Lineáris algebra és operációkutatás

Országok listájaHungaryNyíregyházi FőiskolaTermészettudományi Főiskolai KarProgramozó matematikusZáróvizsgaLineáris algebra és operációkutatás

02. Lineáris algebra és operációkutatás.
(Lineáris terek, alterek, generátorrendszer, lineáris függetlenség és bázis. Lineáris leképezések és mátrixok. Elemi bázistranszformáció és alkalmazása lineáris egyenletrendszerek megoldásában és mátrixok inverzének meghatározásában. A lineáris programozás feladata, szimplex módszer, dualitás. A szállítási feladat.)
Lineáris terek
Def.: Egy L halmazt lineáris térnek nevezzünk a T számtest (pl.: valós vagy komlex számok teste) felett, ha
L-ben van egy + (összeadás) mqvelet; (a, b) ( a + b
a és b öszege az alábbi tulajdonságokkal:
Kommutatív a+b = b+a
Asszociatív (a+b)+c = a+(b+c)
Van egy zérus elem, amelyre a+0 =0+a
Minden a EMBED Equation.3 L esetén létezik (-a) elem, a ellentettje amelyre a + (-a) = 0
Skalárral való szorzás
Bármely  EMBED Equation.3 T és a EMBED Equation.3 L esetén van egy  EMBED Equation.3 *a EMBED Equation.3 L [pl.: R2, 3*(1,2)=(3,6) szám és vektor szorzata]
Tulajdonságok:
Kommutatív  EMBED Equation.3 *a = a* EMBED Equation.3 
Asszociatív  EMBED Equation.3 *( EMBED Equation.3 *a) = ( EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 )*a
1*a =a
Disztributív
( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 )*a =  EMBED Equation.3 *a + EMBED Equation.3 *a
 EMBED Equation.3 *(a + b) =  EMBED Equation.3 *a +  EMBED Equation.3 *b
Alterek
Def.: Egy L lineáris tér altere egy olyan M EMBED Equation.3 L részhalmaz, amely szintén lineáris tér ugyanazokra a mqveletekre. Azaz:
a,b EMBED Equation.3 M  EMBED Equation.3 a + b  EMBED Equation.3 M
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 T, a EMBED Equation.3 M  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 *a EMBED Equation.3 M
0 EMBED Equation.3 M
 EMBED Equation.3 a EMBED Equation.3 M-re (-a) EMBED Equation.3 M
Tétel: M EMBED Equation.3 L részhalmaz pontosan akkor altér, ha
-M EMBED Equation.3 0
- EMBED Equation.3 a,b EMBED Equation.3 M és  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 T-re  EMBED Equation.3 *a +  EMBED Equation.3 *b EMBED Equation.3 M
Generátorrendszer
Def.: Az a1, a2, … an vektorrendszert az L lineáris tér véges generátorrendszerének nevezzük, ha az általuk generált altér L. (elQfordulhat, hogy az L lineáris térbQl kiválasztva egy vektorrendszert (a tér vektorai nak egy véges számú részhalmazát), az azok által generált altér megegyezik L-el.)
Def.: G =  EMBED Equation.3 a1, a2,& , an EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 L generátorrendszer ha  EMBED Equation.3 a EMBED Equation.3 L elQáll a =  EMBED Equation.3 1*a1 +  EMBED Equation.3 2*a2 +& + EMBED Equation.3 n*an alakban.
Ha az  EMBED Equation.3 a EMBED Equation.3  ni=1 vektorrendszer lineáris kombinációi kimerítik az összes szabadvektort, akkor a vektorrendszert generátorrendszernek nevezzük.
(KitérQ) Def.: a1,& ,an vektorok  EMBED Equation.3 1,& , EMBED Equation.3 n  EMBED Equation.3 T számokkal vett lineáris kombinációja:  EMBED Equation.3 1*a1+ EMBED Equation.3 2*a2 +…+ EMBED Equation.3 n*an
Lineáris függetlenség
Def.: Az Ln lineáris tér a1, a2, … an vektorait lineárisan függetlennek nevezzük, ha lineáris kombinációjukként a 0 vektor csak triviális módon állítható elQ (azaz csak úgy ha az összes  EMBED Equation.3 = 0).
Def.:  EMBED Equation.3 a1, a2,& , an EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 L lineárisan független, ha  EMBED Equation.3 1*a1+ EMBED Equation.3 2*a2 +& + EMBED Equation.3 n*an = 0 csak úgy lehetséges, ha  EMBED Equation.3 1= EMBED Equation.3 2=…= EMBED Equation.3 n=0
Példa:
R2-ben a1 = EMBED Equation.3  a2 = EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 1 EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 1+2 EMBED Equation.3 2 = 0
2 EMBED Equation.3 1+3 EMBED Equation.3 2 = 0
-4 EMBED Equation.3 2+3 EMBED Equation.3 2 = 0
 EMBED Equation.3 2 = 0  EMBED Equation.3 1= 0
Lineáris összefüggQség
Def.: Az Ln lineáris tér a1, a2, & an vektorait lineárisan összefüggQnek nevezzük, ha lineáris kombinációjukként a 0 vektor nemcsak triviális módon állítható elQ (azaz ha nem az összes  EMBED Equation.3 = 0).
Def.:  EMBED Equation.3 a1, a2,& , an EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 L lineárisan összefüggQ, ha  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 1,& , EMBED Equation.3 n , hogy nem mindegyik 0 és
 EMBED Equation.3 1*a1+ EMBED Equation.3 2*a2 +…+ EMBED Equation.3 n*an = 0
Példa:
R2-ben a1 = EMBED Equation.3  a2= EMBED Equation.3 
2 EMBED Equation.3 -1 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 2 = 2  EMBED Equation.3 1= -1
Bázis
A lineáris tér egy lineárisan független generátorrendszerét bázisnak nevezzük.
Def.: B =  EMBED Equation.3 a1, a2,…, an EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 L bázis, ha B generátorrendszer és lineárisan független egyszerre.
Tétel: Egy B =  EMBED Equation.3 a1, a2,& , an EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 L bázis  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 a EMBED Equation.3 L vektor egyértelmqen állítható elQ a  EMBED Equation.3 a1, a2,…, an EMBED Equation.3  vektoroknak a lineáris kombinációjaként.
 EMBED Equation.3 a EMBED Equation.3 L  EMBED Equation.3 !  EMBED Equation.3 1,…, EMBED Equation.3 n , hogy a =  EMBED Equation.3 1*a1+ EMBED Equation.3 2*a2 +…+ EMBED Equation.3 n*an
Tétel: Egy bázis elemszáma egyértelmqen meghatározott. Ha B1 és B2 bázisok, akkor |B1|=|B2|.
Def.: a EMBED Equation.3 L vektor B EMBED Equation.3 L bázis
a =  EMBED Equation.3 1*a1+ EMBED Equation.3 2*a2 +& + EMBED Equation.3 n*an
[ EMBED Equation.3 1,& , EMBED Equation.3 n] az a vektornak a B bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
[a]B = [ EMBED Equation.3 1,& , EMBED Equation.3 n]
Lineáris leképezések és mátrixok
Def.: Legyenek V1 és V2 ugyanazon T test feleti vektorterek. A V1-bQl V2-be ható A függvényt lineáris leképezésnek nevezzük, ha mqvelettartó, azaz:

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbrQl a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható mqvelettartó  HYPERLINK "http://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggv%C3%A9ny_%28matematika%29" \o "Függvény (matematika)" függvény (szakszóval, vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelQ leképezés, ha
két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.
L1, L2 lineáris tér T test felett.
f:L1 EMBED Equation.3 L2 lineáris leképezés, ha
f(a+b) = f(a) + f(b) a,b EMBED Equation.3 L1
f( EMBED Equation.3 *a) =  EMBED Equation.3 *f(a)  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 T, a EMBED Equation.3  L1
Tulajdonság: f(0L1) = 0L2
Ekvivalens definíció: f:L1 EMBED Equation.3 L2 lineáris leképezés
 EMBED Equation.3 a,b EMBED Equation.3 L1 és  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 T esetén f( EMBED Equation.3 *a +  EMBED Equation.3 *b) =  EMBED Equation.3 f(a) +  EMBED Equation.3 f(b)
Def.: Magtér = Ker(f)
Ker(f) ={ a EMBED Equation.3 L1:f(a)=0}
Képtér = Im(f) (értékkészlet) Im(f) = {f(a): a EMBED Equation.3 L1}
Tétel: Ker(f) és Im(f) alterek is. Ker(f)  EMBED Equation.3 L1 altér; Im(f)  EMBED Equation.3 L2 altér
Lineáris leképezések mátrixa (Scan08162006_105204)


Ha a képtér m dimenziós, akkor ez összesen n  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/3/6/f/36f8ae4c86b69d52d037a6802d91cc4a.png" \* MERGEFORMATINET m darab (szám)adat. Rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelmqen meghatározza a koordinátamátrixa, melyen a következQ n × m -es mátrixot értjük:
 INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/2/1/e218d5327c820937af47e217f5212ec7.png" \* MERGEFORMATINET 
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/d/6/5/d65fc4f0b0825999548d2751968406e8.png" \* MERGEFORMATINET általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/d/6/5/d65fc4f0b0825999548d2751968406e8.png" \* MERGEFORMATINET V  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/3/e/83e37b7246fdfcb99b2754210ebeae27.png" \* MERGEFORMATINET V típusú, akkor csak  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/1/5/6/156d0043945fe751a951df3818cbfb93.png" \* MERGEFORMATINET -t szokás írni, ha pedig pusztán  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/b/0/ab06c27145a3fa90b92cfb08c9e0d4fe.png" \* MERGEFORMATINET -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Tn vektortér (például Rn) sztenderd bázisáról van szó, azaz a
 INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/c/d/ccd68570f2f5fe76b672a3bf532920fa.png" \* MERGEFORMATINET 
vektorrendszerrQl.
Ezzel a képvektorok koordinátáit a következQ mátrixszorzással számíthatjuk ki:
 INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/3/7/a378da98ef2a2f849bd21b52169c7a23.png" \* MERGEFORMATINET 

f:L1 EMBED Equation.3 L2
L1 bázisa {a1, a2,…, an}
L2 bázisa  EMBED Equation.3 b1, b2,…, bk EMBED Equation.3 
f(a1)=  EMBED Equation.3 1*b1+ EMBED Equation.3 2*b2 +…+ EMBED Equation.3 k*bk  EMBED Equation.3  L2

 EMBED Equation.3 

Def.: a (n x k)-as méretq mátrix, ha n sora és k oszlopa van.
Mátrixmqveletek
Összeadás: két azonos méretq mátrixot lehet csak összeadni.
Anxk Bnxk
A + B =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Számmal való szorzás
c EMBED Equation.3 R Anxk mátrix
c*A =  EMBED Equation.3 

Két mátrix szorzata: sor oszlop szorzással
[a1,…,an] *  EMBED Equation.3 = a1b1 + a2b2 + … + anbn
Anxk*Bkxp
Def.: A (nxn)-es mátrix (négyzetes) inverze az az A-1 mátrix, amelyre A*A-1 = A-1*A = En =  EMBED Equation.3  ha létezik.
Elemi bázistranszformáció
Ha az L lineáris tér egyik bázisáról egy másik bázisra térünk át, akkor bázistranszformációról beszélünk. A báf g
"
N
P
t
v
z
ü
þ


-

1

2

3

4

:

;

M

N

O

P

a

b

t

u

v

w

y

z

Œ

üøôøíøà×ÇàÃøö­¶Ãà׀sàö­cV¶Ãà×j±hú9Whú9WEHúÿU-jí°
M
hú9Whú9WEHúÿUVjÎh$[ûhú9WEHüÿU-jì°
M
h$[ûhú9WEHüÿUVjãhú9Whú9WEHúÿU-jë°
M
hú9Whú9WEHúÿUVhú9Whú9WEHúÿjhú9Whú9WEHúÿUhú9W-jé°
M
h$[ûhú9WEHüÿUVh$[ûhú9WEHüÿjh$[ûhú9WEHüÿU

jàðh$[ûh%3-h$[ûh ]3!)g v ã 2
†
´
ô
>
þ


Â

Ñ


…
Œ
™
õíèíÝÕÊÊÊÊ¿··¬¬ •
$
&
Fa$gdú9W
$„ ^„ a$gdú9W
$
&
Fa$gdú9W $a$gdú9W
$
&
Fa$gdú9W
$
&
Fa$gd$[û $a$gd$[û
$
&
Fa$gd$[ûgd$[û $a$gd$[û $¤a$gdq˜Œ



Ž



˜

™

Ý

Þ

ð

ñ

ò

ó

ú

û






-

2
3
4
5
7
8
J
ïâÕÑÉѼ³£–¼Ñ¼³†y¼Ñ¼³i\¼ÑOFhú9Whú9WEHöÿjhú9Whú9WEHöÿUj=
hú9Whú9WEHúÿU-jñ°
M
hú9Whú9WEHúÿUVjZ
hú9Whú9WEHúÿU-jð°
M
hú9Whú9WEHúÿUVjw hú9Whú9WEHúÿU-jï°
M
hú9Whú9WEHúÿUVhú9Whú9WEHúÿjhú9Whú9WEHúÿUhú9Whú9WH*hú9Wjh$[ûhú9WEHüÿUj” h$[ûhú9WEHüÿU-jî°
M
h$[ûhú9WEHüÿUVJ
K
L
M
T
U
g
h
i
j
k
l
~

€

Œ
˜
™
š
›
­
®
¯
°
±
ïâÕÑÄ»«žÄÑՕ…xÕÑtÑtg^NAgtjÏ hú9Wh9?|EHúÿU-jõ°
M
hú9Wh9?|EHúÿUVhú9Wh9?|EHúÿjhú9Wh9?|EHúÿUh9?|jéhú9Whú9WEHöÿU-jô°
M
hú9Whú9WEHöÿUVhú9Whú9WEHöÿjhú9Whú9WEHúÿU-jó°
M
hú9Whú9WEHúÿUVhú9Whú9WEHúÿjhú9Whú9WEHúÿUhú9Wjhú9Whú9WEHöÿUj hú9Whú9WEHöÿU-jò°
M
hú9Whú9WEHöÿUV±
²
Ä
Å
Æ
Ç
Í
Î
à
á
â
ã
ç
è
ú
û
ü
ý
& ( * , B D h j òéÙÌòÈ»²¢•»Èòé…xòÈ»²h[»È»²K-jú°
M
hú9Wh9?|EHúÿUVjahú9Wh9?|EHúÿU-jù°
M
hú9Wh9?|EHúÿUVj{hú9Wh9?|EHöÿU-jø°
M
hú9Wh9?|EHöÿUVj˜hú9Wh9?|EHúÿU-j÷°
M
hú9Wh9?|EHúÿUVhú9Wh9?|EHúÿjhú9Wh9?|EHúÿUh9?|j²hú9Wh9?|EHöÿU-jö°
M
hú9Wh9?|EHöÿUVhú9Wh9?|EHöÿjhú9Wh9?|EHöÿU™
ª º Ð8Èâ2w’qƒXjØPfxhpóóîéäääßßÚßÕÐßÆßÁ¹´ßgdé $a$gdYJ}gdé dð ¤gdHœgdYJ}gd/m-gd/m-gd/m-gd9?|gd9?|gd9?|
$„ ^„ a$gd9?| j l n x z ž ¢ ¤ 68:<ØÚþòåáåØÈ»åᮥ•ˆ®á{rbU{áH?h9?|h9?|EHúÿjh9?|h9?|EHúÿUjì#h9?|h9?|EHüÿU-jý°
M
h9?|h9?|EHüÿUVh9?|h9?|EHüÿjh9?|h9?|EHüÿUj
"h9?|h9?|EHøÿU-jü°
M
h9?|h9?|EHøÿUVh9?|h9?|EHøÿjh9?|h9?|EHøÿUj' hú9Wh9?|EHúÿU-jû°
M
hú9Wh9?|EHúÿUVhú9Wh9?|EHúÿh9?|jhú9Wh9?|EHúÿUjDhú9Wh9?|EHúÿU !34569:LMNOPbcdeij|}ïâÕÑÄ»«žÄёˆxk‘Ä»[NÄÑÄ»>-j±
M
h9?|h9?|EHüÿUVj+h9?|h9?|EHüÿU-j±
M
h9?|h9?|EHüÿUVjœ)hú9Wh9?|EHúÿU-j±
M
hú9Wh9?|EHúÿUVhú9Wh9?|EHúÿjhú9Wh9?|EHúÿUj¶'h9?|h9?|EHüÿU-jÿ°
M
h9?|h9?|EHüÿUVh9?|h9?|EHüÿjh9?|h9?|EHüÿUh9?|jh9?|h9?|EHúÿUjÒ%h9?|h9?|EHúÿU-jþ°
M
h9?|h9?|EHúÿUV}~‚”•–—˜™«¬­®°±ÃÄÅÆÊËÝÞòåáÔË»®Ôᡘˆ{¡áårbUåáårE-j±
M
h9?|h9?|EHüÿUVj3h9?|h9?|EHüÿU-j±
M
h9?|h9?|EHüÿUVh9?|h9?|EHüÿj/1hú9Wh9?|EHúÿU-j±
M
hú9Wh9?|EHúÿUVhú9Wh9?|EHúÿjhú9Wh9?|EHúÿUjK/h9?|h9?|EHúÿU-j±
M
h9?|h9?|EHúÿUVh9?|h9?|EHúÿjh9?|h9?|EHúÿUh9?|jh9?|h9?|EHüÿUje-h9?|h9?|EHüÿUÞßàãäö÷øùúû
-./02:;MNOPzòåáåØÈ»åáåØ«žåáå؎åá}pgWJp}j<h9?|h/m-EHøÿU-j
±
M
h9?|h/m-EHøÿUVh9?|h/m-EHøÿjh9?|h/m-EHøÿUh/m-j§:h9?|h9?|EHüÿU-j ±
M
h9?|h9?|EHüÿUVjÁ8h9?|h9?|EHüÿU-j±
M
h9?|h9?|EHüÿUVjÞ6h9?|h9?|EHüÿU-j ±
M
h9?|h9?|EHüÿUVh9?|h9?|EHüÿh9?|jh9?|h9?|EHüÿUjø4h9?|h9?|EHüÿUz{Ž”•§¨©ª­®ÀÁÂÃÈÉÛÜÝÞßñòéÙÌòÈ»²¢•»È»²…x»È»²h[»NEhú9Wh/m-EHúÿjhú9Wh/m-EHúÿUjDh9?|h/m-EHüÿU-j ±
M
h9?|h/m-EHüÿUVj4Bh9?|h/m-EHüÿU-j
±
M
h9?|h/m-EHüÿUVjQ@h9?|h/m-EHüÿU-j

±
M
h9?|h/m-EHüÿUVh9?|h/m-EHüÿjh9?|h/m-EHüÿUh/m-jo>h/m-h/m-EHüÿU-j
±
M
h/m-h/m-EHüÿUVh/m-h/m-EHüÿjh/m-h/m-EHüÿUñòóôõö



- !&'9:; M
hú9Wh/m-EHúÿUVhú9Wh/m-EHúÿjÆIh9?|h/m-EHüÿU-j±
M
h9?|h/m-EHüÿUVh9?|h/m-EHüÿjh9?|h/m-EHüÿUjàGhú9Wh/m-EHöÿU-j±
M
hú9Wh/m-EHöÿUVhú9Wh/m-EHöÿjhú9Wh/m-EHöÿUh/m-jhú9Wh/m-EHúÿUjýEhú9Wh/m-EHúÿU-j±
M
hú9Wh/m-EHúÿUVTUVWYZlmnoƒŽ‘’—˜Xln’”–˜šœ¢¤®°²ÖïâÕÑÄ»«žÄњ’š’š’šÑ…|l_…ÑWÑWÑW…|h/m-h/m-H*j[Qh/m-h/m-EHöÿU-j±
M
h/m-h/m-EHöÿUVh/m-h/m-EHöÿjh/m-h/m-EHöÿUhy'³hYJ}H*hYJ}juOh9?|h/m-EHüÿU-j ±
M
h9?|h/m-EHüÿUVh9?|h/m-EHüÿjh9?|h/m-EHüÿUh/m-jhú9Wh/m-EHöÿUjMhú9Wh/m-EHöÿU-j±
M
hú9Wh/m-EHöÿUV-ÖØÚÜÞ68\^`bdfŠŒŽ¬®ïâÕÈ¿¯¢Èž‘ˆxk‘ž‘ˆ[N‘žAjhú9Wh/m-EHúÿUjêXh9?|h/m-EHüÿU-j±
M
h9?|h/m-EHüÿUVj Wh9?|h/m-EHüÿU-j±
M
h9?|h/m-EHüÿUVh9?|h/m-EHüÿjh9?|h/m-EHüÿUh/m-j%Uh9?|h/m-EHøÿU-j±
M
h9?|h/m-EHøÿUVh9?|h/m-EHøÿjh9?|h/m-EHøÿUjh/m-h/m-EHöÿUj@Sh/m-h/m-EHöÿU-j±
M
h/m-h/m-EHöÿUV®ÒÔÖØÚÞàæè

"$HJLNPRTVfhjrtvxœ÷çÚÍÅÁÅÁÍ÷±¤ÍÅÁÅÁÍ÷”‡ÍŃÁ{ÁƒÁwswf]h/m-h¡OµEHöÿjh/m-h¡OµEHöÿUh{2šh¡Oµhéh/m-H*héj–^hú9Wh/m-EHúÿU-j±
M
hú9Wh/m-EHúÿUVj³\hú9Wh/m-EHúÿU-j±
M
hú9Wh/m-EHúÿUVh/m-h/m-h/m-H*jhú9Wh/m-EHúÿUjÐZhú9Wh/m-EHúÿU-j±
M
hú9Wh/m-EHúÿUVhú9Wh/m-EHúÿ"œž ¢¤¦ÊÌÎÐÒÔÚÜÖØøú>@ïâÕÑÕȸ«Õ£—‹‚zsogogoZQA-j-±
M
hú9WhéEHúÿUVhú9WhéEHúÿjhú9WhéEHúÿUh{2šhéH*hé

hHœh¡Oµ hHœEHöÿPJhHœEHöÿH*PJhHœhHœEHöÿH*PJhHœhHœEHöÿH*PJ h¡OµEHöÿPJj^bh/m-h¡OµEHöÿU-j±
M
h/m-h¡OµEHöÿUVh/m-h¡OµEHöÿh¡Oµjh/m-h¡OµEHöÿUjy`h/m-h¡OµEHöÿU-j±
M
h/m-h¡OµEHöÿUV@BDFLNrtvxz|~¢¤¦¨¶öøú*òåÝÙåÐÀ³åÝ®¡˜ˆ{¡ÙwÙåÐgZåÝÙÝÙåÐjïihú9WhéEHúÿU-j"±
M
hú9WhéEHúÿUVhV^’j hh9?|héEHüÿU-j!±
M
h9?|héEHüÿUVh9?|héEHüÿjh9?|héEHüÿU héH*j&fhú9WhéEHúÿU-j ±
M
hú9WhéEHúÿUVhú9WhéEHúÿhéh/m-héH*jhú9WhéEHúÿUjCdhú9WhéEHúÿU*+,-.0156HIJKLNOPfpq€„…Š‹@Bfhjlx„ïâÕÍÉÍÉÕÀ°£ÕÍɛ–É’Š’Š’Š’Š’}tdW}’Éj˜ohú9WhYJ}EHúÿU-jÚ±
M
hú9WhYJ}EHúÿUVhú9WhYJ}EHúÿjhú9WhYJ}EHúÿUhy'³hYJ}H*hYJ} héH*héhéH*jµmhú9WhéEHúÿU-j$±
M
hú9WhéEHúÿUVhú9WhéEHúÿhéh/m-héH*jhú9WhéEHúÿUjÒkhú9WhéEHúÿU-j#±
M
hú9WhéEHúÿUV!„†ª¬®°²´º¼ÆÈÊîðòôö VX|~òéÙÌòÈÀÈÀÈÀòé°£ò–}p–ÈcZJ-j(±
M
hú9WhéEHúÿUVhú9WhéEHúÿjhú9WhéEHúÿUjEuh9?|héEHøÿU-j'±
M
h9?|héEHøÿUVh9?|héEHøÿjh9?|héEHøÿUj`sh/m-héEHöÿU-j&±
M
h/m-héEHöÿUVh/m-héH*héj{qh/m-héEHöÿU-j%±
M
h/m-héEHöÿUVh/m-héEHöÿjh/m-héEHöÿU~€‚„ˆŠŒŽ²´¶¸º¾ÀÈÊîðòôöúüþ/012345GòåÝÙÝÙåÐÀ³åÝÙÝÙåУ–åÝَ‰ÙÙåÐqdåÝÙåÐjÐ|hú9WhéEHúÿU-j+±
M
hú9WhéEHúÿUVhéhé5 héH*héhéH*jízhú9WhéEHúÿU-j*±
M
hú9WhéEHúÿUVj
yhú9WhéEHúÿU-j)±
M
hú9WhéEHúÿUVhú9WhéEHúÿhéh/m-héH*jhú9WhéEHúÿUj'whú9WhéEHúÿU$GHIJKNOabcdeghqrz{}~‘’“•–—˜ïâÕÍÉÕÀ°£ÕÍɜɔɌÉvfYÉQMÉhu.±hu.±héH*jy‚héhu.±EHâÿU-j.±
M
héhu.±EHâÿUVhéhu.±EHâÿjhéhu.±EHâÿUhéhéH*héhéH*

héhéj–€hú9WhéEHúÿU-j-±
M
hú9WhéEHúÿUVhú9WhéEHúÿhéh/m-héH*jhú9WhéEHúÿUj³~hú9WhéEHúÿU-j,±
M
hú9WhéEHúÿUV˜™«¬­®¯±²ÄÅÆÇÈÉÛÜÝÞáâôõòéÙÌòÈÄ·®ž‘·‰|scV|Ä·®F-j2±
M
hú9Whu.±EHúÿUVjوhéhu.±EHâÿU-j1±
M
héhu.±EHâÿUVhéhu.±EHâÿjhéhu.±EHâÿUh/m-hu.±H*jö†hú9Whu.±EHúÿU-j0±
M
hú9Whu.±EHúÿUVhú9Whu.±EHúÿjhú9Whu.±EHúÿUhu.±héj·„hu.±hu.±EHâÿU-j/±
M
hu.±hu.±EHâÿUVhu.±hu.±EHâÿjhu.±hu.±EHâÿUp¯&-l-£-Û-( œ Ê t"
$f$m$«$ô$/%5%„%>&O())Ž*&+Ö+º,0-úúúúúúõðèããããããðãããããÞÞÞõgdò :gd_Ü $a$gdYJ}gd_Ügdu.±gd/m-õö÷øù
-

-
- ---"-#-$-%-(-)-;-<-=->-?-Q-òåÝÐÇ·ªÐ¦Ðǖ‰Ð¦|scV|I@hu.±hu.±EHàÿjhu.±hu.±EHàÿUjt‘hu.±hu.±EHöÿU-j5±
M
hu.±hu.±EHöÿUVhu.±hu.±EHöÿjhu.±hu.±EHöÿUj8hu.±hu.±EHâÿU-j4±
M
hu.±hu.±EHâÿUVhu.±júŒhu.±hu.±EHâÿU-j3±
M
hu.±hu.±EHâÿUVhu.±hu.±EHâÿjhu.±hu.±EHâÿUh/m-hu.±H*jhú9Whu.±EHúÿUj‹hú9Whu.±EHúÿUQ-R-S-T-U-V-h-i-j-k-n-o--‚-ƒ-„-…-‡-ˆ-š-›-œ--ž-Ÿ-¥-ïâÕÑÄ»«žÄёˆxk‘cёˆSF‘cAÑ hu.±H*jš™hú9Whu.±EHúÿU-j9±
M
hú9Whu.±EHúÿUVh/m-hu.±H*j·—hú9Whu.±EHúÿU-j8±
M
hú9Whu.±EHúÿUVhú9Whu.±EHúÿjhú9Whu.±EHúÿUj}•hu.±hu.±EHâÿU-j7±
M
hu.±hu.±EHâÿUVhu.±hu.±EHâÿjhu.±hu.±EHâÿUhu.±jhu.±hu.±EHàÿUjâ’hu.±hu.±EHàÿU-j6±
M
hu.±hu.±EHàÿUV¥-¦-§-¹-º-»-¼-½-¿-À-Ò-Ó-Ô-Õ-×-Û-ß-à-ò-ó-ô-õ-ö-ø-ù- & , . R ùìãÓÆì¾ùì㮡ì¾ùì㍀ì¾ùìãpcì¾ùìãj&¡hu.±hu.±EHúÿU-j=±
M
hu.±hu.±EHúÿUVjCŸhu.±hu.±EHúÿU-j<±
M
hu.±hu.±EHúÿUVhu.±j`hu.±hu.±EHúÿU-j;±
M
hu.±hu.±EHúÿUVhu.±hu.±H*j}›hu.±hu.±EHúÿU-j:±
M
hu.±hu.±EHúÿUVhu.±hu.±EHúÿjhu.±hu.±EHúÿU

hu.±hu.±!R T V X \ b f h Œ Ž  ’ ” œ È Ê Þ à þ !!!! !<">"b"d"f"h"t"€"ïâÕÍÆÂÕ¹©œÕ͘”Œ”Œ”Œ”Œ”vfY”˜jϦhú9WhYJ}EHúÿU-jÛ±
M
hú9WhYJ}EHúÿUVhú9WhYJ}EHúÿjhú9WhYJ}EHúÿUhy'³hYJ}H*hYJ}h_Üjì¤hu.±hu.±EHúÿU-j?±
M
hu.±hu.±EHúÿUVhu.±hu.±EHúÿhu.±

hu.±hu.±hu.±hu.±H*jhu.±hu.±EHúÿUj £hu.±hu.±EHúÿU-j>±
M
hu.±hu.±EHúÿUV-€"‚"¦"¨"ª"¬"®"°"¶"¸"Â"Ä"Æ"ê"ì"î"ð"ò"####T#V#z#|#òéÙÌòÈÀÈÀÈÀòé°£ò–}p–ÈcZJ-jC±
M
h_Üh_ÜEHüÿUVh_Üh_ÜEHüÿjh_Üh_ÜEHüÿUj|¬h9?|h_ÜEHøÿU-jB±
M
h9?|h_ÜEHøÿUVh9?|h_ÜEHøÿjh9?|h_ÜEHøÿUj—ªh/m-h_ÜEHöÿU-jA±
M
h/m-h_ÜEHöÿUVh/m-h_ÜH*h_Üj²¨h/m-h_ÜEHöÿU-j@±
M
h/m-h_ÜEHöÿUVh/m-h_ÜEHöÿjh/m-h_ÜEHöÿU|#~#€#‚#¦#¨#ª#¬#®#´#¶#Ú#Ü#Þ#à#â#
$ $$!$"$#$$$%$'$($)$*$<$=$òåØÏ¿²Øª¦Øϖ‰Øª…¦ØÏuhت¦ª¦ØÏX-jG±
M
hú9Wh_ÜEHúÿUVj´hú9Wh_ÜEHúÿU-jF±
M
hú9Wh_ÜEHúÿUVhV^’j#²hú9Wh_ÜEHúÿU-jE±
M
hú9Wh_ÜEHúÿUVh_Üh/m-h_ÜH*j@°hú9Wh_ÜEHúÿU-jD±
M
hú9Wh_ÜEHúÿUVhú9Wh_ÜEHúÿjhú9Wh_ÜEHúÿUjh_Üh_ÜEHüÿUj^®h_Üh_ÜEHüÿU=$>$?$@$B$C$G$H$Z$[$\$]$^$`$a$n$o$w$x$z${$$Ž$$$’$“$”$•$§$¨$òåÝÙÝÙåÐÀ³åÝ٫٣َٛ…uhŽÙ›ÙŽ…X-jJ±
M
h_Üh_ÜEHâÿUVj¯¹h_Üh_ÜEHâÿU-jI±
M
h_Üh_ÜEHâÿUVh_Üh_ÜEHâÿjh_Üh_ÜEHâÿUh_Üh_ÜH*h_Üh_ÜH*héh_ÜH*jÌ·hú9Wh_ÜEHúÿU-jH±
M
hú9Wh_ÜEHúÿUVhú9Wh_ÜEHúÿh_Üh/m-h_ÜH*jhú9Wh_ÜEHúÿUjéµhú9Wh_ÜEHúÿU¨$©$ª$®$¯$Á$Â$Ã$Ä$Æ$Ç$Ù$Ú$Û$Ü$Ý$Þ$ð$ñ$ò$ó$ö$÷$ %
%òåáåØÈ»åáåØ«žåᑈxk‘á^UE-jN±
M
hu.±h_ÜEHúÿUVhu.±h_ÜEHúÿjhu.±h_ÜEHúÿUj©Âhu.±h_ÜEHâÿU-jM±
M
hu.±h_ÜEHâÿUVhu.±h_ÜEHâÿjhu.±h_ÜEHâÿUjkÀh_Üh_ÜEHâÿU-jL±
M
h_Üh_ÜEHâÿUVj,¾h_Üh_ÜEHâÿU-jK±
M
h_Üh_ÜEHâÿUVh_Üh_ÜEHâÿh_Üjh_Üh_ÜEHâÿUjî»h_Üh_ÜEHâÿU
%
%

% %% %&%'%(%)%*%5%„%Š%Ž%%¡%¢%£%¤%¥%¦%©%ª%¯%°%±%Ã%Ä%Å%Æ%òåÝÙåÐÀ³åÝٯ٨›’‚u›¨m¨m¨m›’]P›jŽÊhq˜h_ÜEHöÿU-jQ±
M
hq˜h_ÜEHöÿUVhq˜h_ÜH*j©Èhq˜h_ÜEHöÿU-jP±
M
hq˜h_ÜEHöÿUVhq˜h_ÜEHöÿjhq˜h_ÜEHöÿU

hq˜h_Ühv jÆÆhu.±h_ÜEHúÿU-jO±
M
hu.±h_ÜEHúÿUVhu.±h_ÜEHúÿh_Ühu.±h_ÜH*jhu.±h_ÜEHúÿUjãÄhu.±h_ÜEHúÿUÆ%Ç%Ù%Ú%Û%Ü%é%<&>&\&^&‚&„&†&ˆ&Š&Œ&’&”&ž& &¢&Æ&È&Ê&Ì&Î&ò&òéÙÌòžž±¨˜‹±¾ƒ¾ƒ¾ƒ±¨sf±YPhq˜h»t/EHøÿjhq˜h»t/EHøÿUj:Ðhq˜h»t/EHöÿU-jT±
M
hq˜h»t/EHöÿUVhq˜h»t/H*jUÎhq˜h»t/EHöÿU-jS±
M
hq˜h»t/EHöÿUVhq˜h»t/EHöÿjhq˜h»t/EHöÿU

hq˜h»t/

hq˜h_ÜjsÌhq˜h_ÜEHøÿU-jR±
M
hq˜h_ÜEHøÿUVhq˜h_ÜEHøÿjhq˜h_ÜEHøÿUò&ô&ö&ø&'
'.'0'2'4'6'Z'\'^'`'b'd'ˆ'Š'Œ'Ž' '¸'Ú'ïâÕÎÁ¸¨›ÁŽ…uhŽÎŽ…XKŽÎC?hV^’hq˜h»t/5jÇ×hq˜h»t/EHüÿU-jX±
M
hq˜h»t/EHüÿUVjäÕhq˜h»t/EHüÿU-jW±
M
hq˜h»t/EHüÿUVhq˜h»t/EHüÿjhq˜h»t/EHüÿUjÔhq˜h»t/EHúÿU-jV±
M
hq˜h»t/EHúÿUVhq˜h»t/EHúÿjhq˜h»t/EHúÿU

hq˜h»t/jhq˜h»t/EHøÿUj-Òhq˜h»t/EHøÿU-jU±
M
hq˜h»t/EHøÿUVÚ'Ü'((((((( ( ((("(#($(%(O(P(b(c(d(e(f(g(y(z({(|((€(’(òéÙÌòŽŽŽòé­ òœŠzm“Å“Š]P“Å“ŠjZßhq˜h»t/EHüÿU-j\±
M
hq˜h»t/EHüÿUVjwÝhq˜h»t/EHüÿU-j[±
M
hq˜h»t/EHüÿUVhq˜h»t/EHüÿjhq˜h»t/EHüÿUj’Ûhq˜h»t/EHöÿU-jZ±
M
hq˜h»t/EHöÿUVhq˜h»t/H*

hq˜h»t/j­Ùhq˜h»t/EHöÿU-jY±
M
hq˜h»t/EHöÿUVhq˜h»t/EHöÿjhq˜h»t/EHöÿU-’(“(”(•(—(˜(ª(«(¬(­(¯(±(²(Ä(Å(Æ(Ç(È(Õ(Ö(è(é(ê(ë(ì(î(ï(ð(ñ()ïâÕÎÁ¸¨›Á“ÎÁ¸ƒvÁ“ÎÁ¸fYÁ“ΓÎÁ¸jèæhq˜h»t/EHúÿU-j`±
M
hq˜h»t/EHúÿUVjåhq˜h»t/EHúÿU-j_±
M
hq˜h»t/EHúÿUVhq˜h»t/H*j"ãhq˜h»t/EHúÿU-j^±
M
hq˜h»t/EHúÿUVhq˜h»t/EHúÿjhq˜h»t/EHúÿU

hq˜h»t/jhq˜h»t/EHüÿUj@áhq˜h»t/EHüÿU-j]±
M
hq˜h»t/EHüÿUV)))) ) )
) ))!)")#)$)%)')()*@*B*D*J*L*T*V*X*x*|*~*†*ˆ*Œ*Ž*ž* *Ä*Æ*È*ïâÕÍÆÍÆÕ½­ ÕÍÆÍƙƙÆÍƙÍƙ‘™‘™Æ™„{k^j‘ìhq˜hò :EHüÿU-jc±
M
hq˜hò :EHüÿUVhq˜hò :EHüÿjhq˜hò :EHüÿUhq˜hò :H*

hq˜hò :j®êhq˜h»t/EHúÿU-jb±
M
hq˜h»t/EHúÿUVhq˜h»t/EHúÿ

hq˜h»t/hq˜h»t/H*jhq˜h»t/EHúÿUjËèhq˜h»t/EHúÿU-ja±
M
hq˜h»t/EHúÿUV$È*Ê*æ*è*

+ +++.+0+T+V+X+Z+\+`+b+d+f+Š+Œ+Ž++’+–+˜+ +¢+Æ+È+òëÞÕŸÞë«¢’…«}ë}ë«¢m`«}ë}ë«¢P-jg±
M
hq˜hò :EHúÿUVj<òhq˜hò :EHúÿU-jf±
M
hq˜hò :EHúÿUVhq˜hò :H*jYðhq˜hò :EHúÿU-je±
M
hq˜hò :EHúÿUVhq˜hò :EHúÿjhq˜hò :EHúÿUjwîhq˜hò :EHøÿU-jd±
M
hq˜hò :EHøÿUVhq˜hò :EHøÿjhq˜hò :EHøÿU

hq˜hò :jhq˜hò :EHüÿUÈ+Ê+Ì+Î+Ò+Ö+Ø+Ú+þ+,,,,

, ,2,4,6,8,:,À,Â,Ê,Ì,ð,ò,ô,ö,ú,þ,-$-&-(-*-òåÝÖÝÖåͽ°åÝÖåÍ “åÝÖÝÖå̓våÝÖåÍfYåj«ûhq˜hò :EHúÿU-jk±
M
hq˜hò :EHúÿUVjÈùhq˜hò :EHúÿU-jj±
M
hq˜hò :EHúÿUVjå÷hq˜hò :EHúÿU-ji±
M
hq˜hò :EHúÿUVjöhq˜hò :EHúÿU-jh±
M
hq˜hò :EHúÿUVhq˜hò :EHúÿ

hq˜hò :hq˜hò :H*jhq˜hò :EHúÿUj-ôhq˜hò :EHúÿU"*-,-.-0-r-š.œ.ž.¦.Ê.Ø.ú.à/â/Z0[0c0d0Z3\3^3`3f3h3¨3ª3¬3Ð3Ò3Ô3Ö3Ø3Ú34÷ðéåÛÊÛ½­½­½œ½œ½œ½˜ð÷ð÷ð÷‹‚re‹^V^hq˜hêWH*

hq˜hêWjõhq˜hêWEHúÿU-jl±
M
hq˜hêWEHúÿUVhq˜hêWEHúÿjhq˜hêWEHúÿUh |'!jhÖ!h |'PJUnH tH hÖ!h |'5PJ\nH tH hÖ!h |'PJnH tH !jŽýhxr—h |'PJUnH tH h |'PJnH tH hò :

hq˜h_Ü

hq˜hò :hq˜hò :H*!0-r-š.ž.V2Î2\3¢3484¼4Ö45%6;6g6²6!7T7úíàй¹´´¬¬§´§¢§§§gd1Zgd1Zgd/m-
&
FgdêWgdêW
&
F„Ê„›þdð ¤d\$^„Ê`„›þgd |'$dð¤d ¤[$a$gd |'

$dð ¤ða$gd |'

$dð ¤a$gd |'gdò :444-4142434445464:4;4M4N4O4P4V4W4i4j4k4l4r4s4…4†4‡4ˆ4‰4ùòåÜÌ¿åò·òª¡‘„ªòª¡tgªòª¡WJªåj„hq˜hêWEHúÿU-jp±
M
hq˜hêWEHúÿUVj¡hq˜hêWEHúÿU-jo±
M
hq˜hêWEHúÿUVj¾hq˜hêWEHúÿU-jn±
M
hq˜hêWEHúÿUVhq˜hêWEHúÿjhq˜hêWEHúÿUhq˜hêWH*jØhq˜hêWEHüÿU-jm±
M
hq˜hêWEHüÿUVhq˜hêWEHüÿjhq˜hêWEHüÿU

hq˜hêW

hq˜hò :‰4›4œ44ž4¢4£4µ4¶4·4¸4º4»4Ì4Î4Ó4Õ4Ö4ï4ð4ñ45555 5555/505÷çÚÍÆÍ÷¶©ÍÆ¡Æ¡Æ¡™Æ¡ŒƒsfŒÆ¡ÆÍ÷V-jt±
M
hq˜hêWEHüÿUVj3hq˜hêWEHúÿU-js±
M
hq˜hêWEHúÿUVhq˜hêWEHúÿjhq˜hêWEHúÿUhq˜hu.±H*hq˜hêWH*jMhq˜hêWEHüÿU-jr±
M
hq˜hêWEHüÿUV

hq˜hêWjhq˜hêWEHüÿUjghq˜hêWEHüÿU-jq±
M
hq˜hêWEHüÿUVhq˜hêWEHüÿ0515255565H5I5J5K5L5M5Q5R5d5e5f5g5h5z5{5|5}5~55‘5òåÞåÕŸåÞ°ÞåÕ “å†}m`†ÞSJhq˜h1ZEHöÿjhq˜h1ZEHöÿUjÂ$hq˜h1ZEHúÿU-jw±
M
hq˜h1ZEHúÿUVhq˜h1ZEHúÿjhq˜h1ZEHúÿUjß"hq˜hêWEHüÿU-jv±
M
hq˜hêWEHüÿUVhq˜hêWH*jù hq˜hêWEHüÿU-ju±
M
hq˜hêWEHüÿUVhq˜hêWEHüÿ

hq˜hêWjhq˜hêWEHüÿUj-hq˜hêWEHüÿU‘5’5“5”5•5§5¨5©5ª5µ5¶5È5É5Ê5Ë5Ð5Ñ5ã5ä5å5æ5í5î56ïâÕÈ¿¯¢È›Ž…uhŽ›Õ_OB՛Ž…jO,hq˜h1ZEHöÿU-j{±
M
hq˜h1ZEHöÿUVhq˜h1ZEHöÿjl*hq˜h1ZEHúÿU-jz±
M
hq˜h1ZEHúÿUVhq˜h1ZEHúÿjhq˜h1ZEHúÿU

hq˜h1Zjˆ(hq˜h1ZEHüÿU-jy±
M
hq˜h1ZEHüÿUVhq˜h1ZEHüÿjhq˜h1ZEHüÿUjhq˜h1ZEHöÿUj¥&hq˜h1ZEHöÿU-jx±
M
hq˜h1ZEHöÿUV6666
6
666-6 6$6%6C6D6F6G6Y6Z6[6\6]6^6e6f6g666—6ïâÕÎÁ¸¨›ÁΔΐ΃zj]ƒÎUΐÎNN

h1Zh1ZhžL>h1ZH*jø1hq˜h1ZEHüÿU-j~±
M
hq˜h1ZEHüÿUVhq˜h1ZEHüÿjhq˜h1ZEHüÿUh«”

hq˜hêWj0hq˜h1ZEHöÿU-j}±
M
hq˜h1ZEHöÿUVhq˜h1ZEHöÿjhq˜h1ZEHöÿU

hq˜h1Zjhq˜h1ZEHúÿUj2.hq˜h1ZEHúÿU-j|±
M
hq˜h1ZEHúÿUV—6˜6ª6«6¬6­6®6¯6±6Û6Ü6Ý6ï6ð6ñ6ò6ó6ô6777òéÙÌòŽ¹µª˜‹vd˜Å\ÅOFh1Zh1ZEHøÿjh1Zh1ZEHøÿUh1Zh1ZH*"jÀ5hò :h1ZB*EHøÿUphÿ(j€±
M
hò :h1ZB*EHøÿUVphÿhò :h1ZB*EHøÿphÿ"jhò :h1ZB*EHøÿUphÿh1Zh1ZB*phÿh1Zh«”hžL>h1ZH*

h1Zh1ZjÜ3h1Zh1ZEHüÿU-j±
M
h1Zh1ZEHüÿUVh1Zh1ZEHüÿjh1Zh1ZEHüÿU 777777 7=7S7T7U7V7W7X7d7e7ƒ7„7…7†7÷7ø7ù7ú7û7j9l9r9t9 9ïâÕÎÆξ­£’£…u…u…d…dSdu…u…u…!j hä[@h |'PJUnH tH !jhä[@h |'PJUnH tH hä[@h |'6PJ]nH tH hä[@h |'PJnH tH !jV\h[[chìn8PJUnH tH hìn8PJnH tH !j„9h[[chìn8PJUnH tH hî
h1Zh1Zh1ZH*

h1Zh1Zjh1Zh1ZEHøÿUj¢7h1Zh1ZEHøÿU-j±
M
h1Zh1ZEHøÿUVT7V7X7 9F:¹=^>„>"? @@%@>@@ö@÷@ AA|BññãÕÃÕ¶§Õ¢¢¢¢¢¢¢¢gdð#gdo)‹ dð¤d ¤d[$\$gd |'
dð¤d ¤[$gd |'$dð¤d ¤d[$\$a$gd |'
„Ðdð ¤^„Ðgd |' $dð ¤d\$a$gd |' $dð ¤d\$a$gdìn8 9¢9B:C:D:E:F:K:L:P:Q:R:S:T:U:X:Y:Z:^:_:h:i:m:n:‘:’::ž:;;;;H;I;º;»;æÑæ¸æÑ«›«‹}«‹}«‹}«›«›«›«›«l«l[l«l«l!jhä[@h |'PJUnH tH !jhä[@h |'PJUnH tH hä[@h |'H*PJnH tH hä[@h |'5PJ\nH tH hä[@h |'6PJ]nH tH hä[@h |'PJnH tH 1jžhä[@h |'CJOJPJQJUaJnH tH (hä[@h |'CJOJPJQJaJnH tH 1jhä[@h |'CJOJPJQJUaJnH tH #»;¼;½;¾;¿;À;1<2<3<4<5X>Z>\>^>"?$?@@@@ @@
@
@

@
@-@ @!@"@#@$@%@ëÒ¹Òë¬ÒëғÒ돈ylcSFly>hq˜h1ZH*j‘(hq˜ho)‹EHúÿU-j‚±
M
hq˜ho)‹EHúÿUVhq˜ho)‹EHúÿjhq˜ho)‹EHúÿUhq˜ho)‹H*

hq˜ho)‹

hêWho)‹h |'1jW$hä[@h |'CJOJPJQJUaJnH tH hä[@h |'PJnH tH 1jhä[@h |'CJOJPJQJUaJnH tH 1jhä[@h |'CJOJPJQJUaJnH tH (hä[@h |'CJOJPJQJaJnH tH %@&@'@.@0@1@2@5@6@;@<@=@>@?@@@H@I@[@\@]@^@_@`@c@d@i@j@k@}@~@@€@„@…@ˆ@‰@›@œ@@ùñùíùñùñùñíæùñùÙÐÀ³ÙùñùñùñÙУ–Ùùñù‰€pcj>.hq˜ho)‹EHúÿU-j…±
M
hq˜ho)‹EHúÿUVhq˜ho)‹EHúÿjhq˜ho)‹EHúÿUjY,hq˜ho)‹EHöÿU-j„±
M
hq˜ho)‹EHöÿUVjt*hq˜ho)‹EHöÿU-jƒ±
M
hq˜ho)‹EHöÿUVhq˜ho)‹EHöÿjhq˜ho)‹EHöÿU

h«”ho)‹h«”hq˜ho)‹H*

hq˜ho)‹&@ž@Ÿ@¡@¢@£@¤@¶@·@¸@¹@º@¼@½@Á@Â@Ô@Õ@Ö@×@Ø@Ú@Û@Ü@Ý@ï@ð@ñ@ò@ô@õ@÷@ø@
AòêãêãòÚʽòêãêãòÚ­ òêãê㓊zm“ãêã`Whq˜ho)‹EH¾ÿjhq˜ho)‹EH¾ÿUjç3hq˜ho)‹EHüÿU-jˆ±
M
hq˜ho)‹EHüÿUVhq˜ho)‹EHüÿjhq˜ho)‹EHüÿUj2hq˜ho)‹EHúÿU-j‡±
M
hq˜ho)‹EHúÿUVj!0hq˜ho)‹EHúÿU-j†±
M
hq˜ho)‹EHúÿUVhq˜ho)‹EHúÿ

hq˜ho)‹hq˜ho)‹H*jhq˜ho)‹EHúÿU!
A
A

A
A A|BœBC CCC C&C8C:C^C`CbCdCfCŠCŒCŽCC’C”C¾CÀCïâÕÎÊÆÂƺº­¤”‡­zqaTzÂPÂPh—
j-:hV%Ëh—
EHÎÿU-j‹±
M
hV%Ëh—
EHÎÿUVhV%Ëh—
EHÎÿjhV%Ëh—
EHÎÿUj±8hV%ËhV%ËEHöÿU-jŠ±
M
hV%ËhV%ËEHöÿUVhV%ËhV%ËEHöÿjhV%ËhV%ËEHöÿUhV%ËhV%ËH*hV%Ëhð#ho)‹

hq˜ho)‹jhq˜ho)‹EH¾ÿUjË5hq˜ho)‹EH¾ÿU-j‰±
M
hq˜ho)‹EH¾ÿUV|BœB C(C’C”C¾CD"D#DND‰D“DE-E†»ˆ»ô¼2¾4¾Ò¾úòíííòèèèàèèÛÖ̺µ°gdÓ+ýgdL'L $a$gdL'L $ ¤a$gdÓ+ý $ ¤a$gdYJ}gd†8Šgd—

&
Fgd—
gd—
gdV%Ë
&
FgdV%Ëgdð# ÀCÂCæCèCêCìCîCôCúC
D

DD-D D!DPDQDUDVDZD[DmDnDoDpDsDtDuDvDzD{D|D}DòéÙÌòÅÁ¹Á¬£“†¬Á¹Á¹Áyp`SyÁ¹Á¹Á¹Á¹jEBh—
h—
EHÎÿU-jŽ±
M
h—
h—
EHÎÿUVh—
h—
EHÎÿjh—
h—
EHÎÿUjY?h—
h—
EH¼ÿU-j±
M
h—
h—
EH¼ÿUVh—
h—
EH¼ÿjh—
h—
EH¼ÿUh—
h—
H*h—


h—
h—
js=h—
h—
EHüÿU-jŒ±
M
h—
h—
EHüÿUVh—
h—
EHüÿjh—
h—
EHüÿU }D…D†D‡DˆDŠDDD’DÆDÈDÜDÞDâDäDêDëDîDïDEEEEE-EšEFºˆ»Â»Ä»è»ê»ì»î»ð»ò»ø»ú»¼üôüôüôüôüìüìüìüôüßÖƹßüµ±­«±µž•…xžqiqiqh†8Šh†8ŠH*

h†8Šh†8ŠjÚFh†8Šh†8ŠEHöÿU-j±
M
h†8Šh†8ŠEHöÿUVh†8Šh†8ŠEHöÿjh†8Šh†8ŠEHöÿUUhç
hYJ}h†8ŠjÅDh—
h†8ŠEHÒÿU-j±
M
h—
h†8ŠEHÒÿUVh—
h†8ŠEHÒÿjh—
h†8ŠEHÒÿUh—
h—
H*h—
h—
H*h—
'zistranszformációnak azt a legegyszerqbb esetét, amikor a bázisvektorok közül csak egy vektort cserélünk ki, azaz a két bázis csak egy vektorban különbözik, elemi bázistranszfomációnak nevezzük.

Tétel: L lineáris tér és B =  EMBED Equation.3 b1, b2,& , bn EMBED Equation.3 egy bázisa és c EMBED Equation.3 0; c EMBED Equation.3 L vektor [c] = [c1,c2,& ,cn] azaz
c = c1*b1 + c2*b2 +& + cnbn ha ck  EMBED Equation.3 0, akkor  EMBED Equation.3 b1, & ,bk-1,c, bk+1,& , bn EMBED Equation.3 szintén bázis lesz L-ben.

Elemi bázistranszformáció alkalmazása lineáris egyenletrendszerek megoldásában
A lineáris egyenletrendszer röviden Ax = b formában írható fel, ahol:
A  az együttható mátrix
x  az ismeretlenek vektora
b  jobb oldalon a konstansok
Felírjuk a táblázatot.
Generálóelemet választunk (nem lehet 0)
A generálóelem oszlopát elhagyjuk
A generálóelem sorát végigosztjuk a generálóelemmel
A többire a téglalap módszert alkalmazzuk. (3 = 3-(2*(-1))/1)
Az elQzQ lépéseket ismételjük amíg csak a b oszlop marad. Az lesz az eredmény.
Elemi bázistranszformáció alkalmazása mátrixok inverzének meghatározásában
Felírjuk a táblázatot.
Generálóelemet választunk (nem lehet 0)
Ahol generálóelemet választunk, ott a és e helyetcserél
A generálóelem helyére a reciproka kerül
A generálóelem sorát végigosztjuk a generálóelemmel
A generálóelem oszlopát végigosztjuk a generálóelemmel és (-1)-el szorozzuk
A többire a téglalap módszert alkalmazzuk. (-1 =-1-(2*0)/1)
Az elQzQ lépéseket ismételjük amíg az összes e és a helyetcserél.
Végül rendezzük: elQször a sorokat rakjuk sorba, aztán az oszlopokat.
Ez a mártix inverze.
Lineáris programozás
Normál feladat:
A  az együttható mátrix
x  az ismeretlenek vektora
b  jobb oldalon a konstansok
Ax d" b, x e" 0 és b e" 0
feltételek mellett keressük az f(x) = c"x célfüggvény maximumát.
Módosított normál feladat:
A  az együttható mátrix
x  az ismeretlenek vektora
b  jobb oldalon a konstansok
A1x = b1 x e" 0, b1 e" 0 és b2 e" 0 A2x d" b2 feltételek mellett keressük az f(x) = c"x célfüggvény maximumát.
Általános feladat:
A  az együttható mátrix
x  az ismeretlenek vektora
b  jobb oldalon a konstansok
A1x = b1 x e" 0 és b1 e" 0, b2 e" 0, b3 e" 0 A2x d" b2 A3x e" b3 feltételek mellett keressük az f(x) = c"x célfüggvény maximumát.
Mindhárom típus felírható
Ax d" b x e" 0 c"x ’! max alakban, ez a standard feladat.
Def.: Az Ax d" b, x e" 0 egyenlQtlenség rendszert kielégítQ x vektort a standard feladat lehetséges megoldásának, ezen vektorok L halmazát a lehetséges vektorok halmazának nevezzük.
Az f célfüggvény értelmezési tartománya a lehetséges megoldások halamza. Ha f-nek van maximuma, akkor azt az x vektort, amelynél f maximális, optimális megoldásnak nevezzük, és x0-val jelöljük. Több optimális meoldás is lehet.
Szimplex módszer
Def.: Az Ax d" b, x e" 0 egyenlQtlenség rendszer x lehetséges megoldásához tartozó u eltérésvektor az a vektor, amelyre Ax + u = b.
Szimplex módszer:
Ax + u = b x e" 0, u e" 0, b e" 0 c"x ’! max Generálóelem választásának követelményei:
Pozitív szám legyen
Célfüggvénynél ci > 0 felett lehet csak választani
szqk keresztmetszet ha több pozitív elem is van egy oszlopban, azaz több lehetséges generálóelem, akkor azt kell választani, amelyre bi/gi a legkisebb.
Kiinduló Szimplex tábla:
x1 x2 xn b u1 a11 a12 a1n b1 u2 a21 a22 a2n b2 um am1 am2 amn bm -z c1 c2 cn 0
Dualitás
Def.:
Ax d" b Ay e" c c"x ’! max by ’! min x e" 0 y e" 0 Ezek a feladatok egymás duáljai.
Primál feladatnál: Ax + u = b
Duál feladatnál: Ay  w = c
Ha ezeknél a feladatoknál x és y lehetséges megoldások, akkor cx d" by.
Szállítási feladat
Van n db feladóhely, és k db rendeltetési hely. Ismert, hogy melyik feladóhelyen hány db szállítandó dolog van, és melyik rendeltetési helyre hányat kell szállítani.
Költségmátrix: 1 db árú szállítási ktge adott helyrQ adott helyre. Ez is adott.
Ezen adatok ismeretében felrajzoljuk a táblát.
R1 R2 R3 R4 F1 2 5 8 1 3 F2 2 2 4 4 18 F3 8 8 1 3 9 6 8 5 11 30
Sorminimum módszer: minden sorban megkeressük a minimális ktgelemet, és arra annyit szállítunk amennyit csak lehet.
Ahol szállítunk, azt bekeretezzük, és kötött elemeknek nevezzük. Ha valahonnan már nincs mit szállítani, vagy már nem kell több árú, azt a sort kihúzzuk.
Kötött elemek száma = sorok + oszlopok  1
Program javítása:
Az oszlopokat átnevezzük: v1& vn, a sorokat: u1& un.
Kiindulás: u1 = 0
Ahol szállítottunk, ott ( cij = ui + vj ) a sor és oszlop számának összege ki kell adja a költséget.
Ezzel a módszerrel beszámozzuk a sorokat és oszlopokat, majd a mátrix többi eleméhez beírjuk a cij  (ui + vj) eredményének elQjelét. Akkor optimális, ha az összes elQjel +.
Ha valahol van (-) is, akkor javítani kell a hurok mentén.
Hurok: vizszintesen és függQlegesen halad, minden sorban és minden oszlopban legfeljebb 2 elemen halad át és visszajut magába. Kiindulóelem kivételével minden elem kötöttelem amin áthalad.








 PAGE \* MERGEFORMAT 8



a1 a2 a3 b e1 1 2 3 6 e2 -1 3 4 6 e3 2 -1 1 2

a1 a2 a3 e1 1 2 1 e2 0 -1 2 e3 3 1 -1

a1 a2 a3 b e1 1 2 3 6 e2 -1 3 4 6 e3 2 -1 1 2

a1 a2 a3 b e1 1 2 3 6 e2 -1 3 4 6 e3 2 -1 1 2

a1 a2 a3 b e1 1 2 3 6 e2 -1 3 4 6 e3 2 -1 1 2

Hasonló témájú dokumentumok

Kidolgozott feladatok

- 2012-01-22 08:52:51

Opkut

- 2008-09-10 11:08:57

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Szavazz a feltöltött dokumentumokra az alapján, hogy mennyire volt számodra használható vagy épp használhatatlan (mondjuk azért, mert tele van hibával). A dokumentumok a szavazataitok alapján sorrendeződnek így hosszútávon a legjobb pontokat kapó dokumentumok lesznek a lista elején. Csak a saját szakod dokumentumaira szavazhatsz.

1-8 2009 3. algoritmusok államháztartás andorka barokk bce biológiai vízminősítés bogarak citrátkör civil szervezetek csont dendrológia épszerk iii. eredménykimutatás feladatok feladatsor fémek filológia gazdaság gazdasági közjog gazdinfo génmódosítás kereskedelem korreláció környezetvédelmi kultúra lemeztektonika lowie magyar romanika méretezés merőpiac minden ami valszám mindennapok kémiája neveléslélektan növényszervezettan oecd ordo ökológia paulovics peter behrens pricing strategies sql szótár tanenbaum torlódási hely törvény vállalat gazdaságtan vizsgazárthelyi