Vizsgára kiírt tételek + bizonyítás
Országok listája
HungaryBudapesti Gazdasági FőiskolaKereskedelmi Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Főiskolai KarTurizmus-vendéglátás (magyar nyelven)Gazdasági Matematika 2 (BSc)VizsgákVizsgára kiírt tételek + bizonyítás
2008.05.18 10:46:05
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Tételek bizonyítással
1.1.: n különbözQ elem összes lehetséges sorrendjének (permutációinak) száma: P n = n"(n-1)(n-2) " & ."1=n! Biz.: az összes lehetséges sorrend összeszámlálásához tekintsük az egyes helyek kitöltésének lehetQségeit! Az elsQ helyen álló elem kiválasztására n lehetQségünk van, a másodikra n-1 lehetQség, a harmadikra n-2,& ,az utolsó helyen álló elem kiválasztására már csak egy lehetQség marad. Így az n elem összes lehetséges sorrendjének, permutációinak száma: Pn= n*(n-1)*(n-2)*& *1=n!
1.2.: Rögzített n, r és k1, k2,& , kr esetén az ismétléses permutációk száma: Pn (k1,k2,& .,kr) = n! / k1!k2! "...."kr! Biz.: A tétel igazolásához az n elem egy tetszQleges permutációjában az ismétlQdQ elemeket egymástól megkülönböztetjük. A k1-szer ismétlQdQ elem ez esetben k1! különbözQ permutációt , a k2-ször ismétlQdQ elem k2! különbözQ permutációt jelent; és a gondolatmenetet folytatva látjuk, hogy egy ismétléses permutációból k1!*k2!*& *kr! különbözQ elemekbQl álló permutációt nyerhetünk. Ha az ismétléses permutációk száma Pn(k1.k2,& ,kr), akkor az ismertetett eljárást ezek mindegyikére alkalmazva k1!*k2!*& *kr!*Pn(k1,k2,& ,kr) ismétlés nélküli permutációt kapunk, amely n!-sal egyenlQ. Képletben: k1!*k2!*& *kr!*Pn(k1,k2,& kr)= n! EbbQl már az 1.2-es tételben felírt egyenlQség adódik!
1.3.: Adott n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma: Vk n = n (n-1)(n-2)& .(n-k+1). Más alakban: Vk n= n! / (n-k)! Biz.: Ha az n elem közül k db-ot választunk ki úgy, hogy a kiválasztás sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor az elsQt n-bQl, a másodikat (n-1)-bQl, a harmadikat (n-2)-bQl, az utolsót n-(k-1)=n-k+1 elembQl választhatjuk. Ez összesen: Vnk=n*(n-1)*(n-2)*& *(n-k+1) lehetQséget jelent. Könnyen belátható, hogy a variációk számának kétféle felírása ekvivalens.
1.4.: Adott n elem összes k-adosztályú ismétléses variációinak száma: Vk(i) n = nk Biz.: H n elem közül k db-ot választunk ki úgy, hogy a kiválasztás sorrendjére i s teintettel vagyunk, akkor az elsQt n-bQl, a másodikat szintén n-bQl, a harmadikat is n-bQl, és az utolsó, k-adikat is n elembQl választjuk ki. Ez összesen nk lehetQséget jelent.
1.5.: Adott n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma: Ck n = n! / k!(n-k)! Biz.: I. Írjuk fel az n elemet egymás mellé! Ezek közül válasszunk ki k elemet minden lehetséges módon. Egy-egy ilyen kiválasztási lehetQséget szemléltethetünk úgy, hogy a kiválasztott elemek alá +, a nem kiválasztottak alá jelet rakunk. Így az n elemet két csoportra osztjuk, közülük k elem +, n-k elem jelet kap, aszerint, hogy az adott elemet kiválasztottuk vagy nem. Ha a + és jeleket minden lehetséges módon elhelyezzük (permutáljuk), majd az azonos sorban álló + jelek feletti elemeket egy-egy csoportba összegyqjtjük, akkor megkapjuk n elem összes k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációját.
II. A lehetQségek összeszámlálását kezdhetjük azzal, hogy az ismétlés nélküli variációnak megfelelQen kiválasztjuk a k db elemet, tekintetbe véve a sorrendet is. Ezek száma annyiszorosa a keresett lehetQségek számának, ahányféleképpen a kiválasztott elemek sorba rendezhetQk, Ck n " k! = V k n. Innen egyszerq egyenletrendezéssel kapjuk meg az általánosított feladat megoldását. Ck n = V k n /k! = n! / k!(n-k)! = n(n-1)& .n-k+1)/k!.
3.1.: Ha az S esemény valószínqsége P(A), akkor az A ellentétes esemény valószínqsége P(A) = 1 P(A). Biz.: Minthogy AUA komp.= H és A)"A komp.= Ø, harmadik axióma szerint P(AUA komp)= P(A)+P(A komp.) és a második axióma szerint P(H)=1. A bizonyítandó állítás ebbQl már következik. A tétel fontos következménye, hogy a lehetetlen esemény valószínqsége zérus, azaz P(Ø)=P(H komp.), amibQl P(Ø)=1-P(H)=0. Az az állítás, hogy a lehetetlen esemény valószínqsége zérus, nem megfordítható; azaz abból, hogy egy esemény valószínqsége zérus, nem következik, hogy az lehetetlen esemény. Hasonlóképpen abból, hogy P(A)=1, nem következik, hogy az A biztos esemény.
3.2.: Ha az A1, A2,
A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1) + P(A2) +
+ P(A n) = 1. Biz.: Feltevésünk szerint A1UA2U
UAn=H és Ai)"Aj=Ø, ha i`"j (i.j=1,2,& ,n) továbbá a második axióma szerint P(H)=1, így a 3.1. tétel alapján P(H) = P(A1UA2U& UAn) = P(A1)+P(A2)+& +P(An), ebbQl P(A1)+P(A2)+& +P(An)=1.
3.3.: Ha A és B két tetszQleges esemény, akkor annak a valószínqsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A )" B) . Biz.: Az AUB esemény elQállítható két egymást kizáró esemény összegeként, azaz AUB = AU(A komp.)"B) és A)"(A komp.)"B) = Ø. Ezért a harmadik axióma szerint P(AUB) = P(A)+P(A komp.)"B). A B esemény is elQállítható két egymást kizáró esemény összegeként, azaz: B = (A)"B)U(A komp.)"B) és (A)"B)U(A komp)"B) =Ø. Ismét a harmadik axióma alapján P(B)=P(A)"B)+P(A komp.)"B). Innen P(A komp.)"B)=P(B)-P(A)"B) . Ez utóbbit az összefüggésbe helyettesítve: P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A)"B).
3.4.: Ha az A esemény maga után vonja B eseményt, azaz A C B fennáll, akkor: P(B\A) = P(B)-P(A). Biz.: Ha A C B, akkor B=AU(B)"A komp.) = AU(B/A) és A)"(B/A)=Ø. Ezért a harmadik axióma szerint: P(B)=P(A)+P(B/A) és P(B/A)=P(B)-P(A).
3.5.: Legyen W egy klasszikus valószínqségi mezQ. Elemi eseményeinek száma legyen n. Ha A T W esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor: P(A)=k/n. P(A)= kedvezQ elemi események száma / összes elemi események száma. (klasszikus képlet) Biz: Legyen az eseménytér elemi eseményeinek száma n. Az egyszerqbb tárgyalásmód érdekében a H eseménytér elemi eseményeit a következQképpen jelöljük: E1, E2,& ,En. A tétel állítása szerint ezek az elemi események egyenlQen valószínqek, azaz
P(E1)=P(E2) =& = P(En). Mivel azonban: E1UE2U& UEn= H, és a második axióma szerint P(H) =1, ezért P(E1UE2U& UEn) = 1. A harmadik axióma említett összefüggése szerint
P(E1UE2U& UEn) = P(E1)+P(E2)+& +P(En), így P(Ei)=1/n (i=1,2,& ,n). Tekintsük ezután a W valószínqségi mezQ egy tetszQleges A eseményét, amelyet k db elemi esemény összegeként állíthatunk elQ. Az elemi események sorszámozását végezzük úgy, hogy az A eseményt az elsQ k db elemi esemény összege adja: A=E1UE2U& UEk. Így P(A) = P(E1UE2U& UEk) = P(E1)+P(E2)+& +P(Ek) = k*1/n=k/n.
3.6.: Ha A és B a H eseménytérhez tartozó két esemény és P(B)`"0, akkor együttes bekövetkezésüknek valószínqsége megegyezik az A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínqségének és a B esemény valószínqségének szorzatával, azaz: P(A)"B) = P(A%B)" P(B), P(B)`"0. Ha az A és B szerepet cserél és P(A)`"0, akkor a P(B%A) = P(A)"B)/P(A) alapján P(A)"B) = P(B%A)" P(A).
3.8.: Ha a H eseménytérhez tartozó B1,B2,& ,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk) > 0 (k=1,2,& ,n) , akkor bármely ,a H-hoz tartozó A esemény valószínqsége: P(A) = n"k=1P(A%Bk)"P(Bk). (teljes valószínqség tétele) Biz: Az, hogy Bk (k=1,2,& ,n) események teljes eseményrendszert alkotnak, azt jelenti, hogy egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény. Az A tetszQleges esemény elQállítható egymást kizáró események összegeként az alábbi módon: A = A)"H = A)"(B1UB2U& UBn) = (A)"B1)U(A)"B2)U& U(A)"Bn), ezért P(A)= n"k=1P(A)"Bk). Alkalmazva a valószínqségek szorzási szabályát az egyes P(A)"Bk) valószínqségekre, a bizonyítandó állítást kapjuk.
3.9.: (Bayes-tétel) Ha a H eseménytérhez tartozó B1, B2,& , Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk) > 0 (k=1,2,& n), akkor bármely, a H-hoz tartozó, pozitív valószínqségq A eseményre igaz, hogy: P(Bk%A) = P(A%Bk) " P(Bk) / n"i=1 P(A%Bi) " P(Bi) ( k=1,2,& ,n). Biz: A valószínqségek szorzási szabály alapján és az összefüggéseket jelen esetre alkalmazva kapjuk, hogy: P(Bk %A)*P(A)=P(A%Bk)*P(Bk). Innen pedig P(Bk %A)=P(A%Bk)*P(Bk)/P(A). A teljes valószínqség tétele alapján azonban: P(A) =n"i=1P(A%Bi)*P(Bi), amit az elQzQ tört nevezQjébe helyettesítve a bizonyítandó állítást kapjuk.
4.1.: Ha a ¶ valószínqségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor tetszQleges a < b valós számokra P(a d" ¾ < b) = F(b)-F(a). Biz.: Az A=(¾
P(ad"¾
4.2.: Ha az F függvény valamely ¾ valószínqségi változó eloszlásfüggvénye, akkor a: F monoton növekvQ, b: lim-"F(x)=0 és lim"F(x)=1, c: F minden pontban balról folytonos, azaz lim a-0F(x)=F(a) Biz: Azt kell megmutatnunk, hogy tetszQleges x1
4.5.: Ha valamely ¾ valószínqségi változónak f a sqrqségfüggvénye, akkor a: f(x)e"0, x T Df, b: +"-""f(x)dx = 1, c: +"-""f(t)dt = F(x), xTR, d: +"ab=f(x)dx = P(ad" ¾
Ì
ø
ú
ü
0
2
8
:
D
F
¸
Ê
Ì
Ð
Ò
ä
æ
è
ò
à
â
$ & ` b fhnpz|,.FÂÄÊÌÖØÞàú÷ïèÞ÷Ô÷ÌŽèµè÷è«Þ÷Ô÷Ô÷Ô÷èµè£èµèµèµèÅèµèµèµèµèµèµèµèµ£èµèµèµèµ£èµhù;Íh>*lH*hù;Íh¹Y5>*hù;Íh>*lH*hù;Íh>*l6
hù;Íh"d^hù;Íh"d^5hù;Íh>*l5H*hù;Íh>*l5>*
hù;Íh>*lhù;Íh¹?5hù;Íh>*l5@,.ú
ü
68ÌÎR´!¶!j&k&N)P)..à/â/Æ3
5ò7ô7Ö:Ø:÷ïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï $a$gdù;Í $a$gdù;Í(¥¥þþ¤¦¼468@ÒÔØ(*,.HJR&(*"$¨°´¼¾ÀÈ ¢ÊÌÎùñùñùñéùáù×áÍÃáÍáÃá»´¥á×wm´hù;Íh"d^5H*hù;Íhh'v5H*hù;Íhh'v5H*hù;Íhh'v5hù;Íhh'v5>*hù;Íhh'vH*hù;Íhh'vH*
hù;Íhh'v
hù;Íh"d^hù;Íh"d^5hù;Íh>*l5H*hù;Íh>*l5H*hù;Íh¹Y5>*hù;Íh>*l5hù;Íh>*lH*hù;Íh>*lH*
hù;Íh>*l)ÎÖlnrt ¤PX| ~ J!L!P!X!\!`!²!´!¶!¾!À!"Ä"Æ"Ø"Þ"$$Â$Ä$i&j&k&o&p&x&öîäÚÒîÊü´¼´¼¬¤¼¬¤¼¬¤¼¬¤¼ÃÊÃ|ÃqÃqÃqÃÊÃÊ hù;Íh"d^OJQJhù;Íh"d^OJQJ^Jhù;Íh"d^5>*hù;Íh¹Y5>*
hù;Íhh'vhù;Íh1ÚH*hù;Íh1ÚH*hù;Íh1Ú5
hù;Íh1Ú
hù;Íh"d^hù;Íh"d^5hù;Íh¹Y5hù;Íhö] 5H*hù;Íhö] 5H*hù;Íhö] 5hù;Íhö] 5>*,x&y&|&}&&&¹&º&Á&Â&Ë&Í&Ô&ï&ð&ò&ó&÷&ø&ÿ&(((((8(à(â(ð(ò(ü(þ(
) )&)()2)4)B)D)L)N)P)X)Z)r*¨,ª,¾,À,È,Î,- -8-:-`-b-x-z-.. .....Ô. //>/öîöîöîöîöîöîçßçßçßçßÒçßçÇçßçßçßçßçßçßçßçîç½³îçÒçÒçÇçÒçÒçÒçÒçÒçîç½³îçÒçhù;Íh"d^5>*hù;Íh¹Y5>* hù;Íh"d^OJQJhù;Íh"d^OJQJ^Jhù;Íh"d^H*
hù;Íh"d^hù;Íh"d^5hù;Íh"d^5H*F>/@/L/N/Þ/à/â/ì/â1Ì3Î3Ø3Ú3ì3î3 4444$4&44444445 555"5$52545>5@5N5P5d5f5b7d7h7j7r7t77777¤7¦7´7¶7À7Â7Ð7Ò7ô7ü7Î9Ô9Ö9ø9:óìáìÙìÏÇÀ¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸À¸ÀÏÀǪÇÀhù;Íh¹Y5OJQJ^Jhù;Íh¹YH*
hù;Íh¹Yhù;Íh¹Y5hù;Íh¹Y5>*hù;Íh"d^5 hù;Íh"d^OJQJ
hù;Íh"d^hù;Íh"d^OJQJ^JA::¬:®:Ø:â: ;";&;(;0;2;;;>
>>>> >¤>¦>®>°>¼>¾>À>Â>Ê>Ì>Î>Ð>Ü>Þ>à>â>??
??? ??????@f@h@n@p@z@óìóìâÚÐÚÐÚÐÚÐÚƸÐÚÐÚÐÚâì°ìóìóì°ì°ì°ìóì°ìóì°ìóì°ì£°ìóì°ìóì°ìÚÐÚÐÚhù;Íh¹YOJQJ^Jhù;Íh¹YH*hù;Íh¹Y5OJQJ^Jhù;Íh¹Y5H*hù;Íh¹Y5H*hù;Íh¹Y5hù;Íh¹Y5>*
hù;Íh¹Yhù;Íh¹YOJQJ^J@Ø:@@¬D®D¼F G"GdJfJbcteâfäfzivkêlÌnÎnÐrÒrúuüu^x`xòyôyþ{÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ë÷÷÷ë÷
$
Æ¥a$gdù;Í $a$gdù;Íz@|@à@â@¨AªAÀAÂAÐAÒAÚAÜAÞAàAæAðAòABB"B*B,BþBCC C*C,CPCTCfChCrCtCÞCàCèCêCìCîCðCòCöCDD
D D¬D®D¸DE E¨ENFF"GöîöîöîöîöîäÖîöîöîöîÏîÏÇÏÇÏÇÏÇÏÇÏÇÏÀÏÀϸ«ÏÇÏÇÏÇÏî¡îÏÏÏ
hù;Íh§r|hù;Íh¹Y>*hù;Íh¹Y5>*hù;Íh¹YOJQJ^Jhù;Íh¹YH*
hù;Íhù;Íhù;Íh¹YH*
hù;Íh¹Yhù;Íh¹Y5OJQJ^Jhù;Íh¹Y5H*hù;Íh¹Y5hù;Íh¹Y5H*7"G,GìGðG¢H¬HIIIII I.I0IJILIVIXI$J&J0J2J@JBJJJLJfJpJKK"K$K&K*K,KLKPKRKKKK²KÆKb`bdbbcfc"e&eìeðeÜfàfâfäfîfòf¸gÀgzi~iÖiØiöîçß×çÏçÏçÏçÏçÏçÏçÏçÏçÏçÏçöîÅîÅîÅ»îÅ»îÅ»î×¹çîçîçîçîçÏçî¡î×çîçÏhù;Íh§r|0J56hù;Íh§r|0J6>*Uhù;Íh§r|5H*hù;Íh§r|5H*hù;Íh§r|H*hù;Íh§r|>*hù;Íh§r|6
hù;Íh§r|hù;Íh§r|5hù;Íh§r|5>*?: célszerqen a d) pont bizonyításával kezdünk. d) A folytonos eloszlás definíciója és a 4.1. tétel alapján a+"bf(x)dx=-"+"bf(x)dx=F(B)-F(a)=P(ad"¾
c) Az elQzQ pontban felhasználtakon kívül alkalmazzuk az improprius integrállal kapcsolatos ismereteinket, valamint a 4.2. tételbQl ismert lim-"F(x)=0 összefüggést: -"+"xf(t)dt=lima!-"a+"xf(t)dt=lima!-"(F(x)-F(a))=F(x)-0=F(x) b)A c) pont alatti gondolatmenet szerint
-"+""f(x)dx=lima!-"b!"a+"bf(x)dx=lima!-"b!"(F(b)-F(a))=1-0=1. a) Mint minden eloszlásfüggvény, F monoton növekedQ. A növekedQ függvény deriváltja pedig nem lehet negatív: f(x)e"0, xTDf.
4.8.: Ha c tetszQleges valós szám, akkor M(c)=c. Ha M(¾) létezik, akkor M(c¾) is létezik és M(c¾)=cM(¾). Biz.: A tétel elsQ fele könnyen bizonyítható. Ha ugyanis a ¾ csak a c értékeket veheti fel, akkor P(¾=c)=1; és így M(c)=c*1=c.A tétel második fele c=0 esetén triviális. Ha c`"0, különválasztjuk a diszkrét és folytonos esetet.
a) Legyen a ¾ diszkrét valószínqségi változó x1,x2,x3& , lehetséges értékekkel és p1,p2,p3,& , valószínqségekkel. A c*¾ valószínqségi változó lehetséges értékei c*x1,c*x2,c*x3,& , míg a valószínqségek változatlanok. Így M(c¾)= "ic*xi*pi=c*"ixi*pi=c*M(¾).
b) Folytonos esetben a 4.7. tételben láttuk, hogy c>0 esetén a ¾ változó f sqrqségfüggvényét a c*¾ változó g sqrqségfüggvényével a g(x)=1/c*f(x/c) egyenlQség kapcsolja össze. Így aztán
M(c¾)=-"+""xg(x)dx=-"+""x/cf(x/c)dx= ( x=ct; dx/dt=c, x!" => t!", x!-"=>t!-")=c*-"+""t*f(t)dt=cM(¾). Ha c<0, hasonlóan járunk el. Az ekkor érvényes g(x)=-1/cf(x/c) a 4.7. tételben alkalmazott módszerekkel könnyen igazolható. Nem részletezzük.
4.11.: Ha a ( valószínqségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor létezik a szórása is, és EMBED Equation.2 (vagyis ( második momentumából ki kell vonni az elsQ momentum négyzetét). Biz: Fel fogjuk használni, hogy ha egy változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor a változónak is van várható értéke. A definíció szerint: D2(¾) = M([¾-M(¾)]2) = M(¾2-2M(¾)*¾+M2(¾)). Alkalmazzuk a 4.10. tételt, figyelembe véve, hogy M(¾) és M2(¾) konstansok: D2(¾)=M(¾2)-2M(¾)*M(¾)+M2(¾)=M(¾2)-M2(¾).
4.12.: Ha a ( valószínqségi változó szórása létezik, akkor tetszés szerinti a és b valós számok esetén ·= a¶ + b változónak is létezik a szórása és D(a¶ + b) = |a| D(¶). Biz: Alkalmazzuk az elQzQ tételt: D2(a¾+b)=M([a¾+b]2)-[M(a¾+b]2=M(a2¾2+2ab¾+b2)-[aM(¾)+b]2 = a2M(¾2)+2abM(¾)+b2-a2M2(¾)-2abM(¾)-b2 = a2[M(¾2)-M2(¾)]=a2D2(¾). Felhasználva, hogy a szórás nem negatív, ebbQl: D(a¾+b)=%a%D(¾) következik.
5.3.: Ha ( és ( valválok várható értéke létezik, akkor létezik a (+( várható értéke is, és
M ((+() = M (() + M (().Biz: Alkalmazzuk az 5.1. tételt, és használjuk az 5.3. táblázat jelöléseit: M(¾+·)=i"n j"m(xi+yj)pij=i"n j"m xipij+i"n j"m yjpij=i"n xi j"m pij+j"m yj i"n pij = i"n xipi+j"m yiqj=M(¾)+M(·).
5.4.: Ha cov((;() létezik, akkor cov((;()=M ((()-M (()M (().Biz: Felhasználva az 5.3. és az 4.8. tételt: cov(¾;·) = M(¾*·-M(·)*¾-M(¾)*·+M(¾)M(·)) = M(¾*·)-M(·)*M(¾)-M(¾)M(·)+M(¾)M(·) = M(¾·)-M(¾)M(·).
5.5.: Ha ( és ( szórása létezik, akkor létezik (+( szórása is és EMBED Equation.2 . Biz: D2(¾+·) = M([¾+·]2)-M2(¾+·) = M(¾2+2¾·+·2)-[M(¾)+M(·)]2 = M(¾2)+2M(¾·)+M(·2)-M2(¾)-2M(¾)M(·)-M2(·) = M(¾2)-M2(¾)+M(·2)-M2(·)+2[M(¾·)-M(¾)M(·)]=D2(¾)+D2(·)+2cov(¾;·).
5.8.: Ha a ( és az ( függetlenek, akkor M ((() = M (() ( M (() (amennyiben ezek a várható értékek léteznek). Biz: Ha ¾ lehetséges értékei x1,x2,x3,& ,xn és · lehetséges értékei y1,y2,y3,& ,ym, akkor a függetlenség miatt M(¾·) = i=1"n j=1"m xiyjP(¾=x1;·=yj)= i=1"n j=1"m xiyjP(¾=xi)P(·=yj)= i=1"n xiP(¾=xi) j=1"m yjP(·=yj)=M(¾)M(·).
7.1. : Ha ¾ karakterisztikus eloszlású valószínqségi változó, akkor és P(¾=1)=p, akkor M(¾)=p és D(¾)="p"q. Biz: M(¾)=1*p+0*q=p, D2(¾)=(12p+02q)-(p)2=p-p2=p(1-p)=pq, D(¾)="p*q
7.5.: Ha ¾ Poisson-eloszlású, akkor várható értéke M(¾)=». Biz.: Felhasználjuk e» hatványsorát, valamint azt, hogy konstans a " elé kiemelhetQ: M(¾)="k xkpk= k=0"" k*»k/k!*e-» = k=1"" k*»k/k!*e-»= k=1"" »k/(k-1)!*e-»= »e-»k=1"" »k-1/(k-1)!=»e-»*e»=»
7.6.: Ha ¾ Poisson-eloszlású,akkor szórása D(¾)="». Biz.: M(¾2)=k=0"" k2»k/k!*e-»= k=1"" k2 »k/k!*e-»= k = 1"" k*»k/(k-1)!*e-»= k=1""[(k-1)+1]»k/(k-1)!*e-»= k=2""(k- 1)*»k/(k-1)!*e-»+k=1""»k/(k-1)!*e-»= »2e-» k=2"" »k-2/(k-2)!+»e-» k=1"" »k-1/(k-1)!=»2+»
A levezetéshez ismét felhasználtuk e» hatványsorát, valamint, hogy az összegbQl a nulla szorzóval rendelkezQ tagok elhagyhatók. Most már könnyen meghatározhatjuk a szórásnégyzetet. D2(¾)=M(¾2)-M2(¾) = (»2+»)-»2=» és így D(¾)="».
7.7. : Ha n!" esetén p!0 úgy, hogy közben az n " p sorozat állandó marad, np=»>0, akkor q=1-p jelöléssel lim n! "(n alatt k)pk "qn-k = »k/k! " e-». Biz: A tétel feltételei szerint p=»/n. Írjuk ezt be a bal oldalon található binomiális eloszlás képletébe, majd végezzünk el néhány átalakítást: (n alatt k)pkqn-k=(n alatt k)(n/»)k*(1-»/n)n-k=n!/k!(n-k)!*»k/nk(1-»/n)n*(1-»/n)-k= n(n-1)& (n-k+1)/nk*»k/k!(1-»/n)n*1/(1-»/n)k. Vizsgáljuk meg a négy tényezQ atárértékét külön-külön, ha n!". 1. lim n!" (n-1)& (n-k+1)/nk=lim n!" n/n*n-1/n*& *n-k+1/n=1, mert a k tényezQ mindegyike 1 hez tart.2. lim n!" »k/k!=»k/k!, mert a kifejtésben nem szerepel az n, konstansként viselkedik. 3. lim n!" (1-»/n)n= lim n!" (1+-»/n)n=e-», mint a sorozatnál tanultuk analízisbQl. 4. lim n!"(1-»/n)k=1k=1, mert a kitevQ rögzített. Ezeket felhasználva lim n!"(n alatt k)pkqn-k=1*»k/k!*e-»*1=»k/k!*e-» .
7.9.: Ha a ( valószínqségi változó az ]a;b[ intervallumon egyenletes eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M(()=a+b/2, D(()=b-a/2 " 3. Biz. A várható érték:M(¾)= -"+"" xf(x)dx= a+"b x*1/b-a dx = 1/b-a *[x2/2]ab=1/b-a*b2-a2/2=a+b/2. A második momentum: M(¾2) -"+"" x2f(x)dx= a+"b x2*1/b-a dx=1/b-a*[x3/3]ab=b3-a3/3(b-a)= (b-a)*(b2+ab+a2)/3(b-a) = b2+ ab+ a2/3. A szórásnégyzet: D2(¾)=M(¾2)-M2(¾)=b2+ab+a2/3-(a+b/2)2=(b-a)2/12. Így D(¾)=b-a/2"3.
7.10.: Ha a ¾ valvál. exponenciális eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M(¾)=D(¾)=1/». Biz.: A várható érték kiszámításához szükséges primitív függvényt a parciális integrálás módszerével meghatározhatjuk, így: M(¾) =-"+"" xf(x)dx =-"+"0 0dx+ 0+"" »e-»xdx=lim b!"[-xe-»x-1/»*e-»x]ab=1/». A határérték kiszámításához felhasználtuk azt az analízisbQl ismert tényt, hogy lim " x/ex=0. A szórás meghatározásához szükségünk lesz a második momentumra. Ezt kétszeri parciális integrálás segítségével nyerjük. M(¾2)=-"+"" x2f(x)dx =-"+"0 0dx+0+"" x2»e-»xdx = lim[-x2e-»x+2xe-»x-2*1/»2*e-»x]0b=2/»2 Így aztán: D2(¾) = M(¾2)-M2(¾) = 2/»2-(1/»)2=1/»2, Illetve D(¾)=1/».
8.1.: Ha · standard normális eloszlású, akkor létezik a várható értéke és a szórása, értékük: M(·)=0, d(·)=1. Biz.: M(·)=1/"2À*-"+"" xe-x2/2dx=1/"2À lim a!-" b!"[-e-x2/2]ab=1/"2À lim a!-" b!"(e-a2/2-e-b2/2)=0 A várható érték 0 volta abból is adódik, hogy az origóra szimmetrikus eloszlásról van szó.
8.2.: Ha a ¾ sqrqségfüggvénye N(m;Ã) eloszlású, akkor M(¾)=m és D(¾)=Ã. Biz.: a 8.1. tételt felhasználva a 4.8.tétel alapján: M(¾)=M(÷+m)=ÃM(·)+m=m Most a 4.2.tételt hívjuk segítségül: D(¾)=D(Ã*·+m)=%Ã%D(·)=Ã.
9.2.: Csebisev-egyenlQtlenség: Legyen ( olyan valószínqségi változó, amelynek létezik a szórása. Ha D(¶) > 0, akkor tetszQleges t(1 esetén EMBED Equation.2 .
Biz.: Ha ¾ valószínqségi változó, akkor az ·=(¾-M(¾)) is az. Mivel ·e"0 és feltevésünk szerint létezik M(·)=M([¾-M(¾)]2=D2(¾), alkalmazhatjuk a Markov-egyenlQtlenséget: P(·e"tM(·)) = P((¾-M(¾))2e"tM([¾-M(¾)]2))=P((¾-M(¾))2e"tD2(¾))d"1/t. Mivel a2e"b2 akkor és csak akkor áll fenn, ha %a%e"%b%, a (9.4.) alatti egyenlQtlenség ekvivalens a: P(%¾ M(¾)%e""tD(¾))d"1/t egyenlQtlenséggel. Ha itt a t>1 paramétert t2-re cseréljük, adódik az állításunk.
9.3.: Bernoulli-tétel: Tekintsünk egy kísérletet, ahol valamely A esemény bekövetkezésének valószínqsége p. Végezzük el a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és jelölje ebben a kísérletsorozatban (n az A esemény gyakoriságát. Ekkor tetszQleges ((0 esetén igaz, hogy EMBED Equation.2 illetve
Biz.: Vegyük észre, hogy Bernoulli-féle kísérletsorozatról van szó, így a ¾n binomiális eloszlású valószínqségi változó, n"p várható értékkel és "npq szórással. Alkalmazzuk ezután a
P(%¾-M(¾)%e"tD(¾))d"1/t2 Csebisev -egyenlQtlenséget a ¾n valószínqségi változóra. Eszerint tetszQleges t>1-re fennáll, hogy P(%¾n-np%e"t"npq)d"1/t2. Ha a %¾n-np%e"t"npq egyenlQtlenségben n-nel osztunk, az elQzQvel ekvivalens P(%¾n/n-p%e"t"pq/n)d" 1/t2 egyenlQtlenséghez jutunk. Írjuk be t helyett a "n/pq *µ kifejezést, ekkor egyszerqsítés utána fenti egyenlQtlenség a következQ alakot ölti: P(%¾n/n-p%e"µ)d"pq/µ2n, amit bizonyítani akartunk.
BGF KVIFK GAZDASÁGI MATEMATIKA 2 BSC
PAGE 2
Hasonló témájú dokumentumok
- 2008-04-15 22:56:52
- 2011-01-05 13:03:22
- 2007-12-05 10:13:33
- 2010-01-12 18:30:07
- 2010-01-11 16:42:48
- 2009-10-25 15:05:53
- 2008-05-14 17:57:12
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Csakúgy mint amikor könyvtárakat/mappákat hozol létre a számítógépeden, egy tantárgyon belül is hasonló analógiával tetszőleges kategóriák és alkategóriák hozhatóak létre. Próbálj mindig a legmegfelelőbb kategóriába tölteni, hogy átlátható legyen a feltöltött dokumentumok szerkezete.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
