4. Előadás
Országok listája
HungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek4. Előadás
2007.11.25 19:48:07
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Analízis
Dr. Tasnádi Attila
Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék
2007. október 3.
Részsorozatok
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat.
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata.
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .)
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!).
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!). Tétel: Minden korlátos sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat.
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!). Tétel: Minden korlátos sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat. Biz.: Ha {an } véges,
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!). Tétel: Minden korlátos sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat. Biz.: Ha {an } véges, akkor valamelyik eleme végtelenszer szerepel,
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!). Tétel: Minden korlátos sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat. Biz.: Ha {an } véges, akkor valamelyik eleme végtelenszer szerepel, és az ezek által alkotott részsorozat konvergens.
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!). Tétel: Minden korlátos sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat. Biz.: Ha {an } véges, akkor valamelyik eleme végtelenszer szerepel, és az ezek által alkotott részsorozat konvergens. Ha {an } végtelen,
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!). Tétel: Minden korlátos sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat. Biz.: Ha {an } véges, akkor valamelyik eleme végtelenszer szerepel, és az ezek által alkotott részsorozat konvergens. Ha {an } végtelen, akkor van A R srsödési helye.
Részsorozatok
Definíció: Adott egy (an ) sorozat és egy (bn ) szig. monoton növeked pozitív tagú (akár véges) sorozat. Ekkor az (abn ) sorozat az (an ) egy részsorozata. Példa: Az (n) = (1, 2, . . .) részsorozata (n2 ) = (1, 4, 9, . . .) és (1/n) részsorozata (1/n!). Tétel: Minden korlátos sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat. Biz.: Ha {an } véges, akkor valamelyik eleme végtelenszer szerepel, és az ezek által alkotott részsorozat konvergens. Ha {an } végtelen, akkor van A R srsödési helye. Képezzük a b1 , b2 , . . . sorozatot a következképpen:
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an },
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A)
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}.
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek és limk bk = A. 2
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek és limk bk = A. Tétel: Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata konvergens, 2
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek és limk bk = A. Tétel: Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata konvergens, és az eredeti sorozat határértékéhez tart. 2
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek és limk bk = A. Tétel: Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata konvergens, és az eredeti sorozat határértékéhez tart. Biz.: Legyen limn an = A és (bn ) egy szig. monoton növeked pozitív sorozat. 2
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek és limk bk = A. Tétel: Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata konvergens, és az eredeti sorozat határértékéhez tart. Biz.: Legyen limn an = A és (bn ) egy szig. monoton növeked pozitív sorozat. A konvergencia miatt adott > 0-hoz n0 N : n n0 : |an - A| < . 2
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek és limk bk = A. Tétel: Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata konvergens, és az eredeti sorozat határértékéhez tart. Biz.: Legyen limn an = A és (bn ) egy szig. monoton növeked pozitív sorozat. A konvergencia miatt adott > 0-hoz n0 N : n n0 : |an - A| < . Ekkor a részsorozat esetén n bn miatt ugyanaz az n0 alkalmas (abn ) küszöbindexének 2
· legyen b1 = am1 U1 (A) {an }, és · ha i {1, . . . , k - 1} : bi = ami U1/i (A) {an }, legyen bk = amk U1/k (A) {am(k-1) +1 , am(k-1) +2 , . . .}. Ekkor (bk ) részsorozata (an )-nek és limk bk = A. Tétel: Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata konvergens, és az eredeti sorozat határértékéhez tart. Biz.: Legyen limn an = A és (bn ) egy szig. monoton növeked pozitív sorozat. A konvergencia miatt adott > 0-hoz n0 N : n n0 : |an - A| < . Ekkor a részsorozat esetén n bn miatt ugyanaz az n0 alkalmas (abn ) küszöbindexének (már b-1 (n0 ) is megfelelne). 2 2
További nevezetes határértékek
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ).
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1.
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. n c = 1.
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. n c = 1.
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, n c = 1.
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn .
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c = (1 + hn )n
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c = (1 + hn )n 1 + nhn
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n
n
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n Tehát 1 < n c 1 + c-1 , n
n
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n Tehát 1 < n c 1 + c-1 , amibl következik az állítás. n
n
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n Tehát 1 < n c 1 + c-1 , amibl következik az állítás. n
n
(iii) Legyen 0 < c < 1.
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n Tehát 1 < n c 1 + c-1 , amibl következik az állítás. n
n
(iii) Legyen 0 < c < 1. Ekkor
1 c
> 1,
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n Tehát 1 < n c 1 + c-1 , amibl következik az állítás. n
n
(iii) Legyen 0 < c < 1. Ekkor lim
n
1 c
> 1, és ezért
n
1 c
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n Tehát 1 < n c 1 + c-1 , amibl következik az állítás. n
n
(iii) Legyen 0 < c < 1. Ekkor lim
n
1 c
> 1, és ezért
n
1 1 = lim c n n c
További nevezetes határértékek
Tétel: Legyen c (0, ). Ekkor limn n c = 1. Biz.: (i) c = 1 nyilvánvaló. (ii) Legyen c > 1. Ekkor n c > 1, és ezért létezik olyan (hn ) pozitív tagú sorozat, amelyre n c = 1 + hn . A Bernoulli egyenltlenség alapján c-1 c = (1 + hn ) 1 + nhn hn . n Tehát 1 < n c 1 + c-1 , amibl következik az állítás. n
n
(iii) Legyen 0 < c < 1. Ekkor lim
n
1 c
> 1, és ezért 2
n
1 1 = lim = 1. c n n c
Tétel: Legyen c R.
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Tétel: Legyen c R. Ekkor Biz.: (i) Legyen c > 1
cn limn n!
= 0.
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c].
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn n!
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm = n! m!
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c = n! m! m + 1
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c = ··· n! m! m + 1
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c = ··· n! m! m + 1 n
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c cm c = ··· < n! m! m + 1 n m! n
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c cm c = ··· < 0, ha n . n! m! m + 1 n m! n
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c cm c = ··· < 0, ha n . n! m! m + 1 n m! n
(ii) A c = 1 esetben az (1/n) egy részsorozatáról van szó.
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c cm c = ··· < 0, ha n . n! m! m + 1 n m! n
(ii) A c = 1 esetben az (1/n) egy részsorozatáról van szó.
1 (iii) Ha 0 c < 1, akkor cn n! két nullsorozat szorzata.
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c cm c = ··· < 0, ha n . n! m! m + 1 n m! n
(ii) A c = 1 esetben az (1/n) egy részsorozatáról van szó.
1 (iii) Ha 0 c < 1, akkor cn n! két nullsorozat szorzata.
(iv) Ha c < 0, akkor
cn limn n!
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c cm c = ··· < 0, ha n . n! m! m + 1 n m! n
(ii) A c = 1 esetben az (1/n) egy részsorozatáról van szó.
1 (iii) Ha 0 c < 1, akkor cn n! két nullsorozat szorzata.
(iv) Ha c < 0, akkor
cn limn n!
=
|c|n limn n!
= 0,
Tétel: Legyen c R. Ekkor
cn limn n!
= 0.
Biz.: (i) Legyen c > 1 és m = [c]. Ekkor minden n > m-re cn cm c c cm c = ··· < 0, ha n . n! m! m + 1 n m! n
(ii) A c = 1 esetben az (1/n) egy részsorozatáról van szó.
1 (iii) Ha 0 c < 1, akkor cn n! két nullsorozat szorzata.
(iv) Ha c < 0, akkor
cn limn n!
=
|c|n limn n!
= 0, 2
amibl adódik az állítás.
Kibvített valós számok halmaza
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {}
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < ,
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < , · x R {-} : - + x = x + (-) = -,
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < , · x R {-} : - + x = x + (-) = -, · x R {} : + x = x + = ,
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < , · x R {-} : - + x = x + (-) = -, · x R {} : + x = x + = , · x (0, ) {} : · x = x · = ,
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < , · x R {-} : - + x = x + (-) = -, · x R {} : + x = x + = , · x (0, ) {} : · x = x · = , · x (-, 0) {-} : · x = x · = -,
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < , · x R {-} : - + x = x + (-) = -, · x R {} : + x = x + = , · x (0, ) {} : · x = x · = , · x (-, 0) {-} : · x = x · = -, · x (0, ) {} : (-) · x = x · (-) = -,
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < , · x R {-} : - + x = x + (-) = -, · x R {} : + x = x + = , · x (0, ) {} : · x = x · = , · x (-, 0) {-} : · x = x · = -, · x (0, ) {} : (-) · x = x · (-) = -, · x (-, 0) {-} : (-) · x = x · (-) = ,
Kibvített valós számok halmaza
Legyen R = R {-} {} és · x R : - < x < , · x R {-} : - + x = x + (-) = -, · x R {} : + x = x + = , · x (0, ) {} : · x = x · = , · x (-, 0) {-} : · x = x · = -, · x (0, ) {} : (-) · x = x · (-) = -, · x (-, 0) {-} : (-) · x = x · (-) = , · x R :
x
=
x -
= 0.
Függvény határértékeke a végtelenben
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R.
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A,
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben.
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A.
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó.
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
=0
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben.
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
=0
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
= 0 és limx- x = -.
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
= 0 és limx- x = -.
Tétel: = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R.
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
= 0 és limx- x = -.
Tétel: = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ekkor limx f (x) = A
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
= 0 és limx- x = -.
Tétel: = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ekkor limx f (x) = A > 0 :
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
= 0 és limx- x = -.
Tétel: = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ekkor limx f (x) = A > 0 : x0 R :
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
= 0 és limx- x = -.
Tétel: = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ekkor limx f (x) = A > 0 : x0 R : x (x0 , ) M :
Függvény határértékeke a végtelenben
Definíció: Legyen = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ha az xn M (n N) végtelenbe tartó sorozatokra limn (f (xn )) = A, akkor az f -nek van határértéke a végtelenben. Jele: limx f (x) = A. Megj.: M = N esetén a sorozat határértékérl van szó. Példa: limx
1 x
= 0 és limx x = .
Megjegyzés: Hasonlóképpen definiálható a függvény határértéke a mínusz végtelenben. Példa: limx-
1 x
= 0 és limx- x = -.
Tétel: = M R felülrl nem korlátos, f : M R és A R. Ekkor limx f (x) = A > 0 : x0 R : x (x0 , ) M : |f (x) - A| < .
Függvény végesben vett határértéke
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye.
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A,
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen.
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A. Példa: limx1
1 x
= 1,
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A. Példa: limx1
1 x
= 1, limx0
1 x
nem létezik
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
1 Példa: limx1 x = 1, limx0 1 limx0 |x| = . 1 x
nem létezik és
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
1 Példa: limx1 x = 1, limx0 1 limx0 |x| = . 1 x
nem létezik és
Tétel: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye.
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
1 Példa: limx1 x = 1, limx0 1 limx0 |x| = . 1 x
nem létezik és
Tétel: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ekkor limxa f (x) = A akkor és csak akkor teljesül,
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
1 Példa: limx1 x = 1, limx0 1 limx0 |x| = . 1 x
nem létezik és
Tétel: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ekkor limxa f (x) = A akkor és csak akkor teljesül, ha > 0 :
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
1 Példa: limx1 x = 1, limx0 1 limx0 |x| = . 1 x
nem létezik és
Tétel: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ekkor limxa f (x) = A akkor és csak akkor teljesül, ha > 0 : U (a) :
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
1 Példa: limx1 x = 1, limx0 1 limx0 |x| = . 1 x
nem létezik és
Tétel: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ekkor limxa f (x) = A akkor és csak akkor teljesül, ha > 0 : U (a) : x (U (a) M ) - {a} :
Függvény végesben vett határértéke
Definíció: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ha bármely a határérték, az a értéket nem tartalmazó xn M (n N) sorozatra limn (f (xn )) = A, akkor létezik az f -nek a határértéke az a helyen. Jelölés: limxa f (x) = A.
1 Példa: limx1 x = 1, limx0 1 limx0 |x| = . 1 x
nem létezik és
Tétel: Legyen M R, f : M R, A R és a R az M srsödési helye. Ekkor limxa f (x) = A akkor és csak akkor teljesül, ha > 0 : U (a) : x (U (a) M ) - {a} : |f (x) - A| < .
Korlátosság és monotonitás
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos,
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R :
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x)
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K).
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos.
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M )
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )).
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )). Definíció: Az f : M R, M R függvény monoton növeked (csökken) az A M halmazon,
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )). Definíció: Az f : M R, M R függvény monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) f (y)
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )). Definíció: Az f : M R, M R függvény monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) f (y) (f (x) f (y)).
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )). Definíció: Az f : M R, M R függvény monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) f (y) (f (x) f (y)). f monoton, ha monoton növeked vagy monoton csökken.
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )). Definíció: Az f : M R, M R függvény monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) f (y) (f (x) f (y)). f monoton, ha monoton növeked vagy monoton csökken. Definíció: Az f : M R, M R függvény szigorúan monoton növeked (csökken) az A M halmazon,
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )). Definíció: Az f : M R, M R függvény monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) f (y) (f (x) f (y)). f monoton, ha monoton növeked vagy monoton csökken. Definíció: Az f : M R, M R függvény szigorúan monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) < f (y)
Korlátosság és monotonitás
Definíció: Az f : M R, M R függvény alulról (felülrl) korlátos, ha K R : x M : K f (x) (f (x) K). Továbbá f korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos. Az f alsó (fels) határa inf f (x) = inf f (M ) (sup f (x) = sup f (M )). Definíció: Az f : M R, M R függvény monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) f (y) (f (x) f (y)). f monoton, ha monoton növeked vagy monoton csökken. Definíció: Az f : M R, M R függvény szigorúan monoton növeked (csökken) az A M halmazon, ha x, y A : x y f (x) < f (y) (f (x) > f (y)).
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos,
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R.
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R.
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek,
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - .
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - . Mivel f monoton n, ezért x x0 : |f (x) - | < . 2
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - . Mivel f monoton n, ezért x x0 : |f (x) - | < . 2 További analóg tételek.
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - . Mivel f monoton n, ezért x x0 : |f (x) - | < . 2 További analóg tételek. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton fogy és alulról korlátos,
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - . Mivel f monoton n, ezért x x0 : |f (x) - | < . 2 További analóg tételek. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton fogy és alulról korlátos, akkor limx f (x) = inf f (x) R.
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - . Mivel f monoton n, ezért x x0 : |f (x) - | < . 2 További analóg tételek. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton fogy és alulról korlátos, akkor limx f (x) = inf f (x) R. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n (fogy) és nem korlátos, akkor limx f (x) = (limx f (x) = -).
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - . Mivel f monoton n, ezért x x0 : |f (x) - | < . 2 További analóg tételek. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton fogy és alulról korlátos, akkor limx f (x) = inf f (x) R. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n (fogy) és nem korlátos, akkor limx f (x) = (limx f (x) = -). Köv.: Monoton függvények esetén bármely végtelenbe tartó (xn ) sorozatra
Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n és felülrl korlátos, akkor limx f (x) = sup f (x) R. Biz.: = sup f (x) R. Bármely > 0-ra - már nem fels korlátja f -nek, ezért x0 (a, ) : f (x0 ) > - . Mivel f monoton n, ezért x x0 : |f (x) - | < . 2 További analóg tételek. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton fogy és alulról korlátos, akkor limx f (x) = inf f (x) R. Tétel: Ha f : (a, ) R monoton n (fogy) és nem korlátos, akkor limx f (x) = (limx f (x) = -). Köv.: Monoton függvények esetén bármely végtelenbe tartó (xn ) sorozatra limx f (x) = limn f (xn ).
Mveleti szabályok
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B.
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa
lim (f (x) + g(x)) =
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa
lim (f (x) - g(x))
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa xa xa
lim (f (x) - g(x)) = lim f (x) - lim g(x) = A - B
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa xa xa
lim (f (x) - g(x)) = lim f (x) - lim g(x) = A - B
xa
lim (f (x)g(x))
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa xa xa
lim (f (x) - g(x)) = lim f (x) - lim g(x) = A - B
xa
lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) = AB
xa xa
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa xa xa
lim (f (x) - g(x)) = lim f (x) - lim g(x) = A - B
xa
lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) = AB
xa xa
f (x) lim xa g(x)
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa xa xa
lim (f (x) - g(x)) = lim f (x) - lim g(x) = A - B
xa
lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) = AB
xa xa
f (x) lim xa g(x)
=
limxa f (x) A = , ha B = 0. limxa g(x) B
Mveleti szabályok
T.f.h. a R, A R, limxa f (x) = A és limxa g(x) = B. Ekkor
xa xa
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = A + B
xa xa xa xa
lim (f (x) - g(x)) = lim f (x) - lim g(x) = A - B
xa
lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) = AB
xa xa
f (x) lim xa g(x)
=
limxa f (x) A = , ha B = 0. limxa g(x) B
Biz.: Következik a sorozatokra vonatkozó mveleti szabályokból. 2
Nevezetes határértékek
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 .
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ).
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R :
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < .
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x.
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < ,
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < , akkor |p(x) - p(x0 )|
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < , akkor |p(x) - p(x0 )| = |x - x0 | < .
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < , akkor |p(x) - p(x0 )| = |x - x0 | < . (3) limxx0 axn = axn a szorzás mveleti szabályából. 0
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < , akkor |p(x) - p(x0 )| = |x - x0 | < . (3) limxx0 axn = axn a szorzás mveleti szabályából. 0 (4) Alkalmazzuk az összeadás mveleti szabályát. 2
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < , akkor |p(x) - p(x0 )| = |x - x0 | < . (3) limxx0 axn = axn a szorzás mveleti szabályából. 0 (4) Alkalmazzuk az összeadás mveleti szabályát. 2
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0.
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < , akkor |p(x) - p(x0 )| = |x - x0 | < . (3) limxx0 axn = axn a szorzás mveleti szabályából. 0 (4) Alkalmazzuk az összeadás mveleti szabályát. 2
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi xi i=0 j c i xi i=0
x±
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyen p(x) = an xn + an-1 xn - 1 + . . . + a1 x + a0 . Ekkor bármely x0 R-re limxx0 p(x) = p(x0 ). Biz.: (1) p(x) = c-re > 0 : x R : |p(x) - c| < . (2) p(x) = x. Ha |x - x0 | < , akkor |p(x) - p(x0 )| = |x - x0 | < . (3) limxx0 axn = axn a szorzás mveleti szabályából. 0 (4) Alkalmazzuk az összeadás mveleti szabályát. 2
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi xi i=0 = lim j ci xi n± i=0
x±
bk xk . j cj x
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R).
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0.
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2),
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|.
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0.
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2)
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1.
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0.
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x =
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =sin a, ha x a.
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =sin a, ha x a. cos x = cos(x - a + a) =
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =sin a, ha x a. cos x = cos(x - a + a) =cos(x - a) cos a - sin(x - a) sin a
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =sin a, ha x a. cos x = cos(x - a + a) =cos(x - a) cos a - sin(x - a) sin a
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =sin a, ha x a. cos x = cos(x - a + a) =cos(x - a) cos a - sin(x - a) sin a
1 · cos a
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =sin a, ha x a. cos x = cos(x - a + a) =cos(x - a) cos a - sin(x - a) sin a
1 · cos a-0 · sin a =
Tétel: limxa sin x = sin a és limxa cos x = cos a (a R). Biz.: (i) Legyen a = 0. Ha x (-/2, /2), akkor 0 | sin x| < |x|. Ha x 0 |x| 0 | sin x| 0 sin x 0. Ha x (-/2, /2) cos x > 0 és 1 | sin x| + cos x 1 - | sin x| cos x 1 limx0 cos x = 1. (ii) Legyen a = 0. sin x = sin(x - a + a) =sin(x - a) cos a + cos(x - a) sin a
0 · cos a+1 · sin a =sin a, ha x a. cos x = cos(x - a + a) =cos(x - a) cos a - sin(x - a) sin a 2
1 · cos a-0 · sin a =cos a, ha x a.
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x|
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 1< < | sin x| cos x
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
1 - cos x x
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
1 - cos x 1 - cos2 x = x x(1 + cos x)
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
1 - cos x 1 - cos2 x sin x 1 = = sin x x x(1 + cos x) x 1 + cos x
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
1 - cos x 1 - cos2 x sin x 1 = = sin x 1 x x(1 + cos x) x 1 + cos x
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
1 - cos x 1 - cos2 x sin x 1 = = sin x 1·0 x x(1 + cos x) x 1 + cos x
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
1 - cos x 1 - cos2 x sin x 1 1 = = sin x 1·0· x x(1 + cos x) x 1 + cos x 2
Tétel: limx0
sin x x
= 1 és limx0
1-cos x x
= 0.
Biz.: Ha x (-/2, /2) és x = 0 | sin x| < |x| < | tan x| |x| 1 sin x 1< < cos x < <1 | sin x| cos x x limx0
sin x x
= 1.
1 - cos x 1 - cos2 x sin x 1 1 = = sin x 1·0· x x(1 + cos x) x 1 + cos x 2
2
Hasonló témájú dokumentumok
- 2007-11-25 19:57:21
- 2007-11-25 19:46:19
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Küldj üzenetet a szakod vagy évfolyamod összes hallgatója számára. Hasznos lehet ha választ keresel egy kérdésre, vagy mindenkivel tudatni akarsz egy információt. Ehhez használd az Üzeneteken belül a baloldali dobozban az Üzenet írását.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
