10. Előadás

Országok listájaHungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek10. Előadás

Analízis
Dr. Tasnádi Attila

Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék

2007. november 14.

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos,

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi ,

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó oszcillációs összege.

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó oszcillációs összege. Tétel: Legyen f : [a, b] R korlátos.

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó oszcillációs összege. Tétel: Legyen f : [a, b] R korlátos. Ekkor f integrálható

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó oszcillációs összege. Tétel: Legyen f : [a, b] R korlátos. Ekkor f integrálható végtelenül finomodó felosztás esetén

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó oszcillációs összege. Tétel: Legyen f : [a, b] R korlátos. Ekkor f integrálható végtelenül finomodó felosztás esetén az oszcillációs összeg 0-hoz tart.

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó oszcillációs összege. Tétel: Legyen f : [a, b] R korlátos. Ekkor f integrálható végtelenül finomodó felosztás esetén az oszcillációs összeg 0-hoz tart. Biz.: [] Igaz, hiszen limn sn = limn Sn =
b a

f (x)dx.

Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : Oi = Mi - mi , akkor
n

Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó oszcillációs összege. Tétel: Legyen f : [a, b] R korlátos. Ekkor f integrálható végtelenül finomodó felosztás esetén az oszcillációs összeg 0-hoz tart. Biz.: [] Igaz, hiszen limn sn = limn Sn =
b a

f (x)dx. 2

[] Adódik limn (Sn - sn ) = 0-ból.

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton,

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható.

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása,

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ).

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor 0 Sn - s n

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ,

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 )

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 ) és Mi = f (xi ).

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 ) és Mi = f (xi ). Ezért
n


i=1

(Mi - mi )

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 ) és Mi = f (xi ). Ezért
n n


i=1

(Mi - mi )=
i=1

f (xi ) - f (xi-1 )

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 ) és Mi = f (xi ). Ezért
n n


i=1

(Mi - mi )=
i=1

f (xi ) - f (xi-1 ) = f (b) - f (a)

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 ) és Mi = f (xi ). Ezért
n n


i=1

(Mi - mi )=
i=1

f (xi ) - f (xi-1 ) = f (b) - f (a) 0.

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 ) és Mi = f (xi ). Ezért
n n


i=1

(Mi - mi )=
i=1

f (xi ) - f (xi-1 ) = f (b) - f (a) 0.

Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos,

Tétel: Ha f : [a, b] R monoton, akkor integrálható. Biz.: Legyen f monoton növ az (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása, és = maxi{1,...,n} (xi - xi-1 ). Ekkor
n n n

0 Sn - s n =
i=1

Oi (xi - xi-1 )
i=1

Oi =
i=1

(Mi - mi ).

Mivel f monoton növ, mi = f (xi-1 ) és Mi = f (xi ). Ezért
n n


i=1

(Mi - mi )=
i=1

f (xi ) - f (xi-1 ) = f (b) - f (a) 0.

Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor integrálható.

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül,

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx.

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b],

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b], és g(c) = A = f (c).

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b], és g(c) = A = f (c). Vegyük az f egy téglányösszegét és legyen c [xi0 -1 , xi0 ].

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b], és g(c) = A = f (c). Vegyük az f egy téglányösszegét és legyen c [xi0 -1 , xi0 ]. Ekkor
n

g(i )(xi - xi-1 ) =
i=1

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b], és g(c) = A = f (c). Vegyük az f egy téglányösszegét és legyen c [xi0 -1 , xi0 ]. Ekkor
n n

g(i )(xi - xi-1 ) =
i=1 i=1

f (i )(xi - xi-1 )

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b], és g(c) = A = f (c). Vegyük az f egy téglányösszegét és legyen c [xi0 -1 , xi0 ]. Ekkor
n n

g(i )(xi - xi-1 ) =
i=1 i=1

f (i )(xi - xi-1 ) -f (i0 )(xi0 - xi0 -1 )

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b], és g(c) = A = f (c). Vegyük az f egy téglányösszegét és legyen c [xi0 -1 , xi0 ]. Ekkor
n n

g(i )(xi - xi-1 ) =
i=1 i=1

f (i )(xi - xi-1 ) -f (i0 )(xi0 - xi0 -1 ) +g(i0 )(xi0 - xi0 -1 )

Tétel: Ha f : [a, b] R integrálható és a g : [a, b] R függvényre |{x [a, b] | f (x) = g(x)}| < teljesül, akkor b b g is integrálható és a f (x)dx = a g(x)dx. Biz.: T.f.h. g(x) = f (x), ha x = c [a, b], és g(c) = A = f (c). Vegyük az f egy téglányösszegét és legyen c [xi0 -1 , xi0 ]. Ekkor
n n

g(i )(xi - xi-1 ) =
i=1 i=1

f (i )(xi - xi-1 ) -f (i0 )(xi0 - xi0 -1 ) +g(i0 )(xi0 - xi0 -1 )
b


a

f (x)dx.

2

Példa: Legyen f : [0, 1] R az alábbi. 1, ha x Q, f (x) = 0, ha x Q. /

Példa: Legyen f : [0, 1] R az alábbi. 1, ha x Q, f (x) = 0, ha x Q. / Ekkor sn 0

Példa: Legyen f : [0, 1] R az alábbi. 1, ha x Q, f (x) = 0, ha x Q. / Ekkor sn 0 és Sn 1,

Példa: Legyen f : [0, 1] R az alábbi. 1, ha x Q, f (x) = 0, ha x Q. / Ekkor sn 0 és Sn 1, ezért f nem integrálható.

Példa: Legyen f : [0, 1] R az alábbi. 1, ha x Q, f (x) = 0, ha x Q. / Ekkor sn 0 és Sn 1, ezért f nem integrálható. Megjegyzés: Míg az azonosan nulla függvény integrálható [0, 1]-en,

Példa: Legyen f : [0, 1] R az alábbi. 1, ha x Q, f (x) = 0, ha x Q. / Ekkor sn 0 és Sn 1, ezért f nem integrálható. Megjegyzés: Míg az azonosan nulla függvény integrálható [0, 1]-en, a fenti függvény, amely az azonosan nulla függvény megszámlálható sok helyen történ megváltoztatásával nyerhet, már nem integrálható.

Példa: Legyen f : [0, 1] R az alábbi. 1, ha x Q, f (x) = 0, ha x Q. / Ekkor sn 0 és Sn 1, ezért f nem integrálható. Megjegyzés: Míg az azonosan nulla függvény integrálható [0, 1]-en, a fenti függvény, amely az azonosan nulla függvény megszámlálható sok helyen történ megváltoztatásával nyerhet, már nem integrálható. Tehát az elz tételben az f függvény valóban csak véges sok helyen változtatható meg.

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható,

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x),

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)
a

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása i=0

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket a Lagrange-féle középértéktétel alapján.

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket a Lagrange-féle középértéktétel alapján. F (xi ) - F (xi-1 ) = F (i )(xi - xi-1 )

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket a Lagrange-féle középértéktétel alapján. F (xi ) - F (xi-1 ) = F (i )(xi - xi-1 ) = f (i )(xi - xi-1 ).

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket a Lagrange-féle középértéktétel alapján. F (xi ) - F (xi-1 ) = F (i )(xi - xi-1 ) = f (i )(xi - xi-1 ). Ekkor
n

f (i )(xi - xi-1 )
i=1

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket a Lagrange-féle középértéktétel alapján. F (xi ) - F (xi-1 ) = F (i )(xi - xi-1 ) = f (i )(xi - xi-1 ). Ekkor
n n

f (i )(xi - xi-1 )=
i=1 i=1

F (xi ) - F (xi-1 )

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket a Lagrange-féle középértéktétel alapján. F (xi ) - F (xi-1 ) = F (i )(xi - xi-1 ) = f (i )(xi - xi-1 ). Ekkor
n n

f (i )(xi - xi-1 )=
i=1 i=1

F (xi ) - F (xi-1 ) = F (b) - F (a),

Newton­Leibniz-szabály: Ha f az [a, b] integrálható, és F az [a, b]-n folytonos és x (a, b) : F (x) = f (x), akkor
b

f (x)dx = F (b) - F (a)= F (x)
a

b a

.

Biz.: Legyen [a, b]-nek az (xi )n egy felosztása és i=0 válasszuk a téglányösszeghez a i értékeket a Lagrange-féle középértéktétel alapján. F (xi ) - F (xi-1 ) = F (i )(xi - xi-1 ) = f (i )(xi - xi-1 ). Ekkor
n n

f (i )(xi - xi-1 )=
i=1 i=1

F (xi ) - F (xi-1 ) = F (b) - F (a), 2

és f integrálhatósága alapján adódik a tétel.

Példa:

0

sin xdx =?.

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x.

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx
0

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] 0
0

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos 0
0

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0) 0
0

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = 1 - x2

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen 2 és F (x) = x - x3 . f (x) = 1 - x 3

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen 2 és F (x) = x - x3 . Ekkor f (x) = 1 - x 3
1

1 - x2 dx
-1

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen 2 és F (x) = x - x3 . Ekkor f (x) = 1 - x 3
1

1 - x2 dx= x -
-1

x3 3

1

-1

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen 2 és F (x) = x - x3 . Ekkor f (x) = 1 - x 3
1

1 - x dx= x -
-1

2

x3 3

1

-1

1 =1- 3

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen 2 és F (x) = x - x3 . Ekkor f (x) = 1 - x 3
1

1 - x dx= x -
-1

2

x3 3

1

-1

1 1 = 1 - - -1 + 3 3

Példa:

0

sin xdx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen f (x) = sin x és F (x) = - cos x. Ekkor


sin xdx= [- cos x] = - cos -(- cos 0)= 2. 0
0

Példa:

1 -1

1 - x2 dx =?.

A Newton­Leibniz-szabály alkalmazásakor legyen 2 és F (x) = x - x3 . Ekkor f (x) = 1 - x 3
1

1 - x dx= x -
-1

2

x3 3

1

-1

1 1 4 = 1 - - -1 + = . 3 3 3

Integrálási szabályok

Integrálási szabályok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n

Integrálási szabályok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és c R,

Integrálási szabályok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és c R, akkor cf integrálható [a, b]-n

Integrálási szabályok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és c R, akkor cf integrálható [a, b]-n és
b b

cf dx = c
a a

f dx.

Integrálási szabályok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és c R, akkor cf integrálható [a, b]-n és
b b

cf dx = c
a a

f dx.

Tétel: Ha f és g integrálható [a, b]-n,

Integrálási szabályok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és c R, akkor cf integrálható [a, b]-n és
b b

cf dx = c
a a

f dx.

Tétel: Ha f és g integrálható [a, b]-n, akkor f + g integrálható [a, b]-n

Integrálási szabályok
Tétel: Ha f integrálható [a, b]-n és c R, akkor cf integrálható [a, b]-n és
b b

cf dx = c
a a

f dx.

Tétel: Ha f és g integrálható [a, b]-n, akkor f + g integrálható [a, b]-n és
b b b

f + gdx =
a a

f dx +
a

gdx.

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b],

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:

3 0 {x}dx

=?

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?

{x}dx =
0

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1

{x}dx =
0 0

xdx+

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1 2

{x}dx =
0 0

xdx+
1

x - 1dx+

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1 2 3

{x}dx =
0 0

xdx+
1

x - 1dx+
2

x - 2dx =

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1 2 3

{x}dx =
0 0

xdx+
1

x - 1dx+
2

3 x - 2dx = . 2

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1 2 3

{x}dx =
0 0

xdx+
1

x - 1dx+
2

3 x - 2dx = . 2

Definíció: Ha b < a és f integrálható [b, a]-n,

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1 2 3

{x}dx =
0 0

xdx+
1

x - 1dx+
2

3 x - 2dx = . 2

Definíció: Ha b < a és f integrálható [b, a]-n, akkor b a legyen a f (x)dx = - b f (x)dx,

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1 2 3

{x}dx =
0 0

xdx+
1

x - 1dx+
2

3 x - 2dx = . 2

Definíció: Ha b < a és f integrálható [b, a]-n, akkor b a a legyen a f (x)dx = - b f (x)dx, továbbá a f (x)dx = 0.

Tétel: Ha a < c < b és f integrálható [a, c]-n és [c, b], akkor f integrálható [a, b]-n és
b c b

f dx =
a a

f dx +
c

f dx.

Példa:
3

3 0 {x}dx

=?
1 2 3

{x}dx =
0 0

xdx+
1

x - 1dx+
2

3 x - 2dx = . 2

Definíció: Ha b < a és f integrálható [b, a]-n, akkor b a a legyen a f (x)dx = - b f (x)dx, továbbá a f (x)dx = 0. Megjegyzés: A kiterjesztéssel a fenti tétel az a < c < b kikötés nélkül is érvényes.



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

1-8 10 4.előadás adó adóellenőrzés alkotmánytörténet általános kémia beszámoló csáth dinamika erdeiné török zsuzsa európai unió feladat filozófia tételek fogalomtár geodézia globalizáció hőtan jpg kántor anita képzőművészet kiválasztás korai csecsemőkor környezet közig lakoma lengyel ferenc magyarország geográfiája megtakarítás mpiac művészet művészettörténet orvosi kémia ökológiai antropológia paulovics pénzügyek politikai szociológia rendszerek rezgéstan statisztika i. szív termelés termelésmenedzsment természet földrajz töri tudománytörténet válgazd valószínűségszámítás villamos gépek víz