Tétel + Bizonyítás (4.témakörtől - 7. témakörig)

Országok listájaHungaryBudapesti Gazdasági FőiskolaKereskedelmi Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Főiskolai KarTurizmus-vendéglátás (magyar nyelven)Gazdasági Matematika 1 (BSc)JegyzetekTétel + Bizonyítás (4.témakörtől - 7. témakörig)

1. HALMAZELÉMLETI ALAPOK
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA

4.7 TÉTEL
A valós számok halmazán értelmezett
x ’! c (c T R, konstans)
x ’! x
függvények minden x T R esetén folytonosak.
Bizonyítás:
a; Legyen elQször f1 : f1 (x) = c (x T R), ahol c valós szám egy rögzített konstans. Ha limxn = x0 és xn `" x0, akkor (f1 (xn)) = (c) konstans sorozat, melynek határértéke c: limf1 (xn) = c. Megmutattuk tehát, hogy a függvénynek tetszQleges x0 pontban van határértéke, és az éppen a helyettesítés értékkel azonos, vagyis, amint állítottuk, értelmezési tartományának minden pontjában folytonos a függvény.
b; Legyen most f2: f2 (x) = x (x T R). A limf2 (x) meghatározásához induljunk ki egy tetszQleges (xn) sorozatból, mely x0-hoz tart. Ekkor f2 (xn) = x0 következtében a függvény határértéke az x0 helyen:
limf2 (x) = limf2 (xn) = limxn = x0
Ha figyelembe vesszük, hogy a helyettesítési érték szintén x0:
f2 (x0) = x0,
A tételnek ezt a részét is bizonyítottuk.
Megjegyezzük, hogy a feltételeink között az xn `" x0 relációt most nem szerepeltettük. Ezt azért tehettük meg, mert mint fentebb már említettük, folytonosság esetén az nem szükséges: ha a határérték a = f(x0), akkor az xn x0 feltétel mindössze azt érné el, hogy a függvényértékek sorozatának tagjai között az f(x0), ami a saját határértéke, nem szerepelhetne.

5. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA
6. DIFFERNECIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
7. HATÁROZOTT INTEGRÁL

7.1. TÉTEL
Ha F primitív függvénye f-nek, akkor a primitív függvénynek F + C alakúak, ahol C állandó (C T R)
Bizonyítás: Belátjuk, hogy a primitív függvények csak konstansban térnek el egymástól.
Legyen F és G két különbözQ primitív függvénye f-nek az I intervallumban, vagyis
F = f és G = f.
A megfelelQ oldalak különbségét véve
F -G =(F-G) =0 adódik, azaz az F-G függvény deriváltja az U intervallum minden (belsQ) pontjában 0. Ez a 6.3 tétel a; része miatt azt jelenti, hogy az F-G függvény monoton növekedQ is és monoton csökkenQ is az U intervallumban, következésképpen csak konstans lehet:
F  G = C,
vagyis F és G valóban csak egy állandóban különbözik egymástól.
_________________________________________________________________________________________
7.2. TÉTEL
Ha f-nek és g-nek az I intervallumban léteznek primitív függvényei, akkor k T f-nek (k R \ {0}), valamint (f + g)-nek is van primitív függvénye, és
a; +" k " f = k " +" f
b; +"(k + g)= +" f + +" g
Bizonyítás:
a; Legyen k`"0
Ha F tetszQleges primitív függvénye f-nek, akkor k F primitív függvénye k f-nek, ugyanis
(k" F) = k" F = k" f,
tehát
+" k " f = k " F + C1.
Ugyanakkor
k " +" f = k " f + kC2,
vagyis
+" k " f = k " +" f.

k = 0 esetben az állítás nem igaz, hiszen
+"0 " f = +"0 = C, de 0 " +" f = 0.

b; Legyen F primitív függvénye f-nek és G primitív függvénye g-nek. Ekkor F + G primitív függvénye (f + g)-nek ugyanis
(F+G) = F + G = f + g,
tehát
+"(f + g) = F + G + C.
Másrészt
+" f = F + C1, illetve +" g= G + C2,
így
+" f + +" g = F + G + C1 + C2 = F + G + C = +"(f + g).

Megjegyzés: Itt kihasználtuk, hogy a C1 és C2 is az összes valós számäæøúF H V X x z ¨ ª Ö Ø ð


"
$
:
<
¨
ª
²
´
¾
À
Ê
Ì
à
â
ä
è
ê
ô
ú

V
X
Z
^
`


B

:
<
B
D
F
^
v
x
z
â
ä
# $ / N O X \ ] h i j l öñéñâÞâÞâÞâÞâÚÒÚÊÞÂÞÚÞÚÂÞÂÚÂÞÂÞÂÞÚÊÚÞÚÞÂÞÚÂÚÞÚÊÞÂÞÚÞÂÞÚÂÞÂÚÞÂÞÚÂÞÂÚÞÂÚÞÂÞÂÞÚh
h
H*h
h

gƒH*h
h

gƒ5h

gƒh


h

gƒh

gƒh

gƒh

gƒ5 h

gƒ5h

gƒ5CJaJL2ZŽäæúB t € Ø ð
X | » É ó rtÔ(VXn÷÷÷÷òéééééééééééééò÷÷÷áá $a$gdê|ä¤x ¤xgd
gd

gƒ $a$gd-HƒlE†Eþþl m u v z { ™ ¸ ¹ » ¼ ½ À Á Æ Ç !.:<àæ<>XZ`b prt(TVXn2 H ž4PRhî
÷ó÷ï÷óï÷óï÷ï÷ï÷óï÷ïóïóïóçï÷ï÷ï÷ïàØÏ÷²ª¦ª¦¢¦˜¦ˆhßjÅhê|ä5hvûhê|ä5 hßjÅ5 hvû5hvûhê|ähê|ähê|ä5 h-Hƒ5h-Hƒh

gƒ5CJaJh-Hƒh-Hƒ5CJaJh

gƒ5CJaJh

gƒh

gƒ5

h

gƒh

gƒh
h

gƒH*h
h

gƒh
h
H*3n2 à „ªôžRh¼î$Ö>T‚¶¸

NP>óóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó
$¤x ¤xa$gdê|ä


$8:|~‚’–š¨ª¬°²PTÒÔüþ6-8-@-B-v-Œ-Â-Ä-Î-Ð-Ò-Ö-Ø-ö-ø- .È.>/¬0`1v1‚2˜2¬4À4.505B5D5p5r5€5‚5Š5ž5 5Þ5à56
6÷óïóçóçâÛóÛóÛóÛóÛó÷óçóçóçóçó÷óçóçâÛâÛâóÙóÑóÍÅÍÅͽ͵͵ͱͱͽ¬Í¤Í±hßjÅh-HƒH* h-Hƒ5h-HƒhßjÅhßjÅH*h-HƒhßjÅ5hßjÅhßjÅ5hßjÅhvûhvû5U

hvûhvû hvûH*hvûhvûH*hê|ähvûhßjÅhvû5@>r~ª¼-
-t-v-È.>/¨/¬0`1v1è1.2‚2b3ø3¬4À4*5\5Š5Ú5@6ô67óóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó
$¤x ¤xa$gdê|äot jelenti így az összegük és konstansszorosuk is, ezért ezek helyett is írhatunk röviden csak C-t.
A most bizonyított állításokat úgy is fogalmazhatjuk, hogy
a, a konstans tényezQ kiemelhetQ az integráljel elé;
b, összegfüggvény határozatlan integrálja a tagok határozatlan integráljainak összegével egyenlQ (összeget tagonként integrálunk)
_________________________________________________________________________________________
7.3. TÉTEL
Ha F primitív függvénye f-nek az I intervallumban, akkor
+" f(ax + b)dx=1/a " F(ax + b) + C
ahol a és b állandó, a `" 0 és ax + b T I.
Bizonyítás: Alkalmazzuk az összetett függvény differenciálási szabályát (a láncszabályt), valamint hogy F = f;
(1/a "F(ax + b) + C) = 1/a " F (ax + b) " a + 0 = F (ax + b) = f(ax + b).
_________________________________________________________________________________________
7.4 TÉTEL
Legyen f differenciálható az I intervallumban. Ekkor
fa " f = fa+1/a+1 + C,
ahol az a `" -1, a T R.
Bizonyítás: A láncszabályt alkalmazzuk:
(fa+1/a+1 + C) = 1/a+1 (a+1) " fa " f = fa " f .
_________________________________________________________________________________________
7.5 TÉTEL
Ha f differenciálható az I intervallumban, és f(x) `" 0 (x T I), akkor
+" f /f = ln |f| + C.
Bizonyítás: Láttuk a 7.3. példában, hogy (ln |x|) = 1/x. ha itt x helyébe az f függvényt helyettesítjük, akkor a láncszabály alkalmazásával a tétel állításához jutunk.
_________________________________________________________________________________________
7.6 TÉTEL
Ha a g függvény differenciálható az I intervallumban és
F (x) = f(x), x T g(I), akkor
+" f(g(x)) " g (x)dx = F(g(x)) + C.
A fenti szabályt tömören így is írhatjuk:
+"(f æ% g) " g = F æ% g + C.
Bizonyítás: Ismét az összetett függvény differenciálási szabálya alapján:
(F(g(x)) + C) = F (g(x)) " g (x) = f(g(x)) " g (x).
_________________________________________________________________________________________
7.7 TÉTEL
Ha f és g differenciálható függvények az I intervallumon és itt az f g függvénynek létezik primitív függvénye, akkor az fg függvénynek is van primitív függvénye az I intervallumban és
+"fg = fg - +"f g.
Bizonyítás: A feltételek alapján az fg szorzatfüggvény deriválható és
(fg) = f g + fg .
Innen:
Fg = (fg)  f g. (7.4)
Az f g függvénynek a tétel egyik feltétele szerint létezik primitív függvénye, az (fg) függvénynek pedig nyilván primitív függvénye fg. Így a (7.4) jobb oldalán álló mindkét tagnak létezik primitív függvénye, ezért a 7.2 tétel miatt fg -nek is van primitív függvénye, mégpedig:
+"fg = fg - +"f g. (7.5)
A (7.5) képlettel fg primitív függvényeinek a meghatározását f g primitív függvényeinek meghatározására vezetjük vissz. (A jobb oldal elsQ tagját kiintegrált résznek is szoktuk nevezni.)
A 7.7. tétel alapján történQ integrálást nevezzük parciális integrálási módszernek.
_________________________________________________________________________________________
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK





 PAGE 1

Hasonló témájú dokumentumok

Hozzászólások

4. óra a csoport algebra altér anyag anyagszerk bevezetés de-avk energia fazekas gábor gazdaságtörténelem gdp germánok halász gábor hő-és áramlástechnikai gépek internet jogi alaptan képzőművészet kidolgozott anyag kis jános korai csecsemőkor környezettechnikai műveletek és gépek környezetvédelem környgazd kötelező irodalom középérték közigazgatástörténet kultúra marás máté eörs minta monopólium művészet nevelés ordo öko1 ökológia összefoglaló petőfi pr prácser tamás szakdolgozat szte topográfia trade tudománytörténet vállalat vállalati pénzügyek valós érték vizsgazh