9. Előadás

Országok listájaHungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek9. Előadás

Analízis
Dr. Tasnádi Attila

Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék

2007. november 7.

Függvénydiszkusszió

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása,

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása, 2. zérushelyek meghatározása,

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása, 2. zérushelyek meghatározása, 3. határértékek meghatározása a szakadási helyeken és a végtelenben,

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása, 2. zérushelyek meghatározása, 3. határértékek meghatározása a szakadási helyeken és a végtelenben, 4. monoton részintervallumok meghatározása,

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása, 2. zérushelyek meghatározása, 3. határértékek meghatározása a szakadási helyeken és a végtelenben, 4. monoton részintervallumok meghatározása, 5. szélsértékek és szélsértékhelyek meghatározása,

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása, 2. zérushelyek meghatározása, 3. határértékek meghatározása a szakadási helyeken és a végtelenben, 4. monoton részintervallumok meghatározása, 5. szélsértékek és szélsértékhelyek meghatározása, 6. konvex vagy konkáv részintervallumok meghatározása,

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása, 2. zérushelyek meghatározása, 3. határértékek meghatározása a szakadási helyeken és a végtelenben, 4. monoton részintervallumok meghatározása, 5. szélsértékek és szélsértékhelyek meghatározása, 6. konvex vagy konkáv részintervallumok meghatározása, 7. inflexiós pontok meghatározása

Függvénydiszkusszió
1. értelmezési tartomány megállapítása, 2. zérushelyek meghatározása, 3. határértékek meghatározása a szakadási helyeken és a végtelenben, 4. monoton részintervallumok meghatározása, 5. szélsértékek és szélsértékhelyek meghatározása, 6. konvex vagy konkáv részintervallumok meghatározása, 7. inflexiós pontok meghatározása 8. a függvény vázlatos ábrájának elkészítése.

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett.

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye.

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0.

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 x-m 1 - 2 f (x) = e 2 - 2 2

,

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 x-m 1 - 2 f (x) = e 2 - 2 2

,

így f (m) = 0,

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 x-m 1 - 2 f (x) = e 2 - 2 2

,

így f (m) = 0, f > 0 a (-, m)

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 x-m 1 - 2 f (x) = e 2 - 2 2

,

így f (m) = 0, f > 0 a (-, m) és f < 0 a (m, ).

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 x-m 1 - 2 f (x) = e 2 - 2 2

,

így f (m) = 0, f > 0 a (-, m) és f < 0 a (m, ). Tehát f monoton növ (-, m)-en

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 x-m 1 - 2 f (x) = e 2 - 2 2

,

így f (m) = 0, f > 0 a (-, m) és f < 0 a (m, ). Tehát f monoton növ (-, m)-en és monoton fogyó (m, )-en.

Példa (Gauss-függyény):
(x-m)2 1 - f (x) = e 22 , 2

m R, (0, ).

1. minden x R-re értelmezett. 2. nincs zérushelye. 3. limx± f (x) = 0. 4. monotonitás:
(x-m)2 x-m 1 - 2 f (x) = e 2 - 2 2

,

így f (m) = 0, f > 0 a (-, m) és f < 0 a (m, ). Tehát f monoton növ (-, m)-en és monoton fogyó (m, )-en. 5. monotonitás: m lokális maximumhely.

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 - e 22 2

x-m - 2

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 - e 22 2

x-m - 2

2

+

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 - e 22 2 (x-m)2 1 e- 22 2

x-m - 2

2

+

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 x-m - 2 e 2 - 2 2 (x-m)2 1 1 - 2 e 2 - 2 = 2

2

+

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 x-m - 2 e 2 - 2 2 (x-m)2 1 1 - 2 e 2 - 2 = 2 (x - m)2 - 2 - (x-m)2 e 22 5 2

2

+

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 x-m - 2 e 2 - 2 2 (x-m)2 1 1 - 2 e 2 - 2 = 2 (x - m)2 - 2 - (x-m)2 e 22 5 2

2

+

Ezért f (x) < 0, ha x (m - , m + ),

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 x-m - 2 e 2 - 2 2 (x-m)2 1 1 - 2 e 2 - 2 = 2 (x - m)2 - 2 - (x-m)2 e 22 5 2

2

+

Ezért f (x) < 0, ha x (m - , m + ), és f (x) > 0, ha x (-, m - ) (m + , ).

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 x-m - 2 e 2 - 2 2 (x-m)2 1 1 - 2 e 2 - 2 = 2 (x - m)2 - 2 - (x-m)2 e 22 5 2

2

+

Ezért f (x) < 0, ha x (m - , m + ), és f (x) > 0, ha x (-, m - ) (m + , ). Tehát az elbbi intervallumon konkáv,

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 x-m - 2 e 2 - 2 2 (x-m)2 1 1 - 2 e 2 - 2 = 2 (x - m)2 - 2 - (x-m)2 e 22 5 2

2

+

Ezért f (x) < 0, ha x (m - , m + ), és f (x) > 0, ha x (-, m - ) (m + , ). Tehát az elbbi intervallumon konkáv, míg az utóbbiakon konvex.

(x-m)2 1 f (x) = e- 22 2

x-m - 2

6. konvexitás/konkavitás: f (x) =
(x-m)2 1 x-m - 2 e 2 - 2 2 (x-m)2 1 1 - 2 e 2 - 2 = 2 (x - m)2 - 2 - (x-m)2 e 22 5 2

2

+

Ezért f (x) < 0, ha x (m - , m + ), és f (x) > 0, ha x (-, m - ) (m + , ). Tehát az elbbi intervallumon konkáv, míg az utóbbiakon konvex. 7. inflexiós pontok: m - és m + .

Taylor-formula

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos.

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz (x, x0 ) (x0 , x) :

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz (x, x0 ) (x0 , x) : f (x0 ) f (x) = f (x0 )+ (x-x0 ) 1!

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz (x, x0 ) (x0 , x) : f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 )+ (x-x0 )+ . . . + (x - x0 )n 1! n!

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz (x, x0 ) (x0 , x) : f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 )+ (x-x0 )+ . . . + (x - x0 )n +Rn (x), 1! n!

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz (x, x0 ) (x0 , x) : f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 )+ (x-x0 )+ . . . + (x - x0 )n +Rn (x), 1! n! ahol f (n+1) () Rn (x) = (x - x0 )n+1 . (n + 1)!

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz (x, x0 ) (x0 , x) : f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 )+ (x-x0 )+ . . . + (x - x0 )n +Rn (x), 1! n! ahol f (n+1) () Rn (x) = (x - x0 )n+1 . (n + 1)! pn (x) = f (x0 ) +
f (x0 ) (x 1!

- x0 ) + . . . +

f (n) (x0 ) (x n!

- x0 ) n

Taylor-formula
Tétel: Legyen az f az (a, b)-n n + 1-szer diff.ható és f (n) az [a, b]-n folytonos. Ekkor x0 [a, b] és x = x0 -hoz (x, x0 ) (x0 , x) : f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 )+ (x-x0 )+ . . . + (x - x0 )n +Rn (x), 1! n! ahol f (n+1) () Rn (x) = (x - x0 )n+1 . (n + 1)! pn (x) = f (x0 ) + - x0 ) + . . . + n-ed fokú Taylor-polinom.
f (x0 ) (x 1! f (n) (x0 ) (x n!

- x0 )n az

A Taylor-formula egy alkalmazása

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R.

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját!

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 ,

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1)

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ...

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... ...

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n ,

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m = k

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , k! m = k

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , ha k! m = k

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , ha k > 0; k! m = k

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , ha k > 0; k! m = 1, k

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , ha k > 0; k! m = 1, ha k

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , ha k > 0; k! m = 1, ha k = 0; k

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , ha k > 0; k! m = 1, ha k = 0; k 0,

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m R és k Z m(m-1)···(m-k+1) , ha k > 0; k! m = 1, ha k = 0; k 0, ha

A Taylor-formula egy alkalmazása
Példa: f (x) = (1 + x)m , ahol m R. Írjuk fel f -nek az x0 = 0 körüli Taylor-formuláját! f (x) = m(1 + x)m-1 , f (0) = m

f (x) = m(m - 1)(1 + x)m-2 , f (0) = m(m - 1) ... f (n) (x) =
m! (1 (m-n)!

... + x)m-n , f (n) (0) =
m! (m-n)!

Általánosított binomiális együttható: m(m-1)···(m-k+1) , ha k! m = 1, ha k 0, ha

m R és k Z k > 0; k = 0; k < 0.

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x)m =

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x)m = 1

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x)
m

m = 1+ x 1

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x)
m

m m 2 = 1+ x+ x 1 2

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x)
m

m m 2 = 1+ x+ x +... 1 2

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x)
m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x 1 2 n

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x)
m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1
m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1 Ha m N, akkor n m-re
m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1 Ha m N, akkor n m-re (1 + x)
m m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

m m 2 m m =1+ x+ x + ... + x 1 2 m

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1 Ha m N, akkor n m-re (1 + x)
m m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

m m 2 m m =1+ x+ x + ... + x +0 + . . . + 0. 1 2 m

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1 Ha m N, akkor n m-re (1 + x)
m m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

m m 2 m m =1+ x+ x + ... + x +0 + . . . + 0. 1 2 m
b a

Ezt az x =

helyen véve

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1 Ha m N, akkor n m-re (1 + x)
m m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

m m 2 m m =1+ x+ x + ... + x +0 + . . . + 0. 1 2 m
b a

Ezt az x =

helyen véve és am -nel szorozva adódik a

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1 Ha m N, akkor n m-re (1 + x)
m m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

m m 2 m m =1+ x+ x + ... + x +0 + . . . + 0. 1 2 m
b a

Ezt az x =

helyen véve és am -nel szorozva adódik a

Binomiális tétel:

A Taylor-formula szerint (x, 0) (0, x) : (1 + x) ahol
m

m m 2 m n = 1+ x+ x + . . .+ x +Rn+1 (x), 1 2 n

m Rn+1 (x) = (1 + )m-n-1 xn+1 . n+1 Ha m N, akkor n m-re
m

(1 + x)

m m 2 m m =1+ x+ x + ... + x +0 + . . . + 0. 1 2 m
b a

Ezt az x =

helyen véve és am -nel szorozva adódik a

Binomiális tétel: (a + b)
m

m m-1 m m m m-1 =a + a b+...+ ab + b . 1 m-1 m
m

A Riemann-integrál

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény.

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása,

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. i=0

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x)

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x).

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x). Ekkor
n

sn =
i=1

mi (xi - xi-1 )

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x). Ekkor
n n

sn =
i=1

mi (xi - xi-1 ) és Sn =
i=1

Mi (xi - xi-1 )

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x). Ekkor
n n

sn =
i=1

mi (xi - xi-1 ) és Sn =
i=1

Mi (xi - xi-1 )

rendre az f -nek az (xi )n felosztáshoz tartozó alsó i=0

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x). Ekkor
n n

sn =
i=1

mi (xi - xi-1 ) és Sn =
i=1

Mi (xi - xi-1 )

rendre az f -nek az (xi )n felosztáshoz tartozó alsó és i=0 fels összege.

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x). Ekkor
n n

sn =
i=1

mi (xi - xi-1 ) és Sn =
i=1

Mi (xi - xi-1 )

rendre az f -nek az (xi )n felosztáshoz tartozó alsó és i=0 fels összege. Az [a, b] egy (xi )n osztópontok által meghatározott i=0 felosztásának

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x). Ekkor
n n

sn =
i=1

mi (xi - xi-1 ) és Sn =
i=1

Mi (xi - xi-1 )

rendre az f -nek az (xi )n felosztáshoz tartozó alsó és i=0 fels összege. Az [a, b] egy (xi )n osztópontok által meghatározott i=0 )n által felosztásának egy finomítása az (xi i=0 meghatározott felosztás,

A Riemann-integrál
Adott f : [a, b] R korlátos függvény. Legyen a = x0 < x1 < . . . < xn = b az [a, b] egy felosztása, ahol (xi )n az osztópontok sorozata. Legyen i=0 mi = inf x[xi-1 ,xi ] f (x) és Mi = supx[xi-1 ,xi ] f (x). Ekkor
n n

sn =
i=1

mi (xi - xi-1 ) és Sn =
i=1

Mi (xi - xi-1 )

rendre az f -nek az (xi )n felosztáshoz tartozó alsó és i=0 fels összege. Az [a, b] egy (xi )n osztópontok által meghatározott i=0 )n által felosztásának egy finomítása az (xi i=0 meghatározott felosztás, ha (xi )n részsorozata i=0 )n -nak. (xi i=0

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk,

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet.

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása i=0

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot.

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x)

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x).

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x). Ekkor a1 (x - xi-1 )

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x). Ekkor a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x )

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x). Ekkor a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x ) mi (xi - xi-1 ).

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x). Ekkor a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x ) mi (xi - xi-1 ). A fentiek ismétlésével adódik az állítás véges sok új osztópontra. 2

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x). Ekkor a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x ) mi (xi - xi-1 ). A fentiek ismétlésével adódik az állítás véges sok új osztópontra. 2 Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x). Ekkor a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x ) mi (xi - xi-1 ). A fentiek ismétlésével adódik az állítás véges sok új osztópontra. 2 Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk,

Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor az alsó összeg nem csökkenhet. Biz. Legyen az (xi )n az [a, b] egy felosztása és i=0 vegyünk fel egy x (xi-1 , xi ) új osztópontot. Legyen a1 = inf x[xi-1 ,x ] f (x) és a2 = inf x[x ,xi ] f (x). Ekkor a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x ) mi (xi - xi-1 ). A fentiek ismétlésével adódik az állítás véges sok új osztópontra. 2 Tétel: Ha egy f : [a, b] R korlátos függvény esetén az [a, b] egy felosztását finomítjuk, akkor a fels összeg nem növekedhet.

Tétel: Bármely sn és Sn -re

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn .

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez i=0

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás.

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását,

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket.

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ és korlátos,

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ és korlátos, sn konvergens.

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ és korlátos, sn konvergens. Hasonlóan Sn is konvergens.

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ és korlátos, sn konvergens. Hasonlóan Sn is konvergens. Megjegyzés: Nem biztos, hogy limn sn = limn Sn ,

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ és korlátos, sn konvergens. Hasonlóan Sn is konvergens. Megjegyzés: Nem biztos, hogy limn sn = limn Sn , illetve, hogy a limeszek függetlenek a finomításoktól.

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ és korlátos, sn konvergens. Hasonlóan Sn is konvergens. Megjegyzés: Nem biztos, hogy limn sn = limn Sn , illetve, hogy a limeszek függetlenek a finomításoktól. Definíció: Az [a, b]-beli
(n) n xi i=0

felosztások sorozata

Tétel: Bármely sn és Sn -re sn Sn . Biz.: Legyen (xi )n az sn -hez és (xi )n az Sn -höz i=0 i=0 tartozó felosztás. Vegyük az (xi )n és (xi )n i=0 i=0 felosztások egy közös finomítását, majd a hozzá tartozó s alsó és S fels összegeket. Ekkor sn s S Sn . 2 Köv.: Mivel a felosztás finomításával sn mon. növ és korlátos, sn konvergens. Hasonlóan Sn is konvergens. Megjegyzés: Nem biztos, hogy limn sn = limn Sn , illetve, hogy a limeszek függetlenek a finomításoktól. Definíció: Az [a, b]-beli végtelenül finomodó, ha
(n) n xi i=0

felosztások sorozata -
(n) xi-1 )

(n) limn maxi (xi

= 0.

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa.

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s. Biz.: > 0 :

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s. Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, i i=0

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja,

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re,

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését"

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget.

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 (x )q -beli i i=1

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 (x )q -beli x [xi-1 , xi ] osztópontot veszünk hozzá, i i=1

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 q (x )i=1 -beli x [xi-1 , xi ] osztópontot veszünk hozzá, i

a1 (x - xi-1 )

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 q (x )i=1 -beli x [xi-1 , xi ] osztópontot veszünk hozzá, i

a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x )

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 q (x )i=1 -beli x [xi-1 , xi ] osztópontot veszünk hozzá, i

a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x )-mi (xi - xi-1 ) =

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 q (x )i=1 -beli x [xi-1 , xi ] osztópontot veszünk hozzá, i

a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x )-mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 )

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 q (x )i=1 -beli x [xi-1 , xi ] osztópontot veszünk hozzá, i

a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x )-mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 )+(a2 - mi )(xi - x )

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó alsó összegek fels határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztások sorozatához tartozó sn alsó összegek sorozatára limn sn = s.
Biz.: > 0 : (x )q+1 felosztás, melyre s > s - 2 . i i=0 Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege. Vegyük a két felosztás ,,egyesítését" és a hozzá tartozó s alsó összeget. Ha (xi )n -hez egy i=0 q (x )i=1 -beli x [xi-1 , xi ] osztópontot veszünk hozzá, i

a1 (x - xi-1 )+a2 (xi - x )-mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 )+(a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

Ezért s - sn

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

Ezért s - sn < q · 2K

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

Ezért s - sn < q · 2K

4qK

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

Ezért s - sn < q · 2K

4qK

= 2.

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

Ezért s - sn < q · 2K

4qK

= 2 . Tehát sn > s -

2

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

Ezért s - sn < q · 2K s - 2

4qK

= 2 . Tehát sn > s -

2

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).

Ezért s - sn < q · 2K s - 2 > s - 2 - 2

4qK

= 2 . Tehát sn > s -

2

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).
Ezért s - sn < q · 2K 4qK = 2 . Tehát sn > s - s - 2 > s - 2 - 2 = s - . 2

2

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).
Ezért s - sn < q · 2K 4qK = 2 . Tehát sn > s - s - 2 > s - 2 - 2 = s - . 2

2

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).
Ezért s - sn < q · 2K 4qK = 2 . Tehát sn > s - s - 2 > s - 2 - 2 = s - . 2

2

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó fels összegek alsó határa.

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).
Ezért s - sn < q · 2K 4qK = 2 . Tehát sn > s - s - 2 > s - 2 - 2 = s - . 2

2

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó fels összegek alsó határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztás sorozathoz

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).
Ezért s - sn < q · 2K 4qK = 2 . Tehát sn > s - s - 2 > s - 2 - 2 = s - . 2

2

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó fels összegek alsó határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztás sorozathoz tartozó Sn fels összegek sorozatára

 Biz.: > 0 : felosztás, melyre s > s - 2 . Legyen K az f egy korlátja, az (xi )n felosztás olyan, i=0 hogy xi - xi-1 < 4qK minden i = 1, . . . , n-re, és sn ennek alsó összege.

)q+1 (xi i=0

a1 (x - xi-1 ) + a2 (xi - x ) - mi (xi - xi-1 ) = = (a1 - mi )(x - xi-1 ) + (a2 - mi )(xi - x ) 2K(xi - xi-1 ).
Ezért s - sn < q · 2K 4qK = 2 . Tehát sn > s - s - 2 > s - 2 - 2 = s - . 2

2

Tétel: Legyen s az f : [a, b] R korlátos függvény felosztásaihoz tartozó fels összegek alsó határa. Ekkor bármely végtelenül finomodó felosztás sorozathoz tartozó Sn fels összegek sorozatára limn Sn = S.

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak,

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak, akkor f integrálható, és a határozott integrálja I.

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak, akkor f integrálható, és a határozott integrálja I. Jelölés:
b a

f (x)dx vagy

b a

f.

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak, akkor f integrálható, és a határozott integrálja I. Jelölés:
b a

f (x)dx vagy

b a

f.

Geometriai jelentés: Legyen f : [a, b] R folytonos és pozitív.

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak, akkor f integrálható, és a határozott integrálja I. Jelölés:
b a

f (x)dx vagy

b a

f.

Geometriai jelentés: Legyen f : [a, b] R folytonos és pozitív. Továbbá legyen T = {(x, y) | a x b, 0 y f (x)}.

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak, akkor f integrálható, és a határozott integrálja I. Jelölés:
b a

f (x)dx vagy

b a

f.

Geometriai jelentés: Legyen f : [a, b] R folytonos és pozitív. Továbbá legyen T = {(x, y) | a x b, 0 y f (x)}. Ekkor T területe b a f (x)dx.

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak, akkor f integrálható, és a határozott integrálja I. Jelölés:
b a

f (x)dx vagy

b a

f.

Geometriai jelentés: Legyen f : [a, b] R folytonos és pozitív. Továbbá legyen T = {(x, y) | a x b, 0 y f (x)}. Ekkor T területe b a f (x)dx. Ha f csak folytonos, de nem pozitív,

Definíció: Ha az f : [a, b] R korlátos függvény végtelenül finomodó felosztásaihoz tartozó alsó és fels összegek ugyanahhoz az I határértékhez tartanak, akkor f integrálható, és a határozott integrálja I. Jelölés:
b a

f (x)dx vagy

b a

f.

Geometriai jelentés: Legyen f : [a, b] R folytonos és pozitív. Továbbá legyen T = {(x, y) | a x b, 0 y f (x)}. Ekkor T területe b a f (x)dx. f (x)dx az Ha f csak folytonos, de nem pozitív, akkor f gráfja és az X tengely közötti eljeles területe.
b a

Integrálhatósági feltételek

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos,

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ],

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege.

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege. Tétel: f integrálható [a, b]-n

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege. Tétel: f integrálható [a, b]-n a n végtelenül finomodó felosztás sorozat mellett

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege. Tétel: f integrálható [a, b]-n a n végtelenül finomodó felosztás sorozat mellett a i -k választásától független véges határértékhez tart.

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege. Tétel: f integrálható [a, b]-n a n végtelenül finomodó felosztás sorozat mellett a i -k választásától független véges határértékhez tart. Biz.: Csak a [] irányt bizonyítjuk.

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege. Tétel: f integrálható [a, b]-n a n végtelenül finomodó felosztás sorozat mellett a i -k választásától független véges határértékhez tart. Biz.: Csak a [] irányt bizonyítjuk.
n

mi (xi - xi-1 )
i=1

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege. Tétel: f integrálható [a, b]-n a n végtelenül finomodó felosztás sorozat mellett a i -k választásától független véges határértékhez tart. Biz.: Csak a [] irányt bizonyítjuk.
n n

mi (xi - xi-1 )
i=1 i=1

f (i )(xi - xi-1 )

Integrálhatósági feltételek
Definíció: Ha f : [a, b] R korlátos, (xi )n az [a, b] egy i=0 felosztása és i {1, . . . , n} : i [xi-1 , xi ], akkor
n

n =
i=1

f (i )(xi - xi-1 )

az f adott felosztásához tartozó téglányösszege. Tétel: f integrálható [a, b]-n a n végtelenül finomodó felosztás sorozat mellett a i -k választásától független véges határértékhez tart. Biz.: Csak a [] irányt bizonyítjuk.
n n n

mi (xi - xi-1 )
i=1 i=1

f (i )(xi - xi-1 )
i=1

Mi (xi - xi-1 )



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

11.12-2 3. gyakorlat 5. 5. gyakorlat 7. ábra asdf assembly bioetika cikk dm előadás építészet etikett eu szakképzési rendszerek gazdasági gazdasági jog gazdaságtörténelem gyep növényzet házi jogelmélet kafka kérdés válasz kiadott kivitel környezetvédelmi kőzet közig közigazgatástörténet labor laskay gábor liliidae ma marketing média médiakutatás méhen belüli fejlődés mérleg műszaki német felvilágosodás polg.jog reneszánsz segédlet statisztika tájékoztató talajtan üzleti terv vállalat gazdaságtan vállalkozás zrínyi