Matematikai logika
Országok listája
HungaryNyíregyházi FőiskolaTermészettudományi Főiskolai KarProgramozó matematikusZáróvizsgaMatematikai logika
2009.02.01 19:18:57
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
01. Logika
(ElsQrendq nyelvek (példa elsQrendq nyelvre), termek, formulák, kötött és szabad változók. A nyelv szemantikája, értékelt term, értékelt formula. Logikai törvények és alkalmazásaik, konjunktív és diszjunktív normálforma, formula prenex alakja. A logika következmény fogalma.)
ElsQrendq nyelvek:
Az ©=
rendezett négyest elsQrendq nyelvnek nevezzük, ahol:
S nemüres halmaz; a nyelv típusainak a halmaza. Minden (À S) típushoz változók megszámlálható rendszere tartozik. (Ezek: x1À, x2À, x3À, & , vagy x1, x2, x3, & , x, y, z, & )
C halmaz, az © nyelv konstansainak a halmaza, lehet üres halmaz is, ha megadunk egy konstanst, akkor meg kell adni a típusát is. (Pl.: C Cnst T-típushoz kell tartoznia.)
F az © nyelv függvény szimbólumainak a halmaza, lehet üres is. Minden f F-hez hozzárendeljük a függvény szimbólum alakját.
f(À1, À2, & , Àn! À) ahol n>0 és À1, À2, & , Àn, À S minden
f:(x1, x2, & , xn)! x, xi Ài típusú változó
i=1, & , n és az x pedig À típusú változó
P nemüres halmaz. A nyelv predikátum szimbólumainak halmaza. Minden P P predikátumbetqhöz hozzá kell rendelni az alakját: p(À1, À2, & , Àn), ahol ne"0 és À1, À2, & , Àn S. Ilyenkor P-t n-változós predikátum szimbólumnak (betqnek) nevezzük. A Ø változós predikátumszimbólumot propozícionális betqnek nevezzük.
Példa elsQrendq nyelvre: A geom nyelv
A nyelv típusai (S):
Pontok: A, B, C, & pont típusú változók
Egyenesek: e, f, g, & , p, q, s, egyenes típusú változók
Síkok: a, b, c, & sík típusú változók
Konstans nincs (C = 0)
Függvény szimbólum nincs (F = 0)
Predikátum szimbólumok (P):
(A=B) A és B pontok megegyeznek
(A p) A illeszekdi a p egyenesre
(A a) A pont illeszekdik az a síkra
A nyelv termjei: (induktív definíció)
Bázis:
Minden À típusú változó az À típusú term
Minden À típusú konstans az À típusú term
Indukciós lépés:
Ha f(À1, À2, & , Àn! À) alakú függvény szimbólum, és ti pedig Ài-típusú termek (i=1, & , n), akkor az f(t1, t2, & , tn) kifejezés À típusú term. (A À tipus termekbQl, À tipusú függvényekkel elQállított kifejezések, a À tipusú termek.)
Megjegyzés: Az elQzQ 3 lépés véges sokszori alkalmazásával kapott kifejezések a termek.
A nyelv atomi formulái:
Legyen p egy predikátumszimbólum, melynek alakja p(À1, À2, & , Àn) és ti Ài-típusú termek. Ekkor a p(t1, t2, & , tn) kifejezést atomi formulának nevezzük. Speciálisan a propozícionális betq is atomi formula. (A À tipusú termekbQl, predikátumszimbólumokkal elQállított kifejezéseket atomi formuláknak nevezzük.)
A nyelv formulái: (induktív definíció)
Bázis:
Minden atomi formula formula is.
Indukciós lépés:
Ha A és B formulák, akkor az (A EMBED Equation.3 B); (A EMBED Equation.3 B); (A EMBED Equation.3 B); EMBED Equation.3 A is formula.
Ha A formula és x tetszQleges változó, úgy EMBED Equation.3 xA; EMBED Equation.3 xA is formulák.
Megjegyzés: Az elQzQ 3 lépés véges sokszori alkalmazásával kapott kifejezések a formulák.
Megállapodások:
A formula külsQ zárójelei elhagyhatóak,
Logikai összekötQjelek prioritása: a", EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 és EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 és EMBED Equation.3 , (gyengébb ( erQsebb)
Azonos prioritás esetén a jobb oldalit hajtjuk végre elQször. EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 yA(x, y),
Ponthasználat konvergenciája: A logikai összekötQjel jobb oldalán álló pont jelöli a leggyengébb összekötQ jelet. (Pl.: A EMBED Equation.3 B EMBED Equation.3 C ~ A EMBED Equation.3 (B EMBED Equation.3 C))
Változók szabad és kötött elQfordulása:
Def.: A EMBED Equation.3 xA; EMBED Equation.3 xA formulákban a EMBED Equation.3 x; EMBED Equation.3 x jeleket kvantoros elQtagnak nevezzük. x-et a kvantor változójának, az A formulát a kvantor hatókörének nevezzük.
Azt mondjuk, hogy egy változó kötött elQfordulású a formulában, ha olyan rész formulában szerepel amely kvantor hatáskörében áll. Egy változó szabad, ha nem kötött.
Def.: Szabad változót tartalmazó formulát nyitott mondatnak nevezzük. Szabad változót nem tartalmazó formulát zárt formulának (kijelentésnek) nevezzük.
Pontosítva:
Def.: Kötött változó: (induktív definíció)
Bázis:
Atomi formulában nincs kvantor, minden változója szabad. Azaz a p(t1, t2,
, tn) atomi formulában a t1, t2,
, tn-ben szereplQ változók mind szabadok.
Indukciós lépés:
EMBED Equation.3 A-ban egy elQfordulás kötött, vagy szabad aszerint, hogy az A-ban kötött vagy szabad.
A, B formulák, (A"B)-ben egy elQfordulás kötött, vagy szabad, attól függQen, hogy kötött vagy szabad A-ban vagy B-ben.
EMBED Equation.3 xA( EMBED Equation.3 xA) -ban, az x minden elQfordulása kötött, minden x-tQl különbözQ változó kötött vagy szabad, attól függQen, hogy A-ban kötött vagy szabad volt.
>
b
d
r
t
x
z
|
`
b
l
n
Ú
Ü
æ
è
ïÜÉ´¦|||ggR=g=g=|(hLRÙhXpZCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhèhÜCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhZCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhò CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhC´CJOJPJQJaJnH tH
hj$chPk
hj$chC´(hj$chZCJOJPJQJaJnH tH %hj$chq-£B*CJOJQJaJph6_%hj$chj$cB*CJOJQJaJph6_-hj$cB*CJOJQJaJph6_>
d
ò
P
¨
¢ &ÖJÀôçâÚËËÀ´´¤|
$
&
Fa$gdôP2 $a$gdôP2$
&
FÊþ ¤x^Ê`þa$gdWí$Ô
Ä^Ô
`Äa$gdl5Ö
$^a$gdl5Ö
$
&
Fa$gdZ$
&
FÄ^Äa$gdl5Ö $a$gdl5Ögdj$c
$d ¤Èa$gdj$c
$d ¤xgdWí
4
6
L
N
P
R
R
T
\
^
¤
¦
> F Î Ò è
VX^`Ôö
ph3hj$chôP25B*CJOJQJ\aJnH phO½tH (hLRÙhôP2CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhl5ÖCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhùi/CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhZCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhò CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhXpZCJOJPJQJaJnH tH #Ìú< t ´ ú F¢öJnHø(èôôìììôô×ÏÏÄÄϹ¯ª¯¢ $a$gd¢lgdj$c $ ¤xa$gdWí
$
&
Fa$gdÉ
$
&
Fa$gdùi/ $a$gdl5Ö$
&
FÊþ ¤x^Ê`þa$gdWí $a$gdôP2
$
&
Fa$gdôP2À ø ú Fdfh ¢¤Òòôø
HJlr ÔîëÖë¼¢mXCXXXmXX(hLRÙh@ ñCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhùi/CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhl5ÖCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh¢lCJOJPJQJaJnH tH h_Èh¢lB*
ph3hj$chl5Ö5B*CJOJQJ\aJnH phO½tH 3hj$chÉ
5B*CJOJQJ\aJnH phO½tH (hLRÙhôP2CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhÒ6CJOJPJQJaJnH tH îð$,vxÀÂ$&DFH`öøú&(:@bõàËàËàõඡ¡làlhaZMàlàlàh_Èh¢l>*B*
ph
hj$ch¢l
hj$chÉ
h¢l(hLRÙhÉ
CJOJPJQJaJnH tH h,3ÒhÞxÉCJOJQJaJ h,3ÒhÞxÉCJOJQJ^JaJ(h,3ÒhÞxÉCJOJPJQJaJnH tH (h,3Òh¢lCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhùi/CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh¢lCJOJPJQJaJnH tH hÞxÉhÞxÉCJ aJ bÆÊÎÒÔ¼¾öëÖÁ°¡°lR81ë
hLRÙh8è3hj$ch8è5B*CJOJQJ\aJnH phO½tH 3hj$chÉ
5B*CJOJQJ\aJnH phO½tH (hLRÙh¢lCJOJPJQJaJnH tH "hÞxÉCJOJPJQJaJnH tH hÞxÉCJ OJQJ^JaJ h,3ÒhÞxÉCJOJQJaJ h,3ÒhÞxÉCJOJQJ^JaJ(h,3ÒhÞxÉCJOJPJQJaJnH tH (h,3Òh8èCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh8èCJOJPJQJaJnH tH
èø:^j- -B--8!&"ò#B$&&d'f'K(W(((÷ìäÙÙÑÑɾ¾¾¾¹ÉÉÉÉÉÉÉÉgdj$c
$
&
F a$gd3 $a$gd3 $a$gdÉ
$
&
Fa$gd8è $a$gd8è
$
&
Fa$gdÉ
$a$gd¢löøú06ÄÆÊÖØþ8ëÖÁëÁ¨w¨Á¨[B¨Á¨1jôhLRÙhºCJOJPJQJUaJnH tH 7jÑUJ
hLRÙhºCJOJPJQJUVaJnH tH 7jµUJ
hLRÙhºCJOJPJQJUVaJnH tH (hLRÙhºCJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙhºCJOJPJQJUaJnH tH (hLRÙh8èCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh@ ñCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhÉ
CJOJPJQJaJnH tH 8:<>FHnprt~æè ãʱ±kR±=±(hLRÙhÉ
CJOJPJQJaJnH tH 1jÝhLRÙhºCJOJPJQJUaJnH tH 7jãUJ
hLRÙhºCJOJPJQJUVaJnH tH (hLRÙhºCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh8èCJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙhºCJOJPJQJUaJnH tH 1jèhLRÙhºCJOJPJQJUaJnH tH 7j§UJ
hLRÙhºCJOJPJQJUVaJnH tH BDFH-- -Þ-ãʱ±g±R=R=(hLRÙh3CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhÉ
CJOJPJQJaJnH tH 1jÈ hLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7jCWJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH (hLRÙhºCJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙhºCJOJPJQJUaJnH tH 1jÓ hLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7j1WJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH Þ-à-
8 : < > D F l n p r v x æѵæÑæÑgæÑæÑK2æÑæ1j¦hLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7jÑUJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH 1j²
hLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7jµUJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH 1j½
hLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7j§UJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH (hLRÙh3CJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH x ¢ ¤ ¨ ª Ð Ò Ô Ö Ü Þ !!!
!
!ë϶ëëhëëL3ë1jhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7jCWJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH 1jhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7jhYJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH 1jhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 1jhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7jãUJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH (hLRÙh3CJOJPJQJaJnH tH
!"!$!6!t!°!´!¶!Ü!Þ!à!â!ä!æ!
" "ëÓ뾩¾¾t[¾¾?7jmYJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH 1juhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 7jCWJ
hLRÙh3CJOJPJQJUVaJnH tH 1jhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH (hLRÙhôP2CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh3CJOJPJQJaJnH tH . jàðhLRÙhÉ
CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhÉ
CJOJPJQJaJnH tH """###@#B#D#F#J#L#r#t#v#x###²#´#æ͸££nU££n<££n1jOhLRÙhôP2CJOJPJQJUaJnH tH 1jZhLRÙhôP2CJOJPJQJUaJnH tH 7j§UJ
hLRÙhôP2CJOJPJQJUVaJnH tH 1jhLRÙhôP2CJOJPJQJUaJnH tH (hLRÙhôP2CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh3CJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH 1jjhLRÙh3CJOJPJQJUaJnH tH ´#¶#¸#¼#¾#ä#æ#è#ê#ð#ò#@$B$P$R$x$æ͸͸͸ngZnA,(hLRÙh@ ñCJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH h_Èh3>*B*
ph
hj$ch3(hLRÙh3CJOJPJQJaJnH tH 1j9!hLRÙhôP2CJOJPJQJUaJnH tH 7j§UJ
hLRÙhôP2CJOJPJQJUVaJnH tH (hLRÙhôP2CJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙhôP2CJOJPJQJUaJnH tH 1jD-hLRÙhôP2CJOJPJQJUaJnH tH x$z$|$~$$$¬$®$°$²$Ò$Ô$ú$ü$þ$%%%,%.%0%ãʱ±g±±ãN±±51j
)hLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH 1j'hLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH 1j#%hLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH 7jCWJ
hLRÙh@ ñCJOJPJQJUVaJnH tH (hLRÙh@ ñCJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH 1j.#hLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH 7j1WJ
hLRÙh@ ñCJOJPJQJUVaJnH tH 0%2%l%%ò%ô%b&& &Ì&Þ&è&''r't'Ê'Ö'2(?(K(V(\(](k(((Â(H*n*p***æѼѼѼѼѼѼѧѧѧѧÑѧѧÑæÑd7jãUJ
hLRÙh@ ñCJOJPJQJUVaJnH tH 3hj$ch@ ñ5B*CJOJQJ\aJnH phO½tH h_Èh@ ñ>*B*
ph(hLRÙhñbwCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhÒ6CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh@ ñCJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH (J*n*H+6,º-ÂXîXRYD[b[\¨\ú\L]^^¦^_D`BaôìáááÙÔÌÌÔÌÌÁ¶®®Ô®®® $a$gd"ö
$
&
F a$gd"ö
$
&
F a$gdò $a$gdò gdj$c $a$gdU/n
$
&
Fa$gdU/n $a$gd3
$
&
Fa$gdñbw ***H+f+Ä+,&,2,4,6,8,^,`,b,d,f,æ͸£¸£¸£¸u£Y@u+(hLRÙh\ÍCJOJPJQJaJnH tH 1jø,hLRÙhñbwCJOJPJQJUaJnH tH 7jhYJ
hLRÙhñbwCJOJPJQJUVaJnH tH 1jhLRÙhñbwCJOJPJQJUaJnH tH (hLRÙhò CJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhñbwCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙh@ ñCJOJPJQJaJnH tH 1jhLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH 1j+hLRÙh@ ñCJOJPJQJUaJnH tH f,h,j,l,,,,, ,-z-º-XÂXîXD[b[v[x[Ô[à[\\\¨\ëÖ½Ö¡½ÖëÖëqjëjëqUëUëUë(hLRÙh¸CJOJPJQJaJnH tH
hj$chò (hLRÙhU/nCJOJPJQJaJnH tH U1jè.hLRÙhñbwCJOJPJQJUaJnH tH 7jCWJ
hLRÙhñbwCJOJPJQJUVaJnH tH 1jhLRÙhñbwCJOJPJQJUaJnH tH (hLRÙhñbwCJOJPJQJaJnH tH (hLRÙhò CJOJPJQJaJnH tH Ha egy változónak egy formuában van szabad elQfordulása, akkor eza változó a formula paramétere.
A nyelv szemantikája:
Adott az © elsQrendq nyelv ©=.
A D függvényt a nyelv hordozójának nevezzük, a D minden À-típushoz hozzárendel egy DÀ nemüres halmazt, amelyet a À típus hordozójának, objektum tartományának nevezzük. /DÀ nem más, mint a À típusú változók összes lehetséges értékeinek a halmaza./
Értékelt term:
Legyen az © nyelvnek I egy interpretációja. Az © nyelvnek t egy À típusú értékelhetQ termje, melynek az I-beli értéke egy DÀ-beli objektum. Jelölése: |t|I
Bázis:
c C úgy |c|I EMBED Equation.3 c1,
a DÀ úgy |a|I EMBED Equation.3 a.
Megjegyzés: Változót tartalmazó termet nem lehet értékelni. Pl.: x+SSo-t nem értékelhetQ.
Egy értékelhetQ term értéke csak a rész termjei értékeitQl függ.
Értékelt formula:
Legyen az © nyelvek I egy interpretációja. Az © értékelhetQ formulájának értéke I-ben vagy 0 vagy 1. Jelölése: ||A||I
(I^%A azt jelenti, hogy az I interpretációban A igaz formula, ha pedig Ia%A, akkor hamis).
Legyen a formula atomi formula, azaz p(t1, t2, & , tn) alakú, ahol t1, & , tn már értékelt termek, értéke vagy 0 vagy 1 lesz.
Indukciós lépés:
I^%A EMBED Equation.3 B EMBED Equation.3 I^%A és I^%B,
I^%A EMBED Equation.3 B EMBED Equation.3 I^%A vagy I^%B,
I^%A EMBED Equation.3 B EMBED Equation.3 I^%A akkor I^%B,
I^% EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 nem igaz, hogy I^%A,
I^% EMBED Equation.3 xA EMBED Equation.3 ha minden a DÀ esetén I^%Aa*,
I^% EMBED Equation.3 xA EMBED Equation.3 ha van olyan a DÀ hogy I^%Aa*,
Logikai törvények:
Def.: Az © nyelv egy A formulája logikai törvény, ha minden I interpretációban és minden értékelés esetén I^%A /A igaz/.
Az A formula logikai ellentmondás, kontradikció, ha minden interpretációban és kiértékelés esetén hamis.
Def.: Az © nyelv A formulája kielégíthetQ formula, ha van olyan interpretációja, és értékelése, amelyben A igaz.
Def.: Az A és B formulákat logikailag ekvivalensnek nevezzük, ha Aa"B.
Logikai törvények alkalmazása:
Kvantormentes formulák normálformái:
Def.: Atomi formulát vagy negáltját literálnak nevezzük. Legyenek L1, L2, & , Ln literálok. Literálok konjunkcióját elemi konjunkciónak nevezzük (L1 EMBED Equation.3 L2 EMBED Equation.3 & EMBED Equation.3 Ln).
Literálok diszjunkcióját elemi diszjunkciónak nevezzük (L1 EMBED Equation.3 L2 EMBED Equation.3 & EMBED Equation.3 Ln).
Legyenek K1, K2, & , Km elemi konjunkciók (me"1), ekkor a K1 EMBED Equation.3 K2 EMBED Equation.3 & EMBED Equation.3 Km alakú formula diszjunktív normálforma (DNF).
Legyenek D1, D2, & , Dm elemi diszjunkciók (me"1), ekkor a D1 EMBED Equation.3 D2 EMBED Equation.3 & EMBED Equation.3 Dm alakú formula konjunktív normálforma (KNF).
Lemma: Az © nyelv minden kvantormentes formulája D.N.F. illetve K.N.F. alakra hozható, azaz logikailag ekvivalens bármelyik D.N.F-fel illetve K.N.F-fel.
A bizonyítás algoritmusa:
A logikai jelek közti összefüggések alapján az implikációkat eltávolítjuk.
A negáció jeleket bevisszük a komponensig, a De-Morgan törvények és a kétszeres tagadás segítségével.
A disztributivitás segítségével elérjük, hogy a EMBED Equation.3 és a EMBED Equation.3 megfelelQ sorrendben kövessék egymást.
Esetleg egyszerqsítünk (elnyelési törvények/elimináció/, kiszámítási szabályok).
Prenex alak:
Def.: Az © nyelv Q1x1Q2x2& QnxnA alakú formuláját (n e" 0), ahol Q1Q2& Qn kvantorok, az A pedig kvantormentes formula, prenex alakú formulának nevezzük. (Az összes kvantor a formula elQtt van.) Speciális kvantormentes formula is prenex alakú formula.
Lemma: Minden formula vele logikailag ekvivalens prenex formulává alakítható.
A bizonyítás algoritmusa:
A formulát váltzótiszta alakra hozzuk. /ez a lépés fontos/
A kvantorok De-Morgan és a kvantorok egyoldali kiemelési törvényeit egymás után alkalmazva /ha kell többször is/ prenex formulát kapunk.
Megjegyzés: A kvantorok kiemelési sorrendje tetszés szerint változtatható, így a prenex alak kvantoros elQtagja más és más lehet.
Logikai következmény:
Legyen A1, A2, & An az © nyelv véges sok formulája és B pedig egy formula. Azt mondjuk, hogy az A1, A2, & An formuláknak logikai következménye a B formula (jelekkel: A1, A2, & An ^%B), ha minden olyan I interpretációban és minden olyan értékelés esetén amikor A1, A2, & An formulák mind igazak I-ben, akkor B formula is igaz lesz az I-ben.
PAGE \* MERGEFORMAT 3
Hasonló témájú dokumentumok
- 2009-01-06 13:41:55
- 2007-11-28 17:48:07
- 2010-03-16 12:13:32
- 2009-01-06 13:25:15
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Üzenj az összes olyan hallgatónak aki felvett egy bizonyos tantárgyat! Hasznos lehet ha egy tárggyal kapcsolatban olyan kérdéseid merülnek fel mint pl
- Hol lesz a vizsgamegtekintés?
- Meddig kell tudni az anyagot?
- Mely részeket adták le előadáson a könyből?
- stb...
Az üzeneted így ahhoz a célcsoporthoz jut el, akik együtt hallgatják veled a tárgyat. Ehhez kattints az Üzenetekre, ezután válaszd ki a tantárgyat a saját tárgyaid közül, majd kattints az Üzenet írására.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
