12. Előadás

Országok listájaHungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusStatisztika I.Jegyzetek12. Előadás

Statisztika I. 12. eladás
Idsorok elemzése I.: Modellek Trendszámítás

Idsorok
Elméleti idsor: az idtényeztl függ valószínségi változók sorozata. Y-T , Y-T +1 ,..., Yt ,..., YT
ahol:
T lehet véges vagy végtelen Y lehet folytonos vagy diszkrét

Megfigyelt idsor: társadalmi-gazdasági jelenségek egymást követ idpontokban, vagy idszakokban megfigyelt értékei.

y1 , y 2 ,..., y n
16/11/2007 Kotosz Balázs - Statisztika tanszék 2

1

Egyszer elemzési módszerek
Dinamikus viszonyszámok Indexek Grafikonok Átlagok

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

3

Az idsorelemzés modelljei
Determinisztikus idsorelemzés
Feltételezése: a vizsgált jelenség determinált pályát fut be Célja: hosszútávú idsorelemzés, az egyes komponensek szétválasztása Véletlen tényez: mint zavaró tényezt elimináljuk

Sztochasztikus idsorelemzés
Célja: rövid távú törvényszerségek feltárása Véletlen tényez: fontos szerepet kap
16/11/2007 Kotosz Balázs - Statisztika tanszék 4

2

Modellcsaládok
1. Dekompozíciós idsormodellek: ^ additív modell: Y = Y + S + C +

^ multiplikatív modell: Y = Y S C ^ ahol Y a hosszútávú alapirányzat, vagy trend
S, illetve S* a szabályos rövidtávú (szezonális) ingadozást leíró komponens C, illetve C* a szabálytalan, hosszabb távú ingadozásokat leíró ciklikus komponens, és , illetve a zavaró hatásokat leíró véletlen változók, amelyekrl feltételezzük, hogy várható értékük 0, illetve 1.

2. Simító eljárások 3. ARMA modellek
16/11/2007 Kotosz Balázs - Statisztika tanszék 5

Idsorkomponensek jellemzése
trend:
mozgóátlagolás analitikus trendszámítás

szezonalitás jellemzése:
szezonális eltérések szezonindexek

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

6

3

Analitikus trendszámítás
Az idsor alapirányzatát valamilyen ismert függvénnyel fejezi ki. Függvénytípus meghatározása:
grafikus ábra szakmai ismeret

Paraméterek meghatározása:
legkisebb négyzetek módszere egyéb módszerek (iterációs becslési eljárások, kiválasztott pontok módszere, stb.)
16/11/2007 Kotosz Balázs - Statisztika tanszék 7

( y

t

^ - yt ) min
2

Lineáris trend
Modell: yt = 0 + 1t + t
ahol: t = 1, 2, ... , n

Becsült paraméterekkel: ^ ^ yt = 0 + 1 t + et
ahol

^ ^ ^ yt = 0 + 1 t

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

8

4

Lineáris trend paraméterbecslése
^ 1 = dt d y
2 dt

=

ty -

n(n + 1) y ty - nt y 2 = 2 2 n n2 -1 t - nt 12

(

)

^ ^ 0 = y - 1

n +1 ^ = y - 1t 2

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

9

Lineáris trend alkalmazása
ha az idsorban a szomszédos idszakok közötti változás abszolút mértéke ( yt - yt -1 ) mutat bizonyos állandóságot. 1
a trendfüggvényre nézve az idszakonkénti állandó abszolút változást mutatja (a trendfüggvény meredeksége), az idsorra nézve az átlagos abszolút változás,

0
a t=0 idszakhoz tartozó trendérték, eredeti mértékegységben.
16/11/2007 Kotosz Balázs - Statisztika tanszék 10

5

Megjegyzés
a 1 tartalma analóg a d mutatóval. A d azonban csak a széls adatokat veszi figyelembe, a 1 pedig az idsor valamennyi n -1 tagját. d y n - y1 t =1 t d = = n -1 n -1

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

11

A véletlen változó:
^ Tapasztalati értékei a reziduumok: et = yt - yt n Az illeszkedés jósága: e 2
2 reziduális variancia: se = t =1 n reziduális szórás: se A reziduális szórás, se azt fejezi ki, hogy az idsor megfigyelt értékei átlagosan mennyivel térnek el a megfelel trendértékektl. t

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

12

6

Nemlineáris trendszámítás
Fontosabb nemlineáris függvények: exponenciális trend növekedési (S) görbék polinomiális trend

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

13

Exponenciális trend
Alkalmazása: ha az idsorban a szomszédos idszakok közötti relatív változás ( yt / yt -1 ) mutat állandóságot. Modell: yt = 0 1t t Linearizálás: logaritmus transzformációval
log yt = log 0 + t log 1 + log t

Paraméterek becslése: a legkisebb négyzetek módszerével

( log y

t

^ - log yt ) min
2
Kotosz Balázs - Statisztika tanszék 14

16/11/2007

7

Exponenciális trend
^ ^t ^ Eredeti változókkal: yt = 0 1 ^ 0 : a t=0 helyen vett trendérték (eredeti mértékegységben)
^ 1
a trendfüggvényre nézve az idszakonkénti állandó relatív változást mutatja, az idsorra nézve az idszakonkénti átlagos relatív változást becsli.

Megjegyzés:
^ a 1 tartalma analóg az l mérszámmal, de l csak az n -1 idsor els és utolsó tagját veszi figyelembe y l = n -1 n = n -1 lt t =1 y1
16/11/2007 Kotosz Balázs - Statisztika tanszék 15

Logisztikus trend
Alkalmazása: hosszú idsoroknál. Az idsorra három jellegzetesen elkülönül szakasz jellemz:
eleinte lassú növekedés gyors felfutás csökken ütem növekedés (az idsor fokozatosan közeledik a telítdési szinthez).

A logisztikus trend: y = ^L

k 1 + e - ( 0 + 1t )
^ ^

ahol: k a logisztikus trend maximális értéke, vagyis a telítdési szint.

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

16

8

Polinomiális trend
p 2 Általános modell: yt = 0 + 1t + 2 t + ... + p t + t Paraméterek becslése:

a legkisebb négyzetek módszerével, p+1 egyenlet megoldásával.

Megjegyzések:
Ha p túlságosan magas, a véletlen ingadozás is beépül a trendbe. A p növekedésével csökken a reziduális variancia. Különböz fokszámú polinomok illeszkedésének összehasonlítására a szabadságfokkal korrigált reziduális variancia használatos: e2

~2 = se

t n - p -1

16/11/2007

Kotosz Balázs - Statisztika tanszék

17

9



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

1-8 11.05-3 18 2.előadás 4. gyakorlat 8. előadás a1 algoritmus antroptöri bakteriólógia bikém cad rajz citrátkör deklaratív programozás előadás éptöri eu agrárpolitikája eupol fazekas gábor fémek fizkémgyak gazdaságföldrajz gazdaságpszichológia gazdpol gótika iii halál hőtan hrabal integrálás jegyzetek kisebbség környezeti katalízis közigazgatás lophotrochozoa lorca marx médiaismeretek méhen belüli fejlődés munkássága növények növényszervezettan jegyzetek oprendszerek politikatudomány rushdie szerves kémia szervezes szöveg társadalom történet társadalombiztosítás üzleti kommunikáció