Vizsgatételek kidolgozása

Országok listájaHungarySzent István EgyetemGépészmérnöki KarGépészmérnökiMatematika I.JegyzetekVizsgatételek kidolgozása

A halmazt és a halmazhoz való hozzátartozást alapfogalomnak tekintjük.
Fontosabb jelölések:
 EMBED Equation.3  : eleme, hozzátartozik, pl.:  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  : üres halmaz: Az olyan halmazt, amelynek nincs eleme üres halmaznak nev..
 EMBED Equation.3  : Legyen A és B halmaz. Ekkor az összes olyan „dologból” álló halmazt, amely hozzátartozik A és B közül legalább az egyikhez, A és B egyesítésének, vagy uniójának nev
 EMBED Equation.3  : Legyen A és B halmaz. Ekkor az összes olyan „dologból” álló halmazt, amely hozzátartozik, A-hoz is és B-hez is, A és B metszetének (különbségének) nevezzük.
 EMBED Equation.3  : Legyen A és B halmaz. Azt mondjuk, hogy A részhalmaza (része) B-nek, ha A minden egyes eleme hozzátartozik B-hez. Pl.:  EMBED Equation.3 
/ : Legyen A és B halmaz. Az A és a B halmaz különbségén az összes olyan A-beli elemébQl álló halmazt értjük, amely nem tartozik hozzá B-hez.
 EMBED Equation.3  : Legyen A nem üres halmaz,  EMBED Equation.3  pedig A minden egyes x elemére értelmezett állítás. Az olyan A-beli x elemekbQl álló halmaz jelölésére, amelyekre az  EMBED Equation.3  állítás igaz, bevezetjük az { EMBED Equation.3 }
Halmaz hatványhalmaza: Legyen A halmaz összes részhalmazából alkotott halmazt A hatványhalmazának nevezzük. Pl.: P(A)
Halmazok közötti mqveletek:
Egyesítés: Legyen A és B halmaz. A és B egyesítésén v. unióján azt a halmazt értjük, amelyhez valamely „dolog” pontosan akkor tartozik, ha A és B közül legalább az egyikhez hozzátartozik. Pl.:  EMBED Equation.3 
Metszet: Legyen A és B halmaz. A és B közös részén, v. metszetén azt a halmazt értjük, amelyikhez valamely „dolog” akkor tartozik , ha A-nak is és B-nek is eleme. Pl.: EMBED Equation.3 
Különbség: Legyen A és B halmaz. A és B különbségén azt a halmazt értjük, amelyhez valamely „dolog” pontosan akkor tartozik, ha A-hoz tartozik, de B-hez nem. Pl.: EMBED Equation.3 
Szemléltetés Venn-diagrammal.


Halmazok Descartes-féle szorzata:
Valamely A és B halmaz Descartes-féle v direkt szorzatán azt a halmazt értjük, amelynek elemei pontosan azok a rendezett párok, amelyeknek elsQ komponense eleme A-nak, a második komponense pedig B-nek.
Számhalmazok
N-természetes számok
N0-{0,1,2,..}
Z -egész számok Z+:={0,1,2& }, Z-, Z:=NUZ-
 EMBED Equation.3 
Q  racionális számok Q:={ EMBED Equation.3 }
Q* -irracionális számok : PÍ,  EMBED Equation.3 stb.
R –valós számok: számegyenes számai
Intervallumok: Legyen a,b EMBED Equation.3  olyan, amelyre a Ha EMBED Equation.3 akkor  EMBED Equation.3 -t mindkét végén zárt intervallumnak nevezzük.
Ha EMBED Equation.3 akkor  EMBED Equation.3 -t mindkét végén nyílt intervallumnak nevezzük.
Ha EMBED Equation.3 akkor  EMBED Equation.3 -t balról zárt, jobbról nyílt intervallumnak nev.
Ha EMBED Equation.3 akkor  EMBED Equation.3 -t balról nyílt, jobbról zárt intervallumnak nev.
 EMBED Equation.3 és  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 az x pont  EMBED Equation.3 sugarú intervallum nyílt környezete.
Bináris relációk: Bináris relációnak az olyan halmazt nevezünk, amelynek mindegyik eleme rendezett pár.
Egy bináris reláció értelmezési tartományán (Df) az Qt alkotó rendezett párok elsQ komponensébQl, értékkészletét (Rf) pedig a második komponensbQl álló halmazt értjük.
j0, j2,j3 ,R fv-ek ábrázolása
Reláció inverze: Valamely ( bináris reláció inverzén azt a relációt értjük, amelyhez egy (a,b) rendezett pár pontosan akkor tartozik, ha (b,a) eleme a ( reláció. Jele: (-1
Szemléltetése gráffal, és koordinátarendszerben.
Homogén reláció: Homogén relációnak olyan bináris relációt nev., amelyeknek az értelmezési tartománya egyenlQ az értékkészlettel.
Reflexív relációnak az olyan ( homogén relációt nevezünk, amelyre minden  EMBED Equation.3 esetén fennáll, hogy (x,x) EMBED Equation.3 .
Szimmetrikus relációnak az olyan ( homogén relációt mondjuk, amelyre minden  EMBED Equation.3 esetén fennáll, hogy (y,x) EMBED Equation.3 .
Antiszimmetrikus relációnak az olyan ( homogén relációt hívunk, amelyre minden  EMBED Equation.3 esetén fennáll, hogy x=y.
Tranzitív relációnak az olyan ( homogén relációt nevezünk, amelyre minden  EMBED Equation.3 esetén fennáll, hogy (x,z) EMBED Equation.3 .


Relációk leszqkítése, kiterjesztése:
Legyen ( és ( bináris reláció és tegyük fel, hogy 1.) ( EMBED Equation.3 .
Ekkor (-t a ( egyik leszqkítésének, (-t pedig ( egyik kiterjesztésének nevezzük.
Ha (1)-en kívül fennáll még a (=( egyenlQség is, akkor (-t a ( valódi leszqkítésének, (-t pedig ( valódi kiterjesztésének nevezzük.
Reláció adott halmazra való leszqkítése: Legyen ( bináris reláció, az A halmaz pedig része ( értelmezési tartományának. Ekkor ( összes olyan elemébQl álló halmazt, amelyre elsQ komponense A-hoz tartozik, ( A-ra vonatkozó leszqkítésének nevezzük. Jele:  EMBED Equation.3 



Mqveletek valós fv. között: Valós fv-nek az olyan fv-t nevezünk, amelynek értékkészlete a valós számok halmazának valamely nem üres része (röviden számhalmaz). Valós-valós fv-nek az olyan valós fv-t nevezzük, amelynek értelmezési tartománya is számhalmaz.
Legyen f és g való fv. Tegyük fel hogy értelmezési tartományaik közös része nem az üres halmaz. Ekkor az
 EMBED Equation.3  fv-t f és g összegfüggvényének az
 EMBED Equation.3 fv-t f és g szorzatfüggvényének az
 EMBED Equation.3  fv-t pedig az f és g különbségfüggvényének nevezzük.
Legyen f valós fv,. Bármely c valós szám esetén a  EMBED Equation.3  szimbólummal jelölt fv álljon az összes olyan rendezett párból, amelynek elsQ komponense eleme f értelmezési tartományának, a második eleme pedig c-nek és f elsQ komponensbeli helyettesítési értékének a szorzata. A cf fv-t f c-szeresének nevezzük.
Legyen g való fv, és tegyük fel, hogy g értékkészlete nem a  EMBED Equation.3 halmaz. Ekkor az
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  fv-t g reciprokfüggvényének nevezzük.
Elemi fv-ek: Legyen n nemnegatív egész szám. Azt mondjuk, hogy egy f való-valós fv pontosan n-edfokú racionális egészfv vagy polinom, ha olyan n+1 darab  EMBED Equation.3 szám, hogy  EMBED Equation.3 
Az n-számot f fokszámának, az  EMBED Equation.3  számokat pedig f együtthatójának nevezzük. Bármely f valós fv esetén az  EMBED Equation.3  halmazt f nullahalmazának, Nf elemeit pedig f nullahelyeinek, vagy az f(x)=0 egyenlet megoldásának nevezzük.
Legyen  EMBED Equation.3 , p pontosan n-edfokú polinom,  EMBED Equation.3  pedig p valós gyöke. Ekkor van olyan (pontosan) (n-1)-edfokú p1 polinom, amelyre  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3 . Bármely (pontosan) n-edfokú polinomnak legfeljebb n valós gyöke lehet.
Egy f valós-valós függvényt racionális törtfv-nek nevezünk, ha van olyan p és q polinom, hogy  EMBED Equation.3 .
Trigonometrikus fv-ek:
Sin fv-nek, ill. cos fv-nek nevezzük az összes olyan rendezett párból álló halmazt, amelynek elsQ komponense egy x valós szám, a második pedig az egységkörre felmért x hosszúságú körív végpontjának második ill. elsQ koordinátája. A  EMBED Equation.3  és  EMBED Equation.3  fv-t tg fv-nek és ctg fv-nek nevezzük.



Elemi fv-ek deriváltjai: (c) 0
( EMBED Equation.3 )  EMBED Equation.3 
(sinx) cosx
(cosx) -sinx
(tgx)’  EMBED Equation.3 
(ctgx)’  EMBED Equation.3 
(arcsinx)’  EMBED Equation.3 
(arccosx)’  EMBED Equation.3 
(arctgx)’  EMBED Equation.3 
(arcctgx)’  EMBED Equation.3 
( EMBED Equation.3 )’  EMBED Equation.3 
(ax)’  EMBED Equation.3 
(lnx)’  EMBED Equation.3 
(logax)’  EMBED Equation.3 


Függvényértelmezés: Függvények olyan f bináris relációt nevezünk, amelyre bármely  EMBED Equation.3 esetén fennáll, hogy y=z.
Legyen f fv, x pedig f értelmezési tartományának eleme. Az f fv értékkészletének azt az egyetlen y elemét, amelyre  EMBED Equation.3 , az f fv x elemen felvett helyettesítési értékének nevezzük és az f(x) szimbólummal jelöljük.
Függvénymegadási módok:
rendezett párok halmazaként
Hozzárendeléses megadás  EMBED Equation.3 
Helyettesítési értékes megadás  EMBED Equation.3 

Függvény leszqkítése, inverze:
Az értelmezési tartományt szqkítjük, vagyis az elsQ komponenst csökkentjük .
Valamely f fv invertálhatónak nevezzük, ha az f-1 reláció is függvény. Ebben az esetben
f-1-et f inverz fv-ének mondjuk.
Legyen f és g fv. Ekkor az fog reláció is fv. Legyen f invertálható fv.
Ekkor f-1of=idDf, fof-1=idRf
Halmaz fv szerinti képe, Qsképe:
Legyen f fv, az A halmaz pedig f értelmezési tartományának valamely része. Ekkor az  EMBED Equation.3 van olyan  EMBED Equation.3 , hogy y=f(x)} halmazt A f szerinti képének nevezzük.
Legyen f fv, a B halmaz pedig f értékkészletének valamely része. Ekkor az  EMBED Equation.3  halmazt B f szerinti Qsképének nevezzük.
Függvények kompozíciója: Legyen f és g fv. Ekkor az fog kompozíció a következQképpen is felírható:  EMBED Equation.3 


Valós-valós fv: Legyen f v-v fv, a pedig pontja f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy f a-nak (globális vagy abszolút) minimumot vesz fel, ha minden  EMBED Equation.3  esetén  EMBED Equation.3  Az a pontot f minimumpontjának vagy minimumhelyének, az f(a) számot pedig f minimumának nevezzük.
Legyen f való-valós fv, a pedig f értelmezési tartományának pontja. Azt mondjuk, hogy f a-ban helyi minimumot vesz fel, ha van olyan ( pozitív szám, hogy minden  EMBED Equation.3  esetén  EMBED Equation.3 
Legyen f valós-valós fv. Azt mondjuk, hogy f növekedQ, ha minden  EMBED Equation.3 esetén  EMBED Equation.3 . Legyen f valós-valós fv, az A számhalmaz pedig része f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy f az A halmazon (monoton) növekedQ, ha az  EMBED Equation.3  fv (monoton) növekedQ.
Tegyük fel, hogy az f v-v fv. értelmezési tartománya valódi intervallum. Legyen a,b EMBED Equation.3 . Az  EMBED Equation.3  fv-t f  EMBED Equation.3 -hez tartozó húrjának nevezzük.
Legyen f az elQbbi. Azt mondjuk, hogy f az összes húrja alatt van, ha bármilyen a,b EMBED Equation.3 esetén  EMBED Equation.3 
Legyen f v-v fv, a J valódi intervallum pedig része f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy f konvex a J intervallumon, ha az  EMBED Equation.3  fv konvex.
Deriválási szabályok: (cf) cf
(f+g) f +g
(fg) f g+fg
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
((fog)(a)) f (g(a))g (a)



Magasabbrendq deriváltak:
Tegyük fel, hogy a deriválható f egyváltozós valós fv f deriváltfv-e is deriválható. Ekkor f deriváltját f 2. deriváltjának nevezzük, és azt f jelöljük.
Az n-edik derivált esetén az n számot a derivált rendjének is nevezzük. Az f(n) jelenti tehát f -edrendq deriváltját, melyet f(n)=(f(n-1)) módon értelmezzük.
Ha f(x)=sinx f’=cosx, f”=-sin, f’”=-cosx, f””=sinx….



Végesben vett véges határérték: Legyen f v-v fv, az a tartományának torlódási pontja, A valós szám. Azt mondjuk, hogy az f fv-nek határértéke az A szám, ha:  EMBED Equation.3  fv folytonos az a pontban .
A határérték, ha létezik egyértelmq, vagyis ha f-nek a-ban A a határértéke, akkor ott A-tól különbözQ szám nem lehet a határértéke. Jele: lim f(x)=A
Az f fv-nek az x helyen a határértéke az A szám, ha bármely (>0 számhoz van olyan (>0 szám, hogyha 0<(x-xo)< ( akkor  EMBED Equation.3 



Parciális integrálás: A szorzat fv deriválási szabályának megfordításával kapott integrálási szabályt parciális integrálásnak nevezzük.
Ha f és g differenciálható és f’,g’ folytonos az I intervallumon akkor  EMBED Equation.3 
B: A szorzatfv deriválási szabálya:  EMBED Equation.3 
Képezzük mindkét oldal határozatlan integrálját, akkor  EMBED Equation.3 
Átrendezve  EMBED Equation.3 . Ez a szabály akkor használható, ha olyan szorzatot kell integrálni, amelynek egyik tagja (f) deriválható, a másik (g’) integrálható.




Integrálás helyettesítéssel: Ez az integrálási szabály az összetett fv deriválási szabályának megfordítása:
 EMBED Equation.3  mindkét oldal integrálva
f(g(x))= EMBED Equation.3 , ahol f’ primitív fv-e f.
Ha f’ helyett f-et írunk, akkor f-nek a primitív fv-ét F-fel jelölve a fenti szabály:  EMBED Equation.3 =F(g(x))+c

Hasonló témájú dokumentumok

Környezetvédelmi szakelőadói tételsor

- 2008-12-03 23:11:02

2007-es tételek kidolgozva

- 2009-05-20 15:28:48

tételek

- 2009-05-21 12:08:53

tételek

- 2007-12-04 21:47:11

Menedzsment tételek 1-8.

- 2007-11-27 21:54:35

Filozófia tételek

- 2011-03-26 19:39:21

Definíciók - Tételek (2.zh.)

- 2008-04-26 11:04:01

A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.

Hozzászólások

Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni

Egy tipp az oldalhoz! - Töltsétek ki a Tantárgyi adatlapokat a tantárgyak oldalain. Fontos lehet a tantárggyal kapcsolatos információ vagy az előadóval való egyszerű kapcsolattartás végett. Az adatlapot csak akkor módosíthatod ha az adott tárgyat a saját tárgyaidhoz adtad.