Pókelmélet

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGazdaságtudományi KarGazdálkodásiKonjunktúrakutatásJegyzetekPókelmélet

Konjuktúrakutatás

1. A kaotikus viselkedés lehetsége a pókháló modellben
1.1 Az idtényez figyelembevétele a közgazdaságtanban Mivel a kaotikus mozgás a dinamikus rendszerek jellemzje, nyilvánvaló, hogy káoszt olyan közgazdasági modellekben érdemes keresni, amelyek figyelembe veszik az idtényezt, a gazdasági folyamatok idbeli lefutását. A közgazdasági gondolkodás hosszú ideig nem számolt a jelenségek idbeli alakulásával, kizárólag az egyensúlyi helyzetre koncentrált. Az egyensúlyt pedig, mint a gazdaság legideálisabb állapotát tárta elénk, amely a piaci automatizmusok révén mindig megvalósul. Elhanyagolta azt a kérdést, hogy az egyensúly hogyan jön létre, s hogy miként áll helyre, ha a gazdaság kilendül az egyensúlyi helyzetbl. A nagy gazdasági válság idszakában a közgazdászok rádöbbentek, hogy a piaci mechanizmus nem olyan tökéletes, mint azt korábban hitték. Elkezdték komolyabban keresni az okát, hogy a tkés gazdaság automatizmusai miért nem képesek megoldani a gazdasági élet éget problémáit. Rövidesen a gazdasági folyamatok idbeli lefolyását olyan tényeznek kezdték tekinteni, amely akadályozza, hogy a ,,láthatatlan kéz" elvezesse a gazdaságot az optimális állapotba. ,,Rosenstein-Rodan 1929-ben és 1934-ben megjelent tanulmányában rámutat arra, hogy az idtényez figyelmen kívül hagyása folytán az egyensúlyi elmélet képviselinek ábrázolásában az egyensúly megbomlásakor a helyreállítása irányában ható erk azonnal mködésbe lépnek, a kereslet kínálat hatása az árra, az ár hatása a kereslet kínálatra azonnal jelentkezik, és azonos reakciósebességgel. Hangsúlyozza, hogy a valóságban id kell ahhoz, míg eme ellensúlyozó tényezk mködni kezdenek, s reakciósebességük is különböz. Emiatt az egyensúly megbomlásakor az egyensúly tartósan felborulhat. Éppen ezért az egyensúlyi helyzet vizsgálatán kívül arra is figyelmet kell fordítani, hogy mi történik akkor, amikor az egyensúly még nem állt helyre."Mátyás[3]. Az idtényez figyelembe vétele révén került be a közgazdaságtanba a statika és a dinamika fogalma. Ezen fogalmak értelmezésével kapcsolatban kétféle álláspont létezik. Az egyik szerint, amelynek a legfbb képviselje Harrod a statika és a dinamika a gazdaság, a vizsgált jelenség jellegére utal. A statikus értelemben vett gazdaságban hiányoznak a növekedés tényezi, adott a népesség, a tkeállomány, a technikai fejlettség szintje, a fogyasztói ízlés, az újratermelés azonos szinten megy végbe. A gazdaság állapotát leíró változók ingadozhatnak, de nem lehet tartós lefelé vagy felfelé irányuló trendjük. Dinamika esetén mködnek a gazdaság növekedési tényezi, bvített vagy szkített újratermelés megy végbe. A vizsgálat a fejldéssel együtt járó tartós tendenciákra, a növekedés ütemére koncentrál. Ugyanilyen értelemben a statika és dinamika fogalma mellett használatos még a stacioner valamint a fejld gazdaság kifejezés. A másik értelmezés, amelyet Ragnar Frisch dolgozott ki statikán és dinamikán vizsgálati módszert ért. Ilyen értelemben stacioner és fejld gazdaságot egyaránt lehet vizsgálni statikus és dinamikus eszközökkel. A statikus módszer állapotelemzést jelent, s az egyensúlyi helyzetre koncentrál. Valamennyi változó ugyanarra az idpontra vonatkozik, s minden változásra végtelenül gyorsan reagál. Fejld gazdaság statikus elemzése a gazdaságot egyensúlyi helyzetek sorozataként mutatja be anélkül, hogy kiterjedne az egyik egyensúlyból a másikba való átmenet folyamatának vizsgálatára. Ezzel szemben a dinamikus elemzés folyamatelemzés, az egymást követ állapotokat láncszeren kapcsolja össze, a változók különböz idpontokra vonatkoznak, az egyenletek ezek között létesítenek kapcsolatot. A vizsgálat nem tételez fel végtelen reakciósebességet, s számol azzal, hogy a változók 1

Konjuktúrakutatás

reakciósebessége eltér. Mindez lehetvé teszi a változók értékeinek egymásból következ alakulásának, idösvényének, trajektóriájának meghatározását. Samuelson a dinamikus elemzés két formáját különbözteti meg. A periódus- és a rátaelemzést. ,,A perióduselemzés a vizsgált idszakot egymás utáni véges nagyságú periódusokra bontja, a változók az id múlásával nem folyamatosan változnak, hanem a periódus végén ugrásszeren. Nem lehet ket az id szerint deriválni. A felhasznált matematikai apparátus a differenciaegyenlet. A rátaelemzés feltételezi, hogy a változók az id folyamán folyamatosan változnak, az id szerint lehet ket deriválni. Matematikai apparátusa a differenciálegyenlet, amely valamely változó és deriváltja között létesít függvényszer kapcsolatot. A választás periódus- vagy rátaelemzés között teljesen a kényelem dolga, ugyanis, ha a periódust elég rövid idtartamúnak vesszük, közeledhetünk a rátaelemzéshez, és elhanyagolhatjuk eme periódusokon belüli viszonyokat."Mátyás[3] 1.2 A klasszikus pókhálómodell A pókhálómodell alkalmazásával történ vizsgálat dinamikus elemzést jelent, amely stacioner gazdaságot tételez fel. Stacioner gazdaság estén a termelés hosszú távú színvonala változatlan, nincs lefelé vagy felfelé irányuló trendje. A modell tehát feltételezi, hogy hosszútávon változatlan keresleti és kínálati függvény érvényesül, amelynek egyensúlyi pontja körül ingadozik az ár és a termelt mennyiség. A vizsgálat arra helyezi a hangsúlyt, hogy mi történik az egyensúly megbomlásakor az ún. átmeneti idszakban, az egyensúly az áraknak és mennyiségeknek milyen sorozatán keresztül áll helyre, s helyreáll-e egyáltalán. A modell alapjait 1930-ban egymástól függetlenül dolgozta ki Henry Schultz, Jan Tinbergen és Umberto Ricci. Jelents mértékben fejlesztette tovább Mordecai Ezékiel. A modell alapja, hogy a kereslet gyorsabban képes reagálni az árváltozásra, mint a kínálat. A modell feltételezi, hogy a kínálat rövidtávon teljesen rugalmatlan. A vizsgálat során az idszakokat, periódusokat olyan rövidre kell választani, amelyen belül a termelk a kínálat összmennyiségét nem tudják megváltoztatni. Így a kínálat csak egy idszakkal lemaradva képes reagálni az árváltozásra, míg a kereslet reakciósebességérl feltételezzük, hogy végtelenül gyors. Egyensúlytalanság esetén adott keresleti és kínálati függvény mellett az egyensúly egyik idszakról a másikra akkor állna helyre, ha a termelk ismernék az egyensúlyi árat, és ahhoz igazodva a következ idszakban egyensúlyi mennyiséggel jelennének meg a piacon. Mivel ezt nem ismerik a jelenlegi, nem egyensúlyi árhoz igazítják a termelést, így a következ idszakban nem egyensúlyi mennyiséget visznek a piacra, amelyet nem egyensúlyi áron értékesítenek. A következ idszakra vonatkozó termelési döntéseiket pedig ezen új, szintén nem egyensúlyi árra alapozzák. Ezt a dinamikát az q s t = S ( pt -1 )

qd t = qst q d t = D( pt )

1.1

egyenletrendszer írja le, (ahol q d t és q s t a kereslet és a kínálat mennyiségét, pt a termék árát jelöli a t idszakban, D és S a keresleti és a kínálati függvény). A középs egyenlet nem jelenti a kereslet és kínálat hagyományos értelemben vett egyensúlyát, hiszen az egyenl mennyiségekhez tartozó árak különböz idszakokra vonatkoznak. Az egyenletet piactisztító egyenletként (market clearing equation) is emlegetik, azt fejezi ki, hogy a termelk adott idszakban a teljes megtermelt mennyiséget értékesítik. Az az ár, amelyen ezt megtehetik a
2

Konjuktúrakutatás

keresleti függvény alapján határozható meg, s ez lesz az adott idszakban érvényesül piaci ár. A 1.1 ábrán Tinbergen féle nyílsémával szemléltetjük a különböz idszakokra vonatkozó változók láncszer kapcsolatát. p

qd

qS
t-1 t t+1 t+2 t+3

1.1 ábra A pókháló modell Tinbergen-féle nyílsémája

Monoton keresleti és kínálati függvények esetén alapveten háromféle mozgás lehetséges. A 1.2 ábra a lineáris függvények mellett mutatja be ezeket. Az ábrákon látható, hogy a termelk az els idszakban az egyensúlyinál nagyobb Q1 mennyiséggel jelennek meg a piacon, amelyet az egyensúlyinál alacsonyabb p1 áron értékesítenek. Azt remélve, hogy a következ idszakban is ez az ár érvényesül az egyensúlyinál alacsonyabb, Q2 mennyiséget termelnek, amelyet az egyensúlyinál magasabb p2 áron adnak el, amit termelési döntéseiknél alapul véve a következ idszakban ismét az egyensúlyinál magasabb mennyiséget visznek piacra, és így tovább. Ennek során a termelés és az ár idsora három különböz viselkedést mutathat. A legfels ábrán látható esetben a kereslet rugalmasabb, mint a kínálat, ekkor az egyensúlyi pont stabil fixpont, az id elrehaladtával a rendszer a fixpont felé konvergál csillapodó oszcillációval a fixpont körül. A középs ábrán a kínálati függvény a rugalmasabb, ekkor instabil fixponttal találkozunk, a rendszer egyre távolabb kerül az egyensúlyi helyzettl, ezt nevezik robbanó oszcillációnak. A harmadik lehetséges dinamika a legalsó ábrán látható. A keresleti és kínálati függvény azonos meredekség. Ekkor az egyensúly marginálisan stabil. A mennyiség és az ár változatlan amplitúdóval ingadozik az egyensúlyi helyzet körül. Az els esetben idvel helyreáll az egyensúly, az utóbbi kett esetben erre nem számíthatunk.

3

Konjuktúrakutatás

1.2 ábra A pókháló mozgás

4

Konjuktúrakutatás

Monoton keresleti és kínálati függvények esetén, ha legalább az egyik függvény nem lineáris a változatlan amplitúdójú ciklikus mozgás úgy is létrejöhet, hogy az nem marginálisan stabil fixpontnak, hanem stabil p=2 periódusú határciklusnak az eredménye, ekkor a rendszer a határciklusú attraktor felé tart, majd idvel, ha küls hatás nem éri állandósul a változatlan amplitúdójú mozgás. A 1.1 egyenletrendszerbl az áralakulásra felírható a 1.2 pt +1 = D -1 ( S ( pt )) differenciaegyenlet, amelynek fixpontja, (az egyensúlyi ár) a p e = D -1 ( S ( p e )) egyenletbl határozható meg. A fixpont stabil, ha 1.2 jobb oldalának a p e fixpontban vett p szerinti differenciálhányadosára teljesül, hogy dD -1 ( S ( p)) <1 dp p= p
e

A differenciálszámítás láncszabálya szerint: dD -1 ( S ( p )) dD -1 ( S ( p )) dS ( p ) = , dp dS ( p ) dp ahol a jobb oldalon szerepl szorzat els tényezje egy olyan függvény, amelynek értéke a p e egyensúlyi pontban nem más, mint a D( p) keresleti függvény egyensúlyi árnál vett meredekségének a reciproka. Így a stabilitás általános kritériuma felírható a S ' ( pe ) -1 < <1 D' ( pe ) alakban. Ezzel általánosan is igazoltuk, amit lineáris függvények esetén a grafikus ábrákról leolvashattunk. A 1.1 egyenletrendszer által leírt dinamikus rendszer stabil, ha a keresleti és kínálati függvények metszéspontjában a keresleti függvény meredekségének abszolút értéke nagyobb, mint a kínálati függvény meredekségének abszolút értéke, azaz ha az egyensúlyi pont környezetében a kereslet érzékenyebb az árváltozásra, mint a kínálat.
1.3 Kaotikus dinamika a pókhálómodellben Láttuk, hogy monoton keresleti és kínálati függvény mellett a pókhálómodell három féle idbeli lefutást mutathat. De lehetség van arra, hogy a modellt kissé módosítva, az a logisztikus leképezés esetében látott sokrét, bonyolult dinamikát mutasson. Ahhoz, hogy a modell kaotikus mozgást írhasson le, olyan változtatásokat kell bevezetni a hagyományos modellbe, hogy annak egyenleteibl levezethet legyen egy olyan xt +1 = f ( xt ) differenciaegyenletet, amelyben f (x) a logisztikus leképezés hasonlóan, rendelkezik helyi szélsértékkel, amely elvégzi a nyújtást és az összehajtást, és ezáltal lehetség nyílik arra, hogy a modell meghatározott paraméterértékek mellett különböz periódusidej határciklusú attraktorokhoz, valamint különféle sávszerkezet különös attraktorokhoz konvergáló trajektóriákat írjon le. Az elz fejezetben tárgyalt monoton keresleti és kínálati függvények esetén, a kérdéses differenciaegyenlet pt +1 = D -1 ( S ( pt ))

alakú, ahol a D -1 o S függvény monoton csökken, nincs helyi szélsértéke, ezért kaotikus mozgás, és p=2-nél hosszabb periódusú ciklikus mozgás nem lehetséges. A függvény monoton csökkenése az oka, hogy stabil fixpont esetén a rendszer két oldalról, csillapodó oszcillációval 5

Konjuktúrakutatás

közelít a fixponthoz. Az egyik módja, hogy a modellt alkalmassá tegyük kaotikus mozgás leírására, hogy feloldjuk a keresleti és kínálati függvények monotonitásának követelményét, vagyis megengedjük a visszakanyarodó keresleti, illetve kínálati függvényt. Artstein (1983), Jensen és Urban (1984), Lichtenberg és Ujihara, valamint Day és Hanson (1991) mutatta ki, hogy ha a keresleti, illetve kínálati függvények közül legalább az egyik nem-monoton megvalósulhat az árak kaotikus mozgása. A legtöbb esetben a visszakanyarodó keresleti, illetve kínálati függvény távol esik a valóságtól, ezért továbbra is tételezzük fel, a függvények monotonitását. Monoton függvények esetén is lehetséges a kaotikus viselkedés, ha feltételezzük, hogy a termelk árvárakozásaikat az ún. adaptív modell szerint alakítják. Az adaptív várakozásokat a pókháló-modellbe lineáris keresleti és kínálati függvények mellett Nerlove (1958) vezette be, amelynek lényege, hogy az árvárakozások a t +1 = (1 - w) t + wpt 0 w 1 1.3 képlet szerint alakulnak, ahol t a várt, pt a tényleges árat jelöli a t idszakban. Tehát az új várt ár a korábbi várt ár és a tényleges ár súlyozott számtani átlaga, a w paraméter a várakozások súlyozási tényezje (expectations weight factor). A hagyományos modellben w = 1 , ekkor: t +1 = pt , amit a naiv várakozások esetének is neveznek. w minél kisebb, a termelk annál kisebb súllyal veszik figyelembe termelési döntéseiknél a megvalósult árat, azaz annál kisebb a reakciósebességük. Ha w = 0 t +1 = t vagyis a várakozások teljesen érzéketlenek a megvalósult árakra. A várakozások adaptív modelljének beiktatása lehetséget biztosít, hogy anélkül lassítsuk a kínálat reakciósebességét, hogy az árak és mennyiségek alakulását egynél magasabb rend differenciaegyenlet írná le. Az adaptív várakozásokat bevezetve sokféle olyan monoton keresleti és kínálati függvény létezik, amelyek kaotikus viselkedést eredményeznek a pókháló-modellben. Finkenstädt és Kuhbier (1992) igazolta, hogy kaotikus viselkedés lehetséges a pókhálómodellben adaptív várakozások, lineáris kínálati és nem-lineáris monoton csökken keresleti függvény mellett. A továbbiakban a lineáris keresleti és az S alakú kínálati függvény esetét fogjuk részletesen tárgyalni. Ezt a modellt elemezte: Carl Chiarella (1988), Cars H. Hommes (1994), valamint Jason A. C. Gallas és Helena E. Nusse (1996). Az általuk vizsgált modell a következ egyenletekkel írható le. A lineáris keresleti függvény ez esetben: q d t = b0 + b1 pt b0 > 0 , b1 < 0 1.4 A kínálati függvény pedig: q s t = f ( t ) , 1.5 ahol az f: függvény S alakú, azaz szigorúan monoton növekv, és egyetlen inflexiós pontja van, amelytl balra alulról nézve konvex, jobbra pedig konkáv. Az egyszerség kedvéért tételezzük fel, hogy f ' ( ) 0 , ha . A kínálati függvény látható a 1.3 ábrán.

6

Konjuktúrakutatás qS

1.3 ábra Nem-lineáris kínálati függvény

A termelk minden idszakban a teljes megtermelt mennyiséget értékesítik, azaz itt is érvényesül a piactisztító egyenlet: b0 + b1 pt = f ( t ) 1.6 A modell Tinbergen féle nyílsémáját mutatja a 1.4 ábra. A nyílséma által szemléltetett folyamat a következ: adott idszakra vonatkozó árvárakozásaikat a termelk a megelz idszakra vonatkozó várakozásaik és a tényleges árak alapján az adaptív modell szerint formálják.

p

qd qS



t-1

t

t+1

t+2

t+3

1.4 ábra Tinbergen féle nyílséma

7

Konjuktúrakutatás

Ebbl kiindulva a kínálati függvénynek megfelel mennyiséget termelnek és visznek piacra, ahol a teljes termékmennyiséget a keresleti függvénybl levezethet áron tudják eladni. A kialakult ár újra alapul szolgál a következ idszakra várt ár meghatározásához. Természetesen az idszakok határait a termelési ciklus jelöli ki úgy, hogy egy adott idszakon belül a kínálat teljesen rugalmatlan. Ha a 1.6 egyenletbl kifejezzük pt -t, és behelyettesítünk 1.3-ba eljutunk a t +1 = g ( t ) 1.7 elsrend differenciaegyenlethez, ahol bw wf ( ) g ( ) = - 0 + (1 - w) + 1.8 b1 b1 Vizsgáljuk meg milyen lehet a g függvény alakja. g deriváltját wf ' ( ) g ' ( ) = (1 - w) + b1 egyenlvé téve nullával, és az egyenletet átrendezve az 1 f ' ( ) = -b1 ( - 1) 1.9 w összefüggéshez jutunk (1.5 ábra), vagyis a g ( ) függvénynek azon értékeknél van szélsértéke, ahol 1.9 teljesül. Az ábráról látszik, hogy a g függvénynek maximum két szélsértéke lehet. Az ábrán látható görbe tulajdonképpen egy harang alakú görbe els síknegyedbe es része, amely a végtelenben nullához tart. A vízszintes egyenes és a haranggörbe kölcsönös helyzetétl függen négy esetet különböztethetünk meg. Az els esetben (a 1.5 ábrán is ez látható) 1 f ' (0) < -b1 ( - 1) < f ' ( inf ) , w ahol inf a kínálati függvény inflexiós helye, ekkor g -nek két szélsértéke van a 1 és 2 helyen, ahol az egyenes metszi a görbét. g második deriváltjának eljele dönti el, hogy ezen helyeken a függvénynek maximuma vagy minimuma van-e:

8

Konjuktúrakutatás

f ' ( )

- b1 (

1 - 1) w

f ' ( )

1
1.5 ábra f deriváltja

2



w f ' ' ( ) b1 1 -nél f ' ' ( ) pozitív, hiszen az els derivált itt szigorúan monoton növekv, a keresleti függvény meredeksége, b1 negatív így g ' ' is negatív, ezért a g függvénynek 1 -nél lokális maximuma van. 2 helyen a kínálati függvény második deriváltja negatív, így g ' ' pozitív, a függvénynek helyi minimuma van. g ' ( ) -nek egyetlen szélsértéke van a inf helyen, ezért f -hez hasonlóan egyetlen inflexiós pontja van. (1.6 b) ábra. A két szélsérték közül bármelyik elvégezheti adott esetben az összehajtást, így ebben az esetben lehetséges kaotikus mozgás. A második eset, amikor 1 f ' ( inf ) -b1 ( - 1) w Ekkor az egyenes a görbe felett helyezkedik el, így g -nek nincs szélsértéke, a függvény monoton növekv, így kaotikus viselkedés nem lehetséges. Mivel a függvény növekv, ha a rendszer fixponthoz konvergál az nem két oldalról (csillapodó oszcilláció), hanem egy oldalról megy végbe. A harmadik estben 1 0 < -b1 ( - 1) f ' (0) w Ekkor egyetlen metszéspontot találunk, a lokális maximum g értelmezési tartományán kívül esik, de a minimumhelyre ekkor is számíthatunk, s az meghatározott esetekben káoszt is eredményezhet. A negyedik eset, amikor 1 0 = -b1 ( - 1) w g''= 9

Konjuktúrakutatás

Ez az eset áll el naiv várakozások esetén ( w = 1 ). Lásd 1.6 a) ábra. Ekkor egyetlen lokális szélsértéke sincs g -nek, s a függvény monoton fogyó, ezért kaotikus viselkedés nem lehetséges, csak csillapodó oszcilláció, p=2 periódusú határciklus, vagy egyre nagyobb amplitúdójú, robbanó oszcilláció. a)
w=1 b) w<1

g ( )

g ( )



1
1.6 ábra A g függvény w=1 és w<1 esetben.

2



A 1.6 ábra szerint, ahová a 45° -os egyenest is berajzoltuk, a t +1 = g ( t ) differenciaegyenletnek egyetlen fixpontja van. Ezt bizonyítja az is, hogy a bw wf ( ) = - 0 + (1 - w) + 1.10 b1 b1 bw w egyenletet 0-ra rendezve kapjuk a 0 = - 0 - w + f ( ) egyenletet, amelynek jobb oldala b1 b1 nek szigorúan monoton csökken függvénye, így az egyenletnek maximum egy megoldása lehet, vagyis a minimumhelyet (ha van) a függvény növekv szakasza követi, de az egyenest még egyszer nem fogja metszeni. A fixpont stabilitásának feltétele, hogy teljesüljön az wf ' ( e ) - 1 < g ' ( e ) (1 - w) + <1 b1 egyenltlenség, ahol e a 1.10 egyenlet megoldásaként adódó fixpont. Ezt átrendezve kapjuk a 2 f ' ( e ) 1- < <1 w b1 összefüggést. Ha w = 1 a hagyományos pókháló modellnél megismert stabilitási feltételhez 2 jutunk. Vegyük észre, hogy w -t csökkentve, egyre szélesebb lesz az (1 - ;1) intervallum, azaz w adott keresleti és kínálati függvények mellett w minél kisebb annál valószínbb, hogy stabil fixpontot találunk.

10

Konjuktúrakutatás

A g ( ) függvény további elemzéséhez induljunk ki abból, hogy az f S alakú függvény korlátos, fels korlátja ( lim f ( ) ) képviseli a maximális termelési mennyiséget, ezt jelöljük k

val. Alsó korlátja a 0 , hiszen negatív termelési mennyiség nem értelmezhet. A g függvény képletébe f helyére helyettesítsük alsó és fels korlátját, ezzel két párhuzamos egyenes egyenletéhez jutunk: bw e1 = - 0 + (1 - w) t b1
e2 = w (k - b0 ) + (1 - w) t b1

g ( ) görbéje ezen egyenesek között helyezkedik el (1.7 ábra). Az egyenesek meredeksége 1 - w , vagyis egynél kisebb, ezért g meredeksége (abszolút értékben) csak a két szélsérték között lehet egynél nagyobb. Ezért a nyújtás és összehajtás mechanizmusa sajátosan érvényesül. f ( )
k

a)

t +1

b)

e1

g ( )
e2

inf
1.7 ábra az f és a g függvény



inf

t

Például a minimum esetében, a leképezés csak a minimumhelytl balra es [0; 2 ] intervallum egy részét nyújtja meg (feltéve, hogy itt a függvény egynél nagyobb meredekség), a minimumtól jobbra es [ 2 ;+ ) intervallumot zsugorítja, majd a nyújtott és zsugorított szakaszokat hajtja össze, de ettl még lehetséges a kaotikus mozgás. A b) ábrán e2 átmegy az origón, ez akkor lehetséges, ha k = b0 -lal, vagyis a kínálat fels határa megegyezik azzal a mennyiséggel, amit a vevk maximum vásárolnának. Ha k > b0 az e2 egyenes lefelé tolódik, ekkor elképzelhet, hogy a g függvény negatív értékeket is felvesz, ami sérti a visszatérítési mechanizmust, mivel a függvény a [0; + ) intervallumot nem önmagára vagy önmagába képezi le. Ha g nem vesz fel negatív értékeket, és káoszt találunk tulajdonképpen az egész [0; + ) intervallum a különös attraktor vonzási tartománya lesz. Ha

11

Konjuktúrakutatás

létezik egy (a;b) intervallum, amelyen g( ) <0, még lehetséges, hogy g a [0;a] intervallumot önmagára vagy önmagába képezi le, a maximum pedig biztosítja a nyújtást-összehajtást, és így káoszt találunk, a különös attraktor vonzási tartománya pedig a [0;a] intervallum. A negatív értékek problémája kiküszöbölhet, ha mesterségesen beépítjük a modellbe, hogy amennyiben g( ) negatív g( ) legyen nulla, de mindenesetre egyszerbb és a kaotikus viselkedés vizsgálatának jobban megfelel, ha b0 k . kw A két egyenes közötti sáv szélessége e1 - e2 = - . Ha a sávot szkítjük, a görbe hullámai b1 egyre inkább kisimulnak, egy ponton túl nem lesz abszolút értékben egynél nagyobb meredekség pontja, így a rendszer egyre stabilabb lesz, egyetlen fixponthoz fog konvergálni. A sávot tovább szkítve eljutunk a korábban tárgyalt második esethez, amikor g -nek nincs szélsértéke és monoton növekv. Most már az is nyilvánvaló, hogy ekkor a fixpont mindenképpen stabil. w paraméter elssorban az egyenesek meredekségéért felel. w = 1 esetben két vízszintes egyenest kapunk, ezért nincs lokális szélsérték, ez a negyedik esetnek felel meg.

2. A pókhálómodell illesztése a termelési adatokra
2.1 Kiinduló feltételezések Az eladáson bemutattuk, hogy adaptív várakozások, valamint lineáris keresleti, S alakú kínálati függvény mellett a pókháló-modell kaotikus mozgást is leírhat. Határozzuk meg, azokat a paraméterértékeket amelyek mellett a modell legjobban leírja a termelési adatok piacán az árak és mennyiségek alakulását. Ezzel lehetség nyílik arra, hogy megállapítsuk, hogy a mennyiség és az ár idsoraiban esetleg tapasztalható szabálytalan ingadozás küls véletlen hatás, vagy a modell törvényszerségeibl fakadó determinisztikus káosz eredménye-e. A modell illesztésének az alapkoncepciója, hogy a statisztikai szolgálat által közzétett, az egyes évekre vonatkozó termelési és áradatokból kiindulva, a modell feltételezései alapján a legkisebb négyzetek módszere segítségével becslést adunk a modell paramétereire. Mindebbl következik, hogy élnünk kell egyrészt olyan feltételezésekkel, amelyeket maga az illeszteni kívánt modell követel meg, illetve olyanokkal, amelyeket az illesztéshez használt módszer tesz szükségessé. 2.1.1 A pókháló-modell feltételezései A pókhálómodell alkalmazása perióduselemzést jelent, vagyis az elemzés során a vizsgált idszakot véges nagyságú, egyenl hosszúságú periódusokra bontjuk, s feltételezzük, hogy a dinamikus rendszer állapotát leíró változók nem folyamatosan változnak, hanem ugrásszeren az egyes idszakok végén. A vizsgált dinamikus rendszernek természetesen az adott áru piaca felel meg, a piacot jellemz változók pedig az ár, a termelk által felkínált mennyiség, valamint a vevk által a termék iránt támasztott kereslet. A mezgazdasági termékek piacai általában megfelelnek a perióduselemzés ezen követelményeinek, hiszen a szántóföldi növénytermesztés esetében, különböz természeti adottságok következtében, a termelés nem folyamatosan, hanem szabályos idközönként jelentkezik. Adott termékbl egy adott térség, például egy adott ország piacán az adott idszakban megtermelt mennyiséggel, a betakarítást követen a termelk viszonylag egyidben jelennek meg a piacon, ahol kialakul az adott mennyiségnek és keresleti viszonyoknak megfelel új ár. Tehát a legtöbb növényi termék piaca vizsgálható

12

Konjuktúrakutatás

perióduselemzési módszerekkel. Az idszakok határait a betakarítás idpontjai jelölik ki, s az idszakok hossza egy év. A modell ezen túlmenen azt is feltételezi, hogy a kínálat adott idszakon belül teljesen rugalmatlan. Ez a feltétel sincs messze a valóságtól, hiszen a növénytermesztés esetében két betakarítás között a termelk már nem tudják jelentsen megváltoztatni a kínálat mennyiségét, rövidtávon a kínált mennyiség többé-kevésbé adottság. Azonban a feltétel általában nem teljesül maradéktalanul. Bizonyos mértékig a következ betakarítást megelzen tud a kínálat reagálni a kialakult árra. Ez alapveten két módon lehetséges. Az egyik, hogy a termelk, ha az ár túlságosan alacsony nem viszik piacra az összes megtermelt mennyiséget, hanem egy részét elraktározzák a következ idszakra, azt remélve, hogy az ár emelkedni fog. Azt, hogy adott ár valamint a következ idszakra várt ár mellett mennyit fognak raktározni, az dönti el, hogy a terméket milyen költség mellett lehet és egyáltalán lehet-e hosszabb távon minségromlás nélkül tárolni. Ha a termel monopolhelyzetben van az is elfordulhat, hogy az összes termelt mennyiséget nem viszi piacra, és így esetleg kisebb mennyiséget magasabb áron értékesítve nagyobb árbevételt ér el. Ez kompetitív viszonyok mellett nem lehetséges, a termelk árelfogadók, ha a termék nem raktározható alacsonyabb áron is érdemes a teljes mennyiséget értékesíteni. A másik tényez, amely rövidtávon növeli a kínálat rugalmasságát a külkereskedelem. A külkereskedelemnél a térségek közötti árkülönbségeken túl a szállítási költség és a protekcionizmus a figyelembe veend tényezk. A modell illesztésénél feltételeznünk kell tehát, hogy a termék nem raktározható és nincs külkereskedelme, valamint a termel nincs monopolhelyzetben. Ha mindez teljesül a termelk a teljes megtermelt mennyiséget az adott idszak folyamán az adott térségen belül értékesítik. Az adott termék többé-kevésbé megfelel ezen feltételeknek, nem jellemz, hogy egy évnél hosszabb ideig raktároznák, a termelés meghatározó hányadát kistermelk adják s külkereskedelme is jelentéktelen. A termelt mennyiség csak a termelk által várt ártól függ, S alakú kínálati függvény szerint. Ez a feltétel sem jelent problémát, hiszen a termelk profitmaximalizálók, így magasabb várt ár mellett megpróbálnak többet termelni. Az S alakú kínálati függvény meredeksége szélsséges várt árak esetén kisebb, mint a várt árak közepes szintjénél. Magas árak esetén a kínálat csökken érzékenysége a csökken hozadék elvével magyarázható, ami minden bizonnyal a mezgazdasági termékek, így az adott termék termelésénél is érvényesül. Az alacsony áraknál jelentkez csökken árrugalmasságot általában a piacra való belépés illetve kilépés korlátaival indokolják. Feltételezzük továbbá, hogy a piaci ár csak a piacra vitt áru mennyiségétl függ, lineáris keresleti függvény szerint. Ez sem tekinthet ers feltételezésnek, mivel a mezgazdasági termékek általában differenciálatlanok, így nagyobb mennyiség leginkább az ár csökkentése révén adható el. A következ feltételezésünk, hogy az árvárakozások adaptív módon alakulnak. Ez a feltétel nyilván kevésbé szigorú, mint a naív várakozások esete. Ezen túl még élnünk kell egy meglehetsen szigorú feltétellel, azzal, hogy a modell stacioner gazdaságot tételez fel. A stacioner gazdaságban ki vannak kapcsolva a növekedés tényezi, azaz nincs bvített újratermelés, gazdasági növekedés, technológiai fejldés, a népesség száma, összetétele hosszú távon nem változik stb. A valóságban azonban a növekedési tényezk mködnek, s bizonyos hosszútávú tendenciák érvényesülnek. Ha az elemzés csak pár évet fog át ez a feltétel nem jelent gondot, a trendek nem okoznak jelents változást, hosszabb távon azonban már valahogy kezelni kell az ebbl adódó problémát.

13

Konjuktúrakutatás

2.1.2 Az illesztés módszere által megkövetelt feltételezések Az illesztéshez felhasznált módszer a regressziószámítás, amelyet idsorok adataiból kiindulva, a legkisebb négyzetek módszerére támaszkodva fogunk elvégezni. Mivel a legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásához minimum 15-20 adat szükséges kénytelenek vagyunk az alapadatok tekintetében legalább 1980-ig visszamenni. A számításokat ezért az 1980 és 1998 közé es egyes évekre vonatkozó ár és mennyiségi adatokból kiindulva fogjuk végezni. Mivel kemény, matematikai módszer alkalmazásáról van szó, fel kell tételeznünk, hogy az elmúlt mintegy 20 évben a rendszer változói között változatlan minségi összefüggések érvényesültek. A legtöbb mezgazdasági termék esetében ez a feltétel elfogadhatatlan, hiszen ez alatt az id alatt lezajlott a szocializmusból a kapitalizmusba való átmenet. A rendszerváltás során a mezgazdaságban jelentsen módosult a birtokszerkezet, a tulajdonosi struktúra, átalakultak, megszüntek az állami gazdaságok, a termelszövetkezetek, szemléletbeli változás zajlott le stb. De ezek a változások az egyes termékek termelését különböz mértékben érintették. Legkevésbé érintették azon növények termelését, amelyek esetében a termelés nagy részét a 80-as években a háztáji és egyéni gazdaságok adták, mivel a termelés birtokszerkezete ezeknél a termékeknél a 90-es években nem változott meg jelentsen. Tehát ezek azok a termékek, amelyek piacát mindig is a kistermelk uralták. Ilyen termékek a burgonya, a bab, valamint a zöldségfélék és a gyümölcsök nagy része. Az illesztés végrehajtásánál élnünk kell a regressziós modellek szokásos feltételezéseivel. Nyilván nem várhatjuk el, hogy a pókháló-modell feltételei maradéktalanul teljesüljenek. Ezért a modell egyenletei sztochasztikusan érvényesülnek, tehát feltételezzük, hogy minden egyenlet mellett közrejátszik egy véletlen mozzanat is. Tehát feltétezzük, hogy változatlan paraméterek mellett 1980-1998 között sztochasztikusan érvényesült egy elméleti pókháló-modell, amelynek és a véletlen tényeznek eredményeként elálltak azok a kiindulási adatok, amelyek alapján megpróbáljuk megbecsülni az elméleti modell paramétereit. 2.2 A kiindulási adatok Az illesztésnél a termelt mennyisé és az ár idsoraiból indulunk ki. A KSH. kiadványaiban a mezgazdasági termékekre vonatkozóan kétféle áradatot is közöl. Az egyik a felvásárlási átlagár, amely ,,a felvásárolt termékekért fizetett érték általános forgalmi adó nélkül, és a hozzátartozó mennyiség hányadosa". A másik a piaci átlagár, amely ,,a piacokon és az állatvásárokon a termelk által közvetlenül a lakosságnak értékesített termékek kínálati átlagára. Az átlagár a felhozatali mennyiségek módusz árral (a leggyakrabban elforduló ár) beszorzott értéke és a hozzátartozó mennyiség hányadosa". A továbbiakban kizárólag a piaci átlagárra fogunk támaszkodni. Meg kell jegyezzük, hogy a modell esetén egy idszak betakarítástól betakarításig tart, míg a statisztikai adatok naptári évre vonatkoznak. Ez a mennyiségi adatoknál nem probléma, de az árak esetén már jelent némi pontatlanságot. Az ábrákról kitnik, hogy mind az ár, mind a mennyiség tekintetében a vizsgált idszakban egy lefelé irányuló trend érvényesül. Az adatokra lineáris trendet illesztettünk, a trendvonal egyenlete is leolvasható az ábráról. 2.3 A keresleti függvény paramétereinek meghatározása A lineáris keresleti függvény paramétereimek becslése nem okoz különösebb problémát. A függvény meredekségét és a függleges tengellyel való metszéspontját lineáris regresszióval közelíthetjük. Ezt azért tehetjük meg mivel a kereset és termelt mennyiség minden idszakban 14

Konjuktúrakutatás

megegyezik, hiszen érvényesül a piactisztító egyenlet. A modell feltételezései szerint a termelk várakozásaik alapján határozzák meg a termelés mennyiségét, s miután terméküket piacra vitték, a piacon kialakul egy ár, amelyen az összes megtermelt mennyiség értékesíthet. Azaz a regressziószámítás során tényezváltozónak a mennyiséget, eredményváltozónak pedig az árat kell választanunk.
2.4 A kínálati függvény meghatározása A kínálati függvény paramétereinek meghatározása már nem ilyen egyszer. Elször is a kínálati függvény a termelés és a várt ár között létesít kapcsolatot. Ezért a függvény meghatározása eltt meg kell becsülnünk a várt árak idsorát. A modell szerint a várakozásaikat a termelk adaptív módon alakítják, azaz a várt és tényleges árakra teljesül, hogy t +1 = (1 - w) t + wpt . Azaz adott pt értékek mellett a várt árak idsora függ a legels idszakra, 1980-ra várt ártól, valamint a w paraméter értékétl. E két értéket válasszuk meg úgy, hogy a lehet legersebb legyen a korrelációs kapcsolat a várt árak és a termelés idsora között. Egy ilyen problémát megoldhatunk a Microsoft Excel ún. Solver bvítményének a segítségével. 2.4.1 Az adaptív modell paraméterének meghatározása Annak érdekében, hogy minél több információnk legyen az S alakú kínálati függvény meghatározásához, a sztochasztikus kapcsolat ersségének a maximalizálását lineáris regressziós modell feltételezése mellett végezzük el. Az eredményeket úgy kaptuk, hogy elkészítettük a táblázatot úgy, hogy az optimalizálandó változók helyére kiinduló értékeket írtunk, mivel megkönnyíti a Solver dolgát ha az optimálishoz közeli értékeket írunk a kérdéses cellákba. A táblázat elkészítéséhez természetesen szükség van a várt árakra, amit a tényleges árakból határozzunk meg. A korreláció és regressziószámítás során eredményváltozónak a termelt mennyiséget, míg a tényezváltozónk a várt árat jelöljük meg. A korrelációs együttható a lineáris kapcsolat ersségét méri. A w kiinduló értékének 0,5-öt adtunk, míg az 1980-as várt árnak 60 Ft/kg-ot. Ezután mindhárom regressziós modellre külön-külön alkalmaztuk a Solvert, úgy hogy célcellaként az r 2 -et tartalmazó cellát módosuló cellákként w értékét és az 1980-as várt árat tartalmazó cellát jelöltük meg. A LEGYEN sorban természetesen a maximumot jelöltük meg. Korlátozófeltételként megadtuk, hogy w (0 és 1 között) és a várt árak csak pozitívak lehetnek. 2.4.2 Az S alakú kínálati függvény becslése Az ábrán látható pontfelhre kell egy S alakú görbét illeszteni. Ennek a problémának nincs egyértelm megoldása nagyon sok olyan S alakú görbe képzelhet el, amely kielégít pontossággal illeszkedik a pontokra. Egy S alakú görbe általában felosztható három szakaszra: egy exponenciális, egy lineáris és egy logaritmikus szakaszra. Mivel a pontokra legjobban a logaritmikus regressziós görbe illeszkedik, valószínleg a pontok legjobban egy S alakú görbe logaritmikus szakaszára fognak illeszkedni. Annak érdekében, hogy egy konkrét függvényt tudjunk meghatározni további feltételezések szükségesek. Az S alakú görbe legyen az ún. logisztikus görbe, amelynek képlete k , ahol k , a , b > 0 paraméterek. k értéke a telítettségi szint, vagyis f ( x) = 1 + ae -bx lim f ( x) = k , b pedig a telítettségi szint elérésének sebességét jellemz paraméter. A függvény
x

15

Konjuktúrakutatás

k értéknél metszi. A függvény 1+ a szimmetrikus az inflexiós pontra, ahol a telítettségi szint felét éri el. Tegyük fel továbbá, hogy 0 Ft/kg várt ár esetén a termelés kisebb, mint 1000 tonna. A logisztikus függvényt ugyancsak a Solver segítségével illeszthetjük. A Solver a kiindulóértékhez legközelebb es helyi maximumot keresi. Hogy olyan megoldást kapjunk, amelynél a megvalósult értékek a görbe logaritmikus szakasza körül szóródnak, a paraméterekre ennek megfelel kezdértékeket kell adnunk. A várt ár idsorának legkisebb értéke 47,2 Ft/kg, a legnagyobb érték 114,92 Ft/kg. A termelt mennyiség legkisebb értéke 842,16 ezer t tartozik, a legnagyobb érték 1265,3ezer t. Az ezen pontokon átmen görbe paramétereit az k 842,16 = 1 + ke -b 47 , 2 k 1265,3 = 1 + ke -b114,92 egyenletrendszer megoldása adja: a = k = 1265,3 ; b = 0,23 . Ha ezen értékek képviselik a Solver változóinak kezdértékét, célfüggvényként pedig a reziduális szórást minimalizáljuk. Ezzel a modell illesztését elvégeztük. csak pozitív értékeket vehet fel, és a függleges tengelyt a

16



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

00 15 bizonytalanság és játékelmélet0001 4.óra áramlástan ásványtan atombomba bevezetés biofizika biztosítás corbu elméleti kérdések elte ttk europai uniós ismeretek filozófia tételek fizikai+kémia gazdasági genetika géntech gótika halász gábor hő-és áramlástechnikai gépek ipar ítéletlogika katalízis középkor kultur kurzusleírás különleges épületszerkezetek lophotrochozoa malinowski marx méretezés mikro nevelés neveléslélektan növényrendszertan öko 1 ökológiai antropológia parazitológia reakció sejtbiosz számítógép architektúrák szerves kémia tanenbaum tematika ügyvitel vállalat gazdaságtan vállalat helye vállpénzügy vésés