Valszám, statisztika

Országok listájaHungaryNyíregyházi FőiskolaTermészettudományi Főiskolai KarProgramozó matematikusZáróvizsgaValszám, statisztika

05. Valószínqségszámítás és matematikai statisztika
(Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, feltételes valószínqség, diszkrét és folytonos valószínqségi változók, várható érték, szórás. Markov egyenlQtlenség, Csebisev tétel, a nagy számok törvénye. Speciális diszkrét és folytonos valószínqségi változók. A statisztika fogalma, Glivenko tétele, becsléselméleti fogalmak, a maximum likelihood módszer. Egy- és kétváltozós t, u próba, az F próba. Ç khi^2 2 próbák (függetlenség és illeszkedés).)
Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ
Def.: Az (©,  QUOTE , P) hármast Kolmogorov féle valószínqségi mezQnek nevezzük, ha teljesülnek az alábbiak:
 QUOTE  egy halmaz ´ algebra az ©-ra nézve,
P:  QUOTE  (R az  QUOTE  elemein értelmezett függvény, mely a [0,1] intervallumba képez.
P(©) = 1 azaz biztos esemény valószínqsége 1.
Ha An egy olyan halmazsorozat, hogy minden n-re An  QUOTE  és páronként diszjunktak (Ai  QUOTE  Aj = 0, i`"j), akkor

azaz a P valószínqség ´ additív.
Feltételes valószínqség
Def.: Legyen adott egy Komogorov féle valószínqségi mezQ, továbbá A,B , és P(B) > 0 tetszQleges események. Ekkor az

számot az A esemény B eseményre, mint feltételre vonatkoztatott feltételes valószínqségének nevezik. (Pl.: Feldobunk egy kockát és tudjuk hogy páros számot (B) kapunk. Mennyi a valsége, hogy 2-t kaptunk (A). P {páros is, és 2-es is a szám}/ P {páros szám}=(1/6)/(3/6)=1/3).
Diszkrét valószínqségi változó
Def.: Legyen adott egy Komogorov féle valószínqségi mezQ. A ¾ : © ’! R valószínqségi változó diszkrét eloszlású valószínqségi változó, ha értékkészlete véges, vagy megszámlálhatóan végtelen.
Folytonos valószínqségi változó
Legyen adott egy Komogorov féle valószínqségi mezQ. A ¾ : © ’! R valószínqségi változó folytonos eloszlású valószínqségi változó, ha létezik a sqrqség függvénye. A ¾ valószínqségi változó sqrqség függvényének nevezzük az f(x) függvényt, ha az eloszlása


&
Eloszlás fv.: Annak a valószínqsége, hogy egy bizonyos intervallumba esik a ¾ (É).
Sqrqség függvényt: megadja, hogy mely intervallumon belül mekkora a valószínqség (görbe alatti terület).

Várható érték
A várható érték egy olyan szám ami azt méri, hogy a v.v. értékei milyen átlagos szám körül mozognak.
Legyen adott egy Komogorov féle valószínqségi mezQ, és ¾ egy diszkrét eloszlású valószínqségi változó, P(¾ = xi) = pi (i = 1& n). Ekkor az
számot, ha összeg véges, a ¾ diszkrét eloszlású valószínqségi változó várható értékének nevezzük.


Szórás
Azt mutatja mennyire ingadoznak a valószínqségi változó értékei a várható érték körül.

Markov egyenlQtlenség
A valószínqségi változóról, és annak várható értékének viszonyáról ad felvilágosítást.
Ha X olyan tetszQleges nemnegatív v.v., amelynek van várható értéke, és c tetszQleges pozitív szám, akkor

Csebisev tétel
A valószínqségi változó várható érték körüli szórására ad felvilágosítást.
A szórás segítségével felsQ korlátot adhatunk a várható értéktQl való eltérés valószínqségére.
Ha az X v.v-nak van várható értéke és szórása és µ > 0, akkor

A Markov- és a Csebisev-egyenlQtlenség ugyanolyan formában igaz tetszQleges valószínqségi változókra, mint diszkrétekre.
Nagy számok törvénye
Annak a valószínqsége, hogy az átlag, és a várható érték eltérésének abszolút értéke tetszQlegesen kicsi lesz, határértékben 1-hez tart.
(Minnél nagyobb a minta, annál biztosabb, hogy a várható érték és az átlag megegyezik.)
Speciális diszkrét valószínqségi változók
Diszkrét egyenletes eloszlás:
Legyen adott egy Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, továbbá legyenek x1, x2,& , xn valós számok. Azt mondjuk, hogy a ¾ : © ’! R diszkrét valószínqségi változó diszkrét egyenletes eloszlású az x1, x2,& , xn számokon, ha
P(¾ = xi) =  EMBED Equation.3  minden i = 1, 2,& , n esetén.
E(¾) =  EMBED Equation.3  D2(¾) =  EMBED Equation.3 2-( EMBED Equation.3 )2

Binomális eloszlás:
Legyen adott egy Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, továbbá legyen 0 < p < 1 és n EMBED Equation.3 N. Azt mondjuk, hogy a ¾ : © ’! R diszkrét valószínqségi változó (n,p) paraméterq binomális eloszlású valószínqségi változó, ha
P(¾ = i) =  EMBED Equation.3  i = 0, 1, 2,& , n
E(¾) = np, D(¾) =  EMBED Equation.3 

Hipergeometriai eloszlás:
Legyen adott egy Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, továbbá legyen N, K, n  EMBED Equation.3  N. és n d" K d" N. Azt mondjuk, hogy a ¾ : © ’! R diszkrét valószínqségi változó (N, K, n) paraméterq hipergeometriai eloszlású valószínqségi változó, ha
P(¾ = i) = EMBED Equation.3  i = 0, 1, 2,& , n
E(¾) = EMBED Equation.3  D2(¾) =  EMBED Equation.3 

Poisson eloszlás:
Legyen adott egy Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, továbbá legyen » > 0 valós szám. Azt mondjuk, hogy a ¾ : © ’! R diszkrét valószínqségi változó » paraméterq Poisson eloszlású valószínqségi változó, ha
P(¾ = i) = EMBED Equation.3  i = 0, 1, 2,& , n
E(¾) = » D(¾) = EMBED Equation.3 
Speciális folytonos valószínqségi változók
Folytonos egyenletes eloszlás:
Legyen adott egy Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, továbbá legyen (a,b) egy intervallum. Azt mondjuk, hogy a ¾ : © ’! R folytonos eloszlású valószínqségi változó egyenletes eloszlású az (a,b) intervallumon, ha sqrqségfüggvénye
f¾ (x) =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
E(¾) =  EMBED Equation.3  D(¾) =  EMBED Equation.3 


Exponenciális eloszlás:
Legyen adott egy Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, továbbá legyen » > 0 egy valós szám. Azt mondjuk, hogy a ¾ : © ’! R folytonos eloszlású valószínqségi változó » paraméterq exponenciális eloszlású valószínqségi változó, ha sqrqségfüggvénye
f¾ (x) = EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
E(¾) = EMBED Equation.3  D(¾) = EMBED Equation.3 

Normális eloszlás:
Legyen adott egy Kolmogorov-féle valószínqségi mezQ, továbbá legyenek m,à > 0 valós számok. Azt mondjuk, hogy a ¾ : © ’! R folytonos eloszlású valószínqségi változó (m,Ã) paraméterq normális eloszlású valószínqségi változó, ha sqrqségfüggvénye
f¾ (x) = EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 x  EMBED Equation.3  R
E(¾) = m D(¾) = Ã

Standard normális eloszlás, ha m=0 és Ã=1.

 EMBED Equation.3  eloszlás:
Ha ·1& ..·k független, standard normális eloszlású valószínqségi változók, akkor
 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 +& .+ EMBED Equation.3  eloszlását  EMBED Equation.3 eloszlásnak nevezzük, melynek szabadsági foka k. Sqrqségfüggvénye: f EMBED Equation.3 (x) =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  ahol ck konstans: ck =  EMBED Equation.3 

E( EMBED Equation.3 ) = k D2( EMBED Equation.3 ) = k

tk eloszlás (Student eloszlás):
Ha · és EMBED Equation.3 független valószínqségi változók standard normális és  EMBED Equation.3  eloszlással, akkor a
tk =  EMBED Equation.3  eloszlását tk  eloszlásnak (Student eloszlásnak) nevezzük, melynek szabadsági foka k(*02hjv
x
†
ˆ
Ö
Ú




,

éззТtt¢X<*"hQ 'CJOJPJQJaJnH tH 7hPn‘hX™6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7hPn‘hPn‘6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 1jhX™hX™CJOJPJQJUaJnH tH (hX™hX™CJOJPJQJaJnH tH (hX™hê-CJOJPJQJaJnH tH 1hX™hdP4B*CJKHOJQJaJnH ph6_‘tH 1hX™hê-B*CJKHOJQJaJnH ph6_‘tH +hX™B*CJKHOJQJaJnH ph6_‘tH hÚ



l
6 ’ ˜œÞ þêÝÐů¯¯§Ÿ’…x

$d ¤Èa$gd pŠ
$d ¤È ¤gdQ '

$d ¤Èa$gdQ ' $a$gdQ ' $a$gdQ '$
&
F„Ê„›þd ^„Ê`„›þa$gdQ '
$d a$gdQ '
$d ¤È ¤gdPn‘

$d ¤Èa$gdX™ $$$d ¤ ¤x[$\$a$gdU –

,

:

<

J

L

N

P

R

T

\










l
p
r
îÕÀ±ÀÕ¢Õî~ÕÀoÀÕ`ՐK9"hÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH (hÇ$ØhÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH jP+hÉzÌhÉzÌEHúÿPJUjàhÉzÌhÉzÌEHúÿPJU"hX™CJOJPJQJaJnH tH "hÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH jp hÉzÌhÉzÌEHúÿPJUjhÉzÌhÉzÌEHúÿPJU(hÉzÌhÉzÌCJOJPJQJaJnH tH 1jhÉzÌhÉzÌCJOJPJQJUaJnH tH "hPn‘CJOJPJQJaJnH tH r
t
‚
„
†
ˆ
Š
Œ
Ž

”
š
œ
ª
¬
æÑÂÑæ³æ¡‰tbI4%j VhÉzÌhÉzÌEHúÿPJU(hÉzÌhÉzÌCJOJPJQJaJnH tH 1jhÉzÌhÉzÌCJOJPJQJUaJnH tH "hÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH (hÇ$ØhÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH . jàðhÇ$ØhÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH "hÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH j0HhÉzÌhÉzÌEHúÿPJUjÀ9hÉzÌhÉzÌEHúÿPJU(hÉzÌhÉzÌCJOJPJQJaJnH tH 1jhÉzÌhÉzÌCJOJPJQJUaJnH tH ¬
®
°
²
´
š œ ô ö ø ü þ

NPRTbdfhëÒÃÒ±›±›±‰ÒëzëÒk҉U‰ÒëFëÒj`hÉzÌhÉzÌEHúÿPJU+hÉzÌhÉzÌCJH*OJPJQJaJnH tH jðhÉzÌhÉzÌEHúÿPJUj€shÉzÌhÉzÌEHúÿPJU"hÉzÌCJOJPJQJaJnH tH +hÉzÌhÇ$ØCJH*OJPJQJaJnH tH "hÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH jehÉzÌhÉzÌEHúÿPJU1jhÉzÌhÉzÌCJOJPJQJUaJnH tH (hÉzÌhÉzÌCJOJPJQJaJnH tH hjlpr–˜šœÜÞ

œð×ůŝŒw[?-"h pŠCJOJPJQJaJnH tH 7hQ 'hê-6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7hQ 'hQ '6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH (hPn‘hÇ$ØCJOJPJQJaJnH tH hQ 'j^¬hQ 'hQ 'PJU"hQ 'CJOJPJQJaJnH tH +hÉzÌhÉzÌCJH*OJPJQJaJnH tH "hÉzÌCJOJPJQJaJnH tH 1jhÉzÌhÉzÌCJOJPJQJUaJnH tH j_žhÉzÌhÉzÌEHúÿPJU œž ÆÈþÎÖØ "$&bdà îßÍîÍÀº¥Í¥¥~bF1(hccàh pŠCJOJPJQJaJnH tH 7h pŠh¦`è6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7h pŠh pŠ6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH "h¹.2CJOJPJQJaJnH tH (h pŠh¦`èCJOJPJQJaJnH tH (h pŠh pŠCJOJPJQJaJnH tH
h pŠPJj¢Üh pŠh pŠPJU"h pŠCJOJPJQJaJnH tH j2ÎhÉzÌh pŠEHúÿPJU"h;çCJOJPJQJaJnH tH þ&dà "Țœ¸‚˜bòåØÑļ´¼¼¬¬¼Ÿ— $a$gd±+¤ $a$gdccà
$d ¤È ¤gd±+¤ $a$gdƒ?Z $a$gd¹.2 $a$gd¹.2
$d ¤È ¤gd¹.2 ¤xgd¹.2
$d ¤È ¤gd pŠ

$d ¤Èa$gd pŠ

$d ¤Èa$gd pŠà ô  "8Èꚜ¶¸ãÇ®œ‰œs^s^S7®7h±+¤h±+¤6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH h¹.2h¹.2nH tH (hƒ?Zhƒ?ZCJOJPJQJaJnH tH +hƒ?Zhƒ?Z5CJOJPJQJaJnH tH
h¹.2PJjôh¹.2h¹.2PJU"h¹.2CJOJPJQJaJnH tH 1h¦`è6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7h pŠh¹.26B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7h¹.2h¹.26B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH ¸€‚^`jl€–˜šœ²´Ö`bdfhtîÙDZDZœÇŠ}wÇjœÇœ\TP47hƒ?Zhƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH h£Jj7Fh».SUhüxîCJ OJQJ^JaJ jV+h±+¤h±+¤PJU
h±+¤PJjô h±+¤h±+¤PJU"h£JCJOJPJQJaJnH tH (h±+¤h±+¤CJOJPJQJaJnH tH +h±+¤h±+¤CJH*OJPJQJaJnH tH "h±+¤CJOJPJQJaJnH tH (hccàhccàCJOJPJQJaJnH tH "hccàCJOJPJQJaJnH tH bdhv$(TÖÚøP-Ì-Ð- ì þ!®"#>#ò$t%ýýðèýðàØÐðààËÃØðààð¾à¾gdƒ?Z $a$gd-Mlgd ^º $a$gdµ

$a$gdS$ $a$gdƒ?Z $a$gdccà
$d ¤È ¤gdƒ?Ztv"$&(.0RTÖØÚøŒæÔ¿·³—~—bÔP>1>—Ôjvrhµ

hµ

PJU"hµ

CJOJPJQJaJnH tH "hƒ?ZCJOJPJQJaJnH tH 7hƒ?ZhÆ66B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 1hWg#6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7hƒ?Zhƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH h
k®jâèh
k®U(hccàhccàCJOJPJQJaJnH tH "hccàCJOJPJQJaJnH tH 1hƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH Œ”N-P-Ê-Ì-Î-Ð- ì !¢!ü!þ!¬"îÙDZž‘x\J8J&J"h
k®CJOJPJQJaJnH tH "h;çCJOJPJQJaJnH tH "hccàCJOJPJQJaJnH tH 7hƒ?Zhƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH (hS$hS$CJOJPJQJaJnH tH h-Mljʉh-Mlh-MlPJU%hµ

CJOJPJQJ]aJnH tH +hµ

hµ

CJOJPJQJ]aJnH tH "hƒ?ZCJOJPJQJaJnH tH (h ^ºh ^ºCJOJPJQJaJnH tH "h ^ºCJOJPJQJaJnH tH ¬"®"þ"##*#>#Ê#Ì#Î#Ô#Ö#à#â#¼$¾$À$Æ$È$Ò$Ô$ò$%%%
%

%2%4%ë϶šŒ}ukukuk}ukukuk}uku}c}Tj‹6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?ZUh¹!•hƒ?Z6H*h¹!•hƒ?Z6hƒ?Zh±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z56B*phÿ7hƒ?Zhx;¤6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 1hƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7hƒ?Zhƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH (hƒ?ZhccàCJOJPJQJaJnH tH 4%6%8%H%b%r%t%‚%„%ª%¬%®%°%²%´%¶%Â%Ä%ê%ì%î%ð%ò%ö%ø%& &òêæÞæ×æêæÈ»ê欛¬‡¬lV‡›¬‡¬l*j\±h&r©hƒ?ZEHäÿUehrÊÿ4jê6K
h&r©hƒ?ZCJ UVaJ ehrÊÿ&jh&r©hƒ?ZUehrÊÿ h&r©hƒ?ZH*ehrÊÿh&r©hƒ?ZehrÊÿjÙ®h¹!•hƒ?ZEHäÿUjê6K
hƒ?ZCJ UVaJ

h\rœhƒ?Zh¹!•hƒ?Z6hƒ?Zjhƒ?ZUj½¬h¹!•hƒ?ZEHèÿU &"&$&&&(&*&,&>&T&Ú&î&ö&ø&ú& '"'$'&'('¨'®'$(0(2(4(:(<(b(êÖǶ¨¡“ˆ„„ufWu„O„GGuh¹!•hƒ?Z6hN¹hƒ?Z6jb¶h¹!•hƒ?Z6EHüÿUj„6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?Z6U hƒ?Z6hƒ?Zh±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z56B*phÿ

hƒ?Zhƒ?Zhƒ?ZH*ehrÊÿ h&r©hƒ?ZH*ehrÊÿh&r©hƒ?ZehrÊÿ&jh&r©hƒ?ZUehrÊÿ*jß³h&r©hƒ?ZEHäÿUehrÊÿt%*&,&T&$((æ(è()+z+ö+ø+,´-.h.¾.ü.Æ0B1À1Â1Ä1ô1Ø3R4úúúòúúúúòúúúúòúúåúòúúúúúòú
$d ¤È ¤gdƒ?Z $a$gdSgdƒ?Zb(d(f(h(l(n(v(|(Ž((¤(¦(¶(¸(Þ(à(â(ä(æ(è())¢)´)¶)Ü)Þ)à)â)æ)ð)*‚**ðá×ÒÎÆÒÆ¿ÆÒƲƣ”²ÆΆ{ÎÒ×Òl]×ÒÎÒÎUhN¹hƒ?Z6j¤½h¹!•hƒ?Z6EHüÿUj„6K
hƒ?ZCJ UVaJ h±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z56B*phÿj »h¹!•hƒ?Z6EHôÿUj‚6K
hƒ?ZCJ UVaJ jh¹!•hƒ?Z6U

h¹!•hƒ?Zh¹!•hƒ?Z6hƒ?Z hƒ?Z6jhƒ?Z6UjR¸h¹!•hƒ?Z6EHâÿUj
6K
hƒ?ZCJ UVaJ !*++ +"+&+(+N+P+R+T+X+`+f+x+z+†+ˆ+®+°+²+´+¶+¸+º+Ä+Æ+È+î+ð+ò+ô+ø+,,¢,®,B-D-´-È-üôïôïåïÖÇåïôïôüôå︩åïôŸôïååüshüïüïüïh±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z56B*phÿjzÄhN¹hƒ?Z6EHäÿUjÐ6K
hƒ?ZCJ UVaJ hN¹hƒ?Z6H*jfÂhN¹hƒ?Z6EHèÿUj¦6K
hƒ?ZCJ UVaJ j”¿hN¹hƒ?Z6EH¾ÿUj[6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?Z6U hƒ?Z6h¹!•hƒ?Z6hƒ?Z(È-Ê-ð-ò-ô-ö-ø-....&.(.8.:.`.b.d.f.h.|.Ž.º.¼.¾.æ.ü.†/Œ/B0öñâÓöñËñËÇñ¿ñöñ°¡öDžl…l…^SÇKÇhuW hƒ?Z6h±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z56B*phÿ1hƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH 7hƒ?Zhƒ?Z6B*CJOJQJ]^JaJnH phO½tH j›ÉhN¹hƒ?Z6EHøÿUjÈ6K
hƒ?ZCJ UVaJ hN¹hƒ?Z6hƒ?Zh¹!•hƒ?Z6j$ÇhN¹hƒ?Z6EHèÿUj}6K
hƒ?ZCJ UVaJ hƒ?Z6jhƒ?Z6UB0j0v0|0È0Ê0Ø0Ú011111 1:1<1>1@1B1P1R1x1z1|1~11’1¸1º1¼1¾1Â1Ä1ùõíõèõàõÑÄàõàõµ¨àõ£™£Š{™£™£l]™õRhƒ?Z56B*phÿjÄÒhuW hƒ?Z6EHäÿUj€ 6K
hƒ?ZCJ UVaJ j€ÐhuW hƒ?Z6EHèÿUjS 6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?Z6U hƒ?Z6j=ÎhuW hƒ?ZEHÒÿUj 6K
hƒ?ZCJ UVaJ jÌËhuW hƒ?ZEHÒÿUjñ6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?ZU hƒ?ZH*huW hƒ?Z6hƒ?Z

huW hƒ?Z Ä1Þ1ô1|2†283:3<3n3€3¬3®3Ú3Ü3è3ê344 44"4$4J4L4N4P4R4^4`4†4ˆ4Š4Œ4š4œ4Â4ñæâÝâÝÖâÖâÖâÑâÉ⺭ÉâÉ➑Éâ݇Ýxi‡Ý‡ÝjóÙhuW hƒ?Z6EHèÿUj˜6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?Z6Ujº×huW hƒ?ZEHäÿUjZ6K
hƒ?ZCJ UVaJ jAÕhuW hƒ?ZEHàÿUj.6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?ZU hƒ?ZH*

huW hƒ?Z hƒ?Z6hƒ?Zh±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z56B*phÿ#Â4Ä4Æ4È4Ì4Ü4ò4~5„5Œ5<6B6F6n6€6¬6®6Ú6Ü6è6ê677 77 7"7H7J7L7N7R7ðá×ÓźӲ­Ó²¦ÓŸÓŸÓšÓ’Óƒv’Ó’ÓgZ’ÓjfáhÎWohƒ?ZEHöÿUjx 6K
hƒ?ZCJ UVaJ jSÞhÎWohƒ?ZEHäÿUj& 6K
hƒ?ZCJ UVaJ jhƒ?ZU hƒ?ZH*

huW hƒ?Z

hÎWohƒ?Z hƒ?Z6hÎWohƒ?Z6h±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z56B*phÿhƒ?Zjhƒ?Z6Uj#ÜhuW hƒ?Z6EHèÿUj¸6K
hƒ?ZCJ UVaJ -R4Ê4Ì4ò4Ø6†7ª7¬788F8æ8>;@;¾;À;<=nxpxŽxDy(zúúúòúúúËúúòúúúúúòòúúúò&$d%d&d'dNÆÿOÆÿPÆÿQÆÿgdƒ?Z $a$gdSgdƒ?ZR7T7z7|7~7€7‚7„7†7¨7ª7¬7à7ø78888*8,8.80828B8F8N8P8X8Z8æ8è8

9ôíÛÎôÊíÊÅíʺÊÅʳ¢•n¢•c•Ê[Ê[ÊSÊjhƒ?ZUh: hƒ?ZH*h±$zhƒ?ZB*phÿ%jÕäh±$zhƒ?Z5B*EHôÿUphÿ'j ¼5K
h±$zhƒ?Z5B*UVphÿh±$zhƒ?Z5B*phÿ!jh±$zhƒ?Z5B*Uphÿ

h¹!•hƒ?Zh&r©hƒ?ZB*phÿ hƒ?Z6hƒ?ZjåâhÎWohƒ?ZEHüÿU#j„6K
hÎWohƒ?ZCJ UVaJ

hÎWohƒ?ZjhÎWohƒ?ZU-

9 99999>9@9B9D9L9N9r9t9v9x99’9¶9¸9º9¼9::D:F:j:l:n:p:|:~:¤:ôêâÞâÞÏÂâÞâÞ³¦âÞâޛ‘âމÞ|tdU|ÞâÞjVïh: hƒ?ZEHôÿH*UjÍË5K
h: hƒ?ZH*UVh: hƒ?ZH*jh: hƒ?ZH*Uh: hƒ?Z6jFíhƒ?ZEHôÿUjË5K
hƒ?ZUVjëh: hƒ?ZEHôÿUjYË5K
hƒ?ZCJ UVaJ jõèh: hƒ?ZEHöÿUjòÊ5K
hƒ?ZCJ UVaJ hƒ?Zjhƒ?ZUjåæhƒ?ZEHôÿUjÛÊ5K
hƒ?ZUV ¤:¦:¨:ª:®:°:Ö:Ø:Ú:Ü:à:ì:î:;; ;;6;8;:;<;D;F;l;n;ðãÛ×Û×È»Û׬›¬›¬‡¬lV‡×Û×Gjíº5K
hƒ?ZCJ UVaJ *jTöh&r©hƒ?ZEH¶ÿUehrÊÿ4j£Î5K
h&r©hƒ?ZCJ UVaJ ehrÊÿ&jh&r©hƒ?ZUehrÊÿ h&r©hƒ?ZH*ehrÊÿh&r©hƒ?ZehrÊÿj-ôh: hƒ?ZEHæÿUj ÿ5K
hƒ?ZCJ UVaJ hƒ?Zjhƒ?ZUjfñh: hƒ?ZEHÖÿUjyÌ5K
hƒ?ZCJ UVaJ n;p;r;€;‚;„;†;¬;®;°;²;À;Â;Ä;Æ;< <<4<6<8<:<¦<¨<Ì<Î<Ð<Ò<==
=

=2=4=6=òêæÞæêæÏÂê浧µœæê摇êæêæ‘}êæuæêæfYjCh%kÈhƒ?ZEH¾ÿUjpK6K
hƒ?ZCJ UVaJ h%kÈhƒ?ZH*j3hƒ?ZEHôÿUj#þhƒ?ZEHôÿUjÛÊ5K
hƒ?ZUVh±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z5B*H*phÿh±$zhƒ?Z5B*phÿj÷ûh: hƒ?ZEHôÿUjíº5K
hƒ?ZCJ UVaJ h: hƒ?ZH*hƒ?Zjhƒ?ZUjËùh: hƒ?ZEHôÿU"6=8=R=T=â=ä=x*x.x0xxdxfxhxjxpxrxxxŽxœxžxÄxÆxÈxÊxÌxÎxôxöxøxúxDyFyLy÷óëóãáóÙÒó÷óö÷󩛐ó÷ót÷ó÷óeX÷óÒÙjã h±$zhƒ?ZEHôÿUj¦M6K
hƒ?ZCJ UVaJ j· h: hƒ?ZEHôÿUjíº5K
hƒ?ZCJ UVaJ h±$zhƒ?ZB*phÿh±$zhƒ?Z5B*H*phÿh±$zhƒ?Z5B*phÿjØh±$zhƒ?ZEH®ÿUj€L6K
hƒ?ZCJ UVaJ

h±$zhƒ?Zh±$zhƒ?ZH*Uh±$zhƒ?Z6h%kÈhƒ?ZH*hƒ?Zjhƒ?ZU". Sqrqségfüggvénye: ftk (x) =  EMBED Equation.3 

Fk,l eloszlás:
Legyen  EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3  független khí-négyzet eloszlás. Az
Fk,l =  EMBED Equation.3  valószínqségi változó eloszlását k és l szabadsági fokú Fk,l eloszlásnak nevezzük.
A statisztika fogalma
Def.: mintaelemek ismeretlen paramétert nem tartalmazó valamely függvénye.
A mintaelemekbQl alkotott függvényeket statisztikai függvényeknek, röviden statisztikának nevezzük. (pl.: mintaátlag, tapasztalati szórásnégyzet, tapasztalati eloszlásfüggvény)
Glivenko tétele
A matematikai statisztika alaptétele. A tapasztalati eloszlásfüggvény 1 valószínqséggel egyenletesen tart a valódi eloszlásfüggvényhez.
Becsléselméleti fogalmak
Becsléselmélet: ismeretlen paraméterek közelítése.
Becslés: sokasági jellemzQk közelítQ meghatározása minta jellemzQk alapján (mintaelemek segítségével).
Pontbecslés: a mintában megállapított selejtarány alapján szeretnénk megbecsülni az egész sokaságban lévQ selejtarányt.
Intervallumbecslés: konfidencia intervallum (azaz megbízhatósági intervallum) keresése, vagyis például olyan intervallum meghatározása a mintaátlag körül, melybe a várható érték nagy valószínqséggel beleesik.
Hipotézisvizsgálat: döntés bizonyos hipotézisek (felvetések) elfogadásáról vagy elvetésérQl; például a mintaátlagnak a várható értéktQl való eltérése belefér-e még a szabványelQírásokba?
Illeszekdésvizsgálat: a minta milyen eloszlásból származik, azaz milyen eloszlással közelíthetQ jól? (Vagyis döntés arról, hogy az adott minta illeszkedik-e az adott eloszláshoz.)
Homogenitásvizsgálat: döntés arról, hogy vajon két adott minta ugyanabból az eloszlásból származik-e?
Függetlenségvizsgálat: döntés arról, hogy vajon két adott minta független-e?
Maximum likelihood módszer
Paraméterbecslésre használt módszer. A maximum likelihood módszer szerint azzal a paraméterértékkel közelítünk, mely esetén a legvalószínqbb az az esemény, hogy éppen az adott mintaelemet kapjuk.
Egy mintás u próba
¾1& ¾n független N(m,Ã) eloszlású v.v. ahol à ismert, m nem. (m0 adott szám)
H0, nullhipotézis: m = m0
H1, ellenhipotézis: m `" m0
Ha H0 igaz, akkor: u :=  EMBED Equation.3  ~ N(0,1)
Legyen µ  EMBED Equation.3 (0,1) fix és uµ/2 EMBED Equation.3 (0, EMBED Equation.3 ) úgy, hogy  EMBED Equation.3  azaz  EMBED Equation.3 .
Ha u statisztika az  EMBED Equation.3  intervallumba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha nem, akkor elvetjük.
ElsQfajú hiba:  EMBED Equation.3 
Egy mintás t próba
¾1& ¾n független N(m,Ã) eloszlású v.v. ahol à és m ismeretlenek. (m0 adott szám)
H0, nullhipotézis: m = m0
H1, ellenhipotézis: m `" m0
Ha H0 igaz, akkor:  EMBED Equation.3  ~ N(0,1),  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  ~  EMBED Equation.3  független statisztikákra a t eloszlás definiciója alapján kapjuk, hogy t :=  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  ~ tn-1
Legyen µ  EMBED Equation.3 (0,1) fix és tµ/2 EMBED Equation.3 (0, EMBED Equation.3 ) úgy, hogy  EMBED Equation.3 , ekkor EMBED Equation.3 .
Ha t statisztika az  EMBED Equation.3  intervallumba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha nem, akkor elvetjük.
ElsQfajú hiba:  EMBED Equation.3 
Két mintás u próba
¾1& ¾k független N(m1,Ã1) eloszlású v.v. ahol Ã1 ismert, m1 nem.
·1& ·l független N(m2,Ã2) eloszlású v.v. ahol Ã2 ismert m2 nem.
H0, nullhipotézis: m1 = m2
H1, ellenhipotézis: m1 `" m2
Ha H0 igaz, akkor: u:=  EMBED Equation.3  ~ N(0,1)
Legyen µ  EMBED Equation.3 (0,1) fix és uµ/2 EMBED Equation.3 (0, EMBED Equation.3 ) úgy, hogy  EMBED Equation.3  azaz  EMBED Equation.3 .
Ha u statisztika az  EMBED Equation.3  intervallumba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha nem, akkor elvetjük.
Két mintás t próba
¾1& ¾k független N(m1,Ã) eloszlású v.v. ahol à és m1 ismeretlen.
·1& ·l független N(m2,Ã) eloszlású v.v. ahol à és m2 ismeretlen.
H0, nullhipotézis: m1 = m2
H1, ellenhipotézis: m1 `" m2
Ha H0 igaz, akkor: t:=  EMBED Equation.3  ~ t k+l - 2
Legyen µ  EMBED Equation.3 (0,1) fix és tµ/2 EMBED Equation.3 (0, EMBED Equation.3 ) úgy, hogy  EMBED Equation.3 , ekkor  EMBED Equation.3 .
Ha t statisztika az  EMBED Equation.3  intervallumba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha nem, akkor elvetjük.
F próba
¾1& ¾k független N(m1,Ã1) eloszlású v.v. ahol Ã1 és m1 nem ismert.
·1& ·l független N(m2,Ã2) eloszlású v.v. ahol Ã2 és m2 nem ismert.
H0, nullhipotézis: Ã1 = Ã2
H1, ellenhipotézis: Ã1 `" Ã2
Ha H0 igaz, akkor: F:=  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  ~ Fl-1,k-1
Legyen µ  EMBED Equation.3 (0,1) fix és hozzá válasszunk olyan 0 < c1 < c2 számokat, hogy
P(Fl-1,k-1 < c1) = P(Fl-1,k-1 > c2) = µ/2
Ekkor [c1, c2] intervallumot vesszük elfogadási tartománynak, s kritikus tartománynak pedig a komplementerét.
 EMBED Equation.3 próbák
Ç2 tiszta illeszkedésvizsgálat:
¾ v.v. eloszlására tett hipotázis viszgálata.
r: csoportok száma
pi: annak valószínqsége hogy ¾ értéke az i-edik csoportba esik
vi: i-edik csoport gyakorisága
Ekkor, p1 + p2 + & + pr = 1, v1 + v2 + & + vr = n (n a minta elemszáma)
Ç2 :=  EMBED Equation.3 
Igazolható, hogy  EMBED Equation.3  r-1 szabadság fokú Ç2eloszlású v.v.
Válasszunk egy µ > 0 kicsi számot, és hozzá [c1, c2] intervallumot, azaz  EMBED Equation.3  legyen.

Ç2 becsléses illeszkedésvizsgálat:
¾ v.v. eloszlására tett hipotázis viszgálata.
r: csoportok száma
pi: annak valószínqsége hogy ¾ értéke az i-edik csoportba esik, s számú paramétertQl függ
vi: i-edik csoport gyakorisága
 EMBED Equation.3 : as paraméterek maximum likelihood becslései.
Ç2 :=  EMBED Equation.3 
v.v. aszimptotikusan Ç2eloszlású r-s-1 szabadsági fokkal.
Válasszunk egy µ > 0 kicsi számot, és hozzá [c1, c2] intervallumot, azaz  EMBED Equation.3  legyen.

Ç2 függetlenségvizsgálat:
A1,...,Ar és B1,& ,Bs teljes eseményrendszerek. EllenQrizni akarjuk azt a hipotézist, hogy P( EMBED Equation.3 ) = P(Ai)P(Bj) minden i,j esetén.
vij :  EMBED Equation.3  esemény gyakorisága pij = P( EMBED Equation.3 )
vi* :  EMBED Equation.3  az Ai esemény gyakorisága pi* = EMBED Equation.3 
v*j :  EMBED Equation.3  az Bj esemény gyakorisága p*j =  EMBED Equation.3 

pi*, p*j ismert esetén:
Ç2 :=  EMBED Equation.3 
v.v. aszimptotikusan Ç2eloszlású rs-1 szabadsági fokkal.


pi*, p*j ismeretlen esetén:
Ç2 := n  EMBED Equation.3 
v.v. aszimptotikusan Ç2eloszlású (r-1)(s-1) szabadsági fokkal.











 PAGE \* MERGEFORMAT 5

Hasonló témájú dokumentumok

Társadalomstatisztika segédlet

- 2009-05-07 16:55:06

oktatasi segedlet

- 2009-06-10 10:56:48

Statisztika tanfolyam 3.nap

- 2010-06-01 16:26:58

Társadalomstatisztika segédlet

- 2009-05-07 16:53:15

Statisztika II előadásanyag

- 2010-01-07 13:09:50

statisztika 1. előadások, tételek, feladatok

- 2009-12-16 10:10:23

Általános Statsztika II. tankönyv

- 2009-10-19 12:37:16

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Sikeres vizsga után írd meg tapasztalataid a tantárggyal, vizsgával kapcsolatban. Miből érdemes tanulni, mennyi készülés kell, milyen volt a vizsga... Ha mindenki így tesz, sokkal egyszerűbb lesz elkezdeni a tanulást egy olyan ember tapasztalatainak a birtokában, aki már elvégezte a tantárgyat. Ehhez kattints a tantárgyra a Tanulmányaimban, majd a Véleményem a tárgyról linkre a jobb felső részen.

11.05-1 9. alapfogalmak csokonai dettre gábor elemzés eloadas építészet épszerk iii. épszerk v eu logisztika felvilágosodás folyami duzzasztómű gazdasági jog gyep növényzet hulladékkezelés infoii innováció jogviszony kassák kép képlékenyalakítás keringés kollokvium könyvtárinformatika környezetvédelmi követelmények kronológia kultur macroenglish másabb matematika szigorlat mérleg mikrobiológia minden ami valszám minőség mri nemzeti kisebbség oprendszerek órai anyag önköltség összefoglaló pszichó rendszerek szigetelés szivattyú újság vegyes piacgazdaság villamos gépek zh feladat