Káoszmatematika

Országok listájaHungaryMiskolci EgyetemGazdaságtudományi KarGazdálkodásiKonjunktúrakutatásJegyzetekKáoszmatematika

Konjuktúrakutatás 1. A káosz matematikája

Dátum: 2007.04.16.

Ezen fejezet a kaotikus viselkedés jellemzit, valamint a káosz kialakulásának feltételeit és módját, a káoszelmélet alapvet vizsgálati módszereit az ún. logisztikus leképezés példáján keresztül mutatja be. Ez az egydimenziós leképezés a legegyszerbb olyan nem-lineáris differenciaegyenlet, amely meghatározott esetekben kaotikusan viselkedik. A logisztikus leképezés viszonylag részletes, a matematika nyelvén történ ismertetését, azért tartom indokoltnak, mivel véleményem szerint a káosz jelenségének, valamint a kapcsolódó fogalmak, elemzési eszközök és módszerek bemutatásának ez a legalkalmasabb módja. Logisztikus leképezés esetén valamely dinamikus rendszer állapotát leíró változó egymást követ idpontokbeli értékei között az xt +1 = rxt (1 - xt ) (1.1) egyenlet létesít kapcsolatot, ahol t = 0, 1, 2, ... az idpontokat jelöli. xt a rendszer t idpontbeli állapotát leíró változó, 0 r 4 kontrollparaméter, amelynek rögzített értékei mellett kísérjük figyelemmel xt idbeli alakulását. Az olyan egyenletet, amely egy rendszert leíró változó különböz t idpontbeli értékei között létesít determinisztikus kapcsolatot differenciaegyenletnek nevezzük, tehát 1.1 is differenciaegyenlet. Egy rendszer állapotának idbeli lefutását leíró x0 , x1 , x2 ... sorozat neve trajektória. Vizsgálatunk célja feltárni, hogy 1.1 különböz, rögzített r értékek mellett milyen trajektóriákat eredményez. Ahhoz, hogy egy trajektóriát egyértelmen definiáljunk a trajektória elemei között kapcsolatot teremt differenciaegyenlet mellett az x0 kezdértéket is meg kell adjuk. A logisztikus leképezés estében kikötjük, hogy 0 x0 1 . Mindenekeltt vizsgáljuk meg az f L ( x) = rx(1 - x) függvényt. Ez a függvény egy másodfokú parabola, amelynek szárai lefelé mutatnak, két zérushelye van: x=0 és x=1. A függvénynek maximuma van az x=1/2 helyen, amelynek értéke r/4, vagyis r-tl függ. Figyelembe véve a kontrollparaméterre tett kikötésünket a maximum értéke 0 és 1 között mozoghat. Ha a kezdértékre és r-re tett kikötésünk teljesül, 1.1 a [0;1] intervallumot önmagára (ha r=4), illetve önmagába képezi le, és ezáltal biztosítja, hogy a trajektória valamennyi xt pontja a [0;1] intervallumra korlátozódjon. Ezért az egyszerség kedvéért korlátozzuk az f L ( x) = rx(1 - x) függvény értelmezési tartományát a [0; 1] intervallumra. 1.1 A differenciaegyenlet fixpontjai és azok stabilitása A logosztikus leképezés további tanulmányozása eltt ismerkedjünk meg a dinamikus rendszerekhez kapcsolódó néhány alapfogalommal. Általánosságban xt +1 = f ( xt ) differenciaegyenlettel megadott dinamikus rendszer fixpontjának nevezzük az x = f (x) egyenlet x * megoldását. Ha a rendszer fixpontból indul, vagy az iterációk során belekerül a fixpontba, akkor ott is marad. Egy fixpont legjellemzbb tulajdonsága a stabilitása. Tételezzük fel, hogy a rendszert valamilyen tetszlegesen kicsi zavaró hatás (un. perturbáció) kimozdítja a fixpontból. Stabil fixpont esetén a rendszer ezt követen egyre közelebb kerül a fixponthoz, mígnem visszatalál oda, ha a fixpont instabil a rendszer távolodni kezd a fixponttól. Azt a tartományt, ahonnan a trajektóriák egy adott fixponthoz konvergálnak, a fixpont vonzási tartományának nevezzük. Vagyis ha a perturbáció túl nagy, és a rendszert nem csak fixpontjából, hanem annak vonzási tartományából is kilendíti a rendszer nem talál vissza a fixpontba. Vonzási tartománya természetesen csak stabil fixpontnak van, vagy ha úgy tetszik az instabil fixpont vonzási tartománya zérus. A stabilitás kritériumának feltárásához tekintsük az 1

Konjuktúrakutatás
xt +1 - x xt - x
* *

Dátum: 2007.04.16.
= f ( xt ) - f ( x )
*

xt - x *

1.3

hányadost. Stabil fixpont közelében a trajektória pontjai egyre közelebb kerülnek az x * fixponthoz. Ekkor a hányados értéke nyilván egynél kisebb. Ha viszont a rendszer a fixpont közelében távolodik a fixponttól, vagyis a fixpont instabil, egynél nagyobb értéket kapunk. x * közelében 1.3 jól közelíthet az f ' ( x * ) differenciálhányados abszolút értékével, ezért a fixpont

f ' ( x * ) < 1 esetén stabil,

f ' ( x * ) > 1 esetben pedig instabil. Ha

f ' ( x * ) = 1 a fixpontot

marginálisan stabilnak nevezzük. Kitüntetett állapot, ha az f ( x) függvény szélsértéke egyben fixpont is, ekkor f ' ( x * ) = 0 és az iteráció konvergálása a fixponthoz igen gyors. A fixpont ekkor szuperstabil. Most vizsgáljuk meg az 1.1 logisztikus leképezés fixpontjait a kontrollparaméter különböz értékeinél. A fixpontok felkutatásához oldjuk meg az x = rx(1 - x) egyenletet a [0;1]

intervallumon. Ha r < 1 , egyetlen megoldás létezik: x1 = 0 . Mivel ez a fixpont r -tl független, r -1 * . Ha triviális fixpontnak is nevezik. r 1 esetén egy másik megoldást is találunk: x2 = r * * r = 1 , a két megoldás egybeesik x1 = x2 = 0 . Nézzük hogyan alakul ezen fixpontok stabilitása

*

r különböz értékeinél. Elször vizsgáljuk meg az x1 = 0 fixpontot. Az fL(x) függvényt
deriválva és a deriváltba az x1 = 0 pontot behelyettesítve kapjuk, hogy f L ' ( x1 = 0) = r . A fixpont stabil, ha 0 r < 1 , ebben a tartományban tehát egyetlen fixpont létezik, a nulla és az stabil, vonzási tartománya pedig a [0; 1] intervallum. Ebben az esetben, a stabil fixpont egyben a dinamikus rendszer attraktora. Attraktornak nevezzük azt a geometria alakzatot, amelyhez a rendszer az id elrehaladtával konvergál. Jelen esetben ez a geometriai alakzat egyetlen pont, a stabil fixpont. Az ilyen attraktort nevezik fixpontú attraktornak. Az attraktort is jellemzi vonzási tartománya, a fixponthoz hasonlóan vonzási tartomány, az a tartomány, amelybl kiindulva a rendszer az attraktorhoz konvergál, esetünkben ennek a [0;1] intervallum felel meg.
* *

*

1.1 ábra Logisztikus leképezés r=0,95, x0=0,5 esetben

2

Konjuktúrakutatás
*

Dátum: 2007.04.16.

Az 1.1 ábra az r=0,95, x0=0,5 esetben mutatja a rendszer mködését. Az ábra a) részében grafikusan ábrázoltam az f L (x) parabolát, valamint az y=x egyenest. A kett metszéspontja a fixpont, ami az origóban van, hiszen x1 = 0 . A parabola és az egyenes közötti lépcszetes vonal az iteráció folyamatát érzékelteti. A b) ábrán látható az iterációval generált trajektória els 20 eleme, amely a fixponthoz konvergál. r -1 * * Most vizsgáljuk meg az 1 r 3 esetet. Ekkor már két fixpontunk van: x1 = 0 és x2 = . r * Az x1 = 0 , mint láttuk, r 1 - nél instabil. Megjegyzem, hogy az instabil fixpontot repellornak is nevezik. x2 stabilitásához ismét nézzük az f L ' ( x) = r - 2rx deriváltat. x helyére a fixpontot helyettesítve kapjuk, hogy f L ' ( x2 ) = 2 - r . A stabilitás kritériumait alkalmazva kapjuk, hogy a fixpont stabil, ha 1 r 3 . Tehát a fixpontú attraktor az x2 stabil fixpont, amelynek vonzási tartománya a (0; 1] intervallum. A rendszer az 1.2 ábrán bemutatott dinamikát mutat 1 r 2 esetben. Ha 2 < r 3 , ez némileg módosul (1.3 ábra). A két esetben azonosak a fixpontok stabilitási viszonyai, de a trajektóriák a stabil fixponthoz eltér módon konvergálnak: az els esetben egy a másodikban két irányból. Az utóbbi, csillapodó oszcilláció akkor következik be, ha a stabil fixpont az fL(x) függvény maximumán túlra kerül. Az 1.3 ábra a részén megfigyelhet a közgazdasági modellekbl is ismert ,,pókháló" mozgás.
* *

*

1.2 ábra r=2, x0=0,01-hez tartozó trajektória (a fixpont szuperstabil). Tipikus logisztikus mozgás

3

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

1.3 ábra Trajektória r=2,9, x0=0,01 esetben. Csillapodó oszcilláció.

1.2 Bifurkációk végtelen sorozata, út a káoszhoz Láttuk, hogy r > r1 3 esetben két instabil fixpontunk van. Ahhoz, hogy ebben a tartományban

is feltárjuk a rendszer viselkedését vizsgáljuk meg az ( 2) 2 3 xt + 2 = f L ( xt ) f L (rxt (1 - xt ) r 2 [1 - (r + 1) xt + 2rxt - rxt ] 1.4 leképezést, amely a trajektória minden második pontja közötti összefüggést mutatja. A leképezésnek nyilván fixpontjai az 1.1 fixpontjai, de itt újabb fixpontok is adódnak. Mindezeket ( 2) az x = f L ( x) egyenlet gyökei adják (1.4 ábra b) része): r -1 * * x2 = x1 = 0 , r 1 x *3, 4 = [r + 1 ± (r + 1)(r - 3) ] 2r A 3. és 4. fixpont csak r 3 esetén létezik, és az 1.1 logisztikus leképezés tekintetében a következt jelenti: x *3 = f L ( x * 4 ) , x * 4 = f L ( x *3 ) Tehát, ha a trajektória ezen két fixpont valamelyikébe belekerül, a továbbiakban felváltva fogja felvenni a két fixpont értékét, megvalósul az x *3 , x * 4 , x *3 , x * 4 , x *3 , x * 4 , ... sorozat, amelyet p=2 periódusú határciklusnak nevezünk. A határciklus stabilitásának megállapításához ( 2) f L ( x) kétszeres iterációt leíró függvény deriváltjainak értékét kell meghatározni a határciklus
pontjaiban: f L ' ( x * 3 ) = f L ' ( x * 4 ) = r 2 - 2r - 4 , vagyis a két pont stabilitási viszonyai megegyeznek, stabilitásukat azonos r értéknél fogják elveszíteni. A stabilitás kritériumait felhasználva kapjuk, hogy a p=2 periódusú határciklus stabil, ha r1 3 < r < 1 + 6 r2 . Az 1.1 leképezés stabil, kettperiódusú határciklusának pontjai tehát egyben a 1.4 leképezés stabil fixpontjai. Ez látható a 1.4-es ábrán.
( 2) ( 2)

4

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

1.4 ábra.a) r=3,4-hez tartozó stabil p=2 periódusú határciklus, b) A ciklus pontjai egyben az fL(2)(x) leképezés stabil fixpontjai

r1 3 < r < 1 + 6 r2 tartományban a fixpontú attraktort tehát felváltja egy stabil p=2 periódusú
határciklus, amit határciklusú attraktornak is neveznek. Ennek vonzási tartománya: [0; 1] \ r -1 {0, } vagyis a 0 és 1 közé es számok kivéve az instabil fixpontokat. r r -et növelve r = 3 -nál bekövetkezett az els bifurkáció. Az x * 2 fixpont elvesztette stabilitását, megsznt attraktornak lenni, és helyette megjelent egy stabil 2 periódusú határciklus. Vegyük észre, hogy r=3 esetben x * 2 = x *3 = x * 4 . Ha r-t lassan növeljük a három fixpont1 szétválik, az egyik elveszti a stabilitását, a másik kett pedig stabil határciklust alkot. Ez a jelenség a bifurkáció jelensége, ami az 1.5 ábrán látható. Amint az az ábráról is látszik az els bifurkációt újabbak fogják követni, ha növeljük a kontrollparamétert. Ahhoz, hogy ennek feltárjuk az okát, tekintsük a 1.4 ábra b részét. Az ide berajzolt négyzetek nagy hasonlóságot mutatnak az eredeti logisztikus leképezést bemutató ábrákkal, leginkább az 1.3 ábra a) részével.
x* x*4 x*2

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

x*3

r
2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6

1.5 ábra A logisztikus leképezés els két bifurkációja

1

x*2

az

xt +1 = f L ( xt ) ; x * 3

és

x*4

az

xt + 2 = f ( 2) L ( xt ) differenciaegyenlet fixpontja
5

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

A kis négyzetekben ugyanúgy megtalálható az egyetlen szélsértékkel rendelkez görbe, a 45°os egyenes, a stabil és az instabil fixpont, mint az 1.3 ábrán látható egységnyi oldalú négyzetben. Az 1.3 ábra esetében ahogy növeltük r -t, az egyenes egyre meredekebben metszette a parabolát, mígnem a fixpont elvesztette a stabilitását és bekövetkezett a bifurkáció. Az 1.4 ábrán látható helyzetben r -t növelve ugyanez történik. A negyedfokú görbe minimuma lejjebb, maximuma feljebb kerül, az egyenes egyre meredekebb pontjában metszi a görbét, r = 1 + 6 r2 praméterértéknél a stabil fixpontok instabillá válnak, a két fixpontú attraktor szerepét két p=2 periódusú határciklusú attraktor veszi át az 1.4 ketts iterációt leíró leképezésben. Ez az eredeti logisztikus leképezésnél p=4 periódusú határciklust jelent, vagyis bekövetkezik az újabb 2 bifurkáció. A határciklus pontjai növekv sorrendbe: x *5 , x * 6 , x * 7 , x *8 , ahol x *5 = f L ( x * 6 ) ,

x * 6 = f L ( x * 5 ) , x * 7 = f L ( x * 8 ) , x * 8 = f L ( x * 7 ) . Vagyis ezek a pontok az f L leképezés fixpontjai. Az elhangzottakat illusztrálja az 1.6 ábra

2

2

2

( 4)

f L ( f L ( x))

( 2)

2

1.6 ábra a) r=3,54, x0=0,01 estén a logisztikus leképezés viselkedése, b) Az így generált trajektória els 20 eleme, c) Az fL(2) leképezés két p=2 periódusú határciklusa, d) Az fL(4) eképezés 4 stabil fixpontja

Az ábra a) része mutatja a p=4 periódusú határciklust és kialakulását az iteráció elrehaladtával. A nyilak mutatják, hogy a rendszer milyen sorrendben járja be a határciklus pontjait: x *5 , x * 7 , 6

Konjuktúrakutatás
* *

Dátum: 2007.04.16.

x 6 , x 8 . ,,A sorrend jellegzetessége, hogy az egymásra következ pontok az elz, kettperiódusú határciklus pontjaiból származtak bifurkáció útján. A trajektória tehát az elz határciklusra jellemz periódusidvel oszcillál a kett, egyenként két pontból álló csoport között." Szépfalusy[1]. A négyperiódusú határciklussal kapcsolatban még meg kell jegyezni, hogy az ábra d) részén ( 4) látható f L ( x) görbe meredeksége valamennyi fixpontban megegyezik, vagyis a kétperiódusú határciklushoz hasonlóan a fixpontok stabilitási viszonyai azonosak, stabilitásukat azonos r értéknél veszítik el. A kontrollparamétert tovább növelve a rendszer viselkedésére vonatkozóan anélkül is ( 4) messzemen következtetést vonhatunk le, hogy az f L ( x) fixpontjainak értékét és a görbe meredekségét az egyes fixpontokban pontosan meghatároznánk. Az 1.6 ábra d) részén látható kis ( 2) négyzetekben r növelése esetén ugyanúgy le fog játszódni a bifurkáció, mint azt f L ( x) , vagy f L (x) fixpontjainak esetében láttuk. r = r3 -nál a négyperiódusú határciklust felváltja a
nyolcperiódusú, ami f L ( x) leképezésnél nyolc stabil fixpontot jelent, amelyek stabilitási viszonyai azonosak, a görbe meredeksége a fixpontokban megegyezik. Amikor ezek elvesztik stabilitásukat ( r = r4 ) bekövetkezik a p=16 periódusú határciklus. Vagyis a kontrollparamétert növelve a rendszer hosszú távú viselkedését az egyre hosszabb p = 2 k periódusú határciklusú attraktor fogja leírni, amelyek a p = 2 k -1 periódusú határciklus pontjainak bifurkációjával keletkeznek a kontrollparaméter rk értékénél. Az instabil p = 2 j ( j < k ) periódusú határciklusok pedig a rendszer repellorát alkotják. A p = 2 k periódusú határciklus pontjainak bejárási sorrendje a négy periódus esetében leírtakkal analóg módon alakul: valamennyi instabil határciklus frekvenciája megtalálható a stabil határciklus frekvenciájában. Az r1 , r2 , r3 , ... Feigenbaum szekvenciának nevezzük. Ez a sorozat konvergens: sorozatot lim rn = r 3,569945672... , azaz a kontrollparaméter ezen értékénél kialakul a végtelen
n
(8)

periódusidej stabil határciklus, ami azt jelenti, hogy a trajektória az iterációk során ugyanazt az értéket maximum egyszer veheti fel. Így ez a mozgás már nem periodikus. Ezzel eljutottunk a kontrollparaméter kaotikus tartományába. Tulajdonképpen a végtelen periódusú határciklus, a rend és a káosz közötti átmeneti állapot, még nem nevezhet káosznak. r -r A Feigenbaum szekvenciáról még tudjuk, hogy: lim k k -1 = = 4,6692016... , ami azt jelenti, k r k +1 - rk hogy a sorozat szomszédos pontjai távolságainak aránya ehhez az értékhez konvergál, tehát kvázi egy mértani sorozatról van szó. Ez az érték valamennyi perióduskettzdést mutató és egyetlen négyzetes maximummal rendelkez leképezés esetében azonos, vagyis egy univerzális állandó. Emiatt valamennyi, a logisztikushoz hasonló leképezés azonos módon jut el a káoszhoz. Az 1.7 ábrán az un. bifurkációs diagram látható. A diagram a kontrollparaméter függvényében ábrázolja a leképezés attraktorának pontjait. A bifurkációs diagramot úgy kapjuk, hogy megfelelen kicsi lépésközzel a kontrollparamétert végigfuttatjuk a [0;4] intervallumon, s minden egyes r értékre megvizsgáljuk, hogy egy megfelel kezdértékhez ( 0 < x0 < 1 ) tartozó trajektória elegenden sok iterációt követen (amikor a trajektória már az attraktoron mozog) a további iterációk során milyen értékeket vesz fel. Esetünkben a kontrollparamétert 0,002 ezredes lépésközzel futtattuk végig a [0;4] intervallumon és r minden egyes így nyert értékére 500 iteráció elvégzése után figyeltük meg a leképezés viselkedését. Az ábrán megfigyelhetjük a bifurkációk végtelen sorozatát, a Feigenbaum szekvenciát. Az ábráról az is kitnik, hogy a

7

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

logisztikus leképezés r < r 4 esetén az eddigieknél jóval bonyolultabb és érdekesebb dinamikát ír le. A diagramon a függleges tengely mentén is érvényesül egy aszimptotikus arányosság, amely a villák ágai közti távolság csökkenését jellemzi a bifurkációk elrehaladtával. Ezt az arányt -val szokták jelölni, értéke 2,5 körül van. Mindez azt eredményezi, hogy a bifurkációs diagram önhasonló és finomstruktúrájú, vagyis fraktáltulajdonságai vannak (legalábbis, a végtelen periódusú határciklusig).
1.3. Káosz a logisztikus leképezésben A káosz alapvet sajátossága, a kezdfeltételekre mutatott érzékenység, ami azt jelenti, hogy az egymáshoz közeli kezdértékkel indított trajektóriák idben exponenciálisan távolodnak egymástól. Ez véletlenszer viselkedést eredményez a determinisztikus rendszerben. Pontosabban fogalmazva a káosz minden véges pontosságú mérés, a kezdfeltételek véges pontosságú ismerete esetén jelent véletlenszer viselkedést. Ekkor a rendszer állapotára vonatkozóan hosszú távra csak a kezdfeltételek végtelen pontosságú ismerete esetén készíthetnénk elrejelzést, mivel bármilyen kis mérési hiba a kezdfeltételek meghatározásánál hosszabb távon annyira felersödik, hogy a rendszer jelenlegi állapotára vonatkozó véges pontosságú adatokból a jövbeli állapotra semmilyen következtetést nem tudunk levonni. Más szavakkal: a kaotikus trajektória elnyeli véges pontosságú méréseink információtartalmát. Ezért bár determinisztikus kapcsolat van a jelenlegi és az elrejelezni kívánt jövbeli állapotok között, mégis úgy érzékeljük, mintha a jövbeli állapot csak a véletlentl függne, vagyis független lenne a jelenlegi állapottól. Ebben a helyzetben nem tehetünk mást, minthogy megállapítjuk, hogy a kaotikus mozgás mely tartományra korlátozódik, s a tartomány értékeit milyen valószínségsrség mellett veszi fel. Ezt fejezi ki a Royal Society definíciója, mely szerint a káosz sztochasztikus viselkedés determinisztikus rendszerekben. Meg kell jegyezzük, hogy az egymáshoz közel indított trajektóriák exponenciális távolodása önmagában még nem kaotikus viselkedés. A káosznak ezen túl még feltétele, hogy a trajektóriák xt elemei egy véges tartományra korlátozódjanak, amit az ún. visszatérítési mechanizmus biztosít. Példaként tekintsük az xt +1 = 2 xt lineáris differenciaegyenletet. Ebben az esetben az xt explicit módon is meghatározható, azaz a

differenciaegyenlet megoldható: xl = x0 2 t . Legyen egy tetszlegesen kicsi pozitív szám, mérési hiba. Az x0 + kezdérték mellett a trajektória a t idpontban: ( x0 + )2 t = x0 2 t + 2 t = xt + 2 t , vagyis a trajektóriák exponenciálisan távolodnak. De ez a leképezés mégsem kaotikus, mivel xt nem korlátozódik véges tartományra. Az id elrehaladtával a trajektória a végtelenhez tart: lim( x0 2 t ) = . Ekkor
t

használható következtetést tudunk levonni a jövre vonatkozóan a kezdérték véges pontosságú ismerete estén is. Ezt azért tehetjük meg, mivel idben nem változik a hiba relatív nagysága: 2t = . Ezzel szemben a logisztikus differenciaegyenlet nemlineáris volta és a x0 x0 2 t kontrollparaméterre valamint x0 -ra tett kikötéseink biztosítják, hogy xt a [0; 1] intervallumra korlátozódjon, és megfigyelhessük a káosz jelenségét.
1.3.1 Az ergodicitás

8

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

A logisztikus leképezés vizsgálata során a kontrollparamétert növelve elször fixpontú attraktorokkal találkoztunk, majd ezek szerepét átvették az egyre nagyobb periódusidej határciklusú attraktorok, mígnem eljutottunk a káosz küszöbéig a végtelen periódusú határciklusig. Itt kezddik r kaotikus tartománya. Azonban ha ránézünk a bifurkációs diagrammra, láthatjuk, hogy nem olyan egyszer a helyzetünk, hogy azt mondhassuk: ezen a ponton túl a rendszer kaotikusan viselkedik. Csak annyit jelenthetünk ki, hogy ez az a tartomány, ahol elfordulhat kaotikus viselkedés. A kaotikus tartomány feltérképezését kezdjük az r = 4 értékkel. Itt találjuk az ún. teljesen kifejldött káoszt (1.8 ábra).
x t+1 a)
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

xt

b)

xt
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 0 10 20 30 40

t

1.8 ábra r=4, x0=0,1-hez tartozó kaotikus trajektória

Az ábra a) részén látható xt +1 = 4 xt (1 - xt ) leképezés jellegzetessége, hogy a [0;1/2] és az [1/2;1] intervallumokat kétszeresére nyújtja. A két szakasz megnyújtott képe egybeesik, ezt összehajtásnak nevezzük. A nyújtás és az összehajtás mozzanatát illusztrálja 1.9 ábra. 0 1/2 1 Nyújtás

Összehajtás

1.9 ábra Nyújtás és összehajtás

Az iteráció során tulajdonképpen sorozatosan végezzük a szakaszok nyújtását és összehajtását, ez kicsit olyan, mint amikor a háziasszony tésztát dagaszt. Így nem csoda, hogy igen bonyolult, önmagát nem ismétl, aperiodikus trajektóriát kapunk, mint amilyen a 1.8 ábra b) részén látható. A nyújtás és az összehajtás a káosz alapvet feltétele. A nyújtás felels a kezdeti feltételekre való érzékenységért, az összehajtás pedig a visszatérítési mechanizmusért. 9

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

Ha ránézünk az 1.8 ábrára láthatjuk, hogy a trajektória semmilyen szabályszerséget nem mutat, s értékei a teljes [0;1] intervallumra kiterjednek. Az ,, x0 -ból kiinduló pálya lassan kitölti a teljes [0;1] intervallumot, a pálya pontjai tetszlegesen közel kerülhetnek a [0;1] intervallum bármelyik másik pontjához. Az ilyen pályákat szokás ergodikusnak nevezni."Fokasz Nikosz[2]. Azonban nem minden x0 -hoz tartozik ergodikus pálya. r = 4 esetén a [0;1] intervallumon végtelen sok olyan x0 -t találunk, amelyekhez periodikus trajektória tartozik. Ezek a pontok azon instabil fixpontok, illetve instabil határciklusok pontjai, amelyek valamely r < 4 esetben még stabilak voltak, vagyis a repellorok. Az ergodikus trajektóriákhoz tartozó x0 pontok mértéke megegyezik a [0;1] intervallum hosszával, azaz majdnem minden kezdeti feltételbl kiindulva ergodikus trajektóriát kapunk. Más szavakkal: ha véletlenszeren választunk kezdértéket a [0;1] intervallumból (mondjuk egyenletes eloszlás mellett) nulla a valószínsége, hogy periodikus trajektóriát találunk. Mesterségesen azonban megpróbálhatunk ilyet keresni:
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x t+1

a)
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

xt

b)

xt

0 0 10 20 30 40

t

1.10 ábra r=4, x0 = (5 + 5 ) / 8 -hoz tartozó periodikus pálya

Az ergodicitás pontos matematikai definíciója szerint: ,,Ergodikusnak tekintjük az xt +1 = f ( xt ) iterációt, ha majdnem minden kezdeti feltételbl kiindulva a h( xt ) integrálható függvény trajektória menti átlaga eláll a 1 1 N lim h( xt ) = h( x) P( x)dx N N t =0 0 alakban"Szépfalusy[1]. A képletben P(x) az a srségfüggvény, amely szerint az ergodikus trajektória felveszi a [0;1] intervallum pontjait. P(x) nem függ x0 konkrét értékétl, csak a leképezés alakjától. P(x)-et gyakorisági görbével közelíthetjük. A 1.11 ábrán látható az r = 4 hez tartozó logisztikus leképezés gyakorisági görbéje, amelyet úgy kaptuk, hogy a [0;1] intervallumot ezer egyenl részre osztottuk, és 1000000 iterációt végezve megszámoljuk, hogy a trajektória hányszor esik az egyes intervallumokba.

10

Konjuktúrakutatás
1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 ,0 0 0 ,2 0 0 ,4 0 0 ,6 0

Dátum: 2007.04.16.

0 ,8 0

1 ,0 0

1.11 ábra Ergodikus trajektória gyakorisági görbéje

P(x) függvényt analitikusan is meghatározták: PL ( x) =

1

x(1 - x)

. Ha tehát egy dinamikus

rendszer viselkedését az r = 4 kontrollparaméter logisztikus leképezés írja le, hosszú távú elrejelzés esetén csak annyit mondhatunk, hogy a jövbeli értékek a [0;1] intervallumon szóródnak a megadott srségfüggvény szerint. Ergodikus leképezés esetén, a tartományt, amelyen az ergodikus trajektóriák értékei szóródnak, különös attraktornak nevezzük. Ezért jelen esetben a különös attraktornak a [0;1] intervallum felel meg. Az attraktor vonzási tartománya ugyancsak a [0;1] intervallum.
1.3.2 A Ljapunov exponens Az elrejelzéshez véges pontosságú mérési eredmény használhatatlan a kezdfeltételekre való érzékenység miatt. Most vizsgáljuk meg, hogy miként lehet mérni a közeli trajektóriák távolodásának a sebességét, vagyis a kezdfeltételekre való érzékenységet. Erre a célra legalkalmasabb az xt trajektória mentén definiált

1 N ln f ' ( xt ) N N t =0 Ljapunov exponens, ami a következ alakban is felírható: 1 N 1 1 = lim ln f ' ( x N ) f ' ( x N -1 )... f ' ( x0 ) = lim ln f ( N ) ' ( x0 ) = lim ln x N ( x0 ) N N N N N N t =0 ami közelítleg: 1 x ( x + ) - x N ( x0 ) lim ln N 0 N N ahol 0 . Ebbl azt kapjuk, hogy: x N ( x 0 + ) - x N ( x 0 ) e N

= lim

Ez utóbbi alak jól szemlélteti, hogy negatív Ljapunov exponens esetén a trajektóriák egymáshoz közelednek, vagyis érzéketlenek a kezdfeltételekre, amennyiben pozitív a pályák exponenciálisan távolodnak egymástól. Az említett közeledés illetve távolodás pedig annál gyorsabb, minél nagyobb az exponens abszolút értéke. Ha minden t-re xt = x * , azaz a rendszer fixpontjában van: 1 N ln f ' ( xt ) = ln f ' ( x * ) 1.5 N N t =0 Hasonlóan p=2 periódusú határciklusnál:

= lim

11

Konjuktúrakutatás
1 2 1 2

Dátum: 2007.04.16.

= (ln f ' ( x3* ) + ln f ' ( x4 * ) ) = ln( f ' ( x3* ) × f ' ( x4 * ) ) =
1.6 1 1 * * ( 2) ( 2) = ln f ' ( x4 ) = ln f ' ( x3 ) 2 2 Az 1.6 egyenlség mutatis mutandis bármilyen p periódusidej határciklusra felírható. Általánosan p=k periódus esetén: 1 = ln f '( k ) ( x * ) 1.7 k Ahol x * a határciklus pontja. Ez egyben azt is igazolja, hogy a határciklus bármely pontjában az f ( k ) ( x) leképezés meredeksége azonos, vagyis a határciklus pontjainak stabilitási viszonyai megegyeznek. 1.5-1.7 összefüggések nemcsak akkor teljesülnek, ha a trajektóriát fixpontból, vagy a határciklus valamely pontjából indítjuk, hanem akkor is, ha a fixpont illetve határciklus stabil és x0 eleme a vonzási tartománynak. Ekkor ugyanis a trajektória menti átlagolásnál a dönt súly az attraktor pontjaira esik. Ebbl az is következik, hogy adott attraktor vonzási tartományából indított bármely trajektória menti Ljapunov szám állandó. Ha figyelembe vesszük, amit a leképezések stabil fixpontjaiba húzott érint meredekségérl tudunk, nem nehéz belátni, hogy a fixpontú és határciklusú attraktorok vonzási tartományaiból indított trajektóriákra a Ljapunov szám negatív, ha pedig a trajektória valamely repellor értékeit veszi fel pozitív. 1.7-ból az is következik, hogy végtelen periódusú határciklus esetén = 0 . Ergodikus leképezés esetén a meredekségek logaritmusát a különös attraktor pontjaira kell átlagolni az érvényesül srségfüggvénynek megfelel ,,súlyokkal". Ez integrálást jelent:

= P( x) ln f ' ( x) dx0
0

1

Mivel valamely különös attraktor vonzási tartományából indított valamennyi ergodikus trajektória azonos tartományon, azonos P(x) mellett szóródik, különös attraktor esetén is igaz, hogy az attraktor vonzási tartományából indított bármely trajektória mentén a Ljapunov szám megegyezik. Láttuk tehát, hogy a Ljapunov exponens egy adott trajektóriát jellemez. A teljes leképezés kaotikusságát az átlagos Ljapunov kitev méri: 1 átl . = ( x0 )dx0 I Ahol arra az I hosszúságú intervallumra történik az integrálás, amelyen az adott leképezést értelmeztük. Azt is beláttuk, hogy adott leképezés attraktorának vonzási tartományából indított trajektóriákra a Ljapunov szám állandó. Mivel a logisztikus leképezésnél majdnem minden x0 eleme az attraktor vonzási tartományának, a Ljapunov exponens majdnem minden kezdeti értékre megegyezik, s egyenl az átlagos Ljapunov exponenssel. Az 1.12 ábra r függvényében mutatja az átlagos Ljapunov exponens értékét:

12

Konjuktúrakutatás
0 ,8 0 ,6 Ljapunov exponens 0 ,4 0 ,2 0 -0 ,2 -0 ,4 -0 ,6 -0 ,8 -1 0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5

Dátum: 2007.04.16.

r 3 3 ,5 4

1.12 ábra Az átlagos Ljapunov exponens a kontrollparaméter függvényében

Elször tekintsük a 0 r r szakaszt. Itt a Ljapunov exponens sehol nem emelkedik nulla fölé, a rendszer érzéketlen a kezdfeltételekre. A görbe a szuperstabil fixpontú vagy szuperstabil határciklusú pontokban a mínusz végtelenhez tart. Az exponens értéke marginális stabilitás estén nulla. Ekkor a trajektóriák közti távolság az iteráció elrehaladtával nem változik. r = r esetén átl . = 0 . r = r felett található a kaotikus tartomány. Ezen a szakaszon találunk negatív és pozitív értékeket is. Azon r értékeknél, ahol az exponens pozitív a leképezés kaotikusan viselkedik, ahol negatív ott stabil határciklusú attraktort találunk. Ezen a szakaszon tehát felváltva követik egymást a rend és a káosz tartományai. Az átlagos Ljapunov exponens maximumát az r = 4 paraméterértéknél veszi fel, azt is tudjuk, hogy a maximum értéke: ln 2 0,693147 . Általánosságban egy ergodikus leképezésnél akkor beszélünk káoszról, ha az ergodikus trajektóriák mentén a Ljapunov exponens pozitív. Összegezzük tehát amit az r = 4 paraméterhez tartozó logisztikus leképezésrl tudunk: 1. Majdnem minden kezdérték esetén a leképezés ergodikus trajektóriát generál. 2. Végtelen sok, kezdértékhez tartozik periodikus pálya. Az ilyen kezdpontok halmazának a mértéke zérus. 3. Bármely a [0;1] intervallumból indított trajektória mentén a Ljapunov exponens pozitív. Az egymáshoz közel indított trajektóriák exponenciálisan távolodnak egymástól. 4. Minden ergodikus pálya mentén számított Ljapunov szám és az átlagos Ljapunov szám értéke: = ln 2. 5. Általánosságban egy ergodikus leképezésnél akkor beszélünk káoszról, ha az ergodikus trajektóriákhoz pozitív Ljapunov exponens tartozik. A leképezés tehát kaotikus. 6. Mivel az ergodikus pályák pontjai a leképezés teljes értelmezési tartományán szóródnak az ún. teljesen kifejldött káosz állapotáról beszélhetünk.
1.4. A kaotikus tartomány A logisztikus leképezés r < r < 4 kontrollparaméterérték melletti viselkedésének feltérképezéséhez hívjuk segítségül a bifurkációs diagram ezen tartományt ábrázoló részét, amelyen megfigyelhetek a különböz r értékhez tartozó periodikus és különös attraktorok (1.13 ábra). Az ábráról látszik, hogy a kontrollparaméter kaotikus tartományában a különös és a periodikus attraktorok váltakozva követik egymást. Elször csak a különös attraktorokkal foglalkozzunk. r = 4 esetben a különös attraktor nem más, mint a teljes [0;1] intervallum. A paramétert

13

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

csökkentve a különös attraktornak megfelel intervallum szkülni kezd. Az ergodikus ( 2) ^ ^ trajektóriák mozgása véges számú lépés után az [ f L ( x); f L ( x)] intervallumra korlátozódik, ^ ^ (ahol x az fL(x) parabola maximumhelye, x = 1 / 2 ), azaz a különös attraktor ezen az intervallumon nem nyúlhat túl. Tekintsük például az r = 3,91 -hez tartozó gyakorisági görbét (1.14 ábra):
8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1

1.14 ábra r=3,91-hez tartozó ergodikus pálya gyakorisági görbéje Az ábrán nem csak az figyelhet meg, hogy a különös attraktor a [0;1] intervallumnál rövidebb intervallumnak felel meg, hanem az is hogy a PL(x) srségfüggvény más jelleg, mint a teljesen kifejldött káosz esetében. r = 4 esetben a srségfüggvény folytonos volt a (0;1) intervallumon, a 1.14 ábrán viszont kisebb-nagyobb kicsúcsosodásokat látunk. Ennek az az oka, (t ) ^ hogy a srségfüggvénynek az f L ( x) t=1, 2, 3, ... pontokban a határértéke + . Ezeknek a csúcsoknak a bifurkációs diagrammon a környezetüknél sötétebb vonalak felelnek meg. Az r = 4 -hez tartozó srségfüggvény határértéke csak két helyen volt + , az x=0 és az x=1 (t ) ^ pontokban. Mivel az x=0 pont fixpont, r = 4 -nél ez a két pont felelt meg az f L ( x ) pontoknak, de r < 4 esetben több ilyen pontot is találunk.
1.4.1 A kaotikus sávok kettéválásának végtelen sorozata A kontrollparaméter értékét tovább csökkentve r = p1 3,6785738 1 értéknél a különös attraktor sávja kettéválik, azaz az attraktort két elkülönült intervallumban fogja megtestesíteni. A kettéválás jelensége jól szemléltethet, ha a logisztikus leképezés második iteráltját a p1 paraméterérték mellett ábrázoljuk ( 1.15 ábra) .
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 xt xt+2

1.15 ábra r=p1 értékhez tartozó f L

( 2)

( x) leképezés

1

p1 értéke az f L

( 3)

^ ( p1 , x) = x 2 egyenletbl határozható meg. 14

*

Konjuktúrakutatás
( 2)

Dátum: 2007.04.16.

A kijelölt négyzetekben az f L ( x) leképezés képe hasonló a teljesen kifejldött káosz állapotához. A négyzetekben a teljesen kifejldött káosz lokálisan valósul meg. Ahol a négyzetek oldalai képviselik a különös attraktorokat, és azok vonzási tartományait. Ezen vonzási tartományokból indított ergodikus trajektóriák mentén a Ljapunov exponens értéke = ln 2 . A második iterált által meghatározott leképezés viselkedése magánál a logisztikus leképezésnél ( 2) * ^ abban nyilvánul meg, ,,hogy az iteráció p=2 periódussal oszcillál az [ f L ( p1 , x); x 2 ] és az
* ^ [ x2 ; f L ( p1 , x)] intervallumok között, míg az intervallumokat kaotikus módon járja be"Szépfalusy[1]. Az r1-hez tartozó srségfüggvényt mutatja be a 1.16 ábra:
8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1

1.16 ábra Gyakorisági görbe r = p1 -nél

r = p1 paraméterértéknél a teljes f L (x) leképezés által generált ergodikus trajektóriák mentén a Ljapunov exponens a következképpen határozható meg: 1 2N ( p1 ) lim ln f ' ( xt ) = N 2 N t = 0 ,1...

1 1 2N ln 2 lim 2..ln f '( 2) ( xt ) 2 2 N N t =0 , Ami várakozásainknak megfelelen pozitív. A kontrollparamétert csökkentve a 1.15 ábrán látható görbe nem érinti többé a négyzetek oldalait. A kontrollparaméter kaotikus értékeinél a ( 2) ( 4) ( 3) ^ ^ ^ ^ különös attraktornak az [ f L ( x); f L ( x)] és az [ f L ( x); f L ( x)] egyre csökken hosszúságú intervallum felel meg. r-t tovább csökkentve r = p 2 értéknél a különös attraktor intervallumai kettéválnak, így az már négy egyre csökken intervallumból tevdik össze. Ekkor az ergodikus trajektóriák p=4 periódussal oszcillálnak a négy szakasz között (hasonlóan a stabil határciklushoz), de az egyes intervallumokon belül már az adott leképezésre jellemz srségfüggvény szerint, kaotikus módon veszik fel konkrét értéküket. A paramétert tovább =
csökkentve folytatódik az intervallumok osztódása. Az r = p k értéknél az

fL

( 2k )

( x)

leképezésben lokálisan 2 k számú teljesen kifejldött káoszt találunk. A p k pontban a 2 k -1 számú sáv mindegyike kettéválik. Az ergodikus trajektóriák menti ln 2 (t ) ^ Ljapunov exponens: ( p k ) = k . A 2 k sáv határait r [ p k +1 ; p k ] intervallumán f L ( x ) pontok 2 jelölik ki. A sávok között a trajektóriák 2 k periódusidvel oszcillálnak. Amint az a bifurkációs diagrammon is megfigyelhet: lim p k = r , azaz a határérték megegyezik a végtelen periódusú
k

határciklusnak megfelel r paraméterértékkel. A végtelen periódusú határciklus tehát átmenet a
15

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

periodikus mozgás és a káosz között. Ez az átmeneti jelleg alapveten a végtelen periódusú határciklusú attraktoron történ mozgás két tulajdonságában nyilvánul meg. Elször is a Ljapunov exponens értéke nulla. Másodszor ez a mozgás nem periodikus hiszen soha nem ismétli meg önmagát. De nem is ergodikus, mivel nem tudunk olyan intervallumot kijelölni, amelynek bármely pontjához a trajektória elbb-utóbb tetszlegesen közel kerül.
1.4.2 Periodikus és különös attraktorok váltakozása Egy másik szembetn jelenség, amelyet a kaotikus tartományban megfigyelhetünk a határciklusú és a különös attraktorok váltakozása. r = 4 esetben a leképezés maximumhelyének (t ) ^ iteráltja az x = 0 fixpont, vagyis f L ( x) = 0 , t=2, 3, 4, ... . De ha r hajszálnyival kisebb négynél, akkor ez a sorozat lassan növekv számokkal kezddik. 4 - r > 0 minnél kisebb az (t ) ^ ^ f L ( x) sorozat annál késbb éri el, vagy haladja meg az x 0,5 értéket. A kontrollparamétert közelítve négyhez a sorozat ezen elemeinek száma tetszlegesen növelhet. A paramétert csökkentve az r = p q helyeken áthaladva az elemek száma eggyel csökken. Az r = p q esetben

^ ^ f L ( x) = x , q=...5, 4, 3. Vagyis mieltt elérnénk az r = p1 értéket a ... p q , p q -1 ,..., p3 pontokban ..., p=q, p=q-1, ..., p=3 periódusú határciklusokkal találkozunk. ^ Mivel a ciklusokban szerepel az x maximumhely ezen határciklusok szuperstabilak, vagyis az ezekhez tartó trajektóriák mentén = - . A p=3 szuperstabil határciklust mutatja be a 1.17 ábra:
a) b)

(q)

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

x t+1

xt+3 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

xt
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

xt

1.17 ábra

r = p3 3,83187 paraméter mellett a) a logisztikus leképezés p=3 periódusú stabil határciklusa, b) a

logisztikus leképezés harmadik iteráltjának három stabil fixpontja

Az ábra a) részén a nyilak a stabil határciklus pontjainak bejárási sorrendjét érzékeltetik. A b) ábrán a szuperstabil fixpontok körüli négyzetekben r -t növelve megfigyelhet a bifurkációk végtelen sorozata, majd a különös attraktorok sávszerkezete, valamint a periodikus és különös attraktorok váltakozása. Vegyük észre, hogy a kaotikus tartomány határciklusainak bejárási sorrendje más logikát követ, mint amilyet a bifurkációk sorozatánál megfigyeltünk. A kétfajta bejárási sorrendet p=4 periódusidre a 1.18 ábra mutatja. A kaotikus tartományban p=3 és p=4 periódusú stabil határciklusból csak 1-1 létezik, de p=5 periódusúból már három, mindegyik más bejárási sorrenddel, ,,s a periódusok számával gyorsan 16

Konjuktúrakutatás

Dátum: 2007.04.16.

növekszik az elforduló határciklusok száma"Szépfalusy[1]. Mindezekbl látható, hogy a bifurkációs diagram rendkívül bonyolult struktúrájú.

1.18 ábra p=4 periódusú határciklus a)

r 3,96027 esetben, b) r 3,49856 esetben

Egyes részleteit bármekkorára is kinagyítjuk, az ugyanilyen mérték részletezettséget mutat. Továbbá a rész hasonló stuktúrájú, mint az egész, az alakzat önhasonló, fraktáltulajdonságai vannak. Felmerül továbbá a kérdés, hogy valójában r mely értékeinél találunk káoszt. Általában egy adott paraméterérték, és kezdfeltétel esetén a trajektória kaotikus viselkedését tesztelhetjük a Ljapunov exponens és a P(x) srségfüggvény numerikus úton történ meghatározásával. Az viszont bebizonyítható hogy azon r paraméterértékek halmazának a mértéke, amelyeknél a rendszer kaotikusan viselkedik nagyobb, mint nulla. Kaotikus mozgást érhetünk el, ha r = p q pontból kiindulva a kontrollparamétert lassan csökkentjük. A káosz kialakulásának ezen útja az intermittencia.

17



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

11.12-1 a csoport adóellenőrzés anyagismeret 2 ásványtan atkinson beruházási függvény bioinformatika biológiai vízminősítés elosztás épterv falusi turizmus fizika1 földrajz frei otto függvény gazdasági határérték hónolás illeték írányítástechnika jegyzetek kidolgozott kidolgozott kiskérdések kivágó lyukasztó szerszám tervezése kivitel kötelező olvasmány kritgyak lorca marx méhen belüli fejlődés minden munkaerő nevelés nonverbális kommunikáció nummód nyelvművelés program rugó szakdolgozat szervezeti szte-btk dr. simon józsef természet földrajz tétel tőke törvény trade tükör vállalat helye vegyipari