3. Előadás
Országok listája
HungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek3. Előadás
2007.11.25 19:46:19
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
Analízis
Dr. Tasnádi Attila
Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék
2007. szeptember 26.
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos,
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos.
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az.
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos.
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
<
1 1+ n
n+1
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
<
1 1+ n
n+1
4,
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
<
1 1+ n
n+1
4, 2
(an ) felülrl is korlátos.
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
<
1 1+ n
n+1
4, 2
(an ) felülrl is korlátos. Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa,
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
<
1 1+ n
n+1
4, 2
(an ) felülrl is korlátos.
Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa, akkor (an ) alsó határa inf(an ) = inf{an }.
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
<
1 1+ n
n+1
4, 2
(an ) felülrl is korlátos.
Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa, akkor (an ) alsó határa inf(an ) = inf{an }. Ha {an }-nek van fels határa,
Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n
sorozat korlátos.
Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n
<
1 1+ n
n+1
4, 2
(an ) felülrl is korlátos.
Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa, akkor (an ) alsó határa inf(an ) = inf{an }. Ha {an }-nek van fels határa, akkor (an ) fels határa sup(an ) = sup{an }.
Sorozat torlódási helye
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz,
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = .
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye.
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye.
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen,
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a BolzanoWeierstrass-tételbl.
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a BolzanoWeierstrass-tételbl. Ha {an } véges,
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a BolzanoWeierstrass-tételbl. Ha {an } véges, akkor a sorozat valamelyik eleme végtelenszer fordul el.
Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2
0,
Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a BolzanoWeierstrass-tételbl. Ha {an } véges, akkor a sorozat valamelyik eleme végtelenszer fordul el. Egy végtelenszer elforduló elem egy torlódási hely. 2
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye,
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk.
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A.
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens.
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Tétel: limn an = A
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Tétel: limn an = A > 0 : |an - A| < .
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Tétel: limn an = A > 0 :n0 N : |an - A| < .
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Tétel: limn an = A > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < .
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Tétel: limn an = A > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Biz.: []
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Tétel: limn an = A > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Biz.: [] (an ) korlátos és egyetlen torlódási helye A,
Sorozat határértéke
Definíció: Ha az (an ) korlátos sorozatnak A R az egyetlen torlódási helye, akkor az (an )-t konvergensnek és A-t az (an ) határértékének (limeszének) mondjuk. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n
= 0.
Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példa: cos
n 4
divergens.
n=1
Tétel: limn an = A > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Biz.: [] (an ) korlátos és egyetlen torlódási helye A, ezért n N | xn (A - , A + ) / < .
Biz.: []
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < .
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A|
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet,
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát.
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely.
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek.
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re n0 N : n n0 : |an - A| < ,
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re n0 N : n n0 : |an - A| < , mivel n N | xn (B - , B + ) = .
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re n0 N : n n0 : |an - A| < , mivel n N | xn (B - , B + ) = . 2
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re n0 N : n n0 : |an - A| < , mivel n N | xn (B - , B + ) Példa: limn
1 (n+1)2
= .
2
= 0?
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re n0 N : n n0 : |an - A| < , mivel n N | xn (B - , B + ) Példa: limn
1 (n+1)2
= .
2
= 0?
1 < 2 (n + 1)
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re n0 N : n n0 : |an - A| < , mivel n N | xn (B - , B + ) Példa: limn
1 (n+1)2
= .
2
= 0?
1 1 < < 2 (n + 1) n+1
Biz.: [] T.f.h. > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < . Mivel bármely > 0 esetén |an - A| csak az a1 , . . . , an0 -1 sorozatbeli elemekre teljesülhet, K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |A - |, |A + |} alkalmas korlát. Belátandó még, hogy A az egyedüli torlódási hely. T.f.h. B R, B = A torlódási helye (an )-nek. Ekkor = |A - B|/2-re n0 N : n n0 : |an - A| < , mivel n N | xn (B - , B + ) Példa: limn
1 (n+1)2
= .
2
= 0?
1 1 1 < < - 1 < n. 2 (n + 1) n+1
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 : |an - am | < .
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N : |an - am | < .
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < .
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: []
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A,
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2.
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 :
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am |
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 []
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra:
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < .
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}.
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}. (an )-nek van A torlódási helye.
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}. (an )-nek van A torlódási helye. T.f.h. B = A is torlódási helye.
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}. (an )-nek van A torlódási helye. T.f.h. B = A is torlódási helye. := |A - B|/3.
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}. (an )-nek van A torlódási helye. T.f.h. B = A is torlódási helye. := |A - B|/3. Ekkor m, n n0 : am U (A)
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}. (an )-nek van A torlódási helye. T.f.h. B = A is torlódási helye. := |A - B|/3. Ekkor m, n n0 : am U (A) an U (B).
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}. (an )-nek van A torlódási helye. T.f.h. B = A is torlódási helye. := |A - B|/3. Ekkor m, n n0 : am U (A) an U (B). De |am - an | > .
Cauchy-féle konvergenciatétel: limn an = A > 0 :n0 N :m, n n0 :|an - am | < . Biz.: [] Ha limn an = A, akkor > 0 : n0 N : n n0 : |an - A| < /2. Ekkor m, n n0 : |an - am |= |an - A + A - am | |an - A| + |A - am |< + 2 2 [] Alkalmazzuk az elégséges feltételt n n0 és m = n0 -ra: |an - an0 | < . Ezért (an )-re alkalmas korlát K = max{|a1 |, . . . , |an0 -1 |, |an0 - |, |an0 + |}. (an )-nek van A torlódási helye. T.f.h. B = A is torlódási helye. := |A - B|/3. Ekkor m, n n0 : am U (A) an U (B). De |am - an | > .
2
Harmonikus sor: an =
n 1 i=1 i .
Harmonikus sor: an = Legyen (0, 1 ). 2
n 1 i=1 i .
Harmonikus sor: an = Legyen (0, 1 ). Ekkor 2 |a2n - an |
n 1 i=1 i .
Harmonikus sor: an = Legyen (0, 1 ). Ekkor 2
n 1 i=1 i .
1 1 |a2n - an |= + ... + n+1 2n
Harmonikus sor: an = Legyen (0, 1 ). Ekkor 2
n 1 i=1 i .
1 1 1 1 |a2n - an |= + ... + > + ... + n+1 2n 2n 2n
Harmonikus sor: an = Legyen (0, 1 ). Ekkor 2
n 1 i=1 i .
1 1 1 1 n 1 |a2n - an |= + ... + > + ... + = = . n+1 2n 2n 2n 2n 2
Harmonikus sor: an = Legyen (0, 1 ). Ekkor 2
n 1 i=1 i .
1 1 1 1 n 1 |a2n - an |= + ... + > + ... + = = . n+1 2n 2n 2n 2n 2 Tehát a harmonikus sor nem teljesíti a Cauchy-féle konvergenciatételt,
Harmonikus sor: an = Legyen (0, 1 ). Ekkor 2
n 1 i=1 i .
1 1 1 1 n 1 |a2n - an |= + ... + > + ... + = = . n+1 2n 2n 2n 2n 2 Tehát a harmonikus sor nem teljesíti a Cauchy-féle konvergenciatételt, és ezért divergens.
Tétel: Legyen (an ) monoton.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ).
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A. A monoton növekedésbl an an0 minden n n0 -ra.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A. A monoton növekedésbl an an0 minden n n0 -ra. Tehát n n0 : |an - A| < ,
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A. A monoton növekedésbl an an0 minden n n0 -ra. Tehát n n0 : |an - A| < , azaz (an ) határértéke A.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A. A monoton növekedésbl an an0 minden n n0 -ra. Tehát n n0 : |an - A| < , azaz (an ) határértéke A. A monoton csökken eset hasonlóan bizonyítható. 2
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A. A monoton növekedésbl an an0 minden n n0 -ra. Tehát n n0 : |an - A| < , azaz (an ) határértéke A. A monoton csökken eset hasonlóan bizonyítható. Köv.: Az an = 1 +
1 n n
2
sorozat konvergens.
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A. A monoton növekedésbl an an0 minden n n0 -ra. Tehát n n0 : |an - A| < , azaz (an ) határértéke A. A monoton csökken eset hasonlóan bizonyítható. Köv.: Az an = 1 +
1 n n
2
sorozat konvergens.
1 n n
Euler-féle e szám: e = limn 1 +
Tétel: Legyen (an ) monoton. Ekkor (an ) konvergens (an ) korlátos. Biz.: Legyen (an ) monoton növ. [] konvergencia definíciójából. [] Legyen (an ) korlátos és A = sup(an ). Ekkor > 0-ra A - nem fels korlátja (an )-nek. Ezért n0 N : A - < an0 A. A monoton növekedésbl an an0 minden n n0 -ra. Tehát n n0 : |an - A| < , azaz (an ) határértéke A. A monoton csökken eset hasonlóan bizonyítható. Köv.: Az an = 1 +
1 n n
2
sorozat konvergens.
1 n n
Euler-féle e szám: e = limn 1 +
2, 718281 . . ..
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye,
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen).
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -).
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an =
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R : K < an .
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N : K < an .
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an .
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb. Ekkor az (an )-nek van [A, K]-beli torlódási helye.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb. Ekkor az (an )-nek van [A, K]-beli torlódási helye.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb. Ekkor az (an )-nek van [A, K]-beli torlódási helye. [] Legyen K R és n0 a hozzátartozó küszöbindex.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb. Ekkor az (an )-nek van [A, K]-beli torlódási helye. [] Legyen K R és n0 a hozzátartozó küszöbindex. Ekkor min{a1 , . . . , an0 -1 , K} egy alsó korlát.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb. Ekkor az (an )-nek van [A, K]-beli torlódási helye. [] Legyen K R és n0 a hozzátartozó küszöbindex. Ekkor min{a1 , . . . , an0 -1 , K} egy alsó korlát. T.f.h. (an )-nek A torlódási helye.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb. Ekkor az (an )-nek van [A, K]-beli torlódási helye. [] Legyen K R és n0 a hozzátartozó küszöbindex. Ekkor min{a1 , . . . , an0 -1 , K} egy alsó korlát. T.f.h. (an )-nek A torlódási helye. Ekkor bármely K > A esetén (an )-nek végtelen sok eleme kisebb K-nál.
Definíció: Ha (an ) alulról (felülrl) korlátos és nincs torlódási helye, akkor a határértéke végtelen (mínusz végtelen). Jelölés: limn an = (limn an = -). Tétel: limn an = K R :n0 N :n n0 :K < an . Biz.: [] Legyen A az an alsó korlátja. T.f.h. K R, amelynél (an )-nek végtelen sok eleme nem nagyobb. Ekkor az (an )-nek van [A, K]-beli torlódási helye. [] Legyen K R és n0 a hozzátartozó küszöbindex. Ekkor min{a1 , . . . , an0 -1 , K} egy alsó korlát. T.f.h. (an )-nek A torlódási helye. Ekkor bármely K > A esetén (an )-nek végtelen sok eleme kisebb K-nál. 2
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel.
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens,
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = .
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos;
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos; de nem lehet korlátos,
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos; de nem lehet korlátos, mivel ez (an ) konvergenciáját implikálná.
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos; de nem lehet korlátos, mivel ez (an ) konvergenciáját implikálná. T.f.h. (an )-nek A egy torlódási helye.
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos; de nem lehet korlátos, mivel ez (an ) konvergenciáját implikálná. T.f.h. (an )-nek A egy torlódási helye. Mivel (an ) felülrl nem korlátos,
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos; de nem lehet korlátos, mivel ez (an ) konvergenciáját implikálná. T.f.h. (an )-nek A egy torlódási helye. Mivel (an ) felülrl nem korlátos, m N : am > A.
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos; de nem lehet korlátos, mivel ez (an ) konvergenciáját implikálná. T.f.h. (an )-nek A egy torlódási helye. Mivel (an ) felülrl nem korlátos, m N : am > A. Ezért (an ) monotonitása miatt U|am -A| (A) {a1 , . . . , am-1 }.
Hasonlóan igazolható az alábbi tétel. Tétel: limn an = - K R : n0 N : n n0 : an < K.
Tétel: Ha (an ) monoton n és divergens, akkor limn an = . Biz.: (an ) nyilván alulról korlátos; de nem lehet korlátos, mivel ez (an ) konvergenciáját implikálná. T.f.h. (an )-nek A egy torlódási helye. Mivel (an ) felülrl nem korlátos, m N : am > A. Ezért (an ) monotonitása miatt U|am -A| (A) {a1 , . . . , am-1 }.
2
Példa: limn n2 = .
Példa: limn n2 = . Példa: az an =
n 1 i=1 i
harmonikus sor
Példa: limn n2 = . Példa: az an = n i=1 monoton növeked,
1 i
harmonikus sor divergens és
Példa: limn n2 = . Példa: az an = n 1 harmonikus sor divergens és i=1 i monoton növeked, ezért limn an = .
Példa: limn n2 = . Példa: az an = n 1 harmonikus sor divergens és i=1 i monoton növeked, ezért limn an = . Tétel: Ha (an ) monoton fogyó és divergens, akkor limn an = -.
Mveletek sorozatokkal
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B,
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B.
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0.
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0. n1 N : n n1 : |an - A| < /2
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0. n1 N : n n1 : |an - A| < /2 és n2 N : n n2 : |bn - B| < /2.
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0. n1 N : n n1 : |an - A| < /2 és n2 N : n n2 : |bn - B| < /2. Legyen n0 = max{n1 , n2 }.
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0. n1 N : n n1 : |an - A| < /2 és n2 N : n n2 : |bn - B| < /2. Legyen n0 = max{n1 , n2 }. Ekkor n n0 -ra |(an + bn ) - (A + B)| =
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0. n1 N : n n1 : |an - A| < /2 és n2 N : n n2 : |bn - B| < /2. Legyen n0 = max{n1 , n2 }. Ekkor n n0 -ra |(an + bn ) - (A + B)| = |(an - A) + (bn + B)|
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0. n1 N : n n1 : |an - A| < /2 és n2 N : n n2 : |bn - B| < /2. Legyen n0 = max{n1 , n2 }. Ekkor n n0 -ra |(an + bn ) - (A + B)| = |(an - A) + (bn + B)| |(an - A)| + |(bn - B)|
Mveletek sorozatokkal
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an + bn ) = A + B. Biz.: Adott > 0. n1 N : n n1 : |an - A| < /2 és n2 N : n n2 : |bn - B| < /2. Legyen n0 = max{n1 , n2 }. Ekkor n n0 -ra |(an + bn ) - (A + B)| = |(an - A) + (bn + B)| |(an - A)| + |(bn - B)|< 2
Tétel: c R és limn an = A
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA.
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz.
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0.
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| .
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|= |c||an - A|
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|= |c||an - A|< |c| |c|
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|= |c||an - A|< |c| = |c| 2
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|= |c||an - A|< |c| = |c| Köv.: Ha limn an = A és limn bn = B, 2
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|= |c||an - A|< |c| = |c| 2
Köv.: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an - bn ) = A - B.
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|= |c||an - A|< |c| = |c| 2
Köv.: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an - bn ) = A - B. Biz.: Alkalmazzuk az elz tételt c = -1-re,
Tétel: c R és limn an = A limn can = cA. Biz.: c = 0-ra igaz. Legyen c = 0 és > 0. Ekkor n0 N : n n0 : |an - A| < |c| . Minden n n0 -ra |can - cA|= |c||an - A|< |c| = |c| 2
Köv.: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn (an - bn ) = A - B. Biz.: Alkalmazzuk az elz tételt c = -1-re, majd az azt megelzt (an )-re és (-bn )-re. 2
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B,
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB.
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0.
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | <
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1.
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < .
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn =
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A (bn - B) + B =
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A limn (an - A)(bn - B) (bn - B) + B =
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B) (bn - B) + B =
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB =
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB = 0·0
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB = 0 · 0+A · 0
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB = 0 · 0+A · 0+B · 0
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB = 0 · 0+A · 0+B · 0+AB
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A 2 (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB = 0 · 0+A · 0+B · 0+AB= AB.
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A 2 (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB = 0 · 0+A · 0+B · 0+AB= AB.
Tétel: Ha limn an = A, limn bn = B, bn = 0 és B = 0,
Tétel: Ha limn an = A és limn bn = B, akkor limn an bn = AB. Biz.: (i) Legyen A = B = 0 és > 0. Ekkor n1 N : n n1 : |an | < és n2 N : n n2 : |bn | < 1. Ezért n max{n1 , n2 }-re |an bn | < . (ii) Általánosan: limn an bn = limn (an - A) + A 2 (bn - B) + B =
limn (an - A)(bn - B)+A(bn - B)+B(an - A)+AB = 0 · 0+A · 0+B · 0+AB= AB.
Tétel: Ha limn an = A, limn bn = B, bn = 0 és A n B = 0, akkor limn an = B . b
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0,
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n Biz.: Legyen K > 0.
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < küszöbindextl.
1 K
valamely n0
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, n
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an < 0 és limn an = 0,
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an < 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = -. n
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an < 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = -. n Tétel: Ha limn an = A és limn bn = ,
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an < 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = -. n Tétel: Ha limn an = A és limn bn = , akkor · limn an + bn =
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an < 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = -. n Tétel: Ha limn an = A és limn bn = , akkor · limn an + bn = és limn an - bn = -.
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an < 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = -. n Tétel: Ha limn an = A és limn bn = , akkor · limn an + bn = és limn an - bn = -. · limn an bn = , ha A > 0.
Tétel: Ha n N : an > 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = . n
1 Biz.: Legyen K > 0. Ekkor an < K valamely n0 küszöbindextl. Ezért n n0 : a1 > K, így (1/an ) nem n korlátos és torlódási helye sem lehet. 2
Tétel: Ha n N : an < 0 és limn an = 0, akkor limn a1 = -. n Tétel: Ha limn an = A és limn bn = , akkor · limn an + bn = és limn an - bn = -. · limn an bn = , ha A > 0. · limn an bn = -, ha A < 0.
Nevezetes határértékek
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0.
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 j ci ni i=0
n
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk nk + bk-1 nk-1 + . . . + b0 cj nj + cj-1 nj-1 + . . . + c0
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk nk + bk-1 nk-1 + . . . + b0 bk nk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 0 j-1 n
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 0 j-1 n nk nk-1 nk 1+
bk-1 1 bk n
+ ... +
b0 1 bk nk
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 1 + 0 j-1 n nk nk-1 nk 1+
bk-1 bk cj-1 cj 1 n 1 n
+ ... + + ... +
b0 bk c0 cj
1 nk 1 nj
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 1 + 0 j-1 n
3n2 +2n-1 limn n3 -2n2 +2
nk
nk-1
nk
1+
bk-1 bk cj-1 cj
1 n 1 n
+ ... + + ... +
b0 bk c0 cj
1 nk 1 nj
Példa:
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 1 + 0 j-1 n
3n2 +2n-1 limn n3 -2n2 +2
nk
nk-1
nk
1+
bk-1 bk cj-1 cj
1 n 1 n
+ ... + + ... +
b0 bk c0 cj
1 nk 1 nj
Példa:
= 0.
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 1 + 0 j-1 n
3n2 +2n-1 limn n3 -2n2 +2 5n2 -2n-8 limn 3n2 -2n+7
nk
nk-1
nk
1+
bk-1 bk cj-1 cj
1 n 1 n
+ ... + + ... +
b0 bk c0 cj
1 nk 1 nj
Példa: Példa:
= 0.
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 1 + 0 j-1 n
3n2 +2n-1 limn n3 -2n2 +2 5n2 -2n-8 limn 3n2 -2n+7
nk
nk-1
nk
1+
bk-1 bk cj-1 cj
1 n 1 n
+ ... + + ... +
b0 bk c0 cj
1 nk 1 nj
Példa: Példa:
= 0.
5 = 3.
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 1 + 0 j-1 n
3n2 +2n-1 limn n3 -2n2 +2 5n2 -2n-8 limn 3n2 -2n+7 2n2 -8n+4 limn 5n-17
nk
nk-1
nk
1+
bk-1 bk cj-1 cj
1 n 1 n
+ ... + + ... +
b0 bk c0 cj
1 nk 1 nj
Példa: Példa: Példa:
= 0.
5 = 3.
Nevezetes határértékek
Tétel: Legyenek b0 , . . . , bk , c0 , . . . , cj R és bk = 0, cj = 0. lim
k bi ni i=0 = lim j ci ni n i=0
n
bk nk . j cj n
Biz.: bk + bk-1 + . . . + b0 bk = j +c j-1 + . . . + c cj n cj nj 1 + 0 j-1 n
3n2 +2n-1 limn n3 -2n2 +2 5n2 -2n-8 limn 3n2 -2n+7 2n2 -8n+4 limn 5n-17
nk
nk-1
nk
1+
bk-1 bk cj-1 cj
1 n 1 n
+ ... + + ... +
b0 bk c0 cj
1 nk 1 nj
Példa: Példa: Példa:
= 0.
5 = 3.
= .
Tétel: Legyen c R. Ekkor
Tétel: Legyen c R. Ekkor , lim cn = n
ha c > 1
Tétel: Legyen c R. Ekkor , 1, lim cn = n
ha c > 1 ha c = 1
Tétel: Legyen c R. lim cn = n
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
Tétel: Legyen c R. lim cn = n
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
Tétel: Legyen c R. lim cn = n Biz.: (i) c > 1.
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 + n(c - 1)
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 + n(c - 1) .
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1. (iii) |c| < 1.
= 1 + (c - 1)
1 + n(c - 1) .
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 |c|
1 + n(c - 1) .
(iii) |c| < 1. Ekkor
> 1,
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 |c|
1 + n(c - 1) .
1 |c| n
(iii) |c| < 1. Ekkor
> 1, és ezért limn
= ,
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 |c|
1 + n(c - 1) .
1 |c| n
(iii) |c| < 1. Ekkor
> 1, és ezért limn
= ,
amibl limn |cn | = 0.
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 |c|
1 + n(c - 1) .
1 |c| n
(iii) |c| < 1. Ekkor
> 1, és ezért limn
= ,
amibl limn |cn | = 0. Ebbl limn cn könnyen látható.
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 |c|
1 + n(c - 1) .
1 |c| n
(iii) |c| < 1. Ekkor
> 1, és ezért limn
= ,
amibl limn |cn | = 0. Ebbl limn cn könnyen látható. (iv) c -1.
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 |c|
1 + n(c - 1) .
1 |c| n
(iii) |c| < 1. Ekkor
> 1, és ezért limn
= ,
amibl limn |cn | = 0. Ebbl limn cn könnyen látható. (iv) c -1. Ekkor cn váltakozó eljel
Tétel: Legyen c R. lim cn = n cn
Ekkor , 1, 0, ha c > 1 ha c = 1 ha |c| < 1
nem létezik, ha c -1
n
Biz.: (i) c > 1.
= 1 + (c - 1)
1 |c|
1 + n(c - 1) .
1 |c| n
(iii) |c| < 1. Ekkor
> 1, és ezért limn
= ,
amibl limn |cn | = 0. Ebbl limn cn könnyen látható. (iv) c -1. Ekkor cn váltakozó eljel és |c|n . 2
Hasonló témájú dokumentumok
- 2007-11-25 19:48:07
- 2011-02-08 13:06:13
- 2007-11-25 19:43:16
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Csakúgy mint amikor könyvtárakat/mappákat hozol létre a számítógépeden, egy tantárgyon belül is hasonló analógiával tetszőleges kategóriák és alkategóriák hozhatóak létre. Próbálj mindig a legmegfelelőbb kategóriába tölteni, hogy átlátható legyen a feltöltött dokumentumok szerkezete.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
