6. Előadás
Országok listája
HungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek6. Előadás
2007.11.25 19:52:11
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Analízis
Dr. Tasnádi Attila
Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék
2007. október 17.
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma),
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)).
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)).
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos,
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma.
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres,
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa.
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa. T.f.h. x [a, b] : f (x) < K.
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa. T.f.h. x [a, b] : f (x) < K. Ekkor f folytonossága miatt 1 g(x) = K-f (x) > 0 is folytonos [a, b]-n.
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa. T.f.h. x [a, b] : f (x) < K. Ekkor f folytonossága miatt 1 g(x) = K-f (x) > 0 is folytonos [a, b]-n. De g(x) korlátos [a, b]-n, és így K > 0 : g(x) K .
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa. T.f.h. x [a, b] : f (x) < K. Ekkor f folytonossága miatt 1 g(x) = K-f (x) > 0 is folytonos [a, b]-n. De g(x) korlátos [a, b]-n, és így K > 0 : g(x) K . Átrendezéssel 1 f (x) K - K
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa. T.f.h. x [a, b] : f (x) < K. Ekkor f folytonossága miatt 1 g(x) = K-f (x) > 0 is folytonos [a, b]-n. De g(x) korlátos [a, b]-n, és így K > 0 : g(x) K . Átrendezéssel 1 f (x) K - K < K,
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa. T.f.h. x [a, b] : f (x) < K. Ekkor f folytonossága miatt 1 g(x) = K-f (x) > 0 is folytonos [a, b]-n. De g(x) korlátos [a, b]-n, és így K > 0 : g(x) K . Átrendezéssel 1 f (x) K - K < K, ami ellentmond K választásának.
Definíció: Az f : M R ( = M R) függvénynek létezik maximuma (minimuma), ha f (M ) felülrl (alulról) korlátos és x M : f (x) = sup f (x) (f (x) = inf f (x)). Jelölés: max f (x) (min f (x)). Weierstrass-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f -nek van maximuma és minimuma. Biz.: Mivel f ([a, b]) korlátos és nem üres, ezért f -nek van K = sup f (x) fels határa. T.f.h. x [a, b] : f (x) < K. Ekkor f folytonossága miatt 1 g(x) = K-f (x) > 0 is folytonos [a, b]-n. De g(x) korlátos [a, b]-n, és így K > 0 : g(x) K . Átrendezéssel 1 f (x) K - K < K, ami ellentmond K választásának. Végül -f maximuma nyilván f minimuma. 2
Inverz függvény tulajdonságai
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény.
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy).
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív.
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív. Ezért létezik f -1 : f (M ) M .
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív. Ezért létezik f -1 : f (M ) M . Legyen f szigorúan monoton növ.
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív. Ezért létezik f -1 : f (M ) M . Legyen f szigorúan monoton növ. T.f.h. f -1 nem szigorúan monoton növ függvény.
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív. Ezért létezik f -1 : f (M ) M . Legyen f szigorúan monoton növ. T.f.h. f -1 nem szigorúan monoton növ függvény. Ekkor y1 , y2 f (M ) : y1 < y2 ,
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív. Ezért létezik f -1 : f (M ) M . Legyen f szigorúan monoton növ. T.f.h. f -1 nem szigorúan monoton növ függvény. Ekkor y1 , y2 f (M ) : y1 < y2 , x1 = f -1 (y1 ) x2 = f -1 (y2 ),
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív. Ezért létezik f -1 : f (M ) M . Legyen f szigorúan monoton növ. T.f.h. f -1 nem szigorúan monoton növ függvény. Ekkor y1 , y2 f (M ) : y1 < y2 , x1 = f -1 (y1 ) x2 = f -1 (y2 ), amibl y1 = f (x1 ) f (x2 ) = y2 következne.
Inverz függvény tulajdonságai
Tétel: Legyen az f : M R egy szigorúan monoton növ (fogyó) függvény. Ekkor f -1 : f (M ) M és f -1 szigorúan monoton n (fogy). Biz.: Könnyen látható, hogy egy szigorúan monoton függvény injektív. Ezért létezik f -1 : f (M ) M . Legyen f szigorúan monoton növ. T.f.h. f -1 nem szigorúan monoton növ függvény. Ekkor y1 , y2 f (M ) : y1 < y2 , x1 = f -1 (y1 ) x2 = f -1 (y2 ), amibl y1 = f (x1 ) f (x2 ) = y2 következne. Hasonlóan igazolható a szigorúan fogyó eset. 2
Inverz függvény folytonossága
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon,
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n.
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I),
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik).
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I.
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I),
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I), ezért van x I torlódási helye,
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I), ezért van x I torlódási helye, továbbá xin x konvergens részsorozata.
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I), ezért van x I torlódási helye, továbbá xin x konvergens részsorozata. Ekkor f folytonossága miatt f (xin ) f (x ).
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I), ezért van x I torlódási helye, továbbá xin x konvergens részsorozata. Ekkor f folytonossága miatt f (xin ) f (x ). Ezért f (x ) = b,
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I), ezért van x I torlódási helye, továbbá xin x konvergens részsorozata. Ekkor f folytonossága miatt f (xin ) f (x ). Ezért f (x ) = b, mivel f (xin ) részsorozata (yn )-nek.
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I), ezért van x I torlódási helye, továbbá xin x konvergens részsorozata. Ekkor f folytonossága miatt f (xin ) f (x ). Ezért f (x ) = b, mivel f (xin ) részsorozata (yn )-nek. De x = f -1 (b)-bl adódik,
Inverz függvény folytonossága
Tétel: Ha f : I R folytonos és szigorúan monoton az I korlátos intervallumon, akkor f -1 folytonos f (I)-n. Biz.: Legyen b f (I), és g : J I az f -1 függvény megszorítása a J = [b - , b + ] f (I) zárt intervallumra (ilyen > 0 létezik). Legyen továbbá n N : yn J, yn b és xn = g(yn ) = f -1 (yn ) I. Az (xn ) korlátos (xn I), ezért van x I torlódási helye, továbbá xin x konvergens részsorozata. Ekkor f folytonossága miatt f (xin ) f (x ). Ezért f (x ) = b, mivel f (xin ) részsorozata (yn )-nek. De x = f -1 (b)-bl adódik, hogy (xn )-nek x az egyetlen torlódási helye. 2
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap.
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük.
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N. (ii) a-1 =
1 a
és a-n = a-1
n
, ha n N.
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
1 (ii) a-1 = a és a-n = a-1 , ha n N. (iii) n a = b, ha a = bn (n N). n
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
1 (ii) a-1 = a és a-n = a-1 , ha n N. (iii) n a = b, ha a = bn (n N). p (iv) a q = q ap , ha p Z és q N. n
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
1 (ii) a-1 = a és a-n = a-1 , ha n N. (iii) n a = b, ha a = bn (n N). p (iv) a q = q ap , ha p Z és q N. n
(v) Pontosan egy olyan f : R R folytonos függvény létezik, amelyre f (r) = ar minden r Q-ra.
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
1 (ii) a-1 = a és a-n = a-1 , ha n N. (iii) n a = b, ha a = bn (n N). p (iv) a q = q ap , ha p Z és q N. n
(v) Pontosan egy olyan f : R R folytonos függvény létezik, amelyre f (r) = ar minden r Q-ra. Ha a > 1,
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
1 (ii) a-1 = a és a-n = a-1 , ha n N. (iii) n a = b, ha a = bn (n N). p (iv) a q = q ap , ha p Z és q N. n
(v) Pontosan egy olyan f : R R folytonos függvény létezik, amelyre f (r) = ar minden r Q-ra. Ha a > 1, akkor f (x) = sup{ar | r x, r Q}.
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
1 (ii) a-1 = a és a-n = a-1 , ha n N. (iii) n a = b, ha a = bn (n N). p (iv) a q = q ap , ha p Z és q N. n
(v) Pontosan egy olyan f : R R folytonos függvény létezik, amelyre f (r) = ar minden r Q-ra. Ha a > 1, akkor f (x) = sup{ar | r x, r Q}. Ha a < 1,
Az exponenciális függvény
(vázlatos definíciója)
Adott a (0, ) alap. Ekkor az ax hatványt tetszleges x R-re a következképpen értelmezzük. (i) a0 = 1 és an = an-1 a, ha n N.
1 (ii) a-1 = a és a-n = a-1 , ha n N. (iii) n a = b, ha a = bn (n N). p (iv) a q = q ap , ha p Z és q N. n
(v) Pontosan egy olyan f : R R folytonos függvény létezik, amelyre f (r) = ar minden r Q-ra. Ha a > 1, akkor f (x) = sup{ar | r x, r Q}. Ha a < 1, akkor f (x) = inf{ar | r x, r Q}.
További elemi függvények
További elemi függvények
Definíció: Ha a > 0, a = 1, és x > 0, akkor az x-nek az a alapú logaritmusa
További elemi függvények
Definíció: Ha a > 0, a = 1, és x > 0, akkor az x-nek az a alapú logaritmusa az az y R szám, amelyre ay = x.
További elemi függvények
Definíció: Ha a > 0, a = 1, és x > 0, akkor az x-nek az a alapú logaritmusa az az y R szám, amelyre ay = x. Jelölés: y = loga x.
További elemi függvények
Definíció: Ha a > 0, a = 1, és x > 0, akkor az x-nek az a alapú logaritmusa az az y R szám, amelyre ay = x. Jelölés: y = loga x. Definíció: A tetszleges R kitevj hatványfüggvény
További elemi függvények
Definíció: Ha a > 0, a = 1, és x > 0, akkor az x-nek az a alapú logaritmusa az az y R szám, amelyre ay = x. Jelölés: y = loga x. Definíció: A tetszleges R kitevj hatványfüggvény tetszleges x (0, ) értékre
További elemi függvények
Definíció: Ha a > 0, a = 1, és x > 0, akkor az x-nek az a alapú logaritmusa az az y R szám, amelyre ay = x. Jelölés: y = loga x. Definíció: A tetszleges R kitevj hatványfüggvény tetszleges x (0, ) értékre az x = a loga x kifejezéssel értelmezhet,
További elemi függvények
Definíció: Ha a > 0, a = 1, és x > 0, akkor az x-nek az a alapú logaritmusa az az y R szám, amelyre ay = x. Jelölés: y = loga x. Definíció: A tetszleges R kitevj hatványfüggvény tetszleges x (0, ) értékre az x = a loga x kifejezéssel értelmezhet, ahol a (0, ) és a = 1.
Differenciálszámítás
Differenciálszámítás
Definíció: Legyen f : M R, M R, x, x0 M és x = x0 .
Differenciálszámítás
Definíció: Legyen f : M R, M R, x, x0 M és x = x0 . Ekkor az f (x) - f (x0 ) x - x0
Differenciálszámítás
Definíció: Legyen f : M R, M R, x, x0 M és x = x0 . Ekkor az f (x) - f (x0 ) x - x0 hányadost az f -nek az x és az x0 helyekhez tartozó differenciahányadosának mondjuk.
Differenciálszámítás
Definíció: Legyen f : M R, M R, x, x0 M és x = x0 . Ekkor az f (x) - f (x0 ) x - x0 hányadost az f -nek az x és az x0 helyekhez tartozó differenciahányadosának mondjuk. Definíció: Legyen f : M R, M R, x0 M és > 0 : U (x0 ) M .
Differenciálszámítás
Definíció: Legyen f : M R, M R, x, x0 M és x = x0 . Ekkor az f (x) - f (x0 ) x - x0 hányadost az f -nek az x és az x0 helyekhez tartozó differenciahányadosának mondjuk. Definíció: Legyen f : M R, M R, x0 M és > 0 : U (x0 ) M . Ekkor ha a f (x) - f (x0 ) lim xx0 x - x0
Differenciálszámítás
Definíció: Legyen f : M R, M R, x, x0 M és x = x0 . Ekkor az f (x) - f (x0 ) x - x0 hányadost az f -nek az x és az x0 helyekhez tartozó differenciahányadosának mondjuk. Definíció: Legyen f : M R, M R, x0 M és > 0 : U (x0 ) M . Ekkor ha a f (x) - f (x0 ) lim xx0 x - x0 határérték létezik, akkor az f -et az x0 helyen differenciálhatónak,
Differenciálszámítás
Definíció: Legyen f : M R, M R, x, x0 M és x = x0 . Ekkor az f (x) - f (x0 ) x - x0 hányadost az f -nek az x és az x0 helyekhez tartozó differenciahányadosának mondjuk. Definíció: Legyen f : M R, M R, x0 M és > 0 : U (x0 ) M . Ekkor ha a f (x) - f (x0 ) lim xx0 x - x0 határérték létezik, akkor az f -et az x0 helyen differenciálhatónak, és a határértéket az f -nek az x0 helyhez tartozó differenciálhányadosának nevezzük.
Példa: Legyen f (x) = x2 .
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) lim xx0 x - x0
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim xx0 xx0 x - x0 x - x0
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 = 2x0 . xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 = 2x0 . xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Definíció: Az f : M R függvény azon M M pontjaiban értelmezett f : M R függvényt,
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 = 2x0 . xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Definíció: Az f : M R függvény azon M M pontjaiban értelmezett f : M R függvényt, amelyekben f differenciálható
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 = 2x0 . xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Definíció: Az f : M R függvény azon M M pontjaiban értelmezett f : M R függvényt, amelyekben f differenciálható és f differenciálhányadosa megegyezik f -vel,
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 = 2x0 . xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Definíció: Az f : M R függvény azon M M pontjaiban értelmezett f : M R függvényt, amelyekben f differenciálható és f differenciálhányadosa megegyezik f -vel, az f deriváltjának nevezzük.
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 = 2x0 . xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Definíció: Az f : M R függvény azon M M pontjaiban értelmezett f : M R függvényt, amelyekben f differenciálható és f differenciálhányadosa megegyezik f -vel, az f deriváltjának df nevezzük. Másképpen jelölve dx .
Példa: Legyen f (x) = x2 . Ekkor f (x) - f (x0 ) x2 - x2 0 lim = lim = lim x + x0 = 2x0 . xx0 xx0 x - x0 xx0 x - x0
Definíció: Az f : M R függvény azon M M pontjaiban értelmezett f : M R függvényt, amelyekben f differenciálható és f differenciálhányadosa megegyezik f -vel, az f deriváltjának df nevezzük. Másképpen jelölve dx . Példa (folyt.): f (x) = 2x.
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben,
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban.
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M ,
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 )
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). x-x
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 )
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re,
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re.
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
= limxx0
c-c x-x0
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f (x) = xa (a R, a = 0),
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f (x) = xa (a R, a = 0), akkor f (x) = axa-1 .
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f (x) = xa (a R, a = 0), akkor f (x) = axa-1 . Biz.(csak n N-re):
xn -xn limxx0 x-x00
=
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f (x) = xa (a R, a = 0), akkor f (x) = axa-1 . Biz.(csak n N-re):
xn -xn limxx0 x-x00
=
limxx0 xn-1 + xn-2 · x0 + . . . + x · xn-2 + xn-1 = 0 0
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.:
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f (x) = xa (a R, a = 0), akkor f (x) = axa-1 . Biz.(csak n N-re):
xn -xn limxx0 x-x00
=
limxx0 xn-1 + xn-2 · x0 + . . . + x · xn-2 + xn-1 = nxn-1 . 2 0 0 0
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.: limxx0
f (x)-f (x0 ) x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f (x) = xa (a R, a = 0), akkor f (x) = axa-1 . Biz.(csak n N-re): Példa: Ha f (x) = x7 ,
xn -xn limxx0 x-x00
=
limxx0 xn-1 + xn-2 · x0 + . . . + x · xn-2 + xn-1 = nxn-1 . 2 0 0 0
Tétel: Ha f : M R differenciálható x0 M -ben, akkor folytonos x0 -ban. Biz.: Ha x = x0 és x M , akkor f (x) - f (x0 ) (x = f (x)-f 0 0 ) (x - x0 ). A tétel adódik x-x
f (x)-f (x0 ) limxx0 x-x0 (x
- x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0-ból.
2
Tétel: Ha f (x) = c minden x (a, b)-re, akkor f (x) = 0 minden x (a, b)-re. Biz.: limxx0
f (x)-f (x0 ) x-x0
= limxx0
c-c x-x0
= 0.
2
Tétel: Ha f (x) = xa (a R, a = 0), akkor f (x) = axa-1 . Biz.(csak n N-re):
xn -xn limxx0 x-x00
=
limxx0 xn-1 + xn-2 · x0 + . . . + x · xn-2 + xn-1 = nxn-1 . 2 0 0 0 Példa: Ha f (x) = x7 , akkor f (x) = 7x6 .
Tétel: Ha f (x) = sin x,
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x.
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.:
sin(x+t)-sin x t
=
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.:
sin(x+t)-sin x t
=
sin x -1+cos t t
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.:
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t t t
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = cos x,
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = cos x, akkor f (x) = - sin x.
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = cos x, akkor f (x) = - sin x. Biz.:
cos(x+t)-cos x t
=
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = cos x, akkor f (x) = - sin x. Biz.:
cos(x+t)-cos x t
= cos x -1
t
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = cos x, akkor f (x) = - sin x. Biz.:
cos(x+t)-cos x t
= cos x -1+tcos t
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = cos x, akkor f (x) = - sin x. Biz.:
cos(x+t)-cos x t
= cos x -1+tcos t - sin x sin t t
Tétel: Ha f (x) = sin x, akkor f (x) = cos x. Biz.: t 0.
sin(x+t)-sin x t
= cos x sin t + sin x -1+cos t cos x, ha t t
2
Tétel: Ha f (x) = cos x, akkor f (x) = - sin x. Biz.: t 0.
cos(x+t)-cos x t
= cos x -1+tcos t - sin x sin t - sin x, ha t
2
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben,
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban,
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a).
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a). Biz.: Legyen h = f + g. h (a) =
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a). Biz.: Legyen h = f + g. h(a + t) - h(a) h (a) = lim = t0 t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a). Biz.: Legyen h = f + g. h(a + t) - h(a) h (a) = lim = t0 t f (a + t) + g(a + t) - f (a) - g(a) lim = t0 t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a). Biz.: Legyen h = f + g. h(a + t) - h(a) h (a) = lim = t0 t f (a + t) + g(a + t) - f (a) - g(a) lim = t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim + lim = t0 t0 t t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a). Biz.: Legyen h = f + g. h(a + t) - h(a) h (a) = lim = t0 t f (a + t) + g(a + t) - f (a) - g(a) lim = t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim + lim = t0 t0 t t f (a) + g (a). 2
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a). Biz.: Legyen h = f + g. h(a + t) - h(a) h (a) = lim = t0 t f (a + t) + g(a + t) - f (a) - g(a) lim = t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim + lim = t0 t0 t t f (a) + g (a). 2
Példa: Ha f (x) = x4 + x2 ,
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f + g is differenciálható a-ban, és (f + g) (a) = f (a) + g (a). Biz.: Legyen h = f + g. h(a + t) - h(a) h (a) = lim = t0 t f (a + t) + g(a + t) - f (a) - g(a) lim = t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim + lim = t0 t0 t t f (a) + g (a). 2
Példa: Ha f (x) = x4 + x2 , akkor f (x) = 4x3 + 2x.
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben,
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban,
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a).
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a). Biz.: Legyen h = f . h (a) =
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a). Biz.: Legyen h = f . h(a + t) - h(a) h (a) = lim = t0 t
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a). Biz.: Legyen h = f . h(a + t) - h(a) f (a + t) - f (a) h (a) = lim =lim = t0 t0 t t
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a). Biz.: Legyen h = f . h(a + t) - h(a) f (a + t) - f (a) h (a) = lim =lim = t0 t0 t t f (a + t) - f (a) lim = t0 t
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a). Biz.: Legyen h = f . h(a + t) - h(a) f (a + t) - f (a) h (a) = lim =lim = t0 t0 t t f (a + t) - f (a) lim =f (a). 2 t0 t
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a). Biz.: Legyen h = f . h(a + t) - h(a) f (a + t) - f (a) h (a) = lim =lim = t0 t0 t t f (a + t) - f (a) lim =f (a). 2 t0 t
Példa: Ha f (x) = 3x4 - 2x3 + 5x - 4,
Tétel: Ha R és f : M R differenciálható a M -ben, akkor f is differenciálható a-ban, és (f ) (a) = f (a). Biz.: Legyen h = f . h(a + t) - h(a) f (a + t) - f (a) h (a) = lim =lim = t0 t0 t t f (a + t) - f (a) lim =f (a). 2 t0 t
Példa: Ha f (x) = 3x4 - 2x3 + 5x - 4, akkor f (x) = 12x3 - 6x2 + 5.
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben,
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban,
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a).
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) =
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = h(a + t) - h(a) lim t0 t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - lim
t0
f (a)g(a) t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) lim t0 t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = =
t0
lim
t0
lim lim
t0
t0
lim
h(a + t) - h(a) t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) t f (a + t) - f (a) g(a + t)+ t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = =
t0
lim
t0
lim lim
t0
t0
lim
h(a + t) - h(a) t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) g(a + t)+lim f (a) t0 t t
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) lim t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim g(a + t)+lim f (a) t0 t0 t t f (a)g(a) + f (a)g (a). 2
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) lim t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim g(a + t)+lim f (a) t0 t0 t t f (a)g(a) + f (a)g (a). 2
Példa: f (x) = x4 + x2 , g(x) = sin x.
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) lim t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim g(a + t)+lim f (a) t0 t0 t t f (a)g(a) + f (a)g (a). 2
Példa: f (x) = x4 + x2 , g(x) = sin x. (f g) (x) = (4x3 + 2x)
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) lim t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim g(a + t)+lim f (a) t0 t0 t t f (a)g(a) + f (a)g (a). 2
Példa: f (x) = x4 + x2 , g(x) = sin x. (f g) (x) = (4x3 + 2x) (sin x)
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) lim t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim g(a + t)+lim f (a) t0 t0 t t f (a)g(a) + f (a)g (a). 2
Példa: f (x) = x4 + x2 , g(x) = sin x. (f g) (x) = (4x3 + 2x) (sin x) +(x4 + x2 )
Tétel: Ha f : M R és g : M R differenciálhatóak a M -ben, akkor f · g is differenciálható a-ban, és (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a). Biz.: Legyen h = f g.
h (a) = = = = = h(a + t) - h(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a) lim t0 t f (a + t)g(a + t) - f (a)g(a + t) + f (a)g(a + t)-f (a)g(a) lim t0 t f (a + t) - f (a) g(a + t) - g(a) lim g(a + t)+lim f (a) t0 t0 t t f (a)g(a) + f (a)g (a). 2
Példa: f (x) = x4 + x2 , g(x) = sin x. (f g) (x) = (4x3 + 2x) (sin x) +(x4 + x2 ) (cos x).
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0,
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) =
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) = 1 lim t0 t 1 1 - g(a + t) g(a)
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) = 1 lim t0 t 1 1 g(a) - g(a + t) - = lim t0 tg(a + t)g(a) g(a + t) g(a)
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) = = 1 lim t0 t
t0
1 1 g(a) - g(a + t) - = lim t0 tg(a + t)g(a) g(a + t) g(a) g(a) - g(a + t) t 1 g(a + t)g(a)
lim
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) = = 1 lim t0 t
t0
1 1 g(a) - g(a + t) - = lim t0 tg(a + t)g(a) g(a + t) g(a) g(a) - g(a + t) t 1 g (a) =- 2 g(a + t)g(a) g (a) 2
lim
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) = = 1 lim t0 t
t0
1 1 g(a) - g(a + t) - = lim t0 tg(a + t)g(a) g(a + t) g(a) g(a) - g(a + t) t 1 g (a) =- 2 g(a + t)g(a) g (a) 2
lim
Példa: g(x) =
1 . sin x
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) = = 1 lim t0 t
t0
1 1 g(a) - g(a + t) - = lim t0 tg(a + t)g(a) g(a + t) g(a) g(a) - g(a + t) t 1 g (a) =- 2 g(a + t)g(a) g (a) 2
lim
Példa: g(x) =
1 . sin x
g (x) = - cos x .
Tétel: Ha g : M R differenciálható a M -ben és g(a) = 0, akkor 1 g g (a) (a) = - 2 . g (a)
Biz.: Legyen h = 1/g.
h (a) = = 1 lim t0 t
t0
1 1 g(a) - g(a + t) - = lim t0 tg(a + t)g(a) g(a + t) g(a) g(a) - g(a + t) t 1 g (a) =- 2 g(a + t)g(a) g (a) 2
lim
Példa: g(x) =
1 . sin x
cos g (x) = - sin2x . x
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0,
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) =
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = 1 f· g (a)
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = 1 f· g (a)= f (a) · 1 g (a)
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = 1 f· g (a)= f (a) · 1 g g (a) (a)-f (a) 2 g (a)
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Példa: h(x) = tan x.
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Példa: h(x) = tan x. h (x) =
cos x
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Példa: h(x) = tan x. h (x) =
cos xcos x
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Példa: h(x) = tan x. h (x) =
cos xcos x- sin x
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Példa: h(x) = tan x. h (x) =
cos xcos x- sin x(- sin x)
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Példa: h(x) = tan x. h (x) =
cos xcos x- sin x(- sin x) cos2 x
Tétel: Ha f, g : M R differenciálhatóak a M -ben és g(a) = 0, akkor f g f (a)g(a) - f (a)g (a) (a) = . g 2 (a)
Biz.: Legyen h = f /g.
h (a) = = 1 1 f· (a)= f (a) · g g f (a)g(a) - f (a)g (a) g 2 (a) g (a) (a)-f (a) 2 g (a) 2
Példa: h(x) = tan x. h (x) =
cos xcos x- sin x(- sin x) cos2 x
=
1 . cos2 x
Hasonló témájú dokumentumok
- 2007-11-25 19:54:20
- 2008-12-29 19:27:15
- 2008-12-29 19:32:03
- 2008-12-29 19:32:34
- 2008-12-29 19:24:44
- 2008-05-05 00:51:00
- 2008-12-29 19:35:15
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Add hozzá azokat a tantárgyakat a saját tárgyakhoz, melyeket aktuálisan hallgatsz a félév során. Így megkapod mások üzeneteit akik tantárggyal kapcsolatban írnak, illetve Te magad is írhatsz ezzel kapcsolatban. Írhatsz naptári bejegyzést, kitöltheted a tantárgyi adatlapját és egy tárgy lapján látod azokat a hallgatókat akik szintén felvették ebben a félévben a tárgyat.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
