Kalkulus 1. - Lajkó Károly

Országok listájaHungaryDebreceni EgyetemInformatikai KarProgramtervező informatikusKalkulus 1.JegyzetekKalkulus 1. - Lajkó Károly

Ä

à ÖÓÐÝ

à РÙÐÙ× Áº

ÑÓ

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö

Ä

à ÖÓÐÝ

à РÙÐÙ× Áº

ÑÓ
ËÇÊÇ

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö
ÌË Þ ÊÃ Ë Ì

× Á×ØÚ Ò

Ä

à ÖÓÐÝ

à РÙÐÙ× Áº

Ý Ø Ñ ÖÑ

ÝÞ Ø ×

ÑÓ

Ö
Ò ÅØÑØ

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö
ÝØÑ ÁÒØ Þ Ø

Ä Þ

ØÓÖ × Á×ØÚ Ò

ÄÓ×ÓÒ
Þ Ä ×ÞÐ

ÓÔÝÖ ÓÔÝÖ

Ø
Ä Ø
Ð

à ÖÓÐݸ ¾¼¼¿ ØÖÓÒ Ù× ÞÐ ×

ÑÓ

Áýà ÒÝÚØ Ö¸ ¾¼¼¿

ÑÓ
¼½¼

ÁýÃ ÒÝÚØ Ö
Ö
Ò Ý Ø Ñ ÁÒØ Þ Ø Ö
Ò¸ È º ½¾ º Ò ºÙÒ º Ù

ÁÒ ÓÖÑ Ø ØØÔ »»ÑÓ

Ñò Ñò × ÔÖÓ

Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ ×
Ð ×Þ ÖÞ

Ö

×Þ Ð Ò

ÓÒ Ð Ø ÐØ

Ø º Å Ò Øº

Ò

Ý

й

×ÞÒ Ð ×
×

ÑÓ ÁýÃ Ò×Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ´ÁÃÌ ¸ ÇÅ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ¸ Ð Ò Ö
× ÔÓÖØ Ð ×ÞÓ ØÚ Ö ´ÁÌ
Ö Ø Ò ×Þ Ðغ

Ð Þ Ø × Ö ×

ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò

¹¼¼¿ ¿»¾¼¼¿µ Ÿ ¼»¾¼¼¿µ

Ø

Ì ÖØ ÐÓÑ
Áº À ÐÑ ÞÓ ¸ Ö Ð
Â Ð Ð × ¾º Ê Ð
¿º ½º À ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø ´Ð Ú ÒÝ

ÝÞ
¸
Ð Ô Ó

Ú ÒÝ
ÐÑ

ºººººººººººººººººººººººººº
½¿ ½ ¾½ ¾½ ¾½ ¾¾ ¿¾ ¿¿ ¿ ¿ ¼ ¿

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººººººººº Ô Þ × µ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ÁÁº ËÞ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ú Þ Ø × ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½º ¾º à º Ú Ð × ×Þ ÑÓ ×Þ Ø × ÐÑ ÞÓ ØÓÔÓÐ Ü Ñ Ö Ò ×Þ Ö ººººººººººººººººººººººººººººººº Ú Ð × ×Þ Ñ Ó ×Þ ÑÓ×× ÐÓÑ ÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººººººººººººººººººººººººººººººººººº

¿º ´ËÞ Ñµ

R

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ÁÁÁº ËÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º Ð Ô Ó ÐÑ × Ô
×ÓÐ ØÙ ¸ ÐÐ ØÚ ººººººººººººººººººººººººººººººººººº Ö Ò Þ × ºººººººººººººººººººººººº ¾º ËÓÖÓÞ ØÓ º × ÑòÚ Ð Ø ¿º Ê ×Þ×ÓÖÓÞ ØÓ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

Ù
ݹ×ÓÖÓÞ ØÓ

º Æ Ú Þ Ø × ×ÓÖÓÞ ØÓ

Áκ ËÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º Ð Ô Ó ÐÑ Ò
×ÓÖÓ × Ð ÔØ Ø Ð ºººººººººººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¾ ¾º ÃÓÒÚ Ö ¿º ÅòÚ Ð Ø º Ì Þ Ö Ø Ö ÙÑÓ Ð ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

× Ø ÖØ

κ
½º ¾º ¿º º

Ú ÒÝ
Ð Ô Ó ÐÑ ÓÐÝØÓÒÓ×× ÓÐÝØÓÒÓ×× ÓÐÝØÓÒÓ××

ÓÐÝØÓÒÓ××
Ó ÐÑ × ÑòÚ Ð Ø × ØÓÔÓÐÓ

ººººººººººººººººººººººººººººººº
ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººº Ù× Ó ÐÑ ººººººººººººººººººººººººººº

½ ½

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

Ì ÊÌ ÄÇÅÂ

Ã

ÎÁº
½º ¿º

Ú ÒÝ
Ð Ô Ó ÐÑ × Ø Ö ÖØ

Ø Ö ÖØ
× Ø Ø Ð × ÑòÚ Ð Ø Ú ÒÝ

ºººººººººººººººººººººººººººººººº
ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ÐÐ ØÚ Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ô
×ÓÐ Ø ºººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººº

½ ½

¾º À Ø Ö ÖØ º ÅÓÒÓØÓÒ

ÓÐÝØÓÒÓ××

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ÎÁÁº
½º ¿º Ð Ñ

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ
Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ Ú ÒÝ ×

×

Ú ÒÝ×ÓÖÓ ¸ Ð Ñ
Ú ÒÝ×ÓÖÓ ÓÒÚ Ö Ò

Ú ÒÝ
ºººººººººººº

½ ½

¾º À ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¿ ¿

ÎÁÁÁº
½º Î Ð × ¾º ¿º º º º º Å ½¼º

Ö Ò
Ð×Þ Ñ Ø × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ú ÒÝ Ð Ð Ð Ø × Ø × Ø × Ö Ò
× Ð Ò Ö Ò
Ð Ð Ö × Ø × Ð Ø × ØÙÐ ÒÝ Ó× ººººººººººººººººººººººººº Ø × ººººººººººººººº Ö Ò
Ö Ò
Ö Ò
Ð Ñ × ÓÐÝØÓÒÓ×× × ÑòÚ Ð Ø Ö Ò
Ú ÒÝ ØÓÚ Ú ÒÝ Ö Ú ÐØ Ú ÒÝ Ø ººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººººººº ÔÔÖÓÜ Ñ Ð

º À ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ Ú ÒÝ × × Ö Ò

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ÓÒ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾

sin

cos
Ð Ñ Ö Ò ò Ð

º ÌÓÚ

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¿ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ú Þ× Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¾½ ½¾¿ ½¾

ÁÖÓ ÐÓÑ ÆÚ ÝÞ

ÝÞ

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

Ì Ö ÝÑÙØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Áº

À ÐÑ ÞÓ ¸ Ö Ð
ÁØØ ´ × Ö × Ö Ý¸ ÒÒ Þ Þ × ×ÞÒ Ð Ù Ð Ö × Ö ¸ Ð ÒØ × Ð ÒØ × × Ð¸ Ò ´ Ò ×µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ý Ð Ú Ø µ Þ µ Ò
ÐÓ

Þ Ø

¸
¸ ´ ÐÐ Ø ×Ó

Ú ÒÝ
× ÞÓÒÝ Ø ×Ó Ð × ×Ñ Öص Ø Ñ Ö Ð ¹ Ð Ð × Øº Þ Ô × ÓÐ

ÂÐ Ð×

A A
ÓÖ Ø Ð Ñ Ò

Ý Ò ÖØ

B
´ Ð Ø Þ

Ú Ò ÓÐÝ Ò Ò
×Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø

B B A B
Þ ò

Ð ÒØ ×

Þ

Ð ÒØ ×× Ð

A = B ´ A ÓÖ

×
×

Ð ÒØ ×Ö

ÖÑ ÐÝ µ Ý ÒÐ

Ð ÒØ ×Ö

×Þ Ö ÒØ ×ÞÒ Ð Ù º

Ð ÒØ ×Ö



. =

½º À ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ó ÐÑ
Ò Ñ
Ö ×Þ × º Ò Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ò Ó Ø Ø Ú ÐÑ Ø ÐØ Ð × Øò ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ð ÓØØÒ Ò Ò Ý ÓÒØÓ× Ó ×ÞØÖ Ð¹ ¹ Ø Ø Ö Ý Ð Ù º

ÐÑ Þ

ÐÑ Þ Ð Ñ
ÐÑ ÞÓ Ð Ñ Ñ Þ Ñ Ò

´Ñ Ø Ñ Ø Øò

Ò

µ Ø

ÒØ

Ð ´A, B, C, . . . ;

X, Y, Z, . . . ; A1 , A2 , . . . µ¸ a1 , a2 , . . . µ Ð Ð º ÞØ Ô Ð Ùи Ó Ý a Ð Ò Ñ Ð Ñ Þ A ÐÑ ÞÒ
Ý Ó Ý

Ð ´a, b, c, . . . ; Þ

x, y, z, . . . ;
Þظ Ù Ó Ý

ÐÑ Þ
Þ

ÓØظ

Þ A aA / Ò

ÐÑ ÞÒ ×Þ Ñ

ÐÙÑÑ Ð

a A¸
Ð Ð

Ñ º Ð ØÙ

a

ÓÐÓ Ö Ð Ð Ñ

Ý ÖØ ÐÑò Ò

ÒØ Ò ¸

Ð Ñ ¸ Ú Ú

, }¸
× × Ø× Ðº

ÐÑ ÞÓ Ø Ñ
Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ×Ñ ÖØ ØÙÐ

Ý × Ñº

ØÙ
ÓÒ×

Þ

ÐÑ Þ

Ú Ð

{x | x T

{a, b, c, x, y, z, T ØÙÐ ÓÒ× ´ ÐÐ Ø ×µ }¸ {x | T (x)}¸ {x A | T (x)} Ð Ð ¹
Ð×ÓÖÓÐ × Ú Ð Ð Ñ Ö Ú Ð

½¼

Áº À ÄÅ

Çø Ê Äý Á

ø

Î Æ

Ã

½º ¾º

Ñ ÞÒ

Ò
º
Ò Ú ÞÞ

ÞØ ¸ × × ÞØ

ÐÑ Þظ

Ñ ÐÝÒ ÐÙÑÑ Ð

Ý ØÐ Ò Ð Ð ¸ Ñ º

Ð Ñ

× Ò
׸

ÈÐ º
½º À ¾º À

Ò
º ÞA x A x B º

B ÐÑ ÞÓ A = B¸ Ø
× ×



Ö×
º

й
Þ Þ

×Þ Ñ

Ý ÒÐ
× Ø

Ð Ñ ÓÒ

Ù Ý Ò ÞÓ ¸ Ð Ð

A=B
ÓÖ ÓÖ

½º Ñ ÝÞ ×º ¿º Ò
º Þ
Ñ Ò Ð Ð × Ò

A = {a, b, c, d} A = {a, b, c, d}
¾º

B = {d, b, c, a}¸ B = {b, c, e}¸
Ò
¸

A = Bº A = Bº
Ý Ö × ÐÑ Þ Ð Ø Þ º ¸ ÒÒ

Ó Ý
×

È Ð º À A = {, , } º Ò
º Þ A ÐÑ
A = Bº
Ö ×Þ

A ÐÑ Þ Ö xA × Ø ÒxB × A B ¸ Ú Ý B Aº
× Þ

×Þ ÐÑ Þ ´Ö ×Þ µ
Ø Ð × Ð ´ Þ Þ ÓÖ

B ÐÑ ÞÒ x A = x B µº A Bº
¸

B = {, , , }¸

ÚÐ

Ö ×Þ

B
ÓÖ

ÐÑ ÞÒ

A B¸ A
Ò Ñ Ú Ð

ÈÐ º ¾º Ñ ¿º Ñ º

À

ÐÑ Þ

A = {, , } × B = {, , }¸ B ¹Ò ¸ Ñ ÖØ A = B º

A B¸

AÚ Ð BA

ÝÞ ×º ÝÞ ×º
Ö ×Þ Ð Ð º

A = B A B
ËÞÓ ×Ó× Þ ×¸ Ó Ý Þظ ÐÝ Ò ÓÖ

×

B Aº
ØÚ ÐÑ Þ

B ¹Ò

Ó Ý

A B ¸ ÐÐ A Ö ×Þ

BA B ¹Ò
µ

ÞØ

Ð Ð ¸

Ó Ý Ú Ý

AB

Ò
º À ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö
ÖØ Ò ¸ Ñ ÐÝÒ Ý Ò À Ý Ð Ñ

´Ú

Ý

ÐÑ Þ
× Ð

Ð ØØ ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ö ×

ÐÑ ÞØ

ÐÑ ÞÓ º ÐÑ Þ Ð Ð Ò º º Ü ÐÑ Þ¸ Ñ × ÓÒ ÖÑ ÐÝ Ð ÐØ Ð ÐÐ ÐÑ ÞØ Þ

Ú ÒÝ ÐÑ Þ
º
I ¹Ú
× Ø Ò

º

Ò
º Ò
º
ÓØØ

A

ÐÑ Þ ¸

××Þ × Ö ×Þ ×

A

Ò Ú ÞÞ

2A ¹Ú
ÓÖ

ع

Ð

Ð Ò Ü ÐØ
Ð ÐØ Þ ÐÑ ÞÓ

º
Ú Ð ×

ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ ÖÒ Ò
º Þ A × B ÐÑ ÞÓ
ÐÑ ÞØ × ÖØ ÖØ Þ Ð Ð ¸ Ð

I = Ai ÐÑ

Ý ´ Þ¸

ÝÒ Ú Þ Øص Þ Ò Ú ÞÞ

{Ai | i I}

ÐÑ ÞØ

i I

Ý × Ø × Ò ´ÙÒ
ÞÓ Þ Ð Þ Ð Ñ ÞØ Ð º Ý ÓÞÞ Ø ÖØÓÞÒ Ð Ðи Ð Þ Ð Ñ

Òµ
Þ Ñ ÐÝ

ÞØ

Þ

Ñ ÐÝ Ñ Ò Þ

Ðи Ñ ÐÝ

A B¹ Þ A
Ð Ð ÐØ Þ

B

A

B
¸

ÐÑ ÞÓ
Ð Ñ

Þ × Ö ×Þ Ò ´Ñ Ø×Þ Ø Òµ
ÞÓ º

A B ¹Ú
Ñ Ò

ÐÑ ÞØ Ñ Ò

Ñ ÐÝ Ñ Ò

A¸

B

ÐÑ ÞÒ

½º À ÄÅ

ÄÅ Ä ÌÁ

Ä È Ç

ÄÅ Ã

½½

Þ Ñ ÐÝ

A
Þ

×

B

A

ÐÑ ÞÓ
ÐÑ Þ Ö ×Ñ ÞÓÒ Ò

ÐÒ×
Ð Ñ Ð

Ò
Ðи

ÞØ

Þ

A\B ¹Ú
Ò Ñ

Ð

Ð ÐØ

ÐÑ ÞØ

ÖØ

¸ º

Ñ ÐÝ

Ð Ñ

B

ÐÑ ÞÒ

Ì Ñ Ö

. A B = {x | x A . A B = {x | x A . A \ B = {x | x A
Þ ØØ

Ú × ×

Ý

x B}, x B} /

x B},

Î ÒÒ¹

ÐÑ ÞÓ

Ö ÑÓ
A

Þ ØØ ÑòÚ Ð Ø Ðº

× Ö Ð

Ð ×Þ ÑÐ ÐØ Ø

Ø

ÝÒ Ú ¹

B AB

A AB

B

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

A A\B
½º½º

B

A AB

B

Ö º Î ÒÒ¹

Ö ÑÓ

Ý

R ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö Ý × . R = {a | A R, a A},
Ø ÖØ º Ý Ò

Ø × Ò¸
Ü ÐØ

ÐÐ ØÚ

. R = {a | A R¹Ö a A}
ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö¸ ÓÖ Ð Ð Ð Ý × Ø × Ø¸ º

Þ × Ö ×Þ Ò

Þ

ÐÑ ÞÓ À ÐÐ ØÚ

R = {Ai | i I} Ai ¸ Þ × Ö ×Þ Ø Þ
iI
À

ÐÐ ØÚ

Ai
iI

×Þ Ñ

ÐÙÑÓ

ÈÐ º

A = {a, , , b, c}

×

A B = {a, , b}, B \ A = {d, e}. A \ B = {},

A B = {a, , , b, c, d, e},

B = {a, , b, d, e}¸

ÓÖ

½º Ø Ø Ðº À

A, B, C Ø Ø×Þ Ð

×

ÐÑ ÞÓ ¸

ÓÖ

A B = B A,

AB =BA

½¾

Áº À ÄÅ

Çø Ê Äý Á

ø

Î Æ

Ã

´ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø ×µ ´ ××ÞÓ
Ø Ú Ø ×µ
(A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) (A\B) C = (A C)\B,

´ ×ÞØÖ ÙØ Ú Ø ×µ

A (B C) = (A B) (A C), A\B = A\(A B),

A\(B C) = (A\B) (A\C), A B = B A B, A\B = A B.
Ò
Ð
ÞÓÒÝ Ø ×º

A\(B C) = (A\B) (A\C), A B = B A B,
º ËÞ ÑÐ ÐØ ×× Î ÒÒ¹ ¹

ÞÚ ØÐ Ò Ð

Ö ÑÑ Ð

º
À Ý

Ò
º
R

Þ

A

×

B

ÐÑ ÞÓ ÖÑ ÐÝ Ò Ú ÞÞ º

×Þ ÙÒ Ø
Ø Ð Ò Þ

´

Ò
ÐÑ Þ

µ¸

Ô ÖÓÒ ÒØ ×Þ ÙÒ ØÒ
ÈÐ º
½º À ¾º À ÙÒ Ø º

ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö

×Þ ÙÒ Ø¸

A B = º

ÓÖ

A = {, , a, b}, B = {, , e}¸ A = {, , b}, B = {a, , d}¸
×Þ ÙÒ Ø À º

ÓÖ

A B = ¸

Ý

A

×

B A
×

×Þ¹

ÓÖ

Ò Ñ

A B = {} = ¸

Ý

B

½¼º
ÐÑ ÞØ Ú ÞÞ º

Ò
º
Þ

X

A

ÐÑ Þ

A X¸ ÓÖ . CX A(= A = A = CA) = X \ A
ÓØØ ÐÑ Þ ×

c

X

ÐÑ ÞÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ
A = {a, , }¸ = X,

ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö

Ò

Ò ¹

È Ð º À X = {a, b, c, , , }, ¾º Ø Ø Ðº À A, B X ¸ ÓÖ
A A = X,

ÓÖ

CX A = {b, c, }º

Þ Ð Þ Ø ××Þ ×Ø ÅÓÖ Ò¹ Ð ÅÓÖ Ò¹ Ð ÞÓÒÓ×× Ó ÖÚ ÒÝ × Ø Ø×Þ Ð
A =


A B = A B,

A A = ,

A B = A B.

X = A = A,

ÞÓÒÓ××
× Ò ×Ó
A =

Ò

Ò Ú ÞÞ º ÐÑ Þ × Ø Ò ×

A

×


A .


¾º Ê Äý Á

à ´Ä à È

Ë Ãµ

½¿

ÞÓÒÝ Ø ×º

Ò

Ð

ÞÚ ØÐ Ò Ð

º

ËÞ ÑÐ ÐØ ××

Î ÒÒ¹

¹

Ö ÑÑ Ð ×

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

A

B

A

B

½º¾º

AB
Ö º

ÅÓÖ

Ò¹ ÞÓÒÓ××

Î ÒÒ¹

AB

Ö ÑÓ

Ð

¾º Ê Ð
½º
×Þ Ñ

´Ð
Ð Þ¸ ×Þ Ø ØØ Ó Ý

Ô Þ× µ
(a, b) = (c, d) a = c
× Ð × Ø× ×º

Ò
º
ÐÙÑÓØ Ø ¸

Þ

a
Þ

×

b

Ð Ñ

Ö Ò Þ ØØ Ð ÑÔ ÖÓÒ
b = dº
Ò Þ

Ý ×

ÖØ Ò ¸

Ñ ÐÝÖ

(a, b) b = dº
ÓÖ ¹

½º Ñ
ÞÓÒÝ Ø

ÝÞ ×º Ò
º
Þ

Ó Ý Ø Ð

¾º

. (a, b) = {{a}, {a, b}} Ò
× Ð (a, b) = (c, d) a = c
×

A

B

ÐÑ ÞÓ

. A × B = {(a, b) | a A, b B}
º ÓÖ Þ

×
ÖØ ×¹×ÞÓÖÞ Ø

ÐÑ ÞØ

ÖØ À

ÈÐ º

A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z}¸ 1 2 3 4 x (1, x) (2, x) (3, x) (4, x) y (1, y) (2, y) (3, y) (4, y) z (1, z) (2, z) (3, z) (4, z)
ÑÙØ Ø ¸ Ó Ý

1 2 3 4

x (x, 1) (x, 2) (x, 3) (x, 4)

y (y, 1) (y, 2) (y, 3) (y, 4)

z (z, 1) (z, 2) (z, 3) (z, 4)

Ø

Ð Þ ØÓ

A × B = { (1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z),

B × A = { (x, 1), (x, 2), (x, 3), (x, 4), (y, 1), (y, 2), (y, 3), (y, 4),

(3, x), (3, y), (3, z), (4, x), (4, y), (4, z) };

½º Ø Ø Ðº À
µ

A, B × C Ø Ø×Þ Ð × ÐÑ ÞÓ ¸ A × B = A = Ú Ý B = ,

(z, 1), (z, 2), (z, 3), (z, 4) }.

ÓÖ

½

Áº À ÄÅ

Çø Ê Äý Á

ø

Î Æ

Ã

µ
µ µ µ µ µ µ

¾º Ñ

(A B) × C = (A × C) (B × C) , A × (B C) = (A × B) (A × C) , (A B) × C = (A × C) (B × C) , A × (B C) = (A × B) (A × C) , (A\B) × C = (A × C)\(B × C) , A × (B\C) = (A × B)\(A × C) , B C = A × B A × C .

ÝÞ ×º A×B
× ÑÙØ Ø Þ ÓÖ ¸ Ú

ÐØ Ð

ÒÒ Ñ

Ý ÒÐ

B×A¸ A

Ó Ý

ÞØ

¾º

Ò

ÙØ Ò Ô Ð

º ÐÑ Þ Ð Ù ¸ ÝF A¹ Ó Ý Ö ×Þ

ÖÐ
À

¿º

Ò
º
Ò À

A×B
ÞØ ÑÓÒ

Ý Ñ × ×Þ Ú

A = B¸

F

Ð B¹

ÐÑ Þ Ø Ú Ð

Ö Ð

A¹Òº
ÓÖ

Ð

× B Þ ØØ ´ Ò Öµ Ô Þ ×Ò Ò Ú ÞÞ º

ÈÐ º

A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z}¸ A
×

F = {(1, x), (1, y), (2, z), (3, y), (3, z)} A × B
Ò Ö Ö Ð

B

Þ Øظ

G = {(x, 3), (y, 1), (z, 1), (z, 3)} B × A
Ò Ö Ö Ð

B

×

A
Þ

Þ Øغ

¿º Ñ
ÓÐÚ ××Ù

a

ÝÞ ×º
Þ

F

Ö Ð

(a, b) F

Ø ÖØ ÐÑ Þ ×Ø ×ÞÓ

Ò Ú Ò

b¹Ú

Ð ´Ú

Ý

aF b¹Ú Ð F a¹ ÓÞ b¹Ø Ö Ò
×

× Ð µº

Ð ÐÒ

×

Ý

º

Ò
º
ÐÑ ÞÓ

. DF = {x A | y B, (x, y) F } ,
Ð ØÚ

ÖØ

Ø

Þ

×ÞÐ Ø Ò
F

F

Ö Ð
´ ×

´Ð

Ô Þ ×µ

ÖØ ÐÑ Þ ×

. RF = {y B | x A, (x, y) F }
´ ×¹µ º

Ø ÖØÓÑ ÒÝ

Ò

¸ й

ÔØ ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ö Ð
Ö

µ Ò Ú ÞÞ

ÈÐ º

Þ

Ð

G

B ¹Ö

ºÑ

DF = A
Þ Ð Ú Ð Ð

ÝÞ ×º

DG = {x, y, z} = B , RG = {1, 3} = A .
À ×

DF = {1, 2, 3} = A , DF = A¸ RF = B ¸
Ð Ô Þ × Ô Þ × º

RF = {x, y, z} = B , RF = B ¸
Ð Ð Ô Þ × Ö Ð Ô Þ ×¸ Ñ Ý

Ý

Ý A¹Ò B¹ A¹Ò B ¹Ö Ú Ð

A¹

Ð

×Þ Ð Ò º Ð Ô Þ ×

ÈÐ º
B ¹Ò

F

A¹

B ¹Ö

Ú Ð

Ð

G

A¹

¾º Ê Äý Á

à ´Ä à È

Ë Ãµ

½

º
Þ

Ò
º
ÐÑ ÞØ

À

C
Þ

Ý Ð Ñò ÓÖ

F¸

× Ò Ú ÞÞ

{x} A (x A) ÐÑ Þ y = F (x) Ð Ð × × Ð Ø× ×º ÐØ ØÐ Ò Ð Ý ÖØ º ´F (x) Ò Ñ
¸ ØÓÚ Ý ÚÓÒ Ø ÓÞ

ÐÑ Þ F ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ

F A × B ÓØØ Ö Ð
× C A¸ ÓÖ . F (C) = {y B | x C, (x, y) F }

Þ

Ô

Ò ÓÖ

Ò Ú ÞÞ

º Þ Ð ÖØ

Ô Ø

Ð Ð F (x)¸ Þ F (x)¹ Ø F x¹

(x, y)
Ò

ÐÑò Ò Ñ

Ø ÖÓÞÓØØ µ

ÈÐ º
Ò Ñ

À A × B × F Þ Ð {x, y, z} = B = RF C F ¹Ö F 1¹ Ð Ô ¸ (1, y) F ¸ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ À

C = {1, 3} A¸ ÓÖ F (C) = (1, x) F ¸ Ý x = F (1) Þ y = F (1) × Þ F 1¹ Ð Ô ¸ Þ Þ F (1)
Ô º ´Ð Ô Þ ×µ¸

Ø ÖÓÞÓØغ ÓØØ Ö Ð

º
Þ

Ò
º
F
Ö Ð
À

F A×B
Ô Þ ×µ ×

. F |C = {(x, y) F | x C} C ¹Ö
Þ

C DF ¸

ÓÖ

´Ð

ÈÐ º
Þ

Ú Ð Ð ×Þò Ø × º
¸ Ý

A, B, C
Ú Ð Ð ×Þò Þ

F

Ð

F C ¹Ö

F |C = {(1, x), (1, y), (3, y), (3, z)}
Ø × º Ò Þ

C DF

×

º

Ò
º
ÐÑ ÞØ ÖØ À º

F A × B Ö Ð
´Ð Ô Þ ×µ ÒÚ ÖÞ . F -1 = {(y, x) B × A | (x, y) F }
Þ Ð ¸ Ý

ÈÐ º ºÑ ÈÐ º

A, B, F F
-1

ÝÞ ×º
Þ Ð

= {(x, 1), (y, 1), (y, 3), (z, 2), (z, 3)} B × A .
Ò
Ð ÒÒÝ Ò Ú Ø Þ ¸ Ó Ý

DF -1 = RF ,

RF -1 = DF ,
Ô Ð Ð Ô Ò

(F

-1 -1

)

= F,

F -1 (B) = DF .

(F -1 )-1 = {(1, x), (1, y), (2, z), (3, y), (3, z)} = F ,

DF -1 = {x, y, z} = RF ,

RF -1 = {1, 2, 3} = DF ,

º
Ö Ð

Ò
º
ÓØØ Ö Ð
Ø ÖØ

F -1 (B) = {1, 2, 3} = DF .
Ä º Ý Ò

F

. G F = {(x, z) | y B, (x, y) F, (y, z) G}
º ´ÆÝ ÐÚ Ò

× G ÓÑÔÓÞ
GF A

A, B, C

ÓØØ

Ò´

ÐÑ ÞÓ ¸

××Þ Ø Ø Ð Òµ

F A×B

×

G B ×C

×

C

Þ ØØ Ö Ð

ºµ

½

Áº À ÄÅ

Çø Ê Äý Á

ø

Î Æ

Ã

È Ð º À A = {1, 2, 3}, B = {y, z}, C = {, } ØÓÚ F = {(1, y), (1, z), (3, y)} A × B × G = {(y, ), (z, ), (z, )} B × C Ö Ð
¸ ÓÖ G F = {(1, ), (1, ), (3, )} A × C Ö Ð
Þ F × G
ÓÑÔÓÞ
º

¾º Ø Ø Ðº
C×D

Ý
Þ Ð

Ò
Ð Ð × Ñ ÐÐ ØØ (G F )-1 = F -1 G-1 º À H º ÖÑ Ö Ð
´D Ø Ø×Þ Ð × ÐÑ Þµ¸ ÓÖ
H (G F ) = (H G) F .
Ô Ð ÐÑ Þ Ø × Ö Ð
Ø Ø ÒØÚ

ÈÐ º

(G = {(, 1), (, 3), (, 1)}¸ ØÓÚ F -1 = {(y, 1), (y, 3), (z, 1)} × G-1 = {(, y), (, z), (, z)} -1 G-1 = {(, 1), (, 3), (, 1)}º Ñ ØØ F -1 = F -1 G-1 º Ý (G F )
Ö Ò Ñ Ó Þ × Ö Ð
×Þ ÑÓ Þ ØØ × Ú Ý Ý ÒÐ Ú ×ÞÓÒÝ ÐÚÓÒØ ÐÑ Þ × º

F )-1

ÖÐ
× Ø Ò µ µ

º

Ò
º
Ò ¸ Ú

Ä

Ý Ò Ý Ö Ò

ÓØØ Þ ×Ò

Þ

A

ÐÑ Þº Þ

Þ

Ò Ú ÞÞ

R A×A Ö A ÐÑ ÞÓÒ¸

Ð

Ø

x, y, z A

ÖÒ Þ×

xRx ´Ú Ý × (x, x) R) ´Ö Ü Úµ¸ xRy × yRx¸ ÓÖ x = y ´ ÒØ ×Þ ÑÑ ØÖ Ù×µ¸
µ xRy × yRz ¸ ÓÖ xRz ´ØÖ ÒÞ Ø Úµ¸ µ xRy Ú Ý yRx Ø Ð × Ð ´Ð Ò Ö × Ú Ý Ø Ð ×µº ÓÖ Þ (A, R) Ô Öظ Ú Ý Þ A ÐÑ ÞØ Ö Ò Þ ØØ ÐÑ ÞÒ Ò Ú ÞÞ º Þ ×Ò Ò Ú ÞÞ º À
× µ¸ µ ×
µ Ø Ð × Ð¸ ÓÖ R¹Ø Ô Ö
Ð × Ö Ò R¹Ø ÐØ Ð Ò ¹Ú Ð Ð Ð × Ôк Þ x y ¹Ø Ý ÓÐÚ ××Ù ¸ Ó Ý x × Ú Ý Ý ÒÐ ¸ Ñ ÒØ y º x = y¸ ÓÖ ÞØ Ý Ð Ð ¸ Ó Ý x < y ´x × ¸ Ñ ÒØ À x y¸ y µº < Ö Ð
Ò Ñ Ö Ò Þ ×º ËÞÓ ×Ó× Ñ x y ¸ ÐÐ ØÚ x < y ÐÝ ØØ Þ y x, y > x Ð Ð ×Ø × ×ÞÒ ÐÒ º

ÈÐ º

À

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} A × A Ô Ö
Ð × Ö Ò R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} A × A A Ö Ò Þ ØØ ÐÑ Þº

A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} .
Þ × × Ø Ò

A = {1, 2, 3}¸

ÓÖ

A¹Òº (A, R2 )¸
Ö ×Þ Ò

ÐÐ ØÚ

½¼º

Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ×Ò

Ò
º

Ä

Ý Ò

A

Ý Ö Ò

Þ ØØ

ÐÑ Þº Ó Ý

Ò Ú Þ Ò ¸

a A¸

Ý B A bB × Ø

ÐÑ ÞØ Þ

b aº

¿º

Î Æ

Ã

½

a¹Ø B

Ö Ð ÓÖÐ ØÓ×
Ò Ú Þ Ò ¸ Ý

ÐÑ Þ

Ð× ÓÖÐ Ø
ÐÑ Þ¸ ÐÙÐÖ Ð Ð Ñ Ø ÓÖÐ Ø ÐÑ Þ Ð× × ÐÐ ØÚ

Ò Þ

Ò Ú ÞÞ

Ð×

ÓÖÐ Ø

º À ×ÓÒР׺ Ý

Ò

Ò ÐÑ ÞØ Ò

Ð

Ø Þ ÐÙй ÓÖÐ ØÓ×Ò

Ð ÐÖ Ð ×

ÓÖÐ ØÓ׺


À Ð Ø Þ

A
Ð×

B B ¹Ò
ÖÑ ÐÝ ÓÖÐ Ø Ø

ÐÑ Þ

ÔÓÒØÓ× Ð×
ÓÖÐ Ø ¸ Ý Ö ÞØ

ÓÖÐ Ø
Ø Ð Ð

Ò Ú Þ Ò ¸

B B µº
À ×ÓÒÐ Þ Ð



Ð×

ÔÓÒØÓ× Ò

ÖØ ÐÑ Þ Ô Ð

ÔÓÒØÓ× Ð×
A R2 ¹Ú
¾ ÓÖÐ Ø Þ ØØ × ¿ ½º

B ¹Ò

ÓÖÐ Ø
Þ ØØ ½

sup B ¹Ú
׺



× Ðº Ð Ð ´×ÙÔÖ ÑÙÑ

ÈÐ º
Ð×

×Þ Ö ÒØ ÐÑ ÞÒ Ð×

Ð Ö Ò Ð× ¸ Ñ

ÐÑ Þº Ð× ÓÖÐ Ø º

B = {1, 2} A
ÓÖÐ Ø

B

ÔÓÒØÓ×

¾¸ ÔÓÒØÓ×

½½º
Ð ÐÖ Ð

Ò
º
Þ Ð Ö × Ò Ò Ñ

Ý ÓÐÝ Ò Ö Ò ÐÑ ÞÒ

ÐÑ Þظ Ð×

Ñ ÐÝ ÓÖÐ Ø

Ò Ñ Ò ¸

ÓÖÐ ØÓ× Ö ×Þ

Ú Ò ÔÓÒØÓ× Þ

Ø Ð ×Ò
¸

Ò Ò Ñ

Ö ×

¹ º

Ò Ú ÞÞ × Ð¸ Ý

ÈÐ º
Ñ Ò

A BÖ

ÐÑ ÞÖ ¸ ×Þ ÐÑ Þ Ò

R2

Ö Ò

Þ ×× Ð¸ ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð Ð× ÓÖÐ Ø

Ó Ý ×º

Ú Ò ÔÓÒØÓ×

A

Ø Ð

¿º
Ú ÒÝ Ú ÒÝ Ò Ä Ó ÐÑ Ò ×× Ò Ý Ò ¸ Ð ×Þ º × Ð

Ú ÒÝ
Ø × Ø Þ ÑÓØ Ú Ð ¸ Ó Ý Ø ÖØ ò

½º

Ú ÒÝÒ
Þ Ñ

Ò
º

A

Ò Ú ÞÞ × Ø Ò Ð

´ Þ Þ

ÈÐ º
½º ¾º Þ

xA

B ÓØØ (x, y) f

ÐÑ ÞÓ º ×

Þ

Ý ÓÐÝ Ò

(x, z) f yBÐ Ø Þ

f A×B Ö Ð
Ø y = z Ø Ð × Ð ¸ Ñ ÐÝÖ (x, y) f µº
× Ø Ò Ò Ñ Ú Òݸ

½º Ñ
Ø ×

ÓÖ À A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z}¸ f = {(1, x), (1, y), (2, z), (3, y), (3, z)} A × B Ö Ð
ÖØ (1, x) f × (1, y) f × x = y ¸ f = {(1, x), (2, z), (3, y)} A × B Ö Ð
Ú Òݺ

ÝÞ ×º

Å Ò

Ò Ø ×

Ú ÒÝ Ö Ð
Ò
Ñ

¸

Ý Ý Þ

Þ

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ Òݸ º¸ º × º Ò

ֹ и

×ÞРظ Ð Ð ×

Ô¸ Ð ×Þò

× Ú ÐØÓÞ ØÐ ÒÓ º

¾º Ñ
Ö Ð

ÝÞ ×º
Ú Òݸ

Ú ÒÝ

Ò

Ý × Ñ

Ó Ý

ÐÑ Þ

Ø

(x, y) f º

x Df

× Ø Ò ÔÓÒØÓ× Ò

y B

Ð Ø Þ

f A×B
¸

Ó Ý

½

Áº À ÄÅ

Çø Ê Äý Á

ø

Î Æ

Ã

¿º Ñ
Ð Ð Þ Þ

x

ÝÞ ×º
ÖØ

Ð Ñ Ô Ø¸ Ú
ص¸ Ñ

À

f

Ð Ð Ý Ø Þ

Ú ÒÝظ

f
Þظ

ÐÝ ØØ × Ø ×

f

Ö

Ø ´ ÐÐ ØÚ

f :AB
Ú ÒÝ Ñ

Ú ÒÝ x

ÓÖ

(x, y) f

Ó Ý

f A¹Ø B ¹

ÐÝ Ò ÐÚ ØØ ÖØ
Ô Þ ¸ Ñ Þ Ð

× Ø Ò

y = f (x)

Ú ÒÝØ ×µ

Ð ÒØ º ×Ó×

{(x, f (x))}
Ð Ð × ×

Ø´

¹

ºÑ

ÝÞ ×º

× Ò Ð ×ÞÓ

y = f (x), x A (x Df ) ;

¾º

Ò
º
Ú Òݺ Ø Ô Þ ×Ò

f = {(x, f (x)) | x Df } .

x f (x) x A (x Df ) ;
-1 Ö Ð
ÒÚ ÖØ Ð Ø ¸ Þ f Ú ÒÝ Ò ´ ÒÚ ÖÞ Ò µ Ò Ú ÞÞ
Ý ÖØ ÐÑò¸ Ú Ý Ý¹ ×

Þ ÓÖ

f A×B f -1 ¹ Ø Þ f
Ú ÒÝØ µº

ÒÚ ÖÞ

Ú ÒÝ

´ Þ ÒÚ ÖØ Ð

Ð
× Ò × Ò

Ý ÖØ ÐÑò Ð ¹

× Ò Ú ÞÞ Ý Ò

ÈÐ º
½º ¾º

Ú ÒÝ ÓÖ ×
× ÓÖ ÒÚ ÖØ Ð Ø ¸ ½º Ø Ø Ðº Þ f : A B Ñ Ò Ò x, y A, x = y × Ø Ò f (x) = f (y) ´Ú Ý × x, y A × Ø Ò f (x) = f (y) = x = y µº
ÞÓÒÝ Ø ×º

A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z}¸ ÓÖ Þ f = {(1, x), (2, z), (3, y)} A × B Ú ÒÝ × Ø Ò f -1 = {(x, 1), (z, 2), (y, 3)} B × A × Ú Òݸ Ý f g = {(1, x), (2, z), (3, x)} A × B Ú ÒÝ × Ø Ò g-1 = {(x, 1), (z, 2), (x, 3)} B × A Ò Ñ Ú Òݸ Ñ (x, 3) g-1 ¸ 1 = 3¸ Ý g Ò Ñ ÒÚ ÖØ Ð Ø º
Ä

ÒÚ ÖØ Ð

Ø º

ÖØ

(x, 1) g -1

×

Ý

ÓÖÐ ØÓÒ ´ Ú ÒÝ

Ð

صº Þ Ð ÒÝ × Ú Ø Þ

¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò ÈÐ º
Ñ ÞÓ Ä × Ý Ò Þ

Þ

××Þ Ø ØØ

ÖØ ÐÑ Þ ×

f A×B × g B×C Ú Òݸ × x Dgf ¹Ö (g f )(x) = g(f (x))º

Ú ÒÝ º

ÓÖ g f ×

ÓØØ Þ A = {1, 2, 3}, B = {x, y}, C = {u, v} й f = {(1, x), (2, x), (3, y)} A × B, g = {(x, u), (y, u)} B×C Ú ÒÝ º ÓÖ g f = {(1, u), (2, u), (3, u)} Ú Òݸ × Ô Ð ÙÐ (g f )(1) = u, g(f (1)) = g(x) = u = (g f )(1) = g(f (1))º

¿º

Ú ÒÝÒ

Ò
º

Ä ¸ Þ

Ý Ò

ÓØØ Ð× ¸ Ò

Þ

f¹

Ø

f ×g g¹Ø Ð×
¸ Ó Ý

Ú Òݺ

Ú ÒÝÒ

gf

Ú ÒÝØ º

××Þ Ø ØØ

Ò Ú ÞÞ

ºÑ

ÝÞ ×º
gf =

Dgf Df ;

Dgf = Df

Rf Dg = .



Rf Dg ;

¿º

Î Æ

Ã

½

ÈÐ º º

¾º Ø Ø ÐØ

Ú Ø

Ô Ð

Ò

Dgf = {1, 2, 3} = Df

=

Ò
º
Ú ÒÝØ Ã Ø Ø Ú Ú Ð Ò
ÖØ

Rf = {x, y} Dg = {x, y})
Þ

Dgf Df =

Þº

Dgf = Df .
Þ

A

ÐÑ Þ

ÒØ Ù×

Ú ÒÝ Ò

idA : A A ,
º Ð ØÙ Ø Ó Þ Ù ÒØ Ò ÐÐ Ø Ù º ÐÑ ÞÖ Ð ÐÑ Þ Ð Ñ Ò

idA (x) = x
Þظ Þ Ó Ý Ð Ñ ×Þ Ñ Ý ÒÐ ¹ ¸ ÐÑ ÞÓ

Ô Ö ÐÑ Øº ×

ÓÒ ÓÐ Ø ÑÓØ Ú ÐØ

N ¹Ö

º

Ò
º Ò
º
Ä

M
Ý Ò

N
Ø

ÐÑ ÞÓ
Ú Òݺ ×

Ú Ú Ð Ò×
ÐÑ Þº Òº Ý

¸

Ô Þ µ ÒÚ ÖØ Ð

f : M N ´M ¹

Ø

º
´

Ò Öµ ÑòÚ Ð ØÒ

A

Ø Ø×Þ Ð

Ò Ú Þ Ò

A¹

f : A×A A

Ú ÒÝØ

ÁÁº

ËÞ ÑÓ
Þ × ÓÐ ØÙÐ × Ó Ø Ð × ×Þ Ò ÐÝ ×× Þ Ü Ö ÓÒ× Þ Ð Ô

Þ Ø

ÚÞØ×
Ò Ñ Ø º Ð ÐÝ Ñ Ø¸ Þ Ø ÒÙÐØÙ Ð Ö Ò Ð ÒØ × Þ Ð ÓÒ× Þ × Ü Ö Ü ÞÓÒ Ü ×Þ ÑÓÐ × ×Þ Þ Ø × º Ñ Þ Ñ Ò Þ ÞÞ Ô Ñ Ü ¸ Ñ × Ó Ý Ð Ð ¸ ÐÝ Ø ×Ø Ü Ø¸ Ñ Ñ ØÙÐ ×Þ Ø Ø Ð ×Ñ ÖØ Þ ÓÒ× Ý Ò × ÐÝÓ Ø × Ø Ó ××Þ Ø Ö Ý Ñ Ò ×Þ ÑÓ ÓÒ¹ × × Þ Ø ¸ × º Ñ Ö Ò ×Þ Ö Ò Ñ Ñ ×¸ Ñ ÒØ Þ Ò ØÙÐ ÓÒØÓ×

×ÞÓÖÞ × ×Þ

Ú Ð Ñ ÓÐÝ ×Ñ Ø



Ö Ð
Ø ÐÒ Ñ

Ó Ý

×Þ Ñ

Ò Ñ ÐÝÙ

Ò Ñ ××Þ Þ Ü

××Þ ×¹ Ò Ñ × Þ¸ Ò ¹ Þ Ö Ð × º

Þ Ø × Òº

Ð Ù Ý Ò × Ð Ú Þ Ø

× ØÙÐ Þ Ø ØÓÚ

º Ë Ø Ú Ð Ò Ú Þ Ò º Ö ×Þ Ò

ØÙÑ

Ñ Ø Ú Ð × ×Þ ÑÓ Ò ÒÝ ØÙÐ ÓÐÚ × Ñ ×Þ Ñ ÓÒ× Ý Ò ×Ö Ð Øº Ð

Ð Ð Ú Þ Ø Ð Ô Ø × Ö Þ × ÓÐ Þ Ü Ñ Ò

Ú Ð × ×Þ ÑÓ Ø Þ ×Ø ÖØ

Þ

ÐÑ Ð Ø Ø Ð Ð ×Þ ØÓØØ

Ò Ñ Ú ÐÐ Ð ÓÞÙÒ ¸ ÓÒ ÒÝÙ Ú ÐÑ Ð ØÒ

ÒÝÙ Ø Ø × Ö

½º
Þ Ð

Ú Ð × ×Þ ÑÓ
Ú Ð × ×Þ ÑÓ
Ø ÑòÚ Ð Ø¸ Þ Øº

Ü Ñ Ö Ò ×Þ Ö
ÐÑ Þ
Ò Ò Ú ÞÞ ¸ Ø Ð × Ø Þ

R
Ü

ÐÑ ÞØ Ñ

Ì ×Ø Ü Ñ
ÖØ ÐÑ ÞÚ

Ñ ÐÝ ½µ ¾µ ¿µ

R¹ Ò f1 : R × R R, f2 : R × R R,
Ú Ò Ð Ø

Ú Ø

. x + y = f1 (x, y) ××Þ . x · y = f2 (x, y) ×ÞÓÖÞ
Þ ¸

× ×¸ Ñ

×

Þ

ÝÒ Ú Þ ØØ Ø ×Ø Ü

Ø ´ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø ×µ¸ ´ ××ÞÓ
´ ×ÞØÖ Ø Ú Ø ×µ¸ ÙØ Ú Ø ×µ¸

x + y = y + x , x · y = y · x x, y R (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z) x, y, z R x · (y + z) = x · y + x · z x, y, z R
¾½

¾¾

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

µ µ µ µ



ÒÚ ÖÞµº

0 R¸ Ó Ý x + 0 = x x R ´ Þ ÖÙ׸ Ú Ý ÒÙÐÐ Ð x R × Ø Ò - x R¸ Ó Ý x + (-x) = 0 ´ Ø Ú ÒÚ 1 R¸ Ó Ý 1 = 0 × 1 · x = x x R ´ Ý× Ð x R , x = 0 × Ø Ò x-1 R¸ Ó Ý x · x-1 = 1 ´ ÑÙÐØ ÔÐ

ѵ¸ ÖÞµ¸ ѵ¸ Ø Ú

Ê Ò
Ò
´ µ ´ µ ´ Þ

Þ ×

Ü Ñ
Ú Ò Þ

ÖØ ÐÑ ÞÚ

R

Ø ×Ø

Ò ÓÒ×

Ý

×Þ Ö ÒØ Ò

Ý ØÙÐ

R × R
е¸ Ñ ÐÝ Ö

Ö Ò Ø Ð

Þ ×

Ö Ð
¸

´ Þ Áº¾º º Ó Ý

× Ð Ñ

××Þ º

x, y R × x y ¸ ÓÖ x + z y + z z R¸ x, y R, 0 x × 0 y ¸ ÓÖ 0 x · y
× × ×ÞÓÖÞ × ÑÓÒÓØÓÒ Ø × µº ÓÖ

R¹

Ø Ö Ò

Þ ØØ Ø ×ØÒ

Ò Ú ÞÞ

Ì Ð ××
Þ

RÖ

Ü Ñ
Þ ØØ Ø ×Ø ´Ñ ÒØ Ö Ò ÓÖÐ ØÓ× Ö ×Þ ÐÑ Þ Ò Þ ØØ Ð Ø Þ ÐÑ Þµ Ø Ð ÔÓÒØÓ× ×¸ Ð× Þ Þ

Ò

R

ÖÑ ÐÝ Ò Ñ Ö ×¸ º

Ð ÐÖ Ð

ÓÖÐ Ø

××Þ Ó Ð ÐÚ
Þ

R

ÐÑ ÞØ

Ú Ð × ×Þ ÑÓ

ÐÑ Þ Ò

Ò Ú ÞÞ

¸

R

Ø Ð

× Ö Ò

Þ ØØ

Ø ×غ

Å
Ð Ñ Ò

ÝÞ ×º

Å

ÑÙØ Ø Ð

Ø ¸ Ø×

Ó Ý Ð Ø Þ × ÑÓ ÐÐ Ö Ð

ÐÝ Ò ×

ÐÑ Þ¸ Ñ

×

ÞÓÒÝÓ× Ò

ÖØ ¹

Ý ÖØ ÐÑòº

Ö Ú

×Þ Ð Ò º

¾º Ã
µ
ØÓÚ Þ Ú Ö µ¸ ØÓÚ Ó Ý Ò Þ ×

×Þ Ø ×
Ø ×Ø Ü Ñ
×ÞÓÖÞ ×Ø ××Þ × ×

Ú Ð × ×Þ Ñ Ó ÐÓÑ ÓÞ
ÓÒØÓ×
Ð ÒØ ÐÝ ØØ ×ÞÓÖÞ ×

Ú Ø ÞÑ ÒÝ
´ Þ Ð × ÐØ Ð Ø Ú Ò Ò Ñ Ø ×Þ ¸ ÐÝ ØØ ××ÞÓ
Ñ Ø Ú Ø ×

ÔÓÒØÓØ Ò Ñ Ö Ù

(x + y) + z
Ö ÙÒ º

x + (y + z)

x + y + z ¹Ø¸

(xy)z

x(yz)

½º Ø Ø Ðº R¹ Ò ´

xyz ¹Ø

Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ
ØØ

ÐØ Ð Ò Ñ Ò Ò Ø ×Ø Òµ Ø ÖÓÞÓØغ
R¹
Ò

Þ ÖÙ×
ÓÖ Þ ½º

× Þ
×

Ý×
º Ø ×Ø Ü

ÐÑ
Ñ

ÞÓÒÝ Ø ×º À

Ôк

0

×

0

× Þ ÖÙ× Ð Ñ¸

Ñ

0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0
Ø Ø

0 = 0 º

À ×ÓÒÐ

Ò Ð Ø

Ø

½

Ý ÖØ ÐÑò×

º

¾º ÃÁ

Ë

Ì Ë Ã

Î Ä

Ë Ë ýÅ Ç

ÄÇÅÀÇ

¾¿

¾º Ø Ø Ðº À
ÞÓÒÝ Ø ×º

x, y, z R × Ø Ò x + y = x + z ¸ ÓÖ xy = xz = y = z ´ Ý×Þ Öò× Ø × ×Þ
Ø ×Ø Ü Ñ × Þ

Ðݵº

ÓÖ y = z ¸
¸

Ñ
Ó Ý

x = 0¸

x+y =x+z

ÐØ Ø Ð

y = 0 + y = (-x + x) + y = -x + (x + y) = -x + (x + z) = = (-x + x) + z = 0 + z = z ,
ÐÐ ØÚ

y = 1 · y = (x-1 · x) · y = x-1 · (x · y) = x-1 · (x · z) = (x-1 · x) · z = 1 · z = z ,
Ø Ø

y=z

Ñ Ò

Ø

× Ø

Òº

ÖÑ ÐÝ R¹ Ð Ð ÑÒ ÔÓÒØÓ× Ò Ñ ÐÝ R¹ Ð ¸ ¼¹Ø Ð Ð Ò Þ Ð ÑÒ ÔÓÒØÓ× Ú Òº

¿º Ø Ø Ðº

Ø Ú ÒÚ ÖÞ ¸ × Ö¹ Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞ
ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø Ø Ð Ø Ú ÒÚ ÖÞ ¸ ÐÐ Ø × Þº Ý Ø Ø Ð ´ Þ Ý×Þ Öò× Ø ×

Ý

ÞÓÒÝ Ø ×º À x¹Ò x + y = 0 = x + z¸

y

×

ÐÐ ØÚ

z Ø Ú¸ Ú Ý x = 0¹Ö xy = 1 = xz ¸ × Þ Ð
Ñ Ò Ø × Ø Ò¸ Ø

×Þ

Ðݵ

¸

Ó Ý

y=z y = 0¸

y + z1 = x

º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò x, y R¸

´

ÚÓÒ ×

Ñ ¸ ÐÐ ØÚ
Þ Ð

Ó×ÞØ ×

ÓÖ ÔÓÒØÓ× Ò Ý z1 R Ð Ø Þ ¸ Ó Ý ÓÖ ÔÓÒØÓ× Ò Ý z2 R Ð Ø Þ ¸ Ó Ý yz2 = x Рصº
ÐÐ ØÚ

ÞÓÒÝ Ø ×º

z1 = x+(-y)¸

x, yz2 = xº
Ý ÒÐ × Þº

Ý ÖØ ÐÑò× ¾º Ø Ø Ð ×

z2 = xy -1 × Ø Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¸ Ó Ý y+z1 = Þ y + z1 = x = y + z1 ¸ ÐÐ ØÚ yz2 = x = yz2 × z = z Ø× Ú Ð ¸ ×Þ Ò z1 = z1 2 2
Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ ÐÐ ØÚ

½º
ÑÓ

Ò
º
Ø ´Ñ ÐÝ Ö

º Ø Ø Ð ×Þ Ö ÒØ Ø Ø

z1

ÐÐ ØÚ Ò

Þ x × y Ú Ð × ×Þ ÑÓ x x - y ¹Ò и ÐÐ ØÚ ¹Ò Ð y

y + z1 = x¸
Ð Ð

Ð Ò ×x
º

y = 0

Ò

¸ ÐÐ ØÚ

ÒÝ Ó×
º ÐÐ ØÚ

× Ø Ò

z2 Ú Ð yz2 = x Ø

× ×Þ ¹ Ð × Ðµ ×

Ò Ú ÞÞ

0

¹Ø Ò Ñ

ÖØ ÐÑ ÞÞ

Å
ÐÐ ØÚ

ÝÞ ×º

ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¸

Ó Ý

x-y = x+(-y)¸

x = x·y -1 ¸ y

×Þ Ò

y + (x + (-y)) = y + ((-y) + x) = (y + (-y)) + x = 0 + x = x , y · (x · y -1 ) = y · (y -1 · x) = (y · y -1 ) · x = 1 · x = x 1 = y -1 º
Ð × Ò y

Ø Ð

× Ðº ËÔ

¾

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

º Ø Ø Ðº

ÖÑ ÐÝ x R × Ø Ò -(-x) = x , 0 = x R × Ø Ò
x-1
-1

=x,
Ò Ñ

Þ Þ
ÐÝ Ö Ð Ð

1
1 x

=x.
Ø ÐÐ ØÚ Øº º Ø ×Ø Ü Ñ Ò

ÞÓÒÝ Ø ×º

Þ

º Ø ×Ø Ü Ø ÖÚ

Ñ

x

x

ÐÝ Ö

x-1 ¹

Ô Ù

ÐÐ Ø ×Ó

-x¹

º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò x, y Rº
µ Ì ÖÑ ×Þ Ø ×¸

x · y = 0 x = 0 Ú Ý y = 0º

×Þ¸ Ö
ÓÒ Ð × × ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ ´Ñ ÒØ R Ö ×Þ ÐÑ Þ µ
ÞÓÒ

½º
´ µ ´ µ ´ µ

Ò
º

Þ

R

N

Ö ×Þ

ÐÑ Þ Ø¸ Ñ ÐÝÖ

Ø Ð

× Ð¸ Ò

1 N¸ n N¸ M N n + 1 M¸
Ò Ú ÞÞ × º

ÓÖ

ÓÐÝ Ò¸

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÓ
µ ØÙÐ ´ ÓÒ× µ¸ ÞÓÒÝ Ø ×Ó

n + 1 N¸ Ó Ý 1 M ÓÖ M = N
Ó Ø

×

n M¹
Ò Ú ÞÞ × Ü

Ð

Ú Ø

Þ

¸

Ó Ý

ÐÑ Þ
غ

Ò

º Ñ

Ñ
¾º

Þ ´ µ¹´ µ¹´

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÓ

È ÒÓ¹ Ð
ÞØÓ× Ø

ܹ
Ø Ð ×

ÝÒ Ú Þ ØØ Ò Ù

Ò Ù

Ð Ø Ó Ó×ÙÐØ× ÑÓØ º

n, m N¸

Ò
º
Ó Ý

×Þ ×Þ ÑÓ

ÐÑ Þ Ò

Ý x R ×Þ x = m - nº Ã ÒÒÝ Ò

Ò Ú ÞÞ Ð Ø

Z = {m - n | n, m N}
Ø ¸ ÐÑ ÞØ Ó Ý Ò

×Þ ×Þ ÑÒ

Ò Ú Þ Ò ¸

Ð Ø ÞÒ Þ

ÐÑ ÞØ Ô

½º Ñ
ÓÐ Þ Ò Ú ÞÞ

{n | - n N} = N-
º

ÝÞ ×º

Z = N {0} {n | - n N}¸
Ø Ú ×Þ ×Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò

¾º Ñ
ÐÑ Þ

ÝÞ ×º Ò
º
Ò Ä

Ð Ò Ñ Ú Þ Ø Ý Ò

x, y Z = x + y, x - y, xy Zº
Þ ××Þ ×¸ ÚÓÒ × ×

Þ Þ

Þ

×Þ ×Þ ÑÓ

×ÞÓÖÞ ×º

¿º
×Þ Ö ÒØ

x R¸ Ý . . xn = xn-1 x x = x,
1

Ð Ù

x

Ø ÖÑ ×Þ Ø × Ø Ú ò
x-n

(n N, n = 1)

ØÚ ÒÝ Øº ÌÓÚ ØÚ ÒÝغ

. x0 = 1 ,
×Þ Ö ÒØ Ì Ð Ò×

¼¸ ÐÐ ØÚ Ò
Ð Ñ Ð Ð × ××Þ Ú Ø

ØÚ
× Ò Þ º

×Þ Ø Ú ò
¸ ÐÐ ØÚ

. 1 = n x

(x = 0, n N)
ÔÓÒØÓ× Ò
¸ × Þ

×ÞÓÖÞ × Ò

¾º ÃÁ

Ë

Ì Ë Ã

Î Ä

Ë Ë ýÅ Ç

ÄÇÅÀÇ

¾

º
n i=1 n i=1

Ò
º

Ä

Ý Ò

nN

×

a1 , . . . , an Rº
n n-1
×

ÓÖ

. ai = a1 , . ai = a1 ,

n = 1,

ai =
i=1 n i=1 n-1

ai ai
i=1

+ an , · an ,

n > 1,

n = 1,
Þ Ð×

×

ai =
i=1

n > 1.
´ Þ

¿º Ñ
n! n k
Ð Ð ×Ø

ÝÞ ×º
Ò

n

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ Ñ ×ÞÓÖÞ Ø ÓÐÚ ××Ù µº Ð × Ý ØØ

ØÓÖ

Ð × ¹Ò

0!
Ø

Ð ØØ ½¹ Ø ´n, k

ÖØ Ò º Þ

. n! = 1 · 2 · . . . · n n k
Ð Ð ×Ø

. =

Ð ØØ Ð Ø

n! ÒÓÑ k!(n - k)! k ¹Ò ÓÐÚ ××Ù º Ø ¸ Ó Ý x, y R (x + y)n =

Nµº

n

×

nN

× Ø Ò

n n n n 2 n-2 y + xy n-1 + x y + ···+ 0 1 2 n n n + xn-1 y + x = n-1 n
n k=0

=

n k n-k x y k
ÑÓØ

´

ÒÓÑ

Ð × Ø Ø Ðµº

º
Ú ÞÞ

Ò
º
º

Ý

p, q Z, q = 0¸ Q=
ÐÑ ÞØ ÑÓ

x R ×Þ p Ó Ý x = º q x|xR

Ö
ÓÒ Ð ×Ò
Þ × Ø Ò

Ò Ú Þ Ò ¸

Ð Ø Þ Ò ¹

ÐÐ Ò

x¹

Ø

ÖÖ
ÓÒ Ð ×Ò

×

p, q Z, q = 0,
¸ Ñ Þ

Ó Ý

x=
Þ

p q
¹

Ö
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ
Ò Ú ÞÞ º

R\Q

ÐÑ ÞØ

ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ

ÐÑ Þ Ò

ºÑ
À

ÓØØ

× Ø Ð

x × Ø x, y Q¸
× Ðº

ÝÞ ×º
Ò

p

× ÓÖ

Þ Þ

Ö
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ

q Ò Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ x + y, x - y, xy Q¸ ×

Ø ÖÓÞÓØغ Ñ

y = 0¸

ÓÖ

x y

ÐÑ Þ

Ð Ò Ñ Ú Þ Ø

Ò

Q

Ý

Ð ÔÑòÚ Ð Øº

Q

Ö Ò Ð Ø

Þ ØØ Ø ×غ Ø ¸ Ó Ý

R\Q = º

Þ Þ Ú Ò ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ Ñº

¾

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

µ

Ö Ò Þ ×
Ä Ý Ò ÓÖ

Ü Ñ
Ø Ø×Þ Ð

ÓÒØÓ×
׺ 
Ú Ø ÞÑ ÒÝ

º
Þ Ô

0 x¸

Ò Ñ Ò Ø ÚÒ ¸ ÓÖ Ò Ñ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò Ú ÞÞ º
º

Ò
º

xR

0 < x¸ x < 0¸ ÓÖ

Ò

ÓÖ

Ø ÚÒ

x¹

Ø

ÔÓÞ Ø ÚÒ
ÐÑ ÞÓ

¸

x 0¸
Ø

{x | x > 0} , {x | x 0} , {x | x < 0} × {x | x 0} R¹ Ð ÔÓÞ Ø Ú¸ Ò Ñ Ò Ø Ú¸ Ò Ø Ú¸ Ò Ñ ÔÓÞ Ø Ú ×Þ ÑÓ

ÐÑ Þ Ò

Ò Ú ÞÞ

º Ø Ø Ðº À
µ µ
µ µ µ µ µ

µ µ µ µ е ѵ

º

Ò
º

x, y, z, u, v R¸ ÓÖ x < y = x + z < y + z ; 0 < x = -x < 0 ; x < 0 = 0 < -x ; 0 < x 0 < y = 0 < xy ; 0 x2 ; 0 < 1 ; 0 < x y < 0 = xy < 0 ; x < 0 y < 0 = 0 < xy ; 1 0 < xy 0 < x = 0 < y ; 0 < x = 0 < x x y z u = x + z y + u ; x < y z u = x + z < y + u ; (0 x 0 y = 0 x + y; 0 < x 0 y = 0 < x + y); x < y 0 < z = xz < yz; x < y z < 0 = yz < xz; 0 < y < x 0 < z < v = yz < xv ; 0 < x < y n N = 0 < xn < y n ; 1 1 0 < x < y = 0 < < ; y x n N = n 1 ; k Z × Ø Ò l Z , Ó Ý k < l < k+1 .
Þ

xR

×ÞÓÐ Ø ÖØ
x, -x ,

Ò

Þ

. |x| =
Ò Ñ Ò Ø Ú ×Þ ÑÓØ ÖØ º

0 x, x<0

º Ø Ø Ðº À
µ µ
µ µ µ

x, y R¸ ÓÖ | - x| = |x| ; |xy| = |x||y| ; |x| x = (y = 0) ; y |y| |x + y| |x| + |y| ; ||x| - |y|| |x - y| .

¾º ÃÁ

Ë

Ì Ë Ã

Î Ä

Ë Ë ýÅ Ç

ÄÇÅÀÇ

¾

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ¸

µ ÖØ

×
µ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Ò
Ñ ØØ

µ

Þ

×ÞÓÐ Ø

x |x| ,
Ý

y |y| ,

-x |x| ,

-y |y| ,

Ñ µ µ

Ð

ÐÐ Ø × Ñ

x + y |x| + |y| , |x + y| |x| + |y|º
ØØ

-x - y |x| + |y| ,

|x| = |x - y + y| |x - y| + |y|,
Ý

|y| = |y - x + x| |y - x| + |x| = |x - y| + |x|, |x| - |y| |x - y|

×

Ñ

Þ

ÐÐ Ø ×غ

|y| - |x| |x - y|,
ÓÖ

Ø ÚÓÐ×
Þ Þ ½µ ¾µ ¿µ

º

Ò
º
Ò

À

Ò Ú ÞÞ

x, y R¸
º

. d(x, y) = |x - y|
´Ñ ØÖ µ

×Þ ÑÓØ Òº

Þ

x

×

y

º Ø Ø Ðº À

d: R×R R

Ú ÒÝ Ø ÚÓÐ×

R¹

x, y, z R¸ ÓÖ d(x, y) 0 , d(x, y) = 0 x = y ; d(x, y) = d(y, x) (×Þ ÑÑ ØÖ Ù×); d(x, y) d(x, z) + d(y, z) ( ÖÓÑ×Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò× ).
Þ Ä ×ÞÓÐ Ø ÖØ Ý Ò ØÙÐ Þ ÓÒ× Ð Ô Ò Ò Ý×Þ Öòº

ÞÓÒÝ Ø ×º

º

Ò
º

a, b Rº

ÐÑ ÞÓ Òº

Ø

ÒÝ Ðظ Þ Öظ Ð ÒÝ ÐØ ´Þ Öص ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ
Ö º × ÒÝ ÐØ

. ] a, b [ = {x . [ a, b ] = {x . ] a, b ] = {x . [ a, b [ = {x

| a < x < b} ; | a < x b}; | a x b};

| a x < b}

Ò

Ò Ú ÞÞ

R¹

Ò .
º Þ a R Ú Ð × ×Þ Ñ r (> 0) ×Ù K(a, r) = {x R | d(x, a) < r} ÐÑ ÞØ ÖØ Î Ð Ò K(a, r) Þ a Þ ÔÔÓÒØ ¸ 2r Ó××Þ K(a, r) =] a - r, a + r [º

½¼º

ÒÝ ÐØ Ñ

ÖÒÝ Þ Ø Ò
Þ Þ

ÒØ ÖÚ ÐÐÙѸ

¾

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

µ

Ø Ð ××

Ü Ñ
N

ÓÒØÓ×

Ú Ø ÞÑ ÒÝ

½¼º Ø Ø Ðº Þ N R ´ Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÓ
ÞÓÒÝ Ø ×º Ì

ÐÑ Þ µ Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺
Þ Ý Ñ

Ý Ü

и Ñ

Ó Ý Ñ

Ð ÐÖ Ð

ÓÖÐ ØÓ×

ÓÖ ÓÖÐ Ø Í Ý Ò Ñ

Ø Ð

××

ØØ Ó Þ

N¹Ò
ÓÖ

ÐÐ ÒØÑÓÒ

¸ Þ Þ n N¸ n + 1 N Ñ ØØ ×º

ÞØ

= sup Nº Ý - 1 < n¸
Ð ÒØ ¸

R Ö Ò Þ ØØ - 1 (< ) Ð < n+1
Ñ Ð×

ÐÑ Þ Ò Ñ Ú Ø Þ

Òº Ð× º ¸

Ó Ý

Ò

ÓÖÐ Ø

N¹Ò

½½º Ø Ø Ðº

ÖÑ ÐÝ x R × Ø Ò Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ

l Z¸

Ó Ý l x < l + 1º l

½¾º Ø Ø Ð ´ Ö
Ñ
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ð Ø Þ n N¸ Ó Ý y < nxº
Þ ½¼º Ø Ø Ð Ñ Ð× ÓÖÐ Ø

× ØÙÐ
ØØ ¸

ÓÒ× µº
n N¸
Ó Ý

ÖÑ ÐÝ x R+ × y R × Ø Ò
Ó Ý

N¹Ò
Ä

µ¸

Ñ

y < nxº

y Þ ÖØ Þ Þ

´

×Þ Ò

y x

× Ñ Ð

Ø

½½º
ÓÖ

Ò
º
ÞØ

Ö Ò ×Þ Ö ¸ Ñ ÐÝÖ ÝÑ ×

Ý Ò I = {[ai , bi ] R | i N} ai ai+1 bi+1 bi i N ´ ×

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ò Ú ÞÞ

ÓÐÝ Ò º

ØÙÐÝ ÞÓØØ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ö Ò ×Þ ÖÒ

[ai+1 , bi+1 ] [ai , bi ]µ¸

½¿º Ø Ø Ð ´
ÝÑ ×

ÒØÓÖ¹ Ð Ñ Ø×Þ ØØ Ø Ðµº Ä Ý Ò I = {[ai , bi ] R | i N} × ØÙÐÝ ÞÓØØ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ö Ò ×Þ Ö º ÓÖ
I=
i=1

[ai , bi ] = .
¸ Ó Ý ÐÑ ÞÒ

. j N¹Ö bj Þ A = {ai | i N} = sup A bj Ø Ð × Ðº Ý Ð× ÓÖÐ Ø Þ ÖØ inf B = º
Ý Å Ú Ð

ÞÓÒÝ Ø ×º

Þ

ÝÑ ×

×

ØÙÐÝ ÞÓØØ×

i, j N¹Ö ai bj ¸
Ð× ÓÖÐ Ø ¸ Ñ ÐÝÖ ÐÑ ÞÒ ¸

B = {bi | i N} I =
i=1

[, ] [ai , bi ] i N¹Ö
ÐÐ Ø ×غ Ø Ø ÞØ Ö ×º ×Ó× Þ ×¸ ×× ÐÐ Ø ¸

¸

Þ ÖØ

[ai , bi ] [, ] = ¸

Ñ

Þ

Ì Ø Ð Ò ÑÓ Ñ Ø×Þ Ø

Ó Ý

ÝÑ ×

×

ØÙÐÝ ÞÓØØ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙ¹

Ò Ñ ËÞÓ

Å
Ñ Ò

ÝÞ ×º
º

Ó Ý Ü Ñ Ò

ÒØÓÖ¹Ø Ø ÐØ Ú Ð ×ÞØ Ø ÐÐ ÞÓÒÝ Ø Ò º Ò ØØ ×òÖòÒ Ñ ÐÝÖ

Ø Ð

××

Ü ¹

ÓÖ

Ñ Ø Ð

½¾º
ÖÑ ÐÝ

Ò
º

H R x, y R , x < y

ÐÑ ÞØ

R¹

Ò Ñ Ò

Ò Ú ÞÞ Ø Ð

¸ × Ðº

× Ø Ò Ð Ø Þ

h H¸

x
¾º ÃÁ

Ë

Ì Ë Ã

Î Ä

Ë Ë ýÅ Ç

ÄÇÅÀÇ

¾

Ú Ð × ×Þ Ñ

½ º Ø Ø Ðº

Ö
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ Q ÐÑ Þ ×òÖò R¹ Òº Þ ØØ Ú Ò Ö
ÓÒ Ð × ×Þ Ñº
Ð Ø Ø ¸ Ó Ý

Þ Þ

ÖÑ ÐÝ

Ø

Å
R¹
Òº

ÝÞ ×º

R\Q ´

Þ ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ

ÐÑ Þ µ × ×òÖò

ÖÑ ÐÝ x Ò Ñ Ò Ø Ú Ú Ð × ×Þ Ñ × n N × Ø Ò ÔÓÒØÓ× Ò ÓÐÝ Ò y Ò Ñ Ò Ø Ú Ú Ð × ×Þ Ñ Ð Ø Þ ¸ Ñ ÐÝÖ y n = xº

½ º Ø Ø Ðº

Ý

½¿º
Ð Ô Ò Ð Ð ×Ø

Ò
º
x

Ä

Ý Ò

ØÐ × Ð Þ
½ º
n

Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ µ

×ÞÒ Ð Ù

×Þ Ñ n¹
´
2

xRÒ Ñ yR
ÐÝ ØØ

x

Ý

x¹

Ò Ñ Ò Ø Ú ×Þ ÑÓظ ÑÐÝÖ yn = x Ò Ò Ú ÞÞ ¸ × Ö Þ x¸ Ú Ý x
n 1 n

Ò

Ø Ú

×

n Nº

ÞØ ´ Þ

Ð

Ø Ø Ð

Ø ÖÙÒ µº × x R , x < 0¸ n n ( x) = xºµ ´ ÓÐ ÓÖ

Ò
º À n Ô 1 . n . x = x = - n -xº ´ Ò
º
ÓÖ Ä Ý Ò ØÚ

Ö ØÐ Ò Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ Ñ ÖÖ Ø Ð × Ð¸ Ó Ý

½ º Å
½º ¾º Ø º

x r¹

m x R+ , r Q × r = n . m . ÒÝ x r = x n = n xm º

mZ

×

n Nµº

ÝÞ × º
Ö
ÓÒ Ð × Ø Ú ò ØÚ ÒÝ ÖØ ØÐ Ò Ø Ú ò Þ ØÚ ÒÝÓÞ × ÞÓÒÓ×× Ö
ÓÒ Ð ×

r

Ð

ÐÐ Ø × Ø Ðº × ÞÓÐ ¹

ØÚ ÒÝÓ Ö

µ

Ú Ø ØØ Ú Ð × ×Þ ÑÓ
Ð Ò Ñ ÓÖ Ð ÐÑ ÞØ ÓÖÐ ØÓ׸ Ý Ò

ÐÑ Þ
ÓÖ Ð Ý Ò

½ º
À Þ

Ò Ú ÞÞ

Ò
º À S R Ð ÐÖ S R ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׸ Rb = R {+} {-}
º

sup S = +º
ÐÑ Þ Ò

Ú Ø ØØ Ú Ð × ×Þ ÑÓ

inf S = -º

Å
¾º

½º Å

Ö Ù Ö ÞÒ Rb ¹ Ò R - < x < + x R × Ø ÓÖ + Ð× ÓÖÐ Ø Rb Ö × Ö ×Þ ÐÑ ÞÒ Ú Ò Rb ¹ òÞ Ø Þ Ð× ÓÖÐ ØÓ

ÝÞ × º

Ö Òº

Ø Ö Ò

Þ × Ø¸

Þ ÖØ Ð

Ý Ò

ÖÑ ÐÝ Ö ×Þ Ò ÔÓÒØÓ× Ð×

ÐÑ Þ Ò ÓÖÐ Ø

¸

× Ñ Ò

Ò Ò Ñ ÝÞ ×

º ÁÐÝ Ò Ñ

ÓÞ ×º

¿º

Rb

Ò Ñ Ø ×غ

¿¼

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

º Å

ÐÐ ÔÓ ÙÒ × Ø Ò

Þ

Ð

Ò

xR

0 ØÓÚ

× Ø Ò × Ø Ò

y R, y < 0

y · (+) = - ; y · (-) = + ;

x + (+) = + ; x - (+) = - ; x x = =0; + - x · (+) = + ; x · (-) = - ;

(+) · (+) = + ; (+) · (-) = - ; (-) · (-) = + .
Æ Ñ ÖØ ÐÑ ÞÞ Ù Ý Ò ÓÖ Ú Ø Þ Ø

0 · (+) ; 0 · (-) ; (+) - (+) ; (-) - (-) .

µ
Ì ÈË Ö Ñ Ö ÔÐ
Ñ ÒØ× Ñ ÙØ Ò Ý Þ Ð ÒØ× Ò Ø ÖÓÞÓØØ

Ú Ð × ×Þ ÑÓ
× Ý Ú Þ Ø Ò Ð ×Þ Ð Ø Ò Þ Ý Ý Ò × Ò

Ý ÑÓ
Ý Ò ×Ø

ÐÐ
× Ö Ø Ñ Ö

×Þ Ñ Ý Ò ×
0
ÔÓÒØÓظ Ñ Ð Ò

0
Þ Ö ÒÝ Ö

ÐØ Ð Ò¸

Þ ½ ÔÓÒØÓغ Ð Ò ÙÐÚ Þ Ð Ö ×غ ×Þ ÑÓØ ÞÚ Ø ×º

0¹

Ð ½¹

×ÞØ ½¹ Þ Þ Ö ÒÝ Ø Ú

ÔÓØØ ÔÓÒØ

Ð ÓÐÝØ ××Ù

ÔÓØØ ÔÓÒØ ÓÞ Ö Ò Ö ×Ø ¼¹ Ð ÐÐ Ò

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÓ

nN
Ò

Ý Ò × ÐÚ ×Þ

ÞÓÒÝÓ× ÔÓÒØ Ð

01 ×Þ ×Þ n¹×Þ nN × Ø Ò
ÒØ ÐÝ ÞÞ ´

ÐÚ Ø Ð Ö ÞÓÐ Ù º

Ö ÞÓÐ Ù µ

-1, -2, . . . , -n, . . . (n N)
-n
¾º½º Ö º

-3 -2 -1 0
Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÓ

1
Ð

2
ÐÝ Þ ×

3
×Þ Ñ

n
Ý Ò × Ò

À ÔÓÒØÓØ

Ý Ò × Ò¸ ÔÓÒØ ÓÞ À Ô Ð ÐÑ Ö ´ Þ ÓÐÝ Ò Ö
ÓÒ Ð ×

m Z
Ô Ù Þ ÙÐ ¼¹

×

Ó Ý ´

n N¸ 0¹ Ð x¹
×Þ ÑÓØ Ö Ò ÐØ Ò ×ÞØ

ÓÖ Ú Þ Ø Ð

Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ ×Þ º ×ÞØ

Ø Ö ÐÑ ÖÚ

Ý

x

ÔÓÒØ Þ ×ÞØ Øص

Þ

n¹×Þ
Þ Þ Ø Ú Ý

ÔÔ Ò

Ý×Þ Öò× ØÚ

m n

ÞÞ Ð Ñ

Q 01

x, nx = mµº
Ú Ð × ×Þ ÑÓØ ÝÞ Ø ÓÐ Ò¸ Þ Þ Ð Ò

Ý ÒÝ ÖØ ´×Þ Ö Ý Ò × Ñ Ò ÒØ ×

m x

Ò Ñ Ö Ò ×Þ

Ò ÔÓÒØ ÒÒ Ñ ÐÝ ØÐ

ÓÞº Ø

Ý Ò Ö ÒÝ

Ð Ú Ð Ñ ÐÝ

ÔÓØØ ÔÓÒØ

c

×Þ Ñ¸ Ñ ÐÝÖ µº

c2 = 2¸

c=



Ò Ò Ò
× Ö
ÓÒ Ð × ×Þ Ñ

2¸

c = - 2¸

Ò Ñ

¾º ÃÁ

Ë

Ì Ë Ã

Î Ä

Ë Ë ýÅ Ç

ÄÇÅÀÇ

¿½

Þ Ø Ð × Ð Ð Ø × Ø ÐÑò ×× Å ¸

Ý Ò × Ü Ø Ú Þ Ø ÞÓÒÝ Ø Ñ

××Þ × Ñ Þظ Ó Ý Ý

Ñ Þ

Ñ Ö Þ Ð

ÔÓÒØ

ÓÞ Ö Ò

ÐØ ×Þ ÑÓ Ý Ò × Ò Ñ º Ð Ø ÓÒ×

Þ ÖÖ
¹ ÐÝÙ ØÙÐ × ÓÒ¹

ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ º

Ý Ò ×¸ Ñ ÒØ ×Þ Ñ Ñ Ø×Þ ØØ Ø Ð Ð ÒØ × Ø Ó
ÒÒ ÓÑ ØÖ × ÖØ Þ ÞÓÒÝ Ø ¸ Ø ÚÓÐ× Ý Ò × ÔÓÒØ

Ñ ¸ Ú Ø Ø ¸

ÒØÓÖ¹ Þ × ×ÞÓÐ Ø

ÞØÓ× Ø ¸ Ú Þ× ØÙÐ Þ ØØ ÐÑ º

ÑòÚ Ð Ø Ö Ò Ó Ý ×

º ËÞ Ñ¹ Ý Ö¹

Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙѸ Ð ÐØ Ø ×

R
Þ

× ÞØ

Ð
× Ò × Ò Ò

ÞØÓ× Ø

Ð ÒÝ

Ý ÖØ ÐÑòº

µÆ Ú Þ Ø ×

Ý ÒÐ ØÐ Ò×
n N , x R × x -1¸

½ º Ø Ø Ð ´ ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× µº À
ÓÖ Ý ÒÐ ×
ÞÓÒÝ Ø ×º Ì Ð

ÓÖ ×
×
× Ò Ù
Þ ÐÐ Ø × ÒÝ ÐÚ Ò

(1 + x)n 1 + nx .

ÓÖ Ø Ð × Ð¸
Þº À

n = 1 Ú Ý x = 0º
ÓÖ

Ú Ðº

n = 1¹Ö

n¹Ö

Þ¸

(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
Ý Þ ÐÐ Ø × Ñ Ò

1+x0

Ñ

ØØ

(1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx2 1 + (n + 1)x ,
Ò Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÖ Ý Ò Þº ÓÖ

½ º

Ò
º

Ä

n N ; x1 , . . . , xn Rº

n

ÌÓÚ

. x1 + · · · + xn . An = = n x1 0, . . . , xn 0 × Ø Ò . . Gn = n x1 · · · · · xn =
n

xi
i=1

n
n

;

xi .
i=1
´ Ö ØÑ Ø µ¸ ÐÐ ØÚ

Ñ ÖØ Ò

Þ

An

×

Gn
´

×Þ ÑÓ ÓÑ ØÖ

Ø µ

Þ

ÞÔÒ

x1 , . . . , xn
Þ Ô

×Þ ÑÓ º

×Þ ÑØ Ò
Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ò Ú ÞÞ Þ ØØ

½ ºØ Ø Ð´
Ý ÒÐ ×

×Þ ÑØ Ò

Ù
ݵº À
ÓÖ ×
×

× Ñ ÖØ Ò

Þ

Ð

º

n N × x1 , . . . , xn 0

ÓÖ

ÓÖ Ø Ð × Ð¸

Gn An ,

x 1 = x2 = · · · = x n º

¿¾

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

½ ºØ Ø Ð´
Ä ÝÒ

x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn R¸
n 2

Ù
ݹ ÙÒÝ ÓÚ×Þ ¹Ë
Û ÖÞ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× µº
ÓÖ
n n

xi y i
i=1



x2 i
i=1 i=1

2 yi

.

½ º Ø Ø Ð ´Å Ò ÓÛ× ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× µº
Ä ÝÒ
x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn R¸
n i=1
ÞÓÒÝ Ø ×º

ÓÖ

n

n

(xi + yi )2
ÙÒÝ ÓÚ×Þ

x2 + i
i=1
¹Ë
Û ÖÞ¹

2 yi . i=1
Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ð Ô Òº

Ù
ݹ

¿º ´ËÞ Ñµ ÐÑ ÞÓ ×Þ ÑÓ××
½º
A × B ÐÑ ÞÓ Ý ÒÐ ×Þ ÑÓ×× ¸ Ú Ú ¹ Ø Ú Òݸ Ó Ý B = f (A) ´Ø Ø Ð Ò× ¸ Þ Þ f : A B ÒÚ ÖØ Ð f : A B
µº Þ A ÐÑ Þ ×Þ ÑÓ×× Ò ÝÓ ¸ Ñ ÒØ B ÐÑ Þ ×Þ ÑÓ×× ¸ A × B Ò Ñ Ý ÒÐ ×Þ ÑÓ×× × C A¸ Ñ Ý Þ º Ó Ý C × B ×Þ ÑÓ××

Ò
º

Þ

¾º
Ó Ý ÑÓ×× ÑÓ××

A

Ò
º
µ¸ µ¸

Þ

A
Þ

Ú Ú Ð Ò× Ò ÑÚ ¸

{1, 2, . . . , n} ÐÑ ÞÞ ÐÑ Þ Ñ ×º ÞA
Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ × Ú Ý Ñ Ú

ÐÑ Þ Ú

× ´×Þ

ÑÓ×× Ðº

Å
½º

Ñ ×Þ ÑÐ Ð Ø
N×N
Ñ

Ú Ú Ð Ò×

ÐÑ Þ Ú Ø Ð Ò ´×Þ ¹ ×Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ò ´×Þ ¹ ÑÓ ÐÑ Þ Ú Ðº Þ A ÐÑ Þ
Þ

µ¸

A

A=

Ú

Ý

n N¸

×Þ ÑÐ Ð

Ø

Ò Ú

Ø Ð Òº

ÝÞ × º
×Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ò¸ Ñ ÖØ Þ

f : N × N N,
º Ò Ð

f ((m, n)) = 2m-1 (2n - 1)
ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö¸ Ó Ý

Ú ÒÝ ¾º À

{A | } ÓÐÝ Ø ¸ A Ñ ×Þ ÑÐ



Ò Ñ

Ö ×¸ Ñ

×Þ ÑРй

Ø ¸

ÓÖ

Þ

A


× Ñ

×Þ ÑÐ Ð

Ø º

½º Ø Ø Ðº
Z¸
× Ý

Ö
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ
An

ÐÑ Þ Ñ ×Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Òº
Ý

ÞÓÒÝ Ø ×º À

. m n N¹Ö An = { | m Z}¸ n
× Ñ ×Þ ÑÐ Ð × Þº Ø Ò Ú Ø Ð Ò¸ ×

n=1

An = Qº
Ð Ñ

Å ×Ö ×ÞØ ÝÞ ×

ÓÖ ´ Þ

¾º Ö ×Þ

Ñ

Øص

Q

º

R ÌÇÈÇÄ

ÁýÂ

¿¿

¾º Ø Ø Ðº
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ú Ð × ×Þ ÑÓ ×Þ ÑÓ××
Рغ Ú Ð × ×Þ ÑÓ ÐÑ ÞÓ Ò

Ò ÝÓ ¸ Ñ ÒØ N ×Þ ÑÓ××
× º Ú Ð Ú Ú Ð Ò×

º
Ø ÓÒ¹

¿º

Ò
º

ÐÑ Þ Ø Ò Ú ÞÞ

ÐÑ ÞÓ

Ø ÒÙÙÑ ×Þ ÑÓ××

º R ØÓÔÓÐ
½º Ò
º
x E Ð× ÔÓÒØ E ¹Ò ¸ K(x, r)¸ Ó Ý K(x, r) E xR Ð× ÔÓÒØ E ¹Ò ¸ Ð× ÔÓÒØ E ÓÑÔÐ Ñ ÒØ CE ¹Ò ´ Þ Þ K(x, r), K(x, r) E = µ x R Ø ÖÔÓÒØ E ¹Ò ¸ Ò Ñ Ð× × Ò Ñ Ð× ÔÓÒØ K(x, r)¹Ö K(x, r) E = K(x, r) CE = µº ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Ø E Ð× Ò ¸ Ø ÖÔÓÒØ Ò ÐÑ Ò Ò Ú ÞÞ º E Ð× Ø E Ð Ð º
Ä Ý Ò ÓØØ Þ

ER

ÐÑ Þº

ÞØ ÑÓÒ

Ù ¸

Ó Ý

Ö Ò

¸

´ Þ Þ

E

ØÖ

Ð×

Þ Ø

E

ÈÐ º

Ä Ý Ò E =]0, 1[ Rº 1 x= Ð× ÔÓÒØ E ¹Ò ¸ Ñ ÖØ K( 1 , 1 ) =]0, 1[ E º 2 2 2 x = 5 Ð× ÔÓÒØ E ¹Ò ¸ Ñ ÖØ K(5, 1) =]4, 6[ CE Ñ CE ¹Ò º x = 1 Ø ÖÔÓÒØ E ¹Ò ¸ Ñ ÖØ K(1, r) E Ñ ØØ Ò Ñ K(1, r) CE Ñ ØØ Ò Ñ Ð× ÔÓÒØ E ¹Ò º

ØØ Ð×

Ð×

ÔÓÒØ ×

ÔÓÒØ

¾º

Ò
º

Ð×

ÔÓÒØ

Þ ÖØÒ

Þ

E R

ÐÑ ÞØ ¸

Ò Ú ÞÞ

CE

ÒÝ ÐØÒ

Ò Ú ÞÞ

¸

Ñ Ò

Ò ÔÓÒØ

ÒÝ Ðغ

ÈÐ º
½º ¾º

½º Ø Ø Ðº R¹ Ò
½µ ¾µ ¿µ

E =]0, 1[ R ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ¸ Ñ ÖØ x ]0, 1[ × Ø Ò K(x, r) ]0, 1[¸ r = inf{x, 1 - x}¸ Þ Þ E Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð× ÔÓÒغ E = [0, +[ R Þ ÖØ ÐÑ Þ¸ Ñ ÖØ CE =] - , 0[ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ¸ ×Þ Ò x CE × Ø Ò K(x, |x|) CE ¸ Þ Þ CE Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð× ÔÓÒغ

ÐÐ ØÚ

ÚØ Þ R × ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ ¸ Ø Ø×Þ Ð × Ò ×Ó ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ý × Ø × ÒÝ Ðظ Ú × ×Ó ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ Ø×Þ Ø ÒÝ Ðظ

Þ

¿

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

µ µ µ

R × Þ ÖØ

ÐÑ ÞÓ ¸ Ø Ø×Þ Ð × Ò ×Ó Þ ÖØ Ú × ×Ó Þ ÖØ ÐÑ Þ
µ Þ¸ Ñ ÖØ Ò
Ð Ô

ÐÑ Þ Ñ Ø×Þ Ø Þ Öظ Ý × Ø × Þ Öغ

ÞÓÒÝ Ø ×º

½µ ¾µ Ñ ÐÝÖ ÒÝ Ðغ ¿µ

×

Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º ÒÝ ÐØ

E ( )

=

ÖÑ ÐÝ

x

E
n

¹Ö

Ð Ø Þ

0 ¸ E

x E0 = K(x, r) E0 = K(x, r)
× Þ¸ Ñ ÖØ

E =


Ei (i = 1, . . . , n)

ÒÝ Ðظ

ÓÖ

x

i=1 n

Ei = x Ei = x

Ei (i = 1, . . . , n) = K(x, ri ) Ei (i = 1, . . . , n) = 0 < r < ri (i = 1, . . . , n)¹Ö K(x, r) Ei (i = 1, . . . , n) = K(x, r)
n n i=1

Ei
i=1
µ ×

Ð× µ

ÔÓÒØ

=
i=1

Ei

ÒÝ Ðغ

¹ÅÓÖ Ð × Ñ

Ò¹ ÞÓÒÓ×× Øغ

C
Ä



n

n



E =
Ó Ð

CE

Ò Þ ÖØ×

×

C
Ò

Ei
i=1

=
¸ ÐÐ ØÚ

CEi
i=1
¾µ × ¿µ Ø Ð × ¹

¿º

Ò
º
ÐÑ Þ

ÖÒÝ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ x0 ¹Ø Ð Ð (K(x0 , r)\{x0 }) E = º x0 E ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ E ¹Ò ¸ Ó Ý (K(x0 , r)\{x0 }) E = º E ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ

ØÓÖÐ

× ÔÓÒØ

Ý Ò

ÓØØ Ò

Þ

Ò Ú ÞÞ Ò Þ

E R
¸

ÐÑ Þº ÖÑ ÐÝ

Þ

x0 R ÔÓÒØÓØ Þ E r > 0 × Ø Ò K(x0 , r)
Þ Þ ¸ Þ Þ Ð Ø Þ

E¹

Ð ÔÓÒØÓظ × ÔÓÒØ º

Ò Ñ ØÓÖÐ Ø

r > 0¸

E ¹Ú

Ð

Ð Ð

ÈÐ º
½º Þ

¾º

ÐÑ Þ ÓÖ ×
× Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ò Ò ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Øµº
E R

¾º Ø Ø Ðº Þ

1 E = { n | n N} R ÐÑ ÞÒ 0 R (0 E) ØÓÖÐ / × ÔÓÒØ ¸ ÖÒÝ Þ Ø Ò Ú Ò Ð Ñ E ¹Ò ¸ ×Þ Ò r R+ ¹Ö Ñ ÖØ ÖÑ ÐÝ K(0, r) 1 Ñ ÖØ N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ× n N¸ Ó Ý n > 1 ¸ Þ Þ 0 < n < r º r ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒظ Ñ ÖØ n N¹Ö Þ E = N R (K(n, 1) \ {n}) E = º

ÓÖ Þ Öظ

E E ´ Þ Þ

º

R ÌÇÈÇÄ

ÁýÂ

¿

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ

µ

Å
Ñ

E Þ ÖØ = CE ÒÝ ÐØ = x CE K(x, r) CE = x CE ¹Ö x E = E E º / Ä Ý Ò E Eº x E = x E = K(x, r), Ñ ÐÝÖ / / (K(x, r)\{x}) E = º Å ×Ö ×ÞØ x E Ñ ØØ {x} E = º Ì Ø / x E = K(x, r) CE º Þ Þ CE ÒÝ Ðظ Ý E Þ Öغ /

(r R)

ÝÞ ×º

Rb ¹

Ò Ø

+
ÖØ º

×

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ × ÔÓÒغ

-
Ý

ÖÒÝ Þ Ø Ò Ò Ð Ø

Þ Þ ×¸

(r, +)
Ó Ý

ÓÖ ØÓÖÐ

× (-, r) + × -

Ñ ÞÒ
S

¿º Ø Ø Ð ´ ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö×ØÖ ××µº
Ð Ø Þ ØÓÖÐ × ÔÓÒØ º
ÞÓÒÝ Ø ×º

ÖÑ ÐÝ S R ÓÖÐ ØÓ׸ Ú Ø Ð Ò

й

ÓÖÐ ØÓ× Ò Ð Ù Ú Ø

×Þ Ö Ø

= [a, b] R, S [a, b] , Þ In (n N) Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ
Þ Ñ ÓÒº Ä Ý Ò

ÝÑ ×

×

ØÙÐÝ ÞÓØØ Ö Ò ¹

À

In = [an , bn ] ÐÑ Þ ÓØظ . . In+1 = [an+1 , bn+1 ] = an + bn , an , . 2 = an + bn , bn , 2
ÓÖ Ñ Ò Ò

a, a + b 2 . . I1 = [a1 , b1 ] = a+b ,b 2

, ,
ÓÖ Ð

a,

a+b S 2 a+b ,b S 2
Ý Ò

Ú

Ø Ð Ò

ÐÑ Þ¸

Ú

Ø Ð Ò

ÐÑ Þº

an ,

an + bn S 2 an + bn , bn S 2
×

Ú Ú

Ø Ð Ò¸ Ø Ð Òº

n N¹Ö In S
ØØ

Ú

Ø Ð Ò¸

ÒØÓÖ¹Ø Ø Ð Ñ



bn - an =

b-a º 2n

In = [, ]¸

ØÓÚ

n=1

0 - bn - an =
Ñ ØÓÚ Þ Ö
Ñ × ØÙÐ ÓÒ× Ñ

b-a b-a < n 2 n
ØØ
×

(n N),
× Ø Ò Ð Ø× ×¸

x0 In ( n N)º

= = x0

¿

ÁÁº Ë ýÅÇÃ

b-a b-a < n = n N, < r = r n b-a b-a = bn - an = n < < r = 2 n Ñ Øص K(x0 , r) Ú = In K(x0 , r) = (In ÓÒ×ØÖÙ
S ¹ Ð Ð Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ = x0 ØÓÖÐ × ÔÓÒØ S ¹Ò º n N,

r>0

× Ø Ò ´ Þ

Ö

Ñ

× ØÙÐ

ÓÒ×

Ñ

Øص

Ø Ð Ò ×Ó

ÈÐ º
Ð × ¸

ÒÝ ÐØ Ð

º

Ò
º
Þ

×

ÆÝ ÐØ ¸

ÐÑ ÞÓ

Ý

O

Ö Ò ×Þ Ö

Þ

N
×Þ Ò

S
ÐÑ ÞÒ

Oº {K(n, 1) | n N}
× Ý

S R
i=1

ÐÑ ÞÒ

Ý

ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö

Ý ÒÝ ÐØ ØÓÚ

n N¹Ö n K(n, 1)¸ K R
Ø

n

K(i, 1)¸

K(i, 1)

ÒÝ ÐØ

ÐÑ Þº

º
Ð × ½º

Ò
º
Ð

ÐÑ ÞØ ÓÑÔ ØÒ
Ú × ×Ó

Ò Ú ÞÞ

¸

Ñ Ò

Ò ÒÝ ÐØ

Ú Ð ×ÞØ

ÐÑ Þ¸ Ñ ÐÝ Ð

K ¹Øº
Þ

ÈÐ º
N
Ò Ñ ÐÑ ÞÓ ÓÑÔ Ò Ñ Ø Ú Ø¸ Ñ ÖØ Ð ¸ Ò Ñ Ú Ð ×ÞØ ¾º

K(n, 1)
Ý Ð Ø Þ ×º × Ð

Ð

Ý × Ú Ð

ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐØ Ð

n N¹Ø × N¹Ò

Ñ Ö ¸ Ñ ÐÝ Ð

K = {1, 2, 3, 4, 5} R ÓÑÔ K O Ñ ØØ Þ 1, 2, 3, 4, 5
ÐÑ ÞÓ ¸ Ð × Ð Ó Ý Ú Ð ×ÞØ Ø Ú

ظ Ñ ÖØ Ð Ñ

Þ Ð Ø ÞÒ × Ý

O

ÒÝ ÐØ Ð

Ö Ò ×Þ Ö

× Ø Ò ÒÝ ÐØ

O1 , O2 , O3 , O4 , O5 K
5

i Oi , i = 1, 2, 3, 4, 5
× Ð ×º

Oi ¸
i=1

Þ Þ

O

º Ø Ø Ð ´À Ò ¹ ÓÖ Ðµº
ÓÖÐ ØÓ× × Þ Öغ

ÝKR
ظ Ú Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø

ÐÑ Þ

ÓÖ ×
×

ÓÖ ÓÑÔ Ø¸

ÈÐ º
½º ¾º

{1, 2, 3, 4, 5} R N Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ× ×

ÓÑÔ Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ×

× Þ ÖØ ×º

ÐÑ Þº

ÁÁÁº

ËÓÖÓÞ ØÓ
½º
Ø Ò Þ

Þ Ø

½º Ð Ô Ó ÐÑ
Ò
º
×ÓÖÓÞ Ø ×ÓÖÓÞ Ø Ý

×
R¹
Ý Ð º

Ô
×ÓÐ ØÙ
×ÓÖÓÞ ØÒ
Ð Ð º ×ÞÒ ÐÙÒ º Å Ð Ð Ø Ù º Ò Ú Þ Ò º ×ÓÖÓÞ Ø Ø

n¹

n¹
Þ Ý

f :NR
Ð Ñ Ò

Ú ÒÝØ Ò Ú ÞÞ

f (n)¹
Ð Ñ ¹

. f = an
1 {n 1 n

ÐÑ Þ Ö ¸ Ú

{an } Ú . f = xn

Ð Ñ Ø f (n) = an Ú
Ý ×Þ Ñ

f (n) = xn

{xn }
Ò¸

Ð Ð ×Ø

×ÓÖÓÞ ØÓØ

ÐÙÑÑ Ð

ÈÐ º
Ñ Þ

¾º
Þ ¸

Ò
´ ÓÖÐ ØÓ×× µº
{xn }
ÓÖÐ ØÓ׺ Ð ÐÖ Ðµ Þ

, n ×ÓÖÓÞ ØÓ R¹ | n N}¸ ÐÐ ØÚ Nº
Þ

n¹

1 n ¸ ÐÐ ØÚ

n¸

Ð Ñ

й

xn

xn R ¹ Ð R¹ Ð ×ÓÖÓÞ

×ÓÖÓÞ ØÓØ ÓÖÐ ØÓ×Ò
Ø ÐÙÐÖ Ð ´ Ð ÐÖ Ðµ

Ò Ú Þ¹

ÓÖÐ ØÓ׸

ÈÐ º
½º Þ ¾º Þ

{xn }

ÐÙÐÖ Ð ´

ÓÖÐ ØÓ׺

1 n

×ÓÖÓÞ Ø

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ Ñ

ÝÖ ×ÞØ

0<

Ñ ×Ö ×ÞØ

n

×ÓÖÓÞ Ø

n1

1 ØØ n

ÐÙÐÖ Ð

1nN
Ð ÐÖ Ð Ò Ñ Þ

1 n

× Ø Ò¸

n N¸
Ý

Ý

ÐÙÐÖ Ð

ÓÖÐ ØÓ׸

Ð ÐÖ Ð

ÓÖÐ ØÓ׺ Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ׺

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ

¿º
Ú Ò ×Þ ÓÖ

Ò
´ÑÓÒÓØÓÒ Ø ×µº
´
× Ø Ð Ò Ò × Ðº µ Ò Ú ÞÞ Ú ¸ ´
× Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

{n} = N

ÓÖÐ ØÓ׸

0 < n n N¸ Ý n Ò Ñ

xn
Ò

ÖÑ ÐÝ

xn+1 )
½º

R¹ Ð ×ÓÖÓÞ ØÓØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ¹ n N¹Ö xn xn+1 (xn xn+1 ) n N¹Ö xn < xn+1 (xn > µ 0 Ñ ØØ

ÈÐ º
¾º ¿º

1 n ×Þ ÓÖ 1 1 n+1 < n

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
×

Ò ¸ Ñ ÖØ

×

n ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ Ñ ÖØ n < n + 1 n Nº (-1)n n Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ Ñ ÖØ a1 = -1 < 2 = a2 ¸ a2 = 2 > -3 = a3 º À ×ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø Ò
Ò º
¿

n Nº

Ñ ÑÓÒÓØÓÒ

¿

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ð ÙÐÙ× Ð Ø Ö ÖØ ×Þ Ö ØÒ Ò × Ø× Ú Ð

×Þ Ò

Þ Ð

Ø º

Ö Ò
Ø Ø×Þ Ð

Ð

ÒÝ

Ó×Ø

×

Þ ÒØ Ð Ñ

Ö ÐØ Þ Ð Ø º

Ý ×ÓÖÓÞ Ø

Ø Ö ÖØ

ÒØ ÓÐÝ Ø ×Þ ÑÓØ

ÖØ Ò ¸ Ñ ÐÝ Ø

×ÓÖÓÞ Ø Þ

× ÔÓÒØÓ×× Ð

º
Ò Ú ÞÞ Ó Ý

Ò
´ ÓÒÚ Ö Ò
µº
¸ Ð Ø Þ ÖÑ ÐÝ Ø Ö ÖØ

xn

R¹

Ð Ð

n

x R¸ Ó Ý ÖÑ ÐÝ > 0 n n()¹Ö d(x, xn ) < Ø Ð × Ðº Ò Ò Ú ÞÞ º Þظ Ó Ý xn ÓÒÚ Ö lim xn = x Ú Ý xn xº
×ÓÖÓÞ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò׸ ×

×ÓÖÓÞ ØÓØ ÓÒÚ Ö Ò×Ò
× Ø Ò Ð Ø Þ Þ Ò×

x R
×

×Þ ÑÓØ

Ø Ö

n() N¸ xn ÖØ x¸ Ý

ÈÐ º
½º ¾º Þ

c ÓÒ×Ø Ò× n() N × Ø
1 n
×ÓÖÓÞ Ø Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

Ø Ö ÖØ

c¸

Ñ ÖØ

ÓÒÚ Ö

n n()¹Ö d(c, c) = 0 < º
Ò× × Ø Ö ÖØ

> 0¹Ö
´Ñ Ú Ð

¼¸ Ñ ÖØ

ÓÖÐ ØÓ×µ

Å
½º

n n()¹Ö 0 <

1 n

n() N¸ 1 < n() < ¸ Ø
Ð ×ÞÒ ÐÚ

Ó Ý Ø

n() > 1 d(0, n ) < º
Ò

1 ¸

> 0¹Ö

N
Ý

1 Þ Þ n()

< ¸

ÝÞ × º
Ø

ÖÒÝ Þ Ø Ó Ò
Ô Ù

ÐÑ Ø Þ

ÓÒÚ Ö

Òº

ÖÒÝ Þ Ø ×

¹

¾º

¿º

º

xn ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò׸ x R¸ Ó Ý K(x, )¹ ÓÞ n() N¸ Ó Ý n n()¹Ö xn K(x, ) Ø Ð × Ðº Ý×Þ Öò Ò Ð Ø Ø ¸ Ó Ý xn x K(x, )¹Ö xn K(x, ) Ð Ð Ú × ×Ó n N Ú Ø Ð Ú Ðº xn ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ó Ý xn 0¸ ÓÖ ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ ØÒ Ò Ú ÞÞ º À

Ò
´ Ú Ö Ò
µº
Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò׺

Þ

xn

R¹

Ð

×ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ö Ò×Ò
xR × Ø n n()¸
Ò Ð Ø Þ Ó Ý

Ò ¹

Ú ÞÞ

¸

Þ Þ

ÖÑ ÐÝ Ð Ø Þ

ÈÐ º

(Ú Ý K(x, ))¸ Ó Ý (Ú Ý xn K(x, ))º /

ÖÑ ÐÝ

n() N¹Ö

>0 d(x, xn )

(-1)n Ú Ö Ò׺ x = +1 × x = -1 Ò Ñ Ð Ø Ø Ö ÖØ ¸ Ñ ÖØ = 1 Ú Ð ×ÞØ ×× Ð (-1)n / n Ô Ö ØÐ Ò × (-1)n K(-1, 1)¸ / n Ô ÖÓ׺ K(1, 1)¸ ÓÖ = inf{d(x, 1), d(x, -1)} × Ø Ò À x = +1 × x = -1 × Ø Ð × Ð¸ xn K(x, ) n Nº /
Ý Ò
Þ ÐÐ Ø ×غ

º
Ø Ð

M R¹
× Ðº

Ò
º
Þ

Þ

xn R ¹ Ð n(M ) N¸

×ÓÖÓÞ Ø Ó Ý

+¹ Þ ´ ÐÐ ØÚ -¹ n n(M )¹Ö xn > M ´ ÐÐ

Þµ ØÚ

ÓÒÚ Ö

и

xn < M µ

½º

Ä È Ç

ÄÅ Ã

Ë Ã È ËÇÄ ÌÍÃ

¿

ÈÐ º
½º Þ Ò Ñ Ñ ¾º

n

×ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ×µ

+¹ Þ ÓÒÚ Ö Ð¸ Ñ ÖØ M R¹Ö ´Ñ Ú Ð N Ð ÐÖ Ð n(M ) N¸ Ó Ý n(M ) > M ¸ Ý n n(M )¹Ö n > M ¸
Ò
Ø Ð × Ð × Øº

-¹ Þ ÓÒÚ Ö Ð¸ Ñ ÖØ M R¹Ö ´Ñ Ú Ð {-n} ÐÙÐÖ Ð Ó Ý -n(M ) < M ¸ Ý n n(M )¹Ö Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ×µ n(M ) N¸ -n -n(M )¸ Ñ ´-n(M ) < M Ñ Øص ¸ Ó Ý -n < M ¸ Þ Þ -n
×ÓÖÓÞ Ø Ø Ð × Ð Ò
º

½º Ø Ø Ð ´
×ÓÖÓÞ Ø¸

ÓÖ

Ø Ö ÖØ
Ý
Ý

Ø Ö ÖØ
и Ó Ý

Ý ÖØ ÐÑò×

µº À xn R¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò× Ú Ò ´ Þ Þ xn a × xn b × Ø Ò a = bµº
ÓÖ

ÞÓÒÝ Ø ×º Ì

x n a × x n b × a = bº d(a, b) d(a, b) K b, =. K a, 2 2 a × xn b Ñ d(a,b) × xn K b, ¸ 2
ÓÖ × Þ¸ ØØ Ñ Ð

a=b

Ñ

ØØ

ÌÓÚ

Þ

xn K a,

xn d(a,b) 2

n()¸

Ó Ý

Ø ØÐ Òº Ì ´Ú Ý

n > n()¹Ö Ø a = bº

Å ÝÞ ×º Ø Ø Ð ¾º Ø Ø Ð ´ ÓÒÚ Ö Ò
ÓÖ ÓÖÐ ØÓ׺
ÞÓÒÝ Ø ×º À

× ÓÖÐ ØÓ×× µº À Þ
× Ò

xn +

xn ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò׸

xn -µº

Ö

xn x d(x, xn ) < º Ä Ý n N¹Ö
Ý

> 0 ÓØظ ÓÖ n() N , Ó Ý n n()¹ r = sup{, d(x, x1 ), . . . , d(x, xn()-1 )}º ÓÖ d(x, xn ) r ,
Ð ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ú Ø Þ ÓÒ¹

Å
Ú Ö Ö

{xn }
Ò

ÓÖÐ ØÓ×

= xn
Ý ×ÓÖÓÞ Ø

ÓÖÐ ØÓ׺ ÓÖÐ ØÓ××

ÝÞ ×º
º

ÈÐ º
´ Þ Þ Ò Ñ ÓÚ Ö

(-1)n
ÐÙÐÖ Ð Ò׺ ×

×ÓÖÓÞ Ø

ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ ÖØ ÓÖÐ ØÓ×µ¸

Ð ÐÖ Ð ×

-1 (-1)n 1
Ó Ý

Ø Ð

× Ð

ÞØ Ñ Ö

ÞÓÒÝ ØÓØØÙ

n N¹

Þ xn R¹ Ð ×ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´ ÐÐ ØÚ
× Ò µ × Ð ÐÖ Ð ´ ÐÐ ØÚ ÐÙÐÖ Ðµ ÓÖÐ ØÓ׸ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò× × xn sup{xn } ´ ÐÐ ØÚ xn inf{xn }µº
ÞÓÒÝ Ø ×º Ä

¿º Ø Ø Ð ´ÑÓÒÓØÓÒ Ø × × ÓÒÚ Ö Ò
µº À
Ý Ò

xn

ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ò
Ñ

sup{xn } x - ¸ Þ

×ÞÙÔÖ ÒÙÑ Þ

xn() K(x, )º

Ú × Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ׺ ÓÖ x = > 0¹Ö n() N , Ó Ý xn() > ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú × Ñ ØØ n n() × Ø Ò ØØ

¼

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

xn() xn < x. Ì Ñ × × Ø ´ xn
Ñ ÓÒ Ø ÖØ Ò Þ º

Ø

ÑÓÒÓØÓÒ
×

xn K(x, )¸

Ý ×

Ò

x n xº
ÐÙÐÖ Ð

ÓÖÐ ØÓ×µ

ÞÓÒÝ Ø ×

Ò Ð

1 1 1 - n ×ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Þ Ð Ñ Øغ 1 - n < 1 1 1 1 1 1- n+1 - n < - n+1 n > n+1 n < n+1º Þ ÙØÓÐ× Ý ÒÐ × Ø Ð × Ð n N¹Ö º 1 1 1 Þº ×ÓÖÓÞ Ø Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ× 1 - n < 1 - n < 0 n > 0¸ Ñ 1 Ý 1- ÓÒÚ Ö Ò׺ n 1 sup{1 - n } = 1¸ Ù Ý Ò × = 1 - < 1 ( > 0) Ò Ñ Ð Ø Ð× ÓÖРظ 1 1 Ú Ú Ð Ò× - n -¸ Ñ ÖØ ÓÖ n N¹Ö 1 - n 1 - Ø Ð × ÐÒ ¸ Ñ 1 1 ÐÐ ØÚ Ð Þ n Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ð¸ n N¹Ö ¸ Ñ N Ð ÐÖ Ð n × Ú
ÓÖÐ ØÓ× Ý ÓÖÐ Ø Ì Ø Ð ÒØ Ò ¸ Ð× × Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ð× ×º Þ Ø

ÈÐ º

ÔÓÒØÓ×

1 {1 - n } 1 n

ÐÑ Þ

ÓÖРغ



ÓÖÐ Ø

Ö

1Ø

Ð

× Ð¸

Þ ÖØ

Þ ½

Ð×

1-

1º

¾º ËÓÖÓÞ ØÓ
Ò
º
À

× ÑòÚ Ð Ø ¸ ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ ×
y n R¹
Ð ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸

xn

×

. xn + y n = x n + y n ;
×Þ Ö ÒØ

. xn = xn
Ò ÐÐ ØÚ

R

Ø Ø×Þ Ð

׸

ÓÖ

Þ

×

Ò Ò Ú ÞÞ ×

ÐØ ×ÓÖÓÞ ØÓ º

Ø

Þ

ÓØØ

×ÓÖÓÞ ØÓ ××Þ
ÓÖ Þ

¹×ÞÓÖÓ¹

Ò

À

xn

yn R¹

Ð ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸

. xn · y n = x n · y n ;
×Þ Ö ÒØ

xn . = yn
ÓØØ

xn yn

(yn = 0)
Ò ¸ ÐÐ ØÚ

ÒÝ Ó×
Þ Ð

Ò Ò

ÐØ ×ÓÖÓÞ ØÓ Ò Ú ÞÞ Ø Ø Ð Ø º

Ø

Þ

×ÓÖÓÞ ØÓ ×ÞÓÖÞ Ø
×

¹

×Þ Ö ÒØ

Ò

Ý

Ð ÔÑòÚ Ð Ø

Ø Ö ÖØ

ÔÞ × ×ÓÖ¹

Ö Ò

Ð
× Ö Ð

½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò xn xn x × yn y º x + y , xn xº

× yn R¹ Ð ×ÓÖÓÞ Ø¸ R Ø Ø×Þ Ð × Ý¸ Ó Ý ÓÖ xn + yn × xn ÓÒÚ Ö Ò× × xn + y n

¾º ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë ÅæÎ Ä Ì Ã¸ ÁÄÄ ÌÎ

Ê Æ

Ë

½

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ À

xn x × yn y ¸ Ý > 0¹Ö ¹ Þ n N¸ 2 2 n 2 × Ø Ò d(x, xn ) < × d(y, yn ) < º Þ ÖØ n n ¹Ö 2 2 2

Ó Ý

n

d(x + y, xn + yn ) = |(x + y) - (xn + yn )| = |(x - xn ) + (y - yn )| |x - xn | + |y - yn | = d(x, xn ) + d(y, yn ) < ,
µ

xn + y n x + y º ÓÖ xn = xn = 0 ÓÒÚ Ö Ò× × xn = 0 0 Rº À = 0¸ > 0¹ ÓÞ n À = 0¸ N, Ó Ý n ÓÖ > 0¹Ö || || n || × Ø Ò d(x, xn ) < ÓÖ n n ¹Ö . || ||
Þ Þ

d(x, xn ) = |x - xn | = || |x - xn | = ||d(x, xn ) < ||
Þ Þ

=, ||

ÈÐ º
½º Þ ÖØ

xn xº 1+
½¸

1 n
Þ

×ÓÖÓÞ Ø

ÓÒÚ Ö Ò× Ò× ×

Ò׸ Ñ ÖØ ÓÒÚ Ö Ò× Ø Ö ÖØ × Ø Ö ÖØ

Þ ×

1

×ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ

ÓÒÚ Ö ¼¸ Ý

Ò×

×

Ø Ö¹ ØØ

1 n
×

×ÓÖÓÞ Ø × ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö

Ø Ø Ð Ñ

×ÓÖÓÞ ØÙÒ ¾º Þ

1 + 0 = 1º
¼¸ Ñ ÖØ

5 n

5 n

×ÓÖÓÞ Ø

¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò
yn y º

=5·

1 n

1 n

5 · 0 = 0º xn

0

Ñ

ØØ

ÓÖ xn · yn

× yn ÓÐÝ Ò R¹ Ð ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ Ó Ý xn x × ×
y, yn = 0 (n N)¸

ÓÖ

× xn · y n x · y ,

xn x . yn y
ÓÒÚ Ö

xn yn

× ÓÒÚ Ö Ò×

ÈÐ º
½º Þ ×

1 0¸ n

1 n2

×ÓÖÓÞ Ø Ý

Ò×

×

Ø Ö ÖØ

¼¸ Ñ ÖØ

1 0 · 0 = 0º n2

1 n2

=

1 1 · n n

¾

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

¾º

ÈÐ º
Ú

1 n 3º Ý 1 2 n2 ¿º Ø Ø Ðº À xn ÓÖÐ ØÓ׸ yn Ô ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ Ø (xn · yn 0)º 1 2 + 2 2¸ n 3+
1 (-1)n n (-1)n ÓÖÐ
ØÓ×

1 n 1 2+ 2 n 3+

×ÓÖÓÞ Ø

ÓÒÚ Ö

Ò×

×

Ø Ö ÖØ

3 ¸ 2

Ñ ÖØ

3+

1 3, n

ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ Ø R¹ Ò¸

ÓÖ xn · yn
1 n ¸ ØÓ¹

×ÓÖÓÞ Ø ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ñ ÖØ

º Ø Ø Ðº À
µ µ

1 n

1 (-1)n n = (-1)n

Ô

ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ Øº

xn ÓÐÝ Ò R¹

Ð ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ó Ý ÓÖ ÓÖ
1 º xn 1 0 xn

|xn | + × xn = 0 n N¸ xn 0 , xn = 0 n N¸

ÈÐ º
½º

¾º

º Ø Ø Ðº À
µ µ
ÞÓÒÝ Ø ×º

n2 + 1 ÓÒÚ Ö Ð +¹ Þ¸ Ñ ÖØ M < 1¸ Ý n2 + 1 > 1 > M n M - 1¹ Þ n(M ) N¸ M 1¸ ÓÖ ´n + Ñ Øص N¸ Ñ 2 > M - 1 n2 + 1 > M º M - 1 n Ó Ý n n(M )¹Ö n > 1 0º Ý Ø Ø Ð µ Ö ×Þ Ñ ØØ n2 + 1 1 2 n2 1 n2 = 1 + 2 0¸ Ý Ø Ø Ð µ Ö ×Þ Ñ ØØ +º × 1 n+2 n n n+2 n + n2 xn × yn ÓÐÝ Ò R¹ Ð ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ Ó Ý xn x × yn y × N0 N¸ Ó Ý xn yn ´Ú Ý xn < yn µ n > N0 ¹Ö ¸ ÓÖ x y x < y¸ ÓÖ N0 N¸ Ó Ý n > N0 ¹Ö xn < yn º
и Ó Ý

µ Ì

µ

|x - y| ÓÖ n1 () N × > 0º 2 n2 ()¸ Ó Ý xn K(x, ) n n1 () × yn K(y, ) n n2 ()º K(x, ) K(y, ) = Ñ ØØ Ð ¸ Ó Ý yn < xn n > n() = ÐÐ ÒØÑÓÒ ×¸ Ý
× x y Ð Ø× ×º sup{n1 (), n2 ()}º Þ Ô |x - y| = > 0¹Ö n1 () N × n2 () N¸ Ó Ý xn K(x, )¸ 2 n n1 ()¸ Ú Ð Ñ ÒØ yn K(y, )¸ n n2 ()º Ý K(x, )K(y, ) = Ñ ØØ xn < yn ¸ n > N0 = sup{n1 (), n2 ()}º
Ý

x>y

× Ð

Ý Ò

=

¿º Ê Ë ËÇÊÇ

ÌÇÃ

¿

º Ø Ø Ð ´Ö Ò Ö¹Ø Ø Ðµº À xn , yn , zn ÓÐÝ Ò R¹ xn x × yn x × xn zn yn ¸ ÓÖ zn xº
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ð ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ Ó Ý

ÐØ Ø Ð Ñ ØØ > 0¹ ÓÞ n1 () N × n2 () N¸ xn K(x, )¸ n n1 () × yn K(x, )¸ n n2 ()º Ý xn , yn K(x, )¸ n n() = sup{n1 , n2 }¸ Þ ÖØ Þ xn zn yn ÐØ Ø Ð Ð zn K(x, )¸ n n()º Ì Ø zn xº Ó Ý

ÈÐ º

0<

n+1 0º n3 + 1

n+1 n+1 2n 2 < 3 = 2 3+1 3 n n n n

Ñ

ØØ

Ø Ø Ð

¸

Ó Ý

¿º Ê ×Þ×ÓÖÓÞ ØÓ
½º
Ò Ú Ú

Ò
º
× Þ º

Ä

Ý Ò

an R¹
ÓÖ

Ð ×ÓÖÓÞ Øº À

bn = a(n) ¸ 1 2n
×ÓÖÓÞ Ø

bn
Þ

¹Ø

Þ

an

Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø

: N N ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ º

Ò

Ò Ú ÞÞ

ÈÐ º
×ÓÖÓÞ ØÒ

×

n2

1 +2

×ÓÖÓÞ Ø × Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø

Þ

1 n

½º Ø Ø Ðº À Þ
ÞÓÒÝ Ø ×º À

bn a Ø Ð × Ðº
Ø Ð × Ò Ù

an

ÓÒÚ Ö Ò× ×

Ø Ö ÖØ

a

ÓÖ bn Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø Ö
ÓÖ ÓØظ Ý

bn = a(n) , : N N ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ Ô Ù ¸ Ó Ý (n) n (n N)º Ä Ý Ò > 0 ÓÖ an a Ñ ØØ n() N, Ó Ý n n()¹Ö an K(a, )º (n) n Ñ ØØ bn K(a, ) n n()¸ Þ Þ bn aº
Ú Ð

ÈÐ º
×ÓÖÓÞ ØÓ

Ø Ø Ð

×

Þ

1 n

ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ Ø ÚÓÐØ

Ñ

ØØ

Þ

1 2n

×

Þ

1 n2 + 2
Ø ×Þ ÙÒ Ø

× ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ ØÓ º

Å
×

ÝÞ ×º
Ø Ö ÖØ º

Ø Ø ÐÑ ÓÒØ

ÓÖ

Ø ×

Ò Ñ Ø Ö ÖØ

Þ¸ Ù Ý Ò Þ¸

Ý ×ÓÖÓÞ Ø ÓÖ Þ

Ö ×Þ×ÓÖÓÞ ØÖ

Ø ¸ Ñ ÐÝ

×ÓÖÓÞ ØÒ

¾º Ø Ø Ð ´ ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö×ØÖ ××¹ Ð
Ð ×ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ׸
an
Ý

ÓÖ Ð Ø Þ
×ÞÐ Ø Ý Þ

ÓÒÚ Ö Ò× Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø º

Ú Ð ×ÞØ × Ø Ø Ðµº À
Ó Ý Ú ÐÑ Þ Ñ

Þ an R¹
Ø Ð Ò ¹

ÞÓÒÝ Ø ×º À

ÖØ

×Ó Ø

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÖ ¸ ÒÚ Ø Ð Ò¸

: N N ×Þ

Ú ×¸ ÓÖ a R¸ A = {n N | an = a} ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

an = a Ú

×Þ ÑÐ Ð

×ÓÖÓÞ Ø¸ Ñ ÐÝÒ

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

ÖØ À ØÓÖÐ

×ÞÐ Ø

Aº
¸

Å Ú Ð Ý

aR (1) N¸ Ó Ý a(1) K(a, 1)º À (n)¹Ø Ñ ¹ Ø ÖÓÞØÙ n N¹Ö ¸ ÓÖ (n + 1) N¸ Ñ ÐÝÖ (n + 1) > (n) 1 × a(n+1) K a, º : N N ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú × n+1 1 1 bn = a(n) K a, n Nº n N¸ Þ Þ d(a, a(n) ) = d(a, bn ) < n n 1 Ä Ý Ò > 0 Ø Ø×Þ Ð ×¸ ÓÖ ´ 0 Ñ Øص n() , n n() (n N)¹Ö n 1 < ¸ Ý d(a, bn ) < º Ì Ø bn aº n {an }
× Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þ¸ Ñ ÐÝ ÓÖÐ ØÓ׸ ÓÖ ÁÁº º¿º Ø Ø Ð Ñ ØØ ÔÓÒØ

a(n) = a n N¸

Ø

Ø

a(n)

ÓÒÚ Ö

Ò׺

¾º
ÖÓÞ Ø

Ò
º

Ä

Ý Ò Ò

A

Þ

an

ÓÖÐ ØÓ× ´R¹

Ð µ ×ÓÖÓÞ Ø ×

ÓÒÚ Ö

Ò× Ö ×Þ×Ó¹ Ø Þ Ò ÐÐ ØÚ Ð Ñ Ò

an µº
À

Ð× ÐÐ ØÚ Ð× Ð Ñ ×Þ Ò Ö ÓÖ Ò
an
´Ú

Ø Ö ÖØ

Ø Ö ÖØ
Ò Ú ÞÞ Ý

ÐÑ Þ º

sup{A}
Ò Ú Ý

º Â Ð Ð ×

lim an , lim an
ÓÖ

Ð Ñ ×Þ ×ÞÙÔ Ö ÓÖ

inf{A}

´Ð Ø Þ µ ×Þ ÑÓ ´Ð Ñ×ÙÔ

an ¸

ÈÐ º

an Ð ÐÖ Ð lim an = -µº
Þ

ÐÙÐÖ Ðµ Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ׸

lim an = +

´ ÐÐ ØÚ

Å
½º

an = (-1)n ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò× Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø × bn = -1 ÓÒ×Ø Ò× ×ÓÖÓÞ ØÓ ¸ ÐÐ ØÚ ÞÓÒ bn ×ÓÖÓÞ ØÓ bn = 1 Ú × ×Ó n Ú Ø Ð Ú Ð¸ Ú Ý bn = -1 Ú × ×Ó n Ú Ø Þ Ø Ö ÖØ ½ Ú Ý -1¸ Ý lim an = 1, lim an = -1º sup{A}, inf{A} A

bn = 1
¸ Ñ ÐÝ Ð Ú Ðº Ò

ÝÞ × º

º ÓÖ

¾º À

lim an = lim an = a¸

an aº

º
½º
>0

Ù
ݹ×ÓÖÓÞ ØÓ
Ð ×ÓÖÓÞ ØÓØ Ó Ý ÞØ

Ò
º
× Ø Ò Ø Ö ÖØ

Þ an R¹ n() N¸ Ò
Þº

p, q n() (p, q N)
Ð ÒØ ¸ ÓÒ× Ó Ý ×ÓÖÓÞ Ø Ø Þظ Ú ×ÞÓÒØ

Ù
ݹ×ÓÖÓÞ ØÒ
× Ø Ò Ó Ý

Ò Ú ÞÞ

¸

d(ap , aq ) < º
Þ Ð Ö ÐÒ ×ÓÖÓÞ Ø Ø

Ø Ö ÖØ Þ Ð Ö ÐÒ

Ù
ݹØÙÐ ÝÑ × ÓÞº

½º Ø Ø Ð ´

ÓÖ ×
×

Ù
ݹ Ð

ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸

ÓÒÚ Ö Ò

Ù
ݹ×ÓÖÓÞ Øº

Ö Ø Ö Ùѵº Þ

xn R ¹

Ð ×ÓÖÓÞ Ø

º

Í À ¹ËÇÊÇ

ÌÇÃ

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ À ݸ

xn

ÓÒÚ Ö

Ò׸

ÓÖ

Ó Ý ¹Ö

n 2

p, q n

2

x R¸

¹Ö

> 0 × Ø Ò ¹Ö n N 2 2 d(x, xp ) < × d(x, xq ) < º Ý p, q 2 2
Ó Ý

d(xp , xq ) d(x, xp ) + d(x, xq ) < ,
Þ Þ µ Ä Ý Ò Ù
ݹ×ÓÖÓÞ Øº

xn Ù
xn ÓÖÐ ØÓ׸ d(xp , xq ) < 1º

ݹ×ÓÖÓÞ Ø Ñ ÖØ Ä

R¹ Òº = 1¹ Þ n(1) N¸ Ó Ý p, q n(1)¹Ö Ý Ò q n(1) Ö Þ Ø Øظ p n(1) Ø Ø×Þ Ð ×¸

ÓÖ

d(0, xp ) d(0, xq ) + d(xp , xq ) < d(0, xq ) + 1 , r > sup{d(0, x1 ), . . . , d(0, xn(1)-1 ), d(0, xq ) + 1}¸ d(0, xn ) < r n Nº ÓÖÐ ØÓ׸ Ý x(n) ÓÒÚ Ö Ò× Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Å Ú Ð xn
ݸ Ä ÓÖ Ø ´Ð ×

Ö

x = lim x(n) × > 0 Ø Ø×Þ Ð ×¸ ÓÖ ¹ n 2 N¸ Ó Ý (n) n1 (n N) × Ø Ò d(x(n) , x) < 2 Å ×Ö ×ÞØ xn Ù
ݹ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ý n2 N, 2 n2 ¹Ö d(xp , xq ) < º Þ ÖØ n n() = sup{n1 2 2
Ý Ò

ÓÐÞ ÒÓ¹Ï

Ö×ØÖ ××¹

Ð

Ú Ð ×ÞØ × Ø Ø Ðصº

Þ

º 2

n1

2

Ó Ý p, q , n2 }¹ 2 2

(n) n
Þ Þ

×

d(xn , x) d(xn , x(n) ) + d(x(n) , x) < ,

x n xº
Ø× Ò Ð Ú Ð Ð ×¸ Ð ÒØ Ú Ö Ø Ò
Ò
Ò
¸ Ü ×× Ý ×ÓÖÓÞ Ø Ø Ô Ð Ô Òº ×× Ü Ñ Ò ÐÝÙ Ú ¹ × µ¸ × ÓÒÚ Ö Ò
× Ø Ò Ø Ö ÖØ ÒÒÝ Ò

Å
½º ØÙ ¾º ËÞÓ

ÝÞ × º
Ø Ø Ð × ×Ñ Ö Ø Ù × Þ ÞÓÒÝÓ× ÞÓÒÝ Ø Ò ¸ Ñ ÒØ Ù
ݹ ÐØ ÐÙÒ Ð ÓÒÚ Ö ÓØØ Ø Ð

Ö Ø Ö ÙÑÓØ Ø Ð Ó Ý Ñ ×Þ Ñ Ø Ø Ð Ð ×Þº

Ð ×ÞØ Ò ´ Ñ Ù Ý Ò
× ÓÖ

ÞØÓ× Ø

Ý Ò × Ò Ñ

ÁÁÁº ËÇÊÇ

ÌÇÃ

ÈÐ
½º

1 1 1 + 2 + · · · + 2 ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ 2 1 2 n À p, q N¸ × Ô Ð ÙÐ p > q ¸ ÓÖ 1 1 1 + + ··· + 2 < |ap - aq | = 2 2 (q + 1) (q + 2) p 1 1 1 + + ··· + = < q(q + 1) (q + 1)(q + 2) (p - 1)p 1 1 1 1 1 1 = - + - + ··· + - = q q+1 q+1 q+2 p-1 p 1 1 1 = - < q p q × Þ Ö
Ñ ×Þ Ü Ñ Ò Úò Ø Ø Ð Ñ ØØ > 0¹ ÓÞ n() N¸ 1 1 ÓÖ q N, q n()¹Ö < × < ¸ Ý q n() Ó Ý n() q 1 < ¸ Ñ ´ × p Nµ × Ø Ò |ap - aq | < ÞØ ×¸ Ó Ý p, q q Ù
ݹ Ð ÓÒÚ Ö Ò
n()¹Ö |ap - aq | < ¸ Þ Þ ×ÓÖÓÞ Ø Ø Ð × Ø
Þ Ö Ø Ö ÙÑÓظ Þ Í Ý Þ ÖØ ÓÒÚ Ö Ò׺

º

¾º

1 1 1 + + ··· + 1 2 n Ò × n N¹Ö
1 2¹

×ÓÖÓÞ Ø

Ú Ö

Ò׺

a2n - an =
Ý Ø Ð

=
× Ø

Þ

Ý ØÐ Ò Ð

1 1 1 1 + ··· + >n = n+1 2n 2n 2 n() ×Þ ×Þ Ñ × Ñ ¸ Þ ÖØ
ÐØ Ø Ð Øº

×ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ

Ù
ݹ

Ö Ø Ö ÙÑ

º Æ Ú Þ Ø × ×ÓÖÓÞ ØÓ
an = º ÓÖ |a| < 1 × Ø Ò an 0 n ¾º |a| > 1 × Ø Ò a Ú Ö Ò× a > 1¹Ö an + n 1 a = -1 × Ø Ò an Ú Ö Ò׺ ¿º a = 1 × Ø Ò a ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò k N Ö Þ Ø Øظ ÓÖ nk +, k n + × k np +¸ p = (k, l N)º l an
½º

½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò a R,

Þ

Ð

Ø Ø Ð

ÞÓÒÝ Ø × Ø

à РÙÐÙ× Áº Ô Ð

Ø Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º

º Æ Î

Ì Ë ËÇÊÇ

ÌÇÃ

¿º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò a R, º Ø Ø Ðº n n 1 º º Ø Ø Ðº À º Ø Ø Ðº
n n! + º a > 1¸ 1+ 1 n

a > 0º

ÓÖ ÓÖ an =

n

a1º

a R, a > 1¸

an 0º n!

º Ø Ø Ðº À º Ø Ø Ðº Þ
ºµ

ÓÖ
n

nk 0 k N Ö Þ Ø ØØ ×Þ ÑÖ º an

×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ ´À Ø Ö ÖØ

Ø e¹Ú Ð

Рй

ËÓÖÓ
Ý Ú ÖÖ

Áκ

Þ Ø

½º Ð Ô Ó ÐÑ
an
Ö ×ÓÖÓÞ Ø Ø Ø ×Ö ××Þ Øº ××Þ Ø Ð Ò ×Ó

× Ð ÔØ Ø Ð
× Ú Ð ÓÖÑ Ð × Ò ××Þ Ñ Ò
ÓÖ × Ð Ö Ø Ù

n=1

an

n

Þ Ò ÓÖÑ Ð ×

Ð ÒØ Ø×

Ý ×Þ ÑÓØ Ú Ð Ó ÙÒ Ô ×µ ÓÒ Ö Ø

ak
k=1
Ó Þ × Ö Ò × Ö º ÓØØ

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ Ö ÐÒ ¸ Ó Ý Ð Ô

ÓÒÚ Ö Ø ÒÝÐ Ò Ò

Ú Ð ×ÞÓÐÒ º Ã ×Þ Ñ Ø ×Ó Ð ØÓ Ñ Ý

× ´ÒÙÑ Ö ´ Þ Ð Ø µ

Ù׸ ×Þ Ñ Ø ÖØ Ø

ÐÝ Ò ×ÓÖÓ

ÓÐ À

½º
Ð Ð Ò Ú ÞÞ

Ò
º
º

Ñ ÐÝÒ Ð

. Sn = Sn ¹Ø
º À

Ú Ø Ð Ò ×ÓÖÒ Ò Ú ÞÞ × k=1 ×ÓÖ n¹ Ö ×ÞÐ Ø ××Þ Ò ¸ an ¹Ø
ak
ÓØØ Ñ Þ

n

Ý

an R¹

Ð ×ÓÖÓÞ Ø¸

ÓÖ

ÞØ

Þ ´Ú

Sn
Ý

×ÓÖÓÞ ØÓظ

an
×ÓÖ ÞØ × Ö Þ

n=1

an ¹Ò
Ò

Ð

n
Ñ ÐÝÒ Ð

Sn =
k=0

ak

a0 R

n¹

×Þ Ñ

׸

Ý

Sn
n=0

Ø

×ÓÖÓÞ ØÓظ

× Ú

Ø Ð Ò ×ÓÖÒ

Ò Ú ÞÞ

an

Ð Ð ×Ø

×ÞÒ Ð Ù º

¾º
× Þ Ò

n

lim Sn = S
××Þ Ø

Ò
º

an
Ð Ð ×Þ Ñ Ø

×ÓÖØ

ÓÒÚ Ö Ò×Ò
×ÓÖ ××Þ ÐÐ ØÚ Ò

ÑÓÒ Ò Ú ÞÞ

Ù ¸ º Þ ××Þ

Sn
Þ ×

ÓÒÚ Ö

Ò׸

×Þ ÑÓØ

an ¸
ÐÙÑ ×º Ò Ñ

n=1

an

´

a0 ¹Ø

Ð Ò Ùи

ÓÖ

n=0
×ÓÖ

an µ

an

Ú Ö Ò׸

ÓÒÚ Ö

Ò׺

¼

Áκ ËÇÊÇÃ

ÈÐ
½º

º

1 n(n + 1) Sn =

×ÓÖÒ Ð

n N¹Ö

1 1 1 + + ··· + = 1·2 2·3 n · (n + 1) 1 1 1 1 1 1 = - - - + + ··· + 1 2 2 3 n n+1 1 1, =1- n+1
Ò× × ××Þ ÓÖ ½º

=

Ý ¾º Ä Ö

×ÓÖ Ý Ò

ÓÒÚ Ö

q R, |q| < 1¸
ÓÒÚ Ö Ò׸ Ñ ÖØ

n=0

qn

ÝÒ Ú Þ ØØ Ñ ÖØ Ò ´Ú

Ý

ÓÑ Ø¹

µ ×ÓÖ

Sn = 1 + q + · · · + q n =
Ý ××Þ

¿º

1 n

1 1-q

1 q n+1 - 1 , q-1 1-q

º

ÝÒ Ú Þ ØØ

ÖÑÓÒ

Ù× ×ÓÖ

Ú Ö

Ò׸ Ñ ÖØ

Sn =
× ÓÖ Ò Ð ØØÙ ¸ Ó Ý Ö

1+
Þ

1 1 + ··· + 2 n
1 2

,
1 n
ÞØ ×ÓÖÓÞ Ø Ð ÒØ ¸ Ú Ö Ó Ý Ò׺

1+
Ò

Å
Ó Ý

½º Ø Ø Ð ´

> 0¹

ÝÞ ×º
ÓÞ

+ ··· +
ÔÔ Ò

ÓÖ ×
× ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸ an ×ÓÖ Ó Ý n, m N, n > m n() × Ø Ò
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ù
ݹ Ð

an ×ÓÖ ÓÒÚ n() N¸

Ó Ý

ÓÒÚ Ö Ò

n n()

× Ø Ò

Ö Ø Ö ÙÑ ×ÓÖÓ Ö µº

|Sn - S| < º

S R¸

> 0¹ ÓÞ n() N¸

|am+1 + am+2 + · · · + an | < .
ÓÖ ×
× × Ø Ò ×
× ÓÖ Þ¸ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò× ´ Ù
ݹ ÓÞ Ð Ò
×Þ Ö Òص¸ Ò
Ó Ý ×ÓÖÓÞ ØÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÓÒÚ Ö

an
Ò׸ Øص

×ÓÖ Ñ ´ ÓÖ

Sn

ÓÒÚ Ö

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ

n, m n() (n > m)
Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò

> 0¹

n() N¸

> |Sn - Sm | = |am+1 + am+2 + . . . + an | .
ÐРغ

½º

Ä È Ç

ÄÅ Ã

Ë

Ä ÈÌ Ì Ä Ã

½

½º

Ú Ø ÞÑ Òݺ ÓÖ ×
× ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸ an ×ÓÖ ÓÞ n() N¸ Ó Ý m n() × p N × Ø Ò
|am+1 + am+2 + . . . + am+p | < .
ÞÓÒÝ Ø ×º Å ÒØ

> 0¹

Þ

Ð

¸
×

n = m + p > m n()

Ú Ð ×ÞØ ×× Ðº

À

¾º

Ú Ø ÞÑ ÒÝ ´ ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò
an ÓÒÚ Ö Ò׸
Ó Ý

ÓÖ an 0 º

Ò
Ý Ò

×Þ ×
ÞØ Ô Ù ¸ Ñ

× ÐØ Ø Ð µº
Ó Ý ÞØ

ÞÓÒÝ Ø ×º À

Þ ½º Ø Ø Ð

n() N¸ an 0 º

Ò m = n - 1¸ n n() (n N) × Ø

|an | < ¸

> 0¹
Ð ÒØ

ÓÞ

Ó Ý

ÈÐ º
½º

ÓÒÚ Ö ¾º

1 n

×ÓÖÒ Ð Ò׺ ×ÓÖÒ Ð

an = an = an

1 0¸ n 1 0 n2

´

Ó Ý

ÞØ Ð ØØÙ µ

×ÓÖ Ñ

Ò Ñ

1 n2

× ´Ñ ÒØ

ÞØ Ð ØØÙ µ

×ÓÖ

ÓÒÚ Ö Ò׺

Ò׺

¿º

×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò׸ ÐØ Ø Ð × Ò ÓÒÚ Ö Ò׸ ÓÒÚ Ö Ò׸
Ò
º
Ý
Ò
Ñ ØØ

Ò Ñ

|an |

ÓÒÚ Ö

an
Ò׺

×ÞÓÐ Ø

ÓÒÚ Ö

¾º Ø Ø Ðº

×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò× ×º
> 0¹
n
ÓÞ

|an | ÓÒÚ Ö ÞÓÒÝ Ø ×º m, n N, n > m n()¹Ö
n k=m+1
Ñ

n() N¸
n

Ó Ý

n

|ak | <
ØØ

×

Ý

k=m+1

ak

k=m+1
غ

|ak | =

k=m+1

|ak | < ,

Þ ½º Ø Ø Ð Ñ

an bn

ÓÒÚ Ö

Ò

¿º Ø Ø Ðº À
ÓÖ

ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖÓ ¸ × , µ R Ø Ø×Þ Ð × ¸ an + µ (an + µbn ) ×ÓÖ × ÓÒÚ Ö Ò׸ × ××Þ bn º
n=1 n=1 n n n

an ×

ÞÓÒÝ Ø ×º

(ak + µbk ) =
k=1 k=1

ak + µ
k=1

bk n¹
Ý

Ñ

ØØ

(an + µbn )
Ò ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ

×ÓÖ

n¹
×Þ ÑÓ ×

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ Ð ØØ ÔÞ ØØ Ð Ò Ò Þ Ö × Ñ ÐÐ Ø ×º

an

×

bn
Ò

×ÓÖÓ ¸

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ ×ÓÖÓÞ ØÓ

, µ
ÓÒ¹

ÓÑ

¾

Áκ ËÇÊÇÃ

¾º ÃÓÒÚ Ö Ò
½º Ø Ø Ð ´Ò ÑÒ
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ö Ø Ö ÙÑÓ
an Ò ÑÒ

an ÐÐ ×ÓÖº ÓÖ ×
× ×ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ׺
µ

ØÚØ

×ÓÖÓ Ö µº Ä Ý Ò

ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ

ØÚØ Ó Ð Ò Sn

Sn+1 - Sn = an+1 0 n N
ÓÖÐ ØÓ× ×¸ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸

Ð Ô Ý

Ò

Sn

ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ò׺ ÓÖÐ ØÓ׺

Ú º À

Ñ

an
Ò×

ÓÒÚ Ö

µ

an

ÓÒÚ Ö

Ò×

= Sn
Ø Ú Ø

ÓÒÚ Ö ×ÓÖ

= Sn

ÈÐ º

1 n2 Ò Ñ Ò

× Ø Ò

Sn = 1 +

Þ Þ

Sn

1 1 1 1 1 + ··· + 2 < 1 + + + ··· + = 2 2 n 1·2 2·3 (n - 1) · n 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + - + - + ··· + - =2- <2 , 1 2 2 3 n-1 n n
ÓÖÐ ØÓ׸ Ý ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׺

n N¹Ö

Ò ÑÒ

¾º Ø Ø Ð ´ ××Þ
µ µ

×ÓÒÐ Ø Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò an Ý ×ÓÖ × bn Ý ØÚØ ×ÓÖº À |an | bn n n0 N × Ø Ò¸ × bn ÓÒÚ Ö Ò׸ ÓÖ an ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò× ´Ñ ÓÖ Ò× Ö Ø Ö Ùѵº an À |an | bn n n0 N × Ø Ò × bn Ú Ö Ò׸ ÓÖ Ò Ñ ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò× ´Ñ ÒÓÖ Ò× Ö Ø Ö Ùѵº
ØØ × Ø Ò

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ

Ñ bn ÓÒÚ Ö Ò
n, m n() (n > m) Ý

> 0¹

ÓÞ

n() n0 , n() N¸

Ó Ý

|bm+1 + bm+2 + . . . + bn | < ,

||am+1 | + |am+2 | + . . . + |an || = |am+1 | + |am+2 | + . . . + |an |
× µ À Ú Ö

bm+1 + bm+2 + . . . + bn = |bm+1 + bm+2 + . . . + bn | < Þº Ì Ø ´ Ù
ݹ Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Øص an ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ an ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò× Ð ÒÒ ¸ bn × ÓÒ¹ ÓÖ Þ µ Ö ×Þ Ñ ØØ an Ò Ñ ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ Ò× Ð ÒÒ ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ×¸ Ý 1 + 10
×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸ Ñ ÖØ

ÈÐ º
½º ×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

n2

Ò׺

n2

1 1 < 2 n N¸ + 10 n

×

1 n2

¾º ÃÇÆÎ Ê

Æ Á ÃÊÁÌ ÊÁÍÅÇÃ

¿

¾º

1 n

×ÓÖ

Ú Ö

Ò׸ Ñ ÖØ

1 1 n N¸ n n

×

1 n

×ÓÖ

Ú Ö

Ò׺

×ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò Ò Ø ÖØ×ÓÒ Ò Ú Þ ØØ ÐÚ ÐØ ¸ Ú Ý ÐØ ÖÒ Ð µ ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׺

¿º Ø Ø Ð ´Ä

Ò Þ¹ Ð

Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò

an > 0 (n N) × Þ an (-1)n+1 an ´ ݹ ¼¹ ÓÞº ÓÖ
Ò Þ¹ Ò Ð ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸ Ñ ÖØ

ÈÐ º
an =

(-1)n+1

ºØ Ø Ð´
µ µ

1 > 0 (n N), n

1 n
1 n

ÝÒ Ú Þ ØØ ÑÓÒÓØÓÒ
×

Ä

×

Ò Ø ÖØ ¼¹ ÓÞº

À 0 < q < 1 × n0 N¸ Ó Ý n n0 ¹Ö ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ À Ú Ð Ñ ÐÝ n0 N × Ø Ò n n0 ¹Ö Ú Ö Ò׺
n

Ù
ݹ Ð

Ý

Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò

an
n

Ý ×ÓÖº |an | q ¸

ÓÖ ÓÖ

an an

n

|an | 1¸

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ À

n n0 ¹Ö
× Ð¸ Ó Ý

|an | q < 1¸
Ì

ÓÖ

bn = |a1 |+ . . . + |an0 -1 |+
Ø Ð ×ÞÓÐ Ø µ ÓÒÚ Ö



q n ×ÓÖÖ ¸ Ñ ÐÝ
××Þ

|an | q n (n n0 )º |q| < 1 Ñ
×ÓÒÐ Ø

Ý ØØ ÓÒÚ Ö Øص Ò׸

n=n0
Ø ´ Þ

|an | bn º
Ò׺
n

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ

an

n n0 ¹Ö = an Ò n 3n
Ó Ý

Ñ ×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

|an | 1 = |an | 1 =
Ò׺ ÓÒÚ Ö
n

an

Ò Ñ Ø ÖØ ¼¹ ÓÞ

ÈÐ º
n0 N¸

Ò׸ Ñ ÖØ

n

n n0 ¹Ö

n n n = < q < 1º n 3 3

n1

Ñ

ØØ

q

1 ,1 3

× Ø Ò

Ä ÝÒ
µ µ

Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ´
an

Ý ×ÓÖº

Ù
ݹ Ð

Ý
ÓÖ ÓÖ
n

Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ó ÐÑ Þ × µº
an an

ÈÐ º

À lim n |an | = A < 1¸ À lim n |an | = A > 1¸
Þ Ð ×ÓÖÖ

×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ Ú Ö Ò׺

lim
Ý ÓÒÚ Ö Ò׺

n

|an | = lim

n 1 n n = <1, = lim n 3 3 3

Áκ ËÇÊÇÃ

Ñ ÐÝÖ an = 0º
µ

º Ø Ø Ð ´ ³ Ð Ñ Öع Ð

ÒÝ Ó× Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò
a

an

Ý ×ÓÖ¸ ÓÖ
an

µ

n+1 q¸ À 0 < q < 1 × n0 N¸ Ó Ý n n0 ¹Ö an ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ an+1 À n0 N¸ Ó Ý n n0 ¹Ö 1¸ ÓÖ an Ú Ö Ò׺

an ×ÓÖ

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ

n n0 ¹Ö =
´ Þ ××Þ

an+1 q = m N¹Ö |an0 +m | |an0 |q m = an
n0 k=1
×ÓÒÐ Ø

bn =

|ak | +

k=n0 +1

|an0 |q k-n0
Øص

ÓÒÚ Ö

Ò× ×ÓÖÖ ÓÒÚ Ö

|an | bn =
Ò׺

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ

an

×ÞÓÐ Ø

µ

an+1 1 = |an+1 | |an | (n n0 ) = |an | |an0 | > 0 an an ( n n0 ) = |an | Ò Ñ Ø ÖØ ¼¹ ÓÞ = an Ò Ñ Ø ÖØ ¼¹ ÓÞ = n n0 ¹Ö
Ú Ö Ò׺

ÈÐ º

2n n=0 n!


×ÓÖÖ

an+1 an
Ñ

2n+1 2 (n + 1)! = = 2n n+1 n!
¸ ÒÝ Ó Ý Ó Ý Ó×

n N¹Ö
× Ø Ò ØØ

¸

an+1 < q < 1¸ an
À ×ÓÒÐ Ò Ð Ø

2 0 n+1

Ñ

ØØ Ý Ø ¸

0 Ö Ø Ö ÙÑ Ñ ×ÓÖ

n0 ¸

Ó Ý

n n0 ¹Ö

×ÓÖ × Ø Ò

ÓÒÚ Ö

Ò׺ ÓÒÚ Ö Ò׸

xn n=0 n!


xR

×ÞÓÐ Ø

Ñ ÖØ

ÓÖ

x an+1 = 0º an n+1

Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ´ ³ Ð Ñ Öع Ð ÒÝ Ó× Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ó ÐÑ ¹ an Ý ×ÓÖ¸ Ñ ÐÝÖ an = 0 (n N)¸ Þ × µº À ÓÖ
µ

lim

an+1 < 1 = an

an

×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò×

¾º ÃÇÆÎ Ê

Æ Á ÃÊÁÌ ÊÁÍÅÇÃ

µ

lim

an+1 > 1 = an

an

Ú Ö Ò׺

Å
½º

ÝÞ × º
1 n 1 n
× ×ÓÖ

1 n2
Ú Ö

×ÓÖÓ Ò Ð Ò Ñ Ò׺
n

Ð

ÐÑ Þ

Ø

º Ý

×

º Ø Ø Ðº Ý Ö Ø Ö ÙÑ ´ ÒÝ µ

1 n

< 1¸
1 n+1

n > 2¸
1 / n < 1¸
Ý

Ö ×Þ µ Ò Ñ ´ µ

×ÞÒ Ð Ð

Ø º Å ×Ö ×ÞØ ÐÑ Þ Ò׺ Ø º
n

Þ Þ

Ó× Ö Ø Ö ÙÑ

1 n2
Ð

Ö ×Þ µ × Ñ ×ÓÖ ÐÑ Þ

ÓÒÚ Ö

Ò Ñ ´ ¾º Ø ¸
ÒÝ µ

1 1¸ n2 1 1 / n2 Ø º Å ×Ö ×ÞØ (n+1)2
Ð ÐÑ Þ Ø º Ö × Ò
Ñ ÙÐ Ú Ö Ø Ö ÙÑ ÓÒÚ Ö Ú Ð ×¸ Ð Ý

Ý Ý

Ö Ø Ö ÙÑ ´ ÒÝ

µ

Ö ×Þ µ

Ö ×Þ µ × Ñ Ù
ݹ Ð Þ Þ Þ Ð Ù
ݹ Ý

1¸
³ Ú Ö

Ó× Ö Ø Ö ÙÑ

¸ Ñ ÒØ Ý Ø Ð

Ð Ñ

Öع Þ ÙØ ³

Ð Ú Ð Ð Ñ

ÒÝ Ð Öع ÓÒÚ Ö

Ó×¹ Òع Ò¹ Ð

Ö Ø Ö ÙѸ ÓÖ

Ò
Ø ¸

ÓÐÝ Ò ×ÓÖ¸ Ñ ÐÝÒ ÒØ

Ö Ø Ö ÙÑÑ Ð

Ó× Ö Ø Ö ÙÑÑ Ð Ò Ñº È Ð

an ,

an =

5-n 2-n

n n

Ô Ö ØÐ Ò , Ô ÖÓ×.

×

ºØ Ø Ð ´
Ò

× Ò ÑÒ Ø Ú Ø 2n a2n ÓÒÚ Ö Ò׺
1 np
×ÓÖ ´ ÙÐ

Ù
ݹ Ð

ÓÒ ÒÞ
× Ø Ø Ðµº Ä Ý Ò
×ÓÖÓÞ Øº
an

ÓÖ ×
×

an

Ý ÑÓÒÓØÓÒ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò׸

ÈÐ º

ÓÐ

p > 0
1 n
¸

ܵ

ÓÖ Ù× ×ÓÖ

×
× Ú Ö

ÓÖ Ò׺µ À Ò ¸ Þ Þ × Ð¸

ÓÒÚ Ö

Ò׸ ÓÖ

p > 1º ´ Þ ÖØ Ô Ð 1 ×ÓÖ Ò ÑÒ np
Ñ ØØ ÓÑ ØÖ Þ Þ ÓÖ ×
×

ÖÑÓÒ

p > 0¸
Ý

Ø Ú Ø

1 np
Ò׸ ÓÖ

ÑÓÒÓØÓÒ
×

¿º º Ø Ø Ð

ÓÖ Ò׸

ÓÒÚ Ö Ñ

2n
×
×

1 ¸ (2n )p
ÓÖ Ø Ð

1

n

×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

p > 1º

2p-1 1 < 1¸ p-1 2

Áκ ËÇÊÇÃ

¿º ÅòÚ Ð Ø
½º
N¹Ò

×ÓÖÓ

Ð
ÒÚ ÖØ Ð Ø Ð ÔÞ ×

ØÖ Ò Þ ØØ ×ÓÖ
Ò׸ × ××Þ Ý

N¹Ö

Ò
º
¸

Ä Ý Ò ÓØØ ×ÓÖ¸ : N N an bn = bn = a(n) (n N)¸ ÓÖ Ò Ò Ú ÞÞ º

a(n)

×ÓÖØ

an

½º Ø Ø Ðº

×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖ Þ Ö Ø ×ÓÖ ××Þ º

ÖÑ ÐÝ ØÖ Ò Þ ØØ ×ÓÖ × ÓÒÚ Ö¹

¾º Ø Ø Ð ´Ê Ñ ÒÒ¹ Ð

an Ý ÐØ Ø Ð × Ò ØÖ Ò Þ × Ø Ø Ðµº À ÓÖ an ×ÓÖÒ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò bn ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖ¸ s, S Rb , s S ¸ ØÖ Ò Þ ØØ ×ÓÖ ¸ Ñ ÐÝÖ Þ sn = b1 + . . . + bn , (n N) Ð Ð ×× Ð lim sn = s × Ù Ý Ò ÓÖ lim sn = S º an ×ÓÖº À : N N ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ú ¸ b1 = a1 +. . .+a(1) , . . . , bn = a(n-1)+1 +. . .+a(n) , (n > 1)¸ ÓÖ bn ×ÓÖØ an ×ÓÖ Þ Ö Ð Þ ØØ ´
×ÓÔÓÖØÓ× ØÓØص ×ÓÖ Ò Ò Ú ÞÞ º
Ä Ý Ò ÓØØ

¾º
Ò Ú

Ò
º

¿º Ø Ø Ðº
Þ ××Þ
××Þ Ý Øº

Ý ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖ Ø Ø×Þ Ð Ñ Ú ÐØÓÞ × Ò Ð Ðº
ÆÝ ÐÚ Ò ÓÒÚ Ö Þ

×ÒÞ Ö

ÐÞ Ø
ØØ ×ÓÖ

ÓÒÚ Ö Ò
n¹

×

ÞÓÒÝ Ø ×º  РÐ

Sn

Sn an , n bn Þ Ö Ð Þ n = S(n) (n N)¸ Þ Þ n Ö Ò
n ÓÒÚ Ö Ò
ظ Ñ
ÞÓÒÓ×× Øº

Ö ×ÞРع

×Þ×ÓÖÓÞ Ø

n

Sn ¹Ò ¸ lim n = lim Sn
n

Ý ÒÐ ×

××Þ

Å
ÓÒÚ Ö ××Þ ×ÓÖ ××Þ

ÝÞ ×º
Ò׺ È Ð ¼¸ Ñ

¿º
ÓÖ ÙÐ

Ò
º
Ð Ø

-1º
Ø

(-1)n ×ÓÖ Ú Ö Ò׸ Ú Ò ÓÐÝ Ò Þ Ö Ð Þ × ¸ Ñ ÐÝ (-1 + 1) + (-1 + 1) + · · · = 0 + 0 + · · · Þ Ö Ð Þ ØØ ×ÓÖ ÙÐ -1 + (1 - 1) + (1 - 1) + · · · = -1 + 0 + 0 + · · · Þ Ö Ð Þ ØØ an
×

bn
Ð

×ÓÖظ Ñ ÐÝÒ

ai bj
Òغ Ð Ò Ô Ø º ×

×ÓÖÓ ×ÞÓÖÞ Ø
× Ñ Ò ×ÞÓÖÞ ØÓ ÝÑ ×

Ò

Ò Ú Þ Ò

Ñ Ò

Ò ÓÐÝ Ò Ý×Þ Ö

Ò ÐÝ Ò ×ÞÓÖÞ Ø ÔÓÒØÓ× Ò

Å
Ö Ò

ÝÞ ×º
Þ × Ð

Þ

Ð
×ÓÔÓÖØÓ× Ø ×Ó Ð × ×ÞÓÖÞ ØÓغ Þ

Ð

×

ع

ÖØ ÐÑ Þ Ò

Ø ×Ô

º
Ñ ÐÝ

Ò
º
Ò

n=0

an

n=0

bn

×ÓÖÓ Ø Ð ÒÝ×ÞÓÖÞ Ø

n=0

cn

×ÓÖ¸

cn = (a0 + . . . + an-1 )bn + an (b0 + . . . + bn-1 ) + an bn .

¿º ÅæÎ Ä Ì Ã ËÇÊÇÃà Ä

a0 b0 b1 b2
º º º

a1 a1 b 0 a1 b 1 a1 b 2
º º º

a2 a2 b 0 a2 b 1 a2 b 2
º º º

... ... ... ...

an an b 0 an b 1 an b 2
º º º

...

a0 b 0 a0 b 1 a0 b 2
º º º

bn
º º º

a0 b n

a1 b n

a2 b n

...

an b n

¿º½º

Ö º ËÓÖÓ

Ø

Ð ÒÝ×ÞÓÖÞ Ø

º Ø Ø Ðº À

n=0

cn


n=0

an ×

n=0

bn ×ÓÖÓ Ø Ð ÒÝ×ÞÓÖÞ Ø ¸ ·
n=0

ÓÖ

cn =

an cn ¸
Þ

bn
×

. bn
×ÓÖÓ

n=0
ÞÓÒÝ Ø ×º À

n=0

××Þ

¸

c Ý Sn

º
Ñ ÐÝ

Ò
º
Ò

c a b Sn , Sn × Sn a · Sb ¸ Ñ = Sn n

an

n¹
Þ

Ö ×ÞРع

ÐÐ Ø ×غ

an

×



bn

n=0

n=0

×ÓÖÓ

Ù
ݹ×ÞÓÖÞ Ø

n=0

cn

×ÓÖ¸

ÈÐ º
ÓÒÚ Ö Ò×

xn n=0 n k=0

n!

cn = a0 bn + a1 bn-1 + . . . + an b0 . yn × Ý Òظ Ñ ÒØ Þ Ð ØØÙ x, y R n=0 n!
Ù
ݹ×ÞÓÖÞ Ø

× Ø Ò

×ÓÖÓ

n=0

1 1 xk y n-k k! (n - k)! (x + y)n n!

=

n=0

1 n!

n k=0

n! xk y n-k k!(n - k)!

=

=

n=0

Áκ ËÇÊÇÃ

×ÓÖ ´ ØØ

Ð

×ÞÒ ÐØÙ

ÒÓÑ

Ð × Ø Ø Ðصº

a0 b0 a0 b 0

a1 a1 b 0

a2 a2 b 0

a3 a3 b 0

...

an-1 an-1 b0

an an b 0

...

b1

a0 b 1

a1 b 1

a2 b 1

a3 b 1

an-1 b1

b2

a0 b 2

a1 b 2

a2 b 2

b3
º º º

a0 b 3

a1 b 3

bn-1

a0 bn-1 a1 bn-1

bn

a0 b n

º º º
¿º¾º Ö º ËÓÖÓ

Ù
ݹ×ÞÓÖÞ Ø

ÓÒÚ Ö Ò׸

º Ø Ø Ð ´Å ÖØ Ò×µº À
ÓÖ
Þ Ð Ô Ð

Ù
ݹ×ÞÓÖÞ ØÙ
Ð Ô Ò

an ×

bn ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖÓ Ý ×ÞÓÐ Ø ( an )·( bn )º ÓÒÚ Ö Ò׸ × ××Þ
¸ Ó Ý

ÈÐ º

Ø Ø Ð

n=0

xn n!

·

n=0

yn n!

=

n=0

(x + y)n n!

º ÌÁ

Ë Ì

ÊÌ Ã

ºÌÞ
½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò
×
× ÐØÞ

× Ø ÖØ

A = {0, 1, . . . , 9}º ÓÖ x (0, 1) Ú Ð × ×Þ Ñ ÓÞ Ý an Ý ÓÐÝ Ò an : N A ×ÓÖÓÞ Ø Ð Ø Þ ¸ Ó Ý x = ¸ ×ÒÑ 10n ÓÐÝ Ò m N¸ Ó Ý am < 9 × ak = 9 k N, k > m × Ø Òº
Ø Ø Ð Ò ×Þ Ö ÔÐ

Ò
º
Ñ À ÓÒ ×

Ð Ð Ó Ý

×

Ú

k N¸

×ØÞ ×Þ

× Ø ÖØÖ
º

x (0, 1) Ø Þ ×Ø Öع Ð ak = 0 × an = 0 n > k
Ð ×Þ Ð Ò ×

an ×ÓÖ ××Þ n n=1 10 0, a1 a2 . . . an . . .


Ø

Ò

Ò Ú ÞÞ

º ÓÖ

Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÖ ¸

0, a1 a2 . . . ak
Ñ À ÓÒ ÓÖ Ð Ð Ð Ø ÞÒ

×ÞÓ× Ø Þ
Ð Ð º

ÓÐÝ Ò

k, l N

× Ø ÖØÖ

×Þ ÑÓ ¸ Ð

Ó Ý

ak+n = ak+l+n (n = 0, 1, . . . )¸
× ÞØ

×Þ Ð Ò

0, a1 . . . ak-1 ak . . . ak+l-1
Ñ ÓÒ ×

Å
½º Ø Þ ¾º À

ÝÞ × º
Ð Ø Ø ¸ ×Ø Öغ Ó Ý

x (0, 1)

ÓÖ

×
×

ÓÖ Ö
ÓÒ Ð ×¸

×Þ

×ÞÓ×

y R¸ ÓÖ x ]0, 1[ × l Z¸ Ó y = l, a1 a2 . . . an . . . Ñ ÓÒ Ð Ð Ø ¸ y R ÓÖ ×
× ÓÖ Ö
ÓÒ Ð ×¸ Ý ÒØ y ÖÖ
ÓÒ Ð ×º
Ø Þ × Ø ÖØ Ø Ü Ñ º Ð Ö Ò ×¸ Þ Ö ´Ñ ÒØ Ú Þ × Þ ×¸ Þ ÖØ Ø Þ ÞÓÒÝ Ø Ø Ý ÑÓ Ðк Þ ÐÐ

Ý

y = l + xº ÓÖ y Ð ÐÐ Ø × x = 0, a1 a2 . . . an . . . º ÆÝ ÐÚ Ò
Ø Þ ×Ø ÖØ Ö ×Þ ×Þ ×ÞÓ׺

¿º Ñ ×

Ø Ð Ò ×ÓÖÓ Ö µ ØÙÐ ÒÒ

ÖØ ÐÑ Þ ÓÒ× Ð Ñ Ú Ð ¸

Ø µ Ð

ÑòÚ Ð Ø ÖÚ ÒÝ × Ø ÞÓÒÝÓ× Ø Ð

¸ ×¹

´Ö ÔÖ Þ ÒØ
ØØÙÒ º

Ú Ð × Ý×Þ ¹

×Þ ÑÓ Ò Öò× Ø ×

×Ø ÖØ ÑÓ

Þ Ô × ÓÐ

Ò × Ø Ð Ð ÓÞ

κ

Ú ÒÝ
Ò
º
º Ú Ð × Þ

Þ Ø

ÓÐÝØÓÒÓ××
½º Ð Ô Ó ÐÑ
Ú ÒÝ Ø

½º
Ò Ú ÞÞ Þ º

f : E R R Ø ÔÙ×
ÓÐÝ Ò ×Ô
Ö Ò Ø Ö Ò ×Þ Ö Ñ Ø¸ Ö ÝÑ ×Ö ¼¹ÔÓÒØ Ú Ò ¼¹Ø и Ø Ò Ø Ò Ñ × º Ñ Ö Ð ÓÖ Ð Ð Ð Þ Ð× × ×

ÚÐ×
R×R
ÐÐ

Ú ÒÝ
Ö ×Þ Ò

Ò

Ú ÒÝ Ð µ Ð ÓÓÖ

Ð × Ö Ð
Ù ´ Ö Ú Þ Ø × ¸

¸ Ñ ÐÝ ÓÒ Ù µ

ÐÑ ¹ ´Ö ÔÖ ¹

Þ

×Þ ÑÐ ÐØ Ø × Ø¸ ÐÐ ØÚ Ò ÒØ× Ò

Ö ÞÓÐ × Ø ÑÓ

ÞØÓ× Ø

×
ÖØ ×¹ Þ ÒØ
Ì ×Þ Ñ × Ò Ö Ò

R×R
× ÓÞ ×

Ý Ò ×Ø ÔÓÒØ ÐÒ ÓÐÝ Ñ × Ñ ×Ó Ý Ò

Ò¸ Ñ ÒØ Ø Þ ÓÒ¸

Ø ÓÐÝ Ò Ý Ò ¹ Ò¹ ÓÞ

Ý Ò ×ظ Ñ ÐÝÒ Ø

Ñ Ø×Þ ×ÔÓÒØ ÓÞÞ Ö Ò ×Þ Ñ Ð

Þ ½ ÔÓÒØ Ñ Ò

ÞÓÒÓ× Ø ÚÓÐ× ÐØ

Þ ØØ Ô ÖÓ

Ø Ú Ò Ð ÓÓÖ

(x, y) R × R Ö Ó Ý P ÔÓÒØ
Ý Ò ×Ö Ó
× Ý Ò × Òº

x

×

y

P¹

ØÓØØ

Ñ Ö Ð

× Ø ÐÔÔÓÒØ

Ö

× ×

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

y 1 0 1
×
ÖØ ×¹ Ð

P (x, y)

x
ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ×Þ Ö

½º½º

Ö º

ÓÓÖ

Ò Ø Ö Ò ×Þ Ö

ÐÚ Ø Ð

ÙØ Ò

×

ÔÓÒØ

Ú Ð × ×Þ ÑÔ ÖÓ

и

Ð Ñ Ú Ð ÐÐ Ñ Þ Ø ¸ ÓÖ × ¹ÓÒ Þ R × R ÐÑ ÞØ ÖØ º {(x, x2 ) R×R | x R} = f Ö Ð
Ú ÒÝ Ð ×Þ¸ Ñ ÖØ (x, y), (x, z) f × Ø Ò y = x2 = z Ø Ð × Ðº ÞØ f (x) = x2 (x R) Ñ ÓÒ × Ð Ð Ø º -1 = {(x2 , x) | x R} Ö Ð
¸ Þ Ò f Ú ÒÝ ´Ñ ÒØ Ö Ð
µ ÒÚ ÖÞ Þ f Þ
½

R×R

¾

κ

Î Æ

Ã

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

Ñ Ø

Ò Ñ ÒØ ¸ Ý

Ú Òݸ

Ý f Ò Ñ (f |[0,+[ )-1 Ñ Ö

ÒÚ ÖØ Ð Ú Òݸ

Ø º Ý

À Þ f f |[0,+[ f |[0,+[ ÒÚ ÖØ Ð

Ð ×Þò Ø º

Ø × Ø

y

f = { (x, x2 ) | x R }

f -1 = { (x2 , x) | x R }
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

0

x

½º¾º

Ö º Æ Ñ

ÒÚ ÖØ Ð

Ø

Ú ÒÝ

¾º
Þ ´

Ð ÐÖ Ðµ Ò

Ò
º Þf :ERR f :ERR Ú ÒÝ ÐÙÐÖ
ÓÖÐ ØÓ׺ ´

Ú ÒÝ ÓÖÐ ØÓ׸ f (E) ÓÖÐ ØÓ׺ Ð ´ Ð ÐÖ Ðµ ÓÖÐ ØÓ׸ f (E) ÐÙÐÖ
f
ÔÓÒØÓ× Ò Ð× ¸ ÐÐ ØÚ µ Ò Ú ÞÞ ÔÓÒØÓ× Ð×

Ð

sup(f (E)), inf(f (E))
Ð Ø

¿º
Ó Ý ÓÖ

Ò
º

×ÙÔÖ ÑÙÑ
À Þ

×Þ ÑÓ ¸ ÐÐ ØÚ

Ø

Ò

Ò ÑÙÑ

Þ

ÓÖ¹

E ¹Òº x1 , x2 E ¸
¸ ÐÐ ØÚ

f : E R R

Ú ÒÝ

× Ø Ò Ð Ø Þ

Ò ÑÙÑ ÑÙÑ
Þ

ÞØ ÑÓÒ

E ¹Òº f : E R R
¸ ÐÐ ØÚ ÐÐ ØÚ

sup f (E) = f (x1 ), inf f (E) = f (x2 ) , Ù ¸ Ó Ý f ¹Ò Ð Ø Þ ×ÞÓÐ Ø Ñ Ü ÑÙÑ
Ú ÒÝÒ Ú Ò¸ Þ Ð Ð Ø Þ

ѹ

ÈÐ º

f (x) f (x0 )¸
Þ

f (x) f (x0 ) Ø 1 f (x) = (x R) 1 + x2

Ñ Ò ÑÙÑ

x0 E ¹ Ò K(x0 , )¸
× Ðº Ú ÒÝ Ø Ð × Ø

ÐÝ ´ÐÓ Ð ×µ Ñ Ü ¹
Ó Ý

x K(x0 , )E ¹Ö
Рغ

Þ

½º

Ä È Ç

ÄÅ Ã

¿

ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ
0<1
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ× Þ

ÖØ

0<

Ý ÒÐ ØÐ Ò×

1 ¸ ×Þ 1 + x2 Ð x R
y 1

Ò

Þ¸

1 + x2 > 0

Ñ

ØØ

Ú Ú Ð Ò×

× Ø Òº

f (x) =

1 1 + x2 x

½º¿º

Ö º ÃÓÖÐ ØÓ×

Ú ÒÝ

Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ׸ Ñ
Þ Ý Ý ÒÐ ØÐ Ò×

ÖØ Ð

f ÓÖÐ ØÓ× Ú Òݺ inf f (E) = 0º ÝÖ ×ÞØ ¼ Ð× 0º Ì Ý Ð ÐÐ Ò ÓÖÐ Ø f (E)¹Ò º Ð Ø Ù ¸ Ó Ý Þ
Ó Ý

1 1¸ ×Þ Ò 1 + x2 Ú Ú Ð Ò× x R
ÓÖÐ Ø Þ Ð Ò Ñ Ð ¸

Þ

Þ

× Ø Òº

1 1 + x2 ¸

ÐÐ ØÚ

0 x2

f ¹Ò
Ó Ý Ø×

f > 0 ( < 1)
º Å ×Ö ×ÞØ ×º

Ñ Ò Ð×

Ò

Ð×

ÓÖÐ Ø

ÓÖ Ù Ý Ò ×

x R¸

1 < 1 + x2
ÙØ Ñ ØØ Þ



1 < 1 + x2 1 - 1¹Ö
´


×ÞÒ ÐØÙ ¸

1 - 1 < |x| ,
Ó Ý Þ

- 1 > 0µº sup f (E) = 1 ×ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø º 1 x R¸ Ó Ý Ð Ø ÞÒ ¸ Ý 1 = 0 = 0¸ Ñ ÖØ 1 + x2 Ð Ø ØÐ Òº Ý f ¹Ò Ò Ñ Ð Ø Þ ×ÞÓÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ º 1 = 1 x = 0¸ Ý f ¹Ò 0¹ Ò ×ÞÓÐ Ø Ñ Ü ÑÙÑ 1 + x2
½º

1

|x| >

< 1

ÐØ Ú ×

Ò ¸

Ñ

Ú Ò¸

×

Þ

x = 0¹

Ò

f ¹Ò

ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÒÒ º

Ú Ò¸

Ñ

½º

Ó Ý ÓØØ ÐÓ

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

x0 R, x = 0¸

º

Ò

Ø Ð Þ

Þ f : E R R Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× ¹ x1 , x2 E, x1 < x2 ¹Ö f (x1 ) f (x2 )¸ ´ ÐÐ ØÚ f (x1 ) f (x2 )µ × Ð ´×Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ø ×Ò Ð f (x1 ) < f (x2 )¸ ÐÐ ØÚ f (x1 ) > f (x2 )µº f :ERR Ú ÒÝ Þ x0 E ¹Ò Ò Ú Ú Ò ´
× Ò Òµ Рظ

Ò
º

µ¸

κ

Î Æ

Ã

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

Ð Ø Þ

K(x0 , )¸

Ó Ý

×

x > x0 , x K(x0 , ) E ¹Ö
× Ðº Þ

f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )

x < x0 , x K(x0 , ) E

× Ø Ò

(f (x) f (x0 )) (f (x) f (x0 ))
Ú ÒÝ

Ø Ð

ÈÐ º

a>0
× Ø Ò

× Ø Ò ×Þ

f (x) = ax + b (x R, a, b R, a = 0)
ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

Ú ¸ Ñ ÖØ

x1 , x2 R, x1 < x2

ax1 < ax2 ,
´ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò×

Ñ

Ð

f (x1 ) = ax1 + b < ax2 + b = f (x2 )
ÓÒ× Ð Ô Òµ

×Ñ ÖØ ØÙÐ

y

y

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

0
½º º

x
Ö º ÅÓÒÓØÓÒ Ò Ú

0
Ú ×
× Ò Ú ÒÝ

x

a<0
× Ø Ò

× Ø Ò ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
×

Ò ¸ Ñ ÖØ

x1 , x2 R, x1 < x2

ax1 > ax2 ,

Ñ

Ð

f (x1 ) = ax1 + b > ax2 + b = f (x2 ) .

¾º
Þ Ö Ú Ò

ÓÐÝØÓÒÓ××
Ð Ð ÓÐÝØÓÒÓ×× × Ò

Ó ÐÑ
ÞØ Ð ×Þ ÑÐ Ð Ø × Ø ÖØ ÐÑ Ø Ð¸

f
Ñ ¸ ÓÞº

Ú ÒÝ Ó Ý

x0 ÔÓÒØ f (x) Ø Ø×Þ

× Ø Ø Ö

f (x0 )¹Ø

x

Ð

Þ Ð

x0 ¹

ÒÓ׸
ÔÓÒØ

½º

Þ f : E R R Ú ÒÝ Þ x0 E ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓ¹ > 0¹ ÓÞ () > 0¸ Ó Ý x E, |x - x0 | < () × Ø Ò |f (x) - f (x0 )| < º Þ f : E R R Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ A E ÐÑ ÞÓÒ¸ A Ñ Ò Ò

Ò
º

Ò ÓÐÝØÓÒÓ׺

¾º

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

Ç

ÄÅ

Å
½º Þ

ÝÞ × º
Ò

ÈË Ö

ÓÐÝØÓÒÓ×× ÔÓÒØ Ð ´ÐÓ Ð ×µ ØÙÐ Ö ÔÐ ¾º Ñ ÒØ×
´ Ò
Ñ ×Ó Ö ×Þ ×Þ Ö Òصº

f : E R R Ú ÒÝ K(f (x0 ), )¹ ÓÞ K(x0 , ())¸ Ó f (x) K(f (x0 ), )º

ÖÒÝ Þ Ø × Ø Ó ÐÑ Þ ×
Þ Ý

x0 E ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸ x E, x K(x0 , ())
ÓÒ× ¸ Ñ ÐÝ ÐÓ Ð ×× Ø

× Ø Ò



Ø

ÈÐ º
½º Ý

f :NRR
y

Ú ÒÝ ´×ÓÖÓÞ Øµ ÓÐÝØÓÒÓ×

N¹

Òº

1 2

1 2

1 2 3
¾º½º Ö º

n0 - 1 n0 n0 + 1

x

¾º

¿º

Ó Ý n0 N × Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ù Ý Ò × > 0 × Ø Ò 1 1 Ð Ý Ò () = ¸ ÓÖ Þ |n - n0 | < Ý ÒÐ ØÐ Ò×
× n = n0 ¹Ö 2 2 Ø Ð × Ð¸ × Þ ÖØ |f (n) - f (n0 )| = |f (n0 ) - f (n0 )| = 0 < º Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× R¹ Òº Í Ý Ò × x0 R ÔÓÒØ Ò Þ f (x) = c (x R) > 0 × Ø Ò Ô Ð ÙÐ () = 1¹ Ø Ú Ð ×ÞØÚ ¸ x R × |x - x0 | < 1¸ ÓÖ |f (x) - f (x0 )| = |c - c| = 0 < º Þ f (x) = x (x R) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× R¹ Òº À ×Þ Ò x0 R ÔÓÒØ Ò > 0¹ ÓÞ () = ¹Ø Ú Ð ×ÞØÚ ¸ x R × |x - x0 | < () = ¸ ÓÖ |f (x) - f (x0 )| = |x - x0 | < º Å ÑÙØ Ø Ù ¸

y

ÈË Ö

f ÒØ× Ö ÔÐ
Ñ (0) +



0

()
¾º¾º Ö º

x

κ

Î Æ

Ã

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

º

º

f (x) = n x (x 0) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× x0 = 0¹ n Ö ¸ () = n ¸ ÓÖ x 0, |x - 0| = x < n n n n n | x - 0| = x < = º
Þ Þ

Òº Í Ý Ò × × Ø Ò

> 0¹ |f (x) - f (0)| =

f (x) =
´ Ö
Рع Ú Òݵ ×

1, 0,
´ Ð

½º Ø Ø Ð ´ ØÚ Ø Ð ÐÚµº Þ f

:ERR Ú ÒÝ ÓÖ¸ ×
× ÓÖ Ñ Ò Ò x0 ¹ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ð E ¹ Ð xn ÓÐÝØÓÒÓ× Þ x0 E ÔÓÒØ Ò¸ ×ÓÖÓÞ Ø × Ø Ò Þ f (xn ) ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò× × lim f (xn) = f (x0 )º
n
ÞÓÒÝ Ø ×º

x0 R × Ø Ò = 1¹ K(x0 , ())¹ Ò Ú Ò Ö
ÓÒ Ð × × ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ Ñ ×µ x¸ Ó Ý |x - x0 | < () × |f (x) - x0 Q¸ ÐÐ ØÚ |f (x) - f (x0 )| = |1 - 0| = 1¸ f (x0 )| = |0 - 1| = 1¸ x0 R \ Qº
ÓÐ × Ñ ÓÐÝØÓÒÓ׺ À ×Þ Ò ×ÞÒ ÐÚ ¸ Ó Ý Þ

xQ x R\Q

() > 0¹Ø

Ú Ð ×ÞØÚ

µ Ä

µ

f ÓÐÝØÓÒÓ× x0 E ¹ Òº ÓÖ > 0¹ ÓÞ () > 0¸ Ó Ý x E K(x0 , ()) × Ø Ò f (x) K(f (x0 ), )º Ä Ý Ò xn ÓÐÝ Ò¸ ÓÖ ()¹ ÓÞ n(())¸ Ó Ý n n(())¹Ö Ó Ý xn E, xn x0 º xn K(x0 , ()) E ¸ × Ý f (xn ) K(f (x0 ), )¸ Þ Þ f (xn ) f (x0 )º Ì Ý Ð¸ Ó Ý xn x0 (xn E) × Ø Ò f (xn ) f (x0 )º ÐØ ××Þ ¸ Ò¸ Þ Þ > 0, Ó Ý () > 0¹Ö ¸ Ý Ó Ý f Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ× x0 E ¹ 1 () = (n N)¹Ö × xn E ¸ Ó Ý n 1 d(x0 , xn ) < , d(f (x0 ), f (xn )) . n Þ ÞØ Ð ÒØ ¸ Ó Ý d(x0 , xn ) 0¸ Þ Þ xn x0 ¸ f (xn ) Ò Ñ Ø ÖØ f (x0 )¹ ÓÞ¸ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ×º Ì Ø f ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Òº
Ý Ò

Å ÈÐ º

ÝÞ ×º
Þ

ÓÐÝØÓÒÓ×× Ý À

ØØ Ñ Ò ¹ Ð

ÓØØ Ò

Ú Ú Ð Ò× Ñ Ò Ò Ú Þ

Ó º

ÐÑ Þ × Ø

ÓÐÝØÓÒÓ××

×ÓÖÓÞ ØÓ× Ú

f : R R,
Ú ÒÝ Ò Ñ Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ× Þ ×

f (x) =

xn < 0 ( n N) f (xn ) -1 = 1 = f (0)º

x0 = 0 ÔÓÒØ xn 0¸

1, -1 ,
Òº ÓÖ

x 0, x < 0,
ظ Ý

Å ÖØ xn ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ f (xn ) = -1 ( n N) ×

¾º

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

Ç

ÄÅ

y
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

1 0 -1
¾º¿º Ö º

x

x0 E
Ð ×Þò

¾º

Ò
º
ÔÓÒØ

Ø ×

f :E RR Ú ÒÝ Þ f ¹Ò (-, x0 ] E ¹Ö ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Òº
Þ Ò¸ ¸ Ó Ý

ÐÖ Ð ´ Ó Ö Ðµ ÓÐÝØÓÒÓ×
´ ÐÐ ØÚ

Þ

[x0 , +) E ¹Ö

µ Ú Ð

Å
½º

¾º Å

f ÓÖ ×
× ÓÖ ÐÖ Ð ´ ÐÐ ØÚ Ó Ö Ðµ ÓÐݹ Ò¸ > 0¹ ÓÞ () > 0, x E, x0 - () < x x0 ØÓÒÓ× x0 ¹ ´ ÐÐ ØÚ x0 x < x0 + ()µ × Ø Ò d(f (x0 ), f (x)) < º
Ò
Ó ÐÑ Þ Ð Ø ×ÓÖÓÞ ØÓ× Ú ÐØÓÞ Ø ×º Ú ÒÝ ÓÒ×Ø Ò׸ Ò¸ Þ Ô Ð

ÝÞ × º

ÈÐ º
Ø ×

x0 = 0¹
Ý Ñ Ø Þ Ð

Ò Ó

Ö Ð ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ñ ÖØ Ð ×Þò¹ Í Ý Ò ÓÖ Ú ÒÝ ×Ñ Ø¹ ÞÓÒÝ Ø × Ò

E = [0, +[¹Ö
ØÙÒ º

ÓÐÝØÓÒÓ×

E ¹Òº
Ô Ð

ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ× Ð × Ú Ð Ð Ø

x0 = 0¹

¾º Ø Ø Ðº Þ
x0 ¹

Ò¸

ÓØØ Ó Ö Ð ×

f : E R R

Ú ÒÝ ÓÖ ×
× ÐÖ Ð × ÓÐÝØÓÒÓ׺

ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ

Ò × f (x0 ) = 0¸ sign f (x0 ) = sign f (x)º
ÞÓÒÝ Ø ×º

¿º Ø Ø Ð ´ ÐØ ÖØ ×µº À Þ f : E R R
ÓÐÝØÓÒÓ×× Ñ ØØ

Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ x0 E ¹ ÓÖ K(x0 , ) R¸ Ó Ý x K(x0 , ) E × Ø Ò

1 = |f (x0 )|¹ ÓÞ K(x0 , ), Ó Ý 2 1 x K(x0 , ) E × Ø Ò f (x) K(f (x0 ), )¸ Þ Þ |f (x)| > |f (x0 )|º 2 sign f (x0 ) = sign f (x)¸ x K(x0 , ) E º

Ì

Ø

Å

Ò
º Þ f : E R R Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ× E1 E ÐÑ ÞÓÒ¸ > 0 () > 0, x, y E1 , |x - y| < () × Ø |f (x) - f (y)| < º ¿º
f

Þ Ò

ÝÞ × º
Þ

½º À

E1 ¹

Ò Þº

Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸

ÓÖ ÓØØ ÓÐÝØÓÒÓ× ×º

Ñ

ÓÖ¹

Ø × Ò Ñ

κ

Î Æ

Ã

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

¾º

f : E R R Ú ÒÝ Ò Ñ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ× Þ E1 E > 0, () > 0 x, y E1 , |x - y| < ()¸ |f (x) - f (y)| º
Þ ÐÑ ÞÓÒ¸ Ä Ý Ò Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ×

ÈÐ º
f

f : R \ {0} R, f (x) =
Þ

|f (x) - f (y)| =
Ñ ØØ × Ø Ò

1 = ¸ ÓÖ () > 0¹Ö 2 1 y= (n N) × Ø Ò n-1 |x - y| =

f

Ò Ñ

> 0¹Ö () = Ú Ð |f (x) - f (y)| < Ú Ø
Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ×

1 1 |x - y| = - |x - y| x y |xy|
×ÞØ ×× Ð Þ Þ º

1 º x E1 = [1, +[ R \ {0}

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ Ñ ÖØ

(x, y E1 )
×

x, y E1

|x - y| < () =

E2 =]0, 1] R \ {0} ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ Ñ ÖØ 1 1 < () × x = , n N¸ Ó Ý n n

1 1 1 1 = - < < () , n n-1 n(n - 1) n 1 º 2

|f (x) - f (y)| = |n - (n - 1)| = 1 >
y

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

1 0 1
¾º º Ö º

x

¿º ÓÐÝØÓÒÓ××
½º Ø Ø Ðº À
ÞÓÒÝ Ø ×º

× ÑòÚ Ð Ø
Þ x0 E ¹ Ò¸

Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ f, g : E R R ÓÖ Þ f + g × f ( R) × ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Òº
Þ ØÚ Ø Ð ÐÚ ×Þ Ö ÒØ

Ò¸

xn x0 (xn E)

× Ø Ò

f, g ÓÖ ×
× ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ f (xn ) f (x0 ), g(xn ) g(x0 )º Ì Ø

º

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

Ë ÌÇÈÇÄÇ

ÁÃÍË

Ç

ÄÅ Ã

´

×ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ð Ø ÒÙÐØ

×Þ Ö Òص

f (xn ) + g(xn ) f (x0 ) + g(x0 ) = (f + g)(x0 ) .
Þ Þ ´ ×Ñ Ø Ñ × ÐÐ Ø × ×ÞÒ ÐÚ ×ÓÒÐ Þ Ò ØÚ Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÐÚ Øµ Ø º

f +g

ÓÐÝØÓÒÓ×

x0 ¹

Òº

¾º Ø Ø Ðº À

Þ f, g : E R R Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ x0 E ¹ Ò¸ f ÓÖ Þ f · g¸ × g(x) = 0 (x E) × Ø Ò¸ × ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Òº
g
Þ Ð º

ÞÓÒÝ Ø ×º Å ÒØ

ÈÐ º
½º Þ ¾º

f (x) = x2 (x R) Ú ÒÝ x0 R ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ׸ Ñ ÖØ f (x) = x2 = x · x Ñ ØØ Ø¸ x0 ¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ ×ÞÓÖÞ Ø º 1 Ú ÒÝ x0 R \ {0} ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓ¹ (x R \ {0}) Þ f (x) = x ÒÓ׸ Ñ ÖØ Þ f1 (x) = 1 × f2 (x) = x = 0¸ x0 ¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ
ÒÝ Ó× º

R, g : f (E) R R ÓØØ g ÓÐÝØÓÒÓ× Þ y0 = f (x0 )¹ x0 ¹ Òº
ÞÓÒÝ Ø ×º

¿º Ø Ø Ð ´ Þ ××Þ Ø ØØ

Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ××

µº Ä Ý Ò f : E R Ú ÒÝ º À f ÓÐÝØÓÒÓ× Þ x0 E ÔÓÒØ Ò¸ Ò¸ ÓÖ h = g f Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ

g ÓÐÝØÓÒÓ×× Ñ ØØ K(g(y0 ), )¹ ÓÞ K(y0 , 1 ())¸ Ó Ý y K(y0 , 1 ()) f (E) × Ø Ò g(y) K(g(y0 ), ) f ÓÐÝØÓÒÓ×× Ñ ØØ K(y0 = f (x0 ), 1 ())¹ ÓÞ K(x0 , ())¸ Ó Ý x K(x0 , ()) E × Ø Ò f (x) = y K(y0 , 1 ())¸ Ý g(f (x)) K(g(f (x0 )), )¸ Þ Þ g f Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ x0 ¹ Òº È Ð º h(x) = x2 + x (x 0) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× Þ x0 = 0¹ Òº 2 x Ú Ð ×ÞØ ×× Ð h = g f ¸ ØÓÚ À ×Þ Ò f (x) = x + x (x 0) × g(x) = f ÓÐÝØÓÒÓ× x0 = 0¹ Ò ´ ×Þ Ò Ø ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ ××Þ µ¸ g ÓÐÝØÓÒÓ× f (0) = 0¹ Ò ´ Þ n x 0¹ Ð ÓÐÝØÓÒÓ×× Ñ Øص¸ Ý Ð ÐÑ Þ Ø Ø Ø Ð Ò º

º ÓÐÝØÓÒÓ××
½º Ø Ø Ð ´ ÓÐÝØÓÒÓ××
Ú ÒÝ Ñ ÞÖ ÓÖ ×
×

× ØÓÔÓÐÓ
ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ× E ¹Ò¸

Ù× Ó ÐÑ
ÐÐ µº Þ f : E R R ÖÑ ÐÝ B R ÒÝ ÐØ Ð¹

ØÓÔÓÐÓ

Ù× Ñ

f -1 (B) = {x E | f (x) B} ÒÝ Ðغ

¼

κ

Î Æ

Ã

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

¾º Ø Ø Ð ´ ÓÑÔ Ø×
´Ê Ú
f : E R ÓÐÝØÓÒÓ×

Ò

ÓÑÔ Ø
Ý Ò ¸

× ÓÐÝØÓÒÓ×× µº Ä Ý Ò E R ÓÑÔ Ø Ú ÒÝ E ¹Ò¸ ÓÖ f (E) ÓÑÔ Øº ÐÑ Þ ÓÐÝØÓÒÓ× Ô ÓÑÔ Øºµ
× ×

ÐÑ Þ¸

ÞÓÒÝ Ø ×º Ä

ÐÑ ÞÓ Ø ÞÒ Þ

ÒÝ ÐØ

f -1 (O1 ), . . . , f -1 (On )
n

{O } Ø Ø×Þ Ð × ÒÝ ÐØ Ð -1 (O )} ÒÝ ÐØ Ð × {f
ÒÝ ÐØ

f (E)¹Ò
º Ó Ý

º

ÓÖ ÓÑÔ

Þ Ø¸

f -1 (O )
Ý Ð ¹

E ¹Ò

E E

n i=1
غ

ÐÑ ÞÓ ¸

f -1 (Oi ) =

n

f
i=1

f -1 (Oi )

=
i=1

Oi

Ð

f (E)¹Ø¸

Ø

Ø

f (E)

ÓÑÔ

Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ º
½º ¾º

f (E) ÓÖÐ ØÓ× × Þ Öغ f ÐÚ ×Þ E ¹Ò Þ ×ÞÓÐ Ø inf f (E) × Ð Ñ f (E)¹Ò

Ñ Ò ÑÙÑ Ø ¸

× Ñ Ü ÑÙÑ Ø ´Ñ ÖØ × ÓÖÐ ØÓ×µº

sup f (E)

×

f (E)

Þ ÖØ

Ú ÒÝ E ¹Ò¸ ÓÖ Ä Ý Ò E R ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ¸ f : E R ÓÐÝØÓÒÓ× f Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ× E ¹Òº ´Ê Ú Ò ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÐÝØÓÒÓ׺µ

¿º Ø Ø Ð ´ ÓÑÔ Ø×

×

Ý ÒÐ Ø × ÓÐÝØÓÒÓ××

´À Ò µµº

ÈÐ º
Ø ×

f (x) = ax2 + bx + c, x [-1, 5], (a, b, c R) [-1, 5] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ Ñ ÖØ ÓÐÝØÓÒÓ× Ò ÓÐÝØÓÒÓ× Ø ÐÑ Þ ´ ×Þ Ò ÒØ ÓÐÝØÓÒÓ׸ × E = [-1, 5] ÓÑÔ
Þ

Ú ÒÝ Ú ÒÝ ÓÖÐ ØÓ×

Ý ÒÐ ¹ ××Þ ¹ × Þ Öصº

ÎÁº

Ú ÒÝ
×
ÀÓ Ý Ò Ú × Ð Ò Ò ÖÒÝ Þ Ø

Þ Ø

Ø Ö ÖØ
×Ø Ø Ð
Þ Ú ÒÝ Ñ ÓØØ ÔÓÒظ Ú Ø

½º Ð Ô Ó ÐÑ
à Ö
Ú Ý ÔÓÒØÓ

f1 : R R, f2 : ]0, 1[ R, f3 : R+ R, f4 : R R,
y 2 1
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

f1 (x) =

x, 2,

x=1 , x=1 x0 = 0, 1, +, - ; x0 = 0, 1 ; x0 = 0, 2, + ; x0 x<0
y f2 2 1

f2 (x) = x2 , 1 f3 (x) = , x 1, f4 (x) = -1 ,
f1

,

x0 = 0 .

0 1 y

2 f3

x

0

1

2 y f4

x

2 1 0 1 2 x
½º½º Ö º

0

x

½

¾

ÎÁº

Î Æ

à À ÌýÊ ÊÌ Ã

Å
½º ¾º

x0 Ñ Ò
Ñ Ò

ÐÐ Ô Ø ×Ó º
Ò × Ø Ò ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Þ ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝÒ ´ Ò Ñ Ð Ñ µº ÓÖ

¿º

A R ´Ú Ý Rb µ¸ Ó Ý xn x0 × Ø Ò f (xn ) Aº ´Ã Ú Ø Ð f4 ¸ xn 0 (xn > 0 Ú Ý xn < 0µ × Ø Ò f4 (xn ) 1 Ú Ý f4 (xn ) 0µº A Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ý ÒÐ f (x0 ) ´f4 × Ø Ò Ò Ñ × Ð Ø Þ µº

½º

Ø Ö ÖØ
Þ

Ò
º
¸

Þ

f :ERR A R¸ Ó Ð Ø Þ x0 ¹
Ð Ø Ö ÖØ Ø

Ú ÒÝÒ
Ý ÖÑ ÐÝ

x0 E ÔÓÒØ Ò Ð Ø > 0 × Ø Ò () > 0,
Þ

Þ

x E, 0 < |x - x0 | < () A¹Ø f
Ú ÒÝ Ò

=

|f (x) - A| < .
¸ ×

Ò Ú ÞÞ

xx0

lim f (x) = A

Ú

Ý

Å
½º

f (x) A,

ÝÞ × º
ÔÓÒØ

x x0 ¸
Ý ÞÒ ¸ Ò Ò Ý

Ð Ð ×

×ÞÒ Ð Ù º

ÓÒØÓ× Ñ Ð × Ú ÒÝ

Ó Ý ×Þ Ð Ò ÖØ

ÝÖ ×ÞØ
× Ø Ö ÖØ Ò Ñ Ù Ñ ×Ó ÔÓÒØ ÖØ ÐÑ × Ó ØÙ Ø×Þ

Þ

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò
Þ Ð Ò ØØ Ô Ý Ð× Þ Þ ×Þ Ö Ô Øº Ø Ð Ñ

x0
Ò

ØÓÖ¹ Þ

Ö Ð¸ Ñ ×Ö ×ÞØ

f

x0 ¹

ÐÚ ØØ Ø Ñ

ÐØ Ø Ð

Þ ÖØ Ò Ò Ð¹ ÐØ

Ðи Ñ ÖØ Ø ÖØÓÑ ÒÝ ÖÓÒØÓØØ ´Ð × Ú ÒÝ ¾º Å Þ Ó

x0 ¹ f1 ¹
Ø Ø

Þ Ð Ø Ò ÓÐÓ

´ ÖØ ÐÑ Þ ×

Ð µ ÔÓÒØÓ Þ Ö Ø Ö ÖØ

к

x0 ¹

x0 = 1
×

× Ø Òµ¸ Ú ÐÑ Ø

x0 ¹
ÔÙÒ º

Ò Ò Ñ ×

ÐÑ Þ

ÖÒÝ Þ Ø × Ú ÐØÓÞ Ø ×

¿º º

f :E RR Ú ÒÝÒ Þ x0 E ÔÓÒØ Ò Ø Ö ÖØ ¸ A R¸ Ó Ý K(A, )¹ ÓÞ K(x0 , ()), x K(x0 , ())\{x0 }, x E × Ø Ò f (x) K(A, )º

º

f :ERR Ú ÒÝÒ Þ x0 R ¹ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ø Ö Ö¹ ¸ Ú Ý x E × A R, > 0, () > 0 × Ø Ò Ø ¸ x0 E / 0 x E, x K(x0 , ())\{x0 }, f (x) K(A, )º /
Þ Ø Ö ÖØ ´ Ð Ø Þ µ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ´ Þ Ò Ý×Þ Öò Ò Ö Ø ÞÓ¹ ÒÝ Ø ×× Ð ×ÓÒÐ Ò¸ Ñ ÒØ ×ÓÖÓÞ ØÓ Ò Ð Ð Ø Ø µº

Ø Ö ÖØ

Ð Ø Þ ×

ÔÓÒØ

Ð ØÙÐ

ÓÒ×

º

ÈÐ º
½º Þ

×Þ Ò

¾º

f (x) = c (x R) Ú ÒÝÒ x0 R ¹ Ò Ø Ö ÖØ cº À ¹ x0 ØÓÖÐ × ÔÓÒØ R¹Ò ¸ × > 0¹Ö () > 0 × Ø Ò¸ 0 < |x - x0 | < ()¸ ÓÖ |f (x) - f (x0 )| = |c - c| = 0 < Ú Ø Þ º Ú ÒÝÒ x0 R ¹ Ò Ø Ö ÖØ x0 º Þ f (x) = x (x R) Í Ý Ò × x0 ØÓÖÐ × ÔÓÒظ × > 0¹Ö () = > 0 × Ø Ò¸

½º

Ä È Ç

ÄÅ Ã

Ë Ì Ì Ä Ã

¿

0 < |x - x0 | < () = ¸
Þ º ¿º Þ Ð Þ À ×Þ Ò

ÓÖ

|f (x) - f (x0 )| = |x - x0 | <

Ú Ø¹

¾º

Ô Ð Ð f1 Ú ÒÝÒ x0 = 1¹ Ò Ð Ø Þ Ø Ö ÖØ × x0 = 1 ØÓÖÐ × ÔÓÒØ R¹Ò ¸ × > 0¹Ö ¸ () = ¸ x R, 0 < |x - 1| < () = × Ø Ò |f (x) - 1| = |x - 1| < Ú Ø

Þ ½º ÓÖ Þ º

[x0 , +) E ¹Ò

Ò
º
Ý

Ä

Ý Ò ´Ú

A R, > 0 () > 0, x E, x0 < x < x0 + () x0 - () < x < x0 µ = |f (x) - A| < º A¹Ø f Ó ¹ ´ ÐÐ ØÚ Ð¹µ ÓÐ Ð Ø Ö ÖØ Ò Ò Ú ÞÞ x0 ¹ Ò¸ ×
xx0 +0
Ð Ð ×Ø

Ó

¹ ´Ú

йµ ÓÐ Ð

f : E R R ÓØØ Ý (-, x0 ] E)¹Ò µº

Ú Òݸ Þ

×

x0

ØÓÖÐ Þ

× ÔÓÒØ

Ø Ö ÖØ

f

Ú ÒÝÒ

x0 ¹
´Ú

Ò

¸


Ý

lim f (x) = A = f (x0 + 0)
×ÞÒ Ð Ù º

Ú

Ý

xx0 -0

lim f (x) = A = f (x0 - 0)

Å
½º

ÝÞ × º
Ò
Ð ×Þò ÓØØ Þ Ø ×× Ú Òݸ Ø× × Ú Ð ×Ñ Ó Ð Òº Ø º ÐÑ Þ Ø Ö Ø º È Ð ÙÐ Ä Ý Ò

f :RR
Ú ÒÝÒ Ú ÒÝÒ ¾º

x0

ØÓÖÐ ÓÐ

× ÔÓÒØ

x0 ¹
Ø Ó Ø

Ò Ð Ø Þ Ø Ö ÖØ

Ó

Ð Ø Þ

x0 ¹
Þ

[x0 , +[E ¹Ò º Þ f ÖØ ¸ Þ f |[x0 ,+[E

ÖÒÝ Þ Ø × Ð Ø

ÐÑ Þ × × Ñ Ú Ø ÓØØ Þ

¿º à ÒÒÝ Ò Ä Ý Ò

Ú ÒÝÒ x0 = 0¹ Ò Ó ÓÐ Ð Ø Ö ÖØ ½¸ Ñ ÖØ ¼ [0, +[¹Ò × > 0¹Ö () > 0 × Ø Ò x ]0, +[¹ Ú Ø Þ º Ö |f (x) - 1| = |1 - 1| = 0 < f4 ¹Ò x0 = 0¹ Ò ÐÓÐ Ð Ø Ö ÖØ -1¸ Ñ ÖØ ¼ ØÓÖÐ × ÔÓÒØ ]-, 0]¹Ò × > 0¹Ö () > 0 × Ø Ò x ]-, 0[¹Ö |f (x)-(-1)| = | - 1 - (-1)| = 0 < Ú Ø Þ º Þ f4 Ú ÒÝ Ó ¹¸ × ÐÓ Ð Ø Ö ÖØ Ð Ò Þ x0 = 0¹ Ò¸ Ý ÒØ ØÓÖÐ × ÔÓÒØ ÓØØ Ò Ñ Ð Ø Þ Ø Ö ÖØ Þ º

ÈÐ º

x0 ØÓÖÐ × x0 ¹ Ò Ð Ø Þ Ø Ö ÖØ ¸ Ð Ø Þ f (x0 - 0) × f (x0 + 0) f (x0 - 0) = f (x0 + 0) = A ´f Ø Ö ÖØ x0 ¹ Òµº
Ú Òݸ ×

f :ERR E (-, x0 ] E ¹Ò º

ÔÓÒØ ÓÖ¸ ×

f

Ú ÒÝÒ

×
×

[x0 , +)

ÓÖ

f4

¿º

f :E RR Ú ÒÝ x0 E ¹ Ò Ø Ö ÖØ + ´Ú Ý -µ¸ K ¹ ÓÞ (K) > 0, x E, 0 < |x - x0 | < (K) × Ø Ò f (x) > K ´Ú Ý f (x) < K µº

Ò
º

ÎÁº

Î Æ

à À ÌýÊ ÊÌ Ã

Å
½º ¾º ¿º

ÝÞ × º
Ò
ÖÒÝ Þ Ø Ð × Ñ Ó Ø Ö ÖØ Ú ÒÝ Ý ÝÓÐ Ð ÐÑ Þ Ø º

ÈÐ º
ØÓÖÐ

+ ´Ú Ý -µ ÝÓÐ Ð Þ x = x0 Ý Ò ×Ø Þ f f Ø Ö ÖØ ´Ú Ú ÞÞ ¸ -º
ÒØ × ÔÓÒØ

ÒØ × Ñ

Ð

× ×Þ ÑÔØÓØ
µ

Ó

ÐÑ Þ

Ø º Ò Ò ¹ Ú Ý

Ø Ö ÖØ

x0 ¹

Ò

+

f3 R+ ¹Ò

Ú ÒÝÒ ×

(K) =

Þ x0 = 0¹ K ¹ ÓÞ K -1 ,

Ò

Ø Ö ÖØ

+¸

Ñ ÖØ

0

K>0 K0
ÐÐ ØÚ Þ

Ú Ð ×ÞØ ×× Ð¸ ÓÖ

f (x) =

1 > K¸ x
Ä Ý Ò ÓØØ

x R+

×

|x - 0| = x < f (x) > 0 K



Ø Ø×Þ Ð

×

,

1 ¸ K

|x - 0| = x < (K)¸
º ÐÑ Þ¸

ÐÐ ØÚ

Ú Ø

Ú Òݺ Þ f Ú ÒÝÒ + ´Ú Ý -µ¹ Ò Ð Ø Þ A R, > 0 M R, x E x > M (x < M ) × Ø Ò |f (x) - A| < º ÓÖ A¹Ø f + ´Ú Ý -µ¹ Ð Ø Ö ÖØ Ò Ò Ú ÞÞ ¸ × Ö lim f (x) = A ( lim f (x) = A) Ð Ð ×Ø ×ÞÒ Ð Ù º

f :ER

º

Ò
º

ER

Ð ÐÖ Ð ´ ÐÙÐÖ Ðµ Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ×

Ø Ö ÖØ

¸

x+

x-

Å
½º ¾º

ÝÞ × º
Ò
ÖÒÝ Þ Ø × Ð Ò × Ñ Ó ÐÑ Þ Ø º Ú ÒÝ Ö Ø ´ Ý Ò ×ص Þ Þ l(x) = ax + b (x R) Ð Ò Ö × f :]c, +[ R ´ ÐÐ ØÚ f :] - , c[ Rµ Ú ÒÝ ×Þ ÑÔØÓØ Ò Ò ¹ +¹ Ò ´ ÐÐ ØÚ -¹ Òµ¸ lim [f (x) - l(x)] = 0 ´ ÐÐ ØÚ Ú ÞÞ

x+

x-

lim [f (x) - l(x)] = 0µº
Ý Ò ×Ø Ú Þ×Þ ÒØ ×

ËÔ

Ð × Ò¸

a = 0¸
¸

Ý

Þ

×Þ ÑÔØÓØ Ò × Ðº ÑÙØ Ø Ù ¸ Ó Ý Ú Òº

Ò Ú ÞÞ

x+

lim f (x) = b

l(x) = b (x R)
´ ÐÐ ØÚ

x-
¿º Ô Ð Ò

lim f (x) = bµ
Ø Ö Ð ×

Ø Ð

Ò Ñ

Þ Þ

×Þ ÑÔØÓØ

1 f (x) = x + x y=x Ý Ò ×
Þ

Ú ÒÝÒ Ô

x0 = 0¹

×Þ ÑÔØ Ø

º

+¹ Ò × -¹ Òº 1 Þ f (x) = x (x R \ {0}) Р׸ Ñ ´ Þ y ¹Ø Ò Ðݵ ×Þ ÑÔØÓØ ´Ñ Ò ØØ -¹

Ú ÒÝÒ Þ

y=0 Ý Ò × +¹

Ò × ´ Þ Ò ×µº

x = 0 x¹Ø

Ý ÒÐ Øò Ò

Ý Ò ×

Ðݵ Ú Þ×Þ ÒØ ×

¾º À ÌýÊ ÊÌ Ã

Ë ÅæÎ Ä Ì Ã ÁÄÄ ÌÎ

ÆÄ

ÌÄ ÆË

Ã

º À Þ ×¸ Ú

Ý Ø Ð Ò Þ

Ó Ý

f : E R R Ú ÒÝØ Ø ÒØ f Ø Ö ÖØ + ´Ú Ý -µ¹
Ò Ú ØØ Ú Ø Ð Ò Ø Ö ÖØ Ò º

Ò ¸ Ò

ÓÖ Ñ

Ó Ý

ÐÑ Þ

Ø

+

´Ú

-µ¸

Þ Þ

ÈÐ º
ÓÖÐ ØÓ× ´ × Ø Ò¸

f3
×Þ Ò

Ú ÒÝÒ

+¹
Ñ

Ø Ö ÖØ Ð ÐÖ Ðµ¸ ØÓÚ

¼¸ Ñ ÖØ

R+

Ð ÐÖ Ð Ò Ñ

NRÒ 1 x > () = ¸

ÓÖÐ ØÓ× ÓÖ

|f (x) - 0| = :ERR

1 < x

> 0¹Ö () =
Ú Ø Þ º

1

½º Ø Ø Ð ´ ØÚ Ø Ð ÐÚµº Þ f

Ú ÒÝÒ Þ x0 E ÔÓÒع Ò ÓÖ¸ ×
× ÓÖ Ð Ø Þ Ø Ö ÖØ ¸ ÖÑ ÐÝ x0 ¹ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ð xn : N E\{x0 } ×ÓÖÓÞ Ø × Ø Ò Ð Ø Þ lim f (xn ) = Aº
n
ÞÓÒÝ Ø ×º

ݸ Ñ ÒØ × Þ

ÓÐÝØÓÒÓ×× ÓÐÝØÓÒÓ××

Ò Ð¸
× ÐÝ ØØ

Þ ÓØØ Ò

K(f (x0 ), )
Ø Ö ÖØ Ø

ÐÝ ØØ ÐÐ ÑÓÒ¹

K(A, )¹Ø
Ò º

x0 ¹

Ð

x0 ¹

Ð

ÈÐ º
Ð Ø Þ À À

Þ¸

Ó Ý ¸ Þ

Þ Ø Ó Ý

Ð

Ò ÐÚÚ Ð

Ò ×

ÐØ

f4

Ú ÒÝÒ ÞÓÒÝ Ø ÓÖ

x0 = 0¹
Ø º

Ò Ò Ñ ÓÒ×Ø Ò×

Ø Ö ÖØ

ØÚ Ø Ð ½º

ÒÒÝ Ò

xn xn

ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ ÓÐÝ Ò ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ý Þ Ô Ð

×ÓÖÓÞ Ø¸ Ñ ÐÝÒ

Ø Ö ÖØ

xn 0
Ø Ö ÖØ

xn > 0¸
× ¹½º

f4 (xn ) = 1
ÓÖ

Ó Ý

ÓÒ×Ø Ò× ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ñ ÐÝÒ

xn 0

xn < 0¸

f4 (xn ) = -1

1 = -1¸

ÐÐ Ø × º

¾º À Ø Ö ÖØ
Ø Ö ÖØ

× ÑòÚ Ð Ø
ÔÞ × × Þ

ÐÐ ØÚ
ÓØØ ÓÖ Ú ÒÝ

Ý ÒÐ ØÐ Ò×
Ð
× Ö Ð Ø º

Ð ÔÑòÚ Ð Ø

½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò
xx0
µ µ
µ µ

f, g : E R R Ò lim f (x) = A × lim g(x) = B º
xx0 xx0 xx0 xx0 xx0 xx0

ݸ Ó Ý x0 E ¹

lim (f + g)(x) = lim [f (x) + g(x)] = A + B ; lim (f )(x) = lim f (x) = A ,
xx0 xx0

lim (f · g)(x) = lim [f (x) · g(x)] = A · B ; lim f g (x) = lim
ØÚ Ø Ð ÐÚ ×

( R) ; g = 0, B = 0 º

xx0

A f (x) = , g(x) B
×ÓÖÓÞ ØÓ Ö

ÞÓÒÝ Ø ×º

Þ

ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ñ

Ð Ð

Ø Ø Ð

Ð Ô¹

Òº

ÎÁº

Î Æ

à À ÌýÊ ÊÌ Ã

f (x) = 3x2 +2x+5 (x R) Ú ÒÝÒ x0 = 0¹ Ò 5¸ Ñ ÖØ ¼ ØÓÖÐ × ÔÓÒØ R¹Ò × g(x) = x, h(x) = 5 (x R) 2 × x 2x Ø Ö Ø Ö ÖØ ¼¹ Ò ¼¸ ÐÐ ØÚ ¸ Ý Þ x 3x Ú Ð Þ Ð Ø Ð ×ÞÒ ÐÚ f ¹Ò ¼¹ Ò Ø Ö ÖØ º
Þ

ÈÐ º

Ø Ö ÖØ Ú ÒÝ ÖØ × ¼¸

¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f : E R R × x0 E º
µ µ

ÓÖ

xx0 xx0

lim |f (x)| = +

=

xx0

lim

lim f (x) = 0, f = 0
Þ ØÚ Ø Ð ÐÚ ×

=

1 =0; f (x) 1 = + ; lim xx0 |f (x)|
ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ð Ð Ø Ø Ð Ð Ô¹

ÞÓÒÝ Ø ×º

×ÓÖÓÞ ØÓ Ö

Òº

ÈÐ º
lim
×

Þ

f (x) =
×

Ñ ÖØ ¼ ØÓÖÐ

x0
Þ

1 1 = lim 2 = + ´x2 = 0¸ 2 x0 x x
Ð Ø Ø Ð Ð Ð ÞØ ÑÙØ Ø Ø Ö ÖØ ¸

1 Ú ÒÝ Ø (x R \ {0}) x2 2 = 0¸ ÔÓÒØ R \ {0}¹Ò ¸ lim x
x0

Ö ÖØ Ý

x0 = 0¹
Ø Ø Ð µ Ö ×Þ

Ò

+¸
Ñ ØØ

x R \ {0}µº
Ð Ò Ý× Þ ×ÓÖÓÞ ØÓ Ú ×ÞÓÒÝÒ º Þ ØØ Ò Ý¹ Þ ØØ Ò

Ó Ý

¿º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò
µ

Ú ×ÞÓÒÝ Ñ

f, g, h : E R R
xx0

ÓØØ

Ú ÒÝ

× x0 E º

ÓÖ¸

xx0

lim f (x) = A

lim g(x) = B

K(x0 , ), f (x) g(x) ; A < B =

µ

x [K(x0 , )\{x0 }] E = A B lim f (x) = A lim g(x) = B
xx0 xx0

µ

K(x0 , ), f (x) < g(x) x [K(x0 , )\{x0 }] E ; K(x0 , ), f (x) h(x) g(x) x [K(x0 , )\{x0 }] E lim f (x) = lim g(x) = A = lim h(x) = A .
xx0 xx0
×

xx0

ÞÓÒÝ Ø ×º

Þ

ØÚ Ø Ð

ÐÚ

×ÓÖÓÞ ØÓ Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ñ

Ð Ð

Ø Ø Ð

Ð Ô¹

Òº

Å
½º ¾º À

ÝÞ × º
Ø Ø Ð Ñ Ó ÐÑ Þ Ø µ Ö ×Þ Þ Þ¸ Ò Ò g = 0 lim f (x) > 0¸

+
Ú

xx0

-µ¹ Ò Ú ØØ Ø Ö ÖØ Ý f = 0¸ ÓÖ ÐØ ÖØ × ¹Ø Ø ÓÖ Ú Ò Þ x0 ¹Ò ÓÐÝ Ò ÖÒÝ Þ
´ ÐÐ ØÚ Ú Ý

Ö Ð

׺ º

Ø ¸ Ñ Ðݹ

f (x) > 0 ÔÓÒØÓ× [K(x0 , )\{x0 }] E º

Ò

K(x0 , ), f (x) < 0

f (x) > 0 x

¿º

À ÌýÊ ÊÌ Ã

Ë

ÇÄ ÌÇÆÇËËý

Ã È ËÇÄ Ì

f : E R R, g : f (E) R Ú ÒÝ ¸ ØÓÚ x0 E ¸ y 0 ÓÐÝ Ò¸ Ó Ý x = x (f (E)) 0 × Ø Ò f (x) = y0 º Ä Ø ÞÞ Ò lim f (x) = y0 ×
yy0

º Ø Ø Ð ´ Þ ××Þ Ø ØØ

Ú ÒÝ

Ø Ö ÖØ

µº Ä Ý Ò

ÓØØ

Þ

lim g(y) = Aº
ÞÓÒÝ Ø ×º Å ÒØ

ÓÖ lim (g f )(x) = A .
xx0
ÓÐÝØÓÒÓ×× ÐÝ ØØ ÐÝ ØØ Ö × ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð Ø Þ × Ñ Ð Ð

xx0

Ø Ø ÐÒ Ð¸
×

K(g(f (x0 )), )
ÓÐÝØÓÒÓ×

K(A, )
Ø Ö ÖØ

K(f (x0 ), 1 ())
×ÞÒ Ð Ò

ÐÝ ØØ º

K(y0 , 1 ())¸

Ñ

¿º
×
×

Ø Ö ÖØ

×
ÓØØ

ÓÐÝØÓÒÓ××
xx0

Ô
×ÓÐ Ø
ÓÖ

Ì Ø Ðº Ä Ý Ò f : E R R
ÞÓÒÝ Ø ×º

ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Ò¸

Ú ÒÝ × x0 E, x0 E º f lim f (x) = f (x0 )º

µ À

µ

x0 ØÓÖÐ × ÔÓÒØ Ò¸ ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ×× Ò
A = f (x0 ) Ø Ö ÖØ x0 ¹ Òº Ø Ö ÖØ ¸ ÓÖ Ø Ö ÖØ Ò
Ñ ØØ À A = f (x0 ) K(f (x0 ), )¹ ÓÞ K(x0 , ())¸ Ó Ý x E, x K(x0 , ())\{x0 } × Ø Ò f (x) K(f (x0 ), )º Å ×Ö ×ÞØ f (x0 ) K(f (x0 ), )º Ý x K(x0 , ()) × x E × Ø Ò f (x) K(f (x0 ), )¸ Þ Þ f ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹
ÓÐÝØÓÒÓ× ¸ Ó Ý Òº ÓÖ Þ ½¹ Ý Ð Ò Ú Þ× Òº ÐØ

f

ÈÐ º
Ò × ÓÐÝØÓÒÓ×

f1

Ú ÒÝÒ

Ð Ø Þ

Ø Ö ÖØ Ý Ø Ø Ð Ò

Þ ×Þ Ö ÒØ

Ý ÒÐ ¸ Ñ ×Ö ×ÞØ

f (1) = 2 = 1¸

x0 = 1¹ f1 Ò Ñ
ÔÓÒع

x0 = 1¹
À × Þ ÞØ ÑÓÒ

Ò
º
Ò¸ ÓÖ Ò ×Þ

x0 ¹
À

f :ERR Ù ¸ Ó Ý x0 f ¹Ò
ÓØØ ÐÝ Ú ÒÝ

Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ×

×Þ

×

ÐÝ

Þ

¸ Ú

x0 E
Ý Ó Ý

f ¹Ò

Ú Òº ×

f : E R R × Òµ¸ × x0 ×Þ

f ¹Ò
ÓÖ

¸ ØÓÚ ÞØ ÑÓÒ

xx0 -0

lim f (x) = f (x0 - 0)¸

x 0 E ´ Þ Þ x0 Ð× ÔÓÒØ E ¹ lim f (x) = f (x0 + 0) ×
xx0 +0
Ù ¸

f ¹Ò

×Þ ×Þ
À

×

x0 ¹

Ò

Ð×

×Þ ¹

Ú Òº À

f ¹Ò

× Ñ ×Þ ÒØ Ø Ø
x0 ¹
Ò ×Þ Ò Ú ÞÞ º ×

Ñ

f (x0 - 0) = f (x0 + 0)¸
º Ú Ò × Þ Ò Ñ Ð×

ÓÖ ¸

ÞØ ÑÓÒ ÓÖ ÞØ

Ù ¸

Ó Ý

×Ò

Ñ ×Ó

ÎÁº

Î Æ

à À ÌýÊ ÊÌ Ã

ÈÐ º
½º

f1

Þ

Ð

Ô Ð

Ð Ô

Ò Ò Ñ

ÓÐÝØÓÒÓ×

x0 = 1¹
Ý ×Þ

Ò¸ ×

Ý ÓØØ ×Þ Ñ ×Þ ÒØ Ø

× Ø

Ú Òº

x1+0

lim f1 (x) =
Ñ

x1-0

lim f1 (x) = 1¸
ÖØ Ø ¾¹Ö Ð ½¹Ö ¼¹

´Ú ÐØÓÞØ ××Ù ¾º

f1 (1)

× ÓÐÝØÓÒÓ× Ð ×Þµº Ò¸ Ý ÓØØ ×Þ ×Þ × Ð× × Ú Ò¸ º

x0+0
¿º Ð Ø

f4 Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ× ÓÖ lim f4 (x) = 1 = -1 = lim f4 (x)¸
x0-0
Ø ¸ Ó Ý Þ

Þ ÖØ

Ú ÒÝÖ ×Þ

x0+0

lim f (x) = +,
º

1 x f (x) =
¼

, ,

x=0 x=0
¼¹ Ò ×Þ × Ú Ò¸

x0-0

lim f (x) = -¸

× Ñ ×Ó

º ÅÓÒÓØÓÒ

Ú ÒÝ

½º Ø Ø Ð ´ÑÓÒÓØÓÒ Ø × × ÒÚ ÖØ Ð Ø × µº À
ÞÓÒÝ Ø ×º

Þ f : E R R Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ E ¹Ò¸ ÓÖ ÒÚ ÖØ Ð Ø ¸ × f -1 Ù Ý ÒÓÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Ò ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ f (E)¹Òº

f -1 × Ú Òݸ Ñ ÖØ Ò Ñ¸ Ý x 1 = x2 ¸ Ó Ý (y, x1 ), (y, x2 ) f -1 ¸ Ñ Ð (x1 , y), (x2 , y) f ¸ Þ Þ f (x1 ) = f (x2 )¸ ÐÐ Ò¹ Ø Ø Ò f ×Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ø × Ú Ðº Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú × y1 , y2 f (E)¹Ö y1 < y2 º Ä Ý Ò Ô Ð ÙÐ f ×Þ ÓÖ ÓÖ ÝÖ ×ÞØ x1 , x2 E ¸ Ó Ý y1 = f (x1 ) < y2 = f (x2 )º Å ×Ö ×Þظ -1 (y ) f -1 (y )¸ ÐØ ××Þ ¸ Ó Ý f ÓÖ 1 2 x1 = f -1 (f (x1 )) f -1 (f (x2 )) = x2
Ú Ø ÞÒ ¸ Ñ ÞØ Ò ´f ×Þ ÓÖ º ÑÓÒÓØÓÒ Ø × ×º Ñ Øص¸ Ó Ý

y1 = f (x1 ) f (x2 ) = y2 ¸ Ñ f -1 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú

ÐÐ ÒØÑÓÒ

-1 (y ) Ý f 1

< f -1 (y2 )¸

Þ Þ

ÈÐ º
½º Þ

f : [0, +[ R, f (x) = x2 Ú ÒÝ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ [0, +[¹ Ò¸ Ñ ÖØ ´ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò× ×Ñ ÖØ ØÙÐ ÓÒ× Ð x1 , x2 [0, +[, < x2 = x2 < x2 º x1 Ý Ø Ø Ð Ñ ØØ 2 1 -1 (x) = x (x 0) Ú ÒÝ × ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÒÚ ÖÞ ¸ Þ f [0, +[¹ Òº

Ò Ú ¹ Ô Ú Òµ Ú Ð Ø Þ

º ÅÇÆÇÌÇÆ

Î Æ

Ã

y
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

x2



x

0
º½º Ö º

x

¾º Ä

Ý Ò

ÈË Ö

f (x) =

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

x,

x [0, 1] [2, 3] , x ]1, 2[ .
y 2 1 0 1
º¾º

3-x ,

2

3
Ö º

x

Ð Ø

Ø ¸

Ó Ý

Þ

Å
Ú Ø

Ò Ñ ×Þ f (x) (x [0, 3])º 1 1 2 < 1 × f ( 2 ) < f (1), Ú ×ÞÓÒØ

f : [0, 3] R
ÓÖ

Ú ÒÝ

ÒÚ ÖØ Ð

Ø

×

f -1 (x) =
´ ×Þ Ò

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

[0, 3]¹ÓÒ
Òº

ÝÞ ×º

4 3

<

5 3

4 × f( ) 3
Ò Ñ

>
Þ

f ( 5 )µº 3
ÐØ Ð Þ ¹

Þ ½º Ø Ø Ð Ñ

ÓÖ

Ø ×

Þ

¾º Ø Ø Ðº À

Þ f : a, b R Ú ÒÝ ÒÚ ÖØ Ð Ø × ÓÐÝØÓÒÓ× a, b ¹Ò¸ ÓÖ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ a, b ¹Òº ´ÁØØ a, b Ð Ø ÒÝ Ðظ Þ Öظ Ð ÒÝ Ðظ Ð Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ×ºµ

¿º Ø Ø Ðº À Å
ÐÑ Þ Ñ

Þ f : a, b R ÓÖ f -1 ÓÐÝØÓÒÓ׺

Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ¸
ÑÓÒÓØÓÒ Ú ÒÝ ×Þ × ÐÝ Ò

ÝÞ ×º

Ý

×Þ ÑÐ Ð

f : a, b R
Ø º

ÎÁÁº

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ ÐÑ Ú ÒÝ
½º
Ò
º

Þ Ø

×

Ú ÒÝ×ÓÖÓ ¸
Ú ÒÝ×ÓÖÓ
Ú ÒÝ º

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ × ÓÒÚ Ö Ò
Ä Ý Ò

½º
Þ

fn

×ÓÖÓÞ ØÓØ

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÒ
Ò Ú ÞÞ Ð Ð ×

ÓØØ

Þ

fn : E R R (n N)
¸ Ñ

Sn = f1 + ... + fn
ÓÖ

n=1
À

Sn
n=1

¹Ø

Ú ÒÝ×ÓÖÒ
Ú Ý

(n N),
´ Þ ÙØ × Ø Ò ×ÞÒ Ð Ù µº Ú ÒÝ ×¸ Ý ÞØ Þ

fn ,
Ñ

fn (x),
ÓØØ Þ

fn
n

Ø

f0 : E R R Sn = fk
×

Sn
× Ö

Ú Òݹ

×ÓÖÓÞ ØÓظ Ñ ÐÝÒ Ð

Ú ÒÝ×ÓÖÒ ×ÞÒ Ð Ù º

Ò Ú ÞÞ

n=0

fn ¸

k=0 n=0

fn (x)

Ú

Ý

fn
Þ

Ð Ð ×

Ø

¾º

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø Þ x E ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò׸ Þ fn (x) ×Þ Ñ×ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò׺ Þ fn Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò× Þ E1 E ÐÑ ÞÓÒ¸ Þ fn (x) ×Þ Ñ×ÓÖÓÞ Ø x E1
Ò
º
fn
× Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò׺ ÓÖ Þ

. f (x) = lim fn (x)
n
Þ ×Þ Ö ÒØ Ò Ú ÞÞ Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ ØØ × Þº ÞØ ÑÓÒ Ú ÒÝØ Ù ¸

(x E1 )
Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø

fn
Þ

Ó Ý

fn

ØÖ
ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö º Ð

ÔÓÒØÓÒ Ö Ò

ÒØ

E1 ¹Ò
Ò×

Ú ÒÝ Ò
Þ

f
¹

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø

fn
ÔÓÒØÓÒ ÒØ

ÓÒÚ Ö Ò
Ø ÖØÓÑ ÒÝ
Þ Ò׸ ÓÒÚ Ö

ÞÓÒ ÔÓÒØÓ

ÐÑ Þ Ø¸ Ñ ÐÝ Ò ÓÒÚ Ö

fn (x)

× Ò Ú ÞÞ Ò׸ ÐÐ ØÚ

Ú ÒÝ×ÓÖ

x E¹
Þ

Sn (x)
½

×Þ Ñ×ÓÖÓÞ Ø

Þ E1 E x E ¸ ÐÐ ØÚ

ÐÑ ÞÓÒ

¾

ÎÁÁº

Î Æ ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë

Î Æ ËÇÊÇø

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

x E1

× Ø Ò

ÓÒÚ Ö

Ò׺

ÓÖ

Þ

. f (x) = lim Sn (x) =
n
×Þ Ö ÒØ Ú ÞÞ Ú ÒÝ ×ÓÖ Þº ÖØ ÐÑ Þ ØØ × ÞØ ÑÓÒ ÞÓÒ ÔÓÒØÓ Ú ÒÝØ Ù ¸ Ó Ý

n=01

fn (x)
ÒÝ×ÓÖ ÒØ º

(x E1 )

fn Ú fn ÔÓÒØÓÒ
Ö Ò Ò Ú ÞÞ

××Þ
Ð

ÓÒÚ Ö

E1 ¹

Ú ÒÝ Ò
Ò Þ

Ò ¹ ¹ Ú Òݹ

f

ÓÒÚ Ö Ò
Ø ÖØÓÑ ÒÝ
Ý Ò Ò Ú Þ Ø× ×ÓÖÓÞ ØÓ ØÓÚ

ÐÑ Þ Ø¸ Ñ ÐÝ

fn (x)

ÓÒÚ Ö

Ò×

ÈÐ º
½º Ä ´

fn (x) = xn (x R) n N¸
Þ Ø ½º Ø Ø Ð Ú ÒÝ Þ Ø Ö

ÓÖ

Þ

xn
ÓÖ ÓÒÚ Ö

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø Ò׸

×Þ Ö Òص

] - 1, 1]¸

x

f (x) =
Ú Òݺ

0, 1,
y

x ] - 1, 1 [ , x=1,

-1

0

1 x

½º½º

Ö º

¾º

n=0

xn
×

Ú ÒÝ×ÓÖ ´ ××Þ Þ

×ÓÖÓ Ò Ð Ø ÒÙÐØ

×Þ Ö Òص

ÓÒÚ Ö

Ò׸ Ú Òݺ

|x| <

1 (x R)

f :] - 1, 1[ R, f (x) =
Ú ÒÝ×ÓÖ ÔÓÒØÓÒ ÒØ

Å

ÝÞ ×º
ÞØ

fn
Ð ÒØ ¸ Ó Ý

1 1-x
Ò

ÓÒÚ Ö

ÐÑ ÞÓÒ

x E1 ¹Ö f (x) R, > 0¹

ÓÞ

Ý E1 E n(, x)

½º

Î Æ ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë

Î Æ ËÇÊÇÃ ÃÇÆÎ Ê

Æ ÁýÂ

¿

N¸
Þ × ´

Ó Ý ××Þ

n n(, x) Ú ÒÝ E1 ¹
Ò

× Ø Ò

Òºµ Ä Ø

|Sn (x) - f (x)| < º ´ Ø ¸ Ó Ý Þ n(, x)

ÓÖ

×Þ

f : E1 R
×Þ Ñ

ÒÝ ÐÚ Ò

x¹Ø

Ð

ÓÒÚ Ö

Ò Ñ

Ý ÒÐ Ø × µº

¿º Ò
º Þ fn Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø ´ ÐÐ ØÚ Ú ÒÝ×ÓÖµ Ý Ò¹ fn Ð Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ð Þ E1 E ÐÑ ÞÓÒ Þ f : E1 R Ú ÒÝ Þ¸
Ð ØÚ

> 0¹ ÓÞ n() N¸ Ó Ý n n() |Sn (x) - f (x)| < µ x E1 ¹Ö º ÁÐÝ E1 ¹ Òº Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ò×Ò Ò Ú ÞÞ

× Ø Ò

Ò ÓÖ

|fn (x) - f (x)| < ´ й fn ¹ ص fn ¹ Ø ´ ÐÐ ØÚ

Þ E1 = [-r, r] (0 < r < 1) ÐÑ ÞÓÒ f :] - r, r[ R, f (x) = 0 Ú ÒÝ Þº Í Ý Ò × n n n ÝÖ ×ÞØ |fn (x) - f (x)| = |x - 0| = |x | |r | (x E1 )¸ Ñ ×Ö ×ÞØ r ]0, 1[ n ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ñ ØØ r Ý > 0¹ ÓÞ n() N¸ Ó Ý n n() n × Ø Ò |r | < ¸ × ÞØ Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò× Ð ××Þ Ú ØÚ Ô Ù ¸ Ó Ý > 0¹ ÓÞ n() N¸ Ó Ý n n() × Ø Ò |xn - 0| < x E1 ¸ Ñ Þ Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø Ð Þ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Þ Ý ÒÐ Ø × ÓÒÚ Ö Ò
Ò
×Þ Ö ÒØ Þ ÐÐ Ø ×غ

ÈÐ º

xn

½º Ø Ø Ð ´ Ù
ݹ Ð ÓÒÚ Ö Ò
Ö Ø Ö ÙÑ Ý ÒÐ Ø × ÓÒÚ Ö Ò
Ö µº Ä Ý Ò fn (fn
ÒÝ ×
×

Ú¹ Ý ×ÓÖÓÞ Ø ¸ E1 E Ò Ñ Ö × ÐÑ Þº Þ fn Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø ÓÖ > 0 n() N¸ Ó Ý ÓÖ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ò× E1 ¹ Ò¸ n, m n() (n > m) × Ø Ò |fn (x) - fm (x)| < ¸ x E1 º
: E R R)

Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ ØÓ

´fn

Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ´ Ù
ݹ Ð ÓÒÚ Ö Ò
Ý ÒÐ Ø × ÓÒÚ Ö Ò
Ö µº Ä Ý Ò
×
×

Ö Ø Ö ÙÑ

: E R Rµ¸ E1 E
ÓÖ Ý ÒÐ Ø × Ò

Ò Ñ Ö × Ò×

ÐÑ Þº

ÓÒÚ Ö

E1 ¹

Ò¸

Ý Ú ÒÝ×ÓÖ fn fn Ú ÒÝ×ÓÖ ÓÖ > 0 n() N¸ Ó Ý

Ú ÒÝ×ÓÖÓ

n

n, m n() (n > m)

× Ø Ò

|Sn (x) - Sm (x)| =

i=m+1

fi (x) < x E º

¾º Ø Ø Ð ´Ï Ö×Ø ×× Ð Ò ÓÒÚ Ö Ò
Ö µº Ä Ý Ò

Ú¹ ÓØØ Þ fn : E R R (n N) ÓÒÚ Ö Ò× ×Þ Ñ×ÓÖ¸ an Ý ÓÐÝ Ò Ò ÑÒ Ø Ú Ø ÒÝ º Ä Ý Ò ØÓÚ fn Ó Ý |fn(x)| an ( x E, n N)º ÓÖ Ú ÒÝ×ÓÖ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ò× E ¹Òº
ÞÓÒÝ Ø ×º

ÐØ Ø Ð

Ú ÒÝ×ÓÖÓ

Ý ÒÐ Ø ×

×ÓÖÓ Ö

× Ò

Ú ÒÝ×ÓÖÓ Ö Ñ ØØ

ÚÓÒ Ø ÓÞ

Ù
ݹ Ö Ø Ö ÙÑÓ Ó Ý

Ð Ô

Òº

an

ÓÒÚ Ö

> 0 n() N¸

n, m

ÎÁÁº

Î Æ ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë

Î Æ ËÇÊÇø

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

n() (n > m)
n

× Ø Ò

n

ak =
k=m+1

ak <
k=m+1 n n n

= = fn

k=m+1

fk (x)
ÓÒÚ Ö

k=m+1
Ò׺

|fk (x)|

ak < ,
k=m+1

xE

Ý ÒÐ Ø × Ò

Ä Ý Ò fn : E R R (n N) ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ ¸ Ø Ý Ð¸ Ó Ý Ú ÒÝ Þº ÓÖ fn ×ÓÖ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ð E ¹Ò Þ f : E R R f ÓÐÝØÓÒÓ× E ¹Òº ´Ê Ú Ò ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖ Ò ××Þ ¹ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ׺µ
> 0 Ø Ø×Þ Ð ×º fn Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ò× = N, n n > 0¹ ÓÞ n ¸ 3 3 3 º × x E ¹Ö |Sn (x) - f (x)| < 3 Þ Sn : E R Ú ÒÝ Ø Ø×Þ Ð ×¸ Ö Þ Ø ØØ n n ÖØ Ö 3 ÓÐÝØÓÒÓ× x0 ¹ Ò = 0 ¹Ö > 0, x E, |x - x0 | < 0 3 3 |Sn (x) - Sn (x0 )| < º ÅÓ×Ø > 0¹Ö Ð Ý Ò () = 0 ¸ ÓÖ 3 3 x E, |x - x0 | < ()¹Ö
ÞÓÒÝ Ø ×º Ä

¿º Ø Ø Ð ´ Þ ××Þ

Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ××

Ò

Ð

Ò

ÐØ Ø Ð µº

Ý Ò

x0 E

×

|f (x) - f (x0 )| |f (x) - Sn (x)| + |Sn (x) - Sn (x0 )| + |Sn (x0 ) - f (x0 )| < ,
Ñ

f
À

ÓÐÝØÓÒÓ××

Ø

ÈÐ º
Ý ×ÓÖ¸ ××Þ

x2 (n = 0, 1, 2, . . . )¸ (1 + x2 )n 1 < 1 Ú
Ò×ò Ñ ÖØ fn (x) Ý 0 < x R, x = 0 × Ø Ò 1 + x2 n=0 fn (0) = 0 (n = 0, 1, 2, . . . )¸ Ý fn ÓÒÚ Ö Ò× x R¸ ØÓÚ fn : R R, fn (x) =
Ú ÒÝ Þ

x0 ¹

Ò¸

Þ Þ

E ¹Òº

Ò ×

f : R R,

1 f (x) = 1- 1 + x2 0,



x2

= 1 + x2 ,

x = 0, x=0

¾º À ÌÎýÆ ËÇÊÇÃ

Ú Òݺ Ú ÒÝ×ÓÖ Ò Ñ Ð Ñ Øظ Ø Ø Ð Ò ×Þ Ö ÒØ Ø Ý ÒÐ Ø × Ò ¸ ÓÒÚ Ö Þ × Ø Ò Ò׸ Ñ ÖØ ××Þ

x = 0¹

Ò ´Ù Ý Ò ×

f ÓÐÝØÓÒÓ× Ð ÒÒ xn 0¸ xn = 0

Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ×

fn

ÓÐÝØÓÒÓ××

f (xn ) 1 = 0 = f (0)µº

¾º À ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ
ÔÓÒØ
×

½º

Ò
º

n=0

ØÚ ÒÝ×ÓÖÒ

an (x - x0 )n (an , x, x0 R)
Ò Ú ÞÞ º

Ú ÒÝ×ÓÖØ

x0

Þ Ô¹

½º Ø Ø Ð ´

Ù
ݹ
Ñ Ö µº Ä Ý Ò ÓØØ

n=0

an (x-x0 )n

ØÚ ÒÝ×ÓÖ

n=0

|x - x0 | > º

an (x - x0 )n

0, . = + , 1 , n lim |an |

lim n |an | = + , lim n |an | = 0 ,

Ý

ÒØ º Ú Ö Ò׸
Ò

×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò׸

|x - x0 | <

n |an | < + ´ ×Þ |x - x0 | < ¸ ÓÖ lim + = = 0 × ÓÖ |x - x0 | < Ò Ñ Ð Ø× ×µ¸ ØÓÚ 0<1, n n lim |an (x - x0 )n | = |x - x0 |lim |an | = |x - x0 | < 1 ,

ÞÓÒÝ Ø ×º À

lim n |an | = = +,
Ý ÒØ

,

Ñ

×ÓÖÓ Ö

ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò

Ù
ݹ

Ð

Ý

Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Ò

ØØ

ØÚ ÒÝ×ÓÖ

×ÞÓÐ Ø

ÓÒÚ Ö

غ

À ×

n |an | > 0 ´ ×Þ |x - x0 | > ¸ ÓÖ lim ÓÖ |x - x0 | > Ò Ñ Ð Ø× ×µ¸ ØÓÚ

lim n |an | = 0 = = +¸ = 0,
Ý ÒØ

lim
Ñ

n

|an (x - x0
×ÓÖÓ Ö Ò

)n |

= |x - x0 |lim
Ù
ݹ

n

|an | =
Ý

+ > 1 ,
Ö Ø Ö ÙÑ Ñ

ÚÓÒ Ø ÓÞ Øº

Ð

Ú Ö

|x - x0 | > 1 ,
ØØ

,

ØÚ ÒÝ×ÓÖ

ÎÁÁº

Î Æ ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë

Î Æ ËÇÊÇø

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

Ú Ö Ò
×Ù Ö
Å
½º

¾º

Ò
º

Ù
ݹÀ Ò

Ñ Ö º

Ø Ø Ð

Ò

Ò

ÐØ

¹Ø

ØÚ ÒÝ×ÓÖ ÓÒ¹
× Ø Ò

Ò Ú ÞÞ

= 0

ÝÞ × º
× Ø Ò

ØÚ ÒÝ×ÓÖ
× Ò׺ ÓÖ

x0 ¹

Ò¸ Ñ

= +
ÖÒÝ Þ Ø Ö ×Þ

× Ø Ò ¾º À

ÓÒÚ Ö

x R
ØÚ ÒÝ×ÓÖ

0 < < +¸
Ò

K(x0 , )
º

ÒÝ ÐØ

ÓÒÚ Ö

Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò

¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò
0 < 0 < ¸

n=0

××Þ

ÓÖ Ú ÒÝ Ô

ØÚ ÒÝ×ÓÖ Ý ÒÐ Ø × Ò ÓÒÚ Ö Ò× K(x0 , 0 )¹Ò¸ Þ ÓÐÝØÓÒÓ× K(x0 , 0 )¹ÓÒº
ÓÖ Ð

an (x - x0 )n

ØÚ ÒÝ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò

×Ù Ö º À

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ À Ñ µ

×Þ Ñ×ÓÖ ´ ØØ

x K(x0 , 0 )¸
Ô Ù Þ

Ù
ݹ

|an (x - x0 )n | |an |n º 0
Ý Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Ò
Øص¸ ÓÒÚ Ö Ø

Ý

Ï

|an |n 0

ÓÒÚ Ö

Ò×

Ö×ØÖ ××¹

ÐØ Ø Ð

Ý ÒÐ Ø × Ø Ø

K(x0 , 0 )¹Òº
Ò×

n=0

Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ


) ÖÐ ÔÓÒ¸ Þ fn (x) = an (x - x0 )n (x R) K(x0 , 0 )¹Ò¸ Ý Þ Ð Þ Ô Ö Ö Ù× ¿º Ø Ø Ð Ñ ÖÐ ÔÓÒº ÓÐÝØÓÒÓ× K(x0 , 0 ) K(x0 , ) xn , n! n=0


an (x - x0 )n

Ý ÒÐ Ø × Ò

ÓÒÚ Ö

K(x0 , 0 ) (0 < 0 <
Ú ÒÝ ØØ Þ ××Þ ÓÐÝØÓÒÓ× Ú ÒÝ

(-1)n x2n (2n)!

n=0 n=0

x2n , (2n)! ,
n=0



(-1)n

n=0

x2n+1 , (2n + 1)!

x2n+1 (2n + 1)!

ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ Òº
Ô Ù ¸ Ø Ø Ð Ðº Ó Ý

ÓÒÚ Ö Ò
×Ù Ö = +¸ ××Þ
n! +, = + Ñ Ò Ò n
n

Ú ÒÝ
n

ÓÐÝØÓÒÓ× R¹
× Ò Þ¸ ¾º

ÞÓÒÝ Ø ×º Å Ú Ð

× Ø

(2n)! +,
Òº ÞÙØ Ò

ÓÐÝØÓÒÓ××

(2n + 1)! + R¹ Ò

¿º Ð Ñ
½º
×

Ú ÒÝ
Ò ×Þ Ö ÔÐ ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ ÓÒÚ Ö Ò¹

R¹

Ò
º
Ò¸ Þ ÖØ

Þ

Ð

Ú Ø Þ

ÞÑ ÒÝ

x R¹Ö

¿º

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

. exp(x) = . cos(x) = . ch(x) =


(-1)n x2n (2n)!

n=0 n=0

x2n , (2n)! ,

xn , n! n=0 . sin(x) = . sh(x) =





(-1)n

n=0 n=0

x2n+1 , (2n + 1)!

x2n+1 (2n + 1)!

×Þ Ö ÒØ ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ú ÒÝ Ø Ö Ò Ö Ú Ð × ÜÔÓÒ Ò
Р׸
Ó× ÒÙ׸ × ÒÙ׸
Ó× ÒÙ× Ô Ö ÓÐ
Ù׸ × ÒÙ× Ô Ö ÓÐ
Ù× Ú ÒÝ Ò Ò Ú Þ¹ Þ × Òºµ

exp, cos¸ sin, ch, sh

Ñ

ÓÒ

Ð Ð

º

´Î Ð Ñ ÒÒÝ

Ò

ÓÐÝØÓÒÓ×

R¹

y

1 0 y 1 0 -1 y
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

x y 1

2



x -1 y

0

2

x

0

x 1 0 x

¿º½º

Ö º

Þ

exp, sin, cos, sh

×

ch

Ú ÒÝ

ÎÁÁº

Î Æ ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë

Î Æ ËÇÊÇø

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

Å
Ú Ð Ð

exp(x) xn exp(x) º n=0 n!
Þ

ÝÞ ×º

Ú ÒÝØ Ã Ð Ò Þ

Þ Ð Ø×

×ÓÖ Ò

N¹
ÞÞ

Ö ×ÞÐ Ø ××Þ ¹ Ð Ø Òݹ ÞÞ Ð

N

N¹

Ø Ú Ð ×ÞØÚ ¸ Ú

× ×Þ Ñ Ø

Ô × ×Þ Ñ Ø ×Ø

ý Ö ÞÓÐ Ù º

exp(x)¹

Ø

Í Ý Ò ÞØ Ú

sin(x), cos(x), sh(x), ch(x)¹Ö

½º Ø Ø Ðº

sh(x) =

exp(x) - exp(-x) , 2 exp(x) = sh(x) + ch(x) ,

ÖÑ ÐÝ x R × Ø Ò

ch(x) =

exp(x) + exp(-x) , 2

Ø Ð × Ðº
ÞÓÒÝ Ø ×º

×ÓÖÓ

ÑòÚ Ð Ø

ØÙÐ

ÓÒ×

Ð Ô

Ò Ú Ð Ñ ÒÒÝ

Ý×Þ Öò

×Þ ÑÓР׺

¾º Ø Ø Ðº
µ

´

ÖÑ ÐÝ x, y R × Ø Ò exp(x + y) = exp(x) exp(y) µ cos(x + y) = cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
µ ch(x + y) = ch(x) ch(y) + sh(x) sh(y) sh(x + y) = sh(x) ch(y) + ch(x) sh(y)
× Ø Ø Ð µº ÌÓÚ xR × Ø Ò µ exp(x) exp(-x) = 1; cos(-x) = cos(x); sin(-x) = - sin(x); ch(-x) = ch(x); sh(-x) = - sh(x); sin2 (x) + cos2 (x) = 1 ch2 (x) - sh2 (x) = 1º
Þ Ø º Ø Ø Ð Ø Ú Ø Ô Ð × Þ

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ

exp
n=0
Ð

Ú ÒÝ

Ò

Ñ

ØØ

exp(x + y) =
µ µ ×
µ ÞÓÒÒ Ð

n=0
Ò

(x + y)n = n!
Þ µ Ö ×Þ ×

n=0

xn n!

yn n!

= exp(x) exp(y) .

Þ ½º Ø Ø Ð

×ÞÒ Ð × Ú Ðº

Ý×Þ Öò ×Þ ÑÓР׺

¿º Ø Ø Ðº Þ exp : R R
µ µ
µ

Ú ÒÝÖ

Þ

exp(x) = 0 (x R) exp(x) 1 (x 0); 0 < exp(x) < 1 (x < 0) lim exp(x) = +; lim exp(x) = 0
x x-

¿º

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

µ µ µ

×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú R¹ Ò exp(R) = R+ ( Þ Þ Rexp = R+ ) r Q × Ø Ò exp(r) = er º
à РÙÐÙ× Áº ×Þ ÓÖ Ð Ø Ýò Ø Ñ Òݺ × º ÓÐÝØÓÒÓ×

ÞÓÒÝ Ø ×º Ä ×

¾º
Þ

Ò
º
ln
´Ú Ý

ÒÚ ÖÞ Ø Ú Ð ×

logµ

Ø ÖÑ ×Þ Ø × Ð Ô ÐÓ Ö ØÑÙ×
×Þ Ñ ÐÙÑÑ Ð Ð Ð

Ò ÑÓÒÓØÓÒ

exp : R R

Ú ÒÝÒ

Ú ÒÝ ×

Ò Ú ÞÞ

º Ø Ø Ðº Þ ln
µ µ
µ µ µ

Ú ÒÝÖ Ø Ð × Ð

Dln = R+ , Rln = ln(R+ ) = R

ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ

ln(1) = 0, ln(x) < 0 (0 < x < 1), ln(x) > 0 (x > 1) exp(ln(x)) = x (x R+ ), ln(exp(x)) = x (x R) ln(xy) = ln(x) + ln(y) (x, y R+ )º
Ò
ÓÒ× Ð¸ Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ý×Þ Öò Ò Ú ÒÝ ÒÒ Þ Ò Ð Ø ÒÙÐØ ÐÐ Ø ×Ó ´Ð × Ð × Þ Ø Ýò Ø Ñ Òݵº

ÞÓÒÝ Ø ×º

exp

Ú ÒÝ ØÙÐ Áº Ð

à РÙÐÙ×

¿º
×Þ Ö ÒØ Ú ÞÞ

Ò
º
Ò º

Ä

Ý Ò

expa : R R,
ÐØ Ú ÒÝØ

a R+ a¹

ÓØظ

ÓÖ

Þ

Ð Ô Ú Ð × ÜÔÓÒ Ò
Ð ×

expa (x) = exp(x ln a)

Ú ÒÝÒ

Ò ¹

º Ø Ø Ðº Ä Ý
µ µ
µ µ µ µ

a R+ º Þ expa Ú ÒÝÖ Ø Ð × ÐÒ expe = exp Dexpa = R, Rexpa = R+ (a = 1) expa (x + y) = expa (x) expa (y) (x, y R)¸ expa (-x) = [expa (x)]-1 (x R) ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ a > 1 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ¸ 0 Ò
à РÙÐÙ× Áº Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ ¸ Þ Ð

ÓÐÝØÓÒÓ×

ÞÓÒÝ Ø ×º

exp

×

ln

Ú ÒÝ

ØÙÐ

ÓÒ×

Ð Ô

Ò

ݹ

×Þ Öò ´Ð × Þ
Ó Ý Ñ Ð Þ Ý Ð Þ Ò

Ø Ýò Ø Ñ Òݵº Ò ×Þ Ö ÔÐ Ø Ú Þ ò × ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ô

Ú Þ Ø ØØ Ö
ÓÒ Ð ×

ax (x Q)
ØÚ ÒÝØ Ø Ø×Þ Ð

ÁÁº¾º Ò

Þ Ø ½ º

Ò ¹ Ö Ðظ

Ð ÒØ ØØ º Î ×ÞÓÒØ

expa (x) ÓÐÝØÓÒÓ× ax ¹×Þ Ðº Þ Þ Þ
Ò
Ò º

Ú ÒÝ Ñ Ò ×

ax

x Ö
ÓÒ xR × Ø Ö

Ð × ×Þ ÑÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ

¼

ÎÁÁº

Î Æ ËÇÊÇ

ÌÇÃ

Ë

Î Æ ËÇÊÇø

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

º º

Ò
º Ò
º

Ä

Ý Ò

a R+
x

×

x Rº
Þ

Þ

a x¹

ØÚ ÒÝ
Ú ÒÝØ ÐÙÑÑ Ð

a = expa (x) = exp(x ln a) .

Ú Ð × ÐÓ Ö ØÑÙ×
º Ø Ø Ðº
µ µ
µ µ µ µ µ

Ä

Ý Ò

1 = a R+ º

Ú ÒÝÒ

Ò Ú

exp-1 : R R a loga ×Þ Ñ ÞÞ ×

a¹

ÐÔ
º

Ð Ð

loga

Ú ÒÝÖ Ø Ð × ÐÒ

ln(x) (x R+ , 1 = a R) ln(a) Dloga = R+ , Rloga = R, loga (a) = 1, loga (1) = 0 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ a > 1 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ¸ 0 à РÙÐÙ× Áº Ú ÒÝ Ð Ø Ýò Ø Ñ Òݺ Ú ÐØÓÞ Þ Ø Ú Ð Ô ´ Ò ×Þ Ö Ô Ð ´ Þ Ø Ú Ô Ö Ð ÔÖ ¹ Ð × × Ø Ò

ÞÓÒÝ Ø ×º Ä ×

Þ

ÜÔÓÒ Ò

Þ Ø Øص¸ Ñ

ØÚ ÒÝ Ä Ý Ò

Ú ÒÝ Ú ÐØÓÞ

Þ Ø Øصº

º

Ò
º
Ú ÒÝØ ÓÖ

º Ø Ø Ðº Þ f (x) = xµ = exp(µ ln(x))¹Ö Ø Ð × ÐÒ
µ µ
µ µ

µ¹ Ø Ú ò Ú Ð × ØÚ ÒÝ f (0) = 0¹Ú Ð f : R+ 0 Rºµ Rf = R + ¸

f : R+ R,

µR

ÓØظ

Þ

f (x) = xµ = exp(µ ln(x))

Ú ÒÝÒ

Ò Ú ÞÞ

º

´À

µ R+ ¸

µ = 0; Rf = {1}¸ µ=0 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ µ > 0 ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ¸ µ<0 lim f (x) = 0 × lim f (x) = +¸ µ > 0¸ x x0 lim f (x) = + × lim f (x) = 0¸ µ<0
x0 µ

ÓÐÝØÓÒÓ×

Ú ÒÝ

µ

xµ x = xµ+ , x y = xµ , yµ

xµ = xµ- , x (xµ ) = xµ

x

(xy)µ = xµ y µ , (x, y R+ , µ, R)º

¿º

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

½

ÞÓÒÝ Ø ×º

Ò

×

ÓÖ

Ø Ø Ð

Ð Ô

Ò

Ý×Þ Öò ´Ð ×

à РÙÐÙ×

Áº

Ð

Ø Ýò Ø Ñ Òݵº

ÎÁÁÁº

Ö Ò
Ð×Þ Ñ Ø ×
Ú ÒÝ
a, b
Ý ÒÝ ÐØ Ú

Þ Ø

½º Î Ð ×
½º
Ú Ð × ´½µ ÐØ Ð Ò

Ö Ò
Ð ÒÝ Ó×
Ý Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙѸ

Ò
º

Ä

Ý Ò

Ú Òݺ

f : a, b R

(x, x0 ) =
ÐØ

f (x) - f (x0 ) x - x0
Þ

(x = x0 , x, x0 a, b )
Ú ÒÝ

ÒÝ Ó×
¾º
ÔÓÒØ ´¾µ ´Ú ×µ Ð

Ú ÒÝ Ò
Þ



Ú ÒÝØ

f
º

x, x0 ¹

ÓÞ Ø ÖØÓÞ

Ö Ò
Þ

¹

Ò Ú ÞÞ

Ò
º
Ò¸

Ð Ø Þ

f : a, b R lim

Ú ÒÝ

Ö Ò
Ð Ø

x0 a, b

xx0
Ø Ö ÖØ º ÞØ Þ

f (x) - f (x0 ) = f (x0 ) x - x0 f (x0 )¹Ð
Ò Ð Ð ÐØ Ý ´Ú

x0 ¹

Ö Ò
Ð ÒÝ Ó×
ÒØ ÖÔÖ Ø
º ÔÐ
Ñ ÒØ×
Ò Ñ Ö ×

Ö Ú ÐØ

Ø Ö ÖØ Ò

Ø

Þ

f
º

Ú ÒÝ

µ Ò Ú ÞÞ

ÓÑ ØÖ

ÈË Ö Ö Ú ÒÝ ×Þ Ð

Þ º

f (x) - f (x0 ) x - x0
×Þ Ð

Ö Ò

ÒÝ

Ó×

Þ

f

f (x)
Ö ÒØ

f (x0 ) 0 x0
½º½º


Ö º

x

¿

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

x x0
ÞÓØØ

× Ø Ò Ö ÒØ º Ð

×Þ Ð ÒÝ À Ó× Þ Ö Ò
Ò ÐØ

Ø Ö

ÐÝÞ Ø

Þ

f

Ú ÒÝ Þ Ò Ò Ú ÒÝØ Ú ÒÝ Ò Þ

Ö Ö ÒØ

Þ Ñ Ö Ð

Þ

x0
×

ÔÓÒØ º ÓÖ Ö Ò

Ò

Ö Ò

ÓÑ ØÖ

Ð ÒØ × Ò ÔÓÒØ

¿º
ÑÓÒ ÒÝ

Ò
º
Ù ¸ Ó× ´¾µ ×Þ Ö ÒØ

f

a, b
Ð

Ñ Ò Ø

Ö Ò

Ø ¸

ÞØ Ð¹

Ó Ý

Ú ÒÝ Ò

a, b ¹Òº : a, b R f
´Ú Ý Ö Ú ÐØ

f

Ú ÒÝ º

µ Ò Ú ÞÞ

Å
½º Ò¸ ´¿µ

ÝÞ × º
ÓÑ ØÖ

Ò
º
ÓÖ

ÒØ ÖÔÖ Ø
À Þ Þ

f : a, b R

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

Ø

Þ

x0

ÔÓÒع

y = f (x0 ) · (x - x0 ) + f (x0 )
Þ Ý Ð Ð Ø ¸ Ð Ø Þ Ð × Ò¸ Ð ÒØ ¸ Ó Ö Ò

(x R)
Ö ÒØ Ò Ò Ú ÞÞ º Ò× ºµ ´¾µ¹ Ò Ó ¹¸ ÐÐ ØÚ

Ý Ò ×Ø ´f ¾º

f
Þ Ö Ò
Ø Ö ÖØ

Ú ÒÝ

Ö ÔÓÒØ

(x0 , f (x0 ))¹
Ð Ö ÒØ ÖØ ÐÑ Þ ´Â Ð Ð × × Ý ÒÐ Þ ¸ ÓÖ º Ó× ×

Ð

(x
ÐÓÐ Ò¸

0)

(x0 , f (x0 ))
Ð ÒÝ Ø Ø

Ö ÒÝØ Ò Ø ¸

ÝÓÐ ÞÓÒÝ Ø ËÔ
ÞØ Ò Ñ

ÒØ Ò º

f ÓÖ ×
× f+ (x0 ), f- (x0 ) × f+ (x0 ) × f- (x0 ) Ð Ø Ý Þf Ö Ò x0 ¹
Ó Ý Ð Ø º

f+ (x0 ), f- (x0 )ºµ ÌÓÚ Ö Ò
Ð Ø x0 (a, b)¹
Ý ÒÐ ¸ Ú Òº Þ ÓÑ ØÖ ÓÖ Ð Ò

Ò Ñ

Ò Ø Ö ×ÔÓÒØ

f x0 ¹

y
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

f 0 x0
½º¾º Ö º

x

¿º

Ý ×× Ð × ×

Þ

Ð ÒØ × Ú Òݺ ×× ¸ ×

Þ

s(t)

Ø

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð Ò

ÒÝ

Í Ý Ò × ÒÒ

(t0 , t)
× Ø Ò

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø Ö ÖØ

×× Þ Þ

º × Ø Ò Ú Ð Ð

t t0

Ó× v(t) s(t) - s(t0 ) Þ t - t0 t0 Ô ÐÐ Ò Ø

× ¹ ع Ð

º Ã Þ

M PL

Ø ÖØ ÖÑ

ÐÑ Þ ×º Q(L) Ø ÖÑ M PL = Q (L)º ÁØØ L Ð ÐÐ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ × º Þ

Ð × ÑÙÒ Ø

Ú ÒÝ Ð ÒØ ¸ Ø ÖØ ÖÑ

Ö Ú ÐØ

Þ Ô ¹ Ø

Q(L)
Ø

L

ÑÙÒ

M PL

½º Î Ä

Ë

Î Æ

Ã

Á

Ê Æ ÁýÄÀýÆ

ÇË

Ñ

Ø ÖÑ ÐØ Ñ ÒÒÝ × × Ø Òµº

Ú ÐØÓÞ × ×

××

´

ÑÙÒ

Ñ ÒÒÝ ×

Ò

Ñ

¹

Ú ÐØÓÞ ×

ÈÐ º
½º Þ

f : R R, f (x) = c
xx0

Ú ÒÝÖ

lim

Þ Þ ¾º Þ Ø

f (x0 ) = 0¸ Ý f (x) = 0 x Rº f : R R, f (x) = x Ú ÒÝ Ñ Ò Ò x0 R
×

f (x) - f (x0 ) c-c = lim = lim 0 = 0 , xx0 x - x0 xx0 x - x0
ÔÓÒØ Ò Ö Ò
й

x0 R ¹

Ò

f (x0 ) = lim
Ý f (x)
¿º Þ

xx0

= 1 (x R)º f : R R, f (x) = xn (n N) lim

x - x0 f (x) - f (x0 ) = lim = lim 1 = 1 , xx0 x - x0 xx0 x - x0
Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø ¸ Ñ ÖØ

f (x) - f (x0 ) xn - x n 0 = lim = xx0 xx0 x - x0 x - x0 n-1 n-1 = lim (xn-1 + xn-1 x0 + · · · + x0 ) = nx0 ,
xx0

Ý f (x)
º Þ Ñ ÖØ

= (x R)º f (x) = |x| (x R) Ú

nxn-1

ÒÝ Ò Ñ

Ö Ò

Ð

Ø

Þ

x0 = 0

ÔÓÒØ

Ò¸

Ý

x =1, |x| x |x| - |0| = = (x, 0) = -x x-0 x = -1 , x
f+ (0) = lim (x, 0) = 1 , x0+0 x0-0

x>0, x<0,

f- (0) = lim (x, 0) = -1 ,

Þ Þ f+ (0) À x0 = 0¸

=

f- (0)º
ÓÖ

f (x0 ) =
Ñ ÖØ Ñ

1,

x0 > 0 , x0 < 0 , x0 > 0¸ x0 < 0º

xx0

lim (x, x0 ) = lim 1 = 1¸
xx0 xx0

-1 ,

xx0

lim (x, x0 ) = lim -1 = -1¸

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

¾º
Ì Ø Ðº À Þ f :
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ö Ò
Ð Ø ×
a, b R
× ÔÓÒØ

× ÓÐÝØÓÒÓ××
Ö Ò
Ð Ø Þ x0 a, b ÔÓÒØ Ò¸
Ò Ñ ÑÙØ ØÒ ¸ Ó Ý

ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ× × x0 ¹ Òº
x0
× ØÓÖÐ

Ú ÒÝ
a, b
¹Ò

¸

Ý

Ð

lim f (x)
xx0

xx0

lim f (x) = f (x0 )º f (x) - f (x0 ) · (x - x0 ) = x - x0

xx0

lim (f (x) - f (x0 )) = lim = lim
xx0

xx0

f (x) - f (x0 ) · lim (x - x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0 xx0 x - x0
xx0

Þ¸

Ñ

¸

Ó Ý

lim f (x) = f (x0 )¸
Ø Ø Ð Ò Ñ Ö Ò
Ð ÓÖ Ø

× Ø

ÞØ Ñ Ð Ú ÒÝ

ÐÐ ØØ º

ÞÓÒÝ Ø Ò º ÙÐ

|x|

Å

Þ

x0 = 0¹
×

ÝÞ ×º

ÒØ Ò ÓÐ × Ñ

Ø

À ×Þ Ò Ô Ð Ø º Ä Ø ÞÒ ×º

f (x) =
Ò ØØ

ÓÐÝØÓÒÓ׸

Ò Ñ

Ö Ò

Ñ Ò

ÓÐÝØÓÒÓ׸

¿º
Ù

Ö Ò
Ð Ø ×
Ò
º
Þ

× Ð Ò Ö × ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø ×
ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ÓÒ×Ø Ò× × Ø Ò ÑÓÒ ¹

f : a, b R Ú ÒÝØ Ð Ò Ö × Ò Þ x0 a, b ÔÓÒØ Ò¸ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò A R Ú Òݸ Ó Ý lim (x) = (x0 ) = 0 ×
xx0

: a, b R

´Lµ Ø Ð

f (x) - f (x0 ) = A · (x - x0 ) + (x) · (x - x0 )
× Ðº

(x a, b )

Ì Ø Ðº Þ f :
ÞÓÒÝ Ø ×º

a, b R Ú ÒÝ ÓÖ¸ ×
× × ÓÖ x0 a, b ÔÓÒØ Ò¸ Ð Ò Ö × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø º ÌÓÚ
µ

A = f (x0 )º

Ö Ò
Ð Ø

Þ

()

À

ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð ¸

Ð Ø x0 ¹ Ò¸ ÓÖ Ð Ý Ò f (x) - f (x0 ) - f (x ) , x a, b \{x }, . 0 0 (x) = x - x0 0, x = x0 . Ö Ò
Ó Ý

f

xx0

lim (x) = (x0 ) = 0¸
Ö × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø º

×

A = f (x0 )¹Ð

Ð

Ô Ù

(L)¹

Ø ×¸

Þ Þ

f

Ð Ò

º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Ëý

Ë ÅæÎ Ä Ì Ã

µ

()

À

f

Ð Ò

Ö × Ò

ÔÔÖÓÜ Ñ Ð

Ø

x0 ¹

Ò¸

ÓÖ

(L)¹

Ð

Ò¸

Ó Ý

Ý Ø Ð

xx0
× Ðº

lim (x) = 0

f (x) - f (x0 ) = A + (x) x - x0 f
Ö Ò

(x a, b \{x0 })
Ð Ø × Ø × Ó Ý

f (x0 ) = A

×

º
½º Ø Ø Ðº À Þ f, g :

Ö Ò
Ð Ø ×
a, b R

× ÑòÚ Ð Ø
Þ x0 a, b ¹ Ö Ò
Ð Ø

Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø f Ò¸ ÓÖ Þ f +g, f ·g × g(x0 ) = 0 × Ø Ò Þ Ú ÒÝ × g x0 ¹ Ò¸ ×
µ µ
µ

(f + g) (x0 ) = f (x0 ) + g (x0 ); (f · g) (x0 ) = f (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g (x0 ); f f (x0 ) · g(x0 ) - f (x0 ) · g (x0 ) . (x0 ) = g g2 (x0 )
ÐÐ Ø × Þ

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ

Þ

Ý ÒÐ × Ú Ø µ Þ

f (x) - f (x0 ) g(x) - g(x0 ) (f + g)(x) - (f + g)(x0 ) = + x - x0 x - x0 x - x0
и

f (x0 )

×

g (x0 ) Ð

Ø Þ ×

Ñ

Øظ

Þ

Þ

º

x x0

Ø Ö ØÑ Ò ØØ Ð

f (x) - f (x0 ) g(x) - g(x0 ) (f · g)(x) - (f · g)(x0 ) = · g(x) + f (x0 ) · x - x0 x - x0 x - x0
Ý ÒÐ × Ð ¸

f (x0 )

×

g (x0 )
Ó Ý Þ Ð

Ð Ø Þ ×

Ø Ö ØÑ Ò ØØ Ð Òºµ

Þ

ÐÐ Ø ×غ

´
µ

×ÞÒ Ð Ù ÞÓÒÝ Ø ×

ÞØ ×¸ ×ÓÒÐ

g

ÓÐÝØÓÒÓ× Þº

x0 ¹

Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ º
½º À
Ð Ø ¸ ×

f : a, b R

Ö Ò

Ð

Ø

x0 ¹

Ò¸

c R¸
ÓÖ

ÓÖ

c·f
׸

×

Ö Ò¹

¾º À

f, g : a, b R

(cf ) (x0 ) = c · f (x0 ). Ö Ò
Ð Ø x0 ¹ Ò¸

(f - g) (x0 ) = f (x0 ) - g (x0 ).

f -g

×

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

¿º À

f : a, b R

ÓÐÝ Ò¸

Ó Ý

f (x0 ) = 0¸


×


º À Þ

1 f

(x0 ) = -

0) . 2 (x ) f 0
Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø Ö Ò
Ð Ø

f (x

f (x0 )¸

ÓÖ

x0 a, b x0 ¹
Ò¸

fi : a, b R (i = 1, . . . , n)
¹ Ò¸ ×

i R (i = 1, . . . , n)¸
n i=1

n
ÓÖ

i=1 n

i · f i

×

i · f i
n k=0



(x0 ) =
i=1

i · fi (x0 ).
Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø ¸ ×

º

Þ

f : R R, f (x) =

ak · xk (ak R)
n

f (x) =
k=1
º Ä

k · ak · xk-1 .
Ú ÒÝ Ð Ø × Òº

Qm (x) Pn (x) f : R R, f (x) = Qm (x)
Ý Ò × Þ

Pn (x)

ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ò

Qm (x0 ) = 0º

ÓÖ

x0 ¹

ÈÐ º
Ú ÒÝ Ö Ò
×ÓÒÐ × Ø Ò¸

f (x) = x R
Ð Ø Ñ ØØ Ý × Ø Ò Ú ÒÝ Ò Ú Þ ØØ

5x2 + 2x + 3 x4 + x 2 + 1
Ö Ò
Ð ÓÑ Ö Ò
Ò Ø º Ò
Ð Ø Ö × × Ú Ð

(x R)
×Þ ÑÐ Ð × ¼¹Ø Ð Ð Ø ¸ × Ñ ÒØ Ö Ò
Ð Ð Ò Þ Þ

x2 , x, 1 xR

Ð Ò

Ø ¸ ØÓÚ

Ó Ó

Þ ½º Ø Ø Ð Ñ

f

Ö Ò

f (x) =

(10x +

2)(x4

+ x2

+ 1) - + 2x + 4 + x2 + 1)2 (x

(5x2

3)(4x3

+ 2x)

(x R).

¾º Ø Ø Ð ´ Þ ××Þ Ø ØØ

Ú ÒÝ ¸ Ó Ý g Ä Ý Ò g : c, d R, f : a, b = g( c, d ) R ÓÐÝ Ò Ö Ò
Ð Ø Þ x0 c, d ¹ Ò¸ f Ö Ò
Ð Ø Þ y0 = g(x0 ) a, b ¹ Ú ÒÝ × Ö Ò
Ð Ø x0 ¹ Ò¸ × Òº ÓÖ Þ F = f g
µ Þ

Ú ÒÝ

Ö Ò
Ð Ø ×

µº

´

ÈÐ º

F (x) = (3x4 + 5x2 + 8)100 (x R) Ú ÒÝ x R × Ø Ò 4 2 ÓÐ g(x) = 3x + 5x + 8 (x R) × Ö Ò
Ð Ø ¸ Ñ ÖØ F = f g ¸ 100 (y R) f (y) = y Ö Ò
Ð Ø Ú ÒÝ ¸ Þ Þ Ø Ð × ÐÒ ¾º Ø Ø Ð (x) = 100(3x4 + 5x2 + 8)99 (12x3 + 10x) (x R)º F ÐØ Ø Ð º ÌÓÚ

F (x0 ) = (f g) (x0 ) = f (g(x0 )) · g (x0 ).

º À ÌÎýÆ ËÇÊÇÃ

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Ëý

¿º Ø Ø Ð ´ Þ ÒÚ ÖÞ

Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø × µº À f : a, b R ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ¸ ÓÐÝØÓÒÓ× a, b ¹Ò × x0 a, b ¹ Ò Ð Ø Þ f (x0 ) × f (x0 ) = 0¸ ÓÖ f -1 Ö Ò
Ð Ø f (x0 )¹ Ò ×
µ

´Á

(f -1 ) (f (x0 )) = 1 f (f -1 (y
0 ))

1 f (x
0)

,

ÐÐ ØÚ
(f -1 ) (y0 ) =

(y0 = f (x0 )).

º À ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ
Ì Ø Ðº Ä Ý Ò
´½µ

Ö Ò
Ð Ø ×
ÓÖ Þ

n=0

an · xn
n=0

ØÚ ÒÝ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò
×Ù Ö ¸
an · xn , x (-, )

. f (x) =

×Þ Ö ÒØ
´¾µ

Ò ÐØ f : (-, ) R
f (x) =
n=1

Ú ÒÝ

Ö Ò
Ð Ø
x (-, )

×

n · an · xn-1 ,

Ø Ð × Ðº ØÚ ÒÝ×ÓÖ ××Þ Ö Ò
Ð Ø ¸ × Ø º
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ú ÒÝ Ö Ú ÐØ

ÓÒÚ Ö Ò
Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ð× Ò ¹ ØÚ ÒÝ×ÓÖ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ú Ð × Ú Ð ×Þ Ñ Ø¹

µ

n=1

n · an · xn-1
Ò

ØÚ ÒÝ×ÓÖ Ò

ÓÒÚ Ö

Ò

×Ù

Ö

×

º

Í Ý Ò ×

×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

Ø ÖØÓÑ ÒÝ

n=1
Ø Ð × Ð¸ Ý

n · an · xn-1 =

1 x

n=1

n · an · xn
Ò
×Ù Ö Ø ÐÐ Ñ ¹

n=1

n · an · xn

ØÚ ÒÝ×ÓÖ

ÓÒÚ Ö

Ø ÖÓÞÒ ¸ Ñ ÐÝÖ

=

lim

n

1 1 = |n · an | lim n n ·

n

|an |

=

1 lim
n

|an |

=.

½¼¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

µ ´½µ

Ö Ò

Ð

Ø

× ´¾µ Ø Ð

× Ðº

Þ

Ð

Ñ

ÑÙØ ØÒ ¸

Ó Ý

xx0

lim

f (x) - f (x0 ) - f (x0 ) = 0 x - x0
Þ ´½µ × ´¾µ × ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ Ó Ý

x0 (-, ) .
×ÞÓÐ Ø Ñ Ö ÓÒÚ Ö Ò
Ø Ý

Ð

×ÞÒ ÐÚ

x, x0 (-, )
× Ø Ò

× Ø Ò

r > 0¸

|x0 | < r < ¸

|x| < r



f (x) - f (x0 ) - f (x0 ) = x - x0 an · xn -
n=0

=

n=0

an · xn 0

x - x0 =
n=1

-

n=1

n-1 n · an · x0 =

an ·

xn - xn n-1 0 - nx0 x - x0

=

=



n=1 n=1

n-2 n-1 n-1 an · xn-1 + xn-2 x0 + xn-3 x2 + · · · + xx0 + x0 - nx0 0

n-1 n-2 n-1 |an | · |xn-1 - x0 + x0 · (xn-2 - x0 ) + · · · + x0 · (1 - 1)| =

=
n=1

n=1

n-1

|an | · |x - x0 |
n-1

k=1

k · xn-k-1 · xk-1 0
n=1



|an | · |x - x0 | · r n-2

k=1

k = |x - x0 | · |x - x0 | , 2
´ Ý

|an | ·

n(n - 1) n-2 ·r = 2

=s·
ÓÐ ×ÓÖ

s
××Þ Ð

n=1
º

|an | · n(n - 1) · r n-2
Ñ ØØ

Ö Ø Ö ÙÑ

Ð Ô

Ò

ÓÒÚ Ö

Ò×µ

xx0

lim

s · |x - x0 | = 0 2

Þ

ÐÐ Ø ×º

º

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Ëý

½¼½

ÈÐ º
Ò

Ð Ø Ò

xn n=0 n!

ÐØ Ð ×

ØÚ ÒÝ×ÓÖ Ò ÐØ

ÓÒÚ Ö

Ò

×Ù

Ö

= +¸
Ð ×µ

Ý

ÎÁÁº¿º½º Ú ÒÝ

¹

. exp(x) =


xn n=0 n!


´ ÜÔÓÒ Ò

Ö Ò¹

exp (x) =
Ø Ð × Ðº

n=1

n

xn-1 xn xn-1 = = = exp(x) n! (n - 1)! n=0 n! n=1



(x R)

º ÐÑ
exp = exp ,
ÞÓÒÝ Ø ×º

Ú ÒÝ
Ú ÒÝ
sin = cos ,


Ö Ò
Ð Ø ×
Ö Ò
Ð Ø
sh = ch ,
Ø Ø Ð Ý×Þ Öò¸

½º Ø Ø Ðº Þ exp, sin, cos, sh, ch

ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ Ö Ú ÐØ ÑÙØ Ø µº Ú ÒÝ

×
ch = sh .
Ö Ò
Ó Ý Ð ÞØ ¹ Þ

cos = - sin ,
Ö Ò
Ø Ð Ø × × ´



Ø × Ð

ÓØ

×

×Þ ÑÓÐ ×

Ô Ð

¾º Ø Ø Ðº Þ expa ,
µ µ
µ µ

loga , ln, xµ Ú ÒÝ (x) = exp (x) · ln a (x R) ; expa a 1 log (x) = x·ln a (x R+ ) ; a 1 ln (x) = x (x R+ ) ; (xµ ) = µ · xµ-1 (x R+ ) .
Ò
¸

Ö Ò
Ð Ø

×

ÞÓÒÝ Ø ×º

µ

Þ

Ú Ð Ñ ÒØ Þ

. expa (x) = exp(x · ln a)
Þ ××Þ Ø ØØ ÐÐ Ø ×غ Ò
Þ ÒÚ ÖÞ ¸

exp (y) = exp(y)
Ð Ø × Ö

×

Ú ÒÝ

Ö Ò

ÚÓÒ Ø ÓÞ

(x · ln a) = ln a¸
Ø Ø Ð ¹ Ø × ¸ ×Þ Ð Ô Ò ÓÖ

µ

. loga = exp-1 a
ÑÓÒÓØÓÒ Ø × ¸

Þ

expa
Ú ÒÝ

Ú ÒÝ Ö Ò
Ð

Ö Ò
Ø ×

Ð

Ø Ø Ð

µ µ

1 1 = . expa [loga (x)] · ln a x · ln a 1 a = e = loge a = ln e = 1 = ln (x) = º x µ . Þ x = exp(µ · ln x) Ò
× Þ ××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ Ö Ò
log (x) = a exp [loga (x)] a =
× Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ð Ô Ò

1

Ð

Ø ¹

(xµ ) = [exp(µ · ln x)] = exp(µ · ln x) ·

µ 1 = xµ · · µ = µ · xµ-1 . x x

½¼¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

Å
× ËÔ

ÝÞ ×º
¾º Ø Ø Ð Ð × Ò ÓÖ Þ

Í Ý Ò Ò¸ Ñ ÖØ

´Ù Ý Ò ×

n x- n0 1 lim = lim n-1 = + n x0 x0 ( x) x-0 n g ÓÐÝØÓÒÓ×× Ñ ØØ lim x = 0¸ Ý lim ( n x)n-1 = 0µº
x0 x0

. 1 . 1 n N, n > 1 f (x) = n x = x n = exp( n ln x) (x > 0) 1 1 1 -1 1 1-n 1 xn = x n = ¸ Ó Ý f (x) = (x > 0)º n n n n xn-1 1 f (x) = x (x > 0) Ú ÒÝÖ f (x) = (x > 0)º 2 x g(x) = n x (x 0) Ú ÒÝ Ò Ñ Ö Ò
Ð Ø Þ x0 = 0¹
Ä Ý Ò

º
½º Ø Ø Ðº

sin

× cos

Ú ÒÝ ØÓÚ

ØÙÐ
(x R) ; (x R) .

ÓÒ×

sin2 (x) + cos2 (x) = 1 | sin(x)| 1,
ÞÓÒÝ Ø ×º

| cos(x)| 1

Ý

ÓÖÐ ØÓÒº

¾º Ø Ø Ðº
cos(x) - cos(y) = -2 · sin sin(x) - sin(y) = 2 · cos
ÞÓÒÝ Ø ×º

x+y x-y · sin 2 2 x-y x+y · sin 2 2
× Ø Ø Ð Ð Ô Òº

( x, y R) ; ( x, y R) .

Ý×Þ Öò

Þ

¿º Ø Ø Ðº
cos = 0º 2

[0, 2] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ
 РÐ

Ò

Ý ØÐ Ò x ×Þ Ñ Ú Ò¸ Ñ ÐÝÖ cos(x) = 0º
ÞØ Ú Ð × ×Þ ÑÓظ Ñ ÐÝÖ

Ò
º

¹Ú

Ð ´Ô ¹Ú е

0<

<2 2

×

º Ø Ø Ðº
sin

= 1 , cos = -1 , 2 sin(x + 2) = sin(x) ,
Ý ÓÖÐ ØÓÒ ´Ôк

sin = 0 ,

sin 2 = 0 ,

cos 2 = 1 ; (x R).

cos(x + 2) = cos(x)

ÞÓÒÝ Ø ×º

sin2

+ cos2 = 1 = sin = 1µº 2 2 2

º ÌÇÎý

Á

Ä ÅÁ

Î Æ

Ã

½¼¿

º Ø Ø Ðº
cos

- , Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº 2 2 Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò [ 0, ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº sin
Ý ÓÖÐ ØÓÒº



ÞÓÒÝ Ø ×º

º ÌÓÚ
µ

ÐÑ

Ú ÒÝ
. sin(x) tg(x) = ; cos(x) . cos(x) ctg(x) = sin(x)
Ò× Ú ÒÝ Ð Ù º Ò Ò ¹ Ý ÓÖÐ ØÓÒ Ú Þ×

tg

×

ctg

Ú ÒÝ

º

1 tg : R\{(k + ), k Z} R , 2 ctg : R\{k · , k Z} R ,
×Þ Ö ÒØ Ú ÞÞ º Ä Ò ÐØ ÓÒØÓ× Ú ÒÝ ØÙÐ Ø Ø Ò ÓÒ× Ø

Ò׸ Ðк
ÓØ Ò

y

y

1 0 -1 x 1 0 1 x

y y

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

2 - 2 - 2 0 2 x 0 x

½¼

ÎÁÁÁº
º½º

Á
Ö º

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

Þ

Ö
Ù×

Ú ÒÝ

µ

Þ Þ Ú

Ö
Ù×

Ú ÒÝ

Ò

º ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ¹ Ò Ú ÞÞ º

f: - , R, f (x) = sin(x) ÓÐÝØÓÒÓ× × 2 2 Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ Ø arcsin ´ Ö Ù×Þ¹×Þ ÒÙ×Þµ
ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ×

Ú ÒÝÒ

arcsin : [-1, 1] - , º 2 2 g : [0, ] R, g(x) = cos(x) Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ Þ arccos ´ Ö
×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò

Þ ÓÐÝØÓÒÓ׸ ×Þ

ÓÐÝØÓÒÓ×

× ×Þ

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ú Òݸ Ñ ÐÝ

Ò

Ù×Þ¹ Ó×Þ ÒÙ×Þµ

ÓÐÝØÓÒÓ׸

×

arccos : [-1, 1] [0, ]º Þ F : - , R, F (x) = tg(x) ÓÐÝØÓÒÓ× × ×Þ 2 2 Ú Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ Ø arctg ´ Ö Ù×Þ¹Ø Ò Ò×µ arctg : R - , º 2 2 G : (0, ) R, G(x) = ctg(x) ÓÐÝØÓÒÓ× Ò Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ Ø arcctg ´ Ö Ù×Þ¹
ÓØ Ò
Þ ÓÐÝØÓÒÓ׸ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò Þ ÓÐÝØÓÒÓ׸ ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ×

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ¹ Ò Ú ÞÞ º

Ú ÒÝÒ

× ×Þ Ò×µ ×

ÓÖ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ú ÒÝÒ Ò Ú ÞÞ

¹ º

arcctg : R (0, )º

½º Ø Ø Ðº
Ø ×

tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg

Ú ÒÝ

Ö Ò
й

1 , cos2 (x) 1 arcsin (x) = (x = ±1), 1 - x2 1 , arctg (x) = 1 + x2 tg (x) =
ÞÓÒÝ Ø ×º

1 , sin (x) 1 arccos (x) = - (x = ±1), 1 - x2 1 arcctg (x) = - . 1 + x2 ctg (x) = -
2

. sin(x) 1 tg(x) = (x R \ {(k + 2 ) | k Z})¸ cos(x) Ö Ò
Ð Ø ¸ cos(x) = 0¸ x Dtg ¸ Ý

sin
ÓÖ

×

cos

Ú ÒÝ Ø

Ò Ø ÒÙÐØ Ø Ø Ð

º Å

Ë

Ê Æ

æ

ÊÁÎýÄÌ Ã

½¼

Ð

×ÞÒ ÐÚ

tg (x) =

sin (x) cos(x) - cos(x) sin (x) = cos2 (x) 1 cos2 (x) + sin2 (x) = . = 2 (x) cos cos2 (x)
×

ctg(x)
Þ

Ö Ò

Ð

Ø ×

ctg (x)
Þ Ò

Ñ

Ø ÖÓÞ ×

Ù Ý Ò

Ý Ñ

ݺ

arcsin : [-1, 1] R
Ú ÒÝ ÒÚ ÖÞ ¸ Ñ ÐÝ ×Þ

Ú ÒÝ ÓÖ

f : - , 2 2
ÑÓÒÓØÓÒ × × Ø Ò¸ ØÓÚ Ö Ò
Ð

f (x) = cos(x) x x - , ¸ Ý Þ ÒÚ ÖÞ 2 2
Ø Ø Ð ×Þ Ö ÒØ

- , 2 2
Ú ÒÝ

R, f (x) = sin(x) ÓÐÝØÓÒÓ× - , ¹Ò 2 2 f (x) = 0¸
Ø × Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ

arcsin (x) = = x ] - 1, 1[
Ý Þ Ñ
µ ´ ØØ Ð

1 = cos(arcsin(x)) 1
2
ÞØ ×¸

1 , = 1 - x2 1 - sin (arcsin(x))
Ó Ý

×ÞÒ ÐØÙ

cos(t) > 0¸
Ö Ò
Ð

Ð Ø Ú

Ø ¸ Ó Ý Þ arcsin x = 1º arccos, arctg, arcctg Ø ÖÓÞ × Ø Ù×Þ Þ Ð Þ

Ú ÒÝ Ò Ñ

Ø

t - , µº 2 2 ¸ x = -1¸
× Ö Ú ÐØ Ù

Ú ÒÝ ×ÓÒÐ

Ö Ò
Ò Ø ÖØ Ò Ø Ò Ø Ò×¹ ØÙÐ Þ º

Ð

Ø ×

ÖØ ÐÑ Þ Ô Ö ÓÐ

. ch . sh , cth = th = ch sh
Ú ÒÝ ¸ × Ú Þ× ÒÚ ÖÞ Ð × ÒØ Ø Ù Þ Ý

Ô Ö ÓÐ ÓÒ×

Ù×Þ º

×
ÓØ Ò

Ò×¹

Ð

µ

sh, ch, th, cth
Ú ÒÝ Ø

ÖØ ÐÑ ÞÞ ØÙÐ Ö ÓÒ×

arsh, arch, arth, arcth
غ Ö Ò
Ð × ×Þ

Ö

¹

× Ú Þ×

Å

ÝÞ ×º

th, cth
Ø

Ú ÒÝ ÓÖÐ ØÓÒµº

ÐÝ

×

Ý×Þ Öò Ò

ÞÓÒÝ Ø

´Ð ×

ºÅ
Þ

×
Ö Ú ÐØ Øº

ÖÒ ò
Ö Ú ÐØ Þ Ö Ú ÐØ Øº

Ö Ú ÐØ
Ö Ú Ð Ø Ù ¸ Ö Ú ÐÚ ÙÖÞ ÓÖ Ñ Ô Ù ¹ Þ ÞØ Ô Ö Ú ÐØ ´Ö Ú Ð Ø ÖØ Ò µ

f

Ú ÒÝ

= Ô Ù Þ f = f (3) f ÖÑ
ÔÓÒØÓ× Ò

f (2)
Þ

f = f (1)
Ñ ×Ó Ð º

Ú ÒÝ Ø ×

n¹

½¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

. f (0) = f º
À
Ð

Ý Ò f : a, b R ÓØØ Ú Òݺ f 0¹ n N × f (n-1) : a, b R ÖØ ÐÑ Þ ØØ (n) = f (n-1) Ú Òݸ ÓÖ f n¹ Ö Ú ÐØ Þ f n N¹Ö f (n) ¸ ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù ¸ Ó Ý f Ö Ä À Ø º

Ò
º

Ö Ú ÐØ × Ö Ò
Ú Òݺ ÒÝ×ÞÓÖ Ö Ò¹ Ð Ø

ÈÐ º
½º

¾º

f (x) = x2 +3x+2 (x R) = f (x) = 2x+3 (x R) = f (x) = 2 (x R) = f (x) = 0 (x R) = f (n) (x) = 0 (x R) n N, n 4¹Ö = f Ö ÒÝ×ÞÓÖ Ö Ò
Ð Ø º Ì Ð × Ò Ù
Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ø ¸ Ó Ý k, n N × Ø Ò (xn )(k) = n(n - 1) . . . (n - k + 1)xk-n (x R) (x )
n (n)

k < n;

(xn )(k) = 0 (x R)
¿º

= n! (x R);

k > n.
Þ Þ

n N

× Ø Ò Ð ×

ÜÔÓÒ Ò

exp(n) = exp (
Ú ÒÝ Ö

ÒÝ×ÞÓÖ

(ex )(n) = ex , x R)¸
Ö Ò
Ð Ø º

Ø

Ø

Þ

½º Ø Ø Ðº À
× n¹×Þ Ö

Ö Ò
Ð Ø

f, g : a, b R n¹×Þ Ö × x a, b

Ö Ò
Ð Ø ¸ ×ØÒ

ÓÖ c · f, f + g, f · g

(f + g)(n) (x) = f (n) (x) + g(n) (x) ;
n

(c · f )(n) (x) = c · f (n) (x) ;

(f · g)(n) (x) =
ÞÓÒÝ Ø ×º Ì Ð

i=0

n (i) f (x) · g(n-i) (x) i
Ú Ð Ý×Þ Öòº

´Ä

Ò Þ¹×Þ

Ðݵº

× Ò Ù

ÈÐ º
× Ä

h(x) = (x2 + 2x)ex (x R) Ú ÒÝ g(x) = ex Ö ÒÝ×ÞÓÖ Ö Ò
Ð Ø Ò Þ¹×Þ ÐÝ Ñ ØØ n = 100 × Ø Ò x R¹Ö
100

Þ

f (x) = x2 + 2x (x R)
Ú ÒÝ ×ÞÓÖÞ Ø ¸ Ý

h(100) (x) =
i=0

n (x2 + 2x)(i) (ex )(n-i) = i

=

100 100 100 (x2 + 2x)ex + (2x + 2)ex + 2ex . 0 1 2

½¼º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Î Æ

à ÎÁ Ë

ýÄ Ì

½¼

. ¾º Ø Ø Ðº Þ f (x) =

k=0

Ö ÒÝ×ÞÓÖ
f (n) (x) =
k=n

Ö Ò
Ð Ø

ak · xk (x ] - , [ )

ØÚ ÒÝ×ÓÖ ××Þ

Ú ÒÝ

×

k · (k - 1) · · · · · (k - n + 1) · ak · xk-n (n = 0, 1, . . . )º
Ö Ò
Ð Ø × Ø Ø Ð Ð Ô

(x (-, )),

ØÓÚ


an =

f (n) (0) n! x=0

ÞÓÒÝ Ø ×º

ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ

Ò¸ Ø Ð

× Ò Ù ¹

Ú Ð¸ ÐÐ ØÚ

ÐÝ ØØ × Ø ×× Ð

Ý×Þ Öòº

½¼º
µ

Ö Ò
Ð Ø
ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ
x2 , f (x) = 1 , x ÐÝ -1, 0, 1º
Ò ÝÖ ×ÞØ º

Ú ÒÝ
×Þ × ×

Ú Þ× Ð Ø
ÐØ Ø Ð

ÈÐ º

Þ

x [-1, 1], x ] 1, 2 [ .
Þ Ö Ò
Þ Ð Ð ¼¹ Ò Ú Þ×Þ ÒØ × Þ Ö Ø Ø ¸ Ñ ×Ö ×ÞØ ÖØ ÐÑ Þ ×

Ú ÒÝ ×Þ Ð× Ú Ò º ÞØ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò ÈË Ö

ÖØ Ð×

ÔÓÒظ

Ñ ÐÝ

ÔÓÒØ

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

y

-1

0
½¼º½º

1
Ö º

2

x

½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f : a, b Rº À f ¹Ò Þ x0 ] a, b [ ¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ¹ ÓÖ f (x0 ) = 0º ÑÙÑ ´Ñ Ò ÑÙÑ µ Ú Ò × f (x0 )¸
ÞÓÒÝ Ø ×º À

K(x0 , ) ] a, b [ ¸

f ¹Ò x0 ¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò¸ f (x) - f (x0 ) 0 (x K(x0 , ))¸ x0 - < x < x0 , f (x) - f (x0 ) 0 , = 0, x - x0 x0 < x < x0 + .
Ô Ð ÙÐ Ó Ý

ÓÖ Ý

½¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

Þ ÖØ

f (x) - f (x0 ) 0 lim xx0 -0 x - x0 f (x0 ) = = f (x0 ) = 0. f (x) - f (x0 ) f (x ) = lim + 0 0 xx0 +0 x - x0 f (x ) = - 0

Å

Ñ Ò ÑÙÑ

f (x) = x3 (x R) Ú ÒÝ Þ x0 = 0¹ Ò ÑÙØ Ø º 3 > 0¸ 3 < 0¸ x x>0 ×x x < 0¸ Ý K(0, )¸ x3 0 Ú Ý x3 0 Ø Ð × ÐÒ ¸ Ý x0 = 0¹ Ò Ò Ò
×
× Ñº Þ

ÝÞ ×º

ÐØ Ø Ð

ÐØ Ð

Ò Ò Ñ

Ð

×

׸

Ó Ý

ÞØ Ô Ð ÓÖ

ÙÐ

Þ

Ó Ý ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

f (0) = 0¸ x K(0, )¹Ö

×

ÈÐ º
Ñ Ò ÑÙÑ

f (x) = x2 (x R) Ú 2 0 x Rµ Ú Ò ´ ×Þ Ò x

ÒÝÒ ×

Þ



f (x

x0 = 0 ÔÓÒØ 0 ) = f (0) = 0º

Ò ÐÓ

Ð ×

µ Ã Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð

¾º Ø Ø Ð ´
´ õ

Ö Ò
Ð Ø

Ù
ݵº À Þ f, g : [a, b] R
] a, b [ ¹Ò¸

Ú ÒÝ ÓÖ x ] a, b [¸ Ó Ý

ÓÐÝØÓÒÓ×

[a, b]¹Ò¸

[f (b) - f (a)] · g (x) = [g(b) - g(a)] · f (x) .
Ú ÒÝ

ÞÓÒÝ Ø ×º

. h : [a, b] R, h(t) = [f (b) - f (a)] · g(t) - [g(b) - g(a)] · f (t) ÓÐÝØÓÒÓ× [a, b]¹Ò¸ Ö Ò
Ð Ø ] a, b [ ¹Ò¸ h(a) = h(b)º h ÓÐÝØÓÒÓ×× × [a, b] ÓÑÔ Ø× Ñ ØØ h ÐÚ ×Þ [a, b]¹Ò ×Þ Ø¸ Ý u, v [a, b]¸ Ó Ý h(v) h(x) h(u) (x [a, b])º {u, v} = {a, b} × Ø Ò h(a) = h(b) × Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò× (x) = 0 (x [a, b])º h ÓÒ×Ø Ò׸ × Ý h Þ Ô h Ö Ò
Þ ÐÐ Ø ×غ À

Ð×

ÖØ ¹

¸

Ó Ý

Ð × Ú Ð

0¸
Þ Ð

{u, v} = {a, b}¸ ÓÖ u Ñ x = u Ú Ý x = v Ñ
Ò

Ú

Ý

ÐÐ ØØ

v (a, b)¸ h Ö Ò
ÒÝ Ú Ø

Þ ÖØ

h (u) = 0

Ú Þ

Ý

h (v) =

Ð × Ú Ð

ÐÐ Ø ×غ

Ù
Ý¹Ø Ø Ð Ò

ÞÑ ÒÝ Ø Ø Ö Ý Ð Ù º

¿º Ø Ø Ð ´Ä Ö Ò µº Ä Ý Ò f
Ø ] a, b [ ¹Ò¸
´Ä õ
ÞÓÒÝ Ø ×º Ã Ú Ø

ÓÖ x ] a, b [¸ Ó Ý
Þ ´ ¹Ãµ¹ Ð

: [a, b] R ÓÐÝØÓÒÓ× [a, b]¹Ò¸

Ö Ò
й

f (b) - f (a) = f (x)(b - a) . g(x) = x
Ú Ð ×ÞØ ×× Ðº

½¼º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Î Æ

à ÎÁ Ë

ýÄ Ì

½¼

Ä Ø

Ö Ò

¹Ø Ø Ð

ÓÑ ØÖ Þ

Ð ÒØ ×

Þ

(a, f (a)), (b, f (b))

ÔÓÒØÓ

Ø

××Þ ¹

×Þ Ð Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ× Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

x¹

Ð

Ö ÒØ º

ÈË Ö

y
×Þ Ð Ö ÒØ

f (b)

f (a) 0 a
½¼º¾º

x0
Ö º

b

x

ÈÐ º
× Øº

ÞÓÒÝ Ø×Ù Ú ÒÝ

| sin(x) - sin(y)| |x - y| (x, y R) [x, y]¹ÓÒ
Ø Ð × Ø Ä Ö Ò ¹Ø Ø Ð

Ý ÒÐ ØÐ Ò¹ ÐØ Ø Ð Ø¸ Ý

sin : R R t ]x, y[¸ Ó Ý

sin(y) - sin(x) = sin (t)(y - x) = cos(t)(y - x) ,
Ñ Ð

| cos(t)| 1

Ñ

ØØ

Ô Ù

| sin(x) - sin(y)| = | cos(t)| |x - y| |x - y| ,
ÐÐ ØÚ ÞÓÒÝ Ø Ò Ý ÒÐ ØÐ Ò× Øº

] a, b [ ¹Ò¸ f (a) = f (b)¸
ÞÓÒÝ Ø ×º Ã Ú Ø

º Ø Ø Ð ´ÊÓÐÐ µº Ä Ý Ò
Þ

f : [a, b] R ÓÐÝØÓÒÓ× [a, b]¹Ò¸ ÓÖ x ] a, b [¸ Ó Ý f (x) = 0º
Ð

Ö Ò
Ð Ø

´Ä¹Ãµ¹

f (a) = f (b)
Ú ÒÝ ¸

Ñ

Øغ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ø Ð Ö Ò
Ð Ø ¸ Þ Ø × Ø

ÈÐ º
ÓÖ

Þ

ÊÓÐÐ ¹Ø Ø Ð

f (x) = 9x3 - 4x
ÐØ Ø Ð

ظ Ñ ÖØ ´Ñ ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑ Ý

2 -3, 2 3
Ó Ý

Ú Òݵ

f -2 = f 3
Þ¸ ÖØ ÒÒ

2 3

= 0¸ x =

Ú Ò

2 ± 33 2 -3, 2 3

x -2, 2 3 3 =

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ

± 2 9 3 º Ã ÒÒÝ Ò
Òº

f (x) = 27x2 - 4 = 0º
ÐÐ Ò Ö Þ Ø ¸ Ó Ý Ñ Ò

½½¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

y

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

2 - 3

2 3 0 - 9

2 3 9 2 3 x

½¼º¿º

Ö º

Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ
Ð Ò Þ Þ × Ø Ò ´

À

g (x) = 0 (x ] a, b [ )¸ ÓÖ g(b) = g(a) ÓÖ ´ ¹Ãµ Ñ ØØ x ] a, b [, g (x) = 0µº f (b) - f (a) f (x) = (x) g g(b) - g(a)

´

×Þ Ò Ö

й Ø

¹Ãµ

Ð

Òº

Ð Ø ¸
µ µ
µ

º Ø Ø Ð ´ ÑÓÒÓØÓÒ Ø × Ð
ÓÖ

Ò

ÐØ Ø Ð µº À

f : a, b R

Ö Ò¹

f 0 = f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ; 0 = f ÑÓÒÓØÓÒ
× f Ò ; f = 0 = f = c¸ Þ Þ ÓÒ×Ø Ò×.
Ä Ö Ò ÐØ Ø Ð ¹Ø Ø Ð × Ø Ø×Þ Ð Ø¸ Ý ×º Ø× Þ Ú Ðº Ð Ð ×Þò Ø × Ø Ð × Ø

ÞÓÒÝ Ø ×º

Ä Ä

Ý Ò Ö Ò

x1 , x2 a, b
¹Ø Ø Ð

Ý

ÖÑ ÐÝ

µ f µ f
µ

x1 , x2 ¹Ö 0 = f (x2 ) f (x1 ) = f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú 0 = f (x2 ) f (x1 ) = f ÑÓÒÓØÓÒ
× f = 0 = f (x2 ) = f (x1 ) = f = c¸ Þ Þ ÓÒ×Ø
ÒØ

f (x2 ) - f (x1 ) = (x2 - x1 ) · f (x) ,

f [x1 , x2 ]¹Ö Ú x ] x1 , x2 [ ¸ Ó Ý

Ò

; ; Ò×.

½¼º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Î Æ

à ÎÁ Ë

ýÄ Ì

½½½

f : a, b R Ö Ò
Ð Ø Ú Òݸ ÓÖ Ò µ a, b ¹Ò f 0 (f 0) µ f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× µ f ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ´
× Ò µ a, b ¹Ò x c, d º f 0 (f 0) × c, d a, b ¸ Ó Ý f (x) = 0¸
ÞÓÒÝ Ø ×º

º Ø Ø Ð ´ ÑÓÒÓØÓÒ Ø × ×Þ ×

× × Ð

Ò

ÐØ Ø Ð µº Ä Ý Ò

µ

Þ Ò Ú

Ð Ú

× ×

××

Ò

º Ø Ø Ð Ø ×Þ Ð ×¸

к

×Þ ÓÐÝ Ò¸

× Ó Ý

××

Þ Ð

Ý Ò Ô Ð ¸ ÓÖ

ÙÐ

f

x a, b

h

µ

Ð ×

××

À ÓÖ

Ó Ý Ò Ñ ×Þ

f (x) = f (y)¸ a, b ¸ Ñ ÐÐ

ÒØÑÓÒ

f (x + h) - f (x) 0 = f 0 . h Ô Ð ÙÐ f 0¸ ÓÖ µ Ñ ØØ f Ò Ú Ú º Ì Ý Ð¸ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ ÓÖ x, y a, b , x < y ¸ Ó Ý ÓÖ ´f ÑÓÒÓØÓÒ Ø × Ñ Øص f (t) = c¸ t [x, y]
׺ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ó Ý Ñ ×Þ ÓÖ Ú ¸ ÓÖ µ Ñ ¹ ÓÖ Ñ

x + h a, b

ËÞ ×
ØØ

À Ô Ð ÙÐ f ×Þ ÓÖ ×× f 0º À c, d a, b ¸ f (x) = const (x c, d )¸ Ý f Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ ×º

f (x) = 0 (x c, d )¸
Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú

Ú ¸

f (x) = 2 + x - x2 (x R) Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø ¸ f (x) = (x) = 0 x = 1 º ÌÓÚ (x) = 1 - 2x > 1 - 2x (x R)¸ Ý f f 2 1 0 x < 2 ¸ Þ ÖØ f ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú -, 1 ¹ Òº Å ×Ö ×ÞØ 2 f (x) = 1 - 2x < 0 x > 1 º Ý f ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò 2 1 , + ¹ Òº 2

ÈÐ º

Ä Ý Ò f : ] x0 - r, x0 + r [ R
µ f (x)
µ

º Ø Ø Ð ´ ×Þ Ð× ÖØ

Ý Ð ×

0 (x ] x0 - r, x0 [), 0 (x ] x0 , x0 + r [)¸ f ¹Ò x0 ¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ò f (x) 0 (x ] x0 - r, x0 [), f (x) 0 (x ] x0 , x0 + r [), f ¹Ò x0 ¹ Ò ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ú Òº f (x)
Þ Ò ×ÓÒÐ Þ Ð Ô Ù ¸ º Ì Ø Ð Ñ Þ Ò ØØ

Ö Ò
Ð Ø

× ÐØ Ø Ð µº

Ú Òݺ À

ÓÖ ÓÖ

ÞÓÒÝ Ø ×º

f

Ò Ú

Þ

×ÞÓÒØ
× Ñ Ò ÑÙÑ

] x0 , x - r [
ÞÓÒÝ Ø Ô Ð

ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ Ø º

] x0 - r, x [ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ¸ Ú ¹ Ý x0 ¹ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ú Òº

ÈÐ º
ÒÝ Ö ÞØ

f (x)
Þ

0¸ x= 1 2

ÐÝ Òº

x

Ó Ý f (x) 1 2 , + ¸

f (x) = 2 + x - x2 (x R) Ö Ò
Ð Ø Ú ¹ = 0 x = 1 × f (x) 0¸ x -, 1 ¸ 2 2 Ý Ø Ø Ð Ñ ØØ f ¹Ò ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ò

½½¾

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

µ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖÓ ¸ Ì ÝÐÓÖ¹ÔÓÐ ÒÓÑ

Ò
º
´Ì˵

Ä

Ý Ò

Þ

f :] p, q [ R f (k) (a) · (x - a)k k!
Ú ÒÝ

Ú ÒÝ

Ö

ÒÝ×ÞÓÖ

Ö Ò

Ð

Ø º

k=0

(x, a ] p, q [)
Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Ò ¸ Ñ

ØÚ ÒÝ×ÓÖØ Ð Ø ××Þ Ø¸

Þ

f

a¹

ÓÞ Ø ÖØÓÞ

n¹

Ö ×Þ¹

n
´Ìȵ

Tn (x) =
k=0
Þ

f (k) (a) · (x - a)k k!

(x, a ] p, q [)
Ò Ò Ú ÞÞ º Å
Ð ÙÖ Ò¹×ÓÖ Ò

ÔÓÐ ÒÓÑÓØ À Ò Ú ÞÞ º

f
ÓÖ

Ú ÒÝ Þ

0 ] p, q [¸

a¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ì ÝÐÓÖ¹ÔÓÐ ÒÓÑ a = 0¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖØ f

Å
½º Å Ò ¾º

ÝÞ × º
Ò ÓÒÚ Ö Ò× ØÚ ÒÝ×ÓÖ ××Þ Ú ÒÝ Ò Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ ´Ð ×

exp, sin, . . . µº
ÓÒØÓ× Ö × Å ÓÖ ÐÐ Ø Ø Ð Ý Ú ÒÝ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Ú Ð

f : K(a, r) R R, n N × f (n) ¸ x K(a, r) × Ø Ò (x) K(a, r)\{a}¸ Ó Ý
´Ìµ

Ì Ø Ð ´Ì ÝÐÓÖµº Ä Ý Ò

ÓÖ

f (x) = Tn-1 (x) +

Å
½º ¾º

n = 1¹Ö
Þ

ÝÞ × º
Ì ÝÐÓÖ¹Ø Ø Ð

f (n) ((x)) · (x - a)n n!
Ä Ö Ò ¹Ø Ø Ðº

(x K(a, r)) .

Rn (x) =
×Þ Ö ÒØ Ø ¿º À º Ò ÐØ

f (n) ((x)) · (x - a)n n!
Ú ÒÝ

(x K(a, r))
Ä Ö Ò ¹ Ð Ñ Ö ¹

Rn

Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖÑÙÐ

n

M ¸ Ó Ý x K(a, r), n N lim Rn (x) = 0¸ Þ ÖØ f (x) =
Ý Þ

× Ø Ò

|f (n) (x)| M ¸

ÓÖ

k=0

f (k) (a) · (x - a)k k!
××Þ º

(x K(a, r)),

f

Ú ÒÝ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ Ò

½¼º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Î Æ

à ÎÁ Ë

ýÄ Ì

½½¿

º

Þ

Ú ÒÝÖ Ì ÝÐÓÖ¹×ÓÖ º Ì ÝÐÓÖ¹Ø

f (n) (0) = 0 (n N)¸ Ý Þ f Ú ÒÝ 0¹ 0 Ú Òݸ Ñ ÒÝ ÐÚ Ò = f º Ò ××Þ Ø Ð Ð Ô Ò
× Ð Ø f × Tn-1 ÐØ Ö × ¸ Ô Ð ÙÐ x2n-1 x3 + · · · + (-1)n-1 · 3! (2n - 1)! =

exp - 1 x2 f (x) = 0

, x=0 , x=0
ÓÞ Ø ÖØÓÞ

sin(x) - x - =
º Þ

sin(2n) () 2n |x|2n ·x . (2n)! (2n)!
Ú ÒÝÖ

ln(1 + x) = f (x) (x (-1, ))

Ô Ð

ÙÐ

ln(1 + x) = x -
Ñ Ð

xn 1 xn+1 x2 x3 + - · · · + (-1)(n-1) + (-1)n · · , 2 3 n (1 + )n+1 n + 1
Ú Ð ×ÞØ ×× Ð × Ø Ö ØÑ Ò ØØ Ð

x=1

ln 2 = 1 -
ÓÐ Ó ÓÐ Ð

1 1 1 + - · · · + (-1)n-1 · + · · · , 2 3 n
Ò Þ¹ Ð ×ÓÖº

Þ ×Ñ ÖØ Ä

µ

×Þ Ð× ÖØ

ÐØ Ð ÒÓ×

ÐØ Ø Ð

Ì Ø Ðº À
µ µ

f : K(a, r) R (k - 1)¹×Þ Ö Ö Ò
Ð f (a) = · · · = f (k-1) (a) = 0 × f (k) (a) = 0¸ ÓÖ k Ô Ö ØÐ Ò¸ Ý f (a) Ò Ñ ×Þ k Ô ÖÓ׸ Ý f (a) ×Þ Ð× ÖØ f (k) (a) > 0 × Ø Ò f (a) ×Þ f (k) (a) < 0 × Ø Ò f (a) ×Þ

Ø (k 2)¸

Ð× ÖØ ¸ ØÓÚ ÓÖ ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙѸ ÓÖ ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙѺ
Ý

ÈÐ º
f (x)
Ý

Þ

=

3x2
Ø

ÐÝ Ò Ð

f (x) = x3 - 6x2 + 9x - 4 Ø×Þ Ö Ö Ò
Ð Ø ¸ × (x) = 6x - 12º f (x) = 0 x = 1 Ú - 12x + 9, f
Ø ÐÓ Ð × ×Þ Ð× ÖØ

x = 3¸
ÖØ

f (1) = -6 < 0 = f ¹Ò f (1) = 0 f (3) = 6 > 0 = f ¹Ò f (3) = 4º

x = 1¹ x = 3¹

Ò ÐÓ

Ð × Ñ Ü ÑÙÑ

Ú Ò¸

Ò ÐÓ

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ

Ú Ò¸

ÖØ

½½

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

y

1 0
ÈË Ö Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

2

3

4

x

½¼º º

Ö º

µ ÃÓÒÚ Ü

Ú ÒÝ
Ú ÒÝØ ×

½º
Ò Ú ÞÞ ´Ãµ

Ò
º

Þ ¹Ò¸

a, b

f : a, b R x1 , x2 a, b
Ð × Ðº

p, q [0, 1], p + q = 1
ÓÒÚ Ü ´ ÓÒ Úµ¸ ´Ãµ¹

ÓÒÚ ÜÒ

´ ÐÐ ØÚ

ÓÒ ÚÒ
× Ø Ò Ò ×Þ ÓÖ

µ

f (p · x1 + q · x2 ) p · f (x1 ) + q · f (x2 )
Ò Ú Òº À

´ ÐÐ ØÚ ´Ãµ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò×

µ Ø

f
Ð

×Þ

ÓÖ

Ò

Å
ÓÖ ´½µ Ú ´¾µ Ú Ø Þ ÞØ

ÝÞ ×º

x1 < x2 ¸

Ý Ò ´Ãµ¹

Ò

p, q [0, 1], p + q = 1, px1 + qx2 = x¸ f (x)

. x2 - x , p= x2 - x1

. x - x1 q= x2 - x1

(x ] x1 , x2 [) ,
Ý

Ý Ñ ×

ÐÖ Ò

f (x2 ) - f (x1 ) · (x - x1 ) + f (x1 ) x2 - x1
Þ × Ò

(x ] x1 , x2 [),

f (x)
Þ º Ð ÒØ ¸

f (x2 ) - f (x1 ) · (x - x2 ) + f (x2 ) x2 - x 1
Ý Ø ÓÒÚ Ü Ð

(x ] x1 , x2 [)
ÔÓÒØ ´ Þ (x1 , f (x1 )) × x1 , x2 a, b , x1 < x2

Ó Ý

f
×Þ Ð

Ú ÒÝ

Ö

Ò

(x2 , f (x2 ))
× Ø Òµº

ÔÓÒØÓ ÓÒ

Ð ØØ Ú ÒÒ

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

½¼º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Î Æ

à ÎÁ Ë

ýÄ Ì

½½

y f (x2 ) f (x) f (x1 ) 0
½¼º º

x1

x

x2

x
Ú ÒÝ

Ö º ÃÓÒÚ Ü

´½µ ´¿µ

× ´¾µ

¸

Ó Ý

f (x2 ) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x) f (x) - f (x1 ) , x - x1 x2 - x1 x2 - x Å ×Ö ×Þظ ´¿µ Ø Ð × Ð x1 , x2 , x a, b , x1 < x < x2 × Ø Ò¸ ÓØغ Ð Ý Ò t, s a, b , t < s, ]0, 1[ À x1 = t, x2 = s, x = t + (1 - )s¸ ÓÖ Ý×Þ Öò Ò ´¿µ¹ и

ÓÖ Ó Ý

Ñ

f (t + (1 - )s) - f (t) f (s) - f (t) f (s) - f (t + (1 - )s) , (1 - )(s - t) s-t (s - t)
Ð Ô Þ ¸ Ñ ÐÝ

Ú Ø

f (t + (1 - )s) f (t) + (1 - )f (s) = 0 × = 1 × Ø Ò × Ø Ð × Ð¸ Ø Ø f

ÓÒÚ Üº

ÓÒÚ Ü¸
µ À

º Ø Ø Ðº Þ
ÞÓÒÝ Ø ×º

Þ f : a, b R

f : a, b R

Ö Ò
Ð Ø Ú ÒÝ ÓÖ ×
× Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú º
Ò ØØ Ð Ú º Ä Ö Ò Ò¸

ÓÖ

µ

f ÓÒÚ Ü¸ ÓÖ ´¿µ¹ Ð x x1 Ðк x x2 Ø Ö ØÑ f (x2 ) f (x1 ) x1 < x2 × Ø Ò¸ Þ Þ f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú À f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ¸ ÓÖ x1 < x < x2 × Ø Ò ´ Ñ Øص z1 (x1 , x), z2 (x, x2 )¸ Ó Ý

Ó Ý

¹Ø Ø Ð

Ñ ÐÝ

Ð

Þ

f (x2 ) - f (x) f (x) - f (x1 ) = f (z1 ) f (z2 ) = x - x1 x2 - x
Ð Þ Ñ ÝÞ × Ñ ×Ó Ö ×Þ ×Þ Ö ÒØ

Ú Ø

Þ

¸

Ó Ý

f

ÓÒÚ Üº

Å
¾º

ÝÞ × º
ÐÐ Ø × Ò Ý Þ ÓÒ Ú Ú ÒÝ ÓÖ Ö ×º Ú º

½º À ×ÓÒÐ

f

×Þ

ÓÖ

ÓÒÚ Ü

¿º À



f ¸

f

ÓÒÚ Ü



f ×Þ

Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÓÒ Ú

f

0 f

f 0º

½½

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

(x, f (x)) Ô
Ò Ì ÓÒ × Ø Ú ÓÒ Þ Ð

¾º

Ò
º

Þ Ò

f : a, b R
Ü × ÔÓÒØ ¸

Ú ÒÝÒ Òº

Þ

Ú ´ ÓÒÚ Üµ Ò Ü × º

[x, x + r[¹

r > 0¸
Ý

Ó Ý

f

x ]a, b[

Ò

Ü Úµ

×

ÐÝ ¸

ÓÒÚ Ü ´ ÓÒ

]x-r, x]¹

ÐÝ Ò

Ú ÒÝ Ú

ÓÒÚ Ü

Ð

ÓÒ

Ú

Ú Ðظ Ú

Ý

ÓÒÚ Ü

×
×

º Ø Ø Ðº Þ f
ÞÓÒÝ Ø ×º

ÓÖ Ò Ü ×

: a, b R

ÐÝ ¸

Ö Ò
Ð Ø ×Þ Ð× ÖØ

Ú ÒÝÒ ÐÝ f ¹Ò º

Þ x ]a, b[

ÓÖ

µ À

µ

Ò Ü × Ðݸ ÓÖ Ò
×Þ Ö ÒØ r > 0¸ Ó Ý f ÓÒ¹ ]x - r, x]¹ Ò¸ ÓÒ Ú ´ ÓÒÚ Üµ [x, x + r[¹ Ò = f ÑÓÒÓØÓÒ Ò ´Ò Ú Ú µ [x, x + r[¹ Ò = x Ò Ú Ú ´
× Ò µ ]x - r, x]¹ Ò¸
× ×Þ Ð× ÖØ ÐÝ f ¹Ò º À x ] a, b [ ×Þ Ð× ÖØ ÐÝ f ¹Ò ¸ ÓÖ r > 0¸ Ó Ý f Ò Ú Ú Ò ´Ò Ú Ú µ [x, x + r[¹ Ò = f ÓÒÚ Ü ´
× Ò µ ]x - r, x]¹ Ò¸
× ´ ÓÒ Úµ ]x - r, x]¹ Ò¸ ÓÒ Ú ´ ÓÒÚ Üµ [x, x + r[¹ Ò = x Ò Ü × ÐÝ f ¹Ò º Ú Ü ´ ÓÒ Úµ Þ

x ] a, b [

ÈÐ º
f (x)

f (x) = 3x2 - x3 (x R) Ú ÒÝ Ø×Þ Ö Ö Ò
Ð Ø = 6x - 3x2 , f (x) = 6 - 6xº Ý f (x) = 0 x = 1º f (x) = 6 - 6x 0 x 1º Ì Ø f ×Þ ÓÖ Ò ÓÒÚ Ü ] - , 1[¹ Òº f (x) = 6 - 6x 0 x 1º Ì Ø f ×Þ ÓÖ Ò ÓÒ Ú [1, +[¹ Òº x = 1¹ Ò ÓÒÚ Ü × ÓÒ Ú Ú Ø Ð Ð ÓÞ ¸ Ý x = 1 Ò Ü × Ðݸ (1, 2)
Ô Ò Ü × ÔÓÒغ

y

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

P (1, 2)

0

1
½¼º º

2
Ö º

3

x

½¼º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Î Æ

à ÎÁ Ë

ýÄ Ì

½½

µ ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

ÐÝ
ÓÖ Ð Ø Þ ×ºµ ¹

Ð ÔÔÖÓ Ð Ñ º
À

f, g : K(a, r) R f (x) ¸ g(x)
×

ÓØØ Ø

×

xa

lim f (x) = lim g(x) = 0¸
xa
´Ä Ø ÝÓÐ Ð Ø Ö ÖØ

xa

lim

Ó Ý Ò ×Þ Ñ Ø

½¼º Ø Ø Ð ´Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ
Ø
f (x) lim xa g (x)

Ðݵº Ä Ý Ò f, g : ]a, a+ r[ R Ö Ò
й Ú ÒÝ ¸ Ó Ý lim f (x) = lim g(x) = 0, g(x) · g (x) = 0º À Ð Ø Þ
xa xa

Ý ÒÐ

Ø Ö ÖØ ¸ ÝÑ ×× Ðº
Þ

ÓÖ Ð Ø Þ

f (x) xa g(x) lim

Ø Ö ÖØ

׸ ×

ØØ

Å
¾º À

ÝÞ × º
× Ø Òº

½º À ×ÓÒÐ

]a - r, a[ ¹Ö

Ú

Ý

K(a, r)\{a}¹Ò
Ð Ø

ÖØ ÐÑ Þ ØØ

Ú ÒÝ

f (a) = g(a) = 0 f, g lim

Ö Ò

a¹

Ò¸

×

g (a) = 0¸

ÓÖ

f (a) f (x) = . xa g(x) g (a)
¿º À

f

×

g

ÖØ ÐÑ Þ × ÙÐ

Ø ÖØÓÑ ÒÝ

Ð ÐÖ Ð¸

ÐÐ ØÚ

ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ

ÓÖÐ ØÓ׸

ÓÖ Ô Ð

x+
Ñ º ØØ

lim f (x) = lim f
y0+0
ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ

1 y
ÐÝ Ú

,

ÐÐ ØÚ

x-
Ò Ú ØØ

lim g(x) = lim g
y0-0
Ö × Ø Ö ÖØ

1 y

Ø Ð Ò

ÖÚ ÒÝ ×º

ijÀÓ×Ô Ø Ð ×Þ

ÓÖ ×

ÖÚ ÒÝ ×¸

xa
º À Ó

lim f (x) = lim g(x) = +º
xa xa
ÓÐ

lim f (x) = 0, lim g(x) = +¸
xa
Ð Ö Ð ÐÑ ÞÞÙ

ÓÖ

Þ

f (x)·g(x) =
ÐÝغ

f (x)
1 g(x)

Ý ÒÐ ×

ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ

ÈÐ º
½º Þ

f (x) = sin(x)

×

f (x) cos(x) f (x) = cos(x), g (x) = 1 = 0 (x R)¸ lim = lim = 1º x0 g (x) x0 1 sin(x) Ý Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ ÐÝ ×Þ Ö ÒØ lim = 1º x0 x

g(x) = x (x R)

Ú ÒÝ

Ö Ò

Ð

Ø

¸

½½

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

¾º

Þ

f (x) = x = 1,

×

f (x)
º Ñ

g (x)

g(x) = e2x = 0 (x R) = 2e2x
ØØ

ÝÞ ×

Ñ

1 = 0 (x R)¸ lim 2x = 0º x0 2e x lim 2x = 0º x0 e

Ú ÒÝ

Ö Ò
Ý

Ð

Ø ¿º

¸ ×

µ
Ý ½º ¾º ¿º º º º º º º

Ú ÒÝ
× Ú Þ×

Ú Þ× Ð Ø ¸

Ö ÞÓÐ ×

f Df
Ó Ý

Ú ÒÝ Ø Ð

Ð Ø Ò Ð Ñ

Ø ÖÓÞÞÙ

ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ ÒÝØ

f

Ô ÖÓ׸ Ô Ö ØÐ Ò¸ Ô Ö

Ù×

Ú Òݹ ÐÐ Ò

f Þ ÖÙ× ÐÝ Ø¸ Df ÞÓÒ Ö ×Þ ÐÑ Þ Ø¸ ÓÐ f Ð Ð f Ø Ö ÖØ Ø Df Ø ÖÔÓÒØ Ò f ×Þ × ÐÝ Ø¸ ÓÐÝØÓÒÓ×× ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø f Ö Ú ÐØ Ú ÒÝ Ø ´ Ú ÒÝ Øµ f , f Df ÞÓÒ Ö ×Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø¸ ÓÐ f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú f ×Þ Ð× ÖØ ÐÝ Ø × ×Þ Ð× ÖØ Ø Df ÞÓÒ Ö ×Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø¸ ÓÐ f ÓÒÚ Ü ´ ÓÒ Úµ¸
´ÔÓÒØÓ Øµ × ×Þ ÑÔØÓØ Ø ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝ × ØÐ Ö

´
×

Ò µ

Þ Ò

Ü

×

ÐÝ

Ø

½¼º

x

lim (f (x) - ax - b) = 0¸ f (x) x b=
Ú ÒÝØ ´Ñ Ö

y = ax + b Ý ÒÐ Øò Ý Ò × Ø¸ ÐÐ ØÚ lim (f (x) - ax - b) = 0
x-

a=
½½º ½¾º

lim
x x -
Þ

lim
x x -
ÞÓÐ Ù

(f (x) - ax) ;
Ö Øµ

Ö ÞÓÐ Ù

f

f Rf

ÖØ

×ÞÐ Ø Øº

f (x) = 3x - x3 (x R) ½º Df = R
¾º ¿º

ÈÐ º

Î

ÞÞ

Ð

Ø Ð

×

Ú ÒÝÚ Þ× Ú ÒÝØ

Ð ØÓØ

×

Ö ÞÓÐ Ù

Þ

f (-x) = 3(-x) - (-x)3 = -[3x - x3 ] = -f (x)¸ 3x - = x(3 - x = 0, - 3, 3 f (x) > 0¸ x ] - , - 3 [ x ]0, 3 [¸ f (x) < 0¸ x ] - 3, 0 [ x ] 3, + [ x3 x2 )

= 0 x = 0 x = ± 3¸

Ø

Ø Ø

f

Ô Ö ØÐ Ò Ø

f

Þ ÖÙ×

ÐÝ

½¼º

Á

Ê Æ ÁýÄÀ Ì

Î Æ

à ÎÁ Ë

ýÄ Ì

½½

º

Df Ø ÖÔÓÒØ -, + 3 lim (3x - x3 ) = lim -x3 - x2 + 1 = +
x- x+ x- x+

3 lim (3x - x3 ) = lim -x3 - x2 + 1 = -
ÓÐÝØÓÒÓ× ÐÝ Ò Ò
× Ð Ò × µ¸ ×

º

f

R¹

Ò ´Ñ ÖØ

Ø ÓÐÝØÓÒÓ×

Ú ÒÝ

Ð Ò ×

µ¸

Ý ×Þ

×

º

º

º

f Ö Ò
Ð Ø R¹ Ò ´Ñ ÖØ Ö Ò
Ð Ø Ú ÒÝ (x) = 3 - 3x2 (x R)¸ ØÓÚ (x) = -6x (x R) f f f (x) = 3 - 3x2 0 1 x2 |x| 1¸ Ø [-1, 1] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú f (x) 0 |x| 1¸ Ø Ø f ×Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ
× × [1, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ f (x) = 0 x = -1 x = 1¸ Ø Ø Þ Ò ÐÝ
×Þ Ð× ÖØ

Ø Ò

f

×Þ

ÓÖ

Ò

]-, -1]
Ø ÐÓ ÐÓ Ð × Ð ×

Ò Ð Ø

x = -1¹ x = 1¹
ÑÙÑ ´ Ø º ÐÓ

Ò Ò

f
Ðݸ Ð

Ð

Ð Ø Ú Ðظ Ò

Ø ÚÖ Ð ÔÓÞ Ø ÚÖ ¸ Ø Ø ÚÖ ¸ Ø Ø

Ñ Ò ÑÙÑ Ðݸ

x = -1
ÐÓ

f

Ð Ø Ú Ðظ ÔÓÞ Ø ÚÖ Ð Ò × Ñ Ü ÑÙÑ ÖØ

x=1
ÐÓ

Ð × Ñ Ü ¹ Ö¹

Ð × Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ò
×

-2¸

ÐÐ ØÚ

2µ

Ð × ×Þ Ð×

f (x) = -6x : f (x) 0 x 0, f (x) 0 x 0¸ f ÓÒÚ Ü ] - , 0]¸ ÓÒ Ú [0, +[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ¸ x = 0 Ò ÐÝ ´ (0, 0) Ò Ü × ÔÓÒص
×Þ ÑÔØÓØ Ò Ò
×

Ø Ü

Ø ×

½¼º ½½º

½¾¼

ÎÁÁÁº

Á

Ê Æ ÁýÄË ýÅ ÌýË

y 2

ÈË Ö

Ö ÔÐ
Ñ ÒØ×

- 3

3 -1 1 x

-2
½¼º º Ö º

½¾º

Rf = R

´Ñ ÖØ

f

ÓÐÝØÓÒÓ×

×

x-

lim f (x) = +,

x+

lim f (x) = -µº

ÁÖÓ ÐÓÑ
½ ¾ ¿

ÝÞ
Ò ÒÝÚ ÝÞ Ø¸ ÝÞ Ø¸ ¸ Ù Ô ×ظ ½ º × ÁÒ ÓÖ¹ × ÁÒ ÓÖÑ ¹ º ÒÝÚ ¹ ¸ Å Ø Ñ Ø Å Ø Ñ Ø Ö¹Î ÖÐ Ñ ¸ ½ Ö
Ò¸ ¾¼¼¾¹¾¼¼¿º Ý Ø Ñ

× ×Þ Ö ýº¸ Î Ð × Ò Ð Þ × Á¹ÁÁº¸ Ì Ãº¸ Ò Ð Þ × Á¹ÁÁº¸ Ý Ø Ñ Ä Ä
Ø Ñ Ø

ú¸ à РÙÐÙ× Áº¸
ÁÒØ Þ Ø¸

ÁÒØ Þ Ø¸

Ö×Ø ÓÙÖ× Ò Ð
ÙÐÙ׸ ËÔÖ Ò Ä Ò ¸ ˺¸ Ä Ò Ð Ö Äº Ë
ÔÔ º¸ Ò Ð Þ × Áº¸ Ý Ø
Å Å
½ Ù ¸ Ù

Ö
Ò¸ ¾¼¼¾º

ÝÞ Ø¸ Ì Ò ÝÞ Ø¸ Ì Ò Ý Ø Ñ

Áº¸

Ô ×ظ ½ ½º Ù

Ú Þ Ø × Þ Ò ÐÞ×
Ô ×ظ ½ ¾º

º

¸

Ý Ø Ñ

ÒÝÚ

Ô ×ظ ½

Áº¸

Ö Ò
Ð × ÒØ Ö Ð×Þ Ñ Ø ×¸ Ò Ð Þ × Áº Ø Ø¸ Ú ÒÝ

ÝÞ Ø¸ Ì Ò¹ ¸ Ö¸ ¸

Ê Ñ Ò Âº¸ Å Ø Ñ Ø
º Ö
Ò¸ ½

ÒÝÚ

¸

ÃÌ ¸ Ä
ÙÑ Ã ¸ Ý Ø Ñ

ËÞ Þ ýº¸ À ØÚ ÒÝÓÞ × × Ð Ñ

ÝÞ Ø¸ ÃÄÌ

½¾½

ÆÚ

ÝÞ

Ö
Ñ × ´×ÝÖ
Ù× ¹ µ ´ Ö ¸ º º ¾ º º ¾½¾µ ½ ¼ µ ÖÒÓÙÐÐ ¸ Â
ÕÙ × ´×Ú
¸ ½ ÓÐÞ ÒÓ¸ ÖÒ Ö ÈÐ
Ù× ´
× ¸ ½ ½ ½ µ ÓÖ Ð¸ Ð Ü Ù Ö Ñ Ð ´ Ö Ò
¸ ½ ½ ½ µ ÙÒÝ ÓÚ×Þ ¸ Î ØÓÖ Â ÓÚÐ Ú
× ´ÓÖÓ×Þ¸ ½ ¼ ½ ½ ½ µ ÒØÓÖ¸ ÓÖ ´Ò Ñ Ø¸ ½ ½ µ Ù
ݸ Ù Ù×Ø Ò¹ÄÓÙ × ´ Ö Ò
¸ ½ ³ Ð Ñ Öظ Â Ò Ð ÊÓÒ ´ Ö Ò
¸ ½ ½ ½ ¿µ ÅÓÖ Ò¸ Ù Ù×ØÙ× ´ Ò Óи ½ ¼ ½ ½µ ×
ÖØ ×¸ Ê Ò ´ Ö Ò
¸ ½ ½ ¼µ Ö
Рظ È Ø Ö Ù×Ø Ú Ä ÒÒ ´Ò Ñ Ø¸ ½ ¼ ½ Ñ Ö ¸ Â
ÕÙ × ´ Ö Ò
¸ ½ ½ ¿µ À À Ò ¸ Ù Ö ´Ò Ñ Ø¸ ½ ¾½ ½ ½µ Ä Ö Ò ¸ ÂÓ× Ô ÄÓÙ × ´ÓÐ ×Þ¹ Ö Ò
¸ ½ ¿ ½ ½¿µ Ä Ò Þ¸ ÓØØ Ö Ï Ð ÐÑ ´Ò Ñ Ø¸ ½ ½ ½ µ ijÀÓ×Ô Ø Ð¸ Ù ÐÐ ÙÑ Ö Ò
Ó × ´ Ö Ò
¸ ½ ½ ½ ¼ Å
Ð ÙÖ Ò¸ ÓÐ Ò ´× ظ ½ ½ µ Å ÖØ Ò׸ Ö ÒÞ ´Ó×ÞØÖ ¸ ½ ¼ ½ ¾ µ ½ ¼ µ Å Ò ÓÛ× ¸ À ÖÑ Ò ´ÓÖÓ×Þ¹Ò Ñ Ø¸ ½ È ÒÓ¸ Ù× ÔÔ ´ÓÐ ×Þ¸ ½ ½ ¿¾µ Ê Ñ ÒÒ¸ ÓÖ Ö Ö
ÖÒ Ö ´Ò Ñ Ø¸ ½ ¾ ÊÓÐÐ ¸ Å
Ð ´ Ö Ò
¸ ½ ¾ ½ ½ µ Ë
Û Ö
Þ¸ À ÖÑ ÒÒ Ñ Ò Ù× ´Ò Ñ Ø¸ ½ ¿ ½ ¾½µ Ì ÝÐÓÖ¸ ÖÓÓ ´ Ò Óи ½ ½ ¿½µ Î ÒÒ¸ ÂÓ Ò ´ Ò Óи ½ ¿ ½ ¾¿µ Ï Ö×ØÖ ×׸ à ÖÐ ´Ò Ñ Ø¸ ½ ½ ½ µ
½¾¿

µ

µ

µ

½

µ

Ì Ö ÝÑÙØ Ø
¸ =¸ . =¸ ¸ ½¼ ¸ ¸

Ö ¹ Ú ÒÝ ¸ ½¼ Ö ØÑ Ø Þ Ô¸ ¿½ ××ÞÓ
Ø Ú Ø ×¸ ½¾ ×Þ ÑÔØÓØ ¸ ÐÓ Ð Ø Ö ÖØ ¸ ¿ ÐÖ Ð ÓÐÝØÓÒÓ×× ¸ Ð× ÔÓÒظ ¿¿ ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× ¸ ¿½ ÒÓÑ Ð × Ø Ø Ð¸ ¾ ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö×ØÖ ××¹ Ð Ú Ð ×ÞØ × Ø ¹ Ø Ð¸ ¿ ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö×ØÖ ××¹Ø Ø Ð¸ ¿ Ö Ò
Ð Ø × ¸ ÒØÓÖ¹ Ð Ñ Ø×Þ ØØ Ø Ð¸ ¾ Ù
ݹ ÙÒÝ ÓÚ×Þ ¹Ë
Û ÖÞ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× ¸ ¿¾ Ù
ݹ Ý ÒÐ ØÐ Ò× ¸ ¿½ Ù
ݹ Ð Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð¸ ½¼ Ù
ݹ Ð ÓÒÚ Ö Ò
Ö Ø Ö ÙÑ ×ÓÖÓ Ö ¸ ¼ ×ÓÖÓÞ ØÓ Ö ¸ Ù
ݹÀ Ñ Ö ¹Ø Ø Ð¸ Ù
ݹ×ÓÖÓÞ Ø¸ Ù
ݹ×ÞÓÖÞ Ø¸
Ó× ÒÙ× Ú Òݸ
Ó× ÒÙ× Ô Ö ÓÐ
Ù× Ú Òݸ ³ Ð Ñ Öع Ð ÒÝ Ó× Ö Ø Ö ÙѸ ÅÓÖ Ò¹ Ð ÞÓÒÓ×× ¸ ½¾ Ö Ú Ðظ ¿ ×
ÖØ ×¹×ÞÓÖÞ Ø¸ ½¿ Ö Ò
ÒÝ Ó× Ú Òݸ ¿ Ö Ò
Ð ÒÝ Ó׸ ¿
½¾

¸ / n¹

¹ Ð Ñ ÒØ

Ø Ö ÖØ ¸ Ø Ö ÖØ ¸ ¿

Ý ¸¾ ××Þ Ú Òݸ ¾ ××Þ Ø ØØ Ú Òݸ ½ ××Þ Ø ØØ Ú ÒÝ

Ö × ÐÑ Þ¸ ½¼ ØÖ Ò Þ ØØ ×ÓÖ¸ ØÚ Ø Ð ÐÚ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ×× Ö ¸ Ú ÒÝ Ø Ö ÖØ Ö ¸ ÖØ ×ÞРظ ½ ÖØ ÐÑ Þ × Ø ÖØÓÑ Òݸ ½ ×ÞÓÐ Ø ÖØ ¸ ¾ ×ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖ¸ ½ ×ÞÓÐ Ø Ñ Ü ÑÙѸ ¾ ×ÞÓÐ Ø Ñ Ò ÑÙѸ ¾
×ØØÐ ¸ Ð× ÓÖРظ ½ ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ׸ ½ ÒØ ×Þ ÑÑ ØÖ Ù×× ¸ ½ Ö
Ñ × ØÙÐ ÓÒ× ¸ ¾ Ö
Ù× Ú ÒÝ ¸ ½¼

½¾

ÌýÊ

ÅÍÌ Ì

Ö
Рع Ú Òݸ ×Þ ÙÒ Ø ÐÑ ÞÓ ¸ ½¾ ×ÞØÖ ÙØ Ú Ø ×¸ ½¾ Ú Ö Ò
¸ ¿ Ú Ö Ò× ×ÓÖ¸ ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¿ ×Þ ×Þ ÑÓ ¸ ¾ ÝÑ × × ØÙÐÝ ÞÓØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ¸ ¾ Ý× Ð Ñ¸ ¾¾ Ú Ú Ð Ò× ÐÑ ÞÓ ¸ ½ ÜÔÓÒ Ò
Ð × Ú Òݸ Ú Òݸ ½ ÓÐÝØÓÒÓ×× ¸ ÓÒ Ú¸ ½½ ÓÒÚ Ü¸ ½½ Ú ÒÝ Ø Ö ÖØ ¸ ¾ Ú ÒÝ×ÓÖ¸ ½ Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø¸ ½ Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø Ý ÒÐ Ø × ÓÒÚ Ö Ò
¹ ¸ ¿ Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ׸ ½ Ð× ÓÖРظ ½ ÐØ Ø Ð × Ò ÓÒÚ Ö Ò× ×ÓÖ¸ ½ ÓÐÝØÓÒÓ× Ú Òݸ Ñ ÖÒÝ Þ Ø¸ ¾ ÓÑ ØÖ Þ Ô¸ ¿½ ÓÑ ØÖ ×ÓÖ¸ ¼ ÖÓÑ×Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò× ¸ ¾ ÐÑ Þ¸ ÐÑ Þ Ð Ñ ¸ ÐÑ ÞÓ Ý × Ø × ´ÙÒ µ¸ ½¼ Þ × Ö ×Þ ´Ñ Ø×Þ Ø µ¸ ½¼ Ð Ò × ¸ ½½ ×Þ ÑÓ×× ¸ ¿¾ ÐÑ ÞÖ Ò ×Þ Ö¸ ½¼ ÖÑÓÒ Ù× ×ÓÖ¸ ¼ Ø Ö ÖØ Ú ÒÝ ¸ ¾ ×ÓÖÓÞ Ø ¸ ¿ Ø Ö Ú Òݸ ½ Ø ÖÔÓÒظ ¿¿ ØÚ ÒÝ ÐÑ Þ¸ ½¼

ØÚ ÒÝ×ÓÖ¸ ØÚ ÒÝ×ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò
×Ù Ö ¸ ØÚ ÒÝ×ÓÖÓ Ö Ò
Ð Ø × ¸ À Ò ¹ ÓÖ Ð¹Ø Ø Ð¸ ¿ Ô Ö ÓÐ Ù×Þ Ú ÒÝ ¸ ½¼ ÒØ Ù× Ú Òݸ ½ Ò Ü × Ðݸ ½½ ÔÓÒظ ½½ ÒØ ÖÚ ÐÐÙѸ ¾ ÒÚ ÖÞ Ö Ð
ÒÚ ÖÞ ¸ ½ ÒÚ ÖÞ Ú ÒÝ Ö Ò
Ð Ø × ÖÖ
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ ¸ ¾ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒظ ¿ ÐØ ÖØ × Ø Ø Ð ¸ Ó Ó Ð Ø Ö ÖØ ¸ ¿ Ó Ö Ð ÓÐÝØÓÒÓ×× ¸ Ð× ÔÓÒظ ¿¿ Ô ´ ÐÑ Þ µ¸ ½ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø ×¸ ½¾ ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ¸ ¿ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÐÑ ÞÓ ¸ ½¾ ÓÑÔÓÞ
´Ö Ð
µ¸ ½ ÓÒØ ÒÙÙÑ ×Þ ÑÓ×× ÐÑ ÞÓ ¸ ¿¿ ÓÒÚ Ö Ò
Ø ÖØÓÑ Òݸ ½ ÓÒÚ Ö Ò× Ú ÒÝ×ÓÖÓÞ Ø¸ ½ ×ÓÖ¸ ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¿ ÓÖÐ ØÓ× Ú Òݸ ¾ ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¿ ijÀÓ×Ô Ø Ð¹×Þ Ðݸ ½½ Ä Ö Ò ¹ Ð Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð¸ ½¼ Ä Ò Þ¹ Ð Ö Ø Ö ÙѸ ¿ Ä Ò Þ¹ Ð ×ÓÖ¸ ½½¿ Ä Ò Þ¹×Þ Ðݸ ½¼ Ð Ô Þ ×¸ ½ Ð ×Þò Ø × Ö Ð
Ð ×Þò Ø × ¸ ½ Ð Ñ ×Þ Ò Ö ÓÖ¸ Ð Ñ ×Þ ×ÞÙÔ Ö ÓÖ¸ Ð Ò Ö Ø × ´Ö Ð
µ¸ ½

¸

ÌýÊ

ÅÍÌ Ì

½¾

ÐÓ Ö ØÑÙ× Ú Òݸ ÐÓ Ð × Ñ Ü ÑÙѸ ¾ ÐÓ Ð × Ñ Ò ÑÙѸ ¾ Ñ ÖØ Ò Þ Ô¸ ¿½ Ñ ÖØ Ò ×ÓÖ¸ ¼ ÑòÚ Ð Ø¸ ½ Å
Ð ÙÖ Ò¹×ÓÖ¸ ½½¾ Ñ ÓÖ Ò× Ö Ø Ö ÙѸ Ñ ×Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Å ÖØ Ò×¹Ø Ø Ð¸ Ñ ØÖ ¸ ¾ Å Ò ÓÛ× ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ñ ÒÓÖ Ò× Ö Ø Ö ÙѸ ÑÓÒÓØÓÒ ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¿ ÑÓÒÓØÓÒ
× Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÒÙÐÐ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¿ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ¸ ¿¿ ÒÝ ÐØ Ð ×¸ ¿ Ô Ö
Ð × Ö Ò Þ ×¸ ½ È ÒÓ¹ Ð Ü Ñ ¸ ¾ ÔÓÒØÓ× Ð× ÓÖРظ ½ ÔÓÒØÓ× Ð× ÓÖРظ ½

¸ ¼

×Þ

Ñ ×Þ ÒØ Ø Ø ¸ × Ðݸ

¾ ØÐÒ Ò× ¸ ¿¾ ¾

ÐÑ ÞÓ ¸ ¿¾

Ú Òݸ ¿ Ú Òݸ ¿

Ø ÚÓÐ× Ø Ú Ð × ×Þ Ñ ¸ ¾ Ø Ð ÒÝ×ÞÓÖÞ Ø¸ Ì ÝÐÓÖ ¹ÔÓÐ ÒÓѸ ½½¾ ¹×ÓÖ¸ ½½¾ Ø Ø Ð ¸ ½½¾ Ø Ð × ÐÑ Þ¸ ½ Ø Ð ×× Ü Ñ ¸ ¾¾ Ø ÖÑ ×Þ Ø × ×Þ ÑÓ ¸ ¾ Ø ×Ø Ü Ñ ¸ ¾½ Ø Þ ×Ø Öظ ØÓÖÐ × ÔÓÒظ ¿ ØÖ ÒÞ Ø Ú Ø ×¸ ½ Ú × ÐÑ ÞÓ ¸ ¿¾ Ú Ø Ð Ò ÐÑ ÞÓ ¸ ¿¾ Ú Ø Ð Ò ×ÓÖ¸ ÚÐ × Ú Òݸ ½ Ú Ð × ×Þ ÑÓ ¸ ¾½ Î ÒÒ¹ Ö Ñ¸ ½½ Þ Ö Ð Þ ØØ ×ÓÖ¸ Þ ÖØ ÐÑ Þ¸ ¿¿ Þ ÖÙ× Ð Ñ¸ ¾¾

Ö ×Þ ÐÑ Þ¸ ½¼ Ö ×ÞÐ Ø ××Þ ¸ Ö ×Þ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¿ Ö
ÓÒ Ð × ×Þ ÑÓ ¸ ¾ Ö Ü Ú Ø ×¸ ½ ÖÐ
¸½ Ö Ò Þ × Ü Ñ ¸ ¾¾ ÖÒ Þ× ÖÐ
¸½ Ê Ñ ÒÒ¹ Ð ØÖ Ò Þ × Ø Ø Ð¸ ÊÓÐÐ ¹ Ð Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð¸ ½¼ × ÒÙ× Ú Òݸ × ÒÙ× Ô Ö ÓÐ
Ù× ×ÓÖÓ ×ÞÓÖÞ Ø ¸ ×ÓÖÓÞ Ø¸ ¿ Ù
ݸ ×Þ ÑØ Ò Þ Ô¸ ¿½ ×Þ × Ð× ¸ Ñ ×Ó ¸ Ú Òݸ



Hasonló témájú dokumentumok

2. mintazh

- 2011-03-02 20:00:15

Kalkulus 1. példatár - Lajkó Károly

- 2007-11-28 17:55:56

Kalkulus 1. példatár - Lajkó Károly

- 2007-11-28 17:55:56

Kalkulus 2 - Lajkó Károly

- 2009-06-23 09:26:46

matematika

- 2008-12-29 19:26:07

2. zh 2008

- 2011-03-02 19:59:30

sorozatok

- 2009-12-23 08:50:38

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Szavazz a feltöltött dokumentumokra az alapján, hogy mennyire volt számodra használható vagy épp használhatatlan (mondjuk azért, mert tele van hibával). A dokumentumok a szavazataitok alapján sorrendeződnek így hosszútávon a legjobb pontokat kapó dokumentumok lesznek a lista elején. Csak a saját szakod dokumentumaira szavazhatsz.