KreditVadász - Gazdmat. I. kidolgozott tételsor

Gazdmat. I. kidolgozott tételsor

Országok listája Hungary Harsányi János Főiskola Turizmus-vendéglátás GazdaságmatematikaGazdmat. I. kidolgozott tételsor

2009.03.15 17:25:12

(10)

Szerző: Vidák Ádám
Cimkék: kidolgozott, tétel, halmazok, deriválás, elméleti matek, monotonitás fogalma, bizonyítások, definíciók, matek

A dokumentum letöltéséhez be kell jelentkezned!

Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.

1 Mqveletek halmazokkal, halmazok számossága.
D. A halmaz meghatározott dolgok összessége.

A halmaz megadásánál lényeges követelmény, hogy egyértelmqen el lehessen dönteni, hogy egy objektum beletartozik-e a halmazba, vagy nem.

Jelölések:
a ( A: a eleme az A halmaznak,
a ( A: a nem eleme az A halmaznak,
A ( B: A részhalmaza B-nek, vagyis A minden eleme eleme a B halmaznak,
A ( B: A tartalmazza B-t, B részhalmaza A-nak,
A = B: az A és a B halmaz egyenlQ, vagyis elemeik közösek.
A ( és a ( jelöléseket nem használjuk. Nyilván A = B akkor és csak akkor, ha A ( B és
A ( B.

A halmaz megadása történhet A = {a, b, c} alakban az elemek felsorolásával, vagy A =
= {x: x-re vonatkozó állítás} alakban, ahol az A elemei azon x-ek, melyre az állítás teljesül.

Mqveletek:
Egyesítés mqvelete: A ( B = {x: x ( A vagy x ( B}.
Mqveleti szabályok:
A ( B = B ( A (kommutativitás)
A ( (B ( C) = (A ( B) ( C (asszociativitás)
A ( B = B akkor és csak akkor teljesül, ha A ( B (elnyelési tulajdonság).
Metszet mqvelete: A ( B = {x: x ( A és x ( B}.
Mqveleti szabályok:
A ( B = B ( A (kommutativitás)
A ( (B ( C) = (A ( B) ( C (asszociativitás)
A ( B = B akkor és csak akkor teljesül, ha A ( B (elnyelési tulajdonság).
A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C) (disztributív tulajdonság)
A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C) (disztributív tulajdonság).
Kivonás mqvelete: A - B = {x: x ( A és x ( B}.

D. Üres halmaznak nevezzük azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, jelölése Ø.
D. A és B halmazok diszjunktak, ha nincs közös elemük, azaz A ( B = Ø. Több halmaz diszjunkt, ha bármely kettQnek nincs közös eleme.
Az üres halmaz számossága 0, a véges halmaz számossága az elemeinek a száma. A problémát csak a végtelen halmazok okozzák.

D. Két halmaz, A és B egyenlQ számosságú, ha van olyan f: A ( B függvény, amely bijektív.

A definíció alapján az N és a pozitív páros számok hamazának a számossága megegyezik, noha az utóbbi részhalmaza az elQbbinek. A bijektív f függvény f(x) = 2x.

D. Az A halmaz megszámlálható, ha A üres, ha A véges halmaz, vagy ha A N-nel egyenlQ számosságú. Ha A végtelen halmaz, de megszámlálható, akkor a számossága megszámlálhatóan végtelen.

Ha A N-nel egyenlQ számosságú, akkor létezik f: N ( A bijektív függvény, ami azt jelenti, hogy A elemeit sorozatba rendeztük. A megszámlálhatóan végtelen számosság tehát ekvivalens a sorozatba rendezhetQséggel.

T. Ha az A1, A2, ... halmazok megszámlálhatóak, akkor egyesítésük is megszámlálható.

B. Rendezzük sorozatba az egyes Ak halmazok elemeit:
A1: a11, a12, a13, a14, ...
A2: a21, a22, a23, a24, ...
A3: a31, a32, a33, a34, ...
...
Ún. átlós kiválasztással készítsük el a következQ sorozatba rendezést: a11, a12, a21, a13, a22, a31, a14, a23, a32, a41, a15, ... . Ha az A1, A2, ... halmazok nem voltak diszjuktak, akkor a sorozatban ismétlQdések vannak, de ezeket kihagyva a sorozatba rendezés megmarad.

K. A racionális számok halmaza megszámlálható.

B. Legyen az Ak halmaz a k nevezQjq törtek halmaza (akkor is, ha a tört egyszerqsíthetQ). Ak nyilván megszámlálható, és az Ak-k egyesítése Q.

T. Az [a, b] halmaz, ha a < b, akkor nem megszámlálható.

B. Tegyük fel, hogy megszámlálható halmaz, akkor létezik olyan f: N ( [a, b] függvény, amelyik bijektív. Osszuk fel [a, b]-t két intervallumra úgy, hogy az osztópont f(1)-tQl különbözQ legyen. Ekkor valamelyik zárt részintervallum nem tartalmazza f(1)-et jelöljük ezt a részintervallumot [a1, b1]-gyel. Hasonlóan [a1, b1] felosztásából kaphatunk egy [a2, b2] (
( [a1, b1] részintervallumot, mely nem tartalmazza az f(2)-t. Az eljárást folytatjuk, a k-adik lépésben kapott új [ak, bk] intervallum is része lesz az elQzQnek és nem tartalmazza f(k)-t. A Cantor axióma szerint az intervallumoknak van közös pontjuk, legyen ez x. Az f bijektív volta miatt valamilyen n-re f(n) = x, de mivel [an, bn] nem tartalmazza f(n)-et, x-et sem tartalmazhatja, ami ellentmondás.

A nem megszámlálható számosságok között további megkülönböztetéseket lehet tenni, de erre nem térünk ki.

2 Függvény definíciója, összetett és inverz függvény, sorozat definíciója.
D. Az f: X ( Y vagy röviden az f függvény hozzárendelés, mely az X halmaz minden eleméhez hozzárendel egy Y-beli elemet.

D. Az X az f függvény értelmezési tartománya, amit D(f)-fel is fogunk jelölni (angol: domain). Az Y azon elemeit, amelyek a hozzárendelés során szóba jönnek az f értékkészletének nevezzük és R(f)-fel jelöljük (angol: range).

D. Az f: X ( Y függvényt
szürjektívnek nevezzük, ha R(f) = Y,
injektívnek nevezzük, ha x ( x' esetén f(x) ( f(x'),
bijektívnek nevezzük, ha injektív és szürjektív.
(Szürjektív, ha a leképezés nem Y-ba, hanem Y-ra történik, injektív, ha a leképezés kölcsönösen egyértelmq.)

D. Legyen f: X ( Y és g: Y ( Z, akkor h = g æ% f: X ( Z, az a függvény ami x ( X-hez az g(f(x)) ( Z értéket rendeli hozzá. g æ% f függvényt összetett függvénynek nevezzük.

D. Legyen f: X ( Y bijektív függvény. Az f függvény inverzének nevezzük az f -1:Y ( X függvényt, melyre y = f(x) esetén f -1(y) = x.

A bijektív tulajdonság az inverz függvény létezéséhez kell, ha az y = f(x) mellett y = f(x') is teljesül, akkor f -1(y) nem definiálható egyértelmqen: értéke x is és x' is lehetne. Nyilván, ha
f -1 létezik és h = f -1 æ% f, akkor h(x) = x.

A továbbiakban N jelöli a természetes számok halmazát: N = {1, 2, 3, ...}.

D. Az f: N ( Y függvényt (az Y elemeibQl álló) sorozatnak nevezzük. Az f függvény megadása legkényelmesebben úgy történik, hogy megadjuk azokat az y1, y2, y3, ... Y halmazhoz tartozó elemeket, melyekre f(n) = yn (n = 1, 2, ...). Ez a sorozat szokásos felírási módja.

3 Valós számok tulajdonságai.
A természetes számok N halmaza az összeadás és a szorzás mqveletére zárt, vagyis a mqveletek N-en belül elvégezhetQk. Nem végezhetQ el azonban a kivonás és az osztás. A kivonás elvégezhetQségének az érdekében bQvítsük ki N-et a 0-val és a negatív egészekkel. Az így elQálló számhalmaz az egész számok halmaza, jelölése Z. Az osztás elvégzésének érdekében be kell vezetni a tört számokat, vagyis azokat a számokat, melyek két egész hányadosaként elQállnak. Az így kapott számhalmaz a racionális számok halmaza, jelölése Q.
Q-ban az osztás is - a 0-val való osztás kivételével, de ezt mindig ki fogjuk zárni - elvégezhetQ. Az alapmqveletekre nézve zárt halmazt számtestnek nevezzük.

Már Euklidesz észrevette, hogy a racionális számok halmaza - bár a négy alapmqvelet mindig elvégezhetQ - nem elég bQ, ugyanis az egységnyi oldalú négyzet átlójának a hossza racionális számmal nem adható meg. Tegyük fel ellenkezQleg, hogy EMBED Equation.3 , ahol p és q relatív prímek (vagyis a törtet nem egyszerüsíthetQ alakban írtuk fel), akkor 2q2 = p2. EbbQl látható, hogy p páros, legyen p = 2k. Ezt felhasználva q2 = 2k2, azaz q is páros, ami ellentmond a relatív prím tulajdonságnak.

Ha a racionális számhalmazt a EMBED Equation.3 -vel bQvítjük, azaz képezzük az a EMBED Equation.3 + b számok halmazát (a ( Q, b ( Q), akkor újra számtestet kapunk, azonban ez sem tartalmazza a EMBED Equation.3 -at, EMBED Equation.3 -öt, EMBED Equation.3 -t, stb. Ilyen konkrét bQvítési lépésekkel nem jutunk célhoz.

A valós számok definiálása hasonlatos a geometriában az egyenes definiálásához: alapfogalomnak tekintjük, és a tulajdonságaival jellemezzük. A tulajdonságokat három csoportba soroljuk.

Mqveleti szabályok. A valós számok tartalmazzák Q-t és számtestet akotnak. Definiálva van az összeadás és a szorzás mqvelete. Mindkét mqvelet kommutatív (a +b = b + a, ab =
= ba) és asszociatív (a + (b + c) = (a + b) + c és a(bc) = (ab)c ). A két mqveletet a disztributív szabály köti össze: a(b + c) = ab + ac. Mindkét mqveletnek van neutrális eleme: az összeadásnál ez a 0, a szorzásnál az 1, melyre a + 0 = a, a·1 = a. Mindkét mqveletnek van inverz mqvelete: bármely a-hoz van olyan x, hogy a + x = 0, és ha a ( 0, akkor van olyan y hogy ay = 1. Az ilyen x-et - a-val, y-t EMBED Equation.3 -val jelöljük. A kivonás mqvelete a - b = a + (- b), az osztás mqvelete EMBED Equation.3 képlettel definálható.
Rendezés. A valós számok között < jellel jelölt rendezési reláció definiálható. Bármely
a ( b számokra vagy a < b, vagy b < a teljesül (de mindkettQ nem). A rendezési reláció tranzitív: ha a < b és b < c, akkor a < c. A rendezési reláció összhangban van a mqveletekkel, vagyis a < b esetén bármely c-re a + c < b + c, és bármely c-re, melyre 0 < c, ac < bc.

Az egyenlQtlenségek kényelmesebb kezelése érdekében a > b ugyanazt jelenti, mint b < a, és
a ( b azt jelenti, hogy vagy a < b, vagy a = b. Hasonlóan értelmezhetQ a ( jel is.

Intervallumnak nevezzük azon valós számok halmazát, melyek két adott szám közé esnek. pontosabban az [a, b] zárt intervallum definíciója [a, b] = {x: a ( x ( b}, az (a, b) nyílt intervallum: (a, b) = {x: a < x < b}. Értelemszerqen definiálhatók az [a, b) és az (a, b] félig zárt intervallumok is, pl. [a, b) = {x: a ( x < b}.

Teljességi axióma (Cantor): TetszQleges [a1, b1] ( [a2, b2] ( [a3, b3] ( ... fogyó, zárt intervallumokból álló sorozatra EMBED Equation.3 Ø.
Ez a tulajdonság fejezi ki, hogy a számegyenesrQl már további számok nem hiányoznak. Ez az axióma teszi lehetQvé a valós számoknak végtelen tizedes törttel történQ megközelítését, pontosabban azt, hogy egy végtelen tizedes tört tényleg megad egy valós számot.

Összefoglalva a valós számok a testaxiómáknak, a rendezési axiómáknak és a teljességi axiómának eleget tevQ Q-t tartalmazó számhalmaz. Jelölése R. A valós számok halmazát számegyenesnek, 1-dimenziós Euklideszi térnek is nevezzük.

D. A valós számokból álló (x1, x2, ..., xn) szám n-esek halmazát n-dimenziós Euklideszi térnek nevezzük. Jelölése Rn. (Az n-dimenziós terek szerkezetével késQbb fogunk foglalkozni.)

4 Korlátos halmazok, szuprémum.
Használni fogjuk a ( és a ( jelöléseket, a ( jelölést (rövidítést) mondatban "van olyan"-nak, "létezik"-nek kell olvasni, a ( jelölést "bármely"-nek.

D. Az A ( R halmaz felülrQl korlátos, ha (K ( R, hogy (x ( A-ra x ( K. A K számot az A halmaz felsQ korlátjának nevezzük. A alulról korlátos, ha (K ( R, hogy (x ( A-ra x ( K. Ez a K szám alsó korlátja az A halmaznak. Az A halmaz korlátos, ha felülrQl is és alulról is korlátos.

T. Ha A nem üres és felülrQl korlátos, akkor létezik a legkisebb felsQ korlátja.

B. Válasszunk egy [a1, b1] intervallumot úgy, hogy b1 felsQ korlát legyen, és a1 ne legyen felsQ korlát. Mivel A korlátos ilyen tulajdonságú b1 létezik, mivel A nem üres ilyen a1 is létezik, hiszen A valamely elemét kiválasztva annál kisebb számot választhatunk a1-nek. Felezzük [a1, b1]-et, ha a c1 felezQpont felsQ korlát, akkor legyen [a2, b2] = [a1, c1], ha nem, akkor legyen [a2, b2] = [c1, b1]. [a2, b2] tehát újra a fenti tulajdonsággal rendelkezQ intervallum, és [a1, b1] ( [a2, b2]. A felezéses eljárás folytatható. Legyen x az [ak, bk] intervallumok közös pontja (Cantor axióma), akkor
x felsQ korlát, mert x-nél nagyobb eleme A-nak nem lehet. Ha ugyanis a ( A és a > x, akkor a k megválasztható úgy, hogy bk - ak < a - x, mert az [ak, bk] intervallum hossza kisebbé tehetQ, mint az adott a - x > 0 szám. EbbQl bk < a, de akkor bk nem felsQ korlát; ami ellentmondás;
x-nél kisebb felsQ korlát nem lehet, mert, ha x' < x felsQ korlát, akkor a k olyan választásával, hogy bk - ak < x - x', elérhetQ, hogy ak > x', de akkor x' nem lehet felsQ korlát, mert ak sem az.

A tétel állítása alulról korlátos halmazokra alsó korláttal ugyanígy igaz.

D. A legkisebb felsQ korlátot felsQ határnak, a legnagyobb alsó korlátot alsó határnak nevezzük. Az A halmaz szuprémuma, melyre a sup A jelölést használjuk, a felsQ határ, ha A felülrQl korlátos és nem üres, sup A = = +", ha felülrQl nem korlátos és sup A = - ", ha A üres. Az A halmaz infimuma , jelölve inf A, az alsó határral egyezik meg, ha A alulról korlátos és nem üres, inf A = = -", ha alulról nem korlátos és inf A = +", ha A üres.

5 Sorozatok határértéke. Részsorozat határértéke. Konvergens sorozat korlátos.
Az alábbiakban a sorozatok elemei valós számok.

D. Az a1, a2, a3, ... sorozat határértéke a, ha (( > 0 számhoz (n0, hogy n ( n0 esetén
EMBED Equation.3 .
Jelölése an ( a, vagy lim an = a. Ha félreérthetQ lenne, akkor feltüntetjük, hogy n ( " esetén.

P. Ha an = EMBED Equation.3 , akkor an ( 0. Válasszunk tetszQlegesen µ > 0-t, akkor EMBED Equation.3 biztosan teljesül, ha EMBED Equation.3 , vagyis n0-t tetszQleges EMBED Equation.3 -nál nagyobb számnak lehet választani.

D. Az a1, a2, a3, ... sorozat konvergens, ha (a, hogy an ( a. A nem konvergens sorozatokat divergensnek is nevezzük.

D. Az a szám (-sugarú környezetének (( > 0) az (a - (, a + () nyílt intervallumot nevezzük.

A határérték definíciójának az átfogalmazása a következQ: an ( a, ha az a (S környezetéhez található olyan n0 küszöbindex, hogy an ( S, ha n ( n0.

Ugyancsak ekvivalens átfogalmazás a következQ: an ( a, ha a (S környezete véges sok kivétellel a sorozat összes elemét tartalmazza.

T. Ha an ( a, és an ( b, akkor a = b. (A sorozatnak csak egy határértéke lehet.)

B. Tegyük fel, hogy a ( b, mondjuk a < b. Válaszuk meg az (-t úgy, hogy EMBED Equation.3 legyen. Ekkor a (-sugarú környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza, de b (-sugarú környezetén kívül csak véges sok eleme lehet a sorozatnak, ami ellentmondás.

D. Adott az a1, a2, a3, ... sorozat. Ha az n1, n2, n3, ... egész számokból álló sorozatra fennáll, hogy n1 < n2 < n3 < ... , akkor az EMBED Equation.3 sorozatot az a1, a2, a3, ... sorozat részsorozatának nevezzük.

T. Ha an ( a, akkor minden részsorozata is a-hoz konvergál.

B. Vegyük a-nak egy tetszQleges S környezetét, akkor S-en kívülre az a1, a2, a3, ... sorozatnak csak véges sok tagja eshet, de akkor a részsorozatnak is csak véges sok tagja lehet kívül, ami a részsorozat az a-hoz való konvergenciát jelenti.

T. Konvergens sorozat mindig korlátos. (Pontosabban: az {a1, a2, a3, ...} halmaz korlátos).

B. Mivel adott (-hoz (n0, hogy n > n0 esetén |an - a| < (, a sorozat n0 utáni tagjaiból álló halmaz korlátos. Az n0 elQtti tagok véges halmazt alkotnak, de véges halmaz mindig korlátos.
D. an ( +" (vagy lim an = +"), ha (c-hez (n0, hogy an > c, ha n ( n0. Ha an ( +", akkor azt mondjuk, hogy határértéke plusz végtelen, de nem nevezzük konvergensnek a sorozatot (vagyis a sorozat divergens).

Ha azt mondjuk, hogy a sorozatnak létezik a határértéke, akkor mindig véges határértékre gondolunk, hacsak az ettQl való eltérést nem hangsúlyozzuk.

A határérték definíciója egységesíthetQ, ha a +" környezeteit a (c, +") intervallumok alkotják. Ekkor az elmondott ekvivalens definíciók a +" esetére is érvényesek.

6 Összeg és szorzat határértéke.
T. Ha an ( 0 és a bn sorozat korlátos, akkor anbn ( 0.

B. A bn sorozat korlátos, tehát van olyan K, melyre |bn| < K, így | anbn - 0| ( | an|| bn| ( K| an|. Válasszunk ( > 0-t tetszQlegesen. Mivel an ( 0, az EMBED Equation.3 számhoz található olyan n0, hogy
|an - 0| < EMBED Equation.3 , ha n ( n0. Ezt felhasználva | anbn - 0| ( K EMBED Equation.3 = (, ha n ( n0, ami a bizonyítandó állítást jelenti.

T. an ( a akkor és csak akkor, ha an - a ( 0.

B. Ha felírjuk a két konvergencia definícióját, akkor ugyanazt a sort írjuk fel.

T. Ha an ( a és bn ( b, akkor an + bn ( a + b, anbn ( ab, can( ca és |an| ( |a|.

B. 1. | an + bn - (a + b)| = | (an - a) + (bn - b)| ( | an - a| + | bn - b|.
Válasszuk meg az (-t, és EMBED Equation.3 -höz (n1, hogy |an - a| < EMBED Equation.3 , ha n ( n1, továbbá
EMBED Equation.3 -höz (n2, hogy |bn - b| < EMBED Equation.3 , ha n ( n2.
Legyen n0 = max(n1, n2), akkor
| an + bn - (a + b)| ( EMBED Equation.3 , ha n ( n0.
Mivel an korlátos, an(bn - b) ( 0. Mivel b korlátos, b(an - a) ( 0. Az elQzQ pont szerint a két sorozat összege is 0-hoz tart, de
an(bn - b) + b(an - a) = an bn - ab ( 0,
ami azt jelenti, hogy anbn ( ab.
Mivel an - a ( 0, következik, hogy c(an - a) ( 0, vagyis can - ca ( 0, tehát can ( ca.
Mivel EMBED Equation.3 , az |an - a| < ( egyenlQtlenségbQl következik, hogy
EMBED Equation.3 .

7 Abszolút érték és hányados határértéke.
T. TetszQleges a, b ( R számokra |
a + b| ( |a| +|b|.

B. Az egyenlQtlenség mindkét oldala pozitív, tehát elég a négyzetre emelt alakot bebizonyítani:
EMBED Equation.3
T. Ha Ha an ( a és bn ( b, és bn ( 0 semmilyen n-re, továbbá b ( 0, akkor EMBED Equation.3

B. Elég azt bizonyítani, hogy EMBED Equation.3 A fejezet elQ tétele szerint azonban ehhez csupán EMBED Equation.3 sorozat korlátosságát kell megmutatni. Tudjuk, hogy |bn| ( |b|. ( = ½|b| választással, ha n ( n0, akkor |b| - ½|b| < |bn| < |b| + ½|b|, azaz |bn| > ½|b|, tehát EMBED Equation.3 , ami a korlátosságot jelenti.

8 Monoton sorozatok. Monoton sorozatok konvergencia és kiválasztási tétele.
D. Az {an} sorozat monoton növekedQ, ha minden n-re an + 1 ( an . Az {an} sorozat monoton csökkenQ, ha minden n-re an + 1 ( an. A szigorúan monoton növekedQ/csökkenö sorozatok definíciójában szigorú egyenlQtlenséget kell megkövetelni. A monoton sorozatok elnevezés a monoton növekedQ és a monoton csökkenQ sorozatok közös neve.

T. Ha az {an} sorozat monoton növekedQ és felülrQl korlátos, akkor konvergens.

B. Legyen a = sup{an}, akkor an ( a, és tetszQleges ( > 0 választás mellett a - ( már nem felsQ korlát, tehát (n0, hogy EMBED Equation.3 . A monotonitás miatt ekkor n > n0 esetén a - ( < an ( a.

P. an ( 0, ha |a| < 1.

B. FeltehetQ, hogy a > 0. Ekkor az an = an sorozat monoton csökkenQ és alulról korlátos, tehát konvergens. Legyen lim an = x. Mivel an + 1 = a·an, a határértékekre vonatkozó mqveleti szabályok alapján x = ax, amibQl x = 0.

T. Minden számsorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

B. Tegyük fel, hogy monoton növekedQ részsorozat nem választható ki. Kezdjük el egy monoton növekedQ részsorozat kiválasztását. A feltevés miatt a kiválasztás valamilyen n1 indexnél véget ér, vagyis a sorozatnak az EMBED Equation.3 utáni tagjai mind kisebbek, mint EMBED Equation.3 . A sorozat n1-nél nagyobb indexq elemei közül is kezdjünk monoton növekedQ sorozatot kiválasztani, ez is véget ér egy n2 > n1 indexnél, mert minden n2 utáni elem már kisebb. Az eljárást folytassuk.
Az így kapott EMBED Equation.3 sorozat monoton csökkenQ lesz.

9 Cauchy-féle konvergencia kritérium.
T (Cauchy-féle konvergencia kritérium). Az {an} sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha (( > 0-hoz (n0, hogy |an - am| < (, ha n ( n0 és m ( n0.

M. A Cauchy kritérium jelentQsége abban áll, hogy a határérték létezését a határérték értékének a felhasználása nélkül biztosítja.

B. ( Ha an ( a, akkor ½(-hoz van olyan n0, hogy |an - a| < ½(, ha n ( n0. EbbQl következik, hogy |an - am| = |an - a - (am - a)| ( |an - a| + |am - a| ( ½( + ½( = (.

( Ha a Cauchy-kritérium teljesül, akkor a sorozat korlátos, ugyanis az n0-nál nagyobb n indexekre EMBED Equation.3 , az n0 elQtti véges sok tag pedig korlátos. Válasszunk ki {an}-bQl monoton sorozatot, legyen ez EMBED Equation.3 akkor ez konvergens, tehát EMBED Equation.3 . Más megfogalmazásban, EMBED Equation.3 , ha k ( k0. A Cauchy-feltétel miatt EMBED Equation.3 , ha n és nk ( n0. A két egyenlQtlenségbQl kapjuk, hogy
EMBED Equation.3 ,
ha n ( n0, csupán a k értékét úgy kell megválasztani, hogy k ( k0, és nk ( n0 legyen.

10 Számtani és mértani közép tétele, Bernoulli egyenlQtlenség.
Bernoulli-egyenlQtlenség.
T. Ha pozitív egész, és h ( -1, akkor
(1 + h)n ( 1 + nh.

B. Teljes indukcióval. n = 1-re egyenlQség formájában igaz az állítás. Tegyük fel, hogy
(1 + h)k ( 1 + kh, és szorozzuk mindkét oldalt (1 + h)-val (a feltevés szerint 1 + h ( 0):
+ h)k + 1 ( 1 + kh + h + kh2 ( 1 + (k + 1)h.

3.5.2. Számtani és mértani közép egyenlQtlenség.
T. Nemnegatív a1, a2, ..., an számokra
EMBED Equation.3 .

B. Teljes indukcióval bizonyítjuk. n = 1-re az állítás nyilvánvaló (n = 2-re tanultuk a középiskolában). Tegyük fel, hogy az n számra igaz, be fogjuk bizonyítani, hogy akkor n + 1-re is igaz.
Jelöljük An-nel az a1, a2, ..., an számok számtani közepét. Átalakítással
EMBED Equation.3
az utolsó kifejezésre alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlQtlenséget EMBED Equation.3 választással
(a h > -1 feltétel teljesülése könnyen ellenQrizhetQ), akkor
EMBED Equation.3
amibQl, az indukciós feltételt felhasználva, kapjuk, hogy EMBED Equation.3 , ami a bizonyítandó állítást jelenti.

11 Az e szám definíciója.
Tekintsük az EMBED Equation.3 sorozatot. Be fogjuk bizonyítani, hogy konvergens. Ehhez belátjuk, hogy monoton növekedQ és felülrQl korlátos.

an monoton növekedQ. Írjuk fel a számtani-mértani közép egyenlQtlenséget az 1, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ..., EMBED Equation.3 számokra, ahol az EMBED Equation.3 pontosan n-szer szerepel. A számok számtani közepe:
EMBED Equation.3 ,
mértani közepe:
EMBED Equation.3 .
A számtani-mértani közép egyenlQtlenségbQl adódik, hogy an + 1 ( an, ami a monotonitást jelenti.

an felülrQl korlátos. Most az EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ..., EMBED Equation.3 számokra, ahol az EMBED Equation.3 pontosan n-szer szerepel, alkalmazzuk a számtani-mértani közép egyenlQtlenséget.
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
amibQl an ( 4 adódik.

Az an sorozat tehát konvergens, határértékét jelöljük e-vel.

D. EMBED Equation.3 .

12 EMBED Equation.3 határértéke.
Bebizonyítjuk, hogy EMBED Equation.3
Az an = EMBED Equation.3 sorozat alulról korlátos, mert EMBED Equation.3 ( 1, hiszen mindkét oldalt n-edik hatványra emelve n ( 1 adódik, ami igaz.
Az an sorozat felülrQl megbecsülhetQ a számtani mértani közép egyenlQtlenséggel, ha an-et a következQ alakba írjuk: an = EMBED Equation.3 , ahol n - 2 darab 1-est szerepeltetünk. Ekkor
an = EMBED Equation.3 ,
így an a "rendQr-elv" miatt 1-hez tart.

13 Sorok összege, abszolút konvergenciája. Mértani sor, harmónikus sor. Majoráns sor tétel.
A végtelen sor összege
Adott az a1, a2, a3, ... sorozat. Hogyan definiáljuk az a1 + a2 + a3 + ... = EMBED Equation.3 végtelen összeget? A sorozatokból képezett végtelen összegeket soroknak nevezzük.

D. Az sn = EMBED Equation.3 kifejezést a sor részletösszegének nevezzük. A sor konvergens, ha a részletösszegek sorozata konvergens, a konvergens sor összege a részletösszegek határértéke,
azaz
EMBED Equation.3 .
D. (ak abszolút konvergens, ha a tagok abszolút értékeibQl álló sor konvergens, vagyis ha (|ak| konvergens.

T. Ha (ak abszolút konvergens, akkor konvergens is.

B. A részletösszegek sorozatára alkalmazzuk a Cauchy-kritériumot (m > n mellett):
EMBED Equation.3 ,
ahol EMBED Equation.3 . EbbQl látszik, hogy ha EMBED Equation.3 -ra teljesül a Cauchy-kritérium, akkor sn-re is.

T. Ha (ak konvergens, akkor an ( 0. (Az állítás megfordítása nem igaz, lásd a P2. példát.)

B. A Cauchy-kritérium miatt (( > 0-hoz (n0, hogy |sn - sn - 1| = |an| < (, ha n ( n0 + 1, de ez éppen az an ( 0 állítást jelenti.

P1. A EMBED Equation.3 alakú mértani sor konvergens, ha |q| < 1, és divergens, ha |q| ( 1.
A mértani sor részletösszegeire ismert az EMBED Equation.3 képlet, amibQl EMBED Equation.3 , ha |q| < 1. |q| ( 1 esetén a qn ( 0 állítás nem teljesül, tehát az elQzQ tétel értelmében a sor nem lehet konvergens.

P2. A EMBED Equation.3 alakú harmonikus sor divergens.
Mivel minden n-re
EMBED Equation.3 ,
a Cauchy-kritérium nem teljesülhet.
P3. Ha an ( 0 és an ( 0 monoton csökkenQleg, akkor a EMBED Equation.3 sor konvergens (Leibnitz-típusú sor).
Mivel an ( 0, (( > 0-hoz (n0, hogy 0 < an < (, ha n ( n0. Ekkor m > n-re
|sm - sn| = an + 1 - an + 2 + an + 3- ...( am ( an + 1 < (, ha n ( n0,
vagyis a Cauchy-kritérium teljesül.

T. Ha az {an} és a {bn} sorozatra 0 ( an ( bn minden n-re teljesül, és a (bn sor konvergens, akkor a (an is konvergens. (A {bn} sorozatot majoráns sornak szokták nevezni, a tételt majoráns kritériumnak.)

B. sn jelölje a (an, EMBED Equation.3 a (bn sor részletösszegeit. EMBED Equation.3 monoton növekedQ sorozat, EMBED Equation.3 ( C, így sn ( EMBED Equation.3 ( C, vagyis sn monoton növekedQ és korlátos sorozat, tehát konvergen

14 Függvény határértéke, átviteli tétel.
Nyílt és zárt halmazok
D. Adott A ( R. Az x ( A pontot A belsQ pontjának nevezzük, ha van olyan környezete, amely teljes egészében A-hoz tartozik. A belsejének nevezzük A belsQ pontjainak a halmazát. Az A halmaz nyílt, ha minden pontja belsQ pont.

A nyílt intervallum nyilvánvalóan nyílt halmaz. A definícióból közvetlenül következik, hogy nyílt halmazok tetszQleges számú egyesítése is nyílt.

D. Adott A ( R. Az A halmaz zárt, ha pontjaiból álló minden konvergens sorozat határértéke is a halmazhoz tartozik.

A zárt intervallum nyilvánvalóan zárt halmaz. A definícióból közvetlenül következik, hogy zárt halmazok tetszQleges számú metszete is zárt.

Végesben vett határérték
Legyen A ( R, x0 ( A és f: A ( R vagy f: A -{x0}( R.

D. Legyen x0 az A belsQ pontja. Az f-nek x0-ban a határértéke a, ha (( > 0-hoz ((, hogy
|f(x) - a| < (, ha 0 < |x - x0| < (.
Jelölésben: f(x) ( a, ha x ( x0, vagy EMBED Equation.3 .
M. A határérték nem függ az f függvény x0-ban felvett értékétQl.

T (Átviteli tétel). Legyen az x0 az A belsQ pontja. Az f függvénynek az x0 pontban a határértéke a akkor és csak akkor, ha ( x1, x2, ... (xi ( A, xi ( x0, i = 1, 2, ...), xn ( x0 sorozatra f(xn) ( a.

B. ( Ha f határértéke a, akkor (( > 0-hoz ((, hogy |f(x) - a| < (, ha 0 < |x - x0| < (. Mivel
xn ( x0, (( > 0-hoz (n0, hogy |xn - x0| < (, ha n ( n0. E kettQbQl |f(xn) - a| < (, ha n ( n0, ami azt jelenti, hogy f(xn) ( a.
( Tegyük fel, hogy f(x)-nek nem az a a határértéke, vagy nincs határértéke az x0-ban, akkor (( > 0, hogy ((-ra található olyan x, melyre 0 < |x - x0| < ( és |f(x) - a| ( (. E szerint minden EMBED Equation.3 -hez tudunk olyan xn-et választani, melyre |f(xn) - a| ( (. Erre a sorozatra xn ( x0, de f(xn) nem tart a-hoz.

T. Függvények összegének, szorzatának és hányadosának a határértéke (osztásnál feltéve, hogy a nevezQben álló kifejezés határértéke nem nulla) a határértékek összege, szorzata, hányadosa. Itt feltételezzük, hogy az egyes komponensek határértéke létezik.

B. Az átviteli tétellel visszavezethetQ a sorozatokra bizonyított tételre.

15 EMBED Equation.3 határértéke. Végtelenben vett határérték.
P. EMBED Equation.3 , ha x ( 0.
EMBED Equation.3 , mert az egységsugarú körben a 2x szöghöz tartozó húr, amelynek a hossza 2sinx, kisebb, mint az ív hossza, 2x.
EMBED Equation.3 , mert az egységsugarú x nyílásszögq körcikk területe kisebb, mint a körcikket magában foglaló derékszögq háromszög területe, vagyis x ( tgx.
EMBED Equation.3 , tehát cosx ( 1, ha x ( 0.
EMBED Equation.3 , és cosx ( 1, tehát EMBED Equation.3 (un. "rendQr" elv).
Határérték a végtelenben és a végtelen, mint határérték
D. f(x) határértéke a +"-ben a, ha (( > 0-hoz (K, hogy x > K esetén f(x) értelmes és
|f(x) - a| < (. f(x) határértéke a -"-ben a, ha (( > 0-hoz (K, hogy x < K esetén f(x) értelmes és |f(x) - a| < (.

P. EMBED Equation.3

D. Az f(x) végtelenhez tart x ( x0 esetén, ha (K-hoz ((, hogy f(x) > K, ha 0 < |x - x0| < (. Az f(x) végtelenhez tart x ( +" esetén, ha (K-hoz (L, hogy f(x) > K, ha x > L.

Végtelenhez tartás esetén azt mondjuk, hogy a határérték nem létezik, mert - ha mást nem mondunk - véges határértékre gondolunk; viszont azt mondhatjuk, hogy a függvény határértéke végtelen.

16 Folytonos függvény definíciója, példák folytonos függvényekre. Jobb- és baloldali határérték.
A folytonos függvény definíciója
D. f(x) az x0 pontban folytonos, ha f(x0) és EMBED Equation.3 létezik és a kettQ egyenlQ.
P. A cosx az x = 1 pontban folytonos (az 5. pontban bizonyítottuk). Mivel
EMBED Equation.3
(az utolsó egyenlQtlenséget ugyancsak az 5. pontban bizonyítottuk), kapjuk, hogy a cosx függvény minden pontban folytonos.

D. Az f(x) függvény az (a, b) intervallumban folytonos, ha minden pontjában folytonos.

T. Az (a, b) intervallumban folytonos függvények összege, szorzata és hányadosa is folytonos, az utóbbi esetben feltételezve, hogy a nevezQben lévQ függvény semmilyen
x ( (a, b) -re nem válik nullává.

B. A határértékekre vonatkozó tétel közvetlen következménye.

P1. Az f(x) = a0xn + a1xn - 1 + ... + an függvény folytonos az egész számegyenesen.
P2. Az f(x) = x -k függvény (k ( N) folytonos a (-", 0), valamint a (0, +") intervallumokon, viszont nem folytonos a 0 pontban.

Jobb- és baloldali határérték és folytonosság
D. Az f függvénynek az x0 pontban a jobboldali határértéke a, ha (( > 0-hoz ((, hogy
|f(x) - a| < (, ha x0 < x < x0 + (. A baloldali határérték definíciójában a legutolsó feltétel
x0 - ( < x < x0 -ra módosul.

Jelölése: EMBED Equation.3 a jobboldali, EMBED Equation.3 a baloldali határérték. A 0-ban vett jobboldali határérték jelölése EMBED Equation.3 , a baloldalié EMBED Equation.3 .

Ha a jobboldali és a baloldali határérték egyaránt létezik és egyenlQk, akkor létezik a határérték is.

A jobb- és baloldali határérték lehet + vagy - végtelen is. Például az EMBED Equation.3 függvénynek a 0-ban a jobboldali határértéke +", a baloldali határértéke -". Az EMBED Equation.3 függvénynek a 0-ban a jobboldali és baloldali határértéke is egyaránt +", ekkor a határértéke is +".

D. Az f függvény az x0 pontban jobbról folytonos, ha f(x0) és az f függvény jobboldali határértéke az x0 pontban létezik, és a kettQ egyenlQ. A balról folytonosság definíciója értelemszerq módosítással ugyanígy történik.

P. Az f(x) = [x] függvénynek (egészrész függvény) minden egész pontban létezik a jobboldali és a baloldali határértéke, pl. x0 = n-ben EMBED Equation.3 = n, EMBED Equation.3 = n - 1. Mivel f(n) = n, a függvény jobbról folytonos, de balról nem.

17 Weierstrass tétele folytonos függvényekre.
D. Az f függvény folytonos az [a, b]-ben, ha (a, b) minden pontjában folytonos és a-ban jobbról, b-ben balról folytonos.

T (Weierstrass tétele). Ha f folytonos az [a, b]-ben, akkor felveszi a legnagyobb és a legkisebb értékét.

B. A legnagyobb értékre bizonyítjuk. Legyen az f függvény [a, b]-n felvett értékeinek a szuprémuma M (itt MZ\`frä æ è ê ì î ò ô

"
$
&
(
*
,
0
2
N
P
h
j
l
n
p
r
v
x

®
°
Ü
Þ
ö
ø
ú
ü
þ

"
*
,
F
H
T
V
\
^
h
j
v
x
Î
Ð
Ü
Þ
(

*

0

2

d

f

õìçãÞãÞã×ãÞãÞãÞãÞãÐãÞãÞãÞãÞãÉãÞãÞãÞãÞãÞãÞãÂãÞãÞãÞãÞãÞãÞãÞãÞãÞã»ã´ãÞãÞãÞ

jÊðh®GÒ

jÍðh®GÒ

jÉðh®GÒ

jÌðh®GÒ

jÏðh®GÒ

jÎðh®GÒ h®GÒ6h®GÒ h®GÒ5h®GÒ>*CJaJ h®GÒ5>*CJaJG¸ºÌ Î ä "
h
ö
T
Ê

ò
ô

r Ú 2Æ$Näxîfýýýýý÷÷÷÷÷ýýýýýòýíííòýèèèèè
&
F
&
F
&
F7^7ºS¾Sþþf

h

j

l

n

x

z

|

~

À

Â

Ê

Ì

Ð

Ò

Ö

Ø

*
,
:
<
@
B

®
°
2 4 6 8 : < D F J L N P R T ` b d f h j ¢ ¤ ¦ ¬ ® ° ² ´ ¶ Ú Ü Þ à ä æ è ê ì î ø ú ü þ

2468:<üõüðüðüéüðüðüðüðüðüðüðüðüðüðüðüâüðüðüðüÛüðüðüÛüðüðüâüðüðüâüðüðüâüðüâüðüðüâüðüâüðüðüâüð

jÎðh®GÒ

jÈðh®GÒ

jÉðh®GÒ h®GÒ6

jÌðh®GÒh®GÒV

NPRTVX^`bdfh ª¬®°²´¸º¼¾äæèêìîôö:<>@BDxz|~ü÷ü÷üðü÷ü÷üéü÷ü÷ü÷üâü÷ü÷üâü÷ü÷üéü÷ü÷üéü÷ü÷üéü÷üéü÷ü÷üéü÷üéü÷ü÷üéü÷ü÷ü÷üÛü÷ü÷üéü÷üÔü÷

jÈðh®GÒ

jÉðh®GÒ

jÎðh®GÒ

jÇðh®GÒ

jÌðh®GÒ h®GÒ6h®GÒT ¤¦ª¬®°²´îðòôøúüþ

"$&(*¢¤¦¨ª¬´¶¸º¼¾ÆÊÌèptvx¬èêìîðòrvÂàâü÷üðü÷üéü÷üðü÷ü÷üéü÷üðü÷ü÷üéü÷üðü÷üéü÷ü÷ü÷ü÷ü÷üâü÷ü÷üÛü÷üÖü÷üÖü÷ü÷ü÷ü÷üðü÷üÖü÷ü÷ü÷ü÷ h®GÒ5

jÏðh®GÒ

jÎðh®GÒ

jÈðh®GÒ

jÇðh®GÒ h®GÒ6h®GÒTfÄÆppr&(hjÚÜ.0Ò
BJjlÊÌè-ê-\ úøøøøøøøøøøøøøøøîîîîøøøøøøø
Æ¥n^n
&
FâæèêìîðVX<>RTVXbdjpvx®°ÄÆôöøú24¤Öâäæè68<>@BDF ¢04prt¢¤¨¬®²¶¸¼ÀÂÆÒÔÖÚÜàäæêîðôøúü÷üðü÷üëü÷ü÷ü÷ü÷üëü÷ü÷ü÷ü÷üëü÷ü÷ü÷üëü÷üëüðü÷ü÷üëü÷æü÷æüëü÷ßü÷æü÷æü÷æü÷æü÷æü÷æü÷æü÷æü÷æü÷

h®GÒ6H* h®GÒH* h®GÒ5

j®ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒXúþ

"&(,026ØÚÞâäèìîòöøü

$(*.248<>B^`bfhjlpÌÐæèêþ----Â-Ä-Æ-â-ä-ê-î-ø-ú-þ- " $ ^ b Ü Þ â ä æ úöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöñúöìöìöñåöñöñåöñåöìöìöñöñöñöñöìöñöìö

h®GÒ6H* h®GÒ5 h®GÒ6h®GÒ h®GÒH*Y\ ^ &&&I'J'+(,(E(j((Ð( **d+f+p,r,P.R.è.ê.11V566z:ýýýýýýýýýøøøýýýýýýýýýýýýýýýý
&
Fæ è ì î ò ô H!J!N!P!ª!¬!&"'"P"Q"R"T"U"V"i"j"k"m"n"o"""""""""""""" "¡"¢"Ï"Ð"ñ"ò"

#
# ###$v$x$z$|$%%$%&%h%j%r%t%v%x%%%%%%¢%¤%¦%Ê%Ì%Î%Ð%Ü%Þ%&Í&ùõðõðõðõðõðõðõðëõðëõðëõðëõðëõðëõäõäõðëõðëõðõðõðÝõðÝõðõðõðõðõðõðõðõðõðÝõðÝõðõðõðõÒ h®GÒ5>*CJaJ

h®GÒ6H*

jÌðh®GÒ h®GÒH* h®GÒ6h®GÒ

j®ðh®GÒQÍ&Ï&Ñ&Õ&Ö&Ø&Ù&Ú&Û&Ü&Ý&î&ï&ð&ø&''9':'J'L'P'Q'U'V'`'v'}'~'''¬''ê'ë'ì'ü' (
(
(

(,(.(2(3(5(6(7(8(9(:(E(R(`(a(b(c(g(h(j(u((((((((((((((((((ª(ð(ñ(ü()* *$*&*öñíèíèíáíèíèíèíèíèíñíèíèíèíèíèíèíèíèíèíèíñíèíèíáíèíèíèíèíèíèíèíÚíèíèíèíÚíèíèíèíèíèíñíè

j¹ðh®GÒ

j®ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒ h®GÒ5h®GÒ>*CJaJV&***,*.*0*2*4*<*>*B*D*F*H*J*L*\*^*d*h*l*n*r*t*v*x*z*|*¤*¦*¨*ª*¬*®*¾*À*Â*Ä*Æ*È*Î*Ð*Ò*Ô*++

+ +$+N+f+j+z+|+++++++¸+º+Î+â+ü+þ+,,,
,

, ,,6,8,>,@,B,D,V,X,^,`,b,j,l,ö,ø,þ,-ü÷üðü÷ü÷ü÷üðü÷ü÷ü÷ü÷ü÷üðü÷ü÷üéü÷ü÷ü÷ü÷üéü÷ü÷ü÷ü÷üäü÷ü÷üðü÷ü÷ü÷ü÷ßü÷üðü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ßü÷ü÷ü÷ü÷ h®GÒH* h®GÒ5

jÎðh®GÒ

j®ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒX----- -"-$-&-R-T-Z-\-^-®-°-¾-À-ô-ö-ü-þ- ....$.*.,.<.>.@.B.J.L.p.r.À.Â.ê.î.ö.ø.ü.þ.////$/&/H/\/x/z/00 0000 0"0$00020~0000000001@1l1n1ü1þ1ü2þ2ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷òü÷ü÷ü÷ü÷ò÷ü÷ü÷òü÷ü÷ü÷ü÷üíüíüíü÷üíüæü÷ü÷ü÷ü÷ü÷áü÷áü÷áü÷ü÷ü÷ü÷Úü÷üÏüíüíüí h®GÒ5>*CJaJ

h®GÒ6H* h®GÒH*

j®ðh®GÒ h®GÒ5 h®GÒH* h®GÒ6h®GÒRþ2À3Â3P5R5V5X5h66r8t8888 8®8°8¸8º8Z9\9^9d9f9h999´9¶9¾9À9æ9è9ê9ò9ô9ö9::¸:º:à:â:ä:æ:&;(;*;P;R;T;V;Z;\;;;;;;;;;;;;;ü÷ü÷ü÷üòüêüÝÓêüòüòüòÎüòÎüòüòüòüòÎüòÎüòüêüÁ·êüòêüÁêüòüòü¦ü÷üòü¦ü÷

jÎðh®GÒj,h®GÒEHúÿUj4h®GÒEHúÿUj ½ÔB
h®GÒCJ UV h®GÒH*jh®GÒEHâÿUj.ØÔB
h®GÒCJ UVjh®GÒU h®GÒ6 h®GÒ5h®GÒAz:|:.=0=¢>¤>BDG GvHxHKK.L6N8NPPrQtQâRäRUU´U¶U`Z\^ýýýýý÷÷ýýýýý÷ýýýýýýýýýýýýýòò
&
F
Æh; <<<<><@@@@J@L@R@T@\@^@f@h@j@n@x@|@~@@î@ð@ò@ô@ú@ü@AA AAÊAÌAÚAüôüçÝôüôüÐÆôüôü¹¯ôüªü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü¥ü h®GÒ6 h®GÒ5j
h®GÒEHúÿUjÃ¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒEHøÿUjd¹B
h®GÒCJ UVj$h®GÒEHøÿUj[½ÔB
h®GÒCJ UVjh®GÒUh®GÒAÚAÜAàAâAìAîARBTBrBtBBBBB¤B¦B¨BªBÒBÔBàBäBCCCCC C&C(CNCPCRCTCCC C¢C¨CªC¶C¸CäCæC

D DDDôDöDøDúDüDþDEE$E&E4E6EE¾EÀEÆEÈEÐEÒEØEÚEêEìEòEôEúöúöúöúöúöúöúöúöïöúöúöúöúöúöçöÚÐçöúöúöúöúöçöÃ¹çöúöïöúöúöúöúöúöúöúöúöúöúöúj
h®GÒEHèÿUjÁ¹B
h®GÒCJ UVj!

h®GÒEHèÿUj<¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j¹ðh®GÒh®GÒ h®GÒ6IôEnFpFvFxFFF¢F¤FªF¬F²F´FºF¼FÖFØFøFúFGG
G G|G~GGG¶G¸G¾GÀGÌGÎGÐGÒGÔGÖGHH HHH H&H(H`HbHDIFIJILIIIIII I¤I¦I¨IªI¬I®I°I²I´I¶IÄIÆIÊIÌIøIúIþIJ
J

JJJJJ J"JjJlJpJrJJJJJÔJÖJü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷üðü÷ü÷ü÷ü÷ü÷üéü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷üðü÷üðü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷

j³ðh®GÒ

j£ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒ\ÖJÚJÜJæJèJìJîJðJòJôJöJüJþJXKZK\K`KbKdKhKjKnKpKrKvKxKzK~KKKKKKKKKKøKúK L"L$L&LOOXOZOP
P

P@PDPFPHPVPXPZPhPjPPPêPìPîPúPüPrQtQü÷ü÷ü÷üðü÷ü÷ü÷ëü÷ëüäü÷ëü÷ëüäü÷ëü÷ëüäüÜüÏÅÜüÀüÀüÀü÷ëü÷ëü÷¹ü÷ü÷üÀ²ü÷üÀ

h®GÒ6H*

h®GÒ6H* h®GÒ5j,h®GÒEHÞÿUj¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

jÉðh®GÒ h®GÒH*

j£ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒDtQ´QÜQÞQêQìQ

R R®R°RäRèRðRòRôRöRøRúR
S,S6S8S:SS@SBSPSRSTSVSXSZS\SdSfShSjSlSnSvSxSSS SÂSØSÚSTT
T

T TTT T"T$T&T(T*T,T4T6T8T:TTLTNTZTtT|T~TTõñêñãñêñãñÞñÙñÒñÞñÙñêÙñËñÞñãÙñËñÙñÙñÄñÙñÙñÙñÙñÙñêÙñËñÞñãÙñËñÙñÙñ½ñÙñÙñÙñÙñ

j³ðh®GÒ

j£ðh®GÒ

jÎðh®GÒ

jÌðh®GÒ h®GÒ6 h®GÒ5

j"ðh®GÒ

j$ðh®GÒh®GÒ h®GÒ5>*CJaJJTT®T¾TUUU U¶UºUÜUÞUàUäUæUèUVV VRVTVVVVVÐVÒVÔVôVöVWWWBWDWÂWÄWÆWæWèWêWîWðWòWX
X

X\X^X`XdXfXhXrXtXvXzX|X~X°X²X´X¸XºX¼XÆXÈXÊXÎXÐXÒXÚXÜXÞXâXäXæXfYhYjYnYpYrYvYxY|Y~YYYYYÞYúöúöñöúöñöúìöúìöúìöúìöúöúìöúöúìöúöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöúìöåöúìöúìö

jÉðh®GÒ h®GÒH* h®GÒ5h®GÒ h®GÒ6ZÞYàYêYìYîYòYôYöY`ZbZZZ²Z´ZêZìZîZðZòZôZüZþZ[[[[P[R[T[Z[\[^[d[f[l[n[[[[[[[ö[ø[þ[\"\$\&\,\.\D\F\H\\\î\ð\ø\ú\(]*]`]b]d]j]l]n]t]v]|]~]¢]¤]¦]¬]®]Æ]È]^^
^^^¶^º^ò^ _H_b_~_úöúïöúïöúöúöúöúöèöúöúöúöúöúïöúïöúöúöúïöúïöúöúöúïöúöúïöúöúöúöúöúïöúïöúöúöúïöúöúöúïöúöãöúöúö h®GÒ5

jÎðh®GÒ

h®GÒ6H*h®GÒ h®GÒ6Z^^´^¶^*b*c,cÜc dÎdÐdÀfÂf¬g®gfhhhiiLjMjjj©kªk mmmm·nýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýý~___¤_Â_Ä_î_ð_ ``^```²`´`¼`¾`Ê`Ì`à`â`ò`a a"ahaja°a²abbbb(b*bÈb,c0c8c:c h®GÒCJ UVjh®GÒU

j³ðh®GÒ

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒ h®GÒ5>*CJaJ h®GÒ5 h®GÒH*h®GÒ h®GÒ6Add
d d"d$d&d(d*d,dBdDdFdLdNd²d´d¶d¸dÐdÔdÜdÞdàdædèd eee e$e&e(e*e,efeheee¬e®e°e²eàeâef
f

f f f"f$fBfDfõíéäÝéÖéäéäÝéäéäéÖéÑéäÝéíéÄºíéäÝéÖéäéíé£íéíéíéäéí h®GÒH*j«h®GÒEHèÿUj7¹B
h®GÒCJ UVj~h®GÒEHäÿUj£6¹B
h®GÒCJ UVj h®GÒEHèÿUjÕ5¹B
h®GÒCJ UV h®GÒ5

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6h®GÒjh®GÒUj~h®GÒEHôÿU5DfjflfnfpfÂfÆfÎfÐfÒfÖfØfÚfÞfàfâfþfggg g.g0g2g4g6g8g:gxgg®g²gºg¼gÈgÊgÌgØgÚgôgøgúg hhhhhh$h&hÜhÞhàhâhähæhèhøhúhühþhi>i@iBihijiliüïåÝüØüÓÎüÓÎüÓÎüÓüÇÓüÓÀü¹üÓüÓüØüÓü±üÓüÓü±üÓü±üÓü±üÓÀü¹üÓüÓüªÓüÓÎüÓÀ

j"ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*

j$ðh®GÒ h®GÒH* h®GÒ6 h®GÒ5jh®GÒUjºh®GÒEHèÿUjC7¹B
h®GÒCJ UVh®GÒClinipiriti~iiiiiiiîiðiòiôiöiøiúijjjjjMjOjSjTjUjVjWjXjYj^j_j`jajbjcjdjljmjpjqjj¡j³j´jµj¶j·j¸jÂjÃjÆjÇjÙjÚjçjèjûjüjüõüðüðüéüðäüðÝüÖüðüðüÏðüÊüðÝüÖüðüðÝüÖüðüðüðüÊüðüÃüðüðüðü»ü³ü¦j6=¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒU jeðh®GÒ6

j¹ðh®GÒ h®GÒ5

j"ðh®GÒ

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒH*

j³ðh®GÒ h®GÒ6

jÎðh®GÒh®GÒ=üjýjþj
k kkkQkRkSkTkªk¬k¶k·k¸kºk»k¼k¾k¿kÀkÕkÖk×kÙkÚkÛkÝkÞkßk$l&l(l.l0l2l8l:l
j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*jÆh®GÒ5EHðÿUj¬A¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒ5U h®GÒH* h®GÒ5 jeðh®GÒ6 h®GÒ6h®GÒjh®GÒUj¬h®GÒEHèÿU?$m&m(mfmhmmmm mÊmÌmômöm
n
n

n nnnnn nnn¸nºnñnònónõnön÷nùnúnûnoo$o%o*o+o,o-o4o5o8o9o:oCoDoEoFoHoIoMoNoZo[o\ooopppppppp¸pºp¼pÒpÔpÖpàpâpäpæpôpü÷ü÷üòü÷ü÷ü÷ü÷íü÷íü÷íü÷üòü÷íü÷íü÷íüòüåüÞ÷íü÷ü÷íü÷×÷ü÷üåü÷íü÷íüòü÷×üÐü÷×üÉ÷üÞ÷íü

j"ðh®GÒ

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6 h®GÒH* h®GÒ5 h®GÒ6h®GÒO·n¸n oo*r,rVsXs¢t¤tVuXuxxJxKxxxîxïx=y´y zTzÊzÐ{"|ýýýýýýýýýýýýýýýýýýý÷ðêêêáê
&
F

Æ¢ À
Æ¢ À
Æj ¢ ÀÀ
Æ¥ôpöpøpþpq
q

q qqq qq q"q$q&q(qÚsÜs¢t¤tätètìtôtötøtútüt

u uuBuDuFuHuJuLuNuXu\ubudufu¬u®uÂuÄuÆuÎuÐuÞuâuäuæuèuôuöuúuþuvv
v vvv vvvv8v:vúóïúïúïèïúãïúóïÜïúï×ÌÃ×ïúóúÜïúóïúóúóïÜï×ïúóïúïúóïúïúóúóï¼ïúóúóï¼ïúïúóï´ jeðh®GÒ6

j£ðh®GÒh®GÒ>*CJaJ h®GÒ5>*CJaJ h®GÒ5

j®ðh®GÒ h®GÒH*

j³ðh®GÒh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6G:vtvvvxvzv|vvv²v´v¶v¸vêvìvîvwww www@wBwLwNwPwRwTwVwXwwwwwwwwwwwÄwÆwÈwÊwÐwÒwÜwÞwàwâwäwæwèwxx-x x!x"xü÷ð÷éüáüÔÊáü÷Åü÷ðüáüÔ»áü÷ü´ü÷Åü÷ð÷ðüü÷áüÔ£áüü÷ü´ü÷Åüü÷ð÷ h®GÒ5 jeðh®GÒ6jÓ$h®GÒEHèÿU

j£ðh®GÒ

j³ðh®GÒjß"h®GÒEHèÿU h®GÒH*jë h®GÒEHèÿUjI¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6h®GÒ;"x#x$x%x>x?x@xCxDxExFxKxMxxx£x¤x¥x¦x§x¨x©xx®x¯x°x±x²x³x»x¼x½xÀxÁxÂxÃxÄxÅxÆxÉxÊxÌxÍxÎxÏxÐxÑxÒxÓxÙxÚxÛxÜxâxãxäxåxçxèxêxïxòx÷xùxúxýxþxÿxyy yy yyyyyyyyyy y!y$y%y'y)yùõðõðéõðõùõäõäõðéðùõðõðéðùõðõðéõðéõùõðõðõðéðéõùõðéùõðõðéõùõðäõðéõðéõðõðõðõðéõðõðéõðõÝõð

j£ðh®GÒ h®GÒ5

h®GÒ6H* h®GÒ6h®GÒ

j®ðh®GÒW)y*y-y.y3y5y6y9y:yNyOyWyXykylymynysytyuyvy~yyyyyyyyyyy¤y¥y¦y§y¨y©yªyµy¶yÉyÊyËyÌyÑyÒyÓyÔyÜyÝyÞyáyâyæyçyúyûyüyýyzùõðõðùõðõèõàõÓÉàõÂð½õðùõðõàõÓ³àõðõ¬õð½õàõÓ¢àõÂð½õðùõðõàõÓàõj£,h®GÒEHèÿUj¯*h®GÒEHèÿU

j³ðh®GÒj»(h®GÒEHèÿU h®GÒH*

j$ðh®GÒjÇ&h®GÒEHèÿUj:N¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒU jeðh®GÒ6 h®GÒ6h®GÒ

h®GÒ6H* z

z zz"z$z&z4z6z8zz@zVzZz\zbzdzfznzpzvzxz~zzzzªz¬z®z°zºz¼z¾zÀzÂzÄzÆzÖzØzÚzðzòzôzözøzúz{{{{{{4{6{8{:{<{B{D{H{J{Ð{Ò{Ô{Ö{Ø{Ú{à{â{úöïöúêöúêöúêöúêöúãöúãöúöúöÜöÔöÇ½Ôöúöïöúêöúãöúãöúãöúö¶öúöúöúãöúö¶öúãöúãöú

j®ðh®GÒj.h®GÒEHèÿUjÖO¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j£ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒH*

j³ðh®GÒh®GÒ h®GÒ6Hâ{ê{ì{î{ð{ò{ø{ú{|||
|

|||||N|P|R|T|V|X|Z|\|`|p|r|t|z|||~||ª|¬|®|°|²|¸|º|¾|À|Ö|Ú|Ü|â|æ|è|ê|þ|}}}}
} }} }F}H}J}L}X}Z}\}b}d}l}n}¸}º}à}ü÷ü÷ðü÷ü÷ð÷ðü÷üéü÷ð÷ðüéü÷ü÷ðü÷üéü÷ü÷ðü÷üéü÷ðü÷üéü÷ðüéü÷üáüÔÊáü÷ðü÷üÂüáü jeðh®GÒ6j´0h®GÒEHòÿUjS¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6h®GÒG"|d|}¸}ê}ì}î}D~~°~²~t¤hjDFäæxzª¬lnæùððùùîèùùùùùùùîîèùùùùùùùùùù
Æ7À
&
F

Æ¢ À
Æ¢ Àà}â}ä}æ}î}B~D~H~b~d~h~j~l~n~~~~~~~~ ~¨~ª~²~¸~tv ¢¤¨¶¸º¼¾ÀÂÊÌÎÐÒÔÖàâäæèòèàÜÑÈÃÜ¾Ü¾Ü·Ü¾Ü¾Ü°Ü¾Ü¾ÜÃÜàÜ£àÜÃÜ¾¾Ü¾Ü¾¾Ü¾Ü¾Ü

j¹ðh®GÒ

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*j85h®GÒEHöÿUj\¾B
h®GÒCJ UV

j£ðh®GÒ

jÎðh®GÒ h®GÒ6 h®GÒ5h®GÒ>*CJaJ h®GÒ5>*CJaJh®GÒjh®GÒUjþ2h®GÒEHòÿUjº»»B
h®GÒCJ UV4è "$8:`bdfjn¦¨ÎÐÒÔ:<bdfhxzÔÖØÜÞâäìîøú "$&(*,ü÷üðüèüÛÑèüÌüèü¿µèü«Ì«üÌü÷üü÷ü|ü÷ü÷üuü÷p h®GÒH*

j³ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*j h®GÒCJ UVjh®GÒ5Uj&:h®GÒEHâÿUjý½B
h®GÒCJ UV h®GÒ5jò7h®GÒEHâÿUjQ½B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j¹ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒ,,>@LNXZ\fhtv¬®ÔÖØÚ´¸ÂÄÆÚú (*,.04@BDXx¦¨ª¬®°¸ÊFJZ\^ü÷ü÷ü÷ðü÷ü÷ü÷ðü÷üæáÔÈæüá½áü÷ðü÷ü÷ü÷ð¸ü±ü÷ðü÷ðü÷ü÷ü÷ð¸üªü÷ðü÷ü÷üáü÷ð

j£ðh®GÒ

j³ðh®GÒ h®GÒH* h®GÒ5>*CJaJj¬>h®GÒ5EHàÿUjº½B
h®GÒCJ UV h®GÒ5jh®GÒ5U

h®GÒ6H* h®GÒ6h®GÒC^æêúü

"$&(*,NP~ÂÄÆÈÖØþ<>DFHXZ`bhjlnprtz~¬°ÒÔòôöü÷üòüòëüòëüäüòüÜüòüÜüÕòÐüÆ÷¹ÆüòüòÐüòüÜüòëüäüòü÷üò¦òüòü÷üòüòë

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*jì@h®GÒ5EHðÿUjè½B
h®GÒCJ UVjh®GÒ5U h®GÒH*

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j£ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6 h®GÒ5h®GÒ>öüþ¢¤´¶¸ÀÆÈÊÌÎ>@FJ\^nrèì<>@¾ÀÂÄ
0246NPR$&(.02`bdàâ
ü÷ðü÷éü÷ü÷éäü÷ü÷éü÷ü÷ü÷üßüßü÷äü×üÊÀ×ü×üÊ¶×ü÷äü÷äü÷äü÷äü¬ßj¬A¹B
h®GÒCJ UVjh®GÒ5UjâDh®GÒEHðÿUjýBh®GÒEHðÿUjÝ/½B
h®GÒCJ UVjh®GÒU h®GÒ5 h®GÒH*

h®GÒ6H*

h®GÒ6H* h®GÒ6h®GÒ:æèÄNPÆÈÐÒ °âFº¼$~ä2dfs½Õùùù÷ñùùùùùùù÷÷÷÷÷÷ùùùùùùùùùù
Æ7À
Æ¢ À

NPìöøúTVXjlnp¢¤¦¨ª¬®¶¸º¼¾ÀÄÈÌÒÖØÚâäæèêìî "$468>ôêæáÖáæÑÊæÃ»æ´Ñ¯æÑÊæÑÊæ»æÑæ¨æÑ¯æÑæ¨æÑ¯æáæáæ¡æÑÊÑæÑæ»æÑ¯æÑÊæ

j®ðh®GÒ

jÞðh®GÒ

j³ðh®GÒ h®GÒH*

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6 h®GÒ5>*CJaJ h®GÒ5h®GÒjh®GÒ5UjÇFh®GÒ5EHðÿU<>@JLNPVXZ\^`b ¢¤®°²¸ºÂÄÆÌÎÔÖÚÜÞäæðòôúü "®°²ÌÎäæ

ÔúöîöúöúöçöúâöúÛöúÛöúÛöúöúÛöúöÔöúÛöúöúÛöúöÔöîöîöîöÍöúâöúöÅö¸®ÅöúâöúÛöjìHh®GÒEHðÿUj¥5½B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

jÜðh®GÒ

j£ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒH*

j³ðh®GÒ jeðh®GÒ6h®GÒ h®GÒ6DÔÖüþ:<bdfhÀÂÄÆÐÒÔÖØÚÜ8:<>HJRTVXZ\^`°²ØöñäØöÔÌÔ¿µÌÔÌÔ¨ÌÔÔÔÔÌÔvÌÔÔoÔÔÔÌÔ

h®GÒ6H*jQh®GÒEHèÿUjMv½B
h®GÒCJ UV h®GÒH*

j³ðh®GÒ h®GÒ6jGOh®GÒEHèÿUj¿ÔB
h®GÒCJ UVjGMh®GÒEHðÿUj6½B
h®GÒCJ UVjh®GÒUh®GÒj"Kh®GÒ5EHðÿUj¬A¹B
h®GÒCJ UV h®GÒ5jh®GÒ5U+ØÚÜÞèêìîðòô

XZ\^`bdnprtvxz| @FLvxz| ¢¤¦¨²¶¼Àêìxz|~ÖØ (*,íãÛ×Ò×Ë×ÒÆ×Ò×Ò×Ë×ÒÆ×Ò¿×Ë×ÒÆ×º¯Ò×º×Ò×Ë×Ò×¨×Ë×Ò×º×Ò×Ò×¨×Ë×Ò×Ò×Ò×Ë×Ò×

h®GÒ6H* h®GÒ5>*CJaJ h®GÒ5

h®GÒ6H* h®GÒH*

j³ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒjh®GÒUjÊSh®GÒEHèÿU$jäC
h®GÒCJ UVmHnHuB,.68:DHNPVZ\^`lnxzÞäê

24Z\^`fj¬®îð01ab|}~½¾ÑùôðéðäðäðäôðéðäðäðßäðßðäÚðäÚðäÓðËð¾´ËðßðäðäðäðäðäÓðäÚðäÚðäÓð¦ðjh®GÒUmHnHujÔVh®GÒEHèÿUj}]¾B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

h®GÒ6H* h®GÒH* h®GÒ5 h®GÒ6

j³ðh®GÒh®GÒ h®GÒH*

h®GÒ6H*>ÑÒÓÔ FHJLpræè ²´¶¸ íÝÏËÏË¸¨ÏÏËqÏÏ^NÏI h®GÒ5jâch®GÒEHôÿUmHnHu$jágtD
h®GÒCJ UVmHnHuj!`h®GÒEHàÿUmHnHu$j+gtD
h®GÒCJ UVmHnHu h®GÒ6mHnHuh®GÒmHnHujÀ]h®GÒEHâÿUmHnHu$j

ftD
h®GÒCJ UVmHnHuh®GÒjh®GÒUmHnHujwYh®GÒEH´ÿUmHnHu$j¥dtD
h®GÒCJ UVmHnHuÕæ d¡f¡«¢Ä¢Ô¢í¢¤¤b¦¦Æ¦ò¦ô¦p§r§¬§®§X¨©«V«¦«ùù÷÷ñùèùùùùùèùùùùùùù÷ñááùù
Æh¢ À
&
F
Æ¢ À
ÆÅÀ
Æ¢ À : < X Z f¡h¡j¡l¡¢¢¢¢¢¢¢¢.¢/¢0¢1¢6¢7¢J¢K¢L¢M¢_¢`¢s¢t¢u¢v¢õéõàÜÔÜÇ½ÔÜ¸±¸ÜÔÜ¤ÔÜÔÜ¤ÔÜÔÜyÔÜÔÜlbÔj¢nh®GÒEHèÿUjE¬¾B
h®GÒCJ UVj lh®GÒEHèÿUj(¬¾B
h®GÒCJ UVjjh®GÒEHèÿUjhh®GÒEHèÿUj¬¾B
h®GÒCJ UV

h®GÒ6H* h®GÒ6j9fh®GÒEHäÿUj-«¾B
h®GÒCJ UVjh®GÒUh®GÒh®GÒ>*CJaJh®GÒ56>*CJaJ h®GÒ5>*CJaJ&v¢¢¢«¢¬¢¿¢À¢Á¢Â¢Ô¢Õ¢è¢é¢ê¢ë¢J¤L¤N¤V¤X¤Z¤\¤^¤`¤¤ ¤¢¤Ú¤Ü¤¥¥¥
¥0¥2¥4¥6¥>¥@¥f¥h¥j¥ü÷üïüâØïüïüËÁïü÷ºµü®ü÷ºü÷ºüïü¡ïüïüïüsijzh®GÒEHèÿUjà®¾B
h®GÒCJ UVjxh®GÒEHèÿUj¬¾B
h®GÒCJ UVjvh®GÒEHèÿUjÄ®¾B
h®GÒCJ UV

j³ðh®GÒ h®GÒH*

h®GÒ6H*j¨sh®GÒEHÚÿUjù¾B
h®GÒCJ UVj¤ph®GÒEHèÿUj>¾B
h®GÒCJ UVjh®GÒU h®GÒ6h®GÒ)j¥l¥¥¥¸¥º¥¼¥¾¥Ò¥Ô¥b¦d¦¦¦¦¦¦¦¼¦¾¦À¦Â¦Ô¦Ö¦Ø¦Ú¦Ü¦ú¦ü¦þ¦`§b§r§v§x§z§ §¢§¤§¦§®§¶§÷ó÷óæÜ÷ó×ó÷óÊÀ÷ó÷ó³©÷ó×¢óó×¢ó×óó÷ó÷óo-h®GÒ5>*CJaJmHnHujVh®GÒEHäÿUjG±¾B
h®GÒCJ UV h®GÒ5

j£ðh®GÒ

h®GÒ6H*jh®GÒEHÚÿUjN°¾B
h®GÒCJ UVj~h®GÒEHèÿUj ¯¾B
h®GÒCJ UV h®GÒ6j|h®GÒEHèÿUjE¬¾B
h®GÒCJ UVh®GÒjh®GÒU)¶§¸§Þ§à§â§ä§þ§¨(¨*¨P¨R¨T¨V¨^¨`¨b¨h¨j¨¨¨¨¨Ö¨Ø¨þ¨©ìãÍ¸ì¨zunaWJj²¾B
h®GÒCJ UVjh®GÒEHøÿUjê±¾B
h®GÒCJ UV

h®GÒ6H* h®GÒ6jÚh®GÒEHøÿUjµ±¾B
h®GÒCJ UVjh®GÒUh®GÒ h®GÒ5mHnHu-h®GÒ5>*CJaJmHnHu)jÐh®GÒ5CJEHøÿUaJmHnHu+jbÙpC
h®GÒ5CJUVaJmHnHuh®GÒ5CJaJ%jh®GÒ5CJUaJmHnHu©©©©©<©>©l©n©p©r©¢©¤©¦©DªFªHªªªªªª¶ª¸ªºª¼ª«««$«&«L«N«P«R«T«^«`«b«¦«¨«õíéâéÝéÝéâéÝÖéÝÖéÝÖéÈéµ¥ÈÝÖéÈéyÈéÝÖét h®GÒ5j¹h®GÒEHäÿUmHnHu$jÉsE
h®GÒCJ UVmHnHuh®GÒmHnHuj$h®GÒEHöÿUmHnHu$jsE
h®GÒCJ UVmHnHujh®GÒUmHnHu

h®GÒ6H* h®GÒ6

j³ðh®GÒh®GÒjh®GÒUjh®GÒEHøÿU(¦«¨«þ¬ÿ¬ÂÇà®®¯¯¨¯Ú¯Ô°Ö°±±²²X³µµµ¼µîµ6¶·¬·¸ý÷ññññññññññññññññññññññññññ
Æ¢ À
ÆSÀ¨«1¬H¬Q¬R¬S¬U¬V¬W¬Y¬Z¬[¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¨¬©¬ª¬«¬ý¬þ¬ÿ¬

- !2CT^¢ÇÈÛÜÝÞàâïêæáÜæáÜæáÜæáÜæáÜæáÜæÔæÇ½Ôæêæêæá¶æÔæ©ÔæáæáæáæÔæÔæêjmh®GÒEHÞÿUjÐ¿B
h®GÒCJ UVjXh®GÒEHÞÿUj)Ï¿B
h®GÒCJ UV

h®GÒ6H*jBh®GÒEHÞÿUjPÃ¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒU h®GÒH* h®GÒ6h®GÒ h®GÒ5-h®GÒ5>*CJaJmHnHu5âãäåæçðt®v®x®z®|®®®¦®¨®ª®¬®¯
¯¯¯¯¯¨¯ª¯Ð¯Ò¯Ô¯Ö¯ä¯æ¯

° °°°D°F°l°n°p°r°À°Â°Ä°Ö°Ú°â°ä°æ°è° ±±± ±±±üõðéüðüõüðéüäüõðéüäüðüðüÜüÏÅÜüÜü¸®ÜüÜü¡Üüðéüäüõðéüðéüü

j®ðh®GÒjÆ h®GÒEHôÿUj<Ô¿B
h®GÒCJ UVj}h®GÒEHÞÿUj+Ô¿B
h®GÒCJ UVj«h®GÒEHÞÿUjuÓ¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒU h®GÒ5

h®GÒ6H* h®GÒ6

jåðh®GÒh®GÒ8±±Æ±È±Ê±Ü±Þ±à±â±ò±ô±ö±ü±þ±²²² ²²² ²*²,².²0²2²4²6²`²b²d²f²h²²² ²¢²È²Ê²Ì²Î² ³³H³J³N³P³¬³®³Ô³Ö³Ø³Ú³ú³ü³úöïçöàÛÖöÛÏöÛÏÖöÛÏöçöÛöÈöÛÖöÛÏöÁöúö¹ö¬¢¹öÛöÛöÈö¹ö¹ö¹jº¤h®GÒEHäÿUj7Ø¿B
h®GÒCJ UVj§¢h®GÒEHÞÿUjDØ¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j®ðh®GÒ

j³ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒH* h®GÒ6

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒh®GÒ h®GÒ56ü³"´$´&´(´4´6´F´H´L´N´f´h´j´l´n´µ µ&µ(µNµPµRµTµ²µ´µ¼µ¾µäµæµèµêµ6¶<¶D¶F¶H¶J¶L¶X¶Z¶\¶^¶`¶ ¶¢¶È¶üïåÝüØüØüÑüØÊüÃü¾ü´¾§´üØüÝüÝü¾üØ}üÑüØ}üÃüÝü

h®GÒ6H*j:«h®GÒEHèÿUjâÔB
h®GÒCJ UVj,©h®GÒ5EHÞÿUjÙ¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒ5U h®GÒ5

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*

j³ðh®GÒ h®GÒ6jh®GÒUj§h®GÒEHäÿUj©Ø¿B
h®GÒCJ UVh®GÒ.È¶Ê¶Ì¶Î¶&·(·*·,·.·6·8·:·L·N·P·R·h·j·l·r·t·~·········¢·¤·®·°·²·¸·º·¼·Ä·Æ·È·Ð·Ö·Ø·Ú·â·è·ê·ì·ô·þ·¸¸¸¸¸¸¸ ¸¸

¸òèàÜ×ÐÜÉÜÂºÜ³×®Ü×ÐÜºÜ×Ü§Ü×®Ü×Ü×Ü×ÐÜ×ÐÜ×Ð®Ü×Ð®Ü×Ð®Ü Ü×ÐÜÜ×Ð®

j£ðh®GÒ

j±ðh®GÒ

j³ðh®GÒ h®GÒH*

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒ

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6h®GÒjh®GÒUj5®h®GÒEHÞÿUj¶Ü¿B
h®GÒCJ UV<

¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸B¸D¸L¸M¸N¸V¸W¸X¸f¸g¸h¸i¸j¸k¸l¸m¸n¸o¸w¸x¸¸¸¸¸§¸¨¸©¸ª¸¾¸¿¸À¸¹¹¹¹ ¹-¹ ¹!¹"¹$¹%¹8¹9¹:¹;¹>¹?¹@¹A¹X¹Y¹l¹m¹üôüïüèüïãüÞüï×üï×üÐüï×üÐüï×üïüÉï×üÉï×üï×üÞüï×üÉï×üÁü´ªÁüÉï×üÁü´ju°h®GÒEHôÿUjá¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

jåðh®GÒ

j£ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ5 h®GÒH*

j³ðh®GÒ h®GÒ6 jeðh®GÒ6h®GÒ?¸A¸B¸ ¹¹8»<»¼»~½½¤¾¦¾¿¿ªÀ¬ÀÞÀHÁJÁúÁFÂÄÂFÃHÃlÄmÄÆÉËùùùù÷÷ñùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùù
ÆSÀ
Æ¢ Àm¹n¹o¹4º6º\º^º`ºbºdºfºhºtºvºxºzº|º~ºº¦º¨ºªº¬º®º°º²º´ºÆºÈºÊº8»<»»Â»Î»Ð»Ò»Ô»Ö»Ø»â»ä»æ»è»ê»ì»ü»þ»¼¼¼¼´¼¶¼¸¼õíéíéÜÒíËéÆéÆ¿é¸éíéÜ®íé¸éÆéÆ¿é©©éÆéé©éÆééÆéÆéÆéÆéÆé

jÎðh®GÒ

jÌðh®GÒ-h®GÒ5>*CJaJmHnHu h®GÒ5j¶h®GÒEHôÿU

j£ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6

j®ðh®GÒj7´h®GÒEHôÿUjá¿B
h®GÒCJ UVh®GÒjh®GÒUjV²h®GÒEHôÿU6¸¼Ì¼à¼â¼$½&½6½@½¦¾ª¾¸¾º¾¼¾¾¾À¾Â¾Ì¾Î¾Þ¾æ¾¬ÀÞÀìÀîÀðÀòÀôÀöÀúÀüÀþÀÁÁÁÁ ÁÁ ÁÁÁÁÁÁ*Á,Á0Á2Á8Á:Á<Á>Á@ÁBÁDÁJÁNÁ^Á`ÁbÁjÁlÁÁÁÁÁ Á®ÁÄÁÆÁÈÁÒÁÔÁÖÁèÁêÁúöúöúöúöñöúöêöñöúöúöñöúöêöñöúåöÞöúöúöúö×öñöúöúöúåö×öñöñöúåöúöúöúåöúöúöÐÈöÁ

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒ

j®ðh®GÒ

jÎðh®GÒ h®GÒH*

jÌðh®GÒ h®GÒ5h®GÒ h®GÒ6JêÁìÁüÁþÁÂÂ
Â

Â ÂÂ,Â.Â4Â6Â8Â@ÂBÂ^Â`ÂbÂdÂhÂjÂlÂnÂxÂzÂ|Â~ÂÂÂÂÂÂºÂ¼Â¾ÂÀÂÄÂÈÂüÂþÂÃ ÃÃHÃnÃÃÃÃÃÃ¶Ã¸ÃØÃÚÃÜÃÄÄ-Ä Ä!Ä"Ä#Ä%Ä&Ä'Ä.Ä/Ä÷óîóîóîóæóîóîáó÷óîóîóÚóîóîóÚóîáóÒóÅ»Òó¶óîóîáó¶óîáóîóîóîáóîó¯óîáóîáóî

j"ðh®GÒ h®GÒ5jù·h®GÒEHâÿUj9ò¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j®ðh®GÒ h®GÒH* jeðh®GÒ6 h®GÒ6h®GÒ jdðh®GÒ6D/Ä0Ä1Ä2Ä3Ä4Ä6Ä7Ä8Ä9Ä:Ä;Ä<Ä=Ä?ÄAÄOÄPÄQÄRÄSÄTÄUÄVÄaÄbÄcÄdÄeÄgÄhÄiÄjÄmÄoÄpÄqÄuÄwÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¡Ä¢Ä£Ä¤Ä¨Ä©ÄÄ®Ä¸Ä¹Ä¼Ä½Ä¾ÄÂÄÃÄÌÄÍÄÎÄÏÄÐÄÑÄÒÄùõîõéõéùõâõéÝõéõéùõÖõéÝõéõéùõÖõéõÑõÊõéõéõÃ»õ´¬õéõéõéõ»õéõéÝõ¬õéùõÖõé jdðh®GÒ6

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒ

jÞðh®GÒ h®GÒ5

j®ðh®GÒ h®GÒH*

j¹ðh®GÒ h®GÒ6

jÎðh®GÒh®GÒ

h®GÒ6H*DÒÄÔÄÕÄÖÄ×ÄàÄáÄâÄãÄëÄìÄíÄðÄñÄòÄöÄ÷ÄüÄýÄþÄÿÄÅÅÅÆÆÆÆ Æ(Æ*Æ2Æ4Æ>Æ@ÆBÆDÆFÆHÆJÆzÆ|Æ~ÆÆÆÆÆÆÆÆÆ¶Æ¸ÆºÆ¼ÆÖÆØÆ,Ç.Ç0ÇHÇJÇLÇbÇdÇfÇÇÇ¬Ç®Ç´Ç¶Ç¸ÇúöïçöàÛúöÛÔöÛúöçöÛöÍöÛúöÛöÛÔöÛöÅöÛöÍöÛúöÛöÛÔö¾öÛö·öÛöÛöÛöÛúöàÅöïçöÛöÛöÛú

jÜðh®GÒ

j®ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j³ðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒ6

j$ðh®GÒ jdðh®GÒ6

j"ðh®GÒh®GÒ h®GÒH*H¸ÇÀÇÂÇÌÇÎÇÐÇÒÇÚÇÜÇàÇâÇäÇæÇ

È È4È6È8È:È^È`ÈbÈÈÈÈÈÈ¢È¤È¨ÈªÈ¬È®ÈÔÈÖÈØÈÚÈÜÈÞÈàÈâÈìÈîÈðÈòÈôÈ
É

ÉÉÉËË®Ë°Ë¸ËüôüïüïüïüèüàüØüËÁØüïºüïüïºüïüèüàüïºü³üï®üïüïºüïü©ü©ü©-h®GÒ5>*CJaJmHnHu h®GÒ5 h®GÒH*

j®ðh®GÒ

h®GÒ6H*j/ºh®GÒEHèÿUjø¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒU jeðh®GÒ6

j³ðh®GÒ h®GÒ6 jdðh®GÒ6h®GÒ6ËË®Ë°ËDÌËÌÞÎDÏdÐôÑöÑ,Ò.ÒÓÓÔÔ Õ:ÖÎÖþÖô×ö×¤Ø¦Ø:Ú<Ú¶Úùù÷ñèèèùùùùùùùù÷ñùùùùùùùùùù
&
F
Æ¢ À
ÆSÀ
Æ¢ À¸ËºËàËâËäËæËèËÌ!Ì"Ì5Ì6Ì7Ì8Ì=Ì>Ì?Ì@ÌDÌEÌXÌYÌZÌ[Ì|Ì}Ì©ÌªÌÈÌÉÌËÌÌÌìÝÇ²ìÝ¢zvqvjv]QvqvqvqvjFÀh®GÒ5EHèÿUjcú¿B
h®GÒCJ UV

j®ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒj4¾h®GÒ5EHèÿUjãù¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒ5U h®GÒ5-h®GÒ5>*CJaJmHnHu)j@¼h®GÒ5CJEHèÿUaJmHnHu+jPÚpC
h®GÒ5CJUVaJmHnHuh®GÒ5CJaJmHnHu%jh®GÒ5CJUaJmHnHu-ÌÌßÌàÌáÌâÌùÌúÌÌÎÎÎÐÎÒÎØÎÚÎÞÎàÎÏÏ
Ï

Ï"Ï$Ï&Ï(Ï6Ï8Ï:Ï<ÏDÏFÏlÏnÏpÏrÏÏÏÏÏÏÏÄÏÆÏÈÏÊÏôÏhÐúíá×ÓÎÓÎÓÇÓÎÓ¿Ó²¨¿ÓÎÓ¡ÓÎÓ¡Ó¿Ó¿ÓÎÓ¡Ó×ú}q×ÓújÉh®GÒ5EHèÿUjãù¿B
h®GÒCJ UVjçÆh®GÒEHèÿUj¿ý¿B
h®GÒCJ UV

j®ðh®GÒjnÄh®GÒEHèÿUj>ý¿B
h®GÒCJ UVjh®GÒU

j£ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒjh®GÒ5UjWÂh®GÒ5EHèÿUj{û¿B
h®GÒCJ UV h®GÒ5,hÐjÐlÐnÐpÐtÐ ÐªÐ¬Ð®ÐÀÐÂÐÄÐÒÐÔÐÚÐÜÐìÐîÐðÐòÐÑ ÑÑÑ Ñ"Ñ*Ñ,Ñ0Ñ2Ñ4Ñ6Ñ:ÑfÑpÑrÑtÑÑÑÑÑÑ Ñ¢Ñ²Ñ´Ñ¶Ñ¸ÑÖÑØÑÚÑÜÑäÑæÑîÑðÑöÑúÑüÑþÑ$Ò&Ò(Ò*Ò.Ò2Ò:Ò<Ò>Ò@ÒDÒdÒfÒhÒü÷ü÷ü÷üðèüá÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷üèü÷ü÷ü÷üðèüá÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ü÷üèüÜüÔüÇ½ÔüÜü÷ü÷ü÷ü÷j%Ëh®GÒEHæÿUj!'ÀB
h®GÒCJ UVjh®GÒU h®GÒ5

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒ h®GÒ6h®GÒJhÒjÒlÒnÒpÒrÒÒÒÒÒÒÒªÒ¬Ò®Ò°Ò¸ÒºÒÎÒÐÒÖÒØÒÚÒâÒäÒîÒðÒòÒôÒøÒÓÓÓÓ Ó$Ó&Ó>Ó@ÓBÓLÓNÓPÓ^Ó`ÓbÓdÓlÓnÓxÓzÓÓÓÔÔæÔ Õ
Õ
Õ

Õ
ÕÕÕ Õ+Õ,Õ-Õ.Õ/Õ4Õ5ÕHÕüõüðëüäðüÝÕüðüðüðüðüðëüÕüðüðüðüðüõüðüäðüÝðüðüðüðüðüðüÐÅÐüðüðüðëüðüðëü½üjh®GÒU h®GÒ5>*CJaJ h®GÒ5 jdðh®GÒ6

j$ðh®GÒ

j"ðh®GÒ h®GÒH* h®GÒ6

j®ðh®GÒh®GÒGHÕIÕJÕÖ:Ö>ÖJÖLÖTÖVÖÎÖÐÖöÖøÖúÖüÖª×¬×ö×ú×ØØØØ&Ø(Ø,Ø.Ø¦ØªØ´Ø¶ØºØ¼ØöÙøÙúÙüÙÚÚÚÚ<Ú@Ú¸ÚÀÚÆÚÈÚÊÚÌÚÔÚÖÚØÚÚÚÜÚâÚäÚæÚèÚêÚòÚÛÛòèàÜ×ÜÒÜÒÜàÜÅ»àÜÒÜ×ÜÒÜÒÜÒÜÒÜ×ÜÒÜÒÜÒÜ´ÜÒÜÒÜ×Ü×ÜÒÜÒÜÒ¯ÒªÜÒ¯Ò£ªÜÒ

h®GÒ6H* h®GÒH* h®GÒH*

jÎðh®GÒjìÏh®GÒEHèÿUjz<ÀB
h®GÒCJ UV h®GÒ6 h®GÒ5h®GÒjh®GÒUjÊÍh®GÒEHâÿUjâ*ÀB
h®GÒCJ UV>¶Ú¸Ú`Û0Ü1Ü_Ü3Ý4ÝþÝÿÝÌÞÎÞ&á(áââäâtäuäååååº¼
Ð`ùùùùùùùùùùùùùùùù÷ñùùùù÷ñùùùù
ÆÅÀ
Æ¢ ÀÛÛ`ÛfÛnÛpÛrÛtÛ|Û~ÛÛÛÛÛÛ Û¢Û¤Û1ÜaÜeÜfÜvÜwÜxÜÜÜÜÜ Ü¡Ü¢Ü«Ü¬ÜÜ¶Ü·Ü¸Ü¹Ü½Ü¾ÜÂÜÃÜÈÜÉÜÊÜÍÜÎÜÐÜÒÜÓÜÖÜ×ÜÛÜåÜÝÝÝÝÝÝ-Ý"Ý#Ý$Ý=Ý>ÝQÝùõðõëõëõëæßõëõØõðõðõëõëÓõëõëõÌÄõ½µõëõëõëõÄõëÓõëõëÓõµõëõëÓõµõëõëÓõõjh®GÒU jdðh®GÒ6

j$ðh®GÒ jeðh®GÒ6

j"ðh®GÒ h®GÒH*

jÎðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒH* h®GÒ6 h®GÒ5h®GÒ

h®GÒ6H*CQÝRÝSÝTÝcÝdÝwÝxÝyÝzÝ¿ÝÀÝÓÝÔÝÕÝÖÝåÝæÝùÝúÝûÝüÝ\ß^ßßßßß,à.àTàVàXàZà(áòèàÜàÜÏÅàÜàÜ²¨àÜàÜàÜàÜ~tàÜàÜg]àÜjoÝh®GÒEHâÿUj`hÁB
h®GÒCJ UVjÛh®GÒEHèÿUjLgÁB
h®GÒCJ UVjdÙh®GÒEHæÿU$j¹èÔB
h®GÒCJ UVmHnHujE×h®GÒEHæÿU$jèÔB
h®GÒCJ UVmHnHuj Õh®GÒEHâÿUj[jÁB
h®GÒCJ UVh®GÒjh®GÒUjãÒh®GÒEHâÿUj8jÁB
h®GÒCJ UV"(á.á4á6áPáRáTáfáááááááªá¬áôáöáøáHânâäâèâðâòâôâöâããÜãÞãàãæãèãòãôã
ä ääää äää*ä+ä,ä-ä0ä1ä=ä>ä?ä@äDäEätäuä£ä¦äªä«äÃäÄäÆäÇäÒäÓäúöñöñìöñöñöñìöñöñìöñöúöñöñöñöñìöñöäö×ÍäöñöäöÀ¶äöñöñöñöñöú«úöñöñöñöñ h®GÒ5>*CJaJjáh®GÒEHæÿUj kÁB
h®GÒCJ UVjdßh®GÒEHæÿUj§jÁB
h®GÒCJ UVjh®GÒU h®GÒH* h®GÒ6h®GÒ h®GÒ5CÓäÕäÖäöä÷äååå5å9å:åIåJåLåMååå¸å¹åÄåÅåÇåÈåìåíåóåæRTVZ\^lnprtxz~¢¤¦¨ª®°²´ÊÌÎÒÔÖVZ\nrtvxz|~¶¸º¾ÀÄÆÈÊÔü÷ü÷ü÷üòü÷ü÷ü÷üòü÷ü÷ü÷ü÷ü÷ðü÷ëü÷ëü÷äüÝü÷ü÷ü÷ü÷äüÖü÷ü÷ëü÷ëü÷äü÷äüÖü÷ëüÝü÷ü÷ü÷ü÷äüÖü÷ü

j®ðh®GÒ

jÎðh®GÒ

h®GÒ6H* h®GÒH*U h®GÒ5 h®GÒ6h®GÒT = +" még elképzelhetQ). Található olyan x1, x2, ... (xn ( [a, b]) sorozat, hogy f(xn) ( M. Mivel az x1, x2, ... sorozat korlátos, van konvergens részsorozata, legyen ez
x'n, melyre x'n ( x0 ( [a, b], és természetesen f(x'n) ( M. Az f folytonossága miatt f(x'n) konvergál az f x0 pontbeli határértékéhez, de az f(x0)-lal egyenlQ, tehát f(x0) = M.

18 Bolzano tétele folytonos függvényekre
T (Bolzano tétele). Ha f folytonos az [a, b]-ben, akkor a legnagyobb és a legkisebb értéke közé esQ minden értéket felvesz.

B. Elég azt bizonyítani, hogy ha f(a) < 0, f(b) ( 0, akkor (x0, hogy f(x0) = 0. Ugyanis f valamilyen ( helyen felveszi a minimumát, ( helyen a maximumát, és feltehetQ, hogy ( < (, legyen továbbá c a maximum és a minimum közé esQ tetszQleges érték, akkor az elQzQ állítást kell csak alkalmazni, az f(x) - c függvényre az [(, (] intervallumra vonatkozólag.
Felezzük az [a, b]-t a c ponttal, és legyen [a1, b1] = [a, c], ha f(c) ( 0, és [a1, b1] = [c, b], ha f(c) < 0. Így újra az [a, b]-hez hasonló tulajdonságú intervallumhoz jutunk: f(a1) < 0, f(b1) ( 0.
Az eljárást folytassuk, és legyen az intervallumok közös pontja (Cantor-axióma) x0.
Az a1, a2, ... sorozat monoton növekedQleg tart x0-hoz, f(an) < 0, ezért az f folytonossága miatt f(x0) ( 0, hasonlóan a b1, b2, ... sorozat monoton csökkenQleg tart x0-hoz, f(bn) ( 0, ezért
f(x0) ( 0. Összefoglalva f(x0) = 0.

19 Az összetett és az inverz függvény folytonossága.
T. Ha az f az [a, b]-n folytonos és szigorúan monoton növekedQ függvény, f(a) = m, f(b) = M, akkor az f -1 inverz függvény folytonos [m, M]-en.

B. A szigorúan monotonitás miatt az f: [a, b] ( [m, M] függvény bijektív, tehát az inverze létezik. Legyen y0 ( [m, M] tetszQleges, és y0 = f(x0). Válasszunk ugyancsak tetszQlegesen egy ( > 0 értéket. Az [x0 - (, x0 + (] intervallumban az f legkisebb értéke u = f(x0 - (), legnagyobb értéke v = f(x0 + (). A felvett (-hoz választható a ( = min(y0 - u, v - y0)-nak, ugyanis a monotonitás miatt |y - y0| < ( esetén |f -1(y) - f -1(y)| < (, ami a folytonosságot jelenti.

K. A EMBED Equation.3 függvények folytonosak a [0, +") félegyenesen. Az x± függvény ± ( Q-ra folytonos a (0, +") félegyenesen.

T. Ha az f függvény folytonos az x0 pontban és a g folytonos az f(x0) fontban, akkor az g æ% f is folytonos az x0 pontban.

B. Az átviteli tétellel bizonyítjuk. Az f folytonossága miatt, ha az x1, x2, ... sorozatra xn ( x0, akkor f(xn) ( f(x0), és a g folytonossága miatt g(f(xn)) ( g(f(x0)), ami a g æ% f folytonosságát jelenti.

20 A hatványfüggvény definíciója.
Az f(x) = x( függvényrQl, ha az ( racionális, már volt szó. Most az egész ( értékétQl tekintsünk el, ezek jól ismert függvények. Értelmezési tartományuk, ( > 0 esetén [0, +"),
( < 0 esetén (0, +"), valamennyi függvény az értelmezési tartományában folytonos.

Ha ( nem racionális, akkor a hatvány értelmezését határértékként adjuk meg. ElQször szorítkozzunk az ( > 0 és a 0 < x ( 1 esetre. Válasszunk egy (n ( (, (n ( Q sorozatot, akkor az
EMBED Equation.3 sorozat konvergens. A Cauchy-kritérium alapján az EMBED Equation.3 kifejezést kell vizsgálni, ahol feltehetQ, hogy (n ( (m ( 0:
EMBED Equation.3 .
Tudjuk, hogy EMBED Equation.3 , ha k ( ", vagyis EMBED Equation.3 ha k ( k0. EbbQl EMBED Equation.3 < (, ha |(n - (m| < EMBED Equation.3 , ez pedig az {(n} konvergens sorozatra alkalmazott Cauchy-kritérium, ami teljesül, ha n, m ( n0.
EMBED Equation.3 sorozat határértéke független az {(n} sorozat választásától. Tegyük fel, hogy van olyan {(n} sorozat, hogy (n ( ( és EMBED Equation.3 , és olyan {(n} sorozat, hogy (n ( (, EMBED Equation.3 és c1 ( c2. Egyesítsük a két sorozatot, legyen (2n - 1 = (n és (2n = (n, akkor (n ( (, de EMBED Equation.3 nem konvergens, ami ellentmondás.

D. x( (x > 0, ( ( R) értelmezése határátmenettel történik: legyen {(n} olyan sorozat, melyre (n ( Q, és (n ( (, akkor
EMBED Equation.3 .
A definíció értelmes voltát és egyértelmqségét ( > 0 és a 0< x ( 1 esetre beláttuk, az általános eset (ahol csak x > 0 megszorítással élünk) reciprok képzéssel elQállítható, és a reciprok határértékérQl tudjuk, hogy a határérték reciproka, ha ez utóbbi nem nulla.

A hatványokra vonatkozó mqveleti szabályok a határérték képzése után is érvényesek maradnak.

21 A hatványfüggvény folytonossága.
T. Az f(x) = x( függvény folytonos a (0, +")-ben. (Ha ( > 0, akkor [0, +")-ben is.)

B. A bizonyítást elég az ( > 0 és a 0 ( x ( 1 esetre elvégezni, mert a többi eset reciprok képzéssel elQállítható, ami a folytonosságot - az x = 0 pontot kivéve - megQrzi:
EMBED Equation.3 , ha x > 1, ill.
EMBED Equation.3 ha ( < 0.
Tekintsünk egy [a, b] ( (0, 1] intervallumot és legyen x1, x2( [a, b], x1 < x2, akkor
EMBED Equation.3
ahol k > ( egészszám. A jobboldalon a Bernoulli-egyenlQtlenséget alkalmazhatjuk:
EMBED Equation.3
Ezzel EMBED Equation.3 < ( elérhetQ, ha x2 - x1-et elég kicsire választjuk. Ez az x( folytonosságát jelenti [a, b]-ben, amibQl következik a (0, 1]-ben a folytonosság.

Összefoglalva, f(x) = x(, ha ( > 0, a [0, +")-ben értelmezett, monoton növekedQ, folytonos függvény, melyre f(0) = 0 és EMBED Equation.3 ; ha ( < 0, akkor a (0, +")-ben értelmezett, monoton csökkenQ, folytonos függvény, melyre EMBED Equation.3 és EMBED Equation.3 .

22 Az exponenciális és a logaritmus függvény. Hiperbolikus függvények.
Exponenciális függvény
Az f(x) = ax alakú exponenciális fügvényben szereplQ hatványt a > 0 esetén az elQzQ részben definiáltuk tetszQleges valós x-re (racionális számokkal történQ közelítéssel, határértékként). Megmutattuk, hogy az exponenciális függvény 0 < a ( 1 és x > 0 esetén folytonos függvény (noha ott a kitevQben racionális számok szerepelnek, de ugyanez érvényes tetszQleges valós számra is). Az EMBED Equation.3 -bQl és az exponenciális függvény monotonitásából következik a 0-ban való folytonosság is. Egyéb esetek reciprok képzéssel már származtathatók, ami a folytonosságot megQrzi. a < 0-ra az exponenciális függvényt nem értelmezzük.

T. Az f(x) = ax exponenciális függvény, ahol a > 0, R-en folytonos.

Az exponenciális függvény a > 1 esetén szigorúan monoton növekedQ és EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; a < 1 esetén szigorúan monoton csökkenQ és EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Az exponenciális függvényre f(0) = 1.

Az exponenciális függvények között kiemelkedQ jelentQségq az f(x) = ex függvény.

Logaritmus függvény
Az f(x) = ax (a > 0, a ( 1) exponenciális függvény inverze az a alapú logaritmus függvény. A g(x) = logax függvény, a (0, +")-ben értelmezett, folytonos függvény, a > 1 esetén szigorúan monoton növekedQ, és EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; a < 1 esetén szigorúan monoton csökkenQ és EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . A logaritmus függvényre g(1) = 0.

a = 1 esetén az exponenciális függvény konstans függvénnyé fajul el, nem bijektív, tehát inverze nem létezik, így a logaritmust a = 1 esetén nem definiálhatjuk.

Mivel EMBED Equation.3 , a különbözQ alapú logaritmus görbék csak konstans szorzóban különböznek egymástól, ez a szorzó lehet negatív is.

Az analízisben a leggyakrabban (majdnem kizárólagosan) használt logaritmus alapszám az e. Az e alapú logaritmust természetes logaritmusnak is nevezik, külön jelölést vezetünk be és ln-nel jelöljük; tehát lnx = logex.

23 Trigonometrikus függvények és inverzeik.
A trigonometrikus függvényeket, a sinx, cosx, tgx és a ctgx függvényeket jól ismerjük. A trigonometrikus függvények periodikusak. Az f(x) függvény t szerint periodikus, ha (x-re, melyre x ( D(f) teljesül, hogy f(x + t) = f(x). Ha f(x) t szerint periodikus, akkor t egész többszöröse szerint is periodikus. A legkisebb ilyen t értéket nevezzük f periódusának. A sinx és a cosx periódusa 2(, míg a tgx és a ctgx periódusa (.

A cosx függvényrQl beláttuk, hogy folytonos R-en. Mivel sinx = cos(( - x), az összetett függvény folytonossága miatt a sinx is folytonos R-en. A EMBED Equation.3 , ill. a EMBED Equation.3 képletek miatt a tgx és a ctgx függvények is folytonosak, kivéve azokat a pontokat, ahol a nevezQ 0-vá válik. Ezeken a helyeken maga a függvény sincs értelmezve.

A trigonometrikus függvények inverzei
A trigonometrikus függvények inverzeit már középiskolában használtuk, amikor a táblázatból visszakerestünk, csupán nem képeztünk függvényt belQle és nem neveztük meg. Amikor keressük, hogy melyik szög szinusza 0,5, akkor visszakereséssel EMBED Equation.3 adódik, de éppúgy lehet EMBED Equation.3 is, vagyis az inverz nem egyértelmq. Ez természetes, hiszen a periodikus függvények nem injektív függvények, tehát inverzük nem létezik. Ha az értelmezési tartományukat leszqkítjük egy periódusra, akkor a tg és a ctg függvények már injektívek, de a sin és cos még mindig nem, itt az értelmezési taromány további leszqkítése szükséges.

D. A sinx: EMBED Equation.3 ( R, a cosx: [0, (] ( R, a tgx: EMBED Equation.3 ( R leszqkített értelmezési tartományú függvényeket az illetQ függvény fQértékének nevezzük.

A trigonometrikus függvények fQértékei injektív függvények, tehát értékkészletükön, mint értelmezési tartományon értelmezhetQk az inverzeik.

D. A sin fQértékének az inverzét arcsin függvényként jelöljük, a cos fQértékének az inverzét arccos, a tg fQértékének az inverzét arctg függvényként használjuk. (Az "arc" kiolvasva arkusz = ív.)

Az arcsinx függvény szigorúan monoton növekedQ, folytonos függvény a [-1, 1] intervallumon, értékkészlete EMBED Equation.3 . arcsin 0 = 0, páratlan függvény.
Az arccosx függvény szigorúan monoton csökkenQ, folytonos függvény a [-1, 1] intervallumon, értékkészlete [0, (]. arcsin 0 = EMBED Equation.3 .
Az arctgx függvény szigorúan monoton növekedQ, folytonos függvény R-en, értékkészlete EMBED Equation.3 . arctg 0 = 0, páratlan függvény.
Az arcctg függvényt nem fogjuk használjuk.

24 A derivált definíciója, a hatványfüggvény és a szinusz függvény deriváltja. A differenciálható függvény folytonos.
Derivált definíciója
Vegyünk egy f(x) függvényt, az x0 legyen az értelmezési tartományának belsQ pontja, és írjuk fel a görbe (x0, f(x0)) és (x0 + h, f(x0+h)) pontjain áthaladó szelQ iránytangensét (iránytangensnek nevezzük az egyenes és az x-tengely által bezárt szög tangensét):
EMBED Equation.3 .
A felírt kifejezést az f függvény x0 pontbeli különbségi hányadosának nevezzük. Képezzük a különbségi hányados határértékét, ha h ( 0. Amennyiben a határérték létezik, ezt az f x0 pontban vett differenciálhányadosának, vagy deriváltjának nevezzük. Geometriai értelmezése az x0-beli érintQ iránytangense.

D. Ha az f(x) függvény x0 pontjában a különbségi hányadosnak van határértéke h ( 0 esetén, akkor az mondjuk, hogy f differenciálható az x0-ban, és differenciálhányadosa, vagy deriváltja ez a határérték. Jelölése f 2 (x0).

P. A sinx függvény 0-ban vett deriváltja a
EMBED Equation.3
kifejezés határértéke, ha h ( 0, amirQl láttuk, hogy 1. Geometriai jelentése az, hogy a sinx görbe érintQje az origóban 45Ú-os szöget zár be az x-tengellyel.

Ha az f függvény deriválását általános x pontban végezzük el, és az eredményt x függvényeként értelmezzük, akkor a függvény deriváltjáról beszélünk. Akkor mondjuk, hogy f valamely intervallumban differenciálható, ha minden pontjában differenciálható.

P. Számítsuk ki az f(x) = xn (n ( N) deriváltját!
EMBED Equation.3 ,
ha h ( 0, vagyis EMBED Equation.3 .

P. Számítsuk ki f(x) = sinx deriváltját!
EMBED Equation.3 ,
ha h ( 0, vagyis EMBED Equation.3 .

P. Az f(x) = c konstans függvény deriváltja 0, hiszen különbségi hányadosa is 0.

T. Ha f(x) differenciálható az x0 pontban, akkor folytonos.

B. A határérték létezése miatt (( > 0-hoz ((, hogy
EMBED Equation.3 ,
ha |h| < (. Az egyenlQtlenség jobb- és baloldala egyaránt 0-hoz tart, ha h ( 0, így
f(x0 + h) - f(x0) ( 0, ami f folytonosságát jelenti az x0 pontban.

A folytonosság nem elég a differenciálhatósághoz. Pl. az |x| függvény folytonos, de a 0 pontban nem differenciálható. Az |x| különbségi hányadosa 1, ha h > 0, és -1, ha h < 0, így a határértéke nem létezik. (Ha definiálunk jobb- és baloldali deriváltat, akkor ezek léteznek, de nem egyenlQk.)

25 Összeg és szorzat deriváltja. Inverz függvény deriváltja.
T (Konstans kiemelhetQsége). (cf)' = c·f ', feltéve, hogy f ' létezik.

B. A konstans a különbségi hányadosból is kiemelhetQ.

T (Összeg deriváltja). Ha f és g differenciálhatók a megadott pontban, akkor ott f + g is differenciálható, és ebben a pontban (f + g)' = f ' + g '.

B. Az összeg különbségi hányadosa felbontható a tagok különbségi hányadosainak összegére.

T (Szorzat deriváltja). Ha f és g differenciálhatók a megadott pontban, akkor ott fg is differenciálható, és ebben a pontban (fg)' = f 'g + fg '.

B. Képezzük a szorzat különbségi hányadosát, majd átalakítás után vegyük a határértékét:
EMBED Equation.3
itt felhasználtuk, hogy a g függvény - mivel differenciálható - folytonos.
T (Inverz függvény deriváltja). Tegyük fel, hogy az f(x):(a, b) ( R folytonos, inverz függvénye létezik, az f differenciálható az x ( (a, b) pontban, és f '(x) ( 0, akkor f -1 differenciálható az f(x) pontban és
EMBED Equation.3 .

M. EMBED Equation.3 itt az EMBED Equation.3 függvény deriváltját jelöli, EMBED Equation.3 a derivált értéke az f(x) pontban.

B. Az f '(x) ( 0 feltétel miatt az f-nek van f(x)-nél nagyobb értéke is meg kisebb értéke is, így a Bolzano-tétel miatt az y = f(x) az f értékkészletének belsQ pontja. Adott h-hoz legyen xh az az érték, melyre f(xh) = y + h (elég kis h-ra ilyen xh létezik). Írjuk fel az inverz függvény különbségi hányadosát, és alakítsuk át, mielQtt a határértékét képezzük, akkor
EMBED Equation.3
bizonyítja az állítást, ugyanis az inverz függvény folytonossága miatt xh - x ( 0, ha h ( 0.

26 Hányados és összetett függvény deriváltja.
T (Hányados deriváltja). Ha f és g differenciálhatók a megadott pontban, akkor ott EMBED Equation.3 is differenciálható és ebben a pontban EMBED Equation.3 .

B. Képezzük a hányados különbségi hányadosát, majd átalakítás után vegyük a határértékét:
EMBED Equation.3
A g függvény folytonossága itt is felhasználásra került.

T (Összetett függvény deriváltja). Ha f differenciálható az x pontban, és g is differenciálható az f(x) pontban, akkor a gæ%f is differenciálható az x pontban és (gæ%f)'(x) = (g(f(x)))' =
= g'(f(x))"f '(x).

B. Képezzük az összetett függvény különbségi hányadosát, majd átalakítás után vegyük a határértékét:
EMBED Equation.3
ugyanis f(x + h) = f(x) + l alakban írható fel, akkor az elsQ tényezQ a g függvény különbségi hányadosa az f(x) helyen, továbbá, ha h ( 0, akkor az f folytonossága miatt l ( 0.

P. Számítsuk ki a cosx deriváltját. Mivel EMBED Equation.3 , a deriváltat összetett függvényként is kiszámíthatjuk: a szinusz y deriváltja koszinusz y, de szorozni kell az
y = EMBED Equation.3 deriváltjával, ami -1. Összefoglalva: EMBED Equation.3 .

P. Számítsuk ki a tgx deriváltját. Mivel EMBED Equation.3 , a deriváltat a hányados deriválási szabálya szerint végezhetjük el.
EMBED Equation.3

27 Konvex függvények tulajdonságai. Az exponenciális függvény konvex.
Konvex függvények
D. A sík vagy tér egy A halmaza konvex, ha (x1 ( A és (x2 ( A-ra az x1-et és x2-t összekötQ szakasz A-hoz tartozik.

D. I legyen a számegyenes véges vagy végtelen intervalluma. Az f: I ( R függvényt konvexnek nevezzük, ha a felette lévQ pontok halamza, pontosabban a {(x, y): y ( f(x)} halmaz konvex. A konkáv függvény definíciója annyiban tér el, hogy a függvény alatt elhelyezkedQ pontok halmazának a konvexitását kell feltételezni.

A függvények konvexitására számos, a megadott definícióval ekvivalens definíció adható. Az ekvivalencia geometriai megfontolásokból nyilvánvaló.

f: I ( R konvex, ha grafikonjának bármely két pontját összekötQ szakasz a görbe felett halad, vagy azzal megegyezik.
Ez a definíció képlettel is felírható. Legyen x1, x2 ( I, akkor ( ( (0, 1)-re a ( x1 + (1 - () x2 az (x1, x2) intervallum egy pontja, és végigfut az intervallumon, ha ( végigfut a (0, 1)-en. Minden egyes ilyen pontra meg kell tehát követelni, hogy
f(( x1 + (1 - () x2) ( ( f(x1) + (1 - () f(x2),
ez az un. Jensen-egyenlQtlenség.
f: I ( R konvex, ha (x ( I-re az EMBED Equation.3 különbségi hányados h monoton növekedQ függvénye.
f: I ( R konvex, ha ((x1, x2)( I és ((x3, x4)( I, x1 < x2 ( x3 < x4 esetén
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 .
T. Az exponenciális függvény konvex.

B. A Jensen-egyenlQtlenséget bizonyítjuk, elQször ( ( Q-ra. Legyen tehát EMBED Equation.3 , 0 < p < q, ahol p és q egész. q darab számra, p darab EMBED Equation.3 -re és q - p darab EMBED Equation.3 -re alkalmazzuk a számtani-mértani közép egyenlQtlenséget:
EMBED Equation.3 .
TetszQleges ( ( R-re a (-t közelítsük meg racionális számok sorozatával, minden racionális számra igaz az egyenlQtlenség, akkor a határértékükre is igaz marad, amivel a Jensen-egyenlQtlenséget beláttuk, vagyis ax konvex.

28 Az exponenciális függvény differenciálható, deriváltjának kiszámítása. A logaritmus függvény deriváltja.
T. Az ax exponenciális függvény bármely x pontban differenciálható.

B. A konvexitás miatt a különbségi hányadosnak létezik a bal- és a jobboldali határértéke, hiszen h-nak monoton növekedQ függvénye. Legyen a baloldali határérték (, a jobboldali (, válasszuk h-t pozitívra, akkor
EMBED Equation.3 .
Mivel a különbségi hányados jobb- és baloldali határértéke megegyezik, a függvény differenciálható.

T. Ha f(x) = ax, akkor f '(x) = axlna.

B. ElQször x = 0-ban határozzuk meg a derivált határértékét. A derivált létezését tudjuk, tehát választhatunk h-nak speciális 0-hoz tartó sorozatot: EMBED Equation.3 , akkor
EMBED Equation.3 ,
vagyis f '(0) = lna. Az általános eset erre visszavezethetQ:
EMBED Equation.3 .
K. Az f(x) = ex függvény deriváltja f '(x) = ex.

P. Számítsuk ki az lnx függvény deriváltját. Az inverz függvény deriválási szabálya alapján
EMBED Equation.3 .

T. Az f(x) = x( (( ( R) függvény deriváltja f '(x) = EMBED Equation.3

M. Az az ( ( N esetén levezetett képlet tehát teljes általánosságában (( ( R) érvényes.

B. Az összetett függvény deriválási szabálya alapján, felhasználva a logaritmus függvény deriváltját is: EMBED Equation.3

29 Középérték tételek.
T (Lagrange-féle középérték tétel). Ha f(x) az [a, b]-ben folytonos, és (a, b)-ben differenciálható, akkor van olyan ( ( (a, b), hogy EMBED Equation.3 .

B. Az (a, f(a)) és a (b, f(b)) pontokat összekötQ egyenes egyenlete legyen l(x), és legyen
g(x) = f(x) - l(x). Ha g(x) = 0 minden x ( [a, b]-re, akkor nincs mit bizonyítani, az (a, b) minden x pontjában f(x) = l(x), így EMBED Equation.3 . EllenkezQ esetben g vagy pozitív, vagy negatív értéket felvesz. Tegyük fel, hogy van pozitív értéke. A g valamely x = ( pontban felveszi a legnagyobb értékét, és mivel ez nagyobb, mint 0, csak az intervallum belsejében veheti fel: minden x ( [a, b]-re g(() - g(x) ( 0, így a különbségi hányados
EMBED Equation.3
számlálója nem pozitív, az egész törtkifejezés elQjele -h-val egyezQ (vagy nulla). A különbségi hányados határértéke létezik, ha pozitív h értékeken keresztül tartunk nullához, akkor g'(() ( 0, ha negatív h értékeken keresztül tartunk nullához, akkor g'(() ( 0 adódik, így g'(() = 0. EbbQl
EMBED Equation.3 .

T (Cauchy-féle középérték tétel). Tegyük fel, hogy f és g folytonos [a, b]-ben, és differenciálható (a, b)-ben, és g'(x) ( 0 (a, b)-ben, akkor van olyan ( ( (a, b), hogy
EMBED Equation.3 .
B. Képezzük a h = f - cg függvényt, ahol c = EMBED Equation.3 . Alkalmazzuk erre a Lagrange-féle középérték tételt, akkor
EMBED Equation.3 ,
ami átrendezve adja a bizonyítandó állítást.

30 L'Hospital szabály. (Bizonyítás csak véges esetben.)
A hányados határértékének meghatározásánál feltétel volt, hogy a nevezQ határértéke nem lehet 0. Ha a számláló határértéke ekkor 0-tól különbözQ, akkor a tört nem korlátos, abszolút értékének a határértéke +". Ha a számláló határértéke is 0, akkor a tört határértéke - ha egyáltalán létezik - tetszQleges lehet. A határértékben EMBED Equation.3 alakú, vagy EMBED Equation.3 alakú tört kifejezéseket határozatlan alaknak nevezzük. Az ilyen alakú törtek határértékének kiszámításához ad segítséget a L'Hospital szabály. Határozatlan alakok még a 0"" szorzat, a
" - " különbség és az 1" hatvány is, melyek megfelelQ átalakítással tört alakra hozhatók.

T (L'Hospital szabály). Ha az f és a g függvények az a hely környezetében - az a helyet nem számítva - differenciálhatók, g'(x) ( 0, továbbá
EMBED Equation.3 és EMBED Equation.3 ,
vagy
EMBED Equation.3 és EMBED Equation.3 ,
akkor
EMBED Equation.3 ,
feltéve, hogy az utóbbi határérték létezik. Az a hely a (" is lehet.

B. Több esetre kell a bizonyítást elvégezni.
a véges és EMBED Equation.3 alak. Ha szükséges változtassuk meg f és g értékét a-ban, és legyen f(a) = 0, g(a) = 0, akkor f és g a-ban is folytonos, vagyis a Cauchy-féle középérték tétel alkalmazható:
EMBED Equation.3 ,
és mivel ( x és a közé esik, x ( a esetén ( ( a, így, ha a jobboldalon lévQ határérték létezik, akkor ez a baloldal határértéke is.

31 Monotonitás és a szélsQértékek megállapítására vonatkozó tételek.
Monotonitás
T. Az (a, b) intervallumban differenciálható f függvény akkor és csak akkor monoton növekedQ az (a, b)-ben, ha (x ( (a, b)-re f '(x) ( 0. Hasonlóan a monoton csökkenést az
f '(x) ( 0 jellemzi.

B. ( Ha f monoton növekedQ, akkor a különbségi hányadosa nemnegatív, így annak határértéke is nemnegatív.
( Ha f '(x) ( 0, akkor a Lagrange-féle középérték tétellel bármely x1 és x2 számokra (x1 < x2,
x1, x2 ( (a, b)) van olyan ( ( (a, b), hogy
EMBED Equation.3 ,
amibQl EMBED Equation.3 , ami a monoton növekedést jelenti.

M. Ha (x ( (a, b)-re f '(x) > 0, akkor ugyanezzel a bizonyítással belátható, hogy f szigorúan monoton növekedQ, ugyanakkor ha f szigorúan monoton növekedQ, akkor f'(x) > 0 nem feltétlenül teljesül. Erre példát ad az f(x) = x3 függvény, amely szigorúan monoton növekedQ, de f '(0) = 0.

Lokális szélsQérték
D. Az f(x) függvénynek az x0 pontban lokális maximuma van, ha az x0-nak van olyan S környezete, hogy (x ( S-re f(x0) ( f(x). Az f(x) függvénynek az x0 pontban lokális minimuma van, ha az x0-nak van olyan S környezete, hogy (x ( S-re f(x0) ( f(x). A lokális maximum és a lokális minimum közös elnevezése lokális szélsQérték.

T. Ha az f(x) függvénynek az (a, b)-be esQ x0 pontban lokális szélsQértéke van, akkor
f '(x0) = 0.

B. Azonos a Lagrange-féle középérték tételnél g-re elmondott bizonyítással.

M. Ha f '(x0) = 0, akkor a szélsQérték létezése még nem biztos. Példa a korábbi x3 függvény.

M. Ha a derivált elQjelet vált az x0 pontban, akkor a szélsQérték létezése biztosítva van: ha az elQjelváltás pozitívból negatívba történik (vagyis az x0 egy környezetében az x0-nál kisebb helyeken a derivált pozitív, a nagyobb helyeken negatív), akkor a függvény az x0-tól balra növekedQ, jobbra csökkenQ, tehát lokális maximuma van. A fordított elQjelváltás a lokális minimum feltétele.

T. Ha f differenciálható (a, b)-ben, x0 ( (a, b)-re f '(x0) = 0, és f ''(x0) < 0, akkor az f-nek az x0-ban lokális maximuma van. (Az f ''(x0) az f '(x) függvény x0 pontbeli deriváltját jelöli.) Ha
f '(x0) = 0, és f ''(x0) > 0, akkor az f-nek az x0-ban lokális minimuma van.

B. Elég az elsQ állítást bizonyítani. Ha f ''(x0) = - c < 0, akkor válasszuk ( = ½ c-t, és ha |h| < (, akkor
EMBED Equation.3 .
Ez azt jelenti, hogy h < 0-ra f '(x0 + h) > 0, h > 0-ra f '(x0 + h) < 0, vagyis f ' elQjelet vált pozitívból negatívba, amibQl következik, hogy x0-ban maximum van.

32 Konvexitás és az inflexiós pont megállapítására vonatkozó tételek.
A függvények konvexitásának a definícióját, több ekvivalens definícióval együtt 8.4.-ben már megadtuk. Itt a konvexitás eldöntése lesz a fQ kérdés.

T. Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható függvény. f(x) akkor és csak akkor konvex az (a, b)-n, ha (x ( (a, b)-re f ''(x) ( 0. f(x) akkor és csak akkor konkáv az (a, b)-n, ha (x (
( (a, b)-re f ''(x) ( 0.

B. ( Ha f konvex, akkor a harmadik ekvivalens definíció alapján a nagyobb ponthoz tartozó különbségi hányados nagyobb vagy egyenlQ, mint a kisebb ponthoz tartozó, feltéve, hogy a h kisebb, mint a két pont távolsága. EbbQl következik, hogy az elsQ derivált monoton növekedQ függvény, tehát deriváltja, a második derivált, nemnegatív.
(Ha f ''(x) ( 0, akkor f '(x) monoton növekedQ függvény. Válasszuk tetszQlegesen az u < v pontokat az (a, b) intervallumban, és vegyünk fel ugyancsak tetszQlegesen egy w pontot, melyre u < w < v. A Lagrange-féle középérték tétel miatt
EMBED Equation.3 és EMBED Equation.3 ,
ahol u < ( < w < ( < v, tehát f '(() ( f '((), vagyis az elsQ különbségi hányados kisebb vagy egyenlQ, mint a második. EbbQl látható, hogy a w pontban a görbe az u és a v pontokhoz tartozó szelQ alatt halad.

Inflexiós pontnak nevezzük a görbe azon pontját, ahol az érintQ "átmetszi" a görbét. Ezt azonban pontosabban kell megfogalmazni.

D. Az f(x) legyen az (a, b)-ben differenciálható függvény, és jelöljük l(x)-szel az x0 ( (a, b) pontbeli érintQt. x0 inflexiós helye f-nek, ha x0-nak egy környezetében f(x) - l(x) ( 0, ha
x > x0, és f(x) - l(x) ( 0, ha x < x0, vagy fordítva: f(x) - l(x) ( 0, ha x > x0, és f(x) - l(x) ( ( 0, ha x < x0,

T. Legyen az f az (a, b)-n differenciálható, az x0 ( (a, b) pontban kétszer differenciálható. Ha x0 az f inflexiós helye, akkor f ''(x0) = 0.

B. Jelöljük g-vel az f - l függvényt (l az érintQ egyenlete), akkor g'(x0) = 0. Ha g"(x0) ( 0 lenne, akkor g-nek szélsQértéke lenne x0-ban, de ez ellentmond az inflexiós tulajdonságnak.

M. Az inflexiós hely tényleges megállapításához f ''(x0) = 0-n kívül pl. a második derivált elQjelváltását kell megvizsgálni.

Hasonló témájú dokumentumok

25a
- 2007-12-31 18:24:01

Jogi alaptan 5. tétel
- 2009-10-25 15:07:57

Humánetológia
- 2011-01-16 17:11:23

matek
- 2008-12-29 19:32:03

24b
- 2007-12-31 18:25:25

kidolgozott tételek
- 2010-01-11 16:42:48

15.Perforin/Granzim útvonal
- 2010-01-12 20:25:31

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Szólj hozzá a feltöltött dokumentumokhoz. Minden feltöltött dokumentumhoz megírhatod a véleményed. Ha jónak találod, akkor adj rá sok pontot a csillagokkal. Ha nem találod jónak, akkor adj rá kevés csillagot, és írd le a Hozzászólásokhoz hogy milyen hiányosságok, hibák vannak benne. A dokumentumok a hallgatók értékelése alapján sorrendeződnek.

Keresés
Bejelentkezés
Regisztráció
Ajánlj ismerősödnek!
Oldaltérkép

Gazdmat. I. kidolgozott tételsor

Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

Cimkefelhő