5. Előadás
Országok listája
HungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek5. Előadás
2007.11.25 19:50:10
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Analízis
Dr. Tasnádi Attila
Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék
2007. október 10.
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye.
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M ,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen.
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A.
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye.
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M ,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , a < xn
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , a < xn és xn a teljesülésébl,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , a < xn és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik,
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , a < xn és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a jobb oldali határértéke az a helyen.
Bal oldali és jobb oldali határértékek
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (-, a) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , xn < a és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a bal oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa-0 f (x) = A. Példa: limx0-0
1 x
= -.
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M (a, ) srsödési helye. Ha bármely olyan a határérték (xn ) sorozatra, amelyre xn M , a < xn és xn a teljesülésébl, limn (f (xn )) = A következik, akkor létezik az f -nek a jobb oldali határértéke az a helyen. Jelölés: limxa+0 f (x) = A.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot. Jelölje (x- ) az n a-nál kisebb és (x+ ) az a-nál nagyobb elemek n részsorozatát.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot. Jelölje (x- ) az n a-nál kisebb és (x+ ) az a-nál nagyobb elemek n részsorozatát. Készen vagyunk, ha valamelyik véges.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot. Jelölje (x- ) az n a-nál kisebb és (x+ ) az a-nál nagyobb elemek n részsorozatát. Készen vagyunk, ha valamelyik véges. T.f.h. mindkett végtelen.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot. Jelölje (x- ) az n a-nál kisebb és (x+ ) az a-nál nagyobb elemek n részsorozatát. Készen vagyunk, ha valamelyik véges. T.f.h. mindkett végtelen. Ekkor > 0 : n0 N :
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot. Jelölje (x- ) az n a-nál kisebb és (x+ ) az a-nál nagyobb elemek n részsorozatát. Készen vagyunk, ha valamelyik véges. T.f.h. mindkett végtelen. Ekkor > 0 : n0 N : n n0 : |f (x- ) - A| < és |f (x+ ) - A| < . n n
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot. Jelölje (x- ) az n a-nál kisebb és (x+ ) az a-nál nagyobb elemek n részsorozatát. Készen vagyunk, ha valamelyik véges. T.f.h. mindkett végtelen. Ekkor > 0 : n0 N : n n0 : |f (x- ) - A| < és |f (x+ ) - A| < . Ezért n n |f (xn ) - A| < csak véges sok n-re sérülhet.
Példa: limx0+0
1 x
= .
Tétel: limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A limxa f (x) = A. Biz.: T.f.h. limxa-0 f (x) = limxa+0 f (x) = A R. Vegyünk egy (xn ) a-hoz tartó sorozatot. Jelölje (x- ) az n a-nál kisebb és (x+ ) az a-nál nagyobb elemek n részsorozatát. Készen vagyunk, ha valamelyik véges. T.f.h. mindkett végtelen. Ekkor > 0 : n0 N : n n0 : |f (x- ) - A| < és |f (x+ ) - A| < . Ezért n n |f (xn ) - A| < csak véges sok n-re sérülhet. Az A = ± esete hasonlóan igazolható. 2
Függvény folytonossága
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye.
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x)
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a),
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen.
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x).
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom,
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos.
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos. Definíció: f : M R folytonos a H M halmazon,
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos. Definíció: f : M R folytonos a H M halmazon, ha minden a H helyen folytonos,
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos. Definíció: f : M R folytonos a H M halmazon, ha minden a H helyen folytonos, továbbá folytonos, ha M -en folytonos.
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos. Definíció: f : M R folytonos a H M halmazon, ha minden a H helyen folytonos, továbbá folytonos, ha M -en folytonos. Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M [a, ) srsödési helye.
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos. Definíció: f : M R folytonos a H M halmazon, ha minden a H helyen folytonos, továbbá folytonos, ha M -en folytonos. Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M [a, ) srsödési helye. Ha limxa+0 f (x)
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos. Definíció: f : M R folytonos a H M halmazon, ha minden a H helyen folytonos, továbbá folytonos, ha M -en folytonos. Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M [a, ) srsödési helye. Ha limxa+0 f (x) és limxa+0 f (x) = f (a),
Függvény folytonossága
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha limxa f (x) és limxa f (x) = f (a), akkor f folytonos az a helyen. Megjegyzés: limxa f (x) = f (limxa x). Példák: polinom, sin és cos. Definíció: f : M R folytonos a H M halmazon, ha minden a H helyen folytonos, továbbá folytonos, ha M -en folytonos. Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M [a, ) srsödési helye. Ha limxa+0 f (x) és limxa+0 f (x) = f (a), akkor f jobbról folytonos az a helyen.
Példák: x [x]
Példák: x [x] és x {x}.
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is.
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az.
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. 2
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. Tétel: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. 2
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. Tétel: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. f folytonos az a helyen 2
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. 2
Tétel: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. f folytonos az a helyen > 0 :
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. 2
Tétel: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. f folytonos az a helyen > 0 : U (a) :
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. 2
Tétel: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. f folytonos az a helyen > 0 : U (a) : x U (a) M :
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. 2
Tétel: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. f folytonos az a helyen > 0 : U (a) : x U (a) M : |f (x) - f (a)| < .
Példák: x [x] és x {x}. Hasonlóan definiálható a balról folytonosság is. Tétel: f : M R folytonos az a M helyen, ha balról és jobbról is az. Biz.: A bal oldali és a jobb oldali határérték egyezségére vonatkozó tétel következménye. 2
Tétel: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. f folytonos az a helyen > 0 : U (a) : x U (a) M : |f (x) - f (a)| < . Biz.: A függvény határértékére vonatkozó megfelel tétel következménye. 2
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen,
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban.
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban.
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon.
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve.
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve. Tétel: f : M R, g : M R és f (M ) M .
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve. Tétel: f : M R, g : M R és f (M ) M . Ha f folytonos az a M R helyen
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve. Tétel: f : M R, g : M R és f (M ) M . Ha f folytonos az a M R helyen és g folytonos f (a)-ban,
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve. Tétel: f : M R, g : M R és f (M ) M . Ha f folytonos az a M R helyen és g folytonos f (a)-ban, akkor g f folytonos a-ban.
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve. Tétel: f : M R, g : M R és f (M ) M . Ha f folytonos az a M R helyen és g folytonos f (a)-ban, akkor g f folytonos a-ban. Biz.: xn a (xn = a)
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve. Tétel: f : M R, g : M R és f (M ) M . Ha f folytonos az a M R helyen és g folytonos f (a)-ban, akkor g f folytonos a-ban. Biz.: xn a (xn = a) f (xn ) f (a)
Tétel: Ha f : M R és g : M R folytonosak az a M R helyen, akkor f + g, f - g és f · g folytonosak a-ban. Ha g(a) = 0, akkor f /g folytonos a-ban. Biz.: A függvények határértékére vonatkozó mveleti szabályok következménye. 2 Köv: A racionális törtfüggvények folytonosak az értelmezési tartományukon. A tan folytonos a + k 2 (k Z) helyektl eltekintve. Tétel: f : M R, g : M R és f (M ) M . Ha f folytonos az a M R helyen és g folytonos f (a)-ban, akkor g f folytonos a-ban. Biz.: xn a (xn = a) f (xn ) f (a) g(f (xn )) g(f (a)). 2
Szakadási helyek
Szakadási helyek
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye.
Szakadási helyek
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha f az a-ban nem folytonos, akkor a az f szakadási helye.
Szakadási helyek
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha f az a-ban nem folytonos, akkor a az f szakadási helye. Az a szakadási helye megszüntethet, ha f -nek van véges határértéke a-ban.
Szakadási helyek
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha f az a-ban nem folytonos, akkor a az f szakadási helye. Az a szakadási helye megszüntethet, ha f -nek van véges határértéke a-ban. Az a nem megszüntethet szakadási hely elsfajú, ha f -nek van véges bal és jobb oldali határértéke a-ban.
Szakadási helyek
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha f az a-ban nem folytonos, akkor a az f szakadási helye. Az a szakadási helye megszüntethet, ha f -nek van véges határértéke a-ban. Az a nem megszüntethet szakadási hely elsfajú, ha f -nek van véges bal és jobb oldali határértéke a-ban. A bal és a jobb oldali határértékek különbségének abszolút értéke az f ugrása a-ban.
Szakadási helyek
Definíció: Legyen M R, f : M R és a M az M srsödési helye. Ha f az a-ban nem folytonos, akkor a az f szakadási helye. Az a szakadási helye megszüntethet, ha f -nek van véges határértéke a-ban. Az a nem megszüntethet szakadási hely elsfajú, ha f -nek van véges bal és jobb oldali határértéke a-ban. A bal és a jobb oldali határértékek különbségének abszolút értéke az f ugrása a-ban. Ha a-ban f -nek nem létezik valamelyik oldali véges határértéke, akkor a-ban f -nek másodfajú szakadása van.
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
3x2 - 6x + 3 x2 - 1
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 3x2 - 6x + 3 =3 2-1 x (x - 1)(x + 1)
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen.
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 3 x+1
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1 f -nek másodfajú szakadása van x = -1-ben.
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1 f -nek másodfajú szakadása van x = -1-ben. Példa: f (x) = {x}.
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1 f -nek másodfajú szakadása van x = -1-ben. Példa: f (x) = {x}. f folytonos az R - Z halmazon
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1 f -nek másodfajú szakadása van x = -1-ben. Példa: f (x) = {x}. f folytonos az R - Z halmazon és az x Z helyeken elsfajú szakadása van.
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
(x - 1)2 x-1 3x2 - 6x + 3 =3 =3 , ha |x| = 1. 2-1 x (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1 f -nek másodfajú szakadása van x = -1-ben. Példa: f (x) = {x}. f folytonos az R - Z halmazon és az x Z helyeken elsfajú szakadása van. Dirichlet-féle függvény: f (x) = 0, ha x Q,
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
3x2 - 6x + 3 (x - 1)2 x-1 =3 =3 , ha |x| = 1. x2 - 1 (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1 f -nek másodfajú szakadása van x = -1-ben. Példa: f (x) = {x}. f folytonos az R - Z halmazon és az x Z helyeken elsfajú szakadása van. Dirichlet-féle függvény: f (x) = 0, ha x Q, és f (x) = 1, ha x R - Q.
Példa: f (x) =
3x2 -6x+3 , x2 -1
ha |x| = 1; f (x) = 5, ha |x| = 1.
3x2 - 6x + 3 (x - 1)2 x-1 =3 =3 , ha |x| = 1. x2 - 1 (x - 1)(x + 1) x+1 Tehát limx1 f (x) = 0, és így f -nek megszüntethet szakadás van az x = 1 helyen. Mivel x-1 1 3 =3-6 , x+1 x+1 f -nek másodfajú szakadása van x = -1-ben. Példa: f (x) = {x}. f folytonos az R - Z halmazon és az x Z helyeken elsfajú szakadása van. Dirichlet-féle függvény: f (x) = 0, ha x Q, és f (x) = 1, ha x R - Q. Mindenütt másodfajú szakadása van.
Folytonos függvények tulajdonságai
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0,
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0.
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)).
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M :
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : f (a) - < f (x) < f (a) + .
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : 0
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : 0
Köv: Legyenek f : M R és g : M R folytonosak a-ban.
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : 0
Köv: Legyenek f : M R és g : M R folytonosak a-ban. Ha f (a) < g(a) vagy f (a) > g(a),
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : 0
Köv: Legyenek f : M R és g : M R folytonosak a-ban. Ha f (a) < g(a) vagy f (a) > g(a), akkor rendre U (a) : x U (a) M : f (x) < g(x)
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : 0
Köv: Legyenek f : M R és g : M R folytonosak a-ban. Ha f (a) < g(a) vagy f (a) > g(a), akkor rendre U (a) : x U (a) M : f (x) < g(x) vagy f (x) > g(x).
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : 0
Köv: Legyenek f : M R és g : M R folytonosak a-ban. Ha f (a) < g(a) vagy f (a) > g(a), akkor rendre U (a) : x U (a) M : f (x) < g(x) vagy f (x) > g(x). Biz.: Alkalmazzuk az elz tételt a g(x) - f (x)
Folytonos függvények tulajdonságai
Tétel: Ha f : M R folytonos a-ban, és f (a) > 0, akkor U (a) : x U (a) M : f (x) > 0. Biz.: Legyen (0, f (a)). Ekkor U (a) : x U (a) M : 0
Köv: Legyenek f : M R és g : M R folytonosak a-ban. Ha f (a) < g(a) vagy f (a) > g(a), akkor rendre U (a) : x U (a) M : f (x) < g(x) vagy f (x) > g(x). Biz.: Alkalmazzuk az elz tételt a g(x) - f (x) vagy az f (x) - g(x) függvényre. 2
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos,
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a)
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b).
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos.
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos.
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat,
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n,
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n, és így limn f (xn ) = .
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n, és így limn f (xn ) = . Mivel (xn ) korlátos,
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n, és így limn f (xn ) = . Mivel (xn ) korlátos, létezik konvergens (xin ) részsorozata
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n, és így limn f (xn ) = . Mivel (xn ) korlátos, létezik konvergens (xin ) részsorozata A [a, b] határértékkel.
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n, és így limn f (xn ) = . Mivel (xn ) korlátos, létezik konvergens (xin ) részsorozata A [a, b] határértékkel. f folytonossága miatt f (xin ) f (A) R,
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n, és így limn f (xn ) = . Mivel (xn ) korlátos, létezik konvergens (xin ) részsorozata A [a, b] határértékkel. f folytonossága miatt f (xin ) f (A) R, de (xn ) bármely végtelen részsorozata esetén (f (xjn ))-nek végtelenhez kellene tartania.
Megjegyzés: f : [a, b] R folytonos, ha (a, b)-n folytonos, limxa+0 f (x) = f (a) és limxb-0 f (x) = f (b). Tétel: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor korlátos. Biz.: T.f.h. f felülrl nem korlátos. Ekkor van olyan (xn ) [a, b]-beli elemekbl álló sorozat, amelyre f (xn ) > n, és így limn f (xn ) = . Mivel (xn ) korlátos, létezik konvergens (xin ) részsorozata A [a, b] határértékkel. f folytonossága miatt f (xin ) f (A) R, de (xn ) bármely végtelen részsorozata esetén (f (xjn ))-nek végtelenhez kellene tartania. Hasonlóan belátható, hogy f alulról korlátos. 2
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0,
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b).
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0. T.f.h. f (x ) > 0.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0. T.f.h. f (x ) > 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) > 0,
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0. T.f.h. f (x ) > 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) > 0, és ezért x nem lehetne H fels határa.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0. T.f.h. f (x ) > 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) > 0, és ezért x nem lehetne H fels határa. T.f.h. f (x ) < 0.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0. T.f.h. f (x ) > 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) > 0, és ezért x nem lehetne H fels határa. T.f.h. f (x ) < 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) < 0,
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0. T.f.h. f (x ) > 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) > 0, és ezért x nem lehetne H fels határa. T.f.h. f (x ) < 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) < 0, és x megint nem lehetne H fels határa.
Bolzano-tétel: Ha f : [a, b] R folytonos és f (a)f (b) < 0, akkor x [a, b] : f (x ) = 0. Biz.: Nézzük az f (a) < 0 és f (b) > 0 esetet. Legyen H = {x [a, b] | f (x) < 0}. Nyilván a H és b a H fels korlátja. Legyen x = sup H (a, b). Belátjuk, hogy f (x ) = 0. T.f.h. f (x ) > 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) > 0, és ezért x nem lehetne H fels határa. T.f.h. f (x ) < 0. Ekkor U (x ) : x U (x ) : f (x) < 0, és x megint nem lehetne H fels határa. Az f (a) > 0 és f (b) < 0 eset igazolásához nézzük a -f függvényt. 2
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon,
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n.
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0.
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos,
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz.
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális.
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális. Legyen f (a) < f (b)
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális. Legyen f (a) < f (b) és c (f (a), f (b)).
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális. Legyen f (a) < f (b) és c (f (a), f (b)). Ekkor g(x) = f (x) - c folytonos,
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális. Legyen f (a) < f (b) és c (f (a), f (b)). Ekkor g(x) = f (x) - c folytonos, és g(a)g(b) < 0.
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális. Legyen f (a) < f (b) és c (f (a), f (b)). Ekkor g(x) = f (x) - c folytonos, és g(a)g(b) < 0. Tehát Bolzano tétele alapján x [a, b] : g(x ) = 0,
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális. Legyen f (a) < f (b) és c (f (a), f (b)). Ekkor g(x) = f (x) - c folytonos, és g(a)g(b) < 0. Tehát Bolzano tétele alapján x [a, b] : g(x ) = 0, azaz f (x ) = c.
Köv.: Ha f : I R folytonos, és nincs zérushelye az I intervallumon, akkor állandó eljel I-n. Biz.: T.f.h. x, y I : f (x)f (y) < 0. Ekkor a Bolzanotétel szerint az [x, y] vagy az [y, x] intervallumban f -nek van zérushelye. 2 Köv.: Ha f : [a, b] R folytonos, akkor f bármely f (a) és f (b) közé es értéket felvesz. Biz.: f (a) = f (b) triviális. Legyen f (a) < f (b) és c (f (a), f (b)). Ekkor g(x) = f (x) - c folytonos, és g(a)g(b) < 0. Tehát Bolzano tétele alapján x [a, b] : g(x ) = 0, azaz f (x ) = c. Az f (a) > f (b) eset hasonlóan igazolható. 2
Hasonló témájú dokumentumok
Egyelőre még egyetlen hasonló témájú file sincs feltöltve a rendszerbe
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Naptári bejegyzéseket vehettek fel egy tantárggyal kapcsolatban, vagy az egész szakotok számára. Például:
- Zh időpontok
- Gólyabál időpontja
- Házi leadási határidő
- Tanítási szünetek
- stb ...
Kattints a Naptárra, majd a jobb felső részen levő Új naptári bejegyzés felvétele linkre.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
