Kalkulus

Országok listájaHungaryNyíregyházi FőiskolaTermészettudományi Főiskolai KarProgramozó matematikusZáróvizsgaKalkulus

03 Kalkulus
(Valós és komplex sorozatok és sorok konvergenciája. Függvénysorozatok, függvénysorok, hatványsorok konvergenciája. Függvény folytonossága, határértéke. Függvény deriváltja, a derivált alkalmazásai. Középérték tételek, Taylor polinomok. Függvény határozatlan integrálja. A határozott integrál bevezetése, összefüggés a határozatlan integrállal.)
Valós és komplex sorozatok konvergenciája
Def.: Az ( QUOTE ) valós vagy komplex számsorozat konvergens és A(  QUOTE  vagy  QUOTE )-hez tart (jelben:  QUOTE =A), ha minden  QUOTE  > 0-hoz létezik  QUOTE  (küszöbszám), hogy minden n  QUOTE -ra  QUOTE .
Minél kisebb  QUOTE -t választunk, annál nagyobb küszöbszám lesz.
Tétel: Konvergens sorozat korlátos.
Def.: Az ( QUOTE ) sorozat korlátos, ha  QUOTE  szám, hogy  QUOTE  (minden n-re).
Korlátos sorozat nem feltétlenül konvergens.

Valós és komplex sorok konvergenciája
Def.: végtelen sor: Eredetileg adott egy ( QUOTE ) sorozat. EbbQl részletösszegeket képezünk:
s1 = a1
s2 = a1 + a2
sn = a1 + a2 + & + an
(sn) sorozatot nevezzük végtelen sornak.
Legyen sn a végtelen sor n-edik részösszege, és a sor összege s. Azt mondjuk, hogy a  QUOTE  végtelen sor konvergens, ha sn ’! s.
Tétel: Ha (sn) konvergens, akkor ( QUOTE ) QUOTE  0. (Visszafelé nem igaz).

Függvénysorozatok konvergenciája
Def.: (fn) n  QUOTE  sorozat függvénysorozat, ha  QUOTE  halmaz, hogy minden fn értelmezett D-n, és minden fn:  QUOTE  függvény. Pl.: fn (x) = xn (n  QUOTE ).
Def.: Egy (fn) n  QUOTE  függvénysorozat pontonként konvergens egy  QUOTE  részhalmazon, ha
Minden x H-ra fn(x) értelmezett
Minden x H-ra( fn(x)) QUOTE  f(x)
( QUOTE  f(x) függvény, határfüggvény, hogy fn(x)) QUOTE  f(x) minden x H)
Def.: Egy (fn) függvénysorozat egyenletesen tart egy f függvényhez a H halmazon, ha minden µ > 0-ra  QUOTE N(µ) hogy minden x H és minden n e" N(µ) esetén | fn(x)  f(x)|< µ
(minden x-hez ugyanaz a küszöbszám jó)

Függvénysorok konvergenciája
Def.:  QUOTE  = sn (x) függvénysor, ha adott egy (fn) függvénysorozat
s1(x) =f1(x)
s2 (x) = f1(x)+f2(x)
sn (x) = f1(x) + f2(x) + & + fn(x)
Def.: Azt mondjuk, hogy  QUOTE  pontonként konvergens  QUOTE  részhalmazon, ha minden x H-ra  QUOTE  véges határérték.
Hatványsorok konvergenciája
Def.:  QUOTE  alakú függvénysort  QUOTE  közepq hatványsornak nevezzük, ahol  QUOTE  , azaz  QUOTE  n  QUOTE  sorozat.
Abel tétele: Ha a  QUOTE  hatványsor egy  QUOTE  helyen konvergens, akkor létezik  QUOTE -ra szimmetrikus intervallum [( QUOTE  R;  QUOTE  R)] amelynek a belsQ pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens. Ha ez az intervallum korlátos, akkor a külsQ pontokban divergens a hatványsor.
Def.: R a hatványsor konvergenciasugara.
Tétel: Ha egy hatványsor konvergenciasugara R > 0, akkor a hatványsor abszolút és egyenletesen konvergens az intervallumban.
Függvény folytonossága határértéke
Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f : A R valós értékq függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u " A pontjában, ha minden µ pozitív számhoz létezik olyan ´ pozitív szám, hogy minden olyan x " A számra, amely u-tól ´-nál kisebb mértékben tér el teljesül, hogy f(x) µ-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz jelekben:


Függvény határértéke
Határérték véges pontban: Feltéve, hogy f(x) valós függvény és c valós szám. A:

kifejezés azt jelenti, hogy f(x) értéke tetszQlegesen közel kerül az A-hoz, ha az x elég közel van c-hez. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az f(x) határértéke az x tart c esetén A . Megjegyezzük, hogy ez akkor is igaz lehet, ha f(c) A, sQt az f(x) függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a c pontban.
Függvényhatárérték a végtelenben: Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor x tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.
Példaként vizsgáljuk az  QUOTE  függvényt.
f(100) = 1,9802
f(1000) = 1,9980
f(10000) = 1,9998
Ahogy x nagyon naggyá válik, f(x) közelít 2-höz. Ebben az esetben:  QUOTE 
Formálisan, a végtelenben vett határérték definíciója:  QUOTE  pontosan akkor, ha minden µ > 0 esetén létezik olyan K valós szám, melyre | f(x) " c | < µ teljesül, ha x > K.

Függvény deriváltja
A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintQje milyen meredek. Ez a geometriai jellegq fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény
menetére (azaz, hogy monoton növekvQ vagy monoton fogyó-e),
szélsQértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
a függvény közelítQ értékére, lineárissal történQ közelíthetQségére.

Def.: Legyen f: (a, b)’!R, x0 (a, b). Az f függvényrQl azt mondjuk, hogy deriválható (differenciálható) az x0 pontban, ha  EMBED Equation.3  és véges az alábbi határérték:
 EMBED Equation.3 
Jelölés: fI(x0)
Az fI(x0) szám az f függvény differenciálhányadosa (deriváltja) az x0 pontban.

A derivált al


f  “ š › ¢ £ ¤ ¥ ¦ § ¬ ­ È




"
$
&
õêõáÕõÆ»®»Æ¡õ…õyõl[NAN[jf!h¾h¾EH÷ÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©hLÍOJPJQJhƒ|©hLÍ5OJQJ hƒ|©hÇ7&OJQJ jh¾h¾OJQJU†*j³h¾h¾EHõÿUjh¾h¾EHõÿU h¾h¾OJQJjh¾h¾OJQJUhƒ|©hLÍ>*OJQJhƒ|©hLÍPJ hƒ|©h%3-OJQJ hƒ|©hLÍOJQJ

f  €


,



½

¾

ä

Z j „ ° ÀÂ~VõðëæÞÞððð×ÒÒÒÒÞÈððÁÞð¤ÈgdwA­ $ ¤xa$gd3Pgd äÈgdÇ7& ¤xgdÔqm$gdÇ7&gdLÍgdLÍ $¤a$gdLÍ&
(
*
6
8
F
H
J
L
N
P
x
z
ˆ
Š
Œ
Ž

’
°
²
À
Â
Ä
Æ
È
Ê
ì
î
ü
þ


òßÒÁ´§´ÁšßÒÁ´´Á€ßÒÁ´s´ÁfßÒÁ´Y´Ájì©h¾h¾EHõÿUj%›h¾h¾EH÷ÿUj^Œh¾h¾EH÷ÿUjVuh¾h¾EHõÿUjN^h¾h¾EHõÿUjOh¾h¾EH÷ÿUjÐ?h¾h¾EH÷ÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©hLÍOJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*j›0h¾h¾EH÷ÿU


@
B
P
R
T
V
X
Z
b
d
r
t
v
x
z
|
~
€
š
œ
ª
¬
®
°
²
´





òßÒÁ´§´ÁšßÁ´€´ÁsߍҍÁ´f´ÁYߍMhƒ|©hÇ7&>*OJQJjŸ(h¾h¾EH÷ÿUjØh¾h¾EH÷ÿUjnh¾h¾EHõÿUjïh¾h¾EHõÿUhƒ|©hÇ7&OJPJQJjPÝh¾h¾EHõÿUjœËh¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©hLÍOJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jĺh¾h¾EHõÿU






,

/

6

7

>

?

@

A

B

C

M

U

Z

[

b

c

d

e

f

g

s

t

õèõÜõ͵Âͨ—õ‹õzm`mzS@èz$jh¾h¾OJPJQJU†*jih¾h¾EH÷ÿUjÌXh¾h¾EH÷ÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©hÇ7&5OJQJ jh¾h¾OJQJU†*jHh¾h¾EHõÿUjf7h¾h¾EHõÿU h¾h¾OJQJjh¾h¾OJQJUhƒ|©hÇ7&>*OJQJhƒ|©hÇ7&OJPJQJ hƒ|©hÇ7&OJQJt

{

|

}

~



€

¼

½

¾

ä

ç

ê

ö






óæóÕȵ¨ž‘{odXdI>1>j>¡h¾h¾EHõÿU h¾h¾OJQJjh¾h¾OJQJUhƒ|©h Ã5OJQJ hƒ|©h ÃOJQJhƒ|©h Ã>*OJQJ+hƒ|©hÇ7&5B*CJOJQJ\aJphO½hƒ|©hƒ|©OJPJQJhÇ7&OJPJQJhƒ|©hÇ7&OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jHh¾h¾EHõÿU!jh¾h¾OJPJQJUjRyh¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJ


X Z \ ^ f h l p v x € ‚ † ˆ  ’ š œ ¬ ® ´ ¶ Î Þ ~€¬®¼ðãÒǼǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǣǘŒ~r˜Œ˜ðg h¾h¾OJQJhƒ|©h3PH*OJQJhƒ|©h3P6H*OJQJhƒ|©h3P6OJQJ hƒ|©h3POJQJhƒ|©h ÃOJPJQJhƒ|©h ÃH*OJQJ hƒ|©hÇ7&OJQJ hƒ|©h ÃOJQJ jh¾h¾OJQJU†*jñ±h¾h¾EHõÿUjh¾h¾OJQJU%¼¾ÀÂÄÆâö (*TVdfhjlnpr€òçØ˺¯£¯—¯Œ€¯—¯ØçsçØfº¯UHh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUjíýh¾h¾EHõÿUj:íh¾h¾EHõÿUhƒ|©h3P>*OJQJ hƒ|©hÇ7&OJQJhƒ|©h3PH*OJQJhƒ|©h3P5OJQJ hƒ|©h3POJQJ jh¾h¾OJQJU†*jï×h¾h¾EHúÿUjh¾h¾OJQJU h¾h¾OJQJj¤Âh¾h¾EHúÿU€‚„†ˆŠ¾ÀÂ
"$&4òåÔÇ´§zdXMAM4Ôåhƒ|©hwA­OJPJQJhƒ|©hwA­H*OJQJ hƒ|©hwA­OJQJhƒ|©hwA­>*OJQJ+hƒ|©h3P5B*CJOJQJ\aJphO½+hƒ|©hwA­5B*CJOJQJ\aJphO½hƒ|©hƒ|©OJPJQJh ÃOJPJQJhƒ|©h3POJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jDh¾h¾EH÷ÿU!jh¾h¾OJPJQJUh¾h¾OJPJQJj h¾h¾EH÷ÿU468:<>Rpz|ŠŒŽ’”ÀÂüþ >òåÔÇ´§™§ÔåŒåÔ´rdrdrÔåWåÔJ´rj#}h¾h¾EH÷ÿUjâkh¾h¾EH÷ÿUhƒ|©h_7H*OJPJQJhƒ|©h_7OJPJQJj[h¾h¾EH÷ÿUjZJh¾h¾EH÷ÿUhƒ|©hwA­5OJPJQJhƒ|©hwA­OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*j!;h¾h¾EH÷ÿU!jh¾h¾OJPJQJUh¾h¾OJPJQJjè+h¾h¾EH÷ÿU>@PRV\^`nprtvx|~˜š¤¦¨¶¸º¼¾ÀäñäÖäË亭 ­º“€äsËgË亭Z­ºM€äj¼h¾h¾EH÷ÿUjÖ¬h¾h¾EH÷ÿUhƒ|©h_7H*OJQJhƒ|©hwA­OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jh¾h¾EH÷ÿUjdŽh¾h¾EH÷ÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJU hƒ|©h_7OJQJhƒ|©h_7H*OJPJQJhƒ|©h_7OJPJQJhƒ|©h_7H*OJPJQJä (*,.02LTVxz¾ÀÈÊØÚÜÞàâìðò ñäÓƹÆÓ¬™äŒäuuÓÆhÆÓ[™ŒÓÆNÆj
h¾h¾EH÷ÿUjÞûh¾h¾EH÷ÿUj¬ìh¾h¾EH÷ÿUhƒ|©hK68H*OJQJ hƒ|©hK68OJQJhƒ|©hK68OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*júÛh¾h¾EH÷ÿUjHËh¾h¾EH÷ÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©h_7OJPJQJhƒ|©h_75OJPJQJVšî \^˜0JtºÒ
:®ú@! !!@!÷÷ïêääêêßß×ïÒï×××êÍÅÍÍ $a$gdÄ:™gdÄ:™gd¹î ¤xgd€p

m$gdÔqgdƒ|©m$gdK68 ¤xgdÔqm$
&
FgdK68
R T V ^ ` n p r t v x œ ¦ º ¼ à jlz|~€‚„èìîáÎÁ¶ª¶îîƒÎÁ¶w¶ª¶k¶î^îQÎÁ¶jÉZh¾h¾EH÷ÿUjDLh¾h¾EH÷ÿUhƒ|©hK685OJQJhƒ|©hK68>*OJQJj/:h¾h¾EHîÿUj(h¾h¾EHîÿUh¾h¾OJPJQJhƒ|©hK68H*OJQJ hƒ|©hK68OJQJhƒ|©hK68OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*j•h¾h¾EH÷ÿU!jh¾h¾OJPJQJU-ìîü

*8Z\^˜ž¤¦´¶¸º¼¾ÄÆóèÛèÐÃл°šŒÃ{nan{TAÃÐ$jh¾h¾OJPJQJU†*jƒ}h¾h¾EHõÿUjNih¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©hÔq>*OJPJQJ+hƒ|©hÔq5B*CJOJQJ\aJphO½ hƒ|©hƒ|©OJQJ hK68OJQJhƒ|©hÔqOJPJQJ hƒ|©hÔqOJQJhƒ|©hK68OJPJQJ hƒ|©hK68OJQJhƒ|©hK68H*OJQJÆÈÒè


.024@BLP^`jlvxˆŠ˜š°²ºÀêìîüþóèÚͿͲèóèóèóèóèóèóèóèóèóè¦è͕ˆ{ˆ•njí¥h¾h¾EHõÿUj¸‘h¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©hÔq>*OJQJhƒ|©hK68OJPJQJhƒ|©hÔqH*OJPJQJhƒ|©hÔqOJPJQJhƒ|©hÔq5OJPJQJ hƒ|©hÔqOJQJhƒ|©hÔqH*OJQJ#246DFHJLN€’”¢¤¦¨ª¬ÐÒíàÒÅ´§š§´íł´§u§´híÅàR+hƒ|©h¹î5B*CJOJQJ\aJphO½j'öh¾h¾EHõÿUj†Ûh¾h¾EHõÿU hƒ|©h@fáOJQJjÔÊh¾h¾EH÷ÿUj"ºh¾h¾EH÷ÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©h@fáOJPJQJhƒ|©h@fá5OJPJQJhƒ|©hÔqOJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*
&(*,.0XZhjlnpr‚–¼¾ÌÎÐÒéÝÒÁ´§´Áš‡zÁ´m´Á`‡zRzÁ´E´Áj.gh¾h¾EHõÿUhƒ|©h¹î5OJPJQJjçVh¾h¾EHõÿUj Fh¾h¾EHõÿUhƒ|©h¹îOJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*j´+h¾h¾EHõÿUjÈh¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJU hƒ|©h¹îOJQJhƒ|©h¹î>*OJQJ+hƒ|©h@fá5B*CJOJQJ\aJphO½ÒÔÖæèöøúüþ


"$8:P^`nprtòßÒÁ´§´ÁšßҏÒÁ´‚´Áußҏg\Á´O´ÁjXÍh¾h¾EHõÿU hƒ|©h€p

OJQJhƒ|©h€p

5>*OJQJj-¾h¾h¾EH÷ÿUjæ®h¾h¾EH÷ÿU hƒ|©h¹îOJQJjíœh¾h¾EHõÿUjôŠh¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©h¹îOJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jyh¾h¾EHõÿUtvx˜š¨ª¬®°²öø


NP^`bdfhpr€‚„†òßÒÁ´§´ÁšßÒÁ´´Á€ßÒÁ´s´ÁfßÒÁ´Y´Ájih¾h¾EHõÿUjüWh¾h¾EHõÿUjàFh¾h¾EHõÿUj™6h¾h¾EHõÿUjR&h¾h¾EHõÿUjÁ h¾h¾EHõÿUj0h¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJ!jh¾h¾OJPJQJUhƒ|©h€p

OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jDèh¾h¾EHõÿU †ˆŠ¬®´
ú&>@ŠŒÀÂÈÊÌÎÐþòßÒÅ·Ò·Ò¡‹uj\j\j\jE7jhƒ|©hÄ:™5OJQJ\,jt‹h¾h¾OJQJUmHnHtH uhƒ|©hÄ:™6OJQJ] hƒ|©hÄ:™OJQJ+hƒ|©h€p

5B*CJOJQJ\aJphO½+hƒ|©h2Eh5B*CJOJQJ\aJphO½+hƒ|©hÄ:™5B*CJOJQJ\aJphO½hƒ|©h€p

>*OJPJQJhƒ|©hK68OJPJQJhƒ|©h€p

OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jFzh¾h¾EHõÿUþ-T-V-X-Z-\-^-`-r- 6 8 œ ž ¢ Þ à â ä !!!>!@!t!â!ä!¾#òçØçÍç¿ç³ç¿çÍç¿ç¿ç¿ç¿ç¿ç¿çœç†{oçXç,jx–h¾h¾OJQJUmHnHtH uhƒ|©hÄ:™5OJQJ hƒ|©hÄ:™OJQJ+hƒ|©hÄ:™5B*CJOJQJ\aJphO½,j@h¾h¾OJQJUmHnHtH uhƒ|©hÄ:™OJQJ\hƒ|©hÄ:™6OJQJ] hƒ|©hÄ:™OJQJhƒ|©hÄ:™6OJQJ\] hƒ|©hÄ:™OJQJhƒ|©hÄ:™5OJQJ\"@!â!æ!J$Ö%&,&=&O&¡&ª(¬(Ô(+|+,„,-’-”-ö.$/F/ä/æ/fvgúòúúúúúúúúííèàààààúúòúúííú
&
FgdcsägdcsägdK68 $a$gdÄ:™gdÄ:™¾#À#J$Ž$&&
&

&
& &&&U&V&l&p&&’&“&”&›&œ&&ž&Ÿ& &Ö&Ø&Ù&Ú&éÞÒÞø«¸ÃžÞÞÞvÞøi¸Ã\ÞvÞK!jh¾h¾OJPJQJUj^Ýh¾h¾EHõÿUjÀÆh¾h¾EHõÿU hƒ|©h‹=4OJQJhƒ|©hÄ:™6OJQJ jh¾h¾OJQJU†*j~±h¾h¾EHïÿUj<œh¾h¾EHïÿU h¾h¾OJQJjh¾h¾OJQJUhƒ|©hÄ:™5OJQJ hƒ|©hÄ:™OJQJ,ješh¾h¾OJQJUmHnHtH uÚ&á&â&ã&ä&å&æ&ç&(
(6(8(`(€(œ(¦(ª(¬(Ô(’-ž-Ê-Ì-(.>.n.óæóÕȵ¨‘‘‘‘{eYMAhƒ|©hÄ:™5OJQJhƒ|©hÄ:™H*OJQJhƒ|©hÄ:™>*OJQJ+hƒ|©h2Eh5B*CJOJQJ\aJphO½+hƒ|©hÄ:™5B*CJOJQJ\aJphO½hƒ|©hÄ:™6OJQJ hƒ|©hÄ:™OJQJhƒ|©h‹=4OJPJQJ$jh¾h¾OJPJQJU†*jð
h¾h¾EHõÿU!jh¾h¾OJPJQJUjüóh¾h¾EHõÿUh¾h¾OJPJQJn.p.Š.Œ.°.².´.¶.ö.ø.// /"/:/ hƒ|©hÄ:™EHâÿOJQJUVhƒ|©hÄ:™EHâÿOJQJ!jhƒ|©hÄ:™EHâÿOJQJU!jä!hƒ|©hÄ:™EHüÿOJQJU'jöt0M
hƒ|©hÄ:™EHüÿOJQJUVhƒ|©hÄ:™EHüÿOJQJ!jhƒ|©hÄ:™EHüÿOJQJU hƒ|©hÄ:™OJQJhƒ|©hÄ:™H*OJQJä/æ/0ff fœf¼fÔfÖfúfüfþfggg gg$g&gJgéÓÑÓź®º|kº_º_ºNAhƒ|©hÄ:™EHüÿOJQJ!jhƒ|©hÄ:™EHüÿOJQJUhƒ|©hÄ:™H*OJQJ!j“&hƒ|©hÄ:™EHúÿOJQJU'jøt0M
hƒ|©hÄ:™EHúÿOJQJUVhƒ|©hÄ:™EHúÿOJQJ!jhƒ|©hÄ:™EHúÿOJQJUhƒ|©hÄ:™5OJQJ hƒ|©hÄ:™OJQJhƒ|©hÄ:™>*OJQJU+hƒ|©h2Eh5B*CJOJQJ\aJphO½+hƒ|©hÄ:™5B*CJOJQJ\aJphO½ kalmazásai
Áll.: Legyen f: (a, b) ’!R differenciálható függvény. Az f függvény monoton növekedQ (csökkenQ)  EMBED Equation.3 fI(x)e"0 (fI(x)d"0)  EMBED Equation.3 x (a, b) esetén.

lokális maximum
Az f függvény lokális maximumhelye az értelmezési tartományának olyan c pontja, melynek van olyan környezete, ahol c kivételével az értelmezési tartomány minden x pontjára teljesül az f(x) < f(c) egyenlQtlenség. Ha f differenciálható a c lokális maximumhelyen, akkor f (c)=0; azaz, a lokális maximumhely.
lokális minimum
Az f függvény lokális minimumhelye az értelmezési tartományának olyan c pontja, melynek van olyan környezete, ahol c kivételével az értelmezési tartomány minden x pontjára teljesül az f(x) > f(c) egyenlQtlenség. Ha f differenciálható a c lokális minimumhelyen, akkor f (c)=0; azaz, a lokális minimumhelyHYPERLINK "http://www.tankonyvtar.hu/main.php?objectID=5801044" \l "stacionarius-pont-egy-valtozoban" .

Def.: f:(a, b)’!R, differenciálható függvény deriváltja az fI függvény differenciálható az x0 (a, b) pontban. Az (f)I(x0)=fII(x0) számról azt mondjuk, hogy az f függvény második deriváltja az x0 pontban. Ha ez  EMBED Equation.3 x0 (a, b) esetén létezik, akkor f-et kétszer differenciálhatónak mondjuk.
Megj.: Hasonlóképp definiálható az f harmadik, negyedik, stb. deriváltja.

Áll.: f: (a, b)’!R differenciálható EMBED Equation.3  f folytonos.

Áll.: Van olyan f: R’!R folytonos függvény, amely sehol sem differenciálható.

Középérték tételek
Rolle tétel: Ha az f:[a, b]’!R függvény folytonos az [a,b] intervallumban, differenciálható az intervallum belsQ pontjaiban és f(a) = f(b), akkor van olyan a < c < b szám, hogy f '(c) = 0 teljesül.
 HYPERLINK "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Rolle's_theorem.svg" 

Lagrange-féle középértéktétel: Ha f folytonos függvény a zárt [a,b] intervallumban és differenciálható a nyílt (a,b) intervallumban, akkor van olyan a < c < b szám, amire teljesül
 QUOTE .
 HYPERLINK "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/61/Lagrange_mean_value_theorem.svg" 
Cauchy-féle középértéktétel: Ha f(x) és g(x) függvények [a, b]-ben folytonosak, (a,b)-ben differenciálhatóak és g'(x) `" 0, ha x  QUOTE  (a, b), akkor van olyan c  QUOTE  (a, b), amire fennáll a következQ egyenlQség:


Taylor polinomok
Taylor-polinom.: Legyen f:(a, b)’!R n-szer differenciálható az x0 pontban, x, x0  QUOTE  (a, b). Az f függvény x0 pont körüli n-ed fokú Taylor polinomja az x pontban:

Megj.: f(i) az i-dik derivált.
A Taylor-tétel arról tesz megállapítást, hogy mennyire tér el a Taylor-sorba fejtett függvény a sor n-edik tagjától, vagyis a Taylor-polinomtól.

Függvény határozatlan integrálja
Def.: F, f:(a, b)’!R. Azt mondjuk, hogy az F függvény primitív függvénye f-nek, ha F (x)=f(x) ( EMBED Equation.3 x QUOTE (a,b)).

Áll.: G, F, f:(a, b)’!R, G és F primitív függvénye f-nek. Ekkor  EMBED Equation.3 c R, hogy G(x)=F(x)+c ( EMBED Equation.3 x (a, b)). Tehát f primitív függvényei csak konstansban térhetnek el egymástól. Emiatt a primitív függvény soha nem egyértelmq, sQt, végtelen sok primitív függvény van.

Def.: F, f:(a, b)’!R, F primitív függvénye f-nek. A primitív függvények összességét f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés:  QUOTE .

Határozott integrál bevezetése
Def.: Legyen a = x0 < x1 <& < xn-1 < xn=b, a, b R. A Fn(x0, x1, & , xn) ponthalmazra azt mondjuk, hogy az [a, b] intervallum n részes felosztása (n+1 elemq).
Az Fn beosztás finomsága: d(Fn)= max (xi  xi-1). Azaz a leghosszabb intervallum hossza.
Legyen ´ > 0. Azt mondjuk, hogy az Fn beosztás ´  nál finomabb, ha d(Fn) < ´.

Riemann féle integrálközelítQ összeg:
Def.: f:[a, b]’!R korlátos függvény. Fn (x0, x1, & , xn) beosztása az [a, b] intervallumnak. Minden [xi, xn-i] (i=0, & , n-1) intervallumból kiválasztunk egy tetszQleges ¾i [xi, xn-i] pontot. ¾=( ¾0, & , ¾n-i). Az f függvénynek az [a, b] intervallum Fn beosztáshoz és ahhoz tartozó ¾ alappontokon vett integrál közelítQ összege:


Def.: Azt mondjuk, hogy a  QUOTE  közelítQ összegnek  EMBED Equation.3 I véges határértéke, ha  EMBED Equation.3 µ>0 esetén  EMBED Equation.3 ´ > 0, hogy ha d(Fn) < ´, akkor  EMBED Equation.3 Ãn közelítQ összegre (azaz bármilyen ¾i-k választása esetén) |Ãn I|<µ.


Def.: Legyen f:[a, b]’!R korlátos függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény Riemann integrálható az [a,b] intervallumon, ha

Létezik, és véges szám.  QUOTE 

Összefüggés a határozatlan integrállal
Áll.: (Newton-Leibniz) Legyen F, f:[a, b]’!R, F primitív függvénye f-nek, f Riemann integrálható az [a, b] intervallumon. Ekkor










 PAGE \* MERGEFORMAT 1

Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

00 16 babits barokk bikém csáth élet eu agrárpolitikája falusi turizmus filmtörténet fogyasztás frazer gazdasági magánjog gazdszoc gyakorlat 1 gyakorló feladatok halász gábor hónolás info képzőművészet kiválasztás környezet környezeti számvitel kötelmi jog kronológia kulturális ökológia lengéstan logika lophotrochozoa magatartás mágia makroökonómia metafora mri művészet nitridálás politológia posztmodern preromán reklám román stendhal stilisztika szimbólum település tolsztoj vállalat helye vázlat vizsgazh zh feladat