Portfólióelmélet

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGazdaságtudományi KarGazdálkodási és menedzsmentVállalati PénzügyekJegyzetekPortfólióelmélet

Portfólió fogalma

Portfólióelmélet

Két szóeredet Latin szó
Portare ­ hordani, vinni Fólió ­ ügy, irat

Olasz szó
Pincérek pénztárcája

Portfólió tág értelmezése ­ vagyontárgyak összessége Portfólió szk értelmezése ­ különböz, tzsdén jegyzett értékpapírok összessége

Friedman portfólió-elmélete
Azt vizsgálta, miért takarítanak meg az egyes emberek különböz vagyontárgyakat? Miért halasztják el jelenbeli fogyasztásukat?
Hozam

A befektetés három jellemzje
Hozam ­ a befektetés mekkora többletpénzáramot eredményez a befektetett összegen felül (hozamráta) Likviditás ­ A befektetést milyen gyorsan és mekkora költséggel lehet készpénzre váltani Kockázat ­ A kockázat általános értelemben valószín veszély. Pénzügyi értelemben a várható hozam szórása.

Likviditás

Kockázat

A kockázat általános értelmezése
(Kindler József)

Friedman 5 befektetési kategóriája
Befektetések Várható hozam Nincs Készpénz Kötvény Részvény Reálvagyontárgy Tanulás
Kicsi Közepes Nagy Legnagyobb

Likviditás
Maximális Jó Jó/kicsi Kicsi Nincs

Kockázat
Nincs Minimális Közepes Nagy ?

Az esemény Biztos Bizonytalan

Kedvez Elny Esély

Kedveztlen Hátrány Kockázat

1

Hozamszámítás
Richter Megnevezés Vétel Eladás Idszaki hozam Névleges hozam Tényleges hozam Kamatintenzitás Dátum 98.05.22 98.12.15 Árfolyam TVK Dátum Árfolyam MATÁV Dátum Árfolyam 956 1 166

A folytonos kamatszámítás levezetése (10%-os kamattal)
Kamatfizetés évi gyakorisága 1 2 Képlet Tkenövekmény 1,1000 1,1025 1,1047 1,1052

19 605 98.09.11 7 800 98.12.15

2 100 98.09.25 2 900 98.12.15

r 1 + 1
r 1 + 2

1

2

P 1 rn = 1 - 1 × reff P0 t

P ln 1 P P = 1 - 1 rint = 0 P0 t
1 t

12

r 1 + 12
n

12

r lim1 + = e r n

n

Elz feladat megoldása Kamatintenzitás levezetése
r n t lim 1 + = e r = e r*t n n P e r*t = 1 P0 P ln 1 P P r * t * ln(e ) = ln 1 r = 0 P t 0
t
Richter Megnevezés Vétel Eladás Idszaki hozam Névleges hozam Tényleges hozam Kamatintenzitás Dátum 98.05.22 98.12.15 207 Árfolyam TVK Dátum Árfolyam MATÁV Dátum Árfolyam 956 1 166 21,97% 98,98% 144,69% 89,48%

19 605 98.09.11 7 800 98.12.15 -60,21% -106,17% -80,31% -162,52% 95

2 100 98.09.25 2 900 98.12.15 38,10% 146,37% 245,61% 124,01% 81

Árfolyamváltozás mérése
Abszolút változás

Logszázalék (kamatintenzitás) tulajdonságai
Logszázalékokkal mért relatív változások összeadhatók, a százalékos hozamráták nem adhatók össze Logszázalékok súlyozott átlaga a valós idszaki hozam Logszázalékos hozam mindig a legkisebb ­ óvatosság elve Tökéletesen likvid befektetések esetében közgazdaságilag jól magyarázható feláldozott haszon

A = S t - S t -1
gt = St -1 St -1 S zt = ln t S t -1
x x 2 x3 xn n -1 - + - ....(- 1) * + ..... 1 2 3 n

Relatív változás (hozamszámítás)
Százalékosan

Logszázalékosan

Kapcsolatuk

ln (1 + x ) =

2

Példa százalékos és logszázalékos hozamok összeadására
Év Árfolyam 0 1 2 50 100 50
Százalékos hozam
S S r = 1 - 1 + 2 - 1 = S 0 S1 100 50 - 1 + - 1 = 50 100 100% - 50% = 50%

Lásd fenti példát
Százalékos hozamok átlaga

r=

1* r1 + 1* r2 1*100% + 1* (- 50% ) = = 25% 2 2

Logszázalékos hozam

Logszázalékos hozamok átlaga

S S S S S 50 r = ln 1 + ln 2 = ln 1 * 2 = ln 2 = ln = ln (1) = 0% S S S S S 50 1 1 0 0 0

1* ln (r1 ) + 1* ln (r2 ) r= = 2

1 ln (2 ) + ln 2 = 0% 2

Portfolió hozama és kockázata
Hozam Eset 1 2 3 Hozam Szórás A részvény 10% 20% 30% B részvény 13% 18% 23%

Hozamráta és szórásszámítás
rA =
10% + 20% + 30% = 20% 3 1 2 2 2 sA = * (10% - 20% ) + (20% - 20% ) + (30% - 20% ) = 10% 2
-

rp =w *rA+w *rB A B
Kockázat
2 A 2 A 2 B 2 B

A részvény

[

]

s p = w * s + w * s + 2 * wA * wB * s A * sB * AB
Korreláció
Rij =
- - x i - x × y i - y n - 1 i = 1

B részvény

1

n

rB =

s x × sy

13% + 18% + 23% = 18% 3 1 2 2 2 sB = * (13% - 18% ) + (18% - 18% ) + (23% - 18% ) = 5% 2

-

[

]

Alkossunk portfóliót A és B részvénybl!
(wA=60%, wB=40%)
Számítsuk ki a két értékpapír közötti korrelációt!
1 * [(10 - 20 )* (13 - 18) + (20 - 20 ) * (18 - 18) + (30 - 20 ) * (23 - 18)] RAB = 2 =1 10 * 5

Hogyan lehet javítani egy portfólió relatív szórását?
Válogassunk össze alacsony páronkénti korrelációjú értékpapírokat! Válasszuk ki az optimális portfóliósúlyokat! Növeljük a portfólióban lév értékpapírok számát!

Számítsuk ki a portfólió hozamát!

rp = 0,6 * 20% + 0,4 *18% = 19,2%
Számítsuk ki a portfólió szórását!

s p = 0,6 2 *10 2 + 0,4 2 * 52 + 2 * 0,6 * 0,4 *10 * 5 *1 = 64 = 8%

3

Nézzük meg az elz példát -1-es korrelációval!
Eset 1 2 3 Hozam Szórás A részvény 10% 20% 30% B részvény 23% 18% 13%

,,A" és ,,B" részvénybl álló portfólió hozama és kockázata különböz portfóliósúlyok esetén
20,0000%

19,5000%

R

Hozam

19,0000%

1 * [(10 - 20)* (23 - 18) + (20 - 20)* (18 - 18) + (30 - 20)* (13 - 18)] = -1 RAB = 2 10 * 5 Hozam marad ugyanannyi = 19,2% s p = 0,6 2 *10 2 + 0,4 2 * 52 + 2 * 0,6 * 0,4 *10 * 5 * (- 1) = 16 = 4%

18,5000%

18,0000% 0,0000%

1,0000%

2,0000%

3,0000%

4,0000%

5,0000% Szórás

6,0000%

7,0000%

8,0000%

9,0000%

10,0000%

Minimális relatív szórású portfólió súlyai s (w * s + (1 - w ) * s + 2 * w * (1 - w )* s =
2 p 2 A 2 A 2 A 2 B A A

A

* s B * RAB

wA

wA

)=

2 2 2 2 * wA * s A + 2 * wA * s B - 2 * s B + 2 * s A * s B * RAB - 4 * wA * s A * s B * RAB = 2 2 2 2 * wA * s A + s B - 2 * s A * s B * RAB + -2 * s B - s A * s B * RAB

s A * s B * RAB = Cov(rA ; rB )

[

]

[

]

wA = wA =

52 - 10 * 5 * (- 1) 1 2 = wB = 10 2 + 52 + 2 * 50 3 3
2 2

2 s B - Cov(rA ; rB ) 2 2 s A + s B - 2 * s A * s B * RAB

1 2 1 2 s p = *10 2 + * 52 + 2 * * *10 * 5 * (- 1) = 0% 3 3 3 3 1 2 rp = * 20% + *18% = 18,67% 3 3

A portfólió súlyarányait meghatározó képletek 2 elembl álló portfóliók esetén
Minimális szórású portfólió
2 wD = 2 2 E 2 , ha R = -1 2 D + E - 2 × Cov (rD , re ) D + E
2 E - Cov(rD , rE )

2-nél több elem portfólió kockázata
Értékpapír 1 2 3 .. n 1 w12*s12 w1*w2*Cov
12

2 w1*w2*Cov
12

3 w1*w3*Cov
13

... w1*wk*Cov
1k

n w1*wn*Cov
1n

w22*s22 w32*s32
.....

w1*w3*Cov
13

Optimális kockázati felárú portfólió súlya
E (rP ) - rf

w1*wk*Cov
1k

.......

wk2*sk2

....... wn2*sn2

w1*wn*Cov
1n

S=

P

max

wD =

[r

D

2 2 - rf * E + rE - rf * D - rD + rE - 2 * rf * Cov (rD , rE

]

[r

D

2 - rf * E - rE - rf * Cov (rD , rE )

[

]

]

[

[

]

]

N elem portfólió hozama

N elem portfólió kockázata

rp = w i × ri
i=1

n

sp =

w
i =1 j =1

n

n

i

× w j × si × s j × Rij

4

Diverzifikáció hatása Részvényárra ható piaci tényezk
Egyedi kockázat Kockázat Piaci kockázat Részvények darabszáma

Tényez neve
Gazdasági növekedés Kamatláb Folyó fizetési mérleg egy. Költségvetési hiány Munkanélküliség

Oksági összefüggés
Ha GDP n, n a vállalatok várható pénzárama, n a részvényár Ha kamatláb n, elvárt hozamráta n, részvényár csökken Ha fiz. mérleg romlik, jegybank kamatot emel, vagy leértelékelés, részvény kevesebbet ér devizában Ha n, inflációs veszély, fiz. mérleg romlás, leértékelés, vagy/és kamatemelés Ha n, várható kereslet csökken és/vagy költségvetési hiány n

Kapcsolat iránya

N N -N s = lim 2 * s 2 + * Cov = Cov n N N2
2 p 2

Részvényárra ható egyedi tényezk
Például Pénzügyi beszámoló adatai K+F kutatások sikere/kudarca Vállalattal kapcsolatos bírósági perek Vállalati menedzsment-csere, foglalkoztatás alakulása Bekebelezés/felvásárlás

Portfólióelmélet és a CAPM
Hatékony portfoliók kockázatmentes befektetéssel Hozam tkepiaci Hozam értékpapíregyenes piaci egyenes r f Szórás
COV ( x , M ) s
2 M

r f sp CAPM

1

Béta

Részvénybéta
i =

Portfolióbéta
p =

ri = r f + ( rm - r f ) × i

w
i =1

n

i

× i

Miskolci Egyetem Pénzügyi Tanszék - Értékpapírszámtan

Hatékony portfóliók görbéje
Hatékony portfólió ­ adott kockázat mellett a maximális várható hozamú portfólió Hatékony portfóliók görbéje ­ a hatékony portfóliókat összeköt vonal

Hatékony portfóliók görbéje
Várható hozam

Hatékony portfóliók görbéje

D C Lehetséges portfóliók tartománya

B

Vigyázat!!! Nem mindig igaz, hogy az adott várható hozam mellett minimális szórású portfólió hatékony.

A

Kockázat

5

1. feltétel ­ Legyenek a piacok hatékonyak
Hatékony piacokon (Fama) az információk azonnal és helyesen tükrözdnek az árakban, azaz a hatékony piacokon hozott összes befektetési döntés NPV-je zérus. Feltételei:
Információk mindenki számára azonnal és ingyenesen hozzáférhetk Az ügyletek végrehajtásának nincs más költsége, mint az értékpapír vételára. A befektetk árelfogadók és racionálisak.

A piaci hatékonyság hat jellemzje
A piacnak nincs emlékezete A piaci árfolyamok megbízhatóak Nincsenek pénzügyi illúziók A ,,csináld magad" lehetség Nézz meg egy részvényt és mindet láttad Az adatok mögé kell látni

A hatékony piacok következménye
Ha hatékonyak a piacok, minden portfólió a hatékony portfóliók görbéjére kerül (buborék effektus) Magyarázat
Vegyük az A és C portfóliót. Ugyanakkora a kockázat, de a C várható hozama magasabb. Az A-t eladják, árfolyama esik, várható hozama n, egész addig, míg fel nem ,,száll" a hatékony portfóliók görbéjére.

2. Feltétel ­ Tételezzük fel, hogy van kockázatmentes befektetés
Várható hozam

Hatékony portfóliók görbéje

Tkepiaci egyenes D C Lehetséges portfóliók tartománya

rf

B A

Kockázat

Van-e kockázatmentes befektetés?
Ha fix kamatozású állampapírt veszünk, és lejáratig megtartjuk, akkor van. Ha az állampapírt is likvid befektetésnek tekintjük, akkor már nem kockázatmentes, mert nincs ugyan hitelkockázata, de van kamatkockázata.

3. Feltétel ­ Kockázatmentes kamatlábon hitelt tudunk felvenni
A feltétel ahhoz kell, hogy a tkepiaci egyenesen a C ponton túl is be tudjunk fektetni.

6

Állítás ­ Minden befektetés rásimul a tkepiaci egyenesre
Ok: ugyanaz a ,,buborékelv" érvényesül, mint a hatékony portfóliók görbéjénél Azt kell belátni, hogy a kockázatmentes befektetés és a C portfólió kombinációjával a tkepiaci egyenes bármelyik pontjára rákerülhetünk

Példa
Kockázatmentes hozam = 10%; C portfólió várható hozama = 20%; C portfólió kockázata = 30%

Portfólió összetétele Várható hozam
Kizárólag kockázatmentes 50% C; 50% kockázatmentes 100% C 150% C; 50% kockázatmentes hitelfelvétel 10% 15% 20% 25%

Kockázat Meredekség (wc*sc) ((E(rp)-rf)/sp)
0% 15% 30% 45% Nem értelmezhet 1/3 1/3 1/3

Milyen tulajdonságai vannak a C portfóliónak?
Hatékony portfólió és nem tartalmaz egyedi kockázatot. Ha nincs egyedi kockázata, akkor tökéletesen diverzifikált. Tökéletesen diverzifikált portfólió minden kockázatos eszközt tartalmaz. Minden befektet C portfóliót fog venni és azt kombinálja a kockázatmentes befektetéssel

4. Feltétel ­ A befektetk idhorizontja 1 év és mindenki csak a C portfólióba fekteti a pénzét
Várható hozam

Értékpapír-piaci egyenes
C=M

E(rm) rf

i =

Cov(ri ; rm )
2 m

1

Piaci kockázat - béta

Írjuk fel az értékpapír-piaci egyenes egyenletét! (CAPM-egyenlet)
Várható hozam

A CAPM egyenlete

E(ri) E(rm) rf
M E(rm)-rf E(ri)-rf

E (ri ) = rf + E (rm ) - rf * i
A CAPM következményei: 1. A befektetések várható hozama csak a piaci kockázatra vonatkozó érzékenységtl függ 2. A befektetk vagy a kockázatmentes eszközbe vagy a tökéletesen diverzifikált piaci portfólióba fektetnek be. 3. Az egyes befektetk eltér kockázatérzékenysége csak annyiban számít, hogy milyen arányban kombinálják a fenti két befektetést. 4. Ne fektessünk csak egy vagy két részvénybe!

[

]

1

i Piaci kockázat - béta

7

Béta kiszámítása
Közvetlen úton
Egyszer, de nehezen tesztelhet

Karakterisztikus egyenes
A piac kockázati prémiumának függvényében ábrázoljuk az adott papír kockázati prémiumát A pontokhoz húzott regressziós egyenes meredeksége a béta Az egyenes Y tengellyel alkotott metszéspontja az alfa.
Ha az alfa értéke szignifikánsan negatív, a papír felülértékelt. Ha az alfa értéke szignifikánsan pozitív, a papír alulértékelt.

Karakterisztikus egyenessel
Tesztelhet, de ritkán ad értékelhet eredményt

Relatív béta
Csak az adott portfólióval kapcsolatban értelmezhet

Karakterisztikus egyenes
Karakterisztikus egyenes 10 8 6 BUX kockázati prémiuma 4 2 0 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 Matáv kockázati prémiuma 0 2 4 6 8 10 12 14

Regressziós statisztika paraméterei: R2 = a piaci index kockázati prémiuma hány %ban magyarázza az értékpapír kockázati prémiumát (0,58) = abnormális hozam (-0,233) = a papír makrokockázatra vonatkozó érzékenysége (1,14) és standard hibája = ha a véletlenek szórása normális, akkor a valódi és 95%-os valószínséggel a mért érték ± 2*standard hiba közé esik s()=0,17; s(ß)=0,06 Módosított béta=2/3*aktuális béta + 1/3*1

CAPM példa
Egy értékpapír elemz cég a következ becslést készítette: Részvény Jelenlegi Negyedév Osztalék Béta neve ár múlva a várható ár A 7 200 7 500 400 0,89 B C D 950 22 350 3 450 1 100 22 000 3 500 75 1 500 200 1,14 1,60 0,50

Megoldás
Részvény neve
A B C D
CAPM szerinti Tényleges hozam hozam Alfa Befektetési szabály

9,23% 10,98% 14,20% 6,50%

9,28% 0,05% A papír alulértékelt 21,26% 10,28% A papír alulértékelt 5,02% -9,18% A papír felülértékelt 7,00% 0,50% A papír alulértékelt
A fenti hozamok negyedéves hozamok

A piac várható hozama 10% lesz az elkövetkezend negyedévben. A kockázatmentes kamatláb éves nagysága 12%. Melyik papírt érdemes venni?

8

Portfólióalkotás
Egy elemz a következ éves elrejelzést készítette néhány értékpapírról és a piacról. A kincstárjegy hozama jelenleg 5%.

Megoldás
Gazdaság állapota
A részvény B részvény Piaci index

Gazdaság állapota Recesszió Kis növekedés Nagy növekedés

Valószínség 0,2 0,6 0,2

A részvény

B részvény

Piaci index

-15% +0% +30%

+5% +20% +10%

-5% +10% +20%

Számolja ki az A és B papír bétáját és alfáját! Ha az A és B papírból akar portfóliót készíteni, mi lenne a legkisebb kockázatú portfólió befektetési aránya?

Várható hozam Szórás Kovariancia a piaccal Béta Alfa Kovariancia az A és B részvény között Optimális bef. arány

3,00% 14,70% 1,08% 1,69 -8,75% 0,00% 0,15625

15,00% 6,32% 0,20% 0,31 8,75%
Hozam

9,00% 8,00%

Szórás

13,13%

5,81%

Relatív béta számítása
Induljunk ki a portfólió súlyozott kovariancimátrixából! Használjuk ki a béta azt a tulajdonságát, hogy a portfólió bétája a béták súlyozott átlagával egyenl. Emeljük ki a mátrix sorából a sor súlyát, és számoljuk ki a zárójelen belüli értéket. Osszuk el ezt az értéket a portfólió varianciájával Mire jó? Megadja, hogy az adott értékpapír hogyan befolyásolja az adott portfólió kockázatát.

Képlettel ugyanez

w *
i =1 i

n

i

=1

w1 * w1 * 12 + w2 * Cov12 + w3 * Cov13 + ...wn * Cov1n
Kételem portfólió esetén

[

]

1 =

w1 * + w2 * Cov12
2 1 2 p

Példa ­ Számoljuk ki a kételem portfólióban az A és B értékpapír bétáját!

Mi határozza meg az eszközök bétáját?
Ciklikusság Mködési tkeáttétel
Pénzáramlás = Bevétel - Fix költség - Változó költség PV(eszköz) = PV(bevétel) - PV(fix költség) - PV(változó költség) PV(bevétel) = PV(változó költség) + PV(fix költség) + PV(eszköz) PV (FC ) PV (VC ) PV ( A) bevétel = fix _ költség * + változó _ költség * + eszköz * PV (R ) PV (R ) PV (R ) )

0,6 *10 2 + 0,4 *10 * 5 * (-1) A = = 2,5 42 0,4 * 52 + 0,6 *10 * 5 * (-1) B = = -1,25 42 p = 0,6 * 2,5 + 0,4 * (-1,25) = 1

eszköz *

PV (VC ) PV ( A) = bevétel * 1 - PV (R ) PV (R ) PV (R ) - PV (VC ) PV ( A)

eszköz = bevétel *

9



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

11.12-2 2008 5. előadás algebra állatélettan áltkém család dns durkheim épterv etzs europai uniós ismeretek fizkém formanyomtatvány gyakorlat 1 gyökerek hull idegenforgalom ítéletlogika jogi alapismeretek képlet konjunktúrakutatás kulturális antropológia külgazdaságtan lengyel ferenc lophotrochozoa ma marás matek 1 mri munkafüzet munkássága objektum órai diák pénzügy i. political science preromán reklámelmélet és gyakorlat stratégia szentmiklóssy szerződés szövegszerkesztés szte termelési tényezők urbanisztika vegyes szakjog vegyipari vizsgakérdések zárthelyi zsidó kultúra