ö Ò× ØÚ ÒÝ×ÓÖº Ø Ò Ð (2n + 1)! n=0 1 xn ÓÑ ØÖ ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸ |x| < 1 × ××Þ ¸ Ý Þ 1-x n=0
ÓР׺

f1 (x) = exp(x) (x R); 1 f3 (x) = 1-x
Ý

f2 (x) = sin(x) (x R); (x ] - 1, 1[ ).

Ð

×Þ Ö ÒØ

0¹ÔÓÒØ

ÓÞ Ø ÖØÓÞ

Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ



xn º

n=0

Ã

È

ÊÌ

ÃÌ

Ì

Ä

ø Ì

ÄÇʹÈÇÄÁÆÇŸ Ì

ÄÇʹËÇÊ

½ ¿

f (x) = sin(x) (x R) Ú ÒÝ a = 4 Þº Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Ø¸ Ú Þ× Ð ÒÒ ÓÒÚ Ö Ò
Ø f¹ 2 º Å ÓР׺ f (x) = sin(x) = f = sin = 4 4 2 Å Ú Ð Å Ò Ò x R¹Ö , n = 4k + 1, cos(x) - sin(x) , n = 4k + 2, , f (n) (x) = sin(n) (x) = - cos(x) , n = 4k + 3, sin(x) , n = 4k + 4,

º¾¿º Ð

غ

Ñ

Þ

Ö Ð

Þ ÖØ

f (n)

4

= sin(n)

4

Ý

Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ

2 2 - 2 2 = - 2 2 2 2 4 x-
3

, , , ,

n = 4k + 1, n = 4k + 2, n = 4k + 3, n = 4k + 4, ,



f (k) k!
2

x- x- 2 4 4 = 1+ - 2 1! 2!
Ì ÝÐÓÖ¹Ø Ø Ð ×Þ Ö Òظ



k=0

4

k

=
4

x- 4 - 3!

x- 4 + 4!
×

x- 4 + 5!
ÓÖ

5

- ···

x K(a, r)¹Ö

f : K(a, r) R, n N (x) K(a, r) \ {a}¸ Ó Ý f (n) ((x)) (x - a)n n!

f (n) ¸

f (x) = Tn-1 (x) +
ÓÐ À

(x K(a, r)),
Ñ Ö Ø º

n

. f (n) ((x)) (x - a)n Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖÑÙÐ Rn (x) = n! lim Rn (x) = 0¸ Ý Tn-1 (x) f (x)¸ Þ Þ f (x) =
k=0

f (k)(a) (x - a)k k!

(x K(a, r)),

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ø È Ð

Ø Ò

ÓÖ Ò

f

Ð

ÐÐ Ø

Ø

Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Ú Ðº

Rn (x) =
Ý

sin(n) ((x)) x- n! 4 ((x)) x- n! 4
n

n

, 4 n!
n

0 |Rn (x)| = =
Þ ÖØ

sin

(n)

<

x-

0

|Rn (x)| 0 = Rn (x) 0 ,


sin(k) k!

sin(x) = x- 2 = 1+ 2 1!
4

4
3

x- - 2!
Ð Þ Þ

k=0 2 4

x-

4

k

=
4

x- 4 - 3!

x- 4 + 4!

x- 4 + 5!

5

- ··· .

º¾ º Ð
ÔÓÐ ÒÓÑ
Å ÓР׺

غ
Ø

Ö

n = 5¹Ö f
Ö

f (x) = tg(x) x - , 2 2 a = 0 ÔÓÒØ Ö Ðº
Ö Ò
Ð Ø º

Ú ÒÝ Ì ÝÐÓÖ¹

ÒÝ×ÞÓÖ

f (0) = tg(0) = 0, f (x) = cos-2 (x) = = f (0) = 1, f (0) = 0, f (x) = -2 cos-3 (x)(- sin(x)) = 2 sin(x) cos-3 (x) f (x) = 2 cos(x) cos-3 (x) + 2 sin(x)(-3) cos -4 (x)(- sin(x)) = = 2 cos-2 (x) + 6 sin2 (x) cos-4 (x) = f (0) = 2 f (4) (x) = -4 cos-3 (x)(- sin(x)) + 12 sin(x) cos(x) cos-4 (x)- - 24 sin2 (x) cos-5 (x)(- sin(x)) = = f (4) (0) = 0, = 16 sin(x) cos-3 (x) + 24 sin3 (x) cos-5 (x)

Ã

È

ÊÌ

ÃÌ

Ì

Ä

ø Ì

ÄÇʹÈÇÄÁÆÇŸ Ì

ÄÇʹËÇÊ

½

f (5) (x) = 16 cos-2 (x) + 16 sin(x)(-3) cos-4 (x)(- sin(x))+ + 72 sin2 (x) cos(x) cos-5 (x) + 24 sin3 (x)(-5) cos-5 (x)(- sin(x)) = = 16 cos-2 (x) + 120 sin2 (x) cos-4 (x) + 120 sin4 (x) cos-5 (x) =
Þ ÖØ

f (5) (0) = 16.

º¾ º
Ð
Å ÓÐ

2 1 T5 (x) = x + x3 + x5 º 3 15 1 Рغ Ö Ð Þ 1+x
ÓÒÚ Ö
׺

Ú ÒÝ

0¹ÔÓÒØ

Ö Ð Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Øº Î Þ×¹

Ò

غ



(-x)n -xµ

ÓÑ ØÖ

×ÓÖ Þ ÖØ Þ

ÓÒÚ Ö

Ò׸

n=0
´Ñ Ú Ð Ú
Ò× × ÖÖ

|x| < 1
Ö Ð

×

××Þ



1 ¸ 1+x

1 1+x

0¹ÔÓÒØ

Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ

(-1)n xn ¸

n=0

1 (-1)n xn , = 1 + x n=0



|x| < 1.
Ú ÒÝ

º¾ º Ð
Å ÓР׺

غ 
Ø ÖÓÞÞ

Ñ

Þ

Ö Ð Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Øº

f (x) = ln(1+x) (x > -1)

0¹ÔÓÒØ

f (0) = 0, f (n) (x) = (-1)n-1 x x+1
k=0
ÐÝ ØØ × Ø

f6
Þ ÖØ

Ú ÒÝÒ Ø

f

Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ

(n - 1)! (n N) ´Ð × º½ º Ð Ø (1 + x)n (n) (0) = (-1)n-1 (n - 1)!º ×× Ðµ = f

f (k) k x2 x3 x4 x5 x =x- + - + - ··· . k! 2 3 4 5 1 xn f (n) ((x)) n x = (-1)n-1 · n! n (1 + (x))n 1 n |x| 0, n
Ý

Å Ú Ð

Rn (x) =
×

0 < |Rn (x)| <
Þ ÖØ

0 x 1, x [0, 1].

Rn (x) 0¸

0 x 1¸

ln(1 + x) = x -

x2 x3 x4 x5 + - + - ··· 2 3 4 5

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Þ

x = 1¹Ö

¸

Ó Ý

ln(2) = 1 -
× ÞÞ Ð Ñ Ø ÖÓÞØÙ

1 1 1 + - + ··· = 2 3 4 (-1)n+1 ln(1, 1)
Ø ×Þ Ö ÒØ ´



(-1)n+1

n=1
Ò× ×ÓÖ

1 , n
غ



n=1

1 n
ÖØ

ÓÒÚ Ö

××Þ

º¾ º Ð
Å ÓР׺

غ
Þ

ËÞ Ñ Ø× Ð Ð

Ø

10-4

ÔÓÒØÓ××

к

Ì ÝÐÓÖ¹Ø Ø ÐØ

×ÞÒ ÐÚ µ

f (x) = ln(1 + x) = =x-
ÞØ

x2 x3 xn xn-1 1 + - · · · + (-1)n-2 + (-1)n-1 . 2 3 n-1 n (1 + (x))n
ÒØÚ Ô Ù ¸ Ó Ý

x=

1 10

Ñ ÐÐ ØØ Ø



0,

1 10

¸

Ó Ý

ln(1, 1) =

1 1 - 10 2

1 10

2

+

1 3

1 10 1 10

3

- ... + (-1)n-1 1 1 n (1 + )n 1 10
n

+ (-1)n-2
Å Ú Ð

1 n-1

n-1

.

1 n(1 + )n 10-4 ÔÓÒØÓ×× 1 1 1 2 1 1 - + 10 2 10 3 10 ln(1, 1) 0, 0953 10-4
Þ ÖØ Ð

1 10
Ö Ù

n

<

1 10

n

= 10-n ,
Ø ÖÓÞÒ Ñ Ð Ý Þ

ln(1, 1)¹

Ø Ñ

3
ÖØ ÔÓÒØÓ×× Þ Ø Ñ Ðº Ú ÒÝ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Ø Þ Ø ÖÓÞÒ ¸

0, 0953¸

a=0
Å

º¾ º Ð
ÓÐ

غ

Ö

Ð

ÔÓÒØÖ º
׺

f (x) = 1 + x (x 0)
Ø

º½ º

Ð

Ú Òݸ Ñ ÐÝÖ

f (x)

1 1 = (1 + x)- 2 2

f3

Ú ÒÝ ×

ÔÔ Ò

Þ

f (x) =



n > 1¹Ö

1 + x (x 0)

2n-1 1 · 3 · · · (2n - 3) f (n) (x) = ( x + 1)(n) = (-1)n-1 (x + 1)- 2 2n

(x 0),

ijÀÇËÈÁÌ

ĹË

ýÄ

½

Ñ

¸

Ó Ý Ý

f (0) = 1, f (0) =
Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ

n > 1º 1+
×ÓÖº Þ ×ÞÒ Ð

f

a=0

1 ¸ 2

×

f (n) (0) = (-1)n-1
Þ

1 · 3 · · · (2n - 3) 2n

ÔÓÒØÖ

1 · 3 . . . (2n - 3) n x - + - · · · + (-1)n-1 x + ··· 2 8 16 2n n! 2 Þ ÐØ × Ö ¸ Ð Ð ×× ÓÒÚ Ö Ò
º Ø

x2

x3

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ
µ
ÞÓÒÝÓ× Ý×Þ Öò ÐØ Ø Ð

ÐÝ
× Ø

ÒÙÐÐ ¹Ô Ö¹ÒÙÐÐ
Ñ ÐÐ Øظ ×

xa
ÓÖ

lim f (x) = lim g(x) = 0
xa

f (x) =A, xa g (x) lim

f (x) =A. xa g(x) lim
׺µ Ú Ø Þ ÖÑ ÐÝ Ú Ð Ú Ý

´A Ð ÁØØ

Ø + Ú Ý - x a ÐÝ ØØ × Ø Ø

x a + 0,
Ô Ö Ò
Ð

x a - 0,
Þ

x +

x -.
ÐÝÙ ×

ÐØ Ø Ð µ

Ú Ø Ø

f, g
Ú Ò

ÖÒÝ Þ Ø µ ÂÓ Þ Ø
µ Þ ÖØ Ý Þ

a Ý K(a, r) ÒÝ Ðظ Ú Ý K(a, r) \ {0} Ò¸ g(x)g (x) = 0 K(a, r) \ {a}¹Òº ÐÓÐ Ð Ø Ö ÖØ Ò Ð Þ Þ a Ó Ú Ý ÐÓÐ Ð
º Ú Ý

ÖÒÝ ¹

x +
Ö Ø Ð

× ÐÒ

x -
Þ µ¹ Þ

× Ø

Ò Ô º

Ð

Ò

ݸ ÐÐ ØÚ

Ð

×

x

Ò ÑÓÒ ÓØØ Ð

º¾ º Ð

غ

ËÞ Ñ Ø×

Ø Ö ÖØ

Ø

sin(3x) ex - 1 ln(1 + x) lim ; lim ; lim ; x0 sin(5x) x0 x0 x x tg(x) 1 - cos(x) x3 - x2 + x - 1 ; lim ; lim ; lim x0 x0 x1 x + ln(x) - 1 x x2 sin(x) x cos(x) ; lim . lim x0+0 x x -0 1 - sin(x) 2

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Å

ÓÐ

׺

f (x) = sin(3x) × g(x) = sin(5x) Ú ÒÝ Ö Ò
K 0, ¹ Ò lim sin(3x) = lim sin(5x) = 0 ; x0 x0 2 x K 0, \ {0}¸ g(x)g (x) = sin(5x) · 5 cos(5x) = 0¸ 2
Þ

Ð

Ø

lim
Ý Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

3 cos(3x) 3 [sin(3x)] = , = lim x0 5 cos(5x) x0 [sin(5x)] 5
ÐÝ Ð ÐÑ Þ Ø ¸ Þ Þ

lim
Þ

x0

3 sin(3x) = . sin(5x) 5
× Ø Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ Ö Ò
Ð Ø ¸ ÐÝ

f (x) = ex - 1, g(x) = x (x R) Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø R \ {0} = K(0, +) \ {0}¹Ò¸ Ñ ÖØ
x0 x0

lim (ex - 1) = lim x = 0; g(x)g (x) = x · 1 = 0 , lim (ex - 1) ex = lim = 1, x0 x0 1 (x) lim

x=0

×

Ý

Þ Ý

ÒÒÝ Ò

ex - 1 =1. x0 x f (x) = ln(1 + x), g(x) = x (x ] - 1, 1[ )
Ð Ø Ø µ Ø Ð × Ø Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

Ú ÒÝ ÐØ Ø Ð Ø

´

Ó Ý

Þ Ò¸

ÐÝ

K(0, 1)¹

1 [ln(1 + x)] lim = lim 1 + x = 1 x0 x0 (x) 1
Ñ ØØ

ln(1 + x) =1. x0 x f (x) = x3 -x2 +x-1, g(x) = x+ln(x)-1 (x R+ ) ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ ÐØ Ø Ð Ø K(1, 1)¹ Ò ´ ÐÐ Ò Ö ÞÞ lim
x1
Ñ ØØ

Ú ÒÝ µ¸ Ý

Ø Ð

× Ø

lim

[x3

- +x- = lim x1 [x + ln(x) - 1]

x2

1]

3x2

- 2x + 1 =1 1 1+ x

lim

x3 - x2 + x - 1 = 1. x1 x + ln(x) - 1

ijÀÇËÈÁÌ

ĹË

ýÄ

½

f (x) = tg(x), g(x) = x Ø Ð Ø K 0, ¹Ò ´ Ñ ÐÐ 2

Ú ÒÝ Ò Ö Þ

Ø Ð Ø µ ×

× Ø

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

ÐÝ

ÐØ ¹

1 [tg(x)] cos2 (x) = lim = 1, lim x0 x0 (x) 1
Ý

x0

tg(x) = 1. x0 x 2 Þ f (x) = 1 - cos(x), g(x) = x (x R) Ú ÒÝ 2 = 0, g(x)g (x) = x2 · 2x = 0¸ lim (1 - cos(x)) = lim x lim
x0

Ö Ò

Ð

Ø

¸

x = 0º

lim
´Ð × º¾½º

sin(x) sin(x) 1 1 (1 - cos(x)) = lim = = lim 2 ) x0 2x x0 (x 2 x0 x 2
Рص¸ Þ ÖØ

Þ f (x) = sin(x) x ]0, +[ ;

×

1 1 - cos(x) = . x2 2 g(x) = x Ú ÒÝ lim
x0

Ö Ò

Ð

Ø

¸

x0+0

lim sin(x) = lim

x0+0



x = 0;

g(x)g (x) =



1 x = 0, 2 x

x > 0,

(sin(x)) cos(x) = lim = lim 2 x cos(x) = 0, 1 x0+0 ( x) x0+0 x0+0 2 x lim
× ÐÒ ¸ Ý Ó ÓÐ Ð Ø Ö ÖØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ

Þ ÖØ Ø Ð ÐØ Ø Ð


Þ Ø

x0+0

lim

sin(x) = 0. x
Ú ÒÝ

f (x) = x cos(x), g(x) = 1 - sin(x)
x -0 2

0,

2

¹Ò

Ö Ò

й

lim x cos(x) =

x -0 2

lim (1 - sin(x)) = 0; x 0, 2

g(x)g (x) = (1 - sin(x))(- cos(x)) = 0,

½ ¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

×

[x cos(x)] cos(x) - x sin(x) = lim = - cos(x) x 2 -0 x 2 -0 [1 - sin(x)] lim =
x -0 2

lim (x tg(x) - 1) = +
ÐÝ Ñ ØØ

´Ñ ÖØ

x -0 2

lim tg(x) = +µ¸ lim

Ý

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

x cos(x) = +. x 2 -0 1 - sin(x)
µ
ÞÓÒÝÓ× ÐØ Ø Ð Ð¸ ×

Ú

Ø Ð Ò¹Ô Ö¹Ú

Ø Ð Ò × Ø

xa
ÓÖ

lim f (x) = lim g(x) = ±
xa

f (x) =A, xa g (x) lim

f (x) =A. xa g(x) lim
Ô Ð Þ Ð Ø Ö ÖØ ËÞ Ñ Ø× µ Ú º Þ Ð Ø Ö ÖØ Ø Ý µ Ú Ý
µ Ð ØØ º ÁØØ × Ð Ø ÝÓÐ Ð ¸

ÐØ Ø Ð ÐÐ ØÚ

º¿¼º Ð

±¹

غ

- ln(x) ln(x) ; ; lim lim 1 1 x0+0 x0 - 2 x x 5x3 - 4x2 + 3 x lim ; lim 2x ; 2-1 x+ x+ e 2x

ln(x) ; x+ x lim x . x+ (ln(x))2 lim

ijÀÇËÈÁÌ

ĹË

ýÄ

½ ½

Å

ÓÐ

׺

Þ

f (x) = ln(x), g(x) = -
x0

1 x2

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

Ø

R \ {0}¹Ò¸

lim ln(x) = lim -
x0

1 = -; x2

g(x)g (x) =

1 - 2 x

x0

lim

[ln(x)] 1 - 2 x
Ðݵ

2 =0, x = 0¸ x3 1 2 x = lim x = 0, = lim x0 2 x0 2 3 x

Þ ÖØ ´Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

Þ

ln(x) = 0. 1 x0 - 2 x 1 f (x) = - ln(x) × g(x) = Ö Ò
Ð Ø ]0, +[¹ x 1 lim [- ln(x)] = lim = +; x0+0 x0+0 x 1 1 - 2 = 0, x > 0¸ g(x)g (x) = x x lim 1 - [- ln(x)] x = lim x = 0, lim = lim 1 x0+0 x0+0 x0+0 1 - 2 x x
ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ Ñ ØØ

Ò

×

Ý

x0+0

lim

f (x) = ln(x)
x+
×

×

g(x) = x

Ö

- ln(x) = 0. 1 x Ò
Ð Ø ]0, +[¹

Ò

lim ln(x) = lim x = +;
x+

g(x)g (x) = x · 1 = 0,

x > 0¸

1 [ln(x)] 1 lim = 0, = lim x = lim x+ (x) x+ x x+ 1

½ ¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ý

f (x) = 5x3 - 4x + 3,
x+

x+ g(x) = 2x2

lim

ln(x) = 0. x -1 Ö

Ò

Ð

Ø

R¹

Ò¸

lim (5x3 - 4x + 3) = lim (2x2 - 1) = +; x+ 2 2 g(x)g (x) = (2x - 1)(4x) = 0, x> 2

×

[5x3 - 4x2 + 3] 5 15x2 - 8x = lim = lim x-2 x+ x+ x+ 4 [2x2 - 1] 4x lim
Ý Ø Ð × ÐÒ Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ ÐØ Ø Ð

= +,
Þ ÖØ



2 2 , + ¹ Ò¸

5x3 - 4x2 + 3 = + x+ 2x2 - 1 lim
´ Ñ Ø Ñ × Ñ ×Þ ÖÖ Ð ÓÖ Ø Ð × ØÖ Ò Ñ Ö × Ø × ÞÓÒÝ Ø Ò ØØÙÒ µº ÐÝ ÐØ Ø Ð Ø

f (x) = x, g(x) = e2x
Ú Ø Ð Ò¹Ô Ö¹Ú Ø Ð Ò

R¹

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

(x) 1 = lim = 0, x+ (e2x ) x+ 2e2x lim
Ý

x = 0. x+ e2x lim
Ø Ð ×

f (x) = x
Ú Ø Ð Ò

×

g(x) = [ln(x)]2
ÐØ Ø Ð Ø

× Ø

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

ÐÝ Ú

Ø Ð Ò¹Ô Ö¹

× Ø Ò

1 (x) = + = lim x+ ln(x) x+ ([ln(x)]2 ) 2 x lim
´Ñ ÖØ Ý

x+

lim

ln(x) = 0)¸ x
x+

lim

x = +. (ln(x))2

ijÀÇËÈÁÌ

ĹË

ýÄ

½ ¿

µ

Ý
Ð

Ð

ØÓ
Ø

º¿½º Ð
x0
Å ÓР׺

غ

ËÞ Ñ Ø×

Þ

Ø Ö ÖØ

lim

1 1 - x sin(x)
Ð× Ð Ø Ú

;

x0

lim

1 - ctg(x) sin(x)
Ø Ð Ò Ø ÔÙ× ¸

;

x0+0

lim xsin(x) .

Þ

Ø Ð Ò¹Ñ ÒÙ×Þ¹Ú

1 sin(x) - x 1 - = x sin(x) x sin(x)
Ø Ö ×× Ð ÒÙÐÐ ¹Ô Ö¹ÒÙÐÐ Ø ÔÙ×Ö Ú Þ Ø Ø Ö Ò
Ú ××Þ ¸ Ù Ý Ò × Ð Ø ¸

f (x) = sin(x) - x, g(x) = x sin(x)
x0 x0

lim [sin(x) - x] = lim [x sin(x)] = 0,
ÖÒÝ Þ Ø Ò¸ ØÓÚ

g(x)g (x) = (x sin(x))(sin x + x cos(x)) = 0 0 lim
´ Ý Ð ÐÑ ×

[sin(x) - x] - sin(x) cos(x) - 1 = lim =0 = lim x0 [x sin(x)] x0 -x sin(x) + 2 cos(x) x0 sin(x) + x cos(x)
ÓÐ

cos(x) - 1 x0 sin(x) + x cos(x) lim
Ú ÐØÓÞ Ø Øµ¸ Ý

¹Ò Ð

×

Ð

ÐÑ ÞØÙ

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ Ñ ØØ

ÐÝ

ÒÙÐÐ ¹Ô Ö¹ÒÙÐÐ

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

x0
Þ

lim

1 1 - x sin(x)

= lim

sin(x) - x = 0. x0 x sin(x)

1 1 cos(x) 1 - cos(x) - ctg(x) = - = sin(x) sin(x) sin(x) sin(x)
Ý ÒÐ × × Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ ¸ Ó Ý

(x = 0)

x0
Ð

lim

1 1 - cos(x) sin(x) - ctg(x) = lim = lim =0 x0 x0 cos(x) sin(x) sin(x)
Þ

×ÞÒ ÐÚ

ln(x) xsin(x) = exp(sin(x) ln(x)) = exp 1 sin(x)





(x = 0)

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ý ÒÐ ×

Ø

×

Þظ

Ó Ý

x0+0

lim

ln(x) 1 sin(x)
ÐÝ Ú Ø Ð Ò¹Ô Ö¹Ú Ø Ð Ò × ¹

Ø Ö ÖØ Ø Ú Ð Þ Ð

×Þ Ñ Ø Ñ

Ø ÓÒ

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

1 ln(x) x = = lim lim 1 x0+0 - sin-2 (x) cos(x) x0+0 sin(x) sin(x) 1 = - lim · · sin(x) = 0 x0+0 x cos(x)
´Ñ ÖØ Ò ÐÚ

sin(x) 1 = 0, lim = 1, lim sin(x) = 0¸ ØÓÚ x0 x0 cos(x) x0 x ÞØ ×¸ Ó Ý lim exp(y) = 1¸ Þ ××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ lim
y0
¸ Ø Ø Ð Ó Ý

Ð Ø Ö ÖØ

×Þ¹ Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ

ln(x) lim xsin(x) = lim exp 1 = 1. x0+0 x0 sin(x)





Ö Ò
Ð Ø
Þ

Ú ÒÝ
Ú ÒÝ ´
×

Ú Þ× Ð Ø

µ ÅÓÒÓØÓÒ Ø ×

f : a, b
ÓÖ ×
×

Ö Ò

Ð

Ø

ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

Ò µ

a, b

¹Ò¸

f (x) 0 (f (x) 0) (x a, b )¸
ÓÖ ×
× ÓÖ ×Þ ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú × Ò Ñ Ð Ø Þ

´
×

Ò µ

a, b
¸

¹Ò¸

f (x) 0, (f (x) 0) (x a, b ) f (x) = 0 (x c, d )º

c, d a, b

Ó Ý

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

º¿¾º Ð
Ò Ú ¸

غ

À Ø ÖÓÞÞ

Ñ

¸

Ó Ý Ò

Ú Ø

Þ

Ú ÒÝ

ÓÐ ÑÓÒÓØÓÒ

ÓÐ ÑÓÒÓØÓÒ
×

f1 (x) = 5x + 2 f2 (x) = -3x + 2 f3 (x) = ax + b
2

f6 (x) = ax + bx + c 1 f7 (x) = x + x 2x f8 (x) = 1 + x2 f9 (x) = x3 - 12x + 20 f10 (x) = f11 (x) = x + sin(x) f12 (x) = arctg(x)
Å ÓР׺

f5 (x) = 1 - 4x - x2
2

f4 (x) = x - 4x + 7

(x R);

(x R);

(x R);

(x R); (x = 0);

(x R);

(x R);

(x R); (x R); (x R); (|x| 1);

1 - x2

(x R).

f1 (x) = (5x + 2) = 5 > 0 Ñ Ò Ò x R × Ø Ò¸ Ý f1 R¹ Òº ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú (x) = (-3x + 2) = -3 < 0 Ñ Ò Ò x R × Ø Ò¸ f2 Ý f2 ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò R¹ Òº (x) = (ax + b) = a(x R)º f3 À a > 0 = f3 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú R¹ Òº Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò R¹ Òº À a < 0 = f3 ×Þ ÓÖ ´À a = 0¸ Ý ÒÝ ÐÚ Ò ÓÒ×Ø Ò× f3 (x) = bºµ f4 (x) = (x2 - 4x + 7) = 2x - 4 (x R)º f4 (x) = 2x - 4 = 0 f4 (x)
Ý Ú

×Þ

ÓÖ

Ò

×Þ

ÓÖ

Ò

f4 (x) = 2x - 4 > 0

= 2x - 4 < 0
Ò Òº







x=2; x>2; x<2.
×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ¹

f4

×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ

[2, +[

] - , 2]¸

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

f5 (x) = (1 - 4x - x2 ) = -4 - 2x x Rº f5 (x) = -4 - 2x = 0 f5 (x) f5 (x)

= -4 - 2x > 0



= -4 - 2x < 0



x = -2 ;



x < -2 ;

x > -2 .
× ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ

Ý
×

f5

×Þ Ò

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú



f6 (x)

À

[-2, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº = (ax2 + bx + c) = 2ax + b (x R)º a > 0¸ Ý

] - , -2]

f6 (x) = 2ax + b = 0 f6 (x) = 2ax + b < 0 f6 (x) = 2ax + b > 0



b ; 2a b x<- ; 2a b x>- . 2a x=- b 2a

Þ ÖØ Ò Ú À Ú

f6

×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
×

Ò

-, -

¸ ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ

- a < 0¸

b , + 2a
×ÓÒÐ ¸ ×Þ

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº ×Þ ÑÓÐ × ÓÖ ¸ Ó Ý

Ý

b -, - 2a
Òº

f6

×Þ Ò

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ¹

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
×

-

b , + 2a

ÒØ Ö¹

Ú ÐÐÙÑ



1 = 1 - 2 (x = 0)º x (x) = 1 - 1 = 0 x2 = 1 x = -1¸ Ú Ý x = 1 f7 x2 1 1 f7 (x) = 1 - 2 > 0 1 > 2 x2 > 1 |x| > 1¸ Þ Þ x x x < -1¸ Ú Ý x > 1 1 f7 (x) = 1 - 2 < 0 0 < |x| < 1¸ Þ Þ -1 < x < 0 Ú Ý 0 < x < 1º x Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ] - , -1] × [1, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙ¹ Þ ÖØ f7 ×Þ ÓÖ ÑÓ ÓÒ¸ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò [-1, 0[ × ]0, 1] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº
f7 (x)

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

f8 (x) = f8 (x) =

2x 1 + x2



=

2(1 + x2 ) - 2x · 2x 2 - 2x2 = (1 + x2 )2 (1 + x2 )2

(x R)º

2 - 2x2 = 0 2 - 2x2 = 0 x2 = 1 (1 + x2 )2 x = -1 Ú Ý x = 1;

f8 (x) =

2 - 2x2 > 0 2 - 2x2 > 0 1 > x2 1 > |x| (1 + x2 )2 x ] - 1, 1[; 2 - 2x2 < 0 2 - 2x2 < 0 1 < x2 1 < |x| (1 + x2 )2 x ] - , -1[]1, +[.
×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

f8 (x) =

Þ ÖØ
×

f8
Ò

[-1, 1]¸

Ñ

×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ

] - , -1] × [1, +[ (x) = 3x2 - 12 (x R)º f9
f9 (x) = 3x2 - 12 = 0 f9 (x)

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº

= 3x - 12 > 0
2

2



x2 = 4 x >4 x2 < 4
2





f9 (x)

= 3x - 12 < 0
Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ò





x ] - , -2[ ]2, +[;
×



x = ±2; |x| > 2



x ] - 2, 2[. ]-, -2]

|x| < 2

Ý

f9 ×Þ

ÓÖ

[2, +[¸ Ñ |x| < 1

×Þ

ÓÖ

Ò

ÑÓÒÓØÓÒ
×

[-2, 2]

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

-2x x f10 (x) = ( 1 - x2 ) = ¸ = - 2 1 - x2 1 - x2 ´x = ±1¹ Ò f10 Ò Ñ Ö Ò
Ð Ø µº x =0 1 - x2 x f10 (x) = - >0 1 - x2 x f10 (x) = - <0 1 - x2
f10 (x) = -
Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

] - 1, 0]¸

x = 0; x < 0; x > 0.
×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× ¹

Ý Ò

f10

×Þ

ÓÖ

[0, 1[

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ö

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

f10 (-1) = 0



1 - x2 × f10 (1) = 0 1 - x2 Ñ [-1, 0]¸ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
×

ØØ

f10
Ò

×Þ

Ó¹

[0, 1]

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ ×º

f11 (x) = 1 + cos(x) (x R)º (x) = 1 + cos(x) 0 (x R)¸ f11 ×Þ Ò -1 cos(x) 1 Ñ Ò Ò x R (x) = 1 + cos(x) = 0 cos(x) = -1 × Ø Ò¸ Ñ ×Ö ×ÞØ f11 x = (2k + 1) (k = 0, ±1, . . .)º c, d R¸ Ó Ý f11 (x) = 0 (x c, d )¸ Ý f11 (x) 0 × Ò Ñ Ð Ø Þ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú R¹ Òº Þ ÖØ f11 ×Þ ÓÖ 1 f12 (x) = arctg (x) = > 0 (x R)¸ Ý f12 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ 1 + x2 Ò Ú R¹ Òº

µ ËÞ Ð×
Þ ÐÑ Ð Ø À Þ Ð ×Ñ Ö Ú Ø Þ Ø

ÖØ

f : a, b R Ú ÒÝÒ Þ x0 ]a, b[¹ ´Ñ Ò ÑÙÑ µ Ú Ò × f (x0 )¸ ÓÖ f (x0 ) = 0º
Þ ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ Ð Ø Þ × Ò
× Ø¸ ×Þ × × Ó Ý ÐÓ Ó Ý ´ Ý ÐÝÒ À ½º Þ Ð × ×Þ Ð× Ý ÐÝ Ò ÐÝ Ò ÐÝ Ø ´ÔÓÒØÒ ÖØ Ø ÓØØ Ð ÓÐ ºµ ظ ÐÝ Ò Ú Ò × ÐÓ µ × Ò Ú ÞÒ Ð × ×Þ Ð× ÖØ

Ò ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Þ ÞØ Ò Ñ Ý Ð ÒØ ¸ ÞØÓ׸ Ö Ø Ù×

ÐØ Ø Ð º

ÓÐ f (x)

= 0¸
º

f ¹Ò

f (x0 ) = 0

×Ø
ÓÒ Ö Ù× Ú

¾º

f : ]x0 - r, x0 + r[ R Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø ¸ f (x0 ) = 0 × f (x) 0 (x ]x0 - r, x0 ]), f (x) 0 (x [x0 , x0 + r[)¸ ÓÖ f ¹ Ò x0 ¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ò ´Ú Ý × f Ð Ð Ø Ú ÐØ x0 ¹ Ò +¹Ö Ð -¹Ö µº f (x) 0 (x ]x0 - r, x0 ]), f (x) 0 (x [x0 , x0 + r[)¸ ÓÖ f ¹Ò x0 ¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò ´Ú Ý × f Ð Ð Ø Ú ÐØ x0 ¹ Ò -¹Ö Ð +¹Ö µº
Ý Ð Ò ÐØ Ø Ðº

Þ À

f (k-1) (a)

f : K(a, r) R (k - 1)¹×Þ Ö Ö Ò
Ð Ø (k 2)¸ f (a) = · · · = (k) (a) = 0¸ =0 ×Ð Ø Þ f ÓÖ k Ô Ö ØÐ Ò¸ Ý f (a) Ò Ñ ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ ½º k Ô ÖÓ׸ Ý f (a) ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ ¸ Ó Ý ¾º f (k) (a) > 0¹Ö ×Þ ÓÖ ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙѸ

Þ

Þ

f (k) (a) < 0¹Ö ×Þ Ö Ò ÐØ Ð ÒÓ× ´k ¹

ÓÖ òµ Ð

ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙѺ Ò ÐØ Ø Ðº

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

º¿¿º Ð
Ñ Ò ÑÙÑ

غ
ÐÝ

Ã Ö ×× Ø × ÖØ

Ñ Ø

Þ

Ð

Ú ÒÝ

ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙѹ¸ ÐÐ ØÚ

f1 (x) = ax + b f2 (x) = ax2 + bx + c f3 (x) = ax + b cx + d

(x R);

(x R, a = 0); x=- (x R); (x R); (x R); d c ;

+1 +x+1 f12 (x) = x + sin(x) f11 (x) = x2

f6 (x) = x - 5x - 8x + 3 2x f7 (x) = 1 + x2 1 f8 (x) = x + x f9 (x) = (x + 1)10 e-x f10 (x) = x 3 x - 1 x2

f5 (x) = (x - 1)4
3

f4 (x) = (x - 1)2
2

(x R); (x = 0); (x R);

(x R); (x R); (x 0).

(x R); (x R);

f13 (x) = |x2 - 3x + 2| 4 x f14 (x) = x+2
Å ÓР׺

f1 (x) = a¸
×Þ Ð× Þ ÖØ

Ñ

Ò Ñ Ð

Ø

º À

a = 0¸
× Ø Ò

ÓÖ

0¸ a = 0¸ Ý f1 (x) = b ÓÒ×Ø

ÓÖ Ò×

f1 ¹Ò
Ú Òݺ

Ò Ò
× ÐÓ

Ð ×

f2

Ú ÒÝ

f2 (x) = 2ax + b = 0


Ð × ×Þ Ð×

x=-
ÖØ º

b . 2a

f2 ¹Ò
Þ Ð Þ

Ý

x0 = -
Ð Ø

º

b ¹ 2a

Ò Ð

Ø ÐÓ

Ú ÒÝ Ò

a>0
Ð

× Ø Ò

Ð Ø Ú

f2 (x) < 0¸ b ÐØ x0 = - ¹ 2a

b x<- 2a Ò -¹Ö Ð +¹Ö

Ú Þ× ×

Ð Ø Ò Ð Ð ØØÙ ¸

Ó Ý

f2 (x) > 0¸
Ø ÓÖ

x>- f2 ¹Ò
×Þ

b ¸ 2a
ÓÖ

Þ Þ ÐÓ

f2
Ð ×

¸ Ø

½ ¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ñ Ò ÑÙÑ

Ú Ò Þ

a<0
ÞØ

× Ø Ò

x0 = -
Ð

ÐÚ ÐØ ×

b ¹ 2a

Ò¸ Ñ ÐÝÒ ÐÐ ÒØ Ø ×¸ Ò¸ Ñ ÐÝÒ Ô Ù ¸ Ñ Ú Ð

Ñ Ü ÑÙÑ

Ú Ò

Ý×Þ Öò × Ø Ò

b x0 = - ¹ 2a
Ò × Ñ

a>0

4ac - b2 4a Þ ÖØ ÓÖ f2 ¹Ò ×Þ 4ac - b2 ÖØ º 4a (x) = 2a¸ Ñ f2
ÖØ

ÓÖ

ÐÓ

Ð ×

¸

Ó Ý

f2 -
Ñ Ù Ý Ò Ð Ô Ù ¸ ÓÖ Ó Ý

b 2a

= 2a > 0 , b ¹ 2a
Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò¸

f2 ¹Ò

a < 0¹Ö

x0 = - b 2a

f2 -
Ú Ý ×

= 2a < 0 ,
Ú Ò

f2 ¹Ò

ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

x0 = -

b ¹ 2a

Òº

f3

× Ø Ò

f3 (x) =

ax + b a(cx + d) - (ax + b)c = = cx + d (cx + d)2 ad - bc d = x=- , (cx + d)2 c
ØÒ Ø ×Þ

Ñ Ý

×

ÓÖ Ð Ò Ñ Ð

0¸
ÓÖ

ÓÒ×Ø Ò×

Ú ÒÝ ´ ÞØ Ð ××Ù

ad - bc = 0
µº ÐÓ

Þ Ô Ú

ÞØ

Ò ¸

Ó Ý

f3

f3 ¹Ò
× Ø Ò

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

Ý Ñ Ò ÑÙÑ º

f4

f4 (x) = 0 x = 1º ÁØØ Ð Ø Ø Ø f4 ¹Ò ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ º f4 (x) = 2 = f4 (1) = 2 > 0 = f4 ¹Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò¸ Ñ ÐÝÒ ÖØ f (1) = 0º f5 × Ø Ò
Ñ ¸ Ó Ý

f4 (x) = (x - 1)2



= 2(x - 1)

(x R) , x0 = 1¹

Ò ÐÓ

Ð ×

f5 (x) = (x - 1)4 = 4(x - 1)3 = 0
Ù Ý Ò ÓÖ



x > 1, x < 1,

x=1,

2f5 (x) = 4(x - 1)3 > 0 , f5 (x)

= 4(x - 1) < 0 ,

3

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½ ½

Þ Þ Å ×

f5

Ð

Ð Ø Ú ÐØ Ú Ò¸

x = 1¹
ÖØ

Ò

Ñ Ò ÑÙÑ ÔÔ Ò

Ñ Ò

-¹Ö Ð +¹Ö ¸ f (1) = 0º = = =

Þ ÖØ

f5 ¹Ò

x = 1¹

Ò ÐÓ

Ð ×

f5 (x) = 24(x - 1)

f5 (x) = 12(x - 1)2 (4)

f5 (1) = 0; f5 (1) = 0;

f5 (x) = 24
Þ Ð× Ý Ð Ò Ñ ØòÒ Ö Ú ÐØ Ò ÐÓ

f5 (1) = 24 > 0.
Ö Ò ò¸ Ú Òº Þ Þ Ô ÖÓ× ×

(4)

1¹

ÒÒ

Ý

f5 ¹Ò
× Ø Ò

x = 1¹

f5 (1) > 0¸

(4)

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

f6

f6 (x) = (x3 - 5x2 - 8x + 3) =

f6 (x) = 6x - 10 ,
Ý

= 3x2 - 10x - 8 = 0



2 x=- , x=4; 3

2 2 = -14 < 0 = - ¹ 3 3 f6 (4) = 14 > 0 = 4¹ Ò f6 ¹Ò ÐÓ
f6 - f7 (x) =
Ð Ø º ÐÓ

Ò

f6 ¹Ò

ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ú Òº Ó Ý × ÞØ Þ Ò Ð

Ú Ò¸

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

2x 1 + x2
Ð × ×Þ Ð×



=

Ú ÒÝ Ò Ð ÖØ

f7 ¹Ò

2- = 0 x = ±1 ´ (1 + x2 )2 Ñ Ö Ð ØØÙ µº Ì Ø x = -1
º

2x2

Ð Þ Ø

x = 1¹

f7 (x) =
× Ý

-4x(1 + x2 )2 - (2 - 2x2 )2(1 + x2 )2x 4x3 - 12x = (1 + x2 )4 (1 + x2 )2

f7 (-1) =

8 =2>0 4 = f7 ¹Ò x = -1¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò¸ 8 f7 (1) = - = -2 < 0 4 = f7 ¹Ò x = 1¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ú Òº f (-1) = -1, f (1) = 1º


Þ

ÖØ



f8 (x)
Ý

1 = x+ x f8 ¹Ò x = -1

=1-
Ý

Ú

1 = 0 x = ±1¸ x2 x = 1¹ Ò Ð Ø ÐÓ Ð × ×Þ

Ð×

ÖØ

º

½ ¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

f8 (x) =

2 x3

(x = 0)¸

Þ ÖØ

f8 (-1) = -2 < 0 = x = -1¹ f8 (1)

Ò

f8 ¹Ò

ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

Ú Ò¸

=2>0 = x = 1¹

Ò

f8 ¹Ò

ÐÓ

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

Ú Òº

Þ

ÖØ × Ø Ò

f9

f (-1) = -2, f (1) = 2º


f9 (x) = (x + 1)10 e-x

= (x + 1)9 (9 - x)e-x = 0

= 10(x + 1)9 e-x - (x + 1)10 e-x =

x = -1¸ Ú Ý x = 9 (e-x > 0 Ñ Ò Ò x R) × Ø Ò¸ Þ ÖØ f9 ¹Ò x = -1¸ Ú Ý x = 9 × Ø Ò Ð Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ º K(-1, 1)¹ Ò (9 - x)e-x > 0¸ Ñ (x + 1)9 × Ý f9 × Ð Ð Ø Ú ÐØ x = -1¹ Ò -¹Ö Ð +¹Ö ¸ Ý x = -1¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò f9 ¹Ò º K(9, 1)¹ Ò (x + 1)9 e-x > 0¸ Ñ 9 - x × Ý f9 × Ð Ð Ø Ú ÐØ x = 9¹ Ò +¹Ö Ð -¹Ö ¸ Ý x = 9¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ò f9 ¹Ò º 10 10 10 e-10 = f9 (-1) = 0, f9 (9) = 10 º Þ ÖØ e x=1 × Ø Ò 1 2 1 1 f10 (x) = (x 3 x - 1) = x (x - 1) 3 = (x - 1) 3 + x(x - 1)- 3 = 3 x 3(x - 1) + x 4x - 3 = 3x-1+ 3 = 3 = 3 =0 3 (x - 1)2 3 (x - 1)2 3 (x - 1)2 x =
ÐÓ

3 ¸ 4
Ý

Þ ÖØ ØØ Ð

Ø ÐÓ

Ð × ×Þ Ð×

ÖØ Ò

f10 ¹Ò -¹Ö
Ð

º ¸ Ý ØØ

4x - 3

×

f10 (x)

Ð

Ð Ø Ú ÐØ

x=
ÖØ

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

Ú Ò¸ Ñ ÐÝÒ

3 ¹ 4
3

+¹Ö

f10 ¹Ò

f10 f10
ÖØ ÐÓ Ò Ñ ´ Ö Ò
Ó Ý Ô Ð ÖØ º

3 4
Ð ÙÐ Ø

3 = 4
Þ ÐÐ

3

3 1 - =- 4 4

332 2 =- . 8 8
Ð Òµ¸ Þ ÖØ Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ¹ × Ñ

f10 (x) > 0¸
Ð × ×Þ Ð×

x > 1¸

x = 1¹ Ò¸ Ý × ØÐ ØØ × f (x) = |x| (x R)¹Ò 0¹ ØÚ f10 (x) < 0¸ x ]0, 1[¸

f (1) = 0 f (1) = 0 Ò

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½ ¿

f11

× Ø Ò

f11 (x) =

x2 + 1 2x(x2 + x + 1) - (x2 + 1)(2x + 1) = = x2 + x + 1 (x2 + x + 1)2 x2 - 1 = 0 x = ±1, = 2 (x + x + 1)2 x = -1
Ú Ý



Ý

f11 ¹Ò

x = 1¹

Ò Ð

Ø ÐÓ

Ð × ×Þ Ð×

ÖØ

º

f11 (x) =

2x(x2 + x + 1)2 - (x2 - 1)2(x2 + x + 1)(2x + 1) = (x2 + x + 1)4 x2 + 4x + 1 2x(x2 + x + 1) - 2(x2 - 1)(2x + 1) = 2 . = (x2 + x + 1)3 (x + x + 1)3

-2 < 0 = f11 ¹Ò x = -1¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ 1 Ú Òº 6 > 0 = f11 ¹Ò x = 1¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Å ×Ö ×ÞØ f11 (1) = 33 Ú Òº 2 f (-1) = 2, f (1) = º Þ ÖØ 3 f12 (x) = (x + sin(x)) = 1 + cos(x) = 0 cos(x) = -1 x = (2k + 1) (k = 0, ±1, ±2, . . .)¸ Þ ÖØ ØØ Ð Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ f12 ¹
Þ ÖØ

f11 (-1) =

Ò

¸

ÓÖ

Ò Ñ Ö

Ð ØØÙ ¸

Ó Ý

Þ

Ú ÒÝ ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ

Ò Ú Þ

¸

Ý Ò Ò
× ÐÓ

Ð × ×Þ Ð×

ÖØ

º Ð Ø ÒØ

f13 (x) = |x2 -3x+2| Ú ÒÝÖ Ð Ð Ø Ø ¸ Ó ÝÒ Ñ Ö Ò
2 Ý ÒÐ Ø ÒÙÐÐ ÐÝ Ò¸ Þ Þ x = 1 × x = 2 Þ x - 3x + 2 = 0 2 ØÓÚ Ñ Ú Ð x - 3x + 2 < 0¸ x ]1, 2[ × x2 - 3x + 2 > 0 Ý
Ô Ù ¸ Ó Ý

× Ø Ò¸

f13 (x) =
Ý

-x2 + 3x - 2 , x2 - 3x + 2 ,

x ]1, 2[ x ] - , 1[ ]2, +[ ,

f13 (x) =

-2x + 3 , 2x - 3 ,

x ]1, 2[ x ] - , 1[ ]2, +[= D. x= 3 ¸ 2
Ý ØØ Ð Ø

3 -2x + 3 = 0 x = ]1, 2[ = f13 (x) = 0¸ 2 f13 ¹Ò º ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

2x - 3 = 0 x =

3 Dº / 2 -2 , 2 , x ]1, 2[ xD , x=
Ö Ò
Ð ÐÐ ØÚ º

f13 (x) = = f13
Ú Òº

3 2

= -2 < 0 = f13 ¹Ò
Ò ´ ÓÐ f13 Ò Ñ f13 (x) > 0¸ Ú Ò

3 2

¹

Ò ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

x=1
ÖØ

×

x = 2¹
Ò × ÐÓ

Ø µ × Ð

Ø ÐÓ Ý

Ð × ×Þ Ð× ¹ Ò ×

× Ú Ò ×¸ Ñ ÖØ

x = 2¹
Å Ò Ò

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

x=1 f13 ¹Ò

x = 2¸

x = 1¹

x > 0¹Ö

4 (x + 2) - 4 x 4 x 2 x = = f14 (x) = x+2 (x + 2)2 2(x + 2) - 4x 4 - 2x = = = 0 x = 2, 2 x(x + 2) x(x + 2)2
Ý ØØ Ð Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ

f14 ¹Ò

º

f14 (x) =

-2 x(x + 2)2 - (4 - 2x)

1 (x + 2)2 + 2 x(x + 2) 2 x = x(x + 2)4

3x2 - 8x - 8 = x x(x + 2)2 3 = f14 (2) = - < 0 = f14 ¹Ò 8 2 Ú Ò¸ ÖØ f14 (2) = 2º Í Ý Ò ÓÖ f14 (0) = 0 × f14 (x) > 0¸ ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò Þ f (0) = 0 ÖØ x = 2¹ x > 0¸
к Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

Ý

x = 0¹

Ò

f14 ¹Ò

µ ÃÓÒÚ Ü Ø ×
Á×Ñ Ö Ø × Ý ´ ÓÒ ´f Ú Ø Þ Ø Ò Ú ÒÝ ÓÒÚ Ü ´ ÓÒ ÓÖ Úµ¸ ×
× ÓÖ ´
× ×Þ ÓÖ ÓÒÚ Ü Ò µº Ò ÑÓ¹ Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

f : a, b R Ö Ò
Ð Úµ¸ Þ f : a, b R
ÓÖ ×
× ÓÖ ×Þ ÓÖ ´
× Ò µºµ

f

ÒÓØÓÒ Ò Ú

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

Ý

ÓÒÚ Ü ´ ÓÒ

f : a, b R
Úµ¸ Ò

Ø×Þ Ö

Ö Ò

Ð

Ø

Ú ÒÝ

ÓÖ

×
×

ÓÖ

x ]a, b[

ÓÒÚ Ü ´ ÓÒ

º¿ º Ð
ÓÒ

غ

f 0 (f 0)º Ü × Ðݸ (x, f (x)) Ò Ü × ÔÓÒظ Ð Ø Þ r > 0¸ Úµ ]x - r, x]¹ Ò × ÓÒ Ú ´ ÓÒÚ Üµ [x, x + r[¹ Òº
Ñ ¸ Ü Ó Ý × ÐÝ Ú Ø ´ Ò Þ Ü Ú ÒÝ × ÔÓÒØ Ù µ ÓÐ ÓÐ Ú Ò Ò

Ó Ý

f
¸

À Ø ÖÓÞÞ

ÓÒÚ Ü

ÚÓ ¸ ÐÐ ØÚ

f1 (x) = -x2 + 3x - 7 f2 (x) = x2 - x + 12
2 3 2

(x R);

f3 (x) = ax + bx + c

f4 (x) = x + 15x + 6x + 1 1 f5 (x) = x + x 2x f6 (x) = 1 + x2 f7 (x) = x + sin(x) f8 (x) = ln(1 + x ) f9 (x) = e
Å ÓР׺

(x R); (x R); (x = 0); (x R); (x R); (x R);

(x R);

2

-x2

(x R).

f1

× Ø Ò

f1 (x) = -2x + 3 (x R)

=
Ü ×

f1 (x) = -2 < 0 (x R)
ÐÝ ´ÔÓÒص Ò Ò
׺

= f1 Þ f2

ÓÒ

Ú

R¹

Ò

=
Ò

Ò

Ú ÒÝ

× Ø

f2 (x) = 2x - 1 (x R)

=
Ü

f2 (x) = 2 > 0 (x R)
× ÐÝ ´ÔÓÒصº

= f2 ÓÒÚ f3 × Ø Ò

Ü

R¹

Ò

=

Ò Ò
× Ò

f3 (x) = 2ax + b
Ý ÁÒ

(x R)

=

f3 (x) = 2a (x R).
ÓÒÚ Ü

f3 (x)

a > 0 × Ø Ò f3 (x) = a > 0 = f3 = a < 0 = f3 ÓÒ Ú R¹ Òº
Ü × ÔÓÒØ ´ Ðݵ Ò Ò
× Ý × Ø

R¹

Ò¸ Ñ

a<0

× Ø Ò

Ò × Ñº

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

f4 (x) = (x3 + 15x2 + 6x + 1) = 3x2 + 30x + 6 (x R) = f4 (x) = 6x + 30 (x R) = f4 (x)
Ý Þ ÖØ

f4 (x) = 6x + 30 0 x -5 = f4

ÓÒÚ Ü ÓÒ Ú Ò × Ü Ú

[-5, +[- Ò, ] - , -5[-
Ò. ÓÞ ¸

= 6x + 30 0 x -5 = f4
Þ Ø ÖØÓÞ × ÔÓÒØ Ò ÓÒ Ðݸ ÐÐ ØÚ

f5

× Ø Ò

Ö x = -5¹ x = -5 Ò Ü

ÓÒÚ Ü Ú
× ØÐ × ÔÓÒغ

(-5, 221)

=
Þ ÖØ

1 1 =1- 2 = x+ x x 2 f5 (x) = 3 (x = 0), x
f5 (x)

(x = 0)

f5 (x) =

2 > 0, x3
Ü

x > 0,
Ò¸ ÓÒ Ú

f5 (x) =

2 < 0, x3
Ü ×

x<0

= f5 ÓÒÚ x = 0¹ Ò f6 × Ø Ò

]0, +[¹

Ú ÒÝ Ò Ò
×

ÖØ ÐÑ ÞÚ ¸

] - , 0[¹Òº

Ý Ò Ò
× Ò

ÐÝ ´ÔÓÒصº

=
´Ð × Ð Þ Ð

2 - 2x2 2x = = 1 + x2 (1 + x2 )2 4x3 - 12x (x R) f6 (x) = (1 + x2 )3 f6 (x)
Ø º Ú ÒÝ µ¸ Þ ÖØ

(x R)

Å Ú Ð

и Ó Ý Þ 0¸ x [- 3, 0]¸ ØÚ x [ 3, +[¸ ÐÐ +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº Ý f6 ÓÒÚ Ü [- 3, 0] × [ 3, f6 (x) 0 x ] - , - 3]¸ ÐÐ ØÚ x [0, 3]¸ ] - , - 3] × [0, 3] ÖÚ ÒØ ÐÐÙÑÓ ÓÒº Ý f6 ÓÒ Ú Þ ÑÙØ Ø ¸ Ó Ý Þ Ò Ü × ÐÝ - 3, 0, 3º

Ý×Þ Öò Ò

4x3 - 12x = 4x(x3 - 3) 0. 4x(x2 - 3) = 0 x = 0 Ú Ý x = - 3 Ú Ý x = 3º
Ú Ø Þ

f6 (x) 0

f6 (x) 0



4x3 - 12x = 4x(x2 - 3) 0,

f6 (x)

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

f7

× Ø Ò

=
Ð Ô Ù ¸

f7 (x) = - sin(x)
Ó Ý

f7 (x) = (x + sin(x)) = 1 + cos(x) (x R)

(x R).

= f7
ÓÒÚ Ü

f7 (x) = - sin(x) 0

x [(2k + 1), (2k + 2)]

sin(x) 0

(k Z)
ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº

f7 (x) = - sin(x) 0

[(2k + 1), (2k + 2)] (k Z)



x [2k, (2k + 1)] (k Z)

sin(x) 0

= f7
Þ Ò Ü

ÓÒ ×

Ú ÐÝ

f8

× Ø Ò

[2k, (2k + 1)] (k Z) x = k (k Z)º
f8 (x) = ln(1 + x2 ) =

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº

2x 1 + x2

(x R)

=
Ý

f8 (x) =

2 - 2x2 (1 + x2 )2

(x R).

f8 (x) 0



1 x2





2 - 2x2 0 |x| < 1





x [-1, 1]

1 - x2 0

= f8

ÓÒÚ Ü

[-1, 1]

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

f8 (x) 0


¸

1 < |x|
Ú Ó Ý Ú ÒÝ Þ Ò



2 - 2x2 0
× × ÐÝ

x ] - , -1]

1 - x2 0
Ú Ý

x [1, +[
ÓÒº

1 x2

= f8
Þ Þ

ÓÒ

] - , -1]
Ü Ò

f9

× Ø

[1, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ x = -1 × x = 1º
2

f9 (x) = e-x



= -2xe-x

2

(x R)
2

=

f9 (x) = -2e

-x2
2

+ (-2x)(-2x)e-x = (x R).

= 2e-x (x2 - 2)

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Å Ú Ð

2e-x > 0¸

2

Ý

f9 (x) 0

x2 - 2 0 x ] - , - 2] Ú
×

x2 2 |x| > Ý x [ 2, +[
ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ

2

= f9

ÓÒÚ Ü

] - , - 2]

[ 2, +[

f9 (x) 0

= f9
Þ ¸ ÓÒ Ú

x2 - 2 0 x2 2 |x| 2 x [- 2, 2]
ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº ÐÝ

[- 2, 2]
Þ Ò Ü ×

Ó Ý

x=- 2

×

x=
Ð Ø

2º

µ Ì Ð ×
Þ Ý ÐÑ Ð Ø Ò Ø ÒÙÐØ Ú ÒÝ Ø Ð ×Þ Ö ÒØ Ð Ø Ò Ð Ñ

Ú ÒÝÚ Þ×

f
½º ¾º ¿º º º º º º º

× Ú Þ×

Ø ÖÓÞÞÙ

Df

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝØ Ð ÐÐ Ò

Ù× Ú Òݹ Ó Ý f Ô ÖÓ׸ Ô Ö ØÐ Ò¸ Ô Ö f Þ ÖÙ× ÐÝ Ø¸ Df ÞÓÒ Ö ×Þ ÐÑ Þ Ø¸ ÓÐ f Ð f Ø Ö ÖØ Ø Df Ø ÖÔÓÒØ Ò f ×Þ × ÐÝ Ø¸ ÓÐÝØÓÒÓ×× ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø f Ö Ú ÐØ Ú ÒÝ Ø ´ Ú ÒÝ Øµ f , f Df ÞÓÒ Ö ×Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø¸ ÓÐ f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú f ×Þ Ð× ÖØ ÐÝ Ø × ×Þ Ð× ÖØ Ø Df ÞÓÒ Ö ×Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø¸ ÓÐ f ÓÒÚ Ü ´ ÓÒ ÐÝ Ø ´ÔÓÒØÓ × ØÐ × Ý Ò × Øµ ×Þ ÑÔØ Ø Ö Þ

´
× Úµ¸ Þ Ò Ü

Ò µ × ¹

½¼º

ظ Ñ ÐÝ

x+

Ø ´ÓÐÝ Ò l(x) = ax + b (x R) Ý ÒÐ Øò lim (f (x)-ax-b) = 0¸ ÐÐ ØÚ lim (f (x)-

x-

ax - b) = 0 a =
½½º ½¾º Ö ÞÓÐ Ù Þ

lim
x x -

f (x) b= x
Ö ÞÓÐ Ù

lim
x x -
Ö

(f (x) - ax) ;
ص

f

Ú ÒÝØ ´Ñ

f Rf

ÖØ

×ÞÐ Ø Øº

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

º¿ º Ð
Ò Ð µ µ
µ

غ

Î

ÞÞ

Ð

Ø Ð

×

Ú ÒÝÚ Þ×

Ð ØÓØ

Þ

Ð

Ú ÒÝ

¹

µ µ µ µ
Å ÓР׺

f1 (x) = x3 - 4x2 + 4x 2x f2 (x) = 1 + x2 1 f3 (x) = x + x 9x + x3 f4 (x) = x - x3 f5 (x) = x arctg(x) f6 (x) = exp(-x2 ) 1 f7 (x) = sin(x) + sin(2x) 2

(x R); (x R); (x R \ {0}); (x R \ {-1, 0, 1}); (x R); (x R);

(x R).

µ

Þ ½º ¾º

f1 (x) = x3 - 4x2 + 4x (x R) Ú ÒÝÖ Ú ÒÝ ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ò Ò x R × Ø Ò ÖØ ÐÑ Þ Ý×Þ Öò Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý f1 Ò Ñ Ô ÖÓ׸ Ò Ñ Ô
Ö Ù׺ È Ð ÙÐ

Øظ

Ý

Df1 = Rº
× Ò Ñ Ô ¹

Ö ØÐ Ò

f1 (-x) = (-x3 ) - 4(-x2 ) + 4(-x) = -x3 - 4x2 - 4x , f1 (x)¹×Þ Ð (-x3 - 4x2 - 4x = x3 - 4x2 + 4x + 4x = 0 Ñ Ò Ò x R × Ø Ò¸ Ñ Ò Ñ Þ
× x = 0¹Ö µ¸ × Ñ -f1 (x)¹×Þ Ð (-x3 - 4x2 - 4x = -x3 + 4x2 - 4x 4x2 = 0 Ñ Ò Ò x R × Ø Ò¸ Ñ Ò Ñ Þµº 3 - 4x2 + 4x = x(x2 - 4x + 4) = x(x - 2)2 = 0 f1 (x) = x x = 0, x = 2º (x - 2)2 0 x R¸ Ý f1 (x) > 0 x > 0, f1 (x) < 0 x < 0¸ Ø Ø f ÔÓÞ Ø Ú Þ R+ ¹ÓÒ¸ f Ò Ø Ú R- =] - , 0[¹Òº Df1 = R Ø ÖÔÓÒØ + × -º
Ñ Ò Ñ Ý ÒÐ × Ñ

x3

¿º

º

ÓÖ

Ò Ø ÒÙÐØ

×Þ Ö ÒØ

x- x+
º

lim f1 (x) = lim (x3 - 4x2 + 4x) = -,
x- x+
Ð Ò ÐÝ º

lim f1 (x) = lim (x3 - 4x2 + 4x) = +.
Ú ÒÝ × Ö × ÓÑ Ò
¸ Ý ÓÐÝØÓÒÓ×

f1

ÓÐÝØÓÒÓ×

R¹

Ò¸

Þ ÖØ Ò Ò
× ×Þ

½ ¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

º

f1

Ý

ÖÑ

Ó

ÔÓÐ ÒÓѸ

Ý

Ö Ò

Ð

Ø

×

f1 (x) = 3x2 - 8x + 4 (x R)

=

f1 (x) = 6x - 8 (x R).

º

f1 f1

º

f1 (x) = 3x2 -8x+4 0¸ ÓÖ ×
× ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ¸ f1 (x) = 3x2 -8x+4 0º 2 2 Å Ú Ð f1 (x) = 3x - 8x + 4 = 0 x = Ú Ý x = 2¸ Ô Ù ¸ 3 2 × [2, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ × Ó Ý f1 ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú -, 3 2 f1 ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò , 2 ¹ Òº 3 2 Þ Ð ×Þ Ö ÒØ f1 (x) = 0 x = , x = 2¸ Ý Þ Ò ÐÝ Ò 3 (x) = 6x - 8 = Ð Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ f1 ¹Ò º f1
ÓÖ ×
× ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ¸

f1 (2) = 4 > 0 = x = 2¹
Þ

Ò

f1 ¹Ò
ÖØ

ÐÓ Ð, ÐÓ

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

Ú Ò¸

f1 (2) = 0 2 ¹ 3 2 3
Ò

f1

2 3

= -4 < 0 = x =
Þ

f1 ¹Ò = 32 27

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

Ú Ò¸

f1

ÖØ

Ð.

´ º

ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ ¸ ÐÐ ØÚ

Ñ Ò ÑÙÑ

º ÔÓÒØ Ñ

ØØ Ò Ò
׺µ Þ Þ

f1 f1
Þ

ÓÒÚ Ü


Ó Ý

f1 (x) = 6x - 8 0 x f1 (x) = 6x - 8 0 x

4 ¸ 3 4 ¸ 3

4 , + 3 -, 4 3

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº ÓÒ Ú

Þ Þ

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº ¸

x=

4 3

Ò

Ü

×

Ðݺ

½¼º

×Þ ÑÔØ Ø

Ò Ò
׺

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½ ½

½½º

y

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

0 2 3 4 3 2

x

½¾º µ Þ ½º

Rf 1 = R f2 (x) =

´

Ð

×ÞÒ ÐÚ

º¹ Ø

×

f

ÓÐÝØÓÒÓ××

صº

¾º

2x Ú ÒÝÒ Ð (x R) 1 + x2 ÆÝ ÐÚ Ò Df2 = R ´ ×Þ Ò ×Þ ÑÐ Ð × 2 =0 ÑÒ Ò xR ÖØ ÐÑ Þ ØØ × 1 + x -2x f2 (-x) = = -f2 (x)¸ Ý f2 Ô Ö 1 + x2
Ô Ö Ù׺

Ò Ú Þ × Ø Òµº ØÐ Ò¸

× Ñ Ò

Ò

x R¹Ö
× Ò Ñ

Ò Ñ Ô ÖÓ×

¿º

º

f2 (x) = 0 x = 0, f2 (x) > 0¸ x > 0; f2 (x) < 0¸ x < 0¸ Ø Ú R- ¹ÓÒº Ý f2 ÔÓÞ Ø Ú R+ ¹ÓÒ¸ Ò Df2 = R Ø ÖÔÓÒØ +, - × ´ ÓÖ ×Þ Ö Òص 2x 2x = lim =0. 2 x+ 1 + x x- 1 + x2 lim

º

f2

Ø ÓÐÝØÓÒÓ×

Ú ÒÝ Þ ÖØ ×Þ ØØ

ÒÝ × Ö Ò

Ó× ¸

×

1 + x2 = 0¸ R¹
Ò ×

Ý Ñ Ò

Ò

× Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸ º À ×ÓÒÐ Ó Ó Ñ

Ò Ò
׺ Ð Ø

xR

f2

f2 (x) =
´Ð × º Ò Ú º º¿¿º Ò ÑÙÑ ¸ Ð º¿¾º µº º Ð

2 - 2x2 4x3 - 12x = f2 (x) = (1 + x2 )2 (1 + x2 )3
Ø Ò¸
× Ø Ðº Ò Ñ Ò Ñ Ò ÑÙØ ØØÙ ¸ Ó Ý Ò

[-1, 1]¹
º ÖØ Ð

ÑÙØ ØØÙ ¸

] - , -1]¹

Ó Ý

x = 1¹

Ò ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

Ú Ò¸

f2 (1) = 1

f2 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ [1, +[¹ Òº x = -1¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ ¹ Þ f2 (-1) = -1¸ ÐÐ ØÚ
×

½ ¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

2x 1 Ñ ØØ ´ ÞØ Ð 1 + x2 Ñ Ò ÑÙÑ ¸ f2 (1) = 1 ÐÓ
º º¿ º º

××

µ

Ô Ù ¸

Ó Ý

f2 (-1) = -1
º

ÐÓ

Ð ×

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

f2 ¹Ò

f2 f2
Ý ½¼º ÈË Ö

Ð Ò Ñ ÑÙØ ØØÙ ¸ Ó Ý Ø [- 3, 0] × [ 3, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ ÓÒ Ú ] , - 3] × [0, 3] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ - - 2, 0, 3 Ò Ü × ÐÝ º ÓÒÚ Ü º ÔÓÒØ ×Þ Ö ÒØ ´ Ó Ý Þ Ú Þ×Þ ÒØ × ×Þ ÑÔØ Ø Ò

Ø ×

Ð

×ÞÒ ÐÚ µ

Ô Ù ¸ Ö ÔÐ
Ñ ¹Ò º f2 ÒØ× ½½º

y=0

Ý Ò × ´ Þ

x¹Ø

Ò

Ðݵ Ú Þ×Þ ÒØ ×

×Þ ÑÔØ Ø

y 1 0 1

3

x

½¾º
µ

f2

ÓÐÝØÓÒÓ××

×

º ÔÓÒØ

¸

Ó Ý

Rf2 = [-1, 1]º

1 f3 (x) = x + (x = 0)º x ½º Df3 = R \ {0}º 1 1 = - x+ ¾º f3 (-x) = -x + -x x
Ô Ö ØÐ Òº Æ Ñ Ô ÖÓ× ¿º º × Ò Ñ Ô Ö Ù׺

= -f3 (x) (x = 0)

=

f3

f3 ¹Ò Df3

Ò Ò
× Þ ÖÙ× Ø ÖÔÓÒØ

ÐÝ ¸ Ñ ÖØ

x+

1 =0 x

x = 0º 1 0µ x 1 = -, x

-, 0, +º 1 lim x+ = - ´ ×Þ Ò x -, x- x 1 lim x + Ò Ñ Ð Ø Þ ¸ lim x+ x0 x0-0 x 1 lim x+ = + x0+0 x
´ Ø Ö ÖØ Ö Ø ÒÙÐØ Ø Ð ÐÑ ÞÚ µº

x+

lim

1 x+ x

= +º

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½ ¿

º

f3 ÓÐÝØÓÒÓ׸ x = 0¹ Ò Ò
Ñ ÐÝ Ñ ×Ó

x=0
Ñ º × Ø

´

×Þ Ò

ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ× Ý Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ׸

Ú ÒÝ ØØ ×Þ

××Þ ×

µº Ú Ò¸

ÖØ ÐÑ Þ Øظ

º º

1 f3 (x) = 1 - 2 x
º¿¾º º Ð

f3 (x) =

2 ¸ x3

x = 0º
Ò¸

×Þ Ö ÒØ Ò

f3 f3
º

×Þ ×Þ

ÓÖ ÓÖ º

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ð Ø ×Þ Ö ÒØ ÐÓ

] - , -1]¹ Ò × [1, +[¹ [-1, 0[¹ Ò × ]0, 1]¹ Òº
Ò ÐÓ ÐÓ

º¿¿º

f3 ¹Ò
Ú Ò Þ

x = 1¹ Ò f3 (1) = 2¸
º º Ð Ø

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ ¸

ÐÐ ØÚ

Ò Ò
× Ò º º¿ º

x = -1¹ f3 (-1) = -2 ÖØ Ð¸
Ú

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ð × ×Þ Ð× ÖØ

×Þ Ö ÒØ Ò¸ × × ÓÒ Ú Ò¸

f3 ÓÒÚ Ü ]0, +[¹ Ò ×Þ ½¼º x = 0¹ Ð Ø Ò Ðݵ f3
º½¿º ×Þ ÑÔØ Ø ½½º Ð º Ø

] - , 0[¹ Ò¸ Ý Þ x = 0
º Ó Ý Þ

Ò

Ü

×

ÐÝ

Ò Ò
׺

Ý ÒÐ Øò

Ý Ò × ´ Þ

y¹

×Þ ÑÔØ Ø ÑÙØ ØØÙ ¸

Ò Ñ

y=x

Ý ÒÐ Øò

Ý Ò × ×

y

2 1 0 1
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

x

½¾º µ

ÓÖ

Ð

Ò¸

Ó Ý

f4 (x) =
½º

Df4

9x + (x R \ {-1, 0, 1})º x - x3 = R \ {-1, 0, 1}º

x3

Rf3 =] - , -2] [2, +[

º

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

¾º

f4 (x) =
Ú

9x + x3 9 + x2 ¸ x Df4 ¸ Ñ = x - x3 1 - x2 2 2 ÒÝ ´(-x) = x Ñ Øص¸ Ò Ñ Ô Ö ØÐ
Ù׺ ÐÝ × Ò Ò
× Þ ÖÙ×

ÑÙØ Ø Ò ×

¸

Ó Ý

f4
Ø ¸

Ô ÖÓ× Ó Ý

ÐÐ Ò Ö Þ

Ò Ñ Ô Ö ¿º

f4 ¹Ò

9 + x2 Ú Þ× Ð Ø 1 - x2 x ] - , -1[ ]1, +[ × f4 (x) < 0¸ Df4 Ø ÖÔÓÒØ -, -1, 0, 1, +º
ÓÖ Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ

ÑÙØ Ø

¸

Ó Ý

f4 (x) > 0¸

x [-1, 1] \ {0}º

9+ = -1 Ñ ØØ lim f4 (x) = -1, x± 1 - x2 x± 9 + x2 = 9 Ñ ØØ lim f4 (x) = 9, lim x0 x0 1 - x2 lim f4 (x) = lim f4 (x) = +, lim
x-1-0 x1+0 x-1+0
º

x2

lim

f4 (x) = lim f4 (x) = -.
x1-0

f4
ËÞ

ÓÐÝØÓÒÓ׸ × × ÐÝ º ÐÝ

x Df4 ¸ Ñ -1, 0, 1º 0

ÖØ Ö
ÓÒ Ð × Ø ÖØ Ñ ×Þ ÒØ Ø Ø ¸

Ú Òݺ

-1

×

1

Ñ ×Ó

×Þ ¹

º

f4 (x) =

´×Þ Ñ Ø ×× Ð º

20x (x Df4 ) (1 - x2 )2
ÐÐ Ò Ö ÞÞ µº

×

f4 (x) =

100 (x Df4 ) (1 - x2 )2

º

20x > 0¸ f4 (x) = x Df4 R+ ¸ Þ Þ ]0, 1[ × ]1, +[¹ Òº (1 - x2 )2 20x f4 (x) = x Df4 R- ¸ Þ Þ ] - , -1[¹ Ò × < 0¸ (1 - x2 )2 ] - 1, 0[¹Òº Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ]0, 1[ × ]1, +[¸ Ý f4 ×Þ ÓÖ f4 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ]-, -1[ × ]-1, 0[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº 20x f4 (x) = 0 Df4 ¸ Ý Ò Ñ Ð Ø f4 ¹Ò = 0 x = 0¸ (1 - x2 )2
ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ º

º

20(1 + 3x2 ) > 0 |x| < 1 x ] - 1, 1[¸ Ý f4 f4 (x) = (1 - x2 )3 ÓÒÚ Ü ]-1, 0[, ]0, 1[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ × ÓÒ Ú ]-, -1[, ]1, +[
ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº Þ Ú Þ×Þ ÒØ ×

º

x = -1

×

x = 1
´Ñ

Ý Ò × ÖØ µº

Ð

׸ Ñ

Þ

×Þ ÑÔØ Ø

y = -1

Ý Ò ×

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

½¼º

y

9
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

0 -1

1

x

½½º µ

ÒØ

Ð Ð ÓÐÚ ×

Ø ¸

Ó Ý

f5 (x) = x arctg(x) (x R)º ½º Df5 = R ¾º f5 (-x) = -x arctg(-x) = x arctg(x) = f5 (x) = f5
Ô Ö ØÐ Ò × Ò Ñ Ô Ö Ù׺ ¿º

Rf4 = R \ [-1, 9]º

Ô ÖÓ׸

Ò Ñ

º

f5 (x) = 0 x = 0º f5 (x) > 0¸ x = 0 ´Ñ ÖØ x > 0 = arctg(x) > 0, x < 0 = arctg(x) < 0µº Df5 Ø ÖÔÓÒØ -, +º lim x arctg(x) = + ´Ñ ÖØ lim x = +, lim arctg(x) = 1¸
x±
ÐÐ ØÚ

x+

x+

x-
Ò

lim x = -, xR

x-

lim arctg(x) = -1µº
Ú ÒÝ ×ÞÓÖÞ Ø µº

º º º

f5

Ñ Ò

× Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ× ´ ÓÐÝØÓÒÓ×

º

x 2 (x R) × f5 (x) = (x R)º f5 (x) = arctg(x) + 2 1+x (1 + x2 )2 f5 (x) = 0 x = 0 × f5 (x) > 0 x > 0, f5 (x) < 0 x < 0¸ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú [0, +[¹ Ò¸ Ý f5 ×Þ ÓÖ f5 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ] - , 0]¹ Òº Ñ f5 (x) = 0 x = 0 Ñ ØØ
× ØØ Ð Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ º (0) = 2 > 0 Ñ ØØ x = 0¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò f ¹Ò f5 Þ 5 f5 (0) = 0 ÖØ Ð¸ Ñ ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ ×¸ ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ ´ º Ñ ¹
Øص Ò Ò
׺

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

º ½¼º ½½º

f5 (x) =

2 >0 (1 + x2 )2
Ò Ò
׺

Ñ Ò

Ò

xR
y

× Ø Ò¸

Ý

f5

ÓÒÚ Ü

R¹

Òº

×Þ ÑÔØ Ø

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

0
½¾º µ

x

Rf5 = [0, +[ exp(-x2 )

º

f6 (x) = ½º Df6 = R
¾º Ô Ö ØÐ Ò ¿º º

= e-x (x R)º
Ô ÖÓ׸ Ò Ñ Ù׺

2

f6 (-x) = exp(-(-x)2 ) = exp(-x2 ) = f6 (x) = f6
× Ò Ñ Ô Ö
2

y+
Ö º

f6 (x) = e-x > 0 Ñ Ò Ò x R × Ø Ò¸ Ý Þ ÖÙ× ÐÝ Ò Ò
׺ Df6 = R Ø ÖÔÓÒØ -, +º 1 lim exp(-x2 ) = = 0 ´ ×Þ Ò lim x2 +, x± x± exp(x2 ) lim exp(y) = + × Ð ÐÑ Þ Ø Þ ××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ
ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò Ò
× ×Þ Ø Ø Ðµº × ÐÝ ¸ Ñ ÖØ Þ

Ø Ö ÖØ ¹

º º

º

exp × x -x2 (x R) ¹ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×× Ñ ØØ ÓÐÝØÓÒÓ× R¹ Òº f6 (x) = -2x exp(-x2 ) × f6 (x) = (4x2 - 2) exp(-x2 ) (x R)º f6 (x) = -2x exp(-x2 ) > 0¸ x < 0 ´ ×Þ Ò exp(-x2 ) > 0µ × f6 (x) = -2x exp(-x2 ) < 0¸ x > 0¸ Ý f6 ] - , 0]¹ÓÒ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ¸ [0, +[¹ Ò ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò º Ñ f6 (x) = -2x exp(-x2 ) = 0 x = 0¸ Þ ÖØ ØØ Ð Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ¹ ÖØ f6 ¹Ò º (0) = -2 < 0 Ñ ØØ x = 0¹ Ò f ¹Ò f6 ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ò¸ ´Ñ ÐÝ 6 ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ ×µ Þ f6 (0) = 1 ÖØ Ðº f6 ¹Ò
´ ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ò
׺µ

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

2 2 2 2 º f6 (x) = (4x - 2) exp(-x ) 0 4x - 2 0 |x| ¸ 2 2 f6 (x) 0 |x| ¸ Ý 2 2 2 -, - f6 ÓÒÚ Ü × , + ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ¸ ÓÒ Ú 2 2 2 2 - ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº , 2 2 2 2 , Þ Ò Ü × ÐÝ - º 2 2 ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ× Þ y = 0 Ý Ò × ´x¹Ø Ò Ðݵ Ú Þ×Þ ÒØ × ×Þ ÑÔØ Ø º ½¼º f6 ¹Ò
½½º

y 1 x

-
½¾º µ

2 2

0



2 2

Rf6 =]0, 1]º

1 f7 (x) = sin(x) + sin(2x) (x R)º 2 ½º Df7 = R
¾º

f7
׸

Ô Ö ØÐ Ò ´Ñ ÖØ

sin
Þ ÖØ

Ú ÒÝÒ

sin(x) × 2 Ô Ö

1 2

sin(2x)
Ù× ¸ Ý

×

Þµ¸ Ø

Ò Ñ Ô ÖÓ׺ ×Þ Ö × ¸ Ô Ð ÙÐ

ÒÒ

4

f7 (x + 2) = sin(x + 2) +

× Ø Ò¸ Ø × Ô Ö

Ø

1 sin(2(x + 2)) = 2 1 = sin(x + 2) + sin(2x + 4) = 2 1 = sin(x) + sin(2x) = f7 (x) (x R) 2 f7 2 ×Þ Ö ÒØ Ô Ö Ù× Ú ÒÝ ´2 Ý
Þ ÞØ ×¸ Ó Ý Ú Þ× Ð Ø Ò Ð Ð ×ÞÓÖ Ø ÓÞÒ º Ø

ÒØ

Ð

¹

Ù× µº

[0, 2]

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ ¿º Þ

f7

Þ ÖÙ×

ÐÝ

[0, 2]¹

Ò

Ø ÖÓÞÞÙ

Ñ

Ð ×Þ Ö

sin(x) +

1 sin(2x) = sin(x) + sin(x) cos(x) = 2 = sin(x)[1 + cos(x)] = 0

½

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

º

1 + cos(x) = 0 x = 0, x = , x = 2 º f7 (x) = 0 x = k (k Z)º x [2k, (2k + 1)] × Ý×Þ Öò Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý f7 (x) > 0¸ f7 (x) < 0¸ x [(2k + 1), (2k + 2)] (k Z)º Df7 Ø ÖÔÓÒØ - × +º Ð Ø Ø ¸ Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ lim f7 (x)º sin(x) = 0
Ú Ø Þ ¸ Ú Ý Ð Ó Ý



x±

Þ

ÞÓÒ

Ð Ô×Þ

¸

Ó Ý Ñ Þ Ø ÖØ

ØÙ ÙÒ ×ÓÖÓÞ ØÓ

Ú Ð ×ÞØ Ò ÓÐÝ Ò Ø¸ ÓÖ Ó Ý Þ Ð

+¹
Ä

ÞÑ

Ý Ò Ô Ð

ÙÐ

-¹

Å ×Ö ×ÞØ Ð

f7 (xn ) = 0 0º
Ý Ò

xn = n (n N)¸ yn =

n

xn × y n lim f7 (xn ) = lim f7 (yn )º
n
Ñ ØØ

+ 2n (n N)¸ 3 2 3

ÓÖ

1 sin + sin 3 2

3 3 3 3 + = = 2 4 4

º

º

º

3 3 3 3 Ñ ØØ f7 (yn ) = = 0º 4 4 lim f7 (x) Ú Þ× Ð Ø Þ xn = -n, yn = - 2n (n N) ×Þ Ö ÒØ x- 3 × yn ×ÓÖÓÞ ØÓ Ð Ø ÖØ Ò Øº Ò ÐØ xn f7 Ñ Ò Ò ØØ ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ñ ÖØ Þ x sin(x) Ú Òݸ ÐÐ ØÚ Þ x 2x Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×× Ñ ØØ Þ x sin(2x) Ú ÒÝ × Þº Þ ÖØ f7 ¹Ò Ò Ò
× ×Þ × º (x) = cos(x) + cos(2x) = f7 (x R). = f7 (x) = - sin(x) - 2 sin(2x) (x) = cos(x) + cos(2x) = cos(x) + cos2 (x) - sin2 (x) = f7 = cos(x) + cos2 (x) - (1 - cos2 (x)) = 2 cos2 (x) + cos(x) - 1 = 0. À 2 cos2 (x) + cos(x) - 1 = 0, cos(x)¹ Ò Ñ ×Ó Ó Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ¹ 5 ÓÐ Ù [0, 2]¹Ò¸ Ý x = , x = º , x= 3 3 5 , 2 × f7 (x) 0¸ Ð Ø Ø ¸ Ó Ý f7 (x) 0¸ x 0, Ú Ýx 3 3 5 x ´[0, 2]¹ Òµº , 3 3 Þ × Ô Ö Ó
Ø × ¸ Ó Ý f7 ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú 5 - + 2k, + 2k ¸
× Ò + 2k, + 2k (k Z) ÒØ Ö¹ 3 3 3 3
Ú ÐÐÙÑÓ ÓÒº

Á

Ê

Æ

ÁýÄÀ

Ì

Î

Æ

à ÎÁ

Ë

ýÄ

Ì

½

º Ú

Þ Ý

Ð

Ð ØØÙ ¸

Ó Ý

f7 (x) = 0 [0, 2]¹

Ò¸

x =

5 º 3 (x) = - sin(x) - 2 sin(2x) f7 < 0, f f7 () = 0, f7 7 3 x=
ÐÝ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ ¸ Ò Þ

3
¸

Ú

Ý

x =

Ú ×ÞÓÒØ Ö Ú

×Þ ÑÓÐ ×× Ð Þ ÖØ

Ó Ý Þ

f7 () = 0 Ñ ØØ ×Þ × f7 (x) = - cos(x) -
×Þ Ð× ÖØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º Þ ×Þ Ð× ××Þ Ñ Þ ÖØ ÞÚ

Ú Ò Ñ

5 3 5 3

> 0¸
ÐÝ Ò Ô ×

f7 ¹Ò
ÐÓ

[0, 2]¹Ò

x=
Ú Òº

3

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ú ÐØÖ ×º Ý ´

Ö Ò ò

4 cos(2x) = f7 () = -3 = 0¸ Ò ÐØ Ð ÒÓ× Ø Ø Ð Ñ Øص x = ¹

ÐÓ

Ð × Ð ×

Ò Ò
× ÐÓ

f7 ¹Ò f7 ¹Ò

x=

º

5 + 2k (k Z) ÐÝ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Òº 3 5 3 3 3 3 Þ ÖØ f7 × f7 º = =- 3 4 3 4 f7 (x) = - sin(x) - 2 sin(2x) = - sin(x) - 4 sin(x) cos(x) = - sin(x)(1 + 4 cos(x))¸ Ý 1 + 4 cos(x) 0 Ñ ØØ
f7 (x) 0 - sin(x) 0 sin(x) 0,
Ñ ´sin Ú ÒÝ Ð ÐÚ ×ÞÓÒÝ Ò ×Ñ Ö Ø ÓÒ Ú Òµ ¸ Ó Ý

+ 2k (k Z) 3

ÐÝ

Ò ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ ¸

f7 (x) 0 - sin(x) 0 sin(x) 0

f7

ÓÒÚ Ü Ü ×

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒº Þ Ò ÈË Ö ÐÝ

[(2k + 1), 2k] (k Z)¸
Ý Ò Ò
× Ò º

[2k, (2k + 1)] (k Z)

½¼º ×Þ ÑÔØ Ø Ö ÔÐ
Ñ ÒØ× y ½½º

x = k (k Z)º

3 3 2 0 3
½¾º Þ Ð ¸ Ó Ý



x

Rf 7

3 3 3 3 = - , 4 4

º

¾¼¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

Ý ÓÖÐ
½º À Ø ÖÓÞÞ ÖØ ¾º ظ Ò
Ñ Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ð Ô Ø ÖÓÞÞ Ö Ò
Ð ÒÝ Ò Ú Þ× Ñ Ñ Þ Ð

Ð

Ó× Øº

ØÓ
x
Ú ÒÝ

f : R+ R, f (x) =
Ö Ú ÐØ Ú ÒÝ

x0 = 1, x = 1, 21
Ö Ò
Ð Ø × ¹

Ú ÒÝ Ø

f1 (x) =

1 (x = 0); x2 f3 (x) = -x2 + 3x - 2 (x R);
Ñ Þ Òº Ñ Þ

f2 (x) = -2x + 3 (x R); f4 (x) = |2x + 3|
Ú ÒÝ

(x R).
Ø

¿º À Ø ÖÓÞÞ ÔÓÒØ

f (x) = x3 - 3x + 1 (x R)
Ð Ú ÒÝ Ö Ò
Ð

Ö ÒØ

(2, 3)

º À Ø ÖÓÞÞ

ÒÝ

Ó×

Ú ÒÝ Øº

f3 (x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) f4 (x) = - 7x + 3 + x2 + 1 f5 (x) = (-2x2 + 3x)100 x4 x+ x+ x 5x3

f1 (x) = -3x4 + 2x2 - 3x + 1 f2 (x) = -3x - 4 x

(x > 0);

(x R);

(x R); (x R); (x R); (x R); (x R); (x ] - 1, 1[ ); (x ]0, 2[ ); (x R); (x R); (x > 0); (x ]0, [ ); (x R);

f6 (x) =

f7 (x) = (3x + x2 ) 5 (2x + 3)4 f8 (x) = 3 sin(2x) - 4 sh(x2 ) f9 (x) = e
2x+1

+ arccos(x ) x2 2 2x2 x4 + 3

2

f10 (x) = 3x2 ex + ctg f11 (x) = 2sin(x
2 +1)

f12 (x) = x5 arcctg f13 (x) = xx
x

f14 (x) = (sin(x))cos(x)

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

¾¼½

º

Ñ

Þ

Ð

Ú ÒÝ

Ð

ÖØ

Ñ

×

Ö Ò ò

Ö Ú ÐØ

غ

f1 (x) =

2 + tg(x) x2 f2 (x) = 3x + 2

f3 (x) = ln(x2 ) f4 (x) = (x3 + 3x2 + 2) cos(3x), f5 (x) = (x2 - 2x)e-4x f6 (x) = e2x · ch(2x)

(x ]0, [ ), 2 2 (x > - ), 3 (x = 0), (x R) (x R), (x R),

f1 (x) =?;

f2 (x) =?; f3 (x) =?;
10 f4 (x) =?; (n)

(n)

f5 (x) =?; f6
(100)

(n)

(x) =?; 3

º Î Þ×

Ð

Ñ

¸

Ó Ý

Ð

ÐÑ Þ

Ø ¹

ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð

Þ

f1 (x) =
Þ

Ú ÒÝÖ º Î Þ× Ú ÒÝÖ º Ð Ñ

[0, 8]
¸

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº Ð ÐÑ Þ Þ Ø ¹
3 4

x2 - 2 3 x

Ó Ý

Ä

Ö Ò

¹Ø Ø Ð

[-1, 1]¸

ÐÐ ØÚ Ä Ö Ò

f2 (x) = x
Ð

Ú ÒÝÖ

f1 (x) = |x| ¹ [0, 16] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº

ÞÓÒÝ Ø×

¹Ø Ø Ð

×ÞÒ Ð × Ú Ð¸

Ó Ý

x-y < ln x
º À Ø ÖÓÞÞ Ú ÒÝ ½¼º Ñ ×ÓÖ Ø¸ Ú Þ× ½½º Ø ½¾º Ñ Þ

x y

<

x-y , y
×

0 Þ

0
Þ Ð

ÔÓÒØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ

f1 (x) = ch(x) (x R)

f2 (x) = a= ¹ 2

3

Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Øº Ú ÒÝ Ò
Ø

1 + x (x -1)
Ì ÝÐÓÖ¹

f (x) = cos(x) (x R)
Ñ ÒÒ ÓÒÚ Ö Ø× Ðº ÐÐÝ Ð ×Þ Ñ Ø× Ú Ð ×Þ Ñ Ø×

Þ Ø ÖØÓÞ Þº

Ú ÒÝ

Ì ÝÐÓÖ¹Ø Ø Ð ×

arctg 0, 8
Þ Ð

1,01 × 1, 1
Ø Ö ÖØ

Þ Ð Ø

ÖØ ¹

10-4

ÔÓÒØÓ××

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

غ

ax - 1 (a > 0); x0 x ch(x) - cos(x) ; lim x0 x2 lim

tg(x) - sin(x) 1 - cos(2x) ; ; lim x0 x2 sin(3x) x2 - 3 x ln(x) lim ; (µ = 0); ; lim 3 x+ xµ x1 x-1
x0

lim

¾¼¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê

Æ

ÁýÄË

ýÅ ÌýË

xn ax ; (n N, a = 0); lim n ; (n N, a = 0); x+ eax x+ x 1 1 1 1 1 1 1 - x - - ; lim ; lim lim x1 ln(x) x0 x x0 x e -1 x-1 th(x) tg(x) lim
½¿º À Ø ÖÓÞÞ Ñ Ú Ø Þ Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ ×Þ ×Þ Ø

;

f1 (x) = 5x2 - 7x + 2
3 2

f2 (x) = ax + bx + cx + d f3 (x) = x2 arctg(x) 4 x f4 (x) = x+2

(x R); (x 0).

(x R);

(x R);

½ º Ã Ö ××

Ñ

Þ

Ð

Ú ÒÝ

ÐÓ

Ð ×

×

ÐÓ

Ð × ×Þ Ð×

ÖØ

Ø

f1 (x) = ax3 + bx2 + cx + d 1 f2 (x) = cos(x) + cos(2x) 2 f3 (x) = ex sin(x) f4 (x) = |x - 3x + 2| f5 (x) = 5 - 4x
2

(x R); (x R); (x [-3, 10]); (x [-1, 1]); (x [0, 10]).
×

(x R);

f6 (x) = sin(x + 1) cos(x + 2)
½ º À Ø ÖÓÞÞ Ò Ü × Ñ ÐÝ Ø Ú Ø Þ Ú ÒÝ

ÓÒÚ Ü

ÓÒ

Ú ×Þ

×Þ

ظ

f1 (x) = ax3 + bx2 + cx + d f2 (x) = f3 (x) = 1 + x2 x4 (1 + x)3

(x R); (x R); (x = -1); (x R).

f4 (x) = |x|e-|x-1|

ÃÇÊÄ

Ä

ÌÇÃ

¾¼¿

½ º Î

ÞÞ

Ð

Ø Ð

×

Ú ÒÝÚ Þ×

Ð ØÓØ

Þ

Ð

Ú ÒÝ

Ò Ð

f1 (x) = ax + bx + cx + d f2 (x) = x4 (1 + x)3

3

2

(x R); (x = -1); (x R); (x = ±1); (x R); (x R); (x = -1).

1 cos(2x) 2 x(x2 + 1) f4 (x) = x2 - 1 2 x f5 (x) = x e f3 (x) = cos(x) + f6 (x) = e sin(x) 1-x f7 (x) = (1 + x)2
x

ÁÖÓ ÐÓÑ
½ ¾ ¿ ½¼ ½½ ½¾

ÝÞ
º Ⱥ¸ Å Ø Ñ Ø
Ô ×ظ ½ º Ý Ø Ñ Ý Ø Ñ Ý Ø Ñ ÝÞ Ø¸ ÝÞ Ø¸ Å Ø Ñ Ø Å Ø Ñ Ø ÁýÃ × ÁÒ ÓÖ¹ × ÁÒ ÓÖÑ ¹ ÒÝÚØ Ö¸ ÒÝÚ ¹ ¹ Ö
Ò¸ ¾¼¼¾¹¾¼¼¿º

Ý Ñ ÓÚ
׸ Ä Ä
Ø ÒÝÚ

Ò ÐÞ×

Ð

Ø Ýò Ø Ñ Òݸ

Ì Ò¹

ú¸

¸

Ò Ð Þ × Á¹ÁÁº¸

Ù

Ñ Ø

ú¸ à РÙÐÙ× Áº¸
ÁÒØ Þ Ø¸

ÁÒØ Þ Ø¸

Ä
¸

ú¸ à РÙÐÙ× Áº¸
Ô ×ظ ½ º

Ö
Ò¸ ¾¼¼¾º ÝÞ Ø¸ ÑÓ Ý Ø Ñ

Ä Ò Ð Ö Äº Ä × Ó¸ Áº Áº Å
Ù

Ö
Ò¸ ¾¼¼¿º

Ë
ÔÔ º¸ Ò Ð Þ × Áº¸ Ó ×
×Ù ¸ º ú

ÝÞ Ø¸ Ì Ò

ÔÓ×ÞÓ
Ù

Áº¸ Áº¸

ÔÓ Ñ Ø Ñ Ø
× ×Þ ÓÑÙ Ò Ð ÞÙ¸ Î Ú Þ Ø × Þ Ò ÐÞ× ¸ Ý Ø Ñ
º Ù ¸ Ô ×ظ ½ ¾º

Ó ¸  º Àº¸ ËÞÔÖ ÒÓ
×Ò
×Ó Ë ÓÐÓ¸ à ÝÞ Ø¸ Ì Ò Ý Ø Ñ Ú¸ ½ ÒÝÚ º ¸

Å

Ô ×ظ ½

Ö Ò
й × ÒØ Ö Ð×Þ Ñ Ø × Áº¸
º¸ Å Ø Ñ Ø
¸ Ù

ÝÞ Ø¸ Ì Ò¹ Ù ¹ ݹ º ¸

ÅÓÒ

ÒÝÚ

Ð×ÓÒ¸
º ÒÝÚ

Ô Ð Ø Ö¸
¾º

È Ò Ñ¹Å

Ö Û¹À Ðи Ý Ø Ñ ¸

Ê Ñ Ò Âº¸ Å Ø Ñ Ø
Þ Ø¸ Ì Ò

Ô ×ظ ½

Ò ÐÞ× Ð
Ô ×ظ ½

Ø Ýò Ø Ñ ÒÝ Á¹ÁÁº¸
ÃÌ ¸ Ä
ÙÑ Ã

Ê Ñ Ò Âº¸ Å Ø Ñ Ø Ò Ð Þ × Áº¸ ̺¸ à РÙÐÙ× Ô Ð Ø Ö × Ð ËÞ
¾¼¼¼º

ØÓ

Ö¸ ½

¸ ÈÓÐÝ ÓÒ

ÝÞ ØØ Ö¸ ËÞ

¾¼



Hasonló témájú dokumentumok

Analízis I. vizsgazárthelyi 2006.01.06

- 2009-10-13 16:10:12

matek

- 2008-12-29 19:27:15

2009 Kalkulus Definíciók

- 2010-01-21 20:33:27

Analízis 3 - Kidolgozott beugró

- 2009-02-24 10:13:00

2. mintazh

- 2011-03-02 20:00:15

kisokos

- 2009-12-23 08:50:10

matematika

- 2008-12-29 19:26:07

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Töltsétek ki a Tantárgyi adatlapokat a tantárgyak oldalain. Fontos lehet a tantárggyal kapcsolatos információ vagy az előadóval való egyszerű kapcsolattartás végett. Az adatlapot csak akkor módosíthatod ha az adott tárgyat a saját tárgyaidhoz adtad.