8. Előadás
Országok listája
HungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek8. Előadás
2007.11.25 19:55:20
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Analízis
Dr. Tasnádi Attila
Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék
2007. október 31.
L'Hospital-szabályok
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban,
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0,
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (x) f (a) lim = . xa g(x) g (a)
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (x) f (a) lim = . xa g(x) g (a)
Biz.: f (x) lim xa g(x)
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (x) f (a) lim = . xa g(x) g (a)
Biz.: f (x) f (x) - f (a) lim = lim xa g(x) xa g(x) - g(a)
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (x) f (a) lim = . xa g(x) g (a)
Biz.: f (x) f (x) - f (a) lim = lim = xa g(x) xa g(x) - g(a)
f (x)-f (a) x-a lim g(x)-g(a) xa x-a
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (x) f (a) lim = . xa g(x) g (a)
Biz.: f (x) f (x) - f (a) lim = lim = xa g(x) xa g(x) - g(a)
f (x)-f (a) x-a lim g(x)-g(a) xa x-a
f (a) = . g (a)
2
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (a) f (x) = . lim xa g(x) g (a) Biz.: f (x) f (x) - f (a) lim = lim = xa g(x) xa g(x) - g(a)
f (x)-f (a) x-a lim g(x)-g(a) xa x-a
f (a) = . g (a)
2
Példa: ln x lim x1 x - 1
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (a) f (x) = . lim xa g(x) g (a) Biz.: f (x) f (x) - f (a) lim = lim = xa g(x) xa g(x) - g(a)
f (x)-f (a) x-a lim g(x)-g(a) xa x-a
f (a) = . g (a)
2
Példa:
1 ln x lim = lim x x1 x - 1 x1 1
L'Hospital-szabályok
Tétel: Ha az f : I R és g : I R diff.hatók a-ban, továbbá f (a) = g(a) = 0 és g (a) = 0, akkor f (a) f (x) = . lim xa g(x) g (a) Biz.: f (x) f (x) - f (a) lim = lim = xa g(x) xa g(x) - g(a)
f (x)-f (a) x-a lim g(x)-g(a) xa x-a
f (a) = . g (a)
2
Példa:
1 ln x lim = lim x = 1. x1 x - 1 x1 1
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n,
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0,
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0,
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, (x) és limxa f (x) , g
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, (x) és limxa f (x) , akkor g f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x)
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, (x) és limxa f (x) , akkor g f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x)
± ±
Megjegyzés:
alakú kifejezésekre
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, (x) és limxa f (x) , akkor g f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x) Megjegyzés: ± alakú kifejezésekre és ±-ben vett ± határértékekre is alkalmazható.
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, f (x) és limxa g (x) , akkor f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x) Megjegyzés: ± alakú kifejezésekre és ±-ben vett ± határértékekre is alkalmazható. Példa:
x
lim
x
x
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, f (x) és limxa g (x) , akkor f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x) Megjegyzés: ± alakú kifejezésekre és ±-ben vett ± határértékekre is alkalmazható. Példa:
x
lim
x
x= lim e
x
1 x
ln x
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, f (x) és limxa g (x) , akkor f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x) Megjegyzés: ± alakú kifejezésekre és ±-ben vett ± határértékekre is alkalmazható. Példa:
x
lim
x
x= lim e
x
1 x
ln x
=e
limx
ln x x
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, f (x) és limxa g (x) , akkor f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x) Megjegyzés: ± alakú kifejezésekre és ±-ben vett ± határértékekre is alkalmazható. Példa:
x
lim
x
x= lim e
x
1 x
ln x
=e
limx
ln x x
=e
limx
1 x
Tétel (általánosítás): Ha az f : I R és g : I R diff.hatók valamely U (a) - {a}-n, továbbá limxa f (x) = limxa g(x) = 0, x U (a) - {a} : g (x) = 0, f (x) és limxa g (x) , akkor f (x) f (x) = lim . lim xa g (x) xa g(x) Megjegyzés: ± alakú kifejezésekre és ±-ben vett ± határértékekre is alkalmazható. Példa:
x
lim
x
x= lim e
x
1 x
ln x
=e
limx
ln x x
=e
limx
1 x
= 1.
Konvex függvények
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 )
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) (x - x1 ) , y = f (x1 ) + x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) (x - x1 ) , y = f (x1 ) + x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad,
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) y = f (x1 ) + (x - x1 ) , x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad, ha f (x) = f (x1 + (1 - )x2 )
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) y = f (x1 ) + (x - x1 ) , x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad, ha f (x) = f (x1 + (1 - )x2 ) y
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) y = f (x1 ) + (x - x1 ) , x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad, ha f (x) = f (x1 + (1 - )x2 ) y f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + x2 - x 1
- x1
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) y = f (x1 ) + (x - x1 ) , x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad, ha f (x) = f (x1 + (1 - )x2 ) y f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + x1 + (1 - )x2 - x1 x2 - x 1
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) y = f (x1 ) + (x - x1 ) , x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad, ha f (x) = f (x1 + (1 - )x2 ) y f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + x1 + (1 - )x2 - x1 x2 - x 1 f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + x2 - x 1
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) y = f (x1 ) + (x - x1 ) , x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad, ha f (x) = f (x1 + (1 - )x2 ) y f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + x1 + (1 - )x2 - x1 x2 - x 1 f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + (1 - )(x2 - x1 ) x2 - x 1
Konvex függvények
Az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )) pontokat összeköt szakasz (x1 < x2 ) egyenlete f (x2 ) - f (x1 ) y = f (x1 ) + (x - x1 ) , x2 - x1 x [x1 , x2 ].
Az [x1 , x2 ] fölött a szakasz az f gráfja fölött halad, ha f (x) = f (x1 + (1 - )x2 ) y f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + x1 + (1 - )x2 - x1 x2 - x 1 f (x2 ) - f (x1 ) = f (x1 ) + (1 - )(x2 - x1 ) x2 - x 1 = f (x1 ) + (1 - )f (x2 ).
Definíció: f : I R konvex,
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I :
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) :
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ).
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en,
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 |
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |.
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv,
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I :
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I : (0, 1) :
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ).
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Definíció: Az f : I R szigorúan konvex,
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Definíció: Az f : I R szigorúan konvex, ha x1 , x2 I, x1 = x2 : (0, 1) :
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Definíció: Az f : I R szigorúan konvex, ha x1 , x2 I, x1 = x2 : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) < f (x1 ) + (1 - )f (x2 ).
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Definíció: Az f : I R szigorúan konvex, ha x1 , x2 I, x1 = x2 : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) < f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Definíció: Az f : I R szigorúan konkáv,
Definíció: f : I R konvex, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Példa: f (x) = |x| konvex R-en, mivel |x1 + (1 - )x2 | |x1 | + (1 - )|x2 |. Definíció: f : I R konkáv, ha x1 , x2 I : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Definíció: Az f : I R szigorúan konvex, ha x1 , x2 I, x1 = x2 : (0, 1) : f (x1 + (1 - )x2 ) < f (x1 ) + (1 - )f (x2 ). Definíció: Az f : I R szigorúan konkáv, ha -f szigorúan konvex I-n.
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex,
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 f (x) - f (x1 ) x - x1
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1
x2 -x , x2 -x1
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 ,
x2 -x , x2 -x1
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x2 - x f (x1 ) x2 - x1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 ) f (x) - f (x1 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 x1 - x f (x1 ) x2 - x1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 ) f (x) - f (x1 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 x1 - x x - x1 f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 ) f (x) - f (x1 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 x1 - x x - x1 f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 ) f (x) - f (x1 ) f (x) - f (x1 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 x1 - x x - x1 f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 (x - x1 )(f (x2 ) - f (x1 )) x2 - x1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 ) f (x) - f (x1 ) f (x) - f (x1 )
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 x1 - x x - x1 f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 (x - x1 )(f (x2 ) - f (x1 )) x2 - x1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 ) f (x) - f (x1 ) f (x) - f (x1 ) f (x) - f (x1 ) x - x1
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.: Ha = f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) . x - x1 x 2 - x1 x = x1 + (1 - )x2 , és ekkor x - x1 x2 - x f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 x1 - x x - x1 f (x1 )+ f (x2 ) x2 - x1 x2 - x 1 (x - x1 )(f (x2 ) - f (x1 )) x2 - x1 f (x2 ) - f (x1 ) . 2 x2 - x1
x2 -x , x2 -x1
f (x1 + (1 - )x2 ) f (x) - f (x1 ) f (x) - f (x1 ) f (x) - f (x1 ) x - x1
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] :
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.:
f (x) - f (x1 ) x - x1 f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1
f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.:
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 - x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 (f (x2 ) - f (x1 ))(x - x1 )
f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.:
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 -x + x - x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 (f (x2 ) - f (x1 ))(x - x1 )
f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.:
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 -x + x - x1 ) (f (x) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 (f (x2 ) - f (x1 ))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x - x1 )
f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.:
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 -x + x - x1 ) (f (x)-f (x2 ) + f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 (f (x2 ) - f (x1 ))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x - x1 )
f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.:
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 -x + x - x1 ) (f (x)-f (x2 ) + f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) (f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 (f (x2 ) - f (x1 ))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x2 - x1 )
f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: f : [a, b] R pontosan akkor konvex, ha x1 , x, x2 [a, b] : x1 < x < x 2 Biz.:
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 -x + x - x1 ) (f (x)-f (x2 ) + f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) (f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 (f (x2 ) - f (x1 ))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x2 - x1 ) f (x2 ) - f (x) 2 x2 - x
f (x2 ) - f (x) f (x2 ) - f (x1 ) . x2 - x1 x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: []
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] Legyen a x1 < x < x2 b.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] Legyen a x1 < x < x2 b. Ekkor egyrészt f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) ; x - x1 x2 - x1
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] Legyen a x1 < x < x2 b. Ekkor egyrészt f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) f (x1 ) = lim ; xx1 x - x1 x2 - x1
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] Legyen a x1 < x < x2 b. Ekkor egyrészt f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) f (x1 ) = lim ; xx1 x - x1 x2 - x1 másrészt f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x1 f (x2 ) - f (x) x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] Legyen a x1 < x < x2 b. Ekkor egyrészt f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) f (x1 ) = lim ; xx1 x - x1 x2 - x1 másrészt f (x2 ) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x) lim xx2 x2 - x1 x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] Legyen a x1 < x < x2 b. Ekkor egyrészt f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) f (x1 ) = lim ; xx1 x - x1 x2 - x1 másrészt f (x2 ) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x) lim = f (x2 ). xx2 x2 - x1 x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] Legyen a x1 < x < x2 b. Ekkor egyrészt f (x) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x1 ) f (x1 ) = lim ; xx1 x - x1 x2 - x1 másrészt f (x2 ) - f (x1 ) f (x2 ) - f (x) lim = f (x2 ). xx2 x2 - x1 x2 - x Tehát f (x1 ) f (x2 ).
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: []
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 .
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 Mivel 1 < 2 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Mivel 1 < 2 és f mon. növ,
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Mivel 1 < 2 és f mon. növ, f (1 ) f (2 ).
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Mivel 1 < 2 és f mon. növ, f (1 ) f (2 ). Ezért
f (x) - f (x1 ) x - x1 f (x2 ) - f (x) x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Mivel 1 < 2 és f mon. növ, f (1 ) f (2 ). Ezért
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x) x2 - x (f (x2 ) - f (x))(x - x1 )
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Mivel 1 < 2 és f mon. növ, f (1 ) f (2 ). Ezért
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 - x) (f (x) - f (x2 ) + f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x) x2 - x (f (x2 ) - f (x))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x - x1 )
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Mivel 1 < 2 és f mon. növ, f (1 ) f (2 ). Ezért
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 - x) (f (x) - f (x2 ) + f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) (f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x) x2 - x (f (x2 ) - f (x))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x2 - x1 )
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konvex az (a, b)-n f mon. növ (a, b)-n. Biz.: [] x1 < x < x2 . Ekkor 1 (x1 , x), 2 (x, x2 ) : f (x) - f (x1 ) f (1 ) = x - x1 és f (x2 ) - f (x) f (2 ) = x2 - x
Mivel 1 < 2 és f mon. növ, f (1 ) f (2 ). Ezért
f (x) - f (x1 ) x - x1 (f (x) - f (x1 ))(x2 - x) (f (x) - f (x2 ) + f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) (f (x2 ) - f (x1 ))(x2 - x) f (x2 ) - f (x1 ) x2 - x 1 f (x2 ) - f (x) x2 - x (f (x2 ) - f (x))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x - x1 ) (f (x2 ) - f (x))(x2 - x1 ) f (x2 ) - f (x) 2 x2 - x
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0).
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n,
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0. Fordítva, ha x (a, b) : f (x) 0,
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0. Fordítva, ha x (a, b) : f (x) 0, akkor f mon. növ (a, b)-n,
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0. Fordítva, ha x (a, b) : f (x) 0, akkor f mon. növ (a, b)-n, és ezért f konvex (a, b)-n. 2
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0. Fordítva, ha x (a, b) : f (x) 0, akkor f mon. növ (a, b)-n, és ezért f konvex (a, b)-n. 2 Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható.
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0. Fordítva, ha x (a, b) : f (x) 0, akkor f mon. növ (a, b)-n, és ezért f konvex (a, b)-n. 2 Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ha x (a, b) : f (x) > 0
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0. Fordítva, ha x (a, b) : f (x) 0, akkor f mon. növ (a, b)-n, és ezért f konvex (a, b)-n. 2 Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ha x (a, b) : f (x) > 0 (f (x) < 0),
Tétel: Legyen f az (a, b)-n differenciálható. Ekkor f konkáv az (a, b)-n f mon. fogyó (a, b)-n. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor f konvex (konkáv) az (a, b)-n x (a, b) : f (x) 0 (f (x) 0). Biz.: Ha f konvex (a, b)-n, akkor f mon. növ (a, b)-n. Ezért x (a, b) : f (x) 0. Fordítva, ha x (a, b) : f (x) 0, akkor f mon. növ (a, b)-n, és ezért f konvex (a, b)-n. 2 Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ha x (a, b) : f (x) > 0 (f (x) < 0), akkor f szigorúan konvex (konkáv) az (a, b)-n.
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 .
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 . Definíció: Az f : I R folytonos függvénynek az x0 I-beli bels pontja
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 . Definíció: Az f : I R folytonos függvénynek az x0 I-beli bels pontja az f inflexiós pontja,
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 . Definíció: Az f : I R folytonos függvénynek az x0 I-beli bels pontja az f inflexiós pontja, ha > 0, hogy f konvex (konkáv) (x0 - , x0 )-on
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 . Definíció: Az f : I R folytonos függvénynek az x0 I-beli bels pontja az f inflexiós pontja, ha > 0, hogy f konvex (konkáv) (x0 - , x0 )-on és f konkáv (konvex) (x0 , x0 + )-on.
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 . Definíció: Az f : I R folytonos függvénynek az x0 I-beli bels pontja az f inflexiós pontja, ha > 0, hogy f konvex (konkáv) (x0 - , x0 )-on és f konkáv (konvex) (x0 , x0 + )-on. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható.
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 . Definíció: Az f : I R folytonos függvénynek az x0 I-beli bels pontja az f inflexiós pontja, ha > 0, hogy f konvex (konkáv) (x0 - , x0 )-on és f konkáv (konvex) (x0 , x0 + )-on. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor x0 (a, b) az inflexiós pontja,
A tétel nem fordítható meg: f (x) = x4 . Definíció: Az f : I R folytonos függvénynek az x0 I-beli bels pontja az f inflexiós pontja, ha > 0, hogy f konvex (konkáv) (x0 - , x0 )-on és f konkáv (konvex) (x0 , x0 + )-on. Tétel: Legyen f az (a, b)-n kétszer differenciálható. Ekkor x0 (a, b) az inflexiós pontja, ha f az x0 -ban eljelet vált.
Hasonló témájú dokumentumok
Egyelőre még egyetlen hasonló témájú file sincs feltöltve a rendszerbe
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Töltsétek ki a Tantárgyi adatlapokat a tantárgyak oldalain. Fontos lehet a tantárggyal kapcsolatos információ vagy az előadóval való egyszerű kapcsolattartás végett. Az adatlapot csak akkor módosíthatod ha az adott tárgyat a saját tárgyaidhoz adtad.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
