7. Előadás

Országok listájaHungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek7. Előadás

Analízis
Dr. Tasnádi Attila

Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék

2007. október 24.

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x t

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = t xt

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt x+t x

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt x+t 1 = x x

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt x+t 1 = ln x x
x t

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt x+t 1 1 = ln 1 + x x x t
x t

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt x+t 1 1 = ln 1 + x x x t
x t

1 ln e, x

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt ha t 0. x+t 1 1 = ln 1 + x x x t
x t

1 ln e, x 2

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt ha t 0. Köv.: loga x =
ln x ln a

x+t 1 1 = ln 1 + x x x t

x t

1 ln e, x 2

(a > 0, a = 1)

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt ha t 0. Köv.: loga x =
ln x ln a

x+t 1 1 = ln 1 + x x x t

x t

1 ln e, x 2

(a > 0, a = 1) miatt (loga x) =

1 . x ln a

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt ha t 0. Köv.: loga x =
ln x ln a

x+t 1 1 = ln 1 + x x x t

x t

1 ln e, x 2

(a > 0, a = 1) miatt (loga x) =

1 . x ln a

Összetett függvény deriválása: Ha g differenciálható az x0 -ban és f differenciálható az g(x0 )-ban,

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt ha t 0. Köv.: loga x =
ln x ln a

x+t 1 1 = ln 1 + x x x t

x t

1 ln e, x 2

(a > 0, a = 1) miatt (loga x) =

1 . x ln a

Összetett függvény deriválása: Ha g differenciálható az x0 -ban és f differenciálható az g(x0 )-ban, akkor F = f g differenciálható x0 -ban

Tétel: limy± 1 +

1 y

y

= e.

1 Tétel: (ln x) = x , ha x > 0.

Biz.: ln(x + t) - ln x 1 x = ln t xt ha t 0. Köv.: loga x =
ln x ln a

x+t 1 1 = ln 1 + x x x t

x t

1 ln e, x 2

(a > 0, a = 1) miatt (loga x) =

1 . x ln a

Összetett függvény deriválása: Ha g differenciálható az x0 -ban és f differenciálható az g(x0 )-ban, akkor F = f g differenciálható x0 -ban és F (x0 ) = f (g(x0 ))g (x0 ).

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , y-y0 h(y) =

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) =

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ),

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 .

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban,

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban.

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , g(x)-g(x0 ) h(g(x)) =

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , ha g(x) = g(x0 ), g(x)-g(x0 ) h(g(x)) =

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , ha g(x) = g(x0 ), g(x)-g(x0 ) h(g(x)) = f (g(x0 )),

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , ha g(x) = g(x0 ), g(x)-g(x0 ) h(g(x)) = f (g(x0 )), ha g(x) = g(x0 ),

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , ha g(x) = g(x0 ), g(x)-g(x0 ) h(g(x)) = f (g(x0 )), ha g(x) = g(x0 ), folytonos x0 -ban.

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , ha g(x) = g(x0 ), g(x)-g(x0 ) h(g(x)) = f (g(x0 )), ha g(x) = g(x0 ), folytonos x0 -ban. A g(x) = g(x0 ) és a g(x) = g(x0 ) esetekben

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , ha g(x) = g(x0 ), g(x)-g(x0 ) h(g(x)) = f (g(x0 )), ha g(x) = g(x0 ), folytonos x0 -ban. A g(x) = g(x0 ) és a g(x) = g(x0 ) esetekben f (g(x)) - f (g(x0 )) g(x) - g(x0 ) = h(g(x)) . x - x0 x - x0

Biz.: Legyen y0 = g(x0 ) és f (y)-f (y0 ) , ha y = y0 , y-y0 h(y) = f (y0 ), ha y = y0 . Mivel f diff.ható y0 -ban, h folytonos y0 -ban. Ezért f (g(x))-f (g(x0 )) , ha g(x) = g(x0 ), g(x)-g(x0 ) h(g(x)) = f (g(x0 )), ha g(x) = g(x0 ), folytonos x0 -ban. A g(x) = g(x0 ) és a g(x) = g(x0 ) esetekben f (g(x)) - f (g(x0 )) g(x) - g(x0 ) = h(g(x)) . x - x0 x - x0 Ha x x0 , a jobb oldal f (g(x0 ))g (x0 )-hoz tart. 2

Az inverz függvény deriváltja

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton,

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0,

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban,

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 ) (y0 ) = f (x0 )

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos.

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 :

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 :

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )).

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ).

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x)

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x) = y,

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x) = y, és
f -1 (f (x0 ) + h) - f -1 (f (x0 )) h

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x) = y, és
f -1 (f (x0 ) + h) - f -1 (f (x0 )) x - x0 = h y - y0

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x) = y, és
f -1 (f (x0 ) + h) - f -1 (f (x0 )) x - x0 = = h y - y0 1
f (x)-f (x0 ) x-x0

.

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x) = y, és
f -1 (f (x0 ) + h) - f -1 (f (x0 )) x - x0 = = h y - y0 1
f (x)-f (x0 ) x-x0

.

f -1 folytonossága miatt, ha h 0,

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x) = y, és
f -1 (f (x0 ) + h) - f -1 (f (x0 )) x - x0 = = h y - y0 1
f (x)-f (x0 ) x-x0

.

f -1 folytonossága miatt, ha h 0, akkor x = f -1 (f (x0 ) + h)

Az inverz függvény deriváltja
Tétel: Ha f : I R folytonos, szigorúan monoton, f differenciálható az x0 -ban és f (x0 ) = 0, akkor f -1 is differenciálható y0 = f (x0 )-ban, és
(f
-1

1 1 ) (y0 ) = = . -1 (y )) f (x0 ) f (f 0

Biz.: Tudjuk, hogy f -1 : f (I) I és f -1 folytonos. Ezért > 0 : > 0 : U (y0 ) f (U (x0 )). Legyen h olyan, hogy f (x0 ) + h U (y0 ). Ekkor x U (x0 ) : f (x0 ) + h = f (x) = y, és
f -1 (f (x0 ) + h) - f -1 (f (x0 )) x - x0 = = h y - y0 1
f (x)-f (x0 ) x-x0

.

f -1 folytonossága miatt, ha h 0, akkor x = f -1 (f (x0 ) + h) f -1 (f (x0 )) = x0 .

2

Példa: (ex ) = ex .

Példa: (ex ) = ex . Az y = ex függvény az x ln y függvénynek az inverze.

Példa: (ex ) = ex . Az y = ex függvény az x ln y függvénynek az inverze. Ezért az inverz függvény deriválási szabálya alapján (ex )

Példa: (ex ) = ex . Az y = ex függvény az x ln y függvénynek az inverze. Ezért az inverz függvény deriválási szabálya alapján (e ) =
x

1
1 y y=ex

Példa: (ex ) = ex . Az y = ex függvény az x ln y függvénynek az inverze. Ezért az inverz függvény deriválási szabálya alapján (e ) =
x

1
1 y y=ex

= ex .

Példa: (ex ) = ex . Az y = ex függvény az x ln y függvénynek az inverze. Ezért az inverz függvény deriválási szabálya alapján (e ) =
x

1
1 y y=ex

= ex .

Köv.: Mivel

ax

=

eln a

x

Példa: (ex ) = ex . Az y = ex függvény az x ln y függvénynek az inverze. Ezért az inverz függvény deriválási szabálya alapján (e ) =
x

1
1 y y=ex

= ex .

Köv.: Mivel

ax

=

eln a

x

= ex ln a (a > 0),

Példa: (ex ) = ex . Az y = ex függvény az x ln y függvénynek az inverze. Ezért az inverz függvény deriválási szabálya alapján (e ) =
x

1
1 y y=ex

= ex .

Köv.: Mivel

ax

=

eln a

x

= ex ln a (a > 0), ezért

(ax ) = ax ln a.

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en,

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és (arcsin x)

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és (arcsin x) = 1 cos

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = cos arcsin x

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x).

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ].

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ]. Ekkor arccos differenciálható I = (-1, 1)-en,

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ]. Ekkor arccos differenciálható I = (-1, 1)-en, és (arccos x)

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ]. Ekkor arccos differenciálható I = (-1, 1)-en, és (arccos x) = 1 - sin

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ]. Ekkor arccos differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arccos x) = - sin arccos x

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ]. Ekkor arccos differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 -1 (arccos x) = = - sin arccos x 1 - cos2

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ]. Ekkor arccos differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 -1 (arccos x) = = - sin arccos x 1 - cos2 arccos x

Példa: f : [- , ] [-1, 1] (x sin x). 2 2 f invertálható, és legyen arcsin = f -1 : [-1, 1] [- , ]. 2 2 Ekkor arcsin differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 (arcsin x) = = cos arcsin x 1 1 - sin2 arcsin x = 1 1- x2 .

Példa: f : [0, ] [-1, 1] (x cos x). f invertálható, és legyen arccos = f -1 : [-1, 1] [0, ]. Ekkor arccos differenciálható I = (-1, 1)-en, és 1 -1 -1 (arccos x) = = = . - sin arccos x 1 - cos2 arccos x 1 - x2

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en,

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és (arctan x)

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és (arctan x) =
cos2

1
1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és (arctan x) = 1
1 cos2 arctan x

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 (arctan x) = = 1 1 + tan2 arctan x cos2 arctan x 1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x 1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). 1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (0, ). 1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (0, ). Ekkor arccot differenciálható R-en, 1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (0, ). Ekkor arccot differenciálható R-en, és (arccot x) 1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (0, ). Ekkor arccot differenciálható R-en, és (arccot x) =
sin2

1

1
-1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (0, ). Ekkor arccot differenciálható R-en, és (arccot x) = 1
-1 sin2 arccot x

1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (0, ). Ekkor arccot differenciálható R-en, és -1 (arccot x) = = -1 1 + cot2 arccot x sin2 arccot x 1 1

Példa: f : (- , ) R (x tan x). 2 2 f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (- , ). 2 2 Ekkor arctan differenciálható R-en, és 1 1 (arctan x) = = = . 1 2 arctan x 2 1 + tan 1+x cos2 arctan x Példa: f : (0, ) R (x cot x). f invertálható, és legyen arctan = f -1 : R (0, ). Ekkor arccot differenciálható R-en, és -1 -1 (arccot x) = = = . -1 2 arccot x 1 + cot 1 + x2 2 arccot x sin 1 1

Elsrend feltétel

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye,

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ).

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma.

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható.

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték.

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték. Tétel: Ha x0 lokális szélsértékhelye az f : I R diff. ható fgv.nek és bels pontja I-nek,

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték. Tétel: Ha x0 lokális szélsértékhelye az f : I R diff. ható fgv.nek és bels pontja I-nek, akkor f (x0 ) = 0.

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték. Tétel: Ha x0 lokális szélsértékhelye az f : I R diff. ható fgv.nek és bels pontja I-nek, akkor f (x0 ) = 0. Biz.: T.f.h. x0 egy lokális maximumhely.

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték. Tétel: Ha x0 lokális szélsértékhelye az f : I R diff. ható fgv.nek és bels pontja I-nek, akkor f (x0 ) = 0. Biz.: T.f.h. x0 egy lokális maximumhely. Ekkor f (x0 + h) - f (x0 ) 0, ha x0 + h I.

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték. Tétel: Ha x0 lokális szélsértékhelye az f : I R diff. ható fgv.nek és bels pontja I-nek, akkor f (x0 ) = 0. Biz.: T.f.h. x0 egy lokális maximumhely. Ekkor f (x0 + h) - f (x0 ) 0, ha x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. h

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték. Tétel: Ha x0 lokális szélsértékhelye az f : I R diff. ható fgv.nek és bels pontja I-nek, akkor f (x0 ) = 0. Biz.: T.f.h. x0 egy lokális maximumhely. Ekkor f (x0 + h) - f (x0 ) 0, ha x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. h h

Elsrend feltétel
Definíció: Az f : I R függvénynek az x0 I lokális maximumhelye, ha x0 -nak van olyan U (x0 ) környezete, melyre x U (x0 ) I : f (x) f (x0 ). Az f (x0 ) pedig az f egy lokális maximuma. A lok.min., illetve lok.min.hely hasonlóan definiálható. A lok.min. és a lok.max. egy lokális szélsérték. Tétel: Ha x0 lokális szélsértékhelye az f : I R diff. ható fgv.nek és bels pontja I-nek, akkor f (x0 ) = 0. Biz.: T.f.h. x0 egy lokális maximumhely. Ekkor f (x0 + h) - f (x0 ) 0, ha x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Mivel h h az f az x0 -ban diff.ható, f (x0 ) = 0. 2

Lagrange-féle középértéktétel

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható,

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a .

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) -
f (b)-f (a) (x b-a

- a).

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - Nyilván g(a) = g(b) = 0,
f (b)-f (a) (x b-a

- a).

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n,

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye.

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ).

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M .

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M . (i) Ha M > 0, akkor x (a, b),

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M . (i) Ha M > 0, akkor x (a, b), és legyen = x .

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M . (i) Ha M > 0, akkor x (a, b), és legyen = x . (ii) Ha m < 0 = M , akkor legyen = x (a, b).

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M . (i) Ha M > 0, akkor x (a, b), és legyen = x . (ii) Ha m < 0 = M , akkor legyen = x (a, b). (iii) Ha m = M = 0, akkor legyen = (a + b)/2.

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M . (i) Ha M > 0, akkor x (a, b), és legyen = x . (ii) Ha m < 0 = M , akkor legyen = x (a, b). (iii) Ha m = M = 0, akkor legyen = (a + b)/2. Mivel a a g lokális szélsértékhelye,

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M . (i) Ha M > 0, akkor x (a, b), és legyen = x . (ii) Ha m < 0 = M , akkor legyen = x (a, b). (iii) Ha m = M = 0, akkor legyen = (a + b)/2. Mivel a a g lokális szélsértékhelye, ezért g () = 0.

Lagrange-féle középértéktétel
Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és (a, b)-n diff.ható, f (b)-f (a) akkor (a, b) : f () = b-a . Biz.: Legyen g(x) = f (x) - f (a) - f (b)-f (a) (x - a). b-a Nyilván g(a) = g(b) = 0, g folytonos [a, b]-n és diff.ható (a, b)-n, ezért létezik x max.helye és x min.helye. Legyen M = g(x ) és m = g(x ). Nyilván m 0 M . (i) Ha M > 0, akkor x (a, b), és legyen = x . (ii) Ha m < 0 = M , akkor legyen = x (a, b). (iii) Ha m = M = 0, akkor legyen = (a + b)/2. Mivel a a g lokális szélsértékhelye, ezért g () = 0. Ezért g () = f () - f (b)-f (a) = 0. 2 b-a

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában,

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . y-x

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . Mivel f () > 0, f (y) - f (x) > 0. y-x

2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . Mivel f () > 0, f (y) - f (x) > 0. y-x

2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . Mivel f () > 0, f (y) - f (x) > 0. y-x

2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában,

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . Mivel f () > 0, f (y) - f (x) > 0. y-x

2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f monoton növ (fogyó) az I-n.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . Mivel f () > 0, f (y) - f (x) > 0. y-x

2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f monoton növ (fogyó) az I-n. Köv.: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . Mivel f () > 0, f (y) - f (x) > 0. y-x

2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f monoton növ (fogyó) az I-n. Köv.: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f (x) = 0 az I minden bels pontjában,

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, differenciálható az I bels pontjaiban és 0 < f (x) (0 > f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f szigorúan monoton növ (fogyó) az I-n. Biz.: Nézzük a 0 < f (x) esetet. Legyen x, y I és x < y. Ekkor az elz tétel szerint (x, y) : f () = f (y)-f (x) . Mivel f () > 0, f (y) - f (x) > 0. y-x

2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában, akkor f monoton növ (fogyó) az I-n. Köv.: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f (x) = 0 az I minden bels pontjában, akkor f állandó I-n.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n,

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. h

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. h h

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ezért h h f (x0 ) 0. 2

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ezért h h f (x0 ) 0. 2 Megjegyzés: ,,Hasonló" állítás nem igaz szigorúan monoton függvényekre.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ezért h h f (x0 ) 0. 2 Megjegyzés: ,,Hasonló" állítás nem igaz szigorúan monoton függvényekre. Legyen f (x) = x3 .

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ezért h h f (x0 ) 0. 2 Megjegyzés: ,,Hasonló" állítás nem igaz szigorúan monoton függvényekre. Legyen f (x) = x3 . Ekkor f (0) = 0,

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ezért h h f (x0 ) 0. 2 Megjegyzés: ,,Hasonló" állítás nem igaz szigorúan monoton függvényekre. Legyen f (x) = x3 . Ekkor f (0) = 0, azaz f (x) > 0 nem teljesül minden x R-re,

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ezért h h f (x0 ) 0. 2 Megjegyzés: ,,Hasonló" állítás nem igaz szigorúan monoton függvényekre. Legyen f (x) = x3 . Ekkor f (0) = 0, azaz f (x) > 0 nem teljesül minden x R-re, és f mégis szigorúan monoton növeked R-en.

Tétel: Ha f : I R folytonos I-n, diff.ható az I bels pontjaiban és f monoton növ (fogyó) az I-n, akkor 0 f (x) (0 f (x)) az I minden bels pontjában. Biz.: Nézzük a monoton növ esetet. Legyen x0 az I egy bels pontja és x0 + h I. Ha h > 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ha h < 0, akkor f (x0 +h)-f (x0 ) 0. Ezért h h f (x0 ) 0. 2 Megjegyzés: ,,Hasonló" állítás nem igaz szigorúan monoton függvényekre. Legyen f (x) = x3 . Ekkor f (0) = 0, azaz f (x) > 0 nem teljesül minden x R-re, és f mégis szigorúan monoton növeked R-en. Célszer a monotonitás egyfajta lokális változatának bevezetése.

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy),

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I :

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0).

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében,

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy),

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye).

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet.

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet. Ekkor az f az x0 eltt negatív,

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet. Ekkor az f az x0 eltt negatív, míg utána pozitív.

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet. Ekkor az f az x0 eltt negatív, míg utána pozitív. Ezért az f az x0 eltt monoton fogy,

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet. Ekkor az f az x0 eltt negatív, míg utána pozitív. Ezért az f az x0 eltt monoton fogy, majd utána monoton n.

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet. Ekkor az f az x0 eltt negatív, míg utána pozitív. Ezért az f az x0 eltt monoton fogy, majd utána monoton n. Tehát f -nek x0 minimumhelye. 2

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet. Ekkor az f az x0 eltt negatív, míg utána pozitív. Ezért az f az x0 eltt monoton fogy, majd utána monoton n. Tehát f -nek x0 minimumhelye. 2 Definíció: Ha f (x0 ) = 0, akkor x0 -t az f stacionárius pontjának mondjuk.

Definíció: Az f : I R függvény az x0 I pontban lokálisan n (fogy), ha U (x0 ) : x U (x0 ) I : (f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) > 0 ((f (x) - f (x0 ))(x - x0 ) < 0). Tétel: Ha f : I R diff.ható az x0 egy környezetében, f (x0 ) = 0, és f az x0 -ban lokálisan n (fogy), akkor f -nek x0 lokális minimumhelye (maximumhelye). Biz.: Nézzük a lokálisan növ esetet. Ekkor az f az x0 eltt negatív, míg utána pozitív. Ezért az f az x0 eltt monoton fogy, majd utána monoton n. Tehát f -nek x0 minimumhelye. 2 Definíció: Ha f (x0 ) = 0, akkor x0 -t az f stacionárius pontjának mondjuk. Példa: x x3 -nak és x x4 -nek 0 stac. pontja.

Magasabbrend deriváltak

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban,

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa.

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: f (x0 ),

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: f (x0 ), f (2) (x0 ),

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható,

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0),

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0), akkor f -nek x0 lokális maximumhelye (minimumhelye).

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0), akkor f -nek x0 lokális maximumhelye (minimumhelye). Biz.: Nézzük az f (x0 ) < 0 esetet.

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0), akkor f -nek x0 lokális maximumhelye (minimumhelye). Biz.: Nézzük az f (x0 ) < 0 esetet. Ekkor f az x0 -ban lokálisan fogy,

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0), akkor f -nek x0 lokális maximumhelye (minimumhelye). Biz.: Nézzük az f (x0 ) < 0 esetet. Ekkor f az x0 -ban lokálisan fogy, tehát x0 egy lokális maximumhely. 2

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0), akkor f -nek x0 lokális maximumhelye (minimumhelye). Biz.: Nézzük az f (x0 ) < 0 esetet. Ekkor f az x0 -ban lokálisan fogy, tehát x0 egy lokális maximumhely. 2 Definíció: Ha f : I R az x0 -ban n - 1-szer diff.ható

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0), akkor f -nek x0 lokális maximumhelye (minimumhelye). Biz.: Nézzük az f (x0 ) < 0 esetet. Ekkor f az x0 -ban lokálisan fogy, tehát x0 egy lokális maximumhely. 2 Definíció: Ha f : I R az x0 -ban n - 1-szer diff.ható és f (n-1) is diff.ható x0 -ban,

Magasabbrend deriváltak
Definíció: Ha az f : I R az x0 -ban diff.ható és f is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli második differenciálhányadosa. Jelölések: (2) (x ), d2 f (x ). f (x0 ), f 0 0 dx2 Tétel: Ha az f : I R az x0 -ban kétszer diff.ható, f (x0 ) = 0, és f (x0 ) < 0 (f (x0 ) > 0), akkor f -nek x0 lokális maximumhelye (minimumhelye). Biz.: Nézzük az f (x0 ) < 0 esetet. Ekkor f az x0 -ban lokálisan fogy, tehát x0 egy lokális maximumhely. 2 Definíció: Ha f : I R az x0 -ban n - 1-szer diff.ható és f (n-1) is diff.ható x0 -ban, akkor ez utóbbi differenciálhányados az f x0 -beli n-edik differenciálhányadosa.



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

2010 3. gyakorlat agg zoltán algebra ápolástan atkinson bioinformatika civil szervezetek corbu deindividuáció deriválás elemzés építésszervezés 1 éptöri 2 eu logisztika európai unió feladatok gazd.töri tétel6 gazdföci gyakorló feladatok hálótervezés hőtan humán infoii információ inverz függvény kefo környezetvédelmi mikrobiológia környgazd kötelmi jog lakoma leppelés magyar gótika mechanika 2 médiakutatás méhen belüli fejlődés művészet növényszervezettan jegyzetek összefoglaló ppt reklámelmélet társadalombiztosítás témák természetvédelmi biológia turizmus üzleti etika vezgazd víz vizsgára vizsgasor