2. Előadás

Országok listájaHungaryBudapesti Corvinus EgyetemGazdálkodástudományi KarGazdaságinformatikusAnalízisJegyzetek2. Előadás

Analízis
Dr. Tasnádi Attila

Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tanszék

2007. szeptember 19.

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha x K1 .

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha x M :x K1 .

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 .

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja.

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z}

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos.

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha x K2 .

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha x M :x K2 .

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha K2 R :x M :x K2 .

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha K2 R :x M :x K2 . Egy fenti K2 az M egy fels korlátja.

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha K2 R :x M :x K2 . Egy fenti K2 az M egy fels korlátja. Példa: M = sin n 2 |nZ

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha K2 R :x M :x K2 . Egy fenti K2 az M egy fels korlátja. Példa: M = sin n 2 |nZ felülrl korlátos.

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha K2 R :x M :x K2 . Egy fenti K2 az M egy fels korlátja. Példa: M = sin n 2 |nZ felülrl korlátos.

Def.: M R korlátos,

Korlátos halmaz
Definíció: Az M R halmaz alulról korlátos, ha K1 R :x M :x K1 . Egy fenti K1 az M egy alsó korlátja. Példa: M = {n2 | n Z} alulról korlátos. Definíció: Az M R halmaz felülrl korlátos, ha K2 R :x M :x K2 . Egy fenti K2 az M egy fels korlátja. Példa: M = sin n 2 |nZ felülrl korlátos.

Def.: M R korlátos, ha alulról és felülrl is az.

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K.

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.:

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}.

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját és egy A1 nem fels korlátját. 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját és egy A1 nem fels korlátját. Felezzük el az [A1 , K1 ]-et 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját és egy A1 nem fels korlátját. Felezzük el az [A1 , K1 ]-et és legyen a két intervallum közül [A2 , K2 ] az, 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját és egy A1 nem fels korlátját. Felezzük el az [A1 , K1 ]-et és legyen a két intervallum közül [A2 , K2 ] az, amelyiknek pontosan az egyik végpontja fels korlátja M -nek. 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját és egy A1 nem fels korlátját. Felezzük el az [A1 , K1 ]-et és legyen a két intervallum közül [A2 , K2 ] az, amelyiknek pontosan az egyik végpontja fels korlátja M -nek. Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve adóik az [A1 , K1 ] [A2 , K2 ] . . . sorozat. 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját és egy A1 nem fels korlátját. Felezzük el az [A1 , K1 ]-et és legyen a két intervallum közül [A2 , K2 ] az, amelyiknek pontosan az egyik végpontja fels korlátja M -nek. Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve adóik az [A1 , K1 ] [A2 , K2 ] . . . sorozat. A Cantor-féle axióma alapján R : [Ai , Ki ]. i=1 2

Tétel: M korlátos K R : x M : |x| K. Biz.: [] Legyen K = max{|K1 |, |K2 |}. [] Triviális. Cantor-féle axióma: Ha [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] . . ., akkor [ai , bi ] = . i=1 Tétel: Ha M R, M = és M felülrl korlátos, akkor a fels korlátok között van legkisebb. Biz.: Vegyük az M egy K1 fels korlátját és egy A1 nem fels korlátját. Felezzük el az [A1 , K1 ]-et és legyen a két intervallum közül [A2 , K2 ] az, amelyiknek pontosan az egyik végpontja fels korlátja M -nek. Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve adóik az [A1 , K1 ] [A2 , K2 ] . . . sorozat. A Cantor-féle axióma alapján R : [Ai , Ki ]. St {} = [Ai , Ki ]. i=1 i=1 2

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek.

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki .

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > .

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x,

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek.

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < .

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < . Mivel i N : Ai < < Ki ,

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < . Mivel i N : Ai < < Ki , [, ] [Ai , Ki ] volna. 2 i=1

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < . Mivel i N : Ai < < Ki , [, ] [Ai , Ki ] volna. 2 i=1 Tétel: Ha M R, M = és M alulról korlátos,

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < . Mivel i N : Ai < < Ki , [, ] [Ai , Ki ] volna. 2 i=1 Tétel: Ha M R, M = és M alulról korlátos, akkor az alsó korlátok között van legnagyobb.

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < . Mivel i N : Ai < < Ki , [, ] [Ai , Ki ] volna. 2 i=1 Tétel: Ha M R, M = és M alulról korlátos, akkor az alsó korlátok között van legnagyobb. Definíció: Az = M R legkisebb fels korlátját (legnagyobb alsó korlátját)

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < . Mivel i N : Ai < < Ki , [, ] [Ai , Ki ] volna. 2 i=1 Tétel: Ha M R, M = és M alulról korlátos, akkor az alsó korlátok között van legnagyobb. Definíció: Az = M R legkisebb fels korlátját (legnagyobb alsó korlátját) fels határának vagy szuprémumának (alsó határának vagy infimumának) nevezzük.

(i) Belátjuk, hogy fels korlátja M -nek. Nyilván i N : Ai Ki . T.f.h. nem fels korlátja M -nek, azaz x M : x > . Ekkor i N : Ki x, és ezért [, x] [Ai , Ki ] volna. i=1 (ii) Belátjuk, hogy a legkisebb fels korlátja M -nek. T.f.h. is fels korlátja M -nek és < . Mivel i N : Ai < < Ki , [, ] [Ai , Ki ] volna. 2 i=1 Tétel: Ha M R, M = és M alulról korlátos, akkor az alsó korlátok között van legnagyobb. Definíció: Az = M R legkisebb fels korlátját (legnagyobb alsó korlátját) fels határának vagy szuprémumának (alsó határának vagy infimumának) nevezzük. Jele: sup(M ) (inf(M )).

1 Példa: sup{ n | n N} = 1

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete)

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ).

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a).

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye,

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye, ha bármely U (a) M végtelen elem.

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye, ha bármely U (a) M végtelen elem.
1 Példa: M = { n | n N} srsödési helye

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye, ha bármely U (a) M végtelen elem.
1 Példa: M = { n | n N} srsödési helye 0.

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye, ha bármely U (a) M végtelen elem.
1 Példa: M = { n | n N} srsödési helye 0. Méghozzá egyetlen srsödési helye.

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye, ha bármely U (a) M végtelen elem.
1 Példa: M = { n | n N} srsödési helye 0. Méghozzá egyetlen srsödési helye. Figyelem: 0 M ! /

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye, ha bármely U (a) M végtelen elem.
1 Példa: M = { n | n N} srsödési helye 0. Méghozzá egyetlen srsödési helye. Figyelem: 0 M ! /

Példa: M = {sin x | x R} srsödési helyeinek halmaza

1 1 Példa: sup{ n | n N} = 1 és inf{ n | n N} = 0.

Definíció: Az a R szám > 0 sugarú nyílt környezete (röviden sugarú környezete) U (a) = (a - , a + ). U (a) az a egy (nyílt) környezete, ha U (a) egy nyílt intervallum és a U (a). Definíció: Az a R az M R srsödési helye vagy torlódási helye, ha bármely U (a) M végtelen elem.
1 Példa: M = { n | n N} srsödési helye 0. Méghozzá egyetlen srsödési helye. Figyelem: 0 M ! /

Példa: M = {sin x | x R} srsödési helyeinek halmaza [-1, 1].

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye.

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt.

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 .

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz.

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot".

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot". Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve egy csupa végtelen sok M -belit tartalmazó korlátos [A1 , B1 ] [A2 , B2 ] . . . halmazsorozat adódik.

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot". Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve egy csupa végtelen sok M -belit tartalmazó korlátos [A1 , B1 ] [A2 , B2 ] . . . halmazsorozat adódik. A felezéses eljárás és a Cantor-féle axióma miatt ! R :

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot". Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve egy csupa végtelen sok M -belit tartalmazó korlátos [A1 , B1 ] [A2 , B2 ] . . . halmazsorozat adódik. A felezéses eljárás és a Cantor-féle axióma miatt ! R : [Ai , Bi ]. i=1

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot". Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve egy csupa végtelen sok M -belit tartalmazó korlátos [A1 , B1 ] [A2 , B2 ] . . . halmazsorozat adódik. A felezéses eljárás és a Cantor-féle axióma miatt ! R : [Ai , Bi ]. i=1 Belátjuk, hogy az M srsödési helye.

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot". Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve egy csupa végtelen sok M -belit tartalmazó korlátos [A1 , B1 ] [A2 , B2 ] . . . halmazsorozat adódik. A felezéses eljárás és a Cantor-féle axióma miatt ! R : [Ai , Bi ]. i=1 Belátjuk, hogy az M srsödési helye. Vegyük az bármely U () környezetét.

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot". Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve egy csupa végtelen sok M -belit tartalmazó korlátos [A1 , B1 ] [A2 , B2 ] . . . halmazsorozat adódik. A felezéses eljárás és a Cantor-féle axióma miatt ! R : [Ai , Bi ]. i=1 Belátjuk, hogy az M srsödési helye. Vegyük az bármely U () környezetét. Ekkor i N : [Ai , Bi ] U (),

Tétel (Bolzano­Weierstrass): Minden korlátos végtelen halmaznak van srsödési helye. Biz.: Vegyünk egy M korlátos végtelen halmazt. Ekkor A1 , B1 R : x M : A1 x B1 . Az [A1 , (A1 + B1 )/2] és [(A1 + B1 )/2, B1 ] legalább egyike végtelen M -belit tartalmaz. Jelöljön [A2 , B2 ] egy ilyen ,,félintervallumot". Az eljárást ,,végtelenszer" ismételve egy csupa végtelen sok M -belit tartalmazó korlátos [A1 , B1 ] [A2 , B2 ] . . . halmazsorozat adódik. A felezéses eljárás és a Cantor-féle axióma miatt ! R : [Ai , Bi ]. i=1 Belátjuk, hogy az M srsödési helye. Vegyük az bármely U () környezetét. Ekkor i N : [Ai , Bi ] U (), tehát U () M végtelen elem. 2

(Végtelen) sorozat

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük.

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)).

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)). Az egész sorozatot (an ) -nel vagy n=1 röviden (an )-nel jelöljük,

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)). Az egész sorozatot (an ) -nel vagy n=1 röviden (an )-nel jelöljük, a sorozat értékkészletét pedig {an }-nel.

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)). Az egész sorozatot (an ) -nel vagy n=1 röviden (an )-nel jelöljük, a sorozat értékkészletét pedig {an }-nel. Sorozat megadása:

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)). Az egész sorozatot (an ) -nel vagy n=1 röviden (an )-nel jelöljük, a sorozat értékkészletét pedig {an }-nel. Sorozat megadása: (i) Felsorolással: (1, -1, 1, -1, 1, -1, . . .).

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)). Az egész sorozatot (an ) -nel vagy n=1 röviden (an )-nel jelöljük, a sorozat értékkészletét pedig {an }-nel. Sorozat megadása: (i) Felsorolással: (1, -1, 1, -1, 1, -1, . . .). (ii) Explicit képlettel: an = a1 + (n - 1)d (számtani),

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)). Az egész sorozatot (an ) -nel vagy n=1 röviden (an )-nel jelöljük, a sorozat értékkészletét pedig {an }-nel. Sorozat megadása: (i) Felsorolással: (1, -1, 1, -1, 1, -1, . . .). (ii) Explicit képlettel: an = a1 + (n - 1)d (számtani), an = a1 q n-1 (mértani).

(Végtelen) sorozat
Definíció: f : N R függvényt sorozatnak nevezzük. Jelölés: A sorozat n-edik elemét gyakran an -nel jelöljük (an = f (n)). Az egész sorozatot (an ) -nel vagy n=1 röviden (an )-nel jelöljük, a sorozat értékkészletét pedig {an }-nel. Sorozat megadása: (i) Felsorolással: (1, -1, 1, -1, 1, -1, . . .). (ii) Explicit képlettel: an = a1 + (n - 1)d (számtani), an = a1 q n-1 (mértani). (iii) Rekurzív képlet: a1 = 1 és an = an-1 + n, ha n 2.

Monoton sorozatok
Az (an ) sorozat · monoton növeked, ha n N : an an+1 .

Monoton sorozatok
Az (an ) sorozat · monoton növeked, ha n N : an an+1 . · monoton csökken, ha n N : an an+1 .

Monoton sorozatok
Az (an ) sorozat · monoton növeked, ha n N : an an+1 . · monoton csökken, ha n N : an an+1 . · szigorúan mon. növeked, ha n N : an < an+1 .

Monoton sorozatok
Az (an ) sorozat · monoton növeked, ha n N : an an+1 . · monoton csökken, ha n N : an an+1 . · szigorúan mon. növeked, ha n N : an < an+1 . · szigorúan mon. csökken, ha n N : an > an+1 . Példa: (2n ) sorozat szig. mon. növeked.

Monoton sorozatok
Az (an ) sorozat · monoton növeked, ha n N : an an+1 . · monoton csökken, ha n N : an an+1 . · szigorúan mon. növeked, ha n N : an < an+1 . · szigorúan mon. csökken, ha n N : an > an+1 . Példa: (2n ) sorozat szig. mon. növeked. Példa:
n 2

csak mon. növeked,

Monoton sorozatok
Az (an ) sorozat · monoton növeked, ha n N : an an+1 . · monoton csökken, ha n N : an an+1 . · szigorúan mon. növeked, ha n N : an < an+1 . · szigorúan mon. csökken, ha n N : an > an+1 . Példa: (2n ) sorozat szig. mon. növeked. Példa:
n 2

csak mon. növeked, ahol [x] az x R

egészrészét jelöli.

Monoton sorozatok
Az (an ) sorozat · monoton növeked, ha n N : an an+1 . · monoton csökken, ha n N : an an+1 . · szigorúan mon. növeked, ha n N : an < an+1 . · szigorúan mon. csökken, ha n N : an > an+1 . Példa: (2n ) sorozat szig. mon. növeked. Példa:
n 2

csak mon. növeked, ahol [x] az x R

egészrészét jelöli. Példa: (|n - 2|) sorozat nem monoton.

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh.

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval.

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h.

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz.

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 =

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h)

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) =

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) = 1

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) = 1+(n + 1)h

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) = 1+(n + 1)h+nh2

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) = 1+(n + 1)h+nh2 1 + (n + 1)h.

Bernoulli-egyenltlenség: Ha h > -1 valós és n N, akkor (1 + h)n 1 + nh. Biz.: teljes indukcióval. n = 1-re (1 + h) 1 + h. T.f.h. n-re igaz. Ekkor (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) = 1+(n + 1)h+nh2 1 + (n + 1)h. 2

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n

n

1 1+ n+1

=

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ = n+

1 n+1 1 n

n+1 n

=
n n+1

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1

=

n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1

1 1+ n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2
n

1 1+ n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2 n 1- (n + 1)2
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2 n 1- (n + 1)2
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1 1 1+ n+1

=

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2 n 1- (n + 1)2 1+
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1 1 1+ n+1

=

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2 n 1- (n + 1)2 1+
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1 1 1+ n+1 =

=

(n + 1)2 - n(n + 1) - n

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2 n 1- (n + 1)2
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1 1 1+ n+1

=

(n + 1)2 - n(n + 1) - n 1+ = 3 (n + 1)

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2 n 1- (n + 1)2
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1 1 1+ n+1

=

(n + 1)2 - n(n + 1) - n 1 1+ =1 + 3 (n + 1) (n + 1)3

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n

(n N) szigorúan monoton n.

an+1 an

1+ =

1 n+1 1 n

n+1 n

=

1+

1 1 + n+1 1 1+ n n

n

1 1+ n+1 =

=

n n + 1 - 1+ n+1

n+1 1 1- (n + 1)2 n 1- (n + 1)2
n

1 1+ n+1

1 1+ n+1 1 1+ n+1

=

(n + 1)2 - n(n + 1) - n 1 1+ =1 + >1 3 3 (n + 1) (n + 1)

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :

1.

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=

n = n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

n

=

n2 - 1

n = n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+ n2

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1 n = n+1

n

n = n+1

n2 - 1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1 n = n+1

n

n = n+1

n2 -1

+1 n2 - 1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1
n

n2 -1

+1 n2 - 1

n 1 = 1+ 2 n+1 n -1

n n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1
n

n2 -1

+1 n2 - 1

n 1 = 1+ 2 n+1 n -1 n = n+1

n n+1

n 1+ 2 n -1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1
n

n2 -1

+1 n2 - 1

n 1 = 1+ 2 n+1 n -1 n n2 + n - 1 = n+1 n2 - 1

n n+1

n 1+ 2 n -1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1
n

n2 -1

+1 n2 - 1

n 1 = 1+ 2 n+1 n -1 n n2 + n - 1 = n+1 n2 - 1

n n+1

n 1+ 2 n -1

n = n+1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1
n

n2 -1

+1 n2 - 1

n 1 = 1+ 2 n+1 n -1 n n2 + n - 1 = n+1 n2 - 1

n n+1

n 1+ 2 n -1

n = n+1

n3 + n2 - n - 1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1
n

n2 -1

+1 n2 - 1

n 1 = 1+ 2 n+1 n -1 n n2 + n - 1 = n+1 n2 - 1

n n+1

n 1+ 2 n -1

n = n+1

n3 + n2 - n n3 + n2 - n - 1

Tétel: Az an = 1 +

1 n

n+1

(n N) szig. mon. fogy.
an-1 an

Biz.: Belátjuk, hogy n {2, 3, . . .} :
n 1 n-1 n+1 1 n

1.

an-1 an

1+ = 1+

=
n

n(n - 1) + n n2 - 1

n

n = n+1
n

n2 -1

+1 n2 - 1

n 1 = 1+ 2 n+1 n -1 n n2 + n - 1 = n+1 n2 - 1 2

n n+1

n 1+ 2 n -1

n = n+1

n3 + n2 - n >1 3 + n2 - n - 1 n

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos,

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos.

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az.

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos.

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

<

1 1+ n

n+1

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

<

1 1+ n

n+1

4,

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

<

1 1+ n

n+1

4, 2

(an ) felülrl is korlátos.

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

<

1 1+ n

n+1

4, 2

(an ) felülrl is korlátos. Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa,

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

<

1 1+ n

n+1

4, 2

(an ) felülrl is korlátos.

Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa, akkor (an ) alsó határa inf(an ) = inf{an }.

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

<

1 1+ n

n+1

4, 2

(an ) felülrl is korlátos.

Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa, akkor (an ) alsó határa inf(an ) = inf{an }. Ha {an }-nek van fels határa,

Definíció: (an ) alulról (felülrl) korlátos, ha {an } alulról (felülrl) korlátos. (an ) korlátos, ha alulról és felülrl is az. Tétel: Az an = 1 +
1 n n

sorozat korlátos.

Biz.: Mivel monoton növeked, alulról is korlátos. Figyelembe véve, hogy 1 1+ n
n

<

1 1+ n

n+1

4, 2

(an ) felülrl is korlátos.

Definíció: Ha {an }-nek van alsó határa, akkor (an ) alsó határa inf(an ) = inf{an }. Ha {an }-nek van fels határa, akkor (an ) fels határa sup(an ) = sup{an }.

Sorozat torlódási helye

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz,

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = .

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye.

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye.

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen,

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a Bolzano­Weierstrass-tételbl.

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a Bolzano­Weierstrass-tételbl. Ha {an } véges,

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a Bolzano­Weierstrass-tételbl. Ha {an } véges, akkor a sorozat valamelyik eleme végtelenszer fordul el.

Sorozat torlódási helye
Definíció: (an )-nek az A R torlódási helye, ha A bármely U (A) környezete végtelen sok sorozatbeli elemet tartalmaz, azaz |{n N | an U (A)}| = . Példa: Az an = cos n sorozat torlódási helyei 4
1 - 2 , -1 és 1. 1 , 2

0,

Példa: Az an = 2n -nek nincs torlódási helye. Tétel: Minden korlátos sorozatnak van torlódási helye. Biz.: Ha {an } végtelen, akkor az állítás következik a Bolzano­Weierstrass-tételbl. Ha {an } véges, akkor a sorozat valamelyik eleme végtelenszer fordul el. Egy végtelenszer elforduló elem egy torlódási hely. 2

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke,

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 : |an - A| < .

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N : |an - A| < .

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < .

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk,

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke.

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A.

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n

= 0.

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n

= 0.

Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens.

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n

= 0.


Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példak: cos
n 4

divergens.
n=1

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n

= 0.
n=1

Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példak: cos
n 4

divergens. limn

1 (n+1)2

= 0?

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n

= 0.
n=1

Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példak: cos
n 4

divergens. limn

1 (n+1)2

= 0?

1 < 2 (n + 1)

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n

= 0.
n=1

Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példak: cos
n 4

divergens. limn

1 (n+1)2

= 0?

1 1 < < 2 (n + 1) n+1

Sorozat határértéke
Def.: Az (an ) sorozatnak az A R a határértéke, ha > 0 :n0 N :n n0 :|an - A| < . Az (an )-t konvergensnek mondjuk, ha van A R határértéke. Jelölés: limn an = A. Példa: limn
1 n

= 0.
n=1

Definíció: (an ) divergens, ha nem konvergens. Példak: cos
n 4

divergens. limn

1 (n+1)2

= 0?

1 1 1 < < - 1 < n. 2 (n + 1) n+1



Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

2.óra 2008 a mű adatbázis kezelés ady állatélettan baudelaire biofizika család diszkrét matematika épszerk iii. épterv épületszerkezetek eu szakképzési rendszerek fehérje filozófiai antropológia fogalmak fotoszintézis füst gyak gyakorlódolg humánbiosz gyak jogelmélet juhász keringés kiállítás kidolgozott tétel kiefer ferenc kisebbség kötelmi jog linguistics madarak marx mérleg miskolc motiváció munkavédelem művészet növényszervezettan növénytan ordo pszichó sorozat statisztika stratégia szalay luca számvitel i szintay topográfia valós érték