11. Előadás
Országok listája
HungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek11. Előadás
2007.11.25 20:05:00
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Analízis
Dr. Tasnádi Attila
Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék
2007. november 21.
Parciális integrálás
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n,
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n,
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján fg + fg= (f g)
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g)
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) =
b [f g]a
.
2
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) =
b [f g]a
.
2
Példa:
e 1
x ln xdx =?
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) = [f g]b . a
2
Példa:
e
e 1
x ln xdx =?
x ln xdx =
1
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) = [f g]b . a
2
Példa:
e
e 1
x ln xdx =? x2 2
e
x ln xdx =
1
ln x
1
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) = [f g]b . a
2
Példa:
e
e 1
x ln xdx =? x2 2
e e
x ln xdx =
1
ln x
1
-
1
x2 2
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) = [f g]b . a
2
Példa:
e
e 1
x ln xdx =? x2 2
e e
x ln xdx =
1
ln x
1
-
1
x2 1 dx = 2 x
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) = [f g]b . a
2
Példa:
e
e 1
x ln xdx =? x2 2
e e
x ln xdx =
1
ln x
1
-
1
x2 1 e2 dx = 2 x 2
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) = [f g]b . a
2
Példa:
e
e 1
x ln xdx =? x2 2
e e
x ln xdx =
1
ln x
1
-
1
x2
1 dx = - 2 x 2
e2
x2 4
e
=
1
Parciális integrálás
Tétel: Ha f és g differenciálhatóak [a, b]-n, f g és f g integrálhatóak [a, b]-n, akkor
b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
b a
b
-
a
f (x)g(x)dx.
Biz.: a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
b b b
fg +
a a
fg=
a
(f g) = [f g]b . a
2
Példa:
e
e 1
x ln xdx =? x2 2
e e
x ln xdx =
1
ln x
1
-
1
x2
1 dx = - 2 x 2
e2
x2 4
e
1
e2 + 1 = . 4
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án,
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án,
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án,
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1 -1
1 - x2 dx =?
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t.
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
1 - x2 dx =
-1
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
- 2
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
1 - sin2 t
- 2
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
1 - sin2 t· cos tdt
- 2
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
1 - sin2 t· cos tdt=
2
cos2 tdt =
- 2
- 2
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
1 - sin2 t· cos tdt= 1 + cos 2t dt 2
2
cos2 tdt =
- 2
2
- 2
- 2
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
1 - sin2 t· cos tdt= 1 + cos 2t t dt= 2 2
2
cos2 tdt =
2
- 2
2
- 2
- 2
- 2
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
1 - sin2 t· cos tdt=
2
cos2 tdt =
2
- 2
2
- 2
- 2
1 + cos 2t t sin 2t dt= + 2 2 4
- 2
Tétel: Ha x = g(t) diff.ható és szig.mon. [, ]-án, és f integrálható [a, b] = [g(), g()]-án, f (g(t))g (t) integrálható [, ]-án, akkor
b
f (x)dx =
a
f (g(t))g (t)dt.
Példa:
1
1 -1
1 - x2 dx =? Legyen x = sin t. Ekkor
2
1 - x2 dx =
-1
1 - sin2 t· cos tdt=
2
cos2 tdt = = . 2 -
2 2
- 2
2
- 2
- 2
1 + cos 2t t sin 2t dt= + 2 2 4
További tulajdonságok
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n,
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n,
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és , x [a, b],
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és , x [a, b], akkor az
x
F (x) =
f (t)dt
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és , x [a, b], akkor az
x
F (x) =
f (t)dt
integrálfüggvény folytonos [a, b]-n
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és , x [a, b], akkor az
x
F (x) =
f (t)dt
integrálfüggvény folytonos [a, b]-n és x0 (a, b), ahol f folytonos
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és , x [a, b], akkor az
x
F (x) =
f (t)dt
integrálfüggvény folytonos [a, b]-n és x0 (a, b), ahol f folytonos F diff.ható és F (x0 ) = f (x0 ).
További tulajdonságok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n, akkor |f | is integrálható [a, b]-n, és
b b
f (x)dx
a a
f (x) dx.
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és , x [a, b], akkor az
x
F (x) =
f (t)dt
integrálfüggvény folytonos [a, b]-n és x0 (a, b), ahol f folytonos F diff.ható és F (x0 ) = f (x0 ). Köv.: F (x) =
x
f (t)dt-re F (x0 ) = -f (x0 ).
Primitív függvény
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x),
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye.
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n,
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú.
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek,
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek, mivel (F (x) + C) = F (x) = f (x).
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek, mivel (F (x) + C) = F (x) = f (x). Legyen F1 az f egy primitív függvénye.
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek, mivel (F (x) + C) = F (x) = f (x). Legyen F1 az f egy primitív függvénye. Ekkor (F1 (x) - F (x))
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek, mivel (F (x) + C) = F (x) = f (x). Legyen F1 az f egy primitív függvénye. Ekkor (F1 (x) - F (x)) = f (x) - f (x) = 0,
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek, mivel (F (x) + C) = F (x) = f (x). Legyen F1 az f egy primitív függvénye. Ekkor (F1 (x) - F (x)) = f (x) - f (x) = 0, és ezért F1 (x) - F (x) = C.
2
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek, mivel (F (x) + C) = F (x) = f (x). Legyen F1 az f egy primitív függvénye. Ekkor (F1 (x) - F (x)) = f (x) - f (x) = 0, és ezért F1 (x) - F (x) = C. Tétel: Ha f folytonos [a, b]-n,
2
Primitív függvény
Definíció: Ha f : I R és F : I R diff.ható függvény, melyre x I : F (x) = f (x), akkor F az f I-hez tartozó primitív függvénye. Tétel: Ha F az f primitív függvénye I-n, akkor az f összes I-hez tartozó primitív függvénye F (x) + C alakú. Biz.: F (x) + C primitív függvény f -nek, mivel (F (x) + C) = F (x) = f (x). Legyen F1 az f egy primitív függvénye. Ekkor (F1 (x) - F (x)) = f (x) - f (x) = 0, és ezért F1 (x) - F (x) = C. Tétel: Ha f folytonos [a, b]-n, akkor van primitív függvénye [a, b]-n.
2
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük.
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f .
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor f (x)dx = F (x) + C.
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx = f (x)dx = F (x) + C.
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C,
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C, ha = -1
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx
dx x
f (x)dx = F (x) + C.
=
x+1 +1
+ C, ha = -1
=
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx
dx x
f (x)dx = F (x) + C.
=
x+1 +1
+ C, ha = -1
=ln |x| + C
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C, ha = -1
dx =ln |x| x ex dx =
+C
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C, ha = -1
dx =ln |x| + C x ex dx =ex + C
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C, ha = -1
dx =ln |x| + C x ex dx =ex + C
cos xdx =
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C, ha = -1
dx =ln |x| + C x ex dx =ex + C
cos xdx =sin x + C
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C, ha = -1
dx =ln |x| + C x ex dx =ex + C
cos xdx =sin x + C sin xdx =
Határozatlan integrál
Definíció: Az f bármelyik primitív függvényét az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés: f (x)dx vagy f . Ha F = f , akkor Alapintegrálok: x dx =
x+1 +1
f (x)dx = F (x) + C.
+ C, ha = -1
dx =ln |x| + C x ex dx =ex + C
cos xdx =sin x + C sin xdx =- cos x + C
Alapintegrálok:
Alapintegrálok:
dx cos2 x
=
Alapintegrálok:
dx cos2 x
= tan x + C
Alapintegrálok:
dx = cos2 x dx dx sin2 x
tan x + C =
Alapintegrálok:
dx = cos2 x dx dx sin2 x
tan x + C =- cot x + C
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + sin2 x dx dx = 1-x2
C
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + C sin2 x dx dx =arcsin x + C 1-x2
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + C sin2 x dx dx =arcsin x + C 1-x2 dx = 1+x2
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + C sin2 x dx dx =arcsin x + C 1-x2 dx =arctan x + C 1+x2
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + C sin2 x dx dx =arcsin x + C 1-x2 dx =arctan x + C 1+x2
Tétel: Ha van f -nek és g-nek határozatlan integrálja,
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + C sin2 x dx dx =arcsin x + C 1-x2 dx =arctan x + C 1+x2
Tétel: Ha van f -nek és g-nek határozatlan integrálja, és , R,
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + C sin2 x dx dx =arcsin x + C 1-x2 dx =arctan x + C 1+x2
Tétel: Ha van f -nek és g-nek határozatlan integrálja, és , R, akkor f + g-nek is van határozatlan integrálja,
Alapintegrálok:
dx = tan x + C cos2 x dx dx =- cot x + C sin2 x dx dx =arcsin x + C 1-x2 dx =arctan x + C 1+x2
Tétel: Ha van f -nek és g-nek határozatlan integrálja, és , R, akkor f + g-nek is van határozatlan integrálja, továbbá (f + g) = f + g.
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye,
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n,
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Biz.: Az összetett függvény deriválási szabályából
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Biz.: Az összetett függvény deriválási szabályából (F (g(t)))
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Biz.: Az összetett függvény deriválási szabályából f (g(t))g (t) =(F (g(t)))
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Biz.: Az összetett függvény deriválási szabályából f (g(t))g (t) =(F (g(t))) f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C. 2
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Biz.: Az összetett függvény deriválási szabályából f (g(t))g (t) =(F (g(t))) f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C. 2
Példa: tan tdt =
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Biz.: Az összetett függvény deriválási szabályából f (g(t))g (t) =(F (g(t))) f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C. 2
Példa: tan tdt = - sin t - dt = cos t
Tétel: Ha F -nek f primitív függvénye, g : I R differenciálható és F g értelmezett I-n, akkor f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C.
Biz.: Az összetett függvény deriválási szabályából f (g(t))g (t) =(F (g(t))) f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C. 2
Példa: tan tdt = - sin t - dt =- ln | cos t| + C. cos t
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak,
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja,
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon.,
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett,
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n,
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa: x 1 - x2 dx =? f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa: f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
x 1 - x2 dx =? Legyen x = g(t) = sin t.
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa:
x
f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
x 1 - x2 dx =? Legyen x = g(t) = sin t.
1 - x2 dx =
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa:
x
f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
x 1 - x2 dx =? Legyen x = g(t) = sin t.
1 - x2 dx = sin t
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa:
x
f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
x 1 - x2 dx =? Legyen x = g(t) = sin t.
1 - x2 dx = sin t 1 - sin2 t
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa:
x
f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
x 1 - x2 dx =? Legyen x = g(t) = sin t.
1 - x2 dx = sin t 1 - sin2 tcos tdt
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa:
x
f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
x 1 - x2 dx =? Legyen x = g(t) = sin t.
1 - x2 dx = sin t 1 - sin tcos tdt= -
2
cos3 3
+ C.
Parciális integrálás: Ha f és g differenciálhatóak, továbbá f g és f g van határozatlan integrálja, akkor f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Helyettesítéssel való integrálás: Ha g : I R diff.ható és szig.mon., f g : I R értelmezett, és f -nek van határozatlan integrálja g(I)-n, akkor f (x)dx = Példa:
x
f (g(t))g (t)dt
t=g -1 (x)
.
x 1 - x2 dx =? Legyen x = g(t) = sin t.
1 - x2 dx = cos3 arcsin x sin t 1 - sin tcos tdt= - + C. 3
2
Improprius integrál
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték,
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja.
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx.
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa:
dx 1 x2
=
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa:
dx 1 x2
= limt
t dx 1 x2
=
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa:
dx 1 x2
=
t limt 1 dx x2
= limt
t -1 x 1
=
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa:
dx 1 x2
=
t limt 1 dx x2
= limt
t -1 x 1
= 1.
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
= =
t limt 1 dx x2
= limt
t -1 x 1
= 1.
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt =
t -1 x 1
= 1.
= limt
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt
t -1 x 1
= 1.
= limt
= limt [ln x]t = 1
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt
t -1 x 1
= 1.
= limt
= limt [ln x]t = . 1
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt
t -1 x 1
= 1.
= limt
= limt [ln x]t = . 1
Ez utóbbi egy divergens improprius integrál.
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt
t -1 x 1
= 1.
= limt
= limt [ln x]t = . 1
Ez utóbbi egy divergens improprius integrál. Definíció: Ha az f : (-, b] R bármely [a, b]-n integrálható
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt
t -1 x 1
= 1.
= limt
= limt [ln x]t = . 1
Ez utóbbi egy divergens improprius integrál. Definíció: Ha az f : (-, b] R bármely [a, b]-n b integrálható és létezik az A = limx- x f (t)dt véges határérték,
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt
t -1 x 1
= 1.
= limt
= limt [ln x]t = . 1
Ez utóbbi egy divergens improprius integrál. Definíció: Ha az f : (-, b] R bármely [a, b]-n b integrálható és létezik az A = limx- x f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek a (-, b]-n vett improprius integrálja.
Improprius integrál
Definíció: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n x integrálható és létezik az A = limx a f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek az [a, )-en vett improprius integrálja. Jelölés: a f (x)dx. Példa: Példa:
dx 1 x2 dx 1 x
=
t limt 1 dx x2 t dx 1 x
= limt
t -1 x 1
= 1.
= limt
= limt [ln x]t = . 1
Ez utóbbi egy divergens improprius integrál. Definíció: Ha az f : (-, b] R bármely [a, b]-n b integrálható és létezik az A = limx- x f (t)dt véges határérték, akkor A az f -nek a (-, b]-n vett b improprius integrálja. Jelölés: - f (x)dx.
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R,
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok.
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható,
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható, F az f primitív függvénye (a, )-en,
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható, F az f primitív függvénye (a, )-en, és F () = limx F (x) R,
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható, F az f primitív függvénye (a, )-en, és F () = limx F (x) R, akkor
f (x)dx = F () - F (a).
a
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható, F az f primitív függvénye (a, )-en, és F () = limx F (x) R, akkor
f (x)dx = F () - F (a).
a
Biz.:
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható, F az f primitív függvénye (a, )-en, és F () = limx F (x) R, akkor
f (x)dx = F () - F (a).
a
Biz.:
f (x)dx =
a
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható, F az f primitív függvénye (a, )-en, és F () = limx F (x) R, akkor
f (x)dx = F () - F (a).
a
Biz.:
x
f (x)dx = lim
a
x
f (t)dt =
a
Definíció: Az f : R R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c R, amellyel c konvergensek a - f (x)dx és c f (x)dx improprius integrálok. Tétel: Ha az f : [a, ) R bármely [a, b]-n integrálható, F az f primitív függvénye (a, )-en, és F () = limx F (x) R, akkor
f (x)dx = F () - F (a).
a
Biz.:
x
f (x)dx = lim
a
x
f (t)dt = lim F (x) - F (a) .
a x
2
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
illetve
f (x)dx = F () - F (-),
-
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
illetve
f (x)dx = F () - F (-),
-
ha a fenti improprius integrálok konvergensek
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
illetve
f (x)dx = F () - F (-),
-
ha a fenti improprius integrálok konvergensek és F primitív függvénye f -nek.
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
illetve
f (x)dx = F () - F (-),
-
ha a fenti improprius integrálok konvergensek és F primitív függvénye f -nek. Definíció: Ha az f : [a, b) R bármely [a, c] [a, b)-n integrálható
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
illetve
f (x)dx = F () - F (-),
-
ha a fenti improprius integrálok konvergensek és F primitív függvénye f -nek. Definíció: Ha az f : [a, b) R bármely [a, c] [a, b)-n x integrálható és limxb a f (t)dt = A R,
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
illetve
f (x)dx = F () - F (-),
-
ha a fenti improprius integrálok konvergensek és F primitív függvénye f -nek. Definíció: Ha az f : [a, b) R bármely [a, c] [a, b)-n x integrálható és limxb a f (t)dt = A R, akkor A az f -nek az [a, b]-n vett improprius integrálja.
Hasonlóan
b
f (x)dx = F (b) - F (-),
-
illetve
f (x)dx = F () - F (-),
-
ha a fenti improprius integrálok konvergensek és F primitív függvénye f -nek. Definíció: Ha az f : [a, b) R bármely [a, c] [a, b)-n x integrálható és limxb a f (t)dt = A R, akkor A az f -nek az [a, b]-n vett improprius integrálja. Hasonlóan definiálható az f : (a, b] R improprius integrálja.
Példa: Meghatározandó
1 dx 0 x ,
ahol > 0.
Példa: Meghatározandó akkor 1 dx = 0 x
1 dx 0 x ,
ahol > 0. Ha = 1,
Példa: Meghatározandó akkor 1 dx = [ln x]1 = 0 x 0
1 dx 0 x ,
ahol > 0. Ha = 1,
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x = 0 x0 x 0
1 dx 0 x ,
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0
1 dx 0 x ,
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0
1 dx 0 x ,
dx = x
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
=
0
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
0
1 = 1-
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
0
x1- 1 = - lim , 1 - x0 1 -
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
0
x1- 1 = - lim , 1 - x0 1 -
ahol a limesz 0, ha (0, 1);
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
0
x1- 1 = - lim , 1 - x0 1 -
ahol a limesz 0, ha (0, 1); különben pedig -.
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
0
x1- 1 = - lim , 1 - x0 1 -
ahol a limesz 0, ha (0, 1); különben pedig -. Definíció: Az f : (a, b) R függvény R-en vett improprius integrálja
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
0
x1- 1 = - lim , 1 - x0 1 -
ahol a limesz 0, ha (0, 1); különben pedig -. Definíció: Az f : (a, b) R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c (a, b),
Példa: Meghatározandó ahol > 0. Ha = 1, akkor 1 dx = [ln x]1 =0 - lim ln x =. 0 x0 x 0 Ha = 1, akkor
1 0 1
1 dx 0 x ,
dx = x - + 1
x-+1
0
x1- 1 = - lim , 1 - x0 1 -
ahol a limesz 0, ha (0, 1); különben pedig -. Definíció: Az f : (a, b) R függvény R-en vett improprius integrálja pontosan akkor létezik, ha c c (a, b), amellyel konvergensek az a f (x)dx és
b c
f (x)dx improprius integrálok.
Hasonló témájú dokumentumok
Egyelőre még egyetlen hasonló témájú file sincs feltöltve a rendszerbe
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Töltsétek ki a Tantárgyi adatlapokat a tantárgyak oldalain. Fontos lehet a tantárggyal kapcsolatos információ vagy az előadóval való egyszerű kapcsolattartás végett. Az adatlapot csak akkor módosíthatod ha az adott tárgyat a saját tárgyaidhoz adtad.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
