matematika
Országok listája
HungaryPannon EgyetemGazdaságtudományi KarEmberi erőforrásokKözgazdaságtan Matematikai Alapjaimatematika
2008.12.29 19:26:07
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Anal-1(Morocz)jawww.doc, 2008.05.08, ###
Megjegyzések: ez nem egy teljes jegyzet, mindössze csak néhány morzsa a vizsgához készüléshez !!!
A Word -ben nehézkes a képletek írása, ezért néha a jelek nem pont úgy vannak, mint kézírásban ill. könyvben lenniük kellene.
A ¡% jel egy Def./Tétel/Áll./pl./megj. végét jelöli.
1. Alapfüggvények
1.1. Példa: Adja meg a tg(x) és arctg(x) (=tg-1) függvények határértékeit Dom végpontjaiban és +" ill. -" -ben .
Figyelem: Ha az f(x) függvény periodikus akkor biztosan nem invertálható és, a
limx!+" f(x) , limx!-" f(x) határértékek sohasem léteznek !
Dom(tg) = R \ {(/2+k( : k(Z} .
Ha egy periodikus függvény (mint pl.tg) inverzérQl akarunk beszélni, akkor csak a függvény "fQ ágáról" (leszqkítésérQl) beszélhetünk és annak inverzérQl!
Tehát az f(x) := tg|(-(/2,(/2) függvényrQl van szó (ábra): -(/2
vagyis Dom(f)= (-(/2 , (/2) (=nyílt intervallum),
és ekkor a határértékek Dom végpontjaiban:
limx!-(/2 f(x) = -" és limx!+(/2 f(x) = +" . ¡%
1.2. Megjegyzés: x(R valós szám, tehát csak radián van! ¡%
1.3. Definíció: Ha f : X ! Y tetszQleges függvény, akkor az értelmezési tartomány (ÉT) és értékkészlet (ÉK) új jelölései és definíciója:
Dom(f) := Df := ÉT = az f függvény értelmezési tartománya (="kikötés", Dominium /lat./)
Im(f) := Ran(f) := Rf := ÉK = az f függvény érték-készlete. (Image=Range) ¡%
1.4. Definíció: Összetett függvény: (képlet és Dom(fæ%g) is!)
Legyenek g : X ! Y és f : Y ! Z tetszQleges függvények, Im(g) )" Dom(f) `" 0 .
(Általában X,Y,Z a valós számok valamely intervallumai.)
Ekkor f æ%g az f és g függvények kompozíciója (=összetett függvény) a következQ:
(fæ%g)(x) := f(g(x))
és értelmezési tartománya:
Dom(fæ%g) = { x ( Dom(g) : g(x) ( Dom(f) } . ¡%
1.5. Megjegyzés: fæ%g és gæ%f nem tévesztendQ össze (mindent fel kell cserélni):
(gæ%f)(x) := g(f(x))
és értelmezési tartománya:
Dom(gæ%f) = { x ( Dom(f) : f(x) ( Dom(g) } . ¡%
1.6. Definíció: Injentív (=egy-egyértelmq) az f függvény, ha különbözQ x elemekhez különbözQ értékeket rendel, vagyis: tetszQleges x1 , x2 ( Dom(f) esetén:
x1 `" x2 => f(x1) `" f(x2) . ¡%
1.7. Másként fogalmazva: f nem invertálható, ha van olyan x1(x2 amelyekre f(x1)=f(x2) .
Ezt gyakorlatban (feladatoknál) a következQ alakban tudjuk ellenQrizni:
az f(x1)=f(x2) feltevésbQl le tudjuk-e vezetni az x1=x2 egyenlQséget. ¡%
1.8. Definíció: Inverz függvény: Az f : Df ! Rf függvény inverze az a f -1 -el jelölt függvény (ha létezik!), amelyre:
f -1 (y) = x <=> f -1 (x) = y ((x és y megcserélve!!))
és
f -1 : Rf ! Df ((megcserélve!!)) ¡%
1.9. Más jelölésekkel: Az f függvény f -1 inverze a következQ:
f : x À!y és x!| y : f -1 azaz f -1 : y À!x ,
Dom(f -1)=Ran(f) és Ran(f -1)=Dom(f) . ¡%
1.10. Szavakban: Definíció: Függvény inverze (képlet és Dom(f -1) is)
Legyen az f függvény által létesitett leképezés kölcsönösen egyértelmq (azaz injektív és szürjektív). Az f függvény inverz függvényén értjük azt az f -1 függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f értékkészlete, a hozzárendelési törvénye pedig a következQ: egy tetszQleges y0(Dom(f) értékhez olyan x0 = f -1(y0) értéket rendel, amely helyen az f függvény az y0 értéket vette fel, azaz x0 = f (y0) vagy másként írva: y0 = f (f -1(y0)) .
Ez utóbbi y0 = f -1(f(y0)) alakban is írható. ¡%
1.11. Állítás: f invertálható (= van inverze az f függvénynek) <=> f injektív .
1.12. Állítás: Szigorúan monoton (akár növekvQ akár csökkenQ) függvénynek mindig van inverze, mert ekkor a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmq. Az inverz függvény is f -el megegyezQ-en szigorúan monoton növekvQ ill. csökkenQ. ¡%
2. Sorozatok
2.1. Definíció: Sorozat (=számsorozat = numerikus sorozat) :
a) "Naiv" (szemléletes) def.: Végtelen sok valós szám egy "rendezett egymásutánja":
ao , a1 , a2 , ... an , ... .
b) precíz def.:
TetszQleges f : N !R függvényt sorozatnak nevezünk. Az f(n) értéket általában an -el jelöljük. A sorozat "egészét" {an} vagy (an) -el jelöljük. ¡%
2.2. Definíció: Sorozat véges határértéke és konvergens sorozat:
Azt mondjuk, hogy az {an} sorozat konvergens, ha létezik olyan A ( R szám, melyet a sorozat (véges) határértékének (=limesz) nevezünk, amelyre:
tetszQleges µ > 0 pozitív számhoz ((="hibahatár")) létezik olyan n0 ( N természetes szám ((=úgynevezett "küszöbszám")), amelyre tetszQleges n>n0 számra:
| an - A | < µ .
A fenti A számot így jelöljük: limn!" an = A vagy an ! A . ¡%
Másképpen: Az { an } sorozat konvergens, ha létezik olyan A(R szám, hogy A bármely környezetébe ((=no, az meg mi??)) a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme bele tartozik. Azt hogy az A szám az { an } sorozat határértéke vagy limesze, a következQképp jelöljük: an!A vagy limn!" an = A .
2.3. Definíció: Az { an } sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik fenti (véges) határértéke. Az { an } sorozatot dinvergensnek nevezzük minden más esetben, vagyis ha a sorozat nem konvergens. ¡%
2.4. Definíció: Sorozat határértéke +" :
Azt mondjuk, hogy az {an } sorozat határértéke +" , ha tetszQleges p ( R szám esetén van olyan np ( N természetes szám (=úgynevezett "küszöbszám"), amelyre minden n>np esetén an > p .
A fentieket így jelöljük: limn!" an = +" vagy an ! +" ¡%
2.5. Definíció: Sorozat határértéke -" :
Azt mondjuk, hogy az {an } sorozat határértéke -" , ha tetszQleges p ( R szám esetén van olyan np ( N természetes szám (=úgynevezett "küszöbszám"), amelyre minden n>np esetén an < p .
A fentieket így jelöljük: limn!" an = -" . vagy an ! -" ¡%
((Az elQzQ két definícióban mindössze két helyen van változás!!))
2.6. Definíció: Korlátos sorozat: az {an } sorozat korlátos, ha létezik olyan K ( R szám (úgynevezett "korlát") amelyre | an | < K ((abszolút érték!!!)) minden n esetén. ¡%
2.7. Definíció: Alulról korlátos sorozat: az { an } sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan Ka ( R szám, amelyre minden n ( N számra: an > Ka . (( > jel !!! )) ¡%
2.8. Definíció: FelülrQl korlátos sorozat: az { an } sorozat felülrQl korlátos, ha létezik olyan Kf ( R szám, amelyre minden n ( N számra: an < Kf . (( < jel !!! )) ¡%
((mindössze a < jel fordul meg a két definícióban !!!))
2.9. Definíció: Monoton növekvQ az { an } sorozat, ha minden n ( N számra an d" an+1 .
Monoton csökkenQ az { an } sorozat, ha minden n ( N számra an e" an+1 . ¡%
((mindössze a d" jel fordul meg!!!))
2.10. Tétel: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos. ¡%
Megjegyzés: Azaz: nem korlátos sorozat nem lehet konvergens !
Nem összekeverni: megfordítva nem igaz, vagyis ha egy sorozat korlátos, akkor még messze semmit sem tudunk a konvergenciájáról!!
2.11.o) Tétel: Ha egy sorozat korlátos és monoton ((akár csökkenQ akár növQ)),
akkor konvergens.
a) Monoton növQ és felülrQl korlátos sorozatnak van határértéke.
Ha a sorozat monoton növQ de felülrQl nem korlátos, akkor határértéke = +" .
b) Monoton csökkenQ és alulról korlátos sorozatnak van határértéke.
Ha a sorozat monoton csökkenQ de alulról nem korlátos, akkor határértéke = -" . ¡%
2.12. Tétel: Egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke létezik ((=lehet)). ¡%
2.13. Tétel: Ha egy sorozat divergens, akkor nincsen (véges) határértéke. ¡%
2.14. Megjegyzés: Speciálisan: ha limn!" an = +" vagy limn!" an = -" akkor a sorozatnak van ugyan határértéke, de mivel az végtelen, így a sorozat divergens !!! ¡%
2.15. Tétel: (VÉGES) Határérték - szabályok:
Tegyük fel, hogy az { an } és az { bn } sorozatok konvergensek és határértékük A,B ( R, vagyis limn!" an = A és limn!" bn = B .
Ekkor az { an + bn }, { an - bn }, { an " bn } , és bn `" 0 , B `" 0 esetén az { an / bn } sorozatok is konvergensek és határértékük:
limn!" (an + bn) = A+B , limn!" (an - bn) = A-B ,
limn!" (an " bn) = A" B , limn!" (an / bn) = A/B . ¡%
2.16. Tétel: a) ha { an } korlátos és bn ! 0 akkor limn!" (an " bn) = 0 .
b) ha { an } korlátos és bn ! " akkor limn!" (an / bn) = 0 . ¡%
2.17. Tétel: (VÉGTELEN) Határérték - szabályok:
ha limn!" an = +" és limn!" bn = +" akkor limn!" an + bn = +"
ha limn!" an = +" akkor limn!" - an = - " ... ¡%
2.18. Tétel: (VÉGTELEN) Határozatlan - alakok ((azaz nem lehet tudni, mert kevés az információ, a végeredmény többféle is lehet, vagyis további vizsgálat szükséges)) :
ha limn!" an = +" és limn!" bn = +" akkor limn!" an - bn = ? , limn!" an / bn = ? ,
ha limn!" an = (" és limn!" bn = 0 akkor limn!" an " bn = ? , ... ¡%
2.19. Tétel: A sorozat elsQ akárhány (véges sok) elemét elhagyva, pótolva, módosítva, ... a sorozat konvergens vagy nem konvergens volta, határértéke nem változik meg. ¡%
2.20. Tétel: Konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens, és minden részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. ¡%
Megfordítva nem igaz, csak ha minden részsorozat ugyanazon számhoz tart!
De: ha például a vizsgált konvergens részsorozatok lefedik az egész sorozatot (pl.a páros és páratlan indexq tagok), abból következtethetünk az egész sorozat konvergens voltára.
2.21. Tétel: ("RENDPRSZABÁLY"): Ha and"bnd"cn (nTN) és an!A , cn!A konvergensek, akkor bn!A is konvergens. ¡%
2.22. Tétel: A komplex számokból álló zn sorozat pontosan akkor konvergens, ha a Re(zn) és az Im(zn) sorozatok mindegyike konvergens.
Továbbá, a zn sorozat pontosan akkor konvergens, ha a |zn| és a Æ(zn) (z szöge) sorozatok mindegyike konvergens.
Kivétel: |zn|!0 -bQl már következik z!0 , mert ekkor Æ(zn) bármi lehet. ¡%
2.23. HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/mertani_sorozat.html" Mértani sorozat
l-1(Morocz)jawww.doc, 2008.05.08, ###
Megjegyzések: ez nem egy teljes jegyzet, mindössze csak néhány morzsa a vizsgához készüléshez !!!
A Word -ben nehézkes a képletek írása, ezért néha a jelek nem pont úgy vannak, mint kézírásban ill. könyvben lenniük kellene.
A ¡% jel egy Def./Tétel/Áll./pl./megj. végét jelöli.
1. Alapfüggvények
1.1. Példa: Adja meg a tg(x) és arctg(x) (=tg-1) függvények határértékeit Dom végpontjaiban és +" ill. -" -ben .
Figyelem: Ha az f(x) függvény periodikus akkor biztosan nem invertálható és, a
limx!+" f(x) , limx!-" f(x) határértékek sohasem léteznek !
Dom(tg) = R \ {(/2+k( : k(Z} .
Ha egy periodikus függvény (mint pl.tg) inverzérQl akarunk beszélni, akkor csak a függvény "fQ ágáról" (leszqkítésérQl) beszélhetünk és annak inverzérQl!
Tehát az f(x) := tg|(-(/2,(/2) függvényrQl van szó (ábra): -(/2
vagyis Dom(f)= (-(/2 , (/2) (=nyílt intervallum),
és ekkor a határértékek Dom végpontjaiban:
limx!-(/2 f(x) = -" és limx!+(/2 f(x) = +" . ¡%
1.2. Megjegyzés: x(R valós szám, tehát csak radián van! ¡%
1.3. Definíció: Ha f : X ! Y tetszQleges függvény, akkor az értelmezési tartomány (ÉT) és értékkészlet (ÉK) új jelölései és definíciója:
Dom(f) := Df := ÉT = az f függvény értelmezési tartománya (="kikötés", Dominium /lat./)
Im(f) := Ran(f) := Rf := ÉK = az f függvény érték-készlete. (Image=Range) ¡%
1.4. Definíció: Összetett függvény: (képlet és Dom(fæ%g) is!)
Legyenek g : X ! Y és f : Y ! Z tetszQleges függvények, Im(g) )" Dom(f) `" 0 .
(Általában X,Y,Z a valós számok valamely intervallumai.)
Ekkor f æ%g az f és g függvények kompozíciója (=összetett függvény) a következQ:
(fæ%g)(x) := f(g(x))
és értelmezési tartománya:
Dom(fæ%g) = { x ( Dom(g) : g(x) ( Dom(f) } . ¡%
1.5. Megjegyzés: fæ%g és gæ%f nem tévesztendQ össze (mindent fel kell cserélni):
(gæ%f)(x) := g(f(x))
és értelmezési tartománya:
Dom(gæ%f) = { x ( Dom(f) : f(x) ( Dom(g) } . ¡%
1.6. Definíció: Injentív (=egy-egyértelmq) az f függvény, ha különbözQ x elemekhez különbözQ értékeket rendel, vagyis: tetszQleges x1 , x2 ( Dom(f) esetén:
x1 `" x2 => f(x1) `" f(x2) . ¡%
1.7. Másként fogalmazva: f nem invertálható, ha van olyan x1(x2 amelyekre f(x1)=f(x2) .
Ezt gyakorlatban (feladatoknál) a következQ alakban tudjuk ellenQrizni:
az f(x1)=f(x2) feltevésbQl le tudjuk-e vezetni az x1=x2 egyenlQséget. ¡%
1.8. Definíció: Inverz függvény: Az f : Df ! Rf függvény inverze az a f -1 -el jelölt függvény (ha létezik!), amelyre:
f -1 (y) = x <=> f -1 (x) = y ((x és y megcserélve!!))
és
f -1 : Rf ! Df ((megcserélve!!)) ¡%
1.9. Más jelölésekkel: Az f függvény f -1 inverze a következQ:
f : x À!y és x!| y : f -1 azaz f -1 : y À!x ,
Dom(f -1)=Ran(f) és Ran(f -1)=Dom(f) . ¡%
1.10. Szavakban: Definíció: Függvény inverze (képlet és Dom(f -1) is)
Legyen az f függvény által létesitett leképezés kölcsönösen egyértelmq (azaz injektív és szürjektív). Az f függvény inverz függvényén értjük azt az f -1 függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f értékkészlete, a hozzárendelési törvénye pedig a következQ: egy tetszQleges y0(Dom(f) értékhez olyan x0 = f -1(y0) értéket rendel, amely helyen az f függvény az y0 értéket vette fel, azaz x0 = f (y0) vagy másként írva: y0 = f (f -1(y0)) .
Ez utóbbi y0 = f -1(f(y0)) alakban is írható. ¡%
1.11. Állítás: f invertálható (= van inverze az f függvénynek) <=> f injektív .
1.12. Állítás: Szigorúan monoton (akár növekvQ akár csökkenQ) függvénynek mindig van inverze, mert ekkor a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmq. Az inverz függvény is f -el megegyezQ-en szigorúan monoton növekvQ ill. csökkenQ. ¡%
2. Sorozatok
2.1. Definíció: Sorozat (=számsorozat = numerikus sorozat) :
a) "Naiv" (szemléletes) def.: Végtelen sok valós szám egy "rendezett egymásutánja":
ao , a1 , a2 , ... an , ... .
b) precíz def.:
TetszQleges f : N !R függvényt sorozatnak nevezünk. Az f(n) értéket általában an -el jelöljük. A sorozat "egészét" {an} vagy (an) -el jelöljük. ¡%
2.2. Definíció: Sorozat véges határértéke és konvergens sorozat:
Azt mondjuk, hogy az {an} sorozat konvergens, ha létezik olyan A ( R szám, melyet a sorozat (véges) határértékének (=limesz) nevezünk, amelyre:
tetszQleges µ > 0 pozitív számhoz ((="hibahatár")) létezik olyan n0 ( N természetes szám ((=úgynevezett "küszöbszám")), amelyre tetszQleges n>n0 számra:
| an - A | < µ .
A fenti A számot így jelöljük: limn!" an = A vagy an ! A . ¡%
Másképpen: Az { an } sorozat konvergens, ha létezik olyan A(R szám, hogy A bármely környezetébe ((=no, az meg mi??)) a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme bele tartozik. Azt hogy az A szám az { an } sorozat határértéke vagy limesze, a következQképp jelöljük: an!A vagy limn!" an = A .
2.3. Definíció: Az { an } sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik fenti (véges) határértéke. Az { an } sorozatot dinvergensnek nevezzük minden más esetben, vagyis ha a sorozat nem konvergens. ¡%
2.4. Definíció: Sorozat határértéke +" :
Azt mondjuk, hogy az {an } sorozat határértéke +" , ha tetszQleges p ( R szám esetén van olyan np ( N természetes szám (=úgynevezett "küszöbszám"), amelyre minden n>np esetén an > p .
A fentieket így jelöljük: limn!" an = +" vagy an ! +" ¡%
2.5. Definíció: Sorozat határértéke -" :
Azt mondjuk, hogy az {an } sorozat határértéke -" , ha tetszQleges p ( R szám esetén van olyan np ( N természetes szám (=úgynevezett "küszöbszám"), amelyre minden n>np esetén an < p .
A fentieket így jelöljük: limn!" an = -" . vagy an ! -" ¡%
((Az elQzQ két definícióban mindössze két helyen van változás!!))
2.6. Definíció: Korlátos sorozat: az {an } sorozat korlátos, ha létezik olyan K ( R szám (úgynevezett "korlát") amelyre | an | < K ((abszolút érték!!!)) minden n esetén. ¡%
2.7. Definíció: Alulról korlátos sorozat: az { an } sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan Ka ( R szám, amelyre minden n ( N számra: an > Ka . (( > jel !!! )) ¡%
2.8. Definíció: FelülrQl korlátos sorozat: az { an } sorozat felülrQl korlátos, ha létezik olyan Kf ( R szám, amelyre minden n ( N számra: an < Kf . (( < jel !!! )) ¡%
((mindössze a < jel fordul meg a két definícióban !!!))
2.9. Definíció: Monoton növekvQ az { an } sorozat, ha minden n ( N számra an d" an+1 .
Monoton csökkenQ az { an } sorozat, ha minden n ( N számra an e" an+1 . ¡%
((mindössze a d" jel fordul meg!!!))
2.10. Tétel: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos. ¡%
Megjegyzés: Azaz: nem korlátos sorozat nem lehet konvergens !
Nem összekeverni: megfordítva nem igaz, vagyis ha egy sorozat korlátos, akkor még messze semmit sem tudunk a konvergenciájáról!!
2.11.o) Tétel: Ha egy sorozat korlátos és monoton ((akár csökkenQ akár növQ)),
akkor konvergens.
a) Monoton növQ és felülrQl korlátos sorozatnak van határértéke.
Ha a sorozat monoton növQ de felülrQl nem korlátos, akkor határértéke = +" .
b) Monoton csökkenQ és alulról korlátos sorozatnak van határértéke.
Ha a sorozat monoton csökkenQ de alulról nem korlátos, akkor határértéke = -" . ¡%
2.12. Tétel: Egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke létezik ((=lehet)). ¡%
2.13. Tétel: Ha egy sorozat divergens, akkor nincsen (véges) határértéke. ¡%
2.14. Megjegyzés: Speciálisan: ha limn!" an = +" vagy limn!" an = -" akkor a sorozatnak van ugyan határértéke, de mivel az végtelen, így a sorozat divergens !!! ¡%
2.15. Tétel: (VÉGES) Határérték - szabályok:
Tegyük fel, hogy az { an } és az { bn } sorozatok konvergensek és határértékük A,B ( R, vagyis limn!" an = A és limn!" bn = B .
Ekkor az { an + bn }, { an - bn }, { an " bn } , és bn `" 0 , B `" 0 esetén az { an / bn } sorozatok is konvergensek és határértékük:
limn!" (an + bn) = A+B , limn!" (an - bn) = A-B ,
limn!" (an " bn) = A" B , limn!" (an / bn) = A/B . ¡%
2.16. Tétel: a) ha { an } korlátos és bn ! 0 akkor limn!" (an " bn) = 0 .
b) ha { an } korlátos és bn ! " akkor limn!" (an / bn) = 0 . ¡%
2.17. Tétel: (VÉGTELEN) Határérték - szabályok:
ha limn!" an = +" és limn!" bn = +" akkor limn!" an + bn = +"
ha limn!" an = +" akkor limn!" - an = - " ... ¡%
2.18. Tétel: (VÉGTELEN) Határozatlan - alakok ((azaz nem lehet tudni, mert kevés az információ, a végeredmény többféle is lehet, vagyis további vizsgálat szükséges)) :
ha limn!" an = +" és limn!" bn = +" akkor limn!" an - bn = ? , limn!" an / bn = ? ,
ha limn!" an = (" és limn!" bn = 0 akkor limn!" an " bn = ? , ... ¡%
2.19. Tétel: A sorozat elsQ akárhány (véges sok) elemét elhagyva, pótolva, módosítva, ... a sorozat konvergens vagy nem konvergens volta, határértéke nem változik meg. ¡%
2.20. Tétel: Konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens, és minden részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. ¡%
Megfordítva nem igaz, csak ha minden részsorozat ugyanazon számhoz tart!
De: ha például a vizsgált konvergens részsorozatok lefedik az egész sorozatot (pl.a páros és páratlan indexq tagok), abból következtethetünk az egész sorozat konvergens voltára.
2.21. Tétel: ("RENDPRSZABÁLY"): Ha and"bnd"cn (nTN) és an!A , cn!A konvergensek, akkor bn!A is konvergens. ¡%
2.22. Tétel: A komplex számokból álló zn sorozat pontosan akkor konvergens, ha a Re(zn) és az Im(zn) sorozatok mindegyike konvergens.
Továbbá, a zn sorozat pontosan akkor konvergens, ha a |zn| és a Æ(zn) (z szöge) sorozatok mindegyike konvergens.
Kivétel: |zn|!0 -bQl már következik z!0 , mert ekkor Æ(zn) bármi lehet. ¡%
2.23. HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/mertani_sorozat.html" Mértani sorozat
HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/definicio.html" Definíció: HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/mertani_sorozat.html" Mértani sorozat nevezzük az olyan HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/sorozat.html" sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelQzQ tag HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/hanyados.html" hányadosa állandó, vagy másképpen: an+1 = an(q ahol q nem függ n -tQl. Ezt a q HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/hanyados.html" hányadost a HYPERLINK "http://www.mimi.hu/matematika/mertani_sorozat.html" mértani sorozat kvóciensének (hányados,lat.) nevezzük.¡%
2.24. NEVEZETES HATÁRÉRTÉKEK (n!")
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3. Sorok
3.1. Definíció (i) A ""n=0 an = a0+a1+ ... +an+ ... végtelen "összeget" sor -nak nevezzük.
(ii) A sor M -edik részletösszege sM := M"n=0 an = a0+a1+ ... +aM (M(N tetszQleges).
(iii) A sor konvergens és összege az A(R valós szám, ha a részletösszegek sorozata A -hoz konvergál: limn!" sn = A .
A nem konvergens sorokat divergensnek nevezzük. ¡%
Megjegyzés: Vigyázzunk: sor ( sorozat !
3.2. Definíció: A ""n=0 a1(qn alakú összegeket mértani sor -nak nevezzük, ha q nem függ n -tQl. ¡%
3.3. Tétel (i): A ""n=0 a1(qn alakú mértani sor pontosan akkor konvergens, ha a hányados (q) abszolút értéke 1-nél kisebb: %q%<1 . Valós számok esetén ezt így írhatjuk: -1
(ii) Konvergens mértani sor összege (levezetéssel):
EMBED Equation.3
hiszen %q%<1 esetén qM(0 midQn M(" . ¡%
4. Függvények határértékei és folytonossága
4.1. Definíció: Függvény végesben (véges helyen) vett határértékei:
(i) Az f(x) függvénynek az a(Dom(f) pontban (végesben) van véges határértéke, ha van olyan A(R valós szám, amelyre:
((>0 ((>0 (x(Dom(f) : ha |x-a|<( akkor |f(x)-A|<( , jelölése: limx!a f(x) = A .
Ez esetben az f függvényt konvergensnek mondjuk az a(Dom(f) (véges) pontban .
(ii) Az f(x) függvénynek az a(Dom(f) pontban (végesben) van +( végtelen határértéke, ha
(p(R ((>0 (x(Dom(f) : ha |x-a|<( akkor f(x)>p , jelölése: limx!a f(x) = +( .
(iii) Az f(x) függvénynek az a(Dom(f) pontban (végesben) van -( végtelen határértéke, ha
(p(R ((>0 (x(Dom(f) : ha |x-a|<( akkor f(x)
Vigyázzunk a > , < , + - jelekre - a definíciók csak ezen kis apróságokban különböznek!
HF: hogyan nézhet ki a függvény grafikonja az a(R pont körül az egyes esetekben?
4.2. Definíció: Függvény folytonossága: Az f függvényt folytonosnak mondjuk egy x0(Dom(f) pontban, ha a limx!x0 f(x) határérték létezik, véges és limx!x0 f(x) = f(x0) . Más szavakkal: a határérték megegyezik a (be)helyettesítési értékkel.
Az f függvényt folytonosnak mondjuk egy I(Dom(f) intervallumon, ha az I intervallum minden pontjában az f függvény folytonos. ¡%
4.3. Definíció: Függvény végtelenben vett határértékei:
(i1) Az f(x) függvénynek +( -ben van véges határértéke, ha van olyan A(R valós szám, amelyre:
((>0 (K(R (x(Dom(f) : ha K
(i2) Az f(x) függvénynek -( -ben van véges határértéke, ha van olyan A(R valós szám, amelyre:
((>0 (K(R (x(Dom(f) : ha x
A fenti esetekben az f függvényt konvergensnek mondjuk +( ill. -( -ben.
(ii1) Az f(x) függvénynek a +( -ben van +( határértéke (végtelen), ha
(p(R (K(R (x(Dom(f) : ha K
p , jelölése: limx!+( f(x) = +(.
(ii2) Az f(x) függvénynek a -( -ben van +( határértéke (végtelen), ha
(p(R (K(R (x(Dom(f) : ha xp , jelölése: limx!-( f(x) = +(.
(iii1) Az f(x) függvénynek a +( -ben van -( határértéke (végtelen), ha
(p(R (K(R (x(Dom(f) : ha K
(iii2) Az f(x) függvénynek a -( -ben van -( határértéke (végtelen), ha
(p(R (K(R (x(Dom(f) : ha x
¡%
A fenti sok definíció csak a színes > , < , + , - jeleben különbözik, figyeljünk a részletekre! A színek is fontosak a memorizáláshoz: figyeljük meg, hogy az azonos színq jelek együtt változ-nak! HF: hogyan nézhet ki a függvény grafikonja +( ill., -( felé haladva az egyes esetekben?
4.4. Definíció: Egy f függvény divergens ha nem konvergens. ¡%
Megjegyzés: ez mind a végesben, mind a végtelenben vett határértékek esetén érvényes.
4.5. NEVEZETES FÜGGVÉNYHATÁRÉRTÉKEK
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
5. Differenciálszámítás és alkalmazásai
5.1. Definíció: Függvény differencia- és differenciálhányadosa (=deriváltja)
egy adott xo (Dom(f) pontban
(i) Legyen az f függvény a rögzített x0(Dom(f) pont valamely környezetében értelmezve és legyen x(Dom(f) tetszQleges, x0 -tól különbözQ eleme ennek a környezetnek (azaz x(x0). Ekkor az EMBED Equation.3 törtet differencia- (magyarul különbségi-) hányadosnak nevezzük.
(ii) Ha létezik a fenti tört határértéke és véges, akkor ezt a határértéket f '(x0) -val jelöljük:
EMBED Equation.3
és az f függvény x0 pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük.
A fenti esetben az f(x) függvényt az x0 pontban differenciálhatónak vagy deriválhatónak mondjuk.
Ne feledjük: egy függvény pontbeli deriváltja mindig egy valós szám: f '(x0) ( R .
(iii) Az f : R(R függvény differenciálhányados- (vagy derivált-) függvénye a következQ:
Dom(f ') := mindazon x0 pontok halmaza ahol f deriválható (a fenti (ii) szerint),
és ezen x0 pontokban f '(x0) értéke az (ii) pontban meghatározott valós szám. ¡%
Összefüggés egy függvény deriválhatósága és folytonossága között:
5.2. Tétel: Ha egy f függvény deriválható egy x0(Dom(f) pontban, akkor f szükségképpen
folytonos az x0 pontban.
Megfordítva nem igaz, pl. az f(x)=|x| függvény folytonos az x0=0 pontban de nem ott nem deriválható. ¡%
ÉrintQ egyenes egyenlete:
5.3. Állítás: Az y=f(x) görbét az (x0 , f(x0)) pontjában érintQ egyenes egyenlete:
y = f(x0)+f '(x0).(x-x0) . ¡%
Taylor polinom
5.4. Célja: "Bármely" bonyolult f(x) függvényt polinomokkal (azaz egyszerq függvényekkel) közelíteni. Képletben: f(x) ( a0+a1x+a2x2+...+anxn valamilyen n(N számra. A fokszám (n) növelésével a közelítés pontossága növelhetQ.
5.5. Tétel: (levelezQ szakon csak a tétel létezésérQl kell tudni) Ha az f(x) függvény n-szer differenciálható, akkor f(x) -et az a(Dom(f) pont körül legjobban közelítQ polinom a Taylor polinom:
(Tanf)(x) = EMBED Equation.3
és a közelítés hibája (ún. Lagrange-féle hibatag):
f(x)-(Tanf)(x) = EMBED Equation.3 ahol a<(
Az ábrán a sin(x) függvény néhány Taylor polinomját látjuk.
5.6. Megjegyzés: Speciálisan: n=1 esetén kapjuk:
(Ta1f)(x) = EMBED Equation.3
ami az érintQ egyenes (x0=a) egyenlete, vagyis az 1-rendq Taylor-polinom éppen az érintQ.
L'Hospital szabály (elQfeltételeivel együtt) hányadosfüggvény határértékérQl.
Tekintsük a következQ határérték problémát
limx(A f(x)/g(x)
ahol A(R vagy A=+( vagy A=-( .
5.7. Tétel (Bernoulli-L'Hospital):
Ha az alábbi három feltétel teljesül:
i) limx(A f(x) = limx(A g(x) = 0 VAGY limx(A f(x) = (( és limx(A g(x) = ((
(azaz a vizsgált határérték 0/0 vagy (/( típusú),
ii) léteznek az f ' és g ' deriváltfüggvények az A egy környezetében és g ' ( 0 (azaz a számláló és a nevezQ is deriválható A egy "környezetében", és a nevezQ deriváltja nem 0),
iii) létezik a
limx(A f ' (x)/g'(x)
határérték,
akkor a kérdéses határérték is létezik, és
limx(A f ' (x)/g'(x) = limx(A f(x)/g(x) . ¡%
Ne tévesszük össze a L'Hospital szabályt a hányados deriválási szabályával !
Függvény görbültsége
5.8. Tétel: Ha az f(x) függvény 2-szer differenciálható, akkor az y=f(x) függvénygörbét az (x0 , f(x0)) pontban érintQ kör sugara
EMBED Equation.3 . ¡%
(LevelezQ szakon a fenti képletet nem kell fejbQl tudni.)
Megjegyzés: A Tétel többek között azt számítja ki, hogy ha autóval az y=f(x) függvénygörbe mentén haladunk, akkor az x0 idQpillanatban (amikoris a sík (x0,f(x0)) pontjában vagyunk) éppen mennyire van "alászedve" a kormány: éppen mekkora sugarú körön haladunk (azaz haladnánk tovább merev kormánytartással).
5.9. Definíció: A fenti kör sugarának reciprokát nevezzük az f(x) függvény görbültségének az (x0 , f(x0)) pontban:
g = 1/ r . ¡%
Megjegyezzük, hogy fenti y=k(x) kör másodrendben érinti az y=f(x) függvénygörbét az x0 pontban: k(x0) = f(x0) , k '(x0) = f '(x0) és k "(x0) = f "(x0) . ¡%
Összefüggés egy függvény monotonitása és (elsQ) deriváltjának elQjele között
5.10. Tétel:
Ha az f függvény az x0 helyen differenciálható és f (x0)>0 akkor a függvény az x0 helyen lokálisan növekedQ.
Ha az f függvény az x0 helyen differenciálható és f (x0)<0 akkor a függvény az x0 helyen lokálisan csökkenQ.
Bizonyítás (=magyarázat): definíció szerint EMBED Equation.3 .
EbbQl látszik, hogy x>x0 esetén a nevezQ pozitív, tehát a tört pontosan akkor >0 (ill. <0) ha a számláló is >0 (ill. <0), vagyis ha f(x)>f(x0) (ill. f(x)
5.11. Tétel (az elQzQ tétel megfordítása):
Ha egy f függvény monoton nQ az x0 pont egy környezetében, akkor a deriváltja ebben a pontban nemnegatív: f(x0)e"0 .
Ha egy f függvény monoton csökken az x0 pont egy környezetében, akkor a deriváltja ebben a pontban nempozitív: f(x0)(0 . ¡%
Összefüggés egy függvény szélsQértékhelyei és (elsQ) deriváltjának gyökei között
5.12. Tétel: Ha f differenciálható az x0 valamely környezetében és x0-ban lokális (=helyi) szélsQértéke (min. vagy max.) van, akkor itt a derivált értéke szükségképpen zérus, azaz:
f (x0)=0 . ¡%
5.13. Definíció: Az x0(Dom(f) pontot stacionárius pontnak nevezzük, ha x0 -ban f derivál-ható és f (x0)=0 . ¡%
5.14. Megjegyzés: Ne tévesszük össze: ha f (x0)=0 , akkor f -nek nem biztos, hogy van szélsQértéke x0 -ban. Az 5.12. Tétel csak azt mondja, hogy "deriválható" x0 helyeken csak akkor lehet szélsQérték, ha f (x0)=0 . Másképpen: az f (x0)=0 feltétel csak szükséges de nem elégséges feltétele a (lokális) szélsQérték létezésének. ¡%
Azonban, az 5.10. és 5.11. Tételek segítségével az alábbi eredményt fogalmazhatjuk meg (és alkalmazhatjuk a gyakorlatban):
5.15. Tétel: Ha az f függvény differenciálható az x0 valamely környezetében és az f deriváltfüggvény x0 -ban elQjelet vált (azaz x0 egy kis környezetében balról és jobbról f más elQjelq), akkor f -nek x0 -ban lokális szélsQértéke (min. vagy max.) van. ¡%
Összefüggés egy függvény konvexitása és második deriváltjának elQjele között
5.16. Tétel:
Ha az f függvény egy I intervallumon kétszer differenciálható és f "(x)>0 minden x(I esetén, akkor a függvény ebben az intervallumban környezetben konvex.
Ha az f függvény egy I intervallumon) kétszer differenciálható és f "(x)<0 minden x(I esetén, akkor a függvény ebben az intervallumban konkáv. ¡%
5.17. Tétel (az elQzQ tétel megfordítása):
Ha az f függvény egy I intervallumban konvex és kétszer differenciálható, akkor f "(x)(0 minden x(I esetén.
Ha az f függvény egy I intervallumban konkáv és kétszer differenciálható, akkor f "(x)(0 minden x(I esetén. ¡%
inflexiós pontok
5.18.Definíció: Ha létezik az x0(Dom(f) pontnak olyan környezete, hogy az f függvény grafi-konja x0 -tól balra és jobbra a függvény érintQjének különbözQ oldalán van (más szóval az
érintQ átmetszi f grafikonját), akkor azt mondjuk, hogy f -nek x0 -ban inflexiós pontja van. ¡%
Példa: tg(x) függvény az x0=0 pontban.
5.19. Tétel: Ha f az x0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és x0 -ban f -nek inflexiós pontja van, akkor f "(x0)=0 . ¡%
5.20. Tétel: Ha f az x0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f "(x0)=0 , továbbá az f " deriváltfüggvény az x0 helyen elQjelet vált, akkor f -nek az x0 helyen inflexiós pontja van. ¡%
5.21. FÜGGVÉNYVIZSGÁLATI SZEMPONTOK
I) Dom(f) - ez általában nem R, hanem egymástól diszjunkt (nyílt vagy zárt) intervallumok úniója. Periodicitás, f páratlan vagy páros. Esetleg szimmetriatengely, ~pont. Folytonosság, szakadási helyek. f gyökei, elQjelei, metszéspontjai x és y tengelyekkel. f határértékei a Dom(f) -et alkotó intervallumok végpontjaiban: +", -" -ben és a szakadási helyeken.
Vízszintes és függQleges, esetleg ferde aszimptoták. Esetleg f globális szélsQértékei, Ran(f)
(= f értékkészlete).
II) f ' mely pontokban létezik. (Ahol nem létezik, valamint a Dom(f) -et alkotó intervallu-mok végpontjaiban és f szakadási helyein: jobb illetve baloldali deriváltak értékei.) f ' gyökei és elQjelei, ebbQl f monotonitása és lokális szélsQértékei illetve f stacionárius pontjai.
(f helyettesítési értékei a fenti pontokban.)
III) f " mely pontokban létezik. f " gyökei és elQjelei, ebbQl f inflexiós pontjai, f konvexitá-sának megállapítása. (f és f ' helyettesítési értékei az inflexiós pontokban.)
IV) Vázlatrajz elkészítése a fenti eredmények figyelembevételével. (Azaz a fenti eredmé-nyekkel összhangban!) ¡%
5.22. Megjegyzés: (csak tájékoztatásképpen):
Az x=a függQleges egyenes szimmetriaegyenese az f függvénynek, ha minden hTR számra f(a-h)=f(a+h) .
Az (xo,yo) pont szimmetriapontja az f függvénynek, ha minden hTR számra
( f(xo-h)+f(xo+h) ) / 2 = yo .
Az y=c egyenes vízszintes aszimptota, ha limx!+" f(x) = c vagy limx!-"f(x) = c .
Az x=a egyenes függQleges aszimptota, ha limx!a+/- f(x) = +/-" .
Az y=mx+b egyenes ferde aszimptota, ha limx!+/-" f(x)/x = m és limx!+/-" f(x)-mx = b
6. Integrálszámítás
6.a) Határozatlan integrál
6.1. Definíció: Legyen f tetszQleges függvény, I ( Dom(f) tetszQleges intervallum.
Ha létezik egy olyan F függvény amelyre igaz, hogy
F (x) = f(x) (x(I
akkor az F függvényt az f antideriváltjának vagy primitív függvényének vagy határozatlan integráljának nevezzük, és az
F(x) = +" f(x) dx vagy röviden F = +" f
jellel jelöljük. ¡%
6.2. Tétel: Ha F és G primitív függvényei f -nek, akkor létezik egy olyan C(R valós szám, amelyre
G(x) = F(x) + C (x(I . ¡%
6.3. Megjegyzés: A fenti tételbQl következik, hogy f összes primitív függvénye megkapható
F(x) + C (C(R)
alakban. Emiatt szokás f összes primitív függvényének halmazát is az f függvény határozatlan integráljának nevezni, és ezért általában az
+" f(x) dx = F(x) +C
jelölést használjuk.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy most még a +C nem tqnik fontos problémának, az
( F(x)+C ) ' = F '(x)+0
összefüggés miatt, de késQbb, az integrál alkalmazásainál már lényeges lesz a +C "végzQdés".
6.4. Tétel (Newton): Ha f folytonos akkor van primitiv függvénye. ¡%
6.5. Tétel (Liouville): "Bizonyos" függvények primitiv függvénye nem írható fel képlettel. ¡%
6.6. Megjegyezzük, hogy Liouville tétele pontosan leírja a "bizonyos" függvények körét, de az túl bonyolult ahhoz, hogy itt leírjuk. Ilyen függvények például:
+"e-x^2 dx , +" x/sin(x) dx , +" 1/ln(x) dx , ...
Integrálási szabályok és módszerek
### ITT hagytam abba a továbbiakért 100% felelQsséget NEM vállalok
6.7. ### Alapmqveletek összeg, kül, tagonként, // konstans kivihetQ // ¡%
6.8. belsQ fv lineáris ### ¡%
Parciális integrálás módszere.
A szorzatfüggvény differenciálási szabályának megfordításával adódó módszert nevezzük parciális integrálásnak.
6.9. Tétel: Ha az u és v fgv-ek valamely intervallumon differenciálhatók, továbbá az uv szorzatfüggvénynek létezik a primitiv függvénye ezen az intervallumon, akkor a szóban forgó intervallumon az uv szorzatfüggvénynek is létezik primitív függvénye és
+"uv =uv- +"u v ### ¡%
### versikében ¡%
Integrál kiszámítása I. típusú helyettesítéssel és annak három speciális esete.
6.10. Általános képlet
-Ha az egyik tényezQ összetett és ha a másik szorzótényezQ éppen a belsQ fgv deriváltja akkor az I. típusú helyettesítés kell.
+"f(g(x)) . g (x)dx (összetett fgv szorozva belsQ fgv deriváltja)=
Ha az egyik tényezQ összetett, és Ha a másik szorzótényezQ éppen a belsQ fgv deriváltja, akkor +"f(g(x)) . g (x) dx (összetett fgv szorozva belsQ fgv deriváltja)
- F=(g(x))+C itt csak a külsQt kell integrálni!
= képlet ... ¡%
6.11. Speciális esetek:
1. Ha a szorzat egyik tényezQje pont a másik deriváltja (ha a fgv a saját deriváltjával van szorozva.) akkor a képlet: +" ... = fgv2 /2 +C
2. Ha a tört számlálója éppen a nevezQnek a deriváltja, akkor van a középsQ szabály érvényben. Eredmény=nevezQ logaritmusa ... ### képletben ...-Ha a tört számlálója éppen a nevezQ deriváltja, akkor a végeredmény a nevezQnek a logaritmusa.
3. ... ####
6.b) Határozott integrál (görbe alatti terület téglalapfelosztásokkal)
(szokás röviden csak "Az integrál" -nak nevezni)
### Cél: Az integrálközelítQ összeg területet közelít meg.
### ??? Azért határozott, amely egy valós szám lesz, nem egy függvény.
### -milyen messze van ez az eredeti területtQl? - nem tanuljuk
6.12. Definíció: Legyen f tetszQleges függvény az [a,b] intervallumon értelmezve. Osszuk fel az [a,b] intervallumot n tetszQleges részre, azaz legyenek x0 , x1 , x2 , ... xn tetszQleges számok:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b .
Vegyünk mindegyik intervallumban egy számot:
xi-1
és legyen
´ := max{ (xi-xi-1) : i=1,2,...,n-1}
a legvastagabb csík szélessége. Ekkor a függvénygörbe alatti terület közelítQleg:
T ( Sn := n"i=1 f(xi*)((xi-xi-1)
(a csík magassága szorozva a csík szélességével), ezért is hívják Sn -et integrálközelítQ összeg -nek. ¡%
6.13. Tétel: Ha ´(0 és f folytonos, akkor létezik véges határértéke az integrálközelítQ eszköznek: lim´(0 Sn létezik és véges. ¡%
6.14. Definíció: A fenti határértéket limesz egy szám, ami legyen T
jele: +"(a,b) f(x)dx vagy b+"a f (Word-ben csak így tudom írni)
Newton-Leibniz szabály (a benne szereplQ betqk és jelek magyarázatával).
6.15. Tétel: Ha az f fv-nek létezik az F primitív fv-e [a,b]-n, akkor a terület
+"(a,b) f(x)dx = F(b)-F(a) .
¡%
6.16. Következmény: Newton tétele: ha f folytonos, akkor van Terület (ld. 6.4.Tétel) ¡%
6.17. Megj.: a fenti értelek szerint D(F(I
(deriválható fv-ek ( folytonos fv-ek ( integrálható fv-ek )
7. Többváltozós függvények
csak n=2 kétváltozós függvények
Definíció: Kétváltozós függvények elsQrendq parciális deriváltjai ....
Schwarz-tétel: ........
Szükséges feltétel kétváltozós függvény szélsQértékének létezésére az elsQrendq parciális deriváltakkal.
Definíció: stacionárius pontok ........
Definíció: Hesse-mátrix determinánsa: P(Dom(f) esetén
((P):= (Dxxf)(P)*(Dyyf)(P)-(Dxyf)2(P) .
Elégséges feltétel kétváltozós függvény szélsQértékének létezésére a másodrendq parciális deriváltakkal:
Tétel: ha P stacionárius pont és ((P)>0 van lokális szélsQ érték. Ha ((P)<0 nincs szélsQ érték. ha delta(P)=0 további vizsgálat szükséges.
eof
EMBED Word.Picture.8
Hasonló témájú dokumentumok
- 2008-12-29 19:24:44
- 2011-03-02 20:00:15
- 2008-11-23 18:27:35
- 2008-12-29 19:27:43
- 2009-12-23 08:49:21
- 2007-11-25 20:03:27
- 2009-12-23 08:53:00
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Üzenj az összes olyan hallgatónak aki felvett egy bizonyos tantárgyat! Hasznos lehet ha egy tárggyal kapcsolatban olyan kérdéseid merülnek fel mint pl
- Hol lesz a vizsgamegtekintés?
- Meddig kell tudni az anyagot?
- Mely részeket adták le előadáson a könyből?
- stb...
Az üzeneted így ahhoz a célcsoporthoz jut el, akik együtt hallgatják veled a tárgyat. Ehhez kattints az Üzenetekre, ezután válaszd ki a tantárgyat a saját tárgyaid közül, majd kattints az Üzenet írására.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
