Valszám elmélet by U.Andi

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGazdaságtudományi KarGazdálkodásiValószínűségszámításJegyzetekValszám elmélet by U.Andi

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

Figyelem!!! Ezen kérdések megtanulása NEM garantálja a sikeres vizsgát!
Elméleti vizsgakérdések Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika cím tárgyához
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? Mi az eseményalgebra? Mi a teljes eseményrendszer? Mi a -algebra? Adjon példát egy olyan teljes eseményrendszerre, amelyben megszámlálhatóan végtelen sok esemény szerepel! Ismertesse a relatív gyakoriság tulajdonságait! Ismertesse a valószínségszámítás axiómáit! Igazolja, hogy A B esetén P( A) P(B ) ! Mivel egyenl két esemény különbségének valószínsége? Igazolja, hogy egy teljes eseményrendszer elemeinek valószínségét összegezve 1-et kapunk! Mi a klasszikus valószínségi mez? Mivel egyenl egy tetszleges esemény valószínsége egy klasszikus valószínségi mezben? Hogyan értelmezzük a feltételes valószínséget! Tetszleges A és C események esetén hogyan lehet kiszámolni a P ( A + C | B ) valószínséget? Mikor nevezzünk két eseményt függetlennek? Adjon meg ezzel ekvivalens állítást! Ismertesse a teljes valószínség tételét! Ismertesse a Bayes-tételt! Adja meg a valószínségi változó definícióját! Hogyan értelmezzük egy valószínségi változó eloszlásfüggvényét? Milyen kapcsolat van az binomiális és a Poisson eloszlás között? Ismertesse az egy változós eloszlás függvény tulajdonságait! Igazolja, hogy egy valószínségi változó eloszlásfüggvénye monoton növekv! Hogyan értelmezzük a srségfüggvényt? Adja meg a srségfüggvény karakterisztikus tulajdonságait! Igazolja azokat! Írja fel az egyenletes, exponenciális és normális eloszlás srség- és eloszlásfüggvényét! Mi az örökifjú tulajdonság? Milyen fontos eloszlások rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal? Adja meg a várható érték definícióját! Legyen diszkrét véges valószínségi változó és c egy tetszleges konstans. Igazolja, hogy E ( + c ) = E ( ) + c ! Vezesse le az egyenletes eloszlás várható értékének képletét az [a, b] intervallumon! Vezesse le az n és p paraméter binomiális eloszlású valószínségi változó várható értékét! Vezesse le egy Poisson eloszlású valószínségi változó várható értékét! Vezesse le egy paraméter exponenciális eloszlású valószínségi változó várható értékét! Vezesse le az m és paraméter normális eloszlású valószínségi változó várható értékét! Ismertesse a várható érték tulajdonságait! Hogyan értelmezzük egy valószínségi változó szórását? Ismertesse a szórás tulajdonságait! Igazoljon a szórás tulajdonságai közül kettt! Ismertesse a Markov- egyenltlenséget! 1

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika Created by ImMi © 2004 39. A Markov-egyenltlenség alapján mit állíthat a 0 valószínségi változó esetén a P ( < cE ( )) valószínségrl? (c>0) 40. Ismertesse a Csebisev-egyenltlenséget! 41. Ismertesse a Bernoulli-tételt! 42. Adja meg a kétdimenziós valószínségi vektor változó definícióját! 43. Ismertesse a két változós eloszlás függvény tulajdonságait! 44. A kétváltozós eloszlásfüggvény tulajdonságai közül bizonyítson be egyet! 45. Adja meg egy valószínségi vektorváltozó feltételes eloszlásfüggvényének a definícióját diszkrét és folytonos esetre! 46. Mikor nevezünk két valószínségi változót függetlennek? Adjon ezzel ekvivalens tulajdonságot! 47. A és valószínségi változók korrelálatlanok. Mit állíthatunk a + szórásnégyzetérl? 48. Mi a korrelációs együttható és milyen tulajdonságai vannak? 49. = a + b esetén számítsa ki és korrelációs együtthatóját! 50. Hogyan értelmezzük a 2 dimenziós egyenletes eloszlást? Adja meg az együttes srségfüggvényt is! 51. Ismertesse a centrális-határeloszlás tételét! 52. Írja fel a ( , ) valószínségi vektor változó peremsrség függvényét az együttes srségfüggvény segítségével! 53. A ( , ) valószínségi vektor változó f ( x, y ) együttes srségfüggvénye eláll a peremsrségek szorzataként f ( x, y ) = f (x ) f ( y ) . Igazolja, hogy az együttes eloszlás függvény is eláll a

peremeloszlás függvények szorzataként: F ( x, y ) = F ( x ) F ( y ) !

54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.

Ismertesse a regresszió fogalmát! Ismertesse a statisztikai minta fogalmát! Ismertesse a tapasztalati szórásnégyzet fogalmát! Ismertesse a maximum likelihood-elvet! Ismertesse a mintaközép fogalmát! Adjon maximum likelihood-becslést a Poisson-eloszlás várható értékére! Adjon maximum likelihood-becslést az exponenciális eloszlás várható értékére! Adjon maximum likelihood-becslést egy (a,b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínségi változó a és b paraméterére az x1, x2, ..., xn minta alapján! Adjon maximum likelihood becslést egy ismeretlen m és 2 paraméter normális eloszlás paramétereire az eloszlásra vett x1, x2, ..., xn minta alapján! Adja meg a konfidencia intervallum definícióját! Legyen adott egy (0, a ) intervallumban egy egyenletes eloszlású valószínségi változó. Egy 1 , 2 , ... n n elem minta alapján szerkesszen konfidencia intervallumot az ismeretlen paraméterre! Adja meg a szórásnégyzet és a tapasztalati szórásnégyzet definícióját! Adja meg a medián és a tapasztalati medián definicíóját! Adja meg a tapasztalati momentum definícióját! Ismertesse a khi négyzet eloszlást! Ismertesse az F-eloszlást! Ismertesse a Student-féle t-eloszlást! Ismertesse az egymintás u-próbát! Ismertesse a kétmintás u-próbát! Ismertesse az F-próbát! Ismertesse a t-próbát! Ismertesse a kétmintás t-próbát! Írja fel a tapasztalati eloszlásfüggvényt! Ismertesse a Glivenko tételt! Mi a torzítatlan becslés és az asszimptotikusan torzítatlan becslés? Ismertesse a Rao-Cramer ­ egyenltlenséget! Mi az elsfajú és másodfajú hiba?

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

2

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika
1.)

Created by ImMi © 2004

Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísérlethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X. Mi az eseményalgebra? Egy X eseménytérhez tartozó A,B,C,... eseményeknek egy tetszleges ­ az X és O eseményt tartalmazó ­ olyan halmazát, amely az események összeadására, szorzására és a komplementer képzésre nézve zárt, eseményalgebrának nevezzük. Mi a teljes eseményrendszer? Az A1 , A2 , A3 , ..., An események teljes eseményrendszert alkotnak, ha teljesülnek az alábbi feltételek: A1 + A2 + ... + An = X és Ai A j = 0 , 1 i < j n . Azaz a teljes eseményrendszer eseményei páronként

2.)

3.)

kizárják egymást, és az események összege a biztos esemény.
4.) Mi a -algebra? Az olyan eseményalgebrát, ahol megszámlálhatóan végtelen sok esemény összege is az eseményalgebrához tartozik -algebrának nevezzük. Adjon példát egy olyan teljes eseményrendszerre, amelyben megszámlálhatóan végtelen sok esemény szerepel! -algebra: megszámlálhatóan végtelen: A1, A2, A3, ..., An, ... [0,1) intervallumon
2i - 2 2i - 1 Ai = i ; i , 2 2 csakis egy következik be.

5.)

Ai (i = 1,2,...) teljes eseményrendszert alkotnak, mivel az események közül

6.)

Ismertesse a relatív gyakoriság tulajdonságait! k 1. 0 k n 0 1 n 2. legyenek A és B események diszjunkt események, k A , k B , k A + B jelölje A, B, A+B események relatív k k k gyakoriságát, ekkor: A + B = A + B n n n k n 3. az X bizots esemény, midig bekövetkezik: k X = n X = = 1 . n n Ismertesse a valószínségszámítás axiómáit! I. Adott egy nem üres X halmaz, az eseménytér. Az eseménytér elemeit elemi eseményeknek nevezzük, II. Adott az X részhalmazainak egy A -algebrája. Az A-beli halmazokat eseményeknek nevezzük. III. Minden A A eseményhez hozzárendelünk egy P( A) számot (az A esemény valószínségét) úgy, hogy 0 P( A) 1 , IV. P( X ) = 1 , V. Ha A és B egymást kizáró események, akkor P( A + B ) = P( A) + P(B ) ,

7.)

VI. Ha A1 , A2 ,..., An ,... egymást páronként kizáró események, akkor P Ai = P( Ai ) . i = 1 i =1

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

3

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika
8.) Igazolja, hogy A B esetén P( A) P(B ) ! A B A = AB 0 P (B - A) 1

Created by ImMi © 2004

B = A + AB P(B - A) = P(B ) - P( AB ) P (B - A) = P (B ) - P ( A)
9.)

0 P (B ) - P ( A) 1 0 P (B ) - P ( A) P ( A) P (B )

Mivel egyenl két esemény különbségének valószínsége? Állítás: P(B - A) = P(B ) - P(BA)

B = BX = B (A + A ) = BA + BA P(B ) = P(BA) + P (BA ) = P(BA) + P (BA ) P (BA ) = P(B ) - P(BA) , BA = B - A P(B - A) = P(B ) - P(BA)

10.) Igazolja, hogy egy teljes eseményrendszer elemeinek valószínségét összegezve 1-et kapunk! Ha A1, A2, A3, ..., An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor: P( Ai ) = 1
i

A = X
i i

így P( X ) = 1 = P Ai = P( Ai ) i i

11.) Mi a klasszikus valószínségi mez? Az olyan véges eseményteret (és a rajta értelmezett valószínséget) ahol az elemi események valószínsége megegyezik, klasszikus valószínségi meznek nevezzük. 12.) Mivel egyenl egy tetszleges esemény valószínsége egy klasszikus valószínségi mezben? Klasszikus valószínségi mezben egy tetszleges A esemény valószínsége a következ: az A esemény bekövetkezésére kedvez elemi események száma P ( A) = . az összes elemi események száma 13.) Hogyan értelmezzük a feltételes valószínséget! Egy A eseménynek a pozitív valószínség B eseményre, mint feltételre, vett feltételes valószínsége P( AB ) P( A | B ) = . P(B ) 14.) Tetszleges A és C események esetén hogyan lehet kiszámolni a P( A + C | B ) valószínséget? P(( A + C )B ) P( AB + CB ) P( AB ) + P(CB ) P( A + C | B ) = = = = P( A | B ) + P(C | B ) P (B ) P (B ) P (B ) 15.) Mikor nevezünk két eseményt függetlennek? Adjon meg ezzel ekvivalens állítást! Az A eseményt függetlennek nevezzük a pozitív valószínség B eseménytl, ha P( A | B ) = P( A) . Az A és B események akkor és csak akkor függetlennek, ha P( AB ) = P( A) P(B ) . 16.) Ismertesse a teljes valószínség tételét! Alkossanak az A1 , A2 ,..., An események teljes eseményrendszert ( P( Ai ) 0, i = 1,2,... , n ) és legyen B

tetszleges esemény, ekkor fennáll, hogy P(B ) = P(B | Ai ) P( Ai ) .
i =1

n

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

4

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

17.) Ismertesse a Bayes-tételt! Alkossanak az A1, A2, A3, ..., An események teljes eseményrendszert és legyen B egy tetszleges P (B Ak )P( Ak ) . esemény, továbbá mindezek pozitív valószínségek, ekkor: P (Ak B ) = n P(B Ai )P( Ai )
i =1

18.) Adja meg a valószínségi változó definícióját! Az elemi események X halmazán értelmezett = ( ) valós érték függvényt valószínségi változónak nevezzük, ha tetszleges, valós x esetén létezik a P( < x ) valószínség. 19.) Hogyan értelmezzük egy valószínségi változó eloszlásfüggvényét? Az F ( x ) = P( < x ) függvényt a valószínségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. 20.) Milyen kapcsolat van a binomiális és a Poisson eloszlás között? A binomiális eloszlás határeloszlása a Poisson-eloszlás, ha n tart a végtelenhez, de np = . 21.) Ismertesse az egy változós eloszlás függvény tulajdonságait! 1. F (x ) monoton növekv 2. F (x ) balról folytonos 3. lim F ( x ) = 0

4. lim F ( x ) = 1
x

x -

22.) Igazolja, hogy egy valószínségi változó eloszlásfüggvénye monoton növekv! Legyen x1 < x2 , ekkor a { < x2 } esemény tartalmazza a { < x1} eseményt, így P( < x1 ) P( < x2 ) azaz F ( x1 ) F ( x2 ) . 23.) Hogyan értelmezzük a srségfüggvényt? Egy f ( x ) 0 függvény a valószínségi változó srségfüggvénye, ha az F (x ) eloszlásfüggvény

tetszleges x esetén eláll az F ( x ) =

t = -

f (t ) dt

x

alakban.

24.) Adja meg a srségfüggvény karakterisztikus tulajdonságait! Igazolja azokat! 1. f ( x ) 0 mivel az eloszlás függvény monoton növekv, így deriváltja nem negatív


2.

-



f (t )dt = 1





-

f (t )dt = [F (t )]

-

= F ( ) - F (- ) = 1

25.) Írja fel az egyenletes, exponenciális és normális eloszlás srség- és eloszlásfüggvényét! ha x a 0, 1 x - a , ha x (a, b ) Egyenletes eloszlás: f (x ) = b - a , F (x ) = ha a < x b . 0, b - a ha x (a, b ) ha b < x 1, 0, ha x 0 0, ha x < 0 ( > 0) , F (x ) = -x . f ( x ) = - x Exponenciális eloszlás: 1 - e , ha x > 0 e , ha x 0

Normális eloszlás:

f (x ) =

1 2

e

-

( x - m )2
2
2

,

F (x ) =

1 2

-



x

- (t - m )2

e

2 2

dt .

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

5

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

26.) Mi az örökifjú tulajdonság? Milyen fontos eloszlások rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal? Egy valószínségi változó ,,örökifjú" tulajdonságú, ha tetszleges pozitív a és c konstansok esetén teljesül, hogy: P( > c ) = P ( > c + a > a ) . Az exponenciális eloszlás. 27.) Adja meg a várható érték definícióját! Definíció 1.: Egy véges sok x1 , x2 , ... értékét p1 , p2 , ..., pn valószínséggel felvev diszkrét

valószínségi változó E ( ) várható értéke: E ( ) = xi pi . Definíció 2.: Egy végtelen sok x1 , x2 , ..., xn , ...értéket p1 , p2 , ..., pn , ... valószínséggel felvev valószínségi változó várható értéke: E ( ) = xi pi , feltéve, hogy a végtelen sor abszolút
i =1
i =1

n

konvergens, azaz

x
i =1

n

i

pi < + .

28.) Legyen diszkrét véges valószínségi változó és c egy tetszleges konstans. Igazolja, hogy E ( + c ) = E ( ) + c !

E ( + c ) = ( xi + c ) pi = ( xi pi + cpi ) = ( xi pi ) + cpi = E ( ) + c
i i i i

29.) Vezesse le az egyenletes eloszlás várható értékének képletét az [a, b] intervallumon!

1 b - a ha a < x < b Mivel srségfüggvénye: f ( x ) = , 0 egyébként b 1 b2 - a 2 a + b x E ( ) = x f ( x ) dx = dx = = 2 b-a b-a 2 - a
30.) Vezesse le az n és p paraméter binomiális eloszlású valószínségi változó várható értékét! n n n n n n! n-k n-k E ( ) = kpk = kpk = k p k (1 - p ) = p k (1 - p ) = k (k - 1)!(n - k )! k =0 k =1 k =1 k =1
=
k -1 = 0

np (k - 1)![n - 1 - (k - 1)]! p


n -1

(n - 1)!

k -1

(1 - p )

n -1 - ( k -1 )

n -1 n - 1 j ( n - 1) - j = np = np j p (1 - p ) j =0

31.) Vezesse le egy Poisson eloszlású valószínségi változó várható értékét!
E ( ) = kp k = k
k =0 k =1

k
k!

e - =
k =1



(k - 1)!

k

e - =
k =1



(k - 1)!

k -1

e - = e -
k =1



(k - 1)!

k -1

= e - e =

32.) Vezesse le egy paraméter exponenciális eloszlású valószínségi változó várható értékét! 1 Állítás: E ( ) =



e - x 0 ha x < 0 u = e - x u = - x - x ; E ( ) = x f ( x )dx = x e - x dx = f ( x ) = - x = - xe 0 + e dx e ha x 0 0 0 - v = v = x Az els tag az alsóhatárnál zérus, a felshatárnál (a B.L'Hospital-szabállyal igazolható) szintén zérus,

[

]

1 1 így: E ( ) = - e - x = . 0



MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

6

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika
( x - m )2
2 2

Created by ImMi © 2004
( x - m )2
2 2

33.) Vezesse le az m és paraméter normális eloszlású valószínségi változó várható értékét!
- 1 E ( ) = x e 2 -

dx =

-





1 x-m - e 2
2

( x - m )2
2 2

dx +

-





1 m - e 2

dx =

= 2

- ( x - m2) - e 2

2

(x- m) - 1 2 +m e 2 dx = m 2 - -

+

34.) Ismertesse a várható érték tulajdonságait! E (c ) = cE ( ) , E ( + b ) = E ( ) + b , m1 m2 m1 E ( ) m2 . 35.) Hogyan értelmezzük egy valószínségi változó szórását? 2 A valószínségi változó szórásnégyzete: D 2 ( ) = E [ - E ( )] , feltéve, hogy véges. A valószí-

(

)

nségi változó szórása a szórásnégyzetbl vont pozitív négyzetgyök:
36.) Ismertesse a szórás tulajdonságait!

D 2 ( ) = E [ - E ( )] .
2

(

)

D( ) = D 2 ( ) ,

D( + b ) = D( ) és D(c ) = c D( )

D 2 ( ) = E 2 - E 2 ( )

( )

37.) Igazoljon a szórás tulajdonságai közül kettt! 2 2 2 1. D 2 ( + b ) = E ( + b - E ( + b )) = E ( + b - b - E ( )) = E ( - E ( )) = D 2 ( ) : D( + b ) = D( )

2. D 2 (c ) = E [c - E (c )] = E [c - cE ( )] = c 2 E [ - E ( )] = c 2 D 2 ( ) D(c ) = c D( )
2 2 2

{

(

} {

) (

}

{

) (

}

)

38.) Ismertesse a Markov- egyenltlenséget! Legyen egy nem negatív értékeket felvev valószínségi változó, melynek létezik az E ( ) várható 1 értéke. Tetszleges c pozitív szám esetén P( cE ( )) . c 39.) A Markov-egyenltlenség alapján mit állíthat a 0 valószínségi változó esetén a P( < cE ( )) valószínségrl? (c>0) 1 P( < cE ( )) = 1 - P( cE ( )) = 1 - [P( < cE ( ))] c 1 1 - P( cE ( )) c 40.) Ismertesse a Csebisev-egyenltlenséget! Ha a valószínségi változónak létezik az E ( ) várható értéke és D( ) szórása, akkor tetszleges

> 0 esetén P ( - E ( ) )

D 2 ( )

2

.

41.) Ismertesse a Bernoulli-tételt! Tekintsünk egy kísérletet és egy hozzá tartozó p valószínség A eseményt. Ismételjük meg a kísérletet egymástól függetlenül n-szer, és jelölje n az A gyakoriságát. Ekkor tetszleges , > 0

esetén van olyan N, hogy n N esetén teljesül: P n - p . n

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

7

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

42.) Adja meg a kétdimenziós valószínségi vektor változó definícióját! Legyen adott az X eseménytéren értelmezett és valószínségi változók. Az elemi események X halmazán értelmezett = ( ) = ( ( ), ( )) vektorérték függvényt kétdimenziós valószínségi vektorváltozónak nevezzük, ha tetszleges x,y valós számok esetén létezik a P( < x, < y ) valószínség. 43.) Ismertesse a két változós eloszlás függvény tulajdonságait! 1. F ( x, y ) mindkét változójában monoton növekv 2. F ( x, y ) mindkét változójában balról folytonos 3. F (- , y ) = F ( x,- ) = F (- ,- ) = 0 4. F (+ ,+ ) = 1 5. tetszleges a < b és c < d esetén: P(a < b, c < d ) = F (b, d ) - F (a, d ) - F (b, c ) + F (a, c ) . 44.) A kétváltozós eloszlásfüggvény tulajdonságai közül bizonyítson be egyet! Állítás: F ( x, y ) mindkét változójában monoton növekv. Legyen x1 < x2 ekkor a { < x2 , < y } esemény tartalmazza a { < x1 , < y } eseményt. Tehát P{ < x1 , < y } P{ < x2 , < y } azaz F ( x1 , y ) F ( x2 , y ) .

Legyen y1 < y2 ekkor a { < x, < y2 } esemény tartalmazza a { < x, < y1 } eseményt. Tehát P{ < x, < y1 } P{ < x, < y2 } azaz F ( x, y1 ) F ( x, y2 ) .
45.) Adja meg egy valószínségi vektorváltozó feltételes eloszlásfüggvényének a definícióját diszkrét és folytonos esetre! Diszkrét esetben: Legyen tetszleges valószínségi változó és diszkrét valószínségi változó. Az valószínségi változó = x feltétel mellett F ( y | x ) feltételes eloszlásfüggvénye F ( y | x ) = P( < y | = x ) , feltéve, hogy a = x esemény nem nulla valószínség, azaz x a lehetséges értékeinek egyike. A folytonos eset ebbl levezethet, itt csak a végeredményt közöljük: F ( x, y ) F ( y | x) = F ( x ) . x 46.) Mikor nevezünk két valószínségi változót függetlennek? Adjon ezzel ekvivalens tulajdonságot! Az valószínségi változót függetlennek nevezzük a valószínségi változótól, ha F ( y | x ) = F ( y ) ,

azaz ha az -nak a -re vett feltételes eloszlása megegyezik az feltétel nélküli eloszlásával. Két valószínségi változó akkor és csak akkor független, ha együttes eloszlásfüggvényük eláll a peremeloszlás-függvények szorzataként: F ( x, y ) = F ( x )F ( y ) , illetve ha létezik az együttes srségfüggvény, akkor teljesül f ( x, y ) = f ( x ) f ( y ) .

47.) A és valószínségi változók korrelálatlanok. Mit állíthatunk a + szórásnégyzetérl?
D 2 ( + ) = E ( + ) - (E ( + )) = E 2 + 2 + 2 - [E ( ) + E ( )] =
2 2 2

= E 2 + 2 E ( ) + E 2 - E 2 ( ) - 2 E ( )E ( ) - E 2 = E 2 - E 2 ( ) + E 2 - E 2 ( ) =
2 2

= D ( ) + D ( )

( )

[

( )

] (

)

( )

( )

( )

48.) Mi a korrelációs együttható és milyen tulajdonságai vannak? A korrelációs együttható azt méri, hogy a két változó mennyire lineárisan függ E ( ) - E ( ) E ( ) cov( , ) egymástól. r ( , ) = = , - 1 r ( , ) 1 D( ) D( ) D( ) D( ) Független valószínségi változó esetén r = 0 , de r ( , ) = 0 esetén nem feltétlenül függetlenek.

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

8

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

49.) = a + b esetén számítsa ki és korrelációs együtthatóját! E ( ) - E ( ) E ( ) cov( , ) r ( , ) = = D( ) D( ) D( ) D( ) lineárisan függ -tl aD 2 ( ) = cov( , a + b ) miatt r ( , a + b ) = sign(a ) Ha = a + b , r ( , a + b ) = ±1 az a = 0 esetet kivéve. 50.) Hogyan értelmezzük a 2 dimenziós egyenletes eloszlást? Adja meg az együttes srségfüggvényt is! Egy ( , ) valószínségi vektor változót egy síkbeli T halmazon egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha 1 ha ( x, y ) T srségfüggvénye az f ( x, y ) = T ahol |T| a halmaz területének mértékét jelöli. ha egyébként. 0 A és valószínségi vektor változóknak akkor van együttes srségfüggvénye, ha tetszleges x és

y valós számok esetén az együttes eloszlásfüggvény eláll az F ( x, y ) =

u = - v = -

f (u, v )dvdu alakban.

x

y

51.) Ismertesse a centrális-határeloszlás tételét! Legyenek a 1 , 2 ,..., n ,... teljesen független, azonos eloszlású valószínségi változók. Létezzen a (közös) várható értékük: m = E ( i ) , és (közös) szórásuk: = D( i ) , ekkor:

+ + ... + n - nm lim P 1 2 < x = ( x ) , ahol ( x ) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. n n
52.) Írja fel a ( , ) valószínségi vektor változó peremsrség függvényét az együttes srségfüggvény segítségével!

f ( x, y ) = f (x ) f ( y ) f ( x ) =

+

-



f ( x, v )dv , f ( y ) =

+

-

f (u, y )du

53.) A ( , ) valószínségi vektor változó f ( x, y ) együttes srségfüggvénye eláll a peremsrségek szorzataként f ( x, y ) = f (x ) f ( y ) . Igazolja, hogy az együttes eloszlás függvény is eláll a peremeloszlás függvények szorzataként: F ( x, y ) = F ( x ) F ( y ) !
F ( x, y ) =

u = -



x

v = -

f (u, v )dvdu = f (u ) f (v )dvdu = f (u )du f (v )dv
u v u v F ( x ) F ( y )

y

54.) Ismertesse a regresszió fogalmát! Ha a értékét rögzítenénk egy adott x értéknél, akkor az értékei a feltételes várható érték körül ingadoznának. Az változónak a = x feltétel melletti feltételes várható értéke

E ( | = x ) =

+

-

y f ( y | x ) dy , ha az integrál abszolút konvergens.

55.) Ismertesse a statisztikai minta fogalmát! Az eredeti sokaságra vett n darab véletlen megfigyelés eredménye, azaz n számú valószínségi változó (feltételezzük, hogy a mintaelemek független és azonos eloszlású valószínségi változók) ha teljesül ez a két feltétel akkor a minta reprezentatív.

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

9

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

56.) Ismertesse a tapasztalati szórásnégyzet fogalmát! 2 A n tapasztalati szórásnégyzet a mintaközéptl való eltérésnégyzet számtani átlaga,
2 n =

(
i

i

- )

2 2 . Tetszleges valós c esetén fennáll a Steiner-formula: n =

(
i

i

- c)

2

n

n

- ( - c ) .
2

57.) Ismertesse a maximum likelihood-elvet! A paraméterek értékét olyan értékekkel becsüljük, melyek esetén az adott minta bekövetkezésének a legnagyobb a valószínsége. Adott egy valószínségi változó a p ( x, a ) diszkrét eloszlással vagy az f ( x, a ) srségfüggvénnyel, ahol az a a valós paraméter. Egy x1 , x2 , ..., xn minta esetén azt az a paraméterértéket fogadjuk el, amely mellett az illet minta bekövetkezésének a valószínsége a legnagyobb. Diszkrét eloszlás esetén ez az alábbi valószínség maximalizálását jelenti:

P(1 = x1 , 2 = x2 ,..., n = xn ) = P( i = xi ) = p( xi , a ) .
i =1 i =1

n

n

58.) Ismertesse a mintaközép fogalmát!

Az mintaközép a mintaelemek számtani átlaga. = a =c+


n

i

. Tetszleges c valós szám esetén fennáll

(

i

- c)

n

formula. Sokszor használjuk a várható érték becslésére.

59.) Adjon maximum likelihood-becslést a Poisson-eloszlás várható értékére! Legyenek a valószínségi változóra vett n elem mintaelemek értékei rendre k1 , k 2 , ... k n . Ekkor a likelihood függvény: n k i - n L(k1 , k2 , ... k n ; ) = log P(1 = k1 , 2 = k2 , ... n = kn ) = log e = [ki log - log(ki !) - ] i =1 k i ! i =1

ki n dL 1 = ki - 1 = 0 = i =1 = x ez széls érték, tehát a Poissona likelihood egyenlet: d i = 1 n eloszlás várható értékének likelihood-becslése a mintaközép.
60.) Adjon maximum likelihood-becslést az exponenciális eloszlás várható értékére!

n

A likelihood függvény:

L( x1 , x2 , ... xn ; ) = log e - xi = log - e - xi = a log - xi
i =1 i =1 i =1

n

(

)

n

(

)

n

dL n n Széls érték a következ egyenlet megoldásainál lehet: = - xi = 0 = d i = 1

n

x
i =1

n

i

61.) Adjon maximum likelihood-becslést egy (a,b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínségi változó a és b paraméterére az x1, x2, ..., xn minta alapján! 1 ha a < x < b a srségfüggvény: f ( x ) = b - a 0 egyébként n n 1 a likelihood függvény: L = log = - log(b - a ) , a likelihood függvény akkor maximális ha b-a i =1 i =1 b-a maximális, azaz a = min{ xi } és b = max{ xi }.

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

10

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

62.) Adjon maximum likelihood becslést egy ismeretlen m és 2 paraméter normális eloszlás paramétereire az eloszlásra vett x1, x2, ..., xn minta alapján! A likelihood függvény: ( x - m )2 1 n n - i 2 (x - m )2 1 - log - i 2 L x1 , x2 , ..., xn , m, 2 = log e 2 = log 2 i =1 2 2 i =1

(

)

(xi - m) 1 1 2 L = n log - n log - i =1 , 2 2 2 2
2

n

L L = =0 m m

(x
i =1
n

n

i

- m)
2



= 0,

xi n L n L i =1 =- + . Az els egyenletbl xi = nm m = i =1 = x , tehát a =0 2 2 4 n 2 2 i =1 mintaközepet kapjuk a várható érték becslésének. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe a
szórásnégyzet becslésére a 2 =

2 (xi - m)

n

(x
i =1

n

i

- x)

2

n

(tapasztalati szórásnégyzet) adódik.

63.) Adja meg a konfidencia intervallum definícióját! Egy F ( x, a ) eloszlásfüggvény valószínségi változó esetén a 1 , 2 , ... n mintaelemekbl az 1 (1 , 2 , ... n ) , 2 (1 , 2 , ... n ) n változós függvényekkel képzett (1 , 2 ) intervallumot, tetszleges (0 < < 1) esetén az -ra vett 1 - megbízhatósági szint konfidencia intervallumnak nevezzük ha P(1 (1 , 2 , ... n ) < a < 2 (1 , 2 , ... n )) = 1 - . 64.) Legyen adott egy (0, a ) intervallumban egy egyenletes eloszlású valószínségi változó. Egy 1 , 2 , ... n n elem minta alapján szerkesszen konfidencia intervallumot az ismeretlen paraméterre!

a ^ = max(1 , 2 , ... n ) = µ , legyen r =

µ
a

.

r = max 1 , 2 ,... n a a a n P(1 < r < 1 ) = 1 - = a - 1 2

Fr ( y ) = P(r < y ) = y n

µ P(1 < r < 1 ) = P a1 n < r < 1 = P a1 n < < 1 = 1 - a -1 n P µ < a < µ = 1-

(

( )

)

65.) Adja meg a szórásnégyzet és a tapasztalati szórásnégyzet definícióját! A valószínségi változó D 2 ( ) szórásnégyzete: D 2 ( ) = E [ - E ( )] 2 feltéve, hogy véges. A valószínségi változó szórása a szórásnégyzetbl vont pozitív négyzetgyök:

(

)

D( ) = D 2 ( ) = E [ - E ( )] 2 .

(

)

A tapasztalati szórásnégyzet a mintaközéptl való eltérésnégyzetek számtani átlaga: 2 =

(x
i =1

n

i

- x)

2

n .

.

A korrigált tapasztalati szórásnégyzet (kis számú minta esetén, n 10 ): *2 =

(x - x )
i =1 i

n

2

n -1

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

11

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

66.) Adja meg a medián és a tapasztalati medián definicíóját! A medián az az m érték, amelyre teljesül, hogy P( < m ) = 0,5 . A tapasztalati medián egy x1, x2, ..., xn minta alapján a következ: µ = xk +1 , ha n = 2k + 1 , vagyis páratlan elemszámú a minta, vagy x + xk + 1 µ= k , ha n = 2k vagyis páros elemszámú a minta, azaz a középs érték, vagy a két középs 2 érték átlaga. 67.) Adja meg a tapasztalati momentum definícióját! Mivel a valószínségi változó k-adik momentuma mk = E k , és a várható érték becslésére már használtuk a megfigyelt értékek átlagát, így természetes a k-adik tapasztalati momentum alábbi

( )

definíciója: µ k =


i =1

n

k i

n

.

68.) Ismertesse a khi négyzet eloszlást! Az n számú x1, x2, ..., xn független, standard normális eloszlású valószínségi változó 2 2 2 = x12 + x2 + ... xn négyzetösszegének eloszlását n szabadságfokú 2 eloszlásnak nevezzük.

Várható értéke: E ( 2 ) = n , szórásnégyzete: D 2 2 = 2n .

( )

n x -1 - x 2 e 2 , ha x < 0 Eloszlásfüggvénye: F ( x ) = n n -1 - x 2 2 x 2 e 2 dx, ha x > 0 0

69.) Ismertesse az F-eloszlást! Legyen és két n és m szabadsági fokú független 2 -eloszlású valószínségi változó, akkor az

n m nevezzük.

Fn ,m =





valószínségi változót n, m szabadsági fokú F-eloszlású valószínségi változónak

70.) Ismertesse a Student-féle t-eloszlást! Legyenek 1 , 2 , ... n és teljesen független standard normális eloszlású valószínségi változók, ekkor az alábbi valószínségi változót n szabadságfokú t-eloszlásnak nevezzük:

=



+ + ... + n2
2 1 2 2

.

n


Eloszlásfüggvénye: F ( x ) = 0 ha x < 0 és F ( x ) =


x
0

n +1 2 -x

e dx
1- n 2

ha x > 0 .

x
0

n -1 -x 2

1+ t2 e dx n n

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

12

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

71.) Ismertesse az egymintás u-próbát! Adott egy normális eloszlású valószínségi változó, melynek ismert a D( ) = szórása. Egy 1 , 2 , ... n minta alapján szeretnénk a H0: E ( ) = m0 nullhipotézist vizsgálni a H1: E ( ) m0 ellenhipotézissel szemben, egy elre megadott 1 - megbízhatósági szinten. - m0 , u = -1 1 - , ha - u < u < u , akkor a H0 hipotézist elfogadjuk. u= 2 n 72.) Ismertesse a kétmintás u-próbát! Két ismert szórású normális eloszlású valószínségi változó várható értékének egyezségét vizsgáljuk ezzel a próbával. A H0: E ( ) = E ( ) hipotézist vizsgáljuk a H1: E ( ) E ( ) ellenhipotézissel szemben, egy elre megadott 1 - megbízhatósági szinten. - u = , u = -1 1 - , ha - u < u < u , akkor a H0 hipotézist elfogadjuk. 2 2 2 1 2 + n n 73.) Ismertesse az F-próbát! Arra szolgál, hogy eldöntsük két normális eloszlású valószínségi változó szórása egyenlnek tekinthet-e. A valószínségi változóra vett 1 , 2 , ... n n elem minta és egy az valószínségi

változóra vett független 1 , 2 , ... m m elem minta alapján számított F f1 , f 2 = H0: D( ) = D( ) nullhipotézis esetén f1 = n - 1 és valószínségi változó.

* s n2 statisztika a * s m2 f 2 = m - 1 szabadságfokú F-eloszlású

74.) Ismertesse a t-próbát! Legyen egy normális eloszlású valószínségi változó, és 1 , 2 , ... n egy a -re vett n elem

minta. A H0: E ( ) = m0 nullhipotézist a t =

- m0
* sn

statisztika segítségével tudjuk vizsgálni. A H0

n nullhipotézis fennállása esetén a t statisztika n-1 paraméter t-eloszlású valószínségi változó. A normális eloszlású valószínségi változó várható értékére vonatkozó nullhipotézisének ellenrzésére csak akkor használhatjuk, ha ismert valószínségi változó szórása.

75.) Ismertesse a kétmintás t-próbát! Ha feltételezhet a két valószínségi változó szórásának az egyenlsége (akár elméleti megfontolásokból, akár az F-próba alapján), akkor alkalmazhatjuk a kétmintás t-próbát. nm(n + m - 2 ) - A H0: E ( ) = E ( ) nullhipotézist a t n + m - 2 = statisztika * n+m (n - 1) n*2 + (m - 1) m2

segítségével dönthetjük el.
76.) Írja fel a tapasztalati eloszlásfüggvényt!

0 ha x 1* k Egy n elem független minta alapján: F ( x ) = ha k* x k*+1 * n ha x > n 1

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

13

Dr. Raisz Péter ­ Valószínségszámítás, matematikai statisztika

Created by ImMi © 2004

77.) Ismertesse a Glivenko tételt! Statisztikai alaptétel. Elegenden nagy mintát véve a tapasztalati eloszlásfüggvény tetszlegesen megközelíti a valódi eloszlásfüggvényt. A minta nagyságának növekedésével elegend pontossággal tudunk minden valószínségi kérdésre válaszolni. lim P sup Fn ( x ) - F ( x ) > = 0 n - < x< 78.) Mi a torzítatlan becslés és az asszimptotikusan torzítatlan becslés? Torzítatlanság: Elvárható, hogy a becslésünk legalább átlagban a becsülni kívánt paraméter értékét adja. A = (1 , 2 , ..., n ) becslést a paraméter torzítatlan becslésének nevezzük, ha E ( (1 , 2 , ..., n )) = , azaz a becslés várható értéke megegyezik a becsülni kívánt paraméterrel.

Ha a paraméter = (1 , 2 , ..., n ) becslésére csak határértékben teljesül a torzítatlanság, azaz
a

lim E ( (1 , 2 , ..., n )) = akkor a = (1 , 2 , ..., n ) becslést a paraméter asszimptotikusan

torzítatlan becslésének nevezzük.
79.) Ismertesse a Rao-Cramer ­ egyenltlenséget! Legyen adott egy folytonos eloszlású valószínségi változó, melynek f ( x, ) srségfüggvénye a ^ ^ minden értéke esetén ugyanazon a tartományon pozitív és = ( , , ..., ) torzítatlan becslés a

^ paraméterre, akkor D 2

()

1

2

n

1 , ahol I ( f , ) az úgynevezett Fisher-féle információ. I ( f , )

80.) Mi az elsfajú és másodfajú hiba? Elsfajú hiba: annak a valószínsége, hogy a H0 nullhuipotézist elvetjük, pedig az a jó. Másodfajú hiba: annak a valószínsége, hogy a H0 nullhuipotézist elfogadjuk, pedig az nem igaz.

MISKOLCI EGYETEM, Gépészmérnöki kar, II. éves mszaki informatikus hallgatók részére

14



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

17 18. század 2 eloadas 5. gyakorlat 5.előadás ady agg zoltán alapozás ásványtan biológiai vízminősítés citrátkör direkt élete elte ttk ember építésszervezés i. éptöri 2 esszék etzs filozófia tételek gazdaságszociológia gdp glikoneogenezis katalízis kéri bálint kidolgozott kérdések kivágó lyukasztó szerszám tervezése kivitel korreláció kötelező irodalom közgazdaságtan fő áramlata közjog kultúra lézer megoldások mills miskolci egyetem nonverbális kommunikáció növényélettan növényrendszertan pár apróság pol.komm prog.terv program reneszánsz stat szabályzás tőke vegyes szakjog vizsgazárthelyi