matek
Országok listája
HungaryPannon EgyetemGazdaságtudományi KarEmberi erőforrásokKözgazdaságtan Matematikai Alapjaimatek
2008.12.29 19:37:02
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Sorozatok határértéke
III. fejezet
Sorozatok határértéke
Elméleti áttekintés Tételek a határérték kiszámítására: Legyenek a n és bn sorozatok konvergensek, ekkor: lim( c a n ) = c lim a n ,
c R,
lim( a n ± bn ) = lim a n ± lim bn , lim( a n bn ) = lim a n lim bn , a lim a n lim n = b lim b , n n lim bn 0 , valamint bn 0 .
Néhány fontosabb sorozat határértéke: lim 1 = 0, n 1 = 0, k R + , k n 1 = 0, n! k lim 1 ± = e ± k , n , 1 , n lim c = 0, divergens, ha c > 1 ha c = 1 ha c<1 ha c < - 1
n
lim
lim
lim n c = 1, c R + ,
12
Sorozatok határértéke
Mintafeladatok Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét! - 5n 3 + n 2 - 2n + 2 a/ a n := , n N 3n 3 - 2n 2 - 1 b/ a n := n2 - 3n 4 5n 3 - 5n , n N
c/ a n :=
5n 3 - 9 , n N
3n + 2
n+ 5 d/ a n := n- 2 Megoldások
, n N
- 5n 3 + n 2 - 2n + 2 , osszuk el a számlálót és a nevezt is n3-nal, így a következ 3n 3 - 2n 2 - 1 1 2 2 - 5+ - 2 + 3 n n n = -5 eredményt kapjuk: lim 2 1 3 3- - 3 n n 1 2 Felhasználtuk, hogy lim = 0, lim 2 = 0, n n a/ lim
b/ lim
n2 - 3n
4
5n
, osszuk el a számlálót és a nevezt is
n 4 -nel, így a következ
eredményt 1 5 - 2 0 kapjuk: n n3 lim = = 0 3 3 1 5 = 0, lim 3 = 0 . 2 n n
Felhasználtuk, hogy lim
13
Sorozatok határértéke
3 c/ lim 5n -
5n 3 - 9 = lim 5n 3 -
(
5n 3 - 9
)
5n 3 + 5n 3 +
5n 3 - 9 5n 3 - 9
=
= lim
5n 3 - ( 5n 3 - 9 ) 5n +
3
5n - 9
3
= lim
9 5n +
3
5n 3 - 9
= 0
Tudjuk, hogy lim 5n 3 =
és lim 5n 3 - 9 = . Vagyis a tört nevezje a végtelenbe
tart, míg számlálója 9-hez, így a tört értéke 0-hoz tart. k d/ A megoldást a következ sorozat határértékére vezetjük vissza: lim 1 + = e k . n Elször is azonos átalakításokat végzünk, míg a megfelel alakot el nem érjük. n + 5 lim n - 2
3n + 2 n
n- 2+ 7 = lim n- 2
3
3n + 2
7 = lim 1 + n - 2
3n + 2
=
n- 2 8 1 + 7 1 + 7 = ( e 7 ) 3 1 = e 21 . = lim n - 2 n - 2
Feladatok Állapítsuk meg az alábbi sorozatok határértékét!
3.1 a n :=
3n 3 + 2 , n N 4n 3 + 2n - 1 n+ 3 , n N n+ 3
3.3 a n :=
n- n- n- n
3
3.2 a n :=
1 2
1 2 , n N
3.4 a n :=
2n
, n N
14
Sorozatok határértéke
n- 2
3.5 a n := 3.6 a n :=
6 + n2 , n N 3n 2n - n3 - n 2n + 2 , n N 10n 3 , n N n
n - 1 3.10 a n := n
, n N
n
n2 - 4 3.11 a n := 2 n - 2n , n N n+ 3.12 a n := n- 1 3
n+ 2
3.7 a n :=
, n N
3.8 a n := n2 - 1 - n 2 + 1, n N n5
3.9 a n :=
n5 + 5 - 2
2n + 1 3.13 a n := , n N 2n
3n
, n N
Határozzuk meg az alábbi határértékeket:
(n
N) 3.21 lim n100 - 5 100 - 5n100 n+ 1 n+ 1 n- n
3
3.14 lim( e n - e n - 1 ) 3.15 lim 4 e n -
(
en
)
3.23 lim
n
3.16 lim( 2 n + 1 - 2 n ) 3.17 lim( 2 n - 2 n - 1 ) 3.18 lim 4
3.22 lim 3
2n
(
n
-
)
5
3.19 lim
3n - 2 n 5n
3
3.24 lim
n 3 - 3n n
3.20 lim
n4 -
3
3
n7 3.25 lim
n
100 n - 1000 n 1000 n - 100 n
15
Sorozatok határértéke
3.26 lim
2 n+ 1 - 1 2n 24
2n - 3.36 lim 2n -
3 1
n
3.27 lim
(
n 4
-
n
n
)
)
n + 3 3.37 lim n
2n
3.28 lim n - 1 -
2 3.29 lim n + 1 -
(
n+ 1
(
n2 + 3
)
n2 - 4 3.38 lim 2 n - 2n
n
3.30 lim n 3 -
(
n3 + 1
)
)
1 n 3.39 lim ( - 0.1) 5 + 2 n
25 + 3n 7 n n 3.40 lim ( - 0.1) 5 - n 26
3.31 lim n + 1 - n - 2 , n N \ {1} 2n + 3 3.32 lim 2n + 1 2n - 2 3.33 lim 2n + 1 n+ 5 3.34 lim n- 2
n n
(
n 3n 1 2n - 4 lim 1 - 3.41 10 2n
n
3n100 - 2 2 n + 5 lim 100 n 3.42 n + 1 3 - 1 n3 lim 3.43 n3 + 1
(
n2 - 1 -
n2 + 1
)
5 + 3n 3.35 lim 3n + 1
n+ 1
5 n+ 1 3 ( - 1) n 3.44 lim 2 n + 1+ n n2 + 2
16
Hasonló témájú dokumentumok
Egyelőre még egyetlen hasonló témájú file sincs feltöltve a rendszerbe
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Add hozzá azokat a tantárgyakat a saját tárgyakhoz, melyeket aktuálisan hallgatsz a félév során. Így megkapod mások üzeneteit akik tantárggyal kapcsolatban írnak, illetve Te magad is írhatsz ezzel kapcsolatban. Írhatsz naptári bejegyzést, kitöltheted a tantárgyi adatlapját és egy tárgy lapján látod azokat a hallgatókat akik szintén felvették ebben a félévben a tárgyat.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
