Definíciók - Tételek (1.zh.)
Országok listája
HungaryBudapesti Gazdasági FőiskolaKereskedelmi Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Főiskolai KarTurizmus-vendéglátás (magyar nyelven)Gazdasági Matematika 2 (BSc)Definíciók - Tételek (1.zh.)
2008.03.30 13:03:53
Az alábbi szöveg egy formázás és képek nélküli előnézete a dokumentumnak. A tökéletes megjelenítéshez jelentkezz be, majd töltsd le a dokumentumot.
KOMBINATORIKA
Ismétlés nélküli permutáció: Adott n különbözQ elem. Az elemek meghatározott sorrendjét az adott n elem ~-nak nevezzük, és számukat a Pn szimbólummal jelöljük.
Ismétléses permutáció: Adott n elem, melyek között r (rd"n) különbözQ található, ezek a1, a2,& ., ar.
Ha az a1 elem k1-szer, az a2 elem k2-ször, & . Az ar elem kr-szer fordul elQ, és k1+k2+& ..-kr = n, akkor az n elem egy lehetséges sorrendjét ezen elemek ~nak nevezzük.
Ismétlés nélküli variáció: Adott n különbözQ elem. Ha adott n elem közül k elemet (0
Ismétléses variáció: Adott n különbözQ elem. Ha az adott n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ~t kapjuk.
Ismétlés nélküli kombináció: Adott n különbözQ elem. Ha az adott n elem közül k elemet (0
Ismétléses kombináció: Adott n elem különbözQ elem. Ha az adott n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ~t kapjuk.
ESEMÉNYALGEBRA
Elemi esemény: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetséges kimeneteleit ~nek nevezzük.
Eseménytér: Az elemi események halmazát ~nek nevezzük és H-val jelöljük.
Véletlen esemény: A H eseménytér egy tetszQleges részhalmazát ~nek (röviden eseménynek) nevezzük.
_
Ellentétes esemény: Az A ( H esemény ~ének (komplementerének) nevezzük azt az A szimbólummal jelölt eseményt, amely akkor következik be, ha A nem következik be, és A ( H.
Esemény összeg: H A és B ugyanazon eseménytérhez tartozó két esemény, akkor azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B ~ének (egyesítésének) nevezzük és az A U B szimbólummal jelöljük.
Esemény szorzat: Ha A és B ugyanazon eseménytérhez tartozó két esemény, akkor azt az eseményt, hogy az A és B esemény egyszerre (egyidejqleg) bekövetkezik, a két ~ának (közös részének) nevezzük és az A )"B szimbólummal jelöljük.
Egymást kizáró események: A H eseménytérhez tartozó tetszQleges A és B eseményeket ~-nek nevezzük, ha egyszerre nem következhet be, azaz ha A )" B = O
Esemény különbség: Ha az A és B esemény ugyanazon eseménytérhez tartozó két esemény, akkor azt az eseményt, hogy az A esemény bekövetkezik , de a B nem, a két ~nek nevezzük és az A\B szimbólummal jelöljük.
Teljes eseményrendszer: Egy H eseménytérhez tartozó B1, B2,
, Bn események (amelyek közül egyik sem lehetetlen esemény) ~t alkotnak ha
a; egymást páronként kizáró események
b; összegük biztos esemény
Más szóval, ha
a; Bi )" Bj = O i `" j és i, j =1, 2,& , n).
b; B1 U B2 U& .U Bn = H.
Összetett esemény: Egy eseményt ~nek nevezünk, ha elQállítható a triviális felbontástól eltérQen két esemény összegeként.
A VALÓSZÍNpSÉGSZÁMÍTÁS ELEMEI
Valószínqség: Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikus ingadozást mutat, az illetQ esemény ~ének nevezzük.
Axióma I.: Legyen adott egy véletlen kísérlethez tartozó H eseménytér. Minden A C H eseményhez hozzárendelünk egy P(A) nemnegatív valós számot, az A esemény valószínqségét.
Axióma II.: A biztos esemény valószínqsége 1, azaz P(H)=1 lesz.
Axióma III.: Ha A C H és B C H egymást kizáró események, azaz A )" B = O , akkor P(A U B ) = P(A) + P(B). (valószínqség additív tulajdonsága)
Valószínqségi mezQ: Ha egy H eseménytér eseményeinek a halmazán értelmeztünk valószínqséget, akkor ezt a halmazt ~nek nevezzük, jele: W.
Klasszikus valószínqségi mezQ: Abban az esetben amikor egy W valószínqségi mezQ elemi eseményeinek száma véges, és azok valószínqsége egyenlQ, ~rQl beszélünk.
Véletlen minta: Egy halmazból találomra kihúzott elemek összessége.
Feltételes valószínqség: ha az A és B a H eseménytérhez tarotzó két esemény, és P(B)`"0, akkor a P(A %B) = P(A)"B) / P(B) hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott ~ének nevezzük.
Események függetlensége: Legyen A és B a H eseménytérhez tartozó két esemény. Az A és B eseményeket egymástól függetlennek (vagy sztochaikusan függetlennek) nevezzük, ha P(A)"B) = P(A)P(B).
Teljes függetlenség: Egy H eseménytérhez tartozó A, B és C eseményt függetleneknek nevezük, ha a következQ összefüggések mindegyike teljesül:
P(A)"B) = P(A)P(B),
P(A)"C) = P(A)P(C),
P(B)"C) = P(B)P(C),
P(A)"B)"C) = P(A)P(B)P(C). Ekkor a három eseményt teljesen függetlennek is szokás nevezni, megkülönböztetvén a páronkénti függetlenségtQl.
Független kísérlet: Tekintsünk n számú kísérletet. Ha az elsQ kísérletnél egy tetszQleges A1 esemény elQfordulásának valószínqsége P(A1), a második kísérletnél egy tetszQleges A2 esemény elQfordulásának valószínqsége P(A2)& ., az n-edik kísérletnél egy tetszQleges An esemény elQfordulásának valószínqsége P(An), és annak a valószínqsége, hogy az elsQnél az A1, a másodiknál az A2,& ., az n-ediknél az An esemény következik be, egyenlQ az egyes valószínqségek szorzatával azaz P(A1)"A2)"& ..)"An) = P(A1)P(A2)& .P(An) minden A1, A2,& .An esetén, akkor a kísérleteket ~nek nevezzük.
Geometriai valószínqség: Ha feltehetQ, hogy egy geometriai alakzattal megadott H eseménytérben annak valószínqsége, hogy egy véletlen pont az A C H résztartományba esik, arányos az A tartomány mértékével (amennyiben ez létezik), ~rQl beszélünk.
VALÓSZÍNpSÉGI VÁLTOZÓ:
Valószínqségi változó: Legyen adott egy véletlen kísérlet és az ehhez tartozó H eseménytér. A H eseménytéren értelmezett ¶ (kszí) valós értékq függvényt ~nak nevezzük.
Diszkrét eloszlású valószínqségi változó: Ha az ¶ valószínqségi változó lehetséges értékeinek a száma véges vagy megszámlálhatóan végtelen (sorozatba rendezhetQ), akkor diszkrét vagy ~nak nevezzük.
Eloszlás: Ha a diszkrét eloszlású ¶ valószínqségi változó lehetséges értékei x1, x2,x3,& akkor P(¶=x1), P(¶=x2, P(¶=x3)& valószínqségeket a ¶ valószínqségi változó ~nak nevezzük.
Eloszlásfüggvény: Legyen ¶ egy változó. Az F:F(x) = P(¶
"
8
:
H
J
`
b
p
r
Ì
Î
Ò
Ô
à
â
ä
Z
\
z
®
J
L
N
v
Fêì\]klyÐÚ Ì ò úòêæÞæêæÞæÞæÞæÞæÞæÞæÞæÞæÞæÞæÞæÞÙæÕæÍÕæÉÁÉÁɽµ½ú¥½½hh5hhhrt¦5h4ãhrt¦5h4ãh4ã5hrt¦hrt¦5hrt¦h äh ä5h äh-=h-=5h-= h ~¸H*h ~¸h ~¸H*h ~¸h-=h ~¸5h¼¡h ~¸5 h4ã59\ ^ (
x
z
L
N
êì\]lÏТ Ì éê¸÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷$&dPÆÿa$gd1t $a$gd1tZqtqþþò hj"êúºêØÚâäèÂÚøùüý
TV^`np|~¢z¸Òàâäø< > @ V À Â Ú N!P!Ü!Þ!"ð"ò"üôüìüìüìüèüàüìüÜüÔÜÌÜÌÜÌÜÈÜÌÜÌÜÀÜÌÜÌÜÌÜüÔÜ»³¯«¦³¯«¦³¯¦³¯¯¦³¯¦hp|Õhp|Õ7 h²ß5h:Ôhp|Õhp|Õhp|Õ5 h4ã5hh7o7hÌTKh7oh7oH*h7oh7o5h7ohh7h¼¡hh5hh>*h>¸ºæèÂÃJpL|~z|¸âä> @ À  Ü!Þ!ð"÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷$&d
PÆÿ
a$gd1t $a$gd1tð"ò"0$2$º$¼$<&>&¸'º'Ö(ü(")H)Z*\*Ø.Ú.Ä0Æ0ô0D2F2Ò3Ô385:5÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷÷÷÷÷÷÷÷$&d
PÆÿ
a$gd1t $a$gd1tò".#.$0$2$P$¸$º$¼$ê$:&<&>&n&¶'¸'º'à'Z*\**+ +h+j+°+¾+À+Ô+ ,,0,n,p,Â,Ä,Æ,ê,(-*-P-R-~--®-... .*.,...<.>.F.H.L.T.V.j.l.r.t.÷óïêâÞóêÖÒÎÊÂÊÒ¾¶¾²ª¾¢¾¢¾¢¾¢¾¢¾¢¾¢¢¾¢¾¢¾¢¾¢¢¢¾¢¢¢h Nh7oh NH*h·
{h q§5hh q§h q§5h q§h²ßh²ß5h²ßh7ohªBnh²ßhªBn5h-ah-ah-a5 h²ß5hp|Õh u«h u«h u«5>t.x.|.~.Ø.Ú.
/Â0Ä0Æ0ô01F22Ð3Ò3Ô3ä3p4r4x4z4~4444®4°4¾4À485:5Z56F"F$F&FLFfGhGGGGGG¼GàGâG¼HÂHàHIIIIüøðüìäàÜà×äàÏËìËÏËÃËÃËÃËÃËÃËÃËì»Ë¹ËüË»Ëü±¨¡¡¨üh äh äH*hrt¦h ~¸h4ã
hVôhVô hVôH*hVôhVôhVô5Uh_Ýh np5h nph npH*h nph nph np5 h4ã5h lhR,hR,hR,5hh7oh NH*h Nh q§7zó ~nek nevezzük.
Folytonos eloszlás: A ¶ valvált folytonosnak vagy ~nak nevezzük, ha létezik olyan véges sok pont kivételével folytonos f függvény, meylre F(x)=+"f(t)dt, x T R.
Sqrqségfüggvény: Ha a ¶ folytonos valvál eloszlásfüggvénye F, akkor az f: f(x) = F (x) függvényt a ¶ sqrqségfüggvényének vagy valószínqségsqrqség-függvényének nevezzük.
KOMBINATORIKA
1.1.TÉTEL: n különbözQ elem összes lehetséges sorrendjének (permutációinak) száma:
P n = n"(n-1)(n-2) " & ."1=n!
1.2.TÉTEL: Rögzített n, r és k1, k2,& , kr esetén az ismétléses permutációk száma:
Pn (k1,k2,& .,kr) = n! / k1!k2! "...."kr!
1.3.TÉTEL: Adott n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma:
Vk n = n (n-1)(n-2)& .(n-k+1). Más alakban: Vk n= n! / (n-k)!
1.4.TÉTEL: Adott n elem összes k-adosztályú ismétléses variációinak száma:
Vk(i) n = nk
1.5.TÉTEL: Adott n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma:
Ck n = = n! / k!(n-k)!
1.6.TÉTEL: Adott n elem összes k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:
Ck(1) n = (n+k-1 / k)
1.7. TÉTEL: TetszQleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nemnegatív kitevQjq hatványa polinommá alakítható a következQ módon: (a+b)n=
1.8.TÉTEL: Bármely k, n T N és 0 d" k d" n esetén fennáll
a; a szimmetriatulajdonság
b; az összegtulajdonság
c;
_____________________________________________________________________________________
ESEMÉNYALGEBRA
2.1.TÉTEL: TetszQleges A, B C H eseményekre fennállnak a következQ összefüggések:
1. A U B = A )" B,
A )" B = A U B (!) DeMorgan-egyenlQségek
2. A U (A )" B) = A
A )" (A U B) = A Beolvasztási szabályok
_____________________________________________________________________________________
A VALÓSZÍNpSÉGSZÁMÍTÁS ELEMEI
3.1.TÉTEL: Ha az S esemény valószínqsége P(A), akkor az A ellentétes esemény valószínqsége P(A) = 1 P(A).
3.2.TÉTEL: Ha az A1, A2, & A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1) + P(A2) +& + P(A n) = 1.
3.3.TÉTEL: Ha A és B két tetszQleges esemény, akkor annak a valószínqsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A )" B) .
3.4.TÉTEL: Ha az A esemény maga után vonja B eseményt, azaz A C B fennáll, akkor: P(B\A) = P(B)-P(A).
3.5.TÉTEL: Legyen W egy klasszikus valószínqségi mezQ. Elemi eseményeinek száma legyen n. Ha A T W esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor: P(A)=k/n.
P(A)= kedvezQ elemi események száma / összes elemi események száma. (klasszikus képlet)
--*P(Ak)= (n k)pk " qn-k mintavétel visszatevéssel (minQség, statisztikánál nemek)
*P(Ak)=
3.6.TÉTEL: Ha A és B a H eseménytérhez tartozó két esemény és P(B)`"0, akkor együttes bekövetkezésüknek valószínqsége megegyezik az A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínqségének és a B esemény valószínqségének szorzatával, azaz: P(A)"B) = P(A%B)" P(B), P(B)`"0.
Ha az A és B szerepet cserél és P(A)`"0, akkor a P(B%A)=P(A)"B)/P(A) alapján P(A)"B) = P(B%A)" P(A).
3.7.TÉTEL: A valószínqséget általános szorzási szabálya: Legyenek A1, A2,& .,An a H eseménytérhez tartozó tetszQleges események és P(A1)"A2)"& .)"An) `" 0.Ekkor P(A1)"A2)"& .)"An) =P(A1) P(A2 | A1)P(A3 | A1)"A2)& P(A n | A1)"A2)"& .)"An-1)
3.8.TÉTEL: Ha a H eseménytérhez tartozó B1,B2,& ,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk) > 0 (k=1,2,& ,n) , akkor bármely ,a H-hoz tartozó A esemény valószínqsége:
P(A) = n"k=1P(A%Bk)"P(Bk). (teljes valószínqség tétele)
3.9.TÉTEL: (Bayes-tétel) Ha a H eseménytérhez tartozó B1, B2,& , Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk) > 0 (k=1,2,& n), akkor bármely, a H-hoz tartozó, pozitív valószínqségq A eseményre igaz, hogy: P(Bk%A) = P(A%Bk) " P(Bk) / n"i=1 P(A%Bi) " P(Bi) ( k=1,2,& ,n).
3.10.TÉTEL: Ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B, A és B, A és B események is függetlenek.
3.11.TÉTEL: Annak a valószínqsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be, Pk= (nk)" pk "qnk, ahol p = P(A) és q=1-p = P(A). (=visszatevéses mintavételi modell)
_____________________________________________________________________________________
VALÓSZÍNpSÉGI VÁLTOZÓ
4.1.TÉTEL: Ha a ¶ valószínqségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor tetszQleges a < b valós számokra P(a d" ¾ < b) = F(b)-F(a).
4.2.TÉTEL: Ha az F függvény valamely ¾ valószínqségi változó eloszlásfüggvénye, akkor
F monoton növekvQ
lim-"F(x)=0 és lim"F(x)=1
F minden pontban balról folytonos, azaz lim a-0F(x)=F(a)
4.3.TÉTEL: Ha valamely F függvény eleget tesz a 4.2 tételben felsorolt tulajdonságoknak, akkor van olyan ¶ valvál, melynek eloszlásfüggvénye éppen F.
4.4.TÉTEL: Ha a ¶ valvált F eloszlásfüggvénye folytonos az x0 pontban, akkor P(¶ = x0) = 0.
4.5.TÉTEL: Ha valamely ¾ valószínqségi változónak f a sqrqségfüggvénye, akkor
f(x)e"0, x T Df
+"-""f(x)dx = 1
+"-""f(t)dt = F(x), xTR
+"ab=f(x)dx = P(ad" ¾
4.6.TÉTEL: Ha valamely f, legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos függvénye
a; f(x) e" 0, x T Df
b; +"-""f(x)dx = 1, akkor van olyan ¾ folyt eloszlású valvál, melynek sqrqségfüggvénye f.
4.7.TÉTEl: legyen a ¾ folytonos eloszlású valvál eloszlásfüggvénye F, sqrqségfüggvénye f. H az a > 0, b T R, akkor ·= a ¾+b szintén folytonos eloszlású valvál és eloszlásfüggvénye: G: G(x) = F(x-b / a), sqrqségfüggvénye: g: g(x) = 1/a "f(x-b) / a.
_______________________________________________________________________________________________________________________________
(Egyes részek hiányosak!)
PAGE 5
Hasonló témájú dokumentumok
- 2008-03-30 17:27:39
- 2007-12-04 21:47:11
- 2009-06-19 16:36:02
- 2010-12-27 16:16:01
- 2008-10-07 15:41:18
- 2007-11-27 21:54:35
- 2009-01-26 00:53:19
A mások által feltöltött dokumentumokat értékelheted. Ha úgy ítéled meg, hogy a vizsgára való felkészülés szempontjából hasznos volt egy dokumentum, akkor adj rá sokcsillagos értékelést.
Ha hibákat tartalmaz, vagy egyéb probléma van vele, akkor keveset.
A dokumentumok sorrendje az értékelések alapján adódik. Ami fentebb van a listában, azt hasznosabbnak ítélték társaid. Az új dokumentumok pedig (értékelések hiányában) szintén a lista tetején kezdenek.
Hozzászólások
Ha észrevételed van egy dokumentummal kapcsolatban (például hibát találtál benne), akkor a Hozzászólások részben jelezheted. Az olyan jellegű kérdéseket mint pl.: A 2. feladat 4. sorából milyen átalakítással jutottunk az 5. sorban szereplő képlethez? - szintén ide érdemes írni
Egy tipp az oldalhoz! - Online ZH, vizsga kidolgozás! Mi is ez? Ha feltöltesz egy régi ZH-t/vizsgát, a dokumentum oldalán Hozzászólást lehet írni. Megírhatod például, hogy "szerintem a 3-as feladat megoldása ez: "... Ha hiba van benne, más hallgató egy új hozzászólásban ezt jelezheti.
Egy felsőoktatási közösségi oldal amely segít kapcsolatot tartani a hallgatók között, így segítséget nyújt a sikeres tanulmányokhoz...
